OPCIONES Y FINANZAS CORPORATIVAS

El 9 de enero de 2009, los precios al cierre del mercado de las acciones de PepsiCo, 3M y Amazon. com fueron de 52.57, 57.74 y 55.51 dólares, respectivamente. Cada una de estas compañías tenía una opción call (de compra) que se negociaba en la Bolsa de Opciones de Chicago (Chicago Board Options Exchange) con un precio de ejercicio de 55 dólares y fecha de vencimiento del 21 de febrero, para la cual faltaban 43 días. Sería de esperar que los precios de estas opciones de compra fueran similares, pero no era así. Las opciones de PepsiCo se vendían en 1.30 dólares, las de 3M se negociaban en 5 dólares y las de Amazon.com, en 6.20 dólares. ¿Por qué las opciones se valuaban de manera tan diferente cuando los precios de las acciones subyacentes, los precios de ejercicio y las fechas de vencimiento eran en esencia iguales? Una razón de mucho peso es que la volatilidad de las acciones subyacentes es un determinante decisivo del valor intrínseco de una opción; en realidad, estas tres acciones tenían volatilidades muy distintas. En este capítulo se examina esta cuestión —y muchas otras— con mayor profundidad usando el modelo Black-Scholes de valuación de opciones, que fue galardonado con el Premio Nobel.

OPCIONES

Una opción es un contrato que otorga a su propietario el derecho de comprar o vender algún activo a un precio fijo en una fecha determinada, o antes de ella. Por ejemplo, una opción sobre un edificio podría dar a su tenedor el derecho de comprar el edificio en 1 millón de dólares en cualquier momento, durante o antes del sábado anterior al tercer miércoles de enero de 2010.

Las opciones son un tipo de contrato financiero único porque dan al comprador el derecho, mas no la obligación, de hacer algo. El comprador usa la opción sólo si le resulta ventajoso hacerlo; de lo contrario, puede desecharla.

Existe un vocabulario especial relacionado con las opciones. En seguida presentamos algunas definiciones importantes:

1. Ejercicio de la opción. Es el acto de comprar o vender el activo subyacente mediante el contrato de opción.

2. Precio de ejercicio o pactado. Es el precio fijo que se especifica en el contrato de la opción al que el tenedor puede comprar o vender el activo subyacente.

3. Fecha de vencimiento. Es la fecha de caducidad de la opción; después de ella se dice que la opción expiró.

4. Opciones americana y europea. Una opción americana se puede ejercer en cualquier momento hasta la fecha de vencimiento. Una opción europea difiere de una americana en que se puede ejercer únicamente en la fecha de vencimiento.

OPCIONES CALL O DE COMPRA

La opción call o de compra es el tipo más común. Una opción de compra otorga al propietario el derecho de adquirir un activo a un precio fijo durante un periodo determinado. No hay ninguna restricción respecto al tipo de activo, pero los más comunes que se negocian en las bolsas de valores son acciones y bonos. Por ejemplo, las opciones de compra de las acciones de IBM se pueden comprar en la Bolsa de Opciones de Chicago. IBM no emite (es decir, no vende) las opciones de compra de sus acciones comunes. En cambio, los inversionistas particulares son los compradores y vendedores originales de las opciones de compra de las acciones comunes de IBM. Suponga que hoy es 1 de abril. Una opción de compra representativa de las acciones de IBM permite al inversionista comprar 100 acciones de esta corporación en o antes del 19 de septiembre (las opciones vencen el sábado siguiente al tercer viernes del mes) a un precio de ejercicio de 100 dólares. Se trata de una opción valiosa si hay alguna probabilidad de que el precio de las acciones comunes de IBM supere los 100 dólares en o antes del 19 de septiembre.

Valor de una opción de compra al vencimiento

¿Cuál es el valor de un contrato de opción de compra de acciones comunes al vencimiento?

La respuesta depende del valor de la acción subyacente al vencimiento.

Se ahondará en el ejemplo de IBM. Suponga que el precio de la acción es de 130 dólares al vencimiento. El adquirente de la opción de compra tiene el derecho de obtener la acción subyacente al precio de ejercicio de 100 dólares. En otras palabras, tiene el derecho de ejercer la opción. Como es lógico, tener derecho a comprar algo en 100 dólares cuando vale 130 es algo beneficioso. El valor de este derecho es de 30 dólares (= $130 - $100) el día del vencimiento.

La opción valdría aún más si el precio de la acción fuera más alto el día del vencimiento. Por ejemplo, si IBM vendiera sus acciones en 150 dólares en la fecha de vencimiento, la opción valdría 50 dólares (= $150 - $100) en ese momento. De hecho, el valor de la opción aumenta 1 dólar por cada incremento de 1 dólar en el precio de la acción.

Si éste es superior al precio de ejercicio, decimos que la opción está dentro del dinero. Por supuesto, también es posible que el valor de acción común resulte ser inferior al precio de ejercicio, en cuyo caso se dice que la opción está fuera del dinero. En este caso, el tenedor no la ejercerá. Por ejemplo, si el precio de la acción en la fecha de vencimiento es de 90 dólares, ningún inversionista sensato la ejercería. ¿Por qué pagar 100 dólares por una acción que sólo vale 90? Debido a que el tenedor de la opción no tiene la obligación de ejercerla, puede abandonar la opción. En consecuencia, si el precio de la acción de IBM es inferior a 100 dólares en la fecha de vencimiento, el valor de la opción de compra será de 0 dólares. En este caso, el valor de la opción de compra no es la diferencia entre el precio de la acción de IBM y 100 dólares, como sería el caso si el tenedor de la opción de compra tuviera la obligación de ejercerla. He aquí el pago de la opción de compra al vencimiento:

Ilustración 1

En la Ilustración 1 se grafica el valor de la opción al vencimiento contra el valor de la acción de IBM. Esto se conoce como diagrama de bastón de hockey de los valores de las opciones de compra. Si el precio de la acción es menor que 100 dólares, la opción está fuera del dinero y no vale nada. Si el precio de la acción es mayor que 100 dólares, la opción está dentro del dinero y su valor aumenta uno a uno con los incrementos en el precio de la acción. Observe que la opción no puede tener valor negativo. Es un instrumento de responsabilidad limitada, lo cual significa que todo lo que el tenedor puede perder es la cantidad inicial que pagó por ella.

Ejemplo1

Pagos de la opción de compra Suponga que el señor Optimista tiene una opción de compra a un año de las acciones comunes de TIX. Se trata de una opción de compra europea y se puede ejercer en 150 dólares. También suponga que ha llegado la fecha de vencimiento. ¿Cuál es el valor de la opción de compra de TIX en la fecha de vencimiento? Si la acción de TIX se vende en 200 dólares, el señor Optimista puede ejercer la opción; es decir, comprar acciones de TIX en 150 dólares, y las vende inmediatamente después en 200 dólares. El señor Optimista habrá ganado 50 dólares (=$200-$150). Por consiguiente, el precio de esta opción de compra debe ser de 50 dólares al vencimiento.

En cambio, suponga que cada acción de TIX se vende en 100 dólares en la fecha de vencimiento. Si el señor Optimista aún conserva la opción de compra, la desechará. En este caso, el valor de la opción de compra de las acciones de TIX en la fecha de vencimiento será de cero.

OPCIONES PUT O DE VENTA

Una opción put o de venta se puede considerar lo contrario de una opción de compra. Así como una opción de compra da al tenedor el derecho de adquirir las acciones a un precio fijo, una opción de venta le da el derecho de vender las acciones a un precio fijo de ejercicio.

El valor de una opción de venta al vencimiento

Las circunstancias que determinan el valor de la opción de venta son lo opuesto de la opción de compra porque la primera da al tenedor el derecho de vender las acciones. Supongamos que el precio de ejercicio de la opción de venta es de 50 dólares y el precio de la acción al vencimiento es de 40 dólares. El propietario de esta opción de venta tiene el derecho de vender la acción en más de lo que vale, algo que a todas luces resulta lucrativo. Es decir, puede comprar la acción al precio de mercado de 40 dólares y venderla de inmediato al precio de ejercicio de 50 dólares, generando una utilidad de 10 dólares (= $50-$40). De esta forma, el valor de la opción al vencimiento debe ser de 10 dólares.

La utilidad sería aún mayor si el precio de la acción fuera más bajo. Por ejemplo, si el precio de la acción fuera de sólo 30 dólares, el valor de la opción sería de 20 dólares (=$50-$30). De hecho, por cada dólar que baje el precio de la acción al vencimiento, el valor de la opción de venta aumenta un dólar.

Sin embargo, suponga que la acción al vencimiento se negocia en 60 dólares u otro monto por arriba del precio de ejercicio de 50 dólares. El propietario de la opción de venta no querría ejercerla en este caso. Es una propuesta perdedora vender acciones en 50 dólares cuando en el mercado abierto cuestan 60. En cambio, el propietario abandonará la opción. Es decir, dejará que la opción de venta caduque. El siguiente es el pago de esta opción de venta:

En la Ilustración 2 se grafican los valores de una opción de venta de todos los posibles valores de la acción subyacente. Es aleccionador comparar la figura 22.2 con la figura 22.1 de la opción de compra. Esta última es valiosa cuando el precio de la acción es superior al precio de ejercicio y la opción de venta es valiosa cuando el precio de la acción es inferior al precio de ejercicio.

Ilustración 2

Ejemplo2

Resultados de la opción de venta La señora Pesimista cree que bajará el precio actual de 160 dólares por acción de BMI. Compra una opción de venta. Su contrato le da el derecho de vender una acción de BMI en 150 dólares dentro de un año. Si el precio de BMI es de 200 dólares en la fecha de vencimiento, romperá el contrato de opción de venta porque carecerá por completo de valor. Es decir, la señora Pesimista no venderá sus acciones que valen 200 dólares al precio de ejercicio de 150 dólares.

Por otro lado, si la acción de BMI se vende en 100 dólares en la fecha de vencimiento, la señora Pesimista ejercerá la opción. En este caso, puede comprar una acción de BMI en el mercado por 100 dólares y darse media vuelta y vender la acción al precio de ejercicio de 150 dólares. Su ganancia será de 50 dólares (= $150-$100). El valor de la opción de venta en la fecha de vencimiento será, por lo tanto, de 50 dólares.

VENTA DE OPCIONES

Un inversionista que vende (o emite) una opción de compra de acciones comunes tiene que entregarlas si así se lo exige el tenedor de la opción de compra. Observe que el vendedor está obligado a hacerlo.

Si en la fecha de vencimiento el precio de la acción común es mayor que el precio de ejercicio, el tenedor ejercerá la opción y el vendedor tendrá que darle a éste acciones al precio de ejercicio pactado. El vendedor pierde la diferencia entre el precio de la acción y el precio de ejercicio. Por ejemplo, suponga que el precio de la acción es de 60 dólares y el precio de ejercicio es de 50. A sabiendas de que el ejercicio es inminente, el vendedor de la opción compra acciones en el mercado abierto a 60 dólares. Como está obligado a vender en 50 dólares, pierde 10 dólares (=$50-$60). A la inversa, si en la fecha de vencimiento el precio de la acción común es inferior al precio de ejercicio, la opción de compra no se ejercerá y la responsabilidad del vendedor es cero.

¿Por qué el vendedor de la opción de compra se coloca en una posición tan precaria? Después de todo, el vendedor pierde dinero si el precio de la acción acaba siendo mayor que el precio de ejercicio, y simplemente evita perder dinero si el precio de la acción termina por debajo del precio de ejercicio. La respuesta es que al vendedor le pagan por correr ese riesgo. El día que tiene lugar la transacción de la opción, el vendedor recibe el precio que el comprador paga.

Analicemos la situación del vendedor de opciones de venta. Un inversionista que emite una opción de venta de acciones comunes se compromete a comprar dichas acciones si el tenedor de la opción de venta así lo solicita. El emisor pierde en este negocio si el precio de la acción cae por debajo del precio de ejercicio. Por ejemplo, suponga que el precio de la acción es de 40 dólares y el de ejercicio es de 50. En este caso, el tenedor de la opción de venta la ejercerá. En otras palabras, venderá la acción subyacente al precio de ejercicio de 50 dólares. Esto significa que el emisor de la opción de venta tiene que adquirir la acción subyacente al precio de ejercicio de 50 dólares. Debido a que la acción vale sólo 40 dólares, la pérdida es de 10 dólares (=$40-$50).

Los valores de las posiciones “vender una opción de compra” y “vender una opción de venta” se presentan en la ilustración 3. La gráfica a la izquierda de la figura muestra que el emisor de una opción de compra no pierde nada cuando el precio de la acción en la fecha de vencimiento es inferior a 50 dólares. Sin embargo, el emisor pierde un dólar por cada dólar que la acción aumenta por arriba de 50 dólares. La gráfica en el centro de la figura muestra que el emisor de una opción de venta no pierde nada cuando el precio de la acción en la fecha de vencimiento es superior a 50 dólares. No obstante, el emisor pierde un dólar por cada dólar que la acción cae por debajo de 50 dólares.

Vale la pena dedicar algunos minutos a comparar las gráficas de la ilustración 3 con las contenidas en las ilustraciones 1 y 2. La gráfica de vender una opción de compra (a la izquierda de la ilustración 3) es la imagen reflejo de la gráfica de comprar una opción de compra (Ilustración 1).

Ilustración 3

Esto ocurre porque las opciones son un juego de suma cero. El vendedor de una Opción de compra pierde lo que gana el comprador. Del mismo modo, la gráfica de vender una opción de venta (en el centro de la ilustración 3) es la imagen reflejo de la gráfica de comprar una opción de venta (ilustración 2). Una vez más, el emisor de una opción de venta pierde lo que el comprador gana.

La ilustración 3 también muestra el valor al vencimiento de simplemente comprar acciones comunes. Observe que adquirir las acciones es lo mismo que obtener una opción de compra de las acciones con un precio de ejercicio de cero. Esto no es de sorprender. Si el precio de ejercicio es cero, el tenedor de la opción de compra puede captar la acción por nada, lo que en realidad es lo mismo que ser propietario de la acción.

COTIZACIONES DE OPCIONES

Ahora que se han entendido las definiciones de las opciones de compra y venta de acciones, se estudiará cómo se cotizan dichas opciones. En la tabla 22.1 se presenta información sobre las opciones de Intel Corporation con vencimiento en septiembre de 2008; dicha información se obtuvo de finance.yahoo.com. En el momento de estas cotizaciones, las acciones de Intel se vendían en 23.57 dólares cada una.

A la izquierda de la tabla aparecen los precios de ejercicio disponibles. En la parte superior están las cotizaciones de las opciones de compra; las opciones de venta se encuentran en la parte inferior. La segunda columna contiene los símbolos de cotización, que identifican de manera exclusiva la acción subyacente: el tipo de opción, el mes de vencimiento y el precio de ejercicio. En seguida aparecen los precios más recientes de las opciones (“Last”) y el cambio con respecto al día anterior (“Change”). Siguen los precios de compra (“bid”) y venta (“ask”). Observe que los precios de las opciones se cotizan caso por caso, pero la compraventa se realiza en contratos estandarizados, donde cada uno estipula la compra (en el caso de las opciones de compra) o la venta (en el caso de las opciones de venta) de 100 acciones. Por lo tanto, la opción de compra con un precio de ejercicio de 25 dólares se negoció por última vez a .14 dólares por opción, o 14 dólares por contrato. Las últimas dos columnas contienen el volumen (“Vol”), cotización en contratos y el interés abierto (“Open Int”), que es el número de contratos que actualmente se encuentran en circulación.

Tabla 1

COMBINACIONES DE OPCIONES

Las opciones de compra y de venta de acciones son los elementos fundamentales de contratos de opciones más complejos. Por ejemplo, la ilustración 4 muestra el resultado de adquirir una opción de venta de una acción y comprar simultáneamente la acción.

Si el precio de la acción es mayor que el precio de ejercicio, la opción de venta no vale nada y el valor de la posición combinada es igual al valor de la acción común. En cambio, si el precio de ejercicio es mayor que el de la acción, la reducción del valor de las acciones se verá compensado exactamente por el aumento del valor de la opción de venta.

Ilustración 4

Ilustración 5

La estrategia de comprar una opción de venta, así como la acción subyacente, se llama opción de venta protectora. Es como si se comprara un seguro para la acción. La acción siempre se puede vender al precio de ejercicio, sin importar cuánto baje su precio de mercado. Observe que la combinación de comprar una opción de venta y la acción subyacente tiene la misma forma en la ilustración 4 que la adquisición de la opción de compra en la ilustración 1. Para ahondar en este punto consideremos la gráfica de obtener una opción de compra, que se muestra en el extremo izquierdo de la ilustración 5. Esta gráfica es la misma que la que se muestra en la ilustración 1, salvo que el precio de ejercicio es de 50 dólares en este caso. Pongamos a prueba la estrategia de:

(Parte A) Comprar una opción de compra.

(Parte B) Adquirir un bono cupón cero, libre de riesgo (es decir, un certificado del Tesoro) con valor nominal de 50 dólares que vence el mismo día que la opción

Hemos trazado la gráfica de la parte A de esta estrategia en el extremo izquierdo de la ilustración 5, pero, ¿qué aspecto tiene la gráfica de la parte B? Se parece a la gráfica central de la ilustración. Es decir, cualquiera que compre este bono cupón cero tendrá la garantía de que recibirá 50 dólares, al margen del precio de la acción al vencimiento.

¿Qué aspecto tiene la gráfica de comprar simultáneamente tanto la parte A como la parte B de esta estrategia? Se ve como la gráfica del extremo derecho de la ilustración 5. Es decir, el inversionista recibe 50 dólares garantizados del bono, sin importar lo que pase con la acción. Además, el inversionista gana un dólar por cada dólar que el precio de la acción aumente por arriba del precio de ejercicio de 50 dólares.

La gráfica del extremo derecho de la ilustración 5 se ve exactamente igual que la del extremo derecho de la ilustración 4. Por lo tanto, un inversionista obtiene el mismo beneficio de las estrategias de las ilustraciones 4 y 5, sin importar lo que pase con el precio de la acción subyacente. En otras palabras, el inversionista recibe el mismo beneficio de:

1. Comprar una opción de venta, así como la acción subyacente.

2. Adquirir una opción de compra y un bono cupón cero, libre de riesgo.

Si los inversionistas obtienen los mismos beneficios de las dos estrategias, éstas deben tener el mismo costo. De lo contrario, todos los inversionistas elegirán la estrategia con el menor costo y evitarán la estrategia más cara. Esto produce el siguiente resultado interesante:

Esta relación se conoce como paridad put-call y es una de las relaciones fundamentales en lo que se refiere a las opciones. Indica que hay dos formas de obtener una opción de venta protectora. Usted puede adquirir una opción de venta y la acción subyacente al mismo tiempo. En este caso, su costo total es el precio de la acción subyacente más el precio de la opción de venta. O puede adquirir la opción de compra y un bono cupón cero. En este caso, su costo total es el precio de la opción de compra más el precio del bono cupón cero. El precio del bono cupón cero es igual al valor presente del precio de ejercicio; esto es, el valor presente de 50 dólares en nuestro ejemplo.

La ecuación (1) es una relación muy precisa. Sólo es válida si tanto la opción de compra como la de venta tienen el mismo precio de ejercicio y la misma fecha de vencimiento. Además, la fecha de vencimiento del bono cupón cero debe ser la misma que la fecha de vencimiento de las opciones.

Para entender la trascendencia de la paridad put-call, reordenemos la fórmula para obtener:

Esta relación indica que se puede replicar la compra de una acción si se adquiere una opción de compra, se vende una opción de venta y se compra un bono cupón cero. (Observe que debido a que hay un signo de menos antes de “Precio de la opción de venta”, ésta se vende, no se compra.) Se dice que los inversionistas que siguen esta estrategia de tres partes han comprado una acción sintética.

A continuación analizamos una transformación más:

Estrategia de compra cubierta

A muchos inversionistas les gusta comprar una acción y suscribir la opción de compra de la acción de manera simultánea. Ésta es una estrategia conservadora que se conoce como vender una opción de compra cubierta. La relación precedente de la paridad put-call indica que esta estrategia es equivalente a vender una opción de venta y comprar un bono cupón cero. En la ilustración 6 se presenta la gráfica de la opción de compra cubierta. Para comprobar que la compra cubierta se puede replicar, se vende una opción de venta y simultáneamente se compra un bono cupón cero.

Ilustración 6

Por supuesto, hay otras formas de reordenar esta relación básica entre las opciones de venta y compra. Por cada reordenamiento, la estrategia del lado izquierdo es equivalente a la estrategia del lado derecho. Lo mejor de la paridad put-call es que muestra cómo cualquier estrategia con opciones se puede lograr de dos maneras.

Para poner a prueba su comprensión de la paridad entre las opciones de venta y compra, suponga que las acciones de Joseph-Belmont, Inc., se venden en 80 dólares. Una opción de compra a tres meses con precio de ejercicio de 85 dólares se vende en 6 dólares. La tasa libre de riesgo es de .5% mensual. ¿Cuál es el valor de una opción de venta a tres meses con precio de ejercicio de 85 dólares?

Podemos reordenar la relación de paridad put-call para obtener el precio de la opción de venta como sigue:

= + +

1,0054 = - $80 + $6 + $85/

Como se muestra, el valor de la opción de venta es de 9.74 dólares.

Precio de la acción

-Precio de la opción de compra

Precio de la opción de

Valor presente del precio de ejercicio

Ejemplo 3

Un certificado del Tesoro sintético Suponga que las acciones de Smolira Corp., se venden en 110 dólares. Una opción de compra de acciones de Smolira con vencimiento a un año y precio de ejercicio de 110 dólares se vende en 15 dólares. Una opción de venta con las mismas condiciones se vende en 5 dólares. ¿Cuál es la tasa libre de riesgo?

Para responder, necesitamos usar la paridad put-call para determinar el precio de un bono cupón cero, libre de riesgo:

+ - =

Se sustituyen los números y se obtiene:

$110 + $5 - $15 = $100

Debido a que el valor presente del precio de ejercicio de 110 dólares es de 100 dólares, la tasa implícita libre de riesgo es de 10%.

VALUACION DE OPCIONES

En la última sección determinamos cuánto valen las opciones en la fecha de vencimiento. Ahora deseamos estipular el valor de las opciones cuando se compran antes de su vencimiento. Comenzamos por considerar los límites superior e inferior del valor de una opción de compra.

Límites del valor de una opción de compra

Límite inferior Considere una opción de compra americana que está dentro del dinero antes del vencimiento. Por ejemplo, suponga que el precio de la acción es de 60 dólares y el de ejercicio es de 50 dólares. En este caso, la opción no se puede vender por menos de 10 dólares.

Para entender este ejemplo, observe la siguiente estrategia sencilla si la opción se vende, por ejemplo, en 9 dólares.

Precio de la acción

Precio de la opción de compra

Precio de la opción de

Valor presente del precio de ejercicio

El tipo de ganancia que se describe en esta transacción es de arbitraje. Las ganancias de arbitraje proceden de transacciones que no tienen riesgos ni costos y no pueden ocurrir de manera ordinaria en mercados financieros normales que funcionan eficientemente. El exceso de demanda de estas opciones no tardaría en incrementar el precio de la opción hasta por lo menos 10 dólares (= $60 - $50).

Por supuesto, es probable que el precio de la opción sea superior a 10 dólares. Los inversionistas, con justificada razón, pagan más de 10 dólares a causa de la posibilidad de que el precio de la acción supere los 60 dólares antes del vencimiento. Por ejemplo, suponga que la opción de compra se vende en 12 dólares. En este caso, se dice que el valor intrínseco de la opción es de 10 dólares, lo cual significa que siempre debe valer por lo menos esta cantidad.

El resto, 12 dólares - 10 dólares = 2 dólares, en ocasiones se denomina prima por el tiempo y representa la cantidad adicional que los inversionistas están dispuestos a pagar por la posibilidad de que el precio de la acción suba antes del vencimiento de la opción.

Límite superior ¿Hay también algún límite superior del precio de la opción? Resulta que el límite superior es el precio de la acción subyacente. Es decir, una opción para comprar acciones comunes no puede tener un valor mayor que la propia acción común. Una opción de compra puede usarse para adquirir acciones comunes mediante el pago del precio de ejercicio. Sería insensato comprar acciones de esta forma si éstas pudieran comprarse directamente a un precio más bajo. Los límites superior e inferior se representan en la ilustración 7.

Ilustración 7

Factores que determinan los valores de las opciones de compra

El análisis anterior indicó que el precio de una opción de compra debe situarse en algún punto dentro de la región sombreada de la ilustración 7. Ahora determinaremos con más precisión este punto dentro de dicha región. Los factores que determinan el valor de una opción de compra pueden dividirse en dos grupos. El primero contiene las características del contrato de la opción. Las dos características contractuales básicas son el precio de ejercicio y la fecha de vencimiento. El segundo grupo de factores que afectan el precio de la opción de compra está relacionado con las características de la acción y del mercado.

Precio de ejercicio Un aumento del precio de ejercicio reduce el valor de la opción de compra. Por ejemplo, imagine que hay dos opciones de compra de una acción que se vende en 60 dólares. La primera opción tiene un precio de ejercicio de 50 dólares y la segunda, de 40 dólares. ¿Qué opción de compra preferiría tener? Como es evidente, se quedaría con la opción de compra con un precio de ejercicio de 40 dólares porque está 20 dólares (= $60 - $40) dentro del dinero. En otras palabras, la opción de compra con un precio de ejercicio de 40 dólares debe venderse en más que otra opción idéntica en todo, pero con un precio de ejercicio de 50 dólares.

Fecha de vencimiento El valor de una opción de compra americana debe ser por lo menos igual al de otra opción idéntica en todo, pero con un plazo de vencimiento más corto. Considere dos opciones de compra americanas: una tiene vencimiento a nueve meses y la otra vence dentro de seis meses. Como es lógico, la opción de compra a nueve meses tiene los mismos derechos que la opción de compra a seis meses y, además, ofrece tres meses adicionales en los que se pueden ejercer estos derechos. No puede valer menos y, por lo general, será más valiosa.

Precio de la acción En igualdad de condiciones, cuanto más alto es el precio de la acción, tanto más valiosa será la opción de compra. Por ejemplo, si una acción vale 80 dólares, una opción de compra con precio de ejercicio de 100 dólares no vale demasiado. Si el precio de la acción se dispara a 120 dólares, la opción adquirirá más valor.

Considere ahora la ilustración 8, que muestra la relación entre el precio de la opción de compra y el precio de la acción antes del vencimiento. La curva indica que el precio de la opción de compra aumenta a medida que se eleva el precio de la acción. Además, se puede demostrar que la relación está representada no por una línea recta, sino por una curva convexa. Es decir, el aumento de precio de la opción de compra para un cambio dado en el precio de la acción es mayor cuando éste es alto que cuando es bajo.

Hay dos puntos especiales en la curva de la ilustración 8:

1. La acción carece de valor. La opción de compra carece de valor si la acción subyacente no vale nada. Es decir, si la acción no tiene oportunidad de alcanzar algún valor, no vale la pena pagar el precio de ejercicio para obtenerla.

2. El precio de la acción es muy alto en relación con el precio de ejercicio. En esta situación, el propietario de la opción de compra sabe que terminará por ejercer la opción. Puede considerarse como propietario de la acción desde ahora, salvo por un pequeño detalle: tiene que pagar el precio de ejercicio al vencimiento.

Ilustración 8

Por lo tanto, el valor de su posición, es decir, el valor de la opción de compra es:

Precio de la acción - Valor presente del precio de ejercicio

Estos dos puntos de la curva se resumen en la mitad inferior de la tabla 22.2.

El factor clave: la variabilidad del precio del activo subyacente Cuanto mayor sea la variabilidad del precio del activo subyacente, tanto más valiosa será la opción de compra. Considere el siguiente ejemplo. Suponga que poco antes del vencimiento de la opción de compra, el precio de la acción será ya sea de 100 o de 80 dólares, con probabilidades de .5 respectivamente. ¿Cuál será el valor de una opción de compra con precio de ejercicio de 110 dólares? A todas luces carecerá de valor porque sin importar lo que pase con la acción, su precio siempre será inferior al precio de ejercicio.

Tabla 2

Ilustración 9

¿Qué sucede si el precio de la acción es más variable? Suponga que agregamos 20 dólares al mejor caso y quitamos 20 dólares del peor caso. Ahora la acción tiene media probabilidad de valer 60 dólares y media probabilidad de valer 120 dólares. Se han esparcido los rendimientos de la acción, pero, por supuesto, el valor esperado de la acción sigue igual:

(1/2x $80) + (1/2x $100)= $90 = (1/2x $60) + (1/2x $120)

Observe que la opción de compra tiene valor ahora porque hay probabilidad de un medio de que el precio de la acción llegue a ser de 120 dólares, o 10 dólares por arriba del precio de ejercicio de 110 dólares. Este punto ilustra un aspecto importante. Hay una diferencia fundamental entre tener una opción sobre un activo subyacente y tener el activo subyacente. Si los inversionistas en el mercado se muestran renuentes a correr riesgos, un aumento en la variabilidad de la acción reducirá su valor de mercado. Sin embargo, el tenedor de una opción de compra recibe beneficios de la estela positiva de la distribución de probabilidades. Como consecuencia, un incremento en la variabilidad de la acción subyacente acrecienta el valor de mercado de la opción de compra.

Este resultado también puede observarse en la figura 22.9. Considere dos acciones, A y B, las cuales tienen distribución normal. Por cada título, la figura ilustra la probabilidad de diferentes precios de la acción en la fecha de vencimiento. Como puede verse en las figuras, la acción B tiene más volatilidad que la acción A. Esto significa que la acción B tiene una probabilidad más alta de tener tanto rendimientos anormalmente altos como rendimientos anormalmente bajos. Suponga que las opciones sobre cada uno de los títulos tienen el mismo precio de ejercicio. Para los tenedores de las opciones, un rendimiento muy por debajo del promedio de la acción B no es peor que un rendimiento moderadamente por debajo del promedio de la acción A. En cualquiera de las dos situaciones, la opción vence fuera del dinero. No obstante, para los tenedores de las opciones, un rendimiento muy por encima del promedio de la acción B es mejor que un rendimiento moderadamente superior al promedio de la acción A. Debido a que el precio de la opción de compra en la fecha de vencimiento es la diferencia entre el precio de la acción y el precio de ejercicio, el valor de la opción de compra de B al vencimiento será mayor en este caso.

La tasa de interés Los precios de las opciones de compra también son una función del nivel de las tasas de interés. Quienes adquieren las opciones de compra no pagan el precio de ejercicio sino hasta que ejercen la opción, si es que lo hacen. La posibilidad de retrasar el pago es más valiosa cuando las tasas de interés son altas y menos valiosas cuando las tasas de interés son bajas. Por lo tanto, el valor de una opción de compra está relacionado positivamente con las tasas de interés.

Breve análisis sobre los factores que determinan los valores de las opciones de ventas

Dado nuestro extenso análisis de los factores que influyen en el valor de una opción de compra, podemos examinar el efecto de estos factores sobre las opciones de venta con mucha facilidad. La tabla 2 resume los cinco factores que influyen en los precios de las opciones de compra y de venta americanas.

El efecto de tres factores sobre las opciones de venta es lo contrario del efecto de estos tres factores sobre las opciones de compra:

1. El valor de mercado de la opción de venta disminuye a medida que el precio de la acción aumenta porque las opciones de venta están dentro del dinero cuando la acción se vende por debajo del precio de ejercicio.

2. El valor de una opción de venta con un precio de ejercicio alto es mayor que el valor de una opción de venta idéntica en todo, pero con un precio de ejercicio bajo por la razón explicada en 1).

3. Una tasa de interés alta afecta adversamente el valor de una opción de venta. La posibilidad de vender una acción a un precio de ejercicio fijo en algún momento en el futuro vale menos si el valor presente del precio de ejercicio se reduce debido a una tasa de interés alta.

El efecto de los otros dos factores sobre las opciones de venta es igual que el efecto de estos factores sobre las opciones de compra:

4. El valor de una opción de venta americana con una fecha de vencimiento distante es mayor que el de otra opción de venta idéntica, pero con vencimiento más próximo. Disponer de más tiempo hasta el vencimiento le da al tenedor de la opción de venta más flexibilidad, igual que en el caso de una opción de compra.

5. La volatilidad de la acción subyacente incrementa el valor de la opción de venta. El razonamiento es análogo al que se sigue para una opción de compra. Al vencimiento, la opción de venta que está bien situada dentro del dinero es más valiosa que una opción de venta que apenas está en el dinero. Sin embargo, al vencimiento, una opción de venta muy fuera del dinero vale cero, lo mismo que una opción de venta ligeramente fuera del dinero.

FORMULA PARA VALUAR LASS OPCIONES

Se ha explicado en términos cualitativos que el valor de una opción de compra es una función de cinco variables:

1. El precio actual del activo subyacente, que en el caso de las opciones de acciones es el precio de una acción común.

2. El precio de ejercicio.3. El tiempo que falta para la fecha de vencimiento.4. La varianza del activo subyacente.5. La tasa de interés libre de riesgo.

Llegó el momento de sustituir el modelo cualitativo por un modelo preciso de valuación de opciones. El que hemos elegido es el famoso modelo de valuación de opciones Black-Scholes. Usted puede introducir números en este modelo y obtener valores como resultado.

El modelo Black-Scholes está representado por una fórmula muy impresionante. Simplemente no es posible hacer una derivación de la fórmula en este libro de texto y muchos estudiantes estarán felices de esto. No obstante, se impone cierta apreciación del logro, así como cierto entendimiento intuitivo.

En los primeros capítulos de este libro mostramos cómo descontar proyectos de presupuesto de capital usando la fórmula del valor presente neto. También utilizamos este procedimiento para valuar acciones y bonos. ¿Por qué, se preguntan a veces los estudiantes, no se puede usar la misma fórmula de VPN para valuar las opciones de venta y de compra? Es una buena pregunta: en los primeros intentos por tasar las opciones se usó el VPN. Por desgracia, los intentos no tuvieron éxito porque nadie podía determinar la tasa de descuento correspondiente. Por lo general, una opción es más riesgosa que la acción subyacente, pero nadie sabía con precisión en qué medida.

Black y Scholes se ocuparon del problema y señalaron que la estrategia de pedir un préstamo para financiar una compra de acciones replicaba el riesgo de una opción de compra. En consecuencia, si se conoce el precio de una acción, se puede determinar el precio de una opción de compra tal que su rendimiento sea idéntico al de la alternativa de comprar la acción con deuda.

Ilustramos la intuición en la que se basa el método Black-Scholes mediante el estudio de un ejemplo sencillo donde la combinación de una opción de compra y una acción elimina todo el riesgo. Este ejemplo funciona porque el precio futuro de la acción sólo puede tener uno de dos valores. Por lo tanto, el ejemplo se llama modelo de dos estados o binomial de valuación de opciones. Cuando se elimina la posibilidad de que el precio de la acción pueda tener otros valores, se puede replicar la opción de compra con exactitud.

Modelo de opción de los estados

Considere el siguiente ejemplo. Suponga que el precio actual de mercado de una acción es de 50 dólares y la acción valdrá 60 o 40 dólares a finales del año. Además, imagine una opción de compra sobre esta acción con fecha de vencimiento a un año y precio de ejercicio de 50 dólares. Los inversionistas pueden conseguir un préstamo a una tasa de 10%. La meta es determinar el valor de la opción de compra.

Para valuar correctamente esta opción de compra es necesario examinar dos estrategias.

La primera consiste tan sólo en comprar la opción de compra. La segunda es:

1. Comprar media acción.2. Pedir 18.18 dólares en préstamo, lo que implica un pago del principal e interés a finales del

año de 20 dólares (= $18.18 x 1.10).Como usted verá en un momento, los flujos de efectivo de la segunda estrategia coinciden con los flujos de efectivo de comprar una opción de compra. (Un poco más adelante demostraremos cómo calculamos la fracción exacta de la acción que se comprará y la cantidad exacta del préstamo.) Debido a que los flujos de efectivo son iguales, se dice que la opción de comprase replica con la segunda estrategia.

Al final del año, los resultados futuros serían los siguientes:

Observe que la estructura de los resultados futuros de la estrategia de “adquirir una opción de compra” se replica en la estrategia de “comprar una acción y pedir un préstamo”. Es decir, en cualquiera de las dos estrategias el inversionista acabaría con 10 dólares, si el precio de la acción subiera y 0 dólares si el precio de la acción bajara. Por lo tanto, estas dos estrategias son equivalentes desde el punto de vista de los negociantes.

Si las dos estrategias siempre tienen los mismos flujos de efectivo a final del año, ¿cómo deben relacionarse sus costos iniciales? Ambas estrategias deben tener el mismo costo inicial.

De lo contrario, habrá una posibilidad de arbitraje. El costo de esta estrategia de comprar una acción y pedir un préstamo se puede calcular con facilidad:

En vista de que la opción de compra ofrece los mismos beneficios al vencimiento que la estrategia de adquirir la acción y pagarla con un préstamo, el precio de la opción de compra debe fijarse en 6.82 dólares. Éste es el valor de la opción de compra en un mercado sin ganancias de arbitraje.

Dejamos dos cuestiones sin explicar en el ejemplo anterior.

Determinación de la delta ¿Cómo se sabe que hay que comprar media acción en la estrategia duplicadora? En realidad, la respuesta es más sencilla de lo que podría parecer a primera vista. El precio de la opción de compra al final del año será de 10 o 0 dólares, mientras que el precio de la acción será de 60 o 40 dólares. Por lo tanto, el precio de la opción de compra tendrá una posible variación de 10 dólares (= $10 - $0) en el siguiente periodo, mientras que el precio de la acción tendrá una posible variación de 20 dólares (= $60 - $40). Esta expresión se puede escribir en términos de la siguiente razón:

Como se indica, esta razón se conoce como la delta de la opción de compra. Expresado en palabras, una variación de 1 dólar en el precio de la acción da lugar a una variación de .50 dólares en el precio de la opción de compra. Como se trata de duplicar la opción de compra con la acción, parece sensato obtener la mitad de una acción en lugar de adquirir una opción de compra. En otras palabras, el riesgo de comprar la mitad de una acción es igual al riesgo de tomar una opción de compra.

Determinación del monto de endeudamiento ¿Cómo sabemos cuánto dinero hay que pedir prestado? La compra de la mitad de una acción reportará 30 o 20 dólares al vencimiento, que es exactamente 20 dólares más que los beneficios de 10 y 0 dólares, respectivamente, de la opción de compra. Para replicar la opción de compra mediante la compra de acciones, también se debe pedir suficiente dinero en préstamo para pagar exactamente

20 dólares de interés y principal. Este monto de endeudamiento es tan sólo el valor presente de 20 dólares, que es 18.18 dólares (= $20/1.10).

Ahora que sabemos cómo determinar tanto la delta como el endeudamiento, podemos escribir el valor de la opción de compra como sigue:

Valor de la opción de compra = Precio de la acción X Delta – Monto del préstamo (22.2)

$6,82 = $50 x ½ - $18,18

Esta idea nos será útil en la explicación del modelo Black-Scholes.

Valor neutral con respecto al riesgo Antes de dejar este sencillo ejemplo, es preciso hacer un comentario sobre una característica extraordinaria. Se obtuvo el valor exacto de la opción sin siquiera conocer las probabilidades de que el precio de la acción subiera o bajara. Si un optimista pensara que la posibilidad de que se produzca un aumento es alta y un pesimista considerara que es baja, de todos modos estarían de acuerdo en el valor de la opción.¿Cómo puede ser posible? La respuesta es que el precio actual de la acción de 50 dólares ya equilibra los puntos de vista optimistas y pesimistas. La opción refleja ese equilibrio porque su valor depende del precio de la acción.

Esta idea nos proporciona otro método para valuar la opción de compra. Si no necesitamos las probabilidades de los dos estados para valuarla, quizá podamos seleccionar cualquier probabilidad que queramos y aun así obtener la respuesta correcta. Suponga que seleccionamos probabilidades tales que el rendimiento de la acción es igual a la tasa libre de riesgo de 10%. Sabemos que el rendimiento de la acción en caso de un incremento es de 20% (=$60/$50-1) y el rendimiento de la acción dado un decremento es de 220% (= $40/$50-1). Así, podemos calcular la probabilidad de un incremento necesario para obtener el rendimiento esperado de 10% como sigue:

10% =Probabilidad de un incremento x 20% 1 (1 - Probabilidad de incremento) x-20%

Al resolver esta fórmula se obtiene que la probabilidad de un incremento es de 3/4 y la probabilidad de un decremento es de 1/4. Si aplicamos estas probabilidades a la opción de compra, podremos valuar como:

Valor de laopcion decompra=

34x $10+ 1

4x $ 0

1,10=$ 6,82

el mismo valor que se obtuvo con el método de duplicación.¿Por qué elegimos probabilidades tales que el rendimiento esperado de la acción es de 10%? Para poder trabajar con el caso especial donde los inversionistas son neutrales con respecto al riesgo. Este caso se presenta cuando el rendimiento esperado de cualquier activo (incluidas la acción y la opción de compra) es igual a la tasa libre de riesgo. En otras palabras, este caso se presenta cuando los inversionistas no exigen retribución adicional más allá de la tasa libre de riesgo, independientemente del riesgo del activo en cuestión. ¿Qué habría pasado si hubiéramos supuesto que el rendimiento esperado de una acción era mayor que la tasa libre de riesgo? El valor de la opción de compra seguiría siendo de 6.82 dólares. Sin embargo, los cálculos serían difíciles. Por ejemplo, si supusiéramos que el rendimiento esperado de la acción fuera, por ejemplo, 11%, tendríamos que derivar el rendimiento esperado de la opción de compra. Aunque este último fuera superior a 11%, se requeriría mucho trabajo para determinar el rendimiento esperado con precisión. ¿Para qué trabajar más de lo necesario? Como no se nos ocurre ninguna buena razón, optamos (como la mayoría de los economistas financieros) por suponer neutralidad con respecto al riesgo.Así, el material anterior nos permite valuar la opción de compra de las siguientes dos maneras:

1. Determinar el costo de una estrategia replicando la opción de compra. Esta estrategia requiere una inversión en un segmento de la acción financiada por endeudamiento parcial.

2. Calcular las probabilidades de un incremento y un decremento bajo el supuesto de neutralidad con respecto al riesgo. Se deben utilizar estas probabilidades, junto con la tasa libre de riesgo, para descontar los beneficios de la opción de compra al vencimiento.

El modelo Black-Scholes

El ejemplo anterior ilustra la estrategia de duplicación. Por desgracia, una estrategia así no funciona en el mundo real durante un periodo de un año, por ejemplo, porque hay muchas más que dos posibilidades para el precio de las acciones el año próximo. Sin embargo, la cantidad de posibilidades se reduce a medida que el periodo se acorta. ¿Hay algún periodo en el que el precio de las acciones sólo puede tener dos resultados? Los académicos sostienen que el supuesto de que sólo hay dos posibilidades para el precio de las acciones en el siguiente instante infinitesimal es bastante posible.En opinión de los autores, la idea fundamental de Black y Scholes es acortar el periodo. Estos investigadores demuestran que una combinación específica de acciones y endeudamiento puede, en efecto, duplicar una opción de compra en un horizonte de tiempo infinitesimal.

Debido a que el precio de la acción cambiará en el primer instante, se necesita otra combinación de acciones y endeudamiento para duplicar la opción de compra en el segundo instante y así sucesivamente. Al ajustar la combinación de un momento a otro se replica continuamente la opción de compra. Puede parecer increíble que una fórmula logre: 1) determinar la combinación de duplicación en todo momento y 2) valuar la opción con base en esta estrategia de duplicación. Baste decir que su estrategia dinámica permite estimar una opción de compra en el mundo real, tal como se mostró cómo valorar la opción de compra en el modelo de dos estados. Ésta es la intuición básica en que se basa el modelo Black-Scholes (BS). En virtud de que el desarrollo de la fórmula está, por desgracia, muy lejos del alcance de este texto, simplemente presentamos la fórmula en sí:

C=SN (d1 )−Ee−Rt N (d2)

Donde

d1=[ ln (S /E )+(R+σ2/2 ) t ] /√σ 2t

d2=d1−√σ2 t

Esta fórmula para calcular el valor de una opción de compra, C, es una de las más complejas que existen en finanzas. Sin embargo, supone sólo cinco parámetros:

S = Precio actual de la acción. E = Precio de ejercicio de la opción de compra. R = Tasa de rendimiento anual, libre de riesgo, compuesta continuamente. σ 2=¿Variación (por año) del rendimiento jcontinúo de la acción. t = Tiempo (en años) que falta para la fecha de vencimiento.

Además, existe este concepto estadístico:

N(d ) = Probabilidad de que una variable aleatoria estandarizada, distribuida normalmente, sea menor o igual que d.

En lugar de analizar la fórmula en su estado algebraico, se ilustrará con un ejemplo.

Ejemplo4

Black-Scholes Considere el caso de Private Equipment Company (PEC). El 4 de octubre del año 0, la opción de compra de acciones de PEC para abril con un precio de ejercicio de 49 dólares tenía un valor al cierre de 4 dólares. La acción se vendía en 50 dólares. El 4 de octubre faltaban 199 días para el vencimiento de la opción (fecha de vencimiento = 21 de abril, año 1). La tasa de interés anual libre de riesgo, compuesta continuamente, era de 7%.

Esta información determina tres variables en forma directa:

1. El precio de la acción, S, es de 50 dólares.

2. El precio de ejercicio, E, es de 49 dólares.

3. La tasa libre de riesgo, R, es .07.

Además, el tiempo que falta para el vencimiento, t, se puede calcular con rapidez. La fórmula exige que t se exprese en años.

4. Expresamos el intervalo de 199 días en años como t = 199/365.

En el mundo real, un operador de opciones conocería con exactitud el valor de S y E. Los operadores consideran, en general, que los certificados del Tesoro no tienen riesgo, por lo que se puede obtener una cotización actual de su tasa de interés en The Wall Street Journal o en una fuente similar. El operador

también sabría (o podría contar) con exactitud el número de días que faltan para el vencimiento. Por lo tanto, la fracción de un año hasta el vencimiento, t, se puede calcular muy rápidamente.

El problema reside en determinar la varianza del rendimiento de la acción. La fórmula exige establecer la varianza entre la fecha de compra del 4 de octubre y la fecha de vencimiento. Por desgracia, determinarla representa el futuro, por lo que el valor correcto de la varianza no está disponible. En cambio, los operadores calculan con frecuencia la varianza a partir de datos pasados, tal como la calculamos en un capítulo anterior. Además, es posible que algunos operadores usen la intuición para ajustar su estimación. Por ejemplo, si se prevé que un suceso próximo podría incrementar la volatilidad de la acción, el operador ajustaría su estimación hacia arriba para reflejar este hecho. (Este problema fue muy grave inmediatamente después del colapso de la bolsa el 19 de octubre de 1987. En el periodo subsiguiente, el mercado bursátil entrañaba mucho riesgo, por lo que las estimaciones basadas en datos de antes de la crisis resultaron demasiado bajas.)

La explicación anterior se limita a mencionar las dificultades para estimar la varianza y no presenta una solución. Para los propósitos de este libro se supondrá que un operador ha planteado una estimación de la varianza:

5. Se ha estimado que la varianza de Private Equipment Co., es de .09 al año.

Utilizamos estos cinco parámetros para calcular el valor de la opción de PEC, según el modelo Black- Scholes, en tres pasos:

Paso 1: Calcular d1y d2. Estos valores se pueden determinar mediante la inserción directa, aunque un tanto tediosa, de los parámetros en la fórmula básica. Se tiene que

Paso 2: Calcular N(d1) y N(d2). Podemos entender mejor los valores N(d1) y N(d2) si examinamos la figura 22.10, donde se muestra la distribución normal con un valor esperado de 0 y una desviación estándar de1. Con frecuencia, esto se conoce a menudo como distribución normal estandarizada. En un capítulo anterior se mencionó que la probabilidad de que una muestra extraída de esta distribución se ubique entre 21 y 11 (en otras palabras, dentro de una desviación estándar de su media) es de 68.26%. Ahora planteamos una pregunta diferente: ¿qué probabilidades hay de que una muestra de la distribución normal estandarizada se ubique por debajo de un valor en particular? Por ejemplo, la probabilidad de

que una muestra se ubique por debajo de 0 es, como resulta evidente, de 50% porque la distribución normal

Ilustración 100

estrica. En términos estadísticos se dice que la probabilidad acumulada de 0 es de 50%. Los especialistas en estadística también dicen que N(0) 5 50%. Resulta que:

N (d1)= N(.3742)= .6459

N (d2)= N(.1527)= .5607

El primer valor significa que hay 64.59% de probabilidades de que una muestra de la distribución normal estandarizada se ubique por debajo de .3742. El segundo implica que hay 56.07% de probabilidades de que una muestra de la distribución normal estandarizada se ubique por debajo de .1527. En términos más generales, N(d) es la probabilidad de que una muestra de la distribución normal estandarizada se ubique por debajo de d. En otras palabras, N(d) es la probabilidad acumulada de d. Observe que d1 y d2 en este ejemplo son ligeramente superiores a cero, por lo que N(d1) y N(d2) son un poco mayores que .50.

Quizá la forma más fácil de determinar N(d1) y N(d2) es utilizar la función NORMSDIST de EXCEL. En nuestro ejemplo, NORMSDIST (.3742) y NORMSDIST (.1527) son .6459 y .5607, respectivamente.

También podemos determinar la probabilidad acumulada con la tabla 22.3. Por ejemplo, considere d = .37. Este valor se encuentra en la tabla como .3 en la vertical y .07 en la horizontal. En la tabla, el valor

de d = .37 es .1443. Este valor no es la probabilidad acumulada de .37. Primero, es preciso hacer un ajuste para determinar la probabilidad acumulada. Esto es:

N(.37)=.50+.1443= .6443N(-.37)=.50- .1443= .3557

Por desgracia, la tabla sólo maneja dos dígitos significativos, mientras que el valor .3742 tiene cuatrodígitos significativos. En consecuencia, es necesario interpolar para obtener N(.3742). Como N(.37) = .6443 y N(.38)= .6480, la diferencia entre los dos valores es de .0037 (= .6480 - .6443). Debido a que .3742 representa 42 % del total entre .37 y .38, se interpola como:

N(.3742)= .6443 + .42 x .0037 = .6459

Paso 3: Calcular C. Se tiene

C= SX [N (d1 ) ]−Ee−Rt x [N (d2 ) ] ¿ $50 x [N (d1 ) ]−$ 49 x [e−.07 x( 199365 )]x N (d2 )

=( $50 x .6459) – ($ 49 x .9626 x .5607) = $ 32,295 - $26,447 = $ 5,85

El precio estimado de 5.85 dólares es mayor que el precio real de 4 dólares, lo cual implica que la opción de compra está subvaluada. Un operador que crea en el modelo Black-Scholes adquiriría una opción de compra. Por supuesto, el modelo es falible. Tal vez la disparidad entre la estimación del modelo y el precio del mercado refleja un error en la estimación de la varianza por parte del operador.

En el ejemplo anterior se hizo hincapié en los cálculos que se requieren para usar la fórmula Black-Scholes. ¿Hay alguna intuición detrás de la fórmula? Sí, y dicha intuición se desprende de la estrategia de compra de acciones y endeudamiento en el ejemplo binomial anterior. La primera línea de la ecuación Black-Scholes es:

C=S x N (d1 )−Ee−Rt x [N (d2 ) ]

que es exactamente análoga a la ecuación.2:

Valor de la opción de compra 5 Precio de la acción 3 Delta 2 Monto del préstamo (2) Presentamos esta ecuación en el ejemplo binomial. Resulta que N(d1) es la delta en el modelo Black-Scholes. Por su parte, N(d1) es .6459 en el ejemplo anterior. Además,Ee

−Rt x [N (d2) ] es la cantidad que un inversionista debe pedir en préstamo para duplicar una opción de compra. En el ejemplo anterior, este valor es 26.45 dólares (= $49 x .9626 x .5607). Por lo tanto, elmodelo indica que se puede duplicar la opción de compra del ejemplo anterior por medio delo siguiente:

1. Comprar .6459 de acción.2. Endeudarse con 26.45 dólares.

No es exagerado decir que la fórmula Black-Scholes se cuenta entre las aportaciones más importantes a la ciencia de las finanzas. Permite a cualquiera calcular el valor de una opción dados unos cuantos parámetros. El atractivo de la fórmula es que cuatro de los parámetros son observables: el precio actual de la acción, S; el precio de ejercicio, E; la tasa de interés, R, y el tiempo que falta para la fecha de vencimiento, t. Sólo es necesario estimar uno de los parámetros: la varianza del rendimiento, σ 2

Para entender el verdadero atractivo de esta fórmula, observe los parámetros que no son necesarios. Primero, la aversión al riesgo por parte del inversionista no afecta el valor. Cualquiera puede usar la fórmula, independientemente de la disposición a tolerar el riesgo. Segundo, no depende del rendimiento esperado de la acción. Los inversionistas que tienen diferentes evaluaciones del rendimiento esperado de la acción coincidirán, no obstante, en el precio de la opción de compra. Como en el ejemplo de los dos

estados, esto se debe a que la opción de compra depende del precio de la acción y a que el precio equilibra los puntos de vista divergentes de los inversionistas.

ACCIONES Y BONOS COMO OPCIONES

En el material anterior de este capítulo se describieron, explicaron y valuaron las opciones que se negocian en forma pública. Este material es importante para cualquier estudiante de finanzas porque se realizan muchas transacciones con estas opciones en la bolsa. El estudio de las opciones tiene otro propósito para el estudiante de finanzas corporativas.

Quizás usted haya oído la ingeniosa frase acerca de un anciano caballero a quien le sorprendió enterarse de que había hablado en prosa toda su vida. Lo mismo puede decirse sobre el estudiante de finanzas corporativas y las opciones. Aunque las opciones se definieron de manera formal por primera vez en este capítulo, muchas políticas corporativas que se analizaron antes en el texto son, en realidad, opciones disfrazadas. Aunque remodelar todo lo relativo a las finanzas corporativas en términos de las opciones rebasa el alcance de este capítulo, en lo que resta de él se considerarán tres ejemplos de opciones implícitas:

1. Acciones y bonos como opciones.2. Decisiones sobre la estructura de capital como opciones.3. Decisiones sobre el presupuesto de capital como opciones.

Para empezar, explicaremos las opciones implícitas en las acciones y los bonos.

Ejemplo5

Acciones y bonos como opciones A Popov Company se le ha otorgado la concesión de los Juegos Olímpicos del año próximo en la Antártida. Debido a que los directores de la empresa viven en la Antártida y porque no hay otros negocios en concesión en ese continente, la compañía se disolverá después de los juegos. Ésta ha emitido instrumentos de deuda para ayudarse a financiar esta misión. El interés y el principal que deberán pagarse sobre la deuda el año próximo ascienden a 800 dólares y en ese momento la deuda quedará saldada en su totalidad. Los pronósticos de los flujos de efectivo de la firma para el año próximo son los siguientes:

Como puede apreciarse, los directivos proyectan cuatro situaciones igualmente probables. Si cualquiera de las primeras dos situaciones se presenta, los tenedores de bonos recibirán el pago total que les corresponde. El flujo de efectivo adicional será para los accionistas. No obstante, si cualquiera de las últimas dos situaciones se presenta, los tenedores de bonos no recibirán el pago total que les corresponde. En cambio, recibirán la totalidad del flujo de efectivo de la compañía y los accionistas se quedarán sin nada.

Este ejemplo se parece a los ejemplos de quiebra que se presentaron en los capítulos sobre estructura de capital. La idea nueva que se introduce aquí es que la relación entre las acciones comunes y la empresa puede expresarse en términos de opciones. Primero se considerarán las opciones de compra porque la intuición es más fácil. Después se trata el escenario de la opción de venta.

La empresa expresada en términos de opciones de compra

Los accionistas Ahora mostraremos que las acciones se pueden ver como una opción de compra sobre la compañía. Para ilustrarlo, en la figura11 se presenta la gráfica del flujo de efectivo para los accionistas como función de los flujos de efectivo de la empresa. Los accionistas no reciben nada si los flujos de efectivo de la firma son inferiores a 800 dólares; en este caso, todos los flujos de efectivo van hacia los tenedores de bonos. Sin embargo, los accionistas ganan un dólar por cada dólar que la empresa recibe después de 800 dólares. La gráfica se ve exactamente como las gráficas de las opciones de compra que se consideraron antes en este capítulo.

Pero, ¿cuál es el activo subyacente del que la acción es una opción de compra? El activo subyacente es la propia empresa. Es decir, podemos considerar que los tenedores de bonos son los propietarios de la compañía. No obstante, los accionistas tienen una opción de compra sobre la firma con un precio de ejercicio de 800 dólares.

Si el flujo de efectivo de la compañía fuera superior a 800 dólares, los accionistas decidirían ejercer la opción. En otras palabras, comprarían la empresa a los tenedores de bonos en 800 dólares. El flujo neto de efectivo es la diferencia entre el flujo de efectivo de la firma y el pago de 800 dólares. Esta diferencia sería de 200 dólares (= $1 000 - $800) si los juegos resultan ser muy exitosos y de 50 dólares (= $850 - $800) si sólo alcanzan un éxito moderado. En caso de que el valor de los flujos de efectivo de la empresa fuera inferior a 800 dólares, los accionistas optarían por no ejercer la opción. En vez de ello abandonarán la compañía, como haría cualquier tenedor de una opción. Los tenedores de bonos recibirían entonces la totalidad del flujo de efectivo de la firma. Esta visión de la empresa es novedosa y, con frecuencia, a los estudiantes les resulta molestaa primera vista. Sin embargo, se les exhorta a seguir considerando a la compañía de esta forma hasta que sea algo completamente natural para ellos.

Los tenedores de bonos ¿Y qué sucede con los tenedores de bonos? Nuestra tabla anterior de flujos de efectivo mostraba que recibirían todo el flujo de efectivo de la empresa si ésta generara menos de 800 dólares. En caso de que ganara más de 800 dólares, los tenedores de

bonos recibirían sólo 800 dólares. Es decir, sólo tienen derecho a recibir el pago del interés y el principal. La gráfica de esta tabla se presenta en la figura 12.De acuerdo con la visión de que los accionistas tienen una opción de compra sobre la empresa, ¿en qué consiste la posición de los tenedores de bonos? Ésta puede describirse mediante dos enunciados:

1. Son los propietarios de la compañía.2. Han emitido una opción de compra sobre la empresa con precio de ejercicio de 800 dólares.

Como ya dijimos, los accionistas abandonarán la firma si los flujos de efectivo son inferiores a 800 dólares. Por lo tanto, los tenedores de bonos conservan la propiedad en este caso. No obstante, si los

flujos de efectivo son superiores a 800 dólares, los accionistas ejercerán la opción. Comprarán las acciones a los tenedores de bonos en 800 dólares.

La empresa expresada e n términos de opciones de venta

El análisis precedente expresa las posiciones de los accionistas y los tenedores de bonos en términos de opciones de compra. Ahora podemos expresar la situación en términos de opciones de venta.

Los accionistas La posición de los accionistas se puede expresar mediante tres enunciados:

1. Son los propietarios de la empresa.

2. Deben 800 dólares en intereses y principal a los tenedores de bonos.

Si la deuda fuera libre de riesgo, estos dos enunciados describirían por completo la situación de los accionistas. Sin embargo, como existe la posibilidad de incumplimiento de pago, agregaremos una tercera aseveración:

3. Los accionistas son dueños de una opción de venta sobre la empresa con precio de ejerciciode 800 dólares. El grupo de tenedores de bonos es el vendedor de la opción.

Ahora considere dos posibilidades.

El flujo de efectivo es inferior a 800 dólares Debido a que, en este caso, la opción de venta está fuera del dinero, los accionistas no la ejercen. Por lo tanto, éstos conservan la propiedad de la empresa, pero pagan 800 dólares a los tenedores de bonos como interés y principal.

Los tenedores de bonos La posición de los tenedores de bonos se puede describir por medio de dos enunciados:

1. A los tenedores de bonos se les deben 800 dólares.

2. Han vendido una opción de venta sobre la empresa a los accionistas con precio de ejercicio de 800 dólares.

El flujo de efectivo es inferior a 800 dólares Como ya se mencionó, en este caso los accionistas ejercerán la opción de venta. Esto significa que los tenedores de bonos están obligados a pagar 800 dólares por la empresa. En vista de que ya se les adeudan 800 dólares, las dos obligaciones se compensan en forma recíproca. Así que en este caso los tenedores de bonos simplemente se quedan con la empresa.

El flujo de efectivo es superior a 800 dólares En este caso, los accionistas no ejercen la opción de venta. Por lo tanto, los tenedores de bonos simplemente reciben los 800 dólares que se les adeuda.

Resulta esclarecedor expresar la posición de los tenedores de bonos de esta forma. Con un bono sin riesgo y sin posibilidad de insolvencia, a los tenedores de bonos se les debe 800 dólares. Por ello, el bono con riesgo se puede expresar en términos de un bono sin riesgo y una opción de venta:

Valor del bono con riesgo= Valor del bono sin insolvencia - Valor de la opción de venta

Es decir, el valor del bono con riesgo es el valor del bono sin riesgo de incumplimiento menos el valor de la opción de los accionistas de vender la compañía en 800 dólares.

Un espacio de acuerdo entre los dos puntos de vista

Hemos argüido que las posiciones de los accionistas y los tenedores de bonos se pueden ver ya sea en términos de opciones de compra o de opciones de venta. Estos dos puntos de vista se resumen en la tabla.4.

Por experiencia, sabemos que, en general, resulta más difícil para los estudiantes pensar en la empresa en términos de opciones de venta que en términos de opciones de compra. Por ello sería útil que hubiera una forma de demostrar que los dos puntos de vista son equivalentes. Por fortuna, existe la paridad put-call. En una sección anterior, en la ecuación 1, se presentó la relación de paridad put-call, que ahora se repite:

+ = + (1)Precio de la acción subyacente

Precio de la opción de venta

Precio de la opción de compra

Valor presente del precio de ejercicio

Con base en los resultados de esta sección, la ecuación 22.1 se puede reescribir así:

= + - (3)

=

Para ir de la ecuación 1 a la 3 se requieren algunos pasos. Primero, en esta sección consideramos que la empresa, no las acciones, es el activo subyacente. (De acuerdo con las convenciones comunes, se habla de valor de la empresa y precio de las acciones.) Segundo, el precio de ejercicio es ahora de 800 dólares, el principal y el interés de la deuda de la empresa. Tomando el valor presente de esta cantidad a la tasa sin riesgo se obtiene el valor del bono sin posibilidad de insolvencia. Tercero, el orden de los términos de la ecuación 1 se reorganiza en la ecuación 3.

Observe que el lado izquierdo de la ecuación 3 es la posición de los accionistas en términos de las opciones de compra, como se muestra en la tabla 4. El lado derecho de la ecuación 3 es la posición de los accionistas en términos de las opciones de venta, como se muestra en la tabla. Por ello, la paridad put-call demuestra que ver la posición de los accionistas en términos de opciones de compra es equivalente a verla en términos de opciones de venta.

A continuación reordenamos los términos de la ecuación 3 para producir lo siguiente:

- = - (4)

=

Valor de la opción de compra sobre la empresa

Valor de la empresa

Valor de la opción de venta sobre la empresa

Valor del bono sin riesgo de incumplimiento

Posicion de los accionistas en términos de opciones de la empresa

Posicion de los accionistas en términos de opciones de venta

Valor de la opción de compra sobre la empresa

Valor de la empresa

Valor de la opción de venta sobre la empresa

Valor del bono sin riesgo de incumplimiento

Posicion de los tenedores de bonos en términos de opciones de compra

Posicion de los tenedores de bonos en términos de opciones de venta

Nota sobre las garantías de prestamos

En el ejemplo de Popov que se presentó antes, los tenedores de bonos corrían el riesgo de incumplimiento. Por supuesto, ellos piden, por lo general, una tasa de interés suficientemente alta que los compense por el riesgo que asumen. Cuando las empresas tienen dificultades financieras, ya no pueden atraer nueva deuda a tasas de interés moderadas. Por consiguiente, con frecuencia tratan de conseguir garantías del gobierno para los préstamos. Este marco de trabajo se puede utilizar para entender estas garantías.

Si la compañía incumple el pago de un préstamo garantizado, el gobierno debe compensar

la diferencia. En otras palabras, la garantía gubernamental convierte un bono riesgoso en

un bono sin riesgo. ¿Cuál es el valor de esta garantía?

Recuerde que con el valor de la opciones:

= +

Este análisis difiere del que hacen los políticos o los portavoces de las compañías. Por lo general, afirman que la garantía no costará nada a los contribuyentes porque permite a la empresa atraer deuda y, por lo tanto, mantener su solvencia. Sin embargo, debe señalarse que aunque la solvencia puede ser una posibilidad sólida, nunca es una certeza. Por ello, cuando se incluye una garantía, la obligación del gobierno tiene un costo en términos del valor presente. Decir que una garantía gubernamental no cuesta nada al gobierno es como decir que una opción de venta sobre las acciones de Microsoft no tiene valor porque es probable que el precio de las acciones aumente.

En realidad, el gobierno de Estados Unidos ha corrido con buena suerte en lo que respecta a las garantías sobre préstamos. Las dos mayores garantías que ofreció fueron para Lockheed Corporation en 1971 y para Chrysler Corporation en 1980. Ambas empresas se quedaron prácticamente sin efectivo y no cumplieron con los pagos de sus préstamos. En estos casos, el gobierno estadounidense acudió al rescate y se comprometió a garantizar nuevos préstamos. De conformidad con las garantías, si Lockheed y Chrysler no hubieran cumplido con los pagos de los nuevos préstamos, los prestamistas habrían obtenido del gobierno de Estados Unidos el valor total de sus derechos. Desde el punto de vista del prestamista, dichos préstamos eran tan libres de riesgo como los bonos del Tesoro. Estas garantías permitieron a Chrysler y Lockheed conseguir préstamos por grandes cantidades de efectivo que les ayudaron a sortear las épocas difíciles. Resultó que, a la postre, ninguna de las dos empresas incurrió en incumplimiento de pago.

Valor del bono sin riesgo de incumplimiento

Valor del bono riesgo de i

Valor de la opción de venta

¿Quién se beneficia de una garantía típica de un préstamo?

1. Si los bonos riesgosos están garantizados, todas las ganancias se acumulan en beneficio de sus tenedores. Los accionistas no ganan nada porque la responsabilidad limitada de las sociedades anónimas exonera a los accionistas de cualquier obligación en caso de quiebra.

2. Si se emite nueva deuda garantizada, los nuevos tenedores de los instrumentos de deuda no ganan. En cambio, en un mercado competitivo deben aceptar una tasa de interés baja a causa del bajo riesgo de la deuda. Los accionistas ganan en este caso porque pueden emitir deuda a una tasa de interés baja. Además, algunas de las ganancias son para los tenedores de bonos anteriores porque el valor de la empresa es mayor de lo que sería en otras circunstancias. Por lo tanto, si los accionistas desean recibir todas las ganancias de las garantías de los préstamos, deben renegociar o retirar los bonos existentes antes de instituir la garantía. Esto fue lo que ocurrió en el caso de Chrysler.