INFORME

EFRAIN JEREZ SEVERICHE

Figuras de Lissajous

Objetivos

Objetivos Generales

Utilizar el modo X-Y del osciloscopio Estudiar las Figuras de Lissajous.

Objetivos Específicos

Medir el modulo del ángulo de fase. Verificar la frecuencia de una señal senoidal por el método de las Figuras

de Lissajous.

Justificación

Realizamos el presente experimento de laboratorio pretendiendo los siguientes puntos:

La intención que tenemos es estudiar las Figuras del Lissajous hacia la aplicación en la electrónica, éstas son utilizadas para la medida de fase de señales sinusoidales. También se emplean las Figuras de Lissajous en la elaboración de logotipos.

Nos permitió estudiar la relación que guardan las Figuras de Lissajous en función de la frecuencia, ya que al realizar variaciones en la misma, se puede observar la formación de distintos bucles en las figuras.

. Marco teórico

Una figura de Lissajous es la representación gráfica en el plano x-y de ecuación paramétricas que tiene la forma: Las figuras de Lissajous pueden obtenerse en un osciloscopio trabajando en el modo X-Y e introduciéndole señales que tengan la forma de la ecuaciones (1) y (2; es decir, se introduce al canal 2 y se traza en el eje horizontal de la pantalla (eje x) y se introduce al canal 1 y se traza en el eje vertical (eje y); entonces, ambos ejes representan voltajes y la combinación de los trazos da una representación de la figura de Lissajous correspondiente

Figura 1 Y la figura de Lissajous es una elipse como la representada en la Figura 1. El modulo del ángulo, que es el ángulo de fase con que la señal esta retrasada respecto de la señal , puede obtenerse mediante: Siendo A y B las dimensiones mostradas en la Figura 1.

Finalmente, en general, las Figuras de Lissajous pueden ser muy complejas y solo son cerradas, o sea, recorren un mismo lugar geométrico, si es un numero racional. La forma de las figuras depende de ese número y de . En la Figura 2 se representan figuras de Lissajous para dos casos particulares. De la forma de las figuras de Lissajous puede determinarse la relación entre las frecuencias y , que está dada por:

Donde m es el número de bucles verticales y n es el número de bucles horizontales de la figura de Lissajous, como se aprecia en la Figura 2. Figura 2 5

Marco conceptual

Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas coordenadas rectangulares son movimientos armónicos simples. Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará. Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrónomo y matemático americano Nathaniel Bowditch en 1815 cuando estudiaba el movimiento del péndulo compuesto. La intención del artículo es enfocar las figuras lissajous hacia la aplicación en la electrónica, las figuras lissajous son muy utilizadas para la medida de fase de señales sinosuidales.

Las “curvas de Lissajous”, se puede utilizar igualmente para averiguar el desfase en grados existente entre dos señales distintas de la misma frecuencia. Hacemos trabajar el osciloscopio con deflexión horizontal exterior (se coloca ext en el osciloscopio), aplicando a sus entradas horizontal y vertical (X/Y) las dos señales que se desean comparar. Mediante esta conexión se formará en la pantalla una “curva de Lissajous” que debidamente interpretada nos dará la diferencia de fase existente entre las dos formas de onda que se comparan. Si las señales tienen la misma fase, la figura resultante será una recta inclinada que sube de izquierda a derecha. El ángulo de inclinación dependerá de la amplitud de las dos señales. Cuando el ángulo de fase entre ambas señales cambie, la figura de Lissajous variará. Las figuras de lissajous son la combinación de dos movimientos armónicos, que dan lugar a interesantes figuras, que por lo general son siméricas. Podemos reproducir estas curvas en el osciloscopio, poniéndolo en posición XY, y aplicando dos señales de distinta o igual frecuencia y desfase. Aplicando dos sinusoides se pueden lograr miles de figuras. En matemáticas, la curva de Lissajous, también conocida como figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica del sistema de ecuaciones paramétricas correspondiente a la superposición de dos movimientos armónicos simples en direcciones perpendiculares:

x=Asin (w ( x ) t+∞ ) , y=Bsin (w ( x ) t+ẞ )

Esta familia de curvas fue investigada por Nathaniel Bowditch en 1815 y después, con mayores detalles, por Jules Antoine Lissajous. Propiedades La apariencia de la figura es muy sensible a la relación , esto es, la relación entre las frecuencias de los movimientos en x e y. Para un valor de 1, la figura es una elipse, con los casos especiales del círculo (A = B, δ = π/2 radianes) y de las rectas (δ = 0) incluidos. Otra de las figuras simples de Lissajous es la parábola (a/b = 2, δ = π/2).

Otros valores de esta relación producen curvas más complicadas, las cuales sólo son cerradas si es un número racional, esto es, si y son conmensurables. Entonces existirán dos números naturales, nx y ny, tales que

y, obviamente, el periodo del movimiento resultante es el valor de T

obtenido utilizando los valores más pequeños que satisfagan la relación (fracción irreducible). La apariencia de estas curvas a menudo sugiere un nudo de tres

dimensiones u otros tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous, proyección en el plano de las figuras de Lissajous.

Uso en logotipos Las figuras de Lissajous son usadas como logotipos. Ejemplos de estos logotipos son el de Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT (a = 8, b = 6, δ = 0). Las curvas de Lissajous pueden ser trazadas mecánicamente por medio de un armonógrafo.

Dice que las curvas de lissajous es un punto que sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide(función del seno). Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor de cual oscilara. En resumen, son la combinación de dos movimientos armónicos simple