1. Julia intercambió los dígitos de un número de 3 cifras de modo que ningún dígito quedo en su posición original. Después restó el número viejo menos el nuevo y el resultado es un número de 2 cifras que es un cuadrado perfecto. Hallar todos los resultados que pudo obtener Julia.

2. ¿Cuál es el mínimo número de casillas que se deben colorear en el tablero de 6 x 6 para que sea imposible recortar de la parte sin pintar un pedazo con la siguiente forma:

3. Sea ABC un triángulo escaleno de área 7. Sea A1 un punto del lado BC y sean B1 y C1 en las rectas AC y AB respectivamente, tales que AA1, BB1 y CC1 son paralelas. Hallar el área del triángulo A1B1C1.

4. La familia Alvarez, la familia Benítez y el matrimonio Cáceres almorzaron en la misma parrilla. Los Alvarez, que comieron 3 bifes, 2 ensaladas y 5 gaseosas, gastaron $53. Los Benítez, que comieron 5 bifes, 3 ensaladas y 9 gaseosas, gastaron $91.¿Cuánto gastaron los Cáceres que comieron, entre los dos, 1 bife, 1 ensalada y 1 gaseosa?

5. A cada dígito 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 le corresponde una letra distinta. Hallar los números ABACDE, CAFDG, CHHBAED si se sabe que son las longitudes de los lados de un triángulo.ACLARACION: Es sabido que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.

6. ¿Se puede dividir dos hexágonos regulares iguales en 6 partes cada uno y formar con los 12 pedazos 3 estrellas iguales (de seis puntas, regulares) sin agujeros ni superposiciones?

1. El desarrollo decimal de 1 / 97 tiene un período muy largo. Hallar las tres últimas cifras del período.

2. Un auto viaja a 60 km/h si va cuesta arriba, a 90 km/h si va cuesta abajo y a 72 km/h en los demás casos. Tarda 5 horas para ir de A a B y 4 horas para volver de Ba A. ¿Qué longitud tiene el camino entre A y B?

3. En un triángulo ABC, C = 45º, Q es el pie de la altura corresponidente al vértice B y M es el punto medio del lado AB.

Sea P en el lado BC tal que PM es perpendicular a QM. Decidir si para

algún valor del ángulo A se verifica que  .

4. Sea ABC un triángulo de área 7. Se construye el triángulo XYZ de la siguiente manera: se prolonga el lado AB de modo que AXS = 2AB, se prolonga el lado BC de modo que BY = 3BC y se prolonga el lado CA de modo que CZ = 4CA. Hallar el área del triángulo XYZ.

5. Inicialmente hay un "1" en la pantalla. Al apretar la tecla A se multiplica por 3 el número de la pantalla. Al apretar la tecla B, se resta 1 al número de la pantalla. Utilizando una secuencia de teclas A y B hay que llegar a tener en la pantalla el 97. ¿Cuál es el número mínimo de teclas que se deben usar?

6. En la lotería de Truchilandia, cada billete tiene un número de tres cifras que usa sólo los dígitos 1, 2, 3 y 4 (se pueden repetir los dígitos). Un billete es ganador si coincide en por lo menos dos posiciones con el número sorteado.Un apostador quiere comprar varios billetes, de manera tal que uno de ellos gane seguro, pero gastando lo menos posible. Determinar cuántos billetes debe comprar e indicar qué billetes debe comprar.Aclaración: Si se sorteó el 423 entonces 123 es un billete ganador, pero 243 no lo es.

Primer día

1. Hallar el número natural de 97 dígitos, todos distintos de cero, que sea múltiplo de la suma de sus 97 dígitos.

2. En la figura hay dos puntos, A y B, una recta l y un segmento de longitud d. Hallar dos puntos P y Q en la recta l de manera tal que el segmento PQ tenga longitud d y la suma AP+PQ+QB se la menor posible.

Indicar los pasos de la construcción y explicar por qué se obtuvo la menor longitud posible.

3. Sergio viaja de A hacia B y Tadeo viaja de B hacia A, los dos van a velocidades constantes y los dos inician el viaje a la misma hora. Desde el instante en que se cruzan, Sergio tarda 9 horas en llegar a B y Tadeo tarda 4 horas en llegar a A. Hallar el tiempo que tarda Sergio en su recorrido desde A hacia B y el tiempo que tarda Tadeo en su recorrido desde B hasta A.

 

Segundo día

4. Entre todas las fracciones a/b, con a y b números naturales, que verifican

hallar la fracción a/b que tiene el menor denominador.

5. Un cuadrado de 3x3 se ha dividido en cuadraditos de lado 1 (ver figura). Una hormiga sale del punto A, camina por las líneas de la cuadrícula y llega a B. Los únicos puntos por los que puede pasar más de una vez son los vértices de los cuadraditos. ¿Cuál es la máxima longitud que puede tener el camino de la hormiga?

6. Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD y DA. Se traza por D una recta que corta al lado BC en P y a la prolongación del lado AB en Q. Si el área del cuadrilátero ABDP es 29 y el área del triángulo DPCes 8, hallar el área del triángulo CPQ.

1

Leandro elige un número natural n y hace lo siguiente:

calcula a = n2 + 5 ;calcula b = (n+1)2 + 5 ;

halla el máximo común divisor entre a y b y anota dicho máximo común divisor en el pizarrón.

¿Cuál es el número más grande que puede anotar?

 

2

Durante un operativo, la policía encontró1001 monedas en apariencia todas iguales, junto con una nota que decía que 501 monedas eran auténticas y las demás falsas, y que cada moneda falsa era un gramo más liviana que cada moneda auténtica. Para clasificar las monedas, vino un experto con una balanza de dos platillos que no sólo indica en que platillo se encuentra el objeto más pesado, sino que además indica la diferencia entre los pesos de los objetos de cada uno de los platillos.El experto dice que cualquiera sea la moneda que elija la policía, él siempre puede asegurar si es auténtica o falsa utilizando una sola vez la balanza.

 

3

En los lados del ángulo de vértice O se consideran los puntos A, B, C, D (ver figura). Sea E el punto de intersección de los segmentos AD y BC. Se traza por C la recta paralela a AB y se traza por A la recta paralela a CD. Sea F el punto de intersección de las dos rectas trazadas. Demostrar que

Área (OAEC) = Área (BFDE)

 

4

Cuatro autos, A, B, C, D, viajan a velocidades constantes por la misma ruta, pero D viaja en dirección contraria a los otros tres. El auto A pasa a los autos B y C a las 8:00 hs y 9:00 hs respectivamente, y se cruza con el auto D a las 10:00 hs. El auto D se cruza con los autos B y C a las 12:00 hs y 14:00 hs, respectivamente. Determinar a qué hora el auto B pasó al auto C.

 

5

Dados los segmentos

construir con regla y compás un triángulo ABC de manera tal que, si D es el pie de la altura correspondiente al vértice C, entonces CD = h, AC-AD = a, BC-BD = b.Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción realizada satisface las condiciones del problema.

 

6

Se tiene un tablero cuadrado cuadriculado de 5x5 y fichas rectangulares de 2x1; cada ficha cabe exactamente en dos casillas adyacentes del tablero.Las fichas se colocan en el tablero ocupando exactamente dos casillas adyacentes. El tablero está dominado cuando ya no hay espacio para colocar más fichas.¿Cuál es el menor número de fichas que se debe colocar para dominar el tablero? Explicar por qué es imposible dominar el tablero con menos fichas.

1

Cierto día, por la mañana, todos los tripulantes del barco pirata recibieron la misma cantidad de monedas de oro. Durante el día, en distintos momentos, algún pirata repartía una parte de sus monedas entre todos los dmeás, dándole a cada uno la misma cantidad de monedas. A la noche, había un pirata que tenía 19 monedas y otro que tenía 15 monedas. Decidir si con esta información se puede saber con certeza cuántos tripulantes tenía el barco.

 

2

El paralelogramo ABCD tiene el lado AB mayor que el lado BC y el ángulo DAB menor que el ángulo ABC. Las mediatrices de los lados AB y BC se intersectan en el punto M, que además pertenece a la prolongación del lado AD. Si MCD = 15º, hallar lal medida del ángulo ABC.

 

3

Utilizando los dígitos 0, 1 y 2 se escribe, en etapas, una secuencia. En la primera etapa se escribe un 0, y a partir de ahí, en cada etapa se agregan tantos dígitos como los que había. Para escribir los nuevos dígitos, se copian los dígitos que ya estaban escritos, pero cambiando 0 por 1, 1 por 2 y 2 por 0. Mostramos en los siguientes ejemplos la secuencia después de la primera, de la segunda, de la tercera, de la cuarta y de la quinta etapa, respectivamente:

0; 01; 0112; 01121220; 0112122012202001.

Determinar cuál es el dígito que ocupa la posición 1000000 de la secuencia.

 

4

Lucas marca sobre una recta una cierta cantidad de puntos, de manera tal que la distancia entre dos puntos consecutivos sea siempre 1cm. Emiliano pinta todos los puntos marcados por Lucas, algunos de rojo y otros de azul, a su elección.

Si hay tres puntos pintados del mismo color, digamos A, B, C, tales que la distancia de A a B es igual a la distancia de B a C, gana Lucas. Si no, gana Emiliano.

Determinar el menor número de puntos que debe marcar Lucas para asegurarse la victoria. Demostrar que con el número hallado Lucas siempre gana, y que con un número menor, puede ganar Emiliano.

 

5

Escribir 1999 como la suma de 30 números enteros positivos, no necesariamente distintos, de modo que el producto de los 30 números tenga el máximo valor posible, y explicar por qué es imposible obtener un producto mayor.

 

6

En un cuadrilátero convexo ABCD de lados AB, BC, CD, DA se consideran un punto M del lado AB y un punto N del lado CD tales que AM / AB = CN / CD. Los segmentos MD y AN se intersectan en P; los segmentos NB y CM se intresectan en Q. Demostrar que

área (MQNP) = área (APD) + área (BQC)

1

Diez personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Cada una pensó un número y se lo dijo en secreto a sus dos vecinos, el de la derecha y el de la izquierda. A continuación, cada persona anunció el promedio de los dos números que escuchó. Comenzando por una de las personas y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, las personas anunciaron los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, en ese orden. Determinar qué número había pensado cada una de las diez personas.

2

El triángulo isósceles ABC tiene AB = BC. El punto P en el lado AC, el punto Q en el lado BC y el punto R en el lado AB son tales que PQ es paralelo a AB, RP es paralela a BC y RB = AP. Si AQB = 105°, calcular las medidas de los ángulos del triángulo ABC.

3

En una ciudad hay 11 clubes, todos con distintos números de socios. Si se cerrara un club, no importa cuál sea, todos los socios del club que se cierra podrían distribuirse en los otros

10 clubes de modo tal que los 10 clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios. Más aun, si se cerraran dos clubes, no importa cuáles, se podrían distribuir todos los socios de los dos clubes que cerraron en los otros 9 clubes de modo que los 9 clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios.

El club Atlético es el que tiene la mayor cantidad de socios. Determinar cuál es el menor valor posible del número de socios del club Atlético.

4

Se tiene un tablero de 7 x 7, cuadriculado en cuadraditos de 1 x 1. Dividir el tablero en cinco pedazos, cortando por líneas de la cuadrícula, de modo que utilizando los cinco pedazos, y sin desperdiciar ninguno, se puedan armar al mismo tiempo tres tableros cuadrados (no necesariamente iguales). Los pedazos no se pueden superponer, y ninguno de los tres tableros puede tener huecos.

5

Hallar un número natural tal que la suma de sus dígitos sea igual a 20 y tal que si se eleva al cuadrado el número hallado, la suma de los dígitos de este nuevo número sea igual a 400.

6

Un acampante se ha perdido en un bosque con forma rectangular que tiene 100 km de largo y 1 km de ancho. El no sabe dónde están los bordes del bosque, y sólo tiene energías para caminar 2,83 km. Hallar un recorrido que le asegure salir del bosque antes de agotar sus energías. Demostrar que el recorrido hallado jamás falla, no importa cuál sea el punto de partida.

Problema 1

Se tiene un rectángulo de 1 x 25, dividido en 25 casillas cuadradas de 1x1. Decidir si es posible escribir los 25 números enteros del 1 al 25, uno en cada casilla y sin repeticiones, de manera tal que la suma de los dos números escritos en dos casillas adyacentes sea siempre un cuadrado perfecto. Si la respuesta es afirmativa, mostrar una distribución de los 25 números. Si es negativa, explicar el porqué.

ACLARACIÓN: Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común.

Problema 2

En un triángulo ABC se ha marcado el punto D en el lado BC y el punto E en el lado AC, y se trazó la bisectriz del ángulo CAD y la bisectriz del

ángulo CBE. Estas dos bisectrices se cortan en el punto F. Se sabe queAFB = 84°. Calcular el valor de la suma de ángulos AEB + ADB.

Problema 3

Cintia eligió un múltiplo de 59, mayor o igual que 59, y calculó la suma de sus dígitos. Determinar cuál es el menor valor posible de la suma que calculó Cintia.

Problema 4

Pedro tiene un barril blanco con 55 litros de aceite, mezcla de soja y maíz, pero no sabe en qué proporciones, y un barril gris con 66 litros de aceite, mezcla de soja y maíz, pero tampoco sabe en qué proporciones, ni si estas son iguales o distintas que las del barril blanco. Quiere lograr que la proporción de aceite de maíz de la mezcla del barril blanco sea igual a la proporción de aceite de maíz de la mezcla del barril gris, utilizando un sola vez el siguiente procedimiento:

quitar de los dos barriles iguales cantidades de aceite, que se guardan por un rato en dos recipientes vacíos; lo que se quita del barril blanco se coloca en un recipiente y lo que se quita del barril gris se coloca en el otro recipiente;

agregar en el barril gris lo que se quitó del blanco y agregar en el barril blanco lo que se quitó del gris.

Así, al finalizar el procedimiento, el barril blanco tendrá nuevamente 55 litros y el gris tendrá 66 litros.

Decidir si eligiendo apropiadamente la cantidad de litros de aceite que quitará de cada uno de los barriles, Pedro puede lograr con certeza su objetivo, es decir, que al final, en los dos barriles las proporciones de las mezclas sean las mismas.

Si la respuesta es afirmativa, calcular cuál es la cantidad de litros que debe quitar de cada barril. Si la respuesta es negativa, explicar el porqué.

Problema 5

Sea ABCDE un pentágono de lados AB, BC, CD, DE y EA tal que

área (ABC) = área (ABD) = área (ACD) = área (ADE) = 17. 

Calcular el área del triángulo BCE.

Problema 6

Se tienen 200 bolitas de igual tamaño y color, pero 100 de las bolitas pesan 20 gramos cada una, y las otras 100 bolitas pesan 21 gramos cada una. Se debe formar dos grupos de distinto peso pero que contengan la misma cantidad de bolitas cada uno. Para ello, se utiliza una balanza con dos platillos (que sólo indica si los objetos en un platillo pesan más, menos o lo mismo que los objetos del otro platillo). Determinar la menor cantidad de pesadas necesarias para formar los dos grupos, y explicar cómo se forman los dos grupos con esa cantidad de pesadas.

ACLARACIÓN: No hay exigencias sobre la cantidad de bolitas de cada grupo, sólo se pide que sean cantidades iguales.

Problema 1

Se consideran todos los números naturales de nueve dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos 1, 2 y 3 (el menor es el 111111111 y el mayor es el 333333333). Cada uno de estos números está escrito en una tarjeta; se tiene así un mazo de 19683 tarjetas.

David, Juan y Pablo se repartieron las tarjetas de acuerdo con la siguiente regla: si dos tarjetas son de un mismo chico, entonces en al menos una de las nueve posiciones tienen el mismo dígito.

Si David tiene el 133221311 y Juan tiene el 133211311, determinar cuál de los tres chicos tiene el 123123123.

Problema 2

En el triángulo ABC sean M en el lado AB tal que   y N el punto medio del lado BC. Denotamos O al punto de intersección de AN y CM. Si el área del triángulo ABC es igual a 30, calcular el área del cuadrilátero MBNO.

Problema 3

En la casa de Gabriel son muy metódicos. Todos los días hábiles la mamá sale en su moto a la misma hora, a la misma velocidad y por el mismo camino a buscar a Gabriel al colegio. Llega al colegio exactamente a las 12 horas y de inmediato regresa a su casa con Gabriel, por el mismo camino y a la misma velocidad. Por supuesto, todos los días llegan a la casa exactamente a la misma hora.

Un día, Gabriel salió del colegio más temprano, y a las 11 horas y 15 minutos inició la caminata hacia su casa. En el camino se encontró con su mamá, que lo estaba yendo a buscar al colegio, como todos los días. En cuanto se encontraron, regresaron de inmediato a la casa, y llegaron 20 minutos más temprano que lo habitual.

Determinar cuántos minutos más temprano que lo habitual hubiesen llegado a la casa si Gabriel comenzaba la caminata a las 11 horas y 33 minutos.

NOTA: Gabriel, que también es metódico, camina siempre a la misma velocidad.

 

Problema 4

Consideramos los números naturales n de tres cifras, todas ellas distintas de cero. Diremos que un número n es bueno si el número n+1 es múltiplo del número de dos cifras que se obtiene al suprimirle a n la primera cifra de la izquierda (es decir, al suprimirle la cifra de las centenas).

Por ejemplo, 123 NO es bueno, porque 124 no es múltiplo de 23.

Hallar todos los números buenos.

Problema 5

Sea ABC un triángulo tal que   ; además, si D denota al punto del lado BC tal

que AD es bisectriz del ángulo   , se tiene que CD=AB. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo ABC.

Problema 6

En una caja fuerte hay 128 bolsas con oro, todas con el mismo aspecto, pero todas de distinto peso. El tesorero quiere determinar las dos bolsas más pesadas y para ello dispone de una balanza de dos platos. La única operación permitida es colocar una bolsa en cada plato y de este modo establecer cuál de las dos es más pesada. Decidir si el tesorero puede lograr su objetivo efectuando 133 operaciones permitidas. Si la respuesta es afirmativa, indicar la secuencia de pesadas; si es negativa, explicar el porqué.

Problema 1

Se tiene un tablero cuadrado de 88 dividido en casillas de 11. Escribir en cada casilla un 1 o un 2 de modo que en cada cuadrado de 33 la suma de los 9 números sea múltiplo de 4, pero la suma de los 64 números del tablero no sea múltiplo de 4.

Problema 2

Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo ABCD se cortan

en E y  ,  . Sean P y Q los puntos que dividen el segmento BE en tres partes iguales, con P entre B y Q, y sea R el punto medio del segmento AE.

Calcular  .

Problema 3

Leonardo pensó un número entero entre 1 y 2003 inclusive, y Julián tiene que adivinar ese número. Para ello puede formularle a Leonardo preguntas que se puedan responder con sí o no. Leonardo tiene obligación de responder todas las preguntas, pero, si lo desea, puede mentir como mucho una vez. (Algunas preguntas posibles son, por ejemplo, “¿Es tu número mayor que 50 y menor que 100?” o “¿Era verdadera la respuesta que diste a mi tercera pregunta?”)

Demostrar que Julián puede determinar con certeza el número de Leonardo mediante 15 preguntas o menos.

Problema 4

Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las 00:00 hasta las 23:59, siempre muestra 4 dígitos. Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de 24 horas, el reloj exhibe por lo menos un 1 pero ningún 2 o exhibe por lo menos un 2 pero ningún 1.

Problema 5

En el pizarrón hay escrito un número de 100 dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a 999. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano escribe un nuevo número de 100 dígitos: deja los tres últimos 999, e intercambia a voluntad los primeros 97 dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón 99 números de 100 dígitos. A continuación, suma esos 99 números, y al resultado lo divide por 72. Calcular el resto de la división que hizo Luciano.

Problema 6

Delante de la cueva de Alí Babá hay un dispositivo para abrir la puerta: es una calesita con forma de cuadrado que tiene cuatro cofres cerrados ubicados uno en cada vértice. En cada cofre hay una moneda que puede estar cara o ceca. La

cueva se abre sólo si las cuatro monedas tienen la misma posición, todas cara o todas ceca.

El genio que controla la entrada ofrece al visitante que elija dos de los cofres, los abra, mire las dos monedas y las deje como están o, si lo desea, dé vuelta una de las monedas o dé vuelta las dos monedas de esos cofres. A continuación, si la cueva no se abre, el genio cierra los dos cofres y gira velozmente la calesita de modo que resulta imposible saber cuáles son los cofres que se acaban de abrir y cerrar. Cuando la calesita se detiene, el genio le ofrece al visitante una nueva oportunidad, y así siguiendo. Determinar un procedimiento de sucesivos intentos que le permita al visitante asegurarse de que la cueva se abrirá.

Problema 1

En un boliche hay 500 personas. A partir de las 12 horas, cada minuto se retira un grupo de personas: En el primer minuto se van todos los que no tienen ningún amigo entre los presentes; un minuto después se van todos los que tienen exactamente un amigo entre las personas aun presentes; al siguiente minuto se van todos los que tienen exactamente dos amigos entre las personas aun presentes. Y así sucesivamente, para 3, 4, 5, ... hasta que por último se van todos los que tienen exactamente 499 amigos entre las personas que todavía están presentes. Determinar el máximo número de personas que pueden quedar en el boliche 500 minutos después de las 12 horas.

Problema 2

La lotería matemática sortea un número de 10 dígitos, y los ganadores son todos los números que coinciden con el sorteado en exactamente 9 posiciones y además son múltiplos de 7. Si el número sorteado es el 1234567890, determinar cuántos números ganadores hay.

Problema 3

Nico ordena los números enteros del 1 al 21 inclusive y luego Pablo elige 4 números que estén consecutivos de la lista de Nico. Nico debe pagarle a Pablo una cantidad de pesos igual a la suma de los 4 números que eligió Pablo. Determinar la menor cantidad de dinero que deberá pagar Nico y cómo debe ordenar los números para no tener que pagar más.

ACLARACIÓN: El objetivo de Pablo es cobrar lo más posible y el de Nico es pagar lo menos posible.

Problema 4

De una bolsa con 7 kilogramos de arroz se debe separar exactamente 1 kilogramo de arroz. Para ello se dispone de una balanza de dos platos y una pesa de 600 gramos. Dar una manera hacerlo realizando 3 pesadas.

ACLARACIÓN: La balanza de dos platos sólo permite afirmar que cuando se equilibra los objetos colocados en ambos platos pesan lo mismo.

Problema 5

Gabriel hace una lista de números con el siguiente procedimiento: el primer número es 2004; el segundo lo elige Gabriel; el tercero es la resta del primero menos el segundo; el cuarto es la resta del segundo menos el tercero; el quinto es la resta del tercero menos el cuarto, y así siguiendo, cada número es la resta del anteúltimo menos el último de los que se escribieron hasta ese momento. El proceso se detiene cuando por primera vez Gabriel escriba un número negativo. Determinar qué número entero positivo debe elegir Gabriel como segundo número para que la secuencia tenga la mayor cantidad posible de números.

Problema 6

Sea ABCD un cuadrado de lados AB, BC, CD y DA. Si E es el punto medio del

lado CD y M es el punto interior del cuadrado tal que   , calcular la

medida del ángulo   .

Problema 1

Mauro escribió la lista de los números de 12 dígitos con cada dígito igual a 0 ó 1 tales que la suma de los dígitos en las posiciones pares es igual a la suma de los dígitos en las posiciones impares. Determinar cuántos números tiene la lista de Mauro.ACLARACIÓN: Todos los números de la lista tienen el primer dígito de la izquierda igual a 1.

Problema 2

Una empresa aérea tiene 9 aviones todos de distintos modelos y 13 pilotos. Entrenar a cada piloto para pilotear en cada avión cuesta $1000. Cada día se sortean 9 de los pilotos para que piloteen los aviones y los otros 4 tienen el día libre.Hallar la mínima cantidad que se debe invertir en el entrenamiento de los pilotos de modo que se garantice que todos los aviones vuelen todos los días, independientemente de los pilotos sorteados. (Cada día, cada piloto vuela sólo en uno de los aviones.)

Problema 3

Dado un segmento de longitud d, construir con regla y compás un cuadrado en el que la diferencia entre las longitudes de la diagonal y el lado sea d.  Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción realizada satisface las condiciones del problema.

Problema 4

Denotamos 29! al producto de los 29 enteros positivos desde 1 hasta 29, es decir, 29!1234567891011121314151617181920212223242526272829.Hallar los dígitos a, b, c, d si 29!884176199ab3970195454361cd00000.

Problema 5

Hay 390 monedas de oro distribuidas en 30 cofres: 13 monedas en cada cofre. Cada moneda pesa un número entero de gramos, mayor o igual que 1 y menor o igual que 30 y hay 13 monedas de cada peso.Se sabe que si dos monedas están en un mismo cofre, la diferencia entre sus pesos es menor o igual que 4 gramos. Determinar cuál es el mínimo valor posible del peso del contenido del cofre más pesado.

Problema 6

En un tablero de 33, cuadriculado en cuadritos de 11, se consideran los 16 puntos que son vértices de los cuadritos. Alan colorea de rojo algunos puntos y luego Lucía elige 3 puntos coloreados y traza el triángulo determinado por esos puntos. Alan recibe un caramelo por cada  punto coloreado, pero si el triángulo de Lucía es isósceles, Alan debe entregarle a Lucía todos los caramelos que recibió.Determinar la máxima cantidad de caramelos que puede ganar Alan sin que Lucía se los gane al dibujar un triángulo isósceles. Indicar qué puntos puede colorear para obtener esa cantidad de caramelos y explicar por qué no puede obtener una cantidad mayor.

Problema 1

Ale debe escribir un número de 20 dígitos que tenga por lo menos 9 dígitos distintos. A continuación Fede anota todos los números de dos dígitos que pueden quedar escritos al tacharle 18 dígitos al número de Ale (algunos pueden comenzar con 0 si Ale utilizó el 0). El objetivo de Ale es que la lista de Fede contenga la menor cantidad posible de números primos (si un primo figura dos veces en la lista de Fede, se cuenta como dos primos). Dar un número que le permita a Ale lograr su objetivo, identificar todos los primos que tendrá la lista de Fede y justificar porqué es imposible lograr un número con el que la lista de Fede tenga menos primos.ACLARACIÓN: El número 1 no es primo.

Problema 2

En las casillas de un tablero de 8 x 8  hay que colocar fichas de modo que cada dos casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al menos una que tenga una ficha y cada 7 casillas consecutivas de una misma fila o de una misma columna haya al

menos dos casillas consecutivas que tengan una ficha cada una. Determinar el número mínimo de fichas que hay que colocar en el tablero.

Problema 3

Hallar 9 números enteros positivos que sumen 2006 y tales que el mínimo común múltiplo de esos 9 números sea lo menor posible (entre los 9 números puede haber repetidos).

Problema 4

El número A es un cuadrado perfecto no divisible por 10, con más de 6 dígitos, que tiene la siguiente propiedad: si se reemplazan los últimos 6 dígitos de A por ceros, se obtiene otro cuadrado perfecto. Hallar el mayor valor posible de A.ACLARACIÓN: Se denominan cuadrados perfectos a los enteros que se obtienen al elevar un entero al cuadrado.

Problema 5

Sea ABC un triángulo isósceles con    y   . Se considera P en BC tal

que    y Q en AB tal que   . Calcular la medida del ángulo   .

Problema 6

En cierta ciudad el sistema de autobuses tiene 65 líneas que pasan, entre todas, por 999 paradas. Este sistema permite viajar en autobús de cada parada a cada una de las otras, tal vez efectuando trasbordos. Para cada dos líneas A y B hay al menos una parada de A que no está en B y al menos una parada de B que no está en A. Por razones económicas, el intendente quiere suprimir la mayor cantidad posible de líneas, preservando todas las paradas y de modo que siga siendo posible viajar en autobús de cada parada a cada una de las otras. El ministro de transporte le informó que se pueden eliminar 36 líneas, pero es imposible eliminar 37. Mostrar con un ejemplo que es posible que el ministro diga la verdad.

Problema 1

Se tiene una hoja cuadrada de 9x9 cuadriculada en cuadritos de 1x1 . Se corta la hoja con el objetivo de dividirla en cuadritos de 1x1. Cada corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula. Después de efectuar cada corte, está permitido reacomodar convenientemente los pedazos en una pila de modo que en el corte siguiente se divida a varios pedazos simultáneamente (en cada pedazo el corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula). Está prohibido plegar el papel. ¿Cuál es la menor cantidad de cortes que hacen falta para lograr el objetivo?(Para el número hallado, indicar cuales son los cortes y explicar por qué es imposible lograr el objetivo con menos cortes.)

Problema 2

Sobre la mesa hay 21 cartas, una con cada uno de los números enteros desde 1 hasta 21 inclusive. Xavier selecciona 4 cartas y se las muestra a Ana. Luego Ana le quita a Xavier una carta (la que ella quiera). Si la suma de los números de las 3 cartas con las que se quedó Xavier es múltiplo de 3, gana Ana . Si no, gana Xavier.Determinar de cuántas maneras puede Xavier elegir las 4 cartas para estar seguro de ganar, no importa lo bien que juegue Ana. (Dos elecciones de las mismas 4 cartas pero en distinto orden se consideran la misma elección.)

Problema 3

Sea ABC un triángulo tal que  . Se sabe que hay un punto P de la bisectriz del

ángulo  que satisface que BP= BC y  . Determinar las medidas de los

ángulos  y 

 

 

Problema 4

En un concurso cada participante dibujó un tablero cuadriculado de 99x100 y escribió un “1” o un “– 1” en cada casilla, a su elección. A continuación, cada participante escribió al costado de cada fila el resultado de multiplicar los 100 números de esa fila y debajo de cada columna, el resultado de multiplicar los 99 números de esa columna. Por último, sumó los 99 resultados de las filas más los 100 resultados de las columnas y obtuvo su número final. Si en este concurso todos los participantes obtuvieron números finales distintos, determinar cuál es la máxima cantidad de participantes que pudo haber y para la cantidad máxima hallada, indicar los números finales de todos los participantes.

 

Problema 5

Se tiene una bolsa con 99 bolitas de diferentes colores (cada bolita tiene un solo color y se desconoce la cantidad de colores). Si se sacan de la bolsa 21 bolitas al azar, siempre hay cuatro o más de un mismo color. Decidir si es necesariamente cierto que la bolsa contiene 18 o más bolitas de un mismo color. ¿Y 17 o más bolitas de un mismo color? 

Problema 6

Axel y Franco juegan al siguiente juego. Inicialmente Axel piensa un número natural N. A partir de ahí, en cada jugada, Franco elige 4 números distintos a , b , c , d del conjunto {1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y se los dice a Axel. A continuación Axel anuncia una de las sumas N + a , N + b , N + c , N + d, a su elección. (Por ejemplo, si Axel pensó el 2007 y en una jugada Franco elige 1, 3, 4, 6, Axel debe anunciar uno de los números 2008, 2010, 2011, 2013, a su elección.) El objetivo de Franco es conocer con certeza el número N. Determinar el número mínimo de jugadas que le permiten a Franco lograr siempre su objetivo.

Problema 1 Determinar si es posible distribuir 60 ceros y 61 unos en las casillas de un tablero de 11 x 11, un número en cada casilla, de modo que la suma de los números de cada fila sea impar, la suma de los números de cada columna sea impar y la suma de los números de cada una de las dos diagonales sea impar. ¿Y si el tablero es de 12 x 12 y se quieren distribuir 72 ceros y 72 unos?

Problema 2 Juan tiene 11 pesas todas de distintos pesos y todas de pesos enteros. La suma de los pesos de las 11 pesas es 1810. Con estas pesas se pueden obtener todos los pesos enteros desde 1 hasta 1810. Determinar los posibles valores de la sexta pesa, contando de menor a mayor.

Problema 3 

Sea ABC un triángulo y P un punto de la bisectriz del ángulo   que está en el interior del

triángulo ABC . Se sabe que PC = BC y  . Hallar la medida del ángulo  .

Problema 4 Rocío debe escribir en una línea 100 números enteros distintos elegidos desde 1 hasta 199 de manera que cada número, a partir del segundo y hasta el anteúltimo, sea mayor que por lo menos uno de sus dos vecinos. A continuación calcula la suma de los números de las posiciones pares que denotamos P y la suma de los números de las posiciones impares que denotamos I . Determinar el mayor valor posible de P – I que puede obtener Rocío.

Problema 5 Determinar si es posible dividir un cuadrado de lado 11 en las siguientes 5 partes: un cuadrado de lado 1 y cuatro rectángulos cuyas dimensiones son 8 números enteros distintos y mayores que 1. ¿Y si el cuadrado que se quiere dividir es de lado 10?

Problema 6 Se tiene un tablero de 2008 x 2008 dividido en casillas de 1 x 1. Se dispone de piezas de los siguientes dos tipos:

 , 

Hay exactamente 1006 piezas del primer tipo y una cantidad inagotable de piezas del segundo tipo. Mostrar que con estas piezas es posible cubrir completamente el tablero, sin huecos ni superposiciones y sin sobresalirse del tablero. 

ACLARACIÓN: Cada pieza del primer tipo cubre exactamente dos casillas del tablero y cada pieza del segundo tipo cubre exactamente 4 casillas del tablero. Las piezas se pueden girar y/o dar vuelta.

Problema 1

Rocío debe escribir en una línea 100 números no necesariamente distintos, ordenados de menor a mayor, tales que la suma de los 100 números sea igual a 10 y la suma de cualesquiera 30 de estos números sea siempre mayor o igual que 2. El objetivo de Rocío es que el número que ocupa el lugar 96 de la lista sea lo mayor posible.Si Rocío logra su objetivo, determinar el número de la posición 96.

Problema 2

Sea ABC un triángulo escaleno, D un punto del interior del lado BC, E un punto del interior del lado CA y F un punto del interior del lado AB.

a) Si , determinar si es necesariamente cierto que D, E y F son los puntos medios de los lados de ABC.

b) Si  , determinar si es necesariamente cierto que D, E y F son los puntos medios de los lados de ABC.

Problema 3

Se tiene un tablero en forma de L con 111 casillas verticales y 100 casillas horizontales (la casilla de la esquina se cuenta como horizontal y como vertical). Inicialmente hay una moneda en cada casilla. Ariel y Bruno retiran, por turnos, monedas del tablero. La movida legítima es elegir una dirección (vertical u horizontal) y en esa dirección retirar tantas monedas como se desee (por lo menos una) siempre y cuando éstas ocupen casillas consecutivas del tablero (sin casillas vacías intermedias). Pierde el jugador que retira la última moneda. Si Ariel es el que comienza el juego, determinar cuál de los dos jugadores puede asegurarse la victoria y dar una estrategia ganadora para ese jugador.

 Problema 4

Varios piratas se repartieron un botín de 1000 monedas de oro, todas iguales. Resultó que uno de los piratas se quedó con más de la mitad de las monedas. Durante la primera noche, para calmar los ánimos, el pirata que tenía más de la mitad de las monedas le dio a cada uno de los otros piratas tantas monedas como

cada uno tenía. Sin embargo, nuevamente había un pirata con más de la mitad del total de monedas. La segunda noche, se repitió el procedimiento: el pirata que tenía más de la mitad de las monedas le dio a cada uno de los otros piratas tantas monedas como cada uno tenía. Y así noche tras noche, hasta que después de la décima noche ningún pirata tenía más de la mitad del total de monedas. Determinar el máximo número de piratas que pudo haber en el reparto del botín.

Problema 5Se tiene un triángulo escaleno de papel de área 1. Demostrar que se pueden recortar del triángulo tres polígonos convexos iguales, cada uno de área mayor

que  .

ACLARACIÓN: Un polígono es convexo si todos sus ángulos son menores que 180º.

 Problema 6

En la recta numérica se han marcado los puntos enteros, desde 1 hasta 100 inclusive, y un grillo está parado en uno de estos puntos. El grillo realiza 100 saltos de modo que visita cada uno de los puntos y regresa al punto de partida con su último salto. Cada salto, a partir del segundo, lo hace en dirección opuesta al salto anterior. La suma de las longitudes de todos los saltos excepto los dos últimos es 4997. Hallar la suma de las longitudes de los dos últimos saltos.

Problema 1

En un colegio de 5 grados hay 250 mujeres y 250 varones. Cada grado tiene 100 estudiantes.Para una competencia hay que armar equipos formados por un varón y una mujer de un mismo grado.Si de la composición de los estudiantes en cada grado sólo se sabe que al menos 19 de ellos son mujeres y al menos 19 de ellos son varones, hallar el mayor número de equipos que se podrán armar con certeza.Dar un ejemplo de un colegio con esa cantidad de equipos.

Problema 2

Tres enteros positivos tienen suma igual a 1810. ¿En cuántos ceros puede terminar su producto? Dar todas las posibilidades y explicar porqué no hay más.

Problema 3

En un triángulo ABC el punto P divide al lado AB en la proporción  . La mediatriz del segmento PB interseca al lado BC en el punto Q. Si se sabe que 

área(PQC) =  área(ABC), y que AC = 7 hallar BC. 

Problema 4

a) Varios enteros positivos distintos tienen la propiedad de que la suma de cada tres de ellos es un número primo. ¿Cuántos pueden ser, a lo sumo, estos enteros positivos?

b) Varios enteros distintos (no necesariamente positivos) tienen la propiedad de que la suma de cada tres de ellos es positiva y es, además, un número primo. ¿Cuántos son, a lo sumo, estos enteros?

Problema 5

Una colección de pesas se puede dividir en 4 grupos de igual peso, en 5 grupos de igual peso y en 9 grupos de igual peso. Dar un ejemplo de una tal colección de pesas con la menor cantidad posible de pesas. (Se permiten pesas con pesos no enteros y pesas con el mismo peso.)

 Problema 6

Algunas casillas de un tablero de 99 x 99 se colorean con uno de 5 colores distintos de modo que no haya casillas de distinto color en una misma fila o en una misma columna. La cantidad de casillas de cada color es la misma. ¿Cuál es el mayor número posible de casillas coloreadas?

Problema 1

Cecilia hizo la lista de todos los números naturales de 5 dígitos que son divisibles por 37 y tienen la suma de sus dígitos igual a 37. Determinar cuántos números hay en la lista de Cecilia.

Problema 2

Sea ABC un triángulo con  . El punto P en el lado AB es tal que PC = BC y

el punto Q en el lado BC es tal que  . El segmento CP pasa por el punto medio del segmento AQ. Hallar los ángulos del triángulo ABC.

Problema 3

Hay 7 cajas con 5 juguetes cada una. Cada juguete está coloreado de un color de modo que:

(i) Ningún color se repite en una caja.

(ii) Cada par de colores ocurre como mucho en una caja.

¿Cuál es el mínimo número de colores usado? 

Problema 4

En una cuadrícula formada por 15 líneas horizontales y 15 líneas verticales, cada punto de corte de una línea vertical y una horizontal se colorea de azul o de rojo. Los segmentos que unen puntos vecinos de la cuadrícula (horizontal o verticalmente) se colorean de azul, de rojo o de negro de la siguiente manera. Un segmento que une dos puntos rojos se colorea de rojo; un segmento que une dos puntos azules se colorea de azul; un segmento que une dos puntos de distinto color se colorea de negro. El número de puntos azules es 71; de ellos, 20 están el borde de la cuadrícula e incluyen a exactamente uno de los 4 puntos esquina. Hay 205 segmentos negros. ¿Cuántos son los segmentos rojos?

Problema 5

En una fila hay 30 niños numerados 1, 2, …, 30 de izquierda a derecha.  Para todo niño i cuyo número i está entre 2 y 15 inclusive la cantidad de amigos con número mayor que i es igual a 1 más la cantidad de amigos con número menor que i. Para todo niño i cuyo número i está entre 16 y 29 inclusive la cantidad de amigos con número menor que i es igual a 2 más la cantidad de amigos con número mayor que i. El niño 1 tiene 19 amigos. ¿Cuántos amigos tiene el niño 30?

  Problema 6

Entre todas las fracciones  , con a y b enteros positivos y b menor o igual que

100, hallar la más cercana a  .

Problema 1

a) ¿Es posible dividir un cuadrado de lado 1 en 30 rectángulos de perímetro 2?

b) Supongamos que un cuadrado de lado 1 está dividido en 25 rectángulos de perímetro p. Hallar el mínimo y el máximo valor de p.

ACLARACIÓN: Los rectángulos de la división no son necesariamente iguales.

Problema 2

Se tienen 100 bolitas de metal, indistinguibles, entre las que hay 50 radiactivas. Se tiene también tres detectores. Para cada grupo de bolitas cada detector supuestamente establece si entre ellas hay o no bolitas radiactivas. Se sabe que un detector siempre da la respuesta correcta, otro siempre da la respuesta incorrecta y el tercero responde a veces en forma correcta y a veces en forma incorrecta, pero no se sabe cual de los detectores hace cada cosa. Dar un procedimiento que permita determinar con certeza cuales son las 50 bolitas radiactivas. Los detectores se pueden usar tantas veces como se desee y para grupos de cualquier cantidad de bolitas.

Problema 3

Sea ABC un triángulo acutángulo con circuncentro O. La recta AO corta al lado BC en D. Se sabe

que y . Calcular los ángulos del triángulo.

ACLARACIÓN: El circuncentro del triángulo ABC es el centro de la circunferencia que pasa por A, B, C. Es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.

Problema 4

En el pizarrón están escritos varios enteros positivos menores que 200 tales que ninguno de ellos divide al mínimo común múltiplo de los restantes. Determinar la máxima cantidad de números que pueden estar escritos en el pizarrón.

ACLARACIÓN: El mínimo común múltiplo de un conjunto de números es igual a la multiplicación de todos los factores primos comunes y no comunes de estos números, elevados a su mayor exponente.

Problema 5

En una isla hay 50 clubes. Cada habitante de la isla es socio de 1 o 2 clubes. Cada club tiene como mucho 55 socios, y para todo par de clubes hay un habitante de la isla que es socio de los dos clubes. ¿Cuántos habitantes puede tener la isla? Dar todas las posibilidades.

Problema 6

En un negocio hay paquetes de dos clases; unos pesan 11 kg y los restantes pesan 12 kg. Su peso total es 5940 kg, y se sabe que hay paquetes de 12 kg pero no se sabe cuántos paquetes hay de cada clase. Demostrar que estos paquetes se pueden dividir en 11 grupos de igual peso.