olimpiada mexicana de matemáticas curso de entrenadores 2014

Olimpiada Mexicana de MatematicasCurso de entrenadores 2014

Edicion: Leonardo I. Martınez Sandoval

9 de diciembre de 2014

Indice general

1. Introduccion 51.1. Curso de entrenadores 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Participantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Organizacion estatal 72.1. La Olimpiada en Nuevo Leon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Como ser un (buen) entrenador (de Olimpiada) . . . . . . . . 72.3. Algebra en Cuernavaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3. Filosofıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4. El entrenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Algebra y teorıa de numeros 173.1. Temario algebra y teorıa de numeros . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Problemas algebra y teorıa de numeros . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1. Numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2. Propiedades de los numeros (operaciones: suma, pro-

ducto. Existencia de los inversos) . . . . . . . . . . . . 193.2.3. Sucesiones y patrones numericos . . . . . . . . . . . . . 223.2.4. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.5. Multiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.6. Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo . . . 263.2.7. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.8. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.9. Sumas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.10. Operaciones basicas con lenguaje algebraico . . . . . . 323.2.11. Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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4 INDICE GENERAL

3.2.12. Simplificacion de fracciones algebraicas . . . . . . . . . 333.2.13. Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.14. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.15. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.16. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.17. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.18. Desigualdades e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Combinatoria 414.1. Temario introductorio para combinatoria . . . . . . . . . . . . 414.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Geometrıa 45

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Curso de entrenadores 2014

Cada ano la Olimpiada Mexicana de Matematicas organiza un curso deentrenadores para preparar a estudiantes y profesores que quieran dar entre-namientos en los niveles estatales. En 2014 este curso se llevo a cabo del 10al 13 de abril en CIMAT, Guanajuato, Guanajuato.

Este es un documento que recopila el trabajo realizado en el curso. Poruna parte, se compartieron experiencias exitosas acerca de la organizacionde algunas olimpiadas estatales. El objetivo de esto fue compartir la filosofıay la logıstica que se tiene en distintos estados del paıs. La participacion eneste sentido fue rica y se compartieron varios puntos de vista.

Tambien hubo una parte matematica importante. Se hablo de los temasbasicos en cada una de las areas de la Olimpiada: algebra, combinatoria,geometrıa y teorıa de numeros. Una gran parte del trabajo fue realizadopor los asistentes. Ellos compartieron sus ideas y colaboraron para armartemarios de estas areas. Ademas, participaron en la creacion de mas de 160problemas que se compilan en las siguientes secciones. Esta enorme colecciones un excelente punto de partida para la creacion de examenes de primerasetapas y para la elaboracion de listas de trabajo en las primras sesiones deentrenamiento.

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6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

1.2. Participantes

A continuacion se enlistan los asistentes al curso de entrenadores. Se agra-dece su participacion, sin la cual este documento no serıa posible: AlejandroContreras Balbuena, Alfredo Saracho Duran, Alicia Ramon Barrios, AntonioRosales Rivera, Ashley Antonio Olmedo Ortiz, Beatriz Adriana AlvaradoCastro, Benito Fernando Martınez Salgado, Blanca Yazmın Radillo Mur-guıa, Carlos Alberto Sanchez Torres, Carlos Lopez Gonzalez, Carmen JazmınIsaıas Castellanos, Cecilia Edith Hernandez Fregoso, Claudia Lucıa GuerreroGonzalez, Delfo Urbina Hernandez, Demian Espinosa Ruiz, Diego Teran Rıos,Edward Melchisedech Navarrete Pineda, Efraın Casillas Carrillo, Eugenio Da-niel Flores Alatorre, Francisco Flores Macıas, Francisco Gomez Hernandez,Gabriel Gutierrez Garcıa, Hernan Rafael Dıaz Martın, Jair Remigio Juarez,Jesus Arturo Lucio Coronado, Jesus Eduardo Rıos Rochin, Jesus EduardoRıos Torres, Jorge Fernandez Hidalgo, Jose Felix Garcıa Goitia, Jose Luis delAngel Medellın, Juan Camacho Cordero, Juan Gabriel Geraldo Hernandez,Julio Rodrıguez Hernandez, Marcelino Ramırez Ibanez, Marıa Araceli JuarezRamırez, Marıa del Rosario Soler Zapata, Marıa del Rosario Velazquez Ca-macho, Marıa Guadalupe Russell Noriega, Martın Velasco Hernandez, MelidaCarranza Trejo, Miguel Santoyo Mondragon, Nancy Janeth Calvillo Gueva-ra, Norberto Ordonez Ramırez, Owen Yael Mireles Briones, Paulina LinaresArroyo, Rafael Salgado Velazquez, Ramon Jardiel Llanos Portales, RogelioReyes Palma, Roger Ramos Ramos, Rosario Santillan Baltazar, Rosaura delCarmen Garcıa de la Rocha, Salvador Segovia Gastelum, Saul Dıaz Alvara-do, Silvia Evelyn Ward Bringas, Ulises Juan Carlo Gonzalez Reina, VıctorAntonio Aguilar Arteaga, Viviana Rivera Monjaras y Zeus Caballero Perez.

Ası mismo, el curso se llevo con agilidad y hacia el camino correcto graciasa cada uno de los encargados de las distintas secciones

Hector Raymundo Flores Cantu

Luis Miguel Garcıa Velazquez

Hugo Villanueva Mendez

Cesar Octavio Perez Carrizales

Rogelio Valdez Delgado

Leonardo Ignacio Martınez Sandoval

Capıtulo 2

Organizacion estatal

En la parte de organizacion estatal se compartieron varias experienciasde como organizar entrenamientos o temas. Los participantes fueron los si-guientes:

Hector R. Flores Cantu

Eugenio D. Flores Alatorre

Rogelio Valdez Delgado

2.1. La Olimpiada en Nuevo Leon

Por Hector Flores Cantu

2.2. Como ser un (buen) entrenador (de Olim-

piada)

Por Eugenio Daniel Flores Alatorre - [email protected] me propuse empezar a escribir este pequeno texto, quise hacer

memoria de como fueron mis primeros pasos como entrenador de Olimpiadaen San Luis. La verdad no recuerdo mucho pero fue algo bastante improvisa-do: nadie me dijo como, solo me dieron una lista de problemas casi identicaa la que habıa tenido en mis manos un ano atras como participante. Cuandoquise recordar como han sido los primeros pasos de los nuevos entrenadores,

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8 CAPITULO 2. ORGANIZACION ESTATAL

la verdad es que lo unico que ha cambiado es que ahora ni siquiera les doyuna hoja de problemas. Supongo que la mayorıa de nosotros nos aventura-mos en esto tratando de imitar lo bueno que recibimos y evitar lo que no nosgusto tanto.

Aunque me he encontrado gente genuinamente talentosa en cada distintaactividad, estoy convencido de que la mayorıa de nosotros podemos suplirnuestras deficiencias con trabajo, esfuerzo y dedicacion hasta llegar a fingirtalento que termina por ser indistinguible. Escribo esto pensando no soloen ex-olımpicos que desean estar ahora del otro lado, tambien en profesoresy hasta padres que quieren ayudar a preparar grupos de olimpiquitos decualquier nivel. En principio, me parece que lo que uno necesita para ser unbuen entrenador de Olimpiada no es distinto de lo que uno necesita para serun buen profesor, que resumirıa en un proceso cıclico de tres tiempos.

1. Antes

La primera parte del trabajo empieza en la preparacion, que es en dossentidos: tu preparacion personal que te permite dominar los temas oestrategias que quieres trabajar en la sesion y la preparacion de la sesionmisma, ya sea elaborar una buena lista de problemas, algun materialmanipulable, analogıas, videos, ejemplos. Este antes se resume en dospreguntas: que y como. Entiendo que en nuestro contexto tengamosuna vision muy satanizada de la planeacion; en la Olimpiada, esta noes tanto una traba burocratica con formatos rıgidos sino una guıa parati, un resumen de tu estrategia de combate que a lo mejor ni siquieratienes que escribir: con que problemas voy a motivar los temas, queejemplos ayudan a empezar la generalizacion, cuales contraejemplospueden ser utiles, de que manera se puede ser mas claro, que problemasson retadores pero posibles y cuanto tiempo dedicar a cada actividad.La ventaja de tener todo escrito es que puede ser reutilizado, mejorado,compartido.

2. Durante

Este paso del proceso tiene que ver con la ejecucion de tu estrategia y tudesempeno general frente al grupo de olimpiquitos. Una de las primerascosas que hay que hacer es ayudar a generar y mantener un ambientede mucha confianza y respeto: cuando los olimpiquitos no tienen miedode preguntar, de comentar sus intentos de solucion, ni de equivocarsefrente a sus companeros se puede trabajar mucho mejor.

2.2. COMO SER UN (BUEN) ENTRENADOR (DE OLIMPIADA) 9

Muchos de los aspectos que tienen que ver con la comunicacion los irasperfeccionando con la experiencia: a cuidar tus palabras y expresiones,tus gestos, atender con la mirada a todo el grupo, reconocer cuandoalguien tiene dudas, ayudarte de los alumnos mas avanzados, etcetera;es por eso que es tan importante el ambiente de respeto: todos puedenequivocarse, tu incluıdo, y no tiene nada de malo.

Por supuesto, aquı entra en juego tu capacidad para hacer un diagnosti-co rapido sobre si tu estrategia esta o no funcionando y cambiar elrumbo, a veces improvisar. Tambien, es algo que iras ganando con ex-periencia: proponer rapidamente un contraejemplo, senalar el error enun razonamiento, guiar las respuestas con preguntas, inventar ejercicios,contar chistes y anecdotas, buscar una explicacion desde otro angulo,anticipar dudas y errores comunes.

3. Despues

Cuando termina la sesion es hora de la reflexion: que hice bien, quepude haber hecho mejor. La reflexion es tambien doble, sobre el que ysobre el como: ¿me entendieron? ¿me salte algun tema necesario? ¿lesdi suficiente tiempo para pensar los problemas? ¿termine resolviendotodos los problemas yo? ¿los problemas fueron muy difıciles o muy sen-cillos, demasiados o muy pocos? ¿mis explicaciones fueron suficientes,mis ejemplos buenos? Las respuestas que tu mismo encuentres a estaspreguntas, o las que puedan darte tus olimpiquitos, deben ayudarte apreparar tu proxima sesion y ası volvemos a empezar.

Aunque el tıtulo de este texto pudiera ası sugerirlo, la verdad es que nohay recetas; lo que funciona es trabajar mucho y trabajar bien. Si trabajasmuy bien, a lo mejor no hace falta trabajar demasiado; pero si trabajas bien,probablemente tuviste que trabajar mucho antes. No es cosa de que necesitestodo esto antes de empezar, al principio te alcanza con tus ganas de ayudar,lo que sabes y algo de sentido comun.

Ademas de estos pasos, hay algunas cosas que permean todo el proceso yes importante que tengas en cuenta, mas como consejos que no se me ocurriojuntar de otra manera:

Contagia entusiasmo

Si has estado cerca de la Olimpiada, seguro sabes que la mayorıa deltrabajo se hace en el tiempo libre de todos, el tuyo, el de los alumnos, y


que, ademas, es escasamente recompensado, sobre todo economicamen-te. El punto aquı es: si ya todo mundo le esta dedicando sus vacacionesa trabajar en la Olimpiada, ayuda a que sea una experiencia agradablepara todos. Muestrales que hay belleza en las ideas, en los teoremas ylas soluciones, emocionate genuinamente de sus avances, interesate porsus dudas y sus metas, disfruten el tiempo de descanso juntos, platıcalestus anecdotas de participante, si es el caso.

No tengas miedo a experimentar

Lo mas sencillo y normal para todos es tratar de repetir la maneraen que nos ensenaron a nosotros, sobre todo si funciono bien. Proba-blemente los que son profesores de escuela ya tienen una dinamica detrabajo, algunos ejemplos, metodos y orden: tu grupo de Olimpiada esun buen lugar para jugar con los lımites, ver que tanto puedes empujartus metodos y teorıas didacticas, poner a prueba otros ordenes en loscontenidos, otras explicaciones.

Tus alumnos te van a superar

Al menos eso esperamos todos y es una buena senal de que hacemos unbuen trabajo. Esto sigue presentando un reto importante y una oportu-nidad para seguir mejorando. Sobre todo, intenta ser de ayuda: proponproblemas retadores aunque no los sepas resolver, mucho mejor si almenos tienes una idea de como empezar, y sigue muy de cerca sus ra-zonamientos para poder encontrarles un error y ofrecer contraejemplos,ideas, sugerencias.

Comparte experiencias y pide ayuda

Segun he podido observar, el tema favorito de muchos de los que tra-bajan cerca de la Olimpiada es la propia Olimpiada. No tengas miedode acercarte a los entrenadores que admiras o reconoces para pedirlesconsejo pues en general no te lo negaran, aunque seguramente no tienenmucho tiempo libre ası que muestra paciencia. En particular, es impor-tante que tengas esta buena comunicacion con la gente que entrena entu mismo estado para que sepan coordinarse y mejorar. Conforme vayasganando experiencia, te toca compartirla con los demas: haz publicaslas estrategias que te han servido, los problemas que crees mas utiles,los ejercicios que te parecen mas ilustrativos, las soluciones que mas tegustan, etcetera.

2.3. ALGEBRA EN CUERNAVACA 11

Esta bien tomar un descanso

Este, como casi todos, es mas facil decirlo que hacerlo. Si te das cuentaque tu practica ha ido decayendo, ya no tienes ganas de preparar tusentrenamientos, te cansas mas rapido, nunca andas de humor, sientesque pierdes el tiempo, a lo mejor es momento de descansar un rato,tomar un ano sabatico por ejemplo. La Olimpiada no deberıa ser unobstaculo para tu desarrollo personal o profesional, no es una excusapara no terminar tu tesis, por ejemplo. Deberıa ser una motivacion yun lugar feliz de trabajo.

Al final, lo que me parece que marca tu manera de entrenar se resumeen que tanto dominas lo que quieres ensenar y en todo eso que llamamos“vocacion”: las ganas que tienes de hacer todo lo posible porque tus alumnosaprendan eso que tu sabes.

2.3. Algebra en Cuernavaca

Por Rogelio Valdez Delgado

2.3.1. Introduccion

Algebra se ha convertido en un area fundamental en las olimpiadas. Sonfrecuentes los problemas de ese tema que aparecen en los concursos, y sontambien frecuentes los problemas de otras areas que hacen uso del algebrapara su solucion. Es importante entonces senalar las principales herramientasde algebra que un alumno debera asimilar paso a paso en su preparacion paralos concursos y olimpiadas de matematicas.

Durante esta discusion mostraremos el desarrollo del entrenamiento dealgebra, en el estado de Morelos, que se lleva a cabo de mayo a noviembrede cada ano, como preparacion de los alumnos participantes en la olimpiadadel estado.

2.3.2. Descripcion

La olimpiada de matematicas en el estado de Morelos, los examenes yentrenamientos, esta dividida en varias etapas con un numero decrecientede alumnos al pasar de una etapa a la otra. La primera etapa empieza con


un examen estatal de opcion multiple, este examen consiste de 20 pregun-tas, dentro de las cuales siempre aparece al menos un tercio de problemasalgebraicos o de otra area que necesitan conocimientos basicos de algebra.Hay que tomar en cuenta que temas de combinatoria y teorıa de numeros seestudian muy poco a nivel secundaria o preparatoria.

A los alumnos seleccionados con este primer examen, se les imparte unentrenamiento de 4 sabados consecutivos, el primero de estos 4 entrenamien-tos esta dedicado al algebra. En este primer entrenamiento de algebra se lesimparte una clase de 2 horas en temas muy basicos de algebra como son:

Productos Notables

Factorizacion

Valor absoluto

Desigualdad basica (todo numero elevado al cuadrado es mayor o igualque cero)

Sumas simples (suma de los primeros n naturales, suma de los cuadra-dos de los primeros n naturales)

Una vez que se concluye esta clase, los alumnos se dividen en grupospequenos de 20 alumnos y se les imparte un taller de 3 horas en resolucionde problemas de algebra, donde los problemas se resuelven usando las ideasvistas en la clase. La manera en como se ha trabajado en anos anteriores,es el hecho de darle al alumno una serie de problemas tipo olimpiada, paralos cuales, el estudiante debe tener un tiempo razonable para resolverlos.El profesor eventualmente debera resolver los problemas, ya sea pidiendo aalgun estudiante que pase al pizarron o el mismo, pero siempre asegurandosede que la mayor parte de los alumnos entienda la solucion.

Al resolver un problema, se puede intercalar la solucion con alguna expli-cacion extra de la teorıa que se crea pertinente, y siempre contestando todaslas dudas de los estudiantes. Siempre hay que motivar y propiciar la partici-pacion de los estudiantes, en la manera que sea crea conveniente, teniendo undialogo con el alumno lo mas personal que se pueda. La idea es hacer sentiral alumno, que las matematicas en la olimpiada son diferentes y mejores quelas que se les ensena en sus escuelas.


Despues de estos cuatro entrenamientos se les aplica un segundo examen,ya tipo olimpiada el cual nos permite seleccionar el grupo con el cual se traba-jara durante los siguientes meses. A partir de este momento, los entrenamien-tos son dos dıas a la semana, 8 horas cada dıa, durante aproximadamente 5meses.

2.3.3. Filosofıa

Existen cuatro areas de las matematicas en la olimpiada de matematicas:algebra, geometrıa, combinatoria y teorıa de numeros. Cada una de estasareas requiere tecnicas diferentes para su ensenanza y cada una tiene susproblemas especıficos de aprendizaje. Ademas, para dominar cada una deellas se requiere la resolucion de gran cantidad de problemas.

Durante nuestro proceso de entrenamiento, se le da mas importancia alalgebra que a las otras areas, en el sentido de que alrededor de una terceraparte del entrenamiento se dedica exclusivamente al algebra. La razon deesto es que nosotros consideramos que el algebra es formativa para los alum-nos, ademas de que gran cantidad de problemas de las otras areas requierenconocimientos de algebra. Los temas que se ensenan en algebra, no estanpensados en el sentido de esperar algun problema que se resuelva con esetema en especıfico, sino con la idea de que ese conocimiento particular deltema pueda ayudar al estudiante a resolver varios problemas, que requieranese tema como una parte de la solucion global del problema.

Como un ejemplo importante a lo anterior, se podrıa mencionar el princi-pio de induccion el cual, si se entiende y domina, es una herramienta poderosaen la resolucion de problemas, no solo en cualquier area de la olimpiada, sinoen las matematicas en general.

2.3.4. El entrenamiento

Primera parte

Aquı se presentan los temas que consideramos preliminares del algebra,es decir, los cuales se podrıan considerar basicos. Usualmente estos temas loscubrimos en tres sesiones de entrenamiento de 8 horas cada una, haciendoenfasis en la teorıa, con problemas como ejemplos, y no tanto en la resolucionde problemas tipo olimpiada. Esto se les presenta a los alumnos entre mayoy junio.


1. Numeros. Definir los diferentes tipos de numeros con los cuales se tra-baja, es decir, naturales, enteros, racionales, reales, etc. Su localizacionen la recta real, propiedades de las operaciones basicas de suma y mul-tiplicacion, ası como la nocion de orden. Sistemas numericos. Ejemplotıpico de problema: mostrar que la raız cuadrada de un primo no es unnumero racional.

2. Valor absoluto. Es importante que el alumno tenga claro este conceptopues nos lleva directamente a la desigualdad de triangulo. Ademas dela definicion, es conveniente ver las propiedades y resolucion de ecua-ciones con valor absoluto. En el concurso nacional del 2004 aparecio unproblema con valor absoluto.

3. Productos notables. Entre mas productos notables se conozcan, masherramientas y rapidez tiene el alumno para resolver cierto tipo deproblemas. Una buena referencia es el libro de Baldor. Es muy im-portante conocer, por ejemplo, como elevar al cuadrado un binomio,trinomio, o alguna expresion con mas de 3 terminos. Ejemplo, examenestatal segunda etapa 2014.

4. Factorizacion. En general, la factorizacion es el proceso inverso de losproductos notables, por lo cual puede ser un poco mas difıcil de do-minar. Es importante para el alumno conocer los diferentes tipos defactorizacion de sumas y diferencias de potencias n-esimas, ası como laidentidad de Sophie Germain. En problemas del tipo de mostrar queciertas expresiones son compuestas, el conocimiento adecuado de fac-torizacion puede ser una herramienta muy util. Un manejo adecuadode la factorizacion y productos notables, permite atacar problemas desistemas de ecuaciones.

5. Desigualdades. Aquı consideramos solo la desigualdad basica de que to-do numero elevado al cuadrado es mayor o igual que cero, ası como lasdesigualdades entre las medias. Es esencial el manejo de la desigualdadentre la media aritmetica y geometrica. Una combinacion de desigual-dades y factorizacion nos lleva a la desigualdad util.

6. Parte entera y parte fraccionaria. Este tema es de los ultimos que he-mos incorporado ya que en muchos paıses es frecuente ver este tipo deproblemas. Los problemas tıpicos son ecuaciones con parte entera.


Segunda parteConsideramos ahora sumas y sucesiones muy particulares de numeros.

Esta parte es cubierta en dos sesiones de 8 horas cada una, durante el mesde julio.

1. Progresiones aritmeticas. Se empieza con la pregunta tıpica de calcularla suma de los primeros n naturales, los primeros n pares o los primerosn impares. Se generaliza un poco, esto introduciendo el concepto deprogresion aritmetica. Ejemplo el problema de los triangulos.

2. Progresiones geometricas. Estas se introducen con el ejemplo tıpico decalcular la suma de las primeras n potencias de un numero fijo. Ejemploel problema de la pelota que rebota, ademas nos da pie para empezara hablar del infinito.

3. Otras sumas. Ver casos de sumas de numeros que no forman parte deprogresiones geometricas o aritmeticas, como la suma de los cuadradoso cubos de los primeros n naturales.

4. Sumas telescopicas. Es una herramienta util el hecho de conocer queciertas sumas pueden ser calculadas de manera muy rapida, si los su-mandos se comportan de cierta forma. Tambien se puede introducir elconcepto de producto telescopico.

Tercera partePara formalizar algunas cosas que han sido estudiadas en las primeras

dos partes, es necesario el Principio de Induccion matematica. En esta partedamos un estudio detallado del principio, teorice y practico. Esta parte escubierta en tres sesiones de 8 horas cada una, durante el mes de agosto.

1. El principio de induccion matematica. Se presenta la primera versiondel principio y se les muestran a los estudiantes varios ejemplos queles permitan ver como se usa y el poder que tiene en matematicas.Los ejemplos son para resolver problemas de distintas areas de las ma-tematicas. Es de especial interes mostrarles ejemplos donde al parecerla induccion no funciona, sin embargo al hacer ciertas modificaciones alproblema, es posible mostrar un resultado mas fuerte con la ayuda deinduccion. Tambien se estudian las distintas versiones del principio consus respectivos ejemplos. Aquı la filosofıa es aprender por repeticion,ası que hay que resolver varios problemas.


2. Coeficientes binomiales. Con la idea de estudiar el teorema del binomiode Newton, es necesario hacer un estudio detallado de los coeficientesbinomiales desde el punto de vista algebraico. Ademas de que es otrolugar donde es muy comun usar induccion. Ejemplo cualquier identidadcon coeficientes binomiales.

3. Descenso infinito. Esta tecnica es un poco mas avanzada, pero la in-cluimos como complemento a lo ya visto de induccion, y aplicada aproblemas sencillos ya vistos, como mostrar que la raız cuadrada de 2no es un numero racional.

4. Pruebas erroneas por induccion. Es comun durante el proceso de in-duccion, cometer algunos errores en los pasos, por lo cual mostramosvarios ejemplos de situaciones donde hay errores y no son tan claros deidentificar. Ejemplo todas las potencias de 2 son iguales a 1.

Cuarta parteAquı introducimos la teorıa de polinomios en los casos de grados pequenos

como 2 y 3. En particular se estudian las relaciones de Vieta y el discriminantede un polinomio cuadratico. Este material es cubierto en dos sesiones de 8horas cada una, en el mes de septiembre.

1. Definicion y propiedades de polinomios cuadraticos y cubicos. Presen-tamos las definiciones basicas de polinomios de estos grados que sepueden extender a un polinomio de grado arbitrario. Tambien se in-troducen las relaciones de Vieta entre las raıces de un polinomio y suscoeficientes. Ejemplo Alemania 1970.

2. Raıces. Para conocer un polinomio es necesario conocer sus raıces. Enel caso de polinomios cuadraticos, es posible analizar las raıces ha-ciendo un estudio detallado del discriminante. Aquı presentamos esteestudio con un tinte geometrico, que nos puede llevar a entender lospuntos extremos de esta clase de polinomios. Ejemplo factorizacion dela identidad cubica o una demostracion sencilla de la desigualdad deCauchy-Schwarz.

Parte finalEn las ultimas semanas del entrenamiento, ya con un numero reducido de

estudiantes (alrededor de 10), las sesiones de algebra consisten en listas deproblemas de algebra de diferente dificultad con las cuales se trabaja duranteuna o varias sesiones.

Capıtulo 3

Algebra y teorıa de numeros

En las areas de algebra y teorıa de numeros se establecio un temario basicoy se trabajo en la creacion de problemas introductorios. Los problemas fueronclasificados por tema. Los encargados de dirigir la seccion fueron Cesar PerezCarrizales y Leonardo I. Martınez Sandoval.

3.1. Temario algebra y teorıa de numeros

Clasificacion de los numeros

Propiedades de los numeros (operaciones, inversos)

Operaciones basicas (simplificacion y factorizacion)

Numeros primos, multiplos y divisores

Criterios de divisibilidad

Descomposicion factorial

Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo

Algoritmo de la division

Teorema del residuo

Paridad

Sumas notables (incluye Gauss)

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18 CAPITULO 3. ALGEBRA Y TEORIA DE NUMEROS

Sucesiones y patrones

Razones, proporciones, porcentajes y regla de tres

Fracciones (comparaciones y operaciones)

Jerarquıa de operaciones

Leyes de los exponentes

Factorizacion y productos notables en algebra

Ecuaciones (lineales, cuadraticas, sistemas)

Lenguaje algebraico

Desigualdades

Fracciones algebraicas

Ley de los signos

3.2. Problemas algebra y teorıa de numeros

3.2.1. Numeros naturales

Problema 1 Paridad¿Cual de los siguientes numeros es par?

a) 2013 b) 201 × 3 c) 201 − 3 d) 201/30.5cm

Problema 2 ParidadEncontrar las parejas de primos p y q tales que p+ q = pq.

Problema 3 Paridad¿Cual de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?

a) 2003n b)n2 + 2003 c) n2 d) 2n2 + 2003

3.2. PROBLEMAS ALGEBRA Y TEORIA DE NUMEROS 19

Problema 4 ParidadHay 2001 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar lıneasentre los puntos por turnos. Empieza A. Gana el primero que complete unciclo. ¿Cual de los jugadores tiene estrategia ganadora?

Problema 5 ParidadSi sabemos que el ultimo dıgito del numero 9n + 99n + 999n es igual a 3,muestra que n es par.

Problema 6 ParidadEn el pizarron estan escritos once numeros 1. Una posible operacion es tomardos numeros y sumarle a ambos 1, restarle a ambos 1 o sumarle 1 a uno delos numeros y restarle 1 a otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tenerescritos en el pizarron once numeros 10?

Problema 7 ParidadEn un cuarto hay dos focos y dos apagadores. Al principio, los dos estanapagados. Totoro juega con los apagadores en total 15 veces. Cuando terminade jugar, ¿cuantos focos siguen apagados?

3.2.2. Propiedades de los numeros (operaciones: suma,producto. Existencia de los inversos)

Problema 8 Propiedades de los numerosCuatro tarjetas tienen un numero escrito de un lado y una frace del otro. Lascuatro fraces son “multiplo de 7”, “primo”, “impar” y “mayor que 100”. Loscuatro numeros son: 2,5,7 y 12.En cada tarjeta el numero escrito de un lado no corresponde con la fraceescrita del otro. ¿Cual es el numero que esta escrito en la tarjeta que dice“mayor que 100”?.

a) 2 b) 5 c) 7 d) 12 e) imposible de determinar

Problema 9 Operaciones basicasSi efectuamos el producto de todos los impares comprendidos entre el 1 y el2014, ¿Cual es la cifra de las unidades del numero ası obtenido?

Problema 10 Operaciones basicasUtilizando los dıgitos 1, 9, 9 y 8 en ese orden, y los sımbolos +, −, × y /,expresa los numeros 7 y 10.


Problema 11 Operaciones basicasEn una tarea Alberto saco 80 de calificacion y ası elevo su promedio de 68 a69 ¿Cuantas tareas habıa antes de la ultima?

Problema 12 Operaciones basicasUna de las siguientes expresiones no es igual a −1. ¿Cual es?

a)− 13√169

b) −100+99−98+...+2−125

c)

(63

3√6

) 38

−6 d)

−(201× 19

2× 18

3× . . .× 1

20

)Problema 13 Operaciones basicasEl producto de tres enteros positivos es 1500 y su suma es 45, ¿Cual es elmayor de esos tres numeros?

Problema 14 SumasCalcula el valor de la siguiente suma 99− 97 + 95− 93 + · · ·+ 3− 1.

Problema 15 Sumas¿Cual es el resultado de la siguiente operacion?

1− 2− 3 + 4 + 5− 6− 7 + . . .− 1998− 1999− 2000

Problema 16 SumasSi S = 1 + 2 + 3 + . . .+ 100, ¿Cuantos signos + hay que cambiar por signos− para obtener 19991 en lugar de S?

Problema 17 Sumas¿Para que entero positivo n se satisface la ecuacion siguiente?

1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1)

2 + 4 + 6 + . . .+ 2n=

2006

2007

Problema 18 SumasSi m y n son enteros y m < n, definamos m⊕ n como la suma de todos losenteros entre m y n, incluyendo a m y n. Por ejemplo, 3⊕6 = 3+4+5+6 =18. ¿A que es igual (1⊕ 18)− (2⊕ 17) + (3⊕ 16)− · · ·+ (9⊕ 10)?


Problema 19 SumasObserva que:

13 = 1

23 = 3 + 5

33 = 7 + 9 + 11

43 = 13 + 15 + 17 + 19

Entonces 503 es igual a:

1. a) 2061 + 2063 + · · ·+ 2157 + 2159

b) 2161 + 2163 + · · ·+ 2257 + 2259

c) 2257 + 2259 + · · ·+ 2353 + 2355

d) 2353 + 2355 + · · ·+ 2499 + 2451

e) 2451 + 2453 + · · ·+ 2547 + 2549

Problema 20 Propiedades de los numerosSi Y es un numero tal que 2006 = 2005 + 2007− Y . Entonces Y vale

a) 2005 b) 2006 c) 2007 d) 2008

Problema 21 Propiedades de los numerosSi se sabe que

1 +1

4+

1

9+

1

16+ . . . = A

¿cual es el valor de

1 +1

9+

1

25+

1

49+ . . .?

a) 34A b) 4

3A c) 5

4A d) 4

5A

Problema 22 Propiedades de los numerosUn numero de tres cifras es equilibrado si una de sus cifras es el promediode las otras dos, por ejemplo, 258 es equilibrado pues 5 = 2+8

2. ¿Cuantos

numeros equilibrados de tres cifras hay?


Problema 23 Propiedades de los numerosMuestra que la siguiente igualdad no es posible para enteros positivos x, y yz: {x

2

}+{y

3

}+{z

5

}= 2.

Aquı {a} denota la parte fraccionaria de a.

Problema 24 Propiedades de los numerosEn la expresion AAB×B = CB5B, cada una de las letras A, B y C denotaun dıgito diferente. ¿Cuales son los valores de A, B y C?

3.2.3. Sucesiones y patrones numericos

Problema 25 SucesionesConsidera la sucesion 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .. El numero colocado en ellugar 100 es...

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16

Problema 26 PatronesEmpiezas con el numero 1. Una “operacion” consiste en multiplicar el numeropor 3 y sumarle 5. ¿Cual es la cifra de las unidades despuees de aplicar laoperacion 1999 veces?

a) 1 b) 2 c) 8 d) 9

Problema 27 PatronesAnaliza los dibujos que se muestran a continuacion

1. a) Dibuja dos V que contiene la sucesion dada.

b) ¿Es posible que una V tenga 100 puntos?, ¿Por que?

c) ¿Cuantos puntos tendra el sexto terminos de la sucesion?

d) ¿A que sucesion de numeros correspondera esta sucesion V? ¿Cualserıa la expresion general que describe a la sucesion?


Problema 28 PatronesAnaliza la siguiente sucesion de numeros 85, 83, 81, 79, 77, 75, . . .

1. a) ¿Cual es el patron utilizado para formarla?

b) ¿Que propiedad poseen los numeros de la sucesion?

c) ¿Puedes anticipar que tipo de numeros no estaran en ella?

d) Escribe una formula para esta sucesion.

Problema 29 PatronesEmpiezas con el numero 1. Una operacion consiste en multiplicar el numeropor 3 y sumarle 5. ¿Cual es la cifra de las unidades despues de aplicar laoperacion 1999 veces?

Problema 30 Progresion aritmeticaSe tiene una progresion aritmetica continua donde la suma de sus cuatroterminos es 200 y la diferencia de sus extremos es 28, encuentra al extremomayor.

Problema 31 Progresion geometricaEn una progresion geometrica se sabe que el producto de extremos es 600.Si los terminos medios son consecutivos ¿Cual es la suma de los terminosmedios?

Problema 32 SumasSe tienen n numeros enteros tales que su suma es 1230, al primero se le suma1, al segundo se le suma 3, y ası sucesivamente hasta el n-esimo al cual sele suma 2n − 1.Despues de esto el resultado de la suma es 2014. ¿Cuantosnumeros habıa originalmente?.

3.2.4. Porcentajes

Problema 33 PorcentajesA un empleado le han aumentado un 20 % a su sueldo anterior y ahora gana6000 pesos. ¿Cuanto ganaba antes?

Problema 34 PorcentajesUn contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litrosde jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuevamentese quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Que porcentajede jugo hay en la mezcla final?


a) 24 % b) 36 % c) 30 % d) 27 %

Problema 35 PorcentajesSi Juan ganaba $15000 mensuales y este mes le pagaron $17250. ¿En queporcentaje aumento su sueldo?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25

Problema 36 PorcentajesA una fiesta el 25 % de los asistentes son mujeres. Si hay 90 hombres,¿cuantas mujeres fueron a la fiesta? a) 30 b) 25 c)15 d) 45

Problema 37 PorcentajesEn una tienda, una blusa costaba $1200, pero por ser fin de temporada reba-jaron su costo en 50 %. Como seguıa sin venderse, hicieron un descuento del25 % sobre el nuevo precio. ¿Cuanto cuesta ahora la blusa?

a) 150 b) 300 c) 450 d) 500

Problema 38 PorcentajesDavid compro un panque. Repartio la mitad con sus companeros. De lo quequedo, repartio la mitad con sus amigos y del ultimo pedazo repartio la mitadcon su familia. ¿Que porcentaje del panque le quedo?

a) 25 b) 12,5 c) 50 d) 75

Problema 39 PorcentajesDos lados paralelos de un cuadrado se aumentan un 10 % y los otros dos ladosse disminuyen en un 10 %. ¿Como cambia el area del cuadrado original?

a) Aumenta 10 % b) Aumenta 1 % c) Disminuye 10 %d) Disminuye 1 %

Problema 40 PorcentajesSi M es el 30 % de Q, Q es el 20 % de P y N es el 50 % de P . ¿Cuanto valeMN

?


3.2.5. Multiplos y divisores

Problema 41 Criterios de divisibilidadConsidera los numeros de cinco dıgitos x = 2014b y y = 4102a (es decir, ay b son dıgitos, no estan multiplicados). Sabemos que 4 divide a y, que 2 nodivide a x y que 3 divide a y−x. ¿Cuales son los posibles valores para |a−b|?

Problema 42 Criterios de divisibilidadSi N = 20142014a2014b en donde a y b son dıgitos y sabemos que 132 dividea N , ¿cuanto vale a+ b?

Problema 43 Criterios de divisivilidad¿Cual es la suma de todos los enteros positivos n que dejan 15 como residuoal dividir 141 entre n?

Problema 44 Criterios de divisivilidad¿Cuantos multiplos de 33 menores a 102014 hay que todos sus dıgitos seanunos?

Problema 45 Criterios de divisivilidadEl numero d456d es divisible entre 18. Si d es un dıgito, ¿cual es su valor?

Problema 46 Criterios de divisivilidadEncuentra el menor entero positivo que sea igual a 5 veces el producto de susdıgitos.

Problema 47 DivisoresSe ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente3 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Que numero es a6?

a) 9 b) 49 c) 121 d) 169

Problema 48 DivisoresSe ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente7 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Que numero es a3?

a) 64 b) 729 c) 15625 d) 3125

Problema 49 Descomposicion de factoresSea n un entero mayor que cero tal que los numeros n× 1998 y n× 2695 soncuadrados perfectos. Encuentra el menor valor que cumple el enunciado.


Problema 50 Ecuaciones en enterosVeronica y su amigo Julio entraron a una librerıa de Bahıa Blanca y com-praron por valores enteros diferentes, superiores a $10. Cada uno quiso pagarcon un billete de $20, pero el dueno no tenıa cambio para cobrarle a ningunode los dos. Entonces Julio ofrecio pagarle con un billete de $50 y ası pudodarle el vuelto. Al ver esto, Veronica saco un billete de $50 y el librero pudocobrarle a ella tambien.¿Cual es el numero mınimo de billetes que podıa tener el librero cuando lle-garon los amigos?.NOTA: Los billetes en circulacion son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1.

Problema 51 Ecuaciones en enterosEn sus primeros cinco examenes, que el profesor califica con notas enterasentre 0 y 10 inclusive, Ramiro obtuvo: 3, 4, 7, 10 y 9. Despues de rendir elsiguiente examen, el promedio de sus seis notas resulto un numero entero.Al rendir el septimo examen, el promedio de sus siete notas fue nuevamenteun numero entero. Calcular las notas que pudo sacarse Ramiro en el sexto yseptimo examen. Dar todas las posibilidades.

Problema 52 Ecuaciones en enterosUn numero se multiplica por 2, despues se le suma 1, luego el resultado semultiplica por 3 y finalmente se le suma 2. ¿Cual de los siguientes numerosno puede ser el resultado?

a) 59 b) 71 c) 77 d) 85

3.2.6. Maximo comun divisor y mınimo comun multi-plo

Problema 53 MCDSe tienen tres varillas de 60cm, 80cm y 100cm de longitud respectivamente.Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre, ni faltanada. Encuentra tres longitudes posibles para cada pedazo.

Problema 54 MCDSe tienen 3 cajas que contienen 1600 kg, 200 kg y 3392 kg de jabon res-pectivamente. El jabon de cada caja esta divido en bloques del mismo pesoen todas las cajas y es del mayor peso posible. ¿Cuanto pesa cada bloque ycuants bloques hay en cada caja?


Problema 55 MCDJuan tiene un terrreno de forma rectagular de 40 metros de ancho y 96 metrosde largo. Si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en elinterior de cada parcela tres arboles, ¿Cual es el mınimo numero de arbolesque podrıa sembrar en todo su terrreno?

Problema 56 MCDEn una fiesta se tienen canastas con fruta. En la de manzanas hay 24, en lade los platanos hay 16, en la de las peras hay 80, en la de los mangos 32 yen la de los kiwis 40. Si a cada persona en la fiesta le toco la misma cantidadde fruta de cada clase, ¿cual es el maximo numero de personas que habıa?

a) 10 b) 6 c) 8 d) 5

Problema 57 MCMAndrea, Barbara y Carlos van a una dulcerıa, Andrea compra cajas con 5chocolates, Barbara compra cajas con 10 paletas y Carlos compra cajas con 9chicles. Si quieren tener la misma cantidad de dulces, ¿cuantas cajas mınimocompraran entre los 3?

Problema 58 MCMUn faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercerocada minuto. A las 6 : 30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las vecesque volveran a coincidir en los 5 minutos siguientes.

Problema 59 MCM¿Cual es el menor numero que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48,en cada caso, da de residuo 9?

Problema 60 MCMBlanca, Rogelio y Marıa tienen cuadernos, los quieren llevar a las escuelasy estan empacados en cajas de 15 cuadernos chicos, 28 cuadernos medianosy 17 cuadernos grandes. Si quieren dejar el mismo numero de cuadernos decada tamano, ¿cuantas cajas deben dejar como mınimo en cada escuela?

Problema 61 MCMAna, Antonio, Rodrigo y Marıa corren en una pista circular. Ana tarda 12minutos en completar una vuelta, Antonio tarda 15, Rodrigo 20 y Marıa 16.Si a las 10:28 empiezan juntos en la meta, ¿a que hora se vuelven a encontrarahı mismo?


Problema 62 MCMJuan y Antonio tienen la misma cantidad de dinero; se sabe que si la cantidadde dinero que tiene Juan se divide entre 11 le sobran 6 y que si la de Antoniose divide entre 13 a el le quedarıan 2, ¿Cual es la cantidad de dinero quetienen?

Problema 63 MCMUn sol de cierta galaxia emite 3 diferentes rayos de la siguiente manera: elrayo alfa cada 16 segundos, el rayo beta cada 45 segundos y el rayo gamacada 140 segundos. Si en este momento se emiten al mismo tiempo los 3rayos, ¿dentro de cuantos segundos se volveran a emitir los 3 rayos al mismotiempo?

3.2.7. Fracciones

Problema 64 FraccionesUna bandera esta formada por tres tiras del mismo tamano como indica lafigura. Cada una de las tiras se ha dividido en dos, tres y cuatro partesrespectivamente. ¿Que fraccion del area de la bandera esta coloreada?

a) 59

b) 47

c) 35

d) 23

Problema 65 FraccionesUna pastilla pesa 4/7 de onza, Juan toma 3/4 partes de ella, ¿Que fracciondel total consumio Juan?

Problema 66 FraccionesUn pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay enel momento de cortar. ¿Que fraccion del pastel quedo despues de cortar 3veces?

Problema 67 FraccionesLa maestra dejo leer un libro. Mariana ha leıdo 3

4partes, Juan lleva 1

3y

Daniela 58. Del libro. ¿En cual de las opciones se indica el orden del que ha

leıdo mas al que ha leıdo menos?


1. Mariana, Daniela, Juan

2. Mariana, Juan, Daniela

3. Juan, Daniela, Mariana

4. Daniela, Mariana, Juan

Problema 68 Fracciones¿De cuantas formas se puede escribir 1

14en la forma a

7+ b

2con a y b enteros?

Problema 69 FraccionesConsiderando el orden de las fracciones 6

9, 7

6, 9

7, ¿donde debe ir 8

7?

1. Antes de 69

2. Entre 69

y 76

3. Entre 76

y 97

4. Despues de 97

Problema 70 FraccionesSi x > 5, ¿cual de las siguientes fracciones es la menos?Mariana, Daniela,Juan

1. 5x

2. 5x+1

3. 5x−1

4. x5

5. x+15

Problema 71 FraccionesSi a

b= b+c

a, ¿cual es el valor de c

b? 5x

1. a2+b2

b2

2. a2−b2b2


3. a3−bb2

4. a3−b3a+b

5. a2

b2

Problema 72 Fracciones¿A que es igual el producto:( 1

2− 1

313− 1

4

)( 14− 1

515− 1

6

)( 16− 1

717− 1

8

)· · ·( 1

48− 1

49149− 1

50

)?

3.2.8. Orden

Problema 73 Orden¿Que numero es menor, (−1)5 o (−1)4?

Problema 74 OrdenOrdena los siguientes numeros de menor a mayor: 15, 20

3, 18

5, 6 y 72

7.

Problema 75 OrdenOrdena de menor a mayor los numeros (−2)(19)(53), (−2)(19)(−53) y (2)(−19)(52).

Problema 76 OrdenOrdena los siguientes numeros de mayor a menor: 0,5, 3

2, 4

7, 1

5y 3

4.

Problema 77 Orden

Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de losasientos se enumera de izquierda a derecha, comenzando por la primera filay hacia atras ¿en que numero de fila esta el asiento 375?

Problema 78 OrdenDe la lista 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, · · · ¿Que numero esta en la po-sicion 2016?

a) 65 b) 45 c) 56 d) 63

Problema 79 OrdenSe tienen 6 tarjetas con los siguientes numeros 309, 41, 2, 5, 68, 7 . ¿Cuales el mayor numero que se puede formar usando sumas, multiplicaciones yparentesis.


3.2.9. Sumas de Gauss

Problema 80 Sumas de GaussUbicar los numeros 1-2-3-4-5-6-7-8-9 en los casilleros de esta cuadrıcula demodo que: el 9 ocupe el centro, los numeros de la primera fila sean todosimpares y la suma de los numeros de cada fila y de cada columna sea lamisma.

Problema 81 Sumas de Gauss¿Cual es el dıgito de las unidades de (1+12)+(2+22)+ . . .+(2000+20002)?

Problema 82 Sumas de GaussPara hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de2 pisos se usan 7 naipes, para hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes, como semuestra en la figura.

¿Cuantos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos?

Problema 83 Sumas de Gauss¿Cuantas perlas en total (blancas y negras) tiene este collar?

Problema 84 Sumas de GaussObserva como esta construida la pared; de ella solo se muestran los ultimoscuatro niveles. La base de esta pared tiene 17 bloques. ¿Cuantos bloques seutilizaron en total para, construir esta pared?


Problema 85 Sumas de GaussDe los siguientes numeros ¿cual es mas grande?

x = 1998(1 + 2 + 3 + . . .+ 1999)

y = 1999(1 + 2 + 3 + . . .+ 1998)

Problema 86 Sumas de GaussDividir al conjunto de los enteros positivos desde 1 hasta 100 inclusive en dosconjuntos A y B tales que A contenga 70 numeros, B contenga 30 numeros, yla suma de todos los numeros de A sea igual a la suma de todos los numerosde B.

Problema 87 Sumas de GaussHallar la suma de todos los numeros que son permutaciones de los dıgitos1,2,3,4 y 5. Esto es 12345 + 12354 + . . .+ 54321.

Problema 88 Sumas de GaussCalcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)menores que uno y cuyo denominador es 1991.

3.2.10. Operaciones basicas con lenguaje algebraico

Problema 89 Expresiones algebraicasEl perımetro de un triangulo esta determinado por la expresion 26a+ 4b− 9y dos de sus lados por las expresiones 13a− b− 8 y 5a+ 7b− 5. Determinala expresion del lado faltante.

3.2.11. Leyes de los signos

Problema 90 Ley de los signosPaty escoge dos numeros de la lista −9,−7,−5, 2, 4, 6 y los multiplica. ¿Cuales el menor resultado que puede obtener?

a) −63 b) −54 c) −18 d) −10


Problema 91 Ley de los signos¿Cual es el valor de las siguiente operacion: 3 + (2− 4)×3 (5− 2)− (7− 2)?

a) −20 b) 4 c) −27 d) 9

Problema 92 Ley de los signos¿Cual es el resultado de hacer la siguiente operacion: 3 − (2 + 4× 3− 5) +4 (6− 8 + 13− 7)?

a) 6 b) 24 c) 10 d) 16

3.2.12. Simplificacion de fracciones algebraicas

Problema 93 Fracciones algebraicasSi n > 1 y

(n+1m

) (m−1n

)= 1, entonces m es igual a

a) n− 1 b) n+ 1 c) 2n d)√n2 + 1

Problema 94 Fracciones algebraicasDe la fraccion algebraica

2x3 − 3x2 − 5x+ 6

2x3 + 3x2 − 8x− 12

obtenga otra equivalente y que sea reducida.

3.2.13. Exponentes

Problema 95 Exponentes¿Que numero es mayor?

a)√

2 b) 31/3 c) 41/4 d) 51/5

Problema 96 Exponentes¿Cuanto es la suma de las cifras del numero N = 1092 − 92?

Problema 97 Exponentes¿Cual de los siguientes numeros es mas grande?

a) 212 b) 415 c) 811 d) 128 e) 326


Problema 98 Exponentes¿Cuantas cifras tiene el numero 21998 × 52002?

Problema 99 Exponentes¿Que numero es mayor, 2201352014 o 2201552013?

Problema 100 ExponentesSi 3x+y = 81 y 25y/2 = 5, ¿cuanto vale x?

Problema 101 Exponentes¿Para que entero positivo j es 22 + 25 + 2j un cuadrado perfecto?

Problema 102 ExponentesReduce la siguiente fraccion a su mınima expresion:

22014 + 22012

22014 − 22012.

Problema 103 ExponentesSi 4x − 4x−1 = 24, ¿cuanto vale (2x)x?

3.2.14. Productos notables

Problema 104 Productos notables¿Cual es el resultado de la siguiente suma?

1√1 +√

2+

1√2 +√

3+

1√3 +√

4+ · · ·+ 1√

49 +√

50

a) 6 b) 10 c)√

50 d) 1 e)√

50− 1

Problema 105 Productos notables¿Cual es el valor de 653355792 − (56335591)(56335567)?

Problema 106 Productos notables¿Cual es le valor de 9999999992 − 1?

Problema 107 Productos notablesSea N = 999 · · · 9︸︷︷︸

2014 veces

¿Cuanto vale la suma de los dıgitos de N3?


Problema 108 Productos notablesSean a y b numeros que cumplen a+ b = 1 y a2 + b2 = 2. Encuentra el valorde a3 + b3.

Problema 109 Productos notablesSean x y y dos numeros tales que x+ y = 3 y xy = 1. Encuentra el valor dex3 + y3.

Problema 110 Productos notablesEncuentra dos numeros enteros a y b que cumplan

a+ b+ ab = 2013.

Problema 111 Productos notablesSi a y b son numeros positivos distintos que cumplen a2 + b2 = 4ab, hallar el

valor de(a+ba−b

)2.

Problema 112 Productos notablesSi x2 + y2 = 6xy con x 6= y, ¿a que es igual x+y

x−y?

3.2.15. Factorizacion

Problema 113 FactorizacionSi a4+4b4 = 20 con a y b enteros positivos, determina el valor de a2−2ab+b2.

Problema 114 FactorizacionEncuentra todos los numeros m y n tales que:

m2

8!+

1

7!=

3n!

4 · 7!+

21

8!.

Problema 115 FactorizacionEl producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A que edadtuvo el hijo de Pedro a su hijo?




Problema 118 FactorizacionEl producto de las edades de Juan y sus dos nietos es 2013. ¿Cuantos anostiene el nieto mas joven?

Problema 119 FactorizacionEncuentra todos los enteros n tales que el numero

(n2 − n+ 1)(n2 + 3n+ 1)

sea un numero primo positivo.

3.2.16. Ecuaciones

Problema 120 EcuacionesEscribe los numeros 21, 147, 2015 como suma de dos enteros consecutivos.

Problema 121 Ecuaciones¿Es posible escribir al 21 como suma de 3 enteros consecutivos?

Problema 122 Ecuaciones¿Es posible escribir a 21 como suma de 6 enteros consecutivos?

Problema 123 EcuacionesLa suma de cuatro enteros consecutivos es 1994. ¿Cual es el menor de loscuatro numeros?

Problema 124 Ecuaciones¿Cuanto vale x en la siguiente figura?

81cm2

18cm

2

x

x

a) 2cm b) 7cm c) 9cm d) 10cm e) 11cm


Problema 125 EcuacionesRaul, Vıctor y Teresa recogen pelotas en un campo de golf. Raul junto eldoble de pelotas que Teresa y esta 5 mas que Vıctor. Si en total recogieron35 pelotas, ¿cuantas recogio Teresa?

Problema 126 EcuacionesEn una caja hay canicas rojas, verdes y azules. Las rojas son el triple de lasazules y las azules el triple de las verdes y en total hay 65 canicas. ¿Cuantascanicas rojas hay?

Problema 127 EcuacionesEn el diagrama se ven dos reglas; la de arriba, de 10 cm de longitud, divididaen 10 partes de 1 cm, y la de abajo, de 9 cm de longitud, tambien divididaen 10 partes iguales. Si el extremo derecho de la cuarta division de la reglade abajo coincide con el extremo derecho de la septima division de la regla dearriba, calcular la distancia entre los puntos marcados A y B.

A B

Problema 128 Ecuaciones cuadraticasHay solo dos valores de a para los que la ecuacion 4x2 + ax + 8x + 9 tieneuna unica solucion para x. ¿Cuanto vale la suma de esos dos valores?

3.2.17. Sistemas de ecuaciones

Problema 129 Sistemas de ecuacionesEl rectangulo de la figura esta formado por 6 cuadrados. La longitud de cadauno de los lados del cuadrado es 1 cm. ¿Cual es la longitud del lado delcuadrado mas grande?

11


a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

Problema 130 Sistemas de ecuacionesEn una feria la entrada para los adultos cuesta $90 y para los ninos $55. Sicierto dıa el numero de adultos que asistio es una tercera parte del numerode ninos y en las entradas se recaudaron $25500, ¿cuantos ninos fueron a laferia?

a) 300 b) 100 c) 600 d) 200

Problema 131 Sistemas de ecuacionesConsideramos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de maneraque si del monton A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luegodel B pasamos al C tantas canicas momo hay en C y del C pasamos al Atanta como existen ahora en el A, tendremos el mismo numero canicas encada monton. ¿Cuantas canicas habıa en principio en el monton A?

Problema 132 Sistemas de ecuacionesEl entrenador mas experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar unelefeante. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cuantos minutostardaran el entrenador y su hijo en lavar tres elefantes trabajando juntos?

Problema 133 Sistemas de ecuacionesLa yerba en un prado crece con densidad y rapidez homogeneas. Sabiendoque 70 vacas consumen la yerba en 24 dıas y 30 vacas la comen en 60 dıas,¿Cuantas vacas consumiran la yerba en 96 dıas?

Problema 134 Sistemas de ecuacionesEncontrar el valor de xyz donde x, y y z son numeros positivos que satisfacenel siguiente sistema de ecuaciones

x2 +1

y+ z = 9

x2 +1

y− z = 3

x2 − 1

y+ z = 5.

a) 115

b) 13

c) 12

d) 3


Problema 135 Sistemas de ecuacionesEncuentra las soluciones enteras positivas del sistema

w + x = yz

y + z = wx.

3.2.18. Desigualdades e inecuaciones

Problema 136 Desigualdades¿Cuantos enteros n hay tales que 22n ≥ n2 + 120?

Problema 137 DesigualdadesUna fabrica de paletas vende cada paleta a $5 y hacer una paleta cuesta $3. Siademas la fabrica gasta $600 cada mes en el transporte de las paletas, ¿cuales el mınimo numero de paletas que se deben vender para tener ganancias?

Problema 138 DesigualdadesBeto tiene 16 anos menos que Pedro y las edades de Beto y Pedro sumanmenos de 70 anos. ¿Cual es la maxima edad que puede tener Pedro? a) 43b) 42 c) 41 d) 44

Problema 139 DesigualdadesRosa y Petra hacen sueteres y 2 veces el numero de sueteres que hace Rosa,menos el numero de sueteres que hace Petra es 24. Si el triple de sueteresque hace Petra es mayor que 51, ¿cual es el mınimo numero de sueteresque pueden hacer entre las dos? a) 22 b) 23 c) 24d) 25

Problema 140 DesigualdadesDos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57 encuentra la suma a+ b.

Problema 141 DesigualdadesRosa y Petra hacen sueteres y 2 veces el numero de sueteres que hace Rosa,menos el numero de sueteres que hace Petra es 24. Si el triple de sueteresque hace Petra es mayor que 51, ¿cual es el mınimo numero de sueteres quepueden hacer entre las dos?

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25


Problema 142 DesigualdadesSean x, y, z enteros no negativos tales que x+ y + z = 12. ¿Cual es el valormas grande de la suma xyz + xy + yz + zx?

a) 62 b) 72 c) 102 d) 112

Problema 143 DesigualdadesEntre los numeros

√7 +√

10 y√

3 +√

19 escribir el sımbolo adecuado, <,> o =.

Problema 144 Desigualdades geometricasDemuestra que todos los recangulos de un perımetro dado P , el cuadrado esel que tiene mayor area.

Problema 145 Desigualdades geometricasDemuestra que de los rectangulos que tienen la misma area A, el de menorperımetro es el cuadrado.

Problema 146 Desigualdades geometricasDemuestra que la suma de los catetos de un triangulo rectangulo nunca excede√

2.

Problema 147 Desigualdades geometricasDemuestre que para cualquier angulo agudo α se tiene que

tan(α) + cot(α) ≥ 2.

Problema 148 Desigualdad del triangulo?Cuantos triangulos diferentes puedes hacer de modo que sus medidas seannumeros del conjunto {1, 2, 4, 8, . . . , 1024}?

Problema 149 Desigualdad del trianguloTotoro tiene 10 popotes de distintos tamanos y se dio cuenta de que no puedeconstruir ningun triangulo con ellos. Si el mas pequeno mide 1, ¿que longi-tudes puede tener el mas grande?

Capıtulo 4

Combinatoria

En combinatoria la dinamica fue propuesta y dirigida por Luis MiguelGarcıa Velazquez. Consistio en definir colaborativamente un temario y luegotrabajar en secuencias en funcion del temario propuesto.

Una secuencia es una lista de problemas que cumple un objetivo de en-seanza especıfico. En este caso el objetivo fue cubrir los distintos temas basi-cos en el area de combinatoria para olimpiada.

4.1. Temario introductorio para combinato-

ria

El temario que se definio fue el siguiente

Uso de conjuntos (operaciones basicas, subconjuntos)

Organizar la informacion (listas ordenadas, separar por casos)

Principio de adicion y multiplicacion

Diagramas de arbol

Patrones en recursividad

Principio de las casillas (elemental)

“Contar” con repeticiones

Patrones en problemas dinamicos: invarianza, estrategias ganadoras,coloraciones

41

42 CAPITULO 4. COMBINATORIA

4.2. Problemas

A partir del temario, se trabajo por equipos para crear secuencias quetuvieran un problema de cada tema. A continuacion se enlistan todos losproblemas propuestos. Para recuperar una secuencia para trabajo en el grupo,basta elaborar una lista tomando un problema de cada tema.

Problema 150 Principio de adicion y multiplicacionEn placalandia hay dos tipos de placas, las placas tipo A (alfabeto de 27letras) y las placas tipo B que tienen 2 numeros seguidos de 3 letras distintos.¿Cuantas placas distintas puede haber en placalandia?

Problema 151 Principio de adicion¿Cuantos cuadrados existen que tengan sus lados en las aristas de la siguienterejilla?

Problema 152 Principio de multiplicacionEn la siguiente figura se permite caminar en cualquier direccion, exceptodirectamente hacia la izquierda. Si no se permite pasar dos veces por el mismositio, ¿cuantos caminos existen del punto A al punto B?

Por ejemplo, un camino valido es el siguiente:

4.2. PROBLEMAS 43

Problema 153 Problemas dinamicosSe tienen 3 montones con 3, 4 y 5 piedras respectivamente, un jugador Acomienza tomando una cantidad de piedras, tomando al menos una piedra ya lo mas todas las piedras que puede en un monton, un segundo jugador Bhace lo mismo en su turno. Asi continuan alternadamente Gana el jugadorque toma la ultima piedra. ¿Quien puede tener la estrategia ganadora?

Problema 154 Problemas dinamicosEn una cuadrıcula de 4×4 se tiene un foco en cada casilla, ordenados como sepresenta en la figura. Un movimiento permitido es elegir una fila (columna)y se encienden todos los focos apagados en esa fila (columna) y se apagantodos los focos encendidos en esa fila (columna). ¿Es posible mediante estosmovimientos llegar a tener todos los focos encendidos? Nota: Los puntosnegros son focos apagados, y los puntos blancos son focos encendidos.

Problema 155 Organizar informacion¿De cuantas formas se pueden escoger 3 numeros entre el 1 y 9 tal que susuma no sea multiplo de 3?

Problema 156 Organizar la informacionSe tienen 6 casillas, tres blancas y tres negras. ¿De cuantas formas se puedenordenar en una lınea recta?

44 CAPITULO 4. COMBINATORIA

Problema 157 ConteoEn un intercambio de regalos hay 7 personas. ¿De cuantas maneras es posiblehacer el arreglo si cada uno debe dar y recibir un regalo? (Nadie debe recibirsu propio regalo)

Problema 158 Conteo¿Cuantas palabras diferentes pueden formarse utilizando todas las letras dela palabra matematica? Las palabras pueden no tener sentido, por ejemplo,timc.

Problema 159 Patrones y recursividadSe tienen 2014 personas en un salon rectangular con 53 filas con 38 asientoscada una. Cada persona saluda a las personas que se encuentran a su alrede-dor (a lo mas cuatro: atras, enfrente, izquierda y derecha) ¿Cuantos saludosse dieron en total?

Problema 160 Patrones y recursividad¿Cuantas diagonales tiene un polıgono de n lados?

Problema 161 Conjuntos e inclusion-exclusion¿Cuantos numeros menores que 1000 no son multiplos de 3, ni de 5, ni de7?

Problema 162 Conjuntos e inclusion-exclusion¿Cuantos numeros del 1 al 100 no son multiplos de 2, 3, y 5.

Problema 163 Principio de las casillasEn un cajon se tienen 5 tipos de calcetines: azules, rojos, verdes, blancos yamarillos. ¿Cuantos calcetines tengo que sacar para asegurar que salgan 2calcetines del mismo color?

Problema 164 Principio de las casillasConsidera los numeros 1, 4, 7, 10, ..., 100. A lo mas, ¿cuantos numeros se pue-den tomar de manera que la suma de cualesquiera dos de ellos no sea 104?

Problema 165 ColoracionA un tablero de ajedrez se le cortan dos esquinas (opuestas), ¿sera posiblecubrir totalmente el tablero con fichas de domino sin traslaparlas?

olimpiada mexicana de matemáticas curso de entrenadores 2014

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