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Olimpiada Costarricense de Matemáticas
Material para capacitación de estudiantes
para segunda eliminatoria
Olimpiadas Costarricenses de Matemática
NIVEL A
2012
1
Contenido Geometría ............................................................................................................................... 3
Selección única ....................................................................................................... 3
Desarrollo ............................................................................................................... 8
Respuestas Geometría........................................................................................... 10
Álgebra ................................................................................................................................. 13
Selección única ..................................................................................................... 13
Respuestas Álgebra .............................................................................................. 16
Conteo ................................................................................................................................... 17
Selección única ..................................................................................................... 17
Desarrollo ............................................................................................................. 19
Respuestas conteo ................................................................................................. 20
Razonamiento ....................................................................................................................... 22
Selección única ..................................................................................................... 22
Desarrollo ............................................................................................................. 26
Respuestas razonamiento ...................................................................................... 28
Teoría de números ................................................................................................................ 30
Selección única ..................................................................................................... 30
Desarrollo ............................................................................................................. 33
Respuestas teoría de números ............................................................................... 34
2
Introducción
El presente material consta de una recopilación de ejercicios que fueron incluidos en pruebas de segunda eliminatoria de nivel A durante los años 2006 a 2011.
En cada ítem se indica el año, eliminatoria y número de pregunta. Por ejemplo, (2006, II, 1) indica que se trata de la pregunta número 1 de la segunda eliminatoria del año 2006. Esta guía se indica para que sea más sencillo consultar las respuestas que se enlistan al final del documento por tema.
Se ha hecho una división de los ítems por temas, de modo que encontrará algunos de razonamiento, otros de conteo, teoría de números, geometría y álgebra.
Esperamos que este material le sea de mucho provecho en su preparación para la segunda eliminatoria nacional 2012.
Comité Organizador
Olimpiada Costarricense de Matemática
3
Geometría
Conceptos geométricos básicos y su notación: punto, recta, plano. Puntos colineales y no colineales. Puntos coplanares y no coplanares. Segmentos de recta, semirrectas, rayos, y semiplanos. Rectas paralelas, perpendiculares, concurrentes. Clasificación de ángulos por su medida y por su posición. Relaciones de medida entre los ángulos. Ángulos determinados por dos rectas y una transversal. Desigualdad triangular. Teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo. Teorema de la medida del ángulo externo de un triángulo. Teorema de la suma de los ángulos externos de un triángulo. Clasificación de triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos internos o a la medida de sus lados. Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y círculo. Rectas notables en un triángulo. Propiedades de las rectas notables en un triángulo. Congruencia de triángulos.
Selección única
1. (2006, II, 8) ABCD es un trapecio, con ______
|| DCAB , �45=∠=∠ BCDmADCm . E y F
son puntos sobre el lado ___DC tales que DE = EF = FC = 1. Además, el trapecio
tiene la propiedad de que ______
|| BCAF y ______
|| ADBE .
El perímetro del trapecio viene dado por A) 24 B) 6 C) 224 +
D) 324 +
2.(2007, II, 3) Se ha dividido el lado del paralelogramo ABCD en cinco partes iguales,
y por los puntos de subdivisión se han trazado segmentos paralelos al lado , tal y como se ilustra en la figura
Si (ABCD) = 1320 2cm , el área total, en centímetros cuadrados, de la región sombreada,
viene dada por
A) 264 B) 660 C) 396 D) 132
4
3. (2007, II, 6) Sea ABCD un rectángulo. Sobre el lado se toma un punto P tal que AP = AD, y sobre el lado se toma un punto Q tal que AQ = AB.
Si BD = 6, el área del cuadrilátero APCQ viene dado por
4. (2007, II, 10) En el trapecio PQRS, y SR = 2 PQ. M es el punto medio de
, N es el punto medio de y L es un punto en el lado tal que LR = 3 LS. Si PQ = 1, entonces la razón entre el área del triángulo LMN y el área del trapecio PQRS es
5. (2008, II, 3) Sea △ABC un triángulo acutángulo, tal que AB = 15 cm y AC = 13 cm. Si la altura de este triángulo trazada desde el vértice A mide 12 cm, entonces (ABC) viene dada por
6. (2008, II, 8) En la figura ACBD es un rectángulo. P, Q, R y S son los puntos medios de
sus lados y T es el punto medio del segmento RS. Si (ACBD) = 1, entonces (PQT) viene dada por
A) 1
4
B) 1
5
C) 3
8
D) 5
16
A) 36 B) 24 C) 12 D) 18
4
1
3
1
2
1
3
2
A) 78 cm2
B) 84 cm2
C) 90 cm2
D) 97, 5 cm2
A)
B)
C)
D)
5
7. (2008, II, 11) Sea C un punto de AB , diferente de los extremos y P un punto tal que
PC AB⊥ que verifica la igualdad 2 .PC AC BC= . Entonces podemos afirmar que el triángulo APB es un triángulo
8. (2012, II, 1) Considere el paralelogramo ABCD de la figura adjunta. Si M es el punto
medio del lado CD y N es el punto medio del lado AD , entonces el área del BMDN□ corresponde a
A) ( )3 ABN⋅
B) ( )4 BCM⋅
C) ( ) ( )( )2 ABC BCM⋅ +
D) ( ) ( )2ABC BCM+ ⋅
9. (2011, II, 5) Considere un rectángulo ABCD, donde M y N son los puntos medios de los lados AD y BC respectivamente y P y Q son las intersecciones de AC con BM y AC con ND. Si se tiene que AD mide 5cm y que AB mide 3cm, entonces el área del cuadrilátero MPQD corresponde a
A) 11
4
B) 3
C) 13
4
D) 15
4
10. (2011, II, 10) En un rectángulo ABCD se tiene que AD = 2AB. Sea M el punto medio
de BC , O el punto de intersección de las diagonales, P el punto de intersección de AM y
BD , N el punto de intersección de MD y AC . Si DC l= entonces el área del cuadrilátero MNOP es
A) 2
12
l
B)
2
6
l
C) 2
4
l
D)
22
5
l
A) acutángulo B) isósceles C) obtusángulo D) rectángulo
6
11. (2011, II, 11) Considere conjuntos de diez números naturales distintos donde se tiene que, si se toman tres elementos diferentes a; b; c del conjunto, se puede construir un triángulo cuyos lados miden a; b; c unidades. De todos los conjuntos que pueden formarse con esta condición, el menor número natural que se puede tomar es A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 12. (2010, II, 8) Considere el triángulo ABC. Sea X el pie de la altura desde B al lado AC
y sea Y el pie de la altura desde A hasta el lado BC . Sea T la intersección de estas dos alturas. Si 50m ABC∠ = � y 60m BAC∠ = � , entonces la medida del BTY∠ es: A) 25� B) 30� C) 65� D) 70� 13. (2010, II, 10) Sea P un punto interior del cuadrado ABCD, las distancias de P a los
véertices A, D y al lado BC son iguales a 10, entonces la medida BC es: A) 10 B) 12 C) 14 D) 16
14. (2010, II, 11) Se tiene el rectángulo ABCD dividido en tres rectángulos congruentes como se muestra en la figura, si BC = 4, entonces AB es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
7
15. (2010, II, 12) Se dibujó un triángulo equilátero BCD y un cuadrado ABDE. Este cuadrado se dividió en cuatro cuadrados iguales y uno de estos se dividió de nuevo en cuatro cuadrados como se ve en la figura. Sabiendo que el lado de cada uno de estos cuadrados es 5, el perímetro del polígono ABCDE es: A) 20 B) 60 C) 80 D) 100
16. (2005, I, 9) En la figura adjunta, se tiene que AC = CB, DE||AC ,
°° == 20,55 βα . La medida del ángulo BED es igual a
17. (2005, I, 17) En la figura adjunta ABCD es un rectángulo de área 24 2cm y E es el punto medio del lado AB . El área del trapecio AECD es igual a
18. (2005, I, 22) El área del ABC△ de la figura adjunta es 9 2cm ; M es el punto medio del lado AC y N es el punto medio de AM . El área del MNB△ es
A) 1,125 2cm
B) 4,5 2cm
C) 3 2cm
D) 2,25 2cm
A) 50° B) 110° C) 55° D) 75°
A) 2cm6 B) 2cm12 C) 2cm20 D) 2cm18
8
19. (2005, I, 26) La figura adjunta representa un rectángulo ABCD en el que E, F, G, H son los puntos medios de los lados. Los rectángulos AEOH y OFCG se han dividido a su vez en cuatro partes congruentes. La parte sombreada representa del área total del rectángulo
A) 32
3
B) 163
C) 1
8
D) 1
6
20. (2005, I, 30) Considere el cuadrilátero ABCD y un punto X en BC como lo
muestra la figura. Se trazan la paralela a AX y a DX que pasen, respectivamente por B y C. Estas paralelas se intersecan en el punto P. Si
el área del cuadrilátero ABCD es de 2cm48 , el área del triángulo APD viene dada por
Desarrollo
1. (2006, II, 3 Des) En los lados ______BCyAD del rectángulo ABCD, se escogen los puntos F
y E, respectivamente, tal que el cuadrilátero AECF es un rombo, como lo muestra la figura
Si AD = 16 y AB = 12, hallar la longitud del segmento ___EF
A) 24 2cm B) 16 2cm C) 36 2cm D) 48 2cm
9
2. (2008, II, 3 Des) En los lados AD y BC del rectángulo ABCD, se escogen los puntos F y E, respectivamente, tal que AECF es un rombo. Si AD = 16 y AB = 12, encontrar la longitud del segmento EF .
3. (2011, II, 3 Des) Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD□ , en donde los puntos M, N,
O y P son los puntos medios de los segmentos , ,AB CB CD y AD respectivamente. Demostrar que el MNOP□ es un paralelogramo. 4. (2010, II, 3 Des) En la figura el área del trapecio ABCD es 196, si AB = BC y
2BC AD= ⋅ ¿cuál es el área del triángulo ABC?
10
Respuestas Geometría SELECCIÓN:
# Tomada de Respuesta 1 2006, II, 8 C 2 2007, II, 3 C 3 2007, II, 6 D 4 2007, II, 10 B 5 2008, II, 3 B 6 2008, II, 8 A 7 2008, II, 11 D 8 2011, II, 1 B 9 2011, II, 5 C 10 2011, II, 10 D 11 2011, II, 11 B 12 2010, II, 8 D 13 2010, II, 10 D 14 2010, II, 11 B 15 2010, II, 12 D 16 2005, I, 9 A 17 2005, I, 17 D 18 2005, I, 22 D 19 2005, I, 26 A 20 2005, I, 30 D
DESARROLLO: 1. (2006, II, 3 Des) Llamemos con x = AE = EC = CF = AF. Dado que AD = 16, entonces
FD = 16− x. Como DC =12. Por el teorema de Pitágoras en el triángulo DFC, tenemos que: FD2 + DC2 = FC2.
Sustituyendo valores: (16− x)2 + 122 = x2, y despejando tenemos que x = 2
25
Nuevamente, aplicando el teorema de Pitágoras ahora al triángulo ADC obtenemos que AD2 + DC2 = AC2, o sea, 162 + 122 = AC2, despejando AC = 20.
11
Como las diagonales de un rombo son perpendiculares y se bisecan, el triángulo EGC es un triángulo rectángulo y así GC = 10. Aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras ahora a este triángulo, se tiene que EG2 +
GC2 = EC2: EG2 + 100 = 4
625.
Por lo tanto: EG = 1522
15 == EGEFy
2. (2008, II, 3 Des) Podemos construir la figura
Llamemos con x AE EC CF AF= = = = . Tenemos que AD = 16, FD = 16 x− , DC = 12
Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo DFC:
2 2 2FD DC FC+ =
2 2 2(16 ) 12x x− + = ⇒ 25
2x =
Análogamente en el triángulo ADC, se tiene que 2 2 216 12 AC+ = , de donde AC = 20. Como las diagonales de un rombo se bisecan y son perpendiculares, el triángulo EGC es un triángulo rectángulo y GC = 10. Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras al triángulo EGC : 2 2 2EG GC EC+ = , y así
15
2EG = .
Finalmente EF = 2. EG=15 3. (2011, II, 3 Des) Dado un cuadrilátero convexo ABCD como el de la figura adjunta, note que:
1) MN es paralela media del △ABC
entonces MN AC� y 2
ACMN = .
2) OP es paralela media del ACD△ entonces OP AC� y 2
ACOP= .
12
3) De a) y b) por transitividad se concluye que OP MN� y OP MN= . Por lo tanto, MNOP□ tiene un par de lados opuestos congruentes y paralelos, entonces es un paralelogramo.
4. (2010, II, 3 Des)
13
Álgebra Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica. Ecuaciones de primer grado con coeficientes racionales. Conjuntos numéricos: los naturales, enteros y racionales. Operaciones. Potenciación. Valor absoluto. Notación científica.
Selección única 1. (2007, II, 9) Se numeran consecutivamente los casilleros de los estudiantes del
Bachillerato, comenzando por el casillero número 1. Los dígitos hechos en plástico que se utilizan para tal efecto cuestan $ 2 cada uno. Entonces, cuesta $ 2 rotular el casillero 9 y $ 4 rotular el casillero 10. Si cuesta $ 13 794 rotular todos los casilleros, entonces la cantidad de casilleros que hay en el colegio para los estudiantes del Bachillerato es
2. (2007, II, 13) Un rombo tiene perímetro igual a “m”, la suma de sus diagonales es “s”, entonces el área del rombo, en términos de m y de s, es igual a
3. (2008, II, 2) S y E son dos gallinas de una granja. S pone 12 huevos en el mismo tiempo que E pone 10 huevos. Si juntas ponen 66 huevos, ahorran 660 días respecto al tiempo que demora S poniendo sola.
La cantidad de días que duran las dos gallinas juntas en poner 22 huevos es igual a
A) 2 001 B) 2 010 C) 2 100 D) 2 726
+ 2m2s16
4
1
− 2m2s4
16
1
− 2m2s
4
1
+ 2m162s
8
1
A) 183 B) 264 C) 220 D) 132
A)
B)
C)
D)
14
4. (2008, II, 12) Sea ABC un número de tres cifras en el que A, B y C son sus dígitos.
Sabiendo que .
0A B C
B C
− =−
, entonces la cantidad de estos números ABC que satisfacen
la condición dada es de
5. (2011, II, 9) El valor de la suma
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 48... ...
2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 49 49 49 49 + + + + + + + + + + + + + + +
es
A) 588
B) 612,5
C) 1176
D) 1225
6. (2011, II, 12) Una expresión equivalente a 7 40− es
A) 5 2−
B) 7 10 20
10
+
C) 5
2
D) 2 5−
7. (2010, II, 1) Carlos tiene cuatro veces la edad que Marcela tenía cuando él tenía la edad que ella tiene ahora. Si además se sabe que cuando Marcela tenga la edad que Carlos tiene ahora, la suma de sus edades será de 114 años, entonces el dígito de las decenas del producto de las edades actuales de Carlos y Marcela corresponde a: A) 0 B) 2 C) 4 D) 6
A) 24 B) 12 C) 20 D) 14
15
8. (2010, II, 5) Tres hamburguesas, siete refrescos y una orden de papas fritas cuestan 7150, cuatro hamburguesas, diez refrescos y una orden de papas fritas cuestan 9750.¿Cuánto cuesta una hamburguesa, un refresco y una orden de papas fritas? A) 1750 B) 1950 C) 2150 D) 2350
9. (2005, IB, 24) En una comunidad rural hay mil escolares que son atendidos por 19 maestros y maestras. La Dirección asigna a cada maestro 30 escolares más que a cada maestra. Sin embargo, se reconoció que la situación no era justa y se decidió aumentar en 8 escolares más la clase de cada maestra, reduciéndose proporcionalmente las de los maestros Actualmente cada maestro atiende un total de
10. (2005, IB, 28) Carolina hizo un queque que dividió en cuatro porciones: dos de un cuarto, una deun tercio y una de un sexto. Ella se comió una de las porciones y le dio las otras tres a su hermano Juan, quien a su vez comió una porción y los dos hijos de éste, Margarita y Pedro, comieron las restantes. Sabiendo que:
El gemelo del que comió la mayor porción y quien comió la menor porción son de sexos opuestos
♦ Quien comió más y quien comió menos tienen la misma edad La porción de pastel que comió Carolina es de
A) 48 escolares B) 45 escolares C) 59 escolares D) 62 escolares
A) 31
B)
4
1
C)
12
5
D)
6
1
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Respuestas Álgebra
# Tomada de Respuesta 1 2007, II, 9 A 2 2007, II, 13 B 3 2008, II, 2 B 4 2008, II, 12 D 5 2011, II, 9 1 6 2011, II, 12 B 7 2010, II, 1 C 8 2010, II, 5 B 9 2005, IB, 24 C 10 2005, IB, 28 D
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Conteo Problemas que se resuelven mediante estrategias de razonamiento lógico. Problemas donde se aplica el concepto de probabilidad.
Selección única 1. (2006, II, 4) Una diseñadora dispone de 5 tonos de color naranja, 7 tonos de color verde
y 4 tonos de color morado, y quiere escoger dos de estos colores para un logotipo. Ella considera que usar dos tonos del mismo color es aburrido, pero todas las demás combinaciones le agradan. El número de opciones que tiene es igual a
2. (2007, II, 8) La cantidad de resultados diferentes que podemos obtener sumando dos
números distintos del conjunto {1,2,3...,10} es igual a
3. (2007, II, 4) La cantidad de números de ocho cifras que poseen siete cifras iguales a
siete, es igual a
4. (2008, II, 6) Melisa es una muchacha supersticiosa, al numerar las 200 páginas de su
diario, comenzó del 1, pero excluyó aquellos números donde las cifras 1 y 3 aparecían juntas en cualquier orden. Por ejemplo, los números 31 y 137 no aparecen en el diario, pero el 103 sí aparece.
El número que escribió en la última página de su diario es
A) 55 B) 67 C) 70 D) 83
A) 11 B) 15 C) 17 D) 18
A) 79 B) 10 C) 16 D) 80
A) 220 B) 215 C) 214 D) 216
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5. (2008, II, 10) En una encuesta a 160 personas sobre las preferencias de leer las revistas
A y B, se obtuvo que: el número de personas que les gusta A y B es 14 de los hombres
que sólo les gusta A y que corresponde a la mitad de las mujeres que sólo les gusta A. El
número de hombres que sólo les gusta B es 23 del número de mujeres que sólo les gusta
B. Se sabe que el número de personas que les gusta A es 84 y el número de personas que les gusta B es 62. Entonces, el número de personas que no les gusta A ni B es igual a
6. (2011, II, 7) Considere el conjunto { }2,3,5,6,7,9B = . Entonces la mayor cantidad de
números pares de tres cifras diferentes que se pueden formar con los elementos de B corresponde a A) 25 B) 40 C) 45 D) 50 7. (2010, II, 4) Para la cena de clausura de la próxima convención de ejecutivos de una empresa se ha planeado un menú compuesto por varios tipos de plato fuerte, de ensalada, de bebida y de postre. Se sabe que hay una opción más de plato fuerte que de postre, el doble de opciones de bebidas que de postres y una opción menos de ensalada que de plato fuerte. Se sabe que si asisten 150 personas a la cena cada una podría pedir una combinación diferente de menú, pero si asisten 300 personas, eso no sería posible. ¿Cuál es la máxima cantidad de personas que puede asistir a la cena, de forma que todos pidan una combinación diferente de menú? (Suponga que todos pedirán exactamente un plato fuerte, una ensalada, una bebida y un postre) A) 200 B) 216 C) 248 D) 275 8. (2010, II, 7). ¿Cuántos números naturales menores que 100 cumplen que la suma de sus cifras es menor que 10? A) 39 B) 45 C) 54 D) 60
A) 14 B) 72 C) 50 D) 26
19
Desarrollo 1. (2007, II, 2 Des) Cada par de comunidades de un país están enlazados por exactamente un medio de transporte: bus, tren o avión. Los tres medios de transporte son usados en el país, pero ninguna comunidad tiene los tres servicios y no hay tres comunidades enlazadas dos a dos por el mismo medio. Determinar el máximo número de comunidades de dicho país.
2. (2008, II, 1 Des) La familia Fernández, compuesta por el papá, la mamá y sus tres hijos: Pablo, Claudio y Carolina, se suscribió por el año 1994 al diario “La Nación”. El sábado 1° de enero empezó a recibir el diario en su casa. La familia acordó que cada integrante se levantaría temprano a recoger el periódico, en forma alternada empezando por el papá y en el orden dado al comienzo. Determinar cuántos días Domingo al año indicado, le tocará recoger el diario a cada integrante de la familia.
3. (2007, II, 1 Des) Dados tres puntos no alineados en el espacio, al único plano que los contiene lo llamaremos plano determinado por los puntos.
Hallar el mínimo número de planos determinados por 6 puntos en el espacio, si no hay 3 alineados y no están los 6 en un mismo plano.
4. (2011, II, 1 Des) En una biblioteca se le asigna a cada uno de los libros un código, formado por 3 de las 26 letras de nuestro alfabeto, en el siguiente orden AAA, AAB, ..., AAZ, ABA, ABB, ..., ABZ, ..., AZA, AZB, ..., AZZ, BAA, BAB, ... Si se sabe que hay 2203 libros, determine el código que utilizaron para catalogar el último libro.
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Respuestas conteo
Selección
# Tomada de Respuesta 1 2006, II, 4 D 2 2007, II, 8 C 3 2007, II, 4 C 4 2008, II, 6 C 5 2008, II, 10 D 6 2011, II, 7 A 7 2010, II, 4 B 8 2010, II, 7 C
Desarrollo (2007, II, 2 Des) Sea n el número de comunidades del país. Los tres medios de transporte los denotaremos como A, B y T. Para que se usen los tres medios de transporte en el país, debe tenerse 3≥n . Para n = 3, basta unir cada par de comunidades con un medio de transporte distinto. Para n = 4, sean C1 , C2, C3 y C4 las cuatro comunidades. Unimos C1 con C2 , C2 con C3 , C3 con C4, C4 con C1 , mediante el medio de transporte A. Unimos C1 con C3 mediante B y, finalmente unimos C2 con C4 mediante T. Para 6≥n , cada comunidad está unida por lo menos con otras cinco comunidades y, como no tienen los tres servicios de transporte, entonces al menos debe estar unida con tres comunidades mediante el mismo medio de transporte. Tenemos una comunidad C0 unida a otras tres comunidades C1 , C2 y C3 mediante el mismo medio de transporte, digamos A. Luego las comunidades C1, C2 y C3 sólo pueden estar unidas por los medios de transporte B y T. Pero las tres comunidades no pueden estar unidas por el mismo medio de transporte. Luego, entre los tres enlaces existentes debe haber por lo menos uno del tipo B y otro del tipo T. Pero entonces se tendría una comunidad atendida por los tres medios de trasporte, contradiciendo la condición del problema. Luego, no hay solución para este caso. Para n = 5 hay que hacer un análisis de casos, llegando a la conclusión de que tampoco hay solución. Finalmente, el máximo número de comunidades en dicho país es cuatro. (2008, II, 1 Des) Si a un integrante de la familia le corresponde recoger el diario un día domingo, por ejemplo, entonces dado que 5 (que es el número de miembros de la familia) y 7 (número de días de la semana) son primos entre sí, le volverá a tocar un día domingo dentro de 35 días (que corresponde al mínimo común múltiplo de 5 y 7). De modo que es
21
necesario saber cuándo le correspondería por primera vez y luego dividir la cantidad de días restantes (para completar el año) por 35 para saber el número total de veces que deberá recoger el diario el día domingo. Calculando se verifica sin dificultad que al papá le tocará el día 22 del año, a la mamá el primer domingo, a Pablo el 29, a Claudia el 8 y a Carolina el 36. En consecuencia, al papá le corresponderá 10 veces, a la mamá 11, a Pablo 10, a Claudia 11 y, a Carolina 10 veces, recoger el diario un día domingo. (2011, II, 1 Des) Como el alfabeto tiene 26 letras, existen 26×26 = 676 códigos con la misma letra en la primera posición. Hay 2203 libros, 3 × 26 × 26 = 2028 y 4 × 26 × 26 = 2704, así podemos concluir que la primera letra del código buscado es la letra D. Además, el código CZZ cataloga el libro 2028. A partir de este libro faltan 2203-2028=175 libros por catalogar. Como 6 × 26 = 156 y 7 × 26 = 182, podemos concluir que la segunda letra es la G. Por último, 175-156 = 19 por lo que la última letra del código es la letra S. Por lo tanto, el último código utilizado es DGS.
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Razonamiento Problemas que se resuelven mediante estrategias de razonamiento lógico. El sistema métrico decimal (unidades de longitud, capacidad, peso y volumen; conversiones). Razones y proporciones. Regla de tres simple y compuesta. Porcentajes.
Selección única 1. (2006, II, 1) Se consideran las siguientes figuras, formadas por “cuadraditos”
....
Entonces, en la figura 20 habrá un total de 2. (2006, II, 2) Se quiere partir un pastel que tiene la forma de un cuadrado, en 52 pedazos
con cortes rectos que lo atraviesan por completo y que sean paralelos a sus lados. Entonces, para lograr esto, se deben de hacer por lo menos
3. (2006, II, 3) En el área de las comunicaciones, un bloque de datos consiste de 512
pedazos de información. Si un canal puede transmitir 120 pedazos de información por segundo. Entonces el tiempo estimado que se tomaría en enviar 60 bloques de datos a través de ese canal es de
A) 191 cuadraditos B) 821 cuadraditos C) 841 cuadraditos D) 761 cuadraditos
A) 12 cortes B) 15 cortes C) 17 cortes D) 26 cortes
A) 4 segundos B) 0.4 segundos C) 2 minutos D) 4 minutos
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4. (2006, II, 5) Si “m” y “n” son números enteros, con “m” menor que “n”, se define la notación nm ⊕ como la suma de todos los números enteros comprendidos entre m y n, incluyendo a “m” y a “n”. Así, por ejemplo: 18654363 =+++=⊕ .
El resultado de ( ) )(...)()( 109163172181 ⊕+−⊕+⊕−⊕ , es igual a
5. (2006, II, 7) Juanito colocó un número entero en cada una de las casillas de un
cuadriculado de 3 x 3. Se dio cuenta de que cada número de la tercera columna era la suma de los dos números a su izquierda, mientras que cada número de la tercera fila era el producto de los dos números de arriba. Sabemos que Juanito colocó los números 6, 3 y 2 como se muestra en la figura:
6 3 2
El número que colocó Juanito en la esquina inferior derecha de este cuadriculado
viene dado por 6. (2006, II, 10) Cuatro troncos rectos de madera con las longitudes dadas en el diagrama,
se colocan en posiciones paralelas tal como se indica. Se hace un solo corte a lo largo de una recta L perpendicular a los troncos de manera que la suma de las longitudes por un lado de la recta de corte es igual a la suma de las longitudes de la madera al otro lado de dicha recta.
A) 19 B) 95 C) 161 D) 190
A) − 1 B) 9 C) 16 D) 18
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La longitud, en metros, de la parte del tronco superior que queda a la izquierda de L es
7. (2006, II, 9) Dos amigos juegan con las ruletas mostradas: Juan con la de la izquierda y
Lupe con la de la derecha. En su turno, cada jugador gira su aguja en el sentido de las manecillas del reloj tantos lugares como lo indique la ruleta del jugador contrario. Por ejemplo, si la aguja de Juan apunta al 2 y la de Lupe apunta al 4 y es el turno de Juan, entonces Juan mueve su aguja hasta que apunte al 3 (dando una vuelta completa y avanzando un lugar más). Inicialmente ambas agujas apuntan al número 1. Empieza Juan y luego se van alternando los turnos.
El número que indica la ruleta de Lupe después de 2006 jugadas es igual a 8. (2007, II, 2) Juan, Luis, Pedro y Esteban participaron en una carrera. Si se sabe que solo ellos participaron, y que:
i) Si Juan ganó entonces Luis o Pedro obtuvieron el segundo lugar ii) Si Pedro fue el segundo lugar, entonces Esteban llegó antes que Luis iii) Si Luis llegó antes que Pedro, entonces Juan obtuvo el tercer lugar iv) Si Pedro llegó antes que Esteban, entonces el ganador fue Juan
Se puede asegurar que el último en llegar a la meta NO fue
A) 4.25 B) 3.25 C) 3.50 D) 3.75
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
A) Juan B) Luis C) Pedro D) Esteban
25
9. (2007, II, 5) El código de barras de un libro está formado por barras blancas y dos tipos de barras negras: anchas y delgadas. Sabemos que el código comienza y termina con barras negras y que hay 3 barras negras anchas menos que barras blancas. En total hay
10. (2007, II, 12) Andrea tiene una caja con 2007 dulces de 5 colores: 392 blancos, 396
amarillos, 388 rojos, 427 verdes y 404 azules. Sin mirar saca 4 dulces, si son del mismo color los regala, sino, los devuelve a la caja. Si al final solo quedan 3 caramelos en la caja, ellos son de color
11. (2008, II, 1) Tres amigos: Carlos, Marcos y Eduardo se han graduado como profesionales en Agronomía, Historia y Técnico en Computación, sin que conozcamos cuál de las profesiones corresponde a cada uno de ellos.
Se sabe que Carlos, quien es el esposo de la hermana de Eduardo es mayor que el que estudió computación. El agrónomo quien es hijo único es el menor de los tres.
Entonces, la profesión de Marcos
12. (2011,II,3) Se tiene que ocho personas pagan 16 días en cierto hotel, con un costo de
425000 colones. Si se mantiene la tarifa establecida, entonces el costo en colones para 20 personas durante doce días corresponde a
A) 796 875 B) 956 250 C) 1 035 937,5 D) 1 050 000
A) una barra negra delgada B) cuatro barras negras delgadas C) dos barras negras delgadas D) cinco barras negras delgadas
A) blancos B) amarillos C) verdes D) azules
A) es Historiador B) es Agrónomo C) no es posible determinarla D) es Técnico en Computación
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13. (2011,II,4) Carlos y Daniel compiten en una carrera de 400 metros planos. Cuando Carlos llega a la meta, a Daniel aún le faltan 20 metros. Al día siguiente vuelven a correr y Carlos, para compensar su ventaja, inicia la competencia 20 metros atrás del punto de salida. Suponiendo que ambos corren a la misma velocidad que el día anterior, se puede afirmar que A) Ambos llegan al mismo tiempo B) Carlos gana con un metro de ventaja C) Daniel gana con un metro de ventaja D) Carlos gana con dos metros de ventaja 14. (2011, II, 9) Si un taller de ebanistería trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 muebles del mismo tipo, entonces el número de días que tarda en hacer 3000 piezas trabajando 10 horas diarias, corresponde a A) 8 B) 12 C) 18 D) 24
15. (2010, II, 2) En un campo el pasto crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Si se sabe que 70 vacas se la comerán en 24 días ¿cuántas vacas serán necesarias para comerse todo el pasto en 60 días? A) 28 B) 32 C) 48 D) 175
Desarrollo 1. (2006, II, 1Des) Considere el siguiente cuadriculado en el que se ha colocado fijo el
número 9 en la casilla central. Se quieren acomodar los números enteros del 1 al 8 (inclusive), en los cuadros libres, de forma que los números de la primera fila sean impares y la suma de los números de cada fila y cada columna sea la misma
9
Hallar todas las formas posibles de realizar el acomodo indicado.
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2. (2008, II, 2 Des). Se tiene una balanza de dos platillos. En uno de ellos se tienen 38 objetos A de 25 gramos cada uno y en el otro 77 objetos B de 10 gramos cada uno.
Determinar el número de objetos que deben intercambiarse para que ambos platillos
tengan igual peso. 3. (2010, II, 1 Des). En un tablero con 10 000 casillas, se colocan los números naturales en orden ascendente desde el 0 hasta el 9 999 (un número por casilla) y se coloca una ficha en la casilla numerada con el cero. Alejandra, Bruno, Camila y David deciden jugar de la siguiente manera:
• Alejandra será la primera en jugar y en sus turnos mueve la ficha 13 espacios hacia adelante.
• Bruno será el segundo y en cada una de sus jugadas mueve la ficha 11 espacios hacia atrás. La tercera en jugar será Camila y a ella le corresponde mover la ficha 7 espacios hacia el frente en cada uno de sus turnos.
• Por último juega David, y en sus turnos mueve la ficha 3 espacios hacia atrás. • Después de David nuevamente le corresponde jugar a Alejandra y así
sucesivamente. Si en alguno de los movimientos un jugador lleva la ficha a una casilla numerada con un múltiplo de 10, deberá repetir su movimiento, excepto en el caso en que la casilla sea al mismo tiempo múltiplo de 2010, en cuyo caso el jugador ganaría el juego. Por ejemplo si Camila lleva su ficha a la casilla 353, David deberá retroceder la ficha 3 espacios, por lo que la llevaría a la casilla 350 y como esta casilla está numerada con un múltiplo de 10, entonces David deberá repetir su movimiento (retroceder la ficha 3 espacios más) y la dejarla en la posición 347. ¿Cuál de los jugadores ganará el juego, y en qué casilla colocará la ficha?
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Respuestas razonamiento
Selección
# Tomada de Respuesta 1 2006, II, 1 D 2 2006, II, 2 B 3 2006, II, 3 D 4 2006, II, 5 B 5 2006, II, 7 B 6 2006, II, 10 D 7 2006, II, 9 C 8 2007, II, 2 D 9 2007, II, 5 B 10 2007, II, 12 C 11 2008, II, 1 B 12 2011,II,3 D 13 2011,II,4 A 14 2011, II, 9 A 15 2010, II, 2 A
Desarrollo 1. (2006, II, 1Des) La suma de todos los números de los cuadros es 1 + 2 +...+ 9 = 45, así que la suma en cada renglón debe ser igual a 15. Como además, los números del primer renglón deben ser impares, en el primer renglón escribimos 3, 5 y 7 en algún orden. Observamos que arriba del 9 sólo podemos poner al 5, entonces las únicas posibilidades
son:
7 5 3 3 5 7 2 9 4 4 9 2 6 1 8 8 1 6
2. (2008, II, 2 Des). La balanza que tiene los objetos A, tiene un peso igual a 950 gramos. La balanza que tiene los objetos B, tiene un peso igual a 770 gramos Para que cada uno de los platillos tenga igual peso, cada uno debe pesar:
38.25 77.10 1720
8602 2
gramos+ = =
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En cada intercambio A disminuye con respecto a B en 25 10 15gramos− = (o bien, B aumenta con respecto a A en 15 gramos). Por lo tanto, siendo n el número de objetos A que deben pasarse a B, para obtener igual peso en ambos platillos, entonces
950 15 860n− =
(O bien, siendo n el número de objetos B que deben pasarse para A, para obtener igual peso en ambos platillos, entonces 770 15 860n+ = , de donde 6n = ) De donde 6n = (es la cantidad de objetos que deben intercambiarse para obtener igual peso en ambos platillos de la balanza). 3. (2010, II, 1 Des). Estudiemos los primeros movimientos que hacen los competidores, intentando identificar un ciclo (es decir un comportamiento que se repita) que nos permita determinar quién ganará el juego. En este caso, buscaremos un momento en el que Alejandra (la primera jugadora) inicie su movimiento a partir de una casilla numerada con un múltiplo de 10, tal como sucede en su primer movimiento.
Alejandra Bruno Camila David 13 2 9 6 25 14 21 18 31 20 9 16 13
26 15 22 19 32 21 28 25 38 27 34 31 44 33 40 47 44
57 46 53 50 47
60 73
Observe que cuando Alejandra lleva la ficha a la posición 60, debe repetir su movimiento, es decir adelanta la dicha 13 espacios más, empezando de nuevo un ciclo a partir de una casilla numerada con un múltiplo de 10. Esto quiere decir que Alejandra llevará la ficha a todas las casillas que estén numeradas con un múltiplo de 60, y como el mayor múltiplo de 60 que es menor que 2010 es 1980, entonces Alejandra llevará la ficha a esta casilla, empezando un nuevo ciclo. Ahora bien, como en el primer ciclo ningún competidor llegó a la casilla 30, entonces, tampoco podrán llegar a la casilla 2010 (dado que 2010 = 1980 + 30). Sin embargo, como 4020 es el siguiente múltiplo de 2010 y dado que es a su vez múltiplo de 60, es claro que Alejandra terminará por llevar la ficha a esta casilla, con lo que será la ganadora del juego.
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Teoría de números Concepto de divisibilidad: divisor, múltiplo. Propiedades. El algoritmo de la división. Números primos y compuestos. El teorema fundamental de la aritmética (descomposición canónica). Notación desarrollada de un número en base 10. Reglas de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11. Números primos y compuestos. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo. Obtener los divisores positivos de un número natural.
Selección única 1. (2006, II, 6) La cantidad de números múltiplos de 6, menores que 1000, que tienen la
propiedad de que la suma de sus dígitos es 21, es igual a 2. (2007, II, 4) El resultado de efectuar la operación DCBA −−+
en la que
200410238D
2006101243C
200510256B
2007108452A
.,
.,
.,
.,
====
es igual a
3. (2007, II, 11) Con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 se forman enteros de dos cifras que sean múltiplos de 3 y de 5. Entonces, la cantidad de enteros distintos que se pueden formar viene dada por
A) 8 B) 10 C) 12 D) 15
2004102592 .,
2004102592 .,−
200710586872 .,
200710586872 .,−
A) 0 B) 2 C) 1 D) 3
A)
B)
C)
D)
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4. (2007, II, 14) La cantidad de números enteros positivos, menores que 2007, tales que tengan un número impar de divisores diferentes, viene dada por
5. (2008, II, 5) Considere la lista de los números enteros positivos que son múltiplos de 6, menores que 1000 y que tienen la propiedad de que la suma de sus dígitos es igual a 21. Entonces la cantidad de elementos que tiene la lista así construida viene dada por
6. (2008, II, 7) El mayor factor primo que divide al entero positivo 14 133 3 12n = + − , es
7. (2008, II, 9) Rubén le cambia dos dígitos al número 888 para obtener el mayor número de tres dígitos, divisible por 8. Javier le cambia dos dígitos al número 888 para obtener el menor número de tres dígitos, divisible por 8. La diferencia entre el mayor y el menor de estos números dados por Rubén y Javier, es igual a
8. (2008, II, 13). Al subir las gradas de una escalera de dos en dos, no sobra ninguna. Si se suben las gradas de la misma escalera de tres en tres, sobra una grada. Si el número de gradas de la escalera es divisible por cinco y por un número comprendido entre 50 y 90; entonces la cantidad de gradas que tiene la escalera es de
A) 44 B) 45 C) 50 D) 100
A) 24 B) 18 C) 12 D) 6
A) 13 B) 83 C) 97 D) 73
A) 800 B) 840 C) 856 D) 864
A) 80 B) 55 C) 85 D) 70
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9. (2008, II, 15) La cantidad de números que hay del 1 al 1000 que pueden escribirse en la
forma ba con ,a b enteros mayores que 1, es
10. (2008, II, 14) Un rectángulo de lados cuyas medidas son enteros positivos m y n, está dividido en cuadrados de lado 1. Un rayo de luz entra al rectángulo por uno de los vértices, en la dirección de la bisectriz del ángulo recto, y es reflejado, siguiendo esta dirección sucesivamente, en los lados del rectángulo, hasta concluir en uno de los vértices del rectángulo dado que es cuando el rayo sale. El número de cuadrados, en función de m y n que son atravesados por el rayo de luz, viene dado por
11. (2011, II, 1) La cantidad de números enteros tales que al elevarlos a la 11 el resultado es igual que el mismo número corresponde a A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
12. (2011, II, 6 ) Sean a y b números naturales tales que 4 4a b es divisible por 36, entonces con certeza podemos asegurar que A) a es divisible por 6 ó b es divisible por 6 B) a y b son pares C) ab es divisible por 6 D) ab es divisible por 36 13. (2010, II, 3) El número de ceros que hay al final del número 100! 1 2 3 99 100= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ es A) 24 B) 20 C) 10 D) 11
A) 43 B) 40 C) 49 D) 50
A) El máximo común divisor de m y n B) m n+ C) El mínimo común múltiplo de m y n D) .m n
33
14. (2010, II, 6) ¿Cuál es el residuo al dividir 827 por 5? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
15. (2010, II, 9) ¿Cuál es la suma de los dígitos del número ( )2201010 1+ ?
A) 2 B) 4 C) 2010 D) 2011
Desarrollo 1. (2006, II, 2 Des) Determinar la cantidad de pares ordenados de números enteros, que
no contienen ceros y que al multiplicarse dan 90000 2. (2007, II, 3 Des) La asociación de amigos de la matemática invita, todos los años a sus afiliados a su congreso anual. Este año, exactamente el 27,18181818....% de los asistentes eran mujeres, el 55, 55555555...% eran personas mayores de 30 años, y el 37% llevaba algún libro de matemática. Sabiendo que el número de afiliados no es mayor de 15 000, determinar el número de asistentes al congreso y el número de asistentes que NO llevaban libro de matemática. 3. (2011, II, 2 Des) Pruebe que un número de la forma ( )( )1 1a a a+ − es divisible por 24,
donde a es un número impar mayor que 2.
4. (2010, II, 2 Des) Indique cuántos números naturales de cinco dígitos tienen al mismo tiempo las siguientes propiedades:
a) Es divisible por 5 b) El producto de sus dígitos es 420 c) El valor absoluto de la diferencia entre cualquier pareja de dígitos adyacentes es diferente de 1.
34
Respuestas teoría de números
Selección
# Tomada de Respuesta 1 2006, II, 6 C 2 2007, II, 4 C 3 2007, II, 11 D 4 2007, II, 14 A 5 2008, II, 5 C 6 2008, II, 7 D 7 2008, II, 9 C 8 2008, II, 13 D 9 2008, II, 15 B 10 2008, II, 14 C 11 2011, II, 1 B 12 2011, II, 6 D 13 2010, II, 3 A 14 2010, II, 6 D 15 2010, II, 9 B
Desarrollo
1. (2006, II, 2 Des) La factorización en primos del número 90 000 es 452342 .. . Para obtener una pareja que cumpla la condición basta repartir los factores primos de 90000 en dos números de tal manera que el 2 y el 5 no queden juntos, pues de lo contrario el producto terminaría en cero. Así, un número tendrá todos los números 2 y 5 y la cantidad de parejas depende únicamente de las formas distintas de repartir los números 3. Entonces hay TRES parejas, (144,625), (48,1875) y (16,5625) (y las permutaciones de éstos). 2. (2007, II, 3 Des) Según los datos del problema:
% de los asistentes que eran mujeres: 18 2 299
27,18181818... 27,18 27 2799 11 11
= = = =
% de los asistentes que eran mayores de 30 años: 5 500
55,5555... 559 9
= =
% de los asistentes que llevaba algún libro de matemática: 37
35
Si N representa la cantidad total de asistentes al congreso entonces 37
100
N,
50059
100 9
N N= y
29929911
100 1100
N N= son números enteros.
Por lo tanto, N es un múltiplo de 9 y de 1100, es decir, es múltiplo de 9900 y como no es mayor de 15 000 entonces 9900N = . Así, participaron 2691 mujeres y 5500 personas mayores de 30 años. Además, 3663 llevaban algún libro de matemática, por lo que 6237 no llevaban ningún libro de matemática. 3. (2011, II, 2 Des) Note que ( )( )1 1a a a+ −
es el producto de tres enteros consecutivos, por lo que es
necesariamente divisible por dos y tres, entonces es divisible por 6. Como a es impar entonces (a−1) y (a+1) tienen que ser pares consecutivos, uno de ellos debe ser divisible por 4, por lo que la expresión ( )( )1 1a a a+ − es divisible por 8.
Entonces se concluye que (a−1)a(a+1) es divisible por 24, tal y como se quería probar. 4. (2010, II, 2 Des) Al factorizar encontramos que 2420 2 3 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ por lo que los únicos dígitos que pueden componer números que cumplan las condiciones buscadas son 1, 2, 5, 6 y 7 ó 2, 2, 3, 5 y 7. Además como los números buscados deben ser múltiplos de 5, es claro que su último dígito debe ser 5. En el caso de los números formados por los dígitos 1, 2, 5, 6 y 7 tenemos que el dígito 1 puede colocarse en 4 posiciones distintas. Observe el esquema siguiente, donde marcamos con una x las posiciones negadas para el dígito 2 y con una Y las negadas para el dígito 6. Al lado de cada una de las opciones se escriben los números que cumplen las condiciones dadas.