obras civiles estructuras de hormigÓn

7/27/2019 OBRAS CIVILES ESTRUCTURAS DE HORMIGN

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OBRAS CIVILES: ESTRUCTURAS DE HORMIGN Departamento de Ingeniera Sanitaria y Ambiental - UdeA

Riveros, C.A., Garca, E.F., Rivero, J.E. Pgina 1

1. ESTADOS LMITE Y FILOSOFAS DE DISEO

Procedimiento de diseo

Fase 1

Definicin de las necesidades de los clientes y las prioridades

Requerimientos funcionales.

Requerimientos estticos.

Requerimientos de presupuesto.

Fase 2

Desarrollo conceptual del proyecto

Desarrollo de posibles esquemas.

Anlisis preliminar aproximado para cada uno de los esquemas / costo para cada

arreglo.

Seleccin del sistema estructural ms favorable.

Fase 3

Diseo del sistema individual

El anlisis estructural (basado en el diseo preliminar)

Anlisis de cargas y determinacin de esfuerzos o fuerzas internas en trminos de

momentos, fuerzas cortantes y fuerzas axiales.

Diseo

Especificaciones de construccin.

Dimensionamiento y diseo de los elementos estructurales.

Esttica.

Factibilidad de construccin.

Mantenimiento.

Estados lmite:

Condicin en la cual una estructura o elemento estructural ya no es aceptable para su usoprevisto. En estructuras de concreto reforzado se tienen tres estados lmites:

Estado lmite ltimo.

Estado lmite de servicio.

Estado lmite especial.


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Estado lmite ltimo

Tiene que ver con el colapso estructural de toda o parte de la estructura (con muy poca

probabilidad de ocurrencia).

Tiene que ver con la prdida del equilibrio de una o todas las partes de una estructura como

un cuerpo rgido (volcamiento, deslizamiento de la estructura).

Tiene que ver con la ruptura de los componentes crticos, causando el colapso parcial o

completo (flexin, falla a cortante).

Colapso progresivo

(1) Debido a una falla menor local, lo que ocasiona sobrecargas a los elementos adyacentes e

induciendo un colapso total de la estructura. La integridad estructural se proporciona mediante

la vinculacin de los elementos que componen la estructura por medio de un adecuado

detallamiento del acero de refuerzo, proporcionando vas alternativas de transmisin de cargas

en caso de falla localizada. (2) Formacin de un mecanismo plstico (articulaciones plsticas)

en algunas zonas de la estructura haciendo que la estructura pase a ser inestable. (3)

Inestabilidad causada por deformaciones de la estructura causando pandeo y por consiguiente

incrementos en los momentos de diseo de los elementos de soporte a cargas verticales. (4)

Fatiga en elementos estructurales puede fracturarlos en virtud de ciclos de esfuerzos repetidos

por las cargas de servicio (pueden causar colapso).

Estado lmite de servicio

La parte funcional de una estructura es afectada, pero el colapso no es inminente; lo cual puede

generar un peligro potencial para los elementos no estructurales. Un ancho de grieta excesivo

produce una fuga. La corrosin del refuerzo produce deterioro gradual de estructura. Las

deflexiones excesivas causan mal funcionamiento de la maquinaria, rompimiento de vidrios o

vitrinas actuando como elementos no estructurales, cambios en las distribuciones de fuerzas, las

vibraciones no deseadas producen cambios en las cargas.

Estado lmite especial

El dao y la falla son provocados por condiciones anormales como: terremotos de gran

magnitud, inundaciones, deslizamientos, efectos del fuego, explosiones, colisiones vehiculares,

efectos de corrosin, inestabilidad fsica y qumica a largo plazo.

Diseo en estado lmite

Identificar todos los posibles modos de falla. Determinar niveles aceptables de seguridad paralas estructuras normales con base en las recomendaciones de los cdigos de construccin


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vigentes. Considerar los estados lmites significativos. Los elementos se deben disear para el

estado lmite ltimo. El servicio se comprueba.

Cdigos de Construccin

Cuando dos materiales diferentes, tales como acero y hormign, actuando en conjunto deben ser

analizados, es comprensible que el anlisis del esfuerzo en un elemento de hormign armado

tiene que ser parcialmente emprico, aunque racional. Estos principios semi-racionales estn

siendo revisados constantemente y mejorado como resultado de la investigacin terica y

experimental que se acumula. El American Concrete Institute (ACI), sirve como centro de

informacin para estos cambios, as como principal referente de los diferentes cdigos de

construccin a nivel mundial.

Filosofas de diseo

Mtodo de esfuerzos admisibles (enfocado en condiciones de cargas de servicio).

Mtodo de resistencia (enfocado en las cargas ltimas).

Mtodo de esfuerzos admisibles

La seguridad en el diseo se obtiene especificando que el efecto de la carga debe producir

esfuerzos que corresponden a una fraccin de fy, por ejemplo 0.5. Este valor equivale a proveer

un factor de seguridad de 2. Este mtodo no es apropiado para el diseo de estructuras modernas

debido a las siguientes limitaciones:

El concepto de resistencia se fundamenta en el comportamiento elstico de materiales

homogneos.

Este mtodo no proporciona una medida razonable del esfuerzo, el cual es una medida ms

fundamental de la resistencia que el esfuerzo admisible.

El factor de seguridad es aplicado solo a la resistencia, por lo que las cargas en este modeloson de naturaleza determinstica (sin variacin).

La seleccin del factor de seguridad es subjetiva y por lo tanto no proporciona una medida

de confianza en trminos de probabilidad de falla.

Mtodo de resistencia

En el mtodo de resistencia se considera conceptualmente ms realista para establecer la

seguridad estructural, en este mtodo las cargas de servicio son incrementadas por medio de


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factores para obtener las cargas a las cuales la falla es considerada inminente; sta carga es

llamada carga factorizada o carga mayorada.

Resistencia Proporcionada Resistencia Requerida

Generalmente la resistencia proporcionada es levemente mayor a la resistencia requerida. La

resistencia proporcionada se calcula de acuerdo con las normas y los supuestos de

comportamiento prescrito por el cdigo de construccin y la resistencia requerida se obtiene

mediante la realizacin de un anlisis estructural con cargas mayoradas. La "resistencia

proporcionada" se conoce comnmente como "resistencia ltima".

Provisiones de seguridad

Las estructuras y elementos estructurales deben ser diseados para resistir carga adicional por

encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por

las que algn tipo de factor de seguridad es necesario en el diseo estructural.

Variabilidad en resistencia

Variabilidad en cargas

Consecuencia de la falla

Variabilidad en resistencia

La variabilidad de la resistencia del concreto y el refuerzo.

Las diferencias entre las dimensiones de los elementos construidos en obra y los que se

encuentran consignados en los planos estructurales.

Los efectos de la simplificacin hecha en la derivacin de la resistencia de los

elementos.

Comparacin de la medida y clculo de los momentos de falla basados en todos los datos de

vigas de hormign armado con f'c > 2000 psi


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Figura 24

Variabilidad en cargas

Distribucin de frecuencias de los componentes sostenidos de las cargas vivas en las oficinas.

Figura 25

Consecuencias de la falla


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Una serie de factores subjetivos deben ser considerados en la determinacin de un nivel

aceptable de seguridad:

La posible prdida de vidas humanas.

El costo de retirar escombros con la correspondiente sustitucin de la estructura y sucontenido.

Costo para la sociedad.

Tipo de advertencia de la falla estructural y la existencia de rutas de carga alternativas.

Margen de seguridad

Las distribuciones de la resistencia y la carga se usan para obtener una probabilidad de falla de

la estructura.

Figura 26

Margen de seguridad

El trmino Y = R S se llama margen de seguridad. La probabilidad de falla se define como:

Pf= Probabilidad de < 0

Y el ndice de seguridad es:

Y

Y

=


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Figura 27

Cargas

Especificaciones

Las ciudades en los EE.UU. en general, basan sus cdigos de construccin en uno de los

siguientes tres cdigos (despus del 2000):

International Building Code IBC (Cdigo Internacional de Construccin)

Building Code Requirements for structural Concrete and Commentary ACI Committee

318, 2008. (Los cdigos de construccin de concreto estructural y comentarios)

Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los cdigos de construccin la antes del ao

2010 fue:

Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente, NSR-98, 1998.

Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los cdigos de construccin la despus del

ao 2010 es:

Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente, NSR-10, 2010.

Cargas muertas

El peso de toda la construccin permanente.

Magnitud constante y ubicacin fija.

Ejemplos:

Peso de la estructura (paredes, pisos, techos, cielorrasos, escaleras).

Equipo de servicio fijo (HVAC, pesos de tubera, bandeja de cables).

Pueden ser inciertas:

Espesor del pavimento


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Relleno de tierra sobre la estructura subterrnea

Cargas Vivas

Cargas producidas por el uso y ocupacin de la estructura.

Mximo de cargas que se puedan producir por el uso previsto.

No menos que el mnimo de carga uniformemente distribuida dada por el cdigo.

Cargas Ambientales

Cargas de nieve.

Terremoto.

Viento.

Presin del suelo. Estancamiento de aguas pluviales.

Diferenciales de temperatura.

Cargas de construccin

Materiales utilizados para llevar a efecto una construccin.

Peso de la formaletera que soporta el peso del concreto fresco.


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2. PROPIEDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO

Definicin de Concreto

Material compuesto de cemento Portland, agregado fino (arena), agregado grueso (grava /piedra), y agua con o sin otros aditivos.

Hidratacin

Proceso qumico en el que el polvo del cemento reacciona con el agua y luego se pone y se

endurece en una masa slida, uniendo los agregados.

Calor de hidratacin

El calor se libera durante el proceso de hidratacin. En grandes masas de hormign el calor sedisipa lentamente, dando lugar al aumento de la temperatura y la expansin de volumen; ms

adelante hay contraccin por causas de enfriamiento, debido a esto es importante el uso de

medidas especiales para controlar la fisuracin.

Dosificacin

El objetivo es lograr la mezcla con:

Resistencia adecuada.

Trabajabilidad adecuada para la colocacin.

Bajo costo.

Bajo costo

Minimizar la cantidad de cemento.

Gradacin buena de los materiales (disminuyendo los vacos y por lo tanto la pasta de

cemento requerida).

Relacin agua-cemento (A / C)

El aumento de A / C: mejora la plasticidad y fluidez de la mezcla.

El aumento de A / C: los resultados en disminucin de la resistencia debido al mayor

volumen de vacos en la pasta de cemento y debido al agua libre.

La completa hidratacin del cemento requiere A / C ~ 0.25.

Necesidad de agua para humedecer la superficie total, facilitar la movilidad del agua

durante la hidratacin y proporcionar trabajabilidad. Tpico de A / C = 0.40-0.60


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Tabla 1

Relacin Tpica Agua/Cemento y Resistencia a la Compresin y Flexin del Peso Normal del Concreto

Relacin Agua/CementoProbabilidad de la Resistencia del Concreto a los

28 Das

Compresin Flexin

Por el PesoGalones por Saco

(94 lb.)

Litros por Saco

(50 kg)psi N/mm2 psi N/mm2

0,35 4,0 17,5 6300 41 650 4,5

0,4 4,5 20,0 5800 40 610 4,2

0,44 5,0 22,0 5400 37 590 4,1

0,49 5,5 24,5 4800 33 560 3,9

0,53 6,0 26,5 4500 31 540 3,7

0,58 6,5 29,0 3900 27 500 3,5

0,62 7,0 31,0 3700 25 490 3,4

0,67 7,5 33,5 3200 22 450 3,1

0,71 8,0 35,5 2900 20 430 3,0

Las proporciones se han dado por volumen o peso de cemento para arena y grava (es decir,

1:2:4) con la relacin A / C especificada separadamente.

Agregados

Corresponden al 70-75% del volumen de concreto endurecido.

El resto corresponde a pasta de cemento endurecida, el agua no combinada, burbujas de aire.

Los agregados ms densos dan mejor:

Fuerza.

Resistencia a la intemperie (durabilidad).

Economa.

Agregado fino: arena (pasa a travs de una malla # 4 (4 agujeros por pulgada)).

Agregado grueso: grava

Gradacin buena

2-3 grupos de tamao de la arena.

Varios grupos de tamao de la grava.

El tamao mximo del agregado grueso en las estructuras de concreto reforzado: deben

ajustarse a las formas y el espacio disponible entre las barras de refuerzo (NSR-10, C.3.3.2).


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1/5 de la dimensin ms estrecha.

1/3 de la profundidad de la losa.

3/4 de la distancia mnima entre barras de refuerzo.

Resistencia de los agregadosAgregados fuertes: cuarcita.

Agregados dbiles: arenisca, mrmol.

Resistencia intermedia: piedra caliza, granito.

En el diseo de mezclas de concreto, tres requisitos principales para el concreto son de gran

importancia:

Calidad.

Trabajabilidad.

Economa.

Calidad

La calidad del hormign se mide por su resistencia y durabilidad. Los principales factores que

afectan a la resistencia del concreto, suponiendo que los agregados son buenos, son la relacin

A / C, y la medida en que ha progresado la hidratacin. La durabilidad del hormign es la

capacidad del concreto para resistir la desintegracin debido procesos de congelacin y

descongelacin, y en algunos casos debido al ataque qumico.

Trabajabilidad

La trabajabilidad del hormign se puede definir como la composicin caracterstica indicativa

de la facilidad con que la masa de material plstico puede depositarse en su lugar definitivo, sin

segregacin durante la colocacin, y su capacidad de adaptarse a la formaleta que conforma el

elemento estructural.

Economa

La economa tiene en cuenta el uso eficaz de los materiales, un resultado adecuado de

resistencia, y facilidad de manejo y disposicin del concreto. El costo de produccin de concreto

de buena calidad es un factor importante en el costo total de cualquier proyecto de construccin.

Tabla 2 Influencia de los ingredientes en las propiedades del hormign


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Ingrediente Calidad Trabajabilidad Economa

Agregados Incrementa Disminuye Incrementa

Cemento Portland Incrementa Incrementa Disminuye

Agua Disminuye Incrementa Incrementa

De W.A. Cordon, Properties, Evaluation, and Control of Engineering Materials, McGraw-Hill

Book Company, New York, 1979.

Ensayo de asentamiento

La trabajabilidad es medida por la prueba de asentamiento. La medida de la consistencia de la

mezcla se hace con el ensayo de asentamiento de cono.

Figura 28

Capa 1: Llene 1 / 3 (25 inserciones).

Capa 2: Llene 2 / 3 (25 inserciones).

Capa 3: Llene completo (25 inserciones).

Se retira el cono y se mide el asentamiento (por lo general est entre 2 y 6 pulgadas)

Tabla 3: Rangos de asentamientos recomendados para las distintas clases de estructuras de

hormign.


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Mezcla Recomendada Para La Consistencia Del Cemento

Tipo de Estructura Asentamiento (in.)

Mnimo Mximo

Secciones masivas, pavimentos y pisos

establecidos en el suelo1 4

Losas pesadas, vigas, paredes 3 6

Paredes delgadas y columnas, losas ordinarias

y vigas.4 8

Aditivos

Mejoran la trabajabilidad.

Aceleran o retardan el fraguado y endurecimiento.

Ayudan en la curacin.

Mejoran la durabilidad.

Incorporacin de aire

Aadir vacos de aire con burbujas

Ayuda con los ciclos de congelacin/descongelacin, facilidad de trabajo, etc.

Disminuye la densidad: reduce la resistencia, pero tambin disminuye A / C.

Superplastificantes

Incrementan la trabajabilidad por la liberacin qumica del agua contenida en los agregados

finos.

Tipos de cemento

Tipo I:

Es el ms utilizado en nuestro medio, destinado a obras de hormign en general, al que

no se le exigen propiedades especiales. Tipo II:

Es el que se debe usar en obras que estn expuestas a la accin moderada de sulfatos y

se requiera moderado calor de hidratacin, como por ejemplo canales de aguas negras.

Tipo III:

Es el que desarrolla altas resistencias a temprana edad. Utilizado en la industria de

elementos prefabricados de concreto.

Tipo IV:


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Es el que desarrolla bajo calor de hidratacin. Se usa para represas y obras que posean

un gran volumen de concreto.

Tipo V:

Es el que ofrece alta resistencia a la accin de sulfatos, til para obras que se encuentren

en contacta con el medio marino

Mecanismos de falla del concreto

Microfisuras por retraccin

Corresponde a la contraccin inicial de grietas debido a la retraccin por fraguado, la

contraccin de hidratacin, y la contraccin por secado.

Figura 29

Microfisuras por adherencia

Son extensiones de microfisuras de retraccin, al aumentar el esfuerzo a compresin el campo

incrementa, la contraccin de microfisuras ampla pero no se propaga en la matriz. Ocurren

cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 15-20 % de la resistencia ltima del concreto.


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Figura 30

Microfisuras de matriz

Son microfisuras que se producen en la matriz. Se producen cuando el nivel de esfuerzos

alcanza un 30-45 % de la resistencia ltima del concreto. Las microfisuras de matriz comienzan

el puente entre s correspondiente a un 75%. Las microfisuras en los agregados se producen

justo antes del fallo.

Figura 31


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3. PROPIEDADES MECNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO

Concreto

Figura 32

La prueba de resistencia estndar generalmente, utiliza una muestra cilndrica. La prueba se

hace despus de 28 das para la prueba de resistencia, fc. El hormign se sigue endureciendo

con el tiempo y para un cemento Portland normal se incrementar con el tiempo de la siguiente

forma:

Tabla 3

Edad 7 Das 14 Das 28 Das 3 Meses 6 Meses 1 Ao 2 Aos 5 Aos

Relacin deResistencia

0,67 0,86 1 1,17 1,23 1,27 1,31 1,35

Resistencia a la compresin, fc

Por norma se define a 28 das para la resistencia de diseo

Relacin de Poisson,

~ 0.15 a 0.20, generalmente se usa = 0,17


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Figura 33

Mdulo de elasticidad del concreto (Ec)

Corresponde al mdulo secante para un valor de esfuerzo equivalente a 0,45 fc.

NSR-10 (C.8.5.1). El mdulo de elasticidad, Ec, para el concreto puede tomarse como:

1.5 *0.043 cw f c En MPa

Para valores de wccomprendidos entre 1440 y 2560 kg/m3. Para concreto de densidad normal,

Ec puede tomarse como 4700 f c

Donde wc = Peso (kg / m3)

3 31440 Kg/ m < wc < 2560 Kg/ m

Ec (MPa) = 4700 f c

Para el peso normal del concreto:

32400 Kg/mcw

Deformacin del concreto a mximo esfuerzo de compresin

Para las curvas tpicas de la compresinc.


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cvara entre 0.0015-0.003.

Para la resistencia normal de hormign c ~ 0.002.

Figura 34

Deformacin mxima utilizable, cu

cu = 0.003

La mxima deformacin unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a

compresin del concreto se supone igual a 0.003. NSR-10 (C.10.2.3).

Usado para flexin y compresin axial.


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Las curvasEsfuerzo vs Deformacin para un concreto tpico en compresin:

Figura 36

Tipos de falla a compresin

Hay tres modos de falla:

El concreto falla a cortante bajo compresin axial.

La separacin de la muestra en piezas en forma de columna por lo que se conoce como

divisin o fractura de columna.

Combinacin de la falla cortante y fractura de columna.

Figura 37


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Resistencia a traccin del concreto

Resistencia a traccin~ 8% a 15% del fc..

Mdulo de rotura, fr.

Para los clculos de deflexin, se usa:

fr 0.62 fc( )MPa=

Para el uso de concreto de peso liviano, debe emplearse el factor de modificacin

como multiplicador de fc en todas las ecuaciones y secciones aplicables del

Ttulo C del Reglamento NSR-10, donde = 0.85 para concreto liviano de arena de

peso normal y 0.75 para los otros concretos de peso liviano. Se permite la interpolacin

entre 0.75 y 0.85, con base en fracciones volumtricas, cuando una porcin de los

agregados finos de peso liviano es reemplazada por agregado fino de peso normal. Se

permite la interpolacin lineal entre 0.85 y 1.0 para el concreto que contiene agregado

fino de peso normal y una combinacin de agregados gruesos de peso normal y

de peso liviano. Para el concreto de peso normal = 1.0 . Si se especifica la resistencia

promedio a la traccin por hendimiento del concreto de peso liviano, fct , entonces:

c

fct= 1.0

(0.56 f ) NSR-10, C.8.10

Ensayo

Figura 38


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Figura 39

Acero de refuerzo

Figura 40

Tipos ms comunes para miembros no pretensados:

Laminados en caliente, barras corrugadas.Tejidos de alambre soldado.


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Figura 41

Tabla 4: reas, pesos, dimensiones acero de refuerzo. Designaciones, reas, permetros y pesos

de barras estndar.

Dimetrorea DeSeccin

Transversal

PermetroUnidad De

Peso Por PieDimetro rea

Barra in. in . in. lb. mm. mm .

# Nominal Actual

2 1/4 0,250 0,05 0,79 0.167 6,4 32

3 3/8 0,375 0,11 1,18 0.376 9,5 71

4 1/2 0,500 0,20 1,57 0.668 12,7 129

5 5/8 0,625 0,31 1,96 1.043 15,9 200

6 3/4 0,750 0,44 2,36 1.502 19,1 284

7 7/8 0,875 0,60 2,75 2.044 22,2 387

8 1 1,000 0,79 3,14 2.670 25,4 510

9 1 1,128 1,00 3,54 3.400 28,7 645

10 1 1,270 1,27 3,99 4.303 32,3 820

11 1 1,410 1,56 4,43 5.313 35,8 1010

14 1 1,693 2,25 5,32 7.650 43,0 1450

18 2 2,257 4,00 7,09 13.600 57,3 2580


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Tipos

ASTM A615 - Especificacin estndar para barras de acero deformadas.

ASTM A616 Barras para rieles de acero.

ASTM A617 Barras para ejes de acero.

ASTM A706 Barras de baja aleacin de acero.

Curva esfuerzo-deformacin para diferentes tipos de barras de acero de refuerzo

Figura 42

Es = modulo de elasticidad del acero, el cual puede tomarse como la tangente inicial en la

curva esfuerzo deformacin y puede tomarse para acero de refuerzo no pre-esforzado como

un valor fijo de 200 GPa (NSR-10 C.8.5.5).

Figura 43


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4. FLEXIN

Localizacin del acero de refuerzo

Figura 44

Figura 45


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Figura 46

Figura 47


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Figura 48

Esfuerzo flector en vigas

La viga es un elemento estructural diseado para soportar principalmente momentos

flectores y cortantes. Una viga debe ser definida como columna si existiera una fuerza de

compresin considerable.

C = T

M = C*(jd)M = T*(jd)

El esfuerzo en un bloque es definido como:

max

= (M*y) / I

Sxx = I / (y )

La ecuacin para el mdulo Sxx para el clculo del esfuerzo de compresin mxima.


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Figura 49


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Figura 50

Cinco estados de esfuerzos en el concreto al incrementarse la carga aplicada

Estado de carga #1: No hay cargas externas, solo el peso propio.

Figura 51

Estado de carga #2: La carga externa aplicada sobre la viga hace que las fibras inferiores

extremas tengan un esfuerzo equivalente al mdulo de rotura del concreto fr. La seccin de

concreto entera es efectiva, la barra de acero en el lado de tensin tiene la misma deformacin ala del concreto ubicado alrededor de la barra de refuerzo.


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Estado de carga #3: La resistencia a la traccin del hormign excede la equivalente al mdulo

de rotura fr y por consiguiente se desarrollan fisuras. El eje neutro se desplaza hacia arriba y las

fisuras se extienden hasta el eje neutro. El concreto pierde resistencia a la traccin y el acero

comienza a trabajar eficazmente y resiste la carga de tensin total.

Estado de carga #4: El esfuerzo en el concreto en la fibra extrema superior se comporta en el

rango lineal para posteriormente sobrepasar el valor de 0.45fc y pasar a un comportamiento no

lineal.

Estado de carga #5: Falla de la viga.

Figura 52


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( )Ey y

( )E

y

yM

I

M

EI

= =

=

=

La primera viga falla a cortante y la segunda viga falla a momento flector.

Figura 55

Tipos de fallas por flexin de una viga de concreto reforzado:

El acero alcanza el esfuerzo de fluencia antes de que el concreto alcance su mximo valor

esfuerzo (condicin de falla sub-reforzada).


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Figura 56

El acero alcanza su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el hormign alcanza su mximo

valor esfuerzo y deformacin (condicin de falla balanceada).

Figura 57

El concreto alcanza su mximo valor esfuerzo y deformacin antes que el acero alcance

su esfuerzo de fluencia (condicin de fallan sobre-reforzada).

Figura 58

La deformacin por flexin y la distribucin de esfuerzos de una viga para una viga de prueba.


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Anlisis de vigas en condiciones de cargas de servicio

Ec Mdulo de Elasticidad - Concreto

Es Mdulo de Elasticidad - Acero

As rea del Acero

d Distancia al acero

b Ancho

h Alto

n Relacin Modular

s

c

E

En =

Propiedades de la Mecnica de Materiales

Centroide i i

i

y A

Ay =

Momento de Inercia ( )2

i i iI I y y A= +

Seccin no fisurada

Figura 60

Tabla 5


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rea yi yiA I yi - y (yi -y)2 A

Concreto bh h/2 bh2/2 bh3/12 (h/2-y) (h/2-y)bd

Acero (n-1)As d d(n-1)As --- (d-y) (d-y)2(n-1)As

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

si i

i s

232 2

s

1y A 2A 1

112 2i i i

bhn A d

ybh n A

bh hI I y y A y bh d y n A

+ = =

+

= + = + +

Seccin fisurada

Para una seccin fisurada el concreto esta en compresin y el acero est en tensin. Ladeformacin en la viga es lineal.

Figura 61

c

s s

1

2C yb f T A f

=

=

Condicin de equilibrio

s s c

s c

s

1

2

2

T C

A f yb f

ybf f

A

=

=

=


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Usando la Ley de Hooke

f E=

c s s s

s s c cs s c

2 2

2

E A nAybE E

A E yb yb

= = =

Sin embargo, este es un problema indeterminado para encontrar y . Se debe utilizar la

condicin de compatibilidad de deformaciones.

Figura 62

Usando la condicin de compatibilidad de deformaciones.

s c c

sd d

y

y y y

= =

Se sustituye en la primera ecuacin.

Se sustituye para la relacin de deformacin

s2nAy

d y yb=

Reorganizar la ecuacin en una ecuacin de segundo grado

2 s s2 2 0nA nA

y y db b

+ =

Utilizar una relacin de reas de concreto y acero

2 2s 2 2 0A

y n d y n dbd

= + =

Modificar la ecuacin para definir una relacin adimendional

2

2 2 0y y

n nd d

+ =

Usando la frmula cuadrtica


36/146



( )

( )

2

2

2 2 8

2

2

n n ny

d

yn n n

d

+ =

= +

Resolver para el centroide multiplicando el resultado por d. El momento de inercia es definido

usando el teorema de los ejes paralelos

Figura 63

( )

( )

( )

2

232

s

32

s

12 2

3

i i iI I y y A

by yI by d y nA

byI d y nA

= +

= + +

= +

EJEMPLO 1

Considere una viga rectangular simple (b*h) reforzada con un rea de acero de refuerzo A s.

Determinar la ubicacin del centroide y el momento de inercia para la seccin mostrada en la

figura, considerando los casos de seccin no fisurada y fisurada. Compare los resultados.

(C.8.5.2)Es 200000MPa

Ec 25000MPa

d 340mm

b 300mm

h 400mm

=

=

=

=

=


37/146



Usar 4 barras N7 para el acero de refuerzo.

Una barra N7 tiene un rea de 387 mm2, entonces 4N7 corresponde a 1548 mm2.

Se tiene la relacin modular,

200000

825000

Es MPa

n Ec Mpa= = =

Seccin no fisurada

2 22

2

(300 )(400 )( 1) (8 1)(1548 )(340 )

2 2 212( 1) (300 )(400 ) (8 1)(1548 )

bh mm mmn Asd mm mm

y mmbh n As mm mm mm

+ + = = =

+ +

( ) ( )

232

112 2

bh hI y bh d y n As

= + +

( ) ( )23

2 2(300 )(400 ) 400 211,6 (300 )(400 ) 340 211,6 8 1 154812 2

mm mm mmI mm mm mm mm mm mm

= + +

41794795564I mm=

Seccin fisurada

( )( )21548 0,0152

300 340As mm

bd mm mm = = =

( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )22

2 8 0,0152 2 8 0,0152 8 0,0152 0,3863

0,3863* 0,3863*340 131

yn n n

d

y d mm mm

= + = + =

= = =

( )( )( )

( ) ( )( )33

2 2 2

4

300 131,35340 131,35 8 1548

3 3

765751065

mm mmbyI d y nAs mm mm mm

I mm

= + = +

=

Se puede observar que el centroide cambia de 212 mm a 131 mm y el momento de inercia se

reduce de 1794795564 mm4 a 765751065 mm4.

El centroide disminuye en un 38% y el momento de inercia en un 57%. La seccin fisurada

pierde ms de la mitad de su resistencia original.


38/146



EJEMPLO 2

Determinar la distribucin de esfuerzos para los siguientes momentos Mu1= 75 KN-m y Mu2=

125 KN-m.

Es = 200000 MPa

Ec = 25000 MPa

d = 590 m

b = 300 mm

h = 650 mm

As = 1548 mm2

Relacin modular,200000

825000

Es MPan

Ec Mpa= = =

Para agregado grueso de origen gneo se tiene 4700 'Ec f c= (C.8.5.1)

2 225000

' 28,29 284700 4700

Ec

f c MPa MPa

= = =

El mdulo de rotura, fr, se define de la siguiente forma (NSR-10 C.9-10)

0.62 '

0.62 1 28 3,28

fr f c

fr MPa

=

= =

Tensioneselsticasseccin no fisurada

2 22

2

(300 )(650 )( 1) (8 1)(1548 )(590 )

2 2 339( 1) (300 )(650 ) (8 1)(1548 )

bh mm mmn Asd mm mm

y mmbh n As mm mm mm

+ +

= = =+ +

( ) ( )23

21

12 2

bh hI y bh d y n As

= + +

( )( )( )( ) ( ) ( )( )

3 22 2300 650 650 339 300 650 590 339 8 1 1548

12 2

mm mm mmI mm mm mm mm mm mm

= + +

47586523836I mm=

Concreto a compresin


39/146



( ) ( )3 4

75 0,3393,35

7,586 10

KN m mfcc MPa

m

= =

Concreto a traccin

( )( )3 4

75 0,650 0,3393,077,586 10

KN m m mfct MPa frm

= =


40/146



5. CONSIDERACIONES BSICAS EN LA TEORA DE FLEXIN

Las secciones planas continan siendo planas antes y despus de la aplicacin de la carga.

Este enunciado no es cierto para vigas de gran altura h> 4b.

La deformacin en el acero de refuerzo es igual a la deformacin en el concreto medidas al

mismo nivel.

El esfuerzo en el concreto y en el acero de refuerzo puede ser calculado de las equivalencias

en deformacin de las curvas del concreto y el acero.

Supuestos adicionales para el diseo (con el fin de simplificar)

Resistencia a la traccin del concreto no se considera para el clculo de resistencia a la

flexin. El concreto se asume que falla en compresin cuando:

(esfuerzo concreto) (estado lmite)

(esfuerzo concreto) 0.003c cu

c

=

=

NSR-10

C.10.2 Suposiciones de diseo

C.10.2.3 La mxima deformacin unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a

compresin del concreto se supone igual a 0.003.

La relacin para el concreto puede ser asumida que tiene cualquier forma, siempre y

cuando los resultados permitan obtener un valor aceptable de la resistencia.

Figura 66


41/146



La fuerza de compresin se modela como c 1 3 cC = k k f b c en la posicin 2x = k c

Figura 67

Los coeficientes de compresin de los esfuerzos en el bloque dados por las siguientes figuras:

Figura 68

k3 es la relacin de mximo esfuerzo para fc en la zona a compresin de una viga para la

resistencia del cilindro, fc (0.85 es el valor tpico para un concreto comn).

La zona de compresin se modela con un bloque de esfuerzo equivalente.


42/146



Figura 69

La distribucin rectangular equivalente de esfuerzos para el concreto tiene lo que se conoce

como coeficiente 1 , que es la proporcin del promedio que incluye la distribucin de

esfuerzos.

1 c

c1

0.85 for 28 MPa

280.85 0.05* 0.65

7

f

f

=

=

Requisitos para el anlisis de vigas de concreto reforzado

Esfuerzo compatibilidad de deformacin

El esfuerzo en un punto en la viga debe corresponder a la tensin en el punto simtrico.

Equilibrio

Las fuerzas internas se balancean con las fuerzas externas.

Figura 70



43/146



x

s s c

n

0 T C

0.85

0 T M2

F

A f f ab

aM d

= =

=

= =

Figura 71

Resistencia de la seccin a flexin

s s

c

s s

c

0.85

0.85

T A f

C f ab

A fa

f b

=

=

=

( )n

n s s

M Momento del brazo

M2

=

=

T

aA f d

Se debe confirmar s y>

( )

yy

s

1

s c y

E

ac

d c

c

=

=

= >


44/146



EJEMPLO 3

Determinar la ubicacin del eje neutro y el momento de diseo para la viga rectangular

mostrada en la figura.

f 'c 28MPafy 420MPa

b 300mm

d 440mm

h 500mm

==

=

=

=

Usar 4 N7 para el acero de refuerzo As = 1548 mm2.

1 = 0,85 para ' 28 ( .10.2.7.3)f c MPa C

Principio de equilibrio, asumiendo fluencia del acero se tiene:

( )( )( ) ( )

2

0.85 '

420 154891

0.85 ' 0.85 28 300

y

y

C T

f c b a f As

MPa mmAs fa mm

f c b MPa mm

=

=

= = =

El eje neutro se encuentra ubicado a:

1

91 1070,85

a mmc mm

= = =

Revisin si el acero de refuerzo ha alcanzado la fluencia:

( ) ( )

4200,0021

200000440 107

0,003 0,003 0,0093

1070,0093 0,0021 fluencia del acero de refuerzo

= = =

= = =

>

y

y

f MPa

Es MPa

d c mm mmEs

c mm

( )( )3 20,091

1.548 10 420000 0,44 256,52 2

a mMn As fy d m KPa m KN m

= = =


45/146



EJEMPLO 4

Para la viga mostrada en la figura con fc = 41MPa, fy = 420Mpa y d = 340mm.

Determinar el rea de acero para la condicin balanceada de la seccin sombreada, la cual

muestra el rea de concreto a compresin, determinar el momento nominal resistente de la

seccin y la ubicacin del eje neutro.

Determinar el rea de concreto:

( ) ( ) ( )( ) 2150 100 300 80 39000Ac mm mm mm mm mm= + =

Por condicin de equilibrio se tiene:

( )( ) ( ) ( )

( )( )

2

2

3 2 2

150 100 300 80 39000

0,85 ' 0,85 41000 0,039 1359

0,85 ' 13590,85 ' 3, 236 10 3236

420000

C T

Ac mm mm mm mm mm

C f c Ac KPa m KN

f c Ac KNfs As f c Ac As m mm

fs KPa

=

= + =

= = =

= = = = =

Determinar el centroide de la zona de compresin del concreto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

150 100 50 300 80 140105

150 100 300 80i i

i

y A mm mm mm mm mm mmy mm

A mm mm mm mm

+= = =

+

Momento resistente de la seccin:

( ) ( )1359 0,34 0,105 319Mn T d y KN m m KN m= = =

Determinar la ubicacin del eje neutro:


46/146



1

28 41 280,85 0,05 0,85 0,05 0,76 ( .10.2.7.3)

7 7

fcC

= = =

1

180237

0,76

a mmc mm

= = =

EJEMPLO 5

Determinar el momento ltimo que resiste la seccin mostrada en la figura

( )2 2

2f

w

f ' c 28MPa

fy 420MPaAs 4 509mm 2036mm

A 75 100 2 15000mm

A 300 a '

=

=

= =

= =

=

Equilibrio de fuerzas:f w

T C C= +

( ) ( )

( ) ( )

0,85 ' 0,85 ' 300 '

2036 420 0,85 28 15000' 700,85 28 300

f w

f

T C C

As fy f c A f c a

a mm

= +

= +

= =

Ubicacin eje neutro100 70 170

170200

0,85

a mm mm mm

mmc mm

= + =

= =

Momento es dado por:

'

2 2w fa h

Mn C d h C d

= + +

( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )60,85 28000 15000 10 0,54 0,1 0,07/ 2 0,85 28000 0,3 0,07 0,54 0,05389

Mn KPa KPa

Mn KN m

= + +

=


47/146



6. CARGAS

Provisiones de seguridad

Las estructuras y los elementos estructurales deben siempre ser diseados para llevar algo de

carga de reserva por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tresrazones principales por las que algn tipo de factor de seguridad es necesario en el diseo

estructural.

Las consecuencias de la falla

La variabilidad en la carga.

La variabilidad en la resistencia.

Especificaciones

Las ciudades en los EE.UU. por lo general basan sus cdigos de construccin en uno de los 3

cdigos modelo:

Uniform Building Code.

Basic Building Code (BOCA).

Standard Building Code.

Estos cdigos se han consolidado en el 2000International Building Code.

Las cargas en estos cdigos se basan principalmente en el documento ASCE Minimum Design

Loads for Buildings and Other Structures han sido actualizadas para ASCE 7-02.

En Colombia a nivel de normativa tenemos:

Cdigo Colombiano de Construcciones Sismo-resistentes : Decreto 1400 de 1984.

Normas Colombianas de Diseo y Construccin Sismo-resistente NSR-98.

Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo-resistente NSR-10.

Las variaciones de carga se tienen en cuenta mediante el uso de una serie de "factores de carga"

para determinar la carga ltima.

NSR-10

Captulo B.2 COMBINACIONES DE CARGA

B.2.2 NOMENCLATURA

D = carga muerta consistente en:

(a) peso propio del elemento.


48/146



(b) peso de todos los materiales de construccin incorporados a la

edificacin y que son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo

muros y particiones divisorias de espacios.

(c) peso del equipo permanente.

E = fuerzas ssmicas reducidas de diseo (E = Fs/ R) que se emplean para disear

los miembros estructurales.

F = cargas debidas al peso y presin de fluidos con densidades bien definidas y alturas

mximas controlables.

G = carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribucin del empozamiento.

L = cargas vivas debidas al uso y ocupacin de la edificacin, incluyendo cargas debidas aobjetos mviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reduccin que

se permita. Si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto este efecto debe tenerse en

cuenta en la carga viva L.

Le = carga de empozamiento de agua.

Lr = carga viva sobre la cubierta.

H = cargas debidas al empuje lateral del suelo, de agua fretica o de materiales almacenadoscon restriccin horizontal.

T = fuerzas y efectos causados por efectos acumulados de variacin de temperatura,

retraccin de fraguado, flujo plstico, cambios de humedad, asentamiento diferencial o

combinacin de varios de estos efectos.

W = carga de viento.

B.2.4 COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL MTODO DE

RESISTENCIA

B.2.4.1 APLICABILIDAD Las combinaciones de carga y factores de carga dados en la

seccin B.2.4.2 deben ser usados en todos los materiales estructurales permitidos por el

reglamento de diseo del material, con la excepcin de aquellos casos en que el Reglamento

indique explcitamente que deba realizarse el diseo utilizando el mtodo de los esfuerzos de

trabajo. Caso en el cual se deben utilizar las combinaciones de la seccin B.2.3.1.


49/146



Nota Importante: Las combinaciones de carga dadas en B.2.4.2 contienen factores de cargas

menores que los que prescriba el Reglamento NSR-98, pero al mismo tiempo para cada uno de

los materiales estructurales en esta nueva versin del Reglamento (NSR-10) se han prescrito

valores de los coeficientes de reduccin de resistencia, , menores que los que contena el

Reglamento NSR-98, siendo los nuevos valores concordantes con la probabilidad de falla

estructural que limita el Reglamento. Por lo tanto es incorrecto, e inseguro, utilizar las

nuevas ecuaciones de combinacin de carga de B.2.4.2 con los valores de los coeficientes de

reduccin de resistencia, , que contena la NSR-98.

B.2.4.2 COMBINACIONES BSICAS El diseo de las estructuras, sus

componentes y cimentaciones debe hacerse de tal forma que sus resistencias de diseo

igualen o excedan los efectos producidos por las cargas mayoradas en las siguientes

combinaciones:

1.4 (D+F) (B.2.4-1)

1.2 (D+F+T) + 1.6 (L+H) 0.5 (Lr G Le) (B.2.4-2)

1.2D+1.6 (Lr G Le) + (L 0.8W) (B.2.4-3)

1.2D+1.6W+1.0L+0.5 (Lr G Le) (B.2.4-4)

1.2D+1.0E+1.0L (B.2.4-5)

0.9D+1.6W+1.6H (B.2.4-6)

0.9D+1.0E+1.6H (B.2.4-7)

Las ecuaciones ms generales de la carga ltima que van a ser ms utilizadas en este libro son:

U = 1.4D

U = 1.2D + 1.6L

RESISTENCIA

Los factores de carga van a generar la carga ltima, que se utiliza en el diseo y anlisis de los

elementos estructurales.

u nM M=

u

n

M - Momento ltimo

M - Momento Nominal

- Factor de Reduccin de Resistencia

El factor de reduccin de la resistencia, , vara de miembro a miembro, dependiendo si est en

tensin o compresin o dependiendo tambin del tipo de miembro.

Tres posibilidades en el comportamiento inelstico de vigas de concreto reforzado

Falla a compresin.


50/146



Falla a tensin.

Falla balanceada.

Falla a compresin

El acero entra en fluencia despus de que se presenta la falla en el concreto. Se trata de un fallo

repentino (frgil). La viga es conocida como una viga sobre - reforzada.

Figura 72

Falla a tensin

El acero entra en fluencia antes de que falle el concreto. El concreto se aplasta en un fallo de

compresin secundaria. La viga es conocida como una viga sub reforzada.

Figura 73

Falla balanceada

El acero entra en fluencia al mismo tiempo que el concreto falla. La viga es conocida como unaviga en condicin balanceada.


51/146



Figura 74

La falla a tensin de la viga sub reforzada es la ms conveniente. Es un tipo de falla que

permite soportar carga adicional antes de la falla y por su ductilidad puede ser visualmente

apreciada antes del colapso de la viga.

Figura 75


52/146



7. VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS

Cuanta balanceada

bal = Valor nico cuando se presentan simultneamente las siguientes condiciones:

c

s y

= 0.003

=

Usando la relacin de tringulos semejantes:

y

b b

0.003

c d c

=

Figura 76

La ecuacin puede ser rescrita para encontrar bc

( )

( ) ( )

( ) ( )

b y b

b y

bb

y y

b s

sy y

0.003d 0.003c c

c 0.003 0.003d

c0.003d 0.003cd0.003 0.003

c E0.003 600

d E0.003 600 f

=

+ =

= =+ +

= = + +

Ecuacin de momento nominal


53/146


54/146


55/146



C.9.3.4 Para estructuras con capacidad de disipacin de energa moderada (DMO) o

especial (DES) que dependen de muros estructurales, construidos en sitio o prefabricados, o

prticos resistentes a momento para resistir los efectos ssmicos, E, debe modificarse de

acuerdo con lo indicado en (a) hasta (c):

(a) En cualquier elemento estructural que se disee para resistir E, para cortante debe

ser 0.60 si la resistencia nominal a cortante del elemento es menor que el cortante

correspondiente al desarrollo de la resistencia nominal a flexin del elemento. La resistencia

nominal a flexin debe determinarse considerando las cargas axiales mayoradas ms crticas e

incluyendo E;

(b) En diafragmas para cortante no debe exceder el mnimo para cortante usado para

los elementos verticales del sistema primario de resistencia ante fuerzas ssmicas;

(c) En nudos y vigas de acople reforzadas en forma diagonal para cortante debe ser 0.85.

Limitaciones relacionadas con la relacin de refuerzo,

La seleccin del acero ser determinado por el lmite inferior de la siguiente forma:

c ws(min) w

y y

0.25 1.4

f b dA b d

f f

=

c yf & f son en MPa

Valor muy pequeo para As n cr(M < M )

s es muy grande (grandes deflexiones)

Cuando la viga se agrieta n cr(M > M ) la viga falla inmediatamente porque n cr(M < M )

Requisitos adicionales para el valor de cuanta mnima

s

4Si el A (Suministrado) (Requerido Por Diseo)

3 sA

Basado en el anlisis, entonces el As (min) es no requerido. NSR-10 C.10.5.3

n u

4M M

3 Para el sA (Suministrado)

NSR-10


56/146



C.7.12 Refuerzo de retraccin y temperatura

C.7.12.1 En losas estructurales donde el refuerzo a flexin se extiende en una sola

direccin, se debe colocar refuerzo normal al refuerzo a flexin para resistir los esfuerzos

debidos a retraccin y temperatura.

C.7.12.1.1 El refuerzo de retraccin y temperatura debe proveerse de acuerdo con C.7.12.2

C.7.12.3.

C.7.12.1.2 Cuando los movimientos por retraccin y temperatura estn restringidos de

manera significativa, deben considerarse los requisitos de C.8.2.4 y C.9.2.3.

C.7.12.2 El refuerzo corrugado, que cumpla con C.3.5.3, empleado como refuerzo de

retraccin y temperatura debe colocarse de acuerdo con lo siguiente:

C.7.12.2.1 La cuanta de refuerzo de retraccin y temperatura debe ser al menos igual a los

valores dados a continuacin, pero no menos que 0.0014:

(a) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 280 o 350: 0.0020

(b) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 420 o refuerzo electrosoldado de

alambre:

0.0018

(c) En losas donde se utilice refuerzo de una resistencia a la fluencia mayor que 420 MPa,

medida a una deformacin unitaria de 0.35 por ciento:

0.0018*420

yf

C.7.12.2.2 El refuerzo de retraccin y temperatura no debe colocarse con una

separacin mayor de 5 veces el espesor de la losa ni de 450 mm.

C.7.12.2.3 En todas las secciones donde se requiera, el refuerzo por retraccin y temperatura

debe ser capaz de desarrollar fyen traccin de acuerdo con el Captulo C.12.

C.7.12.3 El acero de preesforzado, que cumpla con C.3.5.6, empleado como refuerzo de

retraccin y temperatura, debe suministrarse de acuerdo con lo siguiente:

C.7.12.3.1 Se deben disear los tendones para que produzcan un esfuerzo promedio de

compresin mnima de 0.7 MPa en el rea bruta del concreto usando esfuerzos de

preesforzado efectivo, despus de las prdidas, de acuerdo con C.18.6.


57/146



C.7.12.3.2 El espaciamiento entre los tendones no debe exceder 1.8 m.

C.7.12.3.3 Si el espaciamiento entre los tendones excede 1.4 m se debe colocar refuerzo

adherido adicional de retraccin y temperatura, de acuerdo con C.7.12.2, entre los tendones en

los bordes de la losa, en una zona que se extiende desde el borde en una distancia igual alespaciamiento entre los tendones.

8. PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS

1. Ubicacin del refuerzo

Ubicar el refuerzo donde ocurre fisuramiento (regin del concreto sometida a traccin). Los

esfuerzos de traccin en el concreto pueden ser debidos a:

a) Flexin

b) Carga axial

c) Retraccin de fraguado.

2. Aspectos constructivos

La formaletera es costosa, por esto es necesario y recomendable tratar de volver a utilizarla en

varios pisos. Se deben uniformizar las dimensiones de las vigas y de los elementos estructurales.

La formaletera no viene en dimensiones intermedias diferentes a mltiplos de 50 mm y 100

mm.

3. Alturas o espesores de las vigas

TABLA C.9.5(a) Alturas o espesores mnimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas enuna direccin a menos que se calculen las deflexiones

Espesor mnimo, hSimplemente

apoyadosCon un extremo

continuoAmbos extremos

continuosEn voladizo

ElementosElementos que NO soporten o estn ligados a divisiones u otro tipo de

elementos susceptibles de daarse debido a deflexiones grandes

Losas macizas en unadireccin

20

24

28

10

Vigas o losas nervadas enuna direccin

16

18.5

21

8

NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de pesonormal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse comosigue:

(a) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los

valores de la tabla deben multiplicarse por (1.65-0.0003wc), pero no menos de 1.09.

(b) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0.4 + fy/700)


58/146



NSR-10

C.10.4 Distancia entre los apoyos laterales de elementos sometidos a flexin

C.10.4.1 La separacin entre los apoyos laterales de una viga no debe exceder de 50 veces elmenor ancho b del ala o cara de compresin.

C.10.4.2 Deben tomarse en cuenta los efectos de la excentricidad lateral de la carga al

determinar la separacin entre los apoyos laterales.

Las dimensiones de la viga de seccin transversal b y h son por lo general en mltiplos de

50 mm o 100 mm para facilidad de encofrado.

Figura 78

4. Recubrimiento del acero de refuerzo

El recubrimiento es igual a la dimensin entre la superficie de la losa o viga y el refuerzo.

Por qu es necesario el recubrimiento?

a) Para adherir el refuerzo al concreto.

b) Para proteger el refuerzo contra la corrosin.

c) Para proteger el refuerzo contra el fuego (los excesos de calentamiento provocan

prdida de la resistencia).

d) Los recubrimientos adicionales utilizados en talleres, fbricas, etc. dan cuenta del

control para la abrasin y el desgaste.


59/146



NSR-10

C.7.7 Proteccin de concreto para el refuerzo

C.7.7.1 Concreto construido en sitio (no preesforzado).

A menos que en C.7.7.6 C.7.7.8 se exija un recubrimiento mayor de concreto, el

recubrimiento especificado para el refuerzo no debe ser menor que lo siguiente:

Recubrimiento de concreto, mm

(a) Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a l

75 mm

(b) Concreto expuesto a suelo o a la intemperie:

Barras No. 6 (3/4) 20M (20 mm) a No. 18 (2-1/4) 55M (55 mm):

50 mm

Barras No. 5 (5/8) 16M (16 mm), alambre MW200 MD200 (16 mm de dimetro) y

menores 40 mm

(c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo:

Losas, muros, viguetas:

Barras No. 14 (1-3/4) 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4) 55M (55 mm)

40 mm

Barras No. 11 (1-3/8) 36M (36 mm) y menores

20 mm

Vigas, columnas:

Armadura principal, estribos, espirales

40 mm

Cscaras y placas plegadas:Barra No. 6 (3/4) 20M (20 mm) y mayores

20 mm

Barras No. 5 (5/8) 16M (16 mm), alambres MW200 MD200 (16 mm de dimetro) y

menores 13 mm

5. Lmites del espaciamiento del refuerzo


60/146



NSR-10

C.7.6 Lmites del espaciamiento del refuerzo

C.7.6.1 La distancia libre mnima entre barras paralelas de una capa debe ser db ,

pero no menor de 25 mm. Vase tambin C.3.3.2.

C.7.6.2 Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o ms capas, las barras de las capas

superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre

entre capas no menor de 25 mm.

C.7.6.3 En elementos a compresin reforzados con espirales o estribos, la distancia

libre entre barras longitudinales no debe ser menor de

1.5 db, ni de 40 mm. Vase tambin C.3.3.2.

C.7.6.4 La limitacin de distancia libre entre barras tambin se debe aplicar a la distancia

libre entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.

C.7.6.5 En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, la separacin del refuerzo

principal por flexin no debe ser mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa, ni de 450

mm, excepto que en secciones crticas de losas en dos direcciones no debe exceder 2 veces el

espesor de la losa (vase el Captulo C.13). Cuando se trate de refuerzo de temperatura en

losas la separacin mxima no debe exceder 5 veces el espesor de la losa ni 450 mm

(vase C.7.12).


61/146



Dimensiones mnimas de recubrimiento del acero de refuerzo

Interior de la viga

Figura 79

Disposicin inadecuada del acero de refuerzo

Figura 80

C.3.3 Agregados

C.3.3.1 Los agregados para concreto deben cumplir con una de las siguientes normas:


62/146



(a) Agregado de peso normal: NTC 174 (ASTM C33),

(b) Agregado liviano: NTC 4045 (ASTM C330).

Se permite el uso de agregados que han demostrado a travs de ensayos o por experiencias

prcticas que producen concreto de resistencia y durabilidad adecuadas, siempre y cuando sean

aprobados por el Supervisor Tcnico.

C.3.3.2 El tamao mximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a:

(a) 1/5 de la menor separacin entre los lados del encofrado, ni a

(b) 1/3 de la altura de la losa, ni a

(c) 3/4 del espaciamiento mnimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo,

paquetes de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos.

Estas limitaciones se pueden omitir si a juicio del profesional facultado para disear la

trabajabilidad y los mtodos de compactacin son tales que el concreto se puede colocar sin la

formacin de hormigueros, vacos o segregacin en la mezcla.

Figura 81


63/146



EJEMPLO 6

Para la viga mostrada en la figura determinar si la viga cumple con las disposiciones de la NSR-

10. Analizar la misma viga si fc = 41MPa.

y

2

f ' c 21MPa

f 420MPa

As 2550mm

=

=

=

Cuanta de la viga

( ) ( )

225500,0187

350 390

As mm

bd mm mm = = =

Cuanta mnima

( )' 1, 4 21 1,40,0027 0,0033 ( .10.5)

4 4 420 420

0,0033 0,0187 0,003 cumple

mn

y y

mn

f c MPa Cf f MPa

= = =

= >

Localizacin eje neutro

( )( )( ) ( )

2y

1

420MPa 2550mmAs fa 171mm

0.85 f ' c b 0.85 21MPa 350mm

a 171mmc 201mm0.85

c 201mm0, 52 la viga no es subreforzada

d 390mm

= = =

= = =

= =

La deformacin en el acero de refuerzo es:


64/146



( ) ( )390 201

0.003 0.003 0.0028201s

d c mm mm

c mm

= = =

La viga est trabajando en la zona de transicin cerca a la zona de compresin =0,65 la

relacin c/d es mayor a 0,375 por lo tanto la viga debe ser rediseada.

Para el caso fc = 41MPa

( ) ( )

225500,0187

350 390

As mm

bd mm mm = = =

Cuanta mnima

( )

' 1,4 41 1,40,0038 0,0033

4 4 420 420

0,0038 0,0187 0,0038 cumple

mn

y y

mn

f c MPa

f f MPa

= = =

= >

Localizacin del eje neutro

( )( )( )( )

2

1

420 255088

0.85 ' 0.85 41 350

88116

0.76

1160,297

390

yMPa mmAs f

a mmf c b MPa mm

a mmc mm

c mm

d mm

= = =

= = =

= =

La deformacin del acero es:

( ) ( )390 116

0.003 0.003 0.0071116s

d c mm mm

c mm

= = =

La viga est ubicada en la zona de tensin =0,9 esta segunda conformacin de viga

corresponde a un diseo de acuerdo a la NSR-10.


65/146



EJEMPLO 7

Determinar el valor de L que causa que la seccin alcance Mn

Notas aclaratorias: Utilizar concreto fc=21 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa La carga muerta distribuida WD y la carga viva distribuida WL se aplican en toda la longitud

de la viga simplemente apoyada

Principio Equilibrio

1 0.85 para ' 28cf MPa = Localizacin eje neutro

1

120141

0.85

a mmc mm

= = = 141 0.35 0.375

440

c mm

d mm= = < 0.9 =

Determinacin momento2*

;8

may

u

L

M

= u nM M= 2n S ya

M A f d

=

( )( )60.12

1530*10 420000 0.442n

M KPa =

244

nM KN m=

( )0.9* 244 220u uM KN m KN m M= = = 2

8may

u

w LM

= 8 220

50L

=

5,9L m=

420yf MPa=' 21cf MPa=

1,2 (15 / ) 1,6 (20 / ) 50 / mayw KN m KN m KN m= + =

( )( )( )( )

2

1530 420 1200.85 21 300

mm MPaa mmMPa mm

= =

T C=

0.85 ' * *0.85 '

S y

S y c

c

A fA f f a b af b

= =

3 No. 8

d = 290 mm

b = 300 mm

wD

= 15 KN/m (incluye peso de la viga)

wL = 20 KN/m

L=?


66/146



9. VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

Efecto de la adicin de refuerzo a compresin sobre la resistencia de una viga

Menos concreto es necesitado para resistir la C y por lo tanto el eje neutro se mueve hacia

arriba.

s yT A f

C T

=

=

Figura 82


67/146



Viga simplemente reforzada

1c ; 2n s y

aC C M A f d

= =

Viga doblemente reforzada

( )

2c s

2 1

C ;2

y

n s y

aC C M A f d

a a

= + =

Fig 5-15 MacGregor

Figura 84

Cambia el modo de falla de compresin a tensin

Cuando bal>

Facilidad de construccin

Las barras de la esquina son por lo general usadas para sostener y anclar los estribos.

Efecto de la adicin de refuerzo a compresin

Comparar la distribucin de deformaciones en dos vigas con el mismo As


69/146



Figura 85

Seccin 1

s s

c1 c c 1 1

s s1

c 1

0.85 0.85

0.85

T A f

T C f ba f b c

A fc

f b

=

= = =

=

Seccin 2

s s

s c1

s s c 2

s s c 1 2

s s s s2

c 1

0.85

0.85

0.85

T A f

T C C

A f f ba

A f f b c

A f A fc

f b

=

= +

= +

= +

=

Adems de que As refuerza la zona de compresin de modo que es necesario menos concreto

para resistir un determinado valor de T.

El eje neutro asciende 2 1(c < c ) y s incrementa s2 s1( ) >

Cuatro posibles modos de falla

Sub-reforzado

Caso 1: Acero a tensin y compresin fluyen.

Caso 2: Slo el acero a tensin fluye. Sobre-reforzado


70/146



Caso 3: Slo el acero a compresin fluye.

Caso 4: Falla del concreto.

Anlisis de secciones rectangulares doblemente reforzadas

Comprobacin de compatibilidad de deformaciones: asumir s usando tringulos semejantes

( )

( )ss

' *0.0030.003

'

c d

c d c c

= =

Figura 86

( )

( )

( )

( )

( )

s s yc s

c

1

s s y

1 c

y

1 c

0.85

0.85

'

0.85

A A fT C C af b

ac

A A fc

f b

d fc

f

= + =

=

=

=

La deformacin en el acero de compresin es:

( )

( )

s cu

1 cs

y

1

0.851 0.003

'

d

c

f d

d f

=

=


71/146



Figura 87

Verificacin:

( )

( )

( )

( )

( )( )

yy

s

1 cs

y

s y

y1 c

y

1 c

y y

E

0.851 0.003

'

0.85

1 0.003' 200000

0.85 600'

600

f

f d

d f

ff d

d f

f d

d f f

=

=

Si la afirmacin es verdadera, entonces:

( ) ( )n s s y s y2

aM A A f d A f d d

= +

De otro modo la deformacin en el acero de compresin es:

s sf E=

Calcular el esfuerzo en el acero de compresin.

( )

( )1 c

sy

0.85200000 1 0.003

'

f df

d f

=

Volver atrs y calcular el equilibrio con fs


72/146



( )c s

s y s s

c0.85

T C C

A f A fa

f b

= +

=

1

a

c

= Iterar hasta que el valor de c se ajuste para el fs

s 1 600d

fc

=

Volver atrs y calcular la capacidad de momento de la viga

( ) ( )n s y s s s s2

aM A f A f d A f d d

= +

Limitaciones sobre la relacin de refuerzo para vigas doblemente reforzadas

NSR-10

C.10.5 Refuerzo mnimo en elementos sometidos a flexin

C.10.5.1 En toda seccin de un elemento sometido a flexin cuando por anlisis se requiera

refuerzo de traccin, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.10.5.4, el As

proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:

c,min

y

0.25 f

fS wA b d= (C.10-3)

Pero no menor ay

1.4fwd

b

C.10.5.2 Para los elementos estticamente determinados con el ala en traccin, As, min nodebe ser menor que el valor dado por la ecuacin (C.10-3) reemplazando bw por 2bw o el ancho

del ala, el que sea menor.

C.10.5.3 Los requisitos de C.10.5.1 y C.10.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada seccin

el As proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por anlisis.


73/146



10.PROCEDIMIENTO DE DISEO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS

Procedimiento cuando las dimensiones de la seccin son conocidas

1. Calcular el valor para el diseo de momento, Mu.

2. Calcular d, dado que h es conocida.

d h 60 mm Para una sola capa de refuerzo

d h 90 mm Para dos capas de refuerzo

3. Estimar el valor dec

d, la cual provocar una deformacin, t > 0.005 y encontrar el

rea 1sA para una seccin simplemente reforzada. Calcular c de d.

4. Determinar la capacidad de momento nominal proporcionado por 1sA

cs1

y

1f1 s1 y

0.85

2

f baA

f

aM A f d

=

=

5. Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada y que debe

soportar 'sA

uf1

MM M

=

Si 0M , el acero de compresin no se requiere para resistir uM

Si 0M > , dirjase al paso 6.

Nota:

Utilice 0.9 = para flexin sin carga axial, que depender de la deformacin en el

acero de traccin. NSR-10 Cap. 9.3.

6. Determine 'sA requerido para resistir M

Asumir s y( ' ) >

( )( )( )s requerido y

MA

d d f

=

7. Calcular la traccin total para el refuerzo requerido


74/146



( ) ( )s1s requerido s requeridoA A A= +

8. Seleccione las barras de refuerzo para

s sA (proporcionado) A (requerido)

Confirme que las barras se ajustarn dentro de la seccin transversal.

9. Confirme que s y' , Si no regrese al paso 6 y sustituir s s sf ' = E por yf para

obtener el valor correcto de( )s requerido

A

10.Calcular el momento Mn para las dimensiones de la seccin y el refuerzo seleccionado.Comprobar la resistencia n uM M

Mantener sobredimensionado en un 10%.

11.Comprobar si siempre est dentro de los lmites permitidos.


75/146



EJEMPLO 8

Determinar el momento nominal Mn para la seccin mostrada en la figura considerando el acero

de refuerzo a compresin.

2 2

2 2

f ' c 28MPafy 420MPa

h 450mm

d 390mm

d ' 60mm

b 300mm

As' 2N6 2 284mm 568mm

As 4N7 4 387mm 1548mm

==

=

=

=

=

= = =

= = =

Determinar valores de cuanta

( )( )

( ) ( )

2

2

15480,0132

300 390

' 568' 0,0049

300 390

As mm

bd mm mm

As mm

bd mm mm

= = =

= = =

Determinar el valor de cuanta efectiva

' 0,0132 0,0049 0,0083ef = = =

Verificacin cuanta mnima

( )

' 1, 4 28 1,40,0031 0,0033

4 4 420 420

0,0132 0,0033 cumple

mn

y y

mn

f c MPa

f f MPa

= = =

> >

Determinacin cuanta mnima para viga simplemente reforzada

( ) ( ) ( )( )( )

1 0,85 ' ' 0,85 0,85 28 60600 600'600 420 390 420 600 420

0,0083 0,0247 no cumple

y

f c dd f

El acero de refuerzo a compresin no ha alcanzado la fluencia

Utilizar procedimiento iterativo para determinar fs

( )( )

( ) ( )

1

1

0,85 ' '600 ' 600

( ')

0,85 ' ' 0,85 0,85 28 60' 600 1 600 1 64.32( ') 0,0083 390 420

y

y

f c dfs

df

f c dfs MPa

df

=

= = =


76/146



Primera iteracin:

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2

1

1548 420 568 64.32' '101

0,85 ' 0,85 28 0,85 300

60' ' (200000 ) 1 0,003 244101

y

s

mm MPa mm MPaAsf As fsc mm

f c b MPa mm

mmfs Es MPa MPamm

= = =

= = =

Segunda iteracin:

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2

1

1548 420 568 244' '84

0,85 ' 0,85 28 0,85 300

60' ' (200000 ) 1 0,003 171

84

= = =

= = =

y

s


f c b MPa mm

mmf s Es MPa MPa

mm

Tercera iteracin:

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2

1

1548 420 568 171' '91

0,85 ' 0,85 28 0,85 300

60' ' (200000 ) 1 0,003 204

91

= = =

= = =

y

s


f c b MPa mm

mmf s Es MPa MPa

mm

Cuarta iteracin:

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2

1

1548 420 568 204' '88

0,85 ' 0,85 28 0,85 300

60' ' (200000 ) 1 0,003 19188

= = =

= = =

y

s


f c b MPa mm

mmf s Es MPa MPamm

Quinta iteracin:

( )( ) ( )( )( ) ( )

2 2

1

1548 420 568 191' '89

0,85 ' 0,85 28 0,85 300

60' ' (200000 ) 1 0,003 196

89

= = =

= = =

y

s


f c b MPa mm

mmf s Es MPa MPa

mm

Tomar fs = 196MPa y c = 89mm.


77/146



Determinar momento nominal

( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

3 2 3 2

3 2

' ' ' ' '2

0,85 0,0891,548 10 420000 0,568 10 196000 0,39

20,568 10 196000 0,39 0,06

226.5

y

aMn Asf As f s d As f s d d

mMn m KPa m KPa

m KPa m m

Mn KN m

= +

= +

=

EJEMPLO 9

Determinar el momento mximo y su correspondiente momento nominal para la seccinmostrada en la figura. La zona a compresin se encuentra en la parte superior. Determinar elrefuerzo requerido en la zona a traccin.

1

' 41

420

28 41 280,85 0,05 0,85 0,05 0,767 7

y

f c MPa

f MPa

fc

=

=

= = =


78/146



Condicin viga sub-reforzada

( ) ( )

1

0,003540 203

0,005 0,003

0,76 203 154

= = = + +

= = =

cu

cu s

c d mm mm

a c mm mm


( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 2

0,85 ' 600 440 120 '

0,85 41 600 154 440 154 120 900 4207326

420

y yAsf f c a a As f

As mm

= +

+ = =

Momento aportado por el refuerzo superior

( ) ( )( ) ( )6' ' ' 900 10 420000 0,54 0,06 181yMs As f d d KPa KN m KN m= = =

Momento total que resiste la seccin

( )( ) ( ) ( )( )

1 2

'

0,120,85 ' 0,85 ' 181

2 2

0,154 0,154 0,120,85 41000 0,6 0,154 0,54 0,85 41000 0,44 0,154 0,12 0,54 181 en

2 2

1037

T C S

T C C

T

T

M M M

a aM f c A d f c A d KN m

M KN m

M KN m

= +

= +

= +

=


79/146



11.CORTANTE

Figura 100

Distribucin de los esfuerzos distribuidos a travs de la seccin transversal

VQ

Ib =

El esfuerzo cortante actuando en una viga rectangular

Figura 101

La ecuacin del esfuerzo cortante de una viga rectangular viene dada por:

VQ

Ib =


80/146



3

2

max

max ave

Momento de Inercia12

Q *2 4 8

3 * 1.52

bhI

bh h bh

Vbh

=

= =

= =

Nota: El mximo momento se produce primero en el eje neutro.

La distribucin ideal de esfuerzo cortante se puede describir como:

Figura 102

Una descripcin realista de la distribucin de esfuerzos cortantes se muestra como:


81/146



Figura 103

El esfuerzo cortante que acta a lo largo de la viga puede ser descrito con un bloque de

esfuerzo:

Figura 104

Usando el crculo de Mohr, el bloque de esfuerzo puede ser utilizado para encontrar el cortante

mximo.

Agrietamiento inclinado de vigas de concreto reforzado

Patrones tpicos de grie

obras civiles estructuras de hormigÓn

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