NUMEROS RACIONALES

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Cuando me preguntan para qu puede servir una educacin

Matemtica en el colegio a una persona que en su oficio no nece-

sitar ningn conocimiento cientfico, una de mis respuestas es que

la ciencia permite formar un buen ciudadano: su prctica ensea a

distinguir un razonamiento justo, motivado y bien construido de un

enredo de razonamiento engaoso y errneo.

Wendelin Werner, profesor de matemticas, Universidad de Paris-

Sur y Escuela Normal Superior, Medalla Fields 2006. (Febrero de

2009).

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

El conjunto de los nmeros racionales surge de la necesidad de repartir, dividir o compartir. En sentido amplio, se

llama nmero racional a todo nmero que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto

de cero, es decir una fraccin comn, se debe ser claro que el trmino racional alude a racin o parte de un todo, y no el

pensamiento o actitud racional. Es decir todo nmero escrito de la forma

, 0, es un nmero racional. El conjunto de

los nmeros racionales se denota por , que significa cociente de Quotient (escrito en algn idioma europeo). Representacin del conjunto en forma enumerativa:

= , , 72 , 134 ,

62 ,

114 ,

52 ,

94 ,

42 ,

74 ,

32 ,

54 ,

22 ,

34 ,

12 ,

14 , 0,

12 ,

22 ,

32 ,

42 ,

52 ,

62 ,

82 , ,

Representacin del conjunto en forma descriptiva:

= /, ! 0"

Representacin del conjunto por diagrama de Venn:

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U =

Del diagrama de Venn podemos observar que cualquier nmero natural o entero es a la vez un nmero racional

puesto que los podemos expresar de la forma , as por ejemplo el nmero 1 lo podemos expresar de la forma

## y

entonces se cumple la condicin, ya que tenemos como numerador a un natural que tambin es entero y como denominador

de la misma manera, natural y entero, as tambin est expresado de la forma , por lo tanto cualquier nmero natural,

entero positivo o negativo es un nmero racional. Pero es importante sealar tambin que no todo nmero racional es a la

vez un natural o un entero, p.e: #$ es un racional pero no un entero ni mucho menos natural,

$$ es un racional, un entero

pero no un natural; es un entero porque $$ = 1 . Entonces en conclusin N y Z son subconjuntos de Q , en otras palabras N Z Q . Y Q sigue siendo subconjunto de un conjunto Universo U que ms adelante veremos de que se trata.

Nota importante: la divisin entre cero no est definida!!! (Averiguar porque?)

HE AQU ALGUNAS DE LAS MUCHAS PROPIEDADES DE LOS RACIONALES:

RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y ORDEN EN Q:

i. Se define la equivalencia

%

& cuando ' .

ii. Los racionales positivos son todos los

tales que ( 0.

iii. Los racionales negativos son todos los

tales que ) 0.

7/2, 3/2

-4/2 -2/2

0, 2/2

1/2 5/2

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iv. Se define el orden

(

%

& cuando ' ( 0.

NOTACION:

i. Los nmeros del tipo

son denotados por

.

ii. Todo numero # se denota simplemente por .

iii. Las fracciones mixtas escritas de la forma % tambin pueden ser expresadas como fracciones de la forma &%, donde ' =

+ .

Tanto las fracciones simples, mixtas, propias e impropias, reducibles e irreducibles, se debe de hacer memoria.

Quiz te preguntaste si existe alguna otra forma de representar un nmero racional?

La respuesta es SI, a continuacin se ver con mayores detalles.

REPRESENTACION DECIMAL DE LOS NUMEROS RACIONALES

Los nmeros racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresin solo puede ser de tres tipos:

i. EXACTA: La parte decima tiene un nmero finito de cifras.

p.e: +

, 1.6

ii. PERIODICA PURA: Toda la parte decimal se repite indefinidamente.

p.e: #. = 0.142857////////////142857

iii. PERIODICA MIXTA: No toda la parte decimal se repite.

p.e: #0 = 0.16/666666

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, solo existen un nmero finito de restos posibles.

Siendo la sucesin de restos infinita, aparecer forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir de ellas, el

clculo se repite igual.

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p.e:

0.1428571 7 10

30

20

60

40

50

10

.

.

.

Recprocamente, todo nmero con un desarrollo decimal puede expresarse en fraccin de la siguiente manera:

i. DECIMALES EXACTOS O FINITOS: Se escribe en el numerador la expresin decimal sin la coma (como un nmero

entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

p.e:12.0,

#33 3465

ii. DECIMALES PERIODICOS PUROS: La fraccin de un nmero decimal peridico tiene como numerador la diferencia

entre el nmero escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene

el periodo.

p.e: 5.3434//// #,12#,

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iii. DECIMALES PERIODICOS MIXTOS: Tendr como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el nmero escrito

sin la coma, y b es el nmero sin la parte decimal peridica, escritos ambos como nmeros enteros. El denominador

tendr tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no peridicas haya.

p.e:

Sea el nmero 12.345676767....

Entonces: a = 1234567 y b = 12345 , por lo que:

12.345676767 = 1234567 1234599000

Y para terminar con este resumen, nos falta representar el conjunto de los nmeros racionales en la recta

numrica.

Representacin del conjunto en la recta numrica.

+

, -7/2 -3 -5/2 -2 -3/2 -1 -1/2 0 1/2,...

Nota importante: p.e quiere decir por ejemplo