Números irracionalesUn número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),¡no porque esté loco!

Racional o irracionalPero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así19/2 = 9,5

así que no es irracional (es un número racional)Aquí tienes más ejemplos:

Números En fracción¿Racional oirracional?

5 5/1 Racional

1,75 7/4 Racional

.001 1/1000 Racional

√2 (raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.Así que la raíz de 2 es un número irracional

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:1,61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)

√99

9,9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números irracionalesAparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

1.4 NÚMEROS IRRACIONALES 1.4.1 DefiniciónNúmero irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado

tomando como unidad el lado del mismo es  ; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional  (pi).La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.El filósofo griego Pitágoras de Samos (540 a.C.) descubrió estos números al establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.Por el teorema de Pitágoras, sí l=1, entonces:

Donde   es un número irracional.Tenemos entonces que un número irracional, es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o negativos.

  Números irracionales (con decimales infinitos, no repetitivos)

El conjunto de los números Irracionales

Dados los resultados anteriores tenemos que todo número que se representa por una expansión decimal periódica (finita o infinita) es un número racional, pero cabe hacerse dos preguntas: >Existen expansiones decimales que no sean períodicas?, y si existen, >qué números representan? Para contestar la primera pregunta consideremos las siguientes expansiones decimales:

a.b.

Observe que en las dos expansiones decimales anteriores, éstas no son periódicas y por los resultados anteriores estas expansiones no representan números racionales. Las expansiones decimales (a) y (b) anteriores reciben el nombre de expansiones decimales infinitas no periódicas. 

Para contestar la segunda pregunta tenemos:

   Definición

 Los números que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no periódicas reciben el nombre de números irracionales. 

El conjunto cuyos elementos son los números irracionales, recibe el nombre de conjunto de los números irracionales y se denota con el símbolo  . 

Observación: Por la definición de número racional y la de número irracional se tiene que no existen números que sean racionales e irracionales a la vez, simbólicamente esto se indica de la siguiente manera: 

1- Historia:

Estos números fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego

Pitágoras que vivió entre los años 569 y 470 a.C. Les llamaron irracionales porque

iba contra sus ideas que se basaban en que todo es susceptible de expresarse en

números. Pero la verdad es que estos números irracionales son tan racionales

como los llamados propiamente racionales aunque son diferentes, pues los

números irracionales soninconmensurables (no medible) y no pueden expresarse

en la forma racional: 

 

El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de medir la

hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que se les formaba en una

baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales.

 

Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de

Pitágoras, apareció el primer número irracional que es: 

cuyo valor aproximado es 1,4142135...

Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en

forma de fracción común o decimal, aunque pueden calcularse

con los decimales que se deseen (no son decimales periódicos ni

semiperiódicos).

Ejemplos de números irracionales:

√2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, etc.

π (pi) = 3.141592 ...  

e (número de Euler) = 2,718281828459…

ϕ (razón de oro) = 1,618033988749…

 

2- ¿Qué son números irracionales?

Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen

infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados

como fracciones.

En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar

aproximaciones. Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas

algebraicas o procedimientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse

o redondearse.

 

El Conjunto de los Números Irracionales se simboliza por I o bien por Q*. 

 

 

3- Propiedades de los números irracionales

 

- Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad

conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por

ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

- Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da

como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación,

siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π)

×e=ϕ× (π×e).

- Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números

irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por

ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como

resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.

- La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.

Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.

- Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación,

división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional.

Sin embargo, la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.

 

Todos los racionales y todos los irracionales son números reales. Recuerda que

incluídos en los racionales están los enteros y en los enteros, los naturales.