13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 1/13Ilustracindelplanocomplejo.Losnmerosrealesseencuentranenelejedecoordenadashorizontalylosimaginariosenelejevertical.NmerocomplejoDeWikipedia,laenciclopedialibreLosnmeroscomplejos son una extensin de los nmerosreales y forman el mnimo cuerpoalgebraicamentecerrado que los contiene. El conjunto de los nmeros complejos se designa con la notacin , siendo elconjunto de los nmeros reales se cumple que ( est estrictamente contenido en ). Los nmeroscomplejosincluyentodaslasracesdelospolinomios,adiferenciadelosreales.Todonmerocomplejopuederepresentarse como la suma de un nmeroreal y un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidadimaginaria,queseindicaconlaletrai),oenformapolar.Losnmeroscomplejossonlaherramientadetrabajodellgebra,anlisis,ascomoderamasdelasmatemticaspuras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitacin de clculo de integrales, enaerodinmica, hidrodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adems los nmeroscomplejosseutilizanpordoquierenmatemticas,enmuchoscamposdelafsica(notoriamenteenlamecnicacuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad pararepresentarlasondaselectromagnticasylacorrienteelctrica.En matemticas, estos nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: elplanocomplejo. Este cuerpo contiene a los nmeros reales y los imaginarios puros. Una propiedad importantequecaracterizaalosnmeroscomplejoseselteoremafundamentaldellgebraperoquesedemuestraanenuncursodevariablecompleja,queafirmaquecualquierecuacinalgebraicadegradontieneexactamentensolucionescomplejas.Losanlogosdelclculodiferencialeintegralconnmeroscomplejosrecibenelnombredevariablecomplejaoanlisiscomplejo.1ndice1Origen2Definicin2.1Cuerpodelosnmeroscomplejos2.2Unidadimaginaria3Valorabsolutoomdulo,argumentoyconjugado3.1Valorabsolutoomdulodeunnmerocomplejo3.2Argumentoofase3.3Conjugadodeunnmerocomplejo13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 2/133.3Conjugadodeunnmerocomplejo4Representaciones4.1Representacinbinmica4.2Representacinpolar4.3Operacionesenformapolar5PlanodelosnmeroscomplejosoDiagramadeArgand6Geometrayoperacionesconcomplejos7Isomorfismoconmatricesdeorden28Espaciovectorial9Esbozohistrico10Aplicaciones10.1Enmatemticas10.1.1Solucionesdeecuacionespolinmicas10.1.2Variablecomplejaoanlisiscomplejo10.1.3Ecuacionesdiferenciales10.1.4Fractales10.2Enfsica11Generalizaciones12Vasetambin13Referencias13.1Bibliografa13.2EnlacesexternosOrigenEl primero en usar los nmeros complejos fue el matemtico italiano Girolamo Cardano (15011576) quien los us en la frmula para resolver lasecuacionescbicas.EltrminonmerocomplejofueintroducidoporelgranmatemticoalemnCarlFriedrichGauss(17771855)cuyotrabajofuede importancia bsica en lgebra, teora de los nmeros, ecuaciones diferenciales, geometra diferencial, geometra no eucldea, anlisis complejo,anlisisnumricoymecnicaterica,tambinabrielcaminoparaelusogeneralysistemticodelosnmeroscomplejos.DefinicinDefiniremoscadacomplejozcomounparordenadodenmerosreales(a,b)(Re(z),Im(z)),enelquesedefinenlassiguientesoperaciones:13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 3/13SumaProductoporescalarMultiplicacinIgualdadApartirdeestasoperacionespodemosdeducirotrascomolassiguientes:RestaDivisinAlprimercomponente(quellamaremosa)selellamaparterealyalsegundo(quellamaremosb),parteimaginaria.Sedenominanmeroimaginariopuroaaquelqueestcompuestosloporlaparteimaginaria,esdecir,aquelenelque.CuerpodelosnmeroscomplejosLosnmeroscomplejosformanuncuerpo,elcuerpocomplejo,denotadoporC(omsapropiadamenteporelcarcterunicode).Siidentificamoselnmerorealaconelcomplejo(a,0),elcuerpodelosnmerosrealesRaparececomounsubcuerpodeC.Msan,C forma un espaciovectorial dedimensin2sobrelosreales.Loscomplejosnopuedenserordenadoscomo,porejemplo,losnmerosreales,porloqueCnopuedeserconvertidodeningunamaneraenuncuerpoordenado.13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 4/13LafrmuladeEulerilustradaenelplanocomplejo.UnidadimaginariaTomandoencuentaque,sedefineunnmeroespecialenmatemticasdegranimportancia,elnmeroiounidadimaginaria,definidocomoDedondesededuceinmediatamenteque,Valorabsolutoomdulo,argumentoyconjugadoValorabsolutoomdulodeunnmerocomplejoEl valor absoluto, mdulo o magnitud de un nmero complejo z viene dado por la siguienteexpresin:Si pensamos en las coordenadas cartesianas del nmero complejo z como algn punto en el planopodemosver,porelteoremadePitgoras,queelvalorabsolutodeunnmerocomplejocoincideconladistanciaeucldeadesdeelorigendelplanoadichopunto.Si el complejo est escrito en forma exponencial z = rei, entonces |z| = r. Se puede expresar enformatrigonomtricacomoz=r(cos+isen),dondecos+isen=eieslaconocidafrmuladeEuler.Podemoscomprobarconfacilidadestascuatroimportantespropiedadesdelvalorabsoluto13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 5/13paracualquiercomplejozyw.Por definicin, la funcin distancia queda como sigue d(z,w)=|zw| y nos provee de un espaciomtrico con los complejos gracias al que se puedehablardelmitesycontinuidad.Lasuma,laresta,lamultiplicacinyladivisindecomplejossonoperacionescontinuas.Sinosedicelocontrario,seasumequestaeslamtricausadaenlosnmeroscomplejos.ArgumentoofaseElargumentoprincipalofasedeunnmerocomplejogenrico(siendox=Re(z)ey=Im(z))vienedadoporlasiguienteexpresin:dondeatan2(y,x)eslafuncinarcotangentedefinidaparaloscuatrocuadrantes:Otambin:Siendo:lafuncinsigno.ConjugadodeunnmerocomplejoDosbinomiossellamanconjugadossisolodifierenensusignocentral,porejemplo,losdosbinomios:3m1y3m+1sonconjugados.Elconjugadodeuncomplejoz(denotadocomo)esunnuevonmerocomplejo,definidoas:Seobservaqueambosdifierenenelsignodelaparteimaginaria.Conestenmerosecumplenlaspropiedades:13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 6/13Estaltimafrmulaeselmtodoelegidoparacalcularelinversodeunnmerocomplejosivienedadoencoordenadasrectangulares.RepresentacionesRepresentacinbinmicaUnnmerocomplejoserepresentaenformabinomialcomo:Laparterealdelnmerocomplejoylaparteimaginaria,sepuedenexpresardevariasmaneras,comosemuestraacontinuacin:RepresentacinpolarEnestarepresentacin,eselmdulodelnmerocomplejoyelngulo eselargumentodelnmerocomplejo.13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 7/13Unnmerocomplejorepresentadocomounpunto(enrojo)yunvectordeposicin(azul)enundiagramadeArgand eslaexpresinbinomialdelpunto.ElargumentoymdulorlocalizanunpuntoenundiagramadeArgandoeslaexpresinpolardelpunto.Despejamosaybenlasexpresionesanterioresy,utilizandolarepresentacinbinomial:Sacamosfactorcomnr:Frecuentemente,estaexpresinseabreviaconvenientementedelasiguientemanera:lacualsolocontienelasabreviaturasdelasrazonestrigonomtricascoseno,launidadimaginariaylaraznsenodelargumentorespectivamente.Segn esta expresin, puede observarse que para definir un nmero complejo tanto de esta forma como con larepresentacin binomial se requieren dos parmetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien mdulo yargumento,respectivamente.SegnlaFrmuladeEuler,vemosque:Noobstante,elngulonoestunvocamentedeterminadoporz,puedenexistirinfinitosnmeroscomplejosquetienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el nmero de revoluciones, ya sean desentidoantihorario(positivas)uhorario(negativas)lascualesserepresentanpornmerosenteros,comoimplicalafrmuladeEuler:Por esto, generalmente restringimos al intervalo [, ) y a ste restringido lo llamamos argumentoprincipal de z y escribimos =Arg(z). Con esteconvenio,lascoordenadasestaranunvocamentedeterminadasporz.13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 8/13OperacionesenformapolarLamultiplicacindenmeroscomplejosesespecialmentesencillaconlanotacinpolar:Divisin:Potenciacin:PlanodelosnmeroscomplejosoDiagramadeArgandElconceptodeplanocomplejopermiteinterpretargeomtricamentelosnmeroscomplejos.Lasumadenmeroscomplejossepuederelacionarconlasuma con vectores, y la multiplicacin de nmeros complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud delproductoeselproductodelasmagnitudesdelostrminos,yelngulocontadodesdeelejerealdelproductoeslasumadelosngulosdelostrminos.LosdiagramasdeArgandseusanfrecuentementeparamostrarlasposicionesdelospolosyloscerosdeunafuncinenelplanocomplejo.Elanlisiscomplejo,lateoradelasfuncionescomplejas,esunadelasreasmsricasdelamatemtica,queencuentraaplicacinenmuchasotrasreasdelamatemticaascomoenfsica,electrnicaymuchosotroscampos.GeometrayoperacionesconcomplejosGeomtricamente,lasoperacionesalgebraicasconcomplejoslaspodemosentendercomosigue.Parasumardoscomplejosz1=a1+ib1yz2=a2+ib2,podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano xy apuntando desde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Sitrasladamos(movemos)elsegundovector,sincambiarsudireccin,conloquesupuntodeaplicacincoincideconelpuntofinaldelprimervectorelsegundovectorasubicadoapuntaralcomplejoz1+z2.13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 9/13Siguiendoconestaidea,paramultiplicardoscomplejosz1yz2,primeromedimoselnguloqueformanensentidocontrarioalasagujasdelrelojconeleje positivo de las x y sumamos ambos ngulos: el ngulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 z2. Lalongituddeestevectorproductovienedadaporlamultiplicacindelaslongitudesdelosvectoresoriginales.Lamultiplicacinporunnmerocomplejofijopuedeservistacomolatransformacindelvectorquerotaycambiasutamaosimultneamente.Multiplicarcualquiercomplejoporicorrespondeconunarotacinde90endireccincontrariaalasagujasdelreloj.Asimismoelque(1)(1)=+1puedeserentendidogeomtricamentecomolacombinacindedosrotacionesde180(ialcuadrado=1),dandocomoresultadouncambiodesignoalcompletarunavuelta.Isomorfismoconmatricesdeorden2En el anillo de las matrices de segundo orden sobre el campo de nmeros reales, se puede hallar un subconjunto que es isomorfo al campo de losnmeroscomplejos.Pues,seestableceunacorrespondenciaentrecadanmerocomplejoa+biconlamatrizDetalmaneraseobtieneunacorrespondenciabiunvoca.Ademsdelasaplicaciones+=.=sedesprendequelaaplicacinesunisomorfismo.Enparticularlamatrizcumpleelroldeunidadimaginaria.2Espaciovectorial13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 10/13El conjunto con la adicin de nmeros complejos y considerando como escalares , nmeros reales, se puede definir un espacio vectorial conescalaresreales.Estoes:1. z,wnmeroscomplejos,entoncesz+wesunnmerocomplejo.Estaoperacininternadefineunaestructuradegrupoaditivo.2. Si r es nmero real y z es un nmero complejo, entonces rz, llamado mltiplo escalar de z, es tambin nmero complejo. Las dos operacionessatisfacenlaaxiomticadeunespaciovectorialolineal.3EsbozohistricoLaprimerareferenciaconocidaaracescuadradasdenmerosnegativosprovienedeltrabajodelosmatemticosgriegos,comoHerndeAlejandraenelsigloIantesdeCristo,comoresultadodeunaimposibleseccindeunapirmide.LoscomplejossehicieronmspatentesenelSigloXVI,cuandolabsqueda de frmulas que dieran las races exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemticos italianos como Tartaglia,Cardano. Aunque slo estaban interesados en las races reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con races denmerosnegativos.EltrminoimaginarioparaestascantidadesfueacuadoporDescartesenelSigloXVIIyestendesuso.LaexistenciadenmeroscomplejosnofuecompletamenteaceptadahastalamsabajomencionadainterpretacingeomtricaquefuedescritaporWesselen1799,redescubiertaalgunosaosdespusypopularizadaporGauss.Laimplementacinmsformal,conparesdenmerosrealesfuedadaenelSigloXIX.AplicacionesEnmatemticasSolucionesdeecuacionespolinmicasUnrazocero4delpolinomiopesuncomplejoztalquep(z)=0Un resultado importante de esta definicin es que todas las ecuaciones polinmicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en elcuerpo de los nmeros complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivasmultiplicidades.Tambinsecumplequesizesunarazentoncessuconjugadotambinesunarazdelpolinomiop.AestoseloconocecomoTeoremaFundamentaldellgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpoalgebraicamentecerrado por esto los matemticos consideran a los nmeroscomplejosunosnmerosmsnaturales[citarequerida]quelosnmerosrealesalahoraderesolverecuaciones.Variablecomplejaoanlisiscomplejo13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 11/13Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Anlisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta dematemticasaplicadasascomoenotrasramasdelasmatemticas.Elanlisiscomplejoproveealgunasimportantesherramientasparalademostracindeteoremasinclusoenteoradenmerosmientrasquelasfuncionesrealesdevariablereal,necesitandeunplanocartesianoparaserrepresentadaslasfunciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difciles de representar. Se suelen utilizarilustracionescoloreadasenunespaciodetresdimensionesparasugerirlacuartacoordenadaoanimacionesen3Dpararepresentarlascuatro.EcuacionesdiferencialesEnecuacionesdiferenciales,cuandoseestudianlassolucionesdelasecuacionesdiferencialeslinealesconcoeficientesconstantes,eshabitualencontrarprimerolasraces(engeneralcomplejas)delpolinomiocaracterstico,loquepermiteexpresarlasolucingeneraldelsistemaentrminosdefuncionesdebasedelaforma:.FractalesMuchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesin de nmeroscomplejos.Elanlisisdeldominiodeconvergenciarevelaquedichosconjuntospuedentenerunaenormecomplejidadautosimilar.EnfsicaLos nmeros complejos se usan en ingeniera electrnica y en otros campos para una descripcin adecuada de las seales peridicas variables (verAnlisisdeFourier).Enunaexpresindeltipopodemospensarencomolaamplitudyencomolafasedeunaondasinusoidaldeunafrecuenciadada.Cuandorepresentamosunacorrienteounvoltajedecorrientealterna(yportantoconcomportamientosinusoidal)comolaparterealdeunafuncindevariablecomplejadelaformadonderepresentalafrecuenciaangularyelnmerocomplejoznosdalafaseylaamplitud,eltratamientodetodaslasfrmulasquerigenlasresistencias,capacidadeseinductorespuedenserunificadasintroduciendoresistenciasimaginariasparalasdosltimas(verredeselctricas).Ingenieroselctricosyfsicosusanlaletrajparalaunidadimaginariaenvezdeiqueesttpicamentedestinadaalaintensidaddecorriente.ElcampocomplejoesigualmenteimportanteenmecnicacunticacuyamatemticasubyacenteutilizaEspaciosdeHilbertdedimensininfinitasobreC().Enlarelatividadespecial y la relatividadgeneral, algunas frmulas para la mtrica del espaciotiempo son mucho ms simples si tomamos el tiempocomounavariableimaginaria.Generalizaciones13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 12/13Los nmeros complejos pueden generalizarse dando lugar a los nmeroshipercomplejos. El cuerpo de los nmeros complejos es un subcuerpoconmutativodellgebracuaterninica,queasuvezesunasublgebradeotraslgebrasmsextensas(octoniones,sedeniones):Otraposiblegeneralizacinesconsiderarlacomplejificacindelosnmeroshiperreales:VasetambinPlanodeArgandConjuntodeMandelbrotConjuntodeJuliaClasificacindenmerosComplejosRealesRacionalesEnterosNaturales1:unoNaturalesprimosNaturalescompuestos0:CeroEnterosnegativosFraccionariosFraccinpropiaFraccinimpropiaIrracionalesIrracionalesalgebraicos13/8/2015 NmerocomplejoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 13/13TrascendentesImaginariosReferencias1. Trejo,CsarA.Funcionesdevariablecompleja(1974)p.1862. MoissLzaro.Nmeroscomplejos.EdicionesMoshera,Lima(2011)3. Zamansky.Introduccinallgebrayanlisismoderno4. Anlisismatemtico.VolumenIdeHaaser,LaSalleySullivan(1977)Trillas,p.483BibliografaConway,JohnB.(1986),FunctionsofOneComplexVariableI,Springer,ISBN0387903283EnlacesexternosWikimediaCommonsalbergacontenidomultimediasobreNmerocomplejo.Weisstein, Eric W.ComplexNumber(http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (en ingls).WolframResearch.Obtenidodehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Nmero_complejo&oldid=84336506Categoras: Anlisiscomplejo Matemticaelemental NmeroscomplejosEstapginafuemodificadaporltimavezel10ago2015alas17:04.EltextoestdisponiblebajolaLicenciaCreativeCommonsAtribucinCompartirIgual3.0podranseraplicablesclusulasadicionales.Lanselostrminosdeusoparamsinformacin.WikipediaesunamarcaregistradadelaFundacinWikimedia,Inc.,unaorganizacinsinnimodelucro.