Nmeros complejos Proyecto e-Math1 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) NMEROS COMPLEJOS Autor:PatriciMolinsMata(pmolinas@uoc.edu),JosFranciscoMartnezBosc (jmartinezb@uoc.edu) MAPA CONCEPTUAL________________________ NMEROS COMPLEJOS Definicin en forma binmica: en forma polar: Operaciones aritmticas Propiedades Frmula de Euler Resolucin de ecuaciones de segundo ytercer grado Frmula de Cardano Funciones hiperblicas suma, resta, producto y divisin producto, divisin, potenciacin y radicacin Teorema deDe Moivre Nmeros complejos Proyecto e-Math2 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) INTRODUCCIN___________________ Amenudolosmspequeosnospreguntan:Ycuntovalelarazdeunnmeronegativo?y debemos responderles: No existe Este math-block pretende dar respuesta a estas preguntas a partirdelaresolucindelaecuacionesintroduciendoloquellamamoslosnmeroscomplejos. Paraellopartimosdelaecuacinsinsolucinrealmssencillaqueexisteyquenoposee solucin en los nmeros reales: z2 +1=0. Sus soluciones son la unidad imaginaria j (j2=-1) que nos permite resolver la raz cuadrada de cualquier nmero real negativo, en particular del 1. Slo con estainformacinsomoscapacesdeobtenertodaslassolucionesdeecuacionesdesegundoy tercer grado, utilizando la frmula de segundo grado y la frmula de Cardano, respectivamente. A partir de aqu presentaremos la aritmtica en los complejos que incluyen a los nmeros reales as como algunas propiedades de inters. OBJETIVOS DOCENTES______________________________________ Proporcionar una primera introduccin a los nmeros complejos, como soluciones de ecuaciones algebraicas.

Desarrollar cierta soltura para calcular con ellos en los distintos formalismos. Ilustrarlaresolucindeecuacionesyelclculoconnmeroscomplejos,engeneral,conel programa Mathcad. CONOCIMIENTOS PREVIOS___________________________________ Es recomendable que, previamente, se dominen los siguientes apartados: Ecuacin de segundo grado. Su resolucin. Grfica a la que corresponde. Asimismo tambin es muy aconsejable que se tenga un conocimiento mnimo del programa Mathcad. Por lo tanto se recomienda la lectura previa de los Mathblocks: Uso bsico del Mathcad en Anlisis (I): clculo simblico y analtico, Funciones de una variable y Series de potencias. CONCEPTOS FUNDAMENTALES______________________________ Los nmeros reales El sistema numrico, como nosotros lo conocemos en la actualidad, es el resultado de una evolucin gradualenlahistoriadelasMatemticas.Describimosbrevementelostiposdenmerosquela humanidad ha ido descubriendo [1]. Los nmeros naturales:1, 2, 3,....,o tambin llamados enteros positivos. Fueron usados primeroparacontar.Lossmboloshancambiadoconlaspocas,pueslosromanos,por ejemplo,utilizabanI,II,III,IV,.....Lasuma,b a + ,yelproducto,b a ,dedosnmeros naturales sn tambin nmeros naturales, lo cual se puede expresar diciendo que el conjunto delosnmerosnaturalesescerradorespectoalasoperacionesdesumayproductooque cumple la propiedad de clausura con relacin a estas operaciones. Los enteros negativos y el cero, despus denotados por 1, -2, -3, .... y 0, respectivamente, quepermitenresolverecuacionescomoa b x = + cona yb naturales,llevanala Nmeros complejos Proyecto e-Math3 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) operacinderesta,queseescribeb a x = .Elconjuntodeenterospositivosynegativos conelcerosellamaelconjuntodelosenterosyescerradobajolasoperacionesdesuma, producto y resta. Losnmerosracionalesofracciones,talescomo3/4,-8/3,...permitenresolver ecuacionesdelaformaa bx = paraenteroscualesquieraa yb ,con0 b ,loscuales conducenalaoperacindedivisinoinversadelproducto,queserepresentacomo b a x / =(llamado cociente deayb ) dondeaes el numerador ybel denominador. Elconjuntodelosenterosesunsubconjuntodelosnmerosracionales,puestoquelos enteros corresponden a los nmeros racionales con 1 = b . Elconjuntodenmerosracionalesescerradobajolasoperacionesdesuma,sustraccin, multiplicacin y divisin, excluyendo la divisin por cero. Los nmeros irracionales, tales como41423 , 1 2 = ...y14159 , 3 = ... son nmeros que no son racionales, es decir, no pueden ser expresados comob a /dondeaybson enteros y0 b . Elconjuntodenmerosracionaleseirracionalesesllamadoelconjuntodelosnmerosreales.Se supone que el estudiante est ya familiarizado con las diversas operaciones con nmeros reales. Esconocidoquelosnmerosrealespuedenrepresentarseporpuntosdeunarectainfinitaque llamamosejeorectareal.Elpuntocorrespondientealcero,sellamaorigen.Recprocamente,para cada punto sobre la recta hay uno y solamente un nmero real. Si un punto A correspondiente a un nmero real a est ubicado a la derecha de un punto B correspondiente a un nmero real b, decimos que a es mayor que b o que b es menor que a y escribimos respectivamenteb a >o a b a , aa si0 < ay a 0 si0 = a . La distancia entre dos puntosaybsobre el eje real es b a . Definicin de un nmero complejo [2] No existe un nmero realxque satisfaga la ecuacin polinmica0 12= + x . Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los nmeros complejos. Se define un nmero complejo,z , mediante la siguiente expresin: jy x z + donde x ey sonunaparejacualquieradenmerosreales.Llamamosj alaunidadimaginaria compleja. Definimosjde la siguiente manera: 12 j . Nmeros complejos Proyecto e-Math4 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) Sijb a z + = ,a sellamalaparterealdez yb laparteimaginariadez ysedenominan mediante) (z a = y) (z b = ,respectivamente.Elsmboloz ,quepuederepresentarcualquier elemento del conjunto de nmeros complejos, es llamado una variable compleja. Dosnmeroscomplejosjb a + yjd c + sonigualessiysolamentesic a = yd b = .Podemos considerarlosnmerosrealescomoelsubconjuntodelconjuntodelosnmeroscomplejoscon 0 = b .Enestecasoporejemplo,losnmeroscomplejos0 0 j + y0 3 j + representanlos nmerosreales0y3,respectivamente.Si0 = a ,elnmerocomplejojb + 0 ojb sellamaun nmero imaginario puro. El conjugado de un nmero complejojb a +esjb a . El conjugado de un nmero complejozse indica frecuentemente por *z o z .

Operaciones aritmticas con nmeros complejos en forma binmica Suma ( ) ( ) ( ) ( ) d b j c a jd c jb a + + + = + + + Resta ( ) ( ) ( ) ( ) d b j c a jd c jb a + = + + Producto ( ) ( ) ( ) ( ) bc ad j bd ac bd j jbc jad ac jd c jb a + + = + + + = + +2 Divisin ( )( )( )( ) ( )( )= + =++=++2 2 22d j cbd j jbc jad acjd cjd cjd cjb ajd cjb a ( )2 2 2 2 2 2d cad bcjd cbd acd cad bc j bd ac++++=+ + += El cuerpo de los nmeros complejos Sepuede probarque si 1z , 2z y 3z pertenecenal conjuntodelosnmeros complejos,C, 2 1z z + , entonces, satisfacen las siguientes propiedades: 1. 2 1z z +y 2 1z zpertenecen a CLey de clausura 2. 1 2 2 1z z z z + = + Ley conmutativa de la suma Nmeros complejos Proyecto e-Math5 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) 3.( ) ( )3 2 1 3 2 1z z z z z z + + = + + Ley asociativa de la suma 4. 1 2 2 1z z z z = Ley conmutativa del producto 5.( ) ( )3 2 1 3 2 1z z z z z z = Ley asociativa del producto 6.( )3 1 2 1 3 2 1z z z z z z z + = + Ley distributiva 7. 1 1 10 0 z z z = + = + , 0 es llamado el elemento neutro de la suma y 1 es el llamado elemento neutro del producto. 8.Paracualquiernmerocomplejo, 1z ,distintodecero,existeunnmeronicoz enCtalque 01 = + z z ;z se llama el opuesto de 1zcon respecto a la suma y se denota por 1z . 9.Paracualquier01 z ,existeunnmeronicoz enCtalque11 1= = zz z z ;z sellamael inverso de 1zcon respecto al producto y es denotado por 11zo 11 z . Engeneral,cualquierconjunto,comoC,cuyoselementossatisfaganlaspropiedadesanteriores,se dice que es un cuerpo. Representacin grfica de los nmeros complejos Siseeligenejesrealessobredosrectasperpendiculares(losejesx ey ,respectivamente), podemos situar cualquier punto del plano determinado por estas rectas mediante la pareja ordenada denmerosreales( ) y x, ocoordenadascartesianasdelpunto.Como unnmero complejojy x +sepuedeconsiderarcomounaparejaordenadadenmerosreales,podemosrepresentarestos nmeros por puntos en el planoxy , llamado el plano complementario o diagrama de Argand. Por ejemplo,el nmerocomplejo4 3 j + tambin sepuedeleer,entonces, comoelpar ordenado( ) 4 , 3 . As, a cada nmero complejo corresponde uno y solamente un punto en el plano y recprocamente a cadapuntoenelplanolecorrespondeunoysolamenteunnmerocomplejo.Acausadeesto,a menudo mencionamos al nmero complejozcomo el puntoz . Nosreferimosalosejesx yy comolosejesrealeimaginario,respectivamenteyalplano complejo como al planoz . La distancia entre dos puntos 1 1 1jy x z + =y 2 2 2jy x z + =en el plano complejo viene dada por( ) ( )22 122 1 2 1y y x x z z + = . Mdulo y argumento de un nmero complejo Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al nmero complejo( ) y x,ojy x + , entonces podemos definir el mdulo,( ) z modoz , de dicho complejo de la siguiente forma:2 2y x z + . Tambin podemos definir el argumento de este complejo,( ) z argo( ) z , como el ngulo que forma la recta OP con el eje OX positivo. A partir de la trigonometria se deduce que: ( ) sin cos j r jy x z + = + = Nmeros complejos Proyecto e-Math6 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) Esta ltima es la llamada forma polar o mdulo-argumental del nmero complejory( ) z reciben el nombre de coordenadas polares. Paracualquiernmerocomplejo0 z correspondesolamenteunvalorde en 2 0 < .No obstante, cualquier otro intervalo de longitud 2 , por ejemplo, < , se puede emplear. Esta eleccin particular recibe el nombre de la parte principal y el valor dese llama valor principal. Producto, divisin y potenciacin [2] Elmdulodeunproductodenmeroscomplejos( )1 1 1 1 1 1sin cos j r jy x z + = + = y( )2 2 2 2 2 2sin cos j r jy x z + = + =es igual al producto de los mdulos de esos nmeros mientras que el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de esos nmeros complejos. Es decir: 2 1 2 1 2 1z z r r z z = = ) arg( ) arg( ) arg(2 1 2 1 2 1z z z z + = + = para comprobarlo basta con ver que: ( ) ( ) | | = + + =2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1sin cos cos sin sin sin cos cos j r r z z ( ) ( ) | |2 1 2 1 2 1sin cos + + + = j r r Enel caso dela divisin dedosnmeros complejos,el mdulo es el cocienteentrelos mdulos de los dos nmeros, mientras que el argumento del cociente es igual a la diferencia de los argumentos deldividendoydeldivisor.Ellectorpuedecomprobarelresultadobienmedianteelusode expresionestrigonomtricasorecordandoquedividiresmultiplicarporelinverso.Elinversodeun nmerocomplejotienepormduloelinversodelmduloy,porargumentomenoselargumentodel complejo considerado. As pues: 212121zzrrzz= = ) arg( ) arg( ) arg(2 1 2 121z zzz = = Teorema de Moivre[1] Simultiplicamosnnmeroscomplejos,apartirdelaexpresindelproductodedosnmeros complejos obtenemos que el producto de n nmeros complejos equivale a un complejo cuyo mdulo es el producto de los n mdulos y el argumento, la suma de los n argumentos. De esta forma: ( ) ( ) { }n n n nj r r r r z z z z + + + + + + + + + = L L L L3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1sin cos Tomandotodosloscomplejosigualesz z z z zn= = = = = L3 2 1,laexpresinanteriorqueda como: ( ) ( ) { } n j n r zn nsin cos + = Porotrolado,lan-simapotenciadelnmerocomplejoz tambinpuedeexpresarse,lgicamente como: Nmeros complejos Proyecto e-Math7 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) ( ) ( ) ( ) { }n nj r z sin cos + = y igualando las dos ltimas expresiones llegamos al Teorema de Moivre: ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) n j n r j r zn n nsin cos sin cos + = + = Radicacin [2] ElteoremadeMoivrenospermitecalcularfcilmentelaexpresinparalasracesdecualquier nmerocomplejo.Unnmerowesunadelasnracesn-simasdeunnmerocomplejoz ,si nz w/ 1= . Del Teorema de Moivre, podemos demostrar que las n races dez , kwson: ( ) ( ) ( ) { } = + = =n nkj r z w1 1sin cos )`|.|

\| ++|.|

\| +=nkjnkrn 2sin2cos1con 1 , , 2 , 1 , 0 = n k K Estosnvaloresdistintossurgendebidoalaposibilidaddeobtenerunmismonmerocomplejo sumando vueltas enteras (de 2 ) al argumento. Frmula de Euler [2] La extensin compleja de la funcin exponencial viene definida a partir de la serie de potencias K + + + + = ! 3 ! 2 13 2x x x ex Substituyendo la variablexpor j , llegamos al resultado siguiente: ( ) ( ) ( ) = + + + + + = K ! 4 ! 3 ! 2 14 3 2 j j j j ej ( ) ( ) sin cos 3 ! 4 ! 2 13 4 2j j + = + + + = K K dondeK 71828 , 2 = e .EstafrmularecibeelnombredefrmuladeEuler.Apartirdeesta expresin y definiendo la exponencial de un nmero complejo como: jy x jy x ze e e e + y utilizando la frmula de Euler, obtenemos: ( ) sin cos j e e e e ex jy x jy x z+ = + Un caso particular de la frmula de Euler es: 0 1 = + je Nmeros complejos Proyecto e-Math8 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) que relaciona elementos matemticos tan diferentes como el 0 y el natural 1, los irracionales e y , y el imaginario puro j.

Funciones trigonomtricas complejas y funciones hiperblicas [3] LasfuncioneshiperblicasintroducidasenelMathblockFuncionesdeunavariablesepueden expresar a partir de funciones trigonomtricas en el plano complejo. Ampliemos las definiciones de las funciones seno y coseno en el plano complejo: 2cosjz jze ez+=je ezjz jz2sin= Cuandozes real, estas frmulas coinciden con las funciones seno y coseno ordinarias. Cuandozes imaginario puro,esto esjy z = , obtenemos: 2 2 2cos2 2y y y y y j y je e e e e ejy +=+=+=2 2 2 2sin2 2y y y y y y y j y je ejje eje eje ejy = === conlocualpodemosestablecerlarelacinexistenteentrelasfuncionestrigonomtricasde argumento complejo y las funciones hiperblicas: y jy cosh cos = y j jy sinh sin = CASOS PRCTICOS CON SOFTWARE___________________________________ Resolucin de ecuaciones de tercer grado. Soluciones reales y complejas La busqueda de todas las races o soluciones de un polinomio cualquiera de grado mayor o igual que dosesengeneralunproblemasinsolucinenlosnmerosreales.Enparticular,laecuacin 0 12= + x nopresentanningunasolucinen.SabemosporelMathblockFuncionesdeuna variabledondetratamoslainterseccindelasparbolasconelejedelasx ,queestaecuacin corresponde a buscar la interseccin entre una parbola que pasa por encima del eje de lasxy este eje.Comolainterseccinnoexiste,laecuacinnotieneningunasolucinen.Veamosa continuacinunejemploderesolucindeecuacionesdetercergradoysuinterpretacingrfica. Vamos a encontrar las soluciones de la siguiente ecuacin de tercer grado:0 12 3= + z z z . AplicaremoslafrmuladeCardano[4]queproporcionalassolucionesdecualquierecuacinde tercer grado con coeficientes reales:00 12233= + + + a z a z a z a , substituyendo a2=-1, a1=1 y a0=-1., En primer lugar, calculemos los parmetrosq ,r , 1sy 2s :

Nmeros complejos Proyecto e-Math9 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) 9291313 322 1= = |.|

\| =a aq27102713127163 127 6332 0 2 1= + = ++ = =a a a ar 3 33 2 31729108271072910072982710+ = + + = + + = r q r s33 2 327291082710 = + = r q r s Entonces tenemos: 13132317291082710729108271033 322 1 1= + =|.|

\| + + = + =as s z j j j s sa s sz =(((

+ + + = + + =3 32 12 2 1272910827107291082710233131) (233 2 j j j s sa s sz =(((

+ + = + =3 32 12 2 1372910827107291082710233131) (233 2 Las tres soluciones de la ecuacin son: 1, +j y j. Y por lo tanto, tenemos que el polinomio z3-z2+z-1 tambin puede expresarse como (z-1)(z-j)(z+j).

UtilicemosMathcadparaencontrar las soluciones de la ecuacin z3-z2+z-1. Lainstruccinpolyrootspermitea partirdelconocimientodelos coeficientesdeunpolinomio, obtenertodassusraces,yasean realesocomplejas.Paraello,basta conhaberconstruidoelvectorde coeficientes y aplicarle la instruccin mencionada. v1 11 1|

\|||||.:=polyroots v ( )j j1|

\|||.= Nmeros complejos Proyecto e-Math10 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) Representemosla funcin real y=x3-x2+x-1 asociadaalaecuacin compleja z3-z2+z-1=0. Seobservaquela funcintiendeamenos infinitocuandola variabletiendeamenos infinito,y,ams infinito,cuandola variabletiendeams infinito. Enparticular,una ampliacincercadel origendecoordenadas nospermitecomprobar que el nico cruce con el ejexseproduceenx=1 e y=0. 10 0 1010010x3x2 x + 1 x2 1 0 1 221012x3x2 x + 1 Suma, resta, producto y divisin de nmeros complejos en forma binmica Conelpropsitodeilustrarlasoperacionesaritmticasconcomplejosenformabinmica,vamosa efectuar las siguientes operaciones a) j z zz z+ ++ +2 12 11 b) ||.|

\|+221121zzzz c)( )2 13 Re z z d)( )2 1Im z z + con los complejos z1=1-j, z2=3+j. a) En primer lugar efectuemos las sumas en el numerador y el denominador: 3 2 1 3 1 12 1+ = + + + = + + j j z zj j j j j z z + + = + + + = + + 3 1 3 12 1 Como el mdulo de un cociente de complejos corresponde al cociente de los respectivos mdulos, no esnecesariomultiplicarnumeradorydenominadorporelconjugadodeldenominador.Bastacon buscar el mdulo de cada parte de la fraccin: ( ) 1 3 13 23 13 21122 12 12 12 1+ ++=+ + +=+ ++ +=+ ++ +jj z zz zj z zz z Nmeros complejos Proyecto e-Math11 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)

UtilicemosMathcadparaverificar estaoperacin.Enprimerlugar definamosloscomplejosz1=1-j yz2=3+j. Luegocalculemoselcomplejodel cualdeseamosobtenerelmdulo mediante el Evaluate Symbolically. Despusdecalcularelmdulo, tambinconlainstruccin EvaluateSymbolically,utilizamos elEvaluateNumericallypara conocer el valor numrico de dicho mdulo. z1 1 j :=z2 3 j + :=z1 z2 + 1 + ( )z1 z2 + j + ( )2 312+|

\||.1 312+ i +|

\||.z1 z2 + 1 + ( )z1 z2 + j + ( )2 312+|

\||.1 312+|

\||.21 +

(((12 1.283 = b) Aplicando la definicin de mdulo de un nmero complejo, podemos escribir: ( )( ) ( )( )( )( )( )( )=||.|

\|+++=||.|

\|+++=||.|

\|+jjjjjjjjjjjjzzzz3333111121331121212211 donde hemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado del denominador y obtenemos: ( ) ( ) jjjj j3 2 14123 12143 2 22221+ =||.|

\|+ =||.|

\|+= ConMathcadverificamosesta operacin. Despusdedefinirloscomplejos z1 y z2, introducimos la expresin a evaluar. Utilizandolainstruccinde simplificacinSymbolicComplex Evaluationcomprobamosel resultado. z1 1 j :=z2 3 j + :=12z1z1z2z2+|

\||.complex14i1 214312 |

\|||. + Nmeros complejos Proyecto e-Math12 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) c) Evaluemos la expresin dentro de la operacin parte real (Re()): ( ) ( ) ( )j j j j j z z 3 1 3 3 3 3 1 3 32 1 = + = = cuya parte real es cero. Verificamos este resultado tambin con Mathcad. Despusdedefinirloscomplejos z1 y z2, introducimos la expresin a evaluar. Utilizandolainstruccinde simplificacinSymbolicComplex Evaluationcomprobamoselvalor delcomplejo,cuyapartereales nulacomopodemosverutilizando lainstruccinRe,queextraela parte real de un complejo.z1 1 j :=z2 3 j + :=3z1 z2 complex i 3 1 + ( ) Re 3z1 z2( )0 = d) Laparte imaginaria (Im()) de un nmero complejo es el coeficiente real que multiplica a la unidad imaginaria. As pues: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 Im 3 1 Im Im2 1= + + = + + + = + j j j z z Verifiquemos este ltimo resultado con Mathcad. Despusdedefinirloscomplejos z1 y z2, introducimos la expresin a evaluar. Utilizandolainstruccinde simplificacinSymbolicComplex Evaluationcomprobamoselvalor delcomplejo,cuyaparte imaginariaesiguala2como podemosverutilizandola instruccinIm,queextraelaparte imaginaria de un complejo.z1 1 j :=z2 3 j + :=z1z2 + complex 1 2 i + 3 + Imz1z2 +( )2 = Nmeros complejos Proyecto e-Math13 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) Producto, divisin y potenciacin de nmeros complejos en forma polar Comoilustracindelclculoconnmeroscomplejosenformapolar,vamosprimeroaconvertir complejosenformabinmicaapolarparaluegoefectuaroperacionesconellos.Enprimerlugar, convertiremoslossiguientescomplejosexpresadosenformabinmica:z1=1-3j,z2=(3+j)/4asu forma polar y luego buscaremos el resultado de las siguientes expresiones: a1) 21zz a2) 10251z z Para convertir a forma polar los complejos z1 y z2 debemos calcular sus mdulos: ( ) 2 4 3 1221= = + = z 211611634143222= + = |.|

\|+||.|

\|= z y sus argumentos: 300 6013arctan1= =||.|

\| = 304 34 1arctan2=||.|

\|= dondehemosutilizado,enladeterminacinunvocadelargumento,elhechodequez1estenel cuarto cuadrante y z2, en el primero. En forma polar, estos complejos corresponden a: ( ) ( ) ( )je j z = + = 6012 60 sin 60 cos 2 ( ) ( ) ( )je j z = + = 30221 30 sin 30 cos21 Nmeros complejos Proyecto e-Math14 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) a1)Efectuemos la divisin entre 1zy 2zen forma polar. El mdulo de esta divisin ser el cociente de mdulos, es decir, 2 entre 1/2, 4. El argumento corresponder a la resta de los argumentos de 1zy 2z , es decir, de 60 y 30, pues tenemos que tomar el signo opuesto al de 2zal estar conjugado. Porlotanto,elargumentodelcocienteser30.Elcomplejoqueestamosbuscandoes,pues: ( ) ( ) ( )je j = + 304 30 sin 30 cos 4 a1 Verifiquemoslosclculosenformapolarcon Mathcad. Despusdedefinirloscomplejosz1yz2, introducimos la expresin a evaluar. Utilizandolainstruccindesimplificacin SymbolicComplexEvaluationobtenemos el resultado en forma binmica. Paraobtenerlaformapolaryexponencial deestecomplejo,bastaconbuscarel mdulo y el argumento ayudndonos de la instruccin Simplify. z1 2e3|

\||.j :=z212|

\||.e6|

\||.j:=z1z2complex 2 3 2 i 2 3 2 i simplify 4 arg 2 3 2 i ( )simplify1 6 Fijaos que el argumento /6 en radianes equivale a 30 puesto que radianes equivalen a 180. a2)Calculemos la expresin 10251z z en forma exponencial. Como je z = 6012yje z = 30121, tenemos: ( )3212121221205 300 30010510 305 60 10251= = =|.|

\| = e e e e e z zj j j j Nmeros complejos Proyecto e-Math15 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) a2 Verifiquemoslosclculosenformapolarcon Mathcad. Despusdedefinirloscomplejosz1yz2, introducimos la expresin a evaluar. Utilizandolainstruccindesimplificacin SymbolicComplexEvaluationobtenemos el resultado en forma binmica. Alserrealypositivo,elmdulocoincide conelcomplejoyelargumentoescero comovemosayudndonosdela instruccin Simplify. z1 2e3|

\||.j :=z212|

\||.e6|

\||.j:=z15z210complex132132simplify132 Radicacin de un nmero complejo en forma polar [5] Como ilustracin de la radicacin de nmeros complejos, vamos a calcular la races que aparecen al resolver la ecuacin: 0 13= + j z Despejando obtenemos la siguiente ecuacin: j z + = 13 cuyassolucionesvienendadasporlasracescbicasdej + 1 queenformapolarequivala: ||.|

\||.|

\|+|.|

\|43sin43cos 2 j .Efectuemosestaoperacinderadicacinmediantelafrmulaque hemos derivado del Teorema de Moivre: =||||.|

\|||||.|

\|++||||.|

\|+= + =3243sin3243cos 2 1333 , 2 , 1kjkj w

Nmeros complejos Proyecto e-Math16 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) ||.|

\||.|

\|+ +|.|

\|+ = k j k324sin324cos 26 2 , 1 , 0 = k As pues las races son: |.|

\|+ = |.|

\|+ =||.|

\||.|

\|+|.|

\|=3 36 612121212124sin4cos 2 j j j w ||.|

\|++ =||.|

\|++ =||.|

\||.|

\|+ |.|

\|=6 5 6 56 6223 223 243 243 221211sin1211cos 2 j j j w ||.|

\| =||.|

\| =||.|

\||.|

\|+|.|

\|=6 5 6 56 632321232121219sin1219cos 2 j j j w Sidibujamoslospuntos 1w , 2w y 3w ,vemosquerepresentantrespuntosequidistantessituados encima de una circumferencia de radio 62 .

Verifiquemoslosclculosen forma polar con Mathcad. Despusdeintoducirlastres racesw1,w2yw3,calculamos sus cubos. w1132j132 +|

\||.:=w22 3 + 625j2 3 625 +|

\|||.:=w32 3 625j2 3 + 625 +|

\|||.:=w1( )31 j + =w2( )31 j + =w2( )31 j + = Nmeros complejos Proyecto e-Math17 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) Podemosrepresentar lospuntosenelplano complejoque representanlastres races (puntos rojos). Estansituadosencima deunacircumferencia deradio 62 (entrazo continuoazul)y separados 120 entre si. w1322 3 + 6252 3 6251322 3 6252 3 + 625|

\||||||||||.:=r62 :=t 0 0.1 , 2 .. :=Coordenadas_x w0 :=x t ( ) r cos t ( ) :=Coordenadas_y w1 := y t ( ) r sin t ( ) :=2 0 2202Coordenadas_yy t ( )Coordenadas_x x t ( ) , CONCLUSIONES___________________________________ Dentrodelcuerpodelosnmeroscomplejos,todaecuacinpolinmicatienesolucin.Hemos mostradoquemediantelafrmuladeCardanoylaunidadimaginaria,podemosobtenerlasolucin decualquierecuacindetercergrado.Unavezintroducidoslosnmeroscomplejosensusformas binmicaypolar,hemosvistoquetantolasumacomolarestaseefectuanconextraordinaria facilidadenformabinmica,mientrasqueelproductoyladivisinserealizanmsfacilmenteen forma polar. Una vez hemos deducido la Teorema de Euler, hemos podido construir la regla para la radicacin de un nmero complejo cualquier. Todas estas operaciones se han ido acompaando de ejemplosconelprogramaMathcad,queconstituyeunaherramientatilisimaparaelclculocon nmeros complejos. Nmeros complejos Proyecto e-Math18 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) BIBLIOGRAFA___________________________________ [1]M. R. Spiegel (1970): Teora y problemas de Variable Compleja, Serie de Compendios Schaum, McGraw-Hill, Mexico. [2]V.A.KudryasvtsevandB.P.Demidovich(1981):AbriefcourseofHigherMathematics,Mir Publishers, Mosc, p. 325-332. [3]T.A.Apostol(1981):Calculus:Clculuoconfuncionesdeunavariable,conunaintroduccinal lgebra lineal, Revert, Barcelona, p. 454. [4]M.R.Spiegel(1970):ManualdeFrmulasyTablasMatemticas,SeriedeCompendios Schaum, McGraw-Hill, Mexico, p.32. [5]R. Calm, N. Coll, y M.R. Estela (1992): Problemas de clculo, Micromar, Barcelona, p.1. [6]R.CourantandF.John(1976):IntroduccinalClculoyalAnlisisMatemtico,Limusa, Mxico, p. 126. [7]T.M. Apostol, (1979): Anlisis Matemtico, Revert, Barcelona, p. 19-32. ENLACES___________________________________ [W1]http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/Basicas/Contenidos/Complejos/complejos1.html Introduccinamenaeinteresantealosnmeroscomplejos.Incluyeunaanimacina propsito de las races de un complejo. [W2]http://www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/Numcomp.htm Resumenconcisoymuymanejablesobrelasoperacionesypropiedadesdelosnmeros complejos. [W3]http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html Operaciones con nmeros complejos. Incluye el clculo del logaritmo de un nmero complejo que no hemos presentado aqu. [W4]http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/es_confboye.htm Los nmeros complejos en la historia de las matemticas. [W5]http://caminantes.metropoliglobal.com/web/matematicas/historia.htm Artculodedivulgacinsobrelahistoriadelasmatemticasacaballodelosgrandes movimientosculturales.Loscomentariossobrelosnmeroscomplejosempiezanconla solucin de la ecuacin de segundo grado por Cardano, en pleno Renacimiento. [W6]http://matgen.usach.cl/complejos.pdf Extenso compendio de ejercicios con nmeros complejos. [W7]http://www1.ceit.es/asignaturas/Algebra/Web/docs/Complejos95.ppt Nmeros complejos Proyecto e-Math19 Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD) Presentacin en Power Point sobre los nmeros complejos. Ilustra las propiedades de estos nmeros con ejemplos interesantes como ii . [W8]http://www.monografias.com/trabajos10/comple/comple.shtml Monografa sobre los nmeros complejos, sus operaciones y sus aplicaciones. [W9]http://www.ping.be/math/complget.htm Introduccin a los nmeros complejos. Axiomtica y propiedades (en ingls). [W10]http://math.about.com/cs/complexnumbers/ Aproximacin prctica a los nmeros complejos (en ingls).