11

En esta exposicin voy a referirme al currculo explcito y prescrito en los materiales de uso comn en el Sistema educativo Nacional, es decir, en los libros de texto gratuitos y en los materiales de apoyo para el maestro. Consid-erare al currculo como el conjunto de propsi-tos, contenidos, enfoques didcticos y criterios de evaluacin que regulan la prctica docente en los niveles de preescolar, primaria y secundaria.

ANTECEDENTES

El nuevo currculo de Matemticas en la edu-cacin bsica ha estado vigente desde el ao escolar 1993-1994 y es el resultado de un proceso que se inici en 1989 con una consulta nacional para identificar los principales problemas educativos del pas, precisar las prioridades y definir estrategias para su atencin. De aqu surgi el Programa para la modernizacin Educativa 1989-1994,2 en que se establecieron las siguientes prioridades:

La renovacin de los contenidos y los mtodos de enseanza.

El mejoramiento de la formacin de maestros.

La articulacin de los niveles educativos que conforman la educacin bsica.

El proceso que se inici en 1989 incluyo la eval-uacin de los planes de estudio, programas y libros de texto, el desarrollo de planes experi-mentales a travs de lo que se llam la prueba operativa, la puesta en consideracin del doc-umento Hacia un nuevo modelo educativo, en el que se dieron a conocer los criterios centrales para la reforma; La firma del Acuerdo Nacional para la Modernizacin de la Educacin Bsica3en mayo de 1992; un Programa Emergente de Reformulacin de Contenidos y Materiales Educativos, del que surgieron las guas para el maestro de enseanza primaria, que fueron utilizadas durante el ao escolar 1992-1993.

2 Programa para la Modernizacin Educativa 1989-1994, Mxico, SEP, 1990. 3 Acuerdo Nacional para la Modernizacin de la Educacin Bsica, Mxico, SEP, 1992.

El plan y programas de estudio4 tiene como propsito organizar la enseanza y el aprendizaje de contenidos bsicos, entendiendo por bsico no un conjunto de conocimientos mnimos o fragmentados, sino algo que permite adquirir, organizar y aplicar saberes de diverso orden y complejidad creciente. Uno de los propsitos centrales de la educacin bsica consiste en estimular

Las habilidades que son necesarias para el aprendizaje permanente y, en el caso particular de Matemticas, se trata de desarrollar habilidades intelectuales que permitan aprender permanentemente y con independencia.

Los rasgos centrales que distinguen al nuevo currculo del que estuvo vigente hasta el ao escolar 1992-1993, con respecto a cada uno de los aspectos que integran el currculum son los siguientes.

EN RELACIN CON LOS PROPSITOS

S el mayor nfasis en el desarrollo de habilidades y del razonamiento matemtico para la resolucin de problemas a partir de situaciones prcticas.

Hay una formulacin suficientemente precisa de los propsitos, que otorga al maestro un margen ms amplio de desicin en la organizacin de las actividades didcticas, a cambio de la enunciacin de un nmero muy elevado de objetivos que se dividan, en los programas anteriores, en generales, particulares y especficos.

EN RELACIN CON LOS CONTENIDOS Y ENFOQUES DIDCTICOS

Los programas de Matemticas que integran tanto el plan de estudios de la educacin primaria como el de la educacin secundaria, organizan la enseanza y el aprendizaje de contenidos bsicos para asegurar que los alumnos adquieran conocimientos, desarrollen habilidades intelectuales y fomenten actitudes positivas hacia el estudio en general. A continuacin intentar describir cada una de estas categoras.

4 Plan y Programas de estudio (primaria y secundaria), Mxico, SEP, 1993.

"Nuevo Curriculum de Matemticas en el nivel bsico"

Hugo Balbuena Corro

12

CONOCIMIENTOS En esta categora se agrupan los saberes que los alumnos tienen o deberan tener disponibles en la memoria y que puede utilizar en cualquier momento para resolver problemas ms complejos. La apropiacin de estos saberse puede darse en distintas formas, por ejemplo, a travs de la informacin que les proporciona el maestro, obteniendo sus propias conclusiones despus de resolver situaciones problemticas o a travs de la interaccin con sus compaeros o con el medio social en que viven. Para mayor claridad sobre este aspecto, lo he dividido en tres subcategoras que a continuacin se ejemplifican.

ALGORITMOS Se entiende por algoritmo un conjunto de pasos que se siguen para resolver una operacin. El conocimiento de los algoritmos implica procesos de estudio que se inician desde el nivel preescolar, al resolver situaciones sencillas mediante el uso de procedimientos informales como el conteo. En el transcurso de la educacin primaria se desarrollan secuencias de actividades para que los alumnos conozcan las relaciones bsicas que se pueden establecer entre los elementos que intervienen en una operacin. En el nivel de secundaria se revisan y completan dichos procesos.

CONCEPTOS En esta subcategora se incluye el significado de trminos matemticos que permiten comprender los problemas que se plantean de manera oral o escrita, as como la comunicacin en general. Se trata de la familiarizacin gradual con el vocabulario que se utiliza en matemticas. Trminos tales como nmero primo, divisor, paralela, ngulo agudo, etctera.

HECHOS BSICOS Se incluye en este apartado el conocimiento de ciertos axiomas, reglas o teoremas aritmticos o geomtricos que llegan a formar parte de la cultura matemtica del alumno, tales como el que la suma de los ngulos interiores de un tringulo cualquiera es igual a 180 grados; que el producto de dos nmeros negativos da como resultado un nmero positivo; que calcular el 50% equivale a obtener la mitad, etctera.

HABILIDADES El desarrollo de habilidades matemticas es la esencia del enfoque didctico que se propone en el currculum actual para la educacin bsica. Dichas habilidades se reflejan en la posibilidad que tienen los alumnos de resolver problemas en distintos mbitos de la matemtica, apelando a sus conocimientos y a su inventiva para establecer relaciones de diversa ndole. La diferencia ms importante en trminos de desarrollo de habilidades, entre la educacin primaria y secundaria, radica en la inclusin, en este ltimo nivel, de actividades que implica los primeros acercamientos hacia el razonamiento deductivo. Un ejemplo de este tipo de actividades se refiere a la deduccin de algunas frmulas para el clculo de reas de figuras planas (libro para el maestro. Matemticas. Educacin secundaria, pp.279-283). En los propsitos generales de la asignatura se distinguen siete tipos de habilidades en la educacin primaria y uno ms en la educacin secundaria. Estas habilidades se interrelacionan y confluyen en la posibilidad que tiene los alumnos para resolver problemas. A continuacin se describe brevemente cada uno de los tipos de habilidad que se pretende desarrollar en la educacin bsica. 1. La habilidad de estimar resultados cuando

se resulten problemas, se efectan operaciones o se realizan mediciones. El desarrollo de esta habilidad trae consigo el fomento de una actitud muy importante en el estudio de las matemticas que se refiere al trabajo autnomo y a la responsabilidad matemtica (Chevallard, Y. 1997)5 Esta ltima no consiste ms que en hacerse cargo de los resultados que se obtiene, verificarlos y en caso necesario validarlos ante los dems compaeros. Se sabe que esta actitud no surge espontneamente de los alumnos, ms bien lo que se observa es una gran dependencia para que el profesor d su aprobacin ante cualquier intento de solucin.

5 Estudiar matemticas. El eslabn perdido entre enseanza y aprendizaje, y. Chevallard et al., Barcelona, Horsori, 1997.

13

El desarrollo de esta habilidad se favorece a travs de lo que se ha llamado actividades permanentes (libro para el maestro. Matemticas. Educacin secundaria, 1994, p.46) que se sugiere realizar cada vez que se va a resolver un problema, una operacin o cuando se intenta realizar alguna medicin. Antes de que los alumnos empiecen realizar sus clculos el profesor puede preguntar: Cmo cunto creen que va a resultar? Los alumnos anticipan un resultado y enseguida verifican qu tan cerca o qu tan lejos estaban. Este recurso didctico que parece tan simple trae consecuencias muy positivas para la formacin de los alumnos:

Los anima a entender mejor el

problema Obtienen elementos para controlar el

resultado que buscan Se responsabilizan de la solucin Se motivan al confrontar el resultado

que anticiparon con el que obtienen despus de seguir un procedimiento ms riguroso.

El estudio de las ecuaciones es un tema fundamental en la educacin secundaria y en muchos casos conviene que los alumnos estimen la solucin antes de utilizar un procedimiento formal. Por ejemplo, al resolver la ecuacin x + 75x 850 = 0, no es difcil ver que una de las soluciones es 10, puesto que 10+75(10)-850= 0. La segunda solucin es menos evidente pero puede ser encontrada sin mucha dificultad, tomando como referencia la primera. Por supuesto que no siempre la estimacin es el recurso ms eficiente para llegar al resultado preciso pero sirve para tener idea del rango numrico en el que puede estar.

2. La habilidad de medir o de establecer

relaciones entre magnitudes para encontrar una medida (longitudes, superficies, volmenes, masa, etctera) utilizando unidades arbitrarias o convencionales, as como para seleccionar una unidad de medida adecuada a las situacin que se presenta. A diferencia d lo que sucede en los programas de matemticas de la educacin primaria, en los que la medicin constituye en eje temtico, puesto que las actividades se centran en la construccin de la nocin de medir, en los programas de secundaria los

contenidos de medicin se incluyen en el estudio de la geometra, de manera que uno de los propsitos en este nivel es la resolucin de numerosos problemas de clculo geomtrico (libro para el maestro. Matemticas. Educacin secundaria, p. 33). A continuacin se muestra un ejemplo de este tipo de problemas:

Calcular la altura de un tringulo issceles de base igual a 1.5 cm. y rea igual a 12.5 cm.

3. La habilidad de imaginar que se desarrolla

fundamentalmente con el estudio de la geometra, se refiere, por ejemplo, a establecer correspondencias entre desarrollos planos y cuerpos geomtricos, determinar figuras y cuerpos conociendo algunas caractersticas, anticipar la forma de figuras o cuerpos en revolucin, transformar superficies en sus equivalentes, etctera.

Un ejemplo de problema que implica la habilidad de imaginar es el siguiente: Utilizando comps o escuadras, cmo haras para dividir un tringulo cualquiera en 4, 9, 16, 25,36 tringulos pequeos congruentes entre s?

4. La habilidad de operar. De acuerdo con el

enfoque actual para la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en el nivel bsico, conviene hacer una separacin entre la habilidad que desarrollan los alumnos para resolver problemas y el uso de diferentes tcnicas para efectuar los clculos (Balbuena, et al., 1995). Se puede hablar de dos procesos paralelos ntimamente relacionados que requieren un tratamiento didctico propio. La habilidad para resolver problemas se logra descubriendo relaciones a partir de cierta informacin que se presenta en un texto, una ilustracin, una grfica, o bien entre elementos u objetos del mundo fsico. En muchos casos es necesario efectuar clculos y se recurre a las operaciones o instrumentos con los que se tiene cierta familiaridad.

En el mbito matemtico, la habilidad de operar consiste en descubrir relaciones entre nmeros o expresiones para

14

producir un resultado. Esta habilidad puede revelarse al encontrar elementos faltantes en una operacin, al formular operaciones que cumplan condiciones establecidas o, en general, al efectuar clculos mentalmente o por escrito.

Un ejemplo de problema que implica la habilidad de operar es el siguiente:

Un ejemplo ms en el que se plantea un problema abierto acerca de las relaciones entre los trminos de una divisin, es el siguiente: Encontrar cinco divisiones que tengan como residuo 30 Un ejemplo ms en el que se requiere utilizar la relacin entre los sumandos y la suma: El siguiente cuadro es mgico, en este cuadrado la suma de cada columna, rengln o diagonal debe dar como resultado 3 / 2. En los espacios en blanco anota las fracciones que completen el cuadro mgico.

5. La habilidad de comunicar e interpretar

tiene que ver con el uso del lenguaje simblico, tablas, diagramas o grficas. Por ejemplo, se trata de que los alumnos puedan comunicarse mediante nmeros o expresiones algebraicas de distintas maneras, a la vez que puedan interpretarlos. El desarrollo de esta habilidad en el nivel de secundaria es de vital importancia por el uso del lenguaje algebraico. Un ejemplo de problema que favorece el desarrollo de esta habilidad es el siguiente: (Libro para el maestro. Matemticas. Educacin secundaria, p. 340)

En la siguiente tabla se presenta la constitucin qumica (en porcentajes) de algunos animales de granja. Encontrar la constitucin qumica, en porcentajes, del animal de granja promedio. De entre los animales de la lista, cul es el que se aproxima ms al animal promedio?

5 / 14 5 / 6 41 / 42 29 / 42

En cada cuadrito anota los nmeros que sean convenientes de tal forma que al realizar la operacin los dgitos que aparecen correspondan a la operacin indicada.

1 7

x 5 6 28 7 3 4

1 0 7 1 6 5

15

6. Una habilidad ms es la de inferir (del latn

inferre, llevar a una parte). Sacar una consecuencia de un hecho o un principio. Se refiere a la posibilidad de establecer relaciones entre los datos que aparecen en texto, en una ilustracin, en una tabla, grafica o diagrama, para encontrar un resultado. Un ejemplo de problema que favorece el desarrollo de esta habilidad es el siguiente:

Cuatro hermanos quieren comprar una enciclopedia que vale $950.00. Para hacerlo, cada uno ahorra la misma cantidad mensualmente y sus padres deciden ayudarlos con $ 75.00 cada mes. Si al cabo de cinco meses ya haban completado para pagar la enciclopedia y les sobraban $25.00, cunto ahorro cada hermano mensualmente?

Un ejemplo ms en el que se requiere obtener una consecuencia a partir de un conjunto de datos es el siguiente:

Determinar el nmero que cumple con las siguientes condiciones: Tiene ocho cifras, cuatro son iguales y estn juntas, la cifra de las centenas de millar es sucesor de la cifra de las decenas y es el sucesor de la cifra de las unidades de milln. Slo una de las cifras del nmero es impar y doble de su valor es la cifra de las decenas de milln. Tambin se sabe que la cifra de las unidades es el cudruplo de la cifra de las centenas.

7. La habilidad de generalizar que se refiere

fundamentalmente al desarrollo del razonamiento inductivo, el cual se produce cuando se logra obtener una conclusin general a partir de varios casos particulares. Un ejemplo tpico de problemas que permiten el desarrollo de esta habilidad es el que consiste en hallar patrones numricos o geomtricos, o bien modificar las condiciones de un problema para derivar diferente resultados a partir de un caso particular. El desarrollo de esta

habilidad tambin genera una actitud positiva por parte del alumno si, de manera sistemtica, siempre que las condiciones del problema y el tiempo lo permitan, el maestro plantea la pregunta: y qu pasara si en vez de tal cantidad, figura, trmino, etctera, fuera tal? Poco a poco se ir generando en los alumnos una actitud de bsqueda, ms all de lo que el maestro les pregunta.

Animal Prtidos Lpidos Glcidos Minerales Agua Caballo 17 17 1.5 4.5 60 Buey 15 26 0.4 4.6 54 Borrego 16 20 0.6 3.4 60 Puerco 15 24 0.2 2.8 58 Pollo 21 19 0.8 3.2 56

Millones Millares Unidades C d u c d u c d u 6 2

16

A continuacin se muestra un ejemplo de problema en el que se requiere encontrar un patrn numrico para poder anticipar diversos nmeros que forman una sucesin.

Problema 1 Observa la siguiente secuencia de operaciones: 2 - 1 = 3 - 2 = 4 - 3 = 5 - 4 = 6 - 5 =

7 - 6 = 345 - 344 = n - (n 1) = Observa los resultados que se obtienen en las primeras seis operaciones y luego sin que hagas las ltimas operaciones, escribe cul es el resultado Un ejemplo ms en el que se parte de una disposicin geomtrica para encontrar un patrn numrico, es el siguiente: Problema 2 Observa la siguiente sucesin de figuras

La primera figura tiene un solo cuadrado, la segunda tiene cuatro, etctera. Cuntos cuadrados tendr la figura que ocupe el lugar numero 100? Y un ejemplo ms en el que se trata de resolver un problema que implica un proceso de generalizacin. Problema 3 Si esta semana ahorro un peso y la siguiente el ahorro el doble, es decir $ 2 y la siguiente duplico mi ahorro, esto es, $4, y sigo as todas las semanas, cunto ahorrare en dos meses? Cuntas semanas tardar en ahorrar aproximadamente $ 10 000? Con cunto debo iniciar si duplicando mi ahorro cada semana, quiero acumular $994.50 en dos meses?

8. La habilidad para deducir (del latn

deducere), es decir, sacar consecuencias de un principio, proposicin o supuesto y, en general, llegar a un resultado por un razonamiento. El desarrollo de esta habilidad se menciona en los programas de segundo y tercero de secundaria y se dan algunas orientaciones en el libro para el maestro. Lo sustancial es que mediante el anlisis de algunos casos particulares los alumnos hagan conjeturas y puedan validarlas o desecharlas.

Las ocho habilidades descritas anteriormente confluyen en lo que es el propsito medular de la enseanza, el estudio y el aprendizaje de las matemticas en la educacin bsica, esto es, la habilidad para resolver problemas.

ACTITUDES

Aunque el desarrollo de actitudes slo aparece explcito en el libro para el maestro, Matemticas. Sexto grado,6 implcitamente est presente en muchas de las recomendaciones didcticas que se pueden leer en los libros para el maestro de los diferentes grados. De aqu he desprendido tres categoras que me parecen las ms importantes:

COLABORACIN En la propuesta curricular hay una orientacin clara hacia el trabajo en equipos, lo que implica una labor sistemtica por parte del maestro para que los alumnos compartan opiniones que les permita resolver los problemas que se les plantea. Se pretende que los integrantes de cada equipo asuman la responsabilidad de los procedimientos que utilizan y de los resultados que obtienen, de manera que cualquiera de ellos est en posibilidad de explicarlos y validarlos.

6 Libro para el maestro. Matemticas (de primero a sexto grados), Mxico, SEP, 1993-1994.

17

INVESTIGACIN Dado que un aspecto importante del enfoque didctico que se propone en el currculo de la educacin bsica consiste en que el maestro plantee problemas y los deje en manos de los alumnos para que stos busquen diferentes alternativas de resolucin, esto favorece el desarrollo de una actitud de bsqueda y de comprobacin de diferentes estrategias.

AUTONOMA Como consecuencia de la manera en que el profesor interacta con los alumnos, se fomenta en stos la autonoma para el estudio y para validar sus descubrimientos. En la medida en que los alumnos se hacen cargo de los procedimientos y resultados que encuentran, la tarea de revisar los trabajos se implica considerablemente.

EN RELACIN CON LOS CRITERIOS DE EVALUACIN

Uno de los aspectos a evaluar en la educacin bsica se refiere a los conocimientos, habilidades y actitudes, mediante un proceso formativo y continuo que permita mejorar permanentemente los niveles de logro. Aunque en los materiales de apoyo para el maestro no hay sugerencias concretas de instrumentos que permitan recabar informacin, se dan criterios generales para que haya coherencia entre el enfoque didctico y la evolucin. Por ejemplo, la necesidad de evaluar sobre todo los procedimientos y no nicamente los resultados, que los errores se utilicen como una fuente de aprendizaje, la importancia de la evaluacin cualitativa, etctera.