nudos, género y túneles
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Nudos, genero y tuneles
Fabiola Manjarrez GutierrezUnidad Cuernavaca del
Instituto de Matematicas.
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Que es un nudo?
Intuitivamente:
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Formalmente:Sea k : S1 → S3(R3) un encaje. La imagen k(S1) es un nudo.Usualmente solo lo denotamos por k.(encaje es un funcion continua e inyectiva que es homeomorfismosobre su imagen)
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Ejemplos de nudos
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Problema principal
Clasificar nudos.Es decir dar una lista completa y sin repeticionesPara esto necesitamos saber que quiere decir que dos nudos seanequivalentes.
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Invariantes de nudos
K −→ Objeto matematico I (K )Tal que si K1 y K2 son equivalentes entonces I (K1) = I (K2).Muy poderoso:I (K1) 6= (K2) entonces K1 y K2 son distintos.
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Ejemplos de invariantes de nudos
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En esta platica nos enfocaremos en GENERO y NUMERO DETUNEL.
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Genero de un nudo
Todo nudo K en S3 es frontera de una superficie orientable de laforma ]gT .El mınimo g sobre todas las superficies orientables se llama elgenero del nudo K , lo denotamos por g(K )
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Numero de tunel de un nudo
Sea un nudo K en S3.Un sistema de tuneles para K es una coleccion de arcos {τ1, ..., τn}tales que:
1. τi ∩ K = ∂τi para todo i
2. K ∪ni=1 τi se puede deformar, en el espacio tridimensional, auna “grafica desanudada”.
El mınimo n sobre todos los posibles sistemas de tuneles se llamanumero de tunel de K .
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En esta platica consideraremos nudos de numero de tunel igual a 1:Un nudo K en S3 tiene numero de tunel 1, si existe un arco τ talque τ ∩ K = ∂τ y la grafica τ ∪ K se puede manipular de maneraque se vea como una grafica θ.
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Nudos toroidales: numero de tunel 1 ygenero muy grande
genero= (p − 1)(q − 1)/2
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Nudos con genero 1 y numero de tunel muygrande
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Dados dos ındices (invariantes numericos);¿Que tan inusual es para un nudo tener complejidad mınima conrespecto a ambos ındices?¿Que tan raro es que un nudo tenga numero de tunel y generoigual a 1?
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Ejemplos
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Todos estos nudos son de genero uno y son de numero de tuneluno.
Estos nudos pertenecen a una familia llamada nudos de dospuentes.
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¿Hay mas ejemplos?
Si.Morimoto-Sakuma e independientemente Mario Eudave,
clasificaron los nudos satelites de numero de tunel 1.
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¿Hay mas ejemplos?Si.
Morimoto-Sakuma e independientemente Mario Eudave,clasificaron los nudos satelites de numero de tunel 1.
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Nudo satelite
Es un nudo K cuyo exterior, S3 − N(K ) contiene un toro esencial.
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Estos nudos estan codificados por 4 numeros K (α, β; p, q)
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Goda y Teragaito determinaron cuales de los nudos K (α, β; p, q)son de genero 1. (K (8m, 4m + 1; p, q), con m 6= 0).
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Conjetura de Goda y Teragaito (1999)
Los nudos K (8m, 4m + 1; p, q) y los nudos de genero 1 de dospuentes son todos los nudos de genero 1 y numero de tunel 1.
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Scharlemann (2003) demuestra que la conjetura es cierta.
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Ramırez Losada y Valdez Sanchez:Clasifican todos los nudos con descomposcion (1, 1) con genero noorientable 2. (son frontera de una botella de Klein)Todo nudo K en S3 es frontera de una superficie no orientable dela forma ]gRP3. El mınimo numero g sobre todas las superficiesno orientables, es el genero no orientable de K .
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Teorema
Sea K un nudo genero no orientable 2. Si K admite unadescomposcion (1, 1) entonces K
1. Es un nudo toroidal
2. Es un nudo de 2-puentes
3. Es un nudo satelite
4. de la forma K (to , t1,R)
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En colaboracion con Eudave Munoz y Ramırez Losada estamostrabajando en clasificar nudos con descomposcion (1, 1) de genero2.
1. K es toroidal.
2. K es satelite.
3. K es de dos puentes.
4. K es una combinacion de un nudo K1 satelite de genero uno yun nudo K2 de dos puentes de genero 1.
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Para que?
Hay otros invariante que se llama el numero de Morse-Novikovpara un nudo, MN(K ). Y se sabe que:MN(K ) ≤ 2t(K )Si t(K ) = 1, entonces hay una funcion de Morse f : E (K )→ S1
con exactamente un punto crıtico de ındice 1 y uno de ındice 2.Preguntas:¿Sera que una superficie regular es una superficie de Seifer degenero mnimo?¿Coincidira la posicion delgada circular con la que realiza elnumero de Morse-Novikov?
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