notas transformadores 2017 ok - itmorelia.edu.mx

Transformadores1MiguelOrozcoEscutia

ASIGNATURA:“TRANSFORMADORES”

1. Circuitosmagnéticos1.1. Conversióndelaenergíaelectromecánica1.2. Leyesdeelectromagnetismo1.3. Materialesmagnéticosysuspropiedades1.4. Circuitosmagnéticos

2. Transformadoreseléctricos

2.1. Funcionamientodeltransformador2.2. Partesdeltransformador2.3. Diferentestiposdetransformador2.4. Transformadorideal2.5. Normasyespecificacionesaplicablesenelcuidadodelmedioambiente.

3. Operaciónconcargaycircuitosequivalentesdeltransformador

3.1. Transformadorreal3.2. Diagramafasorial3.3. Circuitoequivalentedeuntransformador3.4. Interpretarlosdatosdeplacadeltransformador3.5. Pruebasbásicasatransformadores

- Relacióndetransformación- Polaridad- Resistenciadedevanados- Resistenciadeaislamiento- Rigidezdieléctricadelaceite- Pruebasespeciales

3.6. Determinacióndelosparámetrosdeltransformadorempleandolaspruebasdecortocircuitoycircuitoabierto.

3.7. Cálculoderegulacióndetensión3.8. Determinacióndelaspérdidasycálculodeeficiencia

4. Conexionesdeltransformador

4.1. Conexionestrifásicas4.2. Conexionesdeltaabierta4.3. Paralelodetransformadores4.4. Autotransformador4.5. Transformadordecorriente4.6. Transformadordepotencial


UNIDADICIRCUITOSMAGNETICOS

1.1Leyesdeelectromagnetismo.

Flujoyenlacesdeflujo.

Arrancaremos de conceptos totalmente familiares y gradualmente nos iremosintroduciendoenaspectosverdaderamentedesconocidos.

Recordemos lacantidadmagnéticacuyarazóndecambioes laresponsabledeunvoltajeinducido,talcantidadesconocidaporelnombrede“FlujoMagnético”eidentificadaporlaletragriega“𝜙”(fi).Esteflujopuedeserdefinidoentérminosdelvectorcampomagnético,llamado“inducciónmagnética”omáscomúnmente“densidaddeflujomagnético”queseidentificaconlaletra“𝑩”yasítenemos:

𝜙 = 𝑩⦁𝑑𝒔.) 1.1

Si escogemos una superficie 𝑆+ normal al vector densidad de flujo (esto es𝑑𝒔 y𝑩paralelos).

𝜙 = 𝐵𝑑𝑠).1.2

Frecuentementeocurreque ladistribuciónde flujoesuniforme,esdecir, ladensidaddeflujotienelamismadirecciónymagnitudentodoslospuntosdeunaregióndeterminadaenelespacioporloque:

𝜙 = 𝐵𝑆+1.3

Recordemosqueel voltaje inducido,debidoa la variacióndel flujomagnéticoestádadoporlaleydeFaraday:

𝑒 = 0Ø021.4

Consideremos un conductor enlazando un flujo magnético, si esta flujo está variando,entoncesseinduciráunvoltajeenelconductorysielconductorescerrado,circularáporéluna corriente. Tal voltaje estará dado por la ecuación (1.4). Supongamos que nuestroconductor es una bobina de𝑁vueltas, entonces, sobre cada una de ellas se inducirá unvoltajedadoporlaecuación(1.4)yelvoltajeenlabobina,serálasumadelosvoltajesencadavuelta.


𝑒 = 𝑁 0Ø021.5

Considerandoquecadaunadelas𝑁vueltasestáenlazandoelmismoflujo𝝓.

Laecuación1.5puedesimplificarsesihacemosque:

𝜆 = 𝑁𝜙1.6

A 𝜆(lamda) se le da el nombre de “encadenamientos de flujo” o “Enlaces de flujo” o“FlujoLigado”,independientementedelnombre,setieneque:

𝑒 = 06021.7

Dado que𝑁es una constante, una pregunta interesante es la siguiente: ¿Cómo puedelograrsequeelflujomagnéticoenlazadoporlabobinaseavariable?

Partamosdelhecho,dequetodoconductorporelquecirculacorrientecreaasualrededoruncampomagnético,siestácorrienteesconstantecrearáuncampomagnéticoconstante;si por el contrario, es variable dará origen a un campomagnético variable. Este últimocampopodrá inducir un voltaje ennuestra bobina y a este voltaje se le llama “VOLTAJETRANSFORMADOR”.

Otraformadetenerunflujovariableeslasiguiente:

Si el flujo es creado por un imán permanente o por una corriente constante, puedeacercarseo retirarseel imánoel conductorde corriente constantede labobina y así elflujo ligadoporesta,estarávariandoypor lotantose induciráenellaunvoltaje,queenestecasoesllamado“VOLTAJEMOTOR”.

LeydeAmpere

Todoconductorporelquecirculacorriente,creaasualrededoruncampomagnético, larelaciónentrelacorrienteydichocampo,estádadaporlaleydeAmpere.

𝑯 ⋅ 𝑑𝒍 = 𝑖1.8

Donde𝐻eselvectorintensidaddecampomagnético,𝑑𝒍esunvectorrecorridoalolargodelatrayectoriacerradaescogida.Elladoderechodelaecuación,eslasumaalgebraicadetodaslascorrientescuyastrayectoriasliganlatrayectorialinealescogida.


Laecuaciónanteriorsesimplifica,silatrayectoriadeintegraciónseescogeenladirecciónde la intensidad del campo en todos los puntos; en otras palabras, la trayectoria deintegracióncoincideconunalíneadeinducción.Enestecaso:

𝐻𝑑𝑙 = 𝑖1.9

Si,laintensidaddecampoesuniformealolargodetodalatrayectoria:

𝐻𝑙 = 𝑖1.10Un ejemplo simple, es el de un conductor recto por el que circula una corriente𝑖,escogiendocomotrayectoriadeintegraciónuncírculoalrededorconductorderadio𝑟:

𝐻(2𝜋𝑟) = 𝑖o𝐻 = BCDE

1.11

Enlamayoríadeloscasoselcamposeobtienepormediodebobinasde𝑁vueltas,porloqueelsegundomiembrodelasecuaciones(1.8)y(1.10)eselproductodelacorrienteporelnúmerodevueltasyaesteproductoseledaelnombredefuerzamagnetomotriz.

F = f.m.m.= 𝑁𝑖 = 𝐻𝑙1.12

Ysusunidadesson𝐴 − 𝑇(𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒– 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎).

1.2 Materialesmagnéticosysuspropiedades.

Recordemosqueladensidaddeflujomagnético(inducciónmagnética),esproporcionalalaintensidaddecampomagnético.

𝑩 = 𝞵𝑯1.13

Dondeµ,esunacantidadescalar,normalmenteconstantequedependedelmaterialyesllamadopermeabilidad,enelespaciolibre:

Delaec.(1.12),𝜇 = µ𝑜 = 4𝜋𝑥10Z[ \]^Z_.`

Dela(1.13)ydela(1.3)F = 𝐻𝑙 = ab𝑙 = 𝜙 c

b)1.14

En la analogía, entre un circuitomagnético y un circuito eléctrico la f.m.m es la contrapartedelvoltajeof.e.my laec. (1.14)es lacontrapartede la leydeOhm,donde𝜙es lacontrapartede𝑖y c

b)eselanálogodelaresistenciayesllamadareluctancia

R = F de

1.15


Yenelcasodeunnúcleoconáreadeseccióntransversaluniforme:

R = cb)

1.16

Asícomoelreciprocodelaresistenciaeslaconductancia,elrecíprocodelareluctanciaeslapermeancia(P ).

P = dℜ

= bgc= e

h1.17

INDUCTANCIAPROPIAEINDUCTANCIAMUTUA

Si excluimos de nuestro análisis los imanes permanentes, todos los camposmagnéticosserán producidos por corrientes eléctricas y su intensidad dependerá del valor de lacorriente que los produzca. La relación entre la corriente y el flujo, en el análisis decircuitoslinealesseasumequeesunaproporcionalidad,yasítenemosque:

𝜆 = 𝐿𝑖1.18

Sustituyendoestevalorde𝜆enlaecuación(1.7)setiene:

𝑒 = 𝐿 0B021.19

La constante de proporcionalidad “𝐿” es llamada inductancia propia o simplementeinductancia:

𝐿 = 6B= 𝑁 e

k1.20

Enlamayoríadeloscasossetienenvariasramasdecorriente,entonceslacorrienteenlarama“𝑘”contribuyealflujoligadodelarama“𝑙”:

λnc = 𝜇nc𝑖n1.21

Ahora,silacorriente𝑖nvaría,elvoltajeinducidoenlarama“𝑙”será:

𝑒nc = 06op02

=𝜇nc 0Bo021.22

𝑀nc =ropBo1.23

Y(1.23)esllamadainductanciamutuaentrelasramas𝑘𝑦𝑙.


ENERGÍAENUNCAMPOMAGNÉTICO

Recordemosque lapotenciaencualquierdispositivoeléctricoestádadapor 𝑃 = 𝑒⦁𝑖 yquesedefinecomolatasaconquesesuministraoseconsumeenergía,porlotanto:

𝑊 = 𝑝𝑑𝑡 = 𝑒𝑖𝑑𝑡2v

2v 1.24

Sustituyendolaec.(1.19)enlaec.(1.24)tenemosque:

𝑊 = 𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡

2

w𝑖𝑑𝑡

Haciendouncambioenlavariabledeintegración:

𝑊 = 𝐿𝑖𝑑𝑖Bv 1.25

EnloscasoslinealesendondeLesconstante:

𝑊 =dC𝐿𝑖C1.26

Laec.(1.26)eslaecuacióndelaenergíaenfuncióndecantidadeseléctricas.

Sustituyendolaec.(1.5)enlaec.(1.24)setiene:

𝑊 = 𝑁𝑑∅𝑑𝑡

2

v𝑖𝑑𝑡

Cambiandolavariabledeintegración:

𝑊 = 𝑁𝑖𝑑𝜙 = 𝑑𝜙ev

ev F 1.27

Sustituyendoenestaecuaciónlaecuación(1.15)setiene:

𝑊 = 𝑑𝜙ev R 𝜙 = d

C R 𝜙C 1.28

En laecuación (1.27)podemossustituirF por𝐻𝑙 y𝜙por𝑆𝐵 yestaremoshaciendoelcambiodevariabledeintegración:

𝑊 = 𝐻𝑙𝑠𝑑𝐵 = 𝑠𝑙 𝐻𝑑𝐵av

av 1.29

Notemosque𝑙𝑠eselvolumendelnúcleo,porloquepodemosobtenerunaexpresiónparalaenergíaporunidaddevolumen(densidaddeenergía):


\y= 𝐻𝑑𝐵 = a

zav

av 𝑑𝐵 = d

z𝐵𝑑𝐵 = d

Cav a

z1.30

Notemosqueambasexpresionesdelaenergía(1.28),yladeladensidaddeenergía(1.30),estánenfuncióndecantidadesmagnéticas.

2. Excitaciónconcorrientedirecta.

Al alimentar la bobina de excitación con corriente directa, se generarán camposmagnéticos invariantes en el tiempo, excepto durante el periodo de conexión ydesconexióndelaexcitación.

Comopuedeobservarsedelaec.(1.14)𝜙 =F z)c= |Bz)

c,cuandosetienecomonúcleode

la bobina de excitación el vacío 𝜙 =|Bz~c

= Ddw~|Bc

, por lo que para obtener unacantidad sustancialmente grande de flujo (útil para fines prácticos) deberá tenerse unnúcleo con un área de sección transversal suficientemente grande y longitudsuficientemente pequeña y una bobina de muchas vueltas, afortunadamente existenmateriales conpermeabilidadmuchomásaltasque ladel vacío, talesmateriales son losllamados “ FERROMAGNETICOS” . Estos materiales son extensamente usados en laconstrucción de máquinas eléctricas, a continuación haremos un estudio de dichosmateriales.Enmaterialesferromagnéticos,lapermeabilidad𝜇noesconstanteyvaríaconla intensidad de campo𝐻, una curva típica deµvs𝐻, semuestra en la figura 1.1, en lafigura1.2semuestraunacurvatípicade𝐵vs𝐻,enunmaterialferromagnético.


Fig.1.1Fig.1.2

Saturación.

Enlafigura1.2sepuedeobservar,que𝐵varialinealmentecon𝐻paravalorespequeñosde𝐻 , sin embargo a medida que𝐻 se incrementa, el incremento de𝐵 disminuyegradualmente,atalgradoqueaunque𝐻crezcarápidamente,𝐵permaneceprácticamenteconstante.Estacaracterísticaesconocidacomo“SATURACIÓN”.

Histéresisyretentividad.

Consideremos que el toroidemostrado en la figura 1.3, se excita por primera vez y lacorrientesehacevariardesdecero,hastaunvalormáximo,desdeestevalormáximohastacero,yposteriormenteseinvierteelsentidodelacorrienteyseincrementahastaunvalormáximo (negativo) y nuevamente se hace llegar a cero, el ciclo puede repetirse variasveces. Esto trae como resultado, como puede notarse de la ley de Ampere que𝐻crecedesdecerohastaunvalormáximo,peroaldisminuir𝐻hastacero,𝐵nodisminuyehastacero,elvalor“𝑜𝑑”de“𝐵”esllamadodensidaddeflujoresidualyestefenómenoseconocecomo retentividad del material, en general la característica𝐵vs𝐻, para un ciclo deexcitacióncomoeldescritoanteriormente,estárepresentandoenlafigura1.4.


Fig.1.3

Fig.1.4

Elpunto“𝑏”difierede𝑏 porunapequeñadiferenciaporloquelacurvanosecierraenel1erciclo.

Sielmaterialsesometeavariosciclosrepetidosdemagnetizaciónlacurva𝐵vs𝐻formaráfinalmente una trayectoria cerrada que se conoce con el nombre de “ciclo o lazo dehistéresis”.Laamplitudde𝐵dependedelaamplitudde𝐻ylaformadellazodependedelmaterialferromagnéticoutilizado.


Se puede obtener una familia de lazos de histéresis, realizando pruebas a diferentesvalores de𝐻^, como semuestra en la figura 1.5, al unir las puntas extremas de estafamilia de lazos de histéresis, se obtiene una curva conocida como “CURVA DEMAGNETIZACIÓN NORMAL” propia de cada material. Dado queµ en los materialesferromagnéticos,esengeneralvariable,lasolucióndeproblemassebasaenestetipodecurvas.

En lapágina33del librodeGourishankar,en lapágina20delHuntyen lapágina12delFitzgerald,semuestrancurvasdeestetipoparadiferentesmateriales.

Fig.1.5

1.3Circuitosmagnéticos

Circuitomagnéticoserie.

Cuandounnúcleono tieneun áreade sección transversal uniforme, sedebe considerarcadaparteconunáreadeseccióntransversal,𝐴d, 𝐴C….𝐴.Aplicando laecuación1.3,sepuedeobtenerelvalorde𝐵paracadaparte.Acadavalorde𝐵,correspondeunvalorde𝐻,enlacurvademagnetizacióncorrespondiente.Perodespuésaplicandolaecuación1.12,regresandoalaleydeAmpereecuación1.9yaproximandolaintegralporunasuma:

F = 𝐻n 𝑙n1.31


Estaecuaciónes la contrapartede la leyde voltajesdeKirchhoff ypuede ser expresadahaciendolasiguienteseriedesustituciones:

F = 𝐻nn 𝑙n =aozon 𝑙n =

∅ozo~on 𝑙n = 𝑅nn ∅n1.32

Lafigura1.6,muestrauncircuitomagnéticotípicoqueconsistedecuatropartes.Dadoqueel flujo es el mismo en cada parte, este núcleo es considerado como un “CIRCUITOMAGNÉTICOSERIE”ysuecuaciónseescribe:

F = 𝜙 𝑅nn = 𝜙R 1.33

Dondelareluctanciatotalaparece,lógicamentecomolasumadelasreluctanciasdecadaunadelaspartes.

Figura1.6Figura1.7

Enlafigura1.7semuestraelcircuitoeléctricoanálogoalcircuitomagnéticorepresentadoenlafigura1.6.

Ejemplo.1.1(Problema3.4Stein/Hunt):

Elnúcleodelafigura1.8estáhechodeacerofundido,lasdimensionesestándadasencm.Elespesordelnúcleoesde8𝑐𝑚.Labobinatiene300vueltas.Determinelacorrientequeproduciráunflujode0.0064𝑊𝑏.


Figura1.8

Parte Ø(wb) A(𝒎𝟐) B(wb/𝒎𝟐) H(At/m) l(m) Hl(At)1 0.0064 0.008 .8 600 1.1 6602 0.0064 0.0064 1 900 0.32 288

= 948.Delagráfica:

𝐵d = ∅^=w.ww

w.ww=0.8;𝐵C =

w.www.ww

= 1

𝐻𝑙 =F = 948 = 𝑁𝐼𝐼 = ww

= 3.14𝐴

Circuitomagnéticoenparalelo.(Problema3.5Stein/Hunt).

Ejemplo1.2Lastrespartesdelcircuitomagnéticodelafigura1.9,estánhechasdeacerofundidoytienenlasdimensionesefectivasmostradasenlatablasiguiente:

Parte A(𝒎𝟐) l(m) H(𝑨𝒕𝒎) B(𝒘𝒃

𝒎𝟐) ∅(𝒘𝒃) Hl(At)

1izq. 0.0090 .56 1050 1.039 .009352 5882centro .0032 .26 2/57 1.36 .004352 560.823derecha .0045 .51 1100 1.11 .005 561


Labobinatiene300vueltas.Determineelvalordelacorriente,queharáquefluyaporlapierna3,0.005𝑊𝑏.

Figura1.9

𝑁𝐼 = 𝐻d𝑙d + 𝐻C𝑙C

𝐼 =𝐻d𝑙d + 𝐻C𝑙C

𝑁

𝐼 =588 + 500.82

300

𝐼 = 3.83𝐴

𝐵0.0050.0045 = 1.11

𝐻C𝑙C = 𝐻𝑙𝐻C = cc

=d.C

= 2/57

𝜙C = 1.36 . 0032 = 0.004352

𝜙d = 𝜙C + 𝜙 = .005 + .004352 = .009352;

𝐵d = 0.009352. 009 = 1.039


CircuitoMagnéticoconentrehierro.

Enlamayoríadelosdispositivoselectromagnéticosexistenentrehierros,yaseainherentesal circuito o intencionalmente introducidos (espacio pequeño de aire o vacío, entre dospartesferromagnéticas).Enelentrehierroocurreunfenómenoqueseconocecomoefectomarginal,esteefectohacequeladensidaddeflujonoseaconstanteenelentrehierro,lafig.(1.10)muestralaslíneasdeinducciónenunentrehierro.

Figura1.10

Por la formade las líneas,algunasvecesaesteefecto,se le llamatambiénfenómenodeabombamiento.

Resulta obvio que el área efectiva en el entrehierro es diferente al área de las carasparalelasaél,sinembargo,cuandolalongituddelentrehierroespequeña,comparadaconlasdimensionesdelnúcleodelmaterialferromagnético,lassiguientesaproximaciones(enformaempírica)puedenhacerse:

Caso1.Losladosopuestosdelentrehierrosonparalelosytienenlasmismasdimensionesensuseccióntransversal(fig.1.11)

Fig.1.11

Áreaefectiva = Ag = 𝑊 + lg (T + lg)1.34


Caso 2. Los lados opuestos del entrehierro son paralelos, pero tienen en su seccióntransversaldiferentesdimensiones,entonces:

Ag = 𝑊 + 2lg (𝑇 + 2lg)1.35

Donde𝑊y𝑇sonlasdimensionesdelaseccióntransversaldelacaramáspequeña.

En secciones transversales circulares, en el 1er caso, el diámetro se incrementa por lalongitud del entrehierro y en el segundo, el diámetro de la cara más pequeña esincrementadaporeldobledelalongituddelentrehierro.

Asítendremosquelareluctanciadelentrehierroserá:

R g = c®z¯°±

1.36

DondeAg,eseláreaefectivadelentrehierro.

Ej.1.3Regresemosalnúcleodelafigura(1.8),peroahorahagámosleuncorte,demaneraque quede un entrehierro de 0.1 cm de longitud, en la parte derecha. Determine lacorrientenecesariaparaproducirunflujode. 0064𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟.Primerodesprecieelefectodeabombamiento,ydespuésconsidérelo.

Sinconsiderarelefectodeabombamiento:

Parte Ø A B H L Hl1 0.0064 0:008 0.8 600 1.1 6602 0.0064 0.0064 1 900 0.31 279entrehierro 0.0064 0.0064 1 795775 0.01 7958 =8897.

Hg = a³z¯= d

Ddw= 795775

𝑙 = [ww

𝑙 = 29.66𝐴

Considerandoelefectodeabombamiento:

Ag = (0.08 + 0.01)(0.08 + 0.01)

Ag = 8.1X10Z

𝐵g =0.00648.1𝑋10Z = .79𝑤𝑏/𝑚

C


𝐻g =0.79

4𝜋𝑋10Z[ = 62876; 𝐻±𝑙± = 6287.6𝐴𝑡

𝐻𝑙 = 7226.6 𝐼 = 7226.6300 = 24.1𝐴

Ej.¿Quéflujotendremosapartirdeunaf.m.mdada?

3. Excitaciónconcorrientealterna.

Hemos considerado hasta ahora estructuras magnéticas (lineales y no lineales)conteniendocamposquenovaríanconel tiempo,endondenos interesasaberqueflujomagnético tendremos,apartirdeuna f.m.m dada,oquecorrientenecesitaremosparaobtenerunflujodeterminado.Encamposquevaríanconeltiempoexistenotrosfactoresinteresantes,comoporejemplosilaestructuraestáhechadeunmaterialferromagnético,esnecesarioconocerlapérdidadeenergíaenelnúcleodebidoalcampomagnéticoy lasformasdeondadelflujoydelacorrientedeexcitación.

Loscamposmagnéticosvariableseneltiempoqueanalizaremosseránperiódicos,ydeunafrecuenciasuficientementebajaparanoconsiderarlaradiacióndeenergía.Formadeondadelacorrientedeexcitaciónydelflujo,enunnúcleomagnético,excitadoconunafuentedevoltajesenoidal(fig.1.12).

Fig.1.12

AplicandolaleydevoltajesdeKirchhoffalcircuitoeléctricodelafigura1.12setiene:

𝑣 𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑅 + 𝑒 𝑡 1.37

RecordandolaleydeFaraday:

𝑣 𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑅 + 𝑁 0e021.38


Suponiendo que la caída de voltaje en la resistencia es despreciable comparada con elvoltajeinducido“𝑒”,laec.1.38nosqueda:

𝑣 𝑡 = 𝑁 0e021.39

Seav(t) = VmaxSenωtye(t) = EmaxSenωt,entonces Vmax = Emax,yde laec.1.39:

𝑑𝜙 = d|𝑣 𝑡 𝑑𝑡𝜙 𝑡 = −¾¿ÀÁ

|Âcos𝜔𝑡 = −𝜙^ cos𝜔𝑡1.40

Dónde𝜙^ =y¿ÀÁ|Â

peroω = 2𝜋𝑓

Porlotanto𝜙^ = y¿ÀÁ|CDÇ

1.41

Entoncespodemosconcluir,sielvoltajedeexcitaciónessenoidal,elflujoserácosenoidal,comosemuestraenlafigura1.13.

Fig.1.13

El valor instantáneo del flujo, correspondiente al valor instantáneo deF no se puedeobtener de la curva normal de magnetización, (como en los núcleos donde el flujo novariaba con el tiempo). El excitar con C.A sinusoidal es algo similar al procedimientorealizado, ilustrado por la figura (1.3), por lo que debe esperarse que la gráfica de flujocontra𝑖(𝑡), sea el ya conocido lazo de histéresis. Este se obtiene de la onda𝐵vs𝐻del


materialdelnúcleo,almultiplicarlaordenadaporeláreadelaseccióntransversal“𝑠”ylaabscisapor k

|donde𝐼eslalongitudmediadelatrayectoriamagnéticaenelnúcleoy𝑁el

número de vueltas de la bobina de excitación, de donde puede ahora obtenersegráficamentelaformadeondadelacorrientedeexcitación,comosemuestraenlafigura(1.14).

Figura1.14

Comopuedenotarseenlafigura(1.14),ellazodehistéresisesnolinealytienedosvaloresdelacorrienteparaunmismovalorde𝜙,laformadeondadelacorrientedeexcitaciónnoessenoidal,auncuandoelflujoloes.

En el análisis anterior se supuso que la caída de tensión en la resistencia era pequeñacomparada con el voltaje inducido “𝑒”, lo cual simplifico el análisis para determinar las


formasdeondadelflujoydelvoltajeinducido,sinembargo,puedenocurrirlosdoscasossiguientes:

a)Elvoltajeinducido𝑒(𝑡)esrelativamentepequeñocomparadoconlacaídadetensiónenlaresistenciadelaecuación(1.37),asítendremos

𝑣 𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑅1.42

b)Ambostérminosdelladoderechodelaecuación(1.37)puedensersignificativos.

Casoa):Sielvoltaje𝑣 𝑡 sesuponesenoidal𝑣(𝑡) = 𝑣^𝑆𝑒𝑛𝑤𝑡,entoncesdelaec.1.42

𝑖 𝑡 = 𝐼^𝑆𝑒𝑛𝑤𝑡1.43

Donde:𝐼^ = ¾¿ÀÁÉ

1.44

Entonceslasformasdeondade𝑣(𝑡)𝑒𝑖(𝑡)seránlasmismas,comosemuestraenlafigura1.15.

Fig.1.15

Apartirdelacurvadelacorriente,puedeobtenersedelacurvanormaldemagnetización,la curva𝑖𝑣𝑠𝜙(el conocido lazo de histéresis) y a partir de estas dos curvas se puedeobtenerlaformadeondadel(flujo)𝜙,quecomopuedeobservarse,esmásomenosplenaenlapartesuperior,auncuandolacorrientedeexcitaciónessenoidal.


Laformadeondadelvoltajeinducidoseobtienealtrazarladerivadade𝜙(𝑡)conrespectoaltiempo,adiferentesvaloresde

este,siendolaescalaelnúmerodevueltasdelabobinadeexcitación,sepodránotarqueestacurvatieneformadepico.

Casob):Enestecasoladeterminacióndelasformasdeondade𝑖(𝑡), 𝑒(𝑡)𝑦𝜙(𝑡),cuando𝑣(𝑡)es senoidal, es extremadamente difícil ya que el tamaño y forma de la onda𝜙𝑣𝑠𝑖(lazodehistéresis), depende tantode𝜙comode𝑖, y estasnopueden serdeterminadasindependientementeunade laotra.Estasformasdeondasolopuedendeterminarseporpruebayerror.Utilicemoscomoguíalosdoscasosextremosanalizadosconanterioridad.Parece razonable suponerque cuando 𝑣(𝑡)es senoidal, no serán senoidales 𝑖(𝑡), 𝑒(𝑡)y𝜙(𝑡).

Las formas de onda de𝑒(𝑡)e𝑖(𝑡)deberán ser tales que sus distorsiones tiendan acancelarse unas a otras, demodoque sus sumas darán una cantidad senoidal, que será𝑣(𝑡),comosemuestraenlafigura(1.16).

Fig.1.16

Pérdidadeenergíaenlosnúcleosferromagnéticos.

Cuandoloscamposmagnéticosasociadosconnúcleosferromagnéticos,sondisminuidos,apartedelaenergíaalmacenadaesregresadaalafuenteoconvertidaenalgunaotraformaútil de energía. Sin embargo parte de la energía almacenada se pierde en el núcleo enforma de calor. Esta pérdida de energía es debido a dos causas: a) Característica dehistéresis del material y b) Corrientes inducidas en el núcleo (corriente de eddy, ycorrientesparásitas).


Pérdidasdehistéresis.

Supongamosqueel núcleode la figura1.12, esexcitadaporunabobinaalimentadaporunacorrientedevariaciónperiódicayqueel lazodehistéresisescomosemuestraen lafigura1.17

Fig.1.17

Consideremosun ciclo completodemagnetización a − b − c − d − e − f − g.Durante laparteacdelciclo,𝐻seincrementade0a𝐻^y𝐵seincrementade– Bra+𝐵^.Delaecuación 1.29 la energía absorbida por el campomagnético y almacenada durante estapartedelcicloes:

𝑊ÍÎ = 𝑣 𝐻𝑑𝐵Ïa¿ÀÁZaE 1.45

Puedeverificarsefácilmentequeelsignode𝑊ÍÎ espositivo.Siestaenergíaesdivididaporelvolumendelnúcleo𝑉,seobtieneladensidaddeenergía𝑊ÍÎ,queesrepresentadaporeláreasombreadadelafigura1.18(a).

Durante la parte cd del ciclo,𝐻disminuye de𝐻^a0y𝐵disminuye de+𝐵^a+𝐵𝑟.Debidoalahistéresis,ladisminucióntienelugaralolargodeunacurvadiferentedelaquesetomóencuentacuandoseincrementóladensidaddeflujo.Partedelaenergíaquesehabíasuministrado,ahoraesdevuelta,yaque

𝑊𝑐𝑑 = 𝑣 𝐻𝑑𝐵ÏaEÏa¿ÀÁ

1.46


Es negativa. El área sombreada de la figura 1.18 (b) representa la densidad de energíacorrespondienteaestaporción.Durantelaparte“𝑑𝑓”delciclo,elnúcleoesmagnetizadoensentidoopuesto,ylaenergíaesabsorbidaporelcampo,yaque

𝑊0Ç = 𝑣 𝐻𝑑𝐵Za¿ÀÁÏaE 1.47

espositiva.Yaquedurantetodoelintervalo(de+𝐵𝑟a𝐵^)𝐻tomatotalmentevaloresnegativos.Eláreasombreadaen la figura1.17(c) representa ladensidaddeenergíaparaestapartedelciclo.

Finalmente,paraelsegmento“𝑓𝑎”delciclo,seregresapartedelaenergíaquehabíasidosuministradaenlaparte“𝑑𝑓”delciclo,yaque:

𝑊Ç𝒶 = 𝑣 𝐻𝑑𝐵ZaEZa¿ÀÁ

1.48

esnegativa,𝐻formavaloresnegativos.Paraestapartedelciclo,eláreasombreadaenlafigura1.18(d),representaladensidaddeenergía.

Figura1.18


La energía neta absorbida por el campo magnético durante un ciclo completo demagnetizaciónes:

𝑊Ò = 𝑊𝑎𝑐 +𝑊𝑐𝑑 +𝑊𝑑𝑓 +𝑊𝑓𝒶 = 𝑉 𝑤𝑎𝑐 + 𝑤𝑐𝑑 + 𝑤𝑑𝑓 + 𝑤𝑓𝒶 =𝑉(á𝑟𝑒𝑎𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎𝑧𝑜𝑑𝑒ℎ𝑖𝑠𝑡)1.49

Dónde:𝑆d =^Z2`𝑦𝑆C =

Ö]`.Laenergía𝑤Ònoseregresaalafuente,sinoquesedisipaen

formadecalor(enelnúcleo).

𝑤Òes la perdida de energía por histéresis por ciclo por unidad de volumendelmaterialmagnético.Si𝑓eslafrecuenciadelaseñaldeexcitación,entonceslapérdidadeenergíaenunsegundo,debidoalahistéresis,estádadapor:

𝑝Ò = 𝑓𝑤Ò1.50

Porunidaddevolumendelnúcleo.

FormuladeSteinmetzparaperdidasdehistéresis.Comounmétodoalternativoalusar laecuación1.49,existeunaformulaempíricapropuestaporSteinmetz,productodeungrannúmerodeobservacionesymedicionesexperimentalesyestádadapor:

𝑤Ò = 𝑛(𝐵^)1.51

Por unidad de volumen por ciclo, donde𝑛(llamado coeficiente de Steinmetz) es unaconstantecuyovalordependedelmaterialydelsistemadeunidadesusado,y𝑛(llamadoexponentedeSteinmetz)usualmentesesuponeconunvalorde1.6.

Silafrecuenciadeexcitación,enciclosporsegundoes𝑓entonces:

Perdidadepotenciadebidoalahistéresis=𝑝Ò = 𝑛𝑓(𝐵^)1.52

Por unidad de volumen. Si𝑉 es el volumen del núcleo del material ferromagnético, lapérdidatotalenelnúcleodebidoalahistéresisestádadapor:

𝑃Ò = 𝑛𝑣𝑓(𝐵^)1.53

LafórmuladeSteinmetz,resultaserunabuenaaproximación,sinembargo,paraalgunosmaterialeselvalorde𝑛de1.6,noessatisfactorio.

Pérdidasporcorrientesparásitasennúcleosferromagnéticos.

Consideremos el núcleo de la figura 1.12 , este núcleo además de poseer una altapermeabilidad(comotodoslosmaterialesferromagnéticos)es,aunquenocomoelcobreo el de aluminio, un buen conductor de la electricidad, de tal manera que al estar enpresencia de un campomagnético variable con el tiempo, se induce en este núcleo un


voltajequeharáquecirculenporelcorrientes,queselesdenominaparásitasydadoquedichonúcleoposeeunaresistenciafinita,sedisiparáenél,laenergíaenformadecalor.

Figura1.19

La figura 1.19 muestra la dirección y sentido de las corrientes, cuando el flujo está enaumento,segúnlaleydeLenz.

Efectodelascorrientesparásitasenladistribucióndelflujo(efectosuperficial).

Elflujocreadoporlascorrientesparásitas,comopuedeimaginarseesmayorenelcentrodelnúcleoydadoqueeste flujoseoponealefectoque loproduce, forzaa las líneasdeinducciónhacia lasorillas (hacia la superficiedelnúcleo).Estohacequeel cálculode laspérdidas por corriente parasitarias, sea extremadamente difícil, afortunadamente losnúcleos utilizados en la mayoría de los dispositivos eléctricos, son construidos delaminaciones,aisladasunasdeotrascomosemuestraenlafigura1.20,estohacedisminuirlasperdidasycomoelespesordecada láminaesmuypequeñocomparadoconlasotrasdimensiones,puedesuponersequelaamplitud𝐵^,eslamismaatravésdelaseccióntransversaldecadalámina.


Figura1.20

Cálculodelaspérdidasporcorrientesparásitasdespreciandoelefectosuperficial.

En la figura1.21 semuestraunavistaamplificadadeuna lámina.Consideremosuna tiradelgada en forma de anillo rectangular, dentro de la sección transversal de la láminacolocadaenformasimétrica,cuyosladosestánaunadistancia𝑥deleje𝑦.

Figura1.21


Este anillo lleva una corriente 𝑖× 𝑡 y encierra un flujo𝜙×(𝑡), este flujo es distribuidosobreunárea2𝑥ℎ,entonces:

𝜙× = 𝑏 𝑡 (2𝑥ℎ)1.54

Deacuerdoconla leydeFaraday,elvoltajeinducidoenelanilloconsiderandocomounabobinade𝑁 = 1vueltasserá:

𝑒× 𝑡 = 0eØ 202

= 2𝑥ℎ 0]021.55

Silaresistividaddelmaterialferromagnéticoes𝑃,laresistenciadelanilloserá:

𝑅× =+cØÍØ1.56; 𝑙× = 2ℎ + 4𝑥 ≈ 2ℎYaqueℎ ≫ 𝑥

Y𝑎× = 𝐿𝑑𝑥detalmaneraque:

𝑅× =CÒ+Ü0×

1.57

Lapérdidadepotenciaenelanilloes𝑑𝑝× 𝑡 = ÝØ(2)

ÉØ1.58

Sustituyendo lasecuaciones1.55y1.57,en laecuación1.58e integrandode0a𝑤/2, lapérdidadepotenciaenlaláminaserá:

𝒫Ý 𝑡 = 𝑒 ⋅ 𝑖 =(C×Òßàßá)

â.ãßØ

äw =

Ü0××Ò(ßàßá)

CÒ+

äw =

CÒÜ(ßàßá)

+ 𝑥C𝑑𝑥 =

CÒÜ(ßàßá)

+

äw ×

⎮

ä

0=

CÒÜ(ßàßá)

+Ö

C= ÒÜÖ

dC+(0]02)C𝑤C1.59

Observemosqueℎ𝐿𝑤eselvolumendelalámina.Lapérdidadepotenciaporcorrientesparásitas,porunidaddevolúmendelmaterialmagnéticoes:

𝒫Ý 𝑡 = Ö

dC+(0]02)C1.60

Estapérdidapuedeserexpresadaentérminosdelvoltajeinducido:


𝑒 𝑡 = 𝑁 0∅02= 𝑁𝑆 0]

020]

02= d

|~𝑒(𝑡)1.61

Sustituyendolaec.(1.61)enlaec.(1.60):

𝒫Ý 𝑡 = Ö Ý(2)

dC(|~)+ 1.62

Unapotencia instantáneanonosdagran información,demaneraqueobtendremosunapotenciapromedio:

𝒫Ý(𝑝𝑟𝑜𝑚) =𝑤C

12𝑃𝑁C𝑆C 1𝑇 𝑒(𝑡) C𝑑𝑡

_

w

Donde𝑁, es el número de vueltas de la bobina,𝑆el área de la sección transversal delnúcleo y además se puede notar que la integral evaluada de cero a𝑇y dividida entre𝑇(donde𝑇eselperiodo),eselcuadradodelvoltajeeficaz,porloque:

𝒫Ý 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝐾Ý𝐸𝑒C𝑓 1.63 Dónde:

𝐾Ý =Ö

dCè|~1.64

Asumiendoque𝑖𝑅esdespreciablecomparadocon𝑒(𝑡),enelcircuitodelafigura(1.3.1),delaec.(1.3.6)setiene:

𝐸ÝÇ = 4.44𝑓𝑁𝑆𝐵^ = CD√C𝑓𝑁𝑆𝐵^1.65

Sustituyendolaecuación1.65enlaecuación1.63setiene:

𝒫Ý =Ö

dCè|~D

C𝑓C𝑁C𝑆C𝐵^C

𝒫Ý = Da¿ÀÁ ÇÖ

è 1.66

Porunidaddevolumen.

1.4Conversióndeenergíaelectromecánica.

1.Sistemaselectromecánicos

Un ejemplo de dispositivos electromecánicos lo constituyen los contactores y losreveladores.


Figura1.22

Eldiseño, laaplicaciónyelanálisisdefuncionamientodeundispositivocomoelanteriorrequiere que conozcamos cuanta fuerza es producida por la bobina a través de la cualcircula una corriente para una posición dada de la armadura. Necesitamos conocer lafuerza𝑓comounafunción,yaseade𝑖yde𝑥ode𝜆y𝑥,estoes:

𝑓 = 𝑓 𝑖, 𝑥 1.67𝑓 𝜆, 𝑥 1.68

Deigualmaneraparadispositivoselectromagnéticosgiratoriosdesearemosconocerelpar𝑇enfuncióndeestasduplasdecantidades:

𝑇 = 𝑇 𝑖, ∅ 1.69𝑇 = 𝑇 𝜆, ∅ 1.70

Elegir𝜆o𝑖como variables dependedel problemaenparticular por analizar. La corrientepuedesermedidafácilmente.Losencadenamientosdeflujopuedenserdeterminadospordosformas:

1ªdelaec.𝜙 = 𝑩 ⋅ 𝑑𝒔.) 𝜆 = 𝑁𝜙

2ªdelateoríadecircuitoseléctricosydelaleydeFaraday

Figura1.23

𝑒 = 𝑣 − 𝑅𝑖 = 0r02𝜆 = 𝑒𝑑𝑡 + 𝜆d

2C2d


Si podemos determinar el voltaje inducido “𝑒” a partir del voltaje en terminales𝑣 y lacaída𝑅𝑖,entoncespodemosintegrarparadeterminarelcambioen𝜆duranteelintervalodetiempo𝑡C − 𝑡dyasídeterminar𝜆únicamenteconociendo𝜆deneltiempo𝑡d.

2.Balancedeenergíaensistemaselectromecánicos

Cuando la armadura del dispositivo de la figura 1.1 se mueve, hay un intercambio deenergíaentreelcircuitoeléctrico,elsistemamecánicoyelcampomagnético.Sinembargoveremosrelacionesconcambiodeenergíaenambasdirecciones,consideremosuncambioen la energía eléctrica𝛥𝑊𝑒algebraicamente (+)si el circuito electrónico proporcionaunaelevacióndeenergíaaldispositivoelectromagnético.

Uncambioenlaenergíaelectromagnética.

Un cambio en la energía mecánica 𝛥𝑊𝑚 se considera (+) si el dispositivoelectromagnéticoproporcionaunaelevacióndeenergía al sistemamecánico.Un cambioen la energía de campo𝛥𝑊𝑓 será considerado positivo si la energía almacenada en elcampomagnéticoaumenta.

Ya que nuestro objetivo principal es la conversión de la energía electromecánicaomitiremosotrostiposdeconversióndeenergíayestasconversioneslasconsideraremospérdidas por efecto Joule (𝑖C𝑅)y posteriormente las incluiremos en el circuito eléctrico(esto implica que consideremos la bobina ideal, sin resistencia). Existen otros tipos depérdidascomosonlaenergíadecampoeléctrico,laenergíaderadiaciónylasdelcircuitomagnético.

Las pérdidas debidas al campo eléctrico las consideramos despreciables dado que lacapacitanciaentrevueltasesbajísima.

Las pérdidas por radiación también las despreciaremos ya que las frecuencias a que setrabajan los dispositivos electromagnéticos son relativamente bajas. Las pérdidas delcircuito magnético resultado del fenómeno de histéresis y de las corrientes de Edypodemosdemaneraanálogaa loquehicimosconlas(𝐼C𝑅)separarlasparaconsiderarlasposteriormente.

Demanera que considerando el dispositivo ideal podemos relacionar los cambios en lasenergías𝛥𝑊𝑒, 𝛥𝑊𝑚𝑦𝛥𝑊𝑓porunaecuacióndebalancedeenergía:


∆𝑊𝑒 = ∆𝑊𝑓 + ∆𝑊𝑚1.71

De la ecuación anterior podemos expresar la energía mecánica𝛥𝑊𝑚en función decualquierpardevariables𝑖y𝑥ó𝜆y𝑥:

∆𝑊 𝑖, 𝑥 = ∆𝑊Ý 𝑖, 𝑥 − ∆𝑊Ç 𝑖, 𝑥 1.72

∆𝑊 𝜆, 𝑥 = ∆𝑊Ý 𝜆, 𝑥 − ∆𝑊Ç 𝜆, 𝑥 1.73

Ahora que podemos determinar∆𝑊 , podemos determinar la fuerza promedio𝑓prom,exigidaporlaarmaduraduranteelmovimientoatravésdeunadistancia𝛥𝑥:

𝑓+Ev`∆𝑥 = ∆𝑊 1.74

Luego

𝑓+Ev` 𝑖, 𝑥 = ∆\ì B,×∆×

−∆\í(B,×)∆×

1.75

Y

𝑓+Ev` 𝜆, 𝑥 = ∆\ì(r,×)∆×

− ∆\í(r,×)∆×

1.76

3.Energíaalmacenadaensistemaslineales

Comenzaremosnuestroestudioutilizandounsistemaparticularmentesimpleenelcuállarelación entre la excitación y la respuesta es lineal. Un ejemplo de ello lo constituye elsistema representado en la figura 1.2. En este caso el sistema lo constituye una bobinaenrollada en un núcleo de material no- magnético y no conductor. La relación entrecorrienteen labobina (excitación)yencadenamientosde flujode lamismarespuestaeslineal.

Fig.1.2


LaecuacióndevoltajesdeKirchhoffdelcircuitoanteriores:

𝑣 = 𝑖𝑅 + 𝑒1.77

Donde“𝑒”eselvoltajeinducidomultiplicandoestáecuaciónpor𝑖obtenemos:

𝑣𝑖 = 𝑖C𝑅 + 𝑒𝑖1.78

Notequecadaunodelostérminosenestaecuacióntieneladimensióndepotenciaporloque la energía total suministrada por la fuente en un intervalo de tiempo∆𝑡 = 𝑡C −𝑡d,duranteelcuallacorrientecambiade𝑖,a𝑖Ces:

Energíatotaldeentrada= 𝑣𝑖𝑑𝑡 = 𝑖C𝑅𝑑𝑡 + 𝑒𝑖𝑑𝑡1.792C2d

22

22

El1ertérminodel2°miembrodelaecuación1.79representanlaspérdidasdelaenergíaen la bobina causada por su resistencia luego pérdidas por calor en la resistencia de labobinaesiguala:

𝑖C𝑅𝑑𝑡22

1.80

Elotrotérminodelaecuación1.79debeserlaenergíarealdeentradaalabobina:

Energíaqueentraalabobina= ∆𝑤Î = 𝑒𝑖𝑑𝑡22

1.81

Si estamosdespreciandotodaslaspérdidasadicionalesquepuedanexistir,entoncesestadebeserlaenergía almacenada en el campomagnético. No existe conversión de energíamecánicapuestoqueasumimosquelabobinaestamecánicamenterígida.

Laecuación1.81puedeescribirsedeotraformausandolaLeydeFaradayparaelvoltajeinducido𝑒:

𝑒 = 0r02∆𝑊î = 𝑖 0r

02𝑑𝑡 = 𝑖𝑑𝜆r

r2C2d 1.82

Haciendouncambioenlavariabledeintegracióny𝜆dy𝜆C,correspondenalosenlacesdeflujoenlostiempos𝑡dy𝑡C.𝜆d = 𝜆 𝑡d ,𝜆C = 𝜆(𝑡C)

El resultadode evaluar la integral de la ec. 1.82 se ilustra gráficamente en la figura 1.3,dadoqueestamosconsiderandounarelaciónlinealentre𝜆e𝑖.Ensistemasdeestetiposeacostumbraadescribirlarelaciónlinealentre𝜆e𝑖pormediodelainductanciapropiadelabobina(𝐿)dadaporlaecuación:

𝐿 = rB1.83


Entérminosdeestaconstantelaec.1.82lapodemosescribircomo

∆𝑊î =𝜆𝐿

r

r𝑑𝜆 =

𝜆CC − 𝜆dC

2𝐿 1.84

Lacualesunaformadedescribireláreasaturadadelafigura1.3.

Figura1.3

Parademostrarqueestaenergía(𝛥𝑊𝑐)esrealmentealmacenadaenelcampomagnético,mostraremos que una cantidad igual de energía puede ser recuperada por la bobina yregresadaasuvalororiginal.Consideremosqueregresamoselsistemaasuestadooriginalen un intervalo de tiempoΔ𝑡d = 𝑡 − 𝑡C.En este intervalo la energía entregada por lafuenteserá:

Energíatotaldeentradaiguala: 𝑣𝑖𝑑𝑡22

1.85

Unaenergíaadicionaldepérdidasenlaresistenciadelabobina

Perdidasporcalorenlaresistenciadelabobina

= 𝑖C𝑅𝑑𝑡22C 1.86

Yunaenergíadeentradaalabobina.

Energíadeentradaalabobina= Δ𝑊𝑐d = 𝑒𝑖𝑑𝑡22C 1.87

Loqueentérminosdelosencadenamientosdeflujonosda:

Δ𝑊Îd = 𝑖𝑑𝜆1.88r

r


Siregresamosalestadooriginal,tendremos𝜆 = 𝜆d1.89

YΔ𝑊Îd = 𝑖𝑑𝜆 = − 𝑖𝑑𝜆 = −Δ𝑊Îrr

rr

1.90

Siemprequelacurvademagnetizaciónpermanezcainalterada.

Así lascosas, labobinaesregresadaasuestadooriginal,unacantidaddeenergía igualaΔ𝑊Î es regresada al sistema y puede ser recuperada (excepto por las pérdidas𝐼C𝑅en laresistenciadelabobina).En este tipo de sistemas, entonces, tendremos que desarrollarunamaneradecalcularlaenergíaalmacenada.Evaluandolaec.1.82,partiendodequeelflujoen𝑡descero(𝜆d = 0),seobtienelaenergíaalmacenadacomo:

𝑊Ç = 𝑖𝑑𝜆rw 1.91

Paracualquiervalordelosencadenamientosdeflujo𝜆C = 𝜆.

El subíndice𝑓se usa para recordar que esta energía esta almacenada en el campomagnéticoasociadoconlabobina.Lafigura1.4ilustralaevolucióndeestaintegralenunsistemalineal.

Figura1.4

Entérminosdelainductanciapropiadelabobina(𝐿):

𝑊Ç =rÜ

rw 𝑑𝜆 = d

Cr

Ü1.92

Oalternativamenteentérminosdelacorrienteenlabobina:


𝑊Ç =(ÜB)

CÜ= d

C𝐿𝑖C1.93

4. Efectodelanolinealidad

Para un sistema con una curva de magnetización no lineal, la energía de entrada a labobina, de cualquier forma queda expresada por la ec. 1.82, puede ser ilustrada por lagráficadelafigurasiguiente:

Figura1.5.Lasimpleexpresióndadaporlaec.1.84yanodescribelaenergíadeentradaalabobina.

Figura1.5

Si la no linealidad es tal que el sistema está totalmente des excitado cuando𝜆 = 0 (lacurva demagnetización atraviesa por el origen), entonces la ecuación 1.82 sigue siendoválidaparasistemasno lineales.Laenergíatotalalmacenadaenelsistemano linealestádadaporlamismaexpresiónintegraldesarrolladaparasistemaslineales.


Esteresultadoesilustradográficamenteenlafigura1.6


Figura1.6

5.MaterialesMagnéticos

Experimentalmentesehademostradoqueciertosmateriales,cuandosoncolocadosenuncampo magnético, reaccionan con él y lo modifican. Este fenómeno es llamadomagnetización y los materiales que exhiben está característica son llamados materialesmagnéticos. Estos materiales son clasificados en tres grupos: diamagnéticos,paramagnéticos, y ferromagnéticos. Estos últimos son los de mayor interés para elingenieroelectricistaenvistadequelamayoríadelosdispositivoselectromagnéticossonhechosdeestetipodematerial,portalmotivodirigiremosnuestraatenciónsolamenteaeste tipo demateriales. Unamanera de cuantificar el efectomagnetizante es usando elconceptodepermeabilidadrelativa,definidocomo:

𝜇E =zz1.95

Dónde:𝜇E+ÝE`ÝÍ]BcB0Í0EÝcÍ2ByÍ

µ = 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝐵/𝐻(ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠𝑝𝑜𝑟𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜)

𝜇w = 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑𝑒𝑙𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 = 4𝜋𝑥10Z[𝐻/𝑚

Losvaloresdepermeabilidadrelativaparalosmaterialesdiamagnéticossonalrededorde0.999991yparalosmaterialesparamagnéticossonalrededorde1.0000004.


Entrelosmaterialesferromagnéticosseencuentraelhierro,elníquel,elcobaltoyungrannúmerodealeacionesespecialesdeestoselementosmásimpurezasdesilicioydecarbón.La permeabilidad relativa para este tipo de materiales está en el rango de250 a1000000.

Existencuatropropiedadesbásicasquedistinguenalosmaterialesferromagnéticosdelosotrosmaterialesmagnéticosyestasson:

1. Exhibenunapermeabilidadextremadamentegrandeperovariable.2. Un valor alto de densidad de flujo máximo intrínseco. Este límite es llamado

densidadde flujodesaturacióny representaunacondicióndemáximautilizacióndelmaterial.Paravaloresdedensidaddeflujomásalládeestepunto,elmaterialsecomportacomosifuerano-magnético.

3. Hayunatendenciadelmaterialaoponerseacambiosenladensidaddeflujo.Estacaracterísticaseconocecomofenómenodehistéresisenlacuallarelaciónentre𝐵y𝐻dependenoúnicamentedelvalorde𝐻sinotambiéndeladireccióndecambio.

4. Poseen la habilidad demantener lamagnetización aún después de que la fuerzamagnetizantehadesaparecido,aestapropiedadselehallamadorelatividad.

Sistemasconunaexcitación

Envistade la ambigüedad introducidapor lahistéresis, restringiremosnuestroanálisis asistemascaracterizadosporunacurvademagnetizacióntalqueparaunvalorde𝐻existaunsolovalorde𝐵.

Comolohicimosanteriormente,podemosentoncesusar:


Como la ecuación que define la energía almacenada, considerando que la curva demagnetizaciónpasaporelorigen(nohaymagnetismoresidual).

Deunamanera análoga a lo que sehizo con las pérdidas eléctricas (𝐼C𝑅)al extraerlas yconsiderarlasaparte,podemossepararlaspérdidasporhistéresisyporcorrientesparasitasy considerar al sistema ideal, para posteriormente considerarlas en forma global comopérdidasenelnúcleo.


Considerarausenciademagnetismoresidualnoesrealmentenecesarioparaprocederconnuestro análisis. Así en lugar de que la curva de magnetización pase por el origen,consideramosque:

Existeunvalor𝜆wparaunacorriente𝑖 = 0,yentoncesevaluamoslaenergíadecampodelaecuación:

𝑊Ç = 𝑖𝑑𝜆rr

1.97

El resultadofinaldenuestroanálisisnocambiarasiusamos laecuación(1.96)o la (1.97)para definir la energía de campo, de tal manera en lo sucesivo prescindiremos deconsiderarelmagnetismoresidual.Lascurvasdemagnetizaciónde la figura1.7 ilustra laaplicación correcta de las ecuaciones de la energía de campo, con y sin magnetismoresidual.


Figuras1.7

Empecemos por considerar un sistema con una sola bobina de excitación y un soloentrehierro.Unsistemacomoesteseilustraenlafigura1.8

Figura1.8

En este caso las tres variables que describen el estado del sistema son losencadenamientos de flujo de la bobina𝜆, la corriente en la bobina𝑖, y la longitud delentrehierro𝑥. La relación entre estas variables para un sistema comoel de la figura 1.8


estádescritopor lascurvasde la figura1.9,en lacual la longituddelentrehierro𝑥esunparámetro.

Figura1.9

Como puede notarse el espaciamiento del entrehierro tiene influencia sobre la forma yespaciamiento de estas curvas. Un juego de curvas de este tipo esta descrito por unaecuacióndelaforma:

𝜆 = 𝜆 𝑖, 𝑥 1.98

Los encadenamientos de flujo dependende la corriente y de la posiciónmecánico. Paraevaluarlaenergíaalmacenadaaplicamoslaecuación1.30,sujetaalarestriccióndequeenlaevaluacióndelaintegrallaposiciónmecánica𝑥semantieneconstante:

𝑊Ç = 𝑖𝑑𝜆1.99r

w

Estoimplicaquelaenergíadecampoparacualquierconfiguraciónmecánicaenparticularsepuedecontener,primerocolocandoel sistemaen la configuracióndeseadaydespuésllevandolaexcitaciónalniveldeseado.

Laecuación1.99puedeserresueltapara𝑖yobtenerunarelacióndelaforma:

𝑖 = 𝑖(𝜆, 𝑥)1.100

Ylaec.1.99puedeserescritacomo:

𝑊Ç 𝜆, 𝑥 = 𝑖 𝝀, 𝑥 𝑑𝝀r

w


Latildeindicaquesonvariablesdeintegraciónlasquenotienenconstantesenelprocesodeintegración.

Interpretaremosestaecuacióncomounarelaciónderivadabasadaenlasuposicióndeunarelaciónentre𝜆,𝑖sinconsiderarelfenómenodehistéresis(esdecir,paraunvalordadode𝐻correspondeunvalorúnicode𝐵)ydespreciandoelmagnetismoresidual.

Ejemplo1

Considereunsistemaenelcuallacurvademagnetizaciónestadescritaporlaecuación:

𝜆 = 𝑘𝑥C𝑖d/C

Determinelaenergíaalmacenadaenelsistema.

Solución:(𝑖)C = r

n×C𝑖 = r

n×ñ

𝑊Ç 𝜆, 𝑥 = 𝑖(𝝀, 𝑥)rw 𝑑𝝀 = 𝝀

n×ñ𝝀𝟎 𝑑𝝀= r

n×ñJoules

Para𝜆 = 2𝑦𝑥 = 1ysuponiendok = 1𝑊Ç 𝜆, 𝑥 = = 2.67𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠

Lascurvasdemagnetizacióndeestesistemasemuestranenlafigura1.10.Laenergíadecampopara𝜆 = 2y𝑥 = 1estáindicadaporeláreasaturada.


Figura1.10

Ejemplo2.

Determinar laenergíaalmacenadaenun sistemamagnético lineal caracterizadoporunainductanciapropia𝐿(𝑥).

Solución:

𝑊Ç 𝜆, 𝑥 = 𝑖 𝝀, 𝑥 𝑑𝝀rw Yaque𝜆 = 𝐿𝑖entonces

=𝝀

𝐿(𝑥) 𝑑𝝀 = 12

𝜆C

𝐿(𝑥)

r

w

En la mayoría de los casos es posible usar la ecuación definiendo las curvas demagnetizaciónparaescribir𝑊Çcomounafunciónde𝑖y𝑥enlugarde𝜆y𝑥.Entoncesenelejemplo:

𝑊Ç =𝜆C

2𝐿(𝑥) =(𝐿 𝑥 𝑖)C

2𝐿(𝑥) = 12 𝐿 𝑥 𝑖

C


10.Funcionesdeestado

Siunsistemaelectromecánicoestácaracterizadoporunasimplecurvademagnetización(noporunlazocomoeldehistéresis),yahemosdemostradoquelaenergíadecampoestádadaporlaintegral:

𝑊Ç 𝜆, 𝑥 = 𝑖 𝝀, 𝑥 𝑑𝝀r

w

Desdeunpuntodevistamatemático,estaecuaciónobtieneunresultadoquedependedelosvaloresde𝜆y𝑥nadamás.Unpardevaloresde𝜆y𝑥,correspondenaunpuntoenunadelascurvasdemagnetizacióndelsistemayestáporconsiguienteasociadoconunvalorparticular de𝑖 . Si consideramos que un punto cualquiera en una de las curvas demagnetizacióndelsistemayestáporconsiguienteasociadoconunvalorparticularde𝑖.Siconsideramosunpuntocualquieraenunadelascurvasdemagnetizaciónestádefiniendounposibleestadodeexistenciadelsistemaestoimplicaquecontalestadoestáasociadounysolounvalordeenergíaalmacenadoenelcampo.

Entoncespodemoshablardelaenergíadecampocomounafuncióndeestadodelsistema,osimplementecomounafuncióndeestado.

En términos simples una función de estado tiene la propiedad de depender de valorespresentesdeunjuegodevariablesynodelahistoriadevalorespasadosdelsistema.

Unejemplo,de funcióndeeste tipo loconstituyeelvoltajea travésdeun resistorenelcuallaresistencianoesfuncióndelatemperatura.

Elresultadoimportantedeconsiderarlaenergíadecampocomounafuncióndeestadoesquenoimportacomolleguemosaunaconfiguraciónyexcitacióndelsistema,laenergíadecampo es la misma. Entonces podemos primero ajustar la configuración mecánica yposteriormenteexcitarelsistemaydespuésajustar laconfiguración.Es importantenotarqueestoesciertoúnicamentesiquitamosdelsistemalaenergíadepérdidascausadasporelfenómenodehistéresis.

Sistemasmultiexcitados

Lafigura1.11muestraunsistemaquetienedosbobinasdeexcitación.Enestedispositivoexcitando la bobina 1 la parte móvil se desplazará hacia la izquierda, mientras queexcitando la bobina 2 se desplazará hacia la derecha. La posición de la armaduradependerádeladirecciónrelativadelasdoscorrientes.

El sistemadoblementeexcitadoestarácaracterizadoporunparde familiasdecurvasdemagnetizacióndescritasporecuacionesdelaforma:


𝜆d = 𝜆d 𝑖d, 𝑖C, 𝑥 1.101,𝜆C = 𝜆C 𝑖d, 𝑖C, 𝑥 1.102

Figura1.11

Determinamoslaenergíaalmacenadaevaluandolaenergíadeentrada(menoslaspérdidas𝑖C𝑅delabobina)cuandollevamoselsistemadeunestadoinicialdesexcitadoounestadofinalexcitadomanteniendolaconfiguraciónmecánicafija.Tenemosahoramuchasformasde ir del estado inicial al estado final. Por ejemplo podemos primero excitar al sistemallevando 𝜆da su valor final con𝜆Cmantenido en cero, después con𝜆dmantenido en suvalorfinal,llevar𝜆Casuestadofinal,todoconlaconfiguraciónmecánicasostenidaenunaposiciónfija.Elvalordelaenergíadecampoobtenidaconesteprocedimientoserá:

𝑊Ç = 𝑖d 𝝀, 0, 𝑥 𝑑𝝀d + 𝑖C 𝜆d,𝝀C,𝑥 𝑑𝝀Crw

rw 1.103

Donde𝜆d𝑦𝜆Crepresentanlosvaloresfinalesdeseadosdelosencadenamientosdeflujoenlasdosbobinas.

(Las variables que no se encuentran en negritas son constantes para propósitos deintegración).

Sihacemoselprocesoinverso,esdecir, llevamoslabobina2asuvalorfinalydespuéslabobina1,tendríamos:

𝑊Ç = 𝑖C 0, 𝝀C, 𝑥 𝑑𝝀C + 𝑖d 𝝀d, 𝜆C, 𝑥 𝑑𝝀drw

rw 1.104

Podemosllevarelsistemaasuestadofinalexcitandolasdosbobinassimultáneamente,sise tiene una relación entre los encadenamientos de flujo o entre las corrientes en lasbobinas.

Como ejemplo consideremos la situación donde una relación fija entre𝝀d𝑦𝝀C semantienedurantelaexcitación.Laenergíadecampoentoncesestádadapor:


𝑊Ç = 𝑖d 𝝀d, 𝑘𝝀d, 𝑥 𝑑𝝀d + 𝑖C𝝀C𝑘 , 𝝀C, 𝑥 𝑑𝝀C

r

w

r

w1.105

Donde𝑘 = 𝝀C/𝝀d

Hayunnúmeroinfinitodecaminosparallevarestesistemaasuestadofinalyporlotantocorrespondiente a cada esquemade excitación hay un número infinito de integrales deltipo de las ilustradas anteriormente. Sin embargo todas las integrales son casosparticularesdeuncasomásgeneralllamadaintegraldelínea.Elproblemaesusualmenteformuladoennotaciónvectorialcomo:

𝑊Ç = 𝚤 ⋅ 𝑑𝜆.Î 1.106

Dondelacurva𝑐eslatrayectoriaalolargodelacuallaintegralesevaluada.

Laenergíadecampolapodemosexpresarcomo:

𝑊Ç = 𝑖𝑑𝜆d + 𝑖C𝑑𝜆C.Î = 𝑖d 𝜆d, 𝜆C, 𝑥 𝑑𝜆d + 𝑖C 𝜆d, 𝜆C,𝑥 𝑑𝜆C

r,rw 1.107

Laevolucióndelaintegraldelíneadependedelatrayectoriaescogida.Lostrescasosqueanalizamos anteriormente muestran la evolución de la integral anterior en trestrayectoriasdiferentescomosemuestraenlafigurasiguiente:

Figura1.12

Engeneralelvalorde la integralde laec. (1.107),esdiferenteparacadatrayectoria.Sinembargo este no es el caso en sistemas físicos. Para el tipo de sistemas con los cualesestamosinteresados,laenergíaesnuevamenteunafuncióndeestadoyesindependientedelamaneraenlacualelsistemaesllevadoasuestadofinal.


Entérminosdelaec.(1.107),estosignificaquelaintegralesuna“diferencialperfecta”yelvalor de la integral es independiente de la trayectoria de integración. La condiciónmatemáticanecesariaesque:

öBör

= öBör

1.108

Todoel restodel trabajoserá restringidoasistemasquecumplancon laec. 1.108.Estoaseguraquelaenergíaalmacenadaesunafuncióndeestado.

Ejemplo:

Consideremos un sistema electromagnético doblemente excitado descrito por lasecuaciones:

𝑖d = 𝜆dC + 𝜆CC 𝑥C; 𝑖C = 2𝜆d𝜆C𝑥C

Pruebesiestasecuacionespuedendescribirunafuncióndeestadoyevaluélaintegraldelínea de la ecuación 7 a lo largo de cada una de las trayectorias ilustradas en la figurasiguiente:

Figura1.13

Solución:

Laindependenciadelatrayectoriasepruebaevaluandolaecuacion(1.108)


𝛿𝑖d𝛿𝜆C

= 2𝜆C𝑥C𝑦𝛿𝑖C𝛿𝜆d

= 2𝜆C𝑥C

Yaqueestásdosderivadasparcialessoniguales,laintegraldelíneadelaecuación1.107esindependientedelatrayectoriadeintegraciónylaenergíadecampopuedeserexpresadacomounafuncióndeestado.Evaluandolaintegraldelíneasetiene:

𝑊Ç = 𝜆dC + 𝜆CC 𝑥C𝑑𝜆d + 2𝜆d𝜆C𝑥C𝑑𝜆Cr,r

w

Paralatrayectoria“𝑎”integramosconrespectoa𝜆Cmientras𝜆dsemantieneencero.Estonosdaunvalorenceropuestoqued𝜆d = 0y𝜆d = 0.

Enseguidamantenemos𝜆Censuvalorfinal 𝜆C eintegramosconrespectoa𝜆d,estoes:

𝑊Ç = 𝜆dC + 𝜆CC 𝑥C𝑑𝜆d =13 𝜆d

+ 𝜆d𝜆CC 𝑥C ⋅r

w

r

w

𝑊Ç = (𝜆d

3 + 𝜆d𝜆CC)𝑥C

El segundo términode la integral es cero yaque lapermanece constante ypor lo tanto𝜆C = 0. En el punto final en el que𝜆d = 2𝜆C(cualquier punto que cumpla con estacondición),laenergíadecampopuedeserescrita:

𝑊Ç =2𝜆C

3 + 2𝜆C 𝑥C =143 𝜆C

𝑥C

Paralatrayectoria“𝑏”enlacual𝜆d = 2𝜆Csetiene:

𝑊Ç = 𝜆dC +𝜆d2

Cr

w𝑥C𝑑𝜆d + 4𝜆CC

r

w𝑥C𝑑𝜆C

=13𝜆d

+𝜆d

12 𝑥C +43 𝜆C

𝑥C =512 𝜆d

𝑥C +43 𝜆C

𝑥C


En el punto final en el que𝜆d = 2𝜆Cla expresión de la energía de campopuede quedarescritacomo:

𝑊Ç =512 (2𝜆C)

𝑥C +43 𝜆C

𝑥C =103 𝜆C +

43 𝜆C

𝑥C =143 𝜆C𝑥C

Lacualeslamismaquelaobtenidaintegrandoalolargodelatrayectoria“𝑎”.

Conversióndelaenergíaensistemasconunaexcitación

(Análisisgráfico)

Elanálisisgráficocomienzaconunarepresentacióngráficaadecuadadelaecuación:

𝜆 = 𝜆 𝑖, 𝑥 1.109

Estopuedehacerseparadosdimensionesusando𝜆e𝑖comocoordenadasytrazandounafamiliadecurvas(unaparacadavalorde𝑥),comosemuestraenlafigurasiguiente:

Figura1.14

La figuraanteriores la representación típicadeundispositivoelectromagnético comoelrepresentadoenlafigurasiguiente.Notequecuandomáscreceelentrehierromáscercadelalinealidadestalacurva𝜆vs𝑖.


Figura1.15

Balancedeenergíaconcorrienteconstante

Usemoslascaracterísticasdemagnetizacióndelafigura1.14yconsideremosquelabobinaestaexcitadaconunacorrienteconstante𝑖 = 𝑖.

Consideremosahoraelcambiodeestadodelsistemaporelmovimientodelaarmaduraatravésdeunadistancia𝐴×,porejemplo𝑥 = 𝑥𝑎𝑥 = 𝑥C.

Asociado a este cambio de estado, tendremos una energía eléctrica de entradaprovenientedeunabateríadeunvoltajemuyaltoyunagran resistenciaen seriede talmaneraque𝑣 ≈ 𝑒odeplanounafuentedecorrientesconstante ideal.Uncambioenlaenergíadecampoalmacenadayunaenergíamecánicadesalida.

Recordemoslaexpresióndelaenergíaeléctricadeentrada𝑒𝛥.

ExpresiónquepodemosmodificarsustituyendoenellalaexpansióndelaleydeFaraday,ytendremos:

Δ𝑊Ý = 𝑖 0r02

2w 𝑑𝑡 = 𝑖 𝜆, 𝑥 𝑑𝜆rí

rø1.110

Δ𝑊Ý = 𝑖 𝜆Ç − 𝜆B = 𝑖Δ𝜆1.111


La interpretación gráfica de esta expresión se puede observar en la figura 1.14.En estafigura el cambio de𝑥 = 𝑥𝑎𝑥 = 𝑥Cy sostenida constante en𝑖 = 𝑖, aparece como lalínearectaqueunelospuntos𝑎y𝑏.Elcambioenlosencadenamientosdeflujo𝛥𝜆esigualalalongituddeestesegmentodelíneaylaenergíaeléctricadeentradaestárepresentadapor el área saturada. La figura 1.16 representa este mismo cambio de estado en unamanerauntantodiferente,entérminosdelasáreasdeestafiguratendremos:

Figura1.16

Note que la transición de𝑥 = 𝑥C a 𝑥 = 𝑥 involucra un incremento en el flujo(Δ𝜆positivo),porlotantolaenergíaeléctricadeentradaespositiva.


Teniendo calculada la energía eléctrica alimentada al sistema durante el cambio en laconfiguraciónmecánica,podemosrestarlelaporcióndeestaenergíausadaenincrementarlaenergíaalmacenadaenelcampoyelrestoesconvertidoaformamecánica.

Dividiendo esta energía mecánica por la distancia recorrida obtenemos la solución delproblemadedeterminarlafuerzapromedioejercidasobrelaarmaduradeldispositivodelafigura1.15cuandosemuevede𝑥a𝑥C.

Ladeterminacióndelincrementoenlaenergíadecamposebasaenlasuposicióndequelaenergíadecampoesunafuncióndeestado,y

Δ𝑊Ç = 𝐼𝑛𝑐. 𝑒𝑛𝑙𝑎𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎𝑑𝑒𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 = 𝑊Çí −𝑊Çø 1.112

Engeneral𝑊Çestadadaporlaintegral:

𝑊Ç = 𝑖(𝜆rw , 𝑥)𝑑𝜆1.113

Paraelcasoenconsideración laenergíadecampo inicialcorrespondealpunto“𝑎”en lafigura1.16yestádadaporelárea𝐶 + 𝐷:

𝑊Çø = 𝐶 + 𝐷1.114

Laenergíacorrespondientealaposiciónfinal(punto𝑏)esigualalárea𝐶 + 𝐴:

𝑊Çí = 𝐶 + 𝐴1.115

Entonceselincrementoenlaenergíaalmacenadaserá:

Δ𝑊Ç = 𝐶 + 𝐴 − 𝐶 + 𝐷 = 𝐴 − 𝐷1.116

Delaecuacióngeneraldebalancedeenergíasetiene:

Δ𝑊 = Δ𝑊Ý − Δ𝑊Ç1.117

Queentérminosdelasáreasdelafigura1.16nosqueda:

Δ𝑊 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐹 − 𝐴 − 𝐷 = 𝐵 + 𝐹 + 𝐷1.118

Esteresultadoestádeacuerdoalaexperienciacondispositivoselectromagnéticosdeestetipo,yaqueeslatendenciaacerrarelcircuitomagnéticoporpartedelaarmadura.

Lafuerzapromediosobrelaarmaduraduranteelmovimientoestádadapor:

𝑓+Ev` = þ\ÿþ×

= aÏ!ÏhZ

1.119


Lacualesunacantidadnegativadadoque𝑥C < 𝑥.Elsignificadodeestafuerzanegativa,essimplementequelafuerzaestaenladirecciónnegativade𝑥,(enladirecciónenqueelentrehierro se acorta).Ya que tanto fuerza como movimiento son negativos, la energíamecánica es positiva. Nótese que en términos de la figura 1.16 el área𝐵 + 𝐷 + 𝐹seexpresaenunidades𝑊𝑏 − 𝐴𝑚𝑝,enlaec.1.119entérminosde𝑁𝑤 −𝑚,ycomoenergíamecánica en términos de Joules. Estas tres cantidades son dimensionalmente ynuméricamenteiguales.

Balancedeenergíaconcorrientevariable.

Acabamos de considerar un caso especial en el que la conversión de energía se lleva aefectomanteniendolacorrienteconstante.Endispositivosprácticosestonormalmentenosucede.Larazónesquelossistemas(comorelevadoresoelectromagnétos)normalmentesonexcitadosporbateríasoporgeneradoresdecorrientealterna.

Lasfuentesdecorrienteconstantenormalmentenoseusanensistemasfísicos.

Consideremos ahora un caso con algo de menos restricciones en el que la batería quealimenta al dispositivo de la figura 1.15 y la bobina, no tienen una resistenciaintencionalmentegrandes.Enestecaso lacorrienteen labobinaestádeterminadatantoporlaresistenciadelabobinacomoporelvoltajeinducidoenellaypuededeterminarsedelaecuacióndiferencial:

𝑅𝑖 +𝑑𝜆𝑑𝑡 = 𝑉1.120

Donde𝑉eselvoltajedelabatería.

Alresolverestaecuacióndebemosreconocerque𝜆dependetantode𝑖comode𝑥.

Observemosquepara elmismo cambio de estado (de𝑥a𝑥C)los encadenamientos deflujo𝜆se incrementan provocando (según la ley de Faraday) un voltaje inducido (fem)positivoyunareducciónenlacorriente(deacuerdoconlaecuación1.120).Asíenlugardeseguir la trayectoria vertical para ir de “𝑎” hasta “𝑏”, la corriente sufre una reducciónduranteelmovimiento.Enelpunto finaldel intervalo lacorrienteesnuevamente𝑖 = 𝑖,porque en este punto𝜆se mantiene en un valor constante y la corriente está dadasimplementeporlaleydeOhm.Silaecuacióndebalancedeenergíaparaelsistemasinlarestriccióndemantenercorrienteconstante,obtenemos:

Δ𝑊Ý = 𝑖(𝜆rí

rø, 𝑥)𝑑𝜆 = 𝐴 + 𝐵1.121

Δ𝑊Ç = 𝑊Çí −𝑊Çø = 𝐴 + 𝐶 − 𝐶 + 𝐷 = 𝐴 − 𝐷1.122


Δ𝑊 = Δ𝑊Ý − Δ𝑊Ç = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 − 𝐷 = 𝐵 + 𝐷1.123

Dondeestasáreasestánnuevamenterepresentadasenlafigura1.16.

Comparandoesteresultadoconelobtenidoparacorrienteconstantepuedeverseque laenergía eléctrica se ve reducida por un valor𝐹 y correspondientemente la energíamecánicasevereducidaporestamismacantidad.Lafuerzapromedioentoncesesmenorqueantes. Físicamente,esta reducciónen la fuerzaesel resultadode la reducciónde lacorrienteduranteelmovimiento.

Balancedeenergíaconencadenamientosdeflujoconstantes

Estasituaciónsepuedeaproximarenunsistemaenelcual laresistenciadelcircuitoyelvoltajeaplicadosonpequeñosyporlotantoelvoltajeinducidoestambiénpequeño.Unrápido movimiento de la armadura es acompañando de una sustancial reducción en lacorriente y un valor de los encadenamientos de flujo aproximadamente constante. Estefenómeno es un resultado directo de la incapacidad del circuito de soportar un voltajeinducidodignodetomarseencuenta.Unpequeñísimocambioenlosencadenamientosdeflujo provoca una gran corriente inducida, la cual de la Ley Lenz, se opone a un cambiomayor en los encadenamientos de flujo. El caso extremo, lo tendríamos cuando laresistencia es cero (cortocircuito), en esta situación los encadenamientos de flujo sonverdaderamenteconstantes.

Si excitamos el sistema de la figura 1.15, con un voltaje suficientemente pequeño y laresistencia también es muy pequeña, el cambio de estado tendrá lugar a través de latrayectoria𝑎 −𝑚 − 𝑏de la figura 1.16. Durante la porción𝑎 −𝑚de la trayectoria laarmaduraseestarámoviendoperolosencadenamientospermaneceránconstantes.Enelpunto“𝑚” laarmadurahacompletadosumovimientoyestánuevamenteen reposo. Latransición de “𝑚” a “𝑏” ocurre con una configuraciónmecánica fija y será un procesorelativamente lento debido a la pequeña resistencia del circuito. Dado que no haymovimiento en esta última parte de la transición, la energíamecánica involucrada seráceroy laenergíaeléctricadeentradaseráutilizadatotalmenteenincrementar laenergíaalmacenada en el campo. En términos de las áreas de la figura 1.16, tendremos para latransiciónde“𝑚”a“𝑏”:

Δ𝑊 = 01.124

Δ𝑊Ç = 𝑊Çí −𝑊Çø = 𝐴 + 𝐶 − 𝐶 = 𝐴1.125

Δ𝑊Ý = 𝐴 = Δ𝑊Ç1.126


Alolargodelaprimerapartedelatransiciónnohayenergíaeléctricadeentrada,dadoquelosencadenamientosde flujo son constantes. Laenergíamecánicaesentoncesobtenidaestrictamenteaexpensasdelaenergíaalmacenadaenelcampo.Unavezmásentérminosdelasáreasdelafigura1.16tenemos:

Δ𝑊Ý = 01.127

Δ𝑊Ç = 𝑊Çí −𝑊Çø = 𝐶 − 𝐶 + 𝐷 = −𝐷1.128

Δ𝑊 = Δ𝑊Ý − Δ𝑊Ç = 0 − −𝐷 = 𝐷1.129

Notequelafuerzapromediosereduceenlafracción𝐷/(𝐵 + 𝐷 + 𝐹)delafuerzadelcasoenqueseconsiderabacorrienteconstante.

Balancedeenergíaduranteunatransiciónarbitraria.

Enlafigura1.17serepresentaunasituaciónenlacualuncambioarbitrarioenelestadosellevaacabo.Enestecasolastresvariablesdelsistemaestáncambiando,asítenemos:

Figura.1.17

Δ𝑊Ý = 𝑖 𝜆, 𝑥 𝑑𝜆rírø

= 𝐴 + 𝐵1.130𝜆𝑦𝑥estánvariando

𝑊Çí = 𝑖 𝜆, 𝑥 𝑑𝜆 = 𝐴 + 𝐶1.131rí

w

𝜆Variamientrasxsemantienefija


𝑊Çø = 𝑖 𝜆, 𝑥 𝑑𝜆rø

w= 𝐶 + 𝐷1.132

Δ𝑊Ç = 𝑊Çí −𝑊Çø = 𝐴 + 𝐶 − 𝐶 + 𝐷 = 𝐴 − 𝐷1.133

Δ𝑊 = Δ𝑊Ý − Δ𝑊Ç = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 − 𝐷 = 𝐵 + 𝐷1.134

Comoenloscasosanterioreslaenergíamecánicaestárepresentadadirectamenteporeláreaenelplano𝜆 − 𝑖limitadaporlascurvasdemagnetizacióninicialyfinal,latrayectoria𝜆 − 𝑖seguidadurantelatransición.

Ecuacionesdefuerza

Una vez obtenido un incremento en la energía mecánica, se puede obtener la fuerzapromediodelaecuación:

𝑓+Ev` = þ\ÿþ×

1.135

Paraelcasodeencadenamientosdeflujoconstanteslaenergíaeléctricadeentradaesceroyentoncespodemosexpresarlafuerzapromedioenfuncióndelaenergíaalmacenadaenelcampo.

Δ𝑊 = Δ𝑊Ý − Δ𝑊Ç=−Δ1.136 𝑐𝑜𝑛𝜆 = 𝑐𝑒𝑟𝑜

Yporlotanto𝑓+Ev` = −þ\í

þ×1.137 𝑐𝑜𝑛𝜆 = 𝑐𝑒𝑟𝑜

Paraelcasodecorrienteconstantetendremos:

𝑓+Ev` = þ\ÝZþ\í

þ×1.137

Regresemosalafigura1.16yveamossipodemosencontrarunaexpresiónmássimpleparala ecuación 1.137. Con la corriente constante, la energía mecánica asociada durante latransición𝑎 − 𝑏nosharesultado:

∆𝑊 = 𝐵 + 𝐷 + 𝐹1.138

Examinandolafigura1.16podemosverqueestaenergíaesladiferenciadelasáreasbajolas curvas final e inicial de magnetización. Estas áreas son utilizadas en el análisis delcomportamientodesistemasyseconoceconelnombrede“COENERGÍA”.

Análogamentealointegralquedefinealaenergíadecampo,lacoenergíaparacualquiervalordadode“𝑖”estádadopor:


𝑊Îv = 𝜆 𝚤, 𝑥 𝑑𝚤Bw 1.139

Ylarelaciónentrecoenergíayenergíadecampoes:

𝑊Ç +𝑊î# = 𝜆𝑖1.140

Yserepresentacomosemuestraenlafigura1.18.

Fig.1.18

Entérminosdelacoenergía,laenergíamecánicabajolacondicióndecorrienteconstanteessimplemente:

Δ𝑊 = Δ𝑊î# =𝑊î#í −𝑊î#ø (𝑐𝑜𝑛𝑖 = 𝑒𝑡𝑒)1.141

Delafigura1.141tenemos:

𝑊î#í = 𝐵 + 𝐷 + 𝐹 + 𝐸1.142

𝑊î#ø = 𝐸1.143

Porlotanto,Δ𝑊î# = 𝐵 + 𝐷 + 𝐹 + 𝐸 − 𝐸 = 𝐵 + 𝐷 + 𝐹1.144

Lafuerzamecánicapromediobajolacondicióndecorrienteconstanteesentonces:

𝑓+Ev` =Δ𝑊î#

Δ 𝑐𝑜𝑛𝑖 = 𝑒𝑡𝑒 1.145

¿Qué pasaría si permitiéramos que𝛥𝑥seamás ymás pequeño? En el límite cuando𝛥𝑥tiendeacerolasecuaciones1.135y1.144debendarelmismoresultadoylaecuacióndelafuerzaenellímiteserá:


𝑓 = −0\í

0×(conλ = ete)

Yf=0Ö$¯0×

(coni = ete)

Y estas dos ecuaciones dan el mismo resultado de la fuerza instantánea en cualquiersituacióndada.

Ejemplo:Supongaquelascurvasdemagnetizacióndeldispositivodelafigura1.15puedenseraproximadosporlíneasrectasdeacuerdoalaecuación:

𝜆 = 0.1𝑖𝑥 𝑤𝑏

Donde𝑖sedaenAmperesy𝑥encentímetros.Conlabobinaalimentadaporunafuentedecorriente constante de 2ª, la armadura semueve de una posición inicial𝑥 = 2𝑐𝑚a unaposiciónfinal𝑥 = 1𝑐𝑚.Paraestatransición:

a) Dibujarlascurvascorrespondientes𝜆 = 𝑖ymostrarlatrayectoriaseguidadurantelatransición.

b) DeterminelosvaloresnuméricosdeΔ𝑊Ç, ΔWeYΔWm.c) Evalúelafuerzapromedioduranteestatransición.d) Repita𝑎, 𝑏y𝑐paraelcasodelcambiode𝑥 = 1𝑐𝑚a𝑥 = 2𝑐𝑚con𝑖constanteen

2ª.Note que esto es simplemente la dirección inversa del movimiento inicial.Compareelresultadoconeldelproblemaoriginal.

SOLUCIÓN

a) 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑥 = 2𝑐𝑚 − −𝜆 = 5𝑖; 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑥 = 1𝑐𝑚 − −𝜆 = 10𝑖.

b) Δ𝑊Ý = 𝐴 + 𝐵 = 2 10 = 20𝐽;𝑊Çø = 𝐶 + 𝐷;𝑊Çí = 𝐶 + 𝐴;

Δ𝑊Ç = 𝑊Çí −𝑊Çø; Δ𝑊Ç = 𝐶 + 𝐴 − 𝐶 + 𝐷 = 𝐴 − 𝐷;

𝐴 = 10 1 +1 102 = 15; 𝐷 =

1(10)2 −

1 52 +

1 52 = 5

Δ𝑊Ç = 15 − 5 = 10𝐽Δ𝑊 = Δ𝑊Ý − Δ𝑊Ç = 20 − 10 = 10𝐽

c) fprom = þ\ÿZþØ

= dwZw.wd

= −1000𝑁𝑤


2.TRANSFORMADORELÉCTRICO

2.1.Funcionamientodeltransformador.

Un transformador es un dispositivo eléctrico, sinmovimiento continuo en sus partes, elcualporinducciónelectromagnéticatransfiereenergíaeléctricadeunoomáscircuitosaotrouotroscircuitos.Laformamássimpledeuntransformadorconsisteendosdevanadosligados por un flujo mutuo. Las dos bobinas sonmontadas de tal manera que el flujomagnético producido por la corriente en una de ellas ligue a la otra bobina y viceversa,resultaríamuybaratosielnúcleodelosdevanadosfueraaire,noobstanteelairetieneunpermeabilidad muy pobre por lo que los materiales usados son los conocidos comoferromagnéticos, (hierro y algunas aleaciones) básicamente el acero que como el lectorsabe y lo sabe muy bien es una aleación de hierro y carbono, el cual tiene una granpermeabilidad.

Lostransformadoressonusadosensituacionesendondeelvoltajey lacorrientetenganunavariaciónperiódica,sinembargolamayorpartedesuaplicaciónesdondeelvoltajeylacorrientetienenunavariaciónsenoidal,estoesC.A.

Lafigura2.1muestradosbobinasenrolladasenunnúcleodematerialferromagnético,conun número de vueltas𝑁dy 𝑁C respectivamente, la resistencia de los devanados semuestranconcentradasenunlugarfueradelabobinaqueligaalflujo.

Figura2.1


Donde𝜙`eselflujomutuoqueenlazaaambasbobinas,𝜙dc eselflujodispersoelcualenlazaúnicamentealabobinay𝜙Cceselflujodispersoqueligaúnicamentealabobina2.

Deacuerdoconelconceptodereluctancia,podemosescribir:

𝑅dc =|Bep

2.1

Resolviendopara𝜙dc :𝜙dc =|BÉp

= 𝑁d𝑖d𝑃dc 2.2

Análogamente𝜙Cc=|BÉp

= 𝑁C𝑖C𝑃Cc 2.3

Engeneral el flujomutuoes causadopor la f.m.m.neta.Podemosescribirunaecuaciónqueinvolucrelaf.m.m.deambosdevanados,estoes:

𝜙` = |BZ|BÉ`

=(𝑁d𝑖d − 𝑁C𝑖C)𝑃𝑚2.4

Supongamos que las terminales𝑎y𝑏del devanado 1 están conectados a una red detrabajoyquelasterminales𝑐y𝑑deldevanado2estánconectadosaotrareddetrabajo.Laspolaridadessonasumidascomosemuestraen la figura2.1.Cuandoelvoltaje𝑉dy lacorriente𝑖dsonambaspositivas,elflujodeenergíaserádelareddetrabajoconectadaalas terminales𝑎y𝑏haciaeldevanado1.Cuandoel voltaje𝑉Cy la corriente𝑖Csonambospositivos,laenergíafluirádeldevanado2hacialareddetrabajoconectadaalasterminales𝑐y𝑑.Estoocurrecuandounodelosdevanadosesconectadoaunaredactivayelotroauna redpasiva.Notequeelacoplamientodeambas redesesúnicamentepormediodelflujomutuo𝜙`(estasestánaisladaseléctricamente).

Denotemospor𝜙dalflujoligadoporlabobina1como:

𝜙d = 𝜙` + 𝜙dc 2.5

Luego el voltaje inducido en el devanado 1 debido a la variación del flujo esta dado deacuerdoalaleydeFaradaypor:

𝑉®0 = 0r02= 𝑁d

0e02

= 𝑁d002(𝜙` + 𝜙dc)2.6

Denotemospor𝜙Calflujototalligadoporeldevanado2,estoes:

𝜙C = 𝜙` − 𝜙Cc 2.7

Elvoltajeinducidoeneldevanado2debidoalavariacióndelflujoestadadodeacuerdoalaleydeFaradaypor:

𝑉Ò0 =0r02

= 𝑁C0e02

= 𝑁C002(𝜙` − 𝜙Cc)2.8


AplicandolaleydevoltajesdeKirchhoffpodemosescribir:

𝑉d − 𝑖d𝑅d = 𝑁d0e02

= 𝑁d002(𝜙dc + 𝜙`)2.9

𝑉C + 𝑖C𝑅C = 𝑁C0e02

= 𝑁C002(𝜙` − 𝜙Cc)2.10

Importanciadelostransformadores.

LosprimerossistemasdepotenciafuerondeC.D.,perodebidoalaselevadaspérdidasenlaslíneasporefectoJoule(𝐼C𝑅),lascentralesgeneradorasdebíanestarmuycercanasaloslugares de consumo, (en una ciudad de no más de tres cuadras), esto constituía unaenormedesventaja,conlainvencióndeltransformador,lossistemasdepotenciadeC.A.sevolvieronventajosossobrelosC.D.Siendoeltransformador(ideal)undispositivoqueelevaoreduceelniveldevoltajemanteniendolapotenciaconstante,alelevarelniveldevoltajedebereducirseelniveldecorrienteyal reducirseestaenunfactorde10sereducen lasperdidas𝐼C𝑅enunfactorde100.Unejemplonuméricomostraráelordendelaspérdidascuandonoseusauntransformador.

Consideremos una carga de 500Kw, apenas suficiente para un pequeño poblado, a unvoltajede125v.EstepequeñosistemadepotenciapuedeserdeC.D.odeC.A.monofásicocon un factor de potencia unitario. De cualquier manera la corriente necesaria paraalimentarestacargaesde:

𝐼 =𝑃𝑉 =

500000125 = 4000𝐴

Ahora suponga que la unidad generadora está localizada a sólo10𝑘𝑚 de la carga.Suponiendo que se utilizan conductores de cobre de10 𝑐𝑚C de área de seccióntransversal, la resistividaddel cobreesde𝑝 = 1.73𝑥10Z𝛺𝑚.La resistenciadeestosdosconductoresserá:

𝑅 =𝜌𝑙𝐴 =

(1.73𝑥10Z)(20𝑥10)10𝑥10Z = 0.346Ω

Ylapotenciadepérdidastotalenlalíneadetransmisiónserá:

𝑃 = 𝐼C𝑅 = 4000 C . 346 = 5536𝑋10𝑊 = 5536𝐾𝑊

Lacuales11.072veceslapotenciadelacargaporalimentar.Elgeneradordebeproducir6036𝐾𝑤, de los cuales5536se pierden en el camino hacia la carga. Se usa el términopérdidaauncuandosabemosquelaenergíanosecreanisedestruye(deacuerdoconlaleydelaconservacióndelaenergía),debidoaquelapotenciadepérdidasseconvierteen


calorydadoquenodeseamostenerunhornoenelcaminohacialacargaseconsideraaestaenergíacomopérdidas.

¿Cuálseríalamagnituddelaspérdidassiseinstalaenellugardeenvíountransformadorelevador con relación de transformación125/34500𝑣 y en el extremo receptor untransformadorconrelación34500/125𝑣?

2.2.PartesdelTransformador

ParteActiva:

Ø Núcleo

Ø Devanados:BajaTensión-BTAltaTensión-AT

Ø Estructuramecánicadeprensado

Ø Conmutador

Ø ConexionesdeATyBT

Ø Tanque

Ø Accesorios

Ø Dispositivosdeprotecciónycontrol


ParteActiva:Constituye laparteesencialdel transformador,estáconstituidaporelcircuitomagnético(núcleo)yelcircuitoeléctrico(devanados)máslasconexiones.


Ejemplodediferentestiposdenúcleosybobinas

ParteActiva:

Núcleo-Lafunciónprincipaldelnúcleodeltransformadoresconducirelflujomagnéticoinducidoporlascorrienteseléctricasdelosconductoresdelosbobinados.

- Está hecho de láminas de acero al silicio y permite la conexión magnética entre losbobinadosproporcionándolestambiénsoportemecánico.


BobinasLosbobinadosdeuntransformadordebenserdiseñadosconelsiguientecriterio:

Debe ser capazde soportar corriente a plena carga constantedentrode la elevacióndetemperaturagarantizada.Debetenercapacidadesdesobrecargadeacuerdoconlosestándaresestablecidos.Los puntos calientes de los bobinados deben estar dentro de los límites estándaresestablecidos.Debensoportarcontinuamentelasobretensiónespecificadamáxima.Deben soportar las fuerzas mecánicas generadas cuando el transformador enfrentecortocircuitos.Elarreglodelosbobinadosdebesercompatibleconlosrequerimientosdeimpedancia.Elvoltajedebesertransformadoconlatoleranciadelosestándaresestablecidos.

CambiadorFunción del cambiador: Regula las tensiones del Transformador, para mantener unatensióndesalidaconstante.

Cambiador


•SINCARGA¡¡¡PRECAUCIÓN!!!•Elcambiodeposicionesserealizaatravésdeunaccionamientomanual.

•Paraestoserequieredesenergizareltransformador.Tipoverticalconaccionamientoenlascarasdeltanqueoenlatapa

Acontinuaciónsemuestrafísicamentelasconexionesdeuncambiadordetap:

Cambiadordetap.


AccesoriosexternosEnelexterioreltransformadorllevacomponentesquecomplementansuFuncionamientoylacantidaddependerádelasespecificacionesdelclienteparaelusoparticularaquesedestine,estosincluyen:

Ø RadiadoresØ TanqueconservadorØ SoporteriaØ BoquillasØ ApartarrayosØ GabinetedecontrolØ Instrumentos


2.3.Diferentestiposdetransformadoresysusaplicaciones

TransformadorestipoPoste,yaseamonofásicootrifásico

Transformadorestipopedestal,paraexteriores


Transformadores sumergibles instalados en bóvedas bajo tierra y operansatisfactoriamenteencasodeunainmersiónincidentalhastapor8horas.

Transformadores de Distribución para subestaciones: Diseñados para cumplir con losrequerimientos de subestaciones abiertas o instalaciones internas, adecuados para todotipodeindustriascomo:petróleoygas,minería,acero,manufacturas,entreotras.


Transformadoresdemedianapotencia

Los transformadoresdemedianapotenciaestándiseñadosparausarseen subestacionesque usualmente requieren reducir el voltaje para la distribución local, con rangos quecoincidanconvoltajescomunesdetrasmisiónysubtransmisióncomo138𝑘𝑉.

Transformadoresdepotencia

Cuandoexistelanecesidaddetransformaraltosnivelesdepotenciaavoltajesmayores,odonde aplicaciones especiales requieran elevar o bajar voltajes, los transformadores degranpotenciasonlamejoropción.


Elevador de generación: Lostransformadores elevadores sonutilizadosmundialmente para elevarlos voltajes provenientes de plantasdegeneracióndeenergía,incluyendotérmicas,nuclearesehidroeléctricas.

Transformadores colectores degeneración: Cuando de Sistemas deGeneraciónRenovable se trata, ya seadeViento o Solar, la configuración típicaradial de estos sistemas requiere undiseño de bus “Colector”. La energíaconcentradaenestebusestransferidaalaredeléctricaatravésdeunTransformadorColector de Generación a un nivel devoltajedetransmisióntípico.


Reactores: Los Reactores Shunt son lamaneramás compacta y eficiente de compensar lageneración capacitiva en largas líneas detransmisión. Estos son colocadospermanentemente en servicio para estabilizarla transmisión de energía o cambiarla encondicionesdecargaligera.

Autotransformador:Lasredesdetransmisióndealto voltaje requieren trasmitir grandes cargasde energía eléctrica desde las plantasgeneradoras hacia las subestaciones dedistribución. Para dichas aplicaciones, losautotransformadores pueden utilizarseefectivamente para bajar o elevar diferentesvoltajes a través de los sistemas deinterconexión.

Aplicación

Generación: La generación es el primer paso en el suministro de energía eléctrica. Haymuchas fuentesdegeneracióndeenergíacomo la térmica,nuclear,hidroeléctrica, solar,eólica, entre otras. Dichas fuentes necesitan elevar sus voltajes relativamente bajos degeneración hacia niveles adecuados para la trasmisión de energía a través de la redeléctrica.


Transmisión: La transmisión es latransferenciadeenergíaeléctrica,desdelasplantas generadoras de energía hasta lassubestacionesubicadascercadeloscentrosde población. Cuando las líneas detransmisión, se interconectan entre sí, seconvierten en redes de transmisión de altatensión.


Distribución:Lareddedistribucióntienelafuncióndetransportarlaelectricidaddesdelaslíneas de transmisión hasta los consumidores finales. Con nuestros transformadores dedistribución, contribuimos a la distribución de energía eléctrica de manera oportuna yeficiente.

2.4TransformadorIdeal.

El propósito de un transformador es permitir que diferentes partes de un sistema depotenciaoperenadiferentesvoltajes.Asíuntransformadorpuedeinterponerseentreungenerador y una línea de transmisión, entre una red de distribución y una carga, asípodemosreduciroelevarelniveldevoltaje.

Noconsumenialmacenaenergías,esto implicaque lapotenciadeentradasea iguala lapotenciadesalidaencualquierinstante.Refiriéndonosalafigura2.18,podemosescribirloanteriorconlaecuación.

𝑉d𝐼d = 𝑉C𝐼C(2.11)


Figura2.18

Dadoquelafinalidaddeuntransformadorestenerunarelacióndevoltajeconstante,estoimplicaque:

¾¾= 𝑎(2.12)ek

k= d

Í(2.13)

Donde“𝑎”esunaconstantellamada“relacióndetransformación”.

Al dispositivo que cumple con las ecuaciones en 2.12 y 2.13 es llamado transformadorideal.

Comohabráadvertidoel lector,noesposibleconstruirundispositivo ideal (enestecasometransformador),peroesposibleconsiderandoidealparaentenderloqueestoimplica.

Considereunnúcleodematerialferromagnéticocondosbobinasenrolladasenél,comose muestra en la figura 2.2. Designemos con𝑁d y 𝑁C , sus respectivos números devueltas.

Consideramosque𝜙eselflujoenelnúcleo.

Figura2.19


EntoncesdeacuerdoalaleydeFaraday,losvoltajesinducidosenlasbobinasserán.

𝑣d =𝑁d 0+0á(2.14)y𝑣C =𝑁C

0+0á(2.15)

Dividiendolaecuación2.14entrelaecuación2.15obtendremoslayaconocidarelacióndetrasformación.

¾¾=𝑎= |

|(2.16)

Peroelestudiodecircuitosmagnéticos,ydeacuerdoalasdireccionesdelascorrientesenlasfiguras.2.1y2.2.

F = 𝐹𝑀𝑀 = 𝑁d𝑖d − 𝑁C𝑖C (2-17)

Notequelaecuación(2.13)puedesersatisfechasólosiF = ∅ℜ, ysindudaelflujonopuedeserceroparacualquiertiempo,porquesiasífueraelvoltajeinducidoseríasiemprecero.Laúnicaconclusiónposibleesqueuntransformadoridealdebetenerunnúcleoconreluctanciaceroesdecirconpermeanciainfinita.

Ahora podemos explicar el principio de operación de un transformador. Conectamos labobina 1 (la llamaremos primario) a una fuente de voltaje que establece el flujo en elnúcleo, en concordancia con la ecuación 2.4 y así el voltaje inducido a la bobina 2 (elsecundario),enconcordanciaconlaecuación2.5.

Si no conectamos nada en las terminales del devanado secundario (circuito abierto), lacorrienteeneldevanadoprimarioconectadoaunafuenteidealdevoltajeescero,debidoaqueestafuenteestáconectadaauna inductancia infinita. Perocuandounacargaestáconectada a las terminales del devanado secundario, la corriente en este devanadoproduciráunflujoinfinitoenelnúcleo,siestenofueracontrarrestadoporunacorrienteeneldevanadoprimario,satisfaciendolarelacióndecorrienteideal. Comoresultadopuedeser transferida potencia de la fuente a la carga a través de los circuitos que no estánconectadoseléctricamente.

Encorrientealterna lapolaridadeshasta ciertopunto irrelevantedadoqueesta cambiaconstantemente, entonces ¿porque señalar?, bueno el significado es que cuando laterminal“𝑎”es(+)laterminal“𝑐”tambiénloes(fig.2.2).Envirtuddequelapolaridadcambiadeacuerdoa la frecuencia, entonces seestilaprescindirde los signos+y −, enlugardeellosecolocaunamarcaquepuedeserunpunto(•)ounasterisco(∗), (esmáscomúnelpunto).

La figura 2.20 se representa esquemáticamente de manera más simple, sin perderinformacióncomosemuestraenlafigura2.19.


Figura2.20

2.5Normasyespecificacionesenelcuidadodelmedioambiente.Elaceitemineralcomomaterialaislanteentransformadoreshasidoutilizadopormásde150 años. La aplicación de aceite mineral en equipos de potencia puede serpotencialmente peligroso para el medio ambiente, especialmente cuando hay algúnincidenteduranteeltiempodeoperacióndelamáquina,comoporejemplounaexplosióndeltransformador,locualpuedeprovocarelderramedeaceitealsueloyencorrientesdeagua.EnEstadosUnidos,elprimertransformadordedistribuciónfueconstruidoen1885.Fueundiseñodetipoenseco,utilizandoairecomofluidodieléctricorefrigerante.AunquelaideadeusaraceitemineralentransformadorescomomedioaislanteyderefrigeraciónfuepatentadaporelprofesorElihuThomsonen1882.En1892,GeneralElectricfabricóelprimertransformadorsumergidoenaceitemineral.Paraentonces,laatenciónindustrialseenfocóendeterminar laspropiedades idealesdelaceitemineralparasuaplicacióncomofluido dieléctrico. Las propiedadesmás significativas fueron identificadas, y para 1899 almenos una refinería de aceite mineral comenzó a producir una línea de aceite mineralespecialmentediseñadoparatransformadores.Los experimentos para el uso de fluidos a base de ésteres naturales (aceites vegetales)como dieléctricos refrigerantes comenzaron más o menos al mismo tiempo que lasprimeras pruebas para el uso de aceite mineral. Casi todos los fluidos no inflamablesusadosentransformadorespertenecenaungrupoquímicoconocidocomo“hidrocarburoshalogenados”, típicamente con cloro y flúor. Uno de esos fluidos dieléctricos a base dehidrocarburoshalogenadosfueconocidocomoAskarel.

LacomercializacióndetransformadoresrellenosdeAskarelcomofluidoaislantecomenzóenladécadade1930,sinembargoen1976laLeydeControldeSustanciasTóxicas(ToxicSubstance Control Act) señaló y prohibió en uso de los PCB’s (bifenilospoliclorados),principal componente del Askarel. A partir de entonces algunos fabricantes detransformadoresyempresasdeserviciosparael llenadodetransformadoresconlíquidosaislantes, promovieron en uso de otros refrigerantes dieléctricos no-flamables libres dePCB’s.


Hoyendíanosóloelrendimientoysucostosonlosprincipalescriteriosdeselecciónparaun líquido aislante en un transformador, sino que su comportamiento hacia el medioambiente se ha convertido también en parte del análisis. Los fluidos a base de ésteressintéticoshansidousadoscomosustitutosdelosPCB’sencompactostransformadoresdetracciónferroviariadesde1984,locualsignificóelprimerusoprácticoqueseledioaestetipodelíquidosaislantesenEstadosUnidos.Losíndicesdefalladelostransformadoresdetracción disminuyeron significativamente desde que se reemplazó al Askarel con ésteressintéticos. Los ésteres sintéticos de polioles fueron seleccionados para la sustitución delAskarel en transformadores debido a su favorable relación de viscosidad y punto decombustión,ademásdesusexcelentespropiedadesdieléctricasyambientales.Sonpartede lamisma familia de ésteres usados por décadas como lubricantes en losmotores dedistintostiposdeaeronaves.Laaceptaciónenelmercadodelosésteressintéticoshasidolimitadaúnicamenteaaplicacionesespeciales,enprimerainstanciadebidoasualtocostocomparadoconotroslíquidosdieléctricos.Enlaactualidadexistenvariostiposdefluidosdieléctricosbiodegradables,tantodeorigennaturalcomosintético,provenientesdediferentesfabricantes.Algunosdelosejemplaresmásconocidosson:EnvirotempFR3,MIDEL7131,Biotrans1000,BiotempCoconutOil,ECOFluidyBioVolt.

Desde ladécadadelos80’sdelsigloXX, iniciólapreocupaciónporelcuidadodelmedioambienteylaIngenieríaEléctricanofuelaexcepción,particularmenteenlaconstruccióndelostransformadoreseléctricos.

Losmateriales utilizados en la construcciónde transformadores son la totalidaddeellosreciclables, sinembargosedebeprestaratenciónenesteprocesopodríaconvertirseenuna fuente de contaminación. De los materiales utilizados en la construcción detransformadores,elaceitemineral,utilizadodesdehacemásde150años,eselmaterialalquemayorcuidadose lesdebetenerpuesunderramedeestesobre latierraprovocaríaunacontaminaciónquetendríandécadasenregenerarse.

MÉTODOSDEPRUEBAAPLICABLESASEGURIDAD

• Para las pruebas de preservación del líquido aislante, los transformadores dedistribución deberán cumplir con lo establecido en los capítulos 11 relativos a la“pruebadehermeticidad”delanomamexicanaNMX-J-169-ANCE-2004.

• Para las pruebas de corto circuito, los transformadores de distribución deberáncumplirconloestablecidoenelcapítulo17relativoa“pruebasdecortocircuitodelanormamexicanaMNX-J-169-ANCE-2004.


CLAVEOCODIGO TITULODELANORMA

NMX-J-123-ANCE-2008ACEITES MINERALES AISLANTES PARA TRANSFORMADORES-ESPECIFICACIONES,MUESTREOYMETODOSDEPRUEBA (CANCELAALANMX-J-123-ANCE-2005).

Campodeaplicación

EstaNormaMexicanaestablece lasespecificacionesque losaceitesmineralesaislantes,queseobtienen de la destilación y refinación del petróleo crudo, deben satisfacer; así como losprocedimientosdemuestreoylosmétodosdepruebaparacomprobarquesecumplecondichasespecificaciones. Estos aceites se emplean principalmente en transformadores. Lasespecificacionesqueaquí se contienen seaplican sóloa aceitesnuevos, cony sin aditivos, talcomoserecibendelproveedoryantesdecualquierprocesodereacondicionamiento.

Concordanciaconnormasinternacionales

ParalaelaboracióndeestaNormaMexicanasetomaroncomobaselasNormasInternacionalesIEC60296(1982-01),IEC60814(1997-08),IEC60666(2003-11),IEC61619(1997-04),IEC61125(1992-08),IEC62021-2(2207-05),ISO3016(1994),ISO3104(1994),ISO3675(1998)eISO15596(2007),lascualesseindicanenelcapítulodebibliografíadelapresenteNormaMexicana.

CabeseñalarqueestaNormaMexicananoesunaadopcióndelasNormasInternacionalesquese mencionaron anteriormente, debido a que esta Norma Mexicana concentra lasespecificacionesy losmétodosdepruebaaplicablesalproductoobjetode lamisma,mientrasqueenlanormativainternacionallasespecificacionesylosmétodosdepruebaseencuentranendiferentes documentos y en algunos casos no existe una Norma Internacional que puedautilizarseparacorroborarelcumplimientodelasespecificaciones.

EstaNormaMexicanadifieredelanormativainternacionalporlosiguiente:

a) Esta Norma Mexicana considera las características que deben cumplir los aceitesminerales aislantes que se utilizan en transformadores,mientras que el objetivo de lanormativa internacional es evaluar las características de estos líquidos que se utilizantambiénenlosequiposdedesconexión.

b) Laespecificacióndeviscosidada-60°C,queindicalaNormaInternacionalIEC60296,nose considera en la presente norma ya que esta especificación es para equipos dedesconexión,yconrespectoalaespecificacióna-40°CenlapresenteNormadependedeltipoybasedellíquidoaislante

c) Respectoalaaparienciavisual,enlanormativainternacionalnoseindicaelmétododeprueba para determinar el cumplimiento de la especificación, por lo que la NormaInternacionalresultaineficazparalaevaluacióndelcumplimientodelamisma;mientrasqueenlapresenteNormaseindicaelmétododeprueba.

d) En la Norma Internacional IEC 60296 no se consideran especificaciones para ladeterminación de la tensión interfacial; que es una característica que se considera suevaluación en la presente dado que es un parámetro que indica la calidad del líquido


aislante.e) No existe una Norma Internacional en la que se indique un método para evaluar el

contenidodeazufrecorrosivoqueseespecificaenlapropianormativainternacional,porlo que en la presente se especifica unmétodo para determinar el cumplimiento de laespecificación.

f) ElcontenidodefurfuralyelcontenidodePCAsoncaracterísticasquenosecontemplanenlapresenteNormaMexicana,yaqueestaevaluaciónproporcionainformacióndeloslíquidosaislantesenservicio,loscualesnoseencuentrandentrodelcampodeaplicacióndelapresenteNormaMexicana.

g) Esta Norma Mexicana contempla la determinación del punto de anilina, que no seconsidera en la Norma Internacional; ya que el tipo de aceites que se comercian ennuestropaíssonvariablesydebeevaluarselacomposiciónquímicadelabaseconlaqueéstossefabrican,locualinfluyedirectamenteenlacalidaddelmismo

h) Para evaluar más detalladamente la calidad de las bases del líquido aislante en estaNorma se considera la cuantificación de carbonos aromáticos en la que se evalúa demanerasimultánealaviscosidadyladensidad,contenidasenlanormativainternacional,asícomoelíndicederefracciónquenoseconsideraenlamisma.

i) EstaNormaMexicanaestablece ladeterminacióndeclorurosysulfatos, locualaseguraquenoexistirácorrosiónfuturaenlosequiposenserviciodebidoallíquidoaislante.

j) NoexisteunaNormaInternacionalparaladeterminacióndelazufrecorrosivo.k) EstaNormaMexicanaestableceunaespecificación respecto al contenidode cloruros y

sulfatos,queesunrequisitodeseguridadparaprevenirqueel líquidoaislantecorroaydeteriorelosequiposenlosqueseencuentra,yaqueestaespecificaciónnosecontemplaenlanormativainternacional,nosecuentaconunmétododepruebaparalaevaluacióndelamisma.

l) Elmétodo para determinar la acidez (número de neutralización) que se indica en estaNormaMexicana se basa en losmismos principios químicos que plantea la normativainternacional; sin embargo, la referencia que se toma para la determinación del pHdifiere, pero lametodología concuerda con la que se indica en la norma IEC 62021-2;además lanormativa internacionalcontieneunaalternativapara ladeterminaciónde laacidez, que no se considera en estaNorma por su complejidad de implementación deacuerdoalainfraestructuradenuestropaís.

m) ParaladeterminacióndelazufretotalseconsideraelmétodoqueseplanteaenlaNormaInternacional ISO 14596. Este método concuerda en lo que respecta a la técnicaanalíticademedición,sinembargo,elintervalodetrabajoyeltratamientodelamuestravaria respecto al que se presenta en la Norma Internacional, ya que el objetivo delmétodo de prueba de esta Norma es evaluar líquidos aislantes nuevos paratransformadores, mientras que el método internacional es válido para cualquier base,independientementedesuusoodesuantigüedad.

n) El método del factor de disipación difiere del que se plantea en la NormativaInternacional (IEC 61620 e IEC 60247), ya que las condiciones de infraestructura de


nuestro país (como la tensión y frecuencia de suministro) así como las condicionesambientales,alasqueloslíquidosaislantessesometenenoperación,secontemplanenestaNormaMexicanaatravésdelmétodoqueseindica.

o) El método que se indica en la presente Norma para la determinación del valor de latensiónderupturaesunmétodoqueesútilparaladeterminacióndeestacaracterísticaen líquidos aislantesdehasta900mm²/s, quees casi tres vecesmás altade laque seplantea en la normativa internacional (la IEC 60156 indica que su método sólo esaceptableparalíquidoscuyaviscosidadnosuperelos350mm²/s),porloqueelmétodoque se indica en la normativa internacional resulta inadecuado para determinar elcumplimiento con la especificación correspondiente para los líquidos con viscosidadmayorque350mm²/s.

Dadas las razones anteriores esta Norma Mexicana no es equivalente a ninguna NormaInternacional.


3.-OPERACIÓNCONCARGAYCIRCUITOSEQUIVALENTESDELTRANSFORMADOR.

3.1TRANSFORMADORREAL

Dado que la reluctanciadeun transformador realmenteesdiferentedecero, la f.m.m.total realmente es diferente de cero. Estos valores puedan ser determinados paracualquier valor instantáneo del flujo mediante los métodos estudiados en el tema decircuitos magnéticos analizados anteriormente. Resolviendo la ecuación (2.17) para lacorrienteeléctricaeneldevanadoprimariotenemos:

ℱ = 𝑁d𝑖d − 𝑁C𝑖C 𝑖d =ℱ|d+ |C

|d𝑖C3–1

Consideremos la corriente𝑖dcomo la suma de dos componentes ficticias perosignificativas.Elprimertérminodelaecuación(3.1)seríalacorrientedemagnetización.

𝑖` =ℱ|d

(3-2)

Elsegundotérminoseríalacorriente𝑖dsieltransformadorfueraideal(estoesℱ= 0).

𝑖d =||𝑖C(3-3)

La corriente 𝑖d es llamada corriente secundaria referida al primario. Como estaterminología,laecuación(3-1)puedeserescrita:

𝑖d = 𝑖` + 𝑖C´ (3–4)

Comosevioanteriormenteunacorrientedemagnetización,alproducirun flujovariableconel tiempo,deber seracompañadaporunacomponentedepérdidasenelnúcleo. Yestaserálasegundaimperfecciónaserconsiderada,cambiandoentonceslaecuación(3-4)por:

𝑖d = 𝑖` + 𝑖Î + 𝑖C´ = 𝑖e+𝑖C´ (3-5)

Entonces las dos imperfecciones, reluctancia finita y pérdida en el núcleo, hace que larelacióndecorrienteidealB

B= d

𝒶

Seareemplazadaporecuación(3–6):

𝑖d𝑖´C

=1𝒶


Existenotrasimperfeccionesqueafectanlarelacióndevoltaje.Estassonlaresistenciadelosdevanadosyelflujodisperso.

Estosefectoslospodemosmostrargráficamente,véaselafigura3.1.,enlacualsemuestralaresistenciadelosdevanadosytresdistintastrayectoriasdelíneasdeflujomagnético.Elflujo principal𝜙𝑚, el cual se establece en el circuitomagnético y liga las dos bobinas.Cadaunodelosflujosdispersos𝜙dℓ y𝜙Cℓ,liganúnicamentealacorrientequelosproduce.

Analizandolafigura3.1podemosdeterminarelflujototalqueligaacadabobinaestoes:

𝜙d =𝜙𝑚+𝜙dℓ (3-7)𝜙C = 𝜙 - 𝜙Cℓ (3–8)

3.1.Resistenciasyflujosdispersos

AplicandoleydevoltajesdeKirchhoffencadaunadelasbobinasyporsupuestolaleydeFaraday:


𝑉d = 𝑅d𝐼d +𝒅𝝓𝟏𝒅𝒕

(3–9)

𝑉C = 𝑅C𝐼C + 𝑁C𝒅𝝓𝟏𝒅𝒕 (3–10)

Sustituyendolasecuaciones(3-7)y(3-8)enlasecuaciones(3-9)y(3–10):

𝑉d = 𝑅d𝐼d + 𝑁d𝒅𝝓𝟏𝒅𝒕 1ℓ+𝑁d

0e𝓂02

(3–11)

𝑉C = 𝑅C𝐼C − 𝑁C𝒅𝝓𝟏𝒅𝒕 2ℓ+𝑁C

0e𝓂02

(3-12)

Losdosúltimostérminosde lasecuaciones(3–11)y (3–12)serían losvoltajesencadabobina,sinoexistieran lasresistenciasni los flujosdispersos, lossímbolos𝑒d y𝑒Cson losqueusanpararepresentardichosvoltajes,losvoltajesdebidoalosflujosdispersospueden

ser representados como voltajes a través de inductancias lineales 𝐿dℓ y 𝐿Cℓ ,

respectivamente,yaquegranpartede lastrayectoriasde los flujosdispersosestánenelaire.Asílasdosecuacionesdevoltajepuedenserreescritascomo:

𝑉d = 𝑒d + 𝑅d𝐼d𝑳𝟏𝒍𝒅𝒊𝟏𝒅𝒕(3–13)

𝑉C = 𝑒C + 𝑅C𝐼C + 𝑳𝟏𝒍

𝒅𝒊𝟏𝒅𝒕(3–14)

Observequelosvoltajes𝑒dy𝑒C,estos, losvoltajesinducidosporelflujoprincipal,

satisfacenlarelacióndevoltajeideal:

ÝÝ= 𝓪(3–15)

3.2.DiagramaFasorial

Ecuacionesdeestadoestablesenoidal

Todas las expresiones que son función del tiempo, sean corrientes, voltajes o cualquierotra, pueden ser transformadas a forma fasorial esto es lo que se conoce como estadoestablesenoidal.

Seacostumbrarepresentarlascantidadesfasorialesconnegritas,(comoenlalibretayenelpintarronnoesposiblehacerlo,sehacecondobleraya).Entonceslasecuaciones(3-6),Y(3-15)lasrepresentaremos:

k´k= d

𝒶(3–16)


77= 𝓪 (3–17)

Lasecuaciones(3–13)y(3–14)tambiénseránexpresadasenformafasorial.Recordemosque laderivadadeuna función senoidal siempreadelantea la funciónpor90°, y que lamagnitud(amplitudovalor𝑟𝑚𝑠)deladerivadaesigualalamagnituddelafunciónoriginalmultiplicadaporlafrecuenciaangularenradianesporsegundo𝜔(omegamayúscula).Enotraspalabras,el fasorque representa laderivadaes igual al fasororiginalmultiplicadopor𝑗𝜔. Recordemos que el producto de la frecuencia angular𝜔y la inductancia, es lareactancia.Entonceslasecuacionesdevoltajeenformafasorialcontienenlasreactanciasdeflujodispersollamados𝑥dy𝑥C(elsubíndiceℓ paraindicarlodispersoesomitidopueses innecesarioyaquenohaymásreactanciaenelcontexto).Entonces lasecuacionesdevoltajeserán):

𝑉d𝐸d + 𝑅d𝐼d + 𝑗𝑥d𝐼d(3-18)

𝑉C𝐸C + 𝑅C𝐼C − 𝑗𝑥C𝐼C(3-19)

Finalmentelaecuacióndecorriente(3-5)laexpresamosenformafasorial.

Lacorrientedemagnetización𝐼 estáenfaseconelflujoqueproduce𝜙`,dadoqueelvoltaje𝑒,esladerivadadelflujo𝜙`,porloqueesteestaráatrasadapor90°respectode𝜙`. Similarmentelacorrienteporpérdidasenelnúcleo𝐼î estáenfasecon𝑒,ysuvalordependede𝜙`Asíobtenemoscomoresultadolaecuación:

𝑰𝟏 = 𝑰𝒄 + 𝑰𝒎+𝑰𝟐´ (3-20)

Como laspérdidasdelnúcleosedisipanen formadecalorestas sepuedenmodelarporunaresistenciaobienporsurecíproco,laconductancia𝐺Î,𝐵`representadaelrecíprocodelareactanciademagnetización.

Losfasoresserepresentanporunalíneacuyalongituddependedelamagnituddelfasorenunaescalaconvenida(siesunfasorvoltaje,podemosconvenirenque1𝑐𝑚 = 100𝑣porejemplo)y formaunánguloconreferenciauna líneahorizontalymedidoensentidoantihorario. Una ecuación como la (3-18) y (3-19) se puede representar en un diagramafasorialdondecadaterminoesunfasorylasumaserealizahaciendocoincidireliniciodeunfasorconelfinaldelotrosumandohastaagotartodosellosyfinalmentelalíneaqueseextiendedesdeeliniciodelprimerfasorhastaelfinaldelúltimorepresentaelresultadodelasuma.Laecuación(3-18)y(3-19)serepresentaenformafasorialcomosemuestraenlasfiguras3-2y3-3respectivamente.


𝐼C𝑋C

𝑉d 𝑉C 𝐼C𝑅C

𝐸d 𝐼d𝑋d𝐸C

𝐼d 𝐼d 𝐼d𝑅d

Figura3.2 Figura3.3

3.3.CIRCUITOSEQUIVALENTESDEUNTRANSFORMADOR

Lasecuacionesdela(3-16)yla(3-20)sonunarepresentacióndelasrelacionesdevoltajeycorriente de un transformador ideal ficticio, adicionalmente son las ecuaciones deKirchhoffdevoltajeycorrientedeuntransformadorreal.

Elcircuitoequivalentemostradoenlafigura3-4muestralosvoltajes𝑉d y𝑉Casícomolascorrientes𝐼d y 𝐼C realesysatisfaceademáslasecuaciones(3-16)a(3-20).

Figura3-4circuitoequivalentebásico.

Todosloselementospasivosdelcircuitorepresentanlasimperfeccionesdeltransformador.Enotraspalabras,siestasimperfeccionesfuerancero,elcircuitocompletoseríareducidoaldeltransformadorideal.


Noteque los elementos conectados en serie (expresados enohm) son lo que afectan larelacióndevoltaje ideal, loselementosa través delvoltaje𝐸, (expresadosenohmoensiemens)sonloqueafectanlarelacióndecorrienteideal.

Las ecuaciones así como el diagrama pueden ser simplificados por el uso de elementoscomplejos.Asílaresistenciaylareactanciadebidaalflujodispersopuedensercombinadasy formar una impedancia compleja. La susceptancia demagnetización y la conductanciaque representan las pérdidas del núcleo, también al combinarse forma una admitanciacompleja,asítendremos:

𝑅d + 𝑗𝑋d = 𝑍d(3-21)

𝑅C + 𝑗𝑋C = 𝑍C(3-22)

𝐺Î + 𝑗𝐵` = 𝑌𝜙d(3-23)

Lasecuacionesdevoltajeycorrientesserepresentanahoracomo:

𝑉d = 𝐸d + 𝑍d𝐼d(3-24)

𝑉C = 𝐸C − 𝑍C𝐼C(3-25)

𝐼d = 𝐼Cd + 𝑌𝜙d𝐸d(3-26)

Entonceselcircuitoequivalentequedarárepresentadocomosemuestraenlafigura(3.5).

Figura3.5circuitoequivalenteconelementoscomplejos.

ElcircuitoequivalentedelaFigura3-5puedesersimplificadoaúnmás,paraelanálisisdeun sistema de potencia del cual forma parte el transformador que resulta práctico y enocasiones conveniente que todos los elementos pasivos aparezcan en un solo lado del


transformadorideal,paraellolasimpedancia𝑍Cpuedeserreferidaalladoprimario.Paratalpropósito,multiplicaremoslaecuación3–25porlarelacióndetransformación“𝑎”.

𝑎𝑉C = 𝑎𝐸C − 𝑎𝑍C𝐼C(3–27).

ydeacuerdoalasecuaciones(3-16)y(3-17)laecuación3-27nosquedará:

𝑎𝑉C = 𝐸d − 𝑎C𝑍C𝐼C´ (3–28).

Parasatisfacerestanuevaecuacióndevoltaje,elcircuitoequivalentedebesermodificadocomosemuestraenlafigura3-6:

Figura3-6circuitoequivalenteconloselementosreferidosalprimario.

Sicomparamoseldiagramadelafigura3-6coneldelafigura3-5podemosobservarquela impedancia𝑍Cfue transferida del lado secundario al lado primario del transformador,para lo cual multiplicamos la impedancia 𝑍C por el cuadrado de la relación detransformación “𝒶C”. Despuésdetodoelvoltajeprimariodeuntransformador ideales“𝒶” veces el voltaje secundario, y su corriente primaria es(1 𝑎)veces la corrientesecundaria. De lo anterior se desprende la regla de que una impedancia puede sertransferidadelsecundarioalprimariomultiplicándolapor“𝒶C”ydelprimarioalsecundarioporlamultiplicaciónde1 𝒶C mientrasqueparalasadmitanciaslareglaesloopuesto.

Loselementospuedensertransferidosalsecundariocomosemuestraenlafigura3-7estese puede justificar analíticamente como se hizo para el circuito de la figura 3 – 6.Multiplicaremoslaecuación3-24por 1 𝑎 ,loquenosresulta:

dÍ𝑉d =

dÍ𝐸d +

dÍ𝑍d𝐼d(3-29)


El primer término del segundo miembro de la ecuación es igual a𝐸Cde acuerdo a laecuación(3-17)ysielsegundotérminolomultiplicamosporÍ

Ítendremos:

dÍ𝑉d = 𝐸C +

dÍ

𝑍d 𝑎𝐼d (3-30)

ysimultiplicamoslaecuación3-26“𝒶”:

𝑎𝐼d = 𝑎𝐼Cd + 𝑎𝑌∅d𝐸d(3-31)

El primer término del segundo miembro de la ecuación (3 - 31) es igual a𝐼Cdeacuerdo laecuación3-16yelsegundotérminodeacuerdoconlaecuación 3-17seráa𝑌𝜙d 𝑎𝐸C luegoentonceslaecuación3-31nosquedará:

𝑎𝐼d = 𝐼C + 𝑎C𝑌𝜙d𝐸C = 𝐼C + 𝑌𝜙C𝐸C(3-32)

Figura3.7

Circuitoequivalenteconloselementosreferidosalsecundario.

Loscircuitosdelasfiguras3-6y3-7tienenahoratodossusparámetrosreferidosaunsololado los requerimientos del problema a resolver si requerimos información acerca de loqueocurreen lacarga utilizaremoselcircuitode la figura3-7quetienesusparámetrosreferidos al lado secundario, pero si los requerimientos son del lado de la fuentedeberemos utilizar el circuito de la figura 3-6 en el que todos sus elementos estánreferidosalprimario.


Con la finalidad de que el circuitoresulte más maleable podemossimplificar un poco mástransformando el circuitos “𝑇” de lasfiguras 3-6 y 3-7 en un circuito “𝐿”desplazando la rama demagnetización, es decir la admitancia𝑌e, hacia la izquierda otras hacia laderecha,habrásituacionesen lasqueserá conveniente desplazarlaadmitancia hacia la izquierda hacia laderecha, cualquiera que sea el caso,estaadmitanciaestanpequeñaquelacorriente𝐼e será también demasiadopequeñayelerrorenelqueseincurrees despreciable. Así pues de los doscircuitos equivalentes anteriormenteanalizados podemos simplificarlos yahora tendremos cuatro alternativasde circuitos equivalentes como semuestraenlafigura3-8a),b),c)yd).

Figura3-8cuatrocircuitosequivalentesaproximados.


Dónde𝑍Ýd = 𝑍d + 𝑎C𝑍C(3.33)

𝑍ÝC =dÍC𝑍d + 𝑍C(3.34)

𝐼Ýd = 𝑅Ýd + 𝑗𝑋Ýd(3.35)

𝐼ÝC = 𝑅ÝC + 𝑗𝑋ÝC(3.36)

𝑅Ýd = 𝑅d + 𝑎C𝑅C(3.37)

𝑋Ýd = 𝑋d + 𝑎C𝑋C(3.38)

𝑅ÝC =dÍC𝑅d + 𝑅C(3.39)

𝑋ÝC =dÍC𝑋d + 𝑋C(3.40)

Nótesequecadaunadeestasresistencias,reactanciasoimpedanciaspuedesertransferidadelprimarioalsecundarioyviceversapormediodelfactor𝑎C o

dÍ.

3.4 Interpretarlosdatosdeplacadeltransformador

Elfabricantedetransformadoresdacomoinformaciónmínimalosvaloresnominalesdelastensiones,elvalornominaldelafrecuenciaylapotenciaaparentenominal.Losdatosdeplaca de los grandes transformadores, frecuentemente, contienen información sobreelevacióndetemperatura,impedanciaen%oenp.u.,diagramasdeconexión,númerodeserie, peso, clase de aislamiento, información el tipo de aislamiento. Las marcas de(𝐻d…𝐻) y (𝑥d… 𝑥) indican las terminales de los devanados de alta y baja tensiónrespectivamente.Lasmarcasdepolaridadvienenrepresentadasporunpunto,indicacióndelnúmerodetapsyel%detensiónporarribaopordebajodelanominal,traetambiéninformaciónsobreeltipodeenfriamiento.


fprintf('CALCULO DE PARAMETROS DEL TRANSFORMADOR REFERENCIADO AL PRIMARIO\n\n\n'); %Datos de las pruebas al transformador Poc=input('Potencia de circuito abierto: '); Voc=input('Voltaje de circuito abierto: '); Ioc=input('Corriente de circuito abierto: '); Psc=input('Potencia de corto circuito: '); Vsc=input('Voltaje de corto circuito: '); Isc=input('Corriente de corto circuito '); %Datos del transformador Vprim=input('Voltaje lado primario del transformador: '); Vsec=input('Voltaje lado secundario del transformador: '); KVA=input('KVAs nominales del transformador: '); %Calculo de la admitancia Ymag2=Ioc/Voc; AnguloY=acos(Poc/(Voc*Ioc)); %Angulo en grados anguloY=(AnguloY*180)/(3.1416); %Referencindo la admitancia al primario a=Vprim/Vsec; Ymag1=Ymag2/(a^[2]); Gc=Ymag1*cosd(anguloY); Bm=Ymag1*sind(anguloY); Y= Gc - j*Bm %Calculo de la impedancia Zeq=Vsc/Isc; AnguloZ=acos(Psc/(Isc*Vsc)); %Angulo en grados anguloZ=(AnguloZ*180)/(3.1416); Re=Zeq*cosd(anguloZ); Xe=Zeq*sind(anguloZ); Z=Re + j*Xe


3.5.-PRUEBASBÁSICASATRANSFORMADORES

Resistenciadeaislamiento

Como su nombre lo indica con esta prueba se determina el valor de la resistencia deaislamiento de los devanados del transformador. Este valor nos indica el grado deimpurezasohumedaddelosaislamientosentrelosdistintosdevanados.

Delosresultadosdeestapruebadependerásieltransformadorpuedeentrarenservicio.Sielvalormedidodelaresistenciadeaislamientoesinferioralvalordadoenlatabla3-1,esnecesarioqueeltransformadorseasometidoaunprocesodesecado.

VOLTAJE(KV) (MΩ)RESISTENCIADEAISLAMIENTO

1.2 322.5 685.0 1358.66 23015 41025 67034.5 93046 124069 186092 2480115 3100138 3720161 4350196 5300230 6200287 7750345 930

TABLA 3-1 valores mínimos de resistencia de aislamiento de los devanados paratransformadoressumergidosenaceiteaunatemperaturade20°.

Laspruebasarealizarsonlassiguientes:

a) Devanadodealtatensióncontraeldevanadodebajatensión.


b) Devanadodealtatensióncontraeldevanadodebajatensiónatierra,coneltanque

deltransformadoraterrizado.

c) Devanadodebajatensióncontraeldevanadodealtatensiónatierra,coneltanquedeltransformadoraterrizado.

Laseleccióndelosvoltajesdepruebadecorrientedirectaparadeterminarlaresistenciadeaislamiento,serádeacuerdoalniveldelvoltajedeoperacióndelostransformadores:Paratransformadores de baja tensión utilizar el negger en la escala de500𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 , paratransformadores de media tensión utilizar la escala de 1000𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 , y ara lostransformadoresdealtatensiónutilizarlaescalade2500𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠.


Entendiéndoseporbajatensiónvaloresabajode1𝐾𝑣,mediatensiónde1𝐾𝑣a30𝐾𝑣yaltatensiónvaloressuperioresa30𝐾𝑣.

Lascondicionesparallevaracabolapruebasonlassiguientes:

1. Desconecteloscablesdelasterminalesdeltransformador.

2. Desconectalatierradelneutro(sieselcaso).

3. Conectaencortocircuitotantoalladodealtacomoeldebajatensión.

4. Aterriceeltanque.

5. Anotelatemperaturadepruebautilizandoparaelloelindicadordetemperaturadeaceitelocalizadoeneltanquedeltransformador.

Debidoaquelaresistenciadeaislamientovaríainversamenteconlatemperatura,sedebeaplicar un factorde correcciónpara temperaturadiferentes a20°, de acuerdoa la tabla3.2.

Temperatura°c FactordeCorrección15 0.7316 0.7817 0.8318 0.8919 0.9420 1.00021 1.05022 1.11023 1.11624 1.23025 1.30026 1.40027 1.50028 1.60029 1.70030 1.80031 1.90032 2.05033 2.20034 2.35035 2.500


38 3.00039 3.16040 3.50041 3.60042 3.75043 4.00044 4.25045 4.50046 4.80047 5.10048 5.40049 5.70050 6.00055 8.160 11.065 14.870 20.075 26.580 36.285 49.090 66.0

Tabla3-2factoresdecorrecciónportemperatura.

RESISTENCIAOHMICADELOSDEVANADOS

Estapruebasepuederealizardedosmaneras,aplicando5valoresdevoltajedecorrientedirecta(muchomuypequeños),semidelacorrienteyseobtienenlaresistenciaporleydeOhm,de los5valoresobtenidossehaceelpromedio,ode formadirectaconunpuenteuniversal.

Antesde realizar lapruebase mide la temperaturautilizandoparaello el indicadordetemperaturadeaceite.

Losvaloresobtenidosseregistranenlastablas3-3y3-4.

Tabla3-3devanadodealtatensión.

Entredevanados RelaciónV/I Puente𝑯𝟏 −𝑯𝟐 𝑯𝟐 −𝑯𝟑 𝑯𝟏 −𝑯𝟑


Tabla3-4devanadodebajatensión.

Entredevanados RelaciónV/I Puente𝑿𝟏 −𝑿𝟐 𝑿𝟏 −𝑿𝟑 𝑿𝟐 − 𝑿𝟑

𝑿𝟎 − 𝑿𝟏,𝑿𝟐,𝑿𝟑

RELACIÓNDETRANSFORMACIÓNYPOLARIDAD

Estaspruebasnosaseguranque larelacióndevueltasde losdevanadossea lacorrectayquelasderivacionesencualquierdevanadoesténdelarelaciónypolaridadadecuadas.

Estapruebaseefectúaconunmedidorderelacióndevueltas(TTR)porsussiglaseninglés(TurnTestRelation),esteaparatotieneunmargendeerrorde0.1%.

Lapruebaconsisteenlacomparacióndelarelacióndepolaridaddelosdevanadosdealtaybaja tensióndel transformadorporprobarse,contra la relaciónypolaridadconocidasdeuntransformadorpatrón(estecomparadorestáintegradoconelaparatoTTR)yajustandosurelaciónvariablehastatenerelequilibrio.Lapolaridaddeldevanadodeltransformadorbajopruebaseverificaautomáticamente,yaquesiseconectaconpolaridadcontrariaalareal, no se podrá lograr jamás el equilibrio con el medidor de ajuste. Estas pruebasdeterminaneldesplazamientoangularentreelfasorquerepresentalatensióndelíneasaneutrodeunafasedealtatensiónyelfasorquerepresentalatensióndelíneaaneutroenlafasecorrespondienteenbajatensión.

ElTTR,esuninstrumentoconunarreglotalqueeltransformadordebeserprobadoyeltransformadordereferenciaderelaciónajustable,(interconstrucciónendichoaparato),seexcitandelamismafuentedevoltajedeeste.

Los devanados secundarios se conectan en serie con un detector de nulo. Cuando larelacióndeltransformadordereferenciaseajustadeformatalquenofluyecorrienteenelcircuitodelsecundario(nulo),serepresentasimultáneamentedoscondiciones.

a) Lasrelacionesdevoltajedelosdostransformadoressoniguales.b) No hay carga en ningún secundario. La relación de voltaje sin carga del

transformadordereferenciaseconoce,conociéndosetambiénlarelacióndevoltajedeltransformadorbajopruebayconsecuentementesurelacióndevueltas.

ElTTRusadoyconelquesecuentaenel laboratoriode IngenieríaEléctricadel InstitutoTecnológicodeMorelia,midelarelacióndevueltasdetransformadoresnomayorde130y


parafrecuenciade60𝐻𝑧,aunvoltajede8voltseneldevanadodebaja(nominales)yunacorrientedemagnetizaciónmenorde8amperes.

Estosrangospermitenlapruebadetodoslostiposdetransformadoresdedistribuciónydepotenciadeusogeneral.

Enlamayoríadeloscasos,durantelaprueba,eldevanadodebajadeltransformadorbajopruebaseusacomoprimaria,perocuandohayexcesivacorrientedemagnetizaciónobajorangodevoltaje,eldevanadodealtapuedeusarsecomoprimario,encuyocasolalecturade relación esmenor que la unidad y se llama relación inversa de vueltas, por lo quedeberácalcularseelrecíprocodeestarelacióninversaparaobtenerelvalordelarelacióndevueltas.

Pasos a seguir para la determinación de la relación de vueltas y polaridad de untransformador.

1. Limpiarperfectamenteconsolventeeléctricolasterminalesdeltransformadorbajopruebasiseencuentranlasterminalesempatadas,limpiarlasconlija.

2. Registrar en la tabla 3-4 la forma en que está conectado el transformador bajopruebaydeacuerdoaldiagramafasorialdeltransformador,conectarlasterminalesdelTTR.

3. ConectarlasterminalesdelTTRdeacuerdoalomostradoenlafigura3-4.

Lamáximadiferenciapermitidadelarelacióndetransformaciónmedidaconrespectoalarelacióndetransformaciónnominalesde0.5%.

Tabla3.4

DevanadoA.T.

TAP VOLTS.SECUNDARIO

RELACIONNOMINAL

RELACIONDEPRUEBA DIFERENCIADERELACIÓNCONRESPECTOALANOMINAL

H-H/X-X

H-H/X-X

H-H/XX

FASEFASEFASEABC

1 2 3 4

5


Figura3.9ConexióndelT.T.Raltransformadorbajodeprueba.

RIGIDEZDIELÉCTRICADELACEITE

La rigidezdieléctricadelaceiteeselmáximogradientedepotenciaquepuede resistirelaceite sinproducirse la cargadisruptiva. Seobtieneprácticamentedividiendo la tensióndisruptiva o de ruptura por el espesor del material entre los electrodos de prueba,prescindiendodelgradientedepotencialmáximoreal.

Las propiedades dieléctricas del aceite se venmermadas en general por la humedad, latemperaturaylasimpurezasdebidasadiferentesfactores.

Laprueba se realizautilizandounacopa (recipientedematerialaislante)condosdiscosplanosyparalelos(dematerialconductor)conundiámetrode25.4𝑚𝑚,yseparadosentresí2.54𝑚𝑚,loscualesdebenestarsumergidosenelaceiteaprobar.

Pasosaseguirparalarealizacióndelapruebaderigidezdieléctricadelaceite.

1. Sesacalacopadelprobadoryselimpiaperfectamenteconunpapelountrapoquenosuelte residuos de ninguna especie, limpiando también los electrodos. Después secoloca un pocode aceite que se va a probar dentro de la copa, y se enjuaga, estaoperaciónserealizatresveces.


2. Secalibralaaperturadeloselectrodosa2.54𝑚𝑚.

3. Despuésseprocedealllenado,hastaqueelaceitecubratotalmenteloselectrodos,en

lacopaseindicalaalturaalaquedebellegarelaceite.

4. Alsacarelaceitedirectamentedeltransformador,generalmentesaleconburbujasloquepuededar lapruebaresultados falsos,estasseeliminanmeciendoconsuavidad(comosifueralacunadetubebe)lacopaydespuésdejándolareposarensubaseportresminutosantesdeiniciarlaprueba.Larapidezconquesevaaplicandoelvoltajedebeserde3𝑘𝑣/𝑠𝑒𝑔.

5. Serealizancincopruebasacadamuestradeaceite,dejandounintervalodetiempodeunminutoentrecadaprueba.

6. Lasnormasparapruebasdeaceitedetransformadores,indicanquesedebesacartresmuestras de aceite, a cada una se les realizan cinco pruebas de ruptura, se saca elpromediodecadamuestrayluegoelpromediodelastresmuestras.

Se recomienda no hacer la prueba en días nublados o lluviosos ya que debido a suscondicioneshigroscópicas,elaceiteabsorbeconfacilidadlahumedaddelambiente.

Latemperaturadelaceitealmomentodelapruebadeberáestarentrelos20°𝐶y30°𝐶.

Losresultadosseasientanenlatabla3-5.

Tabla3-5rigidezdieléctricadelaceite.

RIGIDEZDIELÉCTRICAPROMEDIO____________________

Muestra Pruebas Promedio Temperaturadelamuestra

1 1 2 3 4 5 2 3


Figura3-8.

Figura3-10.


FACTORDEPOTENCIA

El factor de potencia es el criterio principal usado para juzgar las condiciones delaislamiento de devanados, aceite, etc., muchas formas de deterioración de aislamientoinvolucrancapasenseriedeaislamientobuenoomalo,nosiendodetectadaslascapasdeaislamientoenmalascondicionespor logeneralesen laspruebasdeC.D.efectuadasconMegger.Enlapruebadefactordepotenciasisedetectanesasanormalidadesdebidoaqueda una medida de la condición total de aislamiento bajo condiciones de operación defrecuencianormalsimulada,independientementedeltiempodeduracióndelaprueba.

El principio básico de esta prueba no destructiva es la detección de los cambios de lascaracterísticas del aislamiento que pueden estar asociadas con el efecto de los agentesdestructivos,talescomoelagua,caloroefectocorona.

Elfactordepotenciadeunaislamientoeselcosenodelánguloentreelfasordecorrientedecargayelfasordevoltajeaplicado.Enotraspalabras,esunamedidadelacomponentedeenergíadelacorrientedecarga.Lacantidaddevolts-Amperesdecargaylapérdidadedieléctrico en watts, a un voltaje dado, se incrementa con la cantidad de aislamientoprobado,sinembargo,larelacióndelfactordepotenciaentrelosvolts-amperesdecargayloswattsdepérdidapermaneceigual,independientementedelacantidaddeaislamientoprobado, en virtud de que dicho aislamiento es de la calidad uniforme. El factor depotenciaesunapropiedadinherentedeldieléctricoyesindependientedesuvolumen.

Larelacióndeloswattsalosvolts-ampereseselfactorpotencia.

𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑑𝑒𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =𝑚𝑖𝑙𝑖𝑤𝑎𝑡𝑠(𝑚𝑤)

𝑚𝑖𝑙𝑖𝑣𝑜𝑙𝑡 − 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟(𝑚𝑉𝐴)

Elfactorpotenciaeslamedidadelaspérdidasdieléctricasyestasaumentandirectamentecon la temperatura, por lo que se deben hacer correcciones por temperatura a unatemperaturabasede20°𝐶.Elfactordepotenciaesunacomprobaciónconvenientedelascondicionesdeaislamiento.Variación del factor de potencia en el aislamiento de un equipo en servicio es útil paradeterminar el deterioro debido a la humedad, a materias y a daños mecánicos, etc., ypermiteconesopredecircondicionespeligrosasantesdequeocurraunafalladeequipo.


CONDICIONESPARALAMEDICIÓNDELFACTORDEPOTENCIA

1. Aísleelespécimenbajopruebadelaspartesenergizadas.

2. Las terminales del equipo bajo prueba, así como sus superficies, deberánencontrarselibresdepolvoyhumedad.Superficieslimpiassondegranimportanciacuandoserealizanpruebasenambienteshúmedos. Lassuperficiesaislantesy lasterminalesdel equipobajopruebadeberán limpiarse con trapo limpio y solventeeléctrico.

3. Verificarlascondicionesfísicasdelosaisladoresdelequipobajoprueba.

4. Es importante que la fuente de alimentación sea constante del probador depotencia,paraevitarfluctuacionesenelvoltajedeprueba.

5. Verificar que el aislamiento de los cables del probador de factor de potencia, seencuentraenbuenascondiciones.

6. Elvoltajedepruebadeberáseranotadopararealizarcomparacionesfuturas.

7. Al terminar laprueba, la tensióndeberá reducirsea cero. Después de lo cualelequipobajopruebadeberáconectarseatierra.

8. Midalatemperaturadelespécimenbajopruebayanótela.NOTA:enambientes conhumedadesrelativassuperioresdel80%, losvaloresdefactorde potencia obtenidos no son confiables, por lo que se recomienda bloquear cualquierentradadeairehúmedooairefrescointermitentehacialospuntosdeconexión.PRUEBADEFACTORDEPOTENCIADETRANSFORMADORESElaislamientodetransformadoresesmostradoenlafiguraNo.10.Elaislamientoindicadocomo𝐶𝐴, 𝐶𝐵𝑦𝐶𝐴𝐵,sonrespectivamente,elaislamientoentreelladodealtaytierra,elaislamiento entre el lado de baja y tierra, y el aislamiento entre el lado de alta y bajatensión. Estos aislamientos, si bien están distribuidos a través de los devanados, sonmostradosenlafiguraNo.10comocapacitoresindividualesporserunaformasimplederepresentarlosaislamientos.


FiguraNo.10

Estos aislamientos no están hechos de un solo dieléctrico: por ejemplo,𝐶𝐴 es elaislamientoentreelladodealtaytierraincluyendolosaisladoresyelaceite.Laslecturashechas de𝐶𝐴y𝐶𝐵son medidas en forma directa, cuando el devanado de alta esenergizado y el devanado de baja guardado, el aislamiento𝐶𝐴es medido. Cuando eldevanadodebajaesenergizadoyeldevanadodealtaesguardado,elaislamiento𝐶𝐵esmedido.HaciendounapruebaadicionalmostradaenlatablaNo.5yunsimplecálculo,deaislamiento𝐶𝐴𝐵esobtenido.

En general, los devanados de los transformadores conectados al circuito de guarda notendránunefectoapreciablesobre laexactitudde losresultadosde laprueba,siestaserealizaconlaescaladelmultiplicadorenelladodealtorango.

PROCEDIMIENTODEPRUEBA

1.-Desconecteloscablesdelasterminalesdeltransformador.

2.-Desconectedetierraelneutrodecadadevanado.

3.-Conecteencortocircuitotantoelladodealtatensióncomoelladodebajatensión.

4.-Aterriceeltanque.

5.- Anote la temperatura de prueba utilizando para ello el indicador de temperaturalocalizadoeneltanquedeltransformador.

CAB

CB

TANQUEYNUCLEO

ALTA

BAJA

CA


Realizarlaseriedepruebasqueacontinuaciónsedetallan.

Elaislamientoentre𝐶𝐴𝐵esdeterminadoestandolosvaloresde𝑀𝑉𝐴y𝑀𝑊obtenidosenlapruebaNo.2ylosvaloresobtenidosenlapruebaNo.1.

Habiendoencontrado las𝑀𝑉𝐴y𝑀𝑊, los factoresdepotenciapueden ser calculadosdeacuerdoalejemplonúmero1.

Losfactoresdepotenciaobtenidosenlapruebadebensercorregidosaunatemperaturabasede20°𝐶enlatablaNo.5a),sedanlosfactoresdecorreccióndetemperatura.

EjemploNo.1.

Las siguientes lecturas han sido obtenidas en un transformador a una temperatura de45°𝐶.

Laslecturasde𝐶𝐴y𝐶𝐵sonleídosdirectamente.Elaislamiento𝐶𝐴𝐵esobtenidorestandolos valoresobtenidosen laprueba No.2a los valoresobtenidosde lapruebaNo.1 losresultadospara𝐶𝐴,𝐶𝐵y𝐶𝐴𝐵sonmostradosacontinuación:

PRUEBA DEVANADOENERGIZADO

DEVANADOATERRIZADO

DEVANADOAGUARDA

1 ALTA BAJA --------2 ALTA ------- BAJA3 BAJA ALTA ---------4 BAJA -------- ALTA

%F.P.

MEDIO CORREGIDO A20°C

------ ------- 2.5 .8 CA------- ----- 1.9 .6 CB

PRUEBA KV MVA MW1 2.5 1000 2152 2.5 4000 1003 2.5 16500 3204 2.5 10500 205


TablaNo.5

Elvalormáximopermitidoporelfactordepotenciaseráde:1%

TablaNo.5A

TEMPERATURA°C FAC.CORECCIÓN TEMPERATURA°C FAC.CORREC.15 1.20 33 0.5616 1.16 34 0.5317 1.12 35 0.5118 1.08 36 0.4919 1.04 37 0.4720 1.00 38 0.4521 0.96 39 0.4422 0.91 40 0.4223 0.87 41 0.4024 0.83 42 0.3825 0.79 43 0.3726 0.76 44 0.3627 0.73 45 0.3428 0.70 46 0.3329 0.67 47 0.3130 0.63 48 0.3031 0.63 49 0.2932 0.58 50 0.28

AISLAMIENTO KV MVA MWCA 2.5 4000 100CB 2.5 10500 205CAB 2.5 6000 115

%F.P.

MEDIO CORREGIDO A20°C

2.5 .8 1.9 .6 1.9

Transformadores107Ing.MiguelOrozcoEscutia

FACTORDEPOTENCIADELACEITEPARATRANSFORMADORES

El factor de potencia del aceite puede ser determinado con el probador de factor depotenciayunaceldaespeciallacualesesencialmenteuncapacitorutilizandoaceitecomodieléctrico. Las conexiones deprueba sonhechas comoen la figura 14. El ganchodelcabledealtatensióndebeserconectadoenlatapadelacelda.Elanillodeguardasobrelaterminaldelcabledebeserconectadoalanillodeguardadelaceldalacualesunidaalatapa.

Elcilindroexteriordelaceldadebeseraterrizado,unespaciodecuandomenos2.54𝑐𝑚,debesermantenidoentreelganchodelcableyelanillodeguardadelaceldaparaquenoocurrandescargasentreestaspartes.

FiguraNo.14

CELDAPARADETERMINARELFACTORDEPOTENCIADELACEITE

Elvoltajedepruebadebersergradualmenteaumentadoa2.5𝐾𝑉.

Comoelespacioentrelasplacasdelasceldasesde4.8𝑚𝑚,lapruebanoromperáaestevoltajeamenosqueelaceiteestéenmuymalascondiciones.


Cuandoserealizalapruebadelaceiteenuntransformadorointerruptor,procuraobtenerunapruebarepresentativadelaceite,permitequedrenesuficienteaceiteporlatuberíayválvulademuestreodelequipobajopruebaparaevitarquelasuciedadyelaguaalojadoenlatuberíacontieneelaceitebajoprueba.

Antesderealizarlasmedicionessedebedejarreposarelaceiteenlaceldaparaevitarquelas burbujas al llenar la celda nos den lecturas falsas. El tiempo de reposo seráaproximadamente3minutos.

Despuésdeefectuadalapruebasedebemedir latemperaturadelaceite,estamediciónserealizaestandoelaceiteenlacelda.

Elfactordepotenciadelaceitedeberásercorregidoaunatemperaturabasede20°𝐶enlatablaNo.10sedanlosfactoresdecorrecciónportemperaturadelaceite.

Laceldadepruebadeberáserlimpiadacadavezqueserealizaunaprueba.Paralimpiarla celda se debe utilizar solvente eléctrico (en caso de que la celda se encuentremuysucia)yaceite.Primerosedebeenjuagarlaceldaunaodosvecesydespuésenjuagardoso tres veces conel aceitebajoprueba. Se recomiendano limpiar la ceda con traposofibras de algodón ya que puedes depositarse residuos de estos materiales y darnoslecturaserróneasenlaprueba.

El aceite nuevo tiene un factor de potencia de0.05%o menos a20°𝐶. Factores depotenciamásaltosqueestevalorindicandeterioracióny/ocontaminaciónconhumedad,carbón yotrasmateriasconductivas. Elcarbónenelaceitepuedecausardecoloracióndelcarbónenelaceitenoincrementaránecesariamenteelfactordepotenciadelaceiteamenosqueestecontengahumedad.

Elaceiteparatransformadoresquetengaunfactordepotenciamenorde0.5%a20°𝐶.Esconsideradosatisfactoriamenteparaentrarenservicio.

Elaceitequetieneunfactordepotenciaarribade20%a20°𝐶esconsideradocomomaloydebeserreemplazadootratado.

Losvaloresantesmencionadossirvendeguíaparadeterminarlascondicionesenlasqueseencuentraelaceiteydecidirsiuntransformadorpuedenentrarocontinuarenservicio.

Elaceitenuevodebetenerunfactordepotenciadeaproximadamente0.05%omenosa20°𝐶 , este factor de potencia puede gradualmente incrementarse estando eltrasformadorenservicioavalorestanaltoscomo0.5%y20°𝐶.


TablaNo.10

TEMPERATURA°C FACTORDECORRECCIÓN15 1.2016 1.1617 1.1218 1.0819 1.0420 1.0021 0.9622 0.9123 0.8724 0.8325 0.7926 0.7627 0.7328 0.7029 0.6730 0.6331 0.6032 0.5833 0.5634 0.5335 0.5136 0.4937 0.4738 0.4539 0.44

La corriente de excitación consiste de dos componentes, una en cuadratura y otra enfase. La componente en cuadratura correspondiente a la corriente de magnetizaciónreactivadelnúcleo,mientrasquelacorrienteenfaseocomponentedepérdidasincluyenlas pérdidas en el núcleo. Cobre o aislamiento, la componente de pérdida sin carga engeneralmente de un porcentaje más pequeña que la corriente de magnetización ocorrientedecuadratura.Lacorrientedemagnetizacióndifieremuypocodelamagnitudtotal de la corriente de excitación y por esta razón que los términos de corriente demagnetizaciónycorrientedeexcitaciónsonfrecuentementeintercambiados.Lafigura15esunarepresentaciónvectorialdeestascorrientes.


𝐼Ý 𝐼Ü

𝐼E

FiguraNo.15.

𝐼Ý =corrientedeexcitacióndeldevanadodeltransformador.

𝐼Ü=componentesdecorrientedemagnetización.

𝐼E = componentes de pérdidas (en el cobre, en el aislamiento y principalmente en elnúcleo).

Las corrientes de excitación medidas en las piernas laterales de un transformadortrifásico,sondeaproximadamentedosveceslasmagnituddelacorrientedeexcitacióndelapiernacentral,debidoalamásbajareluctanciadesucircuitomagnético.

La corriente de excitación constituye del 0.5 al 3% de la corriente nominal deltransformador.

Lamedicióndecorrientedeexcitaciónenpruebasdepuestaenservicioymantenimientopreventivoa transformadoresdepotencia,esextremadamenteútilparadetectar: cortocircuito entre espiras, conexiones deficientes falsos contactos, problemas en el núcleo,devanados abiertos, núcleos a tierra, conexiones incorrectas del cambiador dederivaciones (taps). La importancia de ésta prueba radica en su sensibilidad que nosbrinda la posibilidad de detectar anormalidades en el transformador cuando estos seinician,teniéndoselaoportunidaddetomarmedidascorrectivas.

Mientas que los parámetros normales referidos a la corriente de excitación incluyenpérdidasdeaislamiento. Estaspérdidasnoestánincluidasennuestroprocedimientode


prueba. Sumedición esmás significativa durante la prueba de factor de potencia delaislamiento.Nuestramedicióndecorrientedeexcitación incluye solamente la corrientedemagnetización,laspérdidasenelcobreyelnúcleo.

LacorrientedeexcitaciónconelprobadordefactordepotenciaMEU2500𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠,deladoble Engineering Company, se define dividiendo los𝑀𝑉𝐴medios entre el voltaje deprueba.

𝐼Ý =`¾^(`Ý0B0v))¾vc20Ý+ECÝ]Í

PROCEDIMIENTODEPRUEBASerecomiendaquealefectuarlapruebadeexcitación,setengaencuentalosiguiente:

1. Al efectuarse la prueba de todas las terminales del transformador, se inducenvoltajes,porloquetodaslascargasdebendesconectarse.

2. Las terminales normales conectadas a tierra en servicio, deberá permanecer en

estas condiciones durante la prueba, a menos que su terminal vaya a serenergizada con el equipo bajo prueba, por ejemplo, para un transformadorestrella/estrellaelneutrodeldevanadodealtatensiónatierra.

3. Laspruebasdebenserconfinadasaldevanadodealtatensión.

4. Losvoltajesdepruebanodeberánexcedersedelnominaldelíneaparadevanadosconectadosendelta,odelíneaneutroparadevanadosconectadosenestrella.

5. Losvoltajesdepruebadebendeser igualespara todas las fasesquesepruebanparaquepuedansercomparadosequitativamentelosvaloresobtenidos.

6. Esrecomendableefectuarlapruebadeexcitaciónentodaslasderivaciones(TAPS):enlapuestaenservicio,despuésdeunareparacióncuandosetengasospechasdequeeltransformadortieneundaño.

7. Entransformadoresmonofásicos.Eldevanadodealtatensiónsedebeprobar,dosveces intercambiando las terminales energizadas. Esto en unidades trifásicas sedebe hacer únicamente cuando se tengan dudas de los valores obtenidos en laprimeraprueba.


8. La posibilidad de que exista magnetismo residual de suficiente magnitud queafecta la prueba, es pequeña, pero se debe tener presente que su efecto esproducircorrienteanormalmentealtasdurantelaprueba.

Enlostransformadorestrifásicosconectadosendelta,esimportantenotarqueelequipode prueba, únicamente mide la corriente de excitación de un devanado cuando enrealidadseestánexcitandodosdevanados.Lafiguras16a,b,c,yenosmuestralosdiagramasdeconexionespararealizacióndelaspruebas.Mediciónde𝐼Ý(corrientedeexitación)enuntransformadormonofásico.

Figura16a).

𝑰𝒆 LINEA UST FLOTANTE

H1-H2 H1 H2 X1X2H2-H1 H2

H1 X1X2


Figura16d).Mediciónde𝐼Ý ,enuntransformadorendevanadodeA.T.conectadoenestrella(métodoalterno).

#Sieldevanadode𝐵. 𝑇.(𝑋)estáconectadoenestrella,𝑋𝑂seconectaatierra.

𝑰𝒆 LINEA UST TIERRA FLOTANTEH0 H1 H0 H1 # H2H3,X1X2X3H0 H2 H0 H2 # H1H3,X1X2X3H0 H3 H0 H3 # H1H2,X1X2X3


Figura16e

Medición de𝐼Ý en un transformador con devanado de a.t. conectado en delta (modoalterno).

Figura 16 bMedición de𝐼Ý en un transformador con el devanado conectado en delta(métodorutinario).

𝑰𝒆 LINEA UST TIERRA FLOTANTEH2 H1 H2 H1 H3,# X1X2X3H3 H2 H3 H2 H1,# X1X2X3H1 H3 H1 H3 H2,# X1X2X3


3-12POSICIÓNDELTAP

KVDEPRUEBA

MVAMed.#H1-HO+H1-HO

𝑰𝒆 (Ma)#H1-HO+H1-HO

KvdePRUEBA

MVAmedidos#H2-HO+H2-H3

𝑰𝒆(Ma)#H2-HO+H2-H3

POSICIÓNDEL

KVMVAMEDIDAS#H3–HO+H3-H1

Le(Ma)#H3–HO+H3–HO

#Paradevanadosenestrella.

+Paradevanadosendelta.

La prueba de excitación de puesta en servicio, así como los que se efectúan en eltranscursodelaoperacióndelequipoesunaadiciónimportantealconjuntodepruebasqueseefectúanauntransformadordepotencia.

Esdefundamentalimportanciaquealsalirdelafábrica,enlosnuevostransformadores,sehagalapruebadeexcitaciónysecomparenlosvaloresdepruebaconlosdepuestaenservicioenellugardeoperación,conlosdelafábricaprimero,yposteriormenteconlosqueseobtengandelaspruebasquesehaganparafinesdemantenimientopreventivoodespuésdereparación.

Lapruebadeexcitaciónpuededetectarfallasdelosdevanadosquedeotraspruebasnolospercibenevitandoque sepresentenmayoresdañosal transformadordepotencia siéstefueraenergizadonuevamente.

𝑰𝒆 LINEA UST TIERRA FLOTANTEH1 H2 H1 H2 H3,# X1X2X3H2 H3 H2 H3 H1,# X1X2X3H3 H1 H3 H1 H2,# X1X2X3


PRUEBADEPOTENCIALAPLICADO

Lapruebadepotencialaplicadosedebehaceraplicandolatensióndepruebaentrecadadevanadoytodoslosotrosdevanadosconectadosatierra.“figura3-17”Latensióndepruebadebeserlacorrespondientealaclasedeaislamientodeldevanado.

Clasedeaislamiento(KV) POTENCIAPLICADA(KV)1MIN.(60H2)1.2 108.6 2515 3418 4525 4534.5 70

Tabla(13)tensiónaplicadodeacuerdoalaclasedeaislamiento.

Fig.17Potencialaplicado.

3.6 DETERMINANCIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL TRANSFORMADOR EMPLEANDOLASPRUEBASDECORTOCIRCUITOYCIRCUITOABIERTO

Elcomportamientodeuntransformadorbajocualquiercondicióndeoperaciónpuedeserpredicho a partir de su circuito equivalente. Tanto los fabricantes como los usuarios


tienennecesidaddeconocerloselementosdelcircuitoequivalente.Lasdimensionesdelos elementos del circuito equivalente aproximado pueden conocerse mediante dospruebasasaberlapruebadecircuitoabiertoylapruebacortocircuito.

En la prueba circuito abierto una fuente de voltaje se conecta a uno de sus pares determinalesyelparrestantesedejaencircuitoabierto,porloquenocircularácorrienteatravésdeél.

Supongamosquelafuenteseconectaalladoprimarioyelladosecundariopermaneceráabierto(lasuposiciónpuedehacerse alcontrario). Enestecasoeldiagramadecircuitoequivalentemásconvenienteautilizareseldelafigura3-8(a)con𝐼C = 0 yporlotanto𝐼´C = 0, en virtud de su relación de transformación la ecuación 3-16. En estascondicionesatravésdelaimpedancia𝑍7d nocircularácorrienteyelcircuitosereducealaadmitancia:

𝑌ed =𝐼dvÎ𝑉dvÎ

Figura3-18pruebadeO.C

Yentoncespodemoscalcularlamagnitudde𝑉Fd:

𝑌F =𝐼dvÎ𝑉dvÎ

𝑐𝑜𝑠𝜃F =𝑃vÎ

𝑉dvÎ𝐼dvÎ


𝒀F = 𝑌F∡𝜃F Laparterealeimaginariade𝑉Ød sepuedeobtenerpor:

𝐺Î = 𝑌F𝑐𝑜𝑠𝜃F𝐵` = 𝑌F𝑠𝑒𝑛𝜃F

Tengaencuentaqueelángulo𝜃e esnegativo.Si la prueba se hubiese hecho en el secundario el circuito equivalente aproximado autilizarseríaeldelafigura3-8b,locualpermitiríacalcular𝑌FC, independientedecuáldelosladosdeltransformadorseenergice,podremosreferirlaadmitanciadeunoaotroladodel transformadormediante la relación𝑌FC = 𝒶C𝑌Fd,el valor del voltaje utilizadodebeserelnominal,debidoaquelaadmitanciaesnolinealypuedetenerdiferentesvaloresadiferentesvoltajes.El cálculo de la impedancia𝑍Jd o 𝑍JC puede realizarse mediante la prueba de cortocircuito.Nuevamenteaplicaremosvoltajeaunpardeterminales,peroahoraelotroparlo ponemos en corto circuito. Por ejemplo conectamos la fuente al lado secundario yentonces𝑉d = 0. El voltaje se incrementará demanera gradual hasta que se alcance lacorrientenominal.Utilizaremosparaestecasoelcircuitoequivalentede lafigura3-8(c),enestecasoelvoltajeatravésdela𝑌FCescasiceroyporlotantoelcircuitosereducea:

𝑍ÝC =¾K$kK$

(3-10)

𝑐𝑜𝑠𝜃Î =èK$

¾K$kK$(3-11)

𝒁ÝC = 𝑍ÝC∟𝜃Î (3-12)

Yentonces:

𝑅ÝC = 𝑍ÝC𝑐𝑜𝑠𝜃Î (3-13)

𝑋ÝC = 𝑍ÝC𝑠𝑒𝑛𝜃Î (3-14)


Lapruebapudohaberserealizadoenelprimarioyhabríamosobtenido𝑍Ýd.Elcircuitomostradoenlafigura3-19Indicalaformadehacerlapruebadecortocircuito:

Figura3-19pruebadecortocircuito.3.8 CálculoderegulacióndetensiónLo extensamente analizado en un transformador de potencia es el efecto de susimperfecciones, y el circuito equivalente aproximado es lamejor herramienta para suanálisis.Silasimperfeccionesfuerandespreciadas,elvalor𝑟.𝑚. 𝑠delvoltajeprimario𝑉d,seria“𝑎”veceselvalor𝑟.𝑚. 𝑠delvoltajesecundario𝑉C.Debidoalasimperfeccionesrepresentadasporlaimpedancia𝑍Ýd,hayunadiferenciaentrelasmagnitudesde𝑉dy𝑉C.Ladiferenciadepende de que esté conectado a los dos pares de terminales a lo que se le llamacondiciones de operación del transformador. Ya que hay un número infinito decondicionesdeoperaciónposibles,sedefineunconceptoquenosindicaquetancercanoestauntransformadoralarelacióndelvoltajeideal.Iniciemos por definir el concepto de condiciones nominales de un trasformador depotencia. Esto implica considerar voltaje y corriente nominales en el lado secundario.Estos valores llamados nominales son los valores para los cuales se diseñó eltransformadoryaloscualespuedeoperardemanerasatisfactoria.Nótesequenosedenrelacionesde faseentreestos valoresnominalesde corriente y voltaje. Entoncesenuntransformadoroperadobajoestascondicionesseria: 𝑉C = 𝑉Cv` (3-41)Yporlotanto𝐼C = 𝐼Cv` = ~N¯ÿ

¾N¯ÿ (3-42)


Lasvaloresnominalesdeuntransformadorsonlosqueaparecenlosdatosdeplacadeuntransformador, también aparece el valor nominal del voltaje primario. La razón ypropósitodeestablecerestosvaloresnominalesesobtenerelvalorexactodelarelacióndetransformación:

𝑎 = ¾ON¯ÿ¾N¯ÿ

(3-43)

Sin embargo, el voltaje en terminales del primario bajo condiciones nominales es, engeneral, diferente, de𝑉dnominal. El valor real depende las condiciones de operación ypuedesercalculadodecualquiercircuitoequivalente.Laeleccióndelcircuitoequivalenteparael cálculodel voltajeesquien no requieredel cálculo ningunacorriente,asíparacalcular𝑉d, dado𝑉Ce𝐼C, podemos elegir el circuito de la figura 3-8 (a) y así podemosescribirlaecuaciónfasorial:

𝑽d = 𝑎𝑽C + 𝒁Ý𝑰C𝑎

Opodemoselegirelcircuitodelafigura3-8cyentoncesescribir: 𝑽

Í= 𝑽C +𝒁Ý𝑰C

Obien

𝑽d = 𝑎(𝑽C + 𝒁Ý𝑰C) (3-45)Lo cual vienea serexactamente lomismo.Enambos casos los valoresnominales seránsustituidos por𝑉Ce𝐼C. Note que si se hubiera optado por el circuito equivalente de lafigura3-8bo3.8d,sehubierarequeridoprimeroresolverparalaecuacióndelacorriente.Que tan lejos estaremos de un transformador ideal depende de la diferencia entre lasmagnitudes del voltaje𝑉d , y el voltaje 𝒶𝑉C a esta diferencia la normalizaremosdividiéndolaentreelvalornominalylallamamosregulacióndevoltaje:

ℛ = ¾ZÍ¾Í¾

=RS Z¾¾

3-46 Donde𝑉Ceselvoltajenominaly𝑉do𝑉d/𝑎escalculadodelaecuación3-44o3-45.Notequelaregulacióndependedeldesfasamientoentre𝑉Ce𝐼C,peroquelosvoltajesenlaecuación3-46,estánexpresadoscomomagnitudes,nocomofasores.La regulación también puede ser definida en términos de voltaje sin carga y voltaje deplenacarga.Sipermitimosqueeltransformadorbajocondicionesdeplenacarga(esdecirsusvaloresdevoltajeycorrientesecundariosnominales)dadoporlasecuaciones3-41y3-42.Estorequierequeelvoltajedeentradaseaajustadodeacuerdoalvalorobtenidodelaecuación3-44o3-45.Ahoradesconectemos lacarga,estohaceque𝐼C = 0,podemos


observarqueelvoltajedesalida𝑉C,es igual𝑉d/𝑎.Estohacequelaregulaciónpuedaserexpresadacomo:

ℛ = ¾K$Z¾.$¾.$

3-47

Donde𝑉C)Î –voltajesecundariosincarga.𝑉C+Î –voltajesecundarioaplenacarga.Podemos representar la ecuación 3-45 por medio de un diagrama fasorial y de estamanerailustrarcomolaregulacióndeuntransformadordependedelfactordepotenciadelacarga,figura3-11(a)muestraeldiagramafasorialenelquelacorrienteestáenfasecon el voltaje (la carga es resistiva y por lo tanto el factor de potencia es unitario),mientrasquelafigura3-11(b) lacorrientevaatrásdelvoltaje(lacargaesinductivayelfactor de la potencia es atrasado) y la figura 3-11 (c)muestra el diagramaen el que lacorriente adelanta el voltaje (la carga es capacitiva, por lo que el factor de potencia esadelantado).Encadacasolacaídadevoltaje𝑍ÝCe𝐼Cdebesermuypequeñacomparadacon𝑉C,(enlosdiagramasnosemuestratanpequeñaparaexagerar losresultadosen laregulación).Laregulaciónenelcaso(b)esmuchomásgrandequeenelcaso(a),mientrasqueelcaso(c)esnegativa:

(a) Cargaresistiva (b)cargainductiva (c)Cargacapacitiva

Fig.3-11RegulacióndeVoltaje.

3.9 Determinacióndelaspérdidasycálculodelaeficiencia.Se puede notar en el circuitos equivalentes del transformador estos contienen tantoelementosresistivoscomoelementosinductivos,locualimplicaqueesteconsumetantopotenciarealcomopotenciareactiva.Enlostrasformadoreslaspérdidassonidentificadascomoperdidasdelnúcleo(histéresisy corrientes parasitas) de material ferromagnético y las llamadas pérdidas de cobrecausadasporlaenergíaconsumidaporlaresistenciapropiadelmaterialconductordelos


derivados (usualmente cobre). En términos de circuito equivalente aproximado, laspérdidasdelnúcleosonrepresentadasporlaparterealdelaadmitancia𝑌edo𝑌eCylaspérdidasdelcobreporlaparterealdelaimpedancia,𝑍Ýdo𝑍ÝC.Para obtener una expresiónmatemática de la potencia de perdidas, se elige el circuitoequivalentequemásconvengasegúnseaelcaso.Así laspérdidasdelcobrepuedenserescritasdelafigura3-8(b)o(c)como:

𝑃ÎC =𝑅Ýd𝐼dC = 𝑅ÝC𝐼CC3-48La aproximación se debe a que 𝐼Cno es exactamente igual con a𝐼d. De hecho ambasexpresiones son una aproximación debido a que el circuito equivalente aproximado seconstruyó desplazando la rama demagnetización en el circuito equivalente original. Elpunto es que tal aproximación es permisible debido a que las pérdidas del núcleo sonmuchomuypequeñascomparadasconlaspérdidasdelcobre.Las pérdidas del núcleo puede ser obtenidas demaneras sencillas haciendo uso de loscircuitosequivalesdelafiguras3-8(a)o(d),estoes:

𝑃Î = 𝐺Îd𝑉dC = 𝐺C𝑉CC 3-49

Donde𝐺Îd y𝐺ÎC, son la parte real𝑌ed y 𝑌eC respectivamente. La aproximación en estaúltima expresión y por las mismas razones esgrimidas en las aproximaciones de laexpresión3-48.La eficiencia de un transformador depende de sus condiciones de operacion. En lamayoríadeloscasosdeinterés, losvaloresdelaeficienciasoncalculadosbasándoseenvoltajedesalidanominal,peronopuedeserlimitadaalacorrientedesalidanominaldadoquelaeficienciavaríaconlamagnitudyelángulodefasedelacorrientedelacarga.La eficiencia de cualquier dispositivo está definido como la potencia de salida divididaentrelapotenciadeentrada,yeltransformadoreléctriconoeslaexcepción,luego:

ɳ = èKSpèìNá

= èKSpèKSpÏè.ìUß

= èKSpèKSpÏè$Ïè$V

3-50

Dónde:ɳ =Eficiencia.𝑃)Íc =Potenciadesalida.𝑃Ý2 =PotenciadeEntrada.𝑃+ÝE0 =Potenciadepérdidas.𝑃ÎC =Potenciadepérdidasdelcobre.𝑃Î =Potenciadepérdidasdelnúcleo.


Usando el circuito equivalente de la figura 3-8 d la expresión 3-50 lo podemos escribircomo:

ɳ = ¾kÎv)e¾kÎv)eÏW$¾ÏÉìk

3-51

Donde𝑉C es 𝑉Cv` y𝜙eselángulodedesfasamientoentre𝑉C e𝐼C.Noteque lasúnicasvariablesenlaecuación3-51son𝐼C y𝜙quesondeterminadosporlacarga.Obsérvesequelaspérdidasdenúcleosonconstantes(nodependedelacarga),mientrasquelaspérdidasdelcobresonproporcionalesalcuadradodelacorrientedelacarga.

Lafigura3-12muestracomolapotenciadepérdidasylaeficienciadeuntransformadorvaríanenlacarga,paraunvalorconstantedelfactordepotencia.Laabscisapuedeserlacorrientedecarga𝐼C,pormediodeuncambiodeescala,lapotenciaaparente𝑉C𝐼C𝑐𝑜𝑠Ø.Sin carga, la eficiencia es cero por que potencia de la salida es cero, mientras que laentrada no lo es (es igual a las pérdidas del núcleo). Con el incremento de la carga laeficienciaaumentahastallegaraunmáximoyposteriormentedisminuyeytiendeacero(la curva es asintótica con la abscisa) debido al rápido crecimiento de las pérdidas delcobre.Laecuación3-51muestraqueellímitedeɳcuando𝐼C → ∞.

Elvalormáximodelaeficienciapuedesercalculadomedianteladerivacióndelaecuación3-51conrespectoa𝐼C,recordemosque𝑉C y𝜙sonconstantes.Asítendremosque:

0ɳ0k

= 03-52

delocualresultaque:𝐺C𝑉CC = 𝑅ÝC𝐼CC3-53

Loqueindicaquesetieneeficienciamáximacuandolaspérdidasdelnúcleosonigualesalaspérdidasdelcobre.

Figura3-12perdíasyeficiencia.


Si lacurvade la figura3-12es tratadaparaun factordepotenciadiferente, lacurvadepérdidas permanece inalterada, pero la eficiencia tendrá un valor más alto para𝐹. 𝑃unitario y decrecerá cuando el factor de potencia disminuye como puede verse en laecuación3-51.4 CONEXIONESDETRASFORMADORES

4.1ConexionestrifásicasAntes de iniciar con las conexiones trifásicas, recordaremos algunos conceptosimportantes.

Dadalanecesidaddelusodetransformadores,ellosdebenseralimentadosconcorrientealterna (C.A). Esto hace que nos preguntemos como podemos obtener un flujo depotenciauniforme.

Consideremoselvoltajeylacorrientesenoidales:

𝑣 𝑡 = 𝑉 Í×cos(𝜔𝑡 + 𝛼)4-1

𝑖 𝑡 = 𝐼 Í×cos(𝜔𝑡 + 𝛽)4-2

Elvalordelapotenciainstantáneaeselproductodelosvaloresinstantáneosdelvoltajeylacorriente:

𝑝 𝑡 = 𝑉 Í×cos(𝜔𝑡 + 𝛼)𝐼 Í×cos(𝜔𝑡 + 𝛽)4-3

Siaplicamoslaidentidadtrigonométrica:

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 12 [cos 𝑥 + 𝑦 + cos 𝑥 − 𝑦 ]

Laecuación(4-3)setransformaen:

𝑃 𝑡 = ¾ÿSØkÿSØC

[cos 2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 ]4-4


Finalmentesustituimoslosvaloresmáximosenfuncióndelosvalores𝑟𝑚𝑠,𝑉 Í× = 𝑉 2e𝐼 Í× = 𝐼 24-5

Donde𝜃 = 𝛼 − 𝛽

𝑝 = 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠 2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽 + 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃4-6

Lafigura4-1muestralaformadeondadelafunción𝑃(𝑡)paravaloresarbitrariosde𝑉, 𝐼y𝜙,eligiendoelejedereferenciadetalmaneraque𝑙 + 𝛽 = 0.

Sepuedenotarquelapotenciaespulsanteydeunafrecuenciadeldobledeladelvoltajela corriente, de esta manera se hace negativa dos veces durante el periodo. Esto esindeseable en la conversación electromecánica de la potencia pues produce ruido yvibraciones.Nadadeestopasacuandolapotenciaeléctricaesdeunsistemadepotenciatrifásicobalanceado.Laideaesagregartrescurvascomoladelafigura4-1,desplazadasunadeotraporunatercerapartedelperíodoperoidénticasenlasdemáscaracterísticas.La sumade las trescomponentespulsantesdacero,y lapotencia totalesconstante.Elcampo magnético rotatorio estudiado en el análisis de máquinas eléctricas es unamanifestacióndeestehecho.

FIGURA.4.1potenciamonofásica.


CIRCUITOSTRIFÁSICOS

Envirtuddequeloslectoresyadebenestarmuyfamiliarizadosconestetema,estoseráunmerorecordatoriosumamentebreve.Unafuentetrifásicaesunjuegodetresfuentesmonofásicascuyosvoltajessonsenoidalesdeigualamplitudyfrecuencia,desfasadaentresípor120°locualesunatercerapartedelperiodo.Porejemplo:

𝑣d 𝑡 = 𝑉 Í×𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

𝑣C 𝑡 = 𝑉 Í×cos(𝜔𝑡 − 120°)4-6

𝑣 𝑡 = 𝑉 Í×cos(𝜔𝑡 + 120°)

Donde la secuencia de fases es 1-2-3, debido a que𝑉Csigue a𝑉d, etc. En términos defasores𝑟𝑚𝑠:

𝑉d = 𝑉∟𝟶°𝑉C = 𝑉∟− 12𝟶°4-7𝑉 = 𝑉∟+ 12𝟶°

Esimportantemencionarquelasumadetrescantidadessimétricas,tantosisonvoltajescomo si son corrientes es siempre cero. Esto puede ser demostrado gráficamentemediantelosfactores(4-7)oanalíticamenteconlosmismosfactoresoconlasecuaciones(4-6).Noescomplicadoobtenerestos tresvoltajesenungenerador, severácuandoel lectorcurse la asignaturademaquina síncrona. Por elmomento sólo veremos cómo conectartresgeneradoresmonofásicospara formarunaunidadtrifásica,haydos formas básicasde conexión la conexión delta∆y la conexión estrella (𝛾) la figura 4-2 muestra estasformasdeconexión:


Fig.4.2fuentestrifásicas:a)delta;b)estrella.Sehaceunaimportanteentrelosvoltajesdefase(estossonlosvoltajesatravésdecadafuente)ylosvoltajesdelínea(estossonlosvoltajesentrecadapardelíneasterminales).ParaunaconexióndealtaestaconexiónestrivialporquelosdosvoltajessonlosmismosFigura(4-2a):

𝑉d = 𝑉Í] 𝑉C = 𝑉]Î 4-8𝑉C = 𝑉ÎÍ

Estasecuacionespuedenserescritasdemaneramássimpleconelsubíndice𝑝parafasey𝑙paraLínea:

𝑉c = 𝑉+ 4-9

Para laconexiónestrellasinembargo,figura4-2-bmuestraquelosvoltajesdefasesonlosvoltajesaneutro:

𝑉d = 𝑉Í 𝑉C = 𝑉] 4-10𝑉 = 𝑉Î

Y la relación entre cada voltaje de línea y los voltajes de la fase adyacente se puedenencontrar mediante la aplicación de la ley de voltajes de Kirchhoff en la figura 4-2bresultandoque:


𝑉c = 3𝑉+ ∟ ± 30° 4-11

Dondeelsignodependedelasecuenciadefases.

Fig.4.3Voltajedelíneaydefaseparalaconexión𝑌.Todoloanteriormenteexpuestoconcierneavoltaje,lacorrientedependedelacarga.La figura 4-4 muestra una carga trifásica en conexión𝛥y otra en conexión𝑌.Cualquiera de las dos configuraciones puede ser conectada a las terminales𝑎, 𝑏, 𝑐independientemente de que la fuente esté conectada en𝛥o en𝑌. Si ambas, lafuentes y la carga están conectadas en𝑌, sus neutros pueden ser conectadosformandounsistemadecuatrohiloscomolomuestralafigura4-5.


Fig.4.4cargatrifásica.a)𝛥b)𝑌

Fig.4.5sistemade4hilos.Deformaanálogaaladistinciónentrevoltajedelíneaydefase,haycorrientedelínea(enlastreslíneas𝑎, 𝑏, 𝑐conectandolasterminalesdelaFuenteconlasterminalesdelacarga)y las corrientes de fase (en cada una de las tres cargas). En la carga conectada𝑌, lascorrientesdelíneasonlasmismasquelasdelafase.(Verfigura4-4by4-5)


𝐼c = 𝐼+4-12Sihayunneutrocomoenlafigura4-5porelquecirculalacorrientederetorno𝐼|,enelcasodeunacargabalanceadaescero(trescargasidénticasen𝛥oen𝑌).En una carga conectada en𝛥las tres corrientes de línea son relacionadas con trescorrientes de fase de acuerdo con la ley de corrientes de Kirchhoff. Para una cargabalanceadalarelaciónenestadoestableentrecorrientedelíneaycorrientedefase(verfig.4-6)es:

𝐼Ü = 𝟑𝑰𝒑∟ ± 30°4-12

Con el signo menos o más dependiendo de la secuencia de fases todo lo anterior lopodemosresumirenlatabla:

Tabla4.1

POTENCIATRIFÁSICA.Consideremos la potencia instantánea expresada por la ecuación 4-5 y representadagráficamente por la figura 4-1 como la potencia de una fase de un circuito trifásicobalanceado,con𝑉e𝐼representandolosvalores𝑟𝑚𝑠devoltajesycorrientesdefase.Asílapotenciaenlasotrasdosfasessepuedeobtenersustituyendo𝜔𝑡– 120°y𝜔𝑡 + 120°respectivamente,por𝜔𝜏ylapotenciatotaldelastresfasesserá:

𝑃(𝑡)e =𝑉+𝐼+ cos 2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽 + cos(2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽 + 120°) +cos(2𝜔𝑡 + 𝛼 + 𝛽 − 120°) = 𝑉+𝐼+𝑐𝑜𝑠𝜃4-13

El termino entre corchetes es la suma de tres funciones senoidales desfasadas120°locualyademostramosanteriormentedacomoresultadocero.Entonces:

𝑃(𝑡)e =𝑃c = 3𝑉+𝐼+𝑐𝑜𝑠𝜃4-14.La cual es evidente que no es pulsatoria, lo que podemos concluir que en un sistematrifásico balanceado, la energía es generada, transmitida y consumida de unamanerauniforme.


La ecuación 4-14 podemos expresarla en función del voltaje y la corriente de línea,recordemosque laconexión𝛥𝑉+ = 𝑉c 3y laconexión𝑌𝐼+ = 𝐼c 3 ,cualquieraquesealaconexión:

𝑃e = 3𝑉c𝐼c cos𝜃4-15

Sólorecordemossiempreque𝜃eselángulodedesfasamientoentrevoltajeylacorrientedefase,nuncadelosvaloresdelínea.

Similar razonamiento es aplicado para la potencia reactiva y para la potenciaaparente.Entoncesparauncircuitotrifásicobalanceado:𝑄e = 3𝑉è𝐼è𝑠𝑒𝑛𝜃 3𝑉c𝐼c𝑠𝑒𝑛𝜃4-16𝑆e = 3𝑉è𝐼è = 3=𝑉c𝐼c 4-17Yfinalmentelapotenciacomplejaserá:𝑆 = 𝑃 + 𝐽𝑄 = ∟θ4-18

TRANSFORMADORESTRIFÁSICOS

Latransmisióndepotenciatrifásicadesdegeneradoreshasta lascargasrequieredelusode transformadores al igual que la potenciamonofásica. La transformacióndepotenciatrifásica puede llevarse a cabo con tres transformadores (también llamado banco detransformadores) cuyasbobinasdebenser interconectadasde talmaneraquepermitansuconexiónconlasterminalesdelínea.

Aunquelomáscomúneshacerusodeunasolaunidadtrifásica.

Usando las configuraciones básicas 𝛥 y 𝑌 , para los primarios y secundarios detransformadores,sepuedenelegir4diferentesformasdeconexión,𝛥 − 𝑌,𝑌 − 𝛥, 𝛥 −𝛥o𝑌 − 𝑌.

Existen diferentes factores a considerar en la elección entre estas cuatro diferentesformasdeconexión:


Puede ser que se requiera el conductor neutro cuando existan cargas monofásicas, ocuandoserequierededosnivelesdevoltaje,porejemploanivelresidencialseutilizaunvoltajede127𝑉,ysepuedenrequeriralimentarunacargaaunvoltajede 3327 =a220𝑉,estorequerirádeunaconexión𝑌enelladosecundariodeltransformador,comosemuestraenlafigura4-6dondeelprimarioestáconectadoen𝛥.Enestediagramacadaunodelostransformadoresestáencerradoconlaslíneaspunteadas.

Fig.4.6primarioen𝛥ysecundarioen𝑌.

Elconductorneutrotambiénpuedesernecesarioenel ladoprimario,para laobtencióncontra sobre voltajes debido a descargas atmosféricas. En este caso el primario deltransformadordebeestarconectadoen𝑌. Otrarazónparausarelconductorneutroespara proveer una trayectoria de retorno para cada corriente, para el caso de cargasdesbalanceadas,oparaciertosarmónicos,enelcasodecorrientenosenoidalesdebidasacargasnolineales.

Como ya dijimos anteriormente un banco de transformadores puede ser sustituido poruna unidad trifásica (que es lo más común), el cual consiste de tres devanados en elprimario y otros tres en el secundario enrollados en un núcleo de tres piernas, queconstituyen el circuito magnético. Esto permite tener un costo mucho menor queutilizandoelbancodetransformadores.Aunqueporotrapartesisedañaunafasehabráquequitarlaunidadcompleta,mientrasquesísetieneunbanco,seretiraunaunidadysesustituyeotra.


Ejemplo4.1

Tres transformadores monofásicos están conectados en𝛥 − 𝒀como se muestra en lafigura 4 - 6 cada transformador tiene como valores nominales 100𝐾𝑉𝐴2300/13800𝑉, 60𝐻𝑧.Se conecta a una carga trifásica de285𝐾𝑉𝐴con una𝐹. 𝑃 = 0.8atrasado. El voltaje delíneaenelprimarioesde2300𝑉,tomecomoreferenciaelvoltaje𝑉 aydeterminetodoslos factores voltajes y corrientes del banco de transformadores. Considere lostransformadoresideales.Solución:Sitomamoscomoreferencia𝑉 a tendremos:

𝑉 a = 23000∡0°; 𝑉aî = 23000∡− 120°; 𝑉î^ = 23000∡+ 120°;Ylarelacióndetransformaciónes:

𝑎 = 2300013800 =

16

Lasmarcasdeterminanlosvoltajesqueestánenfase,entonces:𝑉Í = (𝑌𝑎)𝑉aî = 13800∡0°𝑉] = (𝑌𝑎)𝑉aî = 13800∡− 120°𝑉Î = (𝑌𝑎)𝑉î^ = 13800∡+ 120°

Podemosusar la leydevoltajede𝐾𝐼𝐶𝐻𝐻𝑂𝐹𝐹paradeterminar losvoltajesde línea𝑉Í] ,𝑉]Î y𝑉ÎÍ ,osencillamenterecordarque𝑉Ü= 3Vp∡+ 30°,yentonces:𝑉Í] = 313800∡0°+ 30° = 23900∡30°𝑉]Î = 313800∡120°− 30° = 23900∡− 90°𝑉ÎÍ = 313800∡+ 120°− 30° = 23900∡− 150°

Lacorrientedelíneaenelladodealtasedeterminaapartirdelosdatosdelacarga.

𝐼 = ghÁ

dww

= 6.88Δθ = cos’0.8 = 36.90porlotantoestacorrientedebeiratrásdelvoltajedefasepor36.90,luegoentonces.𝑰𝒏𝒂 = 6.88∡0°− 36.9° = 6.88∡− 36.9°,𝑰𝒏𝒃 = 6.88∡− 120°− 36.9° = 6.88∡− 153.9°,𝑰𝒏𝒄 = 6.88∡120°− 36.9° = 6.88∡− 83.1°,


Lascorrientesdelprimariofluyendohaciaelterminalmarcadodebeestarenfaseconla corriente del secundario fluyendo fuera del terminal marcado. Entonces lascorrienteseneldevanadoprimario.𝐼 a = (Ya)𝐼Í= (6)6.88∡− 36.9° = 41.28∡− 36.9°,𝑉aî = (Ya)𝐼]= 41.28∡− 156 − 9°𝐼î^ = (Ya)𝐼Î= 41.28∡83°− 1°,Paracortarlascorrientes𝐼 ,𝐼ae𝐼îpodremosampliarlaleydecorrientesdeKichhoffosimplementerecordarlaregla:𝐼Ü = 3𝐼+∡− 30°,Entonces:𝐼 =𝐼 a − 𝐼î^ = 341.28∡− 36.9°− 30° = 71.41∡− 66.9°𝐼a=𝐼 î − 𝐼 a= 341.28∡− 156.9°− 30° = 71.42∡− 186.9°𝐼Î=𝐼î^ − 𝐼aî= 341.28∡− 83.1°− 30° = 71.42∡53.1°

4.2.CONEXIONESDELTAABIERTAOCONEXIÓNV.

A las conexiones trifásicas de transformadores que vimos anteriormente se les suelellamar conexiones simétricas. Veremos ahora otras formas de conexión a las quellamaremos asimétricas y estas se llevaran a cabo utilizando únicamente dostransformadoresmonofásicosenlugardetres.

Conunsistemasimétricodetresvoltajesdelíneadisponible,apliquemosunodeéstosvoltajesaldevanadoprimariodeuntransformador,yapliquemoselotrodelosvoltajesaldevanado primario de un segundo transformador el cual tiene la misma relación devueltasqueelprimero.Losvoltajessecundariosdeéstostransformadoressonsuficientesparaestablecerunsistematrifásicosimétricodevoltajes.

En la figura 4-7 los dos devanados primarios de los transformadores son conectados atravésdelosvoltajesdelínea𝑽𝑨𝑩y𝑽𝑩𝑪ylossecundariossoninterconectadosalpunto𝑏.Usandoelvoltaje𝑽𝑨𝑩comonuestrovoltajedereferenciayasumiendosecuenciadefases𝑎 − 𝑏 − 𝑐,obtenemoslosdosvoltajesdesalida.


Fig.4-7Conexionesasimétricasdetransformadores.

𝑉Í]dÍ𝑉 a =

dÍ𝑉Üd=∡0° 4-19

𝑉]ÎdÍ𝑉aî =

dÍ𝑉Üd=∡0° 4–20

AplicandolaleydevoltajesdeKirchhoffpodemosencontrar𝑉ÎÍ .

𝑉ÎÍ = 𝑉Î] +𝑉]Î 4.21

Sustituyendolasecuaciones4-19y4-20enlaecuación4-21odesarrollandográficamentela operación fasorial, como se muestra en la figura 4-8, podemos descubrir que losvoltajesde líneaen lastresterminalesdesalida,𝑎, 𝑏y𝑐constituyenunsistematrifásicosimétrico, justamente como si tuviéramos un generador trifásico o como si tuviéramosconectadountransformadortrifásicoconvencional.


Fig.4-8Diagramafasorialdevoltajes.Los dos transformadores de la figura 4-7 pueden ser vistas como dos de trestransformadores conectados en ∆ − ∆ la presencia del 3er transformador escompletamenteinnecesariaenloquealatransformacióndevoltajetrifásicoserefiere.Sila delta fuera completada agregando un 3er transformador con su devanado primarioconectadoa lasterminales𝐴y𝐶,yelsecundarioentre𝑎y𝑐, losvoltajespermanecieroninalterados.Laconexióndelostransformadoresdelafigura4-7esllamadadeltaabierta(significaquelaconexióndeltaesalteradaaldesconectarunodelostransformadoresquelaforman)o𝑉Ý (yaqueestosdoselementosdibujadosadecuadamenteformanunaletra𝑉).Asílascosas,unestudianteobservadorpodríadecir“yparaquédiablosconectamostrestransformadoressiobtenemoselmismoresultadoconectandosolamentedos”,otalvez,enlugardediablos,podríadecirotrocalificativomáscolorido.Entoncestendríamosquecalmarsusansiasdenovilleroylediríamosquehastaahorahemosanalizadolaconexión𝑉sincarga,porloquehemosobservandoelcomportamientosolamentedelosvoltajesyno de las corrientes. Analicemos pues cómo se comporta nuestra conexión𝑉cuandoalimentamosunacargatrifásicabalanceadacomosemuestraenlafigura4-9.


Fig.4-9corrientesenunaconexiónV.

Lascorrientessonlasmismasindependientementedelacargaqueseaconectadaenunabanco de tres transformadores conectados en∆o a un banco de dos transformadoresconectadosen𝑉oinclusiveseríanlasmismassi lostrestransformadoresconectanen𝑌.Unacargatrifásicabalanceadadeunapotenciaaparente𝑆tendráunacorrientedelíneacuyamagnitudes:

𝐼ÜC =)

¾ã4-22

Donde𝐼ÜC y𝑉ÜC son las magnitudes de las corrientes y los voltajes de línea en elsecundariodelostransformadores.Encircuitodelafigura4-9semuestraclaramentequelas corrientesde línea𝐼Í e𝐼Î están fluyendoa travésde cadaunodeestosdevanadossecundariosdelostransformadores,yquelosvoltajesatravésdeestosdevanadosesunodelosvoltajesdelíneadelsecundario.Comoyadijimosanteriormente(ysinolohemosdicho,lodecimosahora)eltamañoyporlotantoelcostodeuntransformadordepotenciaesesencialmentedeterminadoporlos𝐾𝑉𝐴nominales,quees lapotenciaaparentemásaltaa lacualuntransformadorpuedeoperarcontinuamentesinsobrecalentarse.

Sinuestrosdostransformadoresconectadosen𝑉tuvieranlacapacidadparaalimentarlacargatrifásicabalanceadamencionadaanteriormente,entoncescadatransformadordebetenerunapotenciaaparentenominaliguala:

𝑆2 = 𝑉ÜC𝐼ÜC 4.23


Sustituyendolaecuación4-22enlaecuación4-23

𝑆2 = 𝑉ÜC)

¾ã= )

= 0.57854.24

Ahora podemos ver que la suma de los𝐾𝑉𝐴 nominales de los transformadoresconectados en𝑉debe ser muchomás alta que la potencia aparente requerida por lacarga, en contraste con cualquier conexión simétrica de tres transformadores cuyacombinación de sus𝐾𝑉𝐴nominales es igual a la potencia aparente de la carga. Laexplicación de esta diferencia radica en el hecho de que la potencia aparente es lamagnituddelapotenciacomplejalacualeslasumadeunnúmerorealyunoimaginario:

𝑆 = 𝑆∡− 0 = 𝑆 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑃 + 𝑗𝑄4.25

Donde𝜃eselánguloporelcualelvoltajeadelantaalacorriente,ydondelapartereal𝑃es la potencia media, también conocida como potencia real y la parte imaginaria esconocidacomopotenciareactiva,esarbitrariamentellamadapositivacuandoelángulo𝜃el negativo. Para cada uno de los transformadores conectados en𝑉, lamagnitud de lapotenciacomplejaeslamisma(𝑉ÜC 𝐼ÜC),peroelángulo𝜃esdiferente.Estoexplicaporquelamagnituddelapotenciacomplejaparalosdostransformadoresesmenorquelasumadelasmagnitudesdelapotenciacomplejadecadatransformador.Ejemplo:Dostransformadoressonconectadosendeltaabiertacomosemuestraen la figura4-9.Estos alimentan una carga trifásica balanceada de100𝐾𝑉𝐴a un voltaje de línea de220𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠y un factor de potencia de0.8atrasado. La secuencia de fases es𝑎𝑏𝑐(estainformaciónespertinenteporqueelcircuitodeltransformador,encontrasteconlacarga,esdesbalanceado).Determinetodoslosfasoresvoltajesycorrientesdelsecundario.

Solución:En lamayoría de los circuitos trifásicos que involucran cargas trifásicas balanceadas, lomásconvenienteeselegircomoejedereferenciaunode losvoltajesaneutro. (Deestamanera podemos asumir que la carga está conectada en𝑌; si la carga está realmenteconectadaen∆,puedeserremplazadaporunequivalenteen𝑌).Hagamosestoentonces:𝑉Í

CCw∡0° = 127∡0°; 𝑉] = 127∡120°y

𝑉Î = 127∡+ 120°


Entonceslosvoltajesdelíneason:𝑉Í] = 220∡30°;𝑉]Î = 220∡− 90°;𝑉ÎÍ = 220∡150°.Lamagnituddelacorrientedelíneasepuedeobtenerdelaecuación4-22:𝐼ÜC=

dwwsdw

Cww= 262.4𝐴; 𝜃 = 𝐶𝑂𝑆Zd(0.8) = 36.9°

Ya que el factor de potencia de una carga balanceada es el coseno del ángulo entre lacorrienteyelvoltajedefase,dadoqueasumimosconexión𝑌enlacarga.

𝐼Í = 262.4∡− 36.9°; 𝐼] = 262.4∡− 156.9°;𝐼Î = 262.4∡− 83.1°.

Utilicemos este ejemplo para ilustrar lo mencionado anteriormente en relación a laspotencias aparente y compleja. Iniciamos con que cada transformador debe tener unapotencia aparente nominal de al menos (220)(262.4)/1000 = 57.73𝐾𝑉𝐴 , queconcuerdaconelresultadoqueseobtendríautilizandolaecuación4-24.Peroelfactordepotenciadecadatransformadoresdiferentedeldelacarga.Paraeltransformadorcuyasterminalesestánconectadasa las fases𝑎y𝑏,elánguloentreelvoltajey lacorrientees30°+ 36.9° = 66.9° , y la potencia real de salida de este transformador es57.78𝑐𝑜𝑠66.9° = 22.6𝐾𝑊.Paraelotrotransformadorelcorrespondienteánguloentre𝐼Î y𝑉Î] es de6.9°. La potencia real de este transformador será de57.8𝑐𝑜𝑠6.9° =57.4𝐾𝑊.Notequelapotenciarealtotaldesalidaesde80𝐾𝑊 = 57.4 + 22.6,lacualesigualalarequeridaporlacarga.

Si un tercer transformador, de57. 𝐾𝑉𝐴nominales, fuera agregado para completar laconexión∆ de primario y secundario, entonces cada secundario podría transportar262.4𝐴, y la corriente de línea permisible en el secundario sería de262.4( 𝑉3) =454𝐴.Lostransformadorespodríanentoncesdemaneraseguraalimentarunacargade√3(454)(220) = 173𝐾𝑉𝐴, lo cuales conmuchomayorque lamitadde los100𝐾𝑉𝐴originales.Estoesporquecadaunodeestos transformadoresoperaalmismo factordepotenciaquelacarga.

4.3 PARALELODETRANSFORMADORES.

Ningún sistema puede ser inteligentemente discutido sin una razonable familiaridad desus componentes. En esta sección estudiaremos algunos casos de interconexión detransformadores, ilustrandocomoelanálisisdeundispositivoesusadoenelanálisisdelsistemaalcualpertenece.


Uncasoeselusodevariostransformadorespararealizarjuntosloquepodríahacerconunsolotransformador.Estosehacenecesariocuandoeltrabajoarealizarestangrandeque sería imposible o impráctico construir un solo transformador pues esto elevaría elcostodeunsistemadepotencia.Conectarmásdeuntransformadorcuandoeltamañodela carga es considerablemente grande puede resultar ventajoso cuando por falla o pormantenimiento tenemos que retirar un transformador, el otro o los otros puedencontinuardandoservicioalacargaoquizásapartedeella.Aquíaplicaelviejoyconocidoprincipio“Nopongastodosloshuevosenunacanasta”.

Consideramos dos transformadores a los que llamaremos𝐴 y𝐵 , para realizar latransformación en un sistema de potencia. Cada primario de los transformadores seconectaráalladodelafuentedelsistemadepotenciaycadasecundariodelosmismos,seconectaráal ladode lacarga.Detalmaneraqueseráposibledesconectarcualquieradelostransformadoressinalterarlaoperacióndelotro.Unaconexióntípicasemuestraenlafigura4-10.Losprimarioscomopuedeverse,seconectanenparaleloentresiylomismose hace con los secundarios. Consideraremos los transformadores como ideales. Podríaconectarseconcualquiermínimodetransformadores(nonecesariamentedos).

Fig.4-10Dostransformadoresidealesconectadosenparalelos.


Conectar lasmarcasdecadatransformadoralmismopunto(nosaseguradequeambostengan igual polaridad) (lo contrario haría que el negativo de uno se conectara con elpositivodelotro).Las líneas horizontales que conectan los primarios y los secundarios representanfísicamente conductores que algunos países son llamados “barras” y en México sonllamados “bus” (la palabra bus es una abreviación del latín “omnibus” lo cual significa“Paratodo”,enestecasoelbussirveparaconectarlostransformadores).Otra característica que deben reunir los transformadores a conectarse en paralelo estenerlomismarelacióndevuelta.La relación entre voltajes y corrientes son las que ya hemos mencionado paratransformadoresideales:

𝑉k = 𝑎𝑉C 4.25𝐼k^ =

kÍ𝐼C^ 4.26

𝐼ka =kÍ𝐼Ca 4.27

YaplicandoleydecorrientesKirchhoff:

𝐼k = 𝐼 + 𝐼ka 4.28𝐼C = 𝐼C^ + 𝐼Ca 4-29

Con lasecuacionesanterioresno tenemosmaneradedeterminar cómo sedistribuye lacargaentrelosdostrasformadores.

Para determinar cómo se distribuye la carga entre ambos transformadores tendríamosque considerarlos reales (con sus imperfecciones) en lugar de ideales, para ellotendríamosqueusaralgunosdeloscircuitosequivalenteaproximadosdeltransformadoranalizadosenelcapítuloanterior.Porejemplo,podemosusarelcircuitoenelcualtodaslasimpedanciasyadmitanciasesténreferidasalladoprimario.Comosemuestraenlafigura4-11.


Figura4-11dostransformadoresrealesenparalelo.

Para el circuito de la figura 4-11 podemos escribir las siguientes ecuaciones de voltaje(asumiendoqueambostransformadorestienenlamismarelacióndetransformación“𝑎”):

𝑉d =kÀÍ𝑍Ýk^ + 𝑎𝑉C 4.30

𝑉d =

ktÍ𝑍Ýka + 𝑎𝑉C 4.31

Igualandolasecuaciones4.30y4.31ysimplificandotenemos: 𝐼C^𝑍Ýk^ = 𝐼Ca𝑍Ýka 4.32ObienkÀ

kt= uìvt

uìvÀ= uìt

uìÀ 4.33

Se puede notar de esta última ecuación que las corrientes de carga son inversamenteproporcional con las impedancias equivalentes, justamente como si ellas estuvieranconectadasenparalelo.Dehecho,estánconectadasenparalelo.Observandolafigura4-11podemosnotarquelospuntos𝐶y𝐶destánconectadosalmismopotencial, lomismoque los puntos𝑑y𝑑d. Pero además𝑉𝑒𝑑 = 𝑉𝑒d𝑑d = 𝑎𝑉Cpor lo que los puntos𝑒y𝑒d


también están al mismo potencial, por lo que podemos trazar una línea uniendo lospuntos𝑒y𝑒dsinalterarelcircuito.Asílasdosimpedanciasestánalmismovoltaje,porlocual, están conectadas en paralelo. Lo mismo puede hacerse cualquiera que sea elnúmerodetransformadoresconectadosenparalelo.Podemos sacar conclusiones prácticas de nuestro resultado, recordemos que cadatransformador tiene una potencia aparente nominal, en este caso 𝑆^ y 𝑆arespectivamente y que usamos dos omás transformadores juntos, porque ninguno deellos satisface la demanda pico solito. La pregunta es entonces, ¿cuánta carga puedenalimentar los transformadores juntos, sin que ninguno de ellos se sobrecargue?Específicamente,¿puedenalimentarunacargaigualalasumadesusKVAnominales?

Podemosasumirqueambostransformadoresestánoperandoalmismovoltaje,porloqueplenaencargaserefieretantoacorrientecomoapotenciaaparentenominal.Porloqueeltransformador𝐴estáplenamentecargadocuando: 𝐼C^ =

~À¾ 4.34

Cuándo el transformador𝐴este a plena carga, el transformador𝐵transportará unacorrientedesalidacuyamagnitudes,deacuerdoalasecuaciones4-33y4-34:

𝐼Ca =uìÀuÝCa

𝐼C^ =uìÀuÝCa

~^¾C4.35

El transformador𝐵 sin embargo está plenamente cargado únicamente cuando sucorrientedesalidatengacomomagnitud:

ICx =~t¾ 4.36

Sinosotrosesperamosqueambostransformadoresesténplenamentecargadosalavez,lasdosexpresionespara𝐼Cadebenseridénticas.Así

uìÀ

uìt= ~t

~À 4.37

Por lo que la impedancia equivalente es inversamente proporcional con los𝐾𝑉𝐴nominalesdeltransformador.Estoimplicaquelostransformadoresnopodrántenerplenacargaalavez,amenosquesusimpedanciasequivalentesseanexactamenteiguales.Laecuación4-37serefiereúnicamentealarelacióndelasmagnitudesdelasimpedancias.Es deseable que tengan igual los ángulos, si no es así las corrientes de salida de cadatransformadornoestaránenfaseunaconlaotra(observelaecuación4-33)ylacorrientetotal𝐼CesmáspequeñaquelasumaalgebraicadeIC°eICx.Porlotantolamáximacarga


que los dos transformadores puede alimentar es menor que la suma de sus𝐾𝑉𝐴nominales.En la práctica la diferencia en ángulo entre una impedancia y otra, no es considerable(valores extremos suelen ser70° a85°). Así el ángulo de desfasamiento entre lascorrientesdecadatransformadoresmuchomuypequeño,y lacombinaciónde los𝐾𝑉𝐴de salida de los transformadores es muy cercana a la suma de sus𝐾𝑉𝐴nominales,independientementedelosángulos.Ejemplo:Dostransformadoresconectadosenparalelo,tienencomopotenciasaparentenominales𝑆 = 1𝑀𝑉𝐴 ,𝑆a =2𝑀𝑉𝐴 . Sus impedancias equivalentes son𝑍ÝC^ = 3∡75° y𝑍ÝCa =2∡80°.Determina los𝐾𝑉𝐴máximospermisiblesde salidade la combinaciónde losdostransformadores.Solución:Como se puede observar la impedancia equivalente del transformador𝐴es un pocomenosdeldoblequeladeltransformador𝐵porloqueobservaráunaproporciónmayordecargaenrelaciónasus𝐾𝑉𝐴nominales.Cuandoeltransformador𝐴estaenplenacarga𝐼C^ = 10

𝑉2 si tomamos esta corriente como referencia y aplicamos un divisor decorrientepodemosencontrarlacorrientetotal𝐼C.

IC = 𝐼C^ 𝑍ÝC^ + 𝑍ÝCa

𝑍ÝCa=

10

𝑉C∟0ᵒ

3∟75ᵒ + 2∟80ᵒ2∟80ᵒ

IC =C.×dwz

uìt∟77. 1ᵒPorlotanto

𝑠 = 𝑉C𝐼C =2.5𝑥10

𝑉C𝑉C = 2.5𝑀𝑉𝐴

Lo cual es considerablemente menor que la suma de los𝐾𝑉𝐴 nominales de cadatransformador.

Comopuedeobservarse, el transformador𝐵suministra únicamente1.5𝑀𝑉𝐴, lo cual essolamente¾partes de su potencia nominal. No obstante cualquier incremento en lapotencia de salida traería como consecuencia una sobrecarga del transformador𝐴. Elusuario de los transformadores podría decir como dice Kiko (así que chiste),me sobracapacidad pero no la puedo usar. Sin embargo el Chapulín colorado le contestaría “Nocontabas con mi astucia” no puedes conectar una impedancia en serie con eltransformador𝐴.Entonces la impedancia sería un valor𝑍ÝCa = 𝑍ÝC^ para nuestro caso 2𝑍ÝCa − 𝑍ÝC^ ≈1 − 𝑍ÝC^ ≈ 1∟90ᵒLacualesuna inductanciapura,con laresistenciacasidespreciable.


Estapuede ser conectadaen serie coneldevanadoprimario, asegurándonosdeque suvalorseaobtenido,multiplicadoporelcuadradodelarelacióndetransformación.

Deestaformaaladicionarestaimpedancia, losdostransformadorespodránabsorber lapotenciaenlamismaproporciónsinsobrecargarse.

4.4 AUTOTRANSFORMADOR

Usualmente,untransformadordedosdevanadosesconectadodetalmaneraqueambosdevanados quedan aislados eléctricamente uno del otro. Examinaremos ahora unasituación en la cual los devanados no permanecen aislados eléctricamente, estos seconectandetalformaqueconstituyenunautotransformador.

Consideramos el circuito de la figura 4-11. Puede ser considerada como dos bobinasconectadasenunaserieobiencomounasolabobinaenuntap(derivaciónqueconstituyeuna tercera terminal). El prefijo “Auto” proviene del griego “por sí mismo” (como un“automóvil” semueve por sí mismo, no necesita de uno omás caballos), así una solabobinaactúacomotransformadorellasolita (nonecesitavejigasparanadar).Para finesdeanálisis,sinembargo,espreferibleverelautotransformadorcomodosbobinas,lasquellamaremos𝑆(porserie)y𝐶(porcomún).Labobina𝑆estáenserieconlafuente(oconlacarga,enlafigura4-12),ylabobina𝐶escomúnaamboscircuitosprimarioysecundario.Porsupuestoambasbobinassonenrolladasenelmismonúcleoferromagnético.

Fig.4-11Autotransformadorreductor.Iniciaremoselestudiodelautotransformadorconsiderándolo ideal (sin tomarencuentacorriente de magnetización, pérdidas de núcleo, flujos dispersos y resistencias en lasbobinas).Tambiénlimitaremosnuestroanálisisalestadoestablesenoidal.


Fig.4-12Autotransformadorelevador.

Conectandoalasterminalesdellazoizquierdoencualquieradelasfiguras4-11o4-12unafuentedevoltaje,determinaelflujoenelnúcleodeacuerdoconlayaconocidaecuación𝑉 = 4.44𝑁𝐹𝜙`Í×, conelnúmerodevueltasentreestasdos terminalessustituidopor𝑁.Esteflujoalternocausaqueelvoltajeigualseainducidoentodaslasvueltasalrededordelnúcleo.Por lotantosi llamamos𝑁)y𝑁Î a losnúmerosdevueltasde losdevanadosserieycomúnrespectivamente,larelacióndevoltajesserá.

¾|¾ã= |K

| 4.38

Donde𝑉 y𝑉Üson los voltajes en el ladode alta y baja tensión respectivamente. En elcasodelafigura4-11,elprimario(entrada)eselladodealtayelsecundario(salida)seráelladodebajaporloqueesteautotransformadorseráreductor,locontrarioocurreenlafigura 4-12 donde el autotransformador será elevador. La ecuación 4-38 es válida encualquieradeloscasos.

Veamos ahora la relación de corrientes, recordemos que en un transformador ideal lasumadelasfuerzasmagnetomotricesesceroparaunflujofinito.

Yaseaqueusemoslafigura4-11ola4-22,tendremos:

F= 𝐼𝑁) − 𝐼Î𝑁Î = 0 4.39

AplicandoleydecorrientedeKirchhoff:

𝐼 + 𝐼Î = 𝐼Ü 4.40

𝐼Î = 𝐼Ü − 𝐼 4.41


Sustituyendolaecuación4.41enlaecuación4.39:

𝐼𝑁) − 𝐼Ü − 𝐼 𝑁Î = 𝐼 𝑁) + 𝑁Î − 𝐼Ü 4.42

Yentonceslarelacióndecorrientesera: k|

kã= |$

|KÏ|$ 4.43

Lacualeselrecíprocodelarelacióndevoltajesdeigualformaqueeneltransformadordedosdevanados.Notequelarazónesunnúmeroreal,locualimplicaque𝐼 e𝐼Ü estánenfase.

Parademostrar lasventajasdelusodelautotransformador, consideramos la figura4-13comolarepresentacióndeuntransformadordedosdevanadosconlasmismascorrientesyvoltajesqueelautotransformadordelafigura4-12.Parahacermásfácillacomparaciónsupongamosquetienenidénticonúcleo.

Fig.4-13Transformadordedosbobinas.

Labobinacomúndelautotransformadorrequieretantasvueltascomolabobinadelladodebajadeltransformadordedosdevanados,peropuedeserdealambredelgadoyaqueporelcirculan𝐼ÎAmpere, lascualescomolomuestra laecuación4-41,esmenosque lacorriente𝐼Üquecirculaporeldevanadodebaja,deltransformadordedosdevanados.Labobinaseriedelautotransformadortransportatantacorrientecomolabobinadealtadel


transformadordedosdevanados,peroconstadepocasvueltasyaqueelvoltaje𝑉y𝑉Üobviamenteesmenorque𝑉.

Luego las dos bobinas del autotransformador sonmás pequeñas, más ligeras, y por lotantomásbaratasquelasequivalentedeltransformadordedosdevanados.Aloanteriorpodemosagregarqueporsutamañomásreducido,ocupamenosespacio,lalongituddelnúcleotambiénesreducida, todoellohacequesetengaunahorroconsiderable,conelusodelautotransformador,envezdeltransformadordedosdevanados.

Lasdiferenciassonparticularmentepronunciadascuando𝑁Î >𝑁)ycuandolasrelacionesde voltajes y corrientes sonmuchomayor que uno. Esto hace que sea preferible usarautotransformador en los casos en los que no se requiere aislar el primario delsecundario. Las imperfecciones de un transformador pueden ser consideradas como sehizo en el transformador de dos devanados, en términos de un circuito equivalenteaproximado. Por ejemplo, el circuito de la figura 4-14 es similar al de la figura 3-(Pendiente)peroconunautotransformadorideal.Losparámetrosdelcircuitopuedenserobtenidosdelaspruebasdecortocircuitoycircuitoabierto.

Fig.4-14Circuitoequivalenteaproximadodeunautotransformador.

Es también interesante comparar estos parámetros con los del transformador de dosdevanadosconelmismonúcleoylasmismasbobinas.Paraestepropósito,lafigura4-15muestra el circuito equivalente al transformador de dos bobinas, con la admitancia𝑌𝝓referida al lado primario y la impedancia𝑍Ýal lado secundario, en la figura 4-16 semuestranlasmismasbobinasconectadasenformadeautotransformador.Labobinadelprimariooriginaldeconvierteahoraenlabobinacomún,y labobinasecundariaoriginalseconvierteenlabobinaserie.


Consideramos ahora que el voltaje en el lado de la baja𝑉Ü del autotransformador es elmismoqueelvoltaje𝑉ddeltransformadordedosbobinas.

Esto requiere que el flujo sea el mismo por lo que se requiere la misma corriente demagnetizaciónyporlotantolasmismaspérdidasdenúcleo.

Asílaadmitancia𝑌edenlosdiagramaseslamisma.

Fig.4-15Transformadorconimperfecciones.

Ahora considera la impedancia equivalente en la figura 4-15. Esta representa lacombinaciónde la resistencia y la reactanciade flujodispersode losdosdevanados. Elvoltajeatravésdeestaimpedanciaesladiferenciafasorialentreelvoltajeenterminales𝑉C yelvalordelvoltajeideal𝑉d 𝑎.Cuandolacargadelautotransformadordelafigura4-16esajustadaparalacorriente𝐼) seaigualalacorriente𝐼C]deltransformadordelafigura4-15, entonces ambas bobinas soportan la misma corriente (figura 4-15 y 4-16).Consecuentementelacaídadelvoltajeatravésdesusimperfeccioneseslamisma,locualhacequelaimpedanciaequivalenteseaigualenunoqueenelotro.


Fig.4-16Autotransformadorconimperfecciones.Estos parámetros también pueden ser referidos al otro lado multiplicándolos por elcuadrado de la relación de vueltas apropiadas. Observe que esta no es la relación devuelas “𝑎” del transformador de dos bobinas, si no la relación que aparece en lasecuaciones 4-38 y 4-43. Por ejemplo para referir la impedancia equivalente𝑍ÝCde lafigura4-16al ladodebajasedebemultiplicarpor larelacióndevoltajesydividirpor larelacióndecorrientes.Estoes:

𝑍Ýd = |

|KÏ|$²𝑍ÝC 4.44

Similarmente,alreferirlaadmitanciadelladodebajaalladodealta:

𝑌eC = |

|KÏ|$²𝑌ed 4.45

4.5 TRANSFORMADORESDEINSTRUMENTO

Los transformadores son usados para una gran variedad de propósitos, y para cadapropósito hay diferentes problemas y aspectos especiales de los principios básicos detransformadoresaconsiderar.En launidadanterior,porejemplodiscutimosmuchosdelosproblemaspeculiaresdelusodetransformadorescomopartesesencialesdesistemasdepotencia.


Lostransformadoressinembargo,sontambiénextensamenteusadosdentrodelsistemadepotenciacomoundispositivoauxiliar,enconexióncondispositivosdemedición,paraprotección, o para otros propósitos similares. Tales transformadores son a menudollamados transformadores de instrumento, y ellos son esencialmente, de voltaje o decorriente.Estostransformadorestieneneldoblepropósitodereducirlacantidadamedir(oseralimentadaaldispositivodeprotecciónoaldispositivodecorreccióndeerror)aunamásconvenienteomáseconómicaenmagnitudyalmismotiempoaislareldispositivooinstrumentodelaltovoltajedelcircuitodepotencia.

Transformadordepotencial.

Lafigura4-17muestraunafuentedevoltajeydosmétodosdemedirsuvoltaje.Laformadirectaesconectarunvoltímetro(𝑉d)atravésdelosterminalesdefuente.Elinstrumentodebetenerunrangosuficientementeelevadoparaelmáximovoltajedelafuente.

Fig.4-17Medicióndevoltaje.

Enelotrométodohayuntransformadorcuyoprimarioesconectadoatravésdelvoltajeamedirmientrasqueelsecundarioesconectadoalvoltímetro𝑉C.Elvoltímetrononecesitatener alto rango que lo haga demasiado raro o incluso peligroso para el usuario. Paramayor seguridad del usuario u observador un punto del circuito del instrumento esaterrizado y este generalmente se encuentra localizado dentro del tablero de pruebasubicadounaconsiderabledistanciadelcircuitodealtatensión.Eltransformadorusadoenestemétodoes usualmente llamado transformadorpotencial, con frecuencia abreviado𝑇𝑃.

El lector bien recordara de lo aprendido en su curso de mediciones eléctricas, que lamedicióndeunvoltajerequieredeuninstrumentodealtaimpedancia,locualhacequelacantidaddecorrienteseadespreciablecomparadaconlacorrienteenelcircuitoprincipal.Enunsistemadepotenciaestopuedeserevidenciadoalnotarquelaimpedanciaen𝑝. 𝑢.delvoltímetrotieneunvalormuchomayorqueuno,basadoenlosnominalesdelsistema.El transformador de potencial usado en combinación con un voltímetro por lo que la


corriente de excitación (corriente de magnetización) es despreciable por serexageradamentepequeña.

Envirtuddequelaimpedanciaequivalentedelosdevanadosdeltransformadordebeserdemasiado pequeña, podemos considerar el transformador de potencial comotransformadoridealsinmenoscabodelaexactitud.Lalecturadeunvoltímetrousadoenunióndeuntransformadorpotencia,comoeldelafigura4-17debesermultiplicadaporla relación de transformación (razón de vueltas) del transformador de potencial. En lapráctica el voltímetro debe estar perfectamente conectado y la escala previamentemultiplicadaporlarelacióndetransformación.Enellugardondeselocalizaelvoltímetropuedeconectarseunoomásdispositivosdeprotecciónoregularización(enparaleloconél)cuyaoperacióndependadelvoltaje.

Lamedicióndeunacorrienteseilustraenlafigura4-18.Nuevamentehaydosmétodos.Lamedición directa a través del amperímetro𝐴d, el cual debe tener un rango tan altocomolacorrientemásaltaqueseesperaquecirculeporél.Si la fuentemostradaen lafigura(deunafase)esungeneradordeunsistemadepotenciamuygrande,estacorrientees muy probable que sea un múltiplo alto de lo que cualquier amperímetro puedemanejar, y, además de la alta tensión de este amperímetro permitiría la observación aciertadistanciaúnicamente.Porcontrasteelamperímetro𝐴C,alimentandoatravésdeuntransformadordecorriente,puedetenerunrangoconveniente,ypuedesercolocadoenunpanelotablerodepruebassinningúntemoraunaaltatensiónpeligrosa.

Note que el transformador de corriente eleva el voltaje en la medida que reduce lacorriente.Peroelvoltajeaelevaresúnicamenteelvoltajeprimario,yestetienequeserdeunvalormuypequeño,igualqueelvoltajeatravésdecualquierotroamperímetro.Lalectura del amperímetro𝐴Cdebe sermultiplicada por la relación de transformación deltransformadodecorriente,o,nuevamente,suescalapuedeestarpreviamentecalibradaparaverseconjuntamenteconeltransformadordecorriente.

Fig.4-18Medicióndecorriente.


Amboseltransformadordepotencial(𝑇𝑃)yeltransformadordecorriente(𝑇𝐶)puedenserusadosparamedirlapotenciay/osuenergía.Enestecasolalecturadelwatmetroy/oelWathorimetrodebensermultiplicadasporelproductodelasapropiadasrelacionesdetransformacióndeambostransformadores.

Igualqueel transformadordepotencial,el transformadordecorrientepuedeserusadopara fines distintos a la instrumentación. Carga en lugar un amperímetro, u otroinstrumentoconectadoenserieconél,puedeserundispositivodeprotección,elcualesusadopararesponderalamagnituddelacorrienteenlalínea.

Unaventajaespecialdeciertostransformadoresdecorrienteradicaenelhechodequeesposiblemedirlacorrientesintenerqueabrirelcircuitoparainsertaruninstrumento.Losdispositivosusadosparaestefintienenunnúcleodehierroquepareceunpardetenazasypuedeabrirseycolocarsealrededordelconductorque lleva lacorrienteamedir.Esteconductorconstituyeelprimariodeuntransformadordecorriente.Elsecundarioesunabobinaenrolladaentornoalnúcleo,yelamperímetroestápermanentementeconectado.Ya que el devanado primario consiste de una sola vuelta, este requiere demuchamáscorrientedeexcitaciónqueundevanadoprimarionormal,yasílarazóndecorrientenosepuede esperar que sea exactamente constante como en otros transformadores decorriente.Enotraspalabraselegimoscomodidadaexpensasdelaexactitud.

Unavisomuycomúnalosusuariosde𝑇𝐶’𝑠eselsiguiente:“Nuncaabraelsecundariodeun transformador de corriente”. La razón radica en que al tener una relación detransformación muy elevada y por lo tanto muchas más vueltas en el devanadosecundarioqueenelprimario,elvoltajeinducidoensecundarioresultasermuyaltayalestar abierto un circuito altamente inductivo este se opone a cambios bruscos en lacorriente produciéndose un arco eléctrico que puede traer consecuencias desastrosas.

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