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Notas de curso: Metodos
Algebraicos para el Analisis de
Robots
A. Luviano (Resumen de Robot Modelling
and Control, Spong, Hutchinson and
Vidyasagar)
September 20, 2015
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Traslaciones y rotaciones sobre los ejes x, y, z
La transformacion homogenea mas general se puede es-cribir como:
H01 =
nx sx ax dxny sy ay dynz sz az dz0 0 0 1
=
n s a d0 0 0 1
Donde:
n=
nx ny nzT
es la direccion de x1 en el marcoo0x0y0z0.
s =
sx sy szT
es la direccion de y1 en el marcoo0x0y0z0.
a =
ax ay azT
es la direccion de z1 en el marcoo0x0y0z0.
d =
dx dy dzT
representa el vector del origen o0a o1, en terminos de o0x0y0z0.
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Regla de composicion de matrices homogeneas
Dada una transformacion homogenea H01 , re-
lacionanfdo dos marcos, si un segundo movi-
miento rgido H se realiza relativo al marco
actual, se tiene:
H02 =H01 H
Si el segundo movimiento se hace respecto al
marco fijo
H02 =HH01
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Ejemplo: Sea H la transformacion que repre-
senta una rotacion de un angulo sobre el ejexactual, seguido de ua traslacion de bunidades
sobre ele ejexactual, seguido de una traslacion
de d unidades sobre el eje z actual, seguido de
una rotacion de un angulo sobre el eje z ac-
tual
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H=Rotx,Transx,bTransz,dRotz,
H=
c
s
0 bcs cc s dsss sc c dc
0 0 0 1
La transformacion H es un caso especial de
transformacion de coordenadas de la forma:
H=
Rotacion Traslacion
Perspectiva Factor de Escala
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Cinematica directa
Descripcion del movimiento sin considerar las
fuerzas o pares.
Problema: Dadas q variables de junta, encon-trar la posicion y orientacion del eslabon final.
Hipotesis: Cada junta tiene un grado de liber-
tad.
Objetivos: Determinar el efecto acumulativo
del conjunto de variables de junta.
Un robot de n juntas tiene n + 1 eslabones.
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Se enumeraran las juntas de 1 a n y eslabones
de 0 a n, empezando desde la base.
La junta i conecta los eslabones i1 con i. El
eslabon 0 es fijo.
Para cada junta i, se asocia una variable de
junta qi.
qi =
i si i es revolutadi si i es prismatica
Ahora, sea Ai la matriz de transformacion ho-
mogenea que expresa la posicion y orientacion
de oixiyizi respecto a oi1xi1yi1zi1. La ma-
triz Ai no es constante, sino funcion de la vari-
able de junta asociada qi.
Ai=Ai(qi)
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La transformacion homogenea que expresa la
posicion y orientacion de ojxjyjzj respecto aoixiyizi, se llama, por convencion, T
ij . Se tiene:
Tij =
Ai+1Ai+2 Aj1Aj i < j
I i=j
(Ti)1 i > j
Denote la posicion y oritentacion respect al
marco inercial por O0n R31 (coordenadas del
origen del marco asociado al eslabon final) y
R0n la matriz de rotacion, teniendo.
H=
R0n O
0n
0 1
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As, la posicion y orientacion del eslabon final
en el marco inercial estan dadas por:
H=T0n =A1(q1)A2(q2) An(qn)
Ai =Ri1i Oi1i
0 1
Tij =Ai+1Ai+2 Aj =
Rij O
ij
0 1
Rij =Rii+1 R
j1j
y Oij se obtiene por recursion:
Oij =Oi
j1+ Ri
j1Oj1j
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Convencion de Denavit Hartenberg Una con-
vencion comun para tener los marcos de refer-
encia en aplicaciones roboticas es la de DenavitHartenberg. En esta convencion, cada trans-
formacion homogenea Ai se representa por el
producto de cuatro transformaciones basicas:
Ai=Rotz,iTransz,diTransx,aiRotx,i
=
Ci SiCi SiSi aiCiSi CiCi CiSi aiSi0 Si Ci di0 0 01
Donde las cuatro cantidades i, ai, di, i, son
parametros asociados con el eslabon i y la jun-
ta i, nombrados como angulo de junta, longi-
tud del eslabon, offset del eslabon y giro del
eslabon.
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Para cada Ai, tres de cuatro parametros sonconstantes, siendo di variable si la junta esprismatica o i variable si la junta es revoluta.
Condiciones de existencia y unicidad de la rep-resentacion.
Sean dos marcos coordenados 0 y 1. Se tiene:
C1: El eje x1 es perpendicular al eje z0
C2: El eje x1 intersecta a z0
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Bajo estas condiciones, existen numeros unicos
a, d, , , tales que:
A=Rotz,Transz,dTransx,aRotx,
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Para mostrar que A se puede escribir de esa
forma, sea
A=
R01 O
01
0 1
si x1 es parpendicular a z0, x1 z0= 0.
Expresando esto respecto a O0x0y0z0 y us-
ando que la primera columna de R01 es la rep-
resentacion del vector unitario x1 respecto al
marco 0.
0 = x01 z00 =
r11 r21 r31
001
=r31
Es decir, r31= 0.
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Se necesita mostrar que existen angulos unicos
, tales que
R01 = Rz, Rx.=
C SC SSS CC CS
0 S C
(1)
Como cada fila y columna de R01 es un vector
unitario, as como que r31= 0, se tiene:
r2
11
+ r2
21
= 1
r232+ r233= 1
De esto, existen unicos , tales que
(r11, r21) = (C, S)
(r33, r32) = (C, S)
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De C2 se tiene que el desplazamiento entre O0y O1 se puede ver como una combinacion lineal
de los vectores z0, x1. Esto se puede escrbircomo:
O1=O0+ dz0+ ax1
Se puede expresar esta relacion en las coorde-
nadas O0x0y0z0 teniendo:
O1=O0+ dz0+ ax1
=
00
0
+ d
00
1
+ a
CS
0
=
aCaS
d
(2)
Combinando (1) y (2), se obtiene A1.
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Interpretacion fsica de los parametrosai Distancia entre zi1 y zi
medido a lo largo de xii Angulo entre zi1 y zi
medido en un plano normal a xidi Distancia entre el origen Oi1 a la
interseccion de xi con zi1 medidoa lo largo de zi1
i
Angulo entre xi1 y ximedido en un plano normal a zi1
Asignacion de los marcos coordenados:
1. Asignar z
0, z
1, . . . , z
n1, siendo z
i el eje deactuacion ara la junta i + 1. Si la junta
i + 1 es revoluta, zi es el eje de revolucion
de i +1. Si i + 1 es prismatica, zi es el eje
de traslacion de i +1. Junta i fija respecto
al marco i, por eso zi se asocia con i + 1.
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2. Una vez establecidos los ejesz, se establece
el marco base O0 en cualquier punto de z0,
y elegirx0, y0tales que se forme un sistema
de mano derecha.
3. Para los marcos 1 hasta n 1 se tiene:
i) zi1 y zi no son coplanares. La lnea
conteniendo la normal comun a zi, z
i
1define xi y la interseccion define Oi. Se
elige yi por regla de la mano derecha.
ii) zi1 paralela a zi. Se elige libremente Oisobre zi, xi desde Oi hacia zi1 sobre la
nomrla comun. yi se elege completando
la regla de la mano derecha.
iii) zi1 intersecta a zi. xi se elige normal al
plano formado por zi1 y zi. la direccion
positiva de xi es arbitraria, el origen Oies la interseccion entre zi1 con zi. yise elige por regla de la mano derecha.
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Para completar el procedimiento se debe es-pecificar el marco del efector final. El ori-
gen On se pone simetricamente entre los dedos
del manipulador, xn, yn, zn se nombran como n,
Normal,s, Deslizamiento, a, aproximacion.
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Ejemplo 1: Robot doble revoluta
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Ejemplo 2: Robot Cilndrico
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Ejemplo 3: Muneca Esferica
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Ejemplo 4: Robot Cilndrico con Muneca
Esferica
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Ejemplo 5: Robot SCARA
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