notas segunda parte...4) las dimensiones del rectángulo son de 1 por 2. el rectángulo siguiente, ,...
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EJERCICIOS PROPUESTOS.
1) representa un proceso
A) Periódico B) Discreto C) Aleatorio D) Infinito E) Finito
2) El valor del cuarto término de la sucesión es:
A) B) C) D) E)
3) Considera la función = , cuyo dominio son los números naturales, entonces los primeros
valores de la sucesión generada por son:
A) B) C)
D) E)
4) Las dimensiones del rectángulo son de 1 por 2. El rectángulo siguiente, , tiene
dimensiones ½ x 1. De igual modo, cada rectángulo interior tiene la mitad de las dimensiones que el rectángulo precedente. Si esta sucesión de rectángulos continúa hasta el quinto rectángulo, ¿cuál es la suma de las áreas de todos los rectángulos?
A) B) C) D) E)
5) El valor de la suma de la serie infinita es igual a:
A) B) C) D) E)
6) El resultado de la suma infinita es:
A) B) C) D) E)
7) La suma es igual a:
19= 0.1+0.01+0.001+0.0001+
2 164n n
na +=
12
14
18
116
132
na4 22( 1)
nn−
+
na
2 1 2 3,1, , , ,...3 2 3 2
− − −1 1 2 1,0, , , ,...2 4 5 2
− − −1 1 1 1, , , ,1,...2 3 4 5
− −
1 2 3 4 5, , , , ,...2 3 4 5 6
2 4 6 8 10, , , , ,...3 5 7 9 11
ABCD PQRS
164
125
1128
1512
11024
12+14+18+116
+...+ 12n+...
0 10 1 20 100
610
+6102
+6103
+6104
+...
23
1 013
6
1+ 0.1+ 0.01+ 0.001+ 0.0001+
2
1 1
12
A) B) C) D) ∞ E)
8) Considera la sucesión siguiente:
= ; = ; = ; = ; = ;…
entonces el valor de es:
A) B) C) D) ∞ E) Con la información del problema siguiente, responde las preguntas 9, 10, 11 y 12. Se tiene un trozo de alambre y cortándolo se pretende formar cuadrados según la secuencia siguiente: el primero con un centímetro de lado pero como se apoyará en un trozo de madera, sólo se considerarán tres lados de alambre; el siguiente cuadrado con ½ cm de lado, pero como se colocará junto al anterior, sólo se considerarán nuevamente tres lados; el tercero tendrá como lado la mitad del anterior, es decir ¼ cm, igualmente pegado tal que sólo consideraríamos de nuevo tres lados y así sucesivamente, como se muestra en la figura. Completa la tabla siguiente para ayudarte a responder las preguntas propuestas.
Cuadrado número:
Perímetro de cada cuadrado
Perímetro total de los cuadrados
3
. . .
9) ¿Este es un proceso infinito?
A) No porque el perímetro total de los cuadrados, 𝑆!, tiene un límite. B) Sí porque el perímetro total de los cuadrados, 𝑆!, es infinito.
C) Sí porque siempre es posible encontrar el siguiente valor del perímetro. D) No porque el trozo del alambre no es infinito. E) Si porque el trozo del alambre teóricamente tendría que ser infinito.
10) El perímetro del enésimo cuadrado es:
1110
109
119
2
a1 2 a2 2 2 3a 2 2 2 a4 2 2 2 2 a5 2 2 2 2 2limn→∞
an2 1 4 5
(n) (an )(Sn )
1
2 3+ 32=92= 4.5
3
4
5324
=316
= 0.1875
6
(an )
madera
A) B) C) D) E)
11) La suma de los perímetros de los tres primeros cuadrados es:
A) B) C) D) E)
12) es igual a:
A) B) C) ∞ D) E) no existe
13) Considera la sucesión , el es:
A) B) C) D) no existe E)
32n−1 1
32n−
32( 1)n −
32n
32n
3( )S
334
S = S3 =14
S3 =323
S3 =2516
S3 =214
limn→∞
Sn
1 0 7
bn =n− 2n+ 2
limn→∞
bn
2 ∞ 1 1−
Un poco de teoría: El lenguaje que hemos empleado en los ejercicios, que hemos realizado, es un lenguaje habitual en las matemáticas, antes de dar una aproximación al concepto de límite de una sucesión, decimos que “una sucesión se acerca tanto como se quiera a un número”, pero, este lenguaje dicho de esa manera con o sin contexto, es poco claro, sin embargo, en matemáticas, se tiene un lenguaje tanto oral como simbólico, el cual es preciso para que estas oraciones resulten muy claras. Por ejemplo, cuando decimos que una sucesión 𝑎! se acerca a algún número, digamos 𝐿, (ver figura), nos referimos a que la distancia entre la sucesión 𝑎! y el número 𝐿 es cada vez más pequeña.
Recordemos que la distancia entre dos números, se calcula con el valor absoluto de la diferencia de los números.
Distancia entre 𝐿 y 𝑎!
Ahora, cuando decimos que la sucesión 𝑎! se acerca tanto como se quiera al número 𝐿 , estamos diciendo que la distancia 𝑎! − 𝐿 es pequeña, en el sentido de que si damos un número positivo, esta distancia es más pequeña que el número que hemos dado, independientemente del número que hayamos proporcionado. Si damos el número 0.4, entonces 𝑎! − 𝐿 < 0.4 Si damos el número 0.00003, entonces 𝑎! − 𝐿 < 0.00003.
No importa el valor del número que convengamos por pequeño que este sea, la distancia entre 𝑎! y 𝐿 siempre será menor a él, cuando esto sucede decimos que la sucesión 𝑎! se acerca tanto como se quiera al número 𝐿, esta idea la denotamos mediante una “pequeña flecha” →, a la que regularmente la enunciamos como “tiende”, así en lugar de decir, “la sucesión 𝑎! se acerca tanto como se quiera al número 𝐿”, sólo escribiremos
𝑎! → 𝐿 y lo leeremos 𝑎! tiende a 𝐿. Por otra parte, la sucesión se va acercando al número 𝐿, cuando el número 𝑛 va creciendo, el lenguaje empleado es; el número 𝑛 crece indefinidamente. Se entiende por “crece indefinidamente”, cuando damos un número positivo, sin importar su valor y en su crecimiento 𝑛 es más grande que el número que hayamos dado, por ejemplo Si proporcionamos el número 100, entonces en algún momento 𝑛 > 100. Si proporcionamos el número 34256543, entonces en algún momento 𝑛 > 34256543. Cuando el número 𝑛 llega a ser mayor a cualquier número positivo, decimos que el número 𝑛 crece sin cota, que tiende a infinito ∞ , denotamos la expresión “𝑛 tiende a infinito” o “𝑛 crece sin cota” como 𝑛 → ∞. Definición. Un número 𝑛 crece indefinidamente, si cada vez que se da un número natural 𝑀, se tiene que: 𝑛 > 𝑀. En este caso diremos que 𝑛 tiende a infinito y lo denotamos por 𝑛 → ∞.
Observa que ∞ no es un número.
. 𝐿 𝑎!
. |𝑎! − 𝐿|
Recordemos la actividad 3, en donde se pide que estudiemos el comportamiento de la sucesión 𝑎! = −1 !, en él concluimos que la sucesión en cuestión no se acerca a ningún valor, ya que solo toma los valores 1 y −1, es decir, no tiene límite.
Definición: a) Una sucesión 𝑎! que no tiene límite o este es infinito, se llama sucesión divergente. b) Una sucesión 𝑎! que tiene límite se llama sucesión convergente.
UNIDAD 2 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Propósitos. Analizar la variación y la razón de cambio mediante problemas cuyos modelos sean funciones polinomiales de primer, segundo o tercer grado y obtener la derivada de dichas funciones con apoyo de la noción de límite. Con esta Unidad pretendemos que alcances los aprendizajes siguientes: • Expliques el significado de la pendiente de una función lineal en el contexto de un problema dado. • Elabores una tabla, dibujes la gráfica y construyas una expresión algebraica asociadas al estudio de
problemas cuyos modelos sean funciones polinomiales de primero, segundo o tercer grado. • Identifiques que una función lineal tiene variación constante, en intervalos del mismo tamaño. • Identifiques que en una función cuadrática, el cambio del cambio es constante en intervalos del mismo
tamaño. • Infieras que el 𝑛−ésimo cambio es constante para funciones polinomiales de grado 𝑛. • Calcules la razón de cambio de una función polinomial, en un intervalo dado. • Utilices procesos infinitos como un camino para obtener la razón de cambio instantánea de una función
polinomial y la interpretes como un límite. • Identifiques a la derivada de una función polinomial de primer, segundo y tercer grado en un punto,
como el límite de las razones de cambio promedio.
• Calcules la derivada de funciones polinomiales usando: ( ) ( )'( )
x a
f x f af a límx a→
−=
−
ESTUDIO DE LA VARIACIÓN SITUACIONES QUE SE MODELAN CON FUNCIONES POLINOMIALES DE 1°, 2° Y 3°
GRADO.
SECUENCIAS DIDÁCTICAS. Las actividades que se muestran a continuación, tienen el propósito fundamental de dar significado a la pendiente de una función lineal en el contexto de un problema (primera variación), se elabore una tabla, dibujar la gráfica y construir una expresión algebraica asociadas al estudio del problema planteado, siempre procurando que los modelos sean funciones polinomiales de primer grado. Polinomios de primer grado. Actividad 1. A un resorte con 15 centímetros de longitud, se le han suspendido pesas de varios tamaños y con cada nueva pesa se ha medido su longitud, se observó que por cada kilo, el resorte se elonga 3 centímetros. Encuentra el modelo algebraico de la longitud 𝐿 del resorte en función del peso 𝑝. Para obtener el modelo algebraico del problema, contesta a las preguntas siguientes: ¿Qué se pide? ¿Si no hay pesas (𝑝 = 0), cuánto mide 𝐿? __________________________________ ¿Si 𝑝 = 1, cuánto mide 𝐿? ______________________________________________
Con base en las observaciones anteriores, completa la tabla siguiente:
Peso en Kg. (𝑝) 0 1 2 3 4 5 Longitud del resorte (𝐿) 15 21
¿Cómo varia 𝐿 con respecto a 𝑝, cuándo 𝑝 es un número entero? _____________________________________________________________________ Observa que la longitud del resorte, depende de la longitud sin pesa y crece según se van agregando pesas, es decir se tiene
[Longitud ] = [Longitud inicial] + [Longitud producida por la pesa] Escribe, con base en lo anterior, una expresión entre 𝐿 y 𝑝. _____________________________________________________________________ ¿La relación (regla de correspondencia, función) que acabas de encontrar qué nombre recibe? _____________________________________________________________________
Haz una gráfica de la relación que encontraste. Reunamos los aspectos básicos que dieron origen a esta función lineal.
Fenómeno físico Tabla de valores Representación gráfica Regla de correspondencia
Peso Longitud
0 15 1 18 2 21 3 24 4 27 5 30
𝐿 𝑝 = 3𝑝 + 15
0 1 2 3 4 5 Dominio
Rang
o
30
27
24
21
18
15
x
30
15
45
1 4 6 2 3 5 7
Como te habrás dado cuenta la relación funcional que hemos encontrado es, en este 𝐿 𝑝 = 3𝑝 + 15 contexto, ¿qué nombre recibe el número 3? ¿Y el número 15? _______________________________________________________________ ¿Con base en el problema qué significado tiene el número 3? _____________________________________________________________________ ¿Con base en el problema qué significado tiene el número 15? _______________________________________________________________ Actividad 2. La mamá de Víctor le acaba de servir una rica taza de café, como el café está muy caliente, a 90 °C, él espera a que se enfríe y para no aburrirse, mide la temperatura del café cada medio minuto durante los primeros tres minutos, y observa que la temperatura disminuye un grado en cada medición. Encuentra una relación entre el tiempo 𝑡 y la temperatura º𝐶 del café. Para obtener el modelo algebraico del problema, contesta a las preguntas siguientes: ¿Qué se pide? _________________________________________________________________________________ ¿Qué temperatura tiene el café inicialmente, es decir si 𝑡 = 0, entonces º𝐶 =? ________________ ¿Si 𝑡 = 1.5, cuánto mide º𝐶 =? _____________________________________________________ Con base en las observaciones anteriores, completa la tabla siguiente:
Tiempo 𝑡 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Temperatura º𝐶 90 87
¿Cómo varia 𝐶 con respecto a 𝑡? Observa que la temperatura del café está en función del tiempo que transcurre y decrece según pasa el tiempo,
[Temperatura] = [Temperatura inicial] − [Dos grados por cada minuto que transcurre] Escribe, con base en lo anterior, una expresión entre 𝐶 y 𝑡, 𝐶 𝑡 =_________________________ ¿La relación funcional que acabas de encontrar que nombre recibe? _____________________________________________________________________
Haz una gráfica de la relación que encontraste.
60
30
90
1 2 3
10 20
40 50
70 80
Reunamos los aspectos básicos que dieron origen a esta función lineal.
Fenómeno físico Tabla de valores Representación gráfica Regla de correspondencia
𝑡 º𝐶 0.0 90 0.5 89 1.0 88 1.5 87 2.0 86 2.5 85 3.0 84
𝐶 𝑡 = −2𝑡 + 90
Como te habrás dado cuenta la relación funcional que hemos encontrado es 𝐶 𝑡 = −2𝑡 + 90, en este contexto, ¿qué nombre recibe el número −2? ¿Y el 90? __________________________________________________________________ ¿Con base en el problema qué significado tiene el número −2? __________________________________________________________________ ¿Con base en el problema qué significado tiene el número 90? _______________________________________________________________ Observemos que en las actividades anteriores, hemos encontrado las relaciones
𝐿 𝑡 = 3𝑝 + 15 y 𝐶 𝑡 = −2𝑡 + 90
Estas relaciones se conocen como polinomios de primer grado o funciones lineales, como haz contestado anteriormente el número 3 y el número −2 son las pendientes de las funciones lineales, la pendiente es la razón de cambio promedio según el problema que modela, en el primer caso, es la razón promedio de la longitud del resorte por cada peso extra, en el segundo caso representa el enfriamiento del café, dos grados por cada minuto que transcurre.
Recordemos que la función polinomial de primer grado se puede simbolizar por:
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏
En donde 𝑚 es la pendiente de la recta (nuestra primera variación) y 𝑏 es la ordenada al origen, en nuestras actividades estas son:15 y 90, que representa el en primer caso, la longitud inicial del resorte y en el segundo la temperatura inicial del café.
En general la pendiente 𝑚 de una función lineal se determina por la fórmula 𝑚 = ! ! !!(!)!!!
, donde
𝑎, 𝑓 𝑎 y (𝑏, 𝑓 𝑏 ) son dos puntos cualesquiera de la gráfica de 𝑓. También recordemos la posición de la recta dependiendo del signo de la pendiente,
𝑚 > 0 la recta es creciente. 𝑚 < 0 la recta decrece 𝑚 = 0 la recta es 𝑚 indeterminada horizontal La recta es vertical
90
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
Unidad 2: LA DERIVADA: Estudio de la variación y el cambio. Aprendizaje: Explicar el significado de la pendiente de una función lineal. Elabora una tabla, dibuja la gráfica y construye una expresión algebraica asociada al estudio de problemas. Identifica que una función lineal tiene variación constante. En los siguientes problemas realiza las siguientes actividades a) Completa los valores de la tabla (variable independiente vs variable dependiente). Si la variable
independiente se incrementa ¿Qué sucede con el incremento de la variable dependiente? b) Obtén una fórmula entre las variables involucradas (de la forma y = a + mx). c) Con la fórmula obtenida calcula valores de la variable independiente, diferentes a los valores de la
tabla. d) Dibuja la gráfica que corresponde a la función que obtuviste. e) Calcula la razón de cambio (o rapidez de cambio) entre las variables involucradas, (expresa las
unidades) entre diferentes pares de valores de la variable independiente. EJERCICIOS. 1. Un automóvil viaja por una carretera recta. El automóvil viaja con una velocidad constante de 1 500
metros por cada minuto. Supongamos que en el momento en que empezamos a medir el tiempo ( t = 0, t = tiempo en
minutos) el automóvil se encuentra a 400 metros de un punto de referencia.
t ( Tiempo) d ( Distancia) 0 1 2 3 4 5 6
2. Alejandra que es una persona muy ordenada, llevó un registro de la estatura de su hijo desde su
nacimiento hasta los 20 años, observó que su hijo en los primeros 6 años creció en promedio 10 centímetros por año, su hijo al nacer tenía una estatura de 51 centímetros.
t (Tiempo en años) e ( Estatura)
0 1 2 3 4 5 6
"Una mujer puede encubrir su rostro con una sonrisa". Gibrán Jalil Gibrán.
3. En una cafetera se prepara café y se llena una taza cuando está a los 80 °C y se expone al medio
ambiente la cual se encuentra a 12 °C. Para todo fin práctico supongamos que en los primeros 10 minutos la temperatura de la taza de café disminuye uniformemente 3 °C por minuto.
t (Minutos) T (°C)
0 1 2 3 4 5 6 7
4. En nuestro país todo trabajador paga un impuesto sobre producto de trabajo, supongamos que este
impuesto es de 32%, es decir, si el trabajador gana $1000. 00 por este salario ganado debe de pagar $320.00 de impuesto. Calcula el impuesto de los siguientes salarios.
s (Salario) I (Impuesto)
5000 7000 9000
10 000 11 000 14 000 17 000 20 000
5. Los récords olímpicos (aproximados) de salto de garrocha durante los primeros años del siglo XX,
mostraron que se alcanzaban 8 pulgadas más en cada olimpiada, se inicio con la olimpiada de 1900 y el récord fue de 130 pulgadas. Completa la siguiente tabla.
a (Año) h (Altura en pulgadas)
1900 130 1904 1908 1912
Polinomios de segundo grado. Actividad 3. Un hombre se deja caer en caída libre (salto en Bunge), desde un acantilado con una altura de 490 metros, investiga su movimiento, es decir, encuentra el modelo algebraico de la caída libre, además calcula el tiempo en llegar al suelo y traza su gráfica. Para obtener el modelo algebraico del problema, contesta a las preguntas siguientes: ¿Qué se pide? _______________________________________________________________
Por lo que has estudiado en física sabes que la trayectoria de un objeto en caída libre está dada por:
𝑠 𝑡 = − !!𝑔𝑡! + 𝑣!𝑡 + 𝑠! (1)
donde 𝑠! es la distancia que lleva el hombre en el tiempo 𝑡, 𝑔 es la aceleración gravitatoria, considera 𝑔 = 9.8 !
!"#!, con base en esta información y las condiciones del problema.
¿qué valor tiene 𝑠!? 𝑠!= __________________ ¿qué valor tiene 𝑣!? 𝑣!= _____________________ Con el valor de 𝑔, escribe la función de la trayectoria del hombre. 𝑠 𝑡 = __________________________________________________________ Utilizando la función para 𝑠¿cuánto tiempo tarda el hombre en llegar al suelo? _______________________________________________________________ Ahora tienes una fórmula para la trayectoria del hombre en caída libre la cual es
𝑠 𝑡 = 4.9𝑡! Con base en la relación anterior, completa la tabla siguiente:
𝑡 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑠
Podemos observar que el hombre tarda 10 segundos en llegar al suelo, ¿Cómo podemos probar la afirmación anterior? __________________________________________________________________________________ Haz una gráfica de la relación que encontraste, con base en los datos que obtuviste.
s(t)
6 0 3 t
Reunamos los aspectos básicos que dieron origen a esta función cuadrática o función polinomial de segundo grado.
Fenómeno físico Tabla de valores Representación gráfica Regla de correspondencia
t s 0 0 1 4.9 2 19.6 3 44.1 4 78.4 5 122.5 6 176.4
𝑠 𝑡 = 4.9𝑡!
Actividad 4. Se lanza una pelota verticalmente desde el suelo, con una velocidad inicial de 30 m/seg. Investiga su movimiento. Solución. Primero para obtener el modelo algebraico del problema, contesta a las preguntas siguientes: ¿Qué se pide? ____________________________________________________________________ Con base en la ecuación (1) de la actividad 3. ¿Qué valor tiene 𝑠!? 𝑠!= __________ ¿qué valor tiene 𝑣!? 𝑣!= ______________________________________ Con el valor de 𝑔, escribe la trayectoria de la pelota.
𝑠 𝑡 = ______________________________________________________________ Utilizando la función para 𝑠¿cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? _______________________________________________________________ Ahora tienes una fórmula para la trayectoria de la pelota la cual es:
𝑠 𝑡 = −4.9𝑡! + 30𝑡 Con base en la relación anterior, completa la tabla siguiente:
𝑡 0 1 2 3 3.5 4 4.5 5 5.5 𝑠
Haz una gráfica de la relación que encontraste.
176
s(t)
6 0 3 t
La gráfica de esta función ¿qué nombre recibe? ________________________________ ¿Cuál es el vértice de esta parábola? Vértice ________________________________ ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire? _____________________________ Reunamos los aspectos básicos que dieron origen a esta función cuadrática o función polinomial de segundo grado.
Fenómeno físico Tabla de valores Representación gráfica Regla de correspondencia
t ( )s t 0 0 1 25.1 2 40.4 3 45.9 4 41.6 5 27.5 6 3.6
𝑠 𝑡= −4.9𝑡! + 30𝑡
Actividad 5. Muestra que si un rectángulo tiene base 𝑥, y su perímetro es de 100 centímetros (como se te muestra en la figura), entonces su área 𝐴está dada por la función 𝐴 𝑥 = 𝑥 50 − 𝑥 = −𝑥! +50𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 50, calcula el valor de 𝑥 que hace el área mayor.
𝐴 𝑥 = 𝑥 50 − 𝑥 = −𝑥! + 50𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 50 Solución. Para obtener el modelo algebraico del problema, contesta a las preguntas siguientes: ¿Qué se pide? _____________________________________________________________________ Llamemos 𝑥 a la longitud de la base ¿qué longitud tiene la altura, en términos de 𝑥? _____________________________________________________________________ Con base en las longitudes de la base y la altura, escribe la fórmula del área 𝐴 del rectángulo. 𝐴 𝑥 =____________________________________________________ Da algunos valores a 𝑥 y encuentra el área del rectángulo respectiva.
𝒙 10 15 20 30 35 45 52 𝟓𝟎 − 𝒙 𝑨(𝒙)
s(t)
6 0
45
3
t
x
Haz la gráfica de la función, con base en los datos que haz calculado Con base en la información que tienes ¿puedes decir cuál valor de 𝑥 hace el área más grande? ¿Cómo justificarías tu respuesta?________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ Nuestro esquema es el siguiente:
Fenómeno físico Tabla de valores Representación gráfica
Regla de correspondencia
𝑥
𝐴 𝑥 = −𝑥! + 50𝑥
De los ejercicios que hemos realizado, hemos encontrado las funciones siguientes:
𝑠 𝑡 = 4.9𝑡!, 𝑠 𝑡 = −4.9𝑡! + 30𝑡 y 𝐴 𝑥 = −𝑥! + 50𝑥 Estas funciones reciben el nombre de polinomios de segundo grado y su forma genérica es:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 En este curso, veremos el significado de los parámetros que la componen, pero esto será posteriormente.
𝒙 𝟓𝟎 − 𝒙 𝑨(𝒙) 10 40 400 20 30 600 30 20 600 40 10 400
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
Unidad 2: LA DERIVADA: Estudio de la variación y el cambio Aprendizaje: Elaborará una tabla, dibujará la gráfica y construirá una expresión algebraica asociada al estudio de problemas cuyos modelos sean funciones polinomiales de segundo grado. Identificará que en una función cuadrática, el cambio del cambio es constante en intervalos del mismo tamaño. En los problemas que se enlistan a continuación realiza las actividades siguientes: a) Construye una tabla (variable independiente vs. variable dependiente) si la variable independiente se
incrementa ¿qué sucede con la variable dependiente? b) Obtén una fórmula entre las variables involucradas. c) Dibuja la gráfica que corresponde a la función que obtuviste. d) Calcula la razón de cambio entre las variable involucradas, una vez que hayas obtenido esta razón
vuelve a calcular la razón de esta, es decir, calcula la segunda razón de cambio ¿qué observas?
1. Un fabricante ha vendido 1000 aparatos de televisión por semana a 4500 pesos cada uno. Una
investigación de mercado indica que por cada 100 pesos de descuento que ofrezca, el número de aparatos se incrementará en 100 por semana. ¿Cuán grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía para maximizar su ingreso?
2. Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que se
ocuparán todas si la renta es de 4000 pesos al mes. Una investigación del mercado sugiere que, en promedio, quedará una unidad adicional vacía por cada incremento de 50 pesos en la renta. ¿Cuánto debe cargar el gerente por renta para maximizar el ingreso?
3. Halla dos números de producto mínimo y diferencia 100.
4. Un granjero tiene 2000 metros de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un
río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande?
5. Encuentra el punto de la recta 𝑦 = 4𝑥 + 7 cuya distancia al cuadrado sea el menor al origen.
6. Halla dos enteros positivos tales que la suma del primer números con el cuádruplo del segundo
número sea 1 000 y el producto de los números sea lo mayor posible. En los siguientes problemas contesta lo que se te pide
7. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de !!
!+ 1 gramos después de
𝑡 horas.
a) ¿Cuánto creció durante el intervalo 2 ≤ 𝑡 ≤ 2.01? b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo 2 ≤ 𝑡 ≤ 2.01? c) ¿Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando 𝑡 = 2?
“Toda cosa grande, majestuosa y bella en este mundo, nace y se forja en el interior el hombre” Gibrán Jalil Gibrán.
8. Un negocio está prosperando de tal modo que su beneficio total (acumulado) después de t años es 1000 𝑡! pesos.
a) ¿Cuánto producirá el negocio durante el tercer año (es decir, entre 𝑡 = 2 y 𝑡 = 3)? b) ¿Cuál es su tasa promedio de utilidad (utilidad promedio marginal) durante el primer semestre del
tercer año (entre 𝑡 = 2 y 𝑡 = 2.5)? c) ¿Cuál es la tasa instantánea de utilidad (utilidad marginal) para 𝑡 = 2?
9. Se lanza una pelota que sigue la trayectoria descrita por 𝑦 = 𝑥 − 0.02𝑥!
a) Representa la gráfica de la trayectoria b) Encuentra la distancia total que recorre la pelota c) ¿Para qué valor de x alcanza la pelota su altura máxima? d) Encuentra la ecuación que expresa la razón de cambio instantáneo de la altura de la pelota
respecto al cambio horizontal. Resuelve la ecuación en 𝑥 = 0, 10, 25, 30. e) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo de la altura cuando la pelota alcanza su altura máxima?
10. El radio de una mancha de aceite circular provocada por un derrame está creciendo a una razón
constante de 2 kilómetros por día. ¿A qué razón está creciendo el área del derrame 3 días después de qué empezó?
11. Encuentra la razón de cambio del área de un círculo con respecto a su circunferencia cuando la
circunferencia es de 6 centímetros. 12. El peso en gramos de un tumor maligno en el momento 𝑡 es 𝑊 𝑡 = 0.2𝑡! − 0.09𝑡, donde 𝑡 se
mide en semanas. Encuentra el índice de crecimiento (razón de cambio) del tumor cuando 𝑡 = 10.
Polinomios de tercer grado. Actividad 6. El clásico problema de la caja. Con un cartón de 40 por 80 centímetros, se desea hacer una caja sin tapa, cortando cuadrados en las esquinas. Calcula el volumen de la caja, en función del tamaño del corte al que llamaremos 𝑥, así como el valor de 𝑥 que hace que la caja tenga un volumen mayor.
Solución. Para obtener el modelo algebraico del problema, contesta a las preguntas siguientes: ¿Qué se pide? _________________________________________________________________________________ Llamemos 𝑥 a la longitud del corte ¿qué longitud tiene la altura, en términos de 𝑥? _________________________________________________________________________________ ¿Qué longitud tiene la base, en términos de 𝑥? Base = ____________________________________ ¿Qué longitud tiene el ancho en términos de 𝑥? Ancho = __________________________________ Con base en las longitudes de la caja, ¿cuál es el volumen de la caja? 𝑉 𝑥 = __________________________________________________________________________ Dale valores a 𝑥 y calcula el volumen de la caja, resume tus datos en la tabla siguiente:
𝑥 1 4 7 9 10 14 15 21 80 − 2𝑥 40 − 2𝑥 𝑉(𝑥)
¿Por qué el volumen de la caja varia? ___________________________________________________ ¿Qué valor de 𝑥 hace que el volumen sea el más grande? 𝑥 _________________________________ ¿Cómo mostrarías que tu afirmación es cierta? ____________________________________________ Con los datos obtenidos, construye una gráfica de 𝑥 relacionada con 𝑉.
Los aspectos principales que dan lugar a esta función polinomial de tercer grado son los siguientes:
Fenómeno físico Tabla Representación gráfica Regla de correspondencia
𝑥 𝑉 1 2964 2 5472 3 7548 8 12288
10 12000
𝑉 𝑥 = 80 − 2𝑥 40 − 2𝑥 𝑥 = 4𝑥! − 240𝑥! + 3200𝑥
ACTIVIDAD 7. Un rectángulo tiene dos vértices en el eje de las 𝑥, y los otros dos en la parábola dada por la función 𝑦 = −𝑥! + 9 ¿Cuáles son las dimensiones que debe tener este rectángulo para que su área sea máxima? Solución. ¿Qué se pide? __________________________________________________________________________________ Dibuja la gráfica de la función 𝑦 en el plano siguiente: Ahora dibuja en él, un rectángulo con las características dadas. ¿Se puede dibujar otro rectángulo, con las mismas características? ______________________ ¿Cuántos rectángulos se pueden dibujar? __________________________________________ ¿Cómo calcularías la altura? _________________________________________________ Con los datos obtenidos calcula el área del rectángulo que dibujaste. Área = _________________
118000
20
𝑥 0 −1 −2 −3 −4 4 3 2 1
8
10
6
4
2
𝑦
Llamemos 𝐴 a esta área, y utilicemos la notación funcional, es decir, si tu rectángulo tiene su vértice en el punto (2,0), su área la llamaremos 𝐴(2), Observa el ejemplo.
Ahora, completa la tabla siguiente, y en el plano adjunto dibuja los valores encontrados. Escribe el área del rectángulo, cuando se elige 𝑥, 𝐴 𝑥 = ____________________________________ La función área 𝐴 que acabas de encontrar, en general ¿qué nombre recibe? _____________________ ¿Qué valor de 𝑥 hace que el área sea mayor? 𝑥 = __________________________________________ ¿Cómo mostrarías que tu afirmación es cierta? _____________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ¿Podrías encontrar otro valor de 𝑥 (por ejemplo un número entero con un decimal) en cuyo valor, el área del rectángulo sea mayor?______________________________________________________________ ¿Podrías encontrar otro valor de 𝑥 (por ejemplo un número entero con dos decimales) en cuyo valor, el área del rectángulo sea mayor?__________________________________________________________
Ejemplifiquemos con 𝑥 = 2 Longitud de la altura
𝑦(2) = −(2)! + 9 = −4+ 9 = 5 por lo que el área de este rectángulo es
𝐴(2) = 4(5) = 20 (observa que cuando tomamos 𝑥 = 2, sólo tomamos la mitad de la base), unidades cuadradas, que podemos simbolizarla por 𝑢!, así
𝐴(2) = 20 𝑢!.
𝑥 0 −1 −2 −3 −4 4 3 2 1
8
10
6
4
2
𝑦
𝑦(2) = altura
Mitad de la
base 𝑥 Altura Área 𝐴(𝑥)
0.2 0.5 1.0 1.3 1.8 2.0 2.4 2.8 3.0 3.2 𝑥
4 3 2 1
2
4
6
8
10
𝑥
𝐴(𝑥)
¿Se podría seguir este proceso y continuar encontrando mejores aproximaciones? _________________ ___________________________________________________________________________________ ¿Tu gráfica está bien trazada? __________________________________________________________ Justifica tu respuesta Los aspectos principales que dan lugar a esta función polinomial de tercer grado son los siguientes:
Problema Tabla Representación gráfica Regla de correspondencia
𝑥 𝐴(𝑥) .5 4.375 1 8
1.5 10.125 2 10
2.5 6,875 3 0
𝐴 𝑥 = −𝑥! + 9𝑥
Resumen: Las funciones polinomiales que hemos tratado son de primer, segundo y tercer grado, representémoslas en el cuadro siguiente. representémoslas en el cuadro siguiente.
Fenómeno Función Grado Forma general Resorte 𝐿 𝑝 = 3𝑝 + 15
Primero 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Café 𝐶 𝑡 = −2𝑡 + 90 Lanzamiento 𝑠 𝑡 = −4.9𝑡! + 30𝑡
Segundo 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 Rectángulo 𝐴 𝑥 = −𝑥! + 50𝑥 Caja 𝑉 𝑥 = 4𝑥! − 260𝑥! + 4000𝑥
Tercero 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥! + 𝑐𝑥 + 𝑑 Rectángulo 2. 𝐴 𝑥 = −𝑥! + 9𝑥
En general los polinomios en la variable 𝑥 son funciones del tipo
en donde las 𝑎! son números racionales y 𝑛 es un número natural.
f (x) = anxn + an−1x
n−1 ++ a1x + a0
20
𝑥
𝑦 12
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
Unidad 1:POLINOMIOS DE TERCER GRADO. Aprendizaje. Calcula la razón de cambio de una función polinomial de tercer grado, identifica que la razón de cambio del cambio del cambio es constante en polinomios de tercer grado.
1. El volumen 𝑉 𝑟 = !!𝜋𝑟! de un globo esférico cambia con el radio. ¿Cuál es la razón de
cambio del volumen respecto del radio, a) cuando el radio cambia de 𝑟 = 2 a 𝑟 = 3? b) cuando el radio cambia de 𝑟 = 2 a 𝑟 = 2.1? c) cuando el radio cambia de 𝑟 = 2 a 𝑟 = 2.01? d) cuando el radio cambia de 𝑟 = 2 a 𝑟 = 2.001? e) ¿Se puede dar la razón de cambio cuando 𝑟 = 2?, de ser así ¿cuánto vale esta razón?
2. Considera a la función 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 1, en intervalos de longitud 1, calcula su imagen así como
las tres primeras variaciones
𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑓(𝑥)
Primer cambio Segundo cambio Tercer cambio
¿Qué puedes concluir de la tercera variación con respecto a la función?
3. Una caja cerrada se fabrica con un cartón de 80 cm por 50 cm, cortando cuadrados de igual tamaño y doblando por la línea punteada, como se muestra en la figura. Encuentra las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir de esta manera.
4. ¿Qué número restado a su cubo nos da la diferencia más grande?
5. Encuentra el número más pequeño 𝑀 tal que para cualquier elección de 𝑥 que satisfaga la desigualdad 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, se cunpla 2𝑥! − 𝑥! ≤ 𝑀.
6. De un cartón de 20 por 20 centímetros, se cortan cuadrados en las esquinas, de modo que los
lados se puedan doblar para armar una caja. Si la base debe ser cuadrada ¿Qué dimensiones producirá una caja de volumen máximo?
El objetivo de nuestra vida no es superar a los demás, sino superarnos a nosotros mismos. S. Jonson.
80 𝑐𝑚
50 𝑐𝑚
40 𝑐𝑚 40 𝑐𝑚
7. Un consultor determina que la utilidad anual de una empresa se representa por
𝑃 𝑛 = −10𝑛! − 4600𝑛! + 400 000𝑛 − 200 000 donde 𝑛 es la cantidad de trabajadores que emplea en la línea de ensamble ¿cuántos trabajadores para la línea de ensamble se deben de contratar para obtener la utilidad máxima?
8. Una partícula se mueve según la ley de movimiento 𝑠 = 𝑓 𝑡 , 𝑡 ≥ 0, donde 𝑡 se mide en segundos y 𝑠 en metros, para las funciones mostradas en las figuras 8.1 y 8.2 encuentra. a) ¿Cuál es la velocidad de 0 a 3 segundos? b) Encuentra la distancia recorrida en los primeros tres segundos. c) De los intervalos [0,1] y [1, 2] en ¿cuál de ellos va más rápido? 8.1 𝑓 𝑡 = 0.2𝑡! − 𝑡 + 3 8.2 𝑓 𝑡 = 𝑡! − 2𝑡 + 1
𝑥
20