notas p. de markov
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Notas P. de MarkovTRANSCRIPT
Calculo Estocastico y Procesos de Markov
El Memo
Resumen
Notas a las notas de Le-Gall
1. Capıtulo 1
Lema 1 (Observacion a la pagina 6). Si X es un vector gaussiano con valoresen E (espacio euclıdeo real de dimension d), existe un unico vector mX ∈ Ey una unica forma cuadratica positiva qX sobre E tal que
E (〈u,X〉) = 〈u,mX〉var(〈u,X〉) = qX(u),
para todo u ∈ E. Existe ademas un unico endomorfismo simetrico positivoγX : E → E tal que
qX(u) = 〈u, γX(u)〉,
para todo u ∈ E.
Demostracion. Sea e = {e1, ..., ed} una base ortonormal de E. Definimos
mX =d∑
i=1
E (〈ei, X〉) ei.
Notamos que X =∑d
i=1〈ei, X〉ei es la descomposicion de X bajo la base
ortormal e. Sea u ∈ E y u =∑d
i=1〈u, ei〉ei la descomposicion de u bajo la
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base ortonormal e. Tenemos
E (〈u,X〉) = E
(d∑
i=1
d∑j=1
〈ei, X〉〈ej, u〉〈ei, ej〉
)
=d∑
i=1
E (〈ei, X〉) 〈ei, u〉
= 〈u,mX〉.
Ahora consideremos la matrizQX = [cov(Xi, Xj)]di,j=1, dondeXi = 〈ei, X〉.
Definimos el endomorfismo γX(u) = QXu y la forma cuadratica
qX(u) = ut QX u para todo u ∈ E.
Si u =∑d
i=1 uiei donde ui = 〈ei, u〉, entonces
qX(u) =d∑
i=1
d∑j=1
uiujcov(Xi, Xj) = 〈u, γX(u)〉.
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Po otro lado, para u ∈ E,
var(〈u,X〉) = E (〈u,X〉 − E (〈u,X〉))2
= E (〈u,X〉 − 〈u,mX〉)2
= E (〈u,X −mX〉)2
= E
⟨ d∑i=1
uiei ,
d∑j=1
(Xj − E (Xj))ej
⟩2
= E
(d∑
i=1
d∑j=1
ui(Xj − E(Xj))〈ei, ej〉
)2
= E
(d∑
i=1
ui(Xi − E (Xi))
)2
= E
(d∑
i=1
d∑j=1
uiuj(Xi − E (Xi))(Xj − E (Xj))
)
=d∑
i=1
d∑j=1
uiujE ((Xi − E (Xi))(Xj − E (Xj)))
=d∑
i=1
d∑j=1
uiujcov(Xi, Xj)
= qX(u).
El vector mX no depende de la eleccion de la base. Sea e′ = {e′1, ..., e′n}otra base ortonormal para E y sea m′
X =∑d
i=1 E (〈e′i, X〉) e′i. Entonces
〈u,mX〉 = E (〈u,X〉) = 〈u,m′X〉
para todo u ∈ E. En particular,
〈mX −m′X ,mX −m′
X〉 = 〈mX ,mX〉 − 〈mX ,m′X〉 − 〈m′
X ,mX〉+ 〈m′X ,m
′X〉
= E (〈mX , X〉)− E (〈mX , X〉)− E (〈m′
X , X〉) + E (〈m′X , X〉)
= 0.
De donde, mX = m′X .
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La forma cuadratica qX y el endomorfismo γX no depende de la baseelegida. Si ahora X ′
i = 〈e′i, X〉, Q′X = [cov(X ′
i, X′j)]
di,j=1, γ
′X(u) = Q′
Xu yq′X(u) = 〈u, γ′X(u)〉, entonces
qX(u) = 〈u, γX(u)〉 = var(〈u,X〉) = 〈u, γ′X(u)〉 = q′X(u),
para todo u ∈ E. En particular,
〈γX(u)−γ′X(u), γX(u)−γ′X(u)〉 = qX(γX(u)−γ′X(u))−q′X(γX(u)−γ′X(u)) = 0,
de donde γX(u) = γ′X(u).
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