notas mate iii

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c©Derechos Reservados Enero 2014

Indice general

Indice general 3

1. Algebra Escalar y Vectorial 51.1. Sistemas Escalares y Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Sistemas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Operaciones Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Suma de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Producto Punto o Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Producto Cruz o Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4. Producto Triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Funciones Vectoriales 172.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Espacio Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Rectas en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3. Superficies Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Coordenadas cilındricas y esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Diferenciacion Vectorial 333.1. Derivada de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2. Reglas de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.3. Vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.4. Vector binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.5. Curvatura de una funcion vectorial . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 INDICE GENERAL

4. Derivadas Parciales 414.1. Funciones de Variables Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.2. Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.3. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Operador nabla (∇) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6.1. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.2. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.7. Maximo y Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.8. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Integrales Multiples 635.1. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3. Integral Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4. Integrales dobles sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . 695.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bibliografıa 73

Capıtulo 1

Algebra Escalar y Vectorial

1.1. Sistemas Escalares y Vectoriales

En la fısica existen dos tipos de cantidades: las escalares y vectoriales. Ambascantidades tienen magnitud y unidad, pero la diferencia radica en que una can-tidad vectorial ademas de tener esas dos caracterısticas pose sentido, es decir ladireccion en donde se aplica la magnitud con su respectiva unidad. Matematica-mente una cantidad escalar representa un elemento de los reales R y un vector esun elemento de Rn, donde n > 1 y n ∈ R.En la fısica tenemos gran variedad de estas cantidades, por ejemplo la masa,

temperatura, longitud, volumen, tiempo son cantidades que solo basta decir sumagnitud y su unidad correspondiente (50s, 3m, 36C), sin embargo la posicion,velocidad, aceleracion, fuerza, trabajo son cantidades que ademas de dar su mag-nitud es necesario decir hacia donde se dirige (norte, sur, este u oeste) o biencon que inclinacion referente a un eje se aplica dicha magnitud, esta cantidad se

representa con vectores (−→F ,−→v ,

−→W , etc) y existen varias formas de expresar los

vectores. La primera forma es la polar, dada por su magnitud y el angulo desdeel origen, comunmente se toma al eje x como origen y girando en contra de lasmanecillas del reloj.

−→T =

(30m

s, 60oC

)Otra forma de representar un vector es por componente, recordemos que se

dijo que un vector es un elemento de Rn por lo cual tiene un valor para cadaeje, en este caso analizaremos solamente cuando n = 2, 3, por lo que el vectorestara conformado por dos o tres elementos respectivamente.

−→T = 5i+ 6j + 9k

6 Algebra Escalar y Vectorial

donde i, j y k son vectores unitarios. Un vector unitario se define como un vectoren cualquier direccion con magnitud igual a la unidad. En este caso los vectorescorresponden a los ejes x, y&z respectivamente.

1.1.1. Sistemas vectoriales

Sistemas Rectangulares

Mencionamos anteriormente que una cantidad escalar es una cantidad con uni-dad y magnitud, cuando la cantidad escalar tiene una direccion dicha cantidad seconvierte en un vector. Con lo anterior decimos de alguna forma que una cantidadescalar R es un subconjunto del espacio Rn.Para lo anterior requerimos fijar un punto de referencia y referir sistemas de

referencia dichos sistemas se establecen eligiendo vectores bases, dichos vectoresdeben de cumplir ciertas condiciones, de las cuales no entraremos a fondo, demanera matematica se dice que los vectores base deben de ser ortonormales, esdecir que sean ortogonales entre ellos y la magnitud de dichos vectores debe deser unitaria. Entonces cuando un punto tiene direccion unitaria tendremos quedicho punto es un vector en una dimension, ademas obedecen la regla de la manoderecha, ahora bien si escogemos dos o tres direcciones ortogonales, es decir queentre ellos formen un angulo de 90oC entre ellos diremos que tenemos un vectoren dos y tres dimensiones respectivamente.

Figura 1.1: Representacion de los vectores en el plano cartesiano

Ahora hablaremos de vectores en 3D puesto que al quitar una dimension tenemosvectores en 2D y al quitar dos dimensiones tenemos vectores en 1D, es decir elcaso de 3D es el caso general y podemos reducirlo a los casos particulares. Paradescribir un vector en 3D requerimos tres entrada a la cual le corresponde unadireccion, la forma de escribir un vector en 3D es:

v =< a, b, c > (1.1)

1.1.1.0. Sistemas Rectangulares 7

Figura 1.2: Representacion de los vectores en el espacio

para dos dimensiones tenemos v =< a, b >A partir de esto se define nuestra referencia el cual corresponde a un vector

neutro o como bien se le conoce vector cero, donde el vector neutro o cero sedefine como un vector donde sus entradas son el elemento neutro de su direccion,para el sistema que conocemos tenemos que

< 0 >=< 0, 0, 0 > (1.2)

Cuando nuestro origen sea diferente al vector cero, o dicho de otra forma quenuestro vector esta dado por dos puntos P y Q, entonces se toman los vectores−→OP y

−→OQ entonces el vector que va del punto P al punto Q se define como

−→PQ =

−→OQ−

−→OP (1.3)

si el vector fuera del punto Q al punto P , el vector esta dada como

−→PQ =

−→OP −

−→OQ (1.4)

en una forma mas general cuando se tiene dos puntos uno inicial y el otro final,se toman los vector de dichos puntos y se hace la resta del punto final menos elpunto inicial.Otra forma de escribir un vector es mediante sus direcciones unitarias, para ello

se etiquetan los ejes de cada direccion y tenemos los ejes x, y, z y sus direccionesunitarias son i, j, k, de esta forma el vector se escribe como

< v >= −→v = ai+ bj + ck =< a, b, c > (1.5)

Ahora bien se define la norma del vector o su magnitud como

|v| =

√√√√ n∑i

A2i (1.6)

para el caso de 3D tenemos


|v| =√a2 + b2 + c2 (1.7)

La notacion para la norma son la siguientes: |v| o bien v. Hemos hablado antes devector unitarios y se ha dicho que su magnitud, o bien su norma, tiene como valorla unidad, es decir −→u =< x, y, z > es vector unitario si se cumple lo siguientes

|u| =√x2 + y2 + z2 = 1 (1.8)

Cuando un vector es unitario su notacion es u. Sin embargo existe una regla para

convertir cualquier vector no unitario a una vector unitario. Sea−→A =< x, y, z >

un vector no unitario, entonces su vector unitario es

A =

−→A

|A|(1.9)

Dada una forma de los vectores podemos pasar a la otra mediante la normal delvector o funciones trigonometricas. Independiente de la forma en como se de elvector este tiene sus componente cartesianas, si se nos da la forma polar podemoscalcular sus componentes (en dos dimensiones) de la siguiente formaAl inicio se definio un vector mediante su magnitud y una direccion la cual esta

dada por un angulo, primeramente explicaremos el caso de dos dimensiones parageneralizar a tres dimensiones. Para iniciar se cuando definimos un vector de estamanera tenemos que el vector esta referido del origen y el angulo sera referidodel eje x en sentido opuesto de las manecillas del reloj. Entonces tenemos que unvector −→v esta dado por (|v|, θ), supongamos que el vector v = ai + bj diremosque a y b son sus componentes rectangulares las cuales estan dadas por

a = v cos θ (1.10)

b = v sin θ (1.11)

Ahora bien si tenemos las componentes del vector, y queremos obtener la normay su angulo se usa la ecuacion 1.6 y para obtener el angulo referido del eje xusamos la siguientes ecuacion

θ = arctanb

a(1.12)

Como lo hemos hablado anteriormente todo esto depende del sistema de referen-cia, estas funciones estan determinadas por un triangulo rectangulo y sus funcio-nes trigonometricas, entonces si cambiamos la referencia del angulo las funciones

1.2. Operaciones Vectoriales 9

tambien cambian, por lo cual se debe de tener cuidado cuando de las referenciasque se toman.Pasa el caso de 3D tenemos que el vector estara dado por una magnitud y

tres angulos, cada uno referido de cada eje, sin embargo para hablar de ello senecesitan mas la definicion del producto escalar, el cual se vera mas adelante.

1.2. Operaciones Vectoriales

1.2.1. Suma de Vectores

Una de las caracterısticas de los vectores es su algebra para ello necesitamos

definir tres vectores−→A ,−→B y

−→C se define la suma de los vectores como

−→A +

−→B =

∑i

Ai +Bi (1.13)

donde nuevamente i corresponde a la componente vectorial, la ecuacion 1.13 nosdice que los vectores unicamente se pueden sumar componente con componentes.Esta suma tiene varias propiedades las cuales son las siguientes:

Conmutativa−→A +

−→B =

−→B +

−→A

Asociativa(−→A +

−→B)

+−→C =

−→A +

(−→B +

−→C)

Distributiva respecto a un escalar Sea m un escalar entonces se cumple que

m(−→A +

−→B)

= m−→A +m

−→B

Elemento Neutro Este elemento neutro es tal que cuando se suma a otro ele-

mento el este segundo se conserva−→A +

−→N =

−→A en nuestro marco de refe-

rencia se conoce como−→0

Otra caracterıstica que se tiene en la suma es el vector negativo −−→A el cual lo

unico que indica es que la direccion es opuesta a la del vector−→A , es decir si

−→A

tiene sentido hacia el norte −−→A tiene sentido al sur.

La suma anterior es la forma analıtica pero sin embargo existe dos metodosgraficos para sumar vectores, la primera se llama Ley del paralelogramo el cualcorresponde solamente cuando se tienen dos vectores y dicha regla consiste enformar un paralelogramo con los dos vectores tal como se muestra en la figura1.3, el vector resultante sera el que se forme del origen a la contra esquina delparalelogramo formado


Figura 1.3: Ley del paralelogramo

Figura 1.4: Suma de 3 vectores

La otra regla corresponde cuando se tienen mas de dos vectores, en este casose puede tomar dos vectores aplicar la ley del paralelogramo, cuando se tiene elvector resultante se toma el siguiente vector de la suma y se aplica nuevamentela ley del paralelogramo con el vector resultante en la primera suma y se repiteel este paso hasta terminar con la suma de los vectores, esto se puede gracias a lapropiedad asociativa de la suma, sin embargo se vuelve un trabajo un laboriosopor lo cual se tiene la regla poligonal la cual consiste solamente en dibujar el pri-mer vector partiendo del origen, para dibujar el segundo vector tomamos el origendonde termina el primero, analogamente con el tercer vector y ası sucesivamenteal finalizar solo dibujamos el vector resultante partiendo del origen hasta dondetermina el ultimo vector. Un ejemplo lo podemos tomar de la figura

Existen otras operaciones entre dos vectores las cuales se les llaman productopunto o escalar y producto cruz o vectorial, el nombre se debe a la notacion obien al resultado de la misma operacion.

1.2.2. Producto Punto o Escalar

En el caso del producto punto o escalar se tiene que nuestro resultado es unescalar y la definicion de dicha operacion esta dada como: .El producto de lamagnitud de los dos vectores por el coseno del angulo entre ellos.este angulocorresponde al menor de los dos angulos formados. Matematicamente se expresa

1.2.2. Producto Punto o Escalar 11

−→A.−→B = AB cos θ (1.14)

Otra forma en la que se define el producto escalar es

−→A.−→B =

n∑i

AiBi (1.15)

donde i corresponde a la componente vectorial de los vectores, estas dos ecuacio-nes pueden ser igualadas por lo que se tiene

AB cos θ =n∑i

AiBi (1.16)

al despejar el coseno obtenemos

cos θ =

∑ni AiBi

AB(1.17)

Con la ecuacion 1.17 es posible determinar el angulo entre los dos vectores.

La representacion fısica que tiene el producto escalar es que esta es una proyec-cion del vector con menor magnitud sobre el vector con mayor magnitud, visto deotra forma serıa un tipo de componente vectorial sobre el otro vector, para queel caso sea mas ilustrando veamos la figura 2.1. Cuando se habla de proyeccionesmuchas veces se hace referencia un vector unitario al tener este caso se tiene unaproyeccion escalar sobre esa direccion.

Como esta operacion esta basada en un algebra definida existen varias propieda-des que se deben cumplir entre ellas. La conmutativa, distributiva respecto a unescalar y tenemos una nueva propiedad que es la asociativa respecto a un escalary esta dada por

m(−→A ·−→B)

=(m−→A)·−→B =

−→A ·

(m−→B)

Algo particular de producto escalar es que si se tienen dos vectores perpendicula-

res su producto punto es cero. Es decir si−→A y−→B son dos vectores perpendiculares

entonces se cumple que

−→A ·−→B = 0


Figura 1.5: Proyeccion de un vector.

1.2.3. Producto Cruz o Vectorial

El producto Cruz o Vectorial como su nombre lo dice tiene como resultado unvector, esta operacion se define como el producto de las magnitudes por el senodel angulo entre ellos, y la direccion esta dada por la regla de la mano derecha ysu expresion matematica es

−→AX−→B = AB sin θn (1.18)

Si tenemos las componente vectoriales se puede obtener el vector resultantemediante un determinante dado por

−→AX−→B =

∣∣∣∣∣∣i j kAx Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣∣ (1.19)

La propiedades mas importante de esta operaciones es que el vector resultantees un vector perpendicular a los otros dos por tal razon esta operacion es de granutilidad.Entre las propiedades que tenemos en el producto vectorial esta la anticonmu-

tatividad es decir

−→AX−→B 6=

−→BX−→A

para ser mas precisos al cambiar el orden cambia el signo del vector resultante.

Tambien se tiene que si−→A y

−→B son paralelos entonces se cumple

−→AX−→B = 0

Tambien presenta la distribucion ante la suma(−→A +

−→B)X−→C =

−→AX−→C +

−→B−→C

1.2.4. Producto Triple 13

Figura 1.6: Calculo del volumen de un paralelepıpedo

Entre las identidades mas conocidas esta la regla de la expulsion

−→AX

(−→BX−→C)

=(−→A ·−→C)−→B −

(−→A ·−→B)−→C

1.2.4. Producto Triple

Sean tres vectores, −→u ,−→v ,−→w son vectores en el espacio 3D, entonces al numero

−→u · (−→v X−→w ) (1.20)

se le llama el triple producto escalar de −→u ,−→v ,−→w . La forma de obtenerlo es conun sencillo determinante, sin necesidad de resolver primeramente el producto cruzy despues el producto punto, el determinante antes mencionado es de la forma

−→u · (−→v X−→w ) =

∣∣∣∣∣∣ux uy uzvx vy vzwx wy wz

∣∣∣∣∣∣ (1.21)

Una de las propiedades del producto triple es la posibilidad de expresar el volu-men de un paralelepıpedo de la siguiente forma, se tiene un paralelepıpedo de lacomo la imagen 1.6, entonces el volumen de dicho prima es

V = −→u · (−→v X−→w ) (1.22)


1.3. Ejercicios

1. Encuentre la norma de −→v .

a) −→u =< 1,−1 >

b) −→u =< −1, 7 >

c) −→u =< −1, 2, 4 >

d) −→u =< −3, 2, 1 >

2. Encuentre el producto punto de los vectores y el coseno del angulo entreellos.

a) −→u = i+ 2j;−→v = 6i− 8j

b) −→u =< −7, 3 >,−→v =< 0, 1 >

c) −→u =< 1,−3, 7 >,−→v =< 8,−2,−2 >

d) −→u =< −3, 1, 2 >,−→v =< 4, 2,−5 >

3. Dados los vectores vectores −→x = (1, 2) y −→y = (3,−1), hallar el vectorcombinacion lineal −→z = 2−→x + 3−→y

4. El vector vector −→z = (2, 1), ¿se puede expresar como combinacion lineal delos vectores −→x = (3,−2) y −→y = (1, 4)

5. Calcular el valor de k sabiendo que operacion −→a .−→b = 0, donde −→a = −2−→u +

k−→v y−→b = 5−→u − 3−→v , ademas −→u = (2,−3) y −→v = (5, 1).

6. Dados los vectores −→u = (2, k) y −→v = (3,−2), calcula k para que los vectoresvector y vector sean: Perpendiculares, Paralelos, Formen un angulo de 60◦.

7. Calcular los angulos del triangulo de vertices: A(6, 0), B(3, 5), C(−1,−1).

8. Dados los vectores −→u = (1, 2, 3), −→v = (2, 0, 1) y −→w = (−1, 3, 0) hallar:−→u X−→v , −→u X−→w , −→v X−→u y −→v X−→w .

9. Encontrar (−→u X−→v ) · −→w (−→v X−→w ) · −→u

10. Hallar el angulo que forman los vectores (1, 1, 1) con (2, 2, 1); (3, 2, 4) con(5, 6, 8)

11. Hallar los cosenos directores para (2, 2, 1) y (6, 3, 2)

1.3. Ejercicios 15

12. Encontrar un vector perpendicular a (3, 1,−1) y (2, 3, 4) y comprobar queson perpendiculares

13. Encuentre −→u X−→v , y demostrar que el vector resultante es ortogonal a −→v ya −→v

a) −→u =< 1, 2,−3 >,−→v =< −4, 1, 2 >

b) −→u =< 3, 2,−1 >,−→v =< −1,−2, 1 >

c) −→u =< 0, 1,−2 >,−→v =< 3, 0,−4 >

d) −→u =< −4, 0, 1 >,−→v =< 2,−1, 0 >

Capıtulo 2

Funciones Vectoriales

2.1. Introduccion

Vamos a entender por una funcion vectorial, aquella funcion que su dominio estaen Rn y su imagen tambien esta en Rn, es decir a un punto de Rn se le asocia unvector en Rn, dicho de otra manera:

f : Rn → Rn

Por ejemplo una funcion −→r (t) = ti + t2j + 2tk es una funcion vectorial, queva del espacio real al espacio tridimensional. Otra cosa que se puede apreciar esque la funcion f(t) la podemos escribir como −→r (t) = f(t)i+ g(t)j + h(t)k dondelas funciones f ; g;h son funciones escalares, es decir, una funcion vectorial tienepor componentes funciones escalares y el nombre que reciben estas funciones sonfunciones componentes. Por lo anterior podemos escribir a la funcion vectorialcomo

−→r (t) =< f(t), g(t), h(t) >= f(t)i+ g(t)j + h(t)k (2.1)

Tambien es posible dar funcion escalar por sus ecuaciones parametricas, es decirlos valores definido para < x, y, z >

x = f(t); y = g(t); z = h(t) (2.2)

18 Funciones Vectoriales

2.2. Espacio Tridimensional

2.2.1. Rectas en 3D

En dos dimensiones nos basta saber dos puntos de una lınea para trazarla o bienun punto y la direccion que lleva este (pendiente) con esta ultima opcion podemosescribir la ecuacion punto-pendiente de la recta. De una manera semejante sucedeen el espacio tridimensional, una lınea L se conoce cuando se conoce un puntosobre ella P0(x0, y0, z0)y la direccion de esta lınea. En este momento es cuandocambia la situacion ya que la direccion de la lınea estara dada por un vectorparalelo a L. Es decir sea P (x, y, z) un punto sobre L y sean −→r0 y −→r los vector

de posicion de−→P0 y

−→P . Por otro lado si el vector −→a es el vector

−→P −−→P0, entonces

por suma de vectores tenemos que −→r = −→r0 +−→a , si definimos otro vector paraleloa −→a entonces se cumple que −→a = t−→v , por lo tanto podemos escribir la ecuacionde la recta como

−→r = −→r0 + t−→v (2.3)

que es una funcion vectorial que tiene. Cada valor de t le da el vector posicionde −→r de un punto P sobre la recta L, otra forma de escribir la ecuacion es

〈x, y, z〉 = 〈x0 + tax, y + tay, z + taz〉 (2.4)

encontrado las funciones parametricas de la recta L tenemos

x = x0 + tax (2.5)

y = y0 + tay (2.6)

z = z0 + taz (2.7)

La otra forma de describir a una recta son por sus ecuaciones simetricasy esto se logra eliminando el parametro t para ello es necesario obtener de lasecuaciones parametricas una ecuacion para t y al final igualar todas ellas, por lotanto nos quedarıa

x− x0

ax=y − y0

ay=z − z0

az(2.8)

Al hacer una observacion sobre es si tenemos las ecuaciones 2.4 y 2.5 podemosconocer el punto de la recta y el vector direccion, para conocer el punto de larecta solo observamos la constante de la ecuacion y para conocer el vector para-lelo observamos el coeficiente de t en cada ecuacion o componente y dicho valorcorresponde a la componente del vector paralelo.

2.2.1. Rectas en 3D 19

Algo que debemos notar y es de suma importancia es que para comparar rectas,es decir, si queremos saber si dos rectas son paralelas, ortogonales o simplementesaber el angulo entre dos rectas es necesario comprar su vector direccion o suvector paralelo, dicho de otra forma:

Dos rectas son paralelas si sus vectores direcciones son paralelos

Dos rectas son ortogonales si sus vectores paralelos lo son

Para determinar el angulo entre dos rectas solo basta con encontrar el anguloentre sus dos vectores direcciones.

Lo anterior se va a generalizar cuando se vean planos, sin embargo el vector quedefine al plano es diferente al vector que define a la recta.Ejemplo 2.1 Encuentre una ecuacion vectorial y las ecuaciones parametricas

para la lınea que pasa por el punto (5, 1, 3) y es paralela al vector i + 4j − 2k.Encontrar otros dos puntos:Solucion 2.1 Como nos estan dando un punto a este lo tomamos como −→r0 =〈5, 1, 3〉 y nos dice que es paralela al vector −→v = i+ 4j − 2k Usando la ecuacion2.3 tenemos

−→r = −→r0 +−→tv

−→r = (5, 1, 3) + t(1, 4,−2)−→r = (5 + t)i+ (1 + 4t)j + (3− 2t)k

o bien escribiendo sus ecuaciones parametricas tenemos

x = 5 + t; y = 1 + 4t; z = 3− 2t

Para encontrar encontrar otros dos puntos basta con darle dos valores diferentesa t como pueden ser t = 1, 2, entonces tenemos (6, 5, 1) y (7, 9,−1).Ejemplo 2.2 Encuentre las ecuaciones parametricas y las simetricas de la recta

que pasa por los puntos A(2, 4,−3) y B(3,−1, 1). En que punto interseca estarecta en el plano xySolucion 2.2 Necesitamos un punto sobre la recta, los cuales ya tenemos sin

embargo nos hace falta el vector paralelo a la recta sin embargo este vector esque parte del punto A al punto B entonces lo podemos obtener por la diferenciade los puntos B − A, entonces

−→v = 〈B − A〉 = 〈3− 2,−1− 4, 1 + 3〉 = 〈1,−2, 4〉


por lo tanto la recta queda definida por la ecuacion

−→r =−→PA + t−→v = (2, 4,−3) + t(1,−2, 4) = (2 + t)i+ (2− 2t)j + (−3 + 4t)k

entonces las ecuaciones parametricas son:

x = 2 + t; y = 4− 5t; z = −3 + 4t

En la ecuacion 2.8 tenemos los valores de ax, ay, az que corresponden al valorde las componentes del vector paralelo, es decir en nuestro caso tenemos 1,−5, 4respectivamente, entonces las ecuaciones simetricas nos quedan de la siguientesforma

x− 2 =y − 4

−5=z + 3

4

Para encontrar el valor del punto cuando la recta corta al plano xy se consideraque en esta situacion tenemos que z = 0, entonces al sustituir en la ecuacionparametrica correspondiente encontramos el valor del parametro t = 3/4, susti-tuyendo este valor en las otras dos ecuaciones tenemos que el de la recta cuando

corta al plano xy es

(11

4,1

4, 0

)Ejemplo 2.3 Sean las rectas L1 y L2 dada por

L1 : x = 1 + 4t; y = 5− 4t; z = −1 + 5t

L2 : x = 2 + 8t; y = 4− 3t; z = 5 + t

¿Las rectas son paralelas?¿Las rectas se cortan?Solucion 2.3 Para saber si dos rectas son paralelas debemos comparar los

vectores de cada recta, para la recta L1 se tiene que es paralela al vector <4,−4, 5 > y la recta L2 es paralela al vector < 8,−3, 1 >, para que dos vectoressean paralelos debe de existir k de tal forma que

< 4,−4, 5 >= k < 8,−3, 1 >

lo cual podemos ver que no existe, entonces los vectores no son paralelosPara la segunda pregunta, se debe tener un punto (x0, y0, z0) de forma que

satisfaga las SEIS ecuaciones, es decir, para L1

x0 = 1 + 4t1; y0 = 5− 4t1; z0 = −2 + 5t1

para L2

2.2.2. Planos 21

x0 = 2 + 8t2; y0 = 4− 3t2; z0 = 5 + t2

debemos notar que el parametro t no es necesariamente el mismo para las dosEP, ahora bien para reducir el numero de ecuaciones podemos igualar los puntosde cada recta, por lo que solo nos quedamos con tres ecuaciones dadas por:

1 + 4t1 = 2 + 8t2

5− 4t1 = 4− 3t2

−2 + 5t1 = 5 + t2

resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores podemos darnos cuenta que t1 = 14

y t2 = 0, sin embargo esta solucion no satisface la primera ecuacion del sistema.

2.2.2. Planos

Una recta es una lınea en el espacio, mientras que un plano es una superficiede dos dimensiones sobre el espacio, una de las diferencia es que para definir unarecta, solo se necesita un punto y la direccion de ella, sin embargo, para el planose tiene que necesitas conocer al menos un punto sobre el plano P0 = (x0, y0, z0)y un vector perpendicular −→n a este, al vector −→n se le llama vector normal alplano.Entones de lo anterior si tengo un punto P arbitrario y un punto P0 en el plano,

estos puntos tienen sus vectores posiciones −→r y −→r0 respectivamente, entonces elvector −→r − −→r0 es un vector que esta en el plano. Al mismo se conoce el vectornormal al plano −→n entonces que −→n es ortogonal a cualquier vector sobre el plano,en particular es ortogonal a −→r −−→r0 , si esto es cierto se cumple

−→n · (−→r −−→r0 ) = 0 (2.9)

A la ecuacion 2.9 se le conoce como ecuacion general del plano o punto-normal, es comun escribir a −→n =< a, b, c > y −→r −−→r0 =< x−x0, y−y0, z−z0 >,entonces la ecuacion 2.9 se convierte en:

< a, b, c > · < x− x0, y − y0, z − z0 > = 0 Desarrollando el producto escalar

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 recordando que el P0 es conocido entonces

ax+ by + cz = ax0 + by0 + cz0 = d o bien

ax+ by + cz − d = 0


Figura 2.1: Distancia entre un plano y un punto

A esta ultima ecuacion se le llama ecuacion lineal del plano.Lo mas importante de un plano o de su ecuacion es el vector −→n puesto que este

determina el comportamiento del plano.Algo semejante sucede con el vector normal al plano y el vector paralelo a la

recta, es decir si queremos saber si dos planos son paralelos, perpendiculares oque angulo forman, bastarıa con observar que sucede con los vectores normalesde cada plano, ya que si dos planes son paralelos es porque sus vectores normaleslo son y lo mismo pasa cuando dos planes son ortogonales o si queremos analizarel angulo que forman. Lo anterior lo resumimos de la siguiente forma

Dos planos son paralelas si sus vectores normales son paralelos

Dos planos son ortogonales si sus vectores normales lo son

Para determinar el angulo entre dos planos solo basta con encontrar elangulo entre sus dos vectores normales.

Otro tip es que si yo conozco la ecuacion del plano automaticamente conozcoel vector normal, ya que las componentes de este vector seran los coeficientes dex, y, z.Anteriormente hablamos de que si tenemos que para encontrar la ecuacion al

plano requerimos un vector sobre el plano y un el vector normal, esto mismo sepuede calcular si se conocen tres puntos sobre el plano puesto que la diferencia desus vectores posicion nos darıan dos vectores sobre el plano y el producto vectorun vector perpendicular al plano.

Distancia entre un plano y un punto P

Para ver la distancia entre un plano y un punto P1, primeramente requerimos un

punto P0 en nuestro plano, entonces tendremos un vector−→b que va del punto P0

al punto P1 el cual tiene una proyeccion sobre el vector normal, dicha proyeccion

la podemos escribir como−→b ·−→n la cual es una parte proporcional a −→n es necesario

2.2.2.0. Distancia entre un plano y un punto P 23

dividir entre la norma de −→n , por lo tanto la distancia entre el punto P1 y el planoP es

D =|−→n ·

−→b |

nDesarrollando

=|a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√

a2 + b2 + c2

=|(ax1 + by1 + cz1)− (ax0 + by0 + cz0)|√

a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2

La distancia de un plano a un punto queda expresada por la siguiente ecuacion

D =|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2(2.10)

Ejemplo 2.4 Encuentra una ecuacion del plano que pasa por el punto (2, 4,−1)con un vector normal −→n = 〈2, 3, 4〉. Determine la interseccion con los ejes y dibujeel plano.Solucion 2.4 Un punto sobre el plano y su vector normal es lo necesario para

poder describir completamente al plano, en este problema nos estan dando dichosvalores, por lo cual solo nos queda por aplicar la ecuacion 2.9

−→n · (−→r −−→r0 ) = 0 Desarrollando

〈2, 3, 4〉 · [(x, y, z)− (2, 4,−1)] = 0

〈2, 3, 4〉 · (x− 2, y − 4, z + 1) = 0

2(x− 2) + 3(y − 4) + 4(z + 1) = 0

2x− 4 + 3y − 12 + 4z + 4 = 0

2x− 3y + 4z − 12 = 0

Para encontrar las intersecciones con los ejes y dibujar el plano, van de la manopuesto que al momento de encontrar loas tres intersecciones encontramos 3 pun-tos suficientes para dibujar el plano, entonces para encontrar la interseccion concualquier de los ejes hacemos los valores de los otros ejes igual a cero, es decirpara encontrar la interseccion con el eje x, hacemos y, z = 0, por lo tanto de laecuacion del plano nos queda que x = 6, haciendo algo similar para los demasejes tenemos que y = 4 y z = 3. La figura 2.2 nos muestra el dibujo del plano.


Figura 2.2: Plano del ejemplo P1

Ejemplo 2.5 Encuentra la ecuacion de los planos que pasa por los puntosP (1, 3, 2), Q(3,−1, 6) y R(5, 2, 0).Solucion 2.5 Como lo mencionamos anteriormente requerimos un punto sobre

el plano y el vector normal a el, sin embargo en el problema nos dan tres puntos.En los tips que se dio se dijo que bastaba tres puntos sobre el plano ya que conellos podemos obtener dos vectores sobre el plano y haciendo el producto vectorialde estos dos vectores obtenemos la normal, por lo que ya tendrıamos 3 puntos enel plano (solo ocupamos uno) y el vector normal al plano, por lo que tomamos aun punto como nuestro origen, en este caso serıa el punto P , entonces tendremos

el vector que van de P a Q denotado por−→PQ = −→a y el vector de P a R y de

manera semejante lo denotamos por−→PR =

−→b , entonces tenemos:

−→a = 〈2,−4, 4〉;−→b = 〈4,−1,−2〉

Calculando el vector normal

−→n = −→a X−→b =

∣∣∣∣∣∣i j k2 −4 44 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 12i+ 20j + 14k

Como ya tenemos nuestro vector normal, solo nos basta fijar un punto en estecaso fijamos al que tomamos como origen P , escribiendo la ecuacion del plano

−→n ·(−→r −−→P ) = 0

〈12, 20, 14〉 · 〈x− 1, y − 3, z − 2〉 = 0

12(x− 1) + 20(y − 3) + 14(z − 2) = 0

12x+ 20y + 14z − 100 = 0 Reduciendo

6x+ 10y + 7z − 25 = 0

Ejemplo 2.6 Encuentra el punto el cual la lınea con ecuaciones parametricasx = 2 + 3t; y = −4t, z = 5 + t corta al plano 4x+ 5y − 2z = 18.

2.2.2.0. Distancia entre un plano y un punto P 25

Solucion 2.6 Lo unico que nos queda por hacer es sustituir los valores de lasecuaciones parametricas en el plano y y encontrar el valor de t, por lo tanto nosqueda

4(2 + 3t) + 5(−4t)− 2(5 + t) = 18

8 + 12t− 20t− 10− 2t = 18

−10t− 2 = 18

−10t = 20

t = −2

sustituyendo el parametro t = −2 en las EP de la recta se obtiene el punto< −4, 8, 3 >Ejemplo 2.7 Determina si los planos x + 2y − 3z = 4 y 2x + 4y − 6z = 3 son

paralelos.Solucion 2.7 Recordando para analizar dos planes nos basta con analizar sus

vectores normales, por lo tanto de las ecuaciones generales del planos tenemos

−→n1 = 〈1, 2,−3〉;−→n2 = 〈2, 4,−6〉Recordando dos vectores son paralelos si: su producto vectorial es el cero vector

o bien si uno es multiplo del otro, utilizando esta ultima opcion podemos ver que−→n2 = 2−→n1, por lo tanto los vectores son paralelos.Ejemplo 2.8 Encuentre el angulo entre los planos x+y+z = 1 y x−2y+3z = 1

y obtenga las ecuaciones simetricas de la lınea L de interseccion de los dos planos.Solucion 2.8 Retomando el ejemplo anterior tendrıamos que encontrar el angu-

lo entre los vectores normales, por lo tanto encontrando los vectores normalestenemos

−→n1 = 〈1, 1, 1〉;−→n2 = 〈1,−2, 3〉Encontrando el angulo entre estos dos vectores tenemos

cos θ =−→n1 · −→n2

n1n2

=2√42

Despejando θ

θ = arc cos

(2√42

)≈ 72o


Para encontrar las ecuaciones simetricas a la recta de interseccion de los planosse considera el hecho que la recta esta sobre los dos planos, por lo tanto ambosvectores normales son ortogonales a la recta y a su vector paralelo, entoncestenemos que:

−→v = −→n1X−→n2 = 5i− 2j − 3k

,

Para describir a la recta nos falta un punto sobre ella, por lo cual consideramosel punto donde intersecta a uno de los planos, es decir donde z = 0, entoncestenemos de las ecuaciones de ambos planos x+ y = 1 y x− 2y = 1, la solucion aeste sistema de ecuaciones es x = 1 y y = 0, por lo que el punto sobre la recta es(1, 0, 0) teniendo estos puntos tenemos que la recta esta dada por la ecuacion

−−→r(t) = 〈1− 5t,−2t,−3t〉

por lo que las ecuaciones simetricas son

x− 1

5=

y

−2=

z

−3

Ejemplo 2.9 Encontrar la distancia entre los planos paralelos 10x+2y−2x = 5y 5x+ y − z = 1.

Solucion 2.9 Como podemos ver los planos son paralelos puesto que los vecto-res normales son paralelos. Para encontrar la distancia entre los planos se eligecualquier punto sobre los planos y se calcula su distancia al otro plano. Para ellodebemos escoger un punto lo cual lo haces si hacemos y = z = 0, por lo tanto nosqueda que x = 1

2, entonces el punto es 〈1

2, 0, 0〉 utilizando la ecuacion 2.10, por lo

que tenemos

D =|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2

=

∣∣5 (12

)+ 1(0) + 1(0)− 1

∣∣√52 + 12 + (−1)2

=32

3√

3

=

√3

6

2.2.3. Superficies Cuadraticas 27

2.2.3. Superficies Cuadraticas

Una superficie cuadratica lleva por ecuacion general, una de grado dos en tresvariables x, y, z. La ecuacion mas general es:

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Eyz + Fxz +Gx+Hy + Iz + J = 0 (2.11)

Donde las letras en mayusculas son constantes, como se menciono la ecuacion2.11es la forma mas general, sin embargo aplicando traslaciones o cambios de variableses posible llegar a unas ecuaciones mas estandares, dadas por:

Ax2 +By2 + Cz2 + J = 0

o bienAx2 +By2 + Iz = 0

Esta ultima se puede ver como z = z(x, y). En esta seccion lo que veremos esdibujar curvas en 3D, la idea es hacer cero una variable o conste y dibujar sobreel plano la curva, posteriormente se hace lo mismo con las otras dos variableshasta tener un bosquejo de la superficie. Por lo cual es muy importante recordarlas curvas en dos dimensiones. A continuacion se listara una serie de ejemplospara trazar bosquejos en 3D.Ejemplo CC1 Trazar el bosquejo de la superficie cuadratica con ecuacion

x2 +y2

9+z2

4= 1

Solucion CC1 Al sustituir z = 0, se encuentra que la traza en el plano

x2 +y2

9= 1 que se conoce como la ecuacion de una elipse. Lo cual traza una

elipse con semi-eje mayor igual a 3 y el menor igual a 1 para el plano xy. Sirepetimos este paso con y = 0, la traza se realiza en el plano xz, obtenemos la

ecuacion x2 +z2

4= 1, de igual forma obtenemos una elipse con semi-eje manor

igual a 2 y el menos igual a 1, por ultimo en el plano yz, es decir cuando x = 0 se

obtiene la ecuaciony2

9+z2

4= 1 que corresponde a una elipse con a = 2 y b = 3.

Haciendo la grafica obtenemos la figura 2.3Ejemplo CC2 Use trazas para bosquejar la superficie z = 4x2 + y2

Solucion CC2 Si se escribe x = 0, se obtiene z = y2 o bien si x = cte entoncestenemos z = y2 + 4k2 se tiene una parabola en el plano yz de manera similarcuando y = cte, esto nos dice que en el plano xz se tiene una parabola haciaarriba. Por ultimo hacemos z = cte entonces tenemos 4x2 + y2 = cte, lo cual


Figura 2.3: Elipsoide

nos da una familia de elipses en el plano xy. Lo que tenemos es un paraboloideelıptico

Figura 2.4: Paraboloide Elıptico

2.3. Coordenadas cilındricas y esfericas

Como hemos estado viendo necesitamos tres coordenadas para la localizacionde un punto en el espacio 3D. Lo comun es usar coordenadas rectangulares ocartesianas, donde las coordenadas son: (x, y, z), sin embargo muchas ocasioneses posible utilizar otro sistemas de coordenadas, el uso o cambio de coordenadasestara dado por el problema que se presenta, puesto que existe un sistema decoordenadas para una geometrıa esferica y otra para una geometrıa cilındrica.El primer caso que estudiamos son las coordenadas esfericas, como su nombre

lo indica tiene una geometrıa esferica. En estas coordenadas se utilizan (ρ, θφ)donde ρ es la magnitud del vector que va del origen al punto de interes y este valorpuede variar ρ ∈ R, θ es el angulo referido en el eje x que tiene la proyecto de ρ

2.3. Coordenadas cilındricas y esfericas 29

con el plano xy y este puede tomar los valores ρ ∈ [0, 2π] y por ultimo tenemosa φ que es el angulo referido del eje z a ρ y su variacion es φ ∈ [0, π], un ejemplolo podemos ver en la figura 2.5.

Figura 2.5: Coordenadas Esfericas

En el caso de las coordenadas cilındricas se vuelve mas sencillo puesto que setiene la coordenada z la cual corresponde a la coordenada z en el caso de lascoordenadas cartesianas, pero de manera general en estas coordenadas usamos(r, θ, z), las dos primeras coordenadas corresponden a las coordenadas polar (2D),pero para aclarar, r es la magnitud de la proyeccion del vector posicion en el planoxy, θ, es el angulo de r referido del eje x y z es la altura de nuestro punto, elejemplo lo podemos ver en la figura 2.6.

Figura 2.6: Coordenadas Cilındricas


Para pasar de un sistema a otro se realiza una conversion de coordenadas, lascuales parte de ellas se tiene en las figuras 2.5 y 2.6, sin embargo a continuacionpresentamos todas las formulas para realizar este tipo de conversion

Tabla 2.1: Formulas para el cambio de coordenadas

Conversion FormulaCilındricas a rectangulares (r, θ, z)→ (x, y, z) x = r cos θ y = r sin θ z = z

Rectangulares a cilındricas (x, y, z)→ (r, θ, z) r =√x2 + y2 tan

y

xz = z

Esfericas a rectangulares (ρ, θ, φ)→ (x, y, z) x = ρ sinφ cos θ y = ρ sinφ sin θ z = ρ cosφ

Rectangulares a esfericas (x, y, z)→ (ρ, θ, φ) ρ = rc tan θ =y

xcosφ =

z

rcrc =

√x2 + y2 + z2

Esfericas a cilındricas (ρ, θ, φ)→ (r, θ, z) r = ρ sinφ θ = θ z = ρ cos θ

Cilındricas a esfericas (r, θ, z)→ (ρ, θ, φ) ρ =√r2 + z2 θ = θ tanφ =

r

z

2.4. Ejercicios

1. Encuentre una ecuacion vectorial, parametricas y simetricas para:

a) La lınea que pasa por el punto (6,−5, 2) y es paralela al vector 〈1, 3− 23〉

b) La lınea que pasa por los puntos (−1, 3, 5) y (−1, 3, 2)

c) La lınea que pasa por el punto (0, 14,−10) y paralela a la lınea x =−1 + 2t; y = 6− 3t; z = 3 + 9t

d) La lınea que pasa por el punto (1, 0, 6) y es perpendicular al planox+ 3y + z = 5

e) La lınea que pasa por el origen y el punto (1, 2, 3)

f ) La lınea que pasa por (2, 1, 0) y perpendicular a i+ j; i+ k

g) La lınea de interseccion de los planos x+ y + z = 1;x+ z = 0

2. La lınea que pasa por (−4,−6, 1) y (−2, 0,−3) es paralela a la lınea quepasa por (10, 18, 4) y (5, 3, 14)

3. La recta x = 1 + 3t y = 2− t donde corta a:

a) Al eje x

2.4. Ejercicios 31

b) Al eje y

c) A la parabola y = x2

4. Encuentre el angulo sobre las siguientes rectas:

a) L1 : x = 1 + 7t; y = 3 + t; 5− 3t y L2 : x = 4− t; y = 6; 7 + 2t

b) L1 : x = 5 + 3t; y = 4 − 2t; z = −2 + 3t y L2 : x = −1 + 9t; y =5− 6t; z = 3 + 8t

5. Encuentre la ecuacion del plano y dibuja los planos

a) El plano que pasa por el punto (1,−1, 1) y tiene vector normal a i+j−kb) El plano que pasa por el origen y paralelo al plano 2x− y + 3z = 1

c) El plano que pasa por los ‘puntos (0, 1, 1), (1, 0, 1) y (1, 1, 0)

d) El plano que contiene a la lınea x = 3+2t; y = t; z = 8−t y es paraleloal plano 2x+ 4y + 8z = 17

e) El plano que pasa por el punto (−1, 2, 1) y contiene a la lınea deinterseccion de los planos x+ y − z = 2 y 2x− y + 3z = 1

6. Encuentre los cosenos directores y el angulo entre los planos x+ y + z = 0y x+ 2y + 3z = 1

7. Determine si los planos son paralelos o perpendiculares, si no lo son deter-mine el angulo entre ellos:

a) x+ 4y − 3z = 1 y −3x+ 6y + 7z = 0

b) x = 4y − 2z y 8y = 1 + 2x+ 4z

c) 2x− 3y + 4z = 5 y x+ 6y + 4z = 3

8. Determine la distancia entre los planos paralelos dados 2x − 3y + z = 4 y4x− 6y + 2x = 3.

9. Determine si la reta y el plano se cortan; de ser aso encuentre las coorde-nadas de las interseccion.

Capıtulo 3

Diferenciacion Vectorial

3.1. Derivada de un vector

Como la derivada se define como un lımite, es necesario entender el siguienteteorema:

Teorema: Si −→r (t) = 〈f(t), g(t), h(t)〉, entonces

lımt→0

−→r (t) = 〈lımt→0

f(t), lımt→0

g(t), lımt→0

h(t)〉

siempre y cuando existe el lımite de las funciones componentes.

La derivada de una funcion vectorial esta definida de la misma manera que parauna funcion escalar, mediante el lımite dada por la ecuacion 3.1

−→r ′ = d−→rdt

= lımh→0

−→r (t+ h)−−→r (t)

h(3.1)

Teorema. Si las funciones componentes son funciones derivables entonces, laderivada de −→r esta dada por

−→r ′(t) =< f ′, g′, h′ > (3.2)

34 Diferenciacion Vectorial

Demostracion

−→r ′(t) = lım∆t→0

1

∆t[−→r (t+ ∆t)−−→r (t)] (3.3)

= lım∆t→0

1

∆t[〈f(t+ ∆t)− f(t), g(t+ ∆t)− g(t), h(t+ ∆t)− h(t)〉] (3.4)

= lım∆t→0

[〈f(t+ ∆t)− f(t)

∆t,g(t+ ∆t)− g(t)

∆t,h(t+ ∆t)− h(t)

∆t〉]

(3.5)

=

[〈 lım∆t→0

f(t+ ∆t)− f(t)

∆t, lım

∆t→0

g(t+ ∆t)− g(t)

∆t, lım

∆t→0

h(t+ ∆t)− h(t)

∆t〉]

(3.6)

= 〈f ′, g′, h′〉 (3.7)

3.1.1. Vector tangente

Una vez definiendo la derivada de una funcion vectorial, se define el vectortangente el cual esta definido por la derivada de la funcion vectorial el cual nosindicara el sentido de la funcion vectorial. Por lo general se considera el vectortangente unitario, puesto ques mas facil trabajar con el, este esta definido porla ecuacion 3.8

T =−→r ′

r(3.8)

claro esta que el vector tangente se define como

−→T = −→r ′(t) (3.9)

Ejemplo 3.1 Calcule la derivada de −→r =< 1 + t3, te−t, sin 2t > y determine elvalor del vector tangente unitario en el punto t = 0Solucion 3.1 Por la ecuacion 3.2, la derivada de −→r es

−→r = 3t2i+ (1− t)e−tj + 2 cos 2tk

Evaluando en t = 0 tenemos que −→r (0) = i y −→r ′(0) = j + 2k, el vector tangenteunitario en el punto (1, 0, 0) es

−→T (0) =

−→r ′(0)

r′(0)=j + 2k√

5=

1√5j +

2√5k

Ejemplo 3.2 En el caso de la curva −→r (t) =√ti + (2 − t)j, determinar

−→r′ y

grafique el vector posicion −→r (1) y el vector tangente−→r′ (1).

Solucion 3.2 Tenemos que

3.1.2. Reglas de derivadas 35

−→r′ =

1

2√ti− j

por lo tanto tenemos

−→r′ (1) =

1

2i− j

La curva es una curva plana, ya que tenemos que x2 = t, por lo que nos queday = 2− t = 2− x2, ademas tenemos que −→r (1) = i+ j con inicio en el origen y el

vector tangente−→r′ (1) tiene inicio en el punto (1, 1).

Ejemplo 3.3 Determine las ecuacion parametricas de la recta tangente a lahelice de ecuaciones parametricas

x = 2 cos t; y = sin t; z = t

en el punto (0, 1, π/2).Solucion 3.3 La ecuacion vectorial de la helice es −→r (t) = 〈2 cos t, sin t, t〉 de

modo que

−→r′ (t) = 〈−2 sin t, cos t, 1〉

En el punto (0, 1, π/2) el valor del parametro es t = π/2, de modo que el vec-

tor tangente es−→r′ (π/2) = 〈−2, 0, 1〈. La tangente es la recta que pasa por el

punto (0, 1, π/2) y paralela al vector 〈−2, 0, 1〈, de modo que de acuerdo con lasecuaciones parametricas tenemos

x = −2t; y = 1; z =π

2+ t

3.1.2. Reglas de derivadas

Las reglas de derivadas en una variable tiene su equivalencia en funciones devariables variables o vectoriales, las reglas son las siguientes:

1.d

dt[−→u +−→v ] =

−→u′ +

−→v′

2.d

dt[c−→u ] = c

−→u′


3.d

dt[f−→u ] = f ′−→u + f

−→u′

4.d

dt[−→u · −→v ] =

−→u′ · −→v +−→u ·

−→v′

5.d

dt[−→u X−→v ] =

−→u′X−→v +−→u X

−→v′

6.d

dt

[−−−−→u(f(t))

]= f ′−−−−−→u′(f(t))

3.1.3. Vector normal

Se define el vector normal de una funcion vectorial, como el vector ortogonal dela funcion −→r (t) en un punto P0 y su expresion matematica es

−→N =

−→T ′ (3.10)

de igual forma se define el vector normal unitario como

N =

−→T ′

T ′(3.11)

si en las ecuaciones 3.10 y 3.11 sustituimos el valor de 3.9, obtenemos

−→N =

−→r′′ (3.12)

N =

−→r′′

r′′(3.13)

3.1.4. Vector binormal

Por ultimo definimos el vector binormal como

−→B =

−→T X−→N (3.14)

sustituyendo las ecuaciones 3.9 y 3.12 obtenemos

−→B =

−→r′X−→r′′ (3.15)

3.1.5. Curvatura de una funcion vectorial 37

Una vez definido los tres vectores−→T ,−→N ,−→B se pueden definir el plano normal y

el plano osculador, el primero es un plano que contiene a los vectores−→N ,−→B , si

observamos la ecuacion ?? podemos deducir el vector perpendicular a−→N ,−→B es

el vector−→T , por lo tanto la ecuacion del plano normal esta dada por

(−→r −−→r0 ) ·−→T = 0 (3.16)

El plano osculador es el plano que tiene por vector normal a←−B por lo que la

ecuacion del plano es

(−→r −−→r0 ) ·−→B = 0 (3.17)

3.1.5. Curvatura de una funcion vectorial

Una parametrizacion de −→r (t) es suave en un intervalo dado I, si en ese intervalo−→r′ (t) es continua y

−→r′ (t) 6= 0. Otra forma de ver si la curva es suave es la forma

en como gira el vector tangente−→T , dicho giro debe de ser de forma continua.

Si C es la curvatura de una funcion −→r , entonces la funcion tiene su vectortangente dado por 3.8, este vector nos indica la direccion de la curva, esta direc-cion permanece constante si la curva es una recta o cambia cuando la curva escuadratica.

La curvatura C en un punto determinado es la medida de cambio de la curva dedireccion para dicho punto. Especıficamente se define como la magnitud de tasade cambio del vector tangente unitario con respecto a la longitud de arco, lo cualno dice que

κ =

∣∣∣∣∣d−→T

ds

∣∣∣∣∣ (3.18)

Al hablar de longitud de arco es necesario introducir integrales, lo cual puedecomplicar la derivada. Por otro lado es posible definir la curvatura por medio delparametro t, entonces tenemos

κ =|d−→T ′||−→r′ |

(3.19)

Se tiene que la curvatura puede ser calculada por la siguiente ecuacion


κ(t) =

∣∣∣−→r′ (t)X−→r′′(t)∣∣∣∣∣∣−→r′ (t)∣∣∣2 (3.20)

Ejemplo 3.4 Determinar la curvatura de la curva dada por −→r = 〈t, t2, t3〉Solucion 3.4 Calculando la primera y segunda derivada de −→r , tenemoes

−→r′ = 〈1, 2t, 3t2〉;

−→r′′ = 〈0, 2, 6t〉

necesitamos la norma de−→r′ , entonces tenemos

|−→r′ | =

√1 + 4t2 + 9t2

encontrando el producto cruz de la ecuacion 3.20

−→r′X−→r′′ =

∣∣∣∣∣∣i j k1 2t 3t2

0 2 6t

∣∣∣∣∣∣ = 6t2i− 6tj + 2k

La norma de este vector es 2√

9t4 + 9t2 + 1, sustituyendo todos estos valores e3.20 obtenemos

κ =2√

9t4 + 9t2 + 1√(1 + 4t2 + 9t2)3

Ejemplo 3.5 Determinar la curvatura para el caso en que la curva es plana yesta dada por una funcion.Solucion 3.5 En este caso podemos escribir a y = f(x), entonces x es nuestro

parametro por lo que la ecuacion del a curva nos queda −→r (t) = xi + f(x)j. Delo anterior se sigue que:

−→r′ = i+ f ′j

entonces su norma sera ∣∣∣−→r′ ∣∣∣ =[1 + [f(x)]2

]3/2Calculando la segunda derivada de

−→r′

−→r′ = f ′′j

por lo tanto tenemos

3.2. Ejercicios 39

κ =|f ′′(x)|[

1 + (f ′(x))2]3/2 (3.21)

Ejemplo 3.6 Determine la curvatura de la parabola y = x2 en los puntos (0, 0)(1, 1) y (2, 4)Solucion 3.6 Puesto que y′ = 2x y y′′ = 2, mediante la ecuacion 3.21 se obtiene

κ =2

(1− 4x2)3/2

En el punto (0, 0) tenemos κ = 2. En (1, 1) se obtiene κ ≈ 0,18 y en (2, 4)κ ≈ 0,03.Se tiene otras dos definiciones mas la primera ya la vimos pero no formalmente

y es el vector normal unitario, el cual esta dado por

−→N =

−→T ′∣∣∣−→T ′∣∣∣ (3.22)

Este vector es un vector normal a la curva para un punto determinado y tam-bien lo es para el vector tangente, el siguiente vector es un vector ortogonal alvector normal y al vector tangente, por lo cual es calculado mediante el productovectorial de dichos vectores. A este vector se le conoce como vector binormal yesta dado por

−→B =

−→T X−→N∣∣∣−→T X−→N ∣∣∣ (3.23)

En una curva al plano que contiene los vectores−→N y−→B se le llama plano normal

y al plano que contiene a los vectores−→T y

−→N se le llama plano osculador

3.2. Ejercicios

Determinar las ecuaciones parametricas de la recta tangente a la curva,dada por la siguiente ecuacion, para el punto dado

1. −→r (t) = 〈1 + 2√t, t3 − t, t3 + t〉 (3, 0, 2)

2. x = et, y = tet, z = tet2

(1, 0, 0)

3. x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t (1, 0, 1)


Encuentra −→r (t) si−→r′ = 〈2t, 3t2,

√t〉 −→r (1) = 〈1, 1〉

Determinar las ecuaciones del plano osculador y del plano normal de lacurva dada para el punto indicado

1. x = 2 sin 3t, y = t, z = 2 cos 3t (0, π,−2)

2. x = t, y = t2, z = t3 (1, 1, 1)

Demostrar que la curvatura de una circunferencia de radio a es 1/a. Si a < 1que puede decir de la curvatura.

Capıtulo 4

Derivadas Parciales

4.1. Funciones de Variables Variables

Antes de ver lo que son las derivadas parciales es necesario entender que es-ta .operacion.aplica solamente para funciones de variables variables, puesto quesi queremos hacer una derivada parcial a una funcion de una variable esta au-tomaticamente se convierte en una derivada total o completa.La manera general de definir una funcion de variables variables esta dada por:

f(x, y) : Rn → R

Pero nos enfocaremos en el caso de n = {2, 3}

4.1.1. Funciones de dos variables

El caso mas sencillo de funciones de variables variables es una funcion de dosvariables x, y puesto que la idea general de dos variables sera semejante para3, 4, · · ·n variables. Para visualizar mas la idea de una funcion de dos variablespodemos ver la posicion de un alumno en el salon de clases referido por el numerode fila y columna de la butaca donde esta sentado. Una funcion mas fısica es latemperatura en un punto de la superficie terrestre debido que esta dependera dela altitud y longitud de donde se encuentre el punto, para hacer un ejemplo laciudad de Mexico se encuentra a una altitud mayor que cualquier otro estado delpaıs por lo tal motivo esta ciudad suele tener una temperatura menor a los demasestados, tambien se tienen estado que estan cerca del tropico del cancer los cualessu temperatura es mayor.En general y por convencion en este tipo de variables se elige a x, y como variables

independientes, en el caso que una variable depende de la otra volvemos a una

42 Derivadas Parciales

funcion de una variable, es decir, si quiero escribir una funcion de dos variables,la expreso de la siguiente forma:

f(x, y) : R2 → R

Para definir una funcion en dos variables, recordamos la definicion de una funcionde una variable, la cual dice que: para un valor del dominio le corresponde unoy solo un valor de la imagen. En otras palabras para cada valor que toma x enel dominio B le corresponde un valor de la imagen I. La idea general que serıa aun valor del dominio le corresponde solo un valor imagen se sigue conservando, loque cambia es que en el dominio no tendremos un valor real x si no tendremos unpar de valores o como comunmente se le conoce ”par ordenado”(x, y). Entoncesla definicion de funcion de dos variables me queda de la siguiente forma:Una funcion de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado del D

uno y solo un valor de la I.Con frecuencia nos encontramos que z = f(x, y). Como le mencionamos antesx, y son nuestras variables independientes y en este caso z es nuestra variabledependiente. Recordemos que la funcion en varias ocasiones se determinara poruna formula o ecuacion, en este caso el dominio no lo definen, pero debemosentender que el dominio sera donde la ecuacion o formula se puede calcular en elespacio real. Por ejemplo un caso comun es cuando se tiene una fraccion en estoscasos el dominio lo define el denominador ya que este nunca puede ser cero debidoa que la division entre cero no existe, otro caso es cuando se define una funcionreal y se tienen una raız par, en esta situacion es importante considerar el signodel radicando puesto que este nunca puede ser negativo. Veamos los siguientesejemplos:Ejemplo DP1 Determine los dominios paras las funciones siguientes:

z =

√x+ y + 1

x− 1; z = x ln(y2 − x)

Solucion DP1 En el primer caso debemos analizar primero el denominadorpuesto como no puede ser cero, se tiene que x 6= 1 y en el numerado tenemos unaraız lo cual esta debe ser positiva, entonces tenemos la siguientes desigualdad

x+ y + 1 > 0 Despejando y

y > −x− 1

Para darnos una idea mas general, en estos casos trazamos la recta y = −x− 1y como y debe ser mayor a estar recta todo lo que este por encima de dicha

4.1.2. Graficas 43

recta sera nuestro dominio, pero tambien debemos considerar la situacion de x lacual esta variable debe ser diferente a 1. La figura 4.1 nuestra la solucion de esteproblema.

Figura 4.1: Solucion de DP1 a)

En el segundo caso tenemos un ln el cual solo es valido para valores mayores acero, por lo cual tenemos y2−x > 0 entonces nos queda que y2 = x lo cual es unaparabola con vertice en el origen abierta a la izquierda, entonces como y debe deser mayor a esta todo lo que esta por fuera de la parabola cumple la condicion,realizando un grafico de la solucion, el cual se muestra en la figura 4.2.

Figura 4.2: Solucion a DP1 b)

4.1.2. Graficas

Otro modo de representar una funcion de dos variables es mediante su grafica, eneste caso como pasamos de R2 a R tenemos que la grafica quedarıa representadaen R3, en este caso el plano xy o parte de el es nuestro D entonces el eje z quedarıanuestra I tal y como se muestra en la figura 4.3.Para hacer graficas de una funcion de dos variables por lo general observamos

el plano de interseccion xy, xz, yz puesto que es facil hacer esas tres graficas y alfinal de ellas unirlas. Veamos lo siguientes ejemplos:Ejemplo DP2 Grafique la siguiente funcion g(x, y) =

√9− x2 − y2

Solucion DP2 En este caso lo que nos conviene hacer primeramente es escribirla funcion como z =

√9− x2 − y2, en este caso elevamos al cuadrado la funcion


Figura 4.3: Grafica de una funcion de dos variables

y tenemos z2 = 9 − x2 − y2 al dejar todas las variables de un solo lado y lasconstantes del otro se obtiene

x2 + y2 + z2 = 9

lo cual corresponde a una esfera de radio 3 sin embargo la esfera no una funcionpuesto que a par ordenado le asocia dos valores, en este caso nos quedamossolamente con la parte positiva, la cual es la parte superior de la esfera.

Ejemplo DP3 Determine el dominio y la imagen y grafique h(x, y) = 4x2 + y2.

Solucion DP3 Como sobre las variables x y y no se aplica ninguna operaciondonde se ponga restriccion, es decir cualquier numero real, incluso imaginario,puede ser multiplicado por elevado al cuadrado, entonces el dominio es todo R2,es decir el plano xy.

La grafica corresponde a un paraboloide elıptico que se muestra en la figura ??

Figura 4.4: Elipsoide

4.1.3. Curvas de nivel 45

4.1.3. Curvas de nivel

Un tercer metodo se presenta en esta parte para representar funciones de va-riables variables, este metodo se conoce como curvas de contorno o curvas denivel.

Si tenemos a f := f(x, y) una funcion de dos variables, las curvas de nivel seforman cuando f(x, y) = k, donde k es una constante en el dominio de f .

En la curva de nivel f(x, y) = k, se tienen todos los puntos donde del dominiodonde f toma el valor de k. Visto desde un punto mas aplicado, este valor de kpuede ser una altura, una temperatura, ´niveles de energıa, etc. de forma que lascurvas de nivel trazaran los puntos donde f toma la misma altura, temperaturao energıa, etc. El ejemplo mas comun de las curvas de nivel lo encontramos enmapas topograficos, donde la constante representa una altura al nivel del mar.En el caso de que se tenga un mapa con curvas de nivel de temperatura a estemapa se le denomina isotermas.

Ejemplo DP4 Grafique las curvas de nivel de la funcion f(x, y) = 6− 3x− 2ypara los valore de k = {−6, 0, 6, 12}.Solucion DP4 Las curvas de nivel estaran dada por:

6− 3x− 2y = k O bien

6− 3x− 2y − k = 0

6− 3x− 2y − (k − 6) = 0 Despejando y

y =3

6x+

k − 6

6

y =1

2x+

k − 6

6

De la ultima ecuacion podemos observar que tenemos una familia de rectas conpendiente 1/2 donde la ordenada al origen cambia el valor dependiente de k, deacuerdo al valor del problema tenemos k = {−2,−1, 0, 2}Ejemplo DP5 Grafique las curvas de nivel dadas por:

g(x, y) =√

9− x2 − y2

Solucion DP5 Igualando la funcion a una constante k tenemos


√9− x2 − y2 = k elevando al cuadrado

9− x2 − y2 = k2

−x2 − y2 = k2 − 9

x2 + y2 = 9− k2

La ultima ecuacion nos lleva a la ecuacion de una circunferencia de radio√

9− k2.Entonces las curvas de nivel sera una familia de circunferencias centradas en (0, 0).

4.2. Lımites

Recordando la definicion de lımite en una variable tenemos: Si L es el lımite def(x) cuando x→ c entonces se tiene que para todo valor de ε existe un δ, tal que|x− c| < δ |f(x)−L| < ε. Esto nos quiere decir que la distancia que existe entref(x) y L yo la puedo hacer tan pequena al mismo tiempo que estoy haciendopequena la distancia de x a c. Otra forma de ver el lımite es que cuando se eligeun valor de x este lo puedo tener en un intervalo tan pequeno como yo quiera,pero al mismo tiempo tengo a L lo tengo en dentro de un intervalo. Entonces ellimite se escribe como:

lımx→c

f(x) = L

Ahora al pasarlo a varias variables la distancia no se calcula solamente con unaresta, la distancia entre dos puntos se calcula con la norma dado por la dife-rencia de vectores de los puntos. Es decir si yo tengo dos puntos (x, y) y (a, b)tenemos que la distancia entre la distancia del punto (a, b) al punto (x, y) es√

(x− a)2 − (y − b)2. Entonces tenemos que el lımite en varias variables quedadada por:

Sea una f(−→r ) funcion de variables variables. Entonces tenemos que si el lım(−→r→P0)

f(−→r ) = L

si existe para todo ε existe un δ tal que |−→r −−→P0| < δ entonces |f(−→r )− L| < ε

Lo cual si lo escribimos en dos variables tenemos:

Sea una f(x, y) funcion de dos variables. Entonces tenemos que si el lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L

si existe para todo ε existe un δ tal que√

(x− a)2 + (y − b)2 < δ entonces |f(x, y)−

4.2. Lımites 47

L| < εLa definicion anterior o como se explico se refiere a una distancia, es decir mien-

tras la distancia entre (x, y) y (a, b) la pueda hacer pequena yo estoy acercando af(x) al lımite, sin embargo por ser variables variables la funcion se puede acercarpor varias direccion, es decir en el caso de dos dimensiones tenemos que nos po-demos acercar por la direccion del eje x o por la direccion del eje y. Entonces si ellımite de f(x, y) existe entonces cuando nos acerquemos por cualquiera direccioneste lımite debe ser el mismo. Es decir si este lımite es L cuando yo me acerquepor la direccion x me acerco a L y lo mismo debe de suceder cuando me acerquepor la direccion y. En el caso que no sea el mismo lımite entonces el lımite noexiste.Ejemplo DP6 Compruebe si el lımite existe

lım(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2

Solucion DP6 Analizando el eje x tenemos que y → 0 entonces tenemos

f(x, 0) =x2

x2= 1

para toda x 6= 0 de modo que f(x, y) → 1 cuando (x, y) → (0, 0) por el eje x.Haciendo el mismo analices para el eje y tenemos

f(x, 0) =−y2

y2= −1

Por lo que para toda y 6= 0 de modo que f(x, y)→ −1 cuando (x, y)→ (0, 0) porel eje y. Por lo que f tiene dos lımites diferentes cuando se acerca por direcciondiferentes.Ejemplo DP7 Compruebe si el lımite existe

lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2

Solucion DP7Analizando el eje x tenemos que y → 0 entonces tenemos

f(x, 0) =0

x2= 0

para toda x 6= 0 de modo que f(x, y) → 0 cuando (x, y) → (0, 0) por el eje x.Haciendo el mismo analices para el eje y tenemos

f(x, 0) =0

y2= 0


Por lo que para toda y 6= 0 de modo que f(x, y)→ 0 cuando (x, y)→ (0, 0) porel eje y. Por lo que la direccion no afecta el lımite de f , entonces f tiende a 0cuando (x, y)→ 0.

4.3. Continuidad

De igual forma, recordando la definicion de continuidad para una funcion de unavariable tenemos que:Una funcion de una variable f(x) es continua si:

lımx→a

f(x) = f(a)

Esta definicion la generalizamos para cuando tenemos una funcion de variasvariables, por lo cual tenemosUna funcion de varias variables f(−→r ) es continua si:

lım−→r→−→r0f(−→r ) = f(−→r0 )

Si lo llevamos al caso que se tienen dos variables, la definicion de continuidadnos queda de la siguiente forma:Una funcion de dos variables f(x, y) es continua si:

lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b)

El significado de la continuidad es mas facil verlo graficamente el cual quieredecir que una grafica de una funcion no tiene grietas ni agujeros. O dicho de otraforma cuando se dibuja la grafica de la funcion con un solo trazo y sin levantarel lapiz es posible dibujar la grafica. Matematicamente lo que quiere decir ladefinicion de continuidad de una funcion es que al momento de variar (x, y) variade manera proporcional f(x, y). De manera formal se dice que f(−→r ) es continuaen −→r0 si:

∀ε > 0∃δ > 0`∀x ∈ D|−→r −−→r0 | < δ ⇒ |f(−→r )− f(−→r0 )| < ε

Una ventaja que se tiene es que si una funcion es continua en un punto, enese punto tiene lımite. El sentido inverso de esta oracion no aplica, es decir unafuncion puede tener limite en un punto y no ser continua en ese punto. Porotro lado si una funcion es continua se puede encontrar su lımite por sustitucion

4.3. Continuidad 49

directa. En estos casos los valores de las variables tiendes al valor de la variable enun punto pero nunca adquieren ese valor, por eso sera posible hacer sustitucionesdonde los denominadores parecieran ser cero. Los polinomios se de gran ventajaya que ellos son continuos en todo su dominio, por lo tanto cualquier funcionpolinomial tiene lımite.Ejemplo DP8 Encontrar el lımite de la funcion

lım(x,y)→(1,2)

(x2y3 − x3y2 + 3x+ 2y

)Solucion DP8Puesto que se trata de una funcion polinomial se encuentra el

lımite mediante sustitucion directa entonces tenemos:

lım(x,y)→(1,2)

(x2y3 − x3y2 + 3x+ 2y =

= 1223 − 1322 + 3(1) + 2(2)

= 8− 4 + 3 + 4

= 11

Ejemplo DP9 ¿Donde la funcion

f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

es continua?Solucion DP9 Lo unico que podemos decir que la funcion no esta definida en

el punto (0, 0). Despreciando este punto tenemos que la funcion es continua entodo el espacio R2. Entonces su dominio esta dado por R2 − (0, 0)Como podemos ver la funcion no es continua en (0, 0) puesto que no esta definida,

pero que pasarıa si definimos la funcion anterior como:

g(x, y) =

{x2−y2x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0);

0, (x,y)= (0,0).

Ahora la funcion esta definida, sin embargo sigue siendo discontinua puesto querecordando ejemplos anteriores el lımite de esta funcion cuando (x, y) → 0 noexiste, por lo tanto no es continua.Ejemplo DP9 Sea

f(x, y) =

{3x2yx2+y2

, (x, y) 6= (0, 0);

0, (x,y)= (0,0).


donde es continua?Solucion DP9 Descartando el punto (0, 0) la funcion es continua puesto que

se trata de una funcion racional, sin embargo tenemos que analizar que sucedeal rededor de (0, 0). Mediante la definicion de lımite direccional se tiene que ellımite existe y ademas es (0, 0) por lo tanto tenemos

lım(x,y)→(0,0)

= 0 = f(0, 0)

Por lo anterior la funcion es continua en (0,0) entonces tenemos que f es continuaen todo el R2

4.4. Derivadas Parciales

En general, si f(x, y) es una funcion de dos variables x y y, suponga que solo hacevariar x mientras que y se queda fija y = CTE al final tendrıamos una funcion deuna sola variable f(x,CTE), la cual la podemos denotar por g(x) = (x,CTE).Entonces si g(x) tiene derivada en un punto a entonces la derivada de g(x) endicho punto es una derivada de f(x,CTE) en x = a, pero al ser solamentederivada de una variable, la denotamos como derivada parcial de f respecto a xy se denota como

f ′x(a, CTE) = g′(a)

De acuerdo a la definicion de derivada tenemos que

g′(a) = lımh→0

g(a+ h)− g(a)

hsi denotamos a CTE = b entonces la ecuacion anterior se transforma en:

f ′x(a, CTE) = f ′x(a, b) = fx = lımh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

hDe manera analoga lo haces para y, ahora x = CTE = a entonces tenemos:

f ′x(CTE, b) = f ′x(a, b) = fy = lımh→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

hGeneralizando las ecuaciones tendremos:

f ′x(x, y) = f ′x(x, y) = fx = lımh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

f ′x(x, y) = f ′x(x, y) = fy = lımh→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

4.4. Derivadas Parciales 51

La notacion que se usa para escribir derivadas parciales es

fx∂f

∂x= ∂xf ; fy

∂

∂y= ∂yf

Como se menciono anteriormente para obtener las derivadas parciales de unafuncion de varias variable, se procede con los siguientes pasos:

Se elige la variable a derivar

Las otras variables se dejan constantes

Se procede a derivar la funcion con as reglas de derivada de una variable

La interpretacion grafica de las derivadas parciales es que existen tantas rectaspendientes, como derivadas parciales tenga la funcion en dicho punto, ademastenemos que si tomamos el plano x = a y el plano y = b tendremos que en esepunto y con la ayuda de ese plano la superficie es cortada.Ejemplo DP10 Sea f(x, y) = x3 +x2y2−2y2 entontar fx y fy en el punto (2, 1)Solucion DP10 Primeramente encontramos fx tenemos

fx =∂

∂xx3 + x2y2 − 2y2 = 3x2 + xy2

sustituimos para el punto (2, 1)

fx(2, 1) = 16

Procediendo de la misma manera para fy obtenemos tenemos

fy =∂

∂yx3 + x2y2 − 2y2 = 2x2y − 4y Sustituyendo en el punto dado(4.1)

Fy(2, 1) = 8 (4.2)

Ejemplo DP11 Si f(x, y) = sinx

1 + ySolucion DP11 Al aplicar la regla para derivar la funcion sin tenemos

∂f

∂x= cos

x

1 + y

∂

∂x

x

1 + y= cos

x

1 + y

1

1 + y∂f

∂y= cos

x

1 + y

∂

∂y

x

1 + y= − cos

x

1 + y

1

(1 + y)2


Ejemplo DP12 Calcular ∂z/∂x y ∂z/∂y implıcitamente como una funcion dex y de y mediante la ecuacion

x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1

Solucion DP11 Suponemos que z = f(x, y) entonces al derivar la ecuacionparcialmente con respecto a x tenemos, para verlo mas sencillo podemos hacer lasustitucion antes mencionada

3x2 + 0 + 3z2 ∂z

∂x+ 6yz + 6xy

∂z

∂x= 0

Factorizando y despejando tenemos

∂z

∂x= − x2 + 2yz

3z2 + 2xy

De manera similar encontramos que

∂z

∂y= − y2 + 2yz

3z2 + 2xy

4.5. Ejercicios

1. Determinar el lımite, si es que existe, o demuestre que el lımite no existe

a) lım(x,y)→(1,2)

(5x3 − x2y2)

b) lım(x,y)→(0,0)

x4

x4 + 3y2

c) lım(x,y)→(2,1)

4− xyx2 + 3y2

d) lım(x,y)→(0,0)

xy cos y

3x2 + y2

e) lım(x,y)→(0,0)

xy√x2 + y2

2. Determinar los puntos donde la funcion es continua

a) f(x, y) =sinxy

ex − y2

b) f(x, y) = arctan (x+√y)

4.5. Ejercicios 53

c) f(x, y) = ln((x2 + y2 + 4

)d) f(x, y) =

{x2y3

2x2+y2, si (x, y) 6= (0, 0);

1, si (x, y) = (0, 0).

3. Calcular las primeras derivadas parciales de

a) y3 − 3xy

b) x4y2 + 8x2y

c) x ln√z

d) xy

e)eu

(u+ v2)

f ) x sin(x− y)

g) zexy

h)xy2

t+ 2z

i) sin(x1 + 2x2 · · ·+ nxx

j )√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n+

4. Determine las derivadas parciales indicadas

a)y

x+ y + z; fx, fy(2, 1,−1)

b) arctan(yx

); fy, fx(2, 3)

c) ln(x+

√x2 + y2

)5. Determine ∂z

∂xy ∂z

∂xpara z = f(x)g(y)

6. Determine todas las segundas derivadas parciales de

a) sin2(mx+ ny);m,n ∈ R

b)xy

x− y

c) arctanx+ y

1− xy

7. Encuentre todas las terceras derivadas parciales para las siguientes funciones


a) 3xy4 + x3y2

b) x3e−xt

c) cos(4x+ 3y + 2z)

d) r ln(rs2t3)

e) u√v − u

4.6. Operador nabla (∇)Se define el operador nabla como

∇ =∂

∂x1

e1 +∂

∂x2

e2 + · · ·+ ∂

∂xnen (4.3)

El cual por ser un operador por si solo no tiene representacion fısica, sin embargosi tenemos f una funcion f : Rn → R que va del espacio a los reales, entoncestenemos que

∇f =∂f

∂x1

e1 +∂f

∂x2

e2 + · · ·+ ∂f

∂xnen (4.4)

A la ecuacion 4.4 se le conoce como el gradiente de f y graficamente representala direccion por donde la funcion f incremente su valor de manera rapida y conuna variacion pequena en cada variable (mınimo de energıa).El caso que veremos con mas frecuencia es para dos y tres dimensiones por lo

tanto tenemos para el caso de dos dimensiones:

∇f =∂f

∂xi+

∂f

∂yj (4.5)

y para tres dimensiones

∇f =∂f

∂xi+

∂f

∂yj +

∂f

∂zk (4.6)

Ahora bien si tenemos un vector −→v diremos que la derivada direccional de fen la direccion −→v estara determinada por la ecuacion. Recuerde que para teneruna direccion esta la denotamos con un vector unitario.

Dvf = ∇f · −→v (4.7)

Ejemplo N1 Determine la derivada direccional de la funcion f(x, y) = x2y3−4yen el punto (2,−1) en la direccion del vector −→v =< 2, 5 >

4.6.1. Divergencia 55

Solucion N1 Para obtener la derivada direccional primeramente es necesarioobtener el gradiente en el punto dado, por lo tanto tenemos

∇f = 2xy3i+ 3x2y2 − 4j|(2,−1) = −4i+ 8j

Podemos observar que −→v no es un vector unitario, pero podemos obtener v =√29, entonces nuestro vector unitario en dicha direccion sera

v =2√29i+

5√29j

aplicando la ecuacion 4.7 tenemos

Dvf(2,−1) = ∇f · v =32√29

Ejemplo N2 Si f(x, y, z) = x sin yz a)determine el gradiente de f y b)encontrarla derivada direccional de f en (1, 3, 0) para la direccion −→v =< 1, 2,−1 >Solucion N2 Obteniendo el gradiente de f tenemos

∇f = sin yzi+ xz cos yzj + xy cos yzk

Para encontrar la derivada direccional tenemos que evaluar ∇f en el punto(1, 3, 0) lo cual nos da como resultado ∇f(1, 3, 0) =< 0, 0, 3 >. Solamente nosfalta encontrar el vector unitario en la direccion que se nos pide, por lo tantotenemos

v =<1√6,

2√6,−1√

6>

Por lo tanto aplicando la ecuacion 4.7 obtenemos

Dvf = ∇f(1, 3, 0) · v = −√

3

2

4.6.1. Divergencia

Tenemos que el operador nabla tambien puede ser aplicado a funciones del tipog : RnRn como g(−→r es un vector y∇ lo podemos considerar otro ”vector”tenemosque aplicar las operaciones para vector.En esta caso se define la divergencia como

∇ · g =∂g

∂x1

+∂g

∂x2

+ · · ·+ ∂f

∂xn=

n∑i=1

∂g

∂xi(4.8)


De manera similar como en el caso del gradiente tenemos los casos para dos ytres dimensiones dadas por las ecuaciones 4.9 y 4.10

∇ · g =∂g

∂x+∂g

∂y(4.9)

∇ · g =∂g

∂x+∂g

∂y+∂f

∂z(4.10)

La divergencia nos podra decir como es nuestro flujo por unidad de area enel sentido si tenemos fuentes o sumideros, dicho de otra manera la variacion devolumen de nuestro flujo por unidad de area por unidad de tiempo.

4.6.2. Rotacional

El siguiente operador sobre un campo vectorial es el rotacional el cual esta dadopor

∇X−→A =

∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣ (4.11)

Fısicamente el rotacional nos dice si el campo vectorial puede inducir rotacion,

se tiene el caso particular cuando ∇X−→A = 0 en este caso se tiene que el campo

es conservativo por lo cual existe una funcion escalar φ tal que se cumple

−→A = ∇φ

Para encontrar la funcion φ se realiza el siguiente procedimiento. Sea−→A un

campo vectorial conservativo dado por

−→A = Axi+ Ay j + Azk

por ser conservativo tenemos que ∇X−→A = 0 entonces

−→A = ∇φ

al aplicar el operador gradiente a φ obtenemos

∇φ =∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj +

∂φ

∂zk

que a su vez es igual al campo vectorial por tal razon las componentes deben deser iguales es decir

4.7. Maximo y Mınimos 57

Ax =∂φ

∂x(4.12)

Ay =∂φ

∂y(4.13)

Az =∂φ

∂z(4.14)

Si tomamos la primer ecuacion entonces tenemos

φ =

∫Axdx+ g(y, z) = f(x) + g(y, z)

como ya conocemos φ lo podemos derivar con respecto a y por lo que tenemos

∂f(x)

∂y+∂g(y, z)

∂y= Ay

al integrar con respecto y se conoce g(y, z) el cual esta dado por

g(y, z) =

∫Aydy −

∫∂f(x)

∂ydy + k(z)

se procede analogamente para determinar k(z)

4.7. Maximo y Mınimos

Una de las principales aplicaciones de las derivadas es el hecho de encontrarpuntos crıticos, los cuales pueden ser maximos, mınimos o puntos sillas. Paraellos es necesario definir lo que son los puntos crıticos, para empezar se defineun maximo como: Sea f(−→r ) una funcion de varias variables, diremos quetiene un maximo en −→r 0 cuando f(−→r ) ≤ f(−→r 0). De igual manera podemosdefinir el mınimo como: Sea f(−→r ) una funcion de varias variables, diremosque tiene un mınimo en −→r 0 cuando f(−→r ) ≥ f(−→r 0).Nos debe de quedar claro que la desigualdad se cumplen para todo punto en el

espacio. A estos puntos se les llaman maximo o mınimos relativos segun sea elcaso. Tambien se definen los maximos y mınimos locales la definicion es la mismapero este maximo sera en un intervalo especifico, de esta forma tendremos unconjuntos de varios maximos M y mınimos m. Diremos que tenemos un maximoglobal cuando existe un M ∈ M tal que se cumple M > Mi para todo Mi ∈ M.De manera analoga para el mınimo global.


La cuestion es como encontrar estos puntos lo cual es sencillo puesto que se tieneel criterios de las derivadas, el cual dice lo siguiente:Sea f una funcion de varias variables, diremos que tenemos un punto

crıtico en −→r 0 si se cumple que ∇f = 0 para todo xiLo anterior nos dice que la pendiente en dicho punto es cero, por tal razon es facil

encontrar dichos puntos. Si lo pasamos a una funcion de dos variables tenemosque:Sea f una funcion de dos variables, diremos que tenemos un punto

crıtico en (a, b) si se cumple que fx(a, b) = 0 y a su vez fy(a, b) = 0Sin embargo no es suficiente el criterio de la primera derivada, puesto que es

posible encontrar los puntos crıticos pero no se puede hacer distincion si es unmaximo o mınimo por ellos debemos recurrir al criterio de la segunda derivada,el cual nos dice:Supongamos que f tiene segunda derivadas ademas de que son continuas, por

lo que se puede definir

D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2 (4.15)

Tenemos las siguientes tres opciones

Si D(a, b) > 0 y fxx(a, b) > 0 entonces (a, b) es un mınimo relativo

Si D(a, b) > 0 y fxx(a, b) < 0 entonces (a, b) es un maximo relativo

Si D(a, b) < 0 (a, b) no es ni maximo, ni mınimo. A este punto se le conocecomo punto silla y en dicho punto tenemos un cambio de curvatura.

4.8. Multiplicadores de Lagrange

En la seccion anterior se calcularon los maximos y mınimos de cualquier funcionf(x, y, z). Los multiplicadores de Lagrange hace lo mismo con la diferencia quela funcion a optimizar se encuentra restringida por otra funcion de la formag(x, y, z) = k.Empezaremos explicando este metodo para funciones de dos variables. Lo pri-

mero que se hace es encontrar los valores extremos de la funcion f(x, y) dada porla restriccion g(x, y) = k. Graficamente lo que tenemos es que una f(x, y) pasapor g(x, y) = k en un punto determinado (a, b), lo que nos da a entender que larecta tangente que pasa por (x0, y0) es recta tangente de ambas funciones, por lotanto es posible escribir:

4.8. Multiplicadores de Lagrange 59

∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0) (4.16)

donde λ es un escalar especifico y lleva por nombre multiplicador de Lagrange.Al pasar a tres variables se llega a la misma conclusion, pero como hablamos de3 dimensiones nuestra curva de nivel se convierte en superficie de nivel, entoncesla ecuacion 4.16 se transforma a la forma

∇f(x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0) (4.17)

El metodo se basa en resolver el sistema de ecuacion de la ecuacion 4.17 enconjunto con la restriccion de g(x, y, z), de forma que tenemos

∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)

g(x, y, z) = λk

De las ecuaciones anteriores tenemos el siguiente sistema

fx = λgx

fy = λgy

fz = λgz

g(x, y, z) = λk

El metodo consiste en resolver el sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas, altener dos variables nuestro sistema se ve reducido a 3 ecuaciones y 3 incognitas.Ejemplo OL1 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12m2 de carton.

Calcular el volumen maximo de la caja.Solucion OL1 Se designa a x, y, z como el largo, lo ancho y la altura, por lo

tanto tenemos que el volumen esta dada por:

v = xyz

La restriccion nos dice que se hace con 12m2 de carton lo cual nos da a entenderque el area de la caja es de 12m2. El area de una caja es la suma del area detodas las caras, tenemos que todas las caras se repiten dos veces, por lo que elarea es A(x, y, z) = 2xz + 2yz + 2xy, pero nuestra caja no tiene una tapa por locual debemos de eliminar una cara, entonces la restriccion que se nos presenta es:

A(x, y, z) = 2xz + 2yz + xy = 12


Aplicando la ecuacion 4.17 tenemos

∇f = λ∇g desarrollando y separando las ecuaciones

yz = λ(2z + y)

xz = λ(2z + x)

xy = λ(2x+ 2y)

2xz + 2yz + xy = 12

Para resolver el sistema de ecuaciones tenemos que multiplicar las ecuacionespor x, y, z respectivamente entonces tenemos

xyz = λ(2xz + xy)

xyz = λ(2yz + xy)

xyz = λ(2xz + 2yz)

Igualando las los primeras ecuaciones tenemos que x = y, ahora igualando lasdos ultimas ecuaciones llegamos a que y = 2z, por lo que tenemos que nuestrascoordenadas son x = y = 2z, utilizando la restriccion tenemos

4z2 + 4z2 + 4z2 = 12

es facil ver que z = 1, de modo que x = y = 2Ejemplo OL2 Determinar los valores extremos de la funcion f(x, y) = x2 +2y2

en el circulo x2 + y2 = 1Solucion OL2 Procedimiento de la misma manera que en el ejemplo OL1 te-

nemos

∇f = λ∇g desarrollando y separando las ecuaciones

2x = 2xλ

4y = 2yλ

x2 + y2 = 1

De acuerdo a la primera condicion tenemos que x = 0 o λ = 1. Considerandoque x = 0 de la restriccion tenemos que y = ±1. La otra posible solucion es queλ = 1 entonces de la segunda ecuacion tenemos que y = 0. Lo anterior nos diceque los puntos extremos son (0, 1); (0,−1); (1, 0); (−1, 0)

4.9. Ejercicios 61

4.9. Ejercicios

1. Encuentre la divergencia y rotacional para el campo vectorial dado

a)−→F (x, y, z) = (x2,−2, yz)

b)−→F (x, y, z) = xz3i+ 2y4x2j + 5z2yk

c)−→F (x, y, z) = (exy,− cos y, sinz)

d)−→F (x, y, z) =

1√x2 + y2 + z2

(x, y, z)

2. Encuentre el potencial de los campos dados

a)−→F (x, y, z) = (2x,−6y, 8z)

b)−→F (x, y) = (6xy − y3)i+ (4y + 3x2 − 3xy2)j

c)−→F (x, y, z) = (sin z + y cosx)i+ (sinx+ z cos y)j + (sin y + x cos z)k

3. Aplique el criterio de la segunda derivada para encontrar maximo y mınimos

a) f(x, y) = 4 + x3 + y3 − 3xy

b) f(x, y) = 3x− x3 − 2y2 + y4

c) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2

d) f(x, y) = (1 + xy)(x+ y)

e) f(x, y) = ey(y2 − x2)

f ) f(x, y) = (x− 2)2 + (y − 1)2

g) f(x, y) = 1− x2 − y2

h) f(x, y) = 13− 6x+ x2 + 4y + y2

4. Localice todos los extremos relativos y los puntos silla de la funcion f(x, y) =x2 − 2xy + y2 − 8

5. Encuentre todos los extremo relativos y los puntos silla de la funcion f(x, y) =4xy − x4 − y4

6. Encuentre los valores maximos y mınimos absolutos de f(x, y) = 3xy−6x−3y + 7

7. Determine las dimensiones de una caja rectangular, abierta en la partesuperior, que tiene un volumen de 32ft2 y se requiere de la menor cantidadde material para su construccion.


8. Demuestre que el criterio de las segundas derivadas parciales no proporcionaninguna informacion acerca de los puntos crıticos de la funcion f(x, y) =x4 + y4. Clasificar los puntos de f(x, y) como maximos, mınimos o puntossilla.

9. Encuentre los maximos y mınimos de f(x, y) = xy − x− 3y en la region Rtriangular con vertices (0, 0), (0, 4), (5, 0)

10. Encuentre los valores maximos y mınimos de f(x, y) = x2 − 2y2 e el discox2 + y2 ≤ 4

11. Encuentre los puntos de la superficie x2 − yz = 5 que esten mas cerca alorigen.

12. Utilice el metodo de los multiplicadores de Lagrange par encontrar las di-mensiones de un rectangulo con perımetro p y area maxima.

13. Utilizando los multiplicadores de Lagrange encontrar los maximos y mıni-mos de f para la restriccion dada

a) f(x, y) = xy; g(x, y) = x2 + 8y2 = 16

b) f(x, y) = 4x3 + y2; g(x, y) = 2x2 + y2 = 1

c) f(x, y, z) = 2x+ y − 2z; Esfera de radio 2

d) f(x, y, z) = 3x+ 6y + 2z; g(x, y, z) = 2x2 + 4y2 + z2 = 70

e) f(x, y, z) = xyz g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = 1

Capıtulo 5

Integrales Multiples

Lo que anteriormente se vio de integrales, aplicaba para funciones de una va-riable, pero como este curso trata de analizar y ver que sucede con funciones devariables variables, es necesario generalizar el concepto de integral para funcio-nes de varias variables. Algo similar cuando se estudio la derivada en variablesvariables.Para generalizar el concepto de integrales es necesario hacer nuevas definicion

como lo son integrales dobles y triples, al mismo tiempo en problemas particulareses conveniente hacer cambio de coordenadas, unas de las coordenadas que mas seusan son las polares-esfericas ası como las cilındricas. Antes de empezar daremosun breve repaso de lo que es una integral definida.

5.1. Integral Definida

Sea f(x) de una funcion definida en un intervalo [a, b], lo primero que debemos dehacer es tomar divisiones de este intervalo, por lo cual tendremos n subintervalos

de la forma [xi, xi+1] de una amplitud o distancia ∆x =b− an

. Se toman los puntos

medios de estos subintervalos x∗i , de tal forma que el area de los rectangulos estadefinida como:

a = ∆xf(x∗i ) (5.1)

Entonces es posible cubrir toda la curva con estos rectangulos, por lo tanto altomar la sumatoria del area de todos los rectangulos tendremos una aproximaciondel area baja la curva en el intervalo [a, b]. Lo cual es una definicion de la integral,esta forma de calcular el area se le llama suma de Riemman la cual esta dadapor:

64 Integrales Multiples

Figura 5.1: Representacion grafica de la integral definida

A =n∑i=1

∆xf(x∗i ) (5.2)

El concepto de integral consiste en hacer el numero de intervalos infinito parapoder tener una buena aproximacion del area bajo la curva, por tal razon esnecesario tomar el lımite cuando n→∞ de esta forma queda definida la integraldefinida en el intervalo [a, b], en la figura 5.1 podemos apreciar la representaciongrafica del concepto de integral definida.∫ b

a

f(x)dx = lımn→∞

n∑i=1

∆xf(x∗i ) (5.3)

5.2. Integrales dobles

Para la definicion de integrales dobles se procede de manera analoga, pero estaves f(x, y) es una funcion de dos variables definida en un rectangulo R .

R = [a, b]X[c, d] = {(x, y)|a ≤ x ≤ b; c ≤ x ≤ d}

Por otro lado consideramos que la funcion f(x, y) genera una superficie C porencima de R, por lo que tendremos un solido S entre R y C en este caso lo quese desea es encontrar el volumen de S.El primer paso consiste en dividir el rectangulo R en rectangulos mas pequenos,

por lo que primero haces una division del intervalo [ab, ] para el eje x de forma

semejante para el caso de una variable ∆x =b− am

y ası mismo dividimos el

intervalo [c, d] para el eje y ∆x =c− dn

. Al final nos quedan rectangulos rij dadospor:

5.2. Integrales dobles 65

rij = [xi−1, xi]X[yi−1, yi] = {(x, y)|xi−1 ≤ x ≤ xi; yi−1 ≤ x ≤ yi}

tomando el area de cada rectangulo rij tenemos que es ∆x∆y = ∆A, de igualforma como lo hizo en el caso de una variable se elige un punto muestra, este casoes un par ordenado (x∗i , y

∗i ), por lo tanto es posible tomar el volumen de una parte

del solido S con base rij y altura f(x∗i , y∗i ), quedando su volumen de la forma:

f(x∗i , y∗i )∆x∆y = f(x∗i , y

∗i )∆A

Al sumar todos los volumenes de estos pequenos solidos tendremos una aproxi-macion del volumen del solido S

V ≈m∑i=1

n∑j=1

f(x∗i , y∗i )∆A (5.4)

A esta doble sumatoria se le llama Suma de Riemman doble. Recordandoel procedimiento para una variable al definir el area posteriormente se tomo ellımite para hacer la longitud de los intervalos lo mas pequeno posible, de igualforma haremos que n,m→∞ para que el area de los rectangulos rij sea lo maspequeno posible, al tomar este lımite podemos obtener el volumen de maneraexacta

V = lımn,m→∞

m∑i=1

n∑j=1

f(x∗i , y∗i )∆A (5.5)

Con la ecuacion 5.5 podemos obtener el volumen del solido S que se encuentraentre R y C. Por ultimo la integral doble esta definida por el volumen bajo lacurva C sobre el rectangulo R la cual esta dada por la ecuacion∫ ∫

f(x, y)dA = lımn,m→∞

m∑i=1

n∑j=1

f(x∗i , y∗i )∆A (5.6)

Para realizar una simplificacion de la ecuacion 5.6 se escoge el punto muestra detal forma que sea el punto de la esquina superior derecha por lo tanto la ecuacion5.6 nos queda de la forma∫ ∫

f(x, y)dA = lımn,m→∞

m∑i=1

n∑j=1

f(xi, yi)∆A (5.7)

al comprar 5.5 con 5.6 se obtiene


V =

∫ ∫f(x, y)dA (5.8)

Ejemplo IM1 Estime el volumen del solido que yace arriba del cuadrado R =[0, 2]X[0, 2] y debajo del paraboloide elıptico z = 16 − x2 − 2y2. Divida R encuadros con areas iguales y elija el punto muestral como la esquina superiorderecha de cada cuadrado Rij

Solucion IM1 La primera division que se hace de R es de cuatro cuadrados,los cuales tienen como lado la unidad, por lo que ∆A = 1 tal como lo podemosapreciar en la figura 5.2. Lo anterior nos permite hacer una particion de m = 2 yn = 2, tambien se observar los puntos que se utilizan para obtener el volumen quenos piden los cuales son (1, 1); (1, 2); (2, 1)(2, 2). Con lo anterior podemos escribirla doble suma de Rimman como:

Figura 5.2: Division del cuadrado IM1

V ≈2∑i=1

2∑j=1

f(xi, yj)∆A

= f(1, 1)∆A+ f(1, 2)∆A+ f(2, 1)∆A+ f(2, 2)∆A

= (f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 29) ∆A

= (13 + 7 + 10 + 4) (1) = 34

Otra ayuda para poder obtener las integrales dobles, es la famosa regla del puntomedio, donde lo unico que se haces es escoger el punto medio del rectangulo Rij

como punto de nuestra muestra. Ademas este es un teorema el cual nos da laecuacion 5.9

5.3. Integral Iterada 67

∫ ∫R

f(x, y)dA ≈∫ m

i=1

∫ n

j=1

f(x, y)∆A (5.9)

donde (x, y) es el punto medio del rectanguloEjemplo IM2 Usando el teorema del punto medio con m = n = 2 para estimar

el valor de la integral

∫ ∫R

(x− 3y2dA donde R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 2}Ejemplo IM2 Como m = n = 2 el rectangulo es dividido en cuatro partes,

para el eje x tenemos que el lado tiene un valor igual a la unidad mientras que

para el eje y al dividir tenemos2− 1

2=

1

2, por lo tanto observando los centros de

los rectangulos tenemos: x1 =1

2;x2 =

3

2; y1 =

5

4; y2 =

7

4, entonces lo puntos que

tenemos son: (x1, y1); (x1, y2)(x2, y1); (x2, y2), por lo tanto tenemos que:

∫ ∫R

(x− 3y2)dA ≈

(2∑i=1

2∑j=1

f(xi, yj

)∆A

= [f(x1, y1) + f(x1, y2) + f(x2, y1) + f(x2, y2)] ∆A

=

[f

(1

2,5

4

)+ f

(1

2,7

4

)+ f

(3

2,5

4

)+

(3

2,7

4

)]∆A

=

[(−67

16

)+

(−139

16

)+

(−51

16

)+

(−123

16

)]1

2= −11,875

Las propiedades que presenta una integral doble, son similares a las que presentauna integral sencilla, la cuales son:∫ ∫

R

[f(x, y) + g(x, y)] dA =

∫ ∫R

f(x, y)dA+

∫ ∫g(x, y)dA∫ ∫

R

kf(x, y)dA = k

∫ ∫R

f(x, y)dA

5.3. Integral Iterada

Por la definicion es difıcil evaluar una integral sencilla, es de pensar que encon-trar por definicion una integral doble se vuelve mas complicado. En esta seccionveremos como evaluar una integral doble de una manera mas sencilla. El proce-dimiento es similar al de las derivadas parciales matendremos una fija mientrasque integramos respecto a la otra variable.


Suponga que f es una funcion continua de dos variables que es integrable en el

rectangulo R = [a, b]X[c, d]. Se usa la notacion

∫ d

c

f(x, y)dy para indicar que x se

deja fija y que f(x, y) se integra respecto a y respetando los lımites de integracion.

Este procedimiento se le llama integracion parcial respecto a y. Pero

∫ d

c

f(x, y)dy

es un numero que depende de x, por lo tanto tenemos

A(x) =

∫ d

c

f(x, y)dy

Si integramos A(x) respecto a x de a a b se obtiene∫A(x)dx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx (5.10)

A la ecuacion 5.10 se le conoce como integral iterada. Normalmente se omitenlos corchetes, entonces tenemos∫ ∫ d

c

f(x, y)dydx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]dx (5.11)

Una cosa que debemos notar es la posicion de dydx lo cual nos indica queprimero se integral respecto a y para posteriormente integral respecto a x, por loque tambien es posible escribir.∫ ∫ d

c

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dx

]dy (5.12)

La ecuacion 5.12 invierte el orden de integracion respecto a 5.11, es decir, primerointegramos respecto a x y al final respecto a y. Al final lo que tenemos es unaintegracion de dentro hacia afuera.

Pudiera ser el caso que los resultados de las ecuaciones 5.11 y 5.12 sean igua-les, esto siempre sucede siempre y cuando f(x, y) sea continua y acotada por elrectangulo R, a este enunciado se le conoce como Teorema de Fubini, el cualformalmente nos dice:

Si f(x, y) es continua en el rectangulo R = {(x, y)|a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d},entonces tenemos:∫ ∫

R

f(x, y)dA =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy

5.4. Integrales dobles sobre regiones generales 69

5.4. Integrales dobles sobre regiones generales

En integrales simples tenemos que el espacio donde se integra siempre nos daun intervalo. Ahora cuando pasamos a integrales dobles y como se inicio la defi-nicion la integral se realiza sobre un rectangulo R. Pero se desea que el area deintegracion sea cualquier region D. Dentro de la definicion de integral tenemosque D es una region acotada, por lo cual es posible parametrizar D de la forma

F (x, y) =

{f(x, y), si (x, y) esta en D;0, si (x, y) esta en R pero no en D.

(5.13)

Figura 5.3: Region D para su integracion

Por la ecuacion 5.13 se tiene que si llegara a existir la la integral doble de f(x, y)sobre R entonces tambien existe la integral doble de f(x, y) sobre D y ademas seobtiene que ∫ ∫

D

f(x, y)dA =

∫ ∫F (x, y)dA (5.14)

Lo anterior tiene sentido puesto que los valores de F (x, y) fuera de D no aportaningun valor para la integral debido a la ecuacion 5.13. La interpretacion essimilar, es decir, la integral doble sera el volumen entre la superficie D y lafuncion z = f(x, y).Otro concepto que necesitaremos es la definicion de una region plana del tipo I

la cual se define como una region entre las graficas de dos funciones continuas enx, es decir, D es plana del tipo I si:

D = {(x, y)|a ≤ x ≤ b; g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}

Al tener esto nuestra integral sobre D se vuelve de la forma:∫ ∫D

f(x, y)dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dydx (5.15)

De igual manera tendremos una region plana del tipo II si es posible encerrar ax entre dos funciones, es decir, D es plana del tipo II si:


D = {(x, y)|c ≤ y ≤ d;h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

Al tener esto nuestra integral sobre D se vuelve de la forma:∫ ∫D

f(x, y)dA =

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y)dxdy (5.16)

Notemos que del lado izquierdo de las ecuaciones 5.15 y 5.16 se tiene una integraliterada, sin embargo del lado derecho esto no es posible puesto que las variablesy, y x estan variando respectivamente.

5.5. Ejercicios

1. El problema del ejemplo IM1 encontrar el volumen para cuando m = n ={4, 8, 16}. Se pueden apoyar de un programa de computacion, de ser ası es-cribir el codigo fuente o la explicacion del programa.

2. Estime el volumen del solido que yace debajo de la superficie z = xy yarriba del rectangulo R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 4} a) por el metodode sumas de Rimman usando m = 3 y n = 2 b) con las misma particionencuentre el volumen pero usando el teorema del valor medio.

3. Si R = [−1, 3]X[0, 2] use sumas de riman con m = 4, n = 2 para estimar

el valor de

∫ ∫(y2 − 2x2dA. Tome las esquinas superior izquierdas de los

cuadros como punto muestrales, tambien resuelva por el teorema del valormedio.

4. Calcular la siguientes integrales iteradas

a)

∫ 3

1

∫ 1

0

(1 + 4xy) dxdy

b)

∫ 2

0

∫ π/2

0

x sin ydydx

c)

∫ 4

1

∫ 2

1

(x

y+y

x

)dydx

d)

∫ 1

0

∫ 2

1

xey

ydydx

5.5. Ejercicios 71

e)

∫ 1

0

∫ 2

1

(4x3 − 9x2y2

)dydx

5. Encuentre el volumen del solido que yace bajo el plano 3x+ 3y + z = 12 yarriba del rectangulo R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1;−2 ≤ y ≤ 3}

6. Determine el volumen del solido que yace bajo el paraboloide hiperbolicoz = 4 + x2 − y2 y arriba del rectangulo R = [−1, 1]X[0, 2]

7. Determine el volumen del solido acotado por la superficie z = x sec y y losplanos z = 0, x = 0, x = 2, y = 0

8.

9.

10.

Bibliografıa

[1] Aplicaciones de la Difraccion de Rayos-X a Materiales Policristalinos. Fran-cisco Cruz Gandarilla, Gerardo Cabanas Moreno, Mayahuel Ortega Aviles.Sociedad Mexicana de Cristalografıa. Octubre 2005.

notas mate iii

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