Teorıa de Modulos

Jose Luis Camarillo Nava

Febreero de 2015

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Capıtulo 1

La Teorıa de Modulos

1.1. Definicion y propiedades

Supongase que (M,+) es un grupo abeliano. Recuerdese que el conjuntoEnd(M) definido por

End(M) = {f : M −→M, f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈M}

tiene una estructura natural de anillo unitario. Concretamente, se tienendefinidas las operaciones de suma

” + ” : M ×M −→M

y producto

” ◦ ” : M ×M −→M,

Para cada par g, f ∈ End(M), se definen g + f y g ◦ f , respectivamente,por

(g + f)(x) = g(x) + f(x), si x ∈M(g ◦ f)(x) = g(f(x)), si x ∈M

El elemento neutro para la suma es, obviamente, la el homomorfismonulo, el cual sera denotado por 0End(M). El elemento neutro para el producto(composicion de funciones) es, naturalmente, la funcion identidad de M , lacual sera denotada por 1M .

Ası, con estas operaciones se tiene el anillo unitario (End(M),+, ◦, 0End(M), 1M)llamado usualmente el anillo de endormorfismos de M .

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4 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

Definicion 1.1. Supongase que (R,+, ·, 0, 1) es un anillo unitario y (M,+)un grupo abeliano. Se llama representacion de R en M a todo homomorfismode anillos

ρ : R −→ End(M)

Ası pues, notese que, en las condiciones de la definicion 1.1, a cada r ∈ Rle corresponde (por medio de ρ), un unico homomorfismo de grupos, ρ(r),que sera denotado por ρr.

Ademas, por ser ρ un homomorfismo de anillos, se tienen las siguientespropiedades para cada r1, r2 ∈ R:

ρ(r1 + r2) = ρ(r1) + ρ(r2) (1.1)

ρ(r1 · r2) = ρ(r1) · ρ(r2) (1.2)

ρ(1) = 1M (1.3)

Con la notacion acordada, se tiene que

ρr1+r2 = ρr1 + ρr2 (1.4)

ρr1·r2 = ρr1 · ρr2 (1.5)

ρ1 = 1M (1.6)

Teorema 1.1. Supongase que ρ : R −→ End(M) es una representacion deR en M . Entonces, ρ induce una ley de operacion externa, µ : R×M −→M ,definida por

µ(r, x) = ρr(x)

Ademas, si para cada par (r, x) ∈ R×M , el elemento µ(r, x) se simbolizapor

µ(r, x) = r · x

entonces la operacion µ tiene, para cada r, r1, r2 ∈ R y x, x1, x2 ∈ M , lassiguientes propiedades:

1. r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2

2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x

3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 5

4. 1 · x = x

Demostacion:

(1): En efecto, por la definicion, se tiene que

r · (x1 + x2) = ρr(x1 + x2)

=⇒ r · (x1 + x2) = ρr(x1) + ρr(x2)

=⇒ r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2

(2): Por definicion, se tiene que

(r1 + r2) · x = ρr1+r2(x)

=⇒ (r1 + r2) · x = (ρr1 + ρr2)(x)

=⇒ (r1 + r2) · x = ρr1(x) + ρr2(x) = r1 · x+ r2 · x

(3) : Por definicion, se tiene que:

(r1 · r2) · x = ρr1r2(x)

=⇒ (r1 · r2) · x = (ρr1 · ρr2)(x)

=⇒ (r1 · r2) · x = ρr1(ρr2(x))

=⇒ (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

(4) : Por definicion, se tine que

1 · x = ρ1(x)

=⇒ 1 · x = 1M(x)

6 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

=⇒ 1 · x = x

♠Ası pues, en las condiciones del Teorema 1.1, se dice que R opera sobre el

grupo abeliano M . En cuanto a la ley de operacion externa, µ : R×M −→M ,que se ha obtenido a partir de la representacion ρ, se suele decir que es unaestructura de R−modulo a izquierda sobre M .

Por tanto, lo que se ha demostrado es que toda representacion de Rsobre M induce una estructura algebraica nueva. Recıprocamente, se tieneel siguiente:

Teorema 1.2. Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Supongase que se tiene definida una ley de operacion externa entreelementos de R y los elementos de M , ” · ” : R ×M −→ M . Para cada par(r, x) ∈ R×M denotese ·(r, x) por

·(r, x) = r · xSupongase ademas que esta operacion satisface las siguientes propiedades

para cada r, r1, r2 ∈ R y x, x1, x2 ∈M :

1. r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2

2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x

3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

4. 1 · x = x

Entonces, esta operacion induce una representacion ρ : R −→ End(M).

Demostacion:

En efecto, la propiedad 1 establece que los elementos de R actuan li-nealmente sobre los elementos de M . Ası, para cada r ∈ R la aplicacionhr : M −→M definida por:

hr(x) = r · x, para cada x ∈M,

es un homomorfismo de grupos: pues, por 1, se tiene que

hr(x1 + x2) = r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2 = hr(x1) + hr(x2)

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 7

Ademas, por 2, 3 y 4, se tiene que

hr1+r2 = hr1 + hr2 (1.7)

hr1·r2 = hr1 · hr2 (1.8)

h1R = 1M (1.9)

Es natural entonces definir la aplicacion ρ : R −→ End(M), por

ρ(r) = hr, para cada r ∈ R

Las propiedades (1.7),(1.8) y (1.9), garantizan que ρ es un homomorfismode anillos unitario.

♠

Ası pues, se tiene la siguiente

Definicion 1.2. Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Entonces, se dice que M tiene una estructura de R−modulo a iaquierdasi, y solo, si existe una aplicacion µ : R ×M −→ M tal que si se hace lanotacion

µ(r, x) = r · x

para cada r ∈ R y x ∈ M , entonces se tienen, para cada r, r1, r2 ∈ R yx, x1, x2 ∈M , las siguientes propiedades:

1. r · (x1 + x2) = r · (x1) + r · (x2)

2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x

3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

4. 1 · x = x