notas de teoría de módulos

Teorıa de Modulos

Jose Luis Camarillo Nava

Febrero de 2015

Capıtulo 1

La Teorıa de Modulos

1.1. Definicion y propiedades

Supongase que (M,+) es un grupo abeliano. Recuerdese que el conjuntoEnd(M) definido por

End(M) = {f : M −→M, f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈M}

se llama el anillo de endomorfismos de M y tiene una estructura naturalde anillo unitario. Concretamente, se tienen definidas las operaciones de suma

” + ” : End(M)× End(M) −→ End(M)

y producto

” ◦ ” : End(M)× End(M) −→ End(M),

Para cada par g, f ∈ End(M), se definen de forma puntual, g+ f y g ◦ f ,respectivamente, por

(g + f)(x) = g(x) + f(x), si x ∈M(g ◦ f)(x) = g(f(x)), si x ∈M

El elemento neutro para la suma es, obviamente, la el homomorfismonulo, el cual sera denotado por 0End(M). El elemento neutro para el producto(composicion de funciones) es, naturalmente, la funcion identidad de M , lacual sera denotada por 1M .

Ası, con estas operaciones se tiene el anillo unitario (End(M),+, ◦, 0End(M), 1M)llamado usualmente el anillo de endormorfismos de M .

3

4 CAPITULO 1. LA TEORIA DE MODULOS

Teorema 1.1. Sea (M,+) un grupo abeliano y f ∈ End(M). Entonces, paracada r ∈ Z y x ∈M , se tiene que

f(r · x) = r · f(x)

Demostracion:

Ejemplos

Ejemplo 1: Considerese el grupo abeliano (Z,+). Sea f ∈ End(Z).Entonces, para cada r ∈ Z, se tiene que

f(r) = f(r · 1) = r · f(1)

Es decir, f esta determinado por su imagen en 1: la accion de f es mul-tiplicar a derecha por m0 = f(1). Recıprocamente, si m ∈ Z y se define lafuncion fm : Z −→ Z por

fm(r) = r ·m, para cada r ∈ Z

entonces es claro que fm ∈ End(Z). Por tanto, se deduce que:

End(Z) = {fm : m ∈ Z}

Notese que cada fm envıa a 1 en m.Ademas, es facil demostrar que, para cada m1,m2 ∈ Z, se tiene que

fm1 + fm2 = fm1+m2

fm1 ◦ fm2 = fm1·m2

Por tanto, es natural definir la aplicacion φ : End(Z) −→ Z por

φ(fm) = m, para cada fm ∈ End(Z)

Es facil demostrar que φ es un isomosfismo de anillos. Por tanto:

End(Z) ≈ Z

♠

Ejemplo 2: Considerese el grupo abeliano,(Z×Z,+), donde la suma sedefine coordenada a coordenada. Es decir,

Z× Z = {(m,n) : m,n ∈ Z}

1.1. DEFINICION Y PROPIEDADES 5

y la suma en Z× Z esta definida por

(m,n) + (m′, n′) = (m+m′, n+ n′)

Notar ademas que cada (m,n) ∈ Z× Z se escribe en la forma

(m,n) = m(1, 0) + n(0, 1)

Es decir, (1, 0) y (0, 1) son generadores de (Z×Z,+). Luego, cada homo-morfismo de grupos, f ∈ End(Z × Z), esta determinado por su imagen enestos elementos, pues:

f(m,n) = mf(1, 0) + nf(0, 1)

Al escribir f(1, 0) = (a, b) y f(0, 1) = (c, d) se tiene que

f(m,n) = m(a, b) + n(c, d)

=⇒ f(m,n) = (ma+ nc,mb+ nd)

=⇒ f(m,n) =

(a cb d

)(mn

)Notese que la matriz

(a cb d

)serıa, segun el Algebra Lineal, la matriz que

representa a f en la base canonica β = {(1, 0); (0, 1)} y, se suele simbolizarpor (

a cb d

)= [ f ]β

Es facil demostrar que, para cada g, f ∈ End(Z× Z), se tiene que

[ g + f ]β = [ g ]β + [ f ]β

y

[ g ◦ f ]β = [ g ]β · [ f ]β

Por tanto, es natural definir la aplicacion φ : End(Z × Z) −→ M2×2(Z)por

φ(f) =

(a cb d

)= [ f ]β


Ası, se tiene que φ es un homomorfismo de anillos.Por tanto:

End(Z× Z) ≈M2×2(Z)

♠

Ejemplo 3: Sea n ∈ N y considerese al grupo abeliano de los enterosmodulo n,(Zn,+). La clase del 1, 1, es obviamente un generador de este grupoabeliano. Luego, cada f ∈ End(Zn) esta determinado por su imagen en 1.Concretamente, para cada r ∈ Zn, se tiene que

f(r) = r · f(1)

Ası, analogamente al caso de End(Z), la estructura de End(Zn) esta de-terminada por las ”multiplicaciones a derecha por un elemento”de Zn. Esdecir, es natural considerar, para cada m ∈ Zn, la aplicacion fm : Zn −→ Zn,definida por:

fm(r) = r ·m, para cada r ∈ Zn

Es claro que fm ∈ End(Zn), para cada m ∈ Zn y que se tienen las leyes:

fm1 + fm2 = fm1+m2

y

fm1 ◦ fm2 = fm1·m2

Por tanto, se tiene que

End(Zn) = {fm : m ∈ Zn}

Ademas, es natural definir la aplicacion φ : End(Zn) −→ Zn por

φ(fm) = m

y se obtiene un isomorfismo de anillos unitarios. Luego:

End(Zn) ≈ ZnA continuacion, se demostrara para los anillos unitarios, una version del

Teorema de Cayley para grupos:


Todo grupo (G, ∗) es isomorfo a un subgrupo de cierto grupo de permu-taciones.

En realidad, el mencionado teorema demuestra que G ≈ H, siendo S(G)el conjunto de todas las permutaciones de G y H un subgrupo de S(G). Paralos anillos se tiene el siguiente

Teorema 1.2. (Teorema de Cayley para anillos) Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillounitario. Entonces, R es isomorfo a un subanillo del anillo de endomorfismosde algun grupo abeliano. Es decir, existe un grupo abeliano (M,+) tal que

R ≈ End(M)

Demostacion:

En efecto, se demostrara que

R ≈ End((R,+))

Para cada r ∈ R, defınase la aplicacion fr : R −→ R, por

fr(x) = r · x, para cada x ∈ R

Es claro que fr ∈ End((R,+)), para cada r ∈ R, pues, si x1, x2 ∈ R,entonces:

fr(x1 + x2) = r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2 = fr(x1) + fr(x2)

Ademas, para cada r1, r2 ∈ R, se tiene que:

fr1 + fr2 = fr1+r2

y

fr1 ◦ fr2 = fr1·r2

Luego, es natural definir la aplicacion ψ : R −→ End((R,+)) por

ψ(r) = fr

Ası, se tiene que ψ es un homomorfismo de anillos. Notese ahora que

Ker(ψ) = {r ∈ R : ψ(r) = 0End((R,+))}


=⇒ Ker(ψ) = {r ∈ R : fr = 0End((R,+))}

=⇒ Ker(ψ) = {r ∈ R : fr(x) = 0R, para todo x ∈ R}

=⇒ Ker(ψ) = {r ∈ R : r · x = 0R, para todo x ∈ R}

En particular, tomando x = 1 se deduce que Ker(ψ) = {0R}, lo quedemuestra que ψ es un monomorfismo. Por tanto, se tiene que

R ≈ ψ(R) � End((R,+))

♠

Definicion 1.1. Supongase que (R,+, ·, 0, 1) es un anillo unitario y (M,+)un grupo abeliano. Se llama representacion de R en M a todo homomorfismode anillos

ρ : R −→ End(M)

Ası pues, notese que, en las condiciones de la definicion 1.1, a cada r ∈ Rle corresponde (por medio de ρ), un unico homomorfismo de grupos, ρ(r),que sera denotado por ρr.

Ademas, por ser ρ un homomorfismo de anillos, se tienen las siguientespropiedades para cada r1, r2 ∈ R:

ρ(r1 + r2) = ρ(r1) + ρ(r2) (1.1)

ρ(r1 · r2) = ρ(r1) · ρ(r2) (1.2)

ρ(1) = 1M (1.3)

Con la notacion acordada, se tiene que

ρr1+r2 = ρr1 + ρr2 (1.4)

ρr1·r2 = ρr1 · ρr2 (1.5)

ρ1 = 1M (1.6)


Teorema 1.3. Supongase que ρ : R −→ End(M) es una representacion deR en M . Entonces, ρ induce una ley de operacion externa, µ : R×M −→M ,definida por

µ(r, x) = ρr(x)

Ademas, si para cada par (r, x) ∈ R×M , el elemento µ(r, x) se simbolizapor

µ(r, x) = r · x

entonces la operacion µ tiene, para cada r, r1, r2 ∈ R y x, x1, x2 ∈ M , lassiguientes propiedades:

1. r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2

2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x

3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

4. 1 · x = x

Demostacion:

(1): En efecto, por la definicion, se tiene que

r · (x1 + x2) = ρr(x1 + x2)

=⇒ r · (x1 + x2) = ρr(x1) + ρr(x2)

=⇒ r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2

(2): Por definicion, se tiene que

(r1 + r2) · x = ρr1+r2(x)

=⇒ (r1 + r2) · x = (ρr1 + ρr2)(x)

=⇒ (r1 + r2) · x = ρr1(x) + ρr2(x) = r1 · x+ r2 · x


(3) : Por definicion, se tiene que:

(r1 · r2) · x = ρr1r2(x)

=⇒ (r1 · r2) · x = (ρr1 · ρr2)(x)

=⇒ (r1 · r2) · x = ρr1(ρr2(x))

=⇒ (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

(4) : Por definicion, se tine que

1 · x = ρ1(x)

=⇒ 1 · x = 1M(x)

=⇒ 1 · x = x

♠Ası pues, en las condiciones del Teorema 1.1, se dice que R opera sobre el

grupo abeliano M . En cuanto a la ley de operacion externa, µ : R×M −→M ,que se ha obtenido a partir de la representacion ρ, se suele decir que es unaestructura de R−modulo a izquierda sobre M .

Por tanto, lo que se ha demostrado es que toda representacion de Rsobre M induce una estructura algebraica nueva. Recıprocamente, se tieneel siguiente:

Teorema 1.4. Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Supongase que se tiene definida una ley de operacion externa entreelementos de R y los elementos de M , ” · ” : R ×M −→ M . Para cada par(r, x) ∈ R×M denotese ·(r, x) por

·(r, x) = r · xSupongase ademas que esta operacion satisface las siguientes propiedades

para cada r, r1, r2 ∈ R y x, x1, x2 ∈M :

1. r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2


2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x

3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

4. 1 · x = x

Entonces, esta operacion induce una representacion ρ : R −→ End(M).

Demostacion:

En efecto, la propiedad 1 establece que los elementos de R actuan li-nealmente sobre los elementos de M . Ası, para cada r ∈ R la aplicacionhr : M −→M definida por:

hr(x) = r · x, para cada x ∈M,

es un homomorfismo de grupos: pues, por 1, se tiene que

hr(x1 + x2) = r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2 = hr(x1) + hr(x2)

Ademas, por 2, 3 y 4, se tiene que

hr1+r2 = hr1 + hr2 (1.7)

hr1·r2 = hr1 · hr2 (1.8)

h1R = 1M (1.9)

Es natural entonces definir la aplicacion ρ : R −→ End(M), por

ρ(r) = hr, para cada r ∈ RLas propiedades (1.7),(1.8) y (1.9), garantizan que ρ es un homomorfismo

de anillos unitario.

♠Ası pues, se tiene la siguiente

Definicion 1.2. Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillo unitario y (M,+) un grupo abe-liano. Entonces, se dice que M tiene una estructura de R−modulo a iaquierdasi, y solo, si existe una aplicacion µ : R ×M −→ M tal que si se hace lanotacion

µ(r, x) = r · xpara cada r ∈ R y x ∈ M , entonces se tienen, para cada r, r1, r2 ∈ R y

x, x1, x2 ∈M , las siguientes propiedades:


1. r · (x1 + x2) = r · (x1) + r · (x2)

2. (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x

3. (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x)

4. 1 · x = x

Ejemplos

Ejemplo 1 (Algebra Lineal): Evientemente, si (V, F, ·) es un espacio vec-torial, entonces V tiene una estructura de F−modulo a izquierda.

Ejemplo 2 (Teorıa de Grupos Abelianos): Supongase que (M,+) es ungrupo abeliano. Entonces, puede definirse sobre M una estructura de modulosobre Z. En efecto, para cada r ∈ Z y x ∈ M , se puede definir de maneranatural el sımbolo r · x de forma inductiva. Mas precisamente, defınase laoperacion · : Z×M −→M de la siguiente manera:

1 · x = x,

y

(h+ 1) · x = h · x+ x, si h ∈ N

Por otro lado, si r ∈ Z y r < 0, se define

r · x = −((−r) · x)

Finalmente, se define

0 · x = 0M

Ası, se tiene que la terna (Z,M, ·) es un Z-modulo.

Ejemplo 3 (Teorıa de Anillos): Si (R,+, ·, 0, 1) es un anillo unitario, en-tonces obviamente, R tiene una estructura natural de R-modulo. En efecto,es claro que (R,+) es un grupo abeliano y que el producto definido en Rcumple con los axiomas de R-modulo.

Ejemplo 4 (Accion de matrices): Sea F un cuerpo, n ∈ N y considereseel F -espacio vectorial F n. Sea A una matriz n× n sobre F . Se puede definiruna estructura de F [X]-modulo sobre F n de la siguiente manera:

Se define la operacion · : F [X] × F n −→ F n, para cada f(X) ∈ F [X] yv ∈ F n por

1.2. SUBMODULOS 13

f(X) · v = f(A) · v

Ejemplo 5 (Teorıa de Numeros): Sea L un cuerpo de numeros algebrai-cos. Motivados por resolver ecuaciones diofanticas, los algebristas estudianla aritmetica de L y la de su anillo de enteros algebraicos, OL/Z. Esteconjunto se define:

OL/Z = {α ∈ L : α es raız de algun polinomio f(X) ∈ Z[X]}

Resulta que OL/Z es un anillo que es, al mismo tiempo, un Z-modulofinitamente generado.

1.2. Submodulos

Definicion 1.3. Sea M un R−modulo a izquierda. Se dice que un subcon-junto N de M es un sub-R-modulo de M si, y solo , si

1. Si x, y ∈ N =⇒ x− y ∈ N .

2. Si r ∈ R y x ∈ N =⇒ r · x ∈ N .

Es decir, que N es un subgrupo de M bajo la suma y , ademas, es unconjunto estable por la multiplicacion de escalares de R.

Ejemplos

Ejemplo 1: Si M es un R−modulo, entonces {0M} y M son, obviamente,sub-R−modulos de M . Se les llama los sub-modulos triviales de M .

Ejemplo 2 (Teorıa de Anillos): Sea (R,+, ·, 0, 1) un anillo. Entonces,considerando a R con su estructura natural de R−modulo, es claro que lossub-R−modulos de R son sus ideales.

Ejemplo 3: Sea M un R−modulo y x ∈M . Entonces, el conjunto

R · x = {r · x : r ∈ R}

es obviamente un sub-R-modulo de M . Usualmente, se denota por:

R · x = < x >


y se le suele llamar el modulo cıclico de M generado por x.Mas generalmente, si X es un conjunto finito de elementos de M , X =

{x1, x2, ..., xn}, entonces se define el conjunto < X > por:

< X > = {r1x1 + r2x2 + ...+ rnxn : ri ∈ R para todo, i}

Es facil demostrar que < X > es un sub-R−modulo de M . Usualementese le llama el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementosde X .

Ejemplo 4: Sean M un R−modulo y supongase que N1 y N2 son sub-R-modulos de M . Entonces, se define la suma M1 +M2 por:

M1 +M2 = {x1 + x2 : x1 ∈M1, x2 ∈M2}

Es muy facil demostrar que M1 +M2 es tambien un sub-R-modulo de Mal que , obviamente , se le llama la suma entre M1 y M2.

Mas generalmente, si se tiene un numero finito de sub-R-modulos de M ,M1,M2, ...,Mn, entonces se define la suma M1 +M2 + ...+Mn por:

M1 +M2 + ...+Mn = {x1 + x2 + ...+ xn : xi ∈Mi para todo i}

Este conjunto es tambien un sub-R-modulo de M , llamado la suma delos Mi.Notese que si X = {x1, x2, ..., xn}, entonces

< X > = R · x1 +R · x2 + ...+R · xn

Ejemplo 5: Sean M un R−modulo y supongase que N1 y N2 son sub-R-modulos de M . Entonces, se define la interseccion M1 ∩M2 por:

M1 ∩M2 = {x ∈M : x1 ∈M1, x2 ∈M2}

Es facil demostrar que M1 ∩M2 es un sub-R-modulo de M .Mas generalmente, si se tiene un numero finito de sub-R-modulos de M ,

M1,M2, ...,Mn, entonces se define la interseccion M1 ∩M2 ∩ ... ∩Mn por:

M1 ∩M2 ∩ ... ∩Mn = {x ∈M : x ∈Mi para todo i}

Tambien es facil demostrar que M1 ∩M2 ∩ ... ∩Mn es un sub-R-modulode M .

1.2. SUBMODULOS 15

Ejemplo 6: Considerese al grupo abeliano (Z,+) con su estructura na-tural de Z−modulo, es decir, su estructura de anillo. Tal y como ya se dijo,los sub-Z−modulos de Z son sus ideales. Ahora bien, se sabe que todo idealde Z es principal. Es decir, si I es un ideal de Z, entonces existe un m ∈ Ztal que I = < m > = Z ·m. Puede demostarse que, para cada m,n ∈ Z, setiene que

< m > + < n > = < m.c.d(m,n) >

< m > ∩ < n > = < m.c.m[m,n] >

< m > + < n > = Z⇐⇒ m.c.d(m,n) = 1

Ejemplo 7: Sea M un R−modulo. Entonces, el anulador de M en Res el conjunto, AnnR(M), definido por

AnnR(M) = {r ∈ R : r · x = 0M , para todo x ∈M}

Es facil demostrar que AnnR(M) es un ideal de R.

Teorema 1.5. Sea M un R−modulo, I un ideal de R. Las siguientes con-diciones son equivalentes:

1. I ⊂ AnnR(M).

2. La aplicacion ” ·” :R

I×M −→M definida, para cada par de elementos

(r, x) ∈ RI×M , por

r · x = r · x

es una estructura deR

I−modulo sobre M .

Demostacion:

(1) =⇒ (2):

En primer lugar, dado que la definicion de ” · ” depende en principiodel representante de la clase de modulo I, entonces debe demostrarse que,


en realidad, tal dependencia no existe. En efecto, pues si r1 = r2, se tieneque r1 − r2 ∈ I lo que implica, como I ⊂ AnnR(M) por hipotesis, que(r1−r2)·x = 0M , para todo x ∈M , lo que obviamente implica que r1·x = r2·x,para todo x ∈M . Por tanto, r1 · x = r2 · x, para todo x ∈M . Ası pues, ” · ”esta bien definida, es decir, su definicion no depende del representante de laclase modulo I por la que se vaya a multiplicar.

Por otro lado, es facil demostrar que ” · ” tiene las propiedades de una es-

tructura deR

I−modulo sobre M : pues, si r, r1, r2 ∈

R

Iy x1, x2 ∈M entonces

se tiene que:r · (x1 + x2) = r · (x1 + x2) = r · x1 + r · x2 = r · x1 + r · x2

(r1 + r2) · x = (r1 + r2) · x = (r1 + r2) · x = r1 · x+ r2 · x = r1 · x+ r2 · x

(r1 · r2) · x = (r1 · r2) · x = (r1 · r2) · x = r1 · (r2 · x) = r1 · (r2 · x)

1 · x = 1 · x = x

(2) =⇒ (1): En efecto, sea r ∈ I y x ∈M . Entonces, como x ∈ I, se tiene

que r = 0 y ası, como r · x = r · x por la hipotesis, se tiene que

r · x = r · x = 0 · x = 0M

Por tanto I ⊂ AnnR(M).

♠

Ejemplo 10: Considerese al grupo abeliano (Z,+) y, para cada n ∈ N,al anillo de enteros modulo n, Zn. Al definir (de forma natural) la aplicacion” · ” : Zn × Z −→ Z, para cada par de elementos (r, x) ∈ Zn × Z, por

r · x = r · x

se tiene que ” · ” es una estructura de Zn−modulo sobre Z ⇐⇒ < n > ⊂AnnZ(Z) ⇐⇒< n > · Z = {0} ⇐⇒ n · Z = {0}, lo cual obviamente no escierto. Por tanto, Esta operacion no tiene es una estructura de Zn−modulosobre Z.

Ejemplo 9: Sean m,n ∈ N. Considerese al grupo abliano (Zm,+) y alanillo (Zn,+, ·). Entonces, segun el teorema anterior, se tiene que la operacion” · ” : Zn × Zm −→ Zm definida por:

1.3. HOMOMORFISMOS DE MODULOS. CALCULOS DEHOMR(M,N).17

r · x = rx

es una estructura de Zn−modulo sobre Zm ⇐⇒ < n > ⊂ AnnZ(Zm)⇐⇒< n > · Zm = {0}⇐⇒ n · 1 = 0⇐⇒ n = 0 ⇐⇒ n ∈ < m > ⇐⇒ mdivide a n.

1.3. Homomorfismos de modulos. Calculos de

HomR(M,N).

Definicion 1.4. Sean M y N dos R−modulos. Se dice que una aplicacion,f : M −→ N , es un R-homomorfismo de modulos si, y solo si

f(r · x+ y) = r · f(x) + f(y),

para todo r ∈ R y x, y ∈M .Usualmente, tambien se dice que f es un homomorfismo de R−modulos.En tal caso, el nucleo de f es el conjunto , Ker(f), definido por

Ker(f) = {x ∈M : f(x) = 0N}Por otro lado, la imagen de f es el conjunto , f(M), definido por:

f(M) = {f(x) : x ∈M}

Al igual que sucede con el nucleo y la imagen de una transformacion linealentre espacios vectoriales, tanto el nucleo como la imagen de un homomor-fismo de modulos tambien respetan la propiedad de subestructura. Es decir,se tiene el siguiente:

Teorema 1.6. Sean M,N dos R−modulos y f : M −→ N un homomorfismode R−modulos. Entonces:

1. f(0M) = 0N .

2. Ker(f) es un sub-R-modulo de M .

3. f(M) es un sub-R-modulo de N .

4. f es inyectivo ⇐⇒ Ker(f) = {0M}.

Demostacion:

♠


Definicion 1.5. Sean M,N dos R−modulos. Entonces, el conjunto

HomR(M,N) = {f : M −→ N : f(r·x+y) = r·f(x)+f(y), para todo r ∈ R y x, y ∈M}

es , obviamente, el conjunto de todos los R−homomorfismos de modulosde M en N .

En particular,

HomR(M,M) = {f : M −→M : f(r·x+y) = r·f(x)+f(y), para todo r ∈ R y x, y ∈M}

se llama el conjunto de todos los endomorfismos de R−modulos de M .

Sean M,N dos R−modulos. En el conjunto HomR(M,N) se pueden de-finir de forma natural las siguientes operaciones:

La adicion,

” + ” : HomR(M,N)×HomR(M,N) −→ HomR(M,N)

definida para cada par g, f ∈ HomR(M,N), por:

(g + f)(x) = g(x) + f(x), x ∈M

Si R es conmutativo, la multiplicacion por un escalar,

” · ” : R×HomR(M,N) −→ HomR(M,N)

definida para cada par r ∈ R y f ∈ HomR(M,N), por:

(r · f)(x) = r · f(x), x ∈M

A continuacion, se justificara que estas operaciones estan bien definidas.Es decir, se tiene el siguiente teorema:

Teorema 1.7. Sean M,N dos R−modulos. Entonces

1. Si g, f ∈ HomR(M,N) =⇒ g + f ∈ HomR(M,N)

2. Si R es conmutativo : r ∈ R y f ∈ HomR(M,N) =⇒ r·f ∈ HomR(M,N)


Demostacion:

En efecto, pues si s ∈ R y x, y ∈M , entonces:

(g + f)(s · x+ y) = g(s · x+ y) + f(s · x+ y)

=⇒ (g + f)(s · x+ y) = s · g(x) + g(y) + s · f(x) + f(y)

=⇒ (g + f)(s · x+ y) = s · (g(x) + f(x)) + (g(y) + f(y))

=⇒ (g + f)(s · x+ y) = s · ((g + f)(x)) + (g + f)(y)

Luego, g + f ∈ HomR(M,N).

Por otro lado, se tiene que:

(r · f)(s · x+ y) = r · (f(s · x+ y))

=⇒ (r · f)(s · x+ y) = r · (s · f(x) + f(y))

=⇒ (r · f)(s · x+ y) = r · ((s · f(x)) + r · (f(y))

=⇒ (r · f)(s · x+ y) = (r · s)(f(x)) + r · (f(y))

=⇒ (r · f)(s · x+ y) = (s · r)(f(x)) + r · (f(y))

=⇒ (r · f)(s · x+ y) = (s · (r · f(x))) + r · (f(y))

=⇒ (r · f)(s · x+ y) = (s · (r · f)(x)) + r · (f(y))

=⇒ r · f ∈ HomR(M,N)

♠Supongase ahora que f : M −→ N y g : N −→ P son homomorfismos

de R−modulos. Entonces, la composicion entre g y f , g ◦ f , es la funciong ◦ f : M −→ P , definida por


(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈M

Esta operacion respeta el caracter de los homomorfismos de R−modulos.Mas precisamente:

Teorema 1.8. Supongase ahora que f : M −→ N y g : N −→ P sonhomomorfismos de R−modulos. Entonces, la composicion entre g y f , g ◦ f ,tambien es un homomorfismo de R−modulos.

Demostacion:

En efecto, pues si r ∈ R y x, y ∈M , entonces:

(g ◦ f)(r · x+ y) = g(f(r · x+ y))

=⇒ (g ◦ f)(r · x+ y) = g(r · f(x) + f(y))

=⇒ (g ◦ f)(r · x+ y) = r · g(f(x)) + g(f(y))

=⇒ (g ◦ f)(r · x+ y) = r · (g ◦ f)(x) + (g ◦ f)(y)

♠

Teorema 1.9. Sean M,N,P tres R−modulos. Entonces, se tiene que

1. HomR(M,N) es un grupo abeliano bajo la suma natural de funciones,” + ”.

2. Si R es conmutativo, entonces el grupo abeliano, HomR(M,N), tieneuna estructura de R−modulo bajo la multiplicacion por escalares, ” · ”.

3. La terna (HomR(M,M),+, ◦) es un anillo unitario.

Demostacion:

♠

Ejemplos


Ejemplo 1: Supongase que R es un anillo unitario. Considerese a R consu estructura natural de R−modulo. En este ejemplo se calculara el conjuntode todos los endomorfismos de R como R−modulo, HomR(R,R).

Notese que si f ∈ HomR(R,R), entonces f esta determinado por suimagen en 1 ya que, si x ∈ R, entonces

f(x) = f(x · 1) = x · f(1)

Por otro lado, cualquier multiplicacion a derecha por elementos de R estambien un homomorfismo de R−modulos. En efecto, si m ∈ R, defınase laaplicacion fm : R −→ R, por

fm(x) = x ·m,x ∈ R

Que cada fm es un R−homomorfismo es inmediato: pues si r ∈ R yx, y ∈ R entonces:

fm(r·x+y) = (r·x+y)·m = (r·x)·m+y·m = r·(x·m)+y·m = r·fm(x)+fm(y)

=⇒ fm ∈ HomR(R,R)

Por tanto, se tiene que

HomR(R,R) = {fm : m ∈ R}

Se establecion ya que HomR(R,R) es un grupo abeliano bajo la sumausual de funciones. Observese que si fm, fm′ ∈ HomR(R,R), entonces paracada x ∈ R se tiene que

(fm + fm′)(x) = fm(x) + fm′(x) = x ·m+ x ·m′ = x · (m+m′) = fm+m′(x)

Luego:

fm + fm′ = fm+m′

Por otro lado, se establecio tambien que si R es conmutativo, entonces elgrupo abeliano HomR(R,R) es un R−modulo bajo la multiplicacion naturalpor escalares de R. Ahora bien, para cada r ∈ R y fm ∈ HomR(R,R), laaplicacion r · fm actua sobre cada x ∈ R de la siguiente manera

(r ·fm)(x) = r ·fm(x) = r ·(x·m) = (r ·x)·m = (x·r)·m = x·(r ·m) = fr·m(x)


Es decir,

r · fm = fr·m

Estas observaciones sugieren, en este caso en el que R es conmutativo,definir la aplicacion ψ : HomR(R,R) −→ R, por

ψ(fm) = m

Es claro que ψ es un epimomorfismo de R−modulos. Ademas, se tieneque

Ker(ψ) = {fm ∈ HomR(R,R) : ψ(fm) = 0R}

=⇒ Ker(ψ) = {fm ∈ HomR(R,R) : m = 0R}

=⇒ Ker(ψ) = {f0R} = 0HomR(R,R)

lo que demuestra que ψ es un monomorfismo. En consecuencia:

HomR(R,R) ∼= R, si R es conmutativo

Ejemplo 2: Sea M un R−modulo. En este ejemplo se demostrara que siR es conmutativo, entonces HomR(R,M) es isomorfo a M como R−modulo,considerando a HomR(R,M) con su estructura natural de R−modulo. Enefecto, si f ∈ HomR(R,M), entonces para cada r ∈ R se tiene que

f(r) = f(r · 1) = r · f(1)

de modo que f esta determinado por su imagen en 1, f(1). Notar quef(1) ∈M . Ahora bien, analogamente a lo que sucede en el ejemplo anterior,si para cada x ∈M se define la aplicacion fx : R −→M por

fx(r) = r · x, r ∈ R

se tendra que fx ∈ HomR(R,M). En efecto, pues si s ∈ R y r1, r2 ∈ R,entonces

fx(s·r1+r2) = (s·r1+r2)·x = (s·r1)·x+r2·x = s·(r1·x)+r2·x = s·fx(r1)+fx(r2)

Por tanto, se tiene que:

HomR(R,M) = {fx : x ∈M}


Notese ahora que si x1, x2 ∈M entonces para cada r ∈ R se tiene que

(fx1 + fx2)(r) = fx1(r) + fx2(r) = r · x1 + r · x2 = r · (x1 + x2) = fx1+x2(r)

Por tanto,

fx1 + fx2 = fx1+x2

Por otro lado, si s ∈ R y x ∈M , se tiene para cada r ∈ R que

(s · fx)(r) = s · fx(r) = s · (r · x) = (s · r) · x = (r · s) · x = r · (s · x) = fs·x(r)

Es decir,

s · fx = fs·x

En virtud de estas observaciones es natural definir entonces la aplicacionψ : HomR(R,M) −→M , por:

ψ(fx) = x

Es claro que ψ es un epimorfismo de R−modulos. Su nucleo se calculafacilmente:

Ker(ψ) = {fx ∈ HomR(R,M) : ψ(fx) = 0M}

=⇒ Ker(ψ) = {fx ∈ HomR(R,M) : x = 0M}

=⇒ Ker(ψ) = {f0M} = {0HomR(R,M)}

Ası pues, se ha demostrado el isomorfismo natural de R−modulos:

HomR(R,M) ∼= M, si R es conmutativo

En general, aunque R no sea conmutativo, se le debe dar a HomR(R,M)otra estructura de R−modulo y obtener el mismo resultado. Eso se demuestraen el siguiente:


1.4. Modulos cociente.

Sea M un R−modulo y supongase que N es un sub-R-modulo de M .Entonces, se define una relacion entre los elementos de M :

x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ N

En tal caso, se escribe: x ≡ y (mod N).Resulta que, para cada sub-R-modulo de M , N , la relacion ası definida

es una relacion de equivalencia que, ademas, es compatible con la estructurade R−modulo. Mas precisamente, se tiene el siguiente teorema:

Teorema 1.10. Sea M un R−modulo y supongase que N es un sub-R-modulo de M . Entonces, para cada x, x′, y, y′, z ∈M y r ∈ R, se tiene que:

1. x ≡ x (mod N).

2. x ≡ y (mod N) =⇒ y ≡ x (mod N).

3. x ≡ y (mod N), y ≡ z (mod N) =⇒ x ≡ z (mod N).

4. x ≡ y (mod N), x′ ≡ y′ (mod N) =⇒ x+ x′ ≡ y + y′ (mod N).

5. x ≡ y (mod N) =⇒ r · x ≡ r · y (mod N).

Demostacion:

♠

Para cada x ∈M , la clase de equivalencia de x modulo N es, por defini-cion, el conjunto:

x = {y ∈M : y ≡ x (mod N)}

=⇒ x = {y ∈M : y − x ∈ N}

=⇒ x = {y ∈M : y − x = n, n ∈ N}

=⇒ x = {y ∈M : y = x+ n, n ∈ N}

=⇒ x = x+N

1.4. MODULOS COCIENTE. 25

Por otro lado, el conjunto de todas las clases de equivalencia es entoncesel conjunto:

M

N= {x : x ∈M}

M

N= {x+N : x ∈M}

Este conjunto cociente tiene una estructura natural de R−modulo. Con-cretamente, se tiene el siguiente

Teorema 1.11. Sean M un R−modulo y N un sub-R-modulo de M . Sedefinen las siguientes operaciones:

La suma de clases,

” + ” :M

N× M

N−→ M

N

para cada x, y ∈ MN

, por

x+ y = x+ y

La multiplicacion por escalares,

” · ” : R× M

N−→ M

N

para cada r ∈ R y x ∈ MN

, por

r · x = r · x

Entonces, con estas operaciones,M

Ntiene una estructura de R−modulo.

Demostacion:

♠

Ejemplos

Recuerdese ahora que si f : M −→M ′ es un homomorfismo de R−modu-los, entonces Ker(f) es un sub-R-modulo de N . Recıprocamente, cualquiersub-R-modulo de M es el nucleo de algun homomorfismo de R−modulos quetiene a M como dominio. Concretamente, se tiene el siguiente:


Teorema 1.12. Sean M un R−modulo y N un sub-R-modulo de M . Sea

θ : M −→ M

Nla aplicacion definida por:

θ(x) = x, x ∈M

Entonces, θ es un epimorfismo de R−modulos y Ker(θ) = N .

Demostacion:

En efecto, si r ∈ R y x, y ∈M , se tiene que

θ(r · x+ y) = r · x+ y = r · x+ y = r · x+ y = r · θ(x) + θ(y),

de manera que θ es un homomorfismo de R−modulos. Que θ es epimor-

fismo (es decir, sobreyectivo) es claro dado que cada elemento deM

Nes de la

forma x para algun x ∈M .Finalmente, observese que

Ker(θ) = {x ∈M : θ(x) = 0M/N} = {x ∈M : x = 0M} = {x ∈M : x−0M ∈ N}

=⇒ Ker(θ) = {x ∈M : x ∈ N} = M ∩N = N

♠

1.5. Teoremas de Isomorfismos de Noether.

Teorema 1.13. (Teorema del homomorfismo inducido): Supongase que M esun R−modulo, N un sub-R-modulo de M y f : M −→M ′ un homomorfismo

de R−modulos tal que N ⊂ Ker(f). Considerese la aplicacion f :M

N−→M ′

definida por

f(x) = f(x)

Entonces, f es un homomorfismo de R−modulos tal que:

1. Ker(f) = {x ∈M/N : x ∈ Ker(f)}.

2. Si Ker(f) = N =⇒ f es monomorfismo.

1.5. TEOREMAS DE ISOMORFISMOS DE NOETHER. 27

3. Si f es epimorfismo =⇒ f es epimorfismo.

4. Si Ker(f) = N y f es epimorfismo =⇒ f es un isomorfismo.

Demostacion:

En primer lugar, debe demostrarse que f esta bien definida. En efecto, six, y ∈ M y si x = y, entonces x− y ∈ N lo que implica, como N ⊂ Ker(f)por hipotesis, que f(x− y) = 0M ′ lo que implica (por ser f homomorfismo)que f(x)− f(y) = 0M ′ , de modo que f(x) = f(y); luego f(x) = f(y).

Que f es un homomorfismo de R−modulos es claro ya que si r ∈ R y

x, y ∈ MN

, entonces:

f(r · x+ y) = f(r · x+ y) = f(r · x+ y) = r · f(x) + f(y) = r · f(x) + f(y)

Por otro lado, se tiene que

Ker(f) = {x ∈M/N : f(x) = 0M ′}

=⇒ Ker(f) = {x ∈M/N : f(x) = 0M ′}

=⇒ Ker(f) = {x ∈M/N : x ∈ Ker(f)}

lo que demuestra (1).Ahora bien, en caso de ser Ker(f) = N , resultarıa entonces que:

Ker(f) = {x ∈M/N : x ∈ N}

=⇒ Ker(f) = {x ∈M/N : x = 0M} = {0M} = 0M/N

=⇒ f es monomorfismo

lo que demuestra la parte (2).Supongase ahora que f es un epimorfismo. Sea x′ ∈ M ′. Entonces, por

definicion de epimorfismo, existirıa un x ∈ M tal que f(x) = x′, de donderesulta que f(x) = x′. Como x′ fue arbitrariamente elegido, este razonamientodemuestra que f es un epimorfismo lo que demuestra (3).

Finalmente, es claro que la parte (4) es consecuencia inmediata de laspartes (2) y (3).


♠

La ultima parte del teorema anterior es una pieza importantısima delAlgebra. Se conoce como el famoso

Teorema 1.14. (Primer Teorema de Isomorfismo): Sea f : M −→ M ′

un epimorfismo de R−modulos. Entonces, el homomorfismo inducido por f ,

f :M

Ker(f)−→M ′, es un isomorfismo.

Es decir, se tiene el isomorfismo de R−modulos:

M

Ker(f)∼= f(M)

Demostacion:

♠

Ejemplos

Ejemplo 1: Supongase que M es un R−modulo cıclico, es decir, queexiste un x ∈ M tal que M = R · x. Entonces, la aplicacion fx : R −→ M ,definida por

fx(r) = r · x, r ∈ R,

es un epimorfismo de R−modulos. Observese que

Ker(fx) = {r ∈ R : fx(r) = 0M} = {r ∈ R : r · x = 0M} = AnnR(x)

Luego, por el Primer Teorema de Isomorfismo, se tiene el isomorfismode R−modulos:

M ∼=R

AnnR(x)

Teorema 1.15. (Segundo Teorema de Isomorfismo) Sea M un R−modulo yN,H sub-R-modulos de M . Entonces, se tiene el isomorfismo de R−modulos:

N

N ∩H∼=N +H

H


Demostacion:

En primer lugar, notese que

N +H

H= {x+H : x ∈ N +H}

=⇒ N +H

H= {(n+ h) +H : n ∈ N, h ∈ H}

=⇒ N +H

H= {(n+H) + (h+H) : n ∈ N, h ∈ H}

=⇒ N +H

H= {(n+H) : n ∈ N}

Luego, es natural definir la aplicacion f : N −→ N +H

H, por:

f(n) = n+H,n ∈ N

Es claro que f es un homomorfismo de R−modulos: pues si r ∈ R yn, n′ ∈ N entonces:

f(r·n+n′) = (r·n+n′)+H = (r·n+H)+(n′+H) = r·(n+H)+(n′+H) = r·f(n)+f(n′)

Ademas, en virtud de la descripcion dada paraN +H

H, es claro que f

es sobreyectiva. Luego, por el Primer Teorema de Isomorfismo, se tiene elisomorfismo:

N

Ker(f)∼=N +H

H

Ahora bien, notese que

Ker(f) = {n ∈ N : f(n) = 0N+H/H}

=⇒ Ker(f) = {n ∈ N : n+H = 0M +H}

=⇒ Ker(f) = {n ∈ N : n− 0M ∈ H}

=⇒ Ker(f) = {n ∈ N : n ∈ H}


=⇒ Ker(f) = N ∩H

Luego, resulta que

N

N ∩H∼=N +H

H

♠

Teorema 1.16. Sean M un R−modulo y N un sub-R-modulo de M . En-tonces:

1. Si K es un sub-R-modulo de M y N ⊂ K, el conjunto cociente

K

N= {x+N : x ∈ K}

es un sub-R-modulo deM

N.

2. Si K,K ′ son sub-R-modulos de M tales que N ⊂ K,N ⊂ K ′, entonces:

K

N=K ′

N⇐⇒ K = K ′

3. Si M es un sub-R-modulo deM

N, entonces existe un sub-R-modulo de

M , KM, tal que N ⊂ KM y M =KM

N

Demostacion:

(1) : En efecto, es claro queK

N= θ(K), siendo θ : M −→ M

Nel epimor-

fismo canonico. Luego,K

Nes un sun-R-modulo de

M

N.

(2) : (=⇒) : Sea, en primer lugar, x ∈ K. Entonces, x + N ∈ K

Nlo que

implica por serK

N=

K ′

Npor hipotesis, que x + N = x′ + N para algun

x′ ∈ K ′; luego x − x′ ∈ N de modo que x − x′ = n, con n ∈ N de dondese sigue que x = n + x′ lo que obviamente implica (dado que N ⊂ K ′) quex ∈ K ′. En consecuencia, K ⊂ K ′. Analogamente se demuesrta que K ′ ⊂ K,


de modo que K = K ′.

(⇐=) : Esta implicacion es obvia.

(3) : Considerese el conjunto

KM = {x ∈M : x+N ∈M}

Es claro que KM es un sub-R−modulo de M , pues KM = θ−1(M). Tam-bien es claro que N ⊂ KM: pues si x ∈ N entonces x+N = 0M = 0M/N ∈M.

Finalmente, notese que

KM

N= {x+N : x ∈ KM} = {x+N : x+N ∈M} = M

♠

Una vez caracterizados los sub-R-modulos de un R−modulo cociente,M

N,

se tiene ahora el siguiente teorema conocido como el ”Tercer Teorema deIsomorfismo.o la ”Ley de Cancelacion”:

Teorema 1.17. (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sea H ⊂ N ⊂ M una

cadena de R−modulos. EntoncesN

Hes un sub-R-modulo de

M

Hy se tiene el

isomorfismo de R−modulos:

M

N∼=

M

HN

H

Demostacion:

En efecto, defınase la aplicacion f :M

H−→ M

N, por:

f(x+H) = x+N, x+H ∈ MH

Observese que f es una aplicacion bien definida: pues si x, x′ ∈ M yx+H = x′+H, entonces x−x′ ∈ H lo que implica, comoH ⊂ N por hipotesis,que x− x′ ∈ N de modo que x+N = x′ +N ; luego f(x+H) = f(x′ +H),demostrandose ası que f no depende del representante elegido.


Por otro lado, f es un homomorfismo de R−modulos: pues si r ∈ R y

x+H, y +H ∈ MH

, entonces:

f(r · (x+H) + (y +H)) = f((r · x+ y) +H)

=⇒ f(r · (x+H) + (y +H)) = (r · x+ y) +N

=⇒ f(r · (x+H) + (y +H)) = r · (x+N) + (y +N)

=⇒ f(r · (x+H) + (y +H)) = r · f(x+H) + f(y +H)

Es claro tambien que f es un epimorfismo. Observese ahora que

Ker(f) = {x+H ∈ MH

: f(x+H) = 0M/N}

=⇒ Ker(f) = {x+H ∈ MH

: x+N = 0M}

=⇒ Ker(f) = {x+H ∈ MH

: x ∈ N}

=⇒ Ker(f) =N

H

Por tanto, se sigue del Primer Teorema de Isomorfismo que

M

N∼=

M

HN

H

♠

El siguiente teorema es una generalizacion del Teorema 1.16.

Teorema 1.18. (Teorema de correspondencia) Sea f : M −→ M ′ un epi-morfismo de R−modulos. Entonces, se tiene que:

1. Si N es un sub-R-modulo de M y Ker(f) ⊂ N , entonces:

f−1(f(N)) = N


2. Si P es un sub-R-modulo de M ′ entonces:

f(f−1(P )) = P

3. Sea F la familia de todos los sub-R-modulos de M que contienen aKer(f) y F ′ la familia de todos los sub-R-modulos de M ′. Entonces,las aplicaciones

f ∗ : F −→ F ′

f∗ : F ′ −→ F

definidas respectivamente por

f ∗(N) = f(N), N ∈ F

f∗(P ) = f−1(P ), P ∈ F ′

son aplicaciones inversas entre sı.

Demostacion:

(1) : En primer lugar, notese que, en virtud de la definicion misma depre-imagen de un sub-R-modulo, la inclusion N ⊂ f−1(f(N)) es obvia.

Sea ahora x ∈ f−1(f(N)). Entonces, x ∈M y f(x) ∈ f(N), de modo quef(x) = f(y) para algun y ∈ N lo que obviamente implica que x−y ∈ Ker(f).Ası, como Ker(f) ⊂ N por hipotesis, resulta que x − y ∈ N . Luego, comox = (x− y) + y, se deduce que x ∈ N . Por tanto, f−1(f(N)) ⊂ N .

(2): Notese que, por la definicion de imagen, es claro que f(f−1(P )) ⊂ P .Por otro lado, si z ∈ P entonces, como f es sobreyectiva (por hipotesis),existe un x ∈ M tal que f(x) = z. Luego, por la definicion de pre-imagen,x ∈ f−1(P ) de modo que z = f(x) ∈ f(f−1(P )). En consecuencia, se tieneque P ⊂ f(f−1(P )).

♠


Ejemplos

Ejemplo 1: Considerese el grupo abeliano (Z,+) con su estructura na-tural de Z−modulo. Recuerdese que cada sub-Z−modulo de Z es de la formaI = < n >, para algun n ∈ Z. Ahora bien, por los teoremas anteriores, los

sub-Z−modulos del modulo cocienteZI

son los cocientes de la forma

J

I

siendo J un sub-Z−modulo de Z que contiene a I. Para J existe un m ∈ Ztal que J = < m >. Ası, como I ⊂ J , es claro que m|n.

Se demostrara ahora el isomorfismo de Z−modulos:

Si m|n⇒ < m >

< n >∼=

Z< n

m>

En efecto, sea la composicion de homomorfismos:

Z fm−→ < m >θ−→ < m >

< n >

siendo fm(x) = m · x, para cada x ∈ Z, y θ el epimorfismo canonico. Esobvio que fm y θ son epimorfismos de Z−modulos. Por tanto, θ ◦fm tambienlo es. Notese que

Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : (θ ◦ fm)(x) = 0}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : θ(fm(x)) = 0}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : θ(m · x) = 0}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : m · x = 0}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : m · x− 0 ∈< n >}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : m · x ∈< n >}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : m · x = r · n, para algun r ∈ Z}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : m · x = r · n, para algun r ∈ Z}


⇒ Ker(θ ◦ fm) = {x ∈ Z : x = r · nm

para algun r ∈ Z}

⇒ Ker(θ ◦ fm) = < n/m >

Por tanto, por el Primer Teorema de Isomorfismo, resulta el isomorfismoafirmado.

Ejemplo 2: Sea R un anillo conmutativo con identidad 1 6= 0. Supongaseque I, J son ideales de R. Recuerde que conciderar a R como modulo sobresı mismo es equivalente a considerarlo con su estructura de anilo. En este

ejemplo, se determinara la estructura del R−modulo HomR

(R

I,R

J

).

Para cada r ∈ R sea r = r + I, es decir, la clase de r modulo I. Sea

r = r + J , la clase de r modulo J. Ası, observese que si f ∈ HomR

(R

I,R

J

)entonces para cada r ∈ R

I, se tiene que:

f(r) = f(r · 1) = r · f(1) = f(1) · rEs decir, f esta determinado por su imagen en 1, f(1). Ahora bien, no toda

multiplicacion a izquierda por un elemento deR

Jes un homomorfismo de

R−modulos: en efecto, para poder definir un homomorfismo de R−modulos

entreR

IyR

J, la formula no puede depender del representante de una clase

enR

I. Hablando mas precisamente, aunque se tenga que r = r′, no se sigue

necesariamente que ˜s · r = ˜s · r′ para cualquier s ∈ R.El problema se resuelve considerando el conjunto:

(J : I) = {s ∈ R : s · I ⊂ J}A este conjunto se le llama el conductor de I en J y es un ideal de R

y es claro que J ⊂ (J : I).Notese que si r = r′ entonces r − r′ ∈ I de modo que, si s ∈ (J : I),

entonces s · (r − r′) ∈ J , es decir, s · r − s · r′ ∈ J de donde resulta que˜s · r = ˜s · r′. Ası pues, para cada s ∈ (J : I) se puede considerar la aplicacion

fs :R

I−→ R

Jdefinida por:

fs(r) = s · r, r ∈ RI

El razonamiento anterior demuestra que cada fs es un homomorfismo deR−modulos. Ademas, se tienen las siguientes identidades:


fs1 + fs2 = fs1+s2 ; s1, s2 ∈ (J : I)

y

m · fs = fm·s;m ∈ R, s ∈ (J : I)

Por tanto, es natural definir la aplicacion ψ : (J : I) −→ HomR

(R

I,R

J

),

por

ψ(s) = fs

Esta aplicacion es pues un homomorfismo de R−modulos y se tiene que :

Ker(ψ) = {s ∈ (J : I) : ψ(s) = 0HomR(R/I,R/J)}

⇒ Ker(ψ) = {s ∈ (J : I) : fs(r) = 0, para todo r ∈ R/I}

⇒ Ker(ψ) = {s ∈ (J : I) : s · r = 0, para todo r ∈ R/I}

⇒ Ker(ψ) = {s ∈ (J : I) : s · r ∈ J, para todo r ∈ R}

En particular, tomando r = 1, se deduce que Ker(ψ) ⊂ J . Es claroque, recıprocamente, J ⊂ Ker(ψ). Luego, Ker(ψ) = J lo que implica porel Primer Teorema de Isomorfismos que se tiene el siguiente isomorfismo deR−modulos:

HomR

(R

I,R

J

)∼=

(J : I)

J

Ejemplo 3: Si se toma en el ejemplo anterior R = Z, los ideales I y Json de la forma I = < n > y J = < m >, para ciertos n,m ∈ Z. Se tieneentonces que

HomZ

(Z

< n >,

Z< m >

)∼=

(< m >:< n >)

< m >

Se demostrara ahora que

(< m >:< n >)

< m >= < m/d >, con d = m.c.d(m,n)

En efecto, por definicion, se tiene que

1.6. EL GRUPO DE PRUFER: Z(P∞). 37

(< m >:< n >) = {r ∈ Z : r· < n > ⊂ < m >}

Por la identidad de Bezout, se tiene que existen s, t ∈ Z tales que

d = sn+ tm

Luego, es claro que

r · d = rsn+ rtm ∈< m >, para todo r ∈ (< m >:< n >)

⇒ r ·m ∈< m >, para todo r ∈ (< m >:< n >)

⇒ m ∈< m/d >, para todo r ∈ (< m >:< n >)

Por tanto, (< m >:< n >) ⊂ < m/d >. La inclusion recıproca es obvia-mente cierta.

Ası pues, se tiene que

HomZ

(Z

< n >,

Z< m >

)∼=< m/d >

< m >

⇒ HomZ

(Z

< n >,

Z< m >

)∼=

Z<

m

m/d>

⇒ HomZ

(Z

< n >,

Z< m >

)∼=

Z< d >

1.6. El grupo de Prufer: Z(p∞).

Considerese al grupo abeliano (Q,+) dotado con su estructura naturalde Z−modulo. En esta seccion se presentara un grupo abeliano o Z−modulomuy importante, a saber, el famoso grupo de Prufer o Z(p∞).

El cocienteQZ

es conocido como el de los numeros racionales modulo 1.

Recuerdese que

QZ

= {x : x ∈ Q}

Aquı, x simboliza la clase de x modulo Z, x = x+ Z. Notar que

x ≡ y ⇐⇒ x− y ∈ Z


Luego:

x ≡ 0⇐⇒ x ∈ Z

Por tanto:

x = 0⇐⇒ x ∈ Z

Ası, por ejemplo,

3

4+

2

3=

3

4+

2

3=

17

12=

12 + 5

12=

12

12+

5

12= 1 +

5

12= 1+

5

12= 0+

5

12=

5

12

El calculo anterior justifica un poco el nombre racionales modulo 1.

Definicion 1.6. Sea (M,+) un grupo abeliano. Entonces, la torsion de Mes el conjunto t(M) definido por:

t(M) = {x ∈M : n · x = 0M , para algun n ∈ N}

Es decir, t(M) es el conjunto de todos los elementos de M que tienenorden finito. Es facil demostrar que t(M) es un subgrupo de M .

Definicion 1.7. Sea (M,+) un grupo abeliano. Entonces:

1. Se dice que M es de torsion si, y solo, si t(M) = M .

2. Se dice que M es libre de torsion si, y solo, si t(M) = {0M}.

Ejemplos

Ejemplo 1: Es facil observar que

t((Z,+)) = {0}, t((Q,+)) = {0}, t((R,+)) = {0}, t((C,+)) = {0},t((Q∗, ·)) = {1,−1}, t((R∗, ·)) = {1,−1},

t((C∗, ·)) = W (C) = {w ∈ C : wn = 1, para algun n ∈ N} = raıces de la unidad en C

Observese ahora que:

t

(RZ

)=

{x ∈ R

Z: n · x = 0, para algun n ∈ N

}

1.6. EL GRUPO DE PRUFER: Z(P∞). 39

⇒ t

(RZ

)=

{x ∈ R

Z: n · x ∈ Z, para algun n ∈ N

}⇒ t

(RZ

)=

{x ∈ R

Z: x ∈ Q,

}⇒ t

(RZ

)=

QZ

Analogamente, notese que:

⇒ t

(QZ

)=

{x ∈ Q

Z: n · x ∈ Z, para algun n ∈ N

}⇒ t

(QZ

)=

{x ∈ Q

Z: x ∈ Q,

}⇒ t

(QZ

)=

QZ

⇒(QZ

)es de torsion

Definicion 1.8. Sea (M,+) un grupo abeliano de torsion. Para cada numeroprimo p ∈ N se define el conjunto Mp por:

Mp = {x ∈M : pk · x = 0M para algun k ∈ N}

Es decir, Mp es el conjunto de los elementos de M que tienen como ordenalguna potencia de p. Se le llama la componente p−primaria de M . Es muysencillo demostrar que Mp es un subgrupo de M .

Ejemplo 2: Para cada numero primo natural p se tiene que:(QZ

)p

=

{x ∈ Q

Z: pk · x = 0, para algun k ∈ N

}⇒

(QZ

)p

=

{x ∈ Q

Z: pk · x ∈ Z, para algun k ∈ N

}⇒

(QZ

)p

=

{x ∈ Q

Z: x ∈ 1

pk· Z, para algun k ∈ N

}⇒

(QZ

)p

=

{x ∈ Q

Z: x ∈ Z

[1

p

]}


⇒(QZ

)p

=

Z[

1

p

]Z

El cociente

Z[

1

p

]Z

se le llama el p-grupo de Prufer y se le suele denotarpor

Z[

1

p

]Z

= Z(p∞)

Este grupo abeliano o Z−modulo, Z(p∞), tiene importantes propiedadesy aparece en ciertos resultados sobre grupos abelianos infinitos.

Observese que si para cada n ∈ N ∪ {0} se define el conjunto:

Z(pn) =

{m

pn: m ∈ Z

}entonces es claro que Z(pn) es un subgrupo de Z(p∞). Ademas, se tiene

que:

{0} ⊂ Z(p) ⊂ Z(p2) ⊂ Z(p3)... ⊂ Z(pr) ⊂ Z(pr+1)...

y

Z(p∞) = ∪∞j=1Z(pj)

Observese tambien que:

Z(pn) =

1

pn· Z

Z∼=

Zpn · Z

= Zpn

Por tanto, Z(pn) es un grupo cıclico y finito de orden pn y sus unicossubgrupos son de la forma Z(pj) con j ∈ {0, 1, 2, ..., n}.

Teorema 1.19. Los unicos subgrupos de Z(p∞) son los Z(pn) y Z(p∞).

Demostacion: En efecto, sea H un subgrupo de Z(p∞). Notese que siZ(pn) ⊂ H para todo n ∈ N, se sigue entonces (por ser Z(p∞) = ∪∞i=1Z(pn))que H = Z(p∞).

Ahora bien, en caso contario al anterior, es claro que debe existir un n ∈ Ntal que

1.7. EJERCICIOS. 41

Z(pn) ⊂ H,Z(pn) * H

Como Z(pn) ⊂ H y Z(pn) ⊂ Z(pn+1), se tiene que

Z(pn) ⊂ H ∩ Z(pn+1) ⊂ Z(pn+1)

Por tanto, se tiene que:

H ∩ Z(pn+1) = Z(pn)

En general, se tiene que: H ∩ Z(pn+j) = Z(pn), para todo j ∈ N. Enefecto, al considerar las inclusiones:

Z(pn) ⊂ H ∩ Z(pn+j) ⊂ Z(pn+j)

se deduce que

H ∩ Z(pn+j) = Z(pn) o H ∩ Z(pn+j) = Z(pn+k) con k ∈ {1, 2, ..., j}

Claramente, es imposible que H∩Z(pn+j) = Z(pn+k) (pues se tendrıa queZ(pn+1) ⊂ Z(pn+k) = H ∩ Z(pn+j) ⊂ H lo cual no es cierto) de modo queH ∩ Z(pn+j) = Z(pn)

En consecuencia, se puede, finalmente, escribir que

H = H ∩ Z(p∞) = H ∩ (∪∞j=1Z(pj)) = ∪∞j=1(H ∩ Z(pj)) = Z(pn)

♠

1.7. Ejercicios.

Ejercicio: Sea M un R−modulo unitario a la izquierda. Demuestre que:

1. 0 · x = 0M , para todo x ∈M .

2. r · 0M = 0M , para todo r ∈ R.

3. (−r) · x = r · (−x) = −(r · x), si r ∈ R, x ∈M .

Ejercicio: Sea Q considerado como Z−modulo unitario a la izquierda.Demuestre que:


1. Todo sub-Z−modulo de Q, finitamente generado, es cıclico.

2. Si f : Q −→ Q es un homomorfismo de Z−modulos, entonces f es elhomomorfismo nulo o f es un automorfismo. Deducir que Q no poseesub-Z−modulo propio alguno que sea isomorfo a Q.

3. Dar un ejemplo de un sub-Z-modulo de Q, distinto de Q, que no seafinitamente generado.

Ejercicio: Sea M un R−modulo unitario a izquierda y sean N,H sub-R-modulos de M . El conductor de H en N se define como el conjunto

(N : H) = {r ∈ R : r ·H ⊂ N}

Demuestre que:

1. (N : H) es un ideal bilatero de R.

2. Calcule (N : 0M), (N : N), (M : N), (0M : N) .

Ejercicio: Sea M un Z−modulo tal que cualesquiera dos sub-Z-modulosno nulos sean isomorfos. Demuesrte que M ∼= Z.

Ejercicio: Considerese a Z y a Q con su estructura natural de Z−modulosunitarios. Demuesrte que no existe un epimorfismo de Z−modulos entre Z yQ.

Ejercicio: Sean p, q numeros primos naturales. Demuesrte que:

Z(p∞) ∼= Z(q∞)⇐⇒ p = q

Ejercicio: Demuesrte que todo sub-Z-modulo deQZ

, finitamente genera-

do, es cıclico.

Ejercicio: Demuestre que no existe un monomorfismo de Z−modulos de

Z enQZ

.

Ejercicio: Considerese a Z y a Q con su estructura natural de Z−modulosunitarios. Demuesrte que:

1. Q no posee sub-Z-modulos maximales respecto a inclusion. Es decir, siN es un sub-Z-modulo de Q y N 6= Q, entonces existe un sub-Z-modulode Q tal que N $ N ′ $ Q ( ambas son inclusiones estrictas).

1.7. EJERCICIOS. 43

2. El unico homomorfismo de Z−modulos de Q en Z es el homomorfismonulo. Es decir, HomZ(Q,Z) = {0}.

3. El unico homomorfismo de Z−modulos de Q en Zn es el homomorfismonulo. Es decir, HomZ(Q,Zn) = {0}.

4. El unico homomorfismo de Z−modulos deQZ

en Z es el homomorfismo

nulo. Es decir, HomZ

(QZ, Z

)= {0}.

Ejercicio: Demuestre que el unico homomorfismo de Z−modulos deQZ

en Q es el homomorfismo nulo.

Ejercicio: Demuestre que no existe un epimorfismo de Z−modulos de Qen R.

Ejercicio: Sea (M,+) un grupo abeliano tal que su retıculo de subgrupossea totalmente ordenado. Es decir, M tiene la propiedad de que si H,N sonsubgrupos de M entonces H ⊂ N o N ⊂ H. Demuestre que M ∼= Zpn paraalgun n ∈ N y p un primo natural.

Ejercicio: Calcular:

1. HomZ(Z5,Z10).

2. HomZ(Z4,Z).

3. HomZ(Z5,Z5).

4. HomZ(Z5,Q).

5. HomZ(Z2,Z4).

6. HomZ(Z,Zn).

7. HomZ(Z,Z(p∞)), con p un primo natural.

8. HomZ(Z(p∞),Z(q∞)), con p, q un primos naturales.

9. HomZ(Z(pn),Z(p∞)),, con p un primo natural.


Ejercicio: El conjunto Z[√

2] = {m + n√

2 : m,n ∈ Z} es el menorsubanillo de R que contiene a Z y a

√2. Por tanto, (Z[

√2],+) es un gru-

po abeliano. ¿Existe sobre este grupo abeliano una estructura de Z−modulounitario?

Ejercicio: ¿Existe un n ∈ N tal que el grupo abeliano Z(p∞) tenga es-tructura de Zn−modulo unitario?

Ejercicio: Sean m,n ∈ N y d = m.c.d(m,n). Recuerdese que

HomZ(Zn,Zm) ∼= ZdSin utilizar esta identidad demuestre que:

d = 1⇒ HomZ(Zn,Zm) = {0} = {homomorfismo nulo}

Ejercicio: Sea V un Q−espacio vectorial y T : V −→ V una transfor-macion aditiva, es decir, tal que T (x+ y) = T (x) + T (y) para todo x, y ∈ V .Demuestre que T es Q−lineal.

Ejercicio: Sea M un R−modulo unitario a izquierda. Se dice que M essimple si, y solo , si M es no nulo y sus unicos sub-R-modulos son {0M} yM . Demuestre que:

1. M es cıclico. Mas precisamente, cualquier elemento no nulo x ∈ M esun generador de M como R− modulo.

2. Si f : M −→ N es un homomorfismo de R−modulos y M es simple,entonces f es el homomorfismo nulo o f es un monomorfismo.

3. Si f : M −→ N es un homomorfismo de R−modulos y M y N sonsimples, entonces f es el homomorfismo nulo o f es un isomorfismo.

1.8. Bibliografıa.

notas de teoría de módulos

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