notas de relatividad geenral

Notas deRelatividad general

Luis J. GarayMadrid, 03 de diciembre de 2014

Universidad Complutense de MadridFACULTAD DE CIENCIAS FSICASDEPARTAMENTO DE FSICA TERICA IIAvda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, Espaa

Luis J. Garay [email protected].: + 34 913944552, Fax: + 34 913944557http://jacobi.fis.ucm.es/lgaray, https://sites.google.com/site/luisjgaray

Cap. 1 [v.1.5]; Cap. 2 [v.1.1]; Cap. 3 [v.1.4]; Cap. 4 [v.1.3]; Cap. 5 [v.1.4];

Cap. 6 [v.1.1]; Cap. 7 [v.1.0]; Ap. A [v.1.0]; Ap. B [v.0.9].

La persistencia de la memoriaSalvador Dal (1931)The Museum of Modern Art, New York

[v.1.1]

Bibliografa

[Car97] S.M. Carroll, Lecture notes on general relativity,http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019.

[GarDG] L.J. Garay, Lecture notes: Differential geometry,https://sites.google.com/site/luisjgaray.

[HaE73] S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time(Cambridge University Press, 1973).

[KSH81] D. Kramer, H. Stephani, E. Herlt, M. MacCallum, E. Schmutzer,Exact solutions of Einsteins field equations, Cambridge UniversityPress, 1981.

[LPP75] A.P. Lightman, W.H. Press, R.H. Price, S.A. Teukolsky, Problem bookin relativity and gravitation, Princeton University Press, 1975.

[MTW73] C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman andCo., 1973.

[Poi02] E. Poisson, An advanced course in general relativity,http://www.physics.uoguelph.ca/poisson/research/agr.pdf.

[Sch85] B.F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge UniversityPress, 1985.

[Ste90] H. Stephani, General relativity, An introduction to the theory of thegravitational field, Cambridge University Press, 1990.

Relatividad General L.J. Garay 03

http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019https://sites.google.com/site/luisjgarayhttp://www.physics.uoguelph.ca/poisson/research/agr.pdf

BIBLIOGRAFA [v.1.1]

[Ste93] J. Stewart, Advanced general relativity, Cambridge University Press,1993.

[Wal84] R.M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, 1984).

04 L.J. Garay Relatividad General

[03 de diciembre de 2014]

ndice

1. Geometra diferencial 11

1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1. Estructura diferenciable . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.2.2. Uno-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.2.3. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos . . . . 111

1.1.3.1. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . 111

1.1.3.2. Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.1.3.3. Inmersiones y embebimientos . . . . . . . . 114

1.1.4. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.2. Conexiones. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

1.2.1. Derivacin covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

1.2.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.2.2.1. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.2.2.2. Coordenadas normales . . . . . . . . . . . . 122

1.2.3. Tensores de Riemann y de Ricci . . . . . . . . . . . . 123

1.2.4. Desviacin geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124


NDICE [03 de diciembre de 2014]

1.3. Variedades (pseudo-)riemannianas . . . . . . . . . . . . . . 126

1.3.1. Mtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1.3.2. Conexin de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

1.3.3. Geodsicas como principio variacional . . . . . . . . 130

1.3.4. Isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.3.4.1. Isometras propias . . . . . . . . . . . . . . . 131

1.3.4.2. Variedades estacionarias y estticas . . . . . 132

1.3.4.3. Isometras conformes . . . . . . . . . . . . . 133

1.3.5. Hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.3.5.1. Embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . 133

1.3.5.2. Primera forma fundamental . . . . . . . . . 135

1.3.5.3. Segunda forma fundamental . . . . . . . . . 136

1.4. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.4.1. Formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1.4.2. Derivada exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1.4.3. Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1.4.3.1. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 140

1.4.3.2. Elemento de volumen cannico . . . . . . . 142

1.4.3.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 144

1.5. Interludio: principios de covariancia . . . . . . . . . . . . . . 144

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2. Mecnica newtoniana 21

2.1. Espaciotiempo galileano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Espaciotiempo newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. El campo gravitatorio como fuerza externa . . . . . . . . . . 29

2.4. Principio de covariancia especial de Galileo . . . . . . . . . 212

2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213


[03 de diciembre de 2014] ndice

3. Teora general de la relatividad 31

3.1. La variedad espaciotemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Los campos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. De la relatividad especial a la general . . . . . . . . . 34

3.2.2. Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.3. Sistemas lagrangianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4. Fluidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

3.2.5. Condiciones de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

3.2.6. Aproximacin newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . 317

3.2.6.1. Gravedad newtoniana . . . . . . . . . . . . . 317

3.2.6.2. Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . 318

3.3. Dinmica del campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . 319

3.3.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

3.3.2. Ecuaciones dinmicas del campo gravitatorio . . . . 320

3.3.3. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

3.3.4. Ligaduras y ecuaciones dinmicas . . . . . . . . . . . 325

3.3.4.1. Campo electromagntico . . . . . . . . . . . 325

3.3.4.2. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . 326

3.4. Estrellas relativistas (esfricas y estticas) . . . . . . . . . . . 327

3.4.1. Ecuaciones dinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

3.4.2. Solucin exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

3.4.3. Solucin interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

3.4.4. Lmite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

3.4.5. Colapso gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337



4. Estructura global del espaciotiempo 41

4.1. Diagramas de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1. El espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2. Planitud asinttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3. Hiperbolicidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4. Horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4.1. Horizontes de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4.2. Horizontes de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

4.4.3. Singularidades desnudas . . . . . . . . . . . . . . . . 411

4.5. El espaciotiempo de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

4.6. Congruencias geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

4.6.1. Congruencias de geodsicas temporales . . . . . . . 414

4.6.2. Congruencias de geodsicas nulas . . . . . . . . . . . 418

4.6.3. Superficies atrapadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

4.7. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

4.7.1. Teoremas de singularidad . . . . . . . . . . . . . . . . 420

4.7.2. Caracterizacin de las singularidades . . . . . . . . . 424

4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

5. Agujeros negros en vaco 51

5.1. El espaciotiempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.1. Singularidad desnuda para M < 0 . . . . . . . . . . . 535.1.2. Extensin analtica mxima . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1.3. Diagrama de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2. El espaciotiempo de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2.1. Solucin de Kerr con singularidad desnuda . . . . . 59

5.2.2. Solucin de Kerr no degenerada . . . . . . . . . . . . 511


[03 de diciembre de 2014] ndice

5.2.2.1. Diagrama de Penrose de las secciones axiales 513

5.2.2.2. Inestabilidad de los horizontes de Cauchy . 515

5.2.3. Solucin extrema de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . 518

5.2.4. Ergosfera. Proceso de Penrose . . . . . . . . . . . . . 519

5.3. Dinmica de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

5.3.1. Ley cero: constancia de la gravedad de superficie enel horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

5.3.2. Ley de Smarr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

5.3.2.1. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 524

5.3.2.2. Integrales de Komar . . . . . . . . . . . . . . 526

5.3.2.3. Ley de Smarr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

5.3.3. Primera ley: relacin diferencial entre masa, rea ymomento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

5.3.4. Segunda ley: teorema de las reas de Hawking . . . . 530

5.3.5. Tercera ley: la gravedad de superficie no se anula . . 531

5.3.6. Similitud con las leyes de la termodinmica . . . . . 532

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

6. Formulacin hamiltoniana 61

6.1. Descomposicin 3+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2. Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.1. Campos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.2. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.3. Hamiltoniano total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2.4. Dinmica hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3. lgebra de ligaduras y difeomorfismos espaciotemporales . 611

6.4. Trminos de superficie. Masa y momento angular ADM . . 614

6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619



7. Radiacin gravitatoria 71

7.1. Propagacin y generacin (por Javier Olmedo) . . . . . . . . 73

7.1.1. Linealizacin de las ecuaciones de Einstein en vaco 73

7.1.2. Ondas planas y polarizaciones . . . . . . . . . . . . . 75

7.1.3. Radiacin cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1.4. Energa gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

7.2. Deteccin (por Eduardo Martn) . . . . . . . . . . . . . . . . 712

7.2.1. Precisin de los detectores . . . . . . . . . . . . . . . 713

7.2.2. Antena de Weber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

7.2.2.1. Modelo de detector . . . . . . . . . . . . . . 715

7.2.2.2. Caractersticas espectrales . . . . . . . . . . 718

7.2.2.3. Seccin eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

7.2.2.4. Lmites de resolucin . . . . . . . . . . . . . 722

7.2.3. Detectores interferomtricos . . . . . . . . . . . . . . 722

7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725

A. Topologa A1

B. Relatividad computacional (por David Yllanes) B1

B.1. Relatividad numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B4

B.1.1. El problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B5

B.1.2. Formalismo ADMBSSN . . . . . . . . . . . . . . . . . B6

B.1.3. Formulaciones armnicas . . . . . . . . . . . . . . . . B8

B.1.4. Colisin de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . B8

B.2. Relatividad algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B10

B.2.1. Los escalares del tensor de Riemann . . . . . . . . . . B13


[v.1.5]

Tema 1

Geometra diferencial

1.1. Variedades diferenciables

1.1.1. Estructura diferenciable

1.1.2. Tensores

1.1.2.1. Vectores

1.1.2.2. Uno-formas

1.1.2.3. Campos tensoriales

1.1.3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos

1.1.3.1. Aplicaciones diferenciables

1.1.3.2. Difeomorfismos

1.1.3.3. Inmersiones y embebimientos

1.1.4. Derivada de Lie

1.2. Conexiones. Curvatura

1.2.1. Derivacin covariante

1.2.2. Transporte paralelo

1.2.2.1. Geodsicas

1.2.2.2. Coordenadas normales


TEMA 1. GEOMETRA DIFERENCIAL [v.1.5]

1.2.3. Tensores de Riemann y de Ricci

1.2.4. Desviacin geodsica

1.3. Variedades (pseudo-)riemannianas

1.3.1. Mtrica

1.3.2. Conexin de Levi-Civita

1.3.3. Geodsicas como principio variacional

1.3.4. Isometras

1.3.4.1. Isometras propias

1.3.4.2. Variedades estacionarias y estticas

1.3.4.3. Isometras conformes

1.3.5. Hipersuperficies

1.3.5.1. Embebimientos

1.3.5.2. Primera forma fundamental

1.3.5.3. Segunda forma fundamental

1.4. Formas diferenciales

1.4.1. Formas

1.4.2. Derivada exterior

1.4.3. Integracin

1.4.3.1. Teorema de Stokes

1.4.3.2. Elemento de volumen cannico

1.4.3.3. Teorema de Gauss

1.5. Interludio: principios de covariancia

1.6. Ejercicios


[v.1.5] 1.1. Variedades diferenciables

Este captulo es un resumen de los conceptos y herramientas de la geo-metra diferencial que vamos a utilizar en los captulos siguientes. Un tra-tamiento ms detallado puede encontrarse, por ejemplo, en la referencia[GarDG], de la cual este captulo es un extracto.

1.1. Variedades diferenciables

1.1.1. Estructura diferenciable

El concepto de variedad diferenciable es la generalizacin del de super-ficie en R3. En otras palabras, una variedad diferenciable es un conjuntoque, localmente, es como Rn , es decir, que se puede cubrir mediante cartascoordenadas que solapan. Es importante notar que en este proceso de ge-neralizacin el espacio ambiente desaparece y todo se construye y analizaintrnsecamente. Formalicemos esta definicin.

Una variedad topolgica es un espacio topolgico M Hausdorff tal quetodo punto posee un entorno abierto homeomorfo a un abierto de Rn . Unacarta (U ,) de M es el par compuesto por un subconjunto U de M y porun homeomorfismo : U (U ) Rn . Un atlas C de M es un conjuntode cartas {(U,)} tales que

cubren todo M , es decir, tales que M =U;satisfacen la condicin de compatibilidad de cartas (ver figura 1.1):si dos cartas solapan, UU 6= ;, entonces la funcin de transicinentre ambas 1 :(UU) (UU) es una funcinC entre abiertos de Rn .

Debe notarse que, si bien las funciones de transicin deben ser C,las cartas no necesitan satisfacer esta condicin y, de hecho, bastacon que sean continuas.

Una variedad diferenciable C es una variedad topolgica M que poseeun atlas C. Todas las variedades diferenciables que nosotros considerare-mos sern paracompactas.



Figura 1.1: Ilustracin de la condicin de compatibilidad de dos cartas.

Llamaremos coordenadas x del punto p M , asociadas a una carta(U ,) que lo contenga, a las coordenadas en Rn de (p).

Diremos que una funcin f : M R es una funcin suave o C si ysolo si lo es f := f 1 :Rn R y llamaremos FM al conjunto de todas lasfunciones suaves definidas sobre la variedad M .

Una variedad (diferenciable) M es orientable si y solo si admite unatlas tal que para cada par de abiertos U y U no disjuntos, el jacobianodet(x/x ) es positivo, donde x = ( 1)(x). Por ejemplo, el cilindroy el toro son orientables; la cinta de Mbius y la botella de Klein are not(figure 1.2).

Una variedad diferenciable con frontera M se define de forma anlogasustituyendo Rn por 12R

n = {x Rn | x1 0} en la definicin anterior. Lafrontera M de la variedad diferenciable es el conjunto de puntos de Mcuya imagen mediante es la frontera de

12R

n . Se puede demostrar que Mes una variedad diferenciable (n 1)-dimensional sin frontera (EJERCICIO).



Figura 1.2: El cilindro y el toro son variedades orientables. La cinta deMbius y la botella de Klein son variedades no orientables.

1.1.2. Tensores

Comenzaremos definiendo tensores en un punto de la variedad. Uncampo tensorial es un tensor definido en cada punto de la variedad.

1.1.2.1. Vectores

Dada una parametrizacin suave (t ) de una curva en M , definimos elvector tangente a la misma en el punto (t0) como el operador v(t0) queasigna a cada funcin f suave el nmero v |(t0)( f ) := t ( f )|t0 . A la vistade esta actuacin, tambin se utiliza el smbolo t para designar al vectortangente a una parametrizacin.

En trminos de las coordenadas locales y(t ) del punto (t ),

v |(t0)( f ) = t y|t0 f |y(t0). (1.1.1)Por tanto, cualquier vector en p = (t0) se puede escribir como combinacinlineal de los vectores e|p cuya actuacin sobre funciones es e|p ( f ) = f |p(tambin se utiliza el smbolo para denotar al vector e y se elimina labarra de f ). Por otro lado, cualquier combinacin lineal ve|p es un vectortangente a una parametrizacin (t) cuyas coordenadas estn dadas pory(t ) = x(p)+ t v.

El conjunto TpM de todos los vectores v |p en p es un espacio vectorialcuya dimensin coincide con la de M llamado espacio vectorial tangente



de M en p. El conjunto de vectores {e|p , = 1 n} es una base coordenadade TpM , es decir, v |p TpM si y solo si v |p = ve|p . A partir de ahora,omitiremos la evaluacin |p en el punto p en la notacin cuando no existariesgo de confusin.

Los vectores tangentes satisfacen las siguientes propiedades (EJERCICIO).Dadas dos funciones f y g y dos nmeros reales y ,

v ( f +g ) =v ( f )+v (g ), (1.1.2)v ( f g ) = f v (g )+ g v ( f ) (regla de Leibniz). (1.1.3)

Por tanto, v es una derivacin y v ( f ) proporciona la derivada direccionalde f a lo largo de .

Dos bases coordenadas {e} y {e } asociadas a las coordenadas x y x ,respectivamente, estn relacionadas mediante la expresin

e = e e, = e , (1.1.4)

donde

e =x

x , (1.1.5)

como se puede deducir de su definicin (EJERCICIO). Entonces, las compo-nentes de un vector en dos bases coordenadas diferentes estn relacionadasmediante la expresin (EJERCICIO)

v = ev, (1.1.6)

donde

e := (e1) =x

x. (1.1.7)

Los vectores tangentes tambin reciben el nombre de vectores contrava-riantes porque sus componentes se transforman con la inversa de la matrizque caracteriza el cambio de base. De hecho, podemos utilizar esta ley detransformacin para dar una definicin alternativa de vector tangente. Unvector tangente v es una clase de equivalencia de pares (,~v), donde es



una carta y ~v es un vector de Rn ; dos pares (,~v) y (,~v ) son equivalentessi y solo si satisfacen la ecuacin (1.1.6), es decir, si y solo si

v = x

xv. (1.1.8)

Un campo vectorial sobre M es una asignacin de un vector del espaciotangente TpM a cada punto p de la variedad tal que sus componentes encualquier base coordenada sean suaves.

Se define el conmutador o corchete de Lie de los campos vectoriales vy w como el nuevo campo vectorial

[v , w ] := v w w v . (1.1.9)

Tiene las siguientes propiedades (EJERCICIO).

Es antisimtrico: [v , w ] =[w , v ].Satisface la identidad de Jacobi :

[u, [v , w ]]+ [w , [u, v ]]+ [v , [w ,u]] = 0. (1.1.10)

Estas dos propiedades garantizan que el espacio vectorial de campos vecto-riales VM , junto con el conmutador como aplicacin bilineal en l, constituyeun lgebra de Lie .

EJERCICIO: Demostrar que las componentes del conmutador en una basecoordenadas son

[v , w ] = vwwv. (1.1.11)

Adems de las bases coordenadas, es posible utilizar otras bases msgenerales cuyos elementos no admiten la descripcin en trminos de coor-denadas. En una de estas bases {ea , a = 1 n}, el vector v adquiere la expre-sin v = v aea , donde v a son las componentes de v en esa base. Es posibledemostrar que una base de campos vectoriales es coordenada si y solo si sus



elementos conmutan (EJERCICIO). Vemos, por tanto, que para determinar siuna base es coordenada o no es necesario estudiar su comportamiento enregiones extensas abiertos de la variedad.

A menudo, utilizaremos la notacin de ndices abstractos. En esta nota-cin, denotaremos por v a tanto a las componentes del vector v en una basearbitraria {ea} como al vector en s. Utilizaremos ndices griegos para basesespecficas, como las bases coordenadas, por ejemplo.

1.1.2.2. Uno-formas

Definimos una uno-forma en el punto p como una aplicacin linealreal sobre el espacio tangente TpM :

: TpM R, : v , v. (1.1.12)

Dada una base cualquiera {ea} de vectores en p (ntese que esta base notiene que ser necesariamente una base coordenada de la forma {e}), existeun nico conjunto de n uno-formas {ea} tal que ea ,eb = ab . Este conjuntoes linealmente independiente y forma, por tanto, una base (llamada ba-se dual de {ea}) del espacio vectorial T p M de uno-formas en p llamadoespacio dual o, tambin, espacio vectorial cotangente de M en p.

Dados un vector v = v aea y una uno-forma = aea arbitrarios, laactuacin de sobre v es , v =a v a y recibe el nombre de contraccin .Vemos as que el espacio vectorial tangente acta tambin linealmente sobreT p M y que es, de hecho, su espacio dual, es decir, T p M = TpM .

Cada funcin f sobre M define una uno-forma d f |p en p, llamadadiferencial de la funcin, que acta de la siguiente forma:

d f , v = v ( f ). (1.1.13)

La diferencial es la generalizacin del gradiente en Rn : la actuacin de d fsobre un vector v nos da la derivada de f en la direccin de v . Dada labase {e} asociada a las coordenadas x y su base dual {e}, vemos qued f ,e = e( f ) = f y, por tanto, d f = f e. Por esta razn, a menudo



se utiliza dx para representar los elementos e de la base coordenada deuno-formas, dual a {e}, de forma que d f = f dx.

El conjunto V = {p | f (p) = 0, d f |p 6= 0} M es una variedad diferencia-ble de dimensin n 1 y su espacio lineal tangente TpV es el subespacio deTpM aniquilado por d f |p , es decir, los vectores v |p tales que d f |p , v |p = 0son tangentes a parametrizaciones de curvas de V . Esta variedad (n 1)-dimensional es una hipersuperficie .

Los cambios de bases coordenadas estn dados por las expresiones(EJERCICIO)

e = ee, dx = edx, (1.1.14)de forma que e ,e = e,e = . Adems, es fcil ver que las compo-nentes de una uno-forma en dos bases coordenadas diferentes estnrelacionadas por la expresin (EJERCICIO)

= e . (1.1.15)

En vista de esta ley de transformacin, las uno-formas tambin reciben elnombre de vectores covariantes, porque sus componentes se transformancomo los vectores de la base de TpM .

1.1.2.3. Campos tensoriales

Un tensor T de tipo (r, s) es una aplicacin multilineal que acta so-bre el producto cartesiano T p M r T p M TpM s TpM . Dadauna base {ea} de TpM y su dual {ea} de T p M , el conjunto de nr+s ele-mentos {ea1 ear eb1 ebs } es una base del espacio vectorial(Tp )rs M := TpM r TpM T p M s T p M , cuya dimensin es nr+s ,obtenido mediante producto tensorial . Los tensores de tipo (r,0) reciben elnombre de tensores contravariantes y los de tipo (0, s) tensores covarian-tes .

Un tensor T est completamente determinado por su accin sobre unabase:

T (ea1 , . . . ,ear ,eb1 , . . . ,ebs ) = T a1arb1bs , (1.1.16)



de forma que su accin sobre uno-formas y vectores arbitrarios es

T (,, . . . v , w , . . .) = T abcd ab vc w d , (1.1.17)

Los nmeros reales T abcd son las componentes del tensor T en la base{ea}.

Bajo un cambio de base en TpM dado por e a = e ba eb , las componentesde un tensor se transforman como vectores tangentes en cada ndice con-travariante y como uno-formas en cada ndice covariante (EJERCICIO). Porejemplo,

T abc = e dc eae ebf Te f

d . (1.1.18)

Las operaciones tensoriales son aquellas que preservan el carcter ten-sorial, aunque algunas de ellas pueden cambiar el tipo de tensor. Por tanto,el resultado de estas operaciones es independiente de la base que se utilicepara realizarlas.

Operaciones que preservan el tipo tensorial:

Suma de dos tensores del mismo tipo y multiplicacin de untensor por un escalar. Estas dos operaciones dotan al espacio(Tp )rs M de tensores en p de tipo (r, s) con la estructura de espa-cio vectorial real.

Dado un tensor T de componentes T a1arb1bs en una base ar-bitraria, se define su parte simtrica en los ndices covariantescomo el tensor de componentes

T a1ar(b1bs ) :=1

s!

T a1ar(b1)(bs ), (1.1.19)

donde la suma se extiende a todas las posibles permutaciones(b1) (bs) de los ndices b1 bs . Se define su parte antisim-trica en los ndices covariantes como el tensor

T a1ar[b1bs ] :=1

s!

(1)T a1ar(b1)(bs ), (1.1.20)



donde (1) toma valores positivos o negativos para permuta-ciones pares o impares respectivamente. De forma anloga, sedefinen las (anti)simetrizaciones de los ndices contravarianteso de subconjuntos de ndices del mismo tipo.

Operaciones que no preservan el tipo tensorial:

Dados dos tensores R (Tp )rs M y T (Tp )tqM cuyas componen-tes son Ra1arb1bs y T

a1arb1bs respectivamente, su producto

tensorial R T (Tp )r+ts+qM tiene como componentes

(R T )a1ar+tb1bs+q := Ra1ar

b1bs Tar+1ar+t

bs+1bs+q . (1.1.21)

Puesto que la operacin producto tensorial es bilineal, dota alos espacios (Tp )rs M con la estructura de lgebra.

Dado un tensor T de componentes T a1arb1bs , definimos sucontraccin con respecto a los primeros ndices como el tensorR de componentes

Ra2arb2bs = Ta1a2ar

a1b2bs (1.1.22)

y anlogamente para cualquier otro par de ndices, uno covarian-te y otro contravariante. Si fuesen los dos ndices fuesen del mis-mo tipo, el resultado dependera de la base utilizada (EJERCICIO).

Un campo tensorial suave T de tipo (r, s) es una asignacin C de unelemento de (Tp )rs M a cada punto p M de manera que sus componentesen cualquier base coordenada sean suaves.

1.1.3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorfismos

1.1.3.1. Aplicaciones diferenciables

Diremos que : M M es una aplicacin suave si y solo si dadoun par de atlas {(U,)} y {(U ,

)} de M y M , respectivamente, las



funciones1 :Rn Rn

son suaves o, lo que es lo mismo, si y solo si,

dados dos sistemas de coordenadas locales, las coordenadas de la imagenp =(p) M de un punto p M son funciones suaves de las coordenadasde p.

El rango de una aplicacin suave en p M es el rango1 de la funcin1 de Rn a Rn

en x =(p) Rn .

La aplicacin induce una aplicacin lineal , llamada pull-back ,entre los espacios de funciones FM y FM mediante la siguienteregla2: dada una funcin f : M R, su pull-back f : M R estal que

f (p) := f (p) = f (p ). (1.1.23)

Notemos que, en general, no es posible definir la aplicacin push-forward anloga entre los espacios de funciones FM y FM yaque necesitaramos hacer uso de 1 que, en general, no existe. Enefecto, dada f : M R, la aplicacin f : M R definida mediantela regla f (p ) = f 1(p ) no es una funcin.

La aplicacin induce una aplicacin push-forward entre losespacios tangentes TpM y T(p)M mediante la siguiente regla: siv TpM , entonces v es un vector de T(p)M tal que su actuacinsobre una funcin f FM est dada por

v |(p)( f ) := v |p ( f ). (1.1.24)

Notemos que no es posible definir la aplicacin pull-back sobre vecto-res ya que necesitaramos hacer uso de 1.

1El rango de una funcin f :Rn Rn tal que f (x) = x es el rango de la matriz (x /x),es decir, el nmero de filas o columnas linealmente independientes.

2Ntese que, dependiendo de las referencias, el smbolo puede aparecer como subn-dice o como superndice y tienen distinto significado, en particular, si no es un difeomor-fismo.



La aplicacin induce una aplicacin pull-back entre los espacios co-tangentes T (p)M

y T p M mediante la siguiente regla: si T (p)M ,entonces es una uno-forma de T p M cuya actuacin sobre vec-tores de TpM es

, v|p := ,v|(p). (1.1.25)

En particular, es fcil ver que el pull-back conmuta con la diferencial,es decir, que si f FM , entonces

(d f )|p = d( f )|(p). (1.1.26)

En efecto,

(d f ), v|p = d f ,v|(p) =v |(p)( f ) == v |p ( f ) = d( f ), v|p . (1.1.27)

Podemos definir la aplicacin pull-back sobre tensores covariantes yla aplicacin push-forward sobre tensores contravariantes de formacompletamente anloga (EJERCICIO).

1.1.3.2. Difeomorfismos

Una aplicacin : M M es un difeomorfismo si y solo si tanto ellacomo su inversa son biyecciones suaves.

Si es un difeomorfismo, entonces 1 es una aplicacin suave biendefinida, por lo que podemos extender la definicin de las aplicacionespull-back y push-forward para cualquier tipo de tensores notandoque = (1) y que = (1) (EJERCICIO). Adems, ambas aplicacio-nes son isomorfismos entre los espacios tensoriales (Tp )rs M y (T(p))

rs M y

preservan, por tanto, el tipo, las simetras y las operaciones tensoriales.

Los difeomorfismos pueden interpretarse como cambios activos decoordenadas en el siguiente sentido. Dado un difeomorfismo y una carta



(U ,) que contenga a p y otra (U ,) que contenga a p =(p), la aplica-cin = que asigna a p las coordenadas de p , junto con el abiertoV =1[(U )U ], es una carta que contiene al punto p.

Dado un campo vectorial , por cada punto pasa una nica curva para-metrizada por p (t ) tal que p (0) = p y cuyo vector tangente es |p (t ). Parademostrarlo basta con notar que la ecuacin de la curva integral de quepasa por el punto p en coordenadas locales es t y

p (t) = [yp (t)], tal que

yp (0) = x, donde x son las coordenadas de p. La existencia y unicidadde la solucin est garantizada localmente por el teorema correspondientepara ecuaciones diferenciales ordinarias.

El campo vectorial es el generador de un conjunto de difeomorfismoslocales (uno por cada valor suficientemente pequeo de t ) t : U t (U )tal que t (p) = p (t ) denominado flujo local de . Obviamente, se verificat s =t+s por lo que los difeomorfismos locales constituyen un grupo.El flujo generado por es completo si y solo si, para todo punto p M , sucurva integral que pasa por p se puede extender a todos los valores de t R.

1.1.3.3. Inmersiones y embebimientos

Sean M y M dos variedades diferenciables suaves y sea : M M una aplicacin entre ellas.

1. es una inmersin si y solo si tanto ella como su inversa son de claseC localmente, es decir, si y solo si para cada p M existe un abiertoU tal que : U (U ) es un difeomorfismo.

2. es un embebimiento si y solo si es una inmersin y un homeomor-fismo en su imagen (M ), es decir, si y solo si es un difeomorfismoen su imagen.

Notemos que una inmersin admite intersecciones y acercamientosarbitrarios en (M ) pero un embebimiento no. Por ejemplo, la inmersindel intervalo I = (0,1) en una curva que est arbitrariamente cerca de ellamisma (figure 1.3) no es un embebimiento en R2, a pesar de ser inyectiva,



(I )

(1)(0)

p

V

U

Figura 1.3: Ejemplo de una inmersin inyectiva que no es un embebimien-to.

porque no es un homeomorfismo en su imagen. En efecto, sea la inmer-sin y sea U un entorno en (I ) del punto p al que se acerca el extremosde la curva. Es claro que cualquier entorno V de este punto p en R2 quecontenga a U tambin contiene parte del extremo de la curve. Por lo tanto,no existe ningn entorno V de p en R2 tal que U = V (I ). Esto significaque la topologa inducida por como funcin continua no coincide con lainducida por R2 y, por tanto, no es un homeomorfismo.

1.1.4. Derivada de Lie

Para comparar un tensor en dos puntos diferentes p y q necesitamoslos isomorfismos pull-back y push-forward puesto que, dado un campotensorial T , los tensores T |p y T |q pertenecen a distintos espacios y noes posible compararlos. Si existe un difeomorfismo : M M tal que(p) = q , entonces existe un isomorfismo entre los espacios tensorialescorrespondientes que convierte tensores de un espacio en tensores del otro.Ahora vamos a ver cul es la diferencia de un campo tensorial entre puntosarbitrariamente cercanos.

Dado un campo tensorial T , definimos su derivada de Lie a lo largo del



Figura 1.4: Como ejemplo, consideremos los difeomorfismos T y R enR2 que corresponden a una traslacin fija (verde) una rotacin rgida al-rededor del punto o (azul). La figura muestra i) los valores de un campovectorial (marrn) en los puntos imagen de p mediante estos difeomor-fismos, p = T (p) y p = R(p); ii) los valores de sus pull-backs en el puntooriginal p.

campo vectorial mediante la expresin

LT |p = lmt0

t (T |t (p))|p T |pt

, (1.1.28)

donde t es el flujo local generado por el campo . Esta definicin comparael tensor Tt (p) en el punto t (p) con el mismo campo tensorial en el pun-to p (figure 1.4). Para ello hemos necesitado convertir el primer tensor enotro definido en p mediante t .

Propiedades de la derivada de Lie (EJERCICIO):

Preserva el tipo, las simetras y las operaciones tensoriales (en particu-lar, la contraccin) puesto que lo hace.

Es lineal.

Satisface la regla de Leibniz:

L(T S) =LT S +T LS. (1.1.29)



La derivada de Lie de una funcin est dada por la actuacin del vectorsobre la funcin

L f = ( f ), (1.1.30)como se deduce directamente de la definicin, puesto que para valores de tsuficientemente pequeos, t f |p = f [p (t )] = f (p)+ t( f )|p .

La derivada de Lie de un vector es

Lv = [, v ] =Lv, (1.1.31)

es decir, Lv es un vector tal que, sobre funciones f acta de la siguienteforma:

(Lv )( f ) = [v ( f )]v [( f )]. (1.1.32)Para demostrarlo, basta con elegir un sistema de coordenadas alrededor dep tal que el vector genere un flujo a lo largo de la coordenada x1, es decir= e1. Entonces, de la definicin de derivada de Lie, vemos que Lv = 1vcuyas componentes en la base e son 1v. Por otro lado,

[, v ]( f ) = [e1, ve]( f ) = e1(v f ) ve(1 f ) == 1v f = 1ve( f ) = (1v )( f ), (1.1.33)

es decir, [, v ] = 1v , lo que implica que ambas expresiones son iguales. Lascomponentes de Lv en coordenadas locales son (EJERCICIO)

(Lv ) = v v. (1.1.34)

La derivada de Lie de una uno-forma L es tal que para todo vector v

L, v =L, v,Lv. (1.1.35)

Sus componentes en coordenadas locales son (EJERCICIO)

(L) = +. (1.1.36)

EJERCICIO: Calcular las componentes de la derivada de Lie de un tensorarbitrario en una base coordenada.



Puesto que la derivada de Lie de un tensor depende no solo del campovectorial en el punto p sino tambin sus alrededores (depende de susderivadas en p), la derivada de Lie no es adecuada como generalizacinde la derivada direccional (o lo que es equivalente de derivada parcial). Sinembargo, la derivada de Lie permite decidir si un tensor es invariante bajodifeomorfismos en cierta direccin: lo ser si y solo si la derivada de Lie delmismo se anula en esa direccin. En otras palabras, LT = 0 si y solo si eltensor T se conserva a lo largo del flujo generado por .

1.2. Conexiones. Curvatura

1.2.1. Derivacin covariante

Una conexin afn es una regla mediante la cual se asigna a cadacampo tensorial T de tipo (r, s) y componentes T bcde otro tensor T detipo (r, s +1) y componentes

(T )bcdea :=aT bcde := T bcde ;a , (1.2.1)llamado derivada covariante de T , que tiene las siguientes propiedades:

Linealidad: (T +S) =T +S, donde , R.Regla de Leibniz: (T S) = (T )S +T S.Conmuta con la contraccin.

Sobre funciones f es simplemente la diferencial: f = d f .

Dado un vector v , llamamos derivada covariante direccional de un tensorT de tipo (r, s) a lo largo de v al tensor v T de tipo (r, s) cuyas componentesson v aaT bcde.

Aunque las conexiones no son tensores, resulta conveniente introducirsus componentes en una base arbitraria:

abc := (ec )ab = ea ,ec eb. (1.2.2)


[v.1.5] 1.2. Conexiones. Curvatura

EJERCICIO: Demostrar que, bajo cambios de base e a = e aa ea , e a = eaaea ,

donde eaa = (e1) a

a , las componentes

abc de la conexin se transforman

de la siguiente manera:

a

bc = eaae

bb e

cc

abc + ea

ae

cc ec (e

ab ). (1.2.3)

Es posible demostrar (EJERCICIO) que, dadas dos conexiones y de-finidas en la variedad M , su diferencia es un tensor de tipo (1,2), es decir,que =C cbaec eb ea . Su actuacin sobre uno-formas da el tensor() cuyas componentes en una base arbitraria son

(a a)b =C cbac , (1.2.4)

donde C cba = cba cba .EJERCICIO: Demostrar que (a a)t b =C bca t c . EJERCICIO: Encontrar la expresin de las componentes de ()T en unabase arbitraria, donde T es un tensor cualquiera.

Consideremos una base coordenada fija de referencia {e}. Entonces,definimos la derivada covariante ordinaria asociada a esta base coorde-nada como la derivada covariante tal que, dado un tensor T , las componen-tes del tensor T en esa base coordenada son T

. Para ilustrar esta

definicin, notemos que, en una base arbitraria de vectores {ea = e a e} y subase dual {ea = eae}, las componentes de la derivada covariante ordinariaasociada a la base de referencia {e} de un vector v sern

(v ) ba := a vb = e a ebv (1.2.5)

y no e a (ebv

) = ea(vb). La derivada covariante ordinaria as definidaes realmente una derivada covariante (EJERCICIO). Por tanto, su actuacinsobre tensores da tensores, lo que significa que sus componentes se trans-forman adecuadamente bajo cambios de base arbitrarios {ea} {e a}. Sinembargo, en estas transformaciones, la base coordenada de referencia per-manece fija pues forma parte de la definicin de . Si cambiamos de basecoordenada de referencia {e} {e}, estamos introduciendo una nueva



derivada covariante ordinaria asociada a la nueva base. Hemos demos-trado, por tanto, que al menos existe una derivada covariante (de hecho,existen infinitas) definida sobre cualquier variedad diferenciable: la derivadacovariante ordinaria.

En trminos de las componentes de la conexin, la derivada covariantese puede escribir de la forma (EJERCICIO)

ab = ea(b)cbac , a vb = ea(vb)+bca vc . (1.2.6)

Notemos que, dada una derivada covariante ordinaria asociada a unabase coordenada, podemos utilizarla para escribir una conexin cualquie-ra en trminos de ella:

ab = ab C cbac , a vb = a vb +C bca vc . (1.2.7)

Por tanto, podemos escribir el tensor C en funcin de las componentes de y de la base coordenada de referencia utilizada para definir C :

C bca = bca ebea(e c ). (1.2.8)

Notemos que C es un tensor por ser la diferencia de dos conexionescomo hemos visto y, por tanto, sus componentes se transforman adecua-damente bajo cambios de base arbitrarios {ea} {e a} (recordemos que, enestas transformaciones, la base coordenada de referencia permanece fijapues forma parte de la definicin de la derivada covariante ordinaria ). Sicambiamos de base coordenada de referencia {e} {e}, estamos introdu-ciendo una nueva derivada covariante ordinaria asociada a la nueva basey el correspondiente nuevo C de respecto a la nueva derivada covarianteordinaria . Sin embargo, abc no es un tensor, como ya hemos visto.EJERCICIO: Encontrar la relacin entre los tensores C abc de una conexin asociados a bases coordenadas diferentes y compararla con la transfor-macin correspondiente de sus componentes abc .

Diremos que una conexin afn es simtrica si y solo si sobre funcionesf acta de forma simtrica (torsin nula): ab f =ba f .



EJERCICIO: Demostrar que la diferencia entre dos conexiones simtricas y es un tensor C simtrico en sus ndices covariantes, es decir, queC abc =C acb . EJERCICIO: Demostrar que la condicin de que la conexin sea simtricaimplica que 2a[bc]ea = [ec ,eb] y que, por tanto, en una base coordenada = .

EJERCICIO: Demostrar que, para cualquier conexin afn simtrica defini-da en M y cualesquiera dos vectores v y w ,

(Lv w )a = [v , w ]a = vbb w a w bb v a . (1.2.9)

EJERCICIO: Demostrar que, dada cualquier conexin afn simtrica, la ex-presin de las componentes de la derivada de Lie de un tensor al largo de unvector se puede escribir en trminos de la derivada covariante simplementesustituyendo las derivadas parciales por las covariantes.

1.2.2. Transporte paralelo

Dada una parametrizacin de una curva (t) cuyo vector tangente esw (t), definimos la derivada covariante de T a lo largo de la misma comola derivada covariante direccional de T a lo largo de su vector w , es decir,w T .

Diremos que T es transportado paralelamente a lo largo de la curvaparametrizada por (t) si y solo si w T = 0. Los teoremas de existencia yunicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias garantizan la existencia yunicidad del transporte paralelo y, por tanto, el transporte paralelo estable-ce un isomorfismo entre los espacio tensoriales definidos en cada puntode (t ).

1.2.2.1. Geodsicas

Una curva es una curva geodsica si y solo si admite una parametriza-cin (t ) cuyo vector tangente w (t ) = t es tal que w w es paralelo (propor-cional) a w , es decir, w aa w b w b . Si es una curva geodsica, entonces



es posible encontrar (EJERCICIO) una reparametrizacin (s) := [t(s)] talque su vector tangente v(s) = s es transportado paralelamente a lo largode la misma, es decir, tal que v v = 0. Tal parmetro s recibe el nombre deparmetro afn y es nico salvo multiplicacin y adicin de constantes quecorresponden a la eleccin del origen del parmetro afn y a la eleccin deunidades. La parametrizacin (s) de la curva geodsica donde s es un pa-rmetro afn recibe el nombre de geodsica . Dado un sistema coordenado,las geodsicas satisfacen las siguientes ecuaciones:

y y = 0 y+ y y = 0, (1.2.10)

donde el punto denota la derivada con respecto al parmetro afn: y = dy/ds.Notemos que las geodsicas solo dependen de la parte simtrica de la cone-xin y, por esta razn, solo consideraremos conexiones afines simtricas.

Una geodsica es completa si y solo si su parmetro afn recorre todala recta real. La variedad diferenciable M es geodsicamente completa si ysolo si todas sus geodsicas son completas.

Definimos la aplicacin exponencial en p M como la aplicacin sua-ve expp : TpM M tal que a cada vector v en p le asigna el punto expp (v )de M que se halla a una distancia paramtrica afn unidad de p a lo largode la geodsica que pasa por p y cuyo vector tangente es v . Entonces, M esgeodsicamente completa si y solo si la aplicacin exponencial est definidapara todos los vectores de TpM y para todos los puntos de M .

1.2.2.2. Coordenadas normales

Dado un punto p, la aplicacin exponencial define un difeomorfismoentre un abierto del vector nulo en TpM y un abierto Np de p en M querecibe el nombre de entorno normal 3 de p. Escojamos Np de forma que,dados dos puntos de Np , exista una nica geodsica que los una y queest contenida en Np , es decir, escojamos el entorno normal Np convexo .

3La existencia de una conexin permite definir entornos normales, como acabamosde ver, y estos a su vez garantizan la paracompacidad de M (ver, por ejemplo, referencia[HaE73]).



Entonces podemos definir un sistema de coordenadas (una carta) en Npeligiendo una base {e|p } arbitraria4 de TpM y asignando coordenadas x al punto q Np obtenido mediante el mapa exponencial q = expp (x e|p ).En otras palabras, utilizamos como coordenadas del punto q las compo-nentes del vector exp1p (q) en la base {e|p } y, por tanto, {} es una basecoordenada de campos vectoriales en Np . Notemos que |p = e|p aunque,en general, 6= e. Las coordenadas as definidas reciben el nombre decoordenadas normales centradas en el punto p .

Notemos que, dados dos puntos de un entorno normal, existe un nicageodsica que los une. Esta propiedad en general no es cierta globalmente:si los dos puntos no pertenecen a un entorno normal, pueden no existirgeodsicas que los unan o pueden existir ms de una.

Es fcil ver que las componentes de la parte simtrica de la conexin enuna base de coordenadas normales centradas en p se anulan en este punto.En efecto, todas las geodsicas que pasan por p se convierten mediantecualquier carta de coordenadas normales en rectas de Rn que pasan porel origen. Por tanto, sus coordenadas satisfacen y = 0, de lo que se deduceque()

p = 0. Desde otro punto de vista, en coordenadas normales, y = 0

es la ecuacin de las geodsicas. Un cambio de coordenadas arbitrariox x conduce a la ecuacin geodsica y+ y y = 0.

1.2.3. Tensores de Riemann y de Ricci

Sean f y c una funcin escalar y una uno-forma, respectivamente, ycalculemos (EJERCICIO) la accin de la doble derivada covariante antisime-trizada sobre f c :

(ab ba)( f c ) = f (ab ba)c , (1.2.11)es decir, abba acta linealmente sobre uno-formas. Adems, aunqueno sea obvio, (ab ba)c solo depende del valor de c en p y no en

4Hemos utilizado ndices griegos para esta base a pesar de ser arbitraria; puesto quese trata de una base del espacio tangente en un punto p concreto, tal distincin no esrelevante.



sus alrededores (EJERCICIO). Por tanto, ab ba es un tensor R dabc detipo (1,3),

(ab ba)c := R dabc d , (1.2.12)llamado tensor de Riemann .

A partir de la actuacin de ab ba sobre el escalar v aa , es posiblecomprobar (EJERCICIO) que

(ab ba)vd =R dabc vc . (1.2.13)

Asimismo, es posible demostrar que el tensor de Riemann tiene las siguien-tes propiedades (EJERCICIO)

Es antisimtrico en los dos primeros ndices: R dabc =R dbac .

Se anula si antisimetrizamos los tres primeros ndices: R d[abc] = 0.

Satisface la identidad de Bianchi: [e R dab]c = 0.

Las componentes del tensor de Riemann en una base coordenada sepueden escribir en trminos de las componentes de la conexin en esa base(EJERCICIO):

R = +. (1.2.14)

El tensor de Ricci se define como la traza del tensor de Riemann en losndices segundo y cuarto: Rac = R babc .

1.2.4. Desviacin geodsica

Consideremos una familia uniparamtrica de geodsicas s(t ): para ca-da valor de s, s es una curva geodsica parametrizada afnmente por tytal que la aplicacin (t , s) s(t ) sea una biyeccin suave con inversa sua-ve. Entonces, podemos utilizar (t , s) como coordenadas de la subvariedad



bidimensional generada por las curvas s(t ). Sea t el campo vectorial de vec-tores tangentes a la familia de geodsicas. Entonces t satisface la ecuacinde las geodsicas, es decir, t aa t b = 0. Consideremos, adems, un vectorde desviacin z = s tangente a la curva parametrizada por s para cada tconstante, que se puede interpretar como el vector que une dos puntos(correspondientes al mismo valor de t ) de dos geodsicas vecinas . Notemosque t y z conmutan por ser vectores de una base coordenada y, por tanto,t aa zb = zaa t b .

El vector v a = t bb za nos da la velocidad de separacin entre dos geod-sicas cercanas y aa = t bb v a su aceleracin relativa, es decir, la aceleracincon la que se acercan o separan. Es fcil ver (EJERCICIO) que el vector dedesviacin satisface la ecuacin de desviacin geodsica

aa = t cc (t bb za) =R acbd zb t c t d . (1.2.15)

Esta ecuacin nos dice que la condicin necesaria y suficiente para que dosgeodsicas inicialmente paralelas permanezcan paralelas (no se acelerenrelativamente) es que el tensor de Riemann se anule. Diremos que unaconexin es plana si y solo si su tensor de Riemann se anula en toda lavariedad.

El tensor de Riemann tambin determina cundo el transporte paralelode un vector es independiente del camino elegido, en regiones suficien-temente pequeas. Equivalentemente, determina cundo, al transportarparalelamente un vector v a lo largo de una curva cerrada suficiente-mente pequea, el vector no cambia. Sean y(t ) tales que y(0) = y(1) lascoordenadas de la curva cerrada . Entonces se verifica (EJERCICIO) que

v = v(1) v(0) = 12

R |(0)v(0) 1

0y [ y]d t . (1.2.16)

EJERCICIO: Particularizar esta expresin al caso de superficies bidimen-sionales y analizar el resultado desde el punto de vista de la geometradiferencial clsica.



1.3. Variedades (pseudo-)riemannianas

1.3.1. Mtrica

Una mtrica g en una variedad diferenciable M es un campo tenso-rial simtrico suave doblemente covariante (es decir, de tipo (0,2)). Suscomponentes en una base arbitraria {ea} son gab = g (ea ,eb). En una basecoordenada, el tensor mtrico se puede escribir g = gdxdx. Tam-bin utilizaremos la notacin ds2 = gdxdx para representar al tensormtrico, donde ds2 recibe el nombre de elemento de lnea .

Definimos la norma del vector v a como|gab v a vb | (1.3.1)

y, dados dos vectores de norma no nula v a y w a , definimos el ngulo queforman mediante la expresin

cos= gab va w b

|gcd vc vd ||ge f w e w f |. (1.3.2)

Dos vectores v a y w a son ortogonales si y solo si gab v a w b = 0. Ntese quela nocin de ortogonalidad est definida incluso para vectores de normanula.

Una mtrica es degenerada en el punto p si y solo si existe algn vectorde TpM perpendicular a todos los vectores de TpM si y solo si la matriz(gab) de las componentes de la mtrica es singular en cualquier base. A partirde ahora, supondremos que la mtrica no es degenerada. Entonces, existeun nico tensor de tipo (2,0) cuyas componentes en una base arbitraria song ab y tal que (g ab) es la matriz inversa de la matriz (gab), es decir, tal quegab g

bc = ca . Puesto que la mtrica es no degenerada, la inversa tampoco loes.

La introduccin de una mtrica supone la presencia de una estructuraadicional en la variedad diferenciable que permite establecer un isomorfis-mo entre los espacios tangente TpM y cotangente T p M . As, se establece


[v.1.5] 1.3. Variedades (pseudo-)riemannianas

tambin un isomorfismo entre cualquier espacio tensorial definido sobreM mediante el cual podemos subir y bajar ndices con el tensor mtricoy su inverso. Por ejemplo, dado un vector v a , podemos asociar una nicaforma definida a partir de l mediante va = gab vb y viceversa. Similarmen-te, dado un tensor Tab de tipo (0,2), podemos asociar (haciendo uso de lamtrica o de su inversa) un nico tensor T ab = g ac Tcb de tipo (1,1) y otroT ab = g ac g bd Tcd de tipo (2,0), que consideraremos como distintas repre-sentaciones del mismo objeto. As, gab , g

ab y ab pueden considerarse comodistintas representaciones del tensor mtrico g .

Llamaremos signatura del tensor mtrico al nmero de autovalores po-sitivos menos el de negativos que posee y llamaremos mtrica lorentzianaa aquella cuya signatura es n 2 y cuya estructura de autovalores es, portanto, (,+ n1 +). Una mtrica lorentziana en la variedad M separa el es-pacio tangente TpM en tres tipos de vectores e introduce as su estructuracausal :

temporales , tales que v a va = gab v a vb < 0;espaciales , tales que v a va = gab v a vb > 0;nulos o de gnero luz , tales que v a va = gab v a vb = 0. Este conjuntode vectores define el cono de luz o nulo en el punto p.

En cada punto p M , se puede llamar futuro a la mitad del cono de luz(figura 1.5). Si es posible hacer tal asignacin de forma continua en todoslos puntos de la variedad, entonces diremos que la variedad es orientabletemporalmente y, si tal es el caso, entonces existe un campo vectorial suavet a que no se anula en ningn punto y que es de gnero tiempo en toda lavariedad (sin demostracin; ver referencias [Wal84, HaE73]).

Diremos que una curva es de gnero luz, espacio o tiempo dependiendode si su vector tangente es de gnero luz, espacio o tiempo en todos lospuntos de la misma.

Puede demostrarse que toda variedad no compacta admite una mtri-ca lorentziana. Sin embargo, es posible encontrar variedades compactas



futuro

pasado

Figura 1.5: Cono de luz.

que no admiten una mtrica lorentziana una esfera, por ejemplo (verreferencia [HaE73]).

1.3.2. Conexin de Levi-Civita

En una variedad diferenciable, pueden coexistir una conexin y unamtrica sin relacin alguna. Sin embargo, existe una nica conexin sintorsin (simtrica), llamada conexin de Levi-Civita , compatible con lamtrica, es decir, tal que la derivada covariante de la mtrica se anula g = 0, en componentes, a gbc = 0. En efecto, esta condicin implica que, enuna base coordenada, las componentes de la conexin deben satisfacer

+ = g. (1.3.3)De esta expresin, vemos que g +g g = 2 y, por tanto,que se satisfacen las relaciones de Christoffel

=

1

2g(g+gg). (1.3.4)



Esta conexin es la nica solucin de la ecuacin g = 0.EJERCICIO: Demostrar que la norma y ngulo entre dos vectores se preser-van al transportarlos paralelamente con la conexin de Levi-Civita. Comoconsecuencia, las geodsicas tienen siempre un gnero bien definido. EJERCICIO: Demostrar que

(Lg )ab =ab +ba , (1.3.5)

donde es la conexin de Levi-Civita. Adems de las simetras ya descritas que posee el tensor de Riemann aso-

ciado a cualquier conexin afn, la compatibilidad con la mtrica aade otrams (EJERCICIO): es antisimtrico en el segundo par de ndices (covariantes),

Rabcd =Rabdc . (1.3.6)En resumen, el tensor de Riemann de la conexin de Levi-Civita es antisim-trico en el primer par de ndices; tambin es antisimtrico en el segundo parde ndices; adems, se anula si antisimetrizamos los tres primeros ndices;como consecuencia, es simtrico bajo el intercambio del primer par por elsegundo, lo que hace que el tensor de Ricci sea simtrico Rab = Rba .

Teniendo en cuenta estas simetras, es fcil ver que el tensor de Rie-mann tiene n2(n2 1)/12 componentes algebraicamente independientesy el tensor de Ricci n(n +1)/2 (para n 3). En una dimensin, los tenso-res de Riemann y de Ricci se anulan; en dos y tres dimensiones, el tensorde Riemann est completamente determinado por el de Ricci; en cuatrodimensiones, la mitad de las componentes del tensor de Riemann estndeterminadas por el tensor de Ricci y la otra mitad no.

dim(M ) n 4 3 2 1Riemann n2(n2 1)/12 20 6 1 0

Ricci n(n +1)/2 10 6 1 0

Definimos el escalar de curvatura como la traza del tensor de Ricci:

R := Raa = g abRab . (1.3.7)



Definimos el tensor de Weyl como el tensor Cabcd que tiene las mismassimetras que el de Riemann y que satisface la condicin adicional de queno tiene traza, es decir, que C abad = 0:

Cabcd := Rabcd+2

n 2(ga[d Rc]b+gb[c Rd ]a)+2

(n 1)(n 2)Rga[c gd ]b . (1.3.8)

Mediante una transformacin conforme la mtrica g se convierte,por definicin, en g = g = 2g , donde es una funcin suave. Lastransformaciones conformes preservan los ngulos pero no los mdulos delos vectores. Es fcil demostrar que dos mtricas lorentzianas sobre la mismavariedad tienen la misma estructura causal si y solo si estn relacionadasmediante una transformacin conforme (EJERCICIO).

El tensor de Weyl tiene la propiedad de ser invariante bajo transforma-ciones conformes, es decir, C =C =C (EJERCICIO). Por tanto, el tensorde Weyl determina la estructura causal de una variedad.

Finalmente, definimos el tensor de Einstein

Gab = Rab 1

2Rgab . (1.3.9)

Este tensor es simtrico y adems, tiene divergencia nula aG ab = 0, co-mo se deduce de la identidad de Bianchi (EJERCICIO). Evidentemente, estaidentidad de Bianchi reducida no contiene la misma informacin que laoriginal en trminos del tensor de Riemann completo. La parte que faltacorresponde a la divergencia del tensor de Weyl (EJERCICIO):

aC abcd =2(n 3)

n 2{[bRc]d +

1

2(n 1)[bRgc]d}

. (1.3.10)

1.3.3. Geodsicas como principio variacional

Dada una curva (t ) de gnero espacio parametrizada por t y cuyo vectortangente es v , definimos su longitud entre dos puntos (0) y (1) como

l = 1

0dt ||v || =

10

dt |g y y|1/2, (1.3.11)



donde y(t ) son las coordenadas de (t ) e y(t ) las componentes de su vectortangente. Esta longitud es independiente de la parametrizacin como esinmediato comprobar. Si la curva es de gnero luz su longitud es nula. Si lacurva es de gnero tiempo, utilizaremos el trmino tiempo propio en vezde longitud l .

Veamos ahora qu curvas hacen que la longitud (o el tiempo propio)entre dos puntos sea estacionaria. Para ello basta con calcular la variacinde la longitud l bajo pequeas deformaciones de la curva sin que se veanafectados los puntos extremos. El resultado es (EJERCICIO) que la curva parala que la longitud es estacionaria satisface la ecuacin

y y = y ddt

log ||y ||. (1.3.12)

Esta es la ecuacin de una curva geodsica en trminos de un parmetro noafn. Una reparametrizacin adecuada la convierte en una parametrizacingeodsica.

EJERCICIO: Demostrar que las geodsicas son curvas que hacen estacio-naria la accin S = 10 dt ||v ||2 = dt |g y y|.

En muchos casos, la forma ms conveniente de calcular los smbolosde Christoffel en una base coordenada es encontrar la ecuacin de la curvaestacionaria de esta accin y compararla con la expresin de las curvasgeodsicas en trminos de los smbolos de Christoffel.

1.3.4. Isometras

1.3.4.1. Isometras propias

Un difeomorfismo : M N es una isometra si y solo si preserva eltensor mtrico en toda la variedad M , es decir, si y solo si g = g . El grupouniparamtrico de difeomorfismos t generado por el campo vectorial esun grupo de isometras si y solo si satisface la ecuacin de Killing

(Lg )ab =ab +ba = 0. (1.3.13)



Entonces recibe el nombre de campo vectorial de Killing .

Sea v a el vector tangente de una geodsica y sea a un vector de Killing.Entonces, a v a es constante a lo largo de la geodsica. En efecto,

vbb(a v a) = v a vbba +a vbb v a = 0. (1.3.14)

Una variedad diferenciable tiene como mximo n(n +1)/2 vectores deKilling. Para demostrarlo, basta con tener en cuenta la siguiente propiedadexclusiva de los vectores de Killing (EJERCICIO):

abc = R dcba d . (1.3.15)

Conocidas las n componentes del vector de Killing a y las n(n1)/2 compo-nentes de su derivada covariante ab (por ser vector de Killing es antisim-trica) en un punto, podemos conocer el vector de Killing en toda la variedadmediante integracin de estas ecuaciones. El nmero total de isometrases precisamente la dimensin del espacio de condiciones iniciales que esn +n(n 1)/2 = n(n +1)/2.

1.3.4.2. Variedades estacionarias y estticas

Una variedad lorentziana es estacionaria si y solo si existe un vectorde Killing = t de gnero tiempo. Entonces, la mtrica estacionaria msgeneral en una base coordenada adaptada a este Killing {,e i } es de la formag(xi ) (EJERCICIO).

Una variedad lorentziana estacionaria es esttica si y solo si existe unahipersuperficie espacial ortogonal al vector de Killing , lo que es equivalen-te (teorema de Frobenius; ver ejercicio 1.8) a la condicin

[abc] = 0. (1.3.16)

En cualquier sistema de coordenadas tal que el parmetro t sea una deellas, la mtrica de un espaciotiempo esttico es invariante bajo inversintemporal y la mtrica es tal que g0i = 0 (EJERCICIO).



1.3.4.3. Isometras conformes

Un difeomorfismo : M N es una isometra conforme si y solo siexiste una funcin tal que g =2g . El grupo uniparamtrico de difeo-morfismos t generado por el campo vectorial es un grupo de isometrasconformes si y solo si Lgab gab . Entonces recibe el nombre de campovectorial de Killing conforme .

El vector es un vector de Killing conforme si y solo si satisface la ecua-cin de Killing conforme (EJERCICIO)

ab +ba =2

n(cc )gab . (1.3.17)

Sea v a el vector tangente de una geodsica y sea a un vector de Killingconforme. Entonces, (EJERCICIO)

vbb(a v a) =1

n(cc )va v a . (1.3.18)

1.3.5. Hipersuperficies

1.3.5.1. Embebimientos

Una hipersuperficie (S ) de M es una variedad (n1)-dimensional Sembebida en M mediante el embebimiento . Puesto que es un difeomor-fismo sobre (S ), dado un punto p S , el push-forward establece un iso-morfismo entre el espacio tangente TpS y el subespacio (n1)-dimensionalH(p)M := (TpS ) T(p)M . Por lo tanto, existe una uno-forma n en elespacio cotangente T

(p)M que aniquila a todos los vectores v H(p)M ,es decir, tal que n,v = 0, donde v TpS . Esta uno-forma n, llamadanormal a la hipersuperficie, es nica salvo signo y normalizacin. Ya vimosque si la hipersuperficie est definida por el ncleo de alguna funcin f ,entonces n = d f .

La aplicacin pull-back no est definida en todo el espacio tangenteT(p)M , pero s en la imagen del push-forward ; de hecho, la aplicacin



: H(p)M TpS es su isomorfismo inverso, := 1 . Si suponemos quela normal no es de gnero nulo y definimos = nana =1, entonces pode-mos extender la actuacin de a cualquier vector de T(p)M mediante laproyeccin previa sobre el subespacio H(p)M . Dicha proyeccin se llevaa cabo mediante la aplicacin lineal h : T(p)M H(p)M tal que, dadocualquier vector w T(p)M ,

hab wb = w a (nc w c )na . (1.3.19)

De forma anloga, podemos extender la actuacin de a cualquier tensorcontravariante. Utilizaremos el mismo smbolo para denotar tanto alpull-back en sentido estricto como a su extensin.

Dada una uno-forma T (p)M , su pull-back

T p S es una uno-forma bien definida. El push-forward de una uno-forma T p S no est de-finido de manera unvoca sobre T

(p)M . En efecto, a la uno forma 0 T p Sle corresponden todas las uno-formas proporcionales a n T(p)M , yaque estas aniquilan a todos los vectores v . Sin embargo, puesto que es un difeomorfismo en su imagen (S ), la aplicacin push-forward : T p S H(p)M s esta bien definida, donde H(p)M es el espacio dualde H(p)M . Obviamente, H

(p)M es el subespacio de uno-formas tales

queana = 0. Si la normal no es de gnero nulo, entonces podemos extenderla actuacin de a cualquier uno-forma de T p S mediante la proyeccinposterior sobre el subespacio H

(p)M . Dicha proyeccin se lleva a cabo

mediante la aplicacin lineal h : T (p)M H(p)M tal que, dada cualquier

uno-forma T (p)M ,

haba =b (ncc )nb . (1.3.20)

De forma anloga, podemos extender la actuacin de a cualquier tensorcovariante. Utilizaremos el mismo smbolo para denotar tanto al push-forward en sentido estricto como a su extensin.

Como resumen, hemos extendido la actuacin de las aplicaciones pull-back y push-forward a cualquier tensor de la variedad M definido en cual-quier punto de la hipersuperficie (S ), es decir, a cualquier tensor de



(T(p))rs M , mediante la proyeccin sobre el correspondiente espacio tenso-

rial (H(p))rs M de la hipersuperficie (S ).

Si tanto S como M son variedades orientables, entonces es posibleencontrar un campo suave de uno-formas n normales a (S ) que no seanula en ningn punto. En este caso, la direccin de n determina la orien-tacin relativa de (S ) y M de la siguiente manera. Escojamos un atlas deM tal que la hipersuperficie (S ) satisfaga la ecuacin x1 = 0, de formaque n = dx1; entonces, (x2, , xn) son coordenadas locales orientadas de lahipersuperficie (S ).

1.3.5.2. Primera forma fundamental

Dada una mtrica g en M , el embebimiento induce una mtrica gen S mediante el pull-back . La mtrica inducida g recibe el nombrede primera forma fundamental de S . Esta mtrica ser (EJERCICIO)

riemanniana si n es de gnero tiempo; entonces diremos que la hiper-superficie (S ) es de gnero espacio;

lorentziana si n es de gnero espacio; entonces diremos que la hiper-superficie (S ) es de gnero tiempo;

degenerada si n es de gnero luz; entonces diremos que la hipersuper-ficie (S ) es nula.

Dado un tensor T cualquiera en S , (la extensin de) el push-forward produce tensores en M , que tienen la propiedad de que cualquier contrac-cin con la normal se anula sobre la hipersuperficie, como hemos visto. Enparticular, podemos introducir el tensor simtrico h = (g ) cuya proyec-cin sobre la normal se anula. Podemos escribir h en trminos de la mtricag y de la normal n de la siguiente forma:

hab = gab nanb , (1.3.21)donde nana = = 1 dependiendo de si la hipersuperficie es espacial otemporal. Obviamente, habn

c = 0 y h = g , que es la primera forma



fundamental de S . El tensor h es precisamente el proyector sobre la hi-persuperficie (S ) puesto que permite descomponer cualquier vector deM en un vector tangente a la hipersuperficie y otro normal a la misma yanlogamente para las uno-formas y tensores en general. As, la primeraforma fundamental permite identificar los tensores de S con sus imgenesen la hipersuperficie (S ). En particular, podemos considerar h como lamtrica inducida en la hipersuperficie.

Esta mtrica inducida h define una conexin D compatible con ellaque resulta ser la proyeccin de la derivada covariante en M , es decir, entrminos de la derivada covariante en M y de la mtrica inducida, tienela forma

DaTb1br

c1cs := T b1brc1csa :=:= haa hb1b1 h

brbr

hc 1c1 h

c scs aT

b1brc 1c s

, (1.3.22)

donde hemos extendido el tensor T definido sobre (S ) a toda la variedadM . Notemos que esta derivada covariante es independiente de la extensinque utilicemos para el tensor T puesto que h proyecta la derivada covariantesobre (S ).

EJERCICIO: Demostrar que D es la derivada covariante compatible con h.Es decir, demostrar que es una derivada covariante y que Dh = 0.

1.3.5.3. Segunda forma fundamental

Definimos la segunda forma fundamental o curvatura extrnseca dela hipersuperficie como el tensor simtrico K definido como la proyeccinsobre la hipersuperficie de la derivada covariante de la normal:

Kab = hcahdb d nc . (1.3.23)

EJERCICIO: Demostrar las ecuaciones de Gauss y de Gauss-Codazzi, querelacionan el tensor de Riemann hR de la mtrica inducida h, la segunda


[v.1.5] 1.4. Formas diferenciales

forma fundamental K y el tensor de Riemann R de la mtrica g :

hR dabc = heahfb h

gc h

dh R

he f g +Kac K db Kbc K da , (Gauss)

DaKab DbK = Rcd nc hdb , (Gauss-Codazzi)

donde K = K aa es la traza de la curvatura extrnseca.

1.4. Formas diferenciales

1.4.1. Formas

Una p-forma es un tensor covariante antisimtrico. Ntese que p npuesto que, de otra manera, la antisimetrizacin lo anula automticamente.Consideremos el conjunto formado por todos los productos tensorialescompletamente antisimtricos de p uno-formas de una base del espaciocotangente

ea1 eap := p !e[a1 eap ]. (1.4.1)Aunque este conjunto genera, mediante combinaciones lineales, todo elespacio de p-formas, sus elementos no son linealmente independientes. Sinembargo, el conjunto ordenado {ea1 eap , a1 < < ap } es una base dedicho espacio. As, cualquier p-forma se puede escribir de la forma

= 1p !a1ap e

a1 eap . (1.4.2)

Si es una p-forma y es una q-forma de componentes a1ap yb1bq respectivamente, definimos su producto exterior como la (p + q)-forma cuyas componentes son

()a1ap+q =(p +q)!

p !q ![a1apap+1ap+q ]. (1.4.3)

El producto exterior satisface la propiedad

= (1)pq (1.4.4)



y es, obviamente, bilineal. El espacio de todas las p-formas (p = 0 n) conesta operacin forma un lgebra de Grassmann .

Definimos la contraccin de un vector v con una p-forma como la(p 1)-forma iv cuyas componentes son:

(iv)a1ap1 := v aaa1ap1 . (1.4.5)

EJERCICIO: Demostrar que la contraccin tiene las siguientes propiedades.

Es una antiderivacin , es decir,

es lineal; satisface la regla de anti-Leibniz: si es una k-forma y es una

l -forma, entonces

iv () = iv+ (1)k iv. (1.4.6)

Nilpotencia: (iv )2 = 0.

iv ea = v a .

i f v= f iv.

1.4.2. Derivada exterior

Dadas dos conexiones (simtricas) diferentes y , su actuacin sobreuna p-forma es tal que (EJERCICIO)

[ab1bp ] [ab1bp ] =p

k=1C c[abkb1|c|bp ], (1.4.7)

donde [ |c| ] indica antisimetrizacin en todos los ndices excepto c.Puesto que C cab es un tensor simtrico en sus ndices covariantes, esta ex-presin se anula. Todas las derivadas covariantes (en particular, la derivada



covariante ordinaria ) actuando sobre una p-forma dan la misma (p+1)-forma que denotaremos por d y que denominaremos derivada exterior .Las componentes de d son

(d)ab1bp = (p +1)[ab1bp ]. (1.4.8)

La derivada exterior tiene las siguientes propiedades (EJERCICIO).

Linealidad.

Regla de anti-Leibniz: dadas unal k-forma y una l-forma ,

d() = d+ (1)kd. (1.4.9)Junto con la linealidad, esta propiedad implica que la derivada exteriores una antiderivacin.

Nilpotencia: d2 = 0.Si f es una funcin (una 0-forma), entoces d f es la diferencial ordina-ria de f .

Una forma es exacta si es la diferencial de alguna forma. Una forma escerrada si su diferencial se anula. As, el lema de Poincar nos dice que todaforma exacta es cerrada. El enunciado inverso, que toda forma cerrada esexacta, es decir, que si d= 0 entonces existe una forma tal que= d,es cierto localmente, en variedades contrctiles y en Rn (lema de Poincar).

Sean 1p las componentes en una base coordenada de una p-forma. Entonces,

d= 1p !

d1p dx1 dxp . (1.4.10)

La derivada exterior conmuta con los difeomorfismos ya que lo hacesobre funciones. Si : M N es un difeomorfismo y es una forma enN , entonces d() =(d). Esta expresin es equivalente a la regla dela cadena (EJERCICIO).

EJERCICIO: Demostrar las siguientes propiedades de la derivada de Lie:



Satisface la regla de Leibniz con respecto al producto exterior.

Conmuta con la derivada exterior.

Satisface la identidad de Cartan,

Liv = iv d+div . (1.4.11)

1.4.3. Integracin

1.4.3.1. Teorema de Stokes

Toda variedad paracompacta M admite un atlas localmente finito5

{(U,)} y una particin de la unidad (sin demostracin), es decir, unconjunto de funciones { f} suaves tales que

0 f 1.el soporte de f est contenido en U. f(p) = 1 para todo p M .

Definimos integral de una n-forma una variedad orientable comoM=

(U)

f1ndx1 dxn , (1.4.12)

donde {(U,), f} es una particin de la unidad y 1n est definido enla base coordenada {dx} asociada a la carta (U,), es decir,

=1ndx1 dxn . (1.4.13)

EJERCICIO: Demostrar que la integral de una n-forma es independientedel atlas y de la particin de la unidad elegida.

5Diremos que un atlas es localmente finito si y solo si cada p M tiene un abierto quetiene interseccin no vaca solo con un nmero finito de cartas.



EJERCICIO: Demostrar que la integral de una n-forma es invariante bajodifeomorfismos, es decir, que

(M )=

M

. Todas las n-formas en un punto de una variedad n-dimensional son

proporcionales (EJERCICIO). La variedad es orientable si y solo si es posibleencontrar una n-forma continua en toda la variedad y que no se anule.Dos formas y definen la misma orientacin si y solo si = | f | paraalguna funcin f . Una variedad orientable tiene dos posibles orientaciones:la definida por | f | y la definida por | f |.

Una manera de elegir una orientacin en la variedad M es escoger unabase ordenada de campos vectoriales {ea}, ya que la n-forma

= e1 en = 1n!a1an e

a1 ean , (1.4.14)

donde a1an es el smbolo antisimtrico de Levi-Civita tal que 12n = 1,no se anula en ningn punto.

La orientacin de una variedad M induce una orientacin natural ensu frontera M mediante la siguiente construccin. Sea : M M elembebimiento que incluya la frontera en la variedad. En cada punto p M ,elegimos un vector tangente a la variedad e1 que no sea tangente a la fronteray que est dirigido hacia afuera. Entonces la orientacin de M quedacaracterizada por la base orientada {u2, ,un} tal que {e1,u2, ,un}es una base de la variedad M con la orientacin adecuada.

Teorema (Stokes): dada una (n 1)-forma en M ,M

=M

d, (1.4.15)

donde es el pull-back inducido por el embebimiento de la frontera Mde la variedad en la propia variedad M .

EJERCICIO: Demostrar el teorema de Stokes. Hasta ahora solo hemos necesitado la estructura de variedad diferencia-

ble. Sin embargo, para poder integrar funciones en la variedad necesitamosla estructura mtrica, que permite introducir un elemento de volumen en lavariedad.



1.4.3.2. Elemento de volumen cannico

Definimos la forma cannica asociada a la mtrica g , tambin llamadatensor de Levi-Civita , como la n-forma

= |g|1/2e1 en , (1.4.16)

en una base cualquiera, donde g es el determinante de la matriz de lascomponentes del tensor mtrico en esa base g := det(gab). Esta definicines independiente de la base elegida (EJERCICIO) gracias a la presencia delfactor |g|1/2. Las componentes covariantes de este tensor son

a1an = n!|g|1/21[a1 nan ], 1n = |g|1/2. (1.4.17)

EJERCICIO: Demostrar que la derivada covariante de se anula. EJERCICIO: Demostrar que las componentes contravariantes de son

a1an = (1)sn!|g|1/2[a11 an ]n , (1.4.18)

donde s = (n s)/2 y s es la signatura de la mtrica (para mtricas lorentzia-nas, s = 1). EJERCICIO: Demostrar que a1anb1bn = (1)sn!a1[b1

anbn ]

. La forma cannica determina el elemento natural de volumen dv :=

en la variedad. Definimos el volumen de la variedad comoM dv :=

M .

Anlogamente, dada una funcin f en M , definimos su integral como laintegral de la n-forma f , es decir,

Mf dv =

M

f =

(U)

f f |g|1/2dx1 dxn (1.4.19)

que es, obviamente, independiente de las coordenadas elegidas (EJERCICIO).

Dada una base arbitraria, resulta conveniente definir la forma densitiza-da

dn x := |g|1/2dv = , (dn x)a1an = a1an = n!0[a1 nan ], (1.4.20)



donde g es el determinante de la mtrica en la base elegida. En trminosde esta forma de volumen densitizada, la integral de una densidad escalarF = f |g|1/2 tiene la misma expresin en Rn que en M , cuando se elige unabase coordenada:

MFdn x =

(U)

fFdn x. (1.4.21)

Dada una hipersuperficie no nula cuya mtrica inducida es h y su normaln, su forma cannica es la contraccin (en el primer ndice) de la normaln con (EJERCICIO):

= in, a1an1 = nbba1an1 , (1.4.22)

donde, recordemos, = nana = 1 depende del gnero temporal () oespacial (+) de la normal a la hipersuperficie. De esta expresin, es fcil verque (EJERCICIO)

= n , a1an = nn[a1 a2an ], (1.4.23)

Para que las orientaciones relativas de la variedad y de su frontera seanlas adecuadas (de acuerdo con el teorema de Stokes), es necesario exigirque el vector normal na est dirigido hacia afuera (EJERCICIO), es decir, na

debe estar dirigido hacia afuera si es de gnero espacio y hacia adentro si esde gnero tiempo.

Si la hipersuperficie es nula (nana = 0), podemos elegir cualquier orien-tacin de n y definir tal que cumpla = n , lo que proporciona laorientacin adecuada.

Llamaremos d= al elemento natural de volumen en la hipersuper-ficie y nad al elemento de volumen orientado. Notemos que el elementode volumen espaciotemporal dv y el correspondiente volumen d de lahipersuperficie, estn relacionados por las frmulas

indv = d, nb(dv)ba1an1 = (d)a1an1 . (1.4.24)



1.4.3.3. Teorema de Gauss

Dado un vector w cualquiera, iw es una (n 1)-forma que acta, engeneral, sobre vectores tangentes a la variedad M . Sus componentes son

(iw)a1an1 = w bba1an1 = nwbn[b a1an1] (1.4.25)

y su derivada exterior es (EJERCICIO) d(iw) = (a w a).El teorema de Stokes aplicado a la forma iw implica que

M(a w a)dv =

M

d(iw) =M

(iw). (1.4.26)

En el ltimo miembro de esta ecuacin, (iw) es una forma definidasobre la frontera (n 1)-dimensional M y, por tanto, acta solo sobrevectores tangentes a esta subvariedad (que son perpendiculares a n). As, lascomponentes de esta forma sobre M son (iw)a1an1 = w bnb a1an1 ,como se deduce de la ecuacin 1.4.25, es decir, (iw) = nb w b . Por tanto,el teorema de Stokes aplicado a esta (n1)-forma se convierte en el teoremade Gauss:

M(a w a)dv =

M

w anad. (1.4.27)

1.5. Interludio: principios de covariancia

Las cantidades fsicas relevantes deben producir nmeros que se puedanmedir al utilizar coordenadas concretas. Una forma de implementar esterequisito es utilizar tensores que, al actuar sobre los vectores y las formasde una base coordenada, dan nmeros contrastables con los experimen-tos. Las leyes de la fsica tienen, a menudo, carcter tensorial, aunque nonecesariamente.

El principio de covariancia general rige las leyes de la fsica: las nicascantidades que se refieren a la descripcin del espaciotiempo (con lo queesto signifique) que pueden aparecer en las leyes de la fsica son aquellasque definen y determinan su estructura. En particular, no deben aparecer


[v.1.5] 1.5. Interludio: principios de covariancia

campos o bases vectoriales privilegiadas universales, que se refieran solo ala estructura espaciotemporal. Debe notarse que la invariancia o no de lasecuaciones bajo cambios de coordenadas no desempea en este principioningn papel explcito, aunque est ntimamente relacionado.

Supongamos que cierta ley fsica que determina cierta cantidad vectorialV se puede escribir en una cierta base coordenada {e} de la forma V = zdonde z = (1,0,0,0) es una cantidad fija. Separando sus componentes, estaley se puede escribir V 0 = 1, V i = 0. En el anlisis de la aplicacin del prin-cipio de covariancia general a este ejemplo, se pueden adoptar dos puntosde vista. Por un lado, z no es un vector porque no se transforma adecuada-

mente bajo un cambio de base z = ez 6= (1,0,0,0) y, en consecuencia,

esta ley tampoco se transforma adecuadamente, es decir, no es covariante:

V 0 = e0V = e00 6= 1, V i = e i V = e i

0V

0 6= 0. (1.5.1)

Sin embargo, siempre podemos definir el vector z = ze, en trminos delcual la ley en cuestin adquiere la forma tensorial V = z , en una basearbitraria, V a = za . Esta ecuacin no es covariante, pero la razn no es queno se transforme adecuadamente bajo cambios de base, puesto que s lohace por definicin. Ms bien, el problema es que el vector z es un objetotensorial completamente ajeno a las cantidades fsicas que introduce unadireccin privilegiada en el espaciotiempo.

El ejemplo quiz ms relevante en esta asignatura es el de los smbolosde Christoffel. Estos smbolos no pueden aparecer, si no estn derivados,en las leyes de la fsica por no tener carcter tensorial. Tampoco puedenhacerlo los tensores C que caracterizan una conexin en trminos de unaderivada covariante ordinaria , a pesar de ser tensores. La razn, desde elpunto de vista aqu adoptado, es que elegir uno de estos tensores C suponeelegir una base coordenada privilegiada en trminos de la cual se definela derivada covariante ordinaria . En otras palabras, en la ley fsica quecontiene C , podemos sustituir este por C = . La derivada covariante determina el transporte paralelo y forma parte de los ingredientes quedefinen la estructura espaciotemporal. Sin embargo, establece una baseprivilegiada de forma enteramente anloga a como lo hace el vector z en el



ejemplo anterior, aunque la ley fsica que se est estudiando s est descritade forma covariante. Desde el punto de vista de cambios de coordenadas,la ley que contiene C adquiere una forma especfica en la base coordenadaprivilegiada. Un cambio de base coordenada redefine este tensor de formano tensorial y, por tanto, esta ley no se transforma tensorialmente bajocambios generales de coordenadas. Ambos puntos de vista son duales y esimportante no mezclarlos. De hecho, la situacin es anloga a la distincinentre transformacin activa y pasiva.

La fsica newtoniana y la relatividad especial admiten formulacionesque satisfacen el principio de covariancia general. En efecto, en el tema 2se presenta una formulacin covariante general de estas teoras. Por otrolado, la relatividad general tambin est formulada de acuerdo con el prin-cipio de covariancia general de forma natural. La diferencia fundamentalentre estas teoras es que la relatividad general no presupone una estructu-ra espaciotemporal previa sino que esta est determinada dinmicamente.En contraposicin, la fsica newtoniana presupone un tiempo absoluto yun espacio plano, ambos inmutables y dados a priori. Anlogamente, larelatividad especial tambin exige la presencia de un espaciotiempo plano,inmutable y dado a priori.

El principio de covariancia especial se refiere a las simetras que nues-tra estructura espaciotemporal posea: dados dos observadores S y S rela-cionados mediante la accin de una simetra, los resultados fsicamenteposibles de medidas realizadas por uno tambin son resultados fsicamenteposibles de mediadas realizadas por el otro. Este principio implica que lassimetras actan de igual manera sobre los campos fsicos y sobre los ob-servadores. Ms explcitamente, supongamos que es una simetra. Cadaobservador (S y S) lleva asociada una base del espacio tangente ({ea} y {e a})y ambas estn relacionadas mediante la simetra : si S =S, entoncese = e. El principio de covariancia especial exige que si T es un campofsico (no necesariamente tensorial), las medidas que realice S de T darnlos mismos resultados que las que realice S de T .

Si las leyes de la fsica son tensoriales, es decir, si T es un tensor, entoncesvimos queT (e ) = T (e ) y, por tanto, el principio de covariancia es-


[v.1.5] 1.5. Interludio: principios de covariancia

pecial queda automticamente implementado por el de covariancia general.Si los campos fsicos no estn descritos mediante tensores o si el principiode covariancia general no tiene aplicacin, todava es posible imponer elprincipio de covariancia especial haciendo uso de las simetras. La covarian-cia general es especialmente til cuando no existen simetras que guen laformulacin de leyes fsicas.

La covariancia especial se puede imponer, de forma anloga a lo queocurre con el principio de covariancia general, en trminos de cambios decoordenadas. Para ello, dada una ley tensorial, escribimos sus componentesen un sistema de coordenadas en trminos de las componentes de todoslos tensores que aparecen en ella, incluido el tensor mtrico. Un cambio decoordenadas que corresponde a una isometra no afecta a las componentesde la mtrica y, por tanto, teniendo en cuenta las leyes de transformacinde los tensores, vemos que la forma de las ecuaciones no cambia. Es decir,la covariancia especial se puede expresar en trminos de la invarianciade las ecuaciones para las componentes que representan las leyes de lafsica bajo un grupo especial de cambios de coordenadas, mientras que lacovariancia general corresponde a la invariancia bajo cambios generales decoordenadas.


[v.1.5] 1.6. Ejercicios

1.6. Ejercicios

1.1 Sea M una variedad n-dimensional.

1. Demostrar que el objeto cuyas componentes en cualquier base es-tn dadas por el smbolo de Levi-Civita a1an (es completamenteantisimtrico y 12n = 1) no es un tensor.

2. Demostrar que el (pseudo-)tensor de Levi-Civita a1an =|g|a1an

s es un (pseudo-)tensor. Encontrar la expresin de a1an .

3. Demostrar que todo tensor antisimtrico de tipo (0,n) en una variedadn-dimensional es proporcional al tensor de Levi-Civita a1an .

1.2 Probar las siguientes identidades sobre k-formas:

1. Lv iw iwLv = i[v ,w ]2. LvLw LwLv =L[v ,w ]3. Lv iv = ivLv4. L f v = f Lv +d f iv5. Si es un difeomorfismo, entonces Lv=Lv.

1.3 Encontrar los smbolos de Christoffel para una mtrica arbitraria en unabase coordenada en la que esta es diagonal.

1.4 Calcular las componentes de la derivada de Lie de un tensor arbitrario entrminos de cualquier derivada covariante simtrica en una base arbitraria.

1.5 Demostrar que la derivada covariante ordinaria es una derivada cova-riante. Calcular la diferencia

notas de relatividad geenral

Documents