AlgebraII:Tema8. 1TEMA8.-NORMASDEMATRICESYN uMERODECONDICIoNIndice1. Introduccion 12. Normavectorialynormamatricial. 22.1. Normamatricialinducidapornormasvectoriales. . . . . . . . . 42.2. Algunosejemplosdenormasmatricialesinducidas. . . . . . . . 63. N umerodecondiciondeunamatriz 83.1. Casodematricesnormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. IntroduccionFrecuentemente, el estudio de un sistema fsico pasa por la resolucion de unsistema de ecuaciones lineales Ax = b (que se supone compatible determinadoentodoestetema). Sinembargo, inclusoasumiendoqueestemodelolinealrepresentaperfectamentelarealidad,lasmatricesAy bdelasquesedisponeno son identicas a las A y b reales, principalmente debido a errores numericosderedondeooerroresenlamediciondeparametrosfsicos. As, enlugardeobtenerlasolucionexactax0del sistemaAx=b, enrealidadseobtienelasolucion x0 del sistemaAx = b. Naturalmente, interesa tener una aproximaciondeladistancia(enunsentidoa unporprecisar)entre x0yx0.Elobjetivodeeste tema es precisamente profundizar en esta idea. En las proximas seccionesseveraquedichadistanciadependeesencialmentedeunacaractersticadelamatrizAalaquesedenominacondicionamientoon umerodecondicion.Ejemplo1.Elsistemadeecuaciones_10411 1_ _x1x2_=_12_tienecomosolucion(con7decimalesdeprecision)_x1x2_=_1,000100010,99989999_.Sinembargo,unaresolucionmedianteelmetododeGauss(conunaprecisiondesolo3decimales)proporcionaralasolucion_ x1 x2_=_01_,AlgebraII:Tema8. 2que no parece una aproximacion suciente a la solucion anterior. Este error sepuedereducirmediantepivoteoparcialototal.Ejemplo2.Unejemploclasicodematrizmal condicionadaeslamatrizdeHilbert:H=__111213

1n121314

1n+1131415

1n+2...............1n1n+11n+2

12n1__,queesmuysensibleaerroresnumericos.2. Normavectorialynormamatricial.Denicion1Sea(E, K, +, )unespaciovectorial.UnanormaenEescual-quieraplicacion|| : E Rqueverique Ky z, w Elassiguientespropiedades:N1) |z| 0, y |z| = 0 z= 0.N2) |z| = [[|z|N3) |z +w| |z| +|w| (Desigualdadtriangular).Ejemplo3.TresejemplosclasicosdenormaenE= Cnson: norma1:|z|1= [z1[ + +[zn[ norma2oeucldea:|z|2=_[z1[2+ +[zn[2 norma onormadelsupremo:|z|= max [z1[, , [zn[ .Porsupuesto,sedebevericarquecadaunadelasexpresionesanterioressatisfacenlastrescondicionesdeladeniciondenorma. Detallamoslacom-probacion para la norma 1 a continuacion y dejamos la norma al lector. Lanorma 2 se discute un poco mas abajo en el contexto de normas inducidas porunproductoescalar.AlgebraII:Tema8. 3N1)|z|1= [z1[ + +[zn[ 0 yademas0 = |z|1 z1== zn= 0 z= 0.N2)|z|1= [z1[ + +[zn[ = [[ ([z1[ + +[zn[) = [[|z|1.N3)|z +w|1=n

i=1[zi +wi[n

i=1[zi[ +n

i=1[wi[= |z|1 +|w|1.Ademas, lasnormas1y2soncasosparticularesdelanormap, denidap Ncomo|z|p= ([z1[p+ +[zn[p)1p.Observacion.- Todo norma || en E induce una distancia d(z, w) := |zw|enE.Enparticular,lanormaeucldeaen Rninduceladistanciahabitual.Denicion2Sedicequedosnormas ||

, ||enEsonequivalentessiexisten, > 0talesqueu E, |u|

|u| |u|

.Proposicion.- Endimensionnita,todaslasnormassonequivalentes.Observacion.- Todoproductoescalar , )enEinduceunanormaenE,denidacomo|z| := +_z, z).Estrivial comprobarqueestadenicionsatisfacelascondicionesN1yN2,consecuenciadelasesquilinealidadhermticaen C(bilinealidadsimetricaenR)ydenicionpositivadel productoescalar. N3sedemuestraempleandoladesigualdaddeSchwarz.En particular, la norma 2 anteriormente mencionada coincide con la normainducidaporelproductoescalarestandaren Cn,esdecir:|z|2=zhz.AlgebraII:Tema8. 4Ejemplo4. Esconocidoquelaformasesquilineal (esdecir, lineal enlaprimeracomponenteyantilinealenlasegunda), ) : CmnCmnC(A, B) tr(BhA)constituye un producto escalar en Cmn. La norma inducida por este productoescalares|A|F=_tr(AhA) =_m

i=1n

j=1[aij[2,denominadanormadeFrobenius.2.1. Normamatricialinducidapornormasvectoriales.Denicion3Sean ||

, ||dosnormasen Cm, Cnrespectivamente. Sedenominanormamatricial ||enCmninducidapordichasnormasvectorialesa|| : CmnRA |A| := supx=0|Ax|

|x|.Ladenicionanteriorvericalaspropiedasdenorma.Efectivamente:N1)_x Cn, |Ax|

|x| 0_ |A| 0,y|A| = 0 x Cn, |Ax|

= 0 x Cn, Ax = 0 A = [0].N2)|A| = supx=0|Ax|

|x|= [[ supx=0|Ax|

|x|= [[|A|.N3)|A +B| = supx=0|Ax +Bx|

|x| supx=0_|Ax|

|x|+ |Bx|

|x|_ supx=0|Ax|

|x|+ supx=0|Bx|

|x|= |A| +|B|.AlgebraII:Tema8. 5Nota: Hastael momentosehainsistidoenlaexistenciadedosnormasvectoriales ||

, ||(diferentes, engeneral)yunanormamatricial ||.Enadelante,frecuentementeseomitiranlossubndices y paraevitarunanotacionrecargada. El lector deberadeducir del contextoque normaes laaplicadaencadacaso(y,porsupuesto,siesvectorialomatricial).Ademas, seratambienfrecuentequeambas normas ||

y ||seandel mismotipo(esdecir, porejemplo, ambaslanormap)peroen Cmy Cnrespectivamente.Observacion.- Comoconsecuenciatrivialdeladenicion,x Cn, |Ax| |A||x|.Observacion.- Severicasupx=0|Ax||x|= supx=0____1|x|Ax____=supx=1|Ax| .Observacion.- El cociente Axxalcanza su supremo en S= x Cn: |x| = 1,esdecir,x1 Cn: |x1| = 1, |Ax1| = |A|.Demostracion:Porunlado, unsubconjuntode Cnescompactosi ysolosi escerradoyacotado. El conjuntoSescerrado(porsercomplementariodeunabierto)yacotado,luegocompacto.Porotrolado,lasaplicacionesCnCmx AxyCmRy |y|son ambas continuas. Puesto que la composicion de dos aplicaciones continuasescontinua,laaplicacionCnRx |Ax|AlgebraII:Tema8. 6tambienloes. Finalmente, todafuncioncontinuadenidasobreuncompac-toalcanzasus extremos enpuntos del compacto, quedandoas probadalaobservacion.Corolario.- ElcocienteAxxtambienalcanzasusupremoen Cn0.La observacion y el corolario anterior permiten sustituir el termino supremoporelterminomaximoyescribir|A| = maxx=0|Ax||x|=maxx=1|Ax|,expresionqueseemplearaenelrestodeltema.Proposicion.- Si || es una norma en Cnninducida por normas vectoriales,entoncesA, B Cnn, |AB| |A||B|Demostracion:x Cn, |ABx| |A||Bx| |A||B||x||AB| =maxx=1|ABx| maxx=1|A||B||x| = |A||B|.Observacion.- Si m = n y las normas | |

y | |coinciden, la norma | |en Cnninducidaporella(s)verica|I| = maxx=0|Ix||x|= 1.De estose deduce que lanormade Frobenius noes inducidapor ningunanormavectorial,pues |I|F= n.(Nota:sepuededemostrarquetampocoesinducidapordosnormasvectoriales,aunque estasseandistintas).2.2. Algunosejemplosdenormasmatricialesinducidas.Ejemplos relevantes de normas matriciales inducidas por normas vectorialessonlossiguientes:Norma1: Si las normas ||

y ||sonlanorma1enCmyCnrespectivamente,|A|1=maxx1=1|Ax|1=max1kn_m

j=1[ajk[_.AlgebraII:Tema8. 7Norma2: Si las normas ||

y ||sonlanorma2enCmyCnrespectivamente,|A|2=maxx2=1|Ax|2,tambiendenominadanormaespectral,ytratadaenlaproximaproposi-cion.Norma :Si lasnormas ||

y ||sonlanorma en Cmy Cnrespectivamente,|A|= maxx=1|Ax|=max1jm_n

k=1[ajk[_.Proposicion.- SeaA Cmn.Entonces, |A|2=_(AhA),donderepre-sentaelradioespectral.Demostracion: RecordamosqueAhAeshermtica, yportantodiagonali-zableunitariamenteconautovalores reales 1 . . . n. Ademas, dichosautovaloressonnonegativos:siesautovalordeAhA,|Au|22= (Au)hAu = uhAhAu = uhu = |u|22 = |Au|22|u|22 0.Tambiensabemosqueparatodovnonuloseverica:1= mnu=0uhAhAuuhuvhAhAvvhv maxu=0uhAhAuuhu= n.Deestemodo,|A|2= maxu=0|Au|2|u|2=maxu=0uhAhAuuhu=_n.Proposicion.- Cualquier norma || en Cnninducida por normas vectorialesverica|A| (A).Demostracion: Sean 1, . . . , n los valores propios de A, con [1[ [n[.SeauunvectorpropiodeAasociadoan.Entonces:|A| |Au||u|= |nu||u|= [n[ = (A).AlgebraII:Tema8. 83. N umerodecondiciondeunamatrizSea A Cmn, con rg(A) = n m. Se dene el n umero de condicion de Aasociadoaunanorma ||comoc(A) =maxx=1|Ax|mnx=1|Ax|.Comentario:Elcocienteanteriorestabiendenido,porquemnx=1|Ax| = 0 x ,= 0, Ax = 0 rg(A) < n.Enelcasorg(A) < n,sedenec(A) = .El n umerode condicionproporcionaunacotasuperior parael error enlaresoluciondeunsistemadeecuaciones.Veamosloendoscasos.Perturbaciondelterminoindependienteb.Seconsiderael sistemaAx=b, conA Cmnyrg(A)=n m. Su-pongamos que tiene solucion unica x0 ,= 0. Se desea estudiar la variaciondel vector solucionx0antevariaciones del vector b. Deestemodo, seconsidera el sistema Ax = b +b, y se asume que tambien tiene solucion unicax0 + x0.Sepretendeestimar |x0|.ObservamosAx0= bA(x0 + x0) = b + b.Restandoambasecuaciones,A(x0) = b.DenotandoM=maxx=1|Ax|ym =mnx=1|Ax|,setiene:m =mnx=0|Ax||x| |Ax0||x0|=|b||x0| |x0| |b|mM=maxx=0|Ax||x| |Ax0||x0|=|b||x0| 1|x0| M|b|.Multiplicandoambasinecuaciones,|x0||x0|Mm|b||b|= c(A)|b||b|.Enconclusion, el n umerodecondicionproporcionaunacotasuperiorparalaamplicaciondelerrorrelativo.AlgebraII:Tema8. 9PerturbaciondelamatrizA.DenuevoseconsideraelsistemaAx = b,que(seasume)tienesolucion unica x0 ,= 0. Ahora se desea estudiar la variacion del vector solucion x0antevariacionesdelamatrizA. Deestemodo, seconsiderael sistema(A+A)x =b. Supongamos que este nuevosistemasigue teniendosolucion unicax0 + x0,conx0 ,= 0.Enestecasoseverica|x0||x0 + x0| c(A)|A||A|.La demostracion se omite. De nuevo, el n umero de condicion proporcionaunacotasuperiorparalaamplicaciondelerrorrelativo.Observacion.- Si A Cnnes regular y || es una norma matricial inducidaporunanormavectorial,entoncesc(A) = |A||A1|.Demostracion:SiAesregular,|A1| = maxx=0|A1x||x|= maxy=0|y||Ay|=_mny=0|Ay||y|_1=_mny=1|Ay|_1,dedondeseobtieneinmediatamentelaexpresionanterior.3.1. Casodematricesnormales.SiA Cnnesnormal, U CnnunitariatalqueUhAU= D = diag(1, . . . , n),con [1[ . . . [n[.AdemasUhAhAU= (UhAhU)UhAU= DhD = diag([1[2, . . . , [n[2).EmpleandodenuevoqueelcocientedeRayleighasociadoaAhAvericaAlgebraII:Tema8. 10[1[2= mnu=0uhAhAuuhuuhAhAuuhu maxu=0uhAhAuuhu= [n[2,sededuce|A|2= [n[ yc2(A) = [n[[1[,dondec2(A) representael n umerodecondicionasociadoalanorma2, quetambiensedenominan umerodecondicionespectral.