Grupos Matriciales

Pablo De Caria, Laura P. Schaposnik M.Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

10 de agosto de 2007

Resumen

Estudiaremos en este trabajo dos clases particulares de grupos: los matriciales y aquellos quesurgen como cociente de ellos. En este proceso trataremos varias de las propiedades que los diferenciande cualquier otro tipo de grupos.

Se discutiran propiedades generales de grupos matriciales, especialmente del grupo lineal general-general linear group- que consiste de todas las matrices invertibles de un cierto orden sobre uncuerpo dado, y sus “grupos clasicos” asociados. Consideraremos, luego, ciertos grupos matricialesparticulares y estudiaremos sus propiedades.

Indice

1. Introduccion 21.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. El espacio vectorial de matrices Mn,m(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Definicion de una norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Definicion de una metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Grupos Matriciales 62.1. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Grupos reducibles y descomponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Grupos lineales especiales y generales 83.1. Grupo lineal general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1. Subgrupos de GLn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2. Teoremas de Sylow y el grupo lineal general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.3. El par BN y los subgrupos parabolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Grupo lineal especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1. Grupos lineales proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2. Transvecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.3. Teoremas de Sylow y el grupo lineal especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Algunos grupos lineales particulares 254.1. Grupo de matrices triangulares superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2. Grupos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. Grupos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1. Subgrupo ortogonal especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

4.3.2. Grupo de isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.3. Grupos ortogonales generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4. Grupos simplecticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5. Grupos unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5.1. Grupo unitario especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6. Grupos matriciales finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.6.1. S = SL2(Fq) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6.2. G = GL2(Fp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6.3. Grupos de matrices finitos en GL(n,Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7. Grupos matriciales finitamente generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5. Grupos de Lie 395.1. Espacios tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2. Los grupos matriciales como grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3. La funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. Apendice 436.1. Operaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1. Proyeccion al hiperplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.2. Producto semi-directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2. Formas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.1. Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.2. Formas Hermitianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3. Representacion de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.4. producto de kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1. Introduccion

1.1. Definiciones

La mayorıa de la terminologıa utilizada en el trabajo sera convencional, pero se iran definiendoconceptos a medida que resulte necesario. Por otro lado, utilizaremos los siguientes conceptos especıficos:

Dadas X e Y dos propiedades de grupos, diremos que un grupo G es localmente X si todosubconjunto finito de G esta contenido en un subgrupo con la propiedad X.

Diremos que G es X-por-Y si G tiene un subgrupo normal N tal que N tiene X y G/N tiene Y.

Finalmente, diremos que un grupo es localmente finito si y solo si todo subgrupo finitamentegenerado es finito.

1.2. El espacio vectorial de matrices Mn,m(K)

Sean m,n ∈ N y K un cuerpo. Llamamos Mn,m(K) al conjunto de matrices de m×n cuyas entradasestan en K. Dada A ∈ Mn,m(K) llamaremos Aij a la entrada (i, j) de A.

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Mn,m(K) es un K-espacio vectorial con la suma matricial y la multiplicacion escalar. El vector nuloes la matriz nula de m × n y la base estandar del espacio es el conjunto {Eij}ij formado por aquellasmatrices Eij que poseen un 1 en la entrada Eij y 0 en las demas entradas, para cada i, j. La dimensionde este espacio vectorial es claramente n×m.

Mn,n(K) = Mn(K) es tambien un anillo con la suma usual y la multiplicacion por matricescuadradas, cuyos elementos neutros son la matriz nula de n× n para la suma y la identidad In para elproducto. Este anillo resulta no ser conmutativo excepto cuando n = 1.

1.2.1. Definicion de una norma

Sea K = R o K = C. Podemos definir entonces una norma ‖ ‖ en Mn(K). Dado x ∈ Kn

consideramos |x| la longitud estandar, y para cada A ∈ Mn(K) tomamos el conjunto SA como

SA ={ |Ax||x| : 0 6= x ∈ Kn

}

y teniendo en cuenta que x 6= 0 tendremos que

SA = {|Ax| : x ∈ Kn, |x| = 1}

Por otro lado el conjunto {x ∈ Kn : |x| = 1} ⊆ Kn es cerrado y acotado por lo que diremos que escompacto.

Podemos definir la funcion real ‖ ‖ : {x ∈ Rn : |x| = 1} → R de modo que ‖x‖ = |Ax|. Estafuncion resulta acotada y su valor maximo es equivalente a

supSA = maxSA

Esto nos muestra que el numero real‖A‖ = maxSA

esta definido. Llamaremos a esta funcion ‖ ‖ la norma del supremo en Mn(K).

Propiedad: ‖ ‖ es efectivamente una norma.

Demostracion: Es evidente que ‖ ‖ es una funcion no negativa. Ademas, si A es no nula, debeverificarse que al menos una de sus columnas es no nula. Supongamos que es la j− esima y llamemoslaaj .

Ası, Aej = aj , lo cual implica que ‖A‖ ≥ |aj | > 0. Se concluye que ‖A‖ = 0 si y solo si A es lamatriz nula.

Para cualquier vector v con n coordenadas se verifica que (λA)v = λ(Av).Esto implica que |(λA)v| = |λ||Av| lo que claramente determina que ‖λA‖ = |λ|‖A‖.

Sean A y B matrices de y v ∈ Kn con |v| = 1. Entonces

|(A+B)v| = |Av + Bv| ≤ |Av|+ |Bv| ≤ ‖A‖+ ‖B‖

Como esto vale para todo v con las caracterısticas mencionadas, se infiere que ‖A + B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖.

3

Ya hemos demostrado todo lo que se necesita para afirmar que ‖ ‖ es norma.¦

Para una matriz real A ∈ Mn(R) ⊂ Mn(C) podrıamos pensar que tenemos dos normas distintascomo la que acabamos de definir:

‖A‖R = {|Ax| : x ∈ Rn, |x| = 1} y ‖A‖C = {|Ax|C : x ∈ Cn, |x| = 1}

Propiedad: Si A ∈ Mn(R) entonces ‖A‖R = ‖A‖C .

Demostracion: Por un lado, vemos que {x ∈ Rn, |x| = 1} ⊂ {x ∈ Cn, |x| = 1} por lo quetendremos que ‖A‖R ≤ ‖A‖C .

Sea ahora un vector z ∈ Cn tal que |z| = 1 y z = x + yi para x, y ∈ Rn. Luego, tendremos que|x|2 + |y|2 = 1 y

|Az|2 ≤ |Ax|2 + |iAx|2≤ |x|2‖A‖2

R + |y|2‖A‖2R

= (|x|2 + |y|2)‖A‖2R

= ‖A‖2R

Luego, |Az| ≤ ‖A‖R por lo que ‖A‖C ≤ ‖A‖R

Ası, podemos concluir que ‖A‖R = ‖A‖C . ¦

1.2.2. Definicion de una metrica

A partir de la norma ‖ ‖ en Mn(K) podemos definir una metrica ρ dada por

ρ(A, B) = ‖A−B‖

y utilizar la topologıa asociada a ella.

Dada una sucesion de elementos {Aj}j≥0 de Mn(K), podemos decir que converge al lımiteA ∈ Mn(K) si

‖Aj −A‖ → 0 si j →∞

Tambien podremos definir funciones continuas sobre Mn(K). Dado A ∈ Mn(K) y r > 0 llamamosdisco abierto de radio r y centro A en Mn(K) al conjunto

NMn(K)(A, r) = {B ∈ Mn(K) : ‖B −A‖ < r}

Del mismo modo, dado un subconjunto Y de Mn(K) y A ∈ Y , llamamos

NY (A, r) = {B ∈ Y : ‖B −A‖ < r} = NMn(K)(A, r) ∩ Y

Luego, un subconjunto V ⊆ Y se dice abierto en Y sii ∀A ∈ V existe δ > 0 tal que NY (A, δ) ⊆ V .

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Definicion: Dado un subconjunto Y ∈ Mn(K) y un espacio topologico X, decimos que ϕ : Y → X escontinua si para todo A ∈ Y y todo abierto U de X para el cual ϕ(A) ∈ U , existe δ > 0 tal que

B ∈ NY (A, δ) =⇒ ϕ(B) ∈ U

Nuestra definicion es equivalente a decir que ϕ es continua sii para cada abierto U de X, se satisfaceque el conjunto ϕ−1(U) ⊂ Y es abierto en Y.

Estudiemos ahora dos funciones continuas que nos seran de gran utilidad mas adelante.

Propiedad: Para 1 ≤ r, s ≤ n numeros naturales, la funcion coordenada

Coordrs : Mn(K) → K

coordrs(A) = Ars

es continua. Si la funcion f : Kn2 → K es continua, entonces su funcion asociada

F : Mn(K) → K

F (A) = f((Aij)1≤i,j≤n)

es continua.

Demostracion: Veamos como demostrar la primera parte de esta proposicion ya que luego sepuede deducir facilmente la continuidad de la funcion F1. Tomemos la base unitaria estandar de Kn,dada por ei para 1 ≤ i ≤ n. Tendremos pues

|Ars| ≤(

n∑

i=1

|Ais|2)1/2

=

∣∣∣∣∣n∑

i=1

Aisei

∣∣∣∣∣= |Aes|≤ ‖A‖

Luego, para A,A′ ∈ Mn(K) tendremos que

|A′rs −Ars| ≤ ‖A′ −A‖

Si A ∈ Mn(K) y ε > 0, luego ‖A′ −A‖ < ε implica que |A′rs −Ars| < ε, lo que muestra que Coordrs escontinua para cada A ∈ Mn(K).¦Corolario: La funcion determinante Det : Mn(K) → K y la funcion traza tr : Mn(K) → K soncontinuas.

Demostracion: La funcion f : Kn2 −→ K que a cada elemento x ∈ Kn2le asocia el determinante

de la matriz que de forma natural se corresponde con x consiste en una suma de productos de coeficientes,por lo que es continua. Si procedemos de forma similar con la traza llegaremos a una suma de coeficientes,tambien continua. Solo resta aplicar el teorema anterior.¦

1Pues resulta ser una composicion de dos funciones continuas.

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2. Grupos Matriciales

Sea n un numero natural y F un cuerpo. Llamamos grupo matricial, o grupo lineal sobre F algrupo G cuyos elementos son matrices invertibles de n× n sobre F.

Estudiaremos ahora ciertas propiedades de los grupos lineales.

2.1. Grupos libres

Definicion: un grupo G se dice libre si hay un subconjunto A de G tal que todo elemento de G puedeescribirse en forma unica como producto de finitos elementos de A y sus inversos. Al grupo libre sobreA se lo llama F [A].

Ejemplo: El grupo (Z,+) de enteros bajo la adicion es libre, tomando A = {1}.>Existe otra manera de definir a los grupos libres en funcion de homomorfismos:

Definicion: Sea el par (F, i) donde F es un grupo e i una funcion i : A → F . Se dice que F es ungrupo libre sobre A respecto de i si para todo grupo G′ y toda funcion f : A → G′ existe un unicohomomorfismo ϕ : F → G′ tal que

ϕ(i(a)) = f(a) ∀a ∈ A

Podemos representar este hecho a traves del siguiente diagrama conmutativo:

i

A −→ F

f ↘ ↙ ϕ

G′

Vemos claramente que todo grupo libre es infinito. Por otro lado, si un grupo G libre puede sergenerado por un conjunto A de elementos de G y por otro conjunto B, los conjuntos A y B tienen igualcardinalidad. Al cardinal del conjunto de generadores de G se lo llama rango del grupo libre G.

De aquı se ve claramente que dos grupos libres son isomorfos si y solo si tienen igual rango. A suvez, todo subgrupo propio no trivial de un grupo libre es libre.

Propiedad: Todo grupo libre es lineal de grado 2 en cualquier caracterıstica. Mas aun, un productolibre 2 de grupos lineales es lineal.

2.2. Grupos reducibles y descomponibles

Un grupo matricial G ≤ GL(V ) sobre un espacio vectorial V se dice reducible si existe un subespa-cio G-invariante U de V distinto de {0} y V. Si no existe dicho subespacio, se dira que G es irreducible.

2El producto libre de grupos G y H es el conjunto de elementos de la forma g1h1g2h2...grhr donde g1 y hr puedenser el elemento neutro de G o H respectivamente

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Un grupo matricial G ≤ GL(V ) se dira descomponible si V es suma directa de dos subespaciosG-invariantes. De lo contrario, se dira que es indescomponible.

Si V pudiera ser representado como suma directa de subespacios irreducibles, entonces G serıacompletamente reducible.

Teorema de Maschke: Sea G un grupo lineal finito sobre F y supongamos que la caracterıstica de Fes cero o un numero coprimo con |G|. Si G es reducible, entonces es descomponible

Existen diferentes planteos del teorema anterior. Una version relacionada con representaciones degrupos es la siguiente:

Teorema: Sea G un grupo que actua linealmente en un espacio vectorial V de dimension finita sobreun cuerpo K. Si la caracterıstica de K no divide el orden de G, la representacion V es completamentereducible.

Demostracion: Si K es el cuerpo de los reales o de los complejos, entonces V admite una formahermitiana G-invariante, digamos ( , ) : V ×V → K, que sera definida positiva. Luego, para cualquiersubespacio G-invariante W de V tendremos que V = W ⊕W⊥3 donde W⊥ representa el complementoortogonal de W respecto a la forma ( , ).¦Teorema de Clifford: Sea G un grupo lineal irreducible en un espacio vectorial V de dimension n, y seaN un subgrupo normal de G. Luego V es suma directa de N-espacios minimales W1, ..., Wd permutadostransitivamente por G. En particular, d divide a n. El grupo N es completamente reducible y los gruposlineales inducidos en Wi por N son isomorfos.

Luego, un subgrupo normal de un grupo lineal completamente reducible es completamente reducible.En general, un grupo lineal G en V tiene un grupo normal unipotente 4 U tal que G/U es isomorfo aun grupo lineal completamente reducible en V. El subgrupo U es nilpotente 5 de grado a lo sumo n− 1,donde n = dim(V ).

Teorema de Mal’cev: Si todo subgrupo finitamente generado de un grupo lineal G es completamentereducible, entonces G es completamente reducible.

Por otro lado, la imagen de la representacion de un grupo es un grupo matricial, y ası aplicaremoslas mismas descripciones de grupos matriciales para las representaciones ρ : G → GL(V ). El ultimoteorema se podrıa extender para mostrar que cualquier grupo localmente finito de caracterıstica cero escompletamente reducible.

3Esto vale ya que la forma ( , ) es no degenerada y a su vez W⊥ resulta ser G-invariante.4 Un grupo lineal se dice unipotente si todos sus elementos lo son. Un grupo lineal unipotente es conjugado de un

grupo de matrices triangulares superiores.5 Una matriz se dice nilpotente si todos sus autovalores son 0. Otra forma de definir una matriz nilpotente es pidiendo

que exista una potencia de esta que sea la matriz nula.

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3. Grupos lineales especiales y generales

3.1. Grupo lineal general

Sea F un cuerpo de dimension n, para n natural positivo. Llamamos grupo lineal general GLn(F )al grupo de matrices invertibles de n× n con entradas en F y la multiplicacion matricial usual. Si V esun espacio vectorial de dimension n sobre un cuerpo F , llamamos GL(V ) al grupo de transformacioneslineales inversibles de V. Esto es,

GL(V ) = {ϕ : V → V | ϕ es lineal e inversible}

Propiedad: GLn(F ) es un grupo.

Demostracion: La multiplicacion entre matrices usual es asociativa. El elemento unidad es In, lamatriz de n× n que tiene 1 en su diagonal y ceros en las demas entradas. Finalmente, las matrices soninversibles por eleccion. ¦

Ejemplo: Sea K = Z. Luego si A ∈ GLn(Z) tendremos que detA = ±1 >.

Propiedad: Sea el cuerpo K = R o K = C. Luego, GLn(K) ⊂ Mn(K) es un conjunto abierto.

Demostracion: Sabemos que la funcion Det : Mn(K) → K es continua. Luego, dado un conjuntocerrado C ∈ K sabemos que det−1(C) sera tambien cerrado. Ası, en nuestro caso tendremos que

GLn(K) = Mn(K)− det−1{0}

que es abierto pues {0} es cerrado.¦Propiedad: GLn(F ) tiene infinitos elementos cuando F es infinito.

Demostracion: Sea a ∈ F , a 6= 0. Luego a ·In es una matriz invertible de n×n con inversa a−1.In.De hecho, el estas matrices forman un subgrupo de GLn(F ) isomorfo a F× = F/{0} ¦.Propiedad: GL(V ) ∼= GLn(F ).

Demostracion: Recordemos que, fijada una base del espacio vectorial V, cada transfrormacionlineal esta unıvocamente representada por una matriz con entradas en K, y cada matriz de GLn(F )representa una unica transfromacion lineal de GL(V ) ¦.

Por otro lado, esta claro que si F es un cuerpo finito, GLn(F ) tendra solamente finitos elementos.Sera muy interesante preguntarse cuantos elementos tendrıa en este caso. Antes de estudiar esta cuestion,veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1: Sea n = 1. Luego GLn(Fq) ∼= F×q que tiene q − 1 elementos. >

Ejemplo 2: Sea n = 2. Sea M =(

a bc d

). Luego, para que M resulte invertible, es necesario y

suficiente que ad 6= bc. Si a, b, c y d son distintos de cero, podemos fijar a, b y c arbitrariamente, y dpodra tomar cualquier valor excepto a−1bc: Tendremos pues (q − 1)3(q − 2) matrices.

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Si exactamente una de las entradas es 0, luego las otras tres entradas pueden ser cualquier numerono nulo, dando un total de 4(q − 1)3 matrices.

Finalmente, si exactamente dos de las entradas son nulas, estas tendran que ser opuestas para quela matriz resulte invertible. Las otras dos solo deben ser no nulas, dando un total de 2(q− 1)2 matrices.

Luego, la cantidad de elementos de GL2(Fq) sera:

(q − 1)3(q − 2) + 4(q − 1)3 + 2(q − 1)2

= (q − 1)2[(q − 1)(q − 2) + 4(q − 1) + 2]

= (q − 1)2[q2 + q]

= (q − 1)[q2 − q] >

En general, determinar la cantidad de elementos de GLn(F ) calculando directamente el determinantey viendo luego que valores de las entradas lo anularıan es un metodo complicado y que llevarıa a unprobable error.

Un metodo mas util para determinar si una matriz es invertible, y con ello para calcular la cantidadde elementos de GLn(F ), es teniendo en cuenta que su determinante sera no nulo si y solo si las filasde la matriz son linealmente independientes.

Proposicion: El numero de elementos de GLn(Fq) es

n−1∏

k=0

(qn − qk)

Demostracion: Calcularemos la cantidad de matrices de n × n cuyas filas son linealmente inde-pendientes.

Para esto, construiremos una matriz de la siguiente manera: la primera fila puede ser cualquier cosasalvo nula, por lo que habra qn− 1 posibilidades. La segunda fila debe ser linealmente independiente dela primera, lo que significa que no sea un multiplo de ella. Como hay q − 1 multiplos de la primer fila,las posibilidades para la segunda se reducen a qn − q.

En general, la i − esimafila debe ser independiente de las i− 1 anteriores, lo que significa que nopuede ser una combinacion lineal de las primeras i − 1 filas. Como hay qi−1 combinaciones lineales delas primeras i− 1 filas, habra qn − qi−1 posibilidades para la i− esima fila.

Una vez construida la matriz de este modo, estaremos seguros de que sus filas son linealmenteindependientes y, con ello, de que la matriz es invertible (y ademas cualquier matriz de n × n condeterminante no nulo puede ser armada de esta manera).

Luego, la cantidad de matrices inversibles sera

(qn − 1)(qn − q), ..., (qn − qn−1) =n−1∏

k=0

(qn − qk) ¦

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Teorema: Dadas dos bases ordenadas cualesquiera del espacio vectorial V, existe un unico elemento deGLn(V ) que lleva la primera a la segunda.

Demostracion: El elemento del que hablamos es la matriz de cambio de base que bien sabemos esunica.¦

A partir de este teorema se obtiene otro metodo para hallar el orden de GLn(V ) : este sera igual alnumero de bases ordenadas de GF (qn) 6, es decir:

|GLn(V )| =n−1∏

i=0

(qn − qi) = qn(n−1)/2n−1∏

i=0

(qn−i − 1)

Para seguir estudiando GLn(V ) introduciremos la nocion de centro de un grupo:

Llamamos centro de un grupo G, Z(G), al conjunto de los elementos h ∈ G tales que ∀g ∈ G,gh = hg.

Propiedad: Z(G) es un subgrupo de G.

Demostracion: El elemento unidad 1 esta en Z(G) pues ∀g ∈ G, 1 · g = g · 1 = g . Por otro lado,sean h1, h2 ∈ G. Luego, ∀g ∈ G tendremos que:

h1h2g = h1(h2g) = h1(gh2) = (h1g)h2 = gh1h2

por lo que h1h2 ∈ Z(G). Finalmente, si h ∈ Z(G), tendremos entonces que ∀g ∈ G

hg = gh

h−1hgh−1 = h−1ghh−1

gh−1 = h−1g

por lo que h−1 ∈ Z(G).¦Estamos ahora en condiciones de estudiar el centro de GLn(V ):

Proposicion: Z(GLn(V )) = {a · In|a ∈ F×}Demostracion: Para que M este en Z(GLn(V )) debe conmutar con todo N ∈ G. En particular,

M conmuta con las matrices elementales.

Si multiplicamos M por izquierda con una matriz elemental estaremos realizando algo equivalente auna operacion de fila elemental. El multiplicar a M por derecha por una matriz elemental sera equivalentea realizar una operacion de columna elemental.

Por ejemplo, multiplicar la i − esima fila de M por a nos dara la misma matriz que al multiplicarla i− esima columna de M por a. Esto implica que la matriz M debe ser diagonal.

6 Galois field GF(q) es F cuerpo finito de orden q

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Luego, como intercambiar la i − esima y j − esima filas de M nos da la misma matriz que alintercambiar sus i− esima y j − esima columnas, tenemos que la i− esima entrada en la diagonal deM debe ser igual a la j − esima entrada en la diagonal, para todo i, j.

Teniendo en cuenta estos datos, podemos afirmar que M debe ser un multiplo de In. Por otro lado,es facil ver que todos los multiplos de In conmutan con los elementos N ∈ G ¦.

3.1.1. Subgrupos de GLn(K)

Desde ahora llamaremos grupo matricial a un grupo G ≤ GLn(K) que sea tambien subespaciocerrado. Esto representa una variacion con respecto a la definicion presentada en la seccion 2, puesahora se esta exigiendo una caracterıstica topologica.

Propiedad: Sea G ≤ GLn(K) un subgrupo matricial. Luego un subgrupo cerrado H ≤ G es un subgrupomatricial de GLn(K).

Demostracion: Sea {An}n≥0 una sucesion en H con lımite en GLn(K). Como An ∈ G ⊆ H ∀n, yG es cerrado en GLn(K), tendremos que el lımite de la sucesion esta en G. A su vez, como H es cerradoen G, {An}n≥0 tendra su lımite en H: resulta entonces que H es cerrado en GLn(K) y con ello, H es unsubgrupo matricial de GLn(K).¦

Este resultado puede ser generalizado:

Propiedad: Sea G un grupo matricial y sean H ≤ K, K ≤ G subgrupos matriciales. Luego, H es unsubgrupo matricial de G.

Ejemplo: Veamos ahora un ejemplo de subgrupo matricial. Consideraremos a GLn(K) como unsubgrupo de Gn+1(K) identificando las matrices de n× n dadas por A = [aij ] con

[A 00 1

]=

a11 . . . a1n 0...

. . ....

...an1 . . . ann 00 . . . 0 1

Se puede verificar facilmente que GLn(K) es cerrado en GLn+1(K), por lo que GLn(K) es unsubgrupo matricial de GLn+1(K). >

3.1.2. Teoremas de Sylow y el grupo lineal general

Estudiaremos ahora algunas relaciones entre los teoremas de Sylow y el grupo lineal general. Recorde-mos primero lo que afirman dichos teoremas:

Primer teorema de Sylow: Sea G un grupo de orden n y p un primo tal que p|n, de modo quepodemos escribir n = pam donde p no divide a m. Luego, G tiene un subgrupo S de orden pa, llamadop-subgrupo de Sylow de G.

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Segundo teorema de Sylow: Los p-subgrupos de Sylow de un grupo G son conjugados.

Tercer teorema de Sylow: Sea s el mumero de p-subgrupos de Sylow de un grupo G; Sea |G| = pamdonde p no divide a m. Luego, s divide a m y s ≡ 1 (p).

Recordemos ahora que habıamos estudiado el orden del grupo lineal general GLn(Fq) y habıamosencontrado que |GLn(Fq)| = qn(n−1)/2

∏n−1i=0 (qn−i − 1). Luego, si q = pr, tendremos que GLn(Fq) tiene

un p-subgrupo de Sylow de orden qn(n−1)/2. Veamos como podemos describir uno de estos subgrupos.

Proposicion: Sea q = pr; Sea MTn(Fq) el conjunto de matrices triangulares superiores con 1 en susdiagonales. Luego, MTn(Fq) es un p-subgrupo de Sylow de GLn(Fq).

Demostracion: Veamos primero que MTn(Fq) es un subgrupo.

Se ve claramente que la identidad es un elemento de MTn(Fq). Sean A y B ∈ MTn(Fq).

Si i > j valdra que

(AB)ij =n∑

k=1

AikBkj =i−1∑

k=1

AikBkj +n∑

k=i

AikBkj

Como A y B ∈ MTn(Fq), Aik = 0 para k entre 1 e i − 1 y Bkj = 0 para k ≥ i > j , por lo que lasumatoria es nula. Por lo tanto, AB es matriz triangular superior. A su vez

(AB)ii =n∑

k=1

AikBki = AiiBii +∑

k<i

AikBki +∑

k>i

AikBki = 1 +∑

k<i

0.Bki +∑

k>i

Aik · 0 = 1

∴ AB ∈ MTn(Fq)

Si se quiere conocer la inversa de A, se puede ver facilmente que la adjunta de A es triangularinferior con unos en la diagonal. Como detA = 1, se concluye que A−1 ∈ MTn(Fq).

Nos resta demostrar que el orden de MTn(Fq) es qn(n−1)/2. Nuestras matrices tienen n(n − 1)/2entradas estrictamente por arriba de la diagonal y estas entradas pueden ser cualquier elemento de Fq

por lo que tendremos un total de qn(n−1)/2: tendremos ası que el orden de nuestro subgrupo coincidecon esa cifra, como estabamos buscando. ¦

Se ve de esta demostracion que otro p-subgrupo de Sylow de GLn(Fq) es el conjunto de matricestriangulares inferiores que poseen 1 en las entradas de la diagonal. Como para n ≥ 2 estos dos subgruposno son iguales 7 tendremos que el numero de p-subgrupos de Sylow de GLn(Fq) sera mayor que 1 y porello deducimos que es al menos p + 1. Notemos que p + 1 divide q2− 1, por lo que podrıa ser el numerode p-subgrupos de Sylow de GLn(Fq). De todos modos, s podrıa llegar a tener otro valor pero, comoconocemos uno de los p-subgrupos, nos bastara conjugarlo para encontrar a los demas.

7Cuando n = 1, p no divide el orden de GLn(Fq)

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Ejemplo: Si n = 2, tendremos que |GL2(Fq)| = q(q − 1)2(q + 1) y |MTn(Fq)| = q >

Pero tratemos de encontrar una forma mas eficiente de conocer el numero s.

Proposicion: El numero s de p-subgrupos de Sylow de GLn(Fq) es [n!]q.

Demostracion: Llamemos X al conjunto de p-subgrupos de Sylow del grupo GLn(Fq). Por elsegundo teorema de Sylow, sabemos que si hacemos actuar a X sobre GLn(Fq) por conjugacion, laaccion es transitiva. Llamemos H = MTn(Fq) y sea N el normalizador de H,8 Luego, tendremos que

|GLn(Fq)| = |N | · |X|

Si pudieramos entonces encontrar al normalizador de H y contar sus elementos, tendrıamos unamanera de encontrar el numero s de p-subgrupos de Sylow de GLn(Fq)9.

Veamos que el normalizador de H es el grupo de matrices triangulares superiores sin ceros en susdiagonales, que tiene (q − 1)qn(n−1)/2 elementos.

Sea A triangular superior y B ∈ H. Entonces ABA−1 es triangular superior al ser producto de tresmatrices de esa forma. Y es facil verificar que

(ABA−1)ii = AiiBiiA−1ii = Aii(A−1)ii

(A−1)ii = (adjA)ii(detA)−1 =n∏

j=1

Ajj(Aii

n∏

j=1

Ajj)−1 = A−1ii

∴ (ABA−1)ii = 1 y ABA−1 ∈ H.

Se tiene entonces que AHA−1 ⊂ H y |AHA−1| = |H|, por lo que debe valer la igualdad y por endeA es elemento del normalizador.

Ahora supongamos que A esta en el normalizador y veremos que entonces debe ser triangularsuperior.

Sea C = A−1. Luego debe ocurrir que ABC ∈ H ∀B ∈ H. En particular, esto es valido para lasmatrices Bij = I + Eij , i < j, donde Eij es la matriz con sus entradas todas nulas excepto la ij, cuyovalor es 1.

Para i < n, notar que Bin.C es una matriz que coincide con C, exceptuando que a la i− esima filase le suma la enesima. Veamos que Cn1 no puede ser distinto de 0. Si lo fuera, notar que

[A.(BinC)]i1 = (n∑

k=1

AikCk1) + Ai1Cn1 = (AC)i1 + Ai1Cn1 = Ii1 + Ai1Cn1

Como ABinC ∈ H, su primera columna coincidira con la de la identidad, por lo que Ai1Cn1 = 0 ∀i.Como estamos suponiendo que Cn1 6= 0, debe ocurrir que Ai1 = 0, i = 1, ..., n. Pero esto indicarıa quela primera columna de A serıa el vector nulo, lo cual es absurdo porque A es invertible. Luego, Cn1 = 0.

8Esto es, N = {g ∈ GLn(Fq) | gHg−1 = H}.9Notemos que este razonamiento vale para cualquier grupo finito G.

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Veremos que para cualquier otro j 6= n Cnj = 0.

Fijemos j 6= n. Se puede ver facilmente que

[A.(BinC)]jj = (n∑

k=1

AjkCkj) + AjiCnj = (AC)jj + AjiCnj = Ijj + AjiCnj = 1 + AjiCnj

Como ∀i < n A.Bin.C ∈ H, (A.Bin.C)jj = 1, por lo que AjiCnj = 0 ∀i < n y, si suponemos queCnj 6= 0, Aji = 0 ∀i < n.

Entonces [A.(BinC)]j1 = Ajn.Cn1 y esto debe ser 0 porque ABinC ∈ H. Luego Ajn = 0.

Juntando todo se concluye que todas las entradas de la j-esima fila de A son ceros, lo que es absurdoy por la tanto debe valer que Cnj = 0 ∀j < n.

Podrıamos seguir con manipulaciones de este tipo, de las cuales nos abstendremos, para concluirque C es triangular superior y, por ende, C−1 = A tambien lo es.

Ası, efectivamente, el normalizador de H consiste de todas las matrices triangulares superiores.

Luego

s =qn(n−1)/2

∏nk=1(q

k − 1)qn(n−1)/2(q − 1)n

=1

(q − 1)n

n∏

k=1

(qk − 1)

=n∏

k=1

qk − 1q − 1

=n∏

k=1

(qk−1 + qk−2 + ... + 1)

= [n!]q ¦

Sea ahora V un espacio vectorial de dimension n sobre Fq y consideremos GL(V ).

Podemos ver que GL(V ) y GLn(Fq) son grupos isomorfos pues podemos definir el siguiente isomor-fismo entre ambos. Sea {e1, ..., en} una base de V y consideremos las transformaciones lineales de GL(V )respecto a esa base. Si elegimos ahora dos bases distintas B1 y B2 podemos componer los isomorfismosobtenidos de cada base, para tener un isomorfismo ψ : GLn(Fq) → GLn(Fq) dado por

ψ

GLn(Fq) −→ GLn(Fq)φ1 ↘ ↗ φ2

GL(V )

Ejemplo: Veamos que es lo que hace nuestro isomorfismo ψ en un caso particular.

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Sea A =(

1 20 1

)∈ GL2(F5). Sea V un espacio vectorial de dimension 2 sobre F5. Elegimos

una base de V dada por e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1). Si pensamos ahora a A como la matriz de unatransformacion lineal T respecto a la base B1 = {e1, e2} de V , podremos mandar A por T pidiendo que

T (e1) = e1

T (e2) = 2e1 + e1

Esto determina unıvocamente a T ∈ GL(V ). Tomemos ahora una nueva base B2 = {e1+e2, e1−e2}.Como

T (e1 + e2) = 3e1 + e2 = 2(e1 + e2) + (e1 − e2)T (e1 − e2) = −e1 + e2 = −(e1 − e2)

La matriz de T en esta nueva base sera

T =(

2 −11 0

)

Luego, en nuestro isomorfismo ψ, la matriz(

1 20 1

)es mandada a

(2 −11 0

)>.

Consideremos ahora al subgrupo H = ψ(MTn(Fq)) de GLn(Fq). En primer lugar, observamos queH es un p-subgrupo de Sylow de GLn(Fq). Considerando distintos cambios de base, podremos encontrardistintos subgrupos H1, H2, ..., todos isomorfos a MTn(Fq).

Proposicion: Todos los p-subgrupos de Sylow de GLn(Fq) son isomorfos mediante un isomorfismo decambio de base.

Proposicion: Sea T una transformacion lineal de V en V, y sea A la matriz que representa a Trespecto a una base particular B. Luego las matrices A’ que representan a T respecto a otras bases son,para P ∈ GLn(Fq), de la forma

A′ = PAP−1

3.1.3. El par BN y los subgrupos parabolicos

Definicion: Fijemos un conjunto S y sea

m : S × S −→ {1, 2, 3, ...,∞}una funcion tal que m(s, s) = 1 para todo s ∈ S y de manera que m(s, t) = m(t, s) para todo s, t ∈ S.

Un Sistema de Coxeter es un par (W,S) donde S es un conjunto de generadores de un grupo W,y W tiene la presentacion

s2 = 1 ∀s ∈ S

(st)m(s,t) = 1 ∀s, t ∈ S

Por convencion, m(s, t) = ∞ significa que no se impone ninguna relacion. Notar que si m(s, t) = 2entonces st = ts, ya que s2 = 1 y t2 = 1.

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Diremos, dadas estas condiciones, que W es un grupo de Coxeter , aun aunque esto represente unabuso de lenguaje.

Definicion: Sea G un grupo con un generador S. La longitud `(g) de un elemento g ∈ G con respectoal conjunto generador S es el menor entero n tal que g tiene una expresion

g = s1...sn

con cada si ∈ S. Cualquier expresiong = s1...sn

con n = `(g) se dice reducida .

Definicion: Sea G un grupo. Supongamos que tenemos subgrupos B y N tales que H = B⋂

N esnormal en N. Sea W = N/H y supongamos que S es un conjunto de generadores de W.

Para ω ∈ W , la notacion BωB significara que se elige n ∈ N tal que nH = ω en W=N/H, y entoncesBωB = BnB, notando que lo ultimo no depende en la eleccion de n, sino que solamente del coset.

La dupla B, N (o mas propiamente el cuadruple (G,B,N,S)) es un par BN en G si:

(W,S) es un sistema de Coxeter.

Descomposicion de Bruhat-Tits: G =⋃

w∈W BωB (disjunta).

B〈S′〉B =⋃

ω∈〈S′〉BωB es un subgrupo de G, para cada subconjunto S’ de S.

BωB ·BsB = BωsB si `(ωs) > `(ω), para todo s ∈ S, ω ∈ W .

BωB ·BsB = BωsB⋃

BωB si `(ωs) < `(ω).

Para todo s ∈ S, sBs−1 * B.

El objetivo de esta seccion es demostrar que al grupo lineal general podemos darle esta estructura.Para ello, llamemos B al grupo de las matrices triangulares superiores invertibles, H al grupo de matricesdiagonales y N al grupo de matrices monomiales (aquellas con un unico elemento no nulo en cada filay columna). Es evidente que B

⋂N = H.

Propiedad 1: H ¢ N .

Demostracion: Sea A ∈ N y C ∈ H. Veamos que ACA−1 ∈ H.

(ACA−1)ij =n∑

k=1

Aik(CA−1)kj =n∑

k=1

AikCkkA−1kj

Juntando que A y A−1 son inversas la una de la otra y que ambas son monomiales se puede deducirque la cantidad de arriba equivale a Cmmδij , para algun m entre 1 y n.

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Por lo tanto ACA−1 ∈ H y entonces se concluye que H ¢ N .¦

Propiedad 2: N/H es isomorfo al grupo de simetrıas Sn.

Demostracion: Sea A ∈ N . Consideremos el coset AH. Es facil ver que este coincide con CH,donde C se obtiene de A al reemplazar todos sus elementos no nulos por unos, lo cual es equivalente amultiplicar a A por derecha por una matriz diagonal (elemento de H) facil de determinar.

Se tendra entonces que existe σ ∈ Sn tal que C = (eσ(1)eσ(2)...eσ(n)), donde los vectores canonicosindican las columnas. Rebauticemos a C como Cσ.

No es difıcil verificar que la funcion f : Sn −→ N/H tal que f(σ) = CσH es un isomorfismo.¦

A partir de ahora usaremos el termino σ para denotar tanto a la permutacion como a la matrizCσ, quedando el significado claro de acuerdo con el contexto. Y de esta manera Sn tambien puede serconsiderado un grupo matricial.

Propiedad 3: Sea si la transposicion (i, i + 1) en Sn, i = 1, ..., n − 1. Entonces s1, ..., sn−1 generan aSn. Es mas, podemos transformar a Sn en un grupo de Coxeter teniendo en cuenta que s2

i = 1 (parai = 1, ..., n− 1), (sisi+1)3 (para i = 1, ..., n− 1); y (sisj)2 = 1 si |j − i| > 1.

Propiedad 4: G=BNB.

Demostracion: Sea A ∈ G. A traves de operaciones de filas y columnas intentaremos reducirla auna matriz de N. El procedimiento es el siguiente:

Considerar la primera columna de A. Como A es invertible poseera al menos un elemento no nulo.De todos los elementos distintos de cero, consideremos el que ocupa la posicion mas baja en la matriz.Supongamos que esta en la fila s1. Procedamos a restarle a todas las filas s tales que s > s1 un multiplode la fila s1 de manera que obtengamos una matriz A(1) para la cual A

(1)s1 = 0 ∀s > s1. Consideremos

ahora la submatriz A’ que se obtiene de A(1) al eliminar la columna 1 y la fila s1. Consideremos laprimera columna de A’. Como A(1) es invertible, la primera columna de A’ tendra al menos un elementono nulo. Supongamos que el mas bajo esta en la fila s2 de A(1). Realizar las mismas operaciones de filasque antes y continuar ası hasta cubrir todas las columnas, resultando ası una matriz A(2).

Todas las operaciones realizadas hasta el momento son equivalentes a multiplicar por izquierda a Apor matrices elementales triangulares. Notar que σ(i) = si, i = 1, ..., n, es una permutacion.

Las operaciones a continuacion seran las siguientes:

Notar que A(2)ij es 0 para todo j < σ−1(1). Restarle a todas las columnas s tales que s > σ−1(1)

un multiplo de la columna σ−1(1) de modo que al terminar el proceso se tenga una matriz nueva A(3)

con A(3)1s = 0 ∀s > σ−1(1). Repetir operaciones similares con las columnas restantes. Todas ellas son

equivalentes a multiplicar por derecha a A(2) por matrices elementales triangulares. Al fin del proceso seobtiene una matriz monomial. Multipliquemosla por una matriz diagonal para que todos sus coeficientesno nulos sean unos. Se puede ver ası que el resultado final es la matriz Cσ, que es un elemento de N.

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Como conclusion, podemos obtener dos matrices triangulares superiores B1 y B2 tales que B1AB2 = Cσ.y

B1AB2 = Cσ =⇒ A = B−11 CσB−1

2 =⇒ A ∈ BNB

∴ G = BNB.¦

Propiedad 5: G =⋃

σ∈SnBσB. Es mas, esta union es disjunta y ası se obtienen n! cosets dobles

distintos.

Demostracion: Que la union nos da G es una consecuencia de la propiedad anterior. Veamos quees disjunta:

Supongamos que existen σ y τ en Sn tales que BσB⋂

BτB 6= ∅. Entonces existen B1, B2, B3, B4

triangulares superiores tales que B1σB2 = B3τB4. Esto ultimo es equivalente a σB2B−14 τ−1 = B−1

1 B3.Ademas

(σB2B−14 τ−1)ii = {(eσ(1)eσ(2)...eσ(n))[B2B

−14 (eτ−1(1)eτ−1(2)...eτ−1(n))]}ii =

{

eσ−1(1)...

eσ−1(n)

[B2B

−14 (eτ−1(1)eτ−1(2)...eτ−1(n))]}ii = [B2B

−14 (eτ−1(1)eτ−1(2)...eτ−1(n))]σ−1(i),i =

(B2B−14 )σ−1(i)τ−1(i) = (B−1

1 B3)ii 6= 0 i = 1, ..., n

Pero como B2B−14 es triangular superior, entonces σ−1(i) ≤ τ−1(i) i = 1, ..., n. Y no es difıcil ver

que esto ocurre si y solo si σ−1 = τ−1, o sea, σ = τ . Esto descarta que la union no sea disjunta.¦

Propiedad 6: Para cualquier ω ∈ Sn e i = 1, ..., n− 1, tenemos que BωB ·BsiB ⊆ BωB⋃

BωsiB.

Esquema de la demostracion: Consideremos una matriz de la forma ωB1si.

ωB1 = IωB1 es un elemento de BωB. Si quisieramos realizar las operaciones de filas descritas enla propiedad 4 verıamos que no hay nada que hacer (pues ω no esta siendo multiplicada a izquierdapor una matriz triangular superior distinta de la identidad). Esto significa que los elementos no nulosinferiores considerados son apreciables a simple vista para cualquier columna. Multiplicar a ωB1 por si

por derecha equivale a intercambiar las columnas i e i+1. Si al resultado lo sometemos a las operacionesde filas descritas en la propiedad 4 (para encontrar σ tal que ωB1si ∈ BσB), notamos que las operacionessiguen siendo las mismas para las primeras i− 1 columnas. Luego hay dos posibilidades:

En la iteracion correspondiente a la columna i, la posicion mas baja de los elementos no nulossigue siendo la misma en comparacion con ωB1: entonces ωB1si ∈ BωB.

Se produce un cambio en la iteracion i: entonces ωB1si ∈ BωsiB.

En resumen, se concluye que ωBsi ⊆ BωB⋃

BωsiB y esto implica el resultado que querıamosdemostrar.¦

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Ejemplo: En GL4(R) sean

ω =

0 0 0 10 0 1 01 0 0 00 1 0 0

y A =

0 0 0 10 0 1 21 3 6 70 1 1 5

∈ BωB

En este caso As1 =

0 0 0 10 0 1 23 1 6 71 0 1 5

. Si a la fila 3 le restamos 3 veces la fila 4 obtenemos la matriz

0 0 0 10 0 1 20 1 3 −81 0 1 5

. Ademas ωs1 =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

, lo cual nos permite concluir que As1 ∈ Bωs1B.

Pero si multiplicamos a A por s2 obtenemos la matriz

0 0 0 10 1 0 21 6 3 70 1 1 5

. Restandole a la fila 2 la

fila 4 y a la fila 3 seis veces la fila 4 obtenemos

0 0 0 10 0 −1 −31 0 −3 −230 1 1 5

, lo cual implica que As2 ∈ BωB. >

Propiedad 7: Sea σ ∈ Sn. Entonces `(σsi) > `(σ) ⇐⇒ σ(i) < σ(i + 1).

Demostracion: Notar primero que no puede ocurrir que `(σsi) = `(σ) debido a las propiedades queconocemos sobre la paridad de permutaciones (en particular, multiplicar por una transposicion cambiala paridad).

Supongamos que σ(i) < σ(i + 1). Esto equivale a σsi(i) > σsi(i + 1).

Nuestra estrategia sera multiplicar por derecha a σsi por transposiciones hasta llegar a la per-mutacion identidad. Si hacemos esto en k pasos, veremos que hay una forma similar de hacer lo mismocon σ en k − 1 pasos. Si a una permutacion τ la representamos a traves del vector (τ(1)...τ(n)), lo queestamos haciendo es intercambiar entradas contiguas hasta llegar a (1 2 3 4). Sea ahora τ = σsi. Comoσsi(i) > σsi(i + 1), si estamos interesados en llegar a (1 2 3 4), en por lo menos uno de los cambiosefectuados esos dos valores intercambian posiciones. Si prescindimos de este movimiento, se puede verque el metodo sirve para transformar a σ en la identidad (en un paso menos). Ahora, transformar a unapermutacion en la identidad de esa manera equivale a multiplicarla por su inversa. De esto se deduceque `((σsi)−1) > `(σ−1). Pero no es difıcil ver que, para cualquier permutacion τ , `(τ) = `(τ−1).

∴ `(σsi) > `(σ).

Recıprocamente, si σ(i) > σ(i + 1), se tendra que σsi(i) < σsi(i + 1), lo cual implica por lo quevimos que `(σsisi) = `(σ) > `(σsi).¦

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Ejemplo: En S4

(4 1 3 2) = (1 2)(3 4)(2 3)(3 4) = (1 2 3 4)

Notemos que en un principio el 3 esta antes que el 2, situacion que es revertida cuando multiplicamospor la transposicion (3 4). Razonando como en la demostracion anterior, si a (4 1 3 2) la multiplicamospor (3 4) obtenemos una permutacion de longitud uno menos. De hecho:

[(4 1 3 2)(3 4)](1 2)(2 3)(3 4) = (4 1 2 3)(1 2)(2 3)(3 4) = (1 2 3 4) >

Propiedad 8:

1. BωB ·BsiB = BωsiB si `(ωsi) > `(ω).

2. BωB ·BsiB = BωsiB⋃

BωB si `(ωsi) < `(ω).

Demostracion:

1. `(ωsi) > `(ω) implica que σ(i) < σ(i + 1).

Tomemos una matriz de la forma ωB1 ∈ BωB. Notemos que la primera columna de ωB1 tieneuna unica entrada no nula en la fila ω(1). Dejando a esta ultima de lado, la segunda columna tiene ununico elemento no nulo en la fila ω(2) y ası sucesivamente. Procedemos a intercambiar las filas i e i + 1(calcular ωB1si). Notar que ahora la columna i, dejando de lado las filas ω(1), ω(2), ..., ω(i − 1), tieneun elemento no nulo en la fila ω(i + 1) > ω(i).

Esto significa que, cuando nos disponemos a realizar las operaciones de filas descritas en la propiedad4, no tenemos que cambiar nada en las columnas 1, ..., i−1, pero descendera la posicion no nula inferiorde la columna i. Y ya sabemos que esto implica que ωB1si ∈ BωsiB. Por lo tanto ωBs1 ⊆ BωsiB. Enconsecuencia BωB · BsiB ⊆ BωsiB, y ya sabıamos que la otra inclusion tambien es verdadera. Luegovale la igualdad.

2. `(ωsi) > `(ω) implica que σ(i) > σ(i + 1).

Volvamos a tomar una matriz de la forma ωB1 ∈ BωB.

Consideremos la matriz ω + Eω(i),(i+1) = B1ωB2 ∈ BωB. Aquı, si se pretenden realizar las cons-abidas operaciones de filas, las primeras i − 1 columnas permanecen inalteradas y tampoco cambia laposicion no nula inferior de la columna i (en parte debido a que σ(i) > σ(i + 1)). Sabemos que estosignifica que B1ωB2si ∈ BωB. Por lo tanto hay un elemento en BωB que tambien esta en BωB ·BsiB.Y no es difıcil ver entonces que todo elemento en BωB esta en BωB ·BsiB. Se puede concluir entoncesque BωsiB

⋃BωB ⊆ BωB · BsiB. Pero como sabemos que tambien vale la inclusion en el sentido

contrario, se concluye que la igualdad es valida.¦

Ya hemos probado casi todas las propiedades necesarias para probar que el grupo lineal especialtiene una estructura de par BN. Todas aquellas que falten son tambien verificables, pero omitiremos lasdemostraciones.

20

Los subgrupos B y W=N/H reciben el nombre de subgrupo de Borel y grupo de Weyl de Grespectivamente.

Propiedad 9: Sea K un subgrupo de GLn(F ) que contiene a B. Si σ ∈ K tiene la expresion reducidaσ = si1si2 ...sik , entonces sij ∈ K ∀j ≤ k.

Demostracion: La haremos por induccion sobre `(σ). Si `(σ) = 1 el resultado es evidente. Supong-amos ahora que la propiedad vale para toda σ tal que `(σ) = k − 1.

Notar que `(σsik) < `(σ), lo cual implica que BσB ·BsikB⋂

BσB 6= ∅ y esto nos permitira escribira sik en funcion de matrices triangulares y de σ. Por lo tanto sik ∈ K. Esto implica que σsik ∈ K. Comoesta es una permutacion de longitud k − 1 (si `(σsi) fuera menor que k − 1 se llegarıa al absurdo deque `(σ) < k)) se puede aplicar la hipotesis inductiva para concluir que las otras k − 1 transposicionestambien estan en K.¦

Toda la teorıa desarrollada nos permitira demostrar un resultado muy importante.

Teorema: Cualquier subgrupo de G que contenga a B es de la forma

PI = 〈B, si : i ∈ I〉Para algun conjunto I de {1,2,...,n-1}.

Demostracion: Sea K ≤ G tal que B ⊆ K. Sea I el conjunto de los ındices i para los cualessi ∈ K. Veamos que K = PI . Es evidente que PI ⊂ K. Supongamos que la inclusion es estricta.Tomemos entonces A ∈ K − PI . Esto significa que toda expresion σ = si1si2 ...sik debe contener unatransposicion sij tal que ij 6∈ I. En particular, esto ocurrira para toda expresion reducida, llegandose ala conclusion de que sij ∈ K, lo cual contradice la definicion de I.

∴ K = PI .¦No es difıcil ver que cada PI es distinto de cualquier otro, por lo que se tienen exactamente 2n−1

subgrupos que contienen a las matrices triangulares superiores. Los PI reciben el nombre de gruposparabolicos asociados al par BN.

3.2. Grupo lineal especial

Estudiaremos ahora un subgrupo muy interesante de GLn(V ). La funcion determinante,det : GLn(F ) → F×,10 es un homomorfismo.

Definimos el grupo lineal especial S = SLn(F ) como el nucleo11 del homomorfismo det. Dicho deotro modo,

SLn(F ) = {M ∈ GLn(F ) | det(M) = 1}

Propiedad: Sea el cuerpo K = R o K = C. Luego, SLn(K) ⊂ Mn(K) es un conjunto cerrado.10Donde F× es el grupo multiplicativo de F, de orden q − 111Tambien llamado kernel.

21

Demostracion: Sabemos que la funcion Det : Mn(K) → K es continua. Luego, dado un conjuntocerrado C ∈ K sabemos que det−1(C) sera tambien cerrado. En nuestro caso tendremos que

SLn(K) = det−1{1} ⊂ GLn(K)

que es cerrado en Mn(K) y GLn(K) pues {1} es cerrado en K.¦Ejemplo: Estudiemos SL1(Q) como subgrupo de GL1(Q) sujeto a las restricciones

a21 + b2

1 + a22 + b2

2 = 1

Este grupo es geometricamente equivalente a la esfera de 3 dimensiones en R4

SL1(Q) ∼ S3 ⊂ R4 >

Sera interesante, como hicimos en el caso de GLn(F ), estudiar la cantidad de elementos que poseeSLn(F ).

Proposicion: El numero de elementos de SLn(Fq) es

∏n−1k=0(q

n − qk)q − 1

Demostracion: Consideremos el homomorfismo det : GLn(F ) → F× que es suryectivo 12. Estoes cierto pues, por ejemplo, la matriz

a 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

es una matriz invertible de n×n con determinante a. Como SLn(Fq) es el nucleo del homomorfismotendremos, por el Primer Teorema del Isomorfismo, que

GLn(Fq)\SLn(Fq) ∼= F×

Por lo que

|SLn(Fq)| = |GLn(Fq)||F×| =

∏n−1k=0(qn − qk)

q − 1¦

Tambien podremos estudiar el centro de SLn(F ) obteniendo el siguiente resultado, cuya demostraciones similar a la realizada para el caso de GLn(F ):

Proposicion: Z(SLn(F )) = { a · In | a ∈ F×, an = 1}.

12 Es decir, la imagen de GLn(F ) por det es todo el espacio F ∗

22

3.2.1. Grupos lineales proyectivos

El grupo lineal general proyectivo y el grupo lineal especial proyectivo13, PGLn(F ) yPSLn(F ) son los cocientes de GLn(F ) y SLn(F ) por sus subgrupos normales Z y Z ∩ SLn(F ) re-spectivamente, donde Z es el grupo de matrices escalares no nulas.

Teorema: El grupo PSLn(Fq) es simple14 para n ≥ 2 excepto en el caso en que n = 2 y q ∈ {2, 3}Veamos algunos ejemplos recordando que en un conjunto de orden n el subconjunto de permutaciones

pares es llamado “alternating group” o grupo alternado y se lo denota An:15

Ejemplos:

Notemos que |PSL2(F2)| = 6 y |PSL2(F3)| = 12, por lo que se ve claramente que no pueden sersimples.>

Vemos que |PSL2(F4)| = 60 = |PSL2(F5)| y cada uno es isomorfo al grupo alternado A5.>

Por otro lado |PSL2(F9)| = 360 y resulta ser este grupo isomorfo a A6.>

Tambien es valido que PSL4(F2) ∼= A8>

Todos los demas grupos de la forma PSLn(Fq) no son isomorfos a ningun Ak.>

Reformulemos para el caso de cuerpos finitos lo que ya sabemos acerca del centro del grupo linealespecial:

Sea Z el subgrupo de S que consiste de las matrices escalares en S 16. La condicion del determinanteequivale a pedir αn = 1, por lo que α debe estar en el unico subgrupo de orden d = (q − 1, n) de F×.Luego, |Z| = d y claramente Z ⊂ Z(S): de acuerdo a la ultima proposicion vista, Z = Z(S).

Ejemplo:

Si n = 2 y q es impar, entonces tendremos que d = 2 y luego |PSL2(Fq)| = q(q − 1)(q + 1)/2.>

Si n = 2 y q es una potencia de 2, luego d = 1 y en este caso |Z| = 1 y PSL2(Fq) = SL2(Fq) tieneorden q(q − 1)(q + 1).>

3.2.2. Transvecciones

Llamamos transveccion a una transformacion lineal t en V espacio vectorial, cuyos autovaloresson todos 1 y que satisface rank(t− 1) = 1. Las transvecciones tienen la forma generica

13projective general linear group y projective special linear group14Recordemos que un grupo G se dice simple si sus unicos subgrupos normales son el trivial y el mismo G.15Los grupos alternados son subgrupos normales de grupos de permutaciones y tienen orden n!/2. Los grupos alternados

An para n ≥ 5 son grupos simples.16Estas son matrices de determinante 1 que tienen la forma α · I donde α ∈ F .

23

tv,f : x 7−→ x + (xf)v

donde v ∈ V , f ∈ V ∗, y vf = 0. Notemos que en particular las transvecciones tienen determinante1 y por lo tanto se encuentran en SLn(V ). El mapa en el espacio proyectivo es llamado una elacion y elpunto 〈a〉 en el recibe el nombre de centro de la transveccion o elacion. Finalmente, el hiperplano dadopor ker(f) se llama eje.

Teorema: El grupo SLn(F ) esta generado por transvecciones, para n ≥ 2 y cualquiera sea el cuerpoF.

Demostracion: Una forma de calcular el determinante de una matriz A es reduciendola a travesde operaciones de filas. Ası, si det A=1, es posible reducir a A a la identidad mediante operaciones quereemplazan una fila por esta mas un multiplo de otra. Esto es equivalente a multiplicar por izquierda poruna matriz con unos en toda su diagonal y cuyos elementos restantes son 0 excepto uno de ellos. Estasmatrices representan claramente transvecciones, por lo que A−1 resulta ser producto de transveccionesy, en consecuencia, estas deben generar a SLn(F ).¦

Ejemplo: Consideremos la matriz(

0 1−1 1

)en SL2(R). Se puede verificar que

(1 −10 1

)(0 1−1 1

)=

(1 0−1 1

) (1 01 1

)(1 0−1 1

)=

(1 00 1

)

Ası, (1 01 1

)(1 −10 1

)(0 1−1 1

)= I

es decir, (0 1−1 1

)=

(1 −10 1

)−1 (1 01 1

)−1

>

Notemos que cualquier transveccion puede ser representada por una matriz con 1 en su diagonaly en la esquina derecha, y ceros en las demas entradas, por lo que pertenece a SLn(Fq). El grupo detodas las elaciones con centro en 〈a〉, junto con la identidad, forman un subgrupo normal abeliano delestabilizador del punto 〈a〉 en PSLn(Fq).

Ası, muchas de las propiedades que describe el algebra lineal sobre similitud entre matrices puedenser interpretadas como propiedades de clases en GLn(F ). Por ejemplo, dos matrices no singulares sonconjugdas en GLn(F ) si y solo si tienen los mismos factores invariantes. Si F es algebraicamente cerrado,entonces dos matrices no singulares son conjugadas en GLn(F ) si y solo si tienen la misma forma deJordan.

3.2.3. Teoremas de Sylow y el grupo lineal especial

Recordemos que H = MTn(Fq) es el grupo de matrices triangulares superiores con 1 en sus diag-onales. Vemos claramente que, como las matrices en H tiene determinante 1, H ⊆ S. Luego, todos los

24

p-grupos de Sylow de G estan en su subgrupo normal S.

4. Algunos grupos lineales particulares

Uno de los resultados mas importantes de la teorıa de grupos es el teorema de Cayley que enuncia-remos a continuacion:

Teorema de Cayley: Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.

Demostracion: La demostracion de este teorema la haremos en forma constructiva: daremos unalgoritmo que nos permitira transformar cualquier grupo en un grupo de permutaciones.

Sea G un grupo y sea SG el grupo de simetrıas de G 17. Para cada g ∈ G definimos σg a lapermutacion dada por:

σg(x) = xg ∀g ∈ G

En otras palabras, multiplicamos a cada elemento de G a derecha por g. Se puede ver facilmente queσg es efectivamente una permutacion pues:

Vemos que es suryectiva ya que σg(xg−1) = x.

Dados x, y ∈ G vemos que σg(x) = σg(y) si y solo si xg = yg, si y solo si x = y, por lo que laaplicacion es uno a uno.

Llamamos H = {σg | g ∈ G} y definimos f : G → H de manera tal que f(g) = σg. Luego,tendremos que f(g1g2) = σg1g2 y para cada x ∈ G

σg1g2(x) = xg1g2 = (xg1)g2 = σg2(σg1(x))

Luego, σg1g2 = σg1σg2 y f(g1g2) = f(g1)f(g2) por lo que f resulta ser un morfismo. Ademas

f es suryectiva en H.

Si f(g1) = f(g2) tendremos que ∀x ∈ G vale xg1 = xg2 por lo que g1 = g2 y con ello f resulta seruno a uno.

Ası tenemos que H es un subgrupo de SG isomorfo a G. ¦

Como consecuencia de este teorema, si G es un grupo finito de orden n, entonces G sera isomorfoa un subgrupo del grupo de simetrıas Sn. Veremos luego que sera posible en algunos casos que G seaisomorfo a un subgrupo de Sk para k < n, lo que lleva a preguntarnos cual sera el menor entero positivor tal que G sea isomorfo a un subgrupo Sr.

Veamos ahora un ejemplo:17Recordemos que un grupo de simetrıas es aquel que preserva simetrıas: i.e. rotaciones, inversiones, reflexiones.

25

Ejemplo 1: Consideremos el grupo de simetrıas de los triangulos equilateros S3. El teorema anteriornos llevarıa a una representacion de sus elementos como permutaciones de {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pero si nom-bramos los vertices del triangulo con 1, 2 y 3 podemos ver que los elementos pueden ser representadoscomo permutaciones de {1, 2, 3}.

4.1. Grupo de matrices triangulares superiores

Para n ≥ 1, una matriz A = [aij ] ∈ Mn(K) es triangular superior si tiene la forma

A =

a11 a12 . . . . . . . . . a1n

0 a21. . . . . . . . . a2n

0 0. . . . . . . . .

......

.... . . . . . . . .

......

.... . . 0 an−1 n−1 an−1 n

0 0. . . 0 0 ann

Esto es, posee entradas aij = 0 para i < j. Una matriz se dice unipotente si todas sus entradas en ladiagonal son 1,18.

Dado K un cuerpo, llamamos subgrupo triangular superior o subgrupo Borel de GLn(K) al conjunto

UTn(K) = {A ∈ GLn(K) : A es triangular superior}

Por otro lado, llamamos subgrupo unipotente19 de GLn(K) al conjunto MTn(K) que nombramos en laseccion 2, cuya forma es

MTn(K) = {A ∈ GLn(K) : A es unipotente}

Se puede ver facilmente que ambos subgrupos son cerrados en GLn(K). Por otro lado, notemos queMTn(K) ≤ UTn(K) y es un subgrupo cerrado.

Propiedad: Todo grupo unipotente, mirado como grupo matricial, es conjugado en GLn(K) a un sub-grupo de MTn(K).

Ejemplo: Estudiemos las transformaciones que realiza UT2(R) en el plano R2. Tomemos dos vec-

tores[

x′

y′

]y

[xy

]de R2. Luego

[x′

y′

]=

[a b0 d

] [xy

]=

[ax + by

dy

]

Vemos que el eje x queda invariante: es un subespacio invariante y = 0 → y′ = 0 llevado sobre sı mismopor estas matrices. El eje y no es invariante.>

18Esto es, aij = 0 para i < j y aii = 1.19Tambien llamado grupo nilpotente.

26

Ejemplo: Para el caso particular

MT2(K) ={[

1 t0 1

]∈ GLn(K) : t ∈ K

}≤ GL2(K)

vemos que la funcion

ϕ : K → MT2(K)

ϕ(t) =[

1 t0 1

]

es un homomorfismo continuo, inyectivo y con inversa continua, lo que nos permite pensar a K comogrupo matricial 20.>

4.2. Grupos afines

LLamamos grupo afın de dimension n sobre K al grupo

Afn(K) ={[

A t0 1

]: A ∈ GLn(K), t ∈ Kn

}≤ GLn+1(K)

Este es claramente un subgrupo cerrado de GLn+1(K) y, si identificamos x ∈ Kn con[

x1

]∈ Kn+1,

se tendra la formula

[A t0 1

] [x1

]=

[Ax + 1

1

]

obteniendose ası una accion de Afn(K) sobre Kn.

Las transformaciones ϕ de Kn tal que ϕ(x) = Ax + 1 para A matriz inversible, son llamadastransformaciones afines, y poseen la caracterıstica de preservar lıneas 21.

Propiedad: Podemos pensar al espacio vectorial Kn como subgrupo (cerrado) de translaciones deAfn(K) del siguiente modo

Transn(K) ={[

In t0 1

]: t ∈ Kn

}≤ Afn(K)

Ejemplo: Existe un subgrupo cerrado de Afn(K) que es isomorfo a GLn(K) dado por{[

A 00 1

]: A ∈ GLn(K)

}≤ Afn(K) >

Proposicion: Transn(K) es un subgrupo normal de Afn(K) y este ultimo puede ser expresado comoel producto semi directo entre Transn(K) y GLn(K):

Afn(K) = GLn(K)o Transn(K) = {AT : A ∈ GLn(K), T ∈ Transn(K)}20Puesto que resulta ser K isomorfo a MT2(K).21Esto es, trasladan subespacios de dimension 1 del K-espacio vectorial Kn.

27

de manera queTransn(K) ∩GLn(K) = {In+1}

Demostracion: Para ver que estamos ante un producto semi directo notemos que si[

A 00 1

]∈ GLn(K) y

[I t0 1

]∈ Transn(K)

Entonces tendremos que

[A 00 1

] [I t0 1

] [A 00 1

]−1

=[

A At0 1

] [A−1 00 1

]

=[

I At0 1

]

que esta en Transn(K). La igualdad Transn(K) ∩ GLn(K) = {In+1} es evidente debido a lasdefiniciones.¦

Ejemplo: Las transformaciones afines sobre MT2(R) actuan sobre el eje x mandando x → x′ =ax + b del siguiente modo

[x′

1

]=

[a b0 1

] [x1

]=

[ax + b

1

]>

4.3. Grupos ortogonales

Sea n ≥ 1. Una matriz A ∈ Mn(K) se dice ortogonal si AT A = In, es decir, A tiene inversa dadapor AT . El producto de dos matrices ortogonales A y B es ortogonal, puesto que

(AB)T (AB) = BT AT AB = BInBT = BBT = In

Dado K cuerpo (en principio consideremos K = R pero podrıamos tambien tomar K = C), el grupoortogonal es

On(K) = {A ∈ GLn(K) | A ·AT = In}La ecuacion A ·AT = In es equivalente a las n2 ecuaciones para los n2 numeros aij

n∑

k=1

akiakj = δij

On(K) resulta ser un subgrupo cerrado de Mn(K) por lo que sera tambien un subgrupo matricial deGLn(K).

Si ahora consideramos a la funcion determinante restringida a On(K), tendremos que

(detA)2 = detAT detA = det(AAT ) = det(In) = 1

por lo que detA = ±1. Podremos separar luego a On(R) = O(n) en dos subconjuntos disjuntos dadospor

O(n)+ = {A ∈ O(n) : detA = 1} y O(n)− = {A ∈ O(n) : detA = −1}Siendo O(n)+ un subgrupo.

28

4.3.1. Subgrupo ortogonal especial

Un subgrupo muy importante de O(n) es el llamado subgrupo ortogonal especial de GLn(R) dadopor

SO(n) = O(n)+ ≤ O(n)

Tanto O(n) como SO(n) estan estrechamente relacionados con las isometrıas en Rn, que son biyeccionesf : Rn → Rn que preservan distancias, esto es

|f(x)− f(y)| = |x− y| ∀x, y ∈ Rn

Si una isometrıa fija al origen sera una transformacion lineal, tambien llamada isometrıa lineal y, luegode fijar la base canonica en Rn, se correspondera con una matriz A ∈ GLn(R).

Proposicion: Sea A ∈ GLn(R). Las siguientes condiciones son equivalentes:

A es una isometrıa lineal.

Ax ·Ay = x · y para todo par de vectores x, y ∈ Rn.

AT A = In, esto es, A es ortogonal.

Demostracion: Sea A una isometrıa lineal. Entonces para todo v ∈ Rn, valdra que |Av| = |v|.Sean ahora dos vectores x, y ∈ Rn

|A(x− y)|2 = (Ax−Ay) · (Ax−Ay)= |Ax|2 + |Ay|2 − 2Ax ·Ay

= |x|2 + |y|2 − 2Ax ·Ay

Pero a su vez

|A(x− y)|2 = |x− y|2= (x− y) · (x− y)= |x|2 + |y|2 − 2x · y

Por lo que podemos concluir que

|x|2 + |y|2 − 2Ax ·Ay = |x|2 + |y|2 − 2x · y =⇒ 2Ax ·Ay = 2x · y

Si tomamos ahora dos vectores u, v ∈ Rn, tendremos que u · v = uT v y (Au) · (Av) = uT AT Av.Luego, calculando esto para los vectores basicos, tendremos que para cada i, j = 1, . . . , n

eTi AT Aej = (AT A)ij

y recordemos que eTi ej = δij . Podemos concluir entonces que necesariamente AT A = In.

Finalmente, supongamos que AT A = In. Para cada vector w ∈ Rn valdra que

29

|Aw|2 = (Aw) · (Aw)= wT AT Aw

= wT w

= |w|2

por lo que A resulta ser una isometrıa lineal.¦Ejemplo: Sea H1 el subgrupo de dimension 2 de SL2(R) dado por

H1 ={[

a b0 1/a

]para a, b ∈ R

}

y sea H2 el subgrupo de dimension 1 de O(2) dado por

H2 = SO(2) ={[

cos θ sin θ− sin θ cos θ

]para θ ∈ [0, 2π)

}

Luego, la interseccion H1 ∩ H2 es el subgrupo de dimension nula que contiene las dos operacionesdiscretas de grupos ±I2. >

4.3.2. Grupo de isometrıas

Los elementos de SO(n) son llamados rotaciones o isometriıas directas mientras que los elementosde O(n)− son llamados usualmente isometrıas indirectas. Podemos definir el grupo de isometrıas en Rn

dado por

Isomn(R) = {f : Rn → Rn | f es una isometrιa}

Se ve claramente que Transn(R) ⊆ Isomn(R) y ademas Transn(R) es un subgrupo cerrado deIsomn(R)22. Otro modo de ver a este como grupo matricial es el siguiente :

Isomn(R) ={[

A t0 1

]: A ∈ O(n), t ∈ Rn

}

Analizando del mismo modo en que lo hicimos para ver que Afn(R) podıa ser expresado comoproducto semi-directo, podemos mostrar que

Proposicion: Transn(R) es un subgrupo normal de Isomn(R) y este ultimo puede ser expresado comoproducto semi-directo de Transn(R) y O(n), es decir,

Isomn(R) = O(n)o Transn(R) = {AT : A ∈ O(n), T ∈ Transn(R)}

Proposicion: Para un hiperplano H ⊆ Rn, la proyeccion al hiperplano en H es una isometrıa indirectade Rn, dada por θH ∈ O(n).

22De esto se deduce que Isomn(R) es un grupo matricial.

30

Demostracion: Si elegimos una base ortonormal de H y le adjuntamos un vector unitario ortogonala H, podremos escribir cada elemento de Rn en terminos de esta base. Luego, la matriz de θH estara dadapor [

In−1 O(n−1)×1

O1×(n−1) −1

]= diag(1, . . . , 1,−1)

que claramente tiene determinante -1, por lo que resulta ser una isometrıa indirecta. ¦Dado un elemento de O(n) diremos que este es una proyeccion al hiperplano si representa a una en

la base usual de Rn. Esto es, si tiene la forma

P diag(1, . . . , 1,−1) P T

para algun elemento P ∈ O(n).

Un resultado importante que no demostraremos es el que nos asegura que cualquier elemento deO(n) es producto de proyecciones a hiperplanos.

Propiedad: Todo A ∈ O(n) es producto de proyecciones a hiperplanos. El numero de estas proyeccioneses par si A ∈ SO(n) y es impar si A ∈ O−(n).

4.3.3. Grupos ortogonales generalizados

Podemos generalizar el estudio de los grupos ortogonales tomando una matriz simetrica Q ∈ Mn(K)y armando el conjunto

OQ = {A ∈ GLn(R) | AT QA = Q}

Vemos que es un subgrupo cerrado de GLn(R) y por lo tanto un subgrupo matricial. Mas aun, sidetQ 6= 0, dada A ∈ OQ su determinante sera ±1. Si ahora definimos los subconjuntos

O+Q = det−1(R+) y O−

Q = det−1(R−) (1)

podremos expresar a OQ como la union disjunta

OQ = O+Q ∪O−

Q

Ejemplo: Si tomamos la matriz Q como

Q =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

El grupo asociado a ella O+Q nos permite formar el llamado grupo de Lorentz que esta dado por O+

Q ∩SL2(R). Este grupo preserva cada una de las dos componentes conexas del hiperboloide

x21 + x2

2 + x23 − x2

4+ = −1 >

31

4.4. Grupos simplecticos

Sea S ∈ Mn(R) tal que ST = −S. Para esta matriz, tendremos que

det(ST ) = det(−S) = (−1)ndet(S)

por lo que deducimos quedet(S) = (−1)ndet(S)

Cuando det(S) 6= 0 tendremos que n necesariamente es par, por lo que podemos expresarlo comon = 2m.

Ejemplo: Si consideramos la matriz

J =[

0 1−1 0

]

vemos que J se encuentra bajo las condiciones antes nombradas.>

Si consideramos m ≥ 1 definamos las matrices

J2m =

J O2 . . . O2

O2 J . . . O2...

.... . .

...O2 O2 . . . J

Luego, llamamos grupo simplectico al conjunto de matrices de 2m× 2m sobre los reales dado por

Simp2m = {A ∈ GL2m(R) | AT J2mA = J2m} ≤ GL2m(R)

Existe una definicion alternativa y ligeramente diferente del grupo simplectico:

Simp′2m = {A ∈ GLn(K) | A · J ′2m ·AT = J ′2m} para J ′2m =

0m

1 . . . 0

0. . . 0

0 . . . 1-1 . . . 0

0. . . 0

0 . . . -10m

y existe una relacion entre ambas representaciones que podemos resumir con la siguiente proposicion.

Proposicion: Sea P ∈ GLn(R) una matriz tal que J ′2m = P T J2mP . Luego

Simp′2m(R) = P−1Simp2m(R)P = {P−1AP : A ∈ Simp2m(R)}

En generalSimp2m(R) 6= SL2m(R) y Simp ′

2m(R) 6= SL2m(R)

32

Dada A ∈ Simp2m(R) o A ∈ Simp ′2m(R) se ve facilmente que det(A) = ±1. De hecho, det(A) = 1

por lo que tendremos que

Simp2m(R) ≤ SL2m(R) y Simp ′2m(R) ≤ SL2m(R)

Ejemplo: Estudiemos el comportamiento del determinante de las matrices en Sp2(R) ⊂ GL2(R):[

a cb d

] [0 1−1 0

] [a bc d

]=

[0 ad− bc

bc− ad 0

]=

[0 1−1 0

]

Luego, tenemos que ad− bc = +1 por lo que Sp2(R) = SL2(R) >

4.5. Grupos unitarios

Dada una matriz A ∈ Mn(C) llamamos conjugado hermitiano de A a la matriz A∗ dada por

A∗ = (A)T = (AT )

En coordenadas, esto sera(A∗ij) = aji

Llamamos grupo unitario al subgrupo de matrices de n× n dado por

U(n) = {A ∈ GLn(C) : A∗A = I} ≤ GLn(C)

Esto nos esta dando n2 ecuaciones para los numeos complejos aij , que podrıamos escribirlo como

n∑

k=1

akiakj = δij

Y si separamos las partes reales e imaginarias tendrıamos 2n2 ecuaciones.

Existe otra manera de definir el grupo unitario utilizando la nocion de forma hermitiana delproducto · sobre C. Ası podremos decir que el grupo unitario esta dado por

Un(C) = {T ∈ GLn(C) : T (x) · T (y) = x · y ∀x, y ∈ Cn}

y si trabajamos con la base estandar, tendremos que

Un(C) = {A ∈ Mn(C) : ATA = In}

Teniendo en cuenta esta ultima notacion podemos ver facilmente la siguiente propiedad.

Propiedad: Si M ∈ Un(C), luego det(M) es un numero complejo de norma 1.

33

4.5.1. Grupo unitario especial

Llamamos grupo unitario especial a

SU(n) = {A ∈ GLn(C) : A∗A = I y det(A) = 1}¢ U(n)

Nuevamente, podemos estudiar cuando una matriz pertenece a este grupo armando ecuaciones paracada entrada, obteniendose ası

n∑

k=1

akiakj = δij (1 ≤ i, j ≤ n)

det(A) = 1

4.6. Grupos matriciales finitos

Uno de los resultados mas importantes en lo que respecta a grupos matriciales finitos es el queobtuvo Jordan en 1878:

Existe una funcion f(n) sobre los enteros tal que para matriz A ∈ Mn(K) donde el cuerpo K tienecaracterıstica cero, tiene un subgrupo normal abeliano cuyo ındice es menor que f(n).

Se ha probado tambien que existe una funcion f(m,n) tal que para todo grupo G ⊂ Mn(K) dondeK tiene caracterıstica p > 0 y tal que el orden de los p-subgrupos de Sylow no exceda pm, existe unsubgrupo normal abeliano de ındice menor a f(m, n).

Estudiaremos ahora ciertas caracterısticas particulares de subgrupos finitos de SLn(K) y GLn(K).

4.6.1. S = SL2(Fq)

Consideraremos el caso en que F es un cuerpo y q un numero impar.

Si t ∈ S y t2 = 1 luego cada uno de los dos autovalores de t esta en el conjunto {−1, 1} y el productode estos autovalores es det(t) = 1 por lo que solo tendremos dos posibilidades: o ambos autovaloresson 1 o ambos son -1. Luego, el polinomio caracterıstico de t es (X + 1)2 o (X − 1)2. Pero comot2 = 1, el polinomio minimal de t divide a (X2 − 1). En general, el polinomio minimal de cualquiermatriz cuadrada divide al polinomio caracterıstico, por lo que en este caso nuestro polinomio minimaltendra dos posibilidades: X + 1 o X − 1,23. Concluimos pues que t es la matriz identidad I o −I. Enparticular, esto muestra que −I es la unica involucion en SL2(Fq) cuando q es impar.

4.6.2. G = GL2(Fp)

Estudiemos primero el caso en que F es un cuerpo y p un numero impar.

Teorema: Sea G = GL2(Fp), donde p es un numero primo impar. Sea P ∈ Sylp(G). Supongamos queL ⊆ G es normalizado por P y que p no a divide |L|. Si un 2-subgrupo de Sylow de L es abeliano,entonces P centraliza a L.

23Estamos suponiendo que −1 6= 1 lo cual es valido ya que la caracterıstica es p 6= 2.

34

Demostracion: Vamos a demostrarlo suponiendo que P no centraliza a L y llegando a un absurdo.

Si existe un subgrupo propio de L que es normalizado pero no centralizado por P, podemos reem-plazar a L por este subgrupo: supongamos pues que L es minimal con respecto a la propiedad de quees normalizado pero no centralizado por P.

Llamemos C = CL(P ) < L y sea q cualquier divisor primo de |L : C|. Elijamos un r-subgrupo deSylow R de L que sea P-invariante (esto es posible ya que p no divide a |L|). Luego R ! C, y por ello Pnormaliza pero no centraliza a R. Por ser L el mınimo grupo con esta propiedad, tendremos que R = L,por lo que L resulta ser un r-grupo.

Ahora sea 1 < [L,P ] = [L,P, P ] y luego [L, P ] es un subgrupo P-invariante de L que no es central-izado por P: por ser L el menor grupo con esta propiedad, nuevamente tendremos que L = [L,P ] ⊆G′ ⊆ SL2(Fp).

Si r = 2, L es abeliano por hipotesis. Pero SL2(Fp) contiene una unica involucion, por lo que L escıclico. Pero esto es imposible ya que un grupo de orden p 6= 2 no puede actuar de manera no trivialsobre un 2-grupo cıclico.24Concluimos pues que r es un numero impar y que L tiene orden impar.

Sea ahora |L| una potencia de un numero primo impar que divide a |SL2(FP )| = p(p + 1)(p− 1)/2.Como p + 1 y p − 1 no tienen divisores primos impares comunes, y sabemos que (|L|, p) = 1, tenemosque |L| divide a p + 1 o |L| divide a P − 1, por lo que |L| ≤ p + 1. Pero P no es normal en PL (puesde serlo P centralizarıa a L) por lo que el numero de p-subgrupos de Sylow de PL es mayor que 1. Sedesprende de los teoremas de Sylow que p+1 ≤ n ≤ |L| y, como ya sabemos que |L| ≤ p+1, deducimosque |L| = p + 1. Pero esto implicarıa que |L| es par, que es absurdo. ¦

Clases de conjugacion de G = GL2(Fq)

Recordemos que la clase de conjugacion de un elemento x ∈ G es Cx = {gxg−1 | g ∈ G} y que suestabilizador es Z(x) = {g ∈ G | gxg−1 = x}.

Recordemos ademas que para x ∈ G vale que

|G| = |Cx| · |Z(x)|

y ademas ya hemos visto que|G| = (q + 1)q(q − 1)2

Buscaremos y caracterizaremos ahora todas las clases de conjugacion de G = GL2(Fq). Consideraremosdistintas clases de matrices para organizar nuestro estudio:

Consideremos primero las matrices que pueden ser transformadas por conjugacion en(

a 00 b

),

donde a 6= b. Estamos considerando, pues, matrices diagonalizables con distintos autovalores. Estonos dara clases de conjugacion distintas para cada par de autovalores {a, b}, puesto que estos sonpreservados por conjugacion.

24Esto es ası porque el orden del grupo de automorfismos de un grupo cıclico de orden 2e es ϕ(2e) = 2e−1, que no esdivisible por p.

35

Dado un par {a, b} tendremos a ga,b =(

a 00 b

)como el elemento representante de la clase de

conjugacion. Notemos que el estabilizador de ga,b es el conjunto de matrices diagonales de G25.

Calculemos ahora la cantidad de clases de conjugacion que estamos considerando:

|Gga,b| = |G|/|Z(ga,b)| = (q + 1)q(q − 1)2/(q − 1)2 = (q + 1)q

Luego, tendremos(

q − 12

)= (q−1)(q−2)

2 posibilidades distintas de elegir los autovalores a y b,

donde cada eleccion nos dara una clase distinta de conjugacion. Ası tendremos

(q + 1)q(q − 1)(q − 2)2

elementos distintos de G.

Consideremos ahora las matrices diagonalizables con un unico autovalor. Estas seran de la forma(a 00 a

)y como estas matrices quedan fijas por conjugacion, son la unica manera de diago-

nalizarlas.

El hecho de que estas matrices queden fijas por conjugacion nos dice que sus estabilizadores son

todo G. Luego, para ga =(

a 00 a

)tendremos:

|Cga | = |G|/|Z(ga)| = |G|/|G| = 1

Ası, cada clase de conjugacion tiene solo un elemento y, como hay q − 1 clases de este tipo26,tendremos

q − 1

elementos distintos de G.

Sean ahora elementos A ∈ G no diagonalizables, pero con autovalores en Fq. Esto implica que losautovalores de A son todos iguales, ya que si no lo fueran podrıamos conjugar la matriz diagonalde los autovalores de A por la matriz armada con sus respectivos autovectores y obtendrıamos A,por lo que A serıa diagonalizable.

Como A es conjugada de toda matriz con iguales autovalores y no diagonalizable, podemos tomar

como representante de cada clase a las matrices(

a 10 a

).

El estabilizador de estas matrices posee todos los elementos de la forma(

b c0 b

)para b, c tales

que b 6= 0. Luego, los estabilizadores tendran q(q − 1) elementos, y ası las clases de conjugaciontendran

|C| = |G|/|Z| = (q + 1)q(q − 1)2/q(q − 1) = (q + 1)(q − 1)25Que seran (q − 1)2.26Una clase por cada elemento no nulo a del cuerpo.

36

elementos distintos de G. Por otro lado, como tenemos q − 1 clases con esta forma 27, obtenemosconsecuentemente

(q − 1)2(q + 1)

elementos distintos de G.

Finalmente, consideremos el unico tipo de matrices que nos resta estudiar, aquellas con autovaloresλ1, λ2 en la extension cuadratica Fq2 de Fq.

Por definicion, tendremos que λ1 y λ2 son ambas raıces del mismo polinomio caracterıstico degrad 2. Pero sabemos que los polinomios cuadraticos tienen como maximo dos raıces, por loque en nuestro caso estas seran λ1 y su conjugada φ(λ1)28. Luego tendremos que λ2 = φ(λ1).Ası tendremos una clase de conjugacion diferente para cada uno de los q2 − 1 = q(q − 1) posiblesvalores de λ1 pero, como el orden de los autovalores no importa, dividiremos este numero por 2,obteniendo q(q−1)

2 clases distintas de conjugacion de este tipo.

Finalmente, para calcular la cantidad de elementos que estas clases tendran no estudiaremos estavez a los estabilizadores: sabemos que las clases de conjugacion forman una particion de G y asu vez conocemos la cantidad de elementos que posee G, por lo que podemos calcular facilmentela cantidad de elementos de nuestras ultimas clases restandole al total los elementos de los tresconjuntos estudiados anteriormente. Tendremos ası que estas clases de conjugacion aportan

q2(q − 1)2

2

elementos distintos a G. Podemos tambien encontrar la cantidad de elementos que tiene cada unade estas clases: q(q − 1).

Finalmente, podemos calcular el cardinal del estabilizador pues

|Z| = |G|/|C| = (q + 1)q(q − 1)2/q(q − 1) = (q + 1)(q − 1)

4.6.3. Grupos de matrices finitos en GL(n,Z)

En esta seccion nos diferenciaremos del resto de los temas al no imponer la condicion de que elconjunto de coeficientes posibles de las matrices sea un cuerpo. Demostraremos un resultado muy im-portante que nos da una cota superior para la cantidad de elementos de un grupo de matrices finito enGL(n,Z). Antes deberemos demostrar varios lemas. Llamaremos a partir de ahora g al orden de G.

Lema 1: Sea S el conjunto {A1, A2, ..., Ak}, donde los elementos de S no necesariamente son distintosy pertenecientes a GL(n,Z). Supongamos que S tiene la propiedad

AiS = {AiA1, ..., AiAk} = S

Para todo i tal que 1 ≤ i ≤ k. Entonces

k∑

i=1

tr(Ai) ≡ 0 mod k

27Una para cada valor no nulo de a en

(a 10 a

).

28Donde φ es el automorfismo canonico en Fq2 que deja fijo a Fq.

37

Demostracion: Sea M =∑k

i=1 Ai. Por hipotesis, se verificara que

AjM =k∑

i=1

AjAi =k∑

i=1

Ai = M, 1 ≤ i ≤ k

Sumando sobre todos los j obtenemos que M2 = kM . Luego, los autovalores de M son 0 y k con susrespectivas multiplicidades. Como tr(M) es igual a la suma de sus autovalores, se concluye que es unmultiplo de k, por lo que el lema queda demostrado.¦

Lema 2: La suma σk =∑

A∈G{tr(A)}k es siempre un entero divisible por g, para todo natural k.

Demostracion: Sea G(k) = {A(k) : A ∈ G}, donde A(k) representa la k-esima potencia de A conrespecto al producto de Kronecker. Entonces G(k) es un subgrupo de GL(nk, Z) cuyo orden divide a g,ya que la correspondencia A −→ A(k), A ∈ G, es un homomorfismo. Ademas

tr{A(k)} = {tr(A)}k

El lema anterior implica que σg es divisible por g, ya que el conjunto {A(k)} obviamente posee lapropiedad de clausura requerida.¦

Notemos que∑

A∈G 1 = g es tambien divisible por g. El lema 2 implica entonces de forma inmediatalo siguiente:

Lema 3: Sea f(λ) un polinomio sobre Z. Entonces∑

A∈G

f(tr(A)) ≡ 0 mod g

Lema 4: El unico elemento de G con traza n es la identidad.

Demostracion: Sea A ∈ G, tr(A) = n. Como Ag = I, los autovalores de A son raıces de la unidad.La suma de n numeros de valor absoluto 1 puede ser n si y solo si cada uno de ellos es 1. Luego, todoslos autovalores de A son 1. Esto implica que todos los autovalores de B = I + A + ... + Ag−1 son g, porlo que B es no singular. Pero (A− I)B = 0, debiendo valer obligatoriamente que A = I. Esto concluyela demostracion.¦

Combinaremos estos lemas para obtener el siguiente resultado:

Teorema: Sean t1 = 1, t2, ..., tr, los distintos valores que toma la funcion traza para las matrices de G.Entonces

(n− t2)(n− t3)...(n− tr) ≡ 0 mod g

(2n)! ≡ 0 mod g

38

Demostracion: f(λ) = (λ− t2)(λ− t3)...(λ− tr) es un polinomio entero que tiene la propiedad deque f(tr(A)) es distinto de cero si y solo si tr(A) = n, es decir, si y solo si A=I. Por el lema 4 tendremosentonces que ∑

A∈G

f(tr(A)) = (n− t2)(n− t3)...(n− tr)

La congruencia es una consecuencia del lema 3. Para demostrar la segunda afirmacion, notar que tr(A)es un entero tal que tal que |tr(A)| ≤ n, ya que es la suma de n raıces de la unidad de orden g. Luego,los unicos valores posibles para tr(A) son

0,±1, ...,±n

Se deduce que (n− t2)(n− t3)...(n− tr) es un divisor de∏n−1

i=0 (n− i)∏n

i=1(n+ i) = (2n)!. Esto completala demostracion. ¦

4.7. Grupos matriciales finitamente generados

Un resultado muy importante al respecto es el que obtuvo Tits al mostrar que un grupo matricialfinitamente generado o contiene un grupo libre no abeliano, o tiene un subgrupo soluble de ındice finito.En este caso llamamos a G “grupo soluble”si su serie de derivadas G = G0 ≥ G1 ≥ .. alcanza laidentidad en un numero finito de pasos, donde cada Gi+1 es el subgrupo de Gi generado por todos loselementos de la forma x−1y−1xy con x, y ∈ Gi.

5. Grupos de Lie

En esta seccion daremos una modesta introduccion a los conceptos de grupo de Lie y Algebra deLie y veremos como se relacionan con los grupos matriciales. A su vez intentaremos concentrarnos enlos casos real y complejo.

Definicion: Un subconjunto S de Rm recibe el nombre de variedad diferencial de dimension d si cadapunto p ∈ S tiene una vecindad en S que es difeomorfa a un abierto de Rd.

Definicion: Un grupo de Lie es una variedad diferencial con una estructura de grupo tal que la funcionG×G 7→ G definida por (x, y) 7→ xy−1 es C∞.

Definicion: Un algebra de Lie V sobre un cuerpo F es un espacio vectorial dotado de un operadorbilineal [, ] : V × V → V , llamado corchete de Lie, con las siguientes propiedades:

[x, y] = −[y, x] (Antisimetrιa)

[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 (Identidad de Jacobi)

Mn(R) es una variedad. De hecho, podemos identificar a este espacio vectorial con Rn2(lo cual

haremos muy a menudo a partir de ahora) disponiendo todos los coeficientes de las matrices en una solafila. No nos interesara darle una estructura de Grupo de Lie porque no toda matriz tiene inversa con elproducto. Se concluye tambien que Mn(R) es de dimension n2.

39

GLn(R) es un abierto visto como subconjunto de Rn2, por lo que la misma asociacion continua

funcionando de manera local y por eso se tiene tambien en este caso una variedad de dimension n2.Ademas, la definicion de producto matricial y la regla de Cramer nos garantizan que la funcion (A,B) 7→AB−1 es infinitamente derivable, haciendo de GLn(R) un grupo de Lie.

5.1. Espacios tangentes

Definicion: Sea G ≤ GLn(k) un grupo matricial. El espacio tangente de G en U ∈ G es

TUG = {γ′(0) ∈ Mn(k) : γ es una curva diferenciable en G con γ(0) = U}

Ejemplo: Usando nuevamente el hecho de que GLn(R) es abierto se determina que su espaciotangente en la identidad (y en cualquier otro punto) es todo Mn(R). >

Proposicion: TUG es un subespacio vectorial real de Mn(k).

Demostracion: Supongamos que α y β son curvas diferenciables en G tales que α(0) = β(0) = U .Entonces

γ : dom α ∩ dom β → G; γ(t) = α(t)U−1β(t)

es tambien una curva diferenciable en G con γ(0) = U . La regla del producto nos da

γ′(t) = α′(t)U−1β(t) + α(t)U−1β′(t)

asıγ′(0) = α′(0)U−1β(0) + α(0)U−1β′(0) = α′(0) + β′(0)

lo que demuestra que TUG es cerrado con la suma.

Similarmente, si r ∈ R y α es una curva diferenciable en G con α(0) = U , entonces η(t) = α(rt)define una curva que comparte esas caracterısticas. Como η′(0) = rα′(0), vemos que TUG es cerradobajo multiplicacion por escalares reales.¦

Propiedad: En Mn(k) definamos [, ] por

[A,B] = AB −BA

Entonces [, ] es un corchete de Lie.

Demostracion: Es claro que es bilineal y [A,B] = −[B,A]. Ademas

[[A,B], C] + [[B, C], A] + [[C, B], A] = [AB −BA,C] + [BC − CB, A] + [CA−AC, B] =

ABC −BAC − CAB + CBA + BCA− CBA−ABC + ACB + CAB −ACB −BCA + ABC

Siendo claro que todos los elementos se anulan entre sı.¦Es posible afirmar que la eleccion de este corchete de Lie no es arbitraria, sino que surge de manera

natural dadas las caracterısticas de los grupos de Lie y sus algebras correspondientes. No profundizare-mos mucho en esto, pero daremos a continuacion una idea de aquello.

40

En toda variedad V se pueden definir campos vectoriales que a cada v ∈ V le asocian elementos enTvV

29.

Definicion: Sean X e Y campos vectoriales tangentes en V, se define el Corchete de Lie de los camposvectoriales X e Y como el campo vectorial [X, Y ] cuya formula es

[X, Y ](v) = DX(v)Y (v)−DY (v)X(v)

No es difıcil ver que [X, Y ] es tangente a V, antisimetrico y satisface la identidad de Jacobi.

Propiedad: Para todo A, B ∈ TIGLn(K) se definen los campos tangentes sobre GLn(K)

XA(M) = MA XB(M) = MB

Entonces [A,B] = [XA, XB](I). La notacion puede resultar un poco confusa, pero el corchete del ladoizquierdo de la igualdad actua sobre matrices y el de la derecha sobre campos verctoriales.

Demostracion:

DXA(I)XB(I) = DAXB(I) = lımt→0

(I + tA)B −B

t= AB

Similarmente DXB(I)XA(I) = BA, por lo que queda demostrada la propiedad.¦Esto significa que podrıamos haber comprobado que la funcion [A,B] 7→ AB − BA es un corchete

de Lie sobre el espacio de la matrices como consecuencia de las propiedades que posee el corchete deLie de campos vectoriales si hubieramos introducido a este con anterioridad.

Dicho todo esto, destacamos que ya nos es posible darle a TIGLn(K) una estructura de algebra deLie.

A partir de ahora, siempre que hablemos de algebra de Lie estaremos haciendo referencia a TIGLn(K),al cual le daremos tambien el nombre de gln(K). Si un subespacio a de gln(K) hereda la estructurarecibira el nombre de subalgebra y, si coincide con el espacio tangente en la identidad de A ≤ GLn(K),lo llamaremos algebra de Lie de A.

5.2. Los grupos matriciales como grupos de Lie

Lema: Sea f : Rn2 → R funcion tal que

f =

∣∣∣∣∣∣∣

f11 . . . f1n...

...fn1 . . . fnn

∣∣∣∣∣∣∣

donde, para todo i y para todo j entre 1 y n, fij es una funcion cuyo dominio es Rn2y con codominio

R. Entonces

∂f

∂xi=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂f11

∂xi· · · ∂f1n

∂xi

f21 · · · f2n...

...fn1 · · · fnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f11 · · · f1n∂f21

∂xi· · · ∂f2n

∂xi...

...fn1 · · · fnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ . . . +

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

f11 · · · f1n

f21 · · · f2n...

...∂fn1

∂xi· · · ∂fnn

∂xi

∣∣∣∣∣∣∣∣∣29Espacio tangente de V en v.

41

Este lema no resulta difıcil de demostrar. De hecho es casi trivial para n = 2 y se extiende al casogeneral por induccion, desarrollando un determinante de orden mayor a traves de una fila y aplicandola regla del producto de la derivacion.

Propiedad: SLn(R) es una variedad.

Demostracion: Sea

f(x11, . . . , x1n, x21, . . . , x2n, . . . , xn1, . . . , xnn) =

∣∣∣∣∣∣∣

x11 . . . x1n...

...xn1 . . . xnn

∣∣∣∣∣∣∣

Entonces SLn(R) = f−1(1). Veremos ahora que el gradiente de f no se anula en ningun punto.

Sea (x11, . . . , x1n, x21, . . . , x2n, . . . , xn1, . . . , xnn) ∈ SLn(R). Como el determinante es no nulo pode-mos encontrar una submatriz de n − 1 × n − 1 con determinante distinto de cero. Supongamos que esposible obtenerla eliminando la fila i y la columna j y que el valor del determinante es aij 6= 0. Usandola regla de derivacion expuesta se concluye que ∂f

∂xijes la suma de n−1 determinantes con al menos una

fila nula mas otro que coincide con el de la definicion de f a excepcion de que la fija i es reemplazadapor el vector canonico ej . Por lo tanto

∂f

∂xij= ± aij 6= 0

Ası logramos lo que querıamos y esto nos lleva a la conclusion de que SLn(R) es una superficie dedimension n2−1. Y no es difıcil ver que, como consecuencia del teorema de la funcion implıcita, SLn(R)es tambien una variedad de dimension n2 − 1.¦

Este resultado implica automaticamente que SLn(R) es un grupo de Lie porque ya sabıamos que(A, B) 7→ AB−1 es una funcion C∞ en cualquier dominio que consta solamente de matrices invertibles.

Nuestra presentacion de SLn(R) como superficie puede ser aprovechada para calcular de forma muysimple espacios tangentes. De hecho, si A es una matriz en SLn(R), valdra que TASLn(R) es el conjuntode matrices que, representadas vectorialmente, son ortogonales al gradiente de f en A.

Para ilustrar esto, sea A = I. Usando la regla de derivacion de determinantes se ve que ∂f∂xij

(I) es lasuma de n− 1 determinantes que, como antes, son nulos, mas el determinante de la matriz que coincidecon la identidad excepto que la i-esima fila es reemplazada por el vector canonico ej . Notar que si i 6= jla i-esima columna es el vector nulo lo que, con no muchas mas consideraciones, nos lleva a la igualdad

∂f

∂xij(I) = δij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n

Ası, la condicion de ortogonalidad con respecto al gradiente se traduce en∑n

i=1 xii = 0, lo cual sepuede reformular del siguiente modo.

Proposicion:TISLn(R) = {A ∈ Mn(R) : tr(A) = 0}

Hasta ahora, unicamente podemos afirmar con seguridad que solo dos grupos matriciales reales,

42

GLn(R) y SLn(R) son grupos de Lie con el producto, lo cual plantea el interrogante de que si los otrostambien lo son. La respuesta es afirmativa, aunque la demostracion no es tan simple y la omitiremos.

Teorema: Sea G ≤ GLn(R) un subgrupo matricial. Entonces G es un subgrupo de Lie de GLn(R)

5.3. La funcion exponencial

Definicion: Se define la funcion exponencial matricial para toda matriz A ∈ Mn(C) como

exp(A) =∑

n≥0

1n!

An = I + A +12!

A2 +13!

A3 + . . .

serie la cual es siempre convergente. Notar que la curva α(t) = exp(tA) cumple que α(0) = I, α′(0) = A.Este hecho sugerente es llevado a su maxima expresion en la forma del siguiente teorema:

Teorema: Sea A un subgrupo de GLn(C) y sea a un subespacio de gln(C). Sea U un entorno de 0en gln(C) difeomorfo a traves del mapa exponencial con un entorno V de la identidad en GLn(C).Supongamos que

eU∩a = A ∩ V

Entonces A es un subgrupo de Lie de G, a es una subalgebra de Lie de gln(C) y a es el algebra de Liede A.

Ejemplos: Es posible demostrar que el grupo unitario U(n) y SLn(C) son grupos de Lie a travesde una eleccion adecuada de un conjunto que verifique las condiciones del teorema anterior.

Ası, para el caso de U(n) podemos tomar a = u(n) = {A ∈ gln(C) : A+At = 0}. Y, para SLn(C),sl(n,C) = {A ∈ gln(C) : tr(A) = 0}.

Calcularemos ahora TIO(n,C)

Sea ψ : GLn(C) → Mn(C) tal que ψ(M) = MM t. Entonces O(n,C) = ψ−1(I) y ası

TIO(n,C) = {B ∈ Mn(C)/ (DBψ)(I) = 0}(DBψ)(M) = BM t+MBt =⇒ (DBψ)(I) = B+Bt =⇒ B ∈ TIO(n,C) ⇔ Bt = −B ⇔ B es antisimetrica

Y, nuevamente, definiendo o(n,C) = {B ∈ gln(C) : B + Bt}, se puede ver que se satisfacen lascondiciones del teorema y, como consecuencia directa, se llega a que el grupo ortogonal es un grupo deLie. >

Vale la pena notar que la dimension de un subgrupo de Lie cerrado coincide con la dimension de sualgebra de Lie. Ası, la dimension de U(n) es n2, la de SL(n,C) es 2n2 − 2 y la de O(n,C) es n(n− 1).

6. Apendice

6.1. Operaciones de grupos

Recordemos algunas operaciones entre grupos que nos seran util tener en mente a la hora de leereste trabajo.

43

6.1.1. Proyeccion al hiperplano

Recordemos que, dado un subespacio H de Rn con dimH = (n − 1), llamamos a H Hiperplano enRn. Asociado a cada hiperplano existe una transformacion lineal θH : Rn → Rn llamada proyeccion alhiperplano.

Para poder definir a θH observemos que cada elemento x ∈ Rn puede ser unıvocamente representadocomo x = xH + x′H tal que xH ∈ H e y · x′H = 0 ∀y ∈ H. Luego, tendremos que

θH : Rn → Rn

θH(x) = xH − x′H

6.1.2. Producto semi-directo

Sea G un grupo con H ≤ G y N ¢G. Decimos que G es producto semi-directo de H y N si G = HN ,con H ∩N = {1}. Lo denotaremos G = H oN o G = N oH.

Cuando G = H o N , existen los isomorfismos ϕ : G/N → H y la inclusion i : H → G quecumplen ϕ ◦ i = IdH .

Por otro lado, como N es subgrupo normal de G, H actua por conjugacion sobre N.

Ejemplo: El caso mas sencillo de producto semi-directo es cuando se tiene el producto directo H×N ,donde la accion de conjugacion de H sobre N es la trivial.

6.2. Formas sobre espacios vectoriales

6.2.1. Formas bilineales

Una forma bilineal sobre un espacio vectorial V es una funcion

b : V × V → R

que satisface las siguientes condiciones, para cualquier escalar α y vectores v, w, v1, w1, v2, w2 ∈ V

1. b(α v, w) = b(v, α w) = α b(v, w)

2. b(v1 + v2, w) = b(v1, w) + b(v2, w)

3. b(v, w1 + w2) = b(v, w1) + b(v, w2)

Fijada una base en V, digamos {v1, ..., vn}, la matriz B para la cual cada entrada esta dada porBij = b(vi, vj) es la representacion unıvoca de la forma bilineal b. Es decir, nos basta conocer lo quevale la forma sobre la base del espacio para poder conocerla en su totalidad.

Si tomamos por ejemplo dos vectores u, w ∈ V expresados como combinacion lineal de la base de lasiguiente manera

u =∑

i

uivi y w =∑

i

wivi

44

tendremos que

b(u,w) = b

(∑

i

uivi,∑

i

wivi

)=

∑

i,j

uib(vi, vj)wj = uT B w

Por otro lado, dada una matriz B ∈ Mn(K) podemos definir una forma bilineal para todo u, v ∈ Vdada por

b(v, w) = vT B w

que satisface las propiedades antes enunciadas ya que el producto es asociativo y ademas se puedensacar escalares de las matrices.

6.2.2. Formas Hermitianas

Una forma Hermitiana en un espacio vectorial V sobre los complejos C es una funcion ϕ : V×V → Ctal que para todo vector u, v, w ∈ V y escalares a, b ∈ C se cumple que

1. ϕ(au + bv, w) = aϕ(u,w) + bϕ(v, w)

2. ϕ(u, v) = ϕ(v, u)

Luego, podemos deducir que

ϕ(u, av + bw) = aϕ(u, v) + bϕ(u,w)

por lo que diremos que ϕ es antisimetrica en la segunda coordenada. Mas aun, como ϕ(v, v) = ϕ(v, v)tenemos que ϕ(v, v) ∈ R.

Propiedad: Sea ( , ) : V × V → K una forma hermitiana no nula. Luego, existe un elemento v ∈ Vtal que (v, v) 6= 0.

Propiedad: Sea ( , ) : V × V → K una forma hermitiana. Luego existen vectores e1, ..., en ∈ V queforman una base de V, tales que (ei, ej) = 0 si i 6= j.

Ejemplo: Un ejemplo de forma hermitiana es el producto interno en Cn dado por, para cada paru, v ∈ Cn

(u1, ..., un)(v1, ..., vn) =n∑

i=1

uivj >

Toda forma hermitiana en Cn esta asociada a una matriz A ∈ Mn(K) que llamaremos matrizhermitiana, que cumple, para todo par de vectores X, Y ∈ Cn

ϕ(X, Y ) = X A Y T

6.3. Representacion de grupos

Sea G un grupo y F = R o F = C.

Definicion: Una representacion de G sobre F es un homomorfismo ρ de G en GLn(F ) para algunn ∈ N . El grado de ρ es el entero n.

45

Usaremos la notacion de aplicar homomorfismos a la derecha: ası, la imagen de g por el homomor-fismo τ se escribira gτ .

Ejemplo 1: Sea G el grupo diedral D8 = 〈a, b : a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1〉. Definimos las matricesA y B de la siguiente manera

A =(

0 11 0

), B =

(1 00 −1

)

y verificamos queA4 = B2 = I, B−1AB = A−1

Luego, el homomorfismoρ : aibj → AiBj (0 ≤ i ≤ 3, 0 ≤ j ≤ 1)

es una representacion de D8 en F, de grado 2. >

Daremos ahora la nocion de FG-modulo y mostraremos la relacion entre FG-modulos y representa-ciones de G sobre F.

Ejemplo 2: Podemos asociar a C con matrices de 2× 2 a traves de la siguiente representacion ρ

ρ : C → M2(R)

ρ(x + iy) =[

x −yy x

]

Aquı ρ es efectivamente un homomorfismo inyectivo. Notemos que a la conjugacion ρ la lleva a

ρ(z) = ρ(z)T >

6.4. producto de kronecker

Definicion: Si A es una matriz de m×n y B es una patriz de p× q, entonces el producto de KroneckerA⊗B es una matriz de mp× nq cuya expresion en bloques es

A⊗B =

a11B . . . a1nB...

. . ....

am1B . . . amnB

Propiedades

Estas son algunas de las propiedades del producto de Kronecker, las cuales no demostraremos:

A⊗ (B + C) = A⊗B + A⊗ C (Si B y C tienen el mismo tamano)

(A + B)⊗ C = A⊗ C + B ⊗ C (Si B y C tienen el mismo tamano)

(kA)⊗B = A⊗ (kB) = k(A⊗B)

(A⊗B)⊗ C = A⊗ (B ⊗ C)

(A⊗B)(C ⊗D) = AC ⊗BD (Siempre y cuando puedan definirse AC y BD)

46

A⊗B es invertible si y solo si A y B son invertibles, y la inversa esta dada por A−1 ⊗B−1

Si A y B son matrices cuadradas de orden n y q respectivamente

tr(A⊗B) = tr(A)tr(B) y det(A⊗B) = (detA)q(detB)n

47

Referencias

[1] Bacry, Henri. (1967); “Lecons sur la Theorie des Groupes et les Symetries des Particules Elemen-taires”, Gordon and Breach.

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