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AUTOR

Jorge Barrio Gómez de Agüero

Bachillerato

Normas DIN

ILUSTRACIÓN

Ana Azpeitia, Delicado diseño, Guillermo Díez Celaya, Paco Guindel, Pablo Jurado

FOTOGRAFÍAS

AGE Fotostock, Jorge Barrio Gómez de Agüero, Instituto de Astrofísica de Canarias (IAC),Francisco J. J. Sanchez, y Archivo OxfordPágina 11: Figura 11.18. IAC - Por cortesía de SCHOTT

2 Ó P T I C A

Ópticageométrica

1. ¿Cómo se ven las imágenes cuando nos miramos en un espejo plano?

2. ¿Qué tipo de espejo se utiliza en algunos cruces de calles? ¿Por qué?

3. ¿Qué tipo de espejo se usa en los telescopios reflectores? ¿Por qué?

4. ¿Para qué sirven las lentes? ¿Qué clase de lentes conoces?

5. ¿Qué es la distancia focal? ¿Qué es lo que hacemos realmente cuando «enfocamos» el objetivo de una cámara?

6. ¿Representan lo mismo los aumentos microscópicos que los aumentos telescópicos?

7. ¿Cuáles son los defectos más habituales de la visión ocular?

10B2FILA.11 Normas DIN 5/3/04 15:24 Página 2

Introducción a la óptica geométrica

En la UNIDAD 10 del Libro de texto ya se comentó cómo el desarrollo de la óptica y de sus usos o aplicaciones discurrió prácticamente al margen dela discusión relativa a la naturaleza de la luz. Esto fue posible porque, en realidad,las leyes sobre las que se estructuró la óptica geométrica eran compartidas porlos modelos ondulatorio y corpuscular. Estas leyes son:� Ley de propagación rectilínea de la luz. Fue establecida ya en la Antigüedad

y tiene su base experimental en la formación de sombras de objetos a partir de focos luminosos puntuales. El tamaño de la sombra real, comopuede observarse en la figura 11.1, es igual al que se obtendría prolongandogeométricamente rectas que, partiendo del foco, pasen por los puntos de lasilueta del objeto.

� Ley de independencia de los rayos luminosos. Establece que la acción decada rayo es independiente de la de los demás, es decir, no guarda relacióncon el hecho de que los demás actúen simultáneamente o no actúen enabsoluto. Esta ley tiene también su base experimental. Imaginemos quetomamos una foto de un objeto con un paisaje de fondo. A continuación,tapamos el objeto y volvemos a fotografiarlo. Esta segunda instantáneanos permite comprobar que, al tapar el objeto del primer plano, solo sehan interceptado los rayos que proceden de él, sin que se vea afectado elresto, por lo que los demás rayos volverán a formar la imagen del paisajetal y como se apreciaba en la primera fotografía (figura 11.2).

� Leyes de la reflexión y la refracción. Fueron estudiadas con detalle en laUNIDAD 10 del Libro de texto.

� Ley de reciprocidad. Establece que la trayectoria de un rayo que, partiendode F, llega a un punto P por reflexión en O sería la misma que seguiría un rayo que partiera de P y se reflejara en dicho punto O. Este rayo, porconsiguiente, pasaría por F (figura 11.3). Lo mismo es válido en el caso dela refracción.En el estudio de la óptica geométrica hacemos uso de la aproximación del

rayo. Debemos recordar, a este respecto, que el concepto de rayo es, en realidad,una construcción matemática que solo representa la dirección de propa-gación del flujo de energía radiante, de modo que el rayo es perpendiculara cada punto del frente de onda. Su dirección sería la de un fino haz de luzque hubiese atravesado una rendija cuyas dimensiones no fueran comparablescon la longitud de onda de la luz; por ello, en óptica geométrica no considera-remos los posibles efectos debidos a la difracción. En cualquier caso, debemostener claro que un rayo no es un haz (que físicamente sí existe), aunque en lasdemostraciones experimentales de laboratorio se trabaje con haces finos deluz para demostrar las leyes de la óptica.

311. Ó p t i c a g e o m é t r i c a

1

FIGURA 11.1. La formación de sombras ratifica la idea de que la luz se propaga en línea recta.

FIGURA 11.2. Fuente de las Arpías, escultura del Espinario (Aranjuez). Si interceptamos los rayos

que provienen de un objeto, el resto de los rayos no se ven afectados; la imagen del paisaje

de fondo sigue siendo la misma. Esto es lo que enuncia la ley de independencia de los rayos

luminosos.

P

O

F

P

F

(a)

(b) O

FIGURA 11.3. Ley de reciprocidad.


1.1. ¿De qué trata la óptica geométrica?

En esta unidad centraremos nuestro estudio en la óptica geométrica, esdecir, en la formación de imágenes por reflexión y refracción. Nos ceñiremos,pues, a los sistemas ópticos más habituales para la formación de ese tipo deimágenes: los espejos (reflexión) y las lentes (refracción).

En consecuencia, estructuraremos nuestra unidad de la siguiente manera:� Óptica por reflexión. Imágenes en sistemas de espejos planos y en espejos

esféricos (cóncavos o convexos).� Óptica por refracción. Imágenes formadas a través de lentes delgadas de

formas diversas.Por último, abordaremos algunas aplicaciones prácticas de la óptica geo-

métrica, así como un sucinto estudio del sistema óptico por excelencia: el ojohumano.

Antes de empezar, conviene tomar contacto con la terminología más básicaque utilizaremos en nuestro recorrido por la óptica (figuras 11.5):� Objeto. Fuente de la que proceden los rayos luminosos, ya sea por luz propia

o reflejada. Cada punto de la superficie del objeto será considerado comouna fuente puntual de rayos divergentes.

� Imagen. Figura formada por el conjunto de puntos donde convergen losrayos que provienen de las fuentes puntuales del objeto tras su interaccióncon el sistema óptico. La imagen puede ser de dos tipos:� Imagen real. Es aquella que puede registrarse realmente al colocar en

ese punto una pantalla o un registro fotográfico (por ejemplo la imagenobtenida detrás de una lente o delante de un espejo esférico).

� Imagen virtual. Es aquella que no puede registrarse en una pantallao registro fotográfico (es el caso, por ejemplo, de la imagen en un espejoplano).

Consideraremos en todos los casos que las superficies curvas son esféricas,ya se trate de espejos o de lentes. De este modo, es necesario definir estosotros conceptos:� Centro de curvatura. Es el centro geométrico de la esfera a la que corres-

ponde la superficie del espejo o lente. Se representa mediante la letra C.Tratándose de espejos planos, podemos considerar que el centro de curva-tura se encuentra localizado en el infinito.

� Vértice, V. Es el punto de corte de la superficie esférica con el eje óptico.� Radio de curvatura. Es la distancia que existe entre el centro de curvatura

y el vértice.� Eje óptico. Es el eje que une el objeto con el centro de curvatura de la lente

o espejo, C, y con el centro del sistema óptico (lente o espejo).

4 Ó P T I C A

FIGURA 11.4. La imagen de detrás del espejo es virtual, es decir, no es posible que la recoja unapantalla situada hipotéticamente en esa posición.

FIGURA 11.5.a. Elementos ópticos (espejo). FIGURA 11.5.b. Elementos ópticos (lente).

C

V

objeto

eje ópticoimagen

r

objeto

eje óptico

imagenV


Óptica de la reflexión.Espejos planos y esféricos

La ley de la reflexión de la luz estudiada en la unidad anterior nos permitecomprender el modo en el que se ven las imágenes en los espejos.

2.1. Espejos planos

Supongamos un conjunto de rayos incidentes que provienen de un focoluminoso, O, y se reflejan especularmente en una superficie lisa por completo,como la de un espejo bien pulido.

Al observador le parecerá que los rayos reflejados que le llegan provienendel foco O’, al otro lado del espejo. Se dice, en este caso, que O’ constituye unfoco virtual (su existencia no es real). Sin embargo, como puede verse en lafigura 11.6, la distancia de O al espejo es la misma que hay de este a O’, por loque el foco virtual O’ es simétrico a O respecto del espejo.

FIGURA 11.6. Formación de imágenes en un espejo plano.

Esto tiene particular importancia a la hora de representar las imágenesreflejadas en un espejo plano; basta con prolongar por el otro lado del espejolíneas perpendiculares a la superficie desde cada punto de la imagen real hasta una distancia idéntica. Uniendo posteriormente los puntos «virtuales»,habremos obtenido la imagen virtual reflejada en el espejo plano.

Así, por ejemplo, haciendo uso de la ley de la reflexión y teniendo encuenta las indicaciones comentadas, la imagen especular de la mano derechaes una mano izquierda. Igualmente, si te colocas frente a un espejo plano yalzas la mano derecha, en la imagen se alzará «la mano izquierda».

Decimos, pues, que la imagen formada en un espejo plano presenta inversiónlateral. En resumen:� La imagen formada en un espejo plano es virtual (los rayos reflejados

parecen provenir del punto imagen, pero no pasan realmente por dichopunto; solo lo hacen sus prolongaciones).

� La imagen formada en un espejo plano es del mismo tamaño que elobjeto.

� La imagen formada presenta inversión lateral (izquierda-derecha).

A C T I V I D A D E S

Un láser de color rojo incide en un espejo situado en el techo de una habitación,tal y como muestra la figura 11.7. Razona en qué punto (o puntos) debemos situarnospara ver la luz roja.

1


2

¿Cómo se hacen los espejos?

Un espejo puede consistir sim-plemente en una superficie me-tálica muy pulida. Sin embargo,tradicionalmente se han hechocon vidrio y un recubrimientode plata. En tiempos más recien-tes, se ha conseguido fabricarespejos de una gran calidad uti-lizando un recubrimiento dealuminio por evaporación en va-cío sobre superficies altamentepulidas.

O' foco virtual

FIGURA 11.7.

A

B

C


O foco real

2.2. Sistemas de espejos planos

Existe, sin embargo, la posibilidad de combinar espejos planos para produciruna imagen sin inversión lateral, por ejemplo situando dos espejos de este tipode modo que formen un ángulo de 90° (figura 11.8).

FIGURA 11.8.

Las imágenes I1 e I2 se obtienen directamente a partir del objeto O, comohemos indicado; I1 es la imagen del objeto O a través del espejo C, e I2, la for-mada a través del espejo A. La imagen I3 puede considerarse la proyección deI1 en el hipotético espejo AB o la de I2 en el también hipotético espejo CD.Sin embargo, en la figura 11.8 puede verse cómo se forma dicha imagen parael observador que mira hacia los espejos. Mire desde el ángulo que mire, paraél los rayos parecen provenir de I3, después de la doble reflexión que hansufrido los procedentes de O.

Reparemos en un detalle importante: la imagen I3, originada en un sistemade dos espejos planos que forman ángulo recto, no presenta inversión lateral.En otras palabras, la mano derecha O sigue apareciendo como tal mano derechaen la imagen I3; no ocurre así en I1 ni en I2 (figura 11.9).


Si los espejos planos producen inversión lateral, ¿por qué no originan inversiónvertical?

Una persona de 1,70 m de altura se coloca delante de un espejo plano a una distancia de 0,80 m.

a) ¿Qué tamaño tiene la imagen?

b) ¿Cuál debe ser la altura mínima del espejo para que la persona se vea decuerpo entero?

Comenta la formación de las siete imágenes del objeto O que aparecen cuandolos dos espejos forman un ángulo de 45°, como se indica en la figura 11.10.

¿Cuántas imágenes de O se obtendrán si los espejos planos forman 60°? Localizadichas imágenes.

Comprueba que en los casos expuestos en las actividades 4 y 5 se cumplen lassiguientes propiedades:

� Todos los puntos (tanto los del objeto como los de las imágenes) se encuen-tran en una circunferencia centrada en el punto de corte del sistema.

� El número de imágenes que se obtiene para ángulos divisores exactos de360° responde a la expresión:

N � �36

�

0°� �1

6

5

4

3

2

6 Ó P T I C A

D

O

CD

O

C

BB

AA

1I3I

2I

1I3I

2I

FIGURA 11.9. Podemos observar que la imagen I3

no presenta inversión lateral: vuelve a ser unamano derecha.

O

1II3

I2

FIGURA 11.10.

45ºO

1I

2I3I

4I

5I

6I 7I


2.3. Espejos esféricos desde la aproximaciónparaxial

En numerosas ocasiones, las fuentes luminosas están tan alejadas quepodemos considerar planos los frentes de onda que nos llegan. En esas cir-cunstancias, es posible hacer, utilizando espejos, que dichos frentes de onda setransformen en esféricos por reflexión y converjan en un punto, lo que dalugar a una imagen nítida y luminosa del objeto lejano (figura 11.11). Este es,por ejemplo, el fundamento óptico de los telescopios reflectores.

Los espejos o superficies que tienen la virtud de hacer converger en unpunto los rayos reflejados en su superficie son los espejos paraboloides. Estetipo de superficie está presente en numerosos dispositivos, como los reflec-tores plateados de las linternas o los faros de coche, y no digamos ya las antenasparabólicas, que tanto se han popularizado en los paisajes urbanos.

Sin embargo, la construcción de espejos paraboloides perfectos entrañauna gran dificultad práctica que acaba encareciéndolos. Esta dificultad no seencuentra en los espejos esféricos, pues dos superficies esféricas iguales tienenla propiedad de mantener todos sus puntos en contacto aunque desplacemosuna superficie sobre la otra, cosa que no ocurriría con las parabólicas. Estehecho permite pulir perfectamente y así obtener, de un modo sencillo, unespejo esférico de gran calidad.

Los espejos esféricos, no obstante, presentan un problema óptico impor-tante. No todos los rayos que se reflejan en su superficie convergen en el mismo punto (figura 11.12). Este problema se denomina aberración esférica.Sin embargo, los rayos próximos al eje óptico sí convergen en un punto,como puede observarse en la misma figura.

FIGURA 11.12. Aberración esférica en un espejo esférico.

La razón de este hecho es que, en la zona central próxima al eje óptico, laesfera y el paraboloide son indistinguibles (figura 11.13). En consecuencia, siconsideramos únicamente los rayos que inciden en esa región, todos conver-gerán en un punto.

Se denomina rayos paraxiales a los rayos más próximos al eje óptico.

En el caso de que los rayos provengan de una fuente O situada en el ejeóptico, los rayos paraxiales formarán con este ángulos pequeños.

Nosotros estudiaremos exclusivamente la formación de imágenes en espejosesféricos (que pueden ser cóncavos o convexos) desde esta aproximaciónparaxial, de modo que daremos por supuesto que la imagen de un objeto O seforma en un único punto, I.


FIGURA 11.11.

frentesincidentes

frentesreflejados

espejo

parábola

FIGURA 11.13. En la región paraxial, el paraboloide y la esfera son indistinguibles.

Y

XO

C

paraboloide

esfera

esfera


Criterio de signos DIN en sistemas ópticosPara el estudio de la formación de imágenes en sistemas ópticos esféricos

(ya sean espejos o lentes), usaremos el criterio de signos DIN, que se basa enlas siguientes normas:� Los ángulos se escriben con letras griegas minúsculas.� Las letras que hacen referencia a la imagen son las mismas que las del

objeto, pero marcadas como «prima».� Se considera que la luz incide sobre el sistema óptico por su izquierda,

propagándose hacia la derecha, salvo que se indique lo contrario.� El vértice V de la superficie esférica se toma como centro de un sistema de

referencia cartesiano habitual. Se denomina espacio objeto al situado a laizquierda de dicho vértice, y espacio imagen, al que queda a la derecha.

� Se establecen con signo negativo todas las distancias situadas en el espacioobjeto (a la izquierda de V) y con signo positivo las distancias corres-pondientes al espacio imagen (a la derecha de V). Igualmente, en el casode las distancias perpendiculares al eje óptico, se consideran positivas lasmedidas por encima del mismo y negativas las que quedan por debajo.

� Los ángulos que forman los rayos con el eje óptico son positivos cuando algirar el rayo hacia el eje (por el camino más corto) su rotación resulta con-traria a la de las agujas del reloj. En caso contrario, son negativos.

� Los ángulos de incidencia y refracción son positivos si, al girar cada unode los rayos hacia la normal por el camino más corto, la rotación tienelugar en sentido horario.

Método algebraico para la localización de la imagen.Fórmula de los espejos

Consideremos un espejo cóncavo en el que se reflejan los rayos paraxialesque provienen del objeto O para converger en el punto I, donde se forma laimagen. En la figura 11.14, C representa el centro de curvatura de la esfera,y P, el punto de incidencia del rayo con el espejo. Como puede deducirse de laley de la reflexión, y puesto que el radio CP es perpendicular a la superficie,los rayos incidente y reflejado forman con CP el mismo ángulo i^.

Veamos ahora dónde se formará la imagen si conocemos las característicasdel espejo (su radio de curvatura) y sabemos dónde se halla el objeto O delque parten los rayos. Llamemos s a la distancia que hay desde el objeto Oal vértice V, y s’ a la existente entre el punto imagen, I, y el mismo vértice. Ladistancia CV es el radio de curvatura, r, del espejo. Según la figura 11.14 yteniendo en cuenta el criterio de signos expuesto anteriormente, en el que losángulos �, � y � son negativos, al igual que las distancias r, s’ y s, se obtiene:

tg (� �) � ��

ls

�; tg (� �) � ��

lr

�; tg (� �) � ��

ls’�

Sin embargo, en la aproximación paraxial, los ángulos son muy pequeños,por lo que podemos considerar que la tangente es aproximadamente igual alángulo. En consecuencia:

� � � ��

ls

�; � � � ��

lr

�; � � � ��

ls’�

Eliminando los signos en ambos miembros, obtenemos la relación entrelos ángulos y las respectivas distancias:

� � �sl�; � � �

rl�; � � �

sl’�

Como la suma de los ángulos del triángulo OPI debe ser 180°:� � 2i^ � (180° � �) � 180° ⇒ � � 2i^ � � 11.1

8 Ó P T I C A

FIGURA 11.14.

� � �

s

O

P

VC

r

s

l

îî

I


11. Ó p t i c a g e o m é t r i c a 9

De igual modo, considerando ahora el triángulo CPI, tenemos que:� � i^ � (180° � �) � 180° ⇒ i^ � � � � 11.2

Sustituyendo la expresión 11.2 en la 11.1, se establece la relación quehay entre los tres ángulos, que, a su vez, permite expresar la relación existenteentre las distancias:

� � 2(� � �) � � ⇒ � � � � 2� 11.3

Considerando las expresiones deducidas a partir de la figura para cadaángulo:

�sl� � �

sl’� � 2 �

rl� ⇒ �

1s� � �

s1’� � �

2r� 11.4

Esta expresión, conocida como ecuación o fórmula de los espejos, permitedeterminar el punto donde se formará la imagen si conocemos r y la posicióndel objeto.

Un fenómeno especialmente interesante es el que tiene lugar cuando elobjeto O es muy distante, de modo que 1/s � 0. En estas ocasiones:

s’ � �2r� 11.5

Es decir, la imagen se forma en el foco, F. En ese caso, la distancia s’ recibeel nombre de distancia focal, f. Esta distancia es, en esencia, la característicamás importante de un espejo.

Para un espejo esférico de radio r, la distancia focal es la mitad de dichoradio (figuras 11.15 y 11.16):

f � �2r� 11.6

Podemos, pues, expresar la ecuación de los espejos en su forma más cono-cida, es decir, en función de la distancia focal del espejo:

�1s� � �

s1’� � �

1f� 11.7

FIGURA 11.15. El foco en un espejo cóncavo esférico está delante del espejo. Observa que tanto

en el dibujo como en la foto los rayos incidenpor la parte cóncava del espejo.

r

C F

__rf� 2

FIGURA 11.16. El foco en un espejo convexo esférico está detrás del espejo. Observa que tanto

en el dibujo como en la foto los rayos inciden por la parte convexa del espejo.

r

CF

__rf� 2


10 Ó P T I C A

A pesar de que la fórmula 11.7 ha sido deducida a partir del ejemplo delespejo cóncavo y en las condiciones establecidas en la figura 11.14, su validezse extiende a todos los espejos esféricos, ya sean cóncavos o convexos. Laúnica variación consiste en el criterio de signos de los valores de r y f; mientrasque en un espejo cóncavo dichos valores tendrán signos negativos, en unoconvexo serán positivos, como puede apreciarse en las figuras 11.17. En losdos casos, siempre que en la formación de imágenes intervenga un solo espejo,el signo del valor de s será negativo.

A P L I C A C I Ó N

Un objeto situado a 8 cm de un espejo esférico cóncavo produce una imagenvirtual a 10 cm de distancia por detrás del espejo. Determina:

a) La distancia focal del espejo.

Teniendo en cuenta el criterio de signos expuesto, y aplicando laecuación de los espejos, tenemos:

�1s� � �

s1’� � �

1f� ⇒ �

� 81

cm��

101cm� � �

1f� ⇒ f � � 40 cm

b) Su radio de curvatura.

Según la definición de la distancia focal:

f � �2r� ⇒ r � � 80 cm

c) La localización y tipo de imagen si el objeto se aleja hasta 25 cm de dis-tancia con respecto al espejo.

Si el objeto se aleja 25 cm del espejo, podemos calcular la distanciaa la que se formará la imagen, s’, despejando de la ecuación de losespejos:

�s1’� � �

1f� � �

1s� ⇒ s’ � � 66,6 cm

Se trata, pues, de una imagen virtual.


¿Puede emplearse la ecuación de los espejos esféricos para describir el com-portamiento de un espejo plano?

Al igual que un fragmento de frente de onda esférico puede conside-rarse plano cuando está a gran distancia del foco emisor, cabe suponerque un espejo plano es un espejo esférico de radio infinito. Aplicandoesta consideración a la ecuación de los espejos esféricos:

�1s� � �

s1’� � �

∞2

�

De aquí se deduce que:

�s1’� � ��

1s� ⇒ s’ � �s

Esta expresión nos indica que el signo de s’ será siempre opuesto a s.Dado que el valor de s será siempre negativo, entonces el de s’ resulta-rá positivo, situación que describe lo que sucede en un espejo plano: laimagen es virtual, es decir, se forma detrás del espejo, y de ahí el signopositivo de s’. Por otra parte, la distancia de la imagen al espejo es lamisma, en valor, que la del objeto al espejo. Así pues, la ecuacióngeneral es también aplicable a los espejos planos. Por otra parte, la dis-tancia de la imagen al espejo es la misma que la del objeto al espejo.Por tanto, la ecuación es también aplicable a los espejos planos.

FIGURA 11.17.a. Espejo cóncavo.

O VC

r

I

(�) s

(�) s

FIGURA 11.17.b. Espejo convexo.

O V C

r (�)

I

s (�)

(�) s


Explica en qué lado se forma laimagen en un espejo esférico cóncavocuando:

a) s < f.

b) s � f.

c) s > f.

Un objeto se encuentra situado a 20 cm del vértice de un espejo esfé-rico convexo de 25 cm de radio decurvatura. Determina la posición de laimagen.

8

7



Superespejos cósmicos:«el Grantecan»

Si resulta difícil fabricar espejosde calidad de pequeño diáme-tro, imagínate lo que puede su-poner pulir y fabricar espejosde gran diámetro, como los quese usan en los grandes teles-copios operativos del mundo.Entre ellos, el GRANTECAN (GranTelescopio de Canarias) con sus10,4 m de diámetro es, hoy porhoy, el de mayor abertura. Unespejo de tal diámetro y tama-ño sufriría graves problemasde deformación por efecto delcalor y de su propio peso. Paraevitar dichos problemas, el es-pejo primario se ha construidocon 36 segmentos hexagonalesde 1,9 m cada uno, dotados delibertad de movimiento quepermite los ajustes ópticos ne-cesarios.

En el caso del VLT (Very LargeTelescope) de Cerro Paranal(Chile), el uso combinado de loscuatro telescopios de 8,2 mexistentes, equivaldría a uno de16,4 m de abertura efectiva.

FIGURA 11.18.

FIGURA 11.20.

V

s

h

h'

s'

î

î'

C

2.4. Formación de las imágenes en espejosesféricos: diagramas de rayos y aumento de la imagen

Si tomamos en consideración las dimensiones del objeto que se refleja enel espejo podemos entender cómo son las imágenes que se producen en losdistintos espejos y cuándo resultan aumentadas o disminuidas. Además esposible aplicar al problema un tratamiento gráfico muy sencillo, denominadodiagrama de rayos, que nos permite averiguar cómo es la imagen formada delobjeto. Para ello, consideremos una persona de altura h que se mira en unespejo esférico cóncavo de distancia focal f y de radio de curvatura r.

El método del diagrama de rayos es el siguiente (figura 11.19):� Rayo 1. Se traza desde la parte superior del objeto y transcurre paralelo al

eje óptico. Al reflejarse según la ley de la reflexión, pasará por el foco F.� Rayo 2. Se traza desde la parte superior del objeto y pasa por el centro de

curvatura C. El rayo reflejado tiene exactamente la misma dirección queel incidente.

� Rayo 3. Se traza desde la parte superior del objeto y pasa por el foco F. El rayo reflejado sale paralelo al eje óptico.Pues bien, estos tres rayos se cortan en un punto, P, que corresponde a la

parte superior de la imagen formada, como puede verse en la figura 11.19.

De ese modo, podemos observar gráficamente si la imagen es real o virtual,si está derecha o invertida y si resulta aumentada o disminuida.

Se denomina aumento de la imagen a la relación existente entre el tamañode la imagen, h’, y el tamaño del objeto, h.

Si observamos la figura 11.20, podremos apreciar que el rayo que provienede la parte superior del objeto y se refleja en el vértice V pasa por el extremosuperior de la imagen. Teniendo en cuenta el criterio de signos DIN, la ley dereflexión aplicada a la figura 11.20 se expresaría así: � i � i’.

Como puede comprobarse en la misma figura, utilizando la aproximaciónparaxial (tg(� i^) � � i ; tg i’^� i’):

� i � ��

hs

� i’ � ��

�

hs’’

�

Puesto que � i = i’, igualando ambas expresiones obtenemos el aumentode la imagen:

aumento de la imagen � �hh’� � ��

ss’� 11.8

Un aumento negativo significa que la imagen está invertida, cosa queocurrirá cuando s y s’ tengan el mismo signo (se encuentran del mismo ladodel espejo). Si el aumento es 1, la imagen es de tamaño natural.

C

F

P

rayo 1

rayo 3

rayo 2

FIGURA 11.19.


¿Cómo se ven las imágenes en los espejos esféricos cóncavos?Lo estudiado en el apartado anterior nos permite analizar el modo en que

se aprecian las imágenes en los espejos esféricos cóncavos. La secuencia de lafigura 11.21 muestra, mediante diagramas de rayos, las distintas imágenes deun observador que, situado frente al espejo, se va aproximando a él.


Se desea formar una imagen invertida de 30 cm de altura sobre una pantallaque se encuentra a 4,2 m del vértice de un espejo esférico cóncavo. El objeto queproduce la imagen mide 5 mm. Determina:

a) La distancia respecto del espejo a la que debe colocarse el objeto.

b) La distancia focal y el radio de curvatura del espejo.

9

12 Ó P T I C A

FIGURA 11.21.b. A medida que el observador se va acercando a C, pero sin llegar a esepunto (s > r), su imagen sigue siendo real e invertida, aunque va aumentando, perosu tamaño sigue siendo menor que el natural (s’ < s).

C

F

FIGURA 11.21.c. Cuando el observador se encuentra exactamente en C (s � r),ve su imagen a tamaño natural, imagen que es real, pero invertida (s’ � s).

C

F

FIGURA 11.21.d. Si el observador sigue acercándose, de modo que se sitúa entre C y F (f < s < r), su imagen, real e invertida, aparecerá ahora aumentada, y seguiráagrandándose hasta que el observador se sitúe en F (s � f), punto en el que su imagen, borrosa e irreconocible (s’ infinita), llenará la totalidad del espejo.

C

F

FIGURA 11.21.e. Por último, cuando s < f, la imagen pasa a ser virtual (se forma detrásdel espejo) y aparece derecha y aumentada. Tan solo cuando el observador se pegueal espejo, verá su imagen del mismo tamaño y derecha.

C

F

FIGURA 11.21.a. Cuando la distancia a la que se encuentra el observador es mayor que el radio

de curvatura (s >> r), la imagen es real, invertida ydisminuida (s’ < s).

C

F


¿Cómo se ven las imágenes en los espejos esféricos convexos?A partir de la ecuación de los espejos (expresión 11.7), se deduce que:

�s1’� � �

1f� � �

1s�

Como puede verse en la figura 11.22, en un espejo convexo, f y r son posi-tivos, mientras que s tendrá siempre signo negativo. En consecuencia, el signode s’ será siempre positivo. Es decir, la imagen será siempre virtual (se forma«detrás» del espejo). Observemos, igualmente, que, sea cual sea la ubicacióndel observador (o del objeto de que se trate), su imagen siempre estará derechay disminuida (figura 11.22). Podemos concluir que:

La imagen formada en un espejo esférico convexo es siempre virtual, derecha y disminuida.

Por otra parte, el campo de visión de estos espejos es más amplio, al divergerlos rayos de su superficie. Este hecho tiene una gran utilidad práctica, porejemplo en los espejos que a veces se encuentran en las intersecciones o crucesde calles, que permiten una amplia visión de las mismas (figura 11.23). Losespejos de retrovisor «panorámicos» de los coches también son de este tipo.

Seguro que más de una vez te habrás divertido al contemplar tu narizsobresaliendo del conjunto de tu cara conforme te acercas a una superficiereflectante convexa. Esto es debido a que tu nariz, más próxima al espejo, pro-duce una imagen menos disminuida que el resto de tu cara, algo más alejada,lo que en conjunto produce esa imagen nariguda que tanta gracia nos hace.

La tabla 11.1 resume esquemáticamente el análisis que hemos realizado.


Un objeto de 10 cm de altura se sitúa a 1 m de un espejo esférico convexo cuyadistancia focal es de 3 m. Describe la imagen que se formará.

¿Qué tipo de espejo necesitamos y con qué radio de curvatura si deseamos queun objeto situado a 1 m de su vértice produzca una imagen derecha que tenga lamitad de su tamaño?

11

10


FIGURA 11.23. Las imágenes en los espejosconvexos aparecen derechas y disminuidas.

Plano

Esférico cóncavo

r � ∞ Virtual, derecha, tamaño natural

s > rs � rr > s > fs � fs < f

Real, invertida, disminuidaReal, invertida, tamaño naturalReal, invertida, aumentadaNo se forma imagen nítidaVirtual, derecha, aumentada

Tipo de espejo

TABLA 11.1. Tipos de espejos e imágenes formadas según la situación del objeto.

Situación del objeto Tipo de imagen formada

Cualquier posiciónEsférico convexo Virtual, derecha, disminuida

CFCF

FIGURA 11.22.


Óptica de la refracción.Lentes delgadas

Hemos estudiado la formación de imágenes de un objeto por reflexión endistintos tipos de espejos. En los siguientes apartados vamos a analizar cómose ven los objetos a través de superficies refractoras, entendiendo por talesaquellas que separan dos medios de distinto índice de refracción. En otraspalabras, vamos a estudiar la formación de imágenes por refracción.

Si entendemos el modo en que se forman las imágenes por refracción,podemos explicar también por qué un objeto recto (una pajita, un remo,etcétera), parcialmente sumergido en agua, se aprecia curvado (figura 11.24).

Analizaremos, finalmente, la aplicación más extendida del fenómeno deformación de imágenes por refracción: la construcción de lentes para diversosfines (aumento de la imagen, corrección de problemas visuales, etcétera).

3.1. Formación de imágenes por refracción en superficies esféricas

Consideremos un objeto luminoso, O, situado en un medio de índice derefracción n1 a una distancia s del vértice V de una superficie refractora esfé-rica convexa. Los rayos luminosos que proceden del objeto O son desviados alatravesar la superficie de separación de dos medios distintos. Si el segundomedio tiene un índice de refracción, n2, mayor que n1, los rayos que llegan acualquier punto de la superficie serán desviados hacia una mayor aproximacióna la normal a la superficie en ese punto (figura 11.25).

Consideremos el rayo que incide en el punto P, a una altura l sobre el ejeóptico. El radio de curvatura de la superficie refractora es r, y C es el centrode curvatura. El punto de convergencia de los rayos, es decir, el lugar dondese forma la imagen, es I y está localizado a una distancia s’ del vértice de lasuperficie.

Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a determinar dónde se formará laimagen si conocemos la posición del objeto, s, los índices de refracción de losmedios y las características de la superficie de separación. Observemos paraello la disposición geométrica de la figura 11.25: los ángulos (��), � y � sonlos que forman el rayo incidente, la normal en P (o radio de curvatura) y elrayo refractado, respectivamente, con el eje óptico. Nótese que el signo de(��) se debe exclusivamente a la aplicación a la figura del criterio DIN queempleamos en el texto.

14 Ó P T I C A

3

FIGURA 11.24. Efecto óptico de la refracción:la pajita parece curvarse en el líquido.

V

�s s’

O

��

l

C

r

medio 1 medio 2P

r

î

I

FIGURA 11.25. Refracción en una superficie esférica cuando n2 > n1.


Teniendo en cuenta el criterio de signos y la aproximación paraxial, lastangentes de los ángulos equivalen prácticamente a los ángulos, de modo que:

(� �) � ��

ls’�; � � �

rl�; � � �

sl’�

Aplicando la ley de Snell, se cumple que:

n1 sen i^ � n2 sen r^ 11.9

que, teniendo en cuenta dicha aproximación, adoptará la forma:

n1i^

� n2r^

En el triángulo OPC, podemos observar cómo se relaciona el ángulo deincidencia i^ con (��) y �. Vemos que en dicho triángulo:

(��) � � � (180° � i^) � 180°Es decir:

i^ � (��) � � 11.10

Por otra parte, podemos determinar en el triángulo PCI la relación exis-tente entre el ángulo de refracción r^ y los ángulos � y �, de modo que:

r^ � � � (180° � �) � 180°Y, por tanto:

r^ � � � � 11.11

Al sustituir los valores de i^ y r^ en la expresión de la ley de Snell desde laaproximación paraxial, obtenemos:

n1 �(��) � �)� � n2 (� � �)Y con los valores deducidos para estos ángulos en función de las distancias,

podemos escribir:

n1 ��

ls

� � �rl�� n2 ��

rl� � �

sl’��

expresión de la que se deduce la ecuación del dioptrio1 esférico:

�ns’

2� � �

ns1� ��

n2 �

rn1

� 11.12

Esta ecuación relaciona la distancia a la que se forma la imagen, s’, conla distancia a la que se encuentra el objeto, s, y con las características de la superficie, r, así como con los índices de refracción de los dos medios. Laecuación, en aproximación paraxial, fue deducida en 1841 por Gauss, por loque también se conoce como aproximación gaussiana.

En la deducción de esta expresión hemos considerado un caso muy deter-minado: aquel en el que la superficie esférica es convexa hacia el medio deíndice n1 y en el que n1 < n2. En estas condiciones, los rayos convergen paraformar una imagen en el medio n2. Dicha imagen es real, pues los rayos queconvergen en ese punto son reales (transportan energía) y no resultan de laprolongación ficticia de otros. Sin embargo, no siempre serán estas las condi-ciones, aunque ello no afecte a la validez de la ecuación. Bastará con utilizarcorrectamente el criterio de signos utilizado en la presente unidad.


1dioptrio: superficie de separación dedos medios que tienen distinto índicede refracción.

Dos obras adelantadas a su tiempo

Euclides y Descartes ya aborda-ron temas de la óptica moderna.El primero expuso la ley de lareflexión en su obra Catóptrica(aproximadamente 300 a. C.).Descartes, por su parte, dedicósu obra La dióptrica (1637) a larefracción.

FIGURA 11.26. Refracción en una superficie esférica.


Aumento de la imagen por refracción

La imagen formada por refracción a través de una superficie puede resultaraumentada o disminuida, al igual que ocurría en el caso de los espejos. Sedefine el aumento lateral de la imagen como la relación existente entre laaltura de la imagen formada, h’, y la del objeto, h (figura 11.27).

Como puede verse en la figura 11.27, y teniendo en cuenta la aproxima-ción paraxial (que presupone que los ángulos de incidencia y refracción sonpequeños):

(� r^) � ��

s’h’�; (� i^) � �

�

hs

�

valores que, sustituidos en la ley de Snell, conducen a:

n1(�i^) � n2(�r^) ⇒ n1 ��

hs

�� n2 ��

s’h’��

De aquí se obtiene que el aumento de la imagen viene dado por la expresión:

�hh’� � �

nn

1

2

ss’

� 11.13

igualdad que permite deducir el aumento de la imagen en función de las distancias y los índices de refracción.

Distancias focales en la óptica de la refracción

En los problemas de óptica de la refracción suelen definirse dos tipos dedistancias focales. Imaginemos de nuevo la superficie esférica convexa quesepara dos medios de índices n1 y n2 y en donde n1 < n2.

Si el objeto está a una distancia muy lejana (s � ∞), los rayos incidentespueden considerarse paralelos (puesto que los frentes de onda serían planos).El punto F’, en el que convergen los rayos refractados, es denominado focoimagen, y s’ es, en este caso particular, igual a f ’, conocida como distanciafocal imagen (figura 11.28). Dicha distancia puede obtenerse a partir de laecuación del dioptrio esférico (expresión 11.12):

�nf ’

2� � �

n�

1� ��

n2 �

rn1

�

De donde:

f ’ ��n2 �

n2

n1

� r 11.14

16 Ó P T I C A

FIGURA 11.27.

V C

�s s'

h

�h'

�r

�î

FIGURA 11.28.

V C

F’

f’


De forma análoga, podemos establecer un foco objeto, F, que es el puntodesde el que deberían partir los rayos incidentes para que los rayos refractadossalieran paralelos (figura 11.29).

Así, s’ � ∞, y la distancia s correspondiente es denominada distancia focalobjeto, f. Dicha distancia se obtiene del siguiente modo:

�n�

2� � �

nf1� ��

n2 �

rn1

�

De donde:

f � ��n2 �

n1

n1

� r 11.15

A ambas distancias focales se les aplica el mismo criterio de signos que a s’ y s, respectivamente, pues en realidad no son más que un caso particular dedichas distancias.

Observa que, si dividimos las expresiones 11.14 y 11.15, obtenemos larelación que hay entre ambas distancias focales, que es igual a la existenteentre los índices de refracción de los medios:

�ff’� � � �

nn

1

2

� 11.16


Desde el interior de una pecera de forma esférica de 50 cm de diámetro, un pezobserva los ojos de un gato que se encuentran a 20 cm de la superficie de la pecera.Describe la imagen que ve el pez (distancia a la que se produce, aumentoy características de dicha imagen).

Dato: nagua � 1,333.

Una superficie convexa separa dos medios de índices 1 y 1,6, respectivamente. Siun objeto que se encuentra a 40 cm del vértice en el primer medio tiene su imagenen el segundo a 64 cm, ¿cuál es el radio de curvatura de la superficie?

¿Cuáles serían las distancias focales objeto e imagen de la superficie de la actividadanterior?

Una varilla de vidrio de gran longitud tiene un extremo en forma de superficiesemiesférica convexa con un radio de curvatura de 10 cm. Teniendo en cuenta queel índice de refracción del vidrio es 1,5, halla dónde se formará la imagen de unobjeto puntual y describe el tipo de imagen en los siguientes casos:

a) El objeto está situado sobre el eje, en el aire, a 30 cm de la superficie.

b) El objeto está situado a 5 cm de la superficie.

c) El objeto está muy alejado de la superficie.

15

14

13

12


FIGURA 11.29.

V C

f

F


3.2. Imágenes formadas por refracción en superficies planas

La ecuación del dioptrio esférico puede aplicarse también cuando la super-ficie de separación de los dos medios es plana. Ese sería el caso, por ejemplo,de la superficie del agua de un estanque. Veamos qué imágenes de los objetosse aprecian en esta situación.

Una superficie plana puede considerarse como si fuera una superficie esfé-rica de radio infinito (r � ∞). La ecuación del dioptrio esférico quedaría así:

�ns’

2� � �

ns1� � 0

Por consiguiente, la distancia a la que se formará la imagen será:

s’ � �nn

2

1

� s

Puesto que no hay índices de refracción negativos, y teniendo en cuentael criterio de signos expuesto, el signo de s’ será el mismo que el de s, por loque podemos afirmar que:

La imagen de un objeto, visto a través de una superficie refractora plana, es virtualy se forma del lado del objeto (lado de incidencia).

De la expresión anterior se desprende que, si el medio de incidencia de losrayos tiene un mayor índice de refracción que el de transmisión (n1 > n2),veremos el objeto más próximo de lo que realmente está. Esto es lo que ocu-rre, por ejemplo, cuando observamos un objeto que se encuentra dentro delagua (figura 11.30); da la sensación de que está a menor profundidad de laque realmente tiene.


En algunas zonas del planeta aún existen pueblos que pescan peces sirviéndosede lanzas. Si una de estas personas desea atrapar una pieza, ¿hacia dónde crees quetendría que apuntar?

¿A qué profundidad real estaría una piedra del fondo de un río si la vemos comosi se hallase a 40 cm de distancia con respecto a la superficie?

17

16


¿Por qué un remo o un palo parcialmente sumergido en agua parece estarcurvado?

La razón es que la imagen que nosotros vemos del remo sumergido seforma a una profundidad menor que la real, que es la que sugeriría ladirección de la parte no sumergida del palo o remo. Si consideramosque el índice de refracción del agua (medio de incidencia) es 1,333y el del aire (medio de transmisión) es 1, la distancia a la que se formala imagen que nosotros vemos será:

s’ � �1,3

133� s � 0,75 s

Puesto que s representa en este caso la profundidad real del objeto,comprobamos que la imagen que nosotros vemos del remo se encuen-tra a 0,75 veces (3/4 partes) la profundidad real. Por esa razón, el remoparece estar curvado y a menor profundidad. Es, pues, un efecto derefracción. El signo de s’ es el mismo que el de s, lo cual indica que laimagen que vemos está en el agua y es virtual.

18 Ó P T I C A

FIGURA 11.30. Las imágenes de los objetos bajo el agua parecen hallarse a menor profundidad de lo que realmente están.

pez

imagen del pez vista por el observador



3.3. Lentes delgadas

Una de las aplicaciones prácticas más interesantes de la ecuación deldioptrio esférico es la fabricación de lentes para determinados usos, comotelescopios refractores, gafas para la vista, lupas, objetivos de cámara, prismá-ticos, etcétera.

Existen referencias de la existencia de lentes que datan de 500 años a. C.Sabemos también que los griegos las fabricaban con fines bélicos (provocarincendios en sus acciones guerreras) o, simplemente, para encender hogueras.Así lo narra Aristófanes en su comedia Las nubes (423 a. C.). Hoy en día, elconocimiento de los principios ópticos de las lentes nos permite desarrollarlassegún el fin concreto al que estén destinadas. Pero ¿qué entendemos por lente y cómo podemos comprender su funcionamiento a partir de lo estudiado hasta ahora?

Una lente es un sistema óptico formado por dos o más superficies refractoras, delas que al menos una está curvada.

Cuando las superficies refractoras son dos, la lente se denomina lente simple.Si, además, su grosor es despreciable en relación con las distancias s, s’ y r,recibe el nombre de lente delgada. Una primera clasificación de este tipo delentes es la siguiente:

� Lentes convexas o convergentes, conocidas también como positivas. Sonmás gruesas en su parte central y hacen converger los rayos que las atraviesan(considerando siempre que el índice de refracción de la lente es mayor queel del medio que la rodea).

� Lentes cóncavas o divergentes, también conocidas como negativas. Sonmás delgadas en su parte central, lo que provoca la divergencia de losrayos que las atraviesan (teniendo en cuenta la misma consideración queen el caso anterior).A su vez, dependiendo de la forma de las dos superficies que la conforman,

es tradicional subdividirlas como se aprecia en la tabla 11.2.

FIGURA 11.31.

Biconvexa Bicóncava

Menisco-convexa Menisco-cóncava

Plano-convexa Plano-cóncava

Lentes convexas o convergentes

TABLA 11.2. Tipos de lentes.

Lentes cóncavas o divergentes

Representación de lentes

En algunos libros de texto es ha-bitual encontrar el siguiente cri-terio para representar las lentes:

Lente convergenteo convexa

Lente divergenteo cóncava

FIGURA 11.32.a. FIGURA 11.32.b.


Ecuación de las lentes delgadasLa superficie o superficies curvas de la mayoría de las lentes es esférica. La

razón no es que ópticamente trabajen mejor, sino la facilidad con que se puleuna superficie esférica, lo que hace que, al igual que ocurría en el caso de losespejos, se puedan obtener superficies de gran calidad.

En nuestros cálculos consideraremos únicamente este tipo de lentes, porlo que podremos aplicar lo estudiado acerca de la refracción en superficiesesféricas. Consideremos una lente delgada biconvexa como la que se ilustraen la figura 11.33. Las superficies esféricas que la constituyen tienen radios decurvatura r1 y r2, respectivamente. Supongamos que el índice de refracción dela lente es n (y considerémoslo > 1) y que el medio que la rodea es el aire(consideremos naire � 1). El hecho de suponer que la lente es delgada (deespesor casi cero) nos permite considerar las distancias no desde el vértice,sino desde el centro óptico de la lente, O.

Desde el objeto P, que se halla a una distancia s del centro óptico, O, partenrayos luminosos que llegan a la superficie de radio r1. Al alcanzar la interfase,sufren una primera refracción que hace que parezcan provenir del punto P’,situado a una distancia si’ de O. Por tanto, la imagen sería virtual y se formaríaen dicho punto P’. Aplicando la ecuación del dioptrio esférico a dicha superficieesférica, tendremos:

�sn

i’� � �

1s� � �

n �

r1

1�

Sin embargo, la imagen no llega a formarse en dicho punto, porquea continuación los rayos sufren una segunda refracción en la superficie deradio r2, para converger finalmente en I, lugar donde se forma la imagen a unadistancia s’ de O. Podemos suponer que, en esta segunda refracción, los rayosincidentes provienen de P’ y que el medio incidente es n, mientras que elmedio al que se transmiten los rayos es el aire. Aplicando en estas condicionesla ecuación del dioptrio esférico, obtenemos:

�s1’� � �

sn

i’� � �

1 �

r2

n�

El proceso completo de doble refracción a través de las dos superficies seobtiene sumando las ecuaciones correspondientes a cada superficie:

�s1’� � �

1s� � (n � 1) ��

r1

1

� � �r1

2

�� 11.17

Esta ecuación es conocida como la ecuación del fabricante de lenteso fórmula de las lentes delgadas. Con ella es posible conocer la distancia s’en función de la distancia al objeto, s, del índice de refracción de la lente, n,y de las características constructivas de la misma (r1 y r2).

20 Ó P T I C A

FIGURA 11.33.

ss’

s'i

r2 r1

C1C2PP' O

medion

aire aire

I



FIGURA 11.34. En las lentes delgadas,las dos distancias focales (objeto e imagen) valen lo mismo.

F

�f

focoobjeto

F´

f’

focoimagen

Potencia o dioptrías de una lente

En el lenguaje popular se sueledecir con frecuencia que se tie-nen «tantas dioptrías de mio-pía». Esas dioptrías miden, enrealidad, la potencia de la lenteque se debería usar para corre-gir el defecto de visión.

Así pues, la dioptría es la uni-dad que mide la potencia deuna lente. Se denomina poten-cia de una lente a la inversa desu distancia focal, f. Cuando f semide en metros, la potencia vie-ne dada en dioptrías:

P � �1

f�

Podemos expresar esta ecuación en función de la distancia focal de la lente.Como ya se comentó al hablar de las distancias focales en la refracción, unalente delgada presenta dos distancias focales: la distancia focal objeto, f, y ladistancia focal imagen, f’. La primera se obtiene haciendo s’ � �; en ese caso,s � f, obteniéndose:

� �1f� � (n � 1) ��

r1

1

� � �r1

2

��La segunda distancia focal (imagen), se halla haciendo s � �; y entonces

s’ = f ’.

�f1’� � (n � 1) ��

r1

1

� � �r1

2

�� 11.18

Esta ecuación, referida a cualquiera de las dos distancias focales, se conocecomo ecuación del fabricante de lentes en función de la distancia focal.

Como puedes comprobar, las dos distancias focales tienen el mismo valor,independientemente del signo (que solo es indicativo de que ambas distanciasfocales se encuentran en los lados opuestos de la lente). Así pues:

En las lentes, la distancia focal objeto y la distancia focal imagen valen lo mismo.

Es evidente, pues, que, comparando las dos expresiones de la ecuación delfabricante de lentes, se obtiene la siguiente igualdad:

�s1’� � �

1s� � �

f1’� o bien: �

s1’� � �

1s� � ��

1f�

ecuación que se conoce como fórmula gaussiana de las lentes delgadas.Observa que esta última expresión es la misma que usamos como ecuación delos espejos. La única diferencia entre ambas estriba en el signo, como resultadodel criterio que se emplea.

No debemos olvidar, sin embargo, que el desarrollo que nos ha conducidoa estas ecuaciones se basa en la suposición de que el medio circundante de lalente es el aire, cuyo índice de refracción hemos considerado igual a 1.

FIGURA 11.35. El foco de la lente es el punto dondeconvergen los rayos, que discurrían paralelos antes de refractarse en la lente.

FIGURA 11.36. En el caso de las lentes divergentes,el foco es el punto de corte de las prolongaciones de los rayos divergentes.


En el caso de que la lente se encuentre inmersa en cualquier otro mediode índice de refracción n’, la ecuación de las lentes en función de la distanciafocal sería idéntica a la deducida tomando como medio el aire, sin más quesustituir el índice de refracción absoluto de la lente, n, por su índice de refracciónrelativo al medio, nrel:

�f1’� � (nrel � 1) ��

r1

1

� � �r1

2

�� 11.19

donde nrel � n/n’, es decir, es igual al índice de refracción de la lente divididoentre el del medio.

Esto significa que el comportamiento convergente o divergente de unalente depende del medio en el que se encuentre inmersa, o lo que es lo mismo,que una lente biconvexa se comporta como convergente cuando el mediocircundante es el aire, pero lo hace como divergente si el medio circundantetiene un índice de refracción mayor que el vidrio de la lente. La razón de estoes que, en ese caso, (nrel � 1) < 0, y la distancia focal imagen, f’, se forma enel lado de incidencia, por lo que la lente se comportaría como una lentedivergente (figura 11.37).

En la figura 11.38 puedes observar que la distancia focal depende delmedio en el que está inmersa.

22 Ó P T I C A

FIGURA 11.38. La misma lente inmersa en aire (fotografía de la izquierda) y (en la de la derecha) en agua.

F’F’

nmedio < nlente

F´

nmedio > nlente

nmedio > nlente nmedio < nlente

F´FIGURA 11.37. Una lente convergente en el aire

puede ser divergente cuando el medio circundantetiene mayor índice de refracción. La misma

inversión se produce en el caso de una lentedivergente en el aire.



FIGURA 11.39. Si se contempla la imagen a través de las lentes, ¿cuál dirías que es la convergente? ¿Y la divergente?

3.4. Formación de imágenes en lentes delgadas.Diagramas de rayos para lentes

Al igual que hicimos en el caso de los espejos, nos proponemos ahoraanalizar la visión a través de los distintos tipos de lentes. Vamos, pues, a res-ponder a las siguientes preguntas: ¿cómo vemos la imagen de un objeto a través deuna lente?, ¿en qué condiciones aparece invertida o derecha?, ¿cuándo se observaaumentada o disminuida?

Para determinar cómo y dónde se forma la imagen de un objeto, necesi-tamos conocer la distancia focal de la lente, la posición del objeto, s, y sutamaño. De ese modo, aplicaremos en estos casos la forma más simple de laecuación de las lentes, la formulación gaussiana:

�s1’� � �

1s� � �

f1’�

Existe un procedimiento complementario muy útil para analizar la formaciónde la imagen de un objeto visto a través de una lente. Se trata del método deldiagrama de rayos, por el que se eligen tres rayos significativos, a los que seaplican los principios ópticos estudiados.

Supongamos que deseamos formar la imagen de la persona representadaen la figura 11.40; para ello, trazaremos, en cada caso, los tres siguientes rayosdesde su parte superior e inferior:

� Rayo 1. Es paralelo al eje óptico y, tras ser refrac-tado en la lente, pasa por el foco imagen de lamisma.

� Rayo 2. Pasa por el centro óptico de la lente. Desdeel punto de vista de las lentes delgadas, podemosconsiderar que no sufre desviación algunay, por tanto,atraviesa la lente en línea recta.

� Rayo 3. Pasa por el foco anterior a la lente, focoobjeto, y, tras ser refractado en la lente, emergeparalelo al eje óptico.De este modo, el punto en el que se cortan dichos

rayos (o sus prolongaciones) nos da la situación de laimagen y su tamaño.

El aumento, al igual que ocurría en el caso de los espejos, viene determi-nado por la relación entre el tamaño de la imagen y el del objeto.

Observando la figura 11.41, y utilizando la aproximación paraxial y elcriterio de signos DIN:

� � ��

hs

�; � � ��hs’’�

Por lo que:

aumento de la imagen � �hh’� � �

ss’� 11.20

Puesto que el signo de s, en el caso de una lente, essiempre negativo, podemos concluir que:� Si la imagen se forma en el lado de transmisión

(s’ positiva), siempre será invertida.� Si la imagen se forma en el lado de incidencia

(s’ negativa), siempre será derecha.El aumento dependerá, en cada caso, de los valores

de s’ y s.

F’

F

s

�

�

s’

h

h'

O

FIGURA 11.41.

rayo 1rayo 2

rayo 3

rayo 1rayo 2

rayo 3 F F’O

FIGURA 11.40.


Imagen de un objeto visto a través de lentes biconvexasUtilicemos el diagrama de rayos a fin de analizar la visión de un objeto

a través de una lente biconvexa. Para ello, supondremos que el objeto estásituado a diferentes distancias características:� Posición del objeto entre el infinito y 2f. La imagen se formará siempre

entre f’ y 2f’, como se deduce de la ecuación gaussiana al considerar s � ∞,en un caso, y s � 2f, en el otro y teniendo en cuenta que � f � f’. Con eldiagrama de rayos puede observarse que la imagen que se ve es siemprereal, invertida y disminuida (figura 11.42).

� Posición del objeto a una distancia s � 2f. Como se desprende de lafórmula gaussiana, la imagen se forma a una distancia s’�2f’. Así, la imagenes real e invertida, pero de tamaño natural (figura 11.43).

� Posición del objeto a una distancia s comprendida entre f y 2f. Aplicandolos dos valores extremos a la ecuación gaussiana, se comprueba que laimagen se forma entre el infinito y 2f’. En consecuencia, la imagen es real,invertida y aumentada (figura 11.44).

� Posición del objeto a una distancia s � f. La imagen se produce en elinfinito. En lugar de dicha imagen, se aprecia un gran borrón.

24 Ó P T I C A


F’

F

s

objeto

imagen

O

s’

f f’2f 2f’


F’

F

objeto

O


F’

F O


� Posición del objeto a una distancia s < f. La lente se convierte en lupa.La distancia s’ resulta negativa, por lo que la imagen es virtual y su tamañoviene dado por el punto de corte de las prolongaciones de los rayos. Laimagen es virtual, derecha y aumentada (figura 11.45).

Imagen de un objeto visto a través de lentes bicóncavasComo r1 es negativo, y r2, positivo, f’ será negativa y, sea cual sea s, tendre-

mos que:

�s1’� � �

f1’� � �

1s� < 0 ⇒ s’ < 0

Es decir, la imagen será siempre virtual, pues se forma en el lado de inciden-cia. En este caso, el procedimiento para la formación de la imagen medianteel diafragma de rayos consiste en buscar en dicho lado el punto de corte de lasprolongaciones de los rayos (figuras 11.46).

Puede observarse que:

La imagen de un objeto visto a través de una lente bicóncava (divergente enmedio aéreo) es virtual y siempre aparecerá derecha y disminuida.

La tabla 11.3 resume los análisis realizados.


Biconvexa

∞ > s > 2fs � 2f2f > s > fs � fs < f

Real, invertida, disminuidaReal, invertida, tamaño naturalReal, invertida, aumentadaNo se aprecia imagen nítida (s’ � ∞)Virtual, derecha, aumentada (lupa)

Tipo de lente

TABLA 11.3. Tipos de lentes e imágenes según la situación del objeto.

Situación del objeto Tipo de imagen formada

Cualquier posiciónBicóncava Virtual, derecha, disminuida

FIGURA 11.45.b.

F’

F O

imagen

FIGURA 11.45.a.

FIGURA 11.46.C.

FIGURA 11.46.a.

FF Oimagen

objeto

FIGURA 11.46.b.

F

F Oimagenobjeto


El ojo humano

El sistema óptico por excelencia es, por ejemplo, el ojo de nuestra propiaespecie, formado por un conjunto de lentes y el diafragma, que constituyen,en condiciones normales, un excelente sistema óptico autoadaptativo.

Básicamente consiste en una esfera gelatinosa que se encuentra contenidaen un envoltorio semiduro de color blanco, denominado esclerótica. Las partesprincipales del ojo, presentadas en el orden en el que son atravesadas por losrayos de luz, son las siguientes:� La córnea. Es la parte frontal y transparente de la esclerótica (el blanco de

los ojos). Actúa como una lente convexa que dirige hacia el eje óptico losrayos que inciden en ella. La córnea está ligeramente achatada, de modoque apenas produce aberración esférica. El índice de refracción de la córneaes, aproximadamente, de 1,37, muy similar al del agua.

� El iris. Actúa como un diafragma cuya abertura regula el paso de la luz.Está constituido por músculos radiales y circulares, y a él se debe el colorcaracterístico de los ojos. Su orificio se denomina pupila. La razón por laque la pupila es de color negro es la misma que explica que veamos de esecolor el interior de una vivienda lejana contemplado a través de sus ven-tanas: los rayos que entran no salen reflejados. Sin embargo, la pupila noes más que un orificio a través del cual se observa la retina, de color rojizo,que se hace visible en algunas fotos disparadas con flash. El iris está inmersoen el llamado humor acuoso, cuyo índice de refracción es casi idéntico aldel agua.

� El cristalino. Es una lente constituida por unas 22 000 capas o láminastransparentes. Su índice de refracción no es homogéneo (varía desde 1,38en su periferia hasta aproximadamente 1,4 en su núcleo). Su elasticidad leconfiere la capacidad de variar de forma, lo que permite la adaptación dela vista y el enfoque adecuado.

� El humor vítreo. Es una masa gelatinosa transparente de índice muy similaral del agua, que constituye la mayor parte de la masa ocular.

� La coroides. Es la capa que recubre internamente la esclerótica y su funciónes absorber parte de la luz que entra al ojo.

� La retina. Es el receptor óptico por excelencia. Se trata de una finísimacapa de unos 0,5 mm, constituida por unos 125 millones de células recep-toras conocidas como conos y bastoncillos (figura 11.48). Estos últimosson excitados con luz de baja intensidad y son responsables de la visión enla oscuridad. Sin embargo, no son sensibles al color, lo que explica que noseamos capaces de distinguir colores en una habitación casi a oscuras oque no veamos a través del telescopio los maravillosos colores que se apre-cian en las fotografías de nebulosas. Los conos, por su parte, se excitan conluz de alta intensidad y son los responsables de la visión en color. La zonadonde se concentra mayor número de conos es la fóvea o depresión de lamácula, situada sobre el eje óptico. En esta región no hay bastoncillos.Tampoco hay células receptoras en el punto de conexión del nervio óptico,que por esa razón se denomina punto ciego.


«Observa» tu punto ciego. Sitúate a unos 30 cm del papel y, con un ojo tapado, fijatu vista en la X de la figura 11.50. Si te acercas lentamente, llegará un momento en elque no verás la B. Si sigues aproximándote, la B reaparecerá y desaparecerá la A.

18

26 Ó P T I C A

4

FIGURA 11.47. El ojo humano.

córneahumor acuoso

pupilairisconjuntiva

cristalino

humorvítreo

esclerótica

mácula

ejevisualeje

ópticonervioóptico

coroides

puntociego

retina

FIGURA 11.48. Bastoncillos y conos del ojo humano.

FIGURA 11.50.FIGURA 11.49. Sensibilidad relativa de los conos y bastoncillos a los colores.

1,0

sens

ibili

dad

(rela

tiva)

0,8

0,6

0,4

0

0,2

4 5 6 7

bastoncillos conos

X A B


4.1. Defectos comunes de la vista

El ojo que enfoca correctamente tanto los objetos lejanos como los cerca-nos se denomina «ojo normal» u «ojo emétrope». Los defectos más comunesde la visión son los que se derivan de problemas de enfoque, debidos a causasdiversas. Los más frecuentes son:� Miopía. Se debe a una deformación por alargamiento del globo ocular. El

ojo miope enfoca correctamente en la retina los objetos cercanos. Sinembargo, el punto focal correspondiente a la visión lejana se forma delantede la retina (figura 11.51.a). La consecuencia de esto es una visión borrosa delos objetos alejados. Este trastorno se puede corregir mediante el uso de lentes ligeramente divergentes (figura 11.51.b).

� Hipermetropía. Es la alteración opuesta a la miopía. Es decir, el segundopunto focal del ojo se encuentra detrás de la retina (figura 11.52.a). Comoconsecuencia, el ojo hipermétrope ve bien de lejos, pero mal de cerca. Esposible solucionar este defecto con lentes que sean ligeramente conver-gentes (figura 11.52.b).

� Astigmatismo. Es un defecto muy habitual y se debe a irregularidades dela córnea, que puede presentar distintas curvaturas en distintos planos.Esto da lugar a una visión que no es nítida y que puede corregirse tambiéncon el uso de lentes.

� Vista cansada o presbicia. Se debe a la pérdida de flexibilidad del cristalino,con lo que su capacidad de acomodación1 se ve reducida. Esto se traduceen una pérdida de la visión de los objetos cercanos. La persona que estiralos brazos para leer manifiesta vista cansada. Este defecto suele aparecercon los años.

� Cataratas. Consiste en la pérdida de transparencia del cristalino, lo quedificulta gravemente la visión. Suele aparecer en personas de avanzadaedad y su corrección es quirúrgica: se extirpa el cristalino defectuoso y sesustituye por otro artificial.


FIGURA 11.51.a. Miopía. FIGURA 11.51.b. Miopía corregida.

FIGURA 11.52.a. Hipermetropía. FIGURA 11.52.b. Hipermetropía corregida.

1acomodación: proceso por el cual sevaría la distancia focal del cristalino,de manera que se pueden formar enla retina imágenes claras de objetossituados en un determinado rangode distancias.


Algunos instrumentos ópticos

A continuación, vamos a analizar el funcionamiento de ciertos instru-mentos que, aplicando los principios ópticos expuestos en esta unidad, permi-ten una visión ampliada de objetos pequeños o lejanos: la lupa (microscopiosimple), el microscopio compuesto y el telescopio.

5.1. La lupa o lente de aumento

El ojo humano es capaz de enfocar correctamente y, por tanto, ver connitidez objetos situados entre distancias lejanas y una distancia próxima quellamaremos punto próximo. Si el objeto se sitúa a una distancia menor queel punto próximo, se verá borroso y sin nitidez. En el caso del ojo normal, elpunto próximo varía con la edad (tabla 11.4).

Supongamos un objeto de altura h situado en el punto próximo a una dis-tancia xp. El tamaño de la imagen que se forma de ese objeto en nuestra retinaes proporcional al ángulo � subtendido por el objeto. Según la aproximaciónparaxial, dicho ángulo vale (figura 11.53):

� � ��

hxp

�

De este modo, para aumentar el tamaño de la imagen observada, habríaque incrementar el valor de dicho ángulo. Esto podría conseguirse acercandomás el objeto al ojo, pero, como ya hemos comentado anteriormente, sería acosta de perder la nitidez de la imagen. Sin embargo, es posible lograrlohaciendo uso de una lente biconvexa, como ya se vio en el subepígrafe 3.4.En este caso, la imagen ampliada podrá apreciarse de manera nítida si se formaentre xp y el infinito.

Si se sitúa la lente biconvexa prácticamente pegada al ojo, y el objeto, auna distancia de la lente igual a su distancia focal, f, la imagen se formará enel infinito y será derecha, virtual y aumentada. En la retina, dicha imagenserá ahora proporcional al nuevo ángulo subtendido, �o, cuyo valor es elsiguiente (figura 11.54):

�o � ��

hf

�

Se define aumento angular de la lupa, M, como la relación entre ambosángulos:

M � ��

�o� � �

xfp� 11.21

Por consiguiente, el aumento angular que obtendría una persona cuyopunto próximo fuera de 25 cm con una lente biconvexa de 5 cm de distanciafocal valdría 5.

28 Ó P T I C A

5

10

30

40

20

7

14

22

50 40

60 200

10

Edad (años)

TABLA 11.4. Valores aproximados del «puntopróximo».

xp (cm)

FIGURA 11.53.

�h

�

xp

imagen formadaen la retina

FIGURA 11.54.

imagenampliada

f �0

�0


5.2. El microscopio compuesto

Un microscopio sirve para ver con gran aumento un objeto muy pequeñosituado a corta distancia. En esencia, un microscopio puede constituirse condos lentes convergentes; la más próxima al objeto se denomina objetivo,mientras que la más cercana al ojo recibe el nombre de ocular. El objeto queva a ser observado al microscopio se sitúa a una distancia ligeramente supe-rior a la distancia focal del objetivo. De ese modo se forma una imagen real,aumentada e invertida del objeto, I’, en el punto P. Este puede coincidir conel punto focal del ocular, en cuyo caso la lente del ocular formará una imagenI en el infinito. Dicha imagen es la que finalmente observamos a través delmicroscopio (figura 11.55). El aumento lateral del objetivo, m, será:

m � �hh’�

Si denominamos, como es tradicional, l a la distancia entre el foco imagendel objetivo y el foco objeto del ocular (figura 11.55), podemos constatar que,según la aproximación paraxial:

� � ��

lh’� a la vez que: � ��

�fo

h

bjetivo

�

Por tanto, el aumento lateral del objetivo es:

mobjetivo � �fobj

l

etivo

� 11.22

La imagen aumentada es ahora el objeto para el ocular. Si dicha imagen sesitúa en el foco del ocular, el aumento angular producido por el ocular res-ponde a la expresión deducida para la lupa:

M � �fo

x

cu

p

lar

� 11.23

El aumento total producido por el microscopio es el producto de ambosaumentos, el lateral y el angular, de modo que:

m � mobjetivo M

Por tanto:

m � �fobj

l

etivo

� ��fo

x

cu

p

lar

�� 11.24


Se desea obtener un aumento 300x en un microscopio compuesto. ¿Cuál es ladistancia focal del ocular si el aumento lateral que produce el objetivo es de 30xy la imagen se forma en el punto próximo a 25 cm del ojo?

19


FIGURA 11.55.

objetivo

ocular

f objetivo f ocularobjetivo

imagen I´

αα

l

h´

hh


5.3. Telescopios en el visible

En la actualidad, la investigación astronómica se extiende a todas las franjasdel espectro electromagnético, de modo que se habla de «radiotelescopios»,«telescopios de infrarrojo», «ultravioleta», etc. Aquí vamos a exponer sola-mente los principios ópticos de los telescopios tradicionales.

En general, el principio que explica la formación de imágenes en un teles-copio es el que se ilustra en la figura 11.56. Los elementos principales del tuboóptico del telescopio son el objetivo y el ocular. El ángulo � es el ángulo sub-tendido por el objeto celeste observado (por ejemplo Júpiter), de tamaño h.La imagen del objeto se forma en el punto focal del objetivo y es invertiday aumentada, de tamaño h’. Esta imagen es ahora el objeto para el ocular, quesubtiende un ángulo �’. Si la imagen coincide también con el primer foco delocular, la imagen resultante será invertida, aumentada y se formará en el infi-nito. Según la figura 11.56, y utilizando la aproximación paraxial, vemos que:

� ��f ’

�

obj

h

et

’

ivo

�; ��’ ��

�

fo

h

cu

’

lar

� ⇒ �’ ��f

h’o

’

cular

�

Por tanto, el aumento angular del telescopio viene dado por:

M � ��

�

’� ��

ff’’o

o

b

c

je

u

t

l

i

a

v

r

o� 11.25

Puesto que los signos de f’objetivo y f’ocular serán siempre opuestos, el aumentoangular será negativo, lo que significa que la imagen formada en un telescopioes invertida. Según el principio óptico por el que funcionan, los telescopiospueden ser de tres tipos:� Refractores. El principio óptico en el que se basan es la refracción.

El objetivo es una lente (generalmente compuesta, con objeto de evitaraberraciones cromáticas) que forma la imagen a una distancia f’objetivo. Elocular amplifica dicha imagen. El esquema óptico de rayos puede obser-varse en la figura 11.57:

30 Ó P T I C A

FIGURA 11.56.

h'

hf’objetivo

� �'

focular

imagen invertidaformada en el infinito

I'

FIGURA 11.57. Esquema de un telescopio refractor.

ocular

objetivoacromático

¿Qué diferencia hay entreaumento lateral y angular?

Es demasiado común confundiraumento lateral y angular, lo quelleva a terribles equívocos a lahora de comprar un instrumentoóptico. Así, no es extraño queen tiendas no especializadas senos informe de los aumentos deun telescopio (información quela mayoría de las veces es erró-nea o incompleta). Aparte de noser su característica fundamen-tal, los aumentos de un teles-copio son angulares. Por tanto,100 aumentos telescópicos noincrementan 100 veces un obje-to (eso ocurriría si hablásemosde aumento lateral), sino quenos permiten verlo 100 vecesmás cerca (aumento angular).Es como si nos montáramos enuna nave espacial y nos aproxi-máramos a un cuerpo celestehasta una distancia d/100, donded es la distancia de dicho cuerpoa la Tierra.

FIGURA 11.58. Telescopio refractor.


� Reflectores (o newtonianos). Se basan en la reflexión. El objetivo es unespejo parabólico (primario) que hace converger los rayos en un punto(figura 11.59). Sin embargo, ese punto está en la zona de incidencia de losrayos, por lo que, para evitar que el observador interfiera entre el oculary los rayos, el punto focal es desviado hacia un lado mediante un espejoplano (secundario) inclinado 45°.

� Catadióptricos. Su sistema óptico combina reflexión y refracción. Losrayos atraviesan primero una lente correctora, para luego incidir en unespejo parabólico incrustado en su centro. Se reflejan en este espejo y lleganal espejo hiperbólico secundario, que los dirige hacia el ocular (figura 11.61).La gran ventaja de este tipo de telescopio consiste en que son capacesde abarcar grandes distancias focales en casi la mitad de tamaño que losnewtonianos.

Conclusión

Con esta unidad cerramos el bloque destinado al estudio de la luz y losaspectos que se relacionan con su propagación, uno de los cuales es la óptica.Es habitual distinguir entre óptica geométrica y óptica física. La óptica geo-métrica es aquella en la que no se toma en consideración la longitud de ondade la luz, pues esta es despreciable con respecto a las magnitudes de los objetos.Se dice, así, que es la óptica en el límite en el que λ → 0. Por el contrario, laóptica física es el estudio de los fenómenos ópticos que se producen cuando seconsidera la influencia de la longitud de onda de la luz. Este es el caso de losfenómenos estudiados de interferencia y difracción.

Sin embargo, con esto no podemos dar por zanjado el estudio de la luz y sunaturaleza. El siglo XX ha aportado importantes novedades; la principal, unamayor confusión cuando todo se creía establecido. Se vio que ciertos aspectosrelacionados con la luz y la materia requerían un modelo corpuscular, y esasnuevas formas de energía luminosa fueron bautizadas como fotones. Pero aúnhay más: la mecánica cuántica, desarrollada durante ese mismo siglo, esta-blece que todos los cuerpos materiales en movimiento tienen una longitudde onda asociada. En cierto modo, parece que, en última instancia, no solo laluz, sino toda la realidad tiene algo de dual. Pero el siglo XX nos ha legado unamaravilla óptica, la fuente coherente por excelencia: el láser.


FIGURA 11.59. Esquema de un telescopio reflector (newtoniano).

ocular

espejosecundario

espejoprimario

(objetivo)

FIGURA 11.61. Esquema de un telescopio catadióptrico (Schmidt-Cassegrain).

ocular

lentecorrectora

frontal

secundariohiperbólico

espejoparabólicoperforado

FIGURA 11.60. Telescopio reflector.

6


Cuestiones

¿Cuál es la menor longitud posible que debe tener un espejoplano para que una persona que se halle de pie pueda verse decuerpo entero?

Estrategia de resolución

El requisito que ha de cumplirse para que una persona que estáde pie frente a un espejo se vea en este de cuerpo entero es quelleguen a sus ojos, tras reflejarse en el espejo, los rayos procedentesde sus pies y de la parte más alta de su cabeza.

Observa la figura: del punto D (la punta del pie) parte un rayoque, tras reflejarse en H, llega al ojo (B). Por otra parte, del punto A(zona más alta de la cabeza) sale un rayo que, tras reflejarse en F,alcanza el ojo (B). Teniendo en cuenta el requisito comentado alprincipio, la altura que ha de tener el espejo para que la personase vea de cuerpo entero es FH. Es posible constatar que:

FH � FG � GH

Teniendo en cuenta la ley de la reflexión, podemos ver que eltriángulo DHC es igual al BHC. Por tanto, la altura BD � GI y, portanto:

GH � �B

2

D�

Por la misma ley de la reflexión, comprobamos que:

FG � �E

2

G�

Y, puesto que EG � AB (altura de la parte más alta de la cabezahasta los ojos), puede establecerse que:

FG � �A

2

B�

Así pues, la altura del espejo, FH, será:

FH � FG � GH ��AB �

2

BD��

A

2

D�

Como AD es justamente la altura de la persona, hay que concluirque el espejo debe tener la mitad de la altura de la personapara que esta pueda verse de cuerpo entero.

Observa, no obstante, que, para que la persona se vea realmentede cuerpo entero, el extremo superior del espejo debe estar situado a la misma altura del suelo que de la mitad de la frentede aquella. Sin embargo, la distancia entre la persona y el espejono influye en el resultado del problema.

Problemas

Un objeto de 20 cm de altura es situado a 0,5 m del vértice deun espejo esférico convexo de 2 m de distancia focal. Describe laimagen que se formará.


Para describir la imagen que se formará, no solo debemos dar la posición de la imagen, sino indicar también si es virtual o real,derecha o invertida y aumentada o disminuida.Teniendo en cuentaque se trata de un espejo convexo, y según el criterio de signos, DINla distancia focal, f, será positiva. Así, la posición de la imagen será:

�s

1

’� � �

1

f� � �

1

s� ⇒ �

s

1

’� � �

2

1

m� ��

�0

1

,5 m�� 2,5 m�1

de donde:

s’ � 0,4 m

Es decir, la imagen es virtual, como corresponde a un espejoconvexo.

Por otra parte, el tamaño de la imagen que observaremos será:

�h

h

’� � ��

s

s

’� ⇒ h’ � �h �

s

s

’� � �20 cm �

�

0

0

,4

,5

1

1

0

0

2

2

c

c

m

m�� 16 cm

Así pues, dado que h’ tiene signo positivo y es menor que h, laimagen es virtual, derecha y disminuida. Este es el tipo de ima-gen que se forma siempre en los espejos esféricos convexos.

Con un vidrio de índice de refracción 1,52, se fabrica unalente biconvexa cuyos radios de curvatura tienen 16 cm y 20 cm.Determina la distancia focal si la lente está inmersa en:

a) Aire (n � 1).

b) Agua (n � 1,333).

c) Disulfuro de carbono (n � 1,628).


La distancia focal depende del medio en el que está inmersa unalente. No obstante, las distancias focales que habitualmente seofrecen suelen estar referidas al aire como medio.

Si aplicamos la ecuación de las lentes delgadas en función de ladistancia focal, tenemos que:

�1

f ’� � (nrel � 1) ��

r

1

1

� � �r

1

2

��Teniendo en cuenta el criterio de signos referido a los radios decurvatura para las lentes, la ecuación queda, en nuestro caso:

�1

f� � (nrel � 1) ��16

1

cm��

�20

1

cm��

a) Tratándose del aire:

nrel � �n

n

aire

� � 1,52

por lo que, sustituyendo los valores, obtenemos:

�1

f ’� � 0,058 5 cm�1 ⇒ f ’ � 17,09 cm

Puesto que la distancia focal es positiva, la imagen se formaráen el lado de transmisión, pues los rayos convergen en esefoco detrás de la lente. En consecuencia, la lente es conver-gente en el aire.

2

1

EFG

H

I

LK

M

J

A

B

C

D

1

ES

TR

AT

EG

IA

S

C U E S T I O N E S Y P R O B L E M A S R E S U E L T O S

32 Ó P T I C A


b) Si el medio es el agua, entonces nrel � 1,14. Sustituyendo estevalor en la ecuación, obtenemos:

�f

1

’� � 0,015 7 cm�1 ⇒ f ’ � 63,49 cm

Como puedes observar, la lente sigue comportándose demanera convergente, pero ahora su distancia focal es muchomayor que cuando está en el aire.

c) Cuando la lente se sumerge en disulfuro de carbono, el índicede refracción relativo (nrel) vale 0,933. Sustituyendo este valoren la ecuación, obtenemos:

�f

1

’� � �0,007 53 cm�1

Y despejando f ’:

f ’ � �132,8 cm

Es decir, ahora la distancia focal es negativa, lo que significaque la imagen es virtual y se forma en el lado de incidencia.En este caso, la lente biconvexa resulta ser divergente.

En consecuencia, queda claro que es más correcto hablar deuna lente en términos de biconvexa o bicóncava que en tér-minos de convergente o divergente, que, como has podidocomprobar, son relativos y dependen del medio. No obstante,siempre que nos referimos al aire, se utilizan los términosconvergente o divergente.

Una lente delgada biconvexa cuyo índice de refracción, n, esigual a 1,54 tiene los siguientes radios de curvatura: r1 � 25 cmy r2 � 20 cm.

a) Calcula su distancia focal imagen.

b) ¿Es distinta la distancia focal si la luz incide por el otro lado?


a) En la fórmula de las lentes, al haber dos radios de curvatura,el de la superficie de incidencia de los rayos se considerasiempre como r1.

En este caso, siguiendo el criterio de signos, r1 > 0 (está en ellado de transmisión derecho), mientras que r2 < 0 (está en el lado de incidencia izquierdo). Por tanto:

�f

1

’� � (1,54 �1) ��25

1

cm��

�20

1

cm��

Despejando f ’, obtenemos:

f ’ � 20,57 cm

b) Cuando la luz incide por el otro lado, se invierten los subíndicesde los radios, pues la superficie de incidencia es ahora la de20 cm de radio de curvatura. En este caso, además, el radioserá positivo, al estar en el lado de transmisión (derecho),mientras que el radio de 25 cm será r2 y tendrá signo negativo,dado que se halla en el lado de incidencia (izquierdo). Por tanto:

�f

1

’� � (1,54 �1) ��20

1

cm��

�25

1

cm��

de donde:

f ’ � 20,57 cm

Este resultado demuestra que la distancia focal es una carac-terística de la lente independiente del lado de incidenciade la luz.

Un coche está equipado con un espejo retrovisor convexocuyo radio de curvatura es de 2 m. Al pasar junto a un peatón, elconductor pone en marcha su cronómetro y lo para cuando laimagen de aquel en el espejo es de 10 mm, lo que ocurre al cabode 21 s. Si la velocidad del coche se ha mantenido constantee igual a 32,40 km/h, determina:

a) La distancia del peatón al coche en ese momento.

b) La estatura de la persona.


Los datos de la velocidad y el tiempo transcurrido nos permitencalcular a qué distancia del espejo se encuentra el peatón (s)cuando su imagen es de 10 mm de altura.

Conocido este dato, y dado que se nos ofrece el radio de curva-tura, estamos en disposición de calcular la distancia s’ a la que seformará la imagen. Por tanto, a partir de s y s’ podremos determi-nar la estatura de la persona, basándonos en la expresión quenos da los aumentos del espejo.

a) Teniendo en cuenta que 32,40 km/h � 9 m/s, la distancia a laque se encuentra la persona cuando su imagen es de 10 mmes la siguiente:

s � vt � 9 m/s 21 s � 189 m

b) La estatura de la persona puede calcularse a partir de la expresión del aumento de la imagen en el espejo:

�h

h

’� � ��

s

s

’�

Sin embargo, es preciso conocer previamente el valor de ladistancia s’.

Aplicando la ecuación de los espejos en función del radio decurvatura, y teniendo en cuenta que, según el criterio de sig-nos DIN, el radio es positivo y s es negativo al ser un espejoconvexo, tenemos que:

�s

1

’� � �

2

r� � �

1

s�

Sustituyendo los datos:

�s

1

’� � �

2

2

m� ��

�18

1

9 m�� 1,0053 m�1

Por tanto:

s’ � 0,99 m

En consecuencia, la estatura de la persona será:

h � �h’ �s

s

’�

Sustituyendo los datos, obtenemos:

h � �10 10�3 m ��

0,

1

9

8

9

9

m

m�� 1,91 m

4

3

ES

TR

AT

EG

IA

S



De aplicación¿Sobre qué conjunto de leyes se estructura la denominadaóptica geométrica?

Toma un compás y traza un arco de circunferencia cuyo ra-dio de curvatura sea de 5 cm. Repasa todos los conceptosrelativos a un sistema óptico.

¿Cuáles son las características de la imagen formada en unespejo plano?

¿Puede conseguirse, mediante espejos planos, que la ima-gen no presente inversión lateral? ¿Cómo?

¿Qué es la aproximación paraxial? ¿Por qué motivo se haceuso de ella?

¿Cuál es la ecuación de los espejos en función del radio decurvatura? ¿Qué signo tiene dicho radio si el espejo escóncavo? ¿Y si es convexo?

¿Cuál es la ecuación de los espejos en función de la distan-cia focal? ¿Qué relación tiene la distancia focal con el radiode curvatura del espejo?

¿Qué criterio de signos se emplea para los espejos?

Detalla en qué consiste el procedimiento del diagrama derayos en el caso de los espejos.

¿Cómo podemos averiguar el aumento de la imagen queproduce un espejo esférico?

Valiéndote de los diagramas de rayos correspondientes,describe de forma resumida cómo son las imágenes for-madas en un espejo esférico cóncavo, según la distanciaentre el objeto y el vértice del espejo.

Repite la cuestión anterior para el caso de un espejo esfé-rico convexo.

¿Cuál es la ecuación de un dioptrio esférico teniendo encuenta la aproximación paraxial?

¿Cómo puede determinarse el aumento de la imagen for-mada por refracción al pasar de un medio a otro de distintoíndice?

¿Cuántas distancias focales tiene un espejo esférico?

¿Cuántas distancias focales tiene un dioptrio esférico?¿Cuáles son y qué significado físico tienen? ¿Qué relaciónexiste entre ellas?

¿Qué características tiene la imagen de un objeto vistoa través de una superficie refractora plana? Pon algunosejemplos en función del índice de refracción relativo a losdos medios.

¿Qué tipos de lentes conoces en función de la forma desus superficies?

¿Cuál es la fórmula de las lentes delgadas? Escríbela tambiénconsiderando la distancia focal de la lente.

¿A qué se llama potencia de una lente? ¿En qué unidadesse mide?

¿De qué factores depende la distancia focal de una lente?

Describe el procedimiento conocido como diagrama derayos para la formación de imágenes en el caso de laslentes delgadas.

¿Cómo se calcula el aumento de la imagen producido poruna lente?

¿Cómo es el tipo de imagen formada por una lente bicon-vexa en función de la distancia del objeto comparada conla focal de la lente? Ayúdate de los diagramas de rayos.

Repite la cuestión anterior con una lente bicóncava.

¿Cuáles son las partes principales del ojo humano? ¿Quédefectos visuales son los más comunes? ¿En qué consisteny cómo se corrigen?

¿Cómo funciona una lupa? ¿Cómo se determina el aumentoangular que produce?

¿Qué diferencia existe entre los aumentos de un telescopioy los de un microscopio?

¿Cómo se determinan los aumentos de un telescopio?

Describe, mediante diagramas de rayos, el funcionamientode los distintos tipos de telescopios.

De razonamientoSi hacemos una fotografía delante de un espejo, saldráretratada nuestra imagen en el espejo. ¿Por qué decimosentonces que una imagen virtual no puede registrarsegráficamente de modo directo?

Indica las características de la imagen de un objeto situadoante un espejo cóncavo que se encuentra en el punto me-dio entre el foco y el centro del espejo.

Indica las condiciones necesarias para que se forme en unespejo esférico, ya sea cóncavo o convexo:

a) Una imagen real.

b) Una imagen disminuida.

c) Una imagen derecha (no invertida).

¿Cuál es la profundidad a la que vemos un objeto bajo elagua, en comparación con su profundidad real? ¿Dependedicha profundidad aparente del ángulo desde el que mireel observador? Ayúdate de los diagramas de rayos.

¿De qué manera puede producir una lente un aumentoigual a �1? ¿Y a �1?

¿A qué distancia de una lente biconvexa debe situarse unobjeto para que la imagen tenga su mismo tamaño?

Di si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

«Una lente biconvexa siempre es convergente».

Razona tu respuesta.

Sirviéndote de diagramas de rayos, describe las caracterís-ticas de la imagen de un objeto en un espejo esférico cón-cavo cuando dicho objeto se encuentra:

a) Entre el foco y el vértice.

b) A una distancia mayor que el radio de curvatura.

38

37

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3

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1

34 Ó P T I C A

C U E S T I O N E S Y P R O B L E M A S

AC

TI

VI

DA

DE

S


Indica razonadamente cuál es el comportamiento de losrayos que parten del foco objeto en una lente convergente:

a) Convergen en el foco imagen.

b) Emergen paralelos.

c) No se desvían.

Indica razonadamente cuál es el comportamiento de unrayo paralelo al eje óptico al atravesar una lente delgada:

a) No se desvía.

b) Se desvía o no, dependiendo del tipo de lente.

c) Se desvía siempre.

Repite la pregunta anterior para el caso de que el rayocoincida con el eje óptico.

¿Por qué hay que introducir las diapositivas invertidas enun proyector? Dado que la imagen en la pantalla resultaaumentada, ¿a qué distancia deben situarse las diapositivascon respecto a la distancia focal de la lente?

¿Qué tipo de lente se usa en las mirillas de las puertas?

Los astrónomos aficionados saben que para apreciar al teles-copio imágenes de muy débil luminosidad (galaxias, nebu-losas planetarias, etcétera) es mejor mirar ligeramente dereojo. ¿Se te ocurre alguna explicación?

De cálculoCompleta la siguiente tabla referida a espejos esféricos (lasdistancias se dan en cm):

Un objeto de 10 cm de altura se sitúa a 1,5 m de un espejoesférico convexo de � 3,5 m de distancia focal. Determinalas características de la imagen formada.

Solución: la imagen es virtual (s’ � 0), derecha (h’ � 0) y disminuida (h’ � h).

Desea usarse un espejo esférico para configurar una ima-gen 4 veces mayor que el tamaño del objeto en una panta-lla situada a 4 m de este. Describe el tipo de espejo que serequiere y dónde deberá colocarse con relación al objeto.

Solución: cóncavo; �1 m.

Una superficie esférica convexa separa dos medios, uno delos cuales es el aire. El radio de curvatura de la superficie esde �20 cm, y cuando un objeto puntual se sitúa a 40 cmdel vértice, su imagen se forma a 100 cm en el otro medio.¿Cuál es el índice de refracción de este medio?

Solución: 1,875.

Un objeto se sitúa 40 cm a la izquierda de una lente bicon-vexa de índice de refracción 1,54. La superficie izquierdade la lente tiene un radio de curvatura de 25 cm y en estascondiciones forma una imagen real a 65 cm. ¿Cuál es el radiode curvatura de la segunda superficie?

Solución: �28,75 cm.

Se fabrica una lente biconvexa hueca (llena de aire) con su-perficies de vidrio de grosor despreciable y de radios decurvatura de 15 cm y 20 cm. Determina la distancia focaly el comportamiento de esta lente de aire cuando:

a) Se sumerge en agua.

b) Se sumerge en benceno (n � 1,501).

Solución: a) �34,28 cm; b) �25,68 cm;en los dos casos es divergente.

¿Cuál es la distancia focal de una lente bicóncava de índicede refracción 1,46 si sus radios de curvatura son de 15 cmy 20 cm? Resuelve el problema suponiendo que la luzpuede incidir por ambas caras de la lente.


¿Cuál sería la distancia focal de la lente del problema ante-rior si se encontrara sumergida en agua?


Los radios de curvatura de una lente biconvexa de vidriode n � 1,5 guardan una relación de 3 a 2. Determina unaexpresión para el menor de ellos en función de la distanciafocal.

Solución: r2 � ��5

6� f’.

Una lente biconvexa elaborada con vidrio de refracciónde índice 1,53 tiene dos radios de curvatura de 10 cmy 16 cm, respectivamente. Si se sitúa una estatuilla de 5 cmde altura a 15 cm de la lente, ¿a qué distancia apreciare-mos la imagen? Determina las características de la imagen(inversión, aumento, real o virtual).

Solución: 51,37 cm; real, invertida y aumentada (�17,12 cm).

La estatuilla del problema anterior es contemplada ahoraa través de una lente divergente cuyos radios de curvaturamiden 10 cm cada uno y cuyo índice es 1,53. Determina ladistancia y las características de la imagen (calculando elaumento) cuando se coloca a una distancia de:

a) 6 cm de la lente.

b) 15 cm de la lente.

c) 1 m de la lente.

Solución: a) s’ � �3,67 cm; h’ � 3,06 cm;b) s’ � �5,80 cm; h’ � 1,93 cm;c) s’ � �8,62 cm; h’ � 0,43 cm;

en los tres casos, la imagen es virtual, derecha y disminuida.

El aumento deseable de un microscopio compuesto es de200x. Si el aumento lateral que produce el objetivo es de20x, ¿cuál debe ser la distancia focal del ocular si la imagense forma en el punto próximo a 25 cm del ojo?

Solución: 2,5 cm.

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39

AC

TI

VI

DA

DE

S


f �30

s ’ �40

s

Aumento

Imagen real

Imagen invertida

�10 �50 �20

�0,5

r �40 �50

Cóncavo Cóncavo Convexo Convexo


Actividades (páginas 5/29)

1. Debemos situarnos en la trayectoria del haz reflejado,que parece provenir de un punto localizado detrásdel espejo. El punto que se encuentra en dicha tra-yectoria es el C.

2. Esto ocurre por la propia naturaleza de la reflexión.Como puede observarse en el dibujo, la imagen de laflecha superior es otra flecha superior (por tanto, nopresenta inversión vertical), pero invertida lateral-mente.

3. a) La imagen en un espejo plano tiene el mismotamaño que la persona.

b) Como puede comprobarse en la cuestión resueltanúmero 1 de la página 32, la altura mínima delespejo ha de ser de 85 cm, es decir, la mitad de laaltura de la persona. La parte superior del espejoha de estar a la altura del punto medio de la frentede la persona. La distancia a la que la persona sesitúe con respecto al espejo carece de todaimportancia.

4. Las imágenes I1 e I7 son las imágenes directas de Oen el espejo plano e inclinado, respectivamente. Laimagen I6 puede considerarse como la imagen o pro-yección de I1 en el espejo inclinado, mientras que I2

es la imagen de I7 en el espejo plano. A su vez, I3 puedeconsiderarse la proyección o imagen de I6 en el espejoplano. Por último, I4 sería la imagen de I3 en el espejooblicuo, e I5, la de I4 en el espejo plano.

5. Se formarían cinco imágenes, como puede compro-barse en el dibujo.

Las imágenes I1 e I5 son las producidas directamentepor O en los espejos oblicuo y horizontal, respectiva-mente. La imagen de I1 es I4 en el espejo horizontal,mientras que I2 es la imagen de I5 en el oblicuo. Porúltimo, I3 puede considerarse la imagen de I4 en elespejo oblicuo o la de I2 en el plano.

6. Efectivamente, si se toma un compás, se comprobaráque en ambos casos, todas las imágenes, junto con elobjeto, se encuentran en la circunferencia centradaen la intersección de los espejos. Obsérvese, igual-mente, que los dos supuestos cumplen con la expre-sión expuesta:

• Ángulo de 45°:

N � �3

4

6

5

0

°

°� � 1 � 7

• Ángulo de 60°:

N � �3

6

6

0

0

°

°� � 1 � 5

También puede comprobarse esto en el caso que seaprecia en la figura 11.8 (ángulo de 90°):

N � �3

9

6

0

0

°

°� � 1 � 3

7. Las tres posibilidades pueden deducirse a partir de laexpresión:

�s

1

’� � �

1

f� � �

1

s�

Al tratarse de un espejo cóncavo, tanto f como stienen signo negativo, por lo que:

�s

1

’� � �

�

1

f� � �

�

1

s� ⇒ �

s

1

’� � �

1

s� � �

1

f�

a) Si s � f, entonces:

�1

s� � �

1

f�

Por tanto, la distancia s’ es positiva, es decir, laimagen se forma en el lado virtual.

b) Si s � f, entonces:

�s

1

’� � 0

Es decir, s’ � �, por lo que no se forma imagen.

c) Si s � f, entonces �1

s� � �

1

f� , por lo que s’ es negativa,

y la imagen se forma en el lado real.

8. Al ser un espejo convexo, y según el criterio de signos,la distancia focal f � r/2 es positiva. Dicha distancia f es de �12,5 cm. Así pues, sustituyendo los datos tenemos que:

�s

1

’� � �

1

f� � �

1

s� ��

�12

1

,5 cm��

�20

1

cm�⇒ s’ � �7,69 cm

Por tanto, la imagen se forma en el lado virtual, a7,69 cm del vértice.

9. a) Puesto que la imagen es invertida, h’ � �30 cm,mientras que h � �0,5 cm, y s’ � 420 cm, lugardonde queremos que se forme la imagen. Con es-tas consideraciones, podemos calcular la distanciaa la que debe situarse el objeto a partir de:

36 Ó P T I C A

S O L U C I O N E S D E L A U N I D A D 1 1

objeto imagen

60°

1I

4I

2I

3I 5I

O


�h

h

’� � ��

s

s

’�⇒ s � �s’ �

h

h

’�

Sustituyendo los datos:

s � �7 cm

Por consiguiente, el objeto debe situarse a 7 cmdel espejo.

b) A partir de la ecuación de los espejos:

�1

s� � �

s

1

’� � �

1

f�

y sustituyendo los datos:

��7

1

cm��

�42

1

0cm��

1

f�

se obtiene que la distancia focal vale:

f � �6,88 cm

El signo negativo de f corresponde, como se des-prende del criterio de signos, a un espejo cóncavo.

Como esta distancia es la mitad del radio:

r � 2f � �13,76 cm

10. La distancia a la que se formará la imagen se obtienede la ecuación de los espejos, teniendo en cuentaque s � �100 cm, f � �300 cm y h � �10 cm:

�s

1

’� � �

1

f� ��

1

s� � �

�30

1

0 cm� � �

�10

1

0 cm�⇒ s’ � �75 cm

Así pues, y como corresponde a un espejo convexo, laimagen es virtual.

Analicemos ahora el aumento de la imagen:

�h

h

’� � ��

s

s

’� ⇒ �

h

h

’� � ��

�

7

1

5

00�

De modo que el tamaño de la imagen es:

h’ � 0,75 � h � �7,5 cm

Se comprueba, pues, que la imagen es virtual (s’ � 0),derecha (h’/h � 0) y disminuida (h’ � h).

11. Obviamente tiene que ser convexo, pues las imáge-nes derechas que se obtienen con los cóncavos sonsiempre aumentadas y con los espejos planos son detamaño natural.

Si el aumento ha de ser 0,5, entonces:

�h

h

’� � ��

s

s

’� � 0,5 ⇒ s’� �0,5� s� (�0,5)� (�100)� �50 cm

Conocidas s’ y s, podemos calcular el radio de curva-tura mediante la expresión:

�s

1

’� � �

1

s� � �

2

r�

Es decir:

��

1

50� � �

�1

1

00� � �

2

r� ⇒ r � �200 cm

El signo positivo de r nos confirma que se trata de unespejo convexo.

12. Consideramos n1 � 1, y n2 � 1,333. Los datos que nosofrece el problema son s � 20 cm, y r � �25 cm. Portanto, aplicando la ecuación del dioptrio esférico:

�n

s’2� � �

n

s1� � �

n2 �

r

n1�

cabe concluir:

�1,3

s’

33� � �

�20

1

cm��

�

0

2

,3

5

3

c

3

m�⇒ s’ � �36,34 cm

Se forma del lado del objeto.

Por otra parte, el aumento de la imagen será:

�h

h

’� � ��

n

n1

2

s

s

’�

que, al sustituir los datos, nos da:

�h

h

’� � � �

1

1

,3

�

3

(�

3 �

3

(

6

�

,3

2

4

0

c

c

m

m

)

)�� 1,36

Es decir, el pez vería al gato como si estuviera algomás alejado (a 30,75 cm de la pecera), pero lo percibecon un tamaño 1,36 veces mayor que el real. Puestoque el signo de aumento es positivo, lo ve derecho.

13. Aplicamos directamente la ecuación del dioptrioesférico:

�n

s’2� � �

n

s1� � �

n2 �

r

n1�

Sustituyendo los datos, y teniendo en cuenta ques � �40 cm, y s’ � 64 cm (positiva según el criteriopara la refracción):

�64

1,

c

6

m� � �

�40

1

cm� � �

0

r

,6�

se obtiene:

r � 12 cm

14. La distancia focal objeto correspondería al caso enque s’ � ∞, por lo que:

f � �n

�

2�

n1

n1

� r � �20 cm

mientras que la distancia focal imagen corresponderíaal caso en que s � ∞, por lo que:

f ’ � �n2

n

�2

n1

� r � 32 cm

15. Teniendo en cuenta que r � 10 cm, n1 � 1, y n2 � 1,5y aplicando la ecuación del dioptrio:

�n

s’2� � �

n

s1� � �

n2 �

r

n1�

llegamos a:

�n

s’2� � �

n2 �

r

n1��

n

s1�

a) Como s � �30 cm, la imagen se forma a 90 cm enel interior de la varilla, es decir:

s’ � �90 cm

Si se tratara de un objeto no puntual, la imagentendría el doble de tamaño y sería invertida.

b) En este caso, s � �5 cm, por lo que s’ � �10 cm.Es decir, la imagen se forma en el lado de incidencia(fuera de la varilla) a 10 cm de la superficie. Si elobjeto no fuese puntual, la imagen sería derechay estaría aumentada 1,33 veces.

c) Si s � ∞, la imagen se forma en el foco imagen:

f ’ � �n2

n

�2

n1

� r � 30 cm

En este caso, la imagen es puntual.

16. Deberá apuntar un poco más abajo, ya que la profun-didad aparente del pez es, concretamente, 3/4 partesla profundidad real.

17. Su profundidad real sería:

s � �n

n1

2

� s’ � �1,3

1

33� � (�40 cm) � �53,32 cm

37S o l u c i o n e s d e l a u n i d a d 1 1. Ó p t i c a g e o m é t r i c a

18. Actividad de observación.

19. El aumento total, m, es:

m � mobj �fo

x

cu

p

lar

�

Por tanto:

focular ��mo

mbj xp�� 2,5 cm

Cuestiones y problemas (páginas 34/35)

De aplicación1. Véase el epígrafe 1.

2. Véase la figura 11.5.a.

3. Véase el subepígrafe 2.1.

4. Puede conseguirse mediante un sistema de dos es-pejos planos que formen ángulo recto, por ejemplo.Véase el subepígrafe 2.2.


6. Véase la expresión 11.4. En cuanto al signo, es positi-vo si el espejo es cóncavo y negativo si es convexo.

7. Véase la expresión 11.7. La distancia focal es la mitaddel radio de curvatura.

8. Véase el criterio de signos expuesto en la página 8.



11. Véase el subapartado «¿Cómo se ven las imágenes enlos espejos esféricos cóncavos?» (página 12).

12. Véase el subapartado «¿Cómo se ven las imágenes enlos espejos esféricos convexos?» (página 13).

13. Véase la expresión 11.12.


15. Tiene solo una. Véase el subepígrafe 2.3.

16. Tiene dos. Véase el subapartado «Distancias focalesen la óptica de la refracción» (página 16).


18. Véase la tabla 11.2.

19. Véanse las expresiones 11.17 y 11.18.

20. Véase el texto del margen de la página 21.




24. Véanse el subapartado «Imagen de un objeto visto a través de lentes biconvexas» y la tabla 11.3.

25. Véanse el subapartado «Imagen de un objeto visto a través de lentes bicóncavas» y la tabla 11.3.

26. Véanse el epígrafe 4 y el subepígrafe 4.1.


28. Véase el texto del margen de la página 30.



De razonamiento31. En realidad, la fotografía recoge la imagen de la ima-

gen. Es decir, la imagen del espejo actúa como si fue-se el objeto de la imagen que captamos en la foto-grafía. Decimos que la imagen es virtual porque seforma al «otro lado del espejo», donde no se puedecaptar directamente en ningún registro gráfico.

32. Si el objeto está situado en el punto medio entre elfoco y el centro de curvatura del espejo, entoncess � 3/2 f. En consecuencia, usando la fórmula de losespejos, se obtiene:

�s

1

’� � �

1

f� � �

1

s� � �

1

f� ��

2

3� � 1��

3

1

f�

Por tanto, s’ � �3 f, es decir, la imagen se formadelante del espejo (lado real) y a una distancia igualal triple de la distancia focal. Por otra parte, el aumen-to de la imagen será igual a �s’/s. Sustituyendo losvalores, podemos comprobar que el resultado deesta expresión es �2. Así pues, la imagen es real,invertida y aumentada al doble del tamaño del obje-to y se forma a una distancia igual al triple de la focal.

33. a) Una imagen real solo se puede formar con un es-pejo cóncavo siempre que el objeto se sitúe a unadistancia mayor que la focal.

b) Una imagen disminuida puede conseguirse conun espejo cóncavo si el objeto se sitúa a una dis-tancia superior al radio de curvatura del espejoo en cualquier otra circunstancia siempre y cuandose emplee un espejo convexo.

c) Una imagen derecha se forma con un espejo cón-cavo si el objeto se sitúa a una distancia menorque la focal o en cualquier otra posición en unespejo convexo.

34. Se verá siempre a tres cuartas partes de la profundi-dad real. Dicha profundidad aparente no dependedel ángulo desde el que mire el observador, pues larelación entre el ángulo de incidencia y el de refracciónes siempre constante e igual a n2/n1 � 0,75, fac-tor que determina la distancia a la que se forma laimagen.

35. Un aumento igual a �1 podría conseguirse con unalente biconvexa si el objeto estuviera pegado a la len-te. En ese caso, la imagen sería virtual y, como puedecomprobarse mediante el diagrama de rayos, tendríael mismo tamaño que el objeto y estaría derecha.Podemos comprobar esto considerando que s <<< f,en cuyo caso 1/s >>> 1/f. De este modo, aplicando laecuación de las lentes en la forma:

�s

1

’� � � �

1

f� � �

1

s�

podemos concluir que:

�s

1

’� � �

1

s�

Por tanto:

s’ � s

38 Ó P T I C A


En consecuencia, el aumento es igual a �1 y la ima-gen es virtual. Puedes comprobar este hecho pegan-do una lupa al objeto: lo verás de tamaño naturaly derecho.

Un aumento igual a �1 supone que s’ ��s (la imagense forma al otro lado del objeto y es real), situaciónque, aplicada a la ecuación de las lentes, conduce aque s � 2 f. Así pues, se obtendrá situando el objetoa una distancia igual al doble de la focal de la lentebiconvexa.

En el caso de una lente bicóncava, solo podría conse-guirse un aumento igual a �1 aplicando las mismascondiciones que para la lente biconvexa, es decir, conel objeto pegado a la lente. Sin embargo, nunca con-seguiríamos un aumento de �1.

36. Como acabamos de ver en la cuestión anterior, habríaque situarlo a una distancia igual a 2 f o pegado a lalente.

37. La afirmación es falsa, pues la distancia focal y, enconsecuencia, el carácter convergente o divergentede la lente no dependen tan solo de las característi-cas estructurales de la lente, sino de la relación queexiste entre el índice de refracción del vidrio de lalente y el del medio en el que está inmersa, de modoque, si este último índice de refracción es mayor queel de la lente, esta se comportará como divergente.

38. a) Véase la figura 11.21.e.

b) Véanse las figuras 11.21.a y 11.21.b.

39. La respuesta correcta es la b), por la propia definiciónde foco objeto.

40. La respuesta correcta es la c).

41. La respuesta correcta es la a).

42. Se introducen las diapositivas de ese modo porque laimagen aumentada que se obtiene con una lente bi-convexa (la del objetivo del proyector) es siempre in-vertida (salvo en el caso de la lupa). Por este motivo, sideseamos ver la imagen derecha, el objeto (la diapo-sitiva) tendrá que estar invertido. Las diapositivas hande encontrarse a una distancia comprendida entre fy 2 f. Dicha distancia se regula con el enfoque delproyector.

43. La lente que se utiliza es bicóncava, pues de ese mo-do la imagen de los objetos, sea cual sea la distanciaa la que se encuentran, se ve siempre derecha aun-que la imagen esté disminuida. Además, el campo devisión es mayor.

44. La razón es que en la zona de la retina situada en ladirección del eje óptico en visión directa se encuen-tra la fóvea, donde se concentra el mayor número deconos, pero donde no existen bastoncillos, que sonlos responsables de la visión nocturna de la luz debaja intensidad, como la que se observa en los obje-tos captados a través del telescopio. Para evitar la fó-vea, es mejor mirar ligeramente de reojo.

De cálculo45. Las expresiones que hay que utilizar para completar

la tabla son las siguientes:

• �1

s� � �

s

1

’� � �

1

f�

• r � 2f

• aumento � ��s

s

’�

46. La distancia a la que se forma la imagen responde a la siguiente expresión:

�s

1

’� � �

1

f� � �

1

s�

Es decir:

�s

1

’� ��

�3

1

,5 m��

�1

1

,5 m� ⇒ s’ � �1,05 m

Y su tamaño será:

h’ � � �s

s

’h� ��

�

�

1

1

,0

,5

5

m

m� (�10 cm) � �7 cm

Puesto que h’ es positiva, la imagen es derecha. Portanto, la imagen es virtual (s’ � 0), derecha (h’ � 0) y disminuida (h’ � h), como corresponde a un espejoconvexo.

47. El espejo ha de ser cóncavo, pues uno convexo pro-duce imágenes virtuales y disminuidas.

Puesto que s’ � �4 m, y ��s

s

’� � �4 (pues la imagen es

invertida si es real), entonces s � �1 m.

El espejo debe situarse, por tanto, a 1 m del objeto.

El enunciado del problema puede dar lugar a otrainterpretación, que es considerar que la pantalla sesitúa a 4 m del objeto y no a 4 m del espejo. En estecaso, el problema sería distinto y también la solución.Como se ve en el dibujo:

s’ � 4 � s

Como la imagen es real (pues se proyecta en pantalla)y, en consecuencia, invertida, se cumplirá:

��s

s

’� � �4 ⇒ �

4

�

s

s�� 4 ⇒ s � 1,33 m

Es decir, el espejo habría de situarse a 1,33 m delobjeto.

39S o l u c i o n e s d e l a u n i d a d 1 1. Ó p t i c a g e o m é t r i c a

s'

s

4 m

f �30 �16,66 �20 �25

s ’ �15 �25 �4 �11,1

s

Aumento

Imagen real

Imagen invertida

�10 �50 �5 �20

�1,5 �0,5 0,8 0,55

No Sí No No

No Sí No No

r �60 �33,33 �40 �50

Cóncavo Cóncavo Convexo Convexo


48. Se parte de la ecuación del dioptrio esférico:

�n

s’2� � �

n

s1� ��

n2 �

r

n1�

Como, además, n1 � 1, s � �40 cm, s’ � �100 cm,y r � �20 cm, obtenemos:

n2 � 1,875

49. Hay que aplicar la fórmula de las lentes delgadas:

�s

1

’� � �

1

s� � (n � 1) ��

r

1

1

� � �r

1

2

��Al sustituir los datos s � �40 cm, s’ � 65 cm, n � 1,54y r1 � 25 cm, y resolver la expresión, se obtiene:

r2 � �28,75 cm

50. El índice de refracción de la lente es n � 1. Su com-portamiento y su focal en un medio vienen dados por:

�f

1

’� � (nrel � 1) ��

r

1

1

� � �r

1

2

��donde nrel � n/nmedio, r1 � 15 cm, y r2 � �20 cm.

Aplicando la expresión, obtenemos:

a) nmedio � 1,333 ⇒ f ’ � �34,28 cm

b) nmedio � 1,501 ⇒ f ’ � �25,68 cm

En ambos casos, el foco queda en el lado de incidenciay la lente biconvexa se comporta como divergente.

51. Al ser una lente bicóncava e incidir la luz por el ladoizquierdo, r1 � �15 cm y r2 � 20 cm. Como ademásn � 1,46, entonces:

�f

1

’� � (n � 1) ��

r

1

1

� � �r

1

2

��Es decir:

�f

1

’� � 0,46 ��15

1

cm��

20

1

cm�� ⇒ f ’ � �18,63 cm

De manera análoga, si la luz incide por la derecha,r1 � �20 cm, y r2 � 15 cm, por lo que:

�f

1

’� � 0,46 ��20

1

cm��

15

1

cm�� ⇒ f ’ � �18,63 cm

El comportamiento en el aire es, pues, divergente, alestar el foco en el lado de incidencia en ambos casos.Compruébese que la distancia focal es una caracterís-tica de la lente e independiente del lado de incidenciade la luz.

52. En este caso:

�f

1

’� � (nrel � 1) ��

r

1

1

� � �r

1

2

��donde nrel � 1,095.

Sustituyendo y resolviendo, obtenemos:

f ’ � �89,97 cm

Sigue siendo, pues, divergente, aunque en menormedida.

53. La relación entre r1 y r2 es:

�r

r1

2

� � �3

2�

Puesto que la lente es biconvexa, r1 y r2 tienen signosdistintos (r1 � 0 y r2 � 0), por lo que escribiremos:

r1 � � �3

2� r2

Así pues:

�f

1

’� � (n � 1) ��

r

1

1

� � �r

1

2

��Resolviendo, obtenemos:

�f

1

’� � 0,5 ��3/

1

2 r2

� � �r

1

2

�� ⇒ f ’ � ��6

5� r2

Por lo que:

r2 � � �5

6� f ’

54. La distancia a la que se forma la imagen se obtienede la ecuación de las lentes expresada de la siguienteforma:

�s

1

’� � �

1

s� � (n � 1) ��

r

1

1

� � �r

1

2

��con s � �15 cm, n � 1,53, r1 � �10 cm, y r2 � �16 cm.Sustituyendo y despejando s’, obtenemos:

s’ � �51,37 cm

Como es positivo, la imagen es real.

Por otra parte, los aumentos serán:

�h

h

’� � �

s

s

’� � �3,42

De donde:

h’ � �17,12 cm

Por tanto, la imagen es real (s’ � 0), aumentada(h’ � h) e invertida (h’ � 0).

55. Según este planteamiento, r1 � �10 cm, r2 � 10 cm,n � 1,53, y s varía en cada caso. Procediendo comohemos hecho antes, obtenemos:

a) s � �6 cm ⇒ s’ � �3,67 cm ⇒ h’ � 3,06 cm

La imagen es virtual (s’ � 0), derecha (h’ � 0) ydisminuida (h’ � h).

b) s � �15 cm ⇒ s’ � �5,80 cm ⇒ h’ � 1,93 cm

Ahora la imagen es virtual (s’ � 0), derecha (h’ � 0)y disminuida (h’ � h).

c) s � �100 cm ⇒ s’ � �8,62 cm ⇒ h’ � 0,43 cm

La imagen es virtual (s’ � 0), derecha (h’ � 0) ydisminuida (h’ � h).

56. Los aumentos del microscopio compuesto respon-den a la siguiente expresión:

m � mobjetivo �fo

x

cu

p

lar

�

Por tanto:

focular � �mobj

metivo xp�

y sustituyendo los datos:

focular � 2,5 cm

40 Ó P T I C A


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