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EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS ICURSO 2018-2019
NOMBRE: GRUPO:
NO HA CONSEGUIDO los objetivos del área por
No alcanzar contenidos, habilidades y actitudes mínimas
Falta de interés
Reiteradas faltas de asistencia injustificadas
No realizar los trabajos que se le encargan
Mantener una actitud pasiva
Mantener una actitud indisciplinada
Falta de estudio / atención / concentración
A la vista de este informe considero que el alumno no ha superado los objetivos mínimos de laasignatura y se le califica NEGATIVAMENTE.En consecuencia, para poder superar la asignatura deberá presentarse al examen extraordinario quese realizará en el mes de septiembre.Asimismo se le proponen las siguientes medidas y actividades complementarias y/o de refuerzo.
MEDIDAS Y ACTIVIDADES DE REFUERZO Y RECUPERACIÓN
Estudiar los conceptos teóricos en tu libro, repasar los ejercicios resueltos en tu cuaderno de clase a lo
largo del curso y realizar los ejercicios del trabajo de verano, que deberán presentarse el día del
examen con el fin de ser valorados en la nota final.
Murcia, a 21 de junio de 2019
El profesor/ La profesora
Fdo.:
NOTA IMPORTANTE:
LOS TRABAJOS PROPUESTOS PARA REPASAR TODOS LOS CONTENIDOS TRABAJADOS DE ESTAASIGNATURA LOS PUEDES ENCONTRAR EN FORMATO PAPEL EN LA CONSERJERÍA DEL CENTRO O BIENPUEDES DESCARGARLOS DE LA WEB DEL IES, SECCIÓN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
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EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS ICURSO 2018-2019
Criterios evaluación Matemáticas I
BLOQUE 0: Resolución de problemas
1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, con el rigor y laprecisión adecuados.
2. Analiza y comprende el enunciado a resolver o demostrar (datos, relaciones entre los datos, condiciones,hipótesis, conocimientos matemáticos necesarios, etc.).
3. Valora la información de un enunciado y la relaciona con el número de soluciones del problema.4. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, valorando su
utilidad y eficacia.5. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas.6. Reflexiona sobre el proceso de resolución de problemas.7. Utiliza diferentes métodos de demostración en función del contexto matemático.8. Reflexiona sobre el proceso de demostración (estructura, método, lenguaje y símbolos, pasos, etc.).9. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.10. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.11. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propiedad o
teorema a demostrar, tanto en la búsqueda de resultados como para la mejora de la eficacia en lacomunicación de las ideas matemáticas.
12. Conoce la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de investigación,estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.
13. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desarrolla y elproblema de investigación planteado.
14. Profundiza en la resolución de algunos problemas, planteando nuevas preguntas, generalizando la situación olos resultados, etc.
15. Generaliza y demuestra propiedades de contextos matemáticos numéricos, algebraicos, geométricos,funcionales, estadísticos o probabilísticos.
16. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de la humanidady la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; tecnologías y matemáticas, ciencias experimentales ymatemáticas, economía y matemáticas, etc.) y entre contextos matemáticos (numéricos y geométricos,geométricos y funcionales, geométricos y probabilísticos, discretos y continuos, finitos e infinitos, etc.).
BLOQUE 1: Aritmética y álgebra
1. Reconoce los distintos tipos números y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente informacióncuantitativa.
2. .Realiza operaciones numéricas con eficacia, empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel,calculadora o herramientas informáticas.
3. Utiliza la notación numérica más adecuada a cada contexto y justifica su idoneidad.4. Obtiene cotas de error y estimaciones en los cálculos aproximados que realiza valorando y justificando la
necesidad de estrategias adecuadas para minimizarlas.5. Conoce y aplica el concepto de valor absoluto para calcular distancias y manejar desigualdades.6. Resuelve problemas en los que intervienen números reales y su representación e interpretación en la recta
real.7. Valora los números complejos como ampliación del concepto de números reales y los utiliza para obtener la
solución de ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales sin solución real.8. Aplica correctamente las propiedades para calcular logaritmos sencillos en función de otros conocidos.
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EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS ICURSO 2018-2019
9. Resuelve problemas asociados a fenómenos físicos o económicos mediante el uso de logaritmos y suspropiedades
10. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, estudia y clasifica unsistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve,mediante el método de Gauss, en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas.
11. Resuelve problemas en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones (algebraicas y noalgebraicas) e inecuaciones (primer y segundo grado), e interpreta los resultados en el contexto del problema.
BLOQUE 2: Trigonometría
1. Conocer el significado de las razones trigonométricas de ángulos agudos, aplicarlas a la resolución detriángulos rectángulos y relacionarlas con las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.
2. Conocer el significado de las razones trigonométricas de ángulos agudos, aplicarlas a la resolución detriángulos rectángulos y relacionarlas con las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.
3. Conocer las fórmulas trigonométricas fundamentales (suma y resta de ángulos, ángulo doble, ángulo mitad ysuma y diferencia de senos y cosenos) y aplicarlas a cálculos diversos
4. Conocer la definición de radián y utilizarlo para describir las funciones trigonométricas BLOQUE 2: Análisis
BLOQUE 3: Números complejos
1. Conocer los números complejos, sus representaciones gráficas, sus elementos y sus operaciones
BLOQUE 4: Geometría en el plano
1. Conocer los vectores y sus operaciones y utilizarlos para la resolución de problemas Geométricos2. Conocer y dominar las técnicas de la geometría analítica plana.3. Obtener analíticamente lugares geométricos.
BLOQUE 5: Análisis
1. Reconoce analítica y gráficamente las funciones reales de variable real elementales.2. Selecciona de manera adecuada y razonada ejes, unidades, dominio y escalas, y reconoce e identifica los
errores de interpretación derivados de una mala elección.3. Interpreta las propiedades globales y locales de las funciones, comprobando los resultados con la ayuda de
medios tecnológicos en actividades abstractas y problemas contextualizados.4. Extrae e identifica informaciones derivadas del estudio y análisis de funciones en contextos reales.5. Comprende el concepto de límite, realiza las operaciones elementales de cálculo de los mismos, y aplica los
procesos para resolver indeterminaciones.6. Determina la continuidad de la función en un punto a partir del estudio de su límite y del valor de la función,
para extraer conclusiones en situaciones reales.7. Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa la función en un entorno de los puntos de
discontinuidad.8. Calcula la derivada de una función usando los métodos adecuados y la emplea para estudiar situaciones reales
y resolver problemas.9. Deriva funciones que son composición de varias funciones elementales mediante la regla de la cadena.10. Determina el valor de parámetros para que se verifiquen las condiciones de continuidad y derivabilidad de una
función en un punto.11. Representa gráficamente funciones, después de un estudio completo de sus características mediante las
herramientas básicas del análisis.12. Utiliza medios tecnológicos adecuados para representar y analizar el comportamiento local y global de las
funciones.
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EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN MATEMÁTICAS APLICADAS CCSS ICURSO 2018-2019
BLOQUE 3: Estadística y Probabilidad
1. Elabora tablas bidimensionales de frecuencias a partir de los datos de un estudio estadístico, con variablesestadísticas
2. Calcula e interpreta los parámetros estadísticos más usuales en variables bidimensionales.3. Calcula las distribuciones marginales y diferentes distribuciones condicionadas a partir de una tabla de
contingencia, así como sus parámetros (media, varianza y desviación típica).4. Decide si dos variables estadísticas son o no dependientes a partir de sus distribuciones condicionadas y
marginales.5. Usa adecuadamente medios tecnológicos para organizar y analizar datos desde el punto de vista estadístico,
calcular parámetros y generar gráficos estadísticos.6. Distingue la dependencia funcional de la dependencia estadística y estima si dos variables son o no
estadísticamente dependientes mediante la representación de la nube de puntos.7. Cuantifica el grado y sentido de la dependencia lineal entre dos variables mediante el cálculo e interpretación
del coeficiente de correlación lineal.8. Calcula las rectas de regresión de dos variables y obtiene predicciones a partir de ellas.9. Evalúa la fiabilidad de las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresión mediante el coeficiente de
determinación lineal.10. Describe situaciones relacionadas con la estadística utilizando un vocabulario adecuado
Tema 2 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Números reales (Pendientes de Matemáticas I)
1. Calcula las potencias:
a) 3-3
, (-3)3, (-3)
-3, -3
-3 b)(1/3)
-3, (-1/3)
3, -(-1/3)
-3 c) 3
-1 – (1/3)
-1
d) 01
01
55
55
+−
−−
−
e)
1
01
11
11
)1(1−
−
−−
+−
−−
[sol] a) 27
1; −27 ;
27
1− (b) 27;
27
1−; 27 c)
3
8− d) −1 e) 0
2. Simplifica y da el resultado en forma radical:
a) 2/13/1 25 aa b) 2/13/23/2 )16( ba− c)
6
3/22/1
2/112
−
−
yx
yx
[sol] a) 6 510 a (b) 34
a
b (c)
yx3
64
3. Comprueba que la longitud del segmento AB es Φ , siendo M
el punto medio del lado del cuadrado
4. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real, los
conjuntos:
a) A = {x ∈ R x < -1} b) B = {x ∈ R x < ½ y x ≥ –0,5}
c) C = {x∈ R x ≤ 1 y x > 3} d) D = {x∈ R -2,5 ≤ x < 1,2}
[sol] a) (-∞, -1) b) [-1/2, ½) c) ∅ d) [-5/2, 6/5)
5. Escribe la desigualdad que cumplen los números que pertenecen a los intervalos:
a) (- ∞ , 2] b) [2, 5] c) (-1, 3) ∪ [0, ∞ ) d) [0, 3) ∩ (-1, 1]
[sol] a) {x, x ≤ 2} b) {x, 2 ≤ x ≤ 5} c) {x, -1< x < ∞} d) {x, 0 ≤ x≤ 1}
6. Escribe en forma de desigualdad y de intervalo los números que verifican:
a) 3≤x b) 3≥x c) 05
≥x
d) 01 ≤−x
[sol] a) { [-3, 3] b) (-∞, -3] ∪ [3, ∞) c) R-{0} d) ∅
7. Encuentra los intervalos unión e intersección de:
a) I = {x ∈ R, │x + 1│< 1} y J = [-1 ,2)
b) K = {x∈ R, }21 ≥−x y L = {x, }22 ≤+x
[sol] a) I ∪ J = (-2, 2); I∩J = [-1, 0). b) (-∞, 0] ∪ [3, ∞); [−4, −1]
8. Halla y representa en la recta real los números que distan de –1 menos de 2 unidades
[sol] (-3, 1)
9. Redondea a milésimas: –0,0996, 56,4444, 1,897645 [sol] -0,1; 56,444; 1,898
10. Expresa en notación científica los siguientes números indicando su orden de magnitud:
a) 1.234·105 b) 0,0000000067012 c) 0,00763·10
6 d)-527,05·10
-3
[sol] a) 8 b) −9 c) 3 d) -1
Tema 2 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
11. Reduce a una sola potencia fraccionaria:
a) 3
2
·aa b) ( )2
1
a c) aa d) 2·32
1·8
[sol] a) 6/7a b) 4/1
a c) 4/3a d) 1
12. Halla, sin utilizar calculadora, el valor de:
a) 169·1,0
10 b)
100
09,0·144 c) 400·144·81 d) 3 64·27·8−
[sol] a) 130; b) 0,36; c) 2160; d) −24
13. Reduce todo lo posible las sumas:
a) ( ) ( )22221221 +−− b) ( )( ) ( )2
222525 ++−
[sol] a) -8√2 b) 9
14. Reduce las sumas:
a) 9
4827
3
732
4
754 +−+ b)
3
53
12
45
5
6
3
125
27
202 −−+−
[sol] a) 3
319 (b)
3
5
3
25−
15. Suma, simplificando todo lo posible:
a) xyxyxyyx 16)(322 333 −+−
b) 322223 )2)(( babbabababaa −++−−+−
[sol] a) (2x-2y+3xy-2) xy (b) baa −2
16. Racionaliza: a) 2
2 b)
32
3 c)
24
8 d)
32
31− e)
x
x
3
22
[sol] a) 2 b) 2
3 c)
2
1 d)
6
33 − e) x
17. Racionaliza las fracciones: a) 31
3
+ b)
252
5
− c)
yx
yx
−
+
[sol] a) 2
33
−
− b)
8
55 + c)
yx
xyyx
−
++ 2
18. Calcula: a) 40
12528020 −+ b)
6
54415024 +−
[sol] a) 2− ; b) 9
19. Suma y simplifica 3
2
33
5
232
3 +
+−
− [sol]
4
)13(7 −
Tema 3 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Polinomios y fracciones algebraicas (Pendientes de Matemáticas I)
Tipo I: Operaciones con polinomios
1. Calcula: a) ( ) ( )4334 532198 xxxxx −+−+− b)
−+−
+−
3
15
4
33
2
12
223xxxx
[sol] a) 13x4 – 12x
3 – 2x + 1; b)
3
105
4
52 23
+−− xxx
2. Halla: a) ( )26x − ; b) ( )22x4 + ; c) ( )2
1x2 − ; d) ( )( )1x41x4 +−
[sol] a) x2 – 12x + 36; b) 16 + 8x
2 + x
4; c) 4x
2 – 4x + 1; d) 16x
2 – 1
3. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios:
a) ( )( )3x6x75x3x5 32+−−+ ; b) ( )145
8
3
4
1 22−−
−− xxxx
[sol] a) 35x5 + 21x
4 – 65x
3 – 3x
2 + 39x – 15; b)
4
21
8
43
8
105
4
21 234++−− xxxx ;
4. Divide: a) (5x4 – 14 + 5x + x
3) : (3 – x
2) b) ( ) ( )1x2:2x3x2 3
−+−
[sol] a) C(x) = –5x2 – x – 15; R(x) = 8x + 31; b)
4
5
2
12−+ xx ;
4
3
Tipo II: Ruffini. Factorización 5. Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes divisiones:
a) (x7 – x) entre (x + 2) b) ( ) ( )1x:x2xx 35
−−+ c) ( ) ( )1x:6x3 4+−
[sol] a) C(x) = x6 – 2x
5 + 4x
4 – 8x
3 + 16x
2 – 32x + 63; R(x) = –126
b) x4 + x
3 – x
2 – x; 0; c) 3x
3 – 3x
2 + 3x – 3; – 3
6. Descompón en factores el polinomio 614102)( 23−+−= xxxxP , sabiendo que x = 1 es
una de sus raíces. [sol] )3()1(2 2−− xx .
7. Halla el polinomio de segundo grado sabiendo que tiene por raíces x = 1 y x = −6 y que
P(0) = –12. [sol] 2x2 + 10x − 12
8. Factoriza las siguientes expresiones polinómicas:
a) 3x2 + 14x – 5 b) 4x
5 + 2x
4 – 2x
3 c) x
3 + 5x
2 +8x
[sol] a) 3(x – 1/3)(x + 5); b) 4x3(x – 1/2)(x + 1); c) x(x
2 + 5x + 8)
9. Factoriza los siguientes polinomios:
a) P(x) = – 5x2 – x b) P(x) = 4x
4 + 10x
2 c) P(x) = 10x
3 – 250x
[sol] a) – x (5x + 1); b) 2x2 (2x
2 + 5); c) 10x(x + 5)(x – 5);
10. Halla el valor de b y factoriza xbxxxP 12)( 23−+= sabiendo que x = −2 es una de sus
raíces. [sol] −4; )6)(2( −+ xxx
Tipo III: Fracciones algebraicas 11. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) 2
2
147
21
xx
x
− b)
123
4
−
−
x
x c)
3
2 43
x
xx −
d) x
x
2
84 − e)
2
123 2
+
−
x
x f)
1
)1(2
2
−
−
x
x
[sol] a) x
x
21
3
−; b)
3
1− ; c)
2
43
x
x −; d)
x
x )2(2 −; e) )2(3 −x ; f)
1
1
+
−
x
x
Tema 3 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
12. Simplifica:
a) 22
762
−
−+
x
xx b)
1004
1004042
2
−
+−
x
xx c)
234
23
60243
63
xxx
xx
−+
−
[sol] a) 2
7+x; b)
5
5
+
−
x
x; c)
10
1
+x
13. Halla, simplificando el resultado:
a) 1
21
++−
xx b)
1
33522 +
−+
+xxx
x
x c) 1
1
12
+
+
−
x
x
[sol] a) 1
12
+
+
x
x; b)
2
5
x; c)
2
2
)1(
22
+
+
x
x;
14. Calcula, factorizando si conviene, el resultado de:
a) 363
462
33
122
2
+−
+−−
−
−
xx
xx
x
x b)
xxx
xx
xx
xx
96
546:
65
1212323
3
2
2
+−
−
+−
+−
[sol] a) 1
1
−x; b)
( )32
2
+
−
x
x
15. Racionaliza las siguientes expresiones:
a) x
x 1+ b)
x
x
2 c)
x
x 1+ d)
1
1
+
−
x
x e)
1−− xx
x
[sol] a) x
xx )1( +; b)
2
x; c)
x
xx )1( +; d)
1
21
−
+−−
x
xx; e) )1( −+ xxx
Tipo IV: Aplicaciones
16. La altura de un cohete viene dada por la expresión 2550)( ttth −= , donde t viene dado en
segundos y h(t) en metros.
a) ¿Qué altura alcanza el cohete al cabo de 1, 2 y 5 segundos?
b) ¿Y al cabo de 10 s? ¿Cómo interpretas este último resultado?
[sol] a) 45; 80; 125 b) 0; cae.
17. El coste total, en euros, de la producción de x unidades de un determinado producto viene
dado por la expresión 1000100)( += xxC . Halla:
a) El coste de producir 16, 100, y 400 unidades. ¿A cuánto sale la unidad en cada caso?
b) Determina la expresión que da el coste por unidad cuando se fabrican x unidades.
[sol] a) 87,5; 20; 7,5 €; b) x
xxc
1000100)(
+=
18. Halla las expresión que da la superficie de un triángulo isósceles de perímetro 8 cm en
función de la base x. Calcula el valor de esa área cuando x = 3.
[sol] 324)( xxxA −= ; 3 cm2.
19. Una piscina rectangular está rodeada por un pasillo enlosado de 1,5 m de ancho. Si la
piscina es 10 m más larga que ancha, halla:
a) La expresión que da el área del rectángulo que delimita la piscina.
b) La expresión que da el área del pasillo enlosado.
[sol] a) 39162++ xx ; b) 396 +x
Tema 4 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Ecuaciones sistemas de ecuaciones. (Pendientes de Matemáticas I)
Tipo I: Ecuaciones de primer grado
1. Resuelve las ecuaciones:
a) xx4
1
2
3
6
1
3
2−=+ b)
4
1
1
2
+−=
+ xx c)
6
13
3
)2(2
4
1 ++−
− x =
xx
[sol] a) 16/11 b) −3 c) − 21/11
2. Halla la solución:
a) 33
3 +=+x
x b) 2
1 xx
−= c) 2
5
2−=
+x
x
[sol] a) 0 y −9/2 b) 1/3 y −1 c) 3 y 4/3
3. Se mezclan 50 litros de aceite de girasol de 0,99 €/l con aceite de 0,78 €/l, obteniéndose una
mezcla de 0,9 €/l. ¿Cuántos litros se han empleado del aceite más barato? [sol] 37,5
4.- Un automóvil parte de Sevilla a una velocidad constante de 90 km/h. Veinte minutos
después parte otro coche en su búsqueda, alcanzándole a las dos horas. ¿A qué velocidad circuló
el segundo coche?
[sol] 105 km/h
Tipo II: Ecuaciones de segundo grado
5. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 3x2 + x = 0 b) 3(x + 1)
2 = 27 c) 4x
2 − 4x − 35 = 0 d) −2(x − 5)
2 − 8 = 0
[sol] a) 0 y −1/3; b) 2 y −4; c) 7/2 y −5/2; d) no tiene sol.
6. ¿Qué valor o valores de c hacen que la ecuación 5x2 – 2x + c = 0 tenga solución doble? [sol]
1/5
7. Dos operarios realizan una obra en 12 días, trabajando conjuntamente. Uno de ellos emplea
10 días más que el otro si trabaja sólo. ¿Cuántos días necesita cada obrero para completar la
obra en solitario?
[sol] 20 y 30
Tipo III: Ecuaciones con raíces, racionales, etc
8. Resuelve las ecuaciones:
a) 1242 =−x b) 6=− xx c)
x
x = x - 2x d) xx 3621 =−
[sol] a) ±4; b) 9; c) 1 d) 2 y 1/3
9. Halla la solución y comprueba los resultados:
a) 1133 =−+ xx b) xxx −+−=− 12312
[sol] a) 1/3 b) 1 y 2/3
10. Calcula las soluciones de:
a) x4 − 9x
2 = 0 b) 023 24 =+− xx
c) (x2 − 1)(x
2 + 3x) = 0 d) x
4 + 2x
3 − x
2 + 4x − 6 = 0
[sol] a) 0, 3 y -3 b) 2± y ±1 c) 1, -1, 0 y -3 d) 1 y -3
Tema 4 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
11. Resuelve:
a) 012
412
=−
−
x
x b) 0
12
52
=−x
c) 2
4
1
2
+
+=
+
−
x
x
x
x d)
1
813
2
2
+=+
xx
[sol] a) ¼ b) No sol. c) −8/5 d) 2± y ±1
Tipo III: Sistemas de ecuaciones
12. Resuelve: a) yx
yx
=−
=−
16
232 b)
−=−
+−=+
xyx
yyx
12
12
[sol] a) 1/16, −5/8 b) 4/5, 2/5
13. Añade a la ecuación 6x – 2y = –3 otra ecuación, de forma que resulte un sistema:
a) Determinado. b) Indeterminado. c) Incompatible.
14. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
−=+−
=−+
=++
1
9432
1
zyx
zyx
zyx
[sol] 1, 1, −1.
15. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que el lado mayor es 5/3 del menor y que si
éste aumenta en 2 m la relación se convierte en 3/2. [sol] 30 por 18 m
16. Discute, según los diferentes valores de a, el sistema:
=−
=+−
12
653y
ax
yx
[sol] Si a ≠ 5/6 compatible determinado; si a = 5/6, incompatible.
17. Una empresa ha invertido 73.000 € en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A,
B y C, cuyos costes por unidad son de 2.400 €, 1200 € y 1000 € respectivamente. Sabiendo que,
en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la
misma que la invertida en los de tipo B, averiguar cuántos aparatos ha comprado de cada clase.
[sol] 10, 20, 25
18. Resuelve el sistema
=
=2
xy
xy y representa gráficamente las soluciones.
[sol] puntos (0, 0) y (1, 1).
19. Resuelve los sistemas: a)
=
=+
66
5
6xy
xy
b)
=
=+
2
113222
xy
yx
[sol] (a) 3 y 2; 2 y 3 (b) ±2 y ±1; ±√3/2, ±4/√3 c) 1, 1; -1/5, -7/5 (d) 5, 1
20. Encuentra las dimensiones de un rectángulo de perímetro 110 m y área 700 m2.
[sol] 20 por 35
Tema 5 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Inecuaciones. (Pendientes de Matemáticas I)
Tipo I: Inecuaciones de primer grado
1. Resuelve las inecuaciones:
a) 3x < 0 b) 15
−≥x
c) 3
2
21 ≤−
x d)
2
12 −<
x
[sol] a) x<0 b) x ≥ -5 c) x ≥ 2/3 d) x > −4
2. Halla el intervalo solución de las inecuaciones:
a) –x + 2 + 4x > x + 2 b) 2
153
xx
x−≤− c) 1
6
1
2
3+
−<
−
+ xx
[sol] a) x > 0 b) −6/25 ≤ x c) −7/2 < x
3. Un pastor afirma que en su rebaño de 120 ovejas, el triple de las churras es mayor que el
cuádruplo de las merinas. ¿Qué número mínimo de ovejas churras tiene el rebaño? [sol] 69
Tipo II: Inecuaciones de grado superior
4. Resuelve las inecuaciones siguientes:
a) x(x+1) < 0 b) –2x2 + 10 > 26 c) 4x
2 + 4x > 0
[sol] a) −1 < x < 0 b) ∅ c) (-∞, -1) ∪ (0, ∞)
5. Halla gráficamente la solución de las inecuaciones cuadráticas:
a) 2x2 + 9x < 0 b) 3x
2 − 27 > 0 c) (x + 1)(x − 3) > 0
[sol] a) (−9/2, 0) b) R − [−3, 3] c) R − [−1, 3]
6. Se dispone de un terreno en forma de triángulo rectángulo en el que un cateto tiene triple
longitud que el otro. ¿ A partir de qué largura del lado menor la superficie del terreno es superior
a 37,5 m2?
[sol] 5
7. Resuelve: a) 13−<x b) 083
≥+x c) 11
3<
x
[sol] a) x < −1 b) x ≥ -2 c) )1,0()0,( ∪−∞∈x
8. Halla el conjunto solución de:
a) 024>+ xx b) 024
≤− xx c) 0)1( 4≤+ xx d) 0)2()1( 3
≥−+ xx
[sol] a) R b) −1 ≤ x ≤ 1 c) x ≤ −1 d) ),2[]1,( +∞∪−−∞∈x
9. Resuelve:
a) x4 − 8x
2 +16 ≤ 0 b) 2x
4 + x
2 − 3 ≥ 0 c) 023 24
<+− xx
[sol] a) x = ±2 b) ),1()1,( +∞∪−−∞∈x c) )2,1()1,2( ∪−−∈x
Tipo III: Otras inecuaciones
10. Halla la solución de:
a) 023
2≤
−x b) 1
12
2≤
−
+
x
x c)
10
2+
−≤
x
x
[sol] a) x < 2/3 b) (-∞, ½) ∪ [3, ∞) c) x ≤ 0
Tema 5 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
11. Representa en la recta la solución de las inecuaciones:
(a) 14
≤x
(b) 22
1≥+x
[sol] a) -4 ≤ x ≤ 4 b) (-∞, -5/2] ∪ [3/2, ∞)
12. Resuelve las inecuaciones:
a) 132≤−x c) 12
≤− xx d) 442≥+ xx
[sol] a) ]2,2[]2,2[ ∪−−∈x c)
+−∈
2
51,
2
51x
d) }2{),222[]222,( −∪+∞+−∪−−−∞∈x
13. Resuelve las inecuaciones: a) 3
1≤x b) 22 >+x c) 2
32
1−>
+
−
x
[sol] a) [0, 1/9] b) x > 2 c) x > −11/8
Tipo IV: Inecuaciones con dos incógnitas
14. Halla en el plano la solución de:
a) x − y≤ −1 b) 22
≥+ yx
c) 03
4≥
− yx
15. El coste de la entrada al cine es de 6 € y el de un CD 12 €. Indica qué combinaciones de
gasto puede hacer Carlos entre esos dos bienes a lo largo del mes, si su presupuesto es de 72 € y
teniendo en cuenta que no necesariamente ha de gastarse todos sus recursos en los bienes
citados.
[sol] 6x + 12y ≤ 72; x ≥ 0; y ≥ 0
16. Halla la solución:
a)
≤
−≥
0
12x
x
b)
≤
−≥
0
12x
x
[sol] a) −2 ≤ x ≤ 0 c) 0 < x ≤ 4
17. Resuelve los sistemas:
a)
≥
≤−
62
2
x
yx b)
≥
≤−−
0
2)1(2
y
yx
18. Encuentra el sistema cuya solución es la zona sombreada de la figura.
[sol]
−≥
>+−
xy
yx
12
Tema 7 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Trigonometría. (Pendientes de Matemáticas I)
Tipo I: Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo
1. Si 2
5eccos −=α y α es del cuarto cuadrante, calcula sin hallar el valor de α , sus restantes
razones trigonométricas.
[sol] 5
2sen −=α ;
5
21αcos = ;
21
215sec =α ;
21
212tg −=α ;
2
21gcot −=α .
2. Si cos α = –0,76 y α es del segundo cuadrante, calcula sin hallar el valor de α , sus restantes
razones trigonométricas.
[sol] 32,1αsec −= ; 65,0sen =α ; 54,1eccos =α ; 86,0tg −=α ; 17,1gcot −=α .
3. [S] De un ángulo α del primer cuadrante se conoce que .3
1sen =α Calcula el valor exacto de:
a) αtg b) )2(sen α
[sol] a) 4
2; b)
9
24
4. Si 2gcot −=α y β=β cos4sen calcula:
a) α2tg b) )(tg β−α
[sol] a) –4/3; b) 9/2
5. Calcula las razones del ángulo β+α sabiendo que 2
0con,4
1sen
π<α<=α , y
.2
con,3
1cos π<α<
π−=β
[sol] sen (α + β) =12
1201 +−; cos (α + β) =
12
815 −−; tg (α + β) =
12015
81515
+
−
6. Si α es un ángulo del segundo cuadrante y 3
1sen =α , calcula:
a) α2sen b) 2
senα
c) )(cos α+π d) )(tg α−π
[sol] a) 9
24− , b)
6
223 +; c)
3
22; d)
4
2
7. Sin utilizar calculadora, determina el valor numérico de la expresión:
5
2sen 330
o -
4
1tg 135
o + 2 cos 270
o –
6
1tg 240
o.
[sol] 60
3103 −
8. Calcula el valor numérico de la expresión cos 3
π – 2 sen
2 6
π +
2
1cosec
6
5π.
[sol] 1
Tema 7 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
Tipo II: Identidades. Fórmulas de adición y transformación
9. Demuestra que:
a) β−α=β−αβ+α 22 sencos)(cos·)(cos
b) α−β=β−αβ+α 22 sencos)(cos·)(cos
10. Comprueba las siguientes identidades:
a) α=α
−α−α tg
gcot
1gcotgcot
2
b) α−
α=
α−α
αα222 tg1
tg
sencos
cossen
11. Comprueba la identidad: α
α−=
α+
α−
2cos
2sen1
tg1
tg1.
12. ¿Es cierta la igualdad α+α=α
α+αtgsec
sen
costg?
[sol] No.
Tipo IV: Ecuaciones y sistemas trigonométricos
13. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 sen 2x = 1 b) 3 tg 2x = 3 c) 3 cos 2
x = 1,5 d) 5 sen 4x = 0
[sol] a)
+
+=
º180·º75
º180·º15
k
kx ; b)
2
·
12
π+
π=
kx ; c)
+
+=
º720·kº600
º720·kº120x ; d)
4·0π
+= kx .
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2
3
6xcos =
π+ b) ( )
2
2x45sen o −=+
[sol] a)
π+π
π
=2·
3
5
2·
k
k
x ; b)
+
+=
º360·270
º360·º180
k
kx
15. Resuelve la ecuación: cos x = sen 2x
[sol] x = 90º + k·180º; x = 30º + k·360º; x = 150º + k·360º )( Zk ∈ .
16. Resuelve la ecuación: xxtg cos2=
[sol] x = 45º + k·360º; x = 135º + k·180º )( Zk ∈ .
17. Resuelve la ecuación: tg 2x = −tg x
[sol] x = 0º + k·180º; x = 60º + k·180º; x = 120º + k·180º, )( Zk ∈
18. Resuelve la ecuación: sen 2x cos x = 3 sen2 x
[sol] x = 30º + k·360º; x = 150º + k·360º; )( Zk ∈
Tema 8 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Resolución de triángulos (Pendientes Matemáticas I)
Tipo I: Resolución de triángulos rectángulos. Áreas de triángulos
1. Calcula la altura de un edificio que, desde una distancia de 100 m, se ve bajo un ángulo de
30o.
[sol] 57,74 m.
2. Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 8 m cuando los rayos solares
forman un ángulo de 60o con el suelo.
[sol] 13,86 m.
3. [S] Desde una cierta distancia, el ángulo que forma la horizontal con el punto más alto de
un árbol es de 60º. Si nos alejamos 10 metros el ángulo anterior es de 30º ¿Cuál es la altura
del árbol?
[sol] 66,835 = m
4. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 60 cm y el ángulo que
forman 42o 14´. Calcula la base, la altura y el área del triángulo.
[sol] b = 43,23 m; h = 55,97 cm; S = 1209,79 cm2.
5. Calcula la apotema de un octógono regular de lado 8 cm.
[sol] 9,66 cm.
6. [S] Los tres lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Calcula sus ángulos y su área.
[sol] ángulos: 36º 52´ 12´´, 53º 7´ 48´´ y 90º; S = 6 cm2
7. Halla el área de un pentágono regular de 30 cm de lado.
[sol] 1548,75 cm2.
8. Las ramas de un compás miden 14 cm. ¿Qué ángulo tendrán que formar para dibujar una
circunferencia de 3 cm de radio?
[sol] 12º 18´ 5´´.
Tipo II: Resolución de un triángulo cualquiera
9. De un triángulo ABC se conoce a = 8 cm, c = 14 cm y B = 50º. Halla los ángulos que
forma su mediana ma con el lado BC.
[sol] 65º 2´ 4´´ y 114º 57´ 56´´.
10. Desde el pueblo A se ven los pueblos B y C, que distan entre sí 6 km, bajo un ángulo de
63º. Si la distancia entre A y B es de 4 km, calcula lo que distan A y C.
[sol] 6,64 km
11. [S] Calcula el área del triángulo ABC
representado en la figura siguiente:
[sol] 106,88 cm2.
Tema 8 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
12. [S] Las agujas de un reloj de pared miden 10 y 12 centímetros, respectivamente.
a) ¿Cuál es la distancia que hay entre sus extremos cuando el reloj marca las cuatro?
b) ¿Cuál es la superficie del triángulo que determinan a esa hora?
[sol] a) 19,08 cm; b) 51,96 cm2.
13. Calcula los lados y el área de un triángulo de 80 cm de perímetro si sus ángulos están en
progresión geométrica de razón 2.
[sol] 15,85 cm; 28,55 cm y 35,60 cm; S = 220,6 cm2.
Tipo III: Problemas geométricos y cálculo de distancias a puntos inaccesibles
14. Calcula la longitud de la diagonal de un pentágono regular de 4 cm de lado.
[sol] 6,47 cm
15. El lado de un rombo mide 18 cm y un ángulo 63º. Halla el área.
[sol] 288,72 cm2.
16. Halla el área de un hexágono regular de 7 cm de lado.
[sol] 127,26 cm2
17. Las diagonales de un rectángulo miden 17 cm y uno de los ángulos que
forman al cortarse es de 63º. Calcula el perímetro y el área.
[sol] 46,74 cm; 128,67 cm2.
18. La aguja en que termina el edificio Chrysler de Nueva York se ve,
desde cierto punto del suelo, bajo un ángulo de 70º. Si retrocedemos 106 m
se ve bajo un ángulo de 55º. Calcula la altura del edificio.
[sol] 315,25 m.
19. Para salvar un barranco de 25 m de profundidad se
quiere construir un puente. Desde cada una de las orillas se
ve la misma piedra del fondo bajo ángulos de 43º y 27º
respectivamente. Calcula la longitud del puente.
[sol] 75,88 metros.
20. Dos aviones que se encuentran a 7 y 9 km de un aeropuerto se observan desde éste bajo un
ángulo de 39º. ¿Qué distancia separa a los aviones?
[sol] 5,66 km
21. Desde nuestro lugar de observación vemos dos hoteles, situados en la orilla de un lago,
bajo un ángulo de 65º. Calcula la distancia entre los dos hoteles si distan de nuestro lugar de
observación 3,5 y 2,6 kms respectivamente.
[sol] 3,36 km.
22. Dos barcos salen al mismo tiempo del puerto. Toman rumbos que forman entre sí un
ángulo de 58º. El primero navega a una velocidad de 35 km/h y el segundo a 42 km/h. ¿Qué
distancia les separa al cabo de 3 horas de navegación?
[sol] 113,49 km.
Tema 9 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Números complejos (Pendientes Matemáticas I)
1. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 2 + 3i b) –1 + i c) –2 –2i d) 4 – 3i
[Sol] a) – 2 – 3i, 2 – 3i; b) 1 – i, – 1 – i; c) 2 + 2i, - 2 + 2i; d) – 4 + 3i, 4 + 3i.
2. Completa la tabla:
z −z z 1/z
2 – 3i
−1 + 4i
3 – 3i
i
[Sol] 1ª fila, -2+3i, 2+3i, i13
3
13
2+ ; 2ª fila, 1-4i, 1+4i, i
17
4
17
1+ ; 3ª fila, 3+3i, -3-3i, i
6
1
6
1− ; 4ª fila, -i, i, i.
3. Realiza las siguientes operaciones:
a)
++
−− ii
2
31
3
5 b)
+−−
−− ii
2
3
4
56
4
1 c) ( )
+− ii 3
2
5·2
d) ( )
+− ii
2
31·3 e) ( )
+− ii
2
31·2 f) (3 – 2i)·(3 + 2i)
[Sol] a) i2
1
3
2+− ; b) i
2
151 − ; c) i
2
78 + ; d) i
2
7
2
9+ ; e) i23 − ; f) 13
4. Calcula: a) i10
+ i141
+ i15
b) ( )223 i− c)
2
2
31
+ i d) (−1 + 2i)
6
[Sol] a) –1; b) 5 – 12i; c) i34
5+− ; d) 117 – 44i.
5. Dados z1 = 3 – 2i, z2 = −3 + i y z3 = 5i, calcula:
a) 321 zzz ++ b) 321 zz2z −+ c) ( ) 3321 zzzz ++
d) 3
12
z
zz − e) ( )( )1231 2 zzzz −+
[Sol] a) i4 ; b) i53 −− ; c) i293 + ; d) i5
6
5
3+ ; e) i3942 −− .
6. Efectúa las siguientes operaciones:
a)
8
2
2
2
2
+ i b) ( )5232 i− c)
i−3
2 d)
i
i
−
+
1
1
[Sol] a)1; b) i5123512 −− ; c) i5
1
5
3+ ; d) i .
7. (PAU) a) ¿Qué relación existe entre el conjugado del opuesto de un número complejo,
biaz += , y el opuesto del conjugado del mismo número? Razone la respuesta.
b) Calcule los números x e y de modo que iyi
xi2
21
3+=
+
−.
[Sol] a) son iguales; b) x = -16, y = 7.
Tema 9 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
8. Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación
correspondiente sea un número imaginario puro:
a) ( )( )kii +− 132 b) ( )22ik + c)
i
ik
28
2
+
−
[Sol] a)3
2k −= ; b) 2k ±= ; c)
2
1k = .
9. Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación
correspondiente sea un número real:
a) ( )( )iki 363 −+ b) i
ik
65
2
−
− c)
ik
i
2
1
+
+
[Sol] a) 2
3k = ; b)
3
5k = ; c) 2k = .
10. Expresa en forma binómica:
a) 2(cos 135º + i sen 135º) · 3(cos 45º + i sen 45º) b) [2 (cos 30º + i sen 30º)]5
c)
)º30º30(cos2
1
)º240º240(cos4
seni
seni
+
+ d)
π+
π
π+
π
33cos
4
1·
6
5
6
5cos2 seniseni
[Sol] a) –6; b) i16316 +− ; c) i434 −− ; d) i4
1
4
3−−
11. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma binómica:
a) º60
º2104
1·2
b) º30
º150
3:3
1
c) ( )
3
43
2·2 ππ
[Sol] a) i2
1− ; b) i
18
3
18
1+− ; c) i62 −
12. Si z = 460º y z´ = 245º calcula:
a) z + z´ b) z · z´ c) ´z
z d) z
2 · z´ e) ´z·z 2 f) (-z) · z´
[Sol] a) i)232()22( +++ ; b) 8105º ; c) 215º; d) 32165º; e) 3275; f) 8285º
13. Encuentra la ecuación que tiene por raíces:
a) 2 - i y 2 + i b) 2, –3, i y –i
[Sol] a) z2 – 4z + 5 = 0; b) z4 + z3 – 5z2 + z – 6 = 0.
14. Halla las soluciones, reales o complejas, de las ecuaciones:
a) z2 – 2z + 5 = 0 b) z
4 – 256 = 0 c) ( ) 0i31z 4
=−+ .
[Sol] a) 1 + 2i, 1 – 2i; b) 4, -4, 4i, -4i; c) ( ) ,2 º304 ( ) ,2 º120
4 ( ) º2104 2 , ( ) º300
4 2
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) z5-1 = 0 b) z
3 + 8 = 0
[Sol] a) 10º; 172º; 1144º; 1216º y 1288º; b) 260º; 2180º y 2300º ;
Tema 10 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Geometría analítica (Pendientes Matemáticas I)
Tipo I: Vectores
1. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(2, −1) y es equipolente al vector CD (−1, 4).
Determina las coordenadas de su extremo y su módulo. [Sol] B(1, 3); .AB 17=
2. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son los puntos A(1, −3), B(2, 2) y C(−3,
0). Calcula las coordenadas del cuarto vértice. [Sol] D(-4, -5)
3. Halla el producto escalar vurr
· en los siguientes casos:
a) ( ) º60,;4
1,2 === vuvu
rrrr b) ( ) º45,);3,2(,3 =−== vuvu
rrrr
c) )3,1( ,2
1,3 −=
= vu
rr [Sol] a)
4
1; b) =
2
263; c)
2
3−
4. Dados los vectores ur
(1, −2), vr
(3, 1) y wr
(2, 0),
a) calcula las coordenadas del vector 2ur
− vr
+3
1 wr
,
b) expresa wr
como combinación lineal de ur
y vr
,
c) calcula los ángulos que forman dos a dos,
d) halla un vector con la misma dirección que ur
y de módulo 20 ,
[Sol] a)
−− 5
3
1, ; b) vuw
7
4
7
2+= ; c) ( ) =vu
rr, 81º 52´ 12´´; ( ) =vu
rr, 63º 26´ 6´´; ( ) =wv
rr, 18º 26´
6´´; d) =1x (2, -4) y =2x (-2, 4).
5. Si ur
(2, a) yvr
(1, -4) determina el valor de a para que:
a) ur
yvr
sean perpendiculares; b) ur
yvr
tengan el mismo módulo,
c) ur
· vr
= 10. [Sol] a) 2
1=a ; b) 13±=a ; c) a = −2
6. Sea ur
(3, -2). Calcula:
a) un vector xr
unitario y con la misma dirección que ur
,
b) un vector zr
unitario y perpendicular a ur
.
[Sol] a)
−=
13
132
13
1331 ,x y
−=
13
132
13
1332 ,x ; b)
=
13
133
13
1321 ,z y
−−=
13
133
13
1322 ,z .
Tipo II: Determinación de rectas. Posición relativa. Perpendicularidad 7. Escribe todas las ecuaciones de la recta que:
a) pasa por A(−1, 2) y tiene por vector director el ur
(3, −5),
b) pasa por los puntos A(3, −1) y B(2, 2),
c) pasa por A(1, −5) y tiene por pendiente m = −3.
[Sol] a)
λ−=
λ+−=
52y
31x;
5
2
3
1
−
−=
+ yx;5x + 3y – 1 =0; )1(
3
52 +
−=− xy ;
3
1
3
5+−= xy b)
λ+−=
λ−=
31y
3x;
3
1y
1
3x +=
−
−; 3x + y – 8 = 0; )3x(31y −−=+ ; 8x3y +−= c)
λ−−=
λ+=
35y
1x;
3
5y
1
1x
−
+=
−;
3x + y +2 = 0; )1x(35y −−=+ ; 2x3y −−=
Tema 10 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
8. Estudia la posición relativa de cada uno de los siguientes pares de rectas:
a) r: 2x –y + 5 = 0, 1
2
1:
−=
−
yxs b) r: x + 2y + 2 = 0,
2
1
4
1:
−
−=
+ yxs
[Sol] a) Se cortan en P(−1, 3); b) Paralelas.
9. Determina el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) r: x – y – 3 = 0, s: x – 3y – 5 = 0 b) )1(2
13: −=+ xyr , s: y = x + 2
[Sol] a) 26º 33´ 54´´; b) 18º 26´ 6´´.
10. Calcula el área del triángulo que determinan la recta x – 2y + 8 = 0 y los ejes coordenados.
[Sol] 216uS =
11. Determina la mediatriz del segmento que tiene por extremos A(1, 2) y B(3, −1).
[Sol] 4x – 6y – 5 = 0.
12. Calcula el baricentro y el ortocentro del triángulo de vértices A(1, −1), B(2, 3) y C(−3, 2).
[Sol] Baricentro:
3
4 ,0G ; ortocentro
19
21 ,
19
11.
13. Calcula el baricentro y el circuncentro del triángulo de vértices A(1, −1), B(−3, 3) y C(4,
1). [Sol] Baricentro
1,
3
2G ; circuncentro
10
27,
10
7.
14. Dos lados de un paralelogramo están sobre las rectas r: x + y –1 = 0 y s: x – 2y – 5 = 0.
Uno de sus vértices es el punto A(1, -1). Halla los otros vértices.
[Sol]
−
3
5,
3
5B ;
−
3
4,
3
7C y
−
3
2,
3
5D .
Tipo III: Distancias 15. [S] Sea el triángulo de vértices A(4, 2), B(13, 5) y C(6, 6).
a) Hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C.
b) Calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB.
[Sol] a) 3x + y – 24 = 0; b) 102
16. En el triángulo de vértices A(2, -3), B(-1, 4) y C(0, 5) calcula:
a) la altura correspondiente al vértice C,
b) la ecuación de la mediatriz del lado AB,
c) su área.
[Sol] a) 58
10; b) 3x – 7y + 2 = 0; c) 5 u
2
17. Los puntos A(−2, −2) y B(1, 4) son vértices de un triángulo rectángulo en A. Determina el
tercer vértice que está situado sobre la recta x + y – 1 = 0.
[Sol] (8, −7)
Tema 10 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Geometría analítica (Pendientes Matemáticas I)
Tipo I: Vectores
1. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(2, −1) y es equipolente al vector CD (−1, 4).
Determina las coordenadas de su extremo y su módulo. [Sol] B(1, 3); .AB 17=
2. Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son los puntos A(1, −3), B(2, 2) y C(−3,
0). Calcula las coordenadas del cuarto vértice. [Sol] D(-4, -5)
3. Halla el producto escalar vurr
· en los siguientes casos:
a) ( ) º60,;4
1,2 === vuvu
rrrr b) ( ) º45,);3,2(,3 =−== vuvu
rrrr
c) )3,1( ,2
1,3 −=
= vu
rr [Sol] a)
4
1; b) =
2
263; c)
2
3−
4. Dados los vectores ur
(1, −2), vr
(3, 1) y wr
(2, 0),
a) calcula las coordenadas del vector 2ur
− vr
+3
1 wr
,
b) expresa wr
como combinación lineal de ur
y vr
,
c) calcula los ángulos que forman dos a dos,
d) halla un vector con la misma dirección que ur
y de módulo 20 ,
[Sol] a)
−− 5
3
1, ; b) vuw
7
4
7
2+= ; c) ( ) =vu
rr, 81º 52´ 12´´; ( ) =vu
rr, 63º 26´ 6´´; ( ) =wv
rr, 18º 26´
6´´; d) =1x (2, -4) y =2x (-2, 4).
5. Si ur
(2, a) yvr
(1, -4) determina el valor de a para que:
a) ur
yvr
sean perpendiculares; b) ur
yvr
tengan el mismo módulo,
c) ur
· vr
= 10. [Sol] a) 2
1=a ; b) 13±=a ; c) a = −2
6. Sea ur
(3, -2). Calcula:
a) un vector xr
unitario y con la misma dirección que ur
,
b) un vector zr
unitario y perpendicular a ur
.
[Sol] a)
−=
13
132
13
1331 ,x y
−=
13
132
13
1332 ,x ; b)
=
13
133
13
1321 ,z y
−−=
13
133
13
1322 ,z .
Tipo II: Determinación de rectas. Posición relativa. Perpendicularidad 7. Escribe todas las ecuaciones de la recta que:
a) pasa por A(−1, 2) y tiene por vector director el ur
(3, −5),
b) pasa por los puntos A(3, −1) y B(2, 2),
c) pasa por A(1, −5) y tiene por pendiente m = −3.
[Sol] a)
λ−=
λ+−=
52y
31x;
5
2
3
1
−
−=
+ yx;5x + 3y – 1 =0; )1(
3
52 +
−=− xy ;
3
1
3
5+−= xy b)
λ+−=
λ−=
31y
3x;
3
1y
1
3x +=
−
−; 3x + y – 8 = 0; )3x(31y −−=+ ; 8x3y +−= c)
λ−−=
λ+=
35y
1x;
3
5y
1
1x
−
+=
−;
3x + y +2 = 0; )1x(35y −−=+ ; 2x3y −−=
Tema 10 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
8. Estudia la posición relativa de cada uno de los siguientes pares de rectas:
a) r: 2x –y + 5 = 0, 1
2
1:
−=
−
yxs b) r: x + 2y + 2 = 0,
2
1
4
1:
−
−=
+ yxs
[Sol] a) Se cortan en P(−1, 3); b) Paralelas.
9. Determina el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:
a) r: x – y – 3 = 0, s: x – 3y – 5 = 0 b) )1(2
13: −=+ xyr , s: y = x + 2
[Sol] a) 26º 33´ 54´´; b) 18º 26´ 6´´.
10. Calcula el área del triángulo que determinan la recta x – 2y + 8 = 0 y los ejes coordenados.
[Sol] 216uS =
11. Determina la mediatriz del segmento que tiene por extremos A(1, 2) y B(3, −1).
[Sol] 4x – 6y – 5 = 0.
12. Calcula el baricentro y el ortocentro del triángulo de vértices A(1, −1), B(2, 3) y C(−3, 2).
[Sol] Baricentro:
3
4 ,0G ; ortocentro
19
21 ,
19
11.
13. Calcula el baricentro y el circuncentro del triángulo de vértices A(1, −1), B(−3, 3) y C(4,
1). [Sol] Baricentro
1,
3
2G ; circuncentro
10
27,
10
7.
14. Dos lados de un paralelogramo están sobre las rectas r: x + y –1 = 0 y s: x – 2y – 5 = 0.
Uno de sus vértices es el punto A(1, -1). Halla los otros vértices.
[Sol]
−
3
5,
3
5B ;
−
3
4,
3
7C y
−
3
2,
3
5D .
Tipo III: Distancias 15. [S] Sea el triángulo de vértices A(4, 2), B(13, 5) y C(6, 6).
a) Hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C.
b) Calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB.
[Sol] a) 3x + y – 24 = 0; b) 102
16. En el triángulo de vértices A(2, -3), B(-1, 4) y C(0, 5) calcula:
a) la altura correspondiente al vértice C,
b) la ecuación de la mediatriz del lado AB,
c) su área.
[Sol] a) 58
10; b) 3x – 7y + 2 = 0; c) 5 u
2
17. Los puntos A(−2, −2) y B(1, 4) son vértices de un triángulo rectángulo en A. Determina el
tercer vértice que está situado sobre la recta x + y – 1 = 0.
[Sol] (8, −7)
Tema 13 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Funciones reales (Pendientes de Matemáticas I)
Tipo I. Funciones. Dominio y recorrido. 1. Halla el dominio y recorrido de las funciones cuya gráfica se da a continuación:
[sol] a) Dom = [–1, 3]; Im = [0, 2]; b) [0, 5], [–1, 3]; c) R, {–1, 1}
2. Dada la función
>+−
<≤+
−<+
=
33
302
112
)( 2
xx
xx
xx
xf .
a) Indica el dominio correspondiente para cada una de las funciones que intervienen..
b) Indica su dominio de definición. c) Haz su representación gráfica.
c) A la vista de su gráfica, indica los puntos (o intervalos) en los que la función no es continua.
[sol] a) (–∞, –1), [0, 3) y (3, +∞). b) (–∞, –1)∪[0, 3)∪(3, +∞); d) [–1, 0], x = 3.
3. Representa gráficamente la función que da el coste de un aparcamiento, dependiendo del
tiempo aparcado, si el precio por hora o fracción es de 1,20 €.
4. [S] El índice de audiencia (evaluado en una escala de 0 a 10) de cierto programa de
televisión de 30 minutos de duración se comporta de acuerdo con la función:
CBtAttI ++=2)( , 0 ≤ t ≤ 30, (A ≠ 0), donde A, B y C son constantes a determinar.
Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar el programa se alcanza el índice de audiencia 10
y que el programa se inicia con un índice de audiencia 6, se pide:
a) Determina las constantes A, B y C. Justifica la respuesta
b) Representa y comenta la función obtenida.
[sol] a) 64,001.0)( 2++−= tttI .
Tipo II. Composición de funciones. Función inversa.
5. Dadas 32)( −= xxf y 5
)(x
xg = , halla: a) ))0((gf ; b) ))2(( −gf ; c) ))5(( fg .
[sol] a) –3, b) −19/5; c) 7/5.
6. Para las mismas funciones determina ))(( xgf y ))(( xfg
[sol] 5
152))((
−=
xxgf ;
5
32))((
−=
xxfg
7. Calcula la función inversa de 1)( 2+= xxf . Comprueba que
4))4(())4(( 11==
−−ffff . [sol] 1)( 21
−=−
xxf
Tipo III. Gráficas de funciones. Transformaciones gráficas.
8. A partir de la gráfica de la función 2)( −= xxf , representa las siguientes funciones
asociadas a ella: a) )(xf− b) )( xf − c) )(xf d) )4( −xf ;
9. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las parábolas:
a) xxy 52−= ; b) xxy 82 2
+−= ; [sol] a) (0, 0) y (5, 0); b) (0, 0); (4, 0);
Tema 13 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
10. [S] Representa la función
>+−
≤<+
≤−
=
5,0 si1
5,00 si12
0 si2
)(2
xx
xx
xx
xf . A partir de su gráfica indica:
a) ¿En qué puntos es discontinua? b) ¿Cuándo es creciente y cuándo decreciente?
[sol] a) 0 y 0,5; b) Crece: (0, 0,5); decrece: (–∞, 0)∪ (0,5, +∞).
11. Representa gráficamente las funciones:
a) xxf −= 1)( b) xxf −= 1)( c) xxf −= 1)(
12. Representa gráficamente la función xxxf 3)(2
−= . Da su expresión mediante una
función definida a trozos.
Tipo IV. Aplicaciones de las funciones para resolver problemas 13. Un pequeño supermercado utiliza una furgoneta para llevar a domicilio las compras de
sus clientes. El precio de la furgoneta fue de 25000 €. Se estima, además, que el coste de uso
y mantenimiento es de 0,20 € por km. Determina:
a) La función del coste total dependiendo de los kilómetros recorridos.
b) ¿A cuánto habrá salido el kilómetro si la furgoneta resulta inservible cuando ha recorrido
350000 km? [sol] a) xxf 20,025000)( += ; b) 0,27 €
14. Expresa la superficie de un rectángulo de perímetro 100 m en función de su base x.
Representa gráficamente la función obtenida. Utilízala para hallar las dimensiones del
rectángulo de máxima superficie. [sol] )50·()( xxxS −=
15. Halla, en función de su base x, la superficie de un triángulo rectángulo de hipotenusa 5
cm. A partir de esa fórmula, determina la superficie del que tiene base 2 y 3.
[sol] 2
25 2xx −
; 21 ; 4.
16. [S] La relación entre la temperatura del aire T (en º F) y la altitud h (en metros sobre el
nivel del mar) es lineal para 0 ≤ h ≤ 20000. Si la temperatura a nivel del mar es de 60º F y por
cada 5000 m de altitud que se sube, la temperatura del aire baja 18º F, se pide:
a) Expresa T en función de h.
b) Calcula de forma razonada la temperatura del aire a una altitud de 15000 m.
c) Calcula de forma razonada la altitud a la que la temperatura es 0º F.
[sol] a) bahhT +=)( ; b) 6 º F; c) 16666,7 m
17. Los ingresos y los costes, en euros, de una empresa vienen dados por las funciones 2400050000)( xxxI −= y xxC 5000100000)( += , donde x son miles unidades producidas y
vendidas; esto es, x = 1, significa 1.000 unidades.
Halla:
a) Los puntos de equilibrio: en donde la empresa ni gana ni pierde.
b) La función que da el beneficio y la región donde ese beneficio es positivo.
[sol] a) 3,05 y 8,2; b) 100000450004000 2−+− xx ; [3,05, 8,02].
18. Se quiere construir una caja partiendo de un trozo de cartulina rectangular de 24 por 32 cm,
recortando un cuadradito en cada esquina y doblando.
a) Determina la función que da el volumen de la caja dependiendo del lado del cuadrado
cortado.
b) ¿Qué volumen tendrá la caja cuando cortamos 0, 5, 10 cm?
c) Haz una tabla de valores y representa la función. A partir de su gráfica determina su
dominio, recorrido y máximo.
[sol] a) 0; 1540; 480 cm3.
Tema 15 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Límites y continuidad. (Pendientes de Matemáticas I)
1. Comprueba dando valores que 2,11
322
=+→ x
xlímx
2. Halla, por sustitución (si se puede), los siguientes límites:
a) )3( 2
2xxlím
x−
→ b)
4
3226 −
+
−→ x
xlím
x c) 52
7−
→xlím
x d) 52
1−
→xlím
x
e) 1
3221 −+
+
→ xx
xlímx
f)1
32
22 −+
−
→ xx
xlímx
g) )( 32
2
−
→
x
xelím h) )32(
0+
→
x
xlím
i) xlímx
sen 2/π→
j) xlímx
cos2/π→
k) xlímx
tag2/π→
(Sol. a) −2; b) −9/32; c) 3; d) No existe; e) √5; 1/√5; g) e; h) 4; i) 1; j) 0; k) ∞.
3. Halla el límite de:
a)
≥
<=
0 si3
0 si)(
2
xx
xxxf , cuando x → 0; b)
−≥−
−<−=
1 si)2/(3
1 si1)(
2
xxx
xxxf , cuando x → –1
Sol. a) 0; b) No existe.
4. Dada la función )1)(2)(3(
)2)(3()(
+−−
+−=
xxx
xxxxf , halla su límite cuando x tiende a 3, 0, −2, 2 y −1.
(Sol. 15/4; 0; 0; ∞; ∞.)
5. Halla: a) 2
2
0 x
xxlímx
−
→ b)
2
23
0 2
3
x
xxlímx
−
→ c)
4
222 −
−
→ x
xlímx
d) 12
1
2/1 −
+
→ x
xlím
x
(Sol. a) ∞; b) −3/2; c) −1/4; d) ∞.)
6. Halla: a) 78
122
2
1 ++
++
−→ xx
xxlímx
b)78
122
2
7 ++
++
−→ xx
xxlím
x c)
4
322 −
−
−→ x
xlím
x d)
24 )4(
32
−
−
→ x
xlímx
(Sol. 0; b) ±∞; c) ±∞; d) ∞)
7. Halla:
a) 1
3
1 −→ x
xlímx
b) 5
252
5 −
−
→ x
xlímx
c)2510
252
2
5 +−
−
→ xx
xlímx
d) 254
6113323
234
1 −+−
−+−−
→ xxx
xxxxlímx
(Sol. a) ∞; b) 10; c) ∞; d) 6.)
8. Calcula: a) 4
2
4 −
−
→ x
xlímx
b) 42
2
2 −
−
→ x
xlímx
c) x
xlímx 22
42
2 −
−
→
d) x
xxlímx −
−+
→ 3
32
3 e)
9
3423 −
−−
→ x
xxlímx
f)xx
xlímx 5
252
2
5 −
−
→
(Sol. a) ¼; b) ∞; c) −4; d) 2/3; e) 1/18; f) √2.)
9. Halla: a) )53( −∞→
xlímx
b) )73( +−∞→
xlímx
c) )17106( 2 +−∞→
xxlímx
.
d) x
límx
1
±∞→ e)
2
14
xlím
x
−
±∞→ f)
5
3
−±∞→ xlím
x
(Sol: a) ∞; b) −∞; c) ∞; d) 0; e) 0; f) 0.)
10. Halla: a) 14
322 +−
+
+∞→ xx
xlím
x b)
145
322
2
+−
+
+∞→ xx
xxlím
x c)
145
322
2
+−
+
−∞→ xx
xxlím
x
d)72
22
+
−
+∞→ x
xxlím
x e)
4
83 2
−
+−
+∞→ x
xxlím
x f)
4
83 2
−
+−
−∞→ x
xxlím
x
(Sol. a) 0; b) 2/5; c) 2/5; d) +∞; e) −∞; f) + ∞.)
Tema 15 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
11. Halla: a)14
32
2 +−
+
+∞→ xx
xlím
x b)
xx
xlím
x 42
42
3 −
−
+∞→ c)
xx
xlím
x 2
2
3
2
++∞→
(Sol. a) 2; b) 0; c) ∞.)
Cálculo de asíntotas 12. Determina las asíntotas de las funciones:
a) 1
)(−
=x
xxf b)
x
xxf
12)(
+= c)
2
32)(
2 +
−=
x
xxf
a) x = 1; y = 1. b) x = 0; y = 2. c) y = 0.)
13. Calcula las asíntotas de las funciones: a) 1
423)(
2
−
−−=
x
xxxf b)
1
2)(
2
+
+=
x
xxxf
(Sol. x = 1; y = 3x + 1. b) x = −1; y = x +1.)
14. Comprueba que las siguientes funciones tienen una asíntota horizontal hacia −∞: Hállala en
cada caso: a) xxf 21)( += b) x
xf 22)( −= (Sol. a) y = 1; y = 2.)
Continuidad de funciones y aplicaciones 15. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) x
xf1
)( = b) 1
1)(
2
2
−
+=
x
xxf c) 3)( 2 += xxf
Sol. a) R; b) R − {−1, 1}; c) R..
16. ¿Para qué valores de k la función kxx
xxf
+
−=
2
1)( tiene dos discontinuidades? Hállalas cuando k
= −1? (Sol. k = 0 y 1. En x = 1 es evitable.
17. ¿Para qué valores de k la función 32
)(2 −−
+=
xx
kxxf tiene una discontinuidad evitable?
(Sol. k = 1 y 2.)
18. Dada la función
>−
≤+=
1 si3
1 si1)(
2xax
xxxf , ¿para qué valores de a la función f(x) es continua en
x = 1? Comprueba gráficamente que tu resultado es correcto. (Sol. 1.)
19. (PAU) Calcula la constante k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos:
≥+
<−=
5 si4
5 si1)(
2
xkx
xxxf (Sol. 4.)
20. (PAU) Calcula la constante k para que la siguiente función sea continua en todos los puntos:
≥+
<=
3 si
3 si)(
2
xkx
xxxf (Sol. 6.)
21. (PAU) Dada la función 2
3
)1( +=
x
xy , se pide:
a) Estudia razonadamente su continuidad.
b) Estudia razonadamente sus asíntotas.
(Sol. a) R − {−1}; b) x = −1; y = x − 2.)
22. Estudia la continuidad de las funciones: a) xxxf −=)( b) x
xxf =)(
Haz su representación gráfica.
(Sol. a) Continua; b) Discontinua en x = 0.)
Tema 16 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
1
Derivadas. (Pendientes de Matemáticas I)
Tipo I: Tasas y derivadas 1. Halla la tasa de variación media en el intervalo [1, 4] de las funciones:
a) 2)( 2+= xxf b) xxxf 2)( 2
+= c) xxxf 2)( 2+−= [sol] a) 5; b) 7; c) -3.
2. Calcula la tasa de variación media en el intervalo [2, 4] para cada una de las funciones:
[sol] a) ½; b) 1; c) −3/2
Tipo II: Teoría de derivadas 3. Observa las figuras anteriores.
a) En el punto x = 2, ¿cuál de ellas tiene derivada mayor?
b) En el punto x = 4, ¿cuál de ellas tiene derivada negativa?
c) En cada caso, indica (aproximadamente) los puntos con derivada 0.
[sol] a); a); c) En a), 3; en b), 2, 3 y 4; en c), 2, 2,5, 3,3 y 4.
4. Halla los puntos de la curva 23 23+−= xxy en los que su derivada vale:
a) −3 b) 0 c) 2 [sol] a) 1; b) 0 y 2; c) 3
153 ±
5. Halla la ecuación de la recta tangente a xxxf 3)( 2+= en el punto x = −1. Representa
gráficamente la curva y la tangente. [sol] 1−= xy
6. ¿En qué puntos del intervalo (−3, 3) no es derivable la siguiente función? Indica el motivo.
[sol] −2, −1, 0, 2.
7. ¿Para qué valor de k es derivable la función
−≥−
−<+=
1,1
1,)(
2
xx
xkxxxf en el punto x = −1?
[sol] –3.
8. ¿Para qué valor o valores de k es derivable la función
−≥−
−<+=
1,1
1,)(
22
xx
xxxkxf en el punto x =
−1? [sol] Nunca.
Tema 16 I.E.S. COMPLUTENSE
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
2
Tipo III: Práctica de derivadas Deriva y simplifica los cálculos cuando sea posible.
9. a) 652 2+−= xxy b) 3723 24
−++−= xxxy c) xxxy 25 34+−= d) xxy −=
3
3
2
[sol] a) 54´ −= xy ; b) 7412´ 3++−= xxy ; c) 2154´ 23
+−= xxy ; d) 12´ 2−= xy
10. a) xxy 74
3 4+= b) x
xy 7
4
3 4
+= c) 4
73 4xx
y+
= d) )7(4
3 4xxy +=
[sol] a) 73´ 3+= xy ; b) 73´ 3
+= xy ; c) 4
712´
3+
=x
y ; d) 4
213´ 3
+= xy
11. a) 5)4( += xy b) 4)23( −= xy c) 32 )2( += xy d) 3)74(2 −= xy
[sol] a) 4)4(5´ += xy ; b) 3)23(12´ −= xy ; c) 22 )2(6´ += xxy ; d) 2)74(24´ −= xy ;
12. a) x
xy
5
32 −= b)
xx
xy
3
22
+= c)
34
22
+=
xy d)
1
32
−=
x
xy
[sol] a) 25
3´
xy = ; b)
22
2
)3(
2´
xx
xy
+
−= ; c)
22 )34(
16´
+
−=
x
xy ; d)
22
2
)1(
33´
−
−−=
x
xy
13. a) 543 2−+= xxy b) xxy 44
+= c) 3)51( xy +=
[sol] a) 543
23´
2−+
+=
xx
xy ; b)
xx
xy
4
22´
4
3
+
+= ; c) xy 51
2
15´ += ;
14. a) 32
2 −=
xy b)
223 xxy
−= c) 3+−
=x
ey d) xey
52=
[sol] a) 2ln2·2´ 32−
=x
xy ; b) 3ln3)·22(´22 xx
xy−
−= ; c) 3´ +−−=
xey ; d) x
ey510´=
15. a) )3log( 2xxy += b) 7)43log( += xy c) )32ln( 2
+= xy d) )3ln(2 2+= xy
[sol] a) exx
xy log
3
32´
2+
+= ; b)
43
21´
+=
xy ; c)
32
4´
2+
=x
xy ; d)
16. a) xsenxy cos53 −= b) xxy 3sen = c) xxy sen ·cos= d) xey
cos=
[sol] a) senxxy 5cos3´ += ; b) xxxseny 3cos33´ += ; c) xy 2cos´= ; d) xsenxey
cos´ −=
Tipo IV: Variación y representación gráfica de funciones 17. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de las siguientes funciones:
a) xxxf 2)( 2+= b) xxxf 2)( 2
+−= c) 23)( 23+−= xxxf d) xxxf 2)( 3
+−=
[sol] a) x < −1, decrece; x > −1, crece. b) si x < 1, decrece; si x > 1, crece.
c) Crece: (−∞, 0)∪(2, +∞); Decrece: (0, 2) d) Crece: ( )2,2− ; Decrece: ( ) ( )∞∪−∞− ,22,
18. Representa gráficamente las funciones:
a) 4)(2
−= xxf b) 2
1)(
xxf = c)
1)(
2
−=
x
xxf d)
3
1)(
+=
xxf e)
1
2)(
−
−=
xxf
Tema 17 (Matemáticas 1º CT) I.E.S. COMPLUTENSE
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Tema 17. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES AUTOEVALUACIÓN 1. a) Asocia las rectas de regresión: y = –x +16, y = 2x – 12 e y = 0,5x + 5 a las nubes de puntos siguientes:
b) Asigna los coeficientes de correlación lineal r = 0,4, r = –0,85 y r = 0,7, a las mismas nubes de puntos. 2. Se han tomado ocho medidas de la temperatura de una batería y de su voltaje, y se obtuvieron los siguientes datos:
X: temperatura 10,0 10,0 23,1 23,5 34,0 34,5 45,0 45,6 Y: voltaje 430 425 450 460 470 480 495 510
a) Sin efectuar cálculos, razona cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre X para los datos anteriores: y = 350 − 2,1x y = 460 − 2,1x y = 406 + 2,1x b) Para 25 grados, ¿qué voltaje sería razonable suponer? 3. El número de horas de estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente, fue, para 7 personas, la siguiente:
Horas 5 8 10 12 15 17 18 Calificación 3 6 5 6 9 7 9
a) Dibuja la nube de puntos y traza, aproximadamente, la recta de regresión asociada. b) Indica el carácter y estima la fuerza de la correlación. 4. Calcula, paso a paso (sin utilizar la calculadora en modo estadístico), el coeficiente de correlación y la recta de regresión asociada a los datos del problema anterior. 5. a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X en la distribución siguiente realizando todos los cálculos intermedios.
X 10 7 5 3 0 Y 2 4 6 8 10
b) ¿Cuál es el valor que correspondería según dicha recta a X = 7? 6. El departamento de control de calidad de una empresa de instalación de componentes electrónicos desea determinar la relación entre las semanas de experiencia de sus trabajadores y el número de componentes rechazados a esos trabajadores la semana anterior.
Trabajador examinado A B C D E F G H I J Semanas de experiencia (X) 7 8 10 1 4 5 15 18 4 8 Número de rechazos (Y) 22 35 15 42 26 30 16 20 31 23
a) Representa el diagrama de dispersión asociado a esos datos. ¿Sugiere la gráfica alguna asociación lineal? b) ¿Cómo calificarías la correlación?
Tema 17 (Matemáticas 1º CT) I.E.S. COMPLUTENSE
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7. Para los datos del problema anterior, halla con ayuda de la calculadora: a) Las medias y desviaciones típicas marginales. b) La covarianza. c) El coeficiente de correlación lineal. d) La recta de regresión de Y sobre X. e) El número de rechazos que hay que esperar para una persona con 20 semanas de experiencia. 8. Se midieron los valores de concentración de una sustancia A en suero fetal y los valores de su concentración en suero materno. Se obtuvieron los siguientes datos en una muestra de seis embarazadas a término:
Madre (X) 8 4 12 2 7 9 Feto (Y) 6 4 8 1 4 5
a) Calcula el coeficiente de correlación lineal. b) Halla la expresión de la recta que permita estimar los valores fetales a partir de los maternos. 9. En seis alumnos de bachillerato se observaron dos variables: X = puntuación obtenida en un determinado test e Y = nota en un examen de matemáticas. Los resultados se indican en la siguiente tabla:
Test: X 110 90 140 120 120 100 Examen: Y 6 5 9 7 8 6
a) Halla la recta de regresión. b) Sabiendo que un alumno obtuvo 130 puntos en el test, pero no realizó el examen de matemáticas, predice, si es posible, la nota que hubiese obtenido. 10. La altura, en cm, de 8 padres y del mayor de sus hijos varones, son:
Padre (X) 170 173 178 167 171 169 184 175 Hijo (Y) 172 177 175 170 178 169 180 187
a) Calcula la recta de regresión que permita estimar la altura de los hijos dependiendo de la del padre; y la del padre conociendo la del hijo. b) ¿Qué altura cabría esperar para un hijo si su padre mide 174? ¿Y para un padre, si su hijo mide 190 cm? 11. Los años de siete árboles y el diámetro de su tronco, en cm, se dan en la siguiente tabla:
Años 2 4 5 8 10 14 20 Diámetro 10 15 17 20 23 25 27
a) Calcula, utilizando la recta de regresión, el diámetro que se puede predecir para árboles de 10 y 20 años. b) Compara el resultado anterior con los valores observados en la tabla. Razona el porqué de las diferencias. 12. El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla:
X: Nº de horas 0 1 2 3 4 5 Y: Nº de bacterias 12 19 23 34 56 62
Calcula: a) Las medias y desviaciones típicas de las variables, número de horas y número de bacterias. b) La covarianza de la variable bidimensional. c) El coeficiente de correlación e interpretación. d) La recta de regresión de Y sobre X.
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Otros problemas 13. Un conjunto de datos bidimensionales (x, y) tiene un coeficiente de correlación r = 0,8. Las medias marginales valen: x = 2; y = 4. Indica si alguna de las siguientes ecuaciones puede corresponder a la recta de regresión de Y sobre X: y = –2x + 8; y = 0,8x + 2, y = 1,5x + 1 14. Halla el centro medio de una distribución sabiendo que sus rectas de regresión valen: De Y sobre X: y = 2x + 2. De X sobre Y: x = 0,45y – 0,2. 15. Una compañía de seguros sospecha que el número de accidentes está en función de la edad del conductor. Para ello elige 100 personas de cada grupo de edad y contabiliza los accidentes totales del último año. Los datos fueron:
Edad 20 25 30 35 40 45 N.º accidentes 10 11 9 7 4 5
a) Representa gráficamente la nube de puntos asociada a estos datos. ¿Qué correlación se observa? b) Halla, sin calculadora, el coeficiente de correlación lineal entre las variables medidas. Comenta su valor. 16. Se está experimentado la resistencia a la rotura de una determinad fibra textil. Para ello se ha medido el diámetro de la fibra y el peso que soporta hasta la rotura, obteniéndose los siguientes datos:
Diámetro en mm (X) 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 Peso a la rotura en kg (Y) 12,5 18 25 32 41 52
a) Representa el diagrama de dispersión asociado a esos datos. ¿Sugiere la gráfica alguna asociación lineal? b) ¿Cómo calificarías la correlación? 17. Con los datos del problema anterior, halla: a) La recta de regresión de Y sobre X y determina la resistencia a la rotura de una fibra de 2,5 mm de diámetro. b) La recta de regresión de X sobre Y y determina el diámetro mínimo de una fibra para que soporte más de 60 kg. → Las soluciones detalladas de los problemas puedes encontrarlas AQUÍ.