Noel Maldonado

20.670.951

Mecánica Estática

SAIA B

CENTRO DE MASAS

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente

se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De

manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el

centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m.

CÁLCULO DEL C.M. DE UN SISTEMA

DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE MATERIA

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de

masas se puede calcular como:

, masa total del sistema de partículas.

, masa de la partícula i-ésima.

, vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia supuesto.

Un poco más explícito si A1,... An son n puntos, y m1,... mn n números (m como masa). Entonces el

centro de masa de los (Ai, mi) es el punto G definido como sigue:

Esta definición no depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o

del espacio, se obtienen las coordenadas del baricentro como promedio ponderado por los mi de

las coordenadas de los puntos Ai:

La definición anterior equivale a la fórmula siguiente, más práctica para el cálculo vectorial, pues

prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):

DISTRIBUCIÓN CUASIDISCRETA DE MATERIA

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que

las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

DISTRIBUCIÓN CONTINÚA DE MATERIA

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al

Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

DISTRIBUCIÓN DE MASA HOMOGÉNEA: Si la masa está distribuida homogéneamente,

la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integralhaciendo uso de la

relación siguiente:

siendo V el volumen total.

Para cuerpos bidimensionales (superficies) o monodimensionales (líneas) se trabajará con

densidades superficiales y longitudinales respectivamente.

Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidirá con el centroide del cuerpo.

Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable

pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En este caso se calcula el centro de

masas de la siguiente forma.

Para calcular la integral hay que conocer la función de densidad.

CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

El Centro de Gravedad Es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de todas las fuerzas de

gravedad que actúan sobre las distintas particulas del cuerpo.

w = es el Peso y su ecuación es:

w = m .g (peso), Es una fuerza que cuya direccion va hacia el centro de la Tierra.

Las coordenadas del centro de Gravedad son (XC,YC).

Estas ecuaciones se presentan cuando se tienen dos partículas de masas m1 y m2

En general, para n partículas se tiene:

Estas ecuaciones se pueden expresar también como una sumatoria:

MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Es una medida de la Inercia del sistema, es decir es la resistencia que opone un sistema cuando se

trata de ponerlo en movimiento.

Viene expresado por la siguiente ecuación.

I = m1 (R1)2 + m2 (R2)

2 + m3 (R3)

2 + ............mn (Rn)

2

Donde R es la distancia del eje a la masa m

Por otro lado, se sabe que una sumatoria es una integral, por lo tanto El Momento de Inercia

respecto al eje Z, será:

donde R es la distancia del eje Z hasta el diferencial de masa;

Este es el momento de Inercia respecto al eje Z.

IMPORTANCIA DEL TEMA PARA EL INGENIERO MECANICO

Gracias a estos conocimientos y realizando los cálculos adecuados, nos permite colocar piezas en

su total equilibrio con el centro de masa o gravedad adecuado a la pieza, por ejemplo en una

máquina que tenga una pieza móvil, cuya pieza tenga movimiento en su eje de centro de masa o

de giro esto permite balancearlo y se simplificarían vibraciones.