nociones elementales de cointegración enfoque de engle-granger

HL Mata Nociones Elementales de Cointegración Procedimiento de Engle-Granger

1

Nociones Elementales de CointegraciónEnfoque de Engle-Granger


2

Profesor Titular de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (FACES) de la Universidad de los Andes (ULA). No hay ninguna pretensión de originalidad en estas notas. Las mismas existen por todas partes. Mi mayor contribución, si acaso alguna, consistió en ubicarlas, sistematizarlas, adaptarlas y publicarlas para beneficio de Estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de los Andes.

Visiten Otras Notas de Clase en:

http://webdelprofesor.ula.ve/economia/hmata


3

Conceptos de Cointegración

Desde el punto de vista de la Economía

Se dice que dos o mas series están cointegradas si las mismas se mueven conjuntamente a lo largo del tiempo y las diferencias entre ellas son estables (es decir estacionarias), aún cuando cada serie en particular contenga una tendencia estocástica y sea por lo tanto no estacionaria. De aquí que la cointegración refleja la presencia de un equilibrio a largo plazo hacia el cual converge el sistema económico a lo largo del tiempo. Las diferencias (o término error) en la ecuación de cointegración se interpretan como el error de desequilibrio para cada punto particular de tiempo.

Desde el punto de vista de la Econometría

Dos o más series de tiempo que son no estacionarias de orden I(1) están cointegradas si existe una combinación lineal de esas series que sea estacionaria o de orden I(0). El vector de coeficientes que crean esta serie estacionaria es el vector cointegrante.


4

Las mayoría de las series económicas son no estacionarias

por cuanto comparten tendencias estocásticas comunes.

El profesor Clive Granger, Premio Nobel de Economía en el año

2003, fue el primero en llamar la atención sobre la existencia

de tendencias comunes en las series econométricas. Según él

ésta es la causa principal de los resultados espurios

obtenidos en las estimaciones econométricas realizadas antes

del año 1980.

Los métodos econométricos desarrollados por los Profesores

Engle y Granger en el año 1987 se aplican fundamentalmente

a series estacionarias.


5

Características de las Series Temporales• La mayoría de las Series tienen una tendencia. Su valor medio

cambia con el tiempo. Son las llamadas Series no estacionarias.

• Algunas Series describen “meandros”, es decir, suben y bajan sin ninguna tendencia obvia o tendencia a revertir hacia algún punto

• Algunas series presentan “Shocks” persistentes. Los cambios repentinos en estas series tardan mucho tiempo en desaparecer

• Algunas series se mueven conjuntamente, es decir tienen “co movimientos positivos”, ejemplo: diferentes tasa de interés

• La “Volatilidad” de algunas Series varía en el tiempo. Muchas series pueden ser más variables en una año que en otro

0.0E+00

2.0E+06

4.0E+06

6.0E+06

8.0E+06

1.0E+07

1.2E+07

1.4E+07

1.6E+07

93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03

M1

0

200

400

600

800

1000

1200

93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03

IPC

90000

100000

110000

120000

130000

140000

150000

160000

93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03

PIBR


6

Procedimientos de Cointegración

Engel-Granger (1987)Aplicable a modelos uniecuacionales de dos (o más variables ?)Método en dos etapas basado en los residuos estimadosAsume a priori que existe un solo vector de cointegración en el modeloEl resultado de este método de cointegración puede cambiar dependien-do de cual variable se seleccione como dependiente

Johansen, S. (1988,1991)Aplicable a sistemas de ecuacionesEste método está basado en modelos VAR (Vectores autorregresivos).Es un test de máxima verosimilitud que requiere muestras grandes (100 ó más datos)Prueba la existencia de múltiples vectores de cointegración entre las variables, mediante la prueba de la Traza y del Eigenvalue máximoDescansa fuertemente en la relación entre el rango de la matriz y sus raíces características


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Procedimiento de Engle y Granger


8

Robert F. Engle y Clive W.J. Granger

Recibieron el premio Nobel en Economía en el año 2003.

Estos laureados desarrollaron métodos que capturan dos de las propiedades claves más importantes de las series

temporales, a saber:

Granger: métodos para analizar series temporales con tendencias comunes (Cointegración)

Engle: métodos para analizar las series temporales con volatilidad variable en el tiempo (modelos ARCH)

Quienes son Engle y Granger?


9

1. Determinar el Orden de Integración de cada una de las Variables a ser incluídas en el Modelo:

Si las series son estacionarias de orden I(0) apliquen el proce-dimiento estandard de MCO. Resultado: parámetros exactos y superconsistentes.Si las series resultan integradas de diferente orden, tales como: I(0), I(1), I(2) es posible concluir que las mismas no esténcointegradas. La aplicación de MCO producirá resultadosespurios: R2, Fc y tt altos y DWc bajoFinalmente, puede ocurrir que las series tengan el mismo ordende integración, digamos I(1). En general: cualquier combinaciónlineal de variables I(1) será también I(1). Pero puede haberalguna combinación lineal particular entre las variables I(1) quesea estacionaria, es decir: I(0). Para determinarlo, ejecuten el paso 2

2. Especificar y Estimar la Relación Funcional a Largo Plazo y contrastar silos residuos tienen una raíz unitaria o no

3. Guardar los Residuos Estimados3. Prueba de Cointegración en los Residuos Estimados4. Estimar el Modelo de Correción de Errores si las variables están cointe-

gradas

Procedimiento de Engle-Granger


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Datos: DescripciónLos series utilizadas en esta nota se obtuvieron de la Tabla 21-1, InformaciónMacroecononómica, Estados Unidos, 1970.1 a 1991.4. Damodar N. Gujarati (2003) Basic Econometrics, McGraw Hill, 5ta edición.

El procedimiento de la diapositiva 11 les ayudarán a bajar los datos, guardarlosen formato .XLS e importarlos posteriormente desde la aplicación EViews

Series Trimestrales:

Tamaño de la muestra: 1970.1 - 1991.4

Series originales (Level: en su forma original, sin transformación):

PCE = Gasto Consumo Personal PDI = Ingreso Personal Disponible

Series transformadas en logarítmicas (o en tasas de cambio)

LPCE = Logaritmo de la serie PCELPDI = Logaritmo de la serie PDI


11

Procedimiento para bajar los datos desde Internet1. Visiten la dirección: http://www.estima.com/Gujarati's%20Basic%20Econometrics.shtml2. En la página Textbook Examples Files. Gujarati´s Basics Econometrics, hagan

clic en el hipertexto Gujarati Vers5.zip para mostrar su contenido. Clic en Abrir

3. Hallarán el archivo table21-1.prn en la 1ra fila de la ventana WinZip, Gujarati[1].zip4. Hagan doble clic sobre dicho archivo y Maximicen su ventana

5. Hagan clic en el menú Archivo y seleccionen Guardar Como. En Nombre del archivo, escriban Table21-1 o cualquiera otro: Cierren todas las ventanas

6. Abran la Aplicación MS Excel. Hagan clic en Archivo–Abrir. En tipo de archivoseleccionen: Archivos de texto. En nombre de archivo: seleccionen Table21-1.prn

7. En tipo de los datos originales, seleccionen: De ancho fijo8. En origen de los tados, seleccionen: Windows (ANSI). Clic en Siguiente9. Arrastren las barras a las columnas 10, 20, 30, 40 y 50, respectivamente para

delimitar las series: GDP, PDI, PCE, PROFITS y DIVIDENDS. Clic en Siguiente10. En formato de los datos en columna, seleccionen: No importar Columna. Finalizar

11. Clic en el menú Edición y seleccionen Reemplazar. 12. En el cuadro de texto BUSCAR escriban un punto (.) y en REEMPLAZAR POR una

coma (,). Hagan clic en el botón Reemplazar todo y luego en Cerrar

13. Hagan Clic en Archivo- Guardar como. En Nombre del archivo, escriban USA14. En Guardar como tipo, seleccionen Libro de Microsoft Office Excel. Clic en Guardar

15. Importen el archivo desde la aplicación Econometric Views (EViews)


12

Importar Datos desde MS ExcelAbran la aplicación Econometric Views (Eviews):

File – New – Workfile:

En Frequency, seleccionen: Quarterly

En Start date, escriban: 1970.1

En End date, escriban: 1991.4. Clic OK

Procs - Import - Read Text-Lotus-Excel:

En buscar en: seleccionen: USA En tipo: Text-ASCII[*.*]. Clic Abrir.

En la sección Name for series or…. escriban los nombres de las series separadas

por espacios en blanco, es decir: GDP PDI PCE PROFITS DIVIDENDS. Clic OK

File – Save As:En Guardar en: Seleccionen el directorio donde se guardará el archivo.

En Nombre: escriban USA

En Tipo: debe estar seleccionado Workfile [*.wf1]. Clic en Guardar


13

Determinar el Orden de Integración de cada una de las Series a ser Incluidas

en el Modelo


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Orden de Integración. Definición

• El orden de integración se refiere al número de veces que se debe diferenciar una serie de tiempo (calcular su primera diferencia) para convertirla en una serie estacionaria

• Se dice que una serie de tiempo está integrada de orden d, escrita I(d), si después de diferenciarla d veces se convierte en estacionaria.

•

• Las series que son estacionarias sin diferenciar se denominan I(0), ruido blanco

• Si se calcula la primera diferencia de una serie y ésta se vuelve estacionaria, se dice entonces que la misma está integrada de orden I(1), random walk.

• Si la integración se alcanza después de calcular la segunda diferencia, se dirá que la serie esta integrada de orden 2, es decir I(2)

• Si una combinación lineal de 2 variables I(1) genera errores I(0), se dice que las 2 variables están cointegradas

• Si dos variables están integradas de diferentes órdenes, digamos que una es I(1) y la otra de orden I(2), no habrá cointegración

• En economía sólo tienen importancia las series integradas de orden I(1).

¿ Cuál es el orden de integración de nuestras variables PCE e DPI ?


15

Pruebas Informales para IdentificarSeries No estacionarias

• Representación gráfica de las series• Correlograma• Estadístico Q de Box-Pierce• Estadístico LB de Ljung-Box


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Representación Gráfica de las Series

Abran la Aplicación Eviews:

• Clic en File – Open – WorkFile - A: - USA.wf1 – Abrir

• Clic sobre la variable (serie) PCE para seleccionarla

• Manteniendo oprimida la tecla Control hagan clic sobre PDI

• Hagan doble clic sobre la serie PCE y seleccionen Open Group

• Clic en View (del archivo de trabajo) – Graph - Line

Observen en la próxima diapositiva como las variables PCE y PDI crecen (también pueden decrecer) constantemente en el tiempo. Este comportamiento es característico de series No estacionarias.


17

Plot de las Series PCE y PDI

1600

2000

2400

2800

3200

3600

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

PCE PDI


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Transformación de las Series en Primeras Diferencias

Clic en el botón de Cerrar (botón rojo inferior) para cerrar la Ventana del GrupoClic en el botón de comando YES para confirmar el cierre

Calcular Primeras Diferencias:

Clic en Quick - Generate Series y escriban: DPCE=PCE-PCE(-1). Clic OK Clic en Quick - Generate Series y escriban: DPDI=PDI-PDI(-1)

Representar las Series en Primeras Diferencias

Seleccionen las variables Transformadas DPCE y DPDI, respectivamente

Doble clic sobre la serie DPCE y seleccionen Open Group

Clic en View (archivo de trabajo) – Graph - Line

Inspeccionen las gráfica de las series en la diapositiva 19. Noten que las mismas se alejan y regresan a unos valores medio. Esos valores no son otros que la media y la varianza. Las series que exhiben este tipo de comportamiento se denominan series estacionarias.


19

Representación Gráfica de las Series PCE y PDI en Primeras Diferencias

El Plot de las dos series se hizo con el software MicroFit, versión 4.1.

Las Series parecen moverse no alrededor del tiempo sino alrededor de sus

Medias, Varianzas y Covarianzas, característica de las series estacionarias


20

Función de AutocorrelaciónLa función de autocorrelación de la serie PCE da la correlación teórica entre los valores de

la serie en el período t y sus valores en el tiempo t+k, para todo valor de k desde 1 hasta

n, cuya fórmula de cálculo es la siguiente:

Regla de decisión:

Los coeficientes de autocorrelación de los procesos estacionarios tienden a cero (0)

rápidamente a medida que aumenta el número de retardos K

Los coeficientes de autocorrelación de los procesos no estacionarios decaen muylentamente, a cero (0), a medida que aumenta K

El gráfico del correlograma es una herramienta importante en el análisis de las series temporales. Noten los valores de (rho) en las dispositivas 25 y 26

( )( ) ( )

,...,1varvar,cov

000

====+

+ ktodoparaxx

xx kk

ktt

kttk γ

γγγ

γρ

kρ


21

Pasos para Realizar el CorrelogramaClic en el botón de Cerrar (botón rojo inferior) para cerrar la Ventana del GrupoClic en el botón de comando YES para confirmar el cierre

Doble clic sobre la serie PCE

Clic en View - Correlograma (Seleccionen Level y hasta ¼ de las observa-ciones de la muestra).

Clic en el botón OK.

Repitan el procedimiento, pero ahora seleccionen Primeras Diferencias. Comparen el comportamiento de ambos correlogramas. Que conclusión sacan de ellos?


22

Correlograma de las Series PCE e PDIMétodo para determinar si una serie es estacionaria. Representar los valores de la función de autocorrelación muestral (ACF, por sus siglas en inglés) con res-pecto a la longitud del retardo. En nuestro ejemplo, la longitud del retardo es 36

Correlogramas de las series PCE e PDI con 36 retardos, hechos en MicroFit 4.1

Reglas de decisión:

SerieNo Estacionaria: El correlograma empieza en un valor muy alto y decae muy lentamente hacia cero. De acuerdo con esto, nuestras series son no estacionarias

Serie Estacionaria: El correlograma decae rápidamente después del primer retardo


23

Prueba de hipótesis de Q y LB1. Planteamiento de hipótesis:

Número de retardos recomendados: un 25 % del total de las observaciones

2. Estadísticos de Box-Pierce (Q) y Ljung-Box (Q). Gujarati, p.701

3. Regla de decisión:

Rechacen a Ho si el valor de probalidad es menor o igual que el nivel = 0.05

No rechacen a Ho si el valor de la probabilidad es mayor que el nivel = 0.05

4. Conclusión:

Dado que las probabilidades asociadas a los estadísticos Q son menores que el nivel alfa igual a 0.05, se concluye que las series son no estacionarias

( ) 2m

m

1k kn

2kˆ

2nnLB

Q χ≅∑= −

ρ+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∑=

ρ=m

1k

2kBP ˆnQ

iaEstacionarnoiseWhiteesSerieH k ===== 0...: 210 ρρρiaestacionarNowalkRandomSerie0...:H k211 =≠ρ≠≠ρ=ρ


24

Valores de Probabilidad - P-valuesAparece en el análisis de regresión con el título [Prob]. P es la abreviatura de Probabilidad

[Prob]. Especifica el nivel de significación más bajo al cual se puede rechazar la hipótesis nula

Prueba de hipótesis con el p-value y/o (Prob)

1. Definan previamente el nivel de significación2. Regla de decisión:

• Rechace Ho si

• No rechace a Ho si

En estadística es convencional rechazar la hipótesis nula con un nivel de significación . Cuando se rechaza la hipótesis nula se dice que los resultados del estudio

son estadísticamente significativos al nivel

¿ Qué interpretación se les da a los p-values o valores de las probabilidades?:

P<.10 No significativo 0.05<p<0.10 marginalmente significativo 0.01<p<0.01 Significativo

0.001<p<0.01 altamente significativo p<0.01 demasiada significativo

α≤pα>p

05.0=αα


25

Serie PCE. Estadísticos Box-Pierce y Ljung-Box***************************************************************

Orden Coeficiente Standard Box-Pierce Ljung-BoxAutocorrela. Error Estadístico Q Estadístico

***************************************************************1 .96891 .10660 82.6134[.000] 85.4621[.000]2 .93525 .18083 159.5870[.000] 166.0159[.000]3 .90136 .22930 231.0825[.000] 241.7170[.000]4 .86579 .26654 297.0469[.000] 312.3932[.000]5 .82982 .29678 357.6434[.000] 378.1002[.000]6 .79122 .32207 412.7341[.000] 438.5656[.000]7 .75193 .34345 462.4895[.000] 493.8494[.000]8 .71250 .36167 507.1635[.000] 544.1077[.000]9 .67491 .37729 547.2475[.000] 589.7729[.000]

10 .63814 .39077 583.0827[.000] 631.1213[.000]

*****************************************************************Estadísticos calculados con MicroFit. Los valores entre corchetes son valores de Probabilidad.

Rechace a Ho si el valor de la probabilidad asociada al los estadísticos Q [valores entre corchetes] es menor o igual que el nivel de significación 0.05

Observen a los estadísticos Q y LB y a sus correspondientes valores de Probabilidad: Todos son significativospor ser menores que el nivel alfa 0.05. Esto obliga a rechazar la hipó tesis nula Ho: Serie PCE es estacionaria. Por lo tanto, la serie PCE es no estaciona-ria por el hecho de poseer una raíz unitaria


26

Serie PDI. Estadísticos Box-Pierce y Ljung-Box***************************************************************

Orden Coeficiente Standard Box-Pierce Ljung-BoxAutocorrela. Error Estadístico Q Estadístico

***************************************************************1 .96699 .10660 82.2863[.000] 85.1237[.000]2 .93425 .18060 159.0952[.000] 165.5052[.000]3 .90142 .22902 230.5997[.000] 241.2158[.000]4 .86762 .26631 296.8437[.000] 312.1915[.000]5 .83310 .29669 357.9201[.000] 378.4190[.000]6 .79829 .32218 413.9999[.000] 439.9700[.000]7 .76253 .34393 465.1683[.000] 496.8237[.000]8 .72655 .36263 511.6215[.000] 549.0836[.000]9 .69147 .37881 553.6973[.000] 597.0181[.000]

10 .65661 .39289 591.6376[.000] 640.7953[.000]*****************************************************************Estadísticos calculados con MicroFit. Los valores entre corchetes son valores de Probabilidad

Rechace a Ho si el valor de la probabilidad asociada al los estadísticos Q [valores entre corchetes] es menor o igual que el nivel de significación 0.05

Observen a los estadísticos Q y LB y a sus correspondientes valores de Probabilidad: Todos son significativos por ser menores que el nivel alfa 0.05. Esto obliga a rechazar la hipó tesis nula Ho: Serie PDI es estacionaria. Por lo tanto, la serie PDI es no estaciona-ria por el hecho de poseer una raíz unitaria


27

Pruebas Formales para Identificar Series No estacionarias

1. Estadístico de Dickey-Fuller (DF)2. Estadístico Aumentado de Dickey-Fuller

(ADF)3. Estadístico de Phillips-Perron (PP)


28

Prueba de Dickey-Fuller (DF)Antes de someter los datos a procesamiento electrónico Uds. deben investigar previamente si las series son o no estacionarios. Los resultados estimados a partir de series no estacionarias son espurios. No tienen significado alguno.

Dickey y Fuller (1979) sugieren las siguientes ecuaciones para determinar la presencia o no de raíces unitarias. Gujarati, página 703.

La diferencia entre estas tres regresiones envuelve la presencia de componentes determinísticos: Intercepto (drift) y tendencia (T). La primera es un modelo puramente aleatorio. La segunda añade un intercepto o término de deriva, drifty la tercera incluye intercepto y un término de tendencia

El parámetro de interés en las 3 regresiones es .

ttt uYY +δ=Δ −1

ttt uYY +δ+α=Δ −1

ttt uYTY +δ+β+α=Δ −1

δ


29

Pasos para la Prueba de Hipótesis1. Planteamiento de hipótesis:

2. Estadísticos para la prueba

3. Regla de decisión: Comparen el valor de tau con los valores críticos de MacKinnon

4. Conclusión:

PCE ... … Serie no estacionariaPDI … … Serie no estacionaria

MacKinnondecoscrítivaloreslosyADFtau*t ==

iaestacionarSerieHachacetSi DFcríticovalor .0

Re||| |⇒≤∗

iaEstacionarNoSerieHaAceptetSi DFcríticovalor .0

|| || ⇒>∗

unitariaraizunaTieneiaestacionarnoesSerieLaH :0:0 =δiaestacionaresSerieLaH 0:1 ≠δ

|||| DFcríticovalortComo >∗

|||| DFcríticovalortComo >∗


30

Prueba Aumentada de Dickey Fuller (ADF)La prueba aumentada de Dickey-Fuller (ADF) es una versión de la prueba de (DF) para modelos de series de tiempo mucho más grandes y complicados.

La ADF es un número negativo. Mientras más negativo sea el estadístico ADF ( con respecto a los valores críticos) más fuerte será el rechazo de la hipótesis nula sobre la existencia de una Raíz Unitaria o no estacionariedad

La ecuación de regresión ADF se basa en las regresiones de la diapositiva 28, pero aumentándolas con términos retardados de la variable

Use este estadístico cuando la prueba de DF no pueda corregir la correlación serial en los residuos. El propósito de los retardos es asegurar que los residuos sean ruido blanco. ¿Cuántos retardos usar?. Empiecen con 6 retardos y vayan disminuyendo gradualmente su número hasta que el estadístico indique que se ha corregido la autocorrelación.

ti

ittt eYYTY +γ+δ+β+α=Δ ∑ρ

=−−

11

∑ −Δγ itY


31

Prueba de Raíz Unitaria con el EViewsClic en el botón Cerrar (botón rojo inferior) para cerrar la Ventana del Grupo

Doble clic sobre la serie PCE:

Clic en View - Unit Root Test - Augmented Dickey Fuller -Level – Trend and Intercept – Schwartz Info. Criteria- OK.

Clic en View - Unit Root Test - Augmented Dickey Fuller - 1st diference –Intercept – Schwartz Info. Criteria– OK

Maximum Lags: 11 OK Maximum Lags: 11 OK

Estadítico Durbin Watson: 2.085875 Estadítico Durbin Watson: 2.034425|cos||215287.2:| crítiValoresHoaAcepte =<− |cos||630339.6:|Re crítiValoresHoachace >−


32

Prueba de Raíz Unitaria, Serie PCELevel (Intercepto y tendencia y 3 retardos):

t-Statistics Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.215287 0.4749

Test critical values: 1% level -4.0682905% level -3.462912

10% level -3.157836Conclusión:

. Acepten la hipótesis nula por cuanto el valor del ADF es menor en valor abosluto (menos negativo) que el valor crítico de McKinnon al 5%. (Transformen sus datos en logs, 1ras diferencias, tasas de cambio, etc)

Primera diferencia (Intercepto y 0 retardos):


Test Critical Values: 1% level -3.5083265% level -2.895512

10% level -2.584952Conclusión: . El estadístico ADF, -6.630339, es un número suficientemente negativo

. Rechacen la hipótesis nula a favor de estacionariedad por cuanto el valor del ADF (-6.630339) es mayor, en valor absoluto (más negativo) que cualesquiera de los valores críticos de MacKinnon

. Noten que la probabilidad asociada al estadístico tau (Prob) es menor que el nivel 0.05, lo cual ratifica el rechazo de la hipótesis nula de no estacionariedad


33

Prueba de Raíz Unitaria, Serie PDILevel (Intercepto y tendencia y 3 retardos):


Test critical values: 1% level -4.0669815% level -3.462292

10% level -3.157475Conclusión:

. Acepten la hipótesis nula por cuanto el valor del ADF es menor en valor abosluto (menos negativo) que el valor crítico de McKinnon al 5%. (Transformen sus datos en logs, 1ras diferencias, tasas de cambio, etc)

Primera diferencia (Intercepto y 0 retardos):


Test Critical Values: 1% level -3.5083265% level -2.895512

10% level -2.584952Conclusión: . El estadístico ADF, -9.636167, es un número suficientemente negativo. Rechacen la hipótesis nula a favor de estacionariedad por cuanto el valor del ADF (-9.636167) es

mayor, en valor absoluto (más negativo) que cualesquiera de los valores críticos de MacKinnon. Noten que la probabilidad asociada al estadístico tau (Prob) es menor que el nivel 0.05, lo cual

ratifica el rechazo de la hipótesis nula de no estacionariedad


34

Resultados de la Prueba ADF.

NOTAS:1. El estadístico de Dickey Fuller (ADF o tau) es la prueba estándard de estacionariedad

2. Un valor positivo de ADF significa que la serie es definitivamente no estacionaria

3. Para que se pueda rechazar la hipótesis nula en favor de estacionariedad el estadístico ADF debe ser un número suficientemente negativo. Ejemplo de números suficientemente negativos: -6.6303 y -9.6361, respectivamente.

4. Rechace la hipótesis nula de no estacionariedad cuando el valor absoluto del estadístico ADF (tau) sea mayor en valor absoluto que el valor crítico de MacKinnon al nivel de significación seleccionado, normalmente el 5 %.

4. Un valor bajo del estadístico DW es indicativo de la necesidad de aumentar el número de retardos a fin de remover la autocorrelación en los valores de la serie.

Valores críticos de MacKinnon para rechazar la hipótesis de raíz unitaria* Significante a cualquier nivel de significación: 1% 5% 10%..

I(0)NoSi02.0049-9.6361 *DPDI

I(0)NoSi02.0344-6.6303 *DPCE

En Primeras Diferencias:

I(1)SiNo01.9384-2.58825PDI

I(1)NoSi02.0858-2.21528PCE

En Level

Orden deIntegración

IncluyeTendencia

IncluyeIntercepto

Número deRetardos

EstadísticoDW

EstadísticoADF

Series oVariables

Análisis de Estacionariedad. Datos Trimestrales


35

Especificar y Estimar la Relación Funcional a Largo Plazo


36

Relación de Equilibrio a Largo PlazoDado que las series PCE e PDI resultaron ser integradas de orden I(1), vamos a especificar y estimar la siguiente función estática de consumo a largo plazo:

También se especificará una relación logarítmica de consumo por cuanto la primera diferencia de los logaritmos de las variables es equivalente a la tasa de crecimiento de las series. Dichas trasformaciones son importantes ya que inducen estacionariedad, además de facilitar la interpretación de los resultados

ttt LPDILPCE εαα ++= 10

ttt PDIPCE εαα ++= 10

Al concluir la estimación guarden los residuos estimados a fin de determinar si existe o no cointegración, en un todo de acuerdo con el procedimiento de Engle-Granger, diapositiva 9


37

Procedimiento para Estimar la Relación a largo plazo

Clic en Cerrar (botón rojo, el inferior) para cerrar la Ventana del Grupo.

Clic en el menú Quick y seleccionen Estimate Equation

En el cuadro de nombre Equation Specification, escriban:

Primero el nombre de la variable dependiente PCE, dejen un espacio en blanco.

La constante C para calcular la ordenada en el origen, dejen un espacio

El o los nombres de las variables independientes separadas por espacios

Hagan Clic en el botón de comando OK


38

Resultados de la Estimación a largo PlazoDependent Variable: PCEMethod: Least SquaresDate: 05/10/03 Time: 07:39Sample: 1970:1 1991:4Included observations: 88

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -171.4412 22.91725 -7.480880 0.0000

PDI 0.967250 0.008069 119.8712 0.0000

R-squared 0.994051 Mean dependent var 2537.042Adjusted R-squared 0.993981 S.D. dependent var 463.1134 S.E. of regression 35.92827 Akaike info criterion 10.02339Sum squared resid 111012.3 Schwarz criterion 10.07969Log likelihood -439.0292 F-statistic 14369.10Durbin-Watson stat 0.531629 Prob(F-statistic) 0.000000

Relación de Consumo estimada a largo Plazo:

El término de error estimado por MCO a largo plazo es una medida del desequilibrio en PCE con respecto a su trayectoria de largo Plazo. Se utilizará éste más adelante (diapositivas 52-55 ) para construir el Modelo de Corrección de Errores.

PDIECP ∗+−= 967250,04412.171ˆ

tU


39

Análisis de los Resultados1. La regresión estimada es espuria. De acuerdo con el criterio de Granger y Newbold las

regresiones espurias son aquellas que exhiben las siguientes características:

– No mantienen entre sí una relación causal.

– La estimación de un modelo econométrico temporal proporciona elevada bondad del

ajuste. En nuestro caso, R2 =0.99405.

– un valor del estadístico Durbin-Watson relativamente bajo, indicativo de

autocorrelación positiva. En nuestro caso el DW=0.5316

– Se sospeche regresión espuria cuando se cumple que R2 > DW

2. El bajo valor de DW indica auto correlación positiva en los errores.

3. El bajo valor de DW también puede ser indicativo de no Cointegración

4. PCE e PDI son series no estacionarias de orden I(1).

5. El signo estimado del coeficiente de la variable PDI resultó positivo tal como lo postula

la Teoría Económica.


40

Guardar los Residuos Estimados


41

Guardar los Residuos Estimados

Procedimiento:

• Hagan clic en Quick y seleccionen el comando Generate Series

En la sección Enter equation escriban:

Res=Resid y opriman la tecla OK

• Clic en el botón Cerrar. Clic en Yes para cerrar la ventana de la ecuación

• Clic en el botón Cerrar. Clic en Yes para cerrar la ventana del grupo

• Doble clic sobre el icono Res en la ventana del archivo de trabajo. • Hagan clic en la instrucción: Clic en View – Graph – Line.

El gráfico de los Residuos en la diapositiva 42 pareciera indicar que los mismos varían en torno a la media, varianza y covarianza, indicativo de estacionariedad


42

Prueba Informal de Cointegraciónen los Residuos

-100

-50

0

50

100

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

ERRORES

La inspección gráfica sugiere que los residuos son estacionarios


43

Pruebas Formales de Cointegraciónen los Residuos Estimados


44

La metodología tradicional de la regresión es aplicable a las series de tiempo sólo si los residuos estimados de la regresión son I(0) o estacionarios:

Para conocer si los residuos son estacionarios, estime la siguiente regresión:

En donde:

es la primera diferencia de los residuos estimados es el primer retardo de los residuos estimados.

Los resultados de dicha regresión se muestran en la diapositiva 45. Observen especialmente el valor del parámetro . El mismo es estadísticamente significa-tivo, aún al 1 %. En efecto, la probabilidad asociada al estadístico t, 0,0002, es menor que el nivel 0,05, con lo cual se rechaza la Ho de no cointegración a favor de la hipótesis de cointegración. En la diapositiva 48 se ratifican estos resultados mediante la prueba formal ADF.

1tt UU −β=Δ

Estacionariedad de los Residuos Estimados

ttt PDIPCEU 10ˆ αα −−=

β

tUΔ1

ˆ−tU


45

Resultados de la EstimaciónDependent Variable: dRESMethod: Least SquaresDate: 04/20/04 Time: 10:59Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficients Std. Error t-Statistico Prob.

rRES -0.275312 0.072852 -3.779071 0.0002

R-squared 0.142205 Mean dependent var -0.405877Adjusted R-squared 0.142205 S.D. dependent var 26.19315S.E. of regression 24.25937 Akaike info criterion 9.226911Sum squared resid 50612.48 Schwarz criterion 9.255255Log likelihood -400.3706 Durbin-Watson stat 2.277512

NOTAS:

Residuos retardados en un período: rRES = -0.276312. Probabilidad = 0.0002Se rechaza la hipótesis nula Ho: de no cointegración. Se concluye que los residuos son I(0) y en consecuencia las series están cointegradas


46

Prueba Dickey-Fuller Aumentada


47

Prueba ADF: Residuos Estimados

Cierren todas menos la ventana del Archivo de trabajo

Hagan doble clic sobre el icono de la serie RES para mostrar su contenidoClic en View y seleccionen Unit Root Test - Augmented Dickey Fuller

En Test type seleccione Augmented Dickey FullerEn Test for Unit Root seleccione LevelEn Include in Test equation seleccione NoneEn Lag length seleccione 0

Recuerden que la ecuación no tiene Intercepto

o tendencia, debido a que el error debe tener media

igual a cero ya que no se espera que el mismo

tenga una tendencia determinística

Ahora hagan clic en el botón OK

Vean los resultados en la diapositiva siguiente


48

Null Hypothesis: RES has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic …………………………………….………….. -3.779071 …………. 0.0002Test critical values: 1% level -2.591813

5% level -1.94457410% level -1.614315

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(RES)Method: Least SquaresDate: 04/21/04 Time: 08:42Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RES(-1) -0.275312 0.072852 -3.779071 0.0003

R-squared 0.142205 Mean dependent var -0.405877Adjusted R-squared 0.142205 S.D. dependent var 26.19315S.E. of regression 24.25937 Akaike info criterion 9.226911Sum squared resid 50612.48 Schwarz criterion 9.255255Log likelihood -400.3706 Durbin-Watson stat 2.277512

Dado que el valor del estadístico ADF, -3.779071, es mayor en valor absoluto que cualesquiera de losvalores críticos de McKinnon, al 1%, 5% y 10%, respectivamente, (vea notas al final de la diapositiva 34), se rechaza la Ho de no cointegración y se concluye que los residuos están integrados de orden I(0). Existe una relación estable a largo plazo, por lo que se dice que las variables PCE y DPI están cointegradas.


49

Prueba de Durbin-Watson sobre laRegresión de Cointegración (CRDW)


50

Prueba de Durbin-Watson sobre laRegresión de Cointegración (DWRC)

De acuerdo con Gujarati, pag.711, los valores críticos para esta prueba se basaron en 10.000 simulaciones, cada una de ellas conformada por 100

observaciones, obteniéndose los siguientes valores críticos:

Planteamiento de hipótesis:

Regla de decisión:

Conclusión:Dado que el estadístico de DW, en la ecuación de largo plazo, es mayor que el valor crítico 0,386 (0.531629>0,386) se concluye que las variables cointegran

322.0%10;386.0%5;511.0%1 === alalal

egradascoestániablesLasDWH A intvar.0: >egradascoestánnoiablesLasDWH intvar.0:0 =

scoinegradaestánnoSeriesLasHoarechaceNoDWSi .386.0 ⇒≤egradascoestánSeriesLasHoachaceDWSi int.Re386.0 ⇒>


51

Mecanismo de Corrección de Errores (ECM)


52

Mecanismo de Corrección de ErroresEste Mecanismo, propuesto originalmente por Engle y Granger en el año 1987, tiene por finalidad ligar el comportamiento a Corto Plazo (CP) de las variables PCE y PDI con el comportamiento a Largo Plazo (LP) de las mismas:

Comportamiento de Corto Plazo:

Comportamiento de Largo Plazo:

El mecanismo más simple de Corrección de Errores es:

Dado que las series PCE y DPI están cointegradas, implica que hay una relación estable de equilibrio a largo plazo entre ellas; no obstante, en el corto plazo pue-de haber desequilibrio. El término error en la regresión de cointegración se interpreta como el error de equilibrio y es éste, precisamente, el que sirve para atar la conducta a corto plazo de la variable PCE con su valor a largo plazo.

Denota la primera diferencia de las variables PCE y DPI, respectivamente

Es el mecanismo de corrección del error. Se usa para corregir el desequilibrio a corto plazoEs el parámetro de ajuste a corto plazo. La significación estadística de indica la proporción del desequilibrio en PCE, que es corregido en el siguiente período. Mientras más cerca esté de 1, más rápido será el ajuste hacia el equilibrio.

ttt IPDGCP ε+α+α= 10

t10tt IPDGCPU α−α−=

tttt UPDIPCE εααα ++Δ+=Δ −1210ˆ

1ˆ−tU

Δ

2α2α

tU

2α


53

Estimación del ECMPasos previos para la estimación:

1. Calculen la primera diferencia de las variables PCE e DPI, respectivamente:

• Clic en Quick – Generate series – escriban: dPCE=PCE-PCE(-1). OK

• Clic en Quick – Generate series – escriban: dPDI=PDI-PDI(-1). OK

2. Calculen el primer retardo de los residuos estimados; es decir:

• Clic en Quick – Generate series – escriban: rRES=RES(-1). OK

Estimación del modelo ECM:

1. Hagan clic en Quick – Estimate equation – y escriban:• La variable dependiente en primeras diferencias, es decir: dPCE• Escriba la constante C para calcular la ordenada en el origen• La variable independiente en primeras diferencias, es decir: dPDI• Los residuos retardados en un período, es decir: rRES

2. Clic en el botón de comando OK

Resultados de la estimación en la diapositiva siguiente:


54

Resultados de la Estimación ECMDependent Variable: dPCEMethod: Least SquaresDate: 04/20/04 Time: 10:59Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistico Prob.

C 11.69183 2.195675 5.324936 0.0000

dPDI 0.290602 0.069660 4.171715 0.0001

rRES -0.086706 0.054180 -1.600311 0.1133

R-squared 0.171727 Mean dependent var 16.90345Adjusted R-squared 0.152006 S.D. dependent var 18.29021S.E. of regression 16.84283 Akaike info criterion 8.519601Sum squared resid 23829.19 Schwarz criterion 8.604632Log likelihood -367.6026 F-statistic 8.707918Durbin-Watson stat 1.923381 Prob(F-statistic) 0.000366

Función estimada:

1ˆ086706.0290602.069183.11ˆ−∗−∗+= tudPDIECdP


55

Análisis

1086706.0290602.069183.11 −∗−Δ∗+=Δ tUPDIPCE

Ecuación estimada escrita en primeras diferencias:

El término -0.086706*Ut-1 es el Mecanismo de Corrección de Errores (ECM).

Noten que el mismo presenta el signo correcto (negativo), pero la magnitud del

coeficiente es pequeño e insignificante, ni siquiera al nivel 0.10 (0.1133). Vean

diapositiva anterior

El signo negativo actúa para reducir el desequilibrio en el próximo período, en

nuestro caso, trimestralmente. En efecto, si las variables están en desequilibrio

en el período t-1, entonces el MCE actúa para restaurar las variables gradual-

mente hacia el equilibrio en el período t, o en el futuro. En el presente ejercicio

se observa que la desviación del PCE respecto a su nivel de equilibrio de largo

se corrige trimestralmente en un 9 por ciento, aproximadamente.

Según Jeremy Wakeford el coeficiente -0.086706 representa la a propensión

marginal a consumir a largo plazo. Se le denomina parámetro de cointegración.


56

Prueba de Causalidad de Granger


57

Prueba propuesta inicialmente por Granger en el año 1969 y popularizada poste-riormente por Sims en el 72. Se aplica solo si las variables están cointegradas

La prueba implica estimar el siguiente par de ecuaciones mediante MCO:

[1]

[2]

En donde PCE y DPI son las variables endógenas de interés, l es el número de retardos usados, son los parámetros a ser estimados; son los errores o perturbaciones aleatorias, las cuales se encuentran incorrelacionadas.

La ecuación [1] postula que PCE está relacionada con sus valores pasados, asícomo también con los valores pasados de PDI. La ecuación [2] postula una conducta similar para PDI.

La idea central de la prueba consiste en determinar si los parámetros que acompañan a las variables retardadas PDI y PCE, en las ecuaciones [1] y [2] respectivamente, son estadísticamente diferentes de cero. Esto es lo que recogen las pruebas de hipótesis planteadas en la diapositiva siguiente

tltltltltt PDIPDIPCEPCEPCE εββααα +++++++= −−−− ...... 11110

tltltltltt uPCEPCEPDIPDIPDI +++++++= −−−− αβααα ...... 11110

βα y tt uyε

Prueba de Causalidad de Granger

iβ


58

La prueba sirve para determinar si una variable precede a otra

Hipótesis Nulas:

Hipótesis alternativas:

Estadístico para la prueba:

Eviews reporta el estadístico F como el estadístico de Wald a fin de probar las hipótesis nulas de que los coeficientes de los valores retardados de las otras variables son cero:

Además del estadístico mencionado, Eviews suministra en el output de la prueba la probabilidad asociada al estadístico F

Regla de decisión:

No rechace a Ho si la probabilidad asociada al estadístico F es > que 0,05Rechace a Ho si la probabilidad asociada al estadístico F es ≤ que 0,05

causalidadexisteNoPCEGrangercausanoPDIHo l −−=== ""0...: 1 ββcausalidadexisteNoPDIGrangercausanoPCEHo l −−=== ""0...: 1 ββ

0...210 ===== lH βββ

PCEGrangerCausaPDIH l ""0...: 11 −≠≠≠ ββPDIGrangerCausaPCEH l ""0...: 11 −≠≠≠ ββ


59

Básicamente, la prueba de Causalidad de Granger distingue cuatro casos:

1. Causalidad unidireccional: PCE causa a DPI ( PCE DPI).

Ocurre cuando los coeficientes estimados de la variable retardada DPI en la ecuación [1] son estadísticamente diferentes de 0; pero los coeficientes estimados de la variable retardada PCE en [2] no son estadísticamente diferentes de 0.

2. Causalidad unidireccional: PDI causa a PCE ( DPI PCE)

Ocurre cuando los coeficientes estimados de la variable retardada DPI en la ecuación [1] no son estadísticamente diferentes de 0; pero los coeficientes estimados de la variable retardada PCE en la [2] son estadísticamente diferentes de 0.

4. Causalidad bidireccional: retroalimentacion entre PCE y DPI (PCE DPI)

Ocurre cuando los coeficientes estimados de la variable retardada DPI en la ecuación [1] y los coeficientes estimados de la variable retardada PCE en la [2] son ambos estadísti-camente diferentes de 0

3. Independencia Causal:

Ocurre cuando ninguno de los coeficientes retardados de la variable DPI en la ecuación [1], ni los coeficientes retardados de la variable PCE en la [2] no son estadísticamente diferentes de cero


60

Procedimiento para realizar la prueba:

1. En el archivo de trabajo hagan clic en el icono de la serie PCE2. Manteniendo oprimida la tecla Ctrl hagan clic en la serie DPI3. Clic con el botón derecho del ratón sobre las series seleccionadas4. Clic en el comando As a Group

5. Clic en Views y seleccione Granger Causality6. En Lags to include, escriba un número grande de retardos, 10 por eje. 7. Clic en el botón de comando OK

Resultados de la estimación:


61

Conclusión:Basado en los valores de la probabilidad mostrados en el cuadro de los resultados del Eviews, diapositiva 60, no se puede rechazar la hipótesis nula que PDI no causa a PCE, en el sentido de Granger.

No obstante, se rechaza la hipótesis que sostiene que PCE no causa a PDI, en el sentido de Granger. Por lo tanto, se desprende que la causalidad de Granger corre en una sola dirección, desde PCE hacia PDI.

Se desprende del rechazo de la hipótesis nula que la variable PCE precede a la variable PDI, lo que equivale a decir que los valores retardados de la variable PDI tienen un impacto significativo en la variable endógena PCE


62

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