Continuidad de Funciones 1

Continuidad de una funciónContinuidad de una función

Tipos de discontinuidadTipos de discontinuidad

Funciones definidas a trozosFunciones definidas a trozos

Continuidad de Funciones

Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple:

1.1. Existe f(a)Existe f(a)

Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función es discontinua en x = aque la función es discontinua en x = a

limx a f (x) limx a

f (x) limx a f (x)2. Existe2. Existe

limx a f (x)3. Se cumple que f(a) = 3. Se cumple que f(a) =

limx 2

x21x 2

50

Continuidad de Funciones 3

f (x)x21

x 2

Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad.

Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos.

Evidentemente no existe f(2)No se puede dividir por 0

limx 2

x21x 2

50

Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2

Números muy pequeños pero negativos:

1,90 – 2 = - 0,1

1,99 – 2 = - 0,01

Números muy pequeñospero positivos:1,90 - 2 = 0,11,99 - 2 = 0,01

Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)límites laterales)

Continuidad de Funciones 4

Veamos la gráfica de la función:Veamos la gráfica de la función: f (x)x21

x 2

Cuando me acerco a 2-

la función va hacia -∞

Cuando me acerco a 2+

la función va hacia +∞

Aquí tendremos

Una Asíntota vertical

De ecuación x=2

Continuidad de Funciones 5

Veamos el siguiente ejemplo con una funciónVeamos el siguiente ejemplo con una función

definida a trozos:definida a trozos:

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición.

Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5 . Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad

Continuidad de Funciones 6

Si nos fijamos en la gráfica de esta funciónSi nos fijamos en la gráfica de esta función

veremos que:veremos que:

Discontinua

de 1ª especie

en x = 2 con

salto de 3 u.

Continua en

x = 5

Continuidad de Funciones 7

Estudiamos analíticamente el caso de x = 2Estudiamos analíticamente el caso de x = 2

limx 2

55

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

limx 2

x2 6x102

f (2)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.

Continuidad de Funciones 8

Estudiamos analíticamente el caso de x = 5Estudiamos analíticamente el caso de x = 5

limx5

x2 6x105

f (x)5 x2x2 6x10 2x54x 15 x5

limx5

4x 155

f (5)5

Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5 x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

Continuidad de Funciones 9

Veamos algún caso con una discontinuidad del Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable”tipo “Evitable”

f (x)x2 3x2

x 1Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }

1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

2. limx1

x2 3x2x 1

00 lim

x1

x 1 x 2 x 1

limx1

x 2 1

limx1

x2 3x2x 1

00 lim

x1

x 1 x 2 x 1

limx1

x 2 1

limx 1

f (x) f (1) que no existe

Continuidad de Funciones 10

Veamos ahora la gráfica de la funciónVeamos ahora la gráfica de la función

Tenemos un agujero para x = 1

Continuidad de Funciones 11

Otro ejemplo de una función con discontinuidad Otro ejemplo de una función con discontinuidad “de 1ª Especie con salto ∞”“de 1ª Especie con salto ∞”

f (x)x2 3x2

x 3Tenemos que Dominio de f = R - { 3 }

1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio

2 23 2lim3 03

2. x xxx

2 23 2lim3 03

x xxx

3 3lim ( ) lim ( )x x

f x f x unidades

f(x) es discontinua de 1ª especie con salto de

Continuidad de Funciones 12

Veamos ahora la gráfica de la funciónVeamos ahora la gráfica de la función

Continuidad de Funciones 13

Otro ejemplo de una función con discontinuidadesOtro ejemplo de una función con discontinuidades

Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }

1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio

3 98lim3 2 1 01

2. x x

x x xx

3 98lim3 2 1 01

x x

x x xx

f(x) es discontinua evitable en el infinitode 1ª especie en el infinito

3 8( )3 2 1

xf xx x x

Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1)

Continuidad de Funciones 14

Otro ejemplo de una función con discontinuidadesOtro ejemplo de una función con discontinuidades

Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 }

1. f (-1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

3 78lim3 2 1 01

2. x x

x x xx

3 78lim3 2 1 01

x x

x x xx

3 8( )3 2 1

xf xx x x

f(x) es discontinua de 1ª especie con salto de

3 3lim ( ) lim ( )x x

f x f x unidades

Continuidad de Funciones 15

A.H. y= -1

A.V. x= 1A.V. x= -1

Veamos la gráfica de esta función:Veamos la gráfica de esta función:

Continuidad de Funciones 16

Fin del ejercicioFin del ejercicio