niveles de razonamiento geométrico en estudiantes de una
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Facultad de Ciencias Básicas
Magíster en Didáctica de la Matemática con Mención
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA
MENCIÓN EN EDUCACIÓN BÁSICA
Niveles de razonamiento geométrico en
estudiantes de una escuela rural con aulas
multigrado de la comuna de Hualañé
Tesista: Matías Bustamante Valdés
Director de Tesis: Dr. Atif Lodhi
Codirector de Tesis: Dr. Carlos Caamaño Espinoza
TALCA, JUNIO 2018
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AGRADECIMIENTOS
A mi familia, por creer en mi y ser un gran ejemplo de esfuerzo y dedicación, muchas
gracias por el apoyo y motivación para poder seguir. A mi gran amigo y compañero
de Magíster José Pardo Cañete, quien fue un gran apoyo y consejero en momentos
que los necesité, muchas gracias por estar ahí. A cada una de las personas que
forman parte de mi lugar de trabajo, por hacer que ir a la escuela sea tan agradable.
A mis compañeros del programa, que aprendí mucho de ellos. A mi Director y
Codirector de Tesis Dr. Atif Lodhi y Dr. Carlos Caamaño Espinoza, por las
orientaciones y compromiso en este proceso. A los académicos del programa, por
entregar una formación de excelencia, todo lo aprendido me sirvió para crecer como
profesional, muchas gracias. Y por último, a CONICYT, por brindarme el
financiamiento para poder perfeccionarme.
Matías Bustamante Valdés
3
ÍNDICE
RESUMEN ........................................................................................................... 5
ABSTRACT ................................................................................................................ 6
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 7
CAPÍTULO I: Planteamiento del problema
1.1 Datos del contexto ............................................................................................. 10
1.2 Antecedentes teóricos……………...……………………………………………11 1.3 Relevancia de la investigación………………………………………………….11 1.4 Preguntas de investigación……………………………………………………...12 1.5 Objetivos e hipótesis de investigación ......................................................... 13
1.5.1 Objetivo General ............................................................................... 13 1.5.2 Objetivos Específicos ........................................................................ 13 1.5.3 Hipótesis de investigación ................................................................ 13
1.6 Limitaciones del estudio…………………………………………………..…….13
CAPÍTULO II: Marco teórico
2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................ 15
2.1 Modelo de razonamiento geométrico de los van hiele y estudio del arte .... 15 2.1.1 Niveles de razonamiento .................................................................. 17 2.1.2 Propiedades del Modelo de Van Hiele .............................................. 20 2.1.3 Fases de aprendizaje ........................................................................ 20
2.2 Escuelas rurales con aulas multigrado ........................................................ 23 2.3 Enseñanza de la geometría……………….…………………………………….25 2.4 Inicios de la geometría ................................................................................ 29 2.5 Objeto de estudio: área y perímetro ............................................................ 30
4
CAPÍTULO III: Metodología
3. METODOLOGÍA .......................................................................................... 35
3.1 Tipo y diseño de investigación .................................................................... 35 3.2 Población y muestra .................................................................................... 35 3.3 Procedimiento de muestreo ......................................................................... 36 3.4 Características del contexto ........................................................................ 36 3.5 Variables ..................................................................................................... 37 3.6 Métodos e instrumentos de recogida de información .................................. 37
3.6.1 Grados de adquisición de un nivel de razonamiento ........................ 38 3.7 Técnicas de análisis .................................................................................... 40
3.7.1 Tipos de respuesta ........................................................................... 40 3.7.2 Asignación de los grados de adquisición de los niveles de Van
Hiele……………………………………………………………………….42 3.7.2.1 Ponderación de los tipos de respuestas……………………...42 3.7.2.2 Codificación……………………………………………………...42 3.7.2.3 Rango de los niveles de Van Hiele……………………………43
3.8 Experimento ................................................................................................ 44
CAPITULO IV: Análisis de resultados
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................................................... 52
4.1 Resultados descriptivos............................................................................... 53 4.1.1 Resultados de curso multigrado y por nivel educacional .................. 53 4.1.2 Resultados por estudiante ............................................................... 58 4.1.3 Resultados por atributos involucrados en ítems de pre-test y post-
test……… ......................................................................................... 72 4.2 Análisis inferencial de los resultados ......................................................... 111
CONCLUSIONES Y PROYECCIONES ........................................................... 115
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 119
ANEXOS.......................................................................................................... 124
5
Resumen
Esta investigación se centra en el análisis de los niveles de razonamiento
matemático, de acuerdo al Modelo de Van Hiele, y de los grados de adquisición que
obtienen los estudiantes de quinto y sexto básico de una escuela rural con aulas
multigrado, en el desarrollo de una unidad didáctica de perímetro y área de
cuadriláteros. La metodología de esta investigación es cuantitativa con aspecto
cualitativo, con un diseño pre-experimental, y usando pre y post-test. Este estudio
se basa en las premisas que han surgido a partir de las diversas investigaciones de
Gutiérrez (2009), que señalan que en los cursos de quinto y sexto año básico (con
estudiantes que están en un nivel de desarrollo y un rendimiento adecuado) hay un
periodo de transición entre el nivel 1 e inicios del nivel 2 de razonamiento
geométrico, que son los considerados en este estudio. Este tema no ha sido
investigado con estudiantes de aula de multigrado. Se describen resultados de los
atributos antes y después de la unidad didáctica de cada estudiante, y también, de
acuerdo a su nivel educacional y curso multigrado. Se observan resultados
positivos, se generan aprendizajes significativos en los estudiantes a partir del
razonamiento geométrico, y se logra alcanzar grados de adquisición acordes a su
nivel educacional.
Palabras claves: Modelo Van Hiele, niveles de razonamiento, grados de
adquisición, multigrado
6
Abstract
This research focuses on the analysis of the levels of mathematical reasoning,
according to Van Hiele Model, and the degrees of acquisition obtained by the fifth
and sixth grade students of a rural school with multigrade classrooms, in the
development of a didactic unit of perimeter and area of quadrilaterals. The
methodology of this research is quantitative with qualitative aspect, having a pre-
experimental design, and using pre and post-test. This study is based on the premise
that has emerged from various studies conducted by Gutiérrez (2009), who point out
that in the fifth and sixth basic year courses (with students who are at a level of
development and an adequate performance) there is a transition’s period between
level 1 and beginnings of level 2 of geometric reasoning, which are the levels
considered in this study. This topic has not been investigated with multigrade
classroom students yet. The results of the attributes before and after the didactic unit
of each student are described, and also, according to their educational level and
multigrade course, positive results are observed, generating significant learning in
the students, that comes from the geometric reasoning, acquisition levels that match
their educational level.
Key words: Van Hiele model, reasoning levels, acquisition degrees, multigrade
7
Introducción
En los últimos años, se ha observado una situación preocupante en relación a los
aprendizajes de la matemática por parte de los estudiantes en Chile que, mediante
las pruebas estandarizadas internacionales realizadas a alumnos de distintos
niveles educacionales, quedan en evidencia los bajos resultados en los cuatro ejes
de dicha asignatura.
Este escenario, ha llevado a que se empleen diferentes estrategias para mejorar la
calidad de los aprendizajes donde, los modelos educativos, han sido de gran
pertinencia. Según Jaime y Gutiérrez (1990), cuando se habla generalmente de
modelos, se refiere a representaciones de un fenómeno real aunque, los modelos
de interés, son los llamados modelos educativos, los cuales tienen que ver con el
desarrollo intelectual, la enseñanza o el aprendizaje de la matemática. Existen
diferentes modelos pedagógicos tales como, el Modelo de Jorba, Duvall, Van Hiele,
entre otros, los cuales tienen como objetivo mejorar los procesos de enseñanza y
de aprendizaje de la matemática, que han sido implementados por investigadores
de todo el mundo, donde se han obtenidos resultados positivos al crear aprendizaje
significativo mediante el desarrollo del razonamiento.
El Modelo de Razonamiento Geométrico de los Van Hiele que, actualmente es un
modelo clave para mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la
geometría. La implementación de este modelo consiste en aplicar un diagnostico
que permita observar el estado inicial de los estudiantes, para luego implementar
una unidad didáctica que pretende desarrollar un objeto matemático en geometría.
Finalmente, a través de una prueba final, se contrastan los resultados de las
pruebas iniciales y finales.
Además, es necesario destacar la poca participación de las escuelas rurales con
aulas multigrado en las investigaciones donde se implementa el modelo de Van
Hiele para generar unidades didácticas, por lo que en este estudio se considera
como muestra, estudiantes que pertenecen a aulas multigrado en un contexto rural.
8
El objetivo de esta investigación, es evidenciar la mejorara los aprendizajes de la
geometría, mediante la implementación del Modelo de Van Hiele en un curso que
tienen como características ser rural y con aulas multigrado.
La estructura del documento consta de cinco capítulos, el primero, “planteamiento
del problema”, señala los datos de contexto, antecedentes teóricos, la relevancia de
la investigación, las preguntas de investigación, el objetivo general y los objetivos
específicos, la hipótesis de investigación, y las limitaciones del estudio.
En el segundo capitulo “marco teórico” se presenta el modelo de Van Hiele, con los
descriptores de los niveles de razonamiento, las fases de aprendizaje, propiedades
y , una matriz con los atributos de los procesos de razonamiento de acuerdo a los
niveles de Van Hiele. Además, se exponen las líneas teóricas referidas escuelas
rurales con aulas multigrado, enseñanza de la geometría, inicios de la geometría y
del objeto de estudio de perímetro y área.
En el tercer capitulo “Marco metodológico”, se describe el diseño de investigación,
la población y muestra, procedimiento de muestreo, características del contexto,
variables, métodos e instrumentos de recogida de información, técnicas de análisis
y el experimento.
En el cuarto capítulo “Análisis de resultados” se presentan resultados de curso
multigrado y nivel educacional, por estudiantes y por atributos involucrados en el
pre-test y post-test.
Y por ultimo, en el Quinto capítulo “Conclusiones”, se exponen conclusiones a partir
del análisis de los resultados, dando a conocer si los objetivos de investigación son
alcanzados.
9
CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
10
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Datos de contexto
A nivel internacional, la evaluación TIMSS (2011), realizada por la Asociación
Internacional para la Evaluación del Logro Educativo (IEA), la cual tiene como
objetivo proveer información de calidad sobre los logros de aprendizajes de los
estudiantes de Educación Básica y los contextos educacionales en los que
aprenden en el área de matemáticas y ciencias naturales, teniendo como
participantes a 63 países de los cinco continentes y a 14 estados, muestra
resultados preocupantes respecto a los aprendizajes matemáticos de los
estudiantes de Enseñanza Básica en Chile ya que, según sus niveles de
desempeño, dichos estudiantes demostraron estar situados bajo la media
establecida, alcanzando el nivel más bajo en los resultados de esta evaluación.
Asimismo, a través de los datos aportados por este instrumento, podemos ver que
existe una amplia brecha entre las instituciones escolares según su tipo de
dependencia. Es decir, las instituciones educativas particulares pagadas alcanzaron
mejores resultados (equivalentes a países como Finlandia y Bélgica), que los
obtenidos en establecimientos municipales. Estableciendo, al mismo tiempo, que
los recursos educativos que los estudiantes tienen en su hogar, dependiendo del
tipo de establecimiento, son significativamente distintos (siendo menor en los
establecimientos municipales). Por otra parte, vemos que uno de los ejes temáticos
que presenta mayor dificultad es el de geometría, donde se evaluó lo referente a
figuras geométricas y medidas.
Según explica el Ministerio de Desarrollo Social (2015), la Región del Maule es una
de las regiones con más alto índice de pobreza a nivel nacional, evidenciando,
además, que la mayor pobreza se encuentra en el contexto rural, ubicando a gran
parte de las familias y estudiantes en contextos de vulnerabilidad. Teniendo en
cuenta esta realidad y con los datos aportados anteriormente, se considera
pertinente realizar una intervención en la comuna de Hualañé, donde existe una
gran cantidad de escuelas rurales que tienen además, la condición de tener aulas
multigrado, donde se presentan cursos combinados por baja matricula.
11
1.2 Antecedentes teóricos
Las investigaciones en Didáctica de la Matemática, han sido de gran utilidad para la
mejora de las prácticas educativas y la adquisición de mejores aprendizajes
matemáticos por parte de los estudiantes. Por su parte, Rico, Sierra y Castro (2002),
afirman que: “La Didáctica de la Matemática se ocupa de indagar metódica y
sistemáticamente sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas así como de los planes para la preparación profesional de los
educadores matemáticos” (p. 37).
Una línea de investigación de esta disciplina científica, que es pertinente para esta
situación, en el ámbito específico de la Didáctica de la Geometría, es la utilización
del Modelo de Razonamiento Geométrico de Van Hiele, pues busca mejorar los
procesos de la enseñanza y del aprendizaje de la Geometría, como se evidencian
en investigaciones tales como; Aravena y Caamaño, (2013), Aravena, Gutiérrez y
Jaime (2016), también considerar otros estudios que se han realizado en el Magister
de Didáctica de la Matemática como Vargas (2015), de las cuales se han obtenido
resultados positivos en los diferentes contenidos de la geometría y diferentes niveles
educativos y, Jaime, (1993), la cual, aparte de contribuir en el mejoramiento de los
aprendizajes geométricos, también aporta al desarrollo de la metodología de
investigación del Modelo de Van Hiele, mediante los grados de adquisición de los
niveles de razonamiento por parte de los estudiantes.
1.3 Relevancia de la investigación
Teniendo en cuenta lo expuesto en párrafos anteriores, la problemática tiene
importancia puesto que; en primer lugar, está relacionada directamente con los
aprendizajes de la geometría de los estudiantes en Chile, aun más, con aquellos
que poseen escasos recursos en el hogar, tal como ocurre en la Región del Maule.
En segundo lugar, no existe evidencia de investigaciones del modelo de Van Hiele,
en escuelas rurales con aulas multigrado, por lo que ayudaría a llenar lagunas del
conocimiento respecto a este tema. Y por ultimo, la implementación de este modelo,
mediante la generación de unidades didácticas, ha sido reconocido
12
internacionalmente, donde se evidencian resultados positivos en los aprendizajes
de los estudiantes.
Por lo tanto, esta intervención tiene como finalidad, mejorar la calidad de los
procesos de enseñanza y de aprendizaje de la geometría que, como se mencionara
anteriormente, es el eje más descendido en los aprendizajes adquiridos de los
estudiantes en Chile. Y además, relacionar los niveles de razonamiento geométrico
alcanzado y su grado de adquisición, con el nivel de escolaridad de los estudiantes
que pertenecen a estas aulas de multigrado.
1.4 Preguntas de investigación
Por todo lo anterior entonces, surgen las siguientes preguntas de investigación:
¿Es posible mejorar la calidad del razonamiento geométrico y el grado de
adquisición de aprendizajes de la geometría mediante la utilización del modelo de
razonamiento geométrico de Van Hiele en una escuela rural que tiene como
característica tener aulas multigrado?
¿Cuál es el nivel de razonamiento geométrico y su grado de adquisición que
alcanzan los estudiantes de una escuela multigrado, luego de implementar una
unidad didáctica basada en el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele?
13
1.5 Objetivos e hipótesis de investigación
1.5.1 Objetivo General
Analizar el nivel de razonamiento geométrico y su grado de adquisición alcanzado
por los estudiantes, utilizando una unidad didáctica basada en el modelo de Van
Hiele, en un curso que tiene como característica ser multigrado.
1.5.2 Objetivos Específicos
Determinar los niveles de razonamiento de los alumnos antes y después de la
unidad didáctica.
Identificar el grado de adquisición de los niveles de razonamiento que logran los
estudiantes al terminar la unidad didáctica.
1.5.3 Hipótesis de investigación
La utilización del modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, para generar y
aplicar una unidad didáctica en un curso rural multigrado, permite a los estudiantes
construir conocimiento a partir del razonamiento geométrico, adquiriendo un
dominio de herramientas y métodos que permita un aprendizaje significativo en el
ámbito de la geometría, logrando alcanzar los grados de adquisición de los niveles
de razonamiento según su nivel educacional.
1.6 Limitaciones del estudio
Debido al contexto de aula rural multigrado, se cuenta con la participación de un
número reducido de estudiantes. A pesar que los datos no pueden ser
generalizables de acuerdo a parametros poblacionales, dan información novedosa
sobre el nivel de adquisición de razonamiento de los alumnos. Asimismo, el tiempo
del trabajo de campo es limitado.
14
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
15
2. MARCO TEÓRICO
En el capítulo anterior, se mencionó la problemática y las dificultades educativas
evidenciadas en Chile en la actualidad que, -con un conjunto de factores- se
muestra que las mayores falencias están en el eje de Geometría. Por lo que se
busca mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la Geometría
mediante la utilización del Modelo de Razonamiento de los Van Hiele.
Para facilitar la comprensión de este modelo, es conveniente tener en cuenta, qué
es un modelo educativo y cuál es su objetivo que, como señala Jaime, y Gutiérrez
(1990) son teorías de razonamiento, enseñanza o aprendizaje, que corresponden a
modelos que tienen como objetivo describir rasgos del desarrollo intelectual de los
estudiantes y su aprendizaje escolar.
2.1 Modelo de razonamiento geométrico de los van hiele y estado del arte
En Van Hiele (1957), Pierre Marie Van Hiele, en su tesis doctoral, presentó el
modelo de enseñanza y de aprendizaje de la Geometría llamado Modelo de Van
Hiele, dando importancia en la forma en que se produce la comprensión en
geometría, considerando también la relevancia de esta comprensión por parte de
los docentes para plantear estrategias de enseñanza efectivas.
Además, Ángel Gutiérrez, profesor de la Universidad de Valencia, que también
trabaja ampliamente la enseñanza de la Geometría que, desde el año 1990 ha
publicado aplicaciones sobre el modelo de Van Hiele. En Jaime y Gutierrez (1990),
se realizó un trabajo explicando en que consiste el modelo de Van Hiele, y de cómo
llegó a ser práctica cotidiana de la enseñanza de la geometría, teniendo en cuenta
también, las problemáticas a las que se ven enfrentadas los docentes.
Posteriormente en Gutiérrez (1991), realiza trabajo dirigido a profesores, donde
muestra fortalezas que puede tener la aplicación del modelo de Van Hiele al ser
implementado en el aula. Asimismo, en Gutiérrez (1992), se describe la importancia
de la enseñanza de la geometría espacial, donde se señala la relevancia del modelo
en la enseñanza de la geometría, basados en la comprensión de la habilidad de
16
visualización espacial por parte de los estudiante, y como herramienta organizativa
de la enseñanza de la geometría espacial para el docente.
Además, Adela Jaime Pastor, en Jaime (1993), tesis doctoral que, no solo explica
el modelo de Van Hiele, sino que además, incorpora una nueva metodología para
medir los niveles de razonamiento geométrico, mediante los grados de adquisición.
También, considerar trabajos que se han realizado en Chile como Aravena y
Caamaño, (2013), Aravena, Gutiérrez y Jaime (2016) con resultados positivos en
estudiantes en la región del Maule, y otros como Vargas (2015), que perteneció al
programa de Magister en Didáctica de la Matemática, impartido por la Universidad
Católica del Maule, la cual tuvo como participantes a los estudiantes de la
Universidad del Cruch que, al igual que las investigaciones mencionadas
anteriormente, se obtuvieron resultados positivos.
Según señala Jaime y Gutiérrez (1990), el modelo de razonamiento geométrico de
los Van Hiele tiene su origen hace más de 40 años, debido a una problemática
experimentada por unos profesores holandeses llamados Pierre Marie Van Hiele y
Dina Van Hiele-Geldof, que daban clases en la asignatura de matemática en
enseñanza media. Pierre Marie Van Hiele (como se citó en Jaime y Gutierrez, 1990)
explica la situación y cómo surgió su interés hacia el tema:
Cuando empecé mi carrera como profesor de matemáticas, pronto me di
cuenta de que era una profesión difícil. Había partes de la materia en cuestión
que yo podía explicar y explicar, y aún así los alumnos no entendían. Podía
ver que ellos lo intentaban realmente, pero no tenían éxito. Especialmente al
comienzo de la geometría, cuando había que de- mostrar cosas muy simples,
podía ver que ellos daban el máximo de sí, pero la materia parecía ser
demasiado difícil. Pero debido a que yo era un profesor inexperto, también
tenía que considerar la posibilidad de que yo fuera un mal profesor. Y esta
última y desagradable posibilidad se afirmaba por lo que ocurría
posteriormente: De pronto parecía que comprendían la materia en cuestión.
Podían hablar de ella con bastante sentido y a menudo decían: "No es tan
17
difícil, pero ¿por qué nos lo explicó usted de forma tan complicada?" En los
años que siguieron cambié mi explicación muchas veces, pero las
dificultades se mantenían. Parecía como si siempre estuviera hablando en
una lengua distinta. Y considerando esta idea descubrí la solución, los
diferentes niveles del pensamiento.
Como señala Jaime (1993), el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele
tiene dos aspectos; el descriptivo, el cual identifica las formas de razonamiento
geométrico, donde además, se valora del proceso de un nivel de razonamiento a
otro. Y el instructivo, el cual está centrado en los profesores, correspondiente a las
fases de aprendizajes, que sitúan a los estudiantes en diferentes escenarios, para
lograr el cambio de un nivel de razonamiento a otro superior.
Existen diversos autores que, se han consolidado en los últimos años en el análisis
de los niveles de razonamiento geométrico en estudiantes, mediante la utilización
del Modelo de Van Hiele. Dentro de los cuales, se considera a Hoffer (1981), el cual
señala habilidades que son requeridas para el aprendizaje de la geometría de
acuerdo a los niveles de razonamiento de Van Hiele, pero principalmente Jaime y
Gutiérrez (1990), Jaime (1993), Aravena y Caamaño (2013), que permiten describir
este modelo en base a numerosas investigaciones, además de proponer elementos
claves a la hora de confeccionar instrumentos para analizar los niveles de
razonamiento de los estudiantes.
2.1.1 Niveles de razonamiento
Nivel 1: (Reconocimiento):
• Realizan procesos de percepciones globales, donde consideran figuras en
su totalidad, y como unidades, incluyendo atributos irrelevantes en las
descripciones que realizan, no siendo- estos atributos- propiedades, ni partes
de la figura. Hay que considerar también que, cuando reconocen
propiedades o partes de las figuras, éstas cumplen un rol secundario y con
frecuencia se evidencian contradicciones.
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• No se generalizan las características de una figura a otras de su misma clase,
por lo que perciben las figuras como objetos individuales.
• Las descripciones de las figuras se basan en el aspecto físico y posición en
el espacio, donde los reconocimientos, distinciones y clasificaciones se
basan en semejanzas físicas globales.
• En algunas situaciones los estudiantes realizan semejanzas con otros
objetos, que no son necesariamente matemáticos o geométricos, usando
frases tales como; se parece a…, tiene forma de…
• Usan un lenguaje básico para realizar descripciones.
Nivel 2: (Análisis):
• Los estudiantes reconocen que las figuras están dotadas de propiedades y
que están formada por una serie de elementos, generado mediante la
observación y experimentación.
• Son capaces de analizar propiedades, donde deducen y generalizan dichas
propiedades para las figuras de la misma familia.
• No son capaces de hacer relaciones entre propiedades, por lo que no pueden
realizar clasificaciones de figuras de forma lógica en relación a sus partes y
propiedades.
• Las descripciones que realizan los estudiantes corresponden a una lista lo
más exhaustiva posible de propiedades, aunque hay que tener en cuenta
que, en el recitado de propiedades puede haber una falta de características,
por lo que en este nivel, rechazan todas las propiedades -entregadas por el
profesor-, que estén en conflicto con las propias.
• Las demostraciones de propiedades se realizan mediante pocos pasos
Nivel 3: (Clasificación):
• Establecen relaciones entre propiedades.
• Clasifican lógicamente familias de figuras a partir de propiedades.
• El razonamiento lógico aún se basa principalmente en la experimentación.
• Comprenden la importancia de las definiciones matemáticas, por lo que
definen correctamente conceptos y figuras.
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• Existe una necesidad de justificar la veracidad de las propiedades de manera
global, siendo informalmente.
• Comprenden y realizan implicaciones simples, siendo éstas, de manera
formal.
• Son capaces de entender demostraciones formales explicadas por el
profesor, pero no son capaces de generarlas, ya que comprenden los pasos
de forma aislada y no entienden la necesidad de encadenamiento ni
estructura axiomática de una demostración.
Nivel 4: (Deducción Formal):
• Realizan y comprenden demostraciones mediante razonamiento lógico
formal.
• Las demostraciones ya tienen sentido para ellos pues, sienten la necesidad
como medio para verificar verdades.
• Entienden la estructura axiomática, ya que entienden la utilidad de los
términos no definidos, axiomas, definiciones y teoremas.
• Aceptan la existencia de demostraciones alternativas para el mismo teorema
y la existencia de la equivalencia de definiciones del mismo concepto.
Nivel 5: (Rigor):
• Trabajan en sistemas axiomáticos distintos del usual (geometría euclidiana)
• Tiene la capacidad de realizar deducciones abstractas basadas en un
sistema axiomático determinado
• Tienen la capacidad para establecer la consistencia de un sistema de
axiomas. Comparar sistemas axiomáticos diferentes y decidir sobre su
equivalencia.
• Comprenden la importancia de la precisión al tratar los fundamentos y las
relaciones entre estructuras matemáticas.
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2.1.2 Propiedades del Modelo de Van Hiele
Además de la descripción de los niveles de razonamiento, es necesario mencionar
características generales de estos niveles, las cuales, de acuerdo con Jaime y
Gutiérrez (1990), existe primero que todo una jerarquización y secuencialidad de los
niveles, que hace referencia a que cada nivel de razonamiento se apoya en el
anterior y que los niveles presentan diferentes grados de sofisticación. También
menciona que dentro de los primeros 3 niveles, existen determinadas habilidades
que se usan implícitamente que, cuyo uso explícito se aprende en el nivel
inmediatamente superior, las cuales son: a) nivel 1: no reconoce la importancia de
las partes de la figura; b) Nivel 2: no reconoce la relación entre propiedades; y c)
Nivel 3: no reconoce la necesidad de desencadenamiento para la construcción de
demostraciones.
En segundo lugar menciona la relación entre el lenguaje y los niveles, donde señala
que las capacidades de razonamiento no solo se evidencian en el desarrollo de un
problema, sino que también en la forma en el que el estudiante se expresa y a los
significados empleados.
Y tercero, menciona que el paso de un nivel a otro se realiza de forma continua,
donde el estudiante estará en una transición en el que cambiará de un nivel de
razonamiento a otro.
2.1.3 Fases de aprendizaje
Las fases de aprendizaje según Jaime y Gutiérrez (1990), Jaime (1993),
corresponden a una serie de orientaciones para el profesor, que le permiten
organizar actividades, con la finalidad de ayudar a sus alumnos a subir de un nivel
a otro, las cuales son:
Fase 1: (Información):
• Se toma contacto con el nuevo objeto de estudio, se identifican
conocimientos previos y nivel de razonamiento en relación al objeto en
cuestión.
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• El profesor informa sobre cómo se abordará el objeto de estudio, los
problemas que se utilizarán, metodologías, materiales, entre otros.
• Los estudiantes aprenden a utilizar el material que se utilizará y también
aprenderán conceptos básicos indispensables para el trabajo matemático.
Fase 2: (Orientación Dirigida)
• Con la utilización del material entregado en la fase anterior, los estudiantes
exploran el campo de estudio mediante actividades y la resolución de
problemas. Estas situaciones tienen como objetivo que descubran,
comprendan y aprendan elementos pertenecientes a la red de conocimientos
que están involucrados, ya sea conceptos, propiedades, figuras, entre otros.
• Como los estudiantes no pueden generar aprendizajes de calidad por si solos
(de acuerdo a la relación entre resultados obtenidos y tiempo utilizado), el
profesor debe seleccionar cuidadosamente las actividades, para que estén
dirigidas hacia los conceptos y propiedades que se deben utilizar, siendo
éstos, presentados de manera gradual.
Fase 3: (Explicitación)
• La principal característica de esta fase, es que los estudiantes intercambian
experiencias entre pares y con el profesor, explican cómo es su resolución
de problemas, las regularidades que evidenciaron. Esta interacción es la
base para generar la red de relaciones.
• No hay un aprendizaje de conocimientos nuevos, sino que, es una revisión
del trabajo anteriormente desarrollado.
• En la explicación se debe alcanzar un vocabulario acorde al nivel que se
quiere alcanzar.
Fase 4: (Orientación Libre):
• Los estudiantes resuelven problemas diferentes a los anteriores, donde
posiblemente, son más complejos. Esta resolución debe utilizar los
conocimientos anteriormente aprendidos.
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• Los nuevos problemas deben generar nuevas relaciones o propiedades,
deben ser más abiertos, donde existan varias procedimientos para la
resolución y que tengan varias soluciones o ninguna.
• En esta fase el profesor limita lo máximo posible la ayuda hacia los alumnos,
puesto que, la idea de ésta, es hacer que los estudiantes logren encontrar
por ellos mismos la red de relaciones.
• Las actividades involucradas en esta fase, permiten completar la red de
relaciones que se inició en las fases anteriores.
Fase 5: (Integración)
• Los estudiantes adquieren una visión global de la red de relaciones que han
estado trabajando en las fases anteriores, integrando conocimientos,
métodos y formas de razonamiento.
• Los trabajos en esta fase deben tener un carácter global, el profesor debe
utilizar recopilaciones a modo de facilitar esta integración.
• El profesor debe tener especial cuidado con utilizar conceptos o propiedades
nuevos, pues se trata de acumular, comparar y combinar cosas que ya
conoce.
• Al completar esta fase, los alumnos habrán adquirido un nuevo nivel de
razonamiento.
También, en Gutiérrez y Jaime (1998), se plantea una matriz que se presenta en la
tabla 1, la cual describe en detalle los atributos de acuerdo a los niveles de
razonamiento, siendo ésta, la base para la construcción y análisis de los
diagnósticos de esta investigación.
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Tabla 1
Matriz de atributos de los procesos de razonamiento en los niveles de razonamiento
descrito por Gutiérrez y Jaime (1998)
Procesos Nivel 1 Visualización
Nivel 2 Análisis
Nivel 3 Clasificación
Nivel 4 Deducción
formal Reconocimiento y descripción
Atributos físicos (posición, forma, tamaño)
Propiedades matemáticas
Uso de definiciones
Definiciones con estructura simple
Definiciones con estructura matemática compleja
Aceptar definiciones diferentes
Formulación de definiciones
Listado de propiedades físicas
Listado de propiedades matemáticas
Conjunto de propiedades necesarias y suficientes
Prueba la equivalencia de definiciones
Clasificación Exclusiva basado en atributos físicos
Exclusiva basado en atributos matemáticos
Clasificar con diferentes definiciones Exclusiva e Inclusiva
Demostración Verificación con ejemplo Demostraciones empíricas
Demostraciones lógicas informales
Demostración matemática formal
Fuente: Gutiérrez y Jaime (1998).
2.2 Escuelas rurales con aulas multigrado
Definir el concepto de escuela rural es muy complejo, no solo porque el término
ruralidad conlleva múltiples características, sino porque además, como afirma
Berlanga, (2003): “no es posible dar una definición universal y permanentemente
válida de rural o urbano, sino tener una visión de conjunto con el fin de no caer en
una dicotomía simplista porque ambos están en constante cambio” (p. 80).
Cantón (2004), por su parte reúne características propias de la escolarización
específicas de las zonas rurales, las cuales son: a) bajo o muy bajo ratio entre
alumno y profesor; b) el agrupamiento de los estudiantes no suele ser por grados;
c) la escuela en algunos casos, es el último servicio público de la localidad; y d)
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dificultad en el acceso a la los bienes culturales.
Estas características aunque no siendo precisas, permitieron establecer los tres
primeros criterios de concreción de la escuela rural, debido a la acepción de escuela
rural que considera Berlanga (2003):
Aquella que está ubicada en el ámbito rural, en una población que, siendo
flexible en la opinión y en las cuantificaciones, nunca supera los 10.000
habitantes, una densidad inferior a los 60 habitantes por kilómetro cuadrado
y donde la población está dedicada a tareas agrícolas es superior al 50 por
ciento.
Por lo que es preciso considerar los siguientes criterios fundamentales para definir
el concepto: a) un número de habitantes menor que 10.000; b) La densidad de la
población, la cual debe ser menor a 60 habitantes por kilómetro cuadrado; y c) La
taza de población dedicada a la agricultura.
Posteriormente Corchón (2005), especifica un indicador que permite tener una
acepción más precisa, señalando que: “en un sentido poco amplio, son escuelas
rurales las de localidades de censo inferior a 501 habitantes” y “son propiamente
rurales las de aldeas o lugares de población diseminada inferiores a 500 habitantes”
Se agrega a lo anterior, lo expuesto por Tous (como se citó en Hinojo, Raso e Hinojo
2010),que se refiere a escuela rural como la única en la población.
Entonces, es necesario considerar los siguientes criterios, que favorece la
delimitación de este concepto, los cuales son: a) Ubicación en localidades inferiores
a 500 habitantes; y b) Ser la única en su localidad.
Posteriormente, Jiménez (1983) señala que:
Las escuelas graduadas, unitarias y mixtas tienen unas características
comunes: en una misma clase conviven niños y niñas de distintas edades y
niveles de escolaridad, suelen estar ubicados en localidades menores de mil
habitantes y dedicadas a la agricultura, ganadería, pequeño comercio o
25
industrias familiares y son despreciadas por la administración, consideradas
como centros de tercera categoría dentro de la planificación educativa y
olvidadas por teóricos y pedagogos.
Por lo tanto, es importante tener en cuenta que, a partir de este momento, es
imposible hablar de escuela rural sin tomar en cuenta la evidente inherencia con la
multigraduación como característica en sus aulas, pues es una característica común
en escuelas con estas condiciones.
Finalmente, la definición resultante, -a partir de todo lo anteriormente expuesto-, y
a la vez, más pertinente para tener como sustento teórico en esta investigación, es
la que considera Corchón (como se citó en Hinojo, Raso e Hinojo, 2010):
La escuela rural como todo aquel centro de educación formal que verifica las
siguientes características; única en la localidad, presenta multigraduación en
sus aulas, son las escuelas unitarias y las pequeñas graduadas incompletas
de 1 a 4 unidades, y están situadas en pequeños núcleos de población que
no superan los 500 habitantes.
2.3 Enseñanza de la Geometría
Hoffer (1981) señala que la enseñanza de la geometría debe basarse en el
desarrollo de habilidades, de las cuales existen cinco habilidades básicas que deben
ser desarrolladas en los estudiantes para una exitosa enseñanza de la geometría,
las cuales son:
• Habilidades visuales; se refieren a la capacidad de extraer información a
partir de los que el estudiante observa, teniendo en cuenta objetos reales o
representaciones.
• Habilidades verbales; hace referencia a que el estudiante tenga la capacidad
de usar un lenguaje geométrico apropiado.
• Habilidades de dibujo; se refiere a la capacidad para interpretar ideas y
representarlas a través de dibujos, o esquemas.
26
• Habilidades lógicas; se refieren a la capacidad de construir argumentos que
obedecen a las reglas de lógica formal, y también, para identificar qué
argumentos son válidos y cuáles no.
• Habilidades de modelización; se refiere a capacidades para describir y
explicar situaciones de la vida real, por medio de la resolución de problemas.
También hay que tener en cuenta que estas habilidades propuestas por Hoffer
(1981), tienen un desarrollo especifico de acuerdo a los niveles de razonamientos
propuestos por el modelo de Van Hiele (ver tabla 2), es decir, tanto la habilidad de
visualización, como las demás, tiene características específicas para cada nivel de
Tabla 2
Habilidades básicas de la geometría de acuerdo a los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele según Hoffer (1981).
Habilidad Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 Visual Reconocer
diferentes figuras en un dibujo. Reconocer información contenida en una figura.
Notar las propiedades de una figura.
Identificar una figura como parte de una mayor.
Reconocer interrelaciones entre diferentes tipos de figuras.
Reconocer las propiedades comunes de diferentes tipos de figuras.
Utilizar información de otra figura para deducir más información.
Reconocer supuestos injustificados hechos al usar figuras.
Concebir figuras relacionadas en varios sistemas deductivos.
Verbal Asociar el nombre correcto con una figura dada.
Interpretar fra- ses que descri- ben figuras.
Describir adecuadamen-te varias propiedades de una figura.
Definir palabras adecuada y concisamente.
Formular frases que muestren relaciones entre figuras.
Comprender las distinciones entre definiciones, postulados y teoremas.
Reconocer qué información da un problema y qué informa- ción hay que hallar.
Formular extensiones de resultados conocidos.
Describir varios sistemas deductivos.
Dibujar Hacer dibujos de figuras, nombrando adecuadamente las partes.
Traducir información verbal dada en un dibujo.
Utilizar las propiedades
Dada cierta figura construir otras relacionadas con la primera.
Reconocer cómo y cuándo usar elementos auxiliares en una figura.
Comprender las limitaciones y capacidades de varios elementos de dibujo.
27
dadas de una figura para dibujarla o construirla.
Deducir de información dada cómo dibujar una figura específica.
Representar gráficamente conceptos no estándar en varios sistemas deductivos.
Lógico Darse cuenta de que hay diferencias y similitudes entre figuras.
Comprender la conservación de las figuras en distintas posiciones.
Comprender que las figu- ras pueden clasificarse en diferentes tipos.
Notar que las propiedades sirven para distinguir las figuras.
Comprender las cualidades de una buena definición.
Usar las propiedades para determinar si una clase de figura está contenida en otra.
Utilizar las reglas de la lógica para desarrollar demostraciones.
Poder deducir consecuencias de la información dada.
Comprender las capacidades y limitaciones de supuestos y postulados.
Saber cuándo un sistema de postulados es independiente, consistente y categórico.
Modelar Identificar formas geométricas en objetos físicos.
Reconocer propiedades geométricas de objetos físicos.
Representar fenómenosen un modelo.
Comprender el concepto de unmodelo matemático que representa relaciones entre objetos.
Poder deducir propiedades de objetos de información dada.
Poder resolver problemas relacionados con objetos.
Usar modelos matemáticos para repre- sentar sistemas abstractos.
Desarrollar modelos matemáticos para describir fenómenos físicos, sociales y naturales.
Fuente: Hoffer (1981).
Según el MINEDUC (2012), en sus bases curriculares plantea que la educación de
la matemática debe ser enfocada en los siguientes aspectos:
• Desarrollo de habilidades: las cuales, en la educación básica busca
desarrollar el pensamiento matemático, mediante cuatro habilidades; a)
resolver problemas; b) representar; c) modelar y argumentar y; d) comunicar.
Teniendo un rol fundamental en la adquisición de destrezas y conceptos.
• Desarrollo de conceptos: los cuales, se presentan en cinco ejes temáticos;
a) números y operaciones; b) geometría; c) medición y d) datos y
probabilidades.
28
• Desarrollo de actitudes: las cuales, son consideradas relevantes para el
aprendizaje en el contexto de cada disciplina, debiendo ser desarrolladas de
manera integrada con los conocimientos y habilidades propias de la
asignatura. Las actitudes a desarrollar son; a) manifestar un estilo de trabajo
ordenado y metódico; b) abordar de manera flexible y creativa la búsqueda
de soluciones a problemas; c) manifestar curiosidad e interés por el
aprendizaje de la matemática; d) demostrar una actitud de esfuerzo y
perseverancia y; e) expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.
En este sentido, se plantea que en el eje de geometría se espera que los estudiantes
logren visualizar y dibujar figuras, teniendo en cuenta las características y
propiedades de figuras 3D y 2D, en diferentes situaciones, adquiriendo los
conceptos necesarios para la comprensión de la estructura del espacio,
describiendo con un lenguaje más preciso lo que conocen del entorno.
También, en las bases curriculares 2012 se plantean objetivos de aprendizaje, los
cuales señalan lo que los estudiantes deben ser capaces de hacer por cada
asignatura que, teniendo en cuenta el objeto de estudio de perímetro y área, se
hace necesario tener en cuenta los siguientes:
• Medir longitudes con unidades estandarizadas (m, cm, mm), en el contexto
de resolución de problemas.
• Diseñar y construir diferentes rectángulos, dados el perímetro, el área o
ambos, y sacar conclusiones.
• Calcular áreas de triángulos, de paralelogramos y de trapecios, y estimar
áreas de figuras irregulares, aplicando las siguientes estrategias; a) conteo
de cuadrículas; b) comparación con el área de un rectángulo y; c) completar
figuras por traslación.
29
2.4 Inicios de la geometría
En Boyer (1968), se señala la postura de Herodoto respecto a los inicios de la
geometría, el cual sostiene que la geometría tiene sus raíces en el antiguo Egipto,
debido a los constantes desbordamientos del rio Nilo, por lo que era necesario trazar
nuevos lindes de las tierras después de las inundaciones anuales, conllevando así,
al desarrollo de esta materia.
Según Aristóteles en cambio, el desarrollo de la geometría en el antiguo Egipto, era
impulsado por la existencia de una amplia clase sacerdotal, los cuales eran
privilegiados con el conocimientos de esta rama.
Como se mencionó anteriormente, Heródoto y Aristóteles tienen teorías opuestas
en relación al surgimiento de la geometría donde, la primera sostiene una
necesidad práctica y la segunda un origen basado en el ocio y ritual sacerdotal.
También hay que tener en cuenta que, el hecho de que los geómetras egipcios se
basan en el tensado de la cuerda, se puede utilizar para apoyar ambas teorías, ya
que las cuerdas se utilizaron tanto para trazar bosquejos de planos de estructuras,
como también para reconstruir fronteras borradas entre los terrenos.
Boyer (1968) sostiene que, si bien, no es posible rechazar con seguridad la teoría
de Heródoto ni la de Aristóteles, hay una clara subestimación de la edad de la
geometría, ya que existe evidencia de que el hombre neolítico, por medio de sus
dibujos y diseños, revela un interés en las relaciones espaciales que prepararon el
camino a la geometría. Se muestra en la alfarería, la cestería y los tejidos, dibujos
de congruencias y simetrías, que son parte de la geometría elemental. No existe
ningún documento de la época prehistórica, por lo que se hace imposible hallar la
evolución de la matemática en su origen. Pero eso no quiere decir que el origen de
un concepto no pueda ser la reaparición de una idea mucho más antigua.
También, y a partir de los resultados geométricos más antiguos de la civilización
India, surgen los Salvasutras o reglas de la cuerda, que se trata de relaciones
sencillas utilizadas en la construcción de altares y templos, aunque se piensa que
30
las motivaciones de los tensadores de cuerdas de Egipto, eran más prácticas que
las de India. Pero se sugiere que ambas geometrías, pudieron tener una fuente
común.
2.5 Objeto de estudio: área y perímetro
El concepto de área y perímetro tiene su origen y desarrollo en diversas culturas,
dentro de las cuales se encuentran los babilónicos, que mediante tabletas
cuneiformes expuestas en Illana-Rubio (2008), lograron dejar en evidencia
testimonio de sus avances, divididas en tablas con datos y otras con problemas,
donde lograron una aproximación a la noción de área con una ecuación cuadrática.
Como menciona Aldana-Bermúdez y López-Mesa (2016), “esta representación
menciona el lado de una figura e indica que esta magnitud está relacionada con otro
lado, que es igual lado al contrario” (p.11). Se considera que la representación
cuadrado tiene relación con una figura geométrica con su significado geométrico,
aunque las soluciones plasmadas en las tablillas, carecen de procedimientos,
siendo una característica matemática de Babilonia.
En las tablillas encontradas, se evidencia una idea clara del concepto de medición,
donde se utiliza la unidad de estadio para medir distancias largas, por lo que, se
asume que el concepto de perímetro ya existía. Ya que la medida del perímetro de
la ciudad Babilónica era aproximadamente 480 estadios, siendo la medida de sus
murallas.
Posteriormente, se descubrieron propiedades geométricas de figuras
bidimensionales con la noción de área y perímetro, asociando el área al concepto
de lado al cuadrado y el perímetro como la longitud que encierra una superficie,
conllevando además, siendo necesaria un conocimiento del concepto de medición.
Como señala Aldana-Bermúdez y López-Mesa (2016), en la civilización egipcia,
existía un conocimiento del teorema de Pitágoras, el cual lo utilizaban en un caso
especial de triángulo de lado 3, 4, y 5, correspondiente a los lados adyacentes y
opuestos al ángulo de 90º. Con estas medidas, los egipcios lograron trazar y
31
delimitar superficies utilizando ángulos rectos, y con este mismo método, construían
las bases de las pirámides utilizando una cuerda de 13 nudos equidistantes dos a
dos, que permitía unir los extremos de una figura.
En el papiro de Rhind, los problemas 42, 43 y 44, plantean procedimientos explícitos
del cálculo de área de un círculo, y en el problema 50, es resuelto para un círculo
de diámetro 9 unidades, el cual obedece a los siguiente: “Como primer paso se
considera el cuadrado circunscrito al círculo, su lado mide 9 unidades, cuya área es
igual a 92 = 81 unidades cuadradas, seguidamente se divide el cuadrado en
pequeñas unidades cuadradas, luego en las esquinas se traza una diagonal de lado
tres, formando un octágono irregular que corresponde a una aproximación del
circulo y por último, al área del cuadrado se le resta el área de las esquinas
obteniendo un valor de 63u2. Por otro lado, la generación de conocimiento del
perímetro se dio por medio de una razón que implica la utilización de área.
Morales (2002), señala que los egipcios utilizaban una regla relacionada con la
circunferencia, la cual consistía en que; la razón entre el área de un circulo y su
circunferencia es la misma que entre el área del cuadrado circunscrito al círculo y
su perímetro. Boyer (1968), por otro lado, menciona que esta relación tiene una
significancia mayor que la aproximación a pi, donde además, calculaban área de
triángulos, rectángulos y trapecios.
Según Aldana-Bermúdez y López-Mesa (2016), no existen indicios de que haya un
dominio a nivel disciplinar del concepto de área y perímetro, aunque la utilización
de la cuerda de 13 nudos, permite evidenciar cierta regularidad de medida,
permitiendo calcular áreas de diferentes regiones, donde se puedo solucionar
variadas situaciones, es decir, se tenía un concepto que no se generalizaba
mediante algoritmos, aunque se consideraban regularidades de elementos
matemáticos.
Más adelante, los griegos con Euclides (300 a.C.), dejaron un legado respecto a
este concepto de área y de perímetro. En su libro 1, plantea construcciones,
teoremas de áreas de polígonos, teorema de Pitágoras y sus congruencias.
32
Además, el libro XII, hace referencia al cálculo de área y volúmenes, utilizando el
método exhaustivo de Eudoxio (408 – 335 a.C.), contribuyendo la primera técnica
matemática rigurosa de un algoritmo infinito, el cual es realmente importante en el
cálculo exacto de áreas y volúmenes.
Para estudiar el concepto de área y de perímetro, hay que tener en cuenta
características y propiedades de figuras geométricas, las cuales están relacionadas
con formas, tamaños, distancias y ubicación, aspectos fundamentales para la
medición de longitudes, como también, sus dificultades y obstáculos de acuerdo al
objeto matemático.
De acuerdo a Rogalsky (como se citó en Aldana-Bermúdez y López-Mesa, 2016),
en el proceso de aprendizaje del tema de perímetro y área existen dificultados en
los cambios en relación a la forma y dimisiones, como también, en la utilización de
patrones en las unidades de medición. El obstáculo conceptual que se genera por
parte de los estudiantes, se da al momento de que deben asociar unidades de
longitud con las medidas realizadas en geometría, como la medición de superficies.
También existe una dificultad al diferenciar los conceptos de perímetro y área
cuando se realizan mediciones de contornos y superficies, debido a la carencia de
significado en los valores que aparecen en los lados, ni tampoco logran reconocer
e identificar medidas de área y perímetro en figuras planas. Que como lo considera
Moreira y Comiti (1994), los estudiantes no logran asociar la longitud de los lados
con la forma de la figura.
Otros estudios que involucran las concepciones que tienen profesores para la
enseñanza de perímetro y área, evidencian la carencia de relación entre el concepto
de perímetro y área. Tierney, Boyd y Davis (como se citó en D’Amore y Fandiño,
2007), señalan que esta dificultad se da porque los estudiantes aprenden de
memoria el concepto, siendo así, el aprendizaje basado en formulas y algoritmos
matemáticos.
33
Y por último, Azhari (como se citó en D’Amore y Fandiño, 2007), menciona que se
encuentran obstáculos del tipo epistemológico, cuando hay dos relaciones ligadas
mutuamente, donde se aplica la Ley de Conservación, la cual consiste en que si
una determinada cosa crece, también la otra que está relacionada, y viceversa. En
el caso de perímetro y área, existe dificultades al momento de que los estudiantes
no le dan sentido o explicación a esta relación y como se presenta al momento de
trabajar con estos conceptos. Esta relación de perímetro y área es fundamental para
el estudio de estos conceptos, por lo que es necesario que los estudiantes logren la
comprensión, mediante la explicación de situaciones donde el perímetro cambie
pero el área se mantenga y viceversa.
CAPÍTULO III MARCO METODOLÓGICO
35
3. METODOLOGÍA
3.1 Tipo y diseño de investigación
Dadas las características de la problemática presentada en esta investigación, el
diseño a utilizar es tipo cuantitativo con aspectos cualitativos para conocer mejor los
sujetos de estudio. Hernández (2014), señala que “la recolección de datos para
probar hipótesis con base en la medición numérica y el análisis estadístico, con el
fin establecer pautas de comportamiento y probar teorías” (p.4). En este caso
corresponde a la descripción de los niveles de razonamiento geométrico y su grado
de adquisición, que poseen y logran alcanzar los alumnos en el aprendizaje de la
geometría. Además, Hernández (2014), señala que “la investigación cualitativa se
enfoca en comprender los fenómenos, explorándolos desde la perspectiva de los
participantes” (p.358), lo que corresponde a la descripción de ejemplos de
respuestas de los participantes obtuvieron al finalizar la intervención, teniendo en
cuenta los niveles de razonamiento empleados y su grado de adquisición. El diseño
de investigación es pre-experimental, con un pre-test, tratamiento, y post-test.
Según Hernández (2014), “a un grupo se le aplica una prueba previa al estímulo o
tratamiento experimental, después se le administra el tratamiento y finalmente se le
aplica una prueba posterior al estimulo” (p.141). En este caso del pre-test, permite
describir el nivel inicial de los niveles de razonamiento geométrico que poseen los
alumnos de acuerdo a un objeto matemático. Posteriormente el tratamiento se basa
en la implementación de una unidad didáctica generada a partir del Modelo de
Razonamiento Matemático de Van Hiele, cuyo objeto matemático es perímetro y
área de cuadriláteros. Y respecto al post-test, describe el nivel de razonamiento y
grado de adquisición alcanzado al finalizar la unidad didáctica.
3.2 Población y muestra
Se considera como población a los alumnos de la Escuela Orilla de Navarro, y los
participantes de esta intervención son los alumnos pertenecientes al curso
multigrado, conformado por Quinto y Sexto Año Básico.
36
3.3 Procedimiento de muestreo
Para seleccionar la muestra se consideran la proyección de los niveles de
razonamiento, planteados por Gutiérrez (2009) indicando; que los alumnos de
primero a cuarto básico solo logran alcanzar el nivel 1 de razonamiento geométrico
y no necesariamente en su más alto grado de adquisición. Además, que los alumnos
pertenecientes a quinto básico estarían en un periodo de transición entre el nivel 1
e inicios del nivel 2, y que en sexto básico podrían comenzar realmente con en el
nivel 2, para que en octavo básico o al finalizar el primero medio, se pudiera alcanzar
su máximo grado de adquisición, tal como lo plantea Gutiérrez, (2009), en la
conferencia: “Un enfoque didáctico de la enseñanza de la demostración
matemática”, que ofreció al Programa de Magister en Didáctica de la Matemática
UCM.
Teniendo en cuenta las características de ruralidad, multigraduación, y nivel
socioeconómico que se explican en detalle en los próximos párrafos. Resulta
pertinente, tener como muestra los estudiantes del curso multigrado de quinto y
sexto año básico
3.4 Características del contexto
Esta escuela está ubicada en un sector rural de la Región del Maule, en cuanto a
sus características, consta de dos cursos multigrados, que están conformados por
alumnos de primero a cuarto, y quinto a sexto básico donde, el 44,8 % de los
estudiantes pertenece al Programa de Integración Escolar, quienes poseen un
índice de vulnerabilidad escolar de 83,4%. En cuanto a la situación social del sector,
los datos muestran que el 62% de la comunidad vive en extrema pobreza, el 20%
vive en pobreza y el 18% corresponde a otras situaciones.
También, es importante mencionar que los participantes de este estudio, lograron
un puntaje sobresaliente (344 puntos) en la prueba SIMCE (2015), respecto a la
asignatura de Matemática, situando a esta escuela, dentro de los 10
establecimientos que obtuvieron más altos puntajes del país en ese año. Y, en
37
relación a los demás estudiantes del curso multigrado, en la misma prueba SIMCE
(2016), obtuvieron 334 puntos en la asignatura.
3.5 Variables
Independiente: consiste en la unidad de aprendizaje, diseñada para ser
implementada en el curso multigrado compuesto por quinto y sexto año básico,
utilizando el nivel 1 y nivel 2 de razonamiento geométrico.
Dependiente: corresponde al nivel de razonamiento y grado de adquisición que
logra cada alumno de quinto y sexto año básico, en relación al tema de perímetro y
área de cuadriláteros de los ítems del pre-test y post-test.
3.6 Métodos e instrumentos de recogida de información
Como se menciona en el párrafo anterior, para recolectar la información se utiliza
un pre-test y un post-test, que permite saber el estado inicial y el final de los
participantes. Estos test, son semejantes y tienen como tema perímetro y área de
cuadriláteros, siendo validados por tres jueces expertos (ver anexo 1 y 2). El
contraste de los resultados de estos test, permite saber el nivel de razonamiento
geométrico y el grado de adquisición alcanzado por los estudiantes, al terminar el
proceso.
38
La tabla 3 muestra el contenido geométrico y los niveles de razonamiento en los
que pueden responder los estudiantes en relación a cada ítem del pre-test y post-
test (ver anexo 3 y 4):
Tabla 3
Contenido geométrico de ítems de pre-test y post-test
ITEM NIVELES
CONTENIDO GEOMÉTRICO 1 2
1 x Identificación de cuadriláteros
1.1 x Identificación de interior y contorno de cuadriláteros Identificación y descripción de unidades de medida (unidades cuadradas y no cuadradas)
2 x x Construcción de cuadriláteros Cálculo de perímetro y área
3 x x Descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos Cálculo de perímetro y área
4 x Relación entre formas de figuras con el perímetro y área
5 x Reconfiguración de figuras Cálculo de perímetro y área
6 x Construcción de cuadriláteros a partir de perímetro y área Identificación de propiedades de cuadriláteros
Fuente: Elaboración propia.
3.6.1 Grados de adquisición de un nivel de razonamiento
Teniendo en cuenta que los niveles de razonamiento se adquieren de manera
gradual, Jaime (1993) en su tesis doctoral, propone un concepto llamado grado de
adquisición, que permite obtener más información sobre el razonamiento de los
estudiantes. Estos grados son:
• Adquisición Nula: “No se emplean las características de este nivel”
• Adquisición Baja: “Empieza la consciencia de las características, métodos y
exigencias propios del nivel, pero es muy pobre la utilización que se hace de
ellos. Es frecuente el abandono del trabajo en este nivel para recurrir al
razonamiento de nivel inferior”
39
• Adquisición Intermedia: “El empleo de los métodos de este nivel es más
frecuente y preciso. No obstante, todavía no se domina, por lo que, ante
situaciones que resultan complicadas, se produce un retroceso de nivel, con
un intento posterior de retorno al nivel superior. Hay, por tanto, saltos
frecuentes entre dos niveles consecutivos de razonamiento”
• Adquisición Alta: “El nivel habitual de trabajo es éste y se produce con muy
poca frecuencia el retroceso de nivel, aunque sucede alguna vez. Asimismo,
en ocasiones se hace un uso inadecuado de las herramientas propias de este
nivel de razonamiento”.
• Adquisición Completa: “Hay un dominio total de las herramientas y métodos
de trabajo propios de este nivel de razonamiento”.
A la vez, Jaime (1993), señala una cuantificación de los grados de adquisición que
se consideran razonables para un nivel de razonamiento, que se muestra en la
figura 1
Figura 1. Grados de adquisición considerados para los niveles de razonamiento, Fuente: Jaime (1993).
40
3.7 Técnicas de análisis
Los datos recolectados por medio del pre-test y post-test, se analizan usando el
software estadístico SPSS, mediante un análisis descriptivo interpretativo.
Las pruebas que permiten analizar y evidenciar que existen diferencias
estadísticamente significativas teniendo dos muestras relacionadas, son la prueba t
(prueba paramétrica), que según Berlanga y Rubio (2012), esta prueba tiene
requisitos previos para su aplicación, tales como: a) distribución normal de la
variable cuantitativa, b) la homogeneidad de varianza y, c) una n muestral no inferior
a 30 participantes. Por lo que se selecciona una prueba no paramétrica debido a
que la cantidad de participantes de este estudio es menor a 30. Según Berlanga y
Rubio (2012) es común referirse a las pruebas no paramétricas como pruebas de
distribución libre, donde la prueba Wilcoxon de dos muestras relacionadas es la
opción no paramétrica de la prueba t.
Asimismo, se describen respuestas de los estudiantes, a modo de ejemplificar
resoluciones teniendo en cuenta los niveles de razonamiento y su grado de
adquisición.
3.7.1 Tipos de respuesta
Jaime (1993), propone los denominados tipos de respuesta, que son aplicables en
los ítems de respuesta con desarrollo, ya sea, de manera oral o escritos. Hay que
tener en cuenta que, como estos ítems pueden ser contestados en distintos niveles
de razonamiento, es importante analizar el tipo de respuesta de cada uno de ellos,
ya que de esta forma es posible determinar con mayor precisión el nivel de
razonamiento que posee el estudiante.
Entonces, como señala Jaime (1993) “ a la hora de evaluar una respuesta, primero
se debe determinar el nivel de razonamiento en el que se ha respondido y después
se debe analizar la calidad de la respuesta desde la perspectiva del nivel que se
considera” (p. 267). A partir de este doble análisis se generan los siguientes tipos
de respuesta y sus respectivos descriptores:
41
• Tipo 1: Ítems sin respuesta, con respuestas no codificables o con respuestas
que indican que el estudiante no está en un determinado nivel de
razonamiento pero que no proporcionan ninguna información sobre su forma
de utilizar los niveles de razonamiento inferiores.
• Tipo 2: Respuestas matemáticamente incorrectas y muy incompletas, pero
en las que se reconocen indicios de utilización de cierto nivel de
razonamiento. Se trata, por lo general, de respuestas muy breves y pobres
que, además, contienen errores matemáticos o que no contestan
directamente a la pregunta planteada.
• Tipo 3:Respuestas matemáticamente correctas pero muy incompletas, en las
que se reconoces indicios de utilización de cierto nivel de razonamiento. Se
trata, por lo general, de respuestas breves y pobres, aunque no contienen
errores matemáticos.
• Tipo 4:Respuestas que reflejan claramente características de dos niveles de
razonamiento consecutivos. Esta es la situación más típica de los alumnos
en transición entre niveles, pues entremezclan dos niveles de razonamiento
consecutivo en sus respuestas a un ítem (generalmente en función de la
dificultad de las preguntas). Las respuestas pueden ser matemáticamente
correctas o incorrectas, pero deben ser bastante completas.
• Tipo 5:respuestas bastante completas pero matemáticamente incorrectas,
que reflejan claramente la utilización predominante de un nivel de
razonamiento determinado. La incorreción de las respuestas puede deberse
a errores matemáticos o a que siguen una línea de trabajo que no lleva la
solución del problema planteado, pero cuyos procesos de razonamiento son
válidos.
• Tipo 6: respuestas bastante complejas y matemáticamente correctas que
reflejan claramente la utilización predominante de un nivel de razonamiento
determinado. Se trata de respuestas claras y correctas, pero que no están
completas porque no llegan a resolver el problema totalmente, porque hay
42
“saltos” en el razonamiento deductivo seguido o porque tienen pequeños
erres, entre otras características.
• Tipo 7: respuestas matemáticamente correctas y completas que reflejan
claramente la utilización de un nivel de razonamiento determinado.
3.7.2 Asignación de los grados de adquisición de los niveles de Van Hiele
Finalmente, luego de que los estudiantes responden el pre-test y el post-test, y que
se identifica la calidad de la respuesta, de acuerdo a los tipos de respuesta, es
necesario tener en cuenta ciertos pasos para determinar el grado de adquisición de
los Niveles de Van Hiele.
3.7.2.1 Ponderación de los tipos de respuesta
Primero que todo, Jaime (1993), señala una ponderación de los tipos de respuesta,
los cuales señala que tienen valores subjetivos, pero que son considerado válidos,
debido a que en sus experimentos no han detectado problema con estos valores.
La ponderación de los tipos de respuesta consideradas para esta investigación, se
muestran en la tabla 4, teniendo en cuenta los valores de Jaime (1993):
Tabla 4:
Ponderación de los tipos de respuesta según Jaime (1993)
Tipo de respuesta 1 2 3 4 5 6 7 Ponderación % 0 20 25 50 75 80 100
Fuente: Jaime (1993). 3.7.2.2 Codificación
En segundo lugar, corresponde la codificación de las respuestas de los estudiantes,
de acuerdo al nivel de razonamiento y al tipo de respuesta asignado con su
respectiva ponderación (ver anexo 5 y 6).
43
3.7.2.3 Rango de los niveles de Van Hiele
En tercer lugar, considerando que los ítems pueden ser contestados en diferentes
niveles de razonamiento que, por lo general, son de 2 o 3 niveles, se aplica una
ponderación teniendo en cuenta la organización jerárquica de los niveles de
razonamiento, esta ponderación es la siguiente:
Si un ítem puede ser contestado en rango de nivel N1 y N2 y es contestado en nivel
N, entonces N(N1 ≤ N ≤ N2).
Por lo que, tendrá 100% en los niveles de ese rango que sean inferiores a N, 0% en
los que son superiores a N, y la ponderación que corresponde al tipo de respuesta
en el nivel N.
Un ejemplo de esta situación, según Jaime (1993):
Si es posible responder un ítem en los niveles 2,3 y 4, y un estudiante responde en
nivel 3 y en tipo de respuesta 5, la ponderación es la siguiente; nivel 2:100%, nivel
3: 75%, nivel 4: 0%.
Y por último, para obtener el grado de adquisición de los niveles de razonamiento
de los estudiantes, se debe calcular la media aritmética de las ponderaciones de
todos los ítems que pueden ser contestados en cada nivel.
Es decir, si hay 3 ítems que pueden ser contestado en el nivel 2, y las ponderaciones
de esos ítems en ese nivel son 0%, 20% y 50%, el grado de adquisición del nivel 2
es Gr(2) = '()'(*'+
= 23,3%, el cual corresponde a grado bajo de adquisición de
este nivel.
En el caso de esta investigación, donde se consideran los niveles 1 y 2, la
evaluación de los test respondidos por los estudiantes, se basaran en 2 valores,
siendo cada uno, el grado de adquisición de dichos niveles.
44
3.8 Experimento
Corresponde a una unidad didáctica (ver anexo 7). con el objeto matemático
perímetro y área de cuadriláteros
El objetivo de la unidad:
Desarrollar el razonamiento geométrico para avanzar en los niveles de Van–Hiele y
su grado de adquisición, por medio de resolución de problemas y la visualización de
objetos en contexto real y abstractos, a partir de los conceptos de perímetro y área
de cuadriláteros.
Punto de vista del material didáctico:
a) Relación con los contenidos anteriores y posteriores (ver tabla 5)
Los conocimientos previos tienen carácter necesario para poder comprender el
cálculo del perímetro y área de cuadriláteros, ya que, hay que tener en cuenta que
los cuadriláteros son polígonos que tienen características particulares, y que surgen
a partir de segmentos, y éstos a partir de rectas. También cabe mencionar que estos
cuadriláteros están en una dimensión determinada (2D), donde es preciso conocer
conceptos tales como largo y ancho. Por último, para poder medir el área y el
perímetro, es necesario poder distinguir e identificar el interior y el exterior de las
figuras.
El cálculo del perímetro y área – con sus respectivas unidades de medidas
estandarizadas – en cuadriláteros, forman una base imprescindible para poder
iniciar con la medición de figuras con tres dimensiones pues, permite calcular
superficies y perímetros de sus caras, las cuales son elementos que conforman
estas figuras.
45
Tabla 5 Contenidos anteriores, nuevos y posteriores.
Contenidos Anteriores Línea- recta – segmento
Dimensiones Polígonos Triángulos Base-altura Cuadriláteros Longitud (medida)
Nuevos Contorno Superficie Unidades de medida estandarizada Área de cuadriláteros Perímetro de cuadriláteros Generalizaciones de figuras (perímetro y área)
Posteriores Transformaciones isométricas Área de figuras 3D Volumen
Fuente: Elaboración propia.
b) Secuencia didáctica
La unidad didáctica consistirá en implementar el Modelo de Van Hiele, teniendo
como objeto matemático “área y perímetro”, el cual permite describir los niveles de
razonamiento geométrico y su grado de adquisición, que poseen los estudiantes de
quinto y sexto año básico que tienen como característica la ruralidad y la
multigraduación en el contexto de aula.
Para generar esta unidad es pertinente tener en cuenta la proyección de los niveles
de razonamiento y su grado de adquisición que, en condiciones normales plantea
Gutiérrez (2009), señalando que los alumnos de quinto básico estarían alcanzando
un alto grado de adquisición del nivel 1 e iniciarían algún tipo de razonamiento de
nivel 2, cuestión que iría en progreso, de tal forma de lograr un mayor grado de
adquisición en octavo año.
46
También, y no menos importantes son las características generales del modelo de
Van Hiele que señalan Jaime y Gutiérrez (1990) que, en primer lugar, se menciona
una jerarquización y secuencialidad entre los niveles de razonamiento, lo que quiere
decir, que cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior y también que cada
uno tiene diferentes grados de sofisticación. En segundo lugar, se describen
habilidades que están involucradas implícitamente en los primeros tres niveles que,
como se señala en el párrafo anterior, se consideran los primeros dos niveles, los
cuales son; nivel 1: no reconoce la importancia de las partes de las figuras. Nivel 2:
no reconoce relación entre las propiedades. Y finalmente, se describe una relación
entre el lenguaje y los niveles de razonamiento, haciendo hincapié en que, no solo
se evidencian las capacidades de razonamiento en el desarrollo de un problema,
sino que también en la forma de expresarse y a los significados que se emplean.
Por todo lo anterior, los niveles de razonamiento utilizados para esta unidad son los
siguientes:
• Nivel 1 (Reconocimiento): Los estudiantes clasifican cuadriláteros de
acuerdo a su aspecto físico, identificando el interior y el exterior dentro de un
contexto real, observando la diferencia que existe en el modo en que se
calcula el perímetro y el área. Construyen y transforman figuras teniendo en
cuenta unidades cuadradas y no cuadradas.
• Nivel 2 (Análisis): Los estudiantes reconocen propiedades de los
cuadriláteros. Relacionan la medida del perímetro y el área con la forma de
las figuras. Reconfiguran figuras a modo para calcular perímetros y áreas.
La secuencia metódica de esta unidad didáctica, empieza con una visualización de
objetos a modo de identificar cuadriláteros y más específico aún, el interior y el
exterior de ellos. Luego, miden interior y exterior de figuras utilizando diversos
materiales, permitiéndoles también construir diferentes cuadriláteros.
Posteriormente, deducen, conjeturan y describen estrategias que les permitan
obtener el cálculo de área y perímetro. Y por último, manipulan y transforman figuras
para obtener cuadriláteros considerando también, la superficie, el perímetro y como
47
se relacionan.
Visualización
En la etapa de la visualización, se presentaran diferentes objetos de la vida
cotidiana, con el fin de identificar cuales cumplen las características de ser
cuadriláteros, además de identificar el interior y el exterior, explicando como poder
medirlos, y como serían las unidades que utilizarían.
Medición
La etapa de la medición consistirá en utilizar material concreto, ya sea a partir de
unidades cuadradas y no cuadradas, que les permita a los estudiantes realizar
diferentes mediciones dentro y fuera de cuadriláteros, iniciándolos en la
construcción de figuras a partir de este proceso.
Estrategias de cálculo
Las estrategias de cálculo se generan a partir del conteo de cuadriculas, donde
explican además estimaciones. Describen estrategias que les permiten crear
cuadriláteros teniendo de antemano, un área y un perímetro determinado. Y por
último, conjeturan sobre la relación que encuentran en la medición que tiene el área
y el perímetro.
Manipulación y transformación
Esta etapa consiste en transformar y manipular figuras, a modo de poder calcular el
área y el perímetro de figuras a partir de cuadriláteros, en un contexto de resolución
de problemas.
48
La matriz que se generó (ver tabla 6), de acuerdo a fases de aprendizajes y niveles
de razonamiento, con el objeto matemático de perímetro y área es la siguiente:
Tabla 6
Matriz de fases de aprendizaje y niveles de razonamiento de perímetro y área Fases de
aprendizaje/ niveles de
razonamiento Nivel 1: Reconocimiento Nivel 2: Análisis Fase 1: Información
- Identifican visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
- Identifican interior y exterior de cuadriláteros
- Medición de interior y contorno de cuadriláteros
- Clasificar cuadriláteros según sus características
- Identifican transformaciones que permitan crear cuadriláteros
Fase 2: Orientación dirigida
- Miden interior de figuras mediante cuadrículas
- Miden contornos de cuadriláteros, utilizando unidades de medida no estandarizada
- Construyen cuadriláteros a partir de cuadriculas
- Relacionan el área y perímetro con la forma de figuras
- Clasifican cuadriláteros de acuerdo a su forma de calcular perímetro y área
- Obtienen área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
- Construyen cuadrilátero a partir de perímetros, áreas y otras características.
- Realizan transformaciones de cuadriláteros para calcular el perímetro y área
- Generan expresiones de cálculo de perímetro y área de cuadriláteros
Fase 3: Explicitación
- Describen estrategias de conteo de cuadrículas
- Describen construcciones de cuadriláteros
- Explican utilización de unidades de medida no estandarizada.
- Explican mediciones de contornos
- Describen características de cuadriláteros
- Explican los procedimientos utilizados para la construcción de cuadrículas
- Explican resultados y procedimientos utilizados de caculo de área y perímetro
- Discuten el cálculo de perímetro en figuras compuestas
- Describen regularidades de cuadriláteros
- Describen expresiones de cálculo de perímetro y área de cuadriláteros
49
Fase 4: Orientación libre
- Suman áreas de cuadriláteros para obtener una mayor.
- Realizan transformaciones entre unidades de medidas no estandarizadas
- Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
- Modifican superficies a partir de perímetros
- Relacionan regularidades que surgen a partir de la duplicación de lados, en relación al perímetro y el área
- Utilizan expresiones para calcular perímetros y áreas
- Reconfiguran figuras para obtener cuadriláteros
Fase 5: Integración
- Realizan una síntesis de los conceptos tratados anteriormente y describe las formas de calcular áreas y perímetros
- Resumen los conceptos utilizados en los problemas desarrollados, tales como área, perímetro, cuadrilátero, unidad de medida, graduación
- Realizan una síntesis de los conceptos tratados anteriormente y describen las formas de calcular el perímetro y área de cuadriláteros
- Explican regularidades que permiten generar expresiones de cálculo de área y perímetro
- Resumen de conceptos utilizados en problemas desarrollados
- Integración de estrategia de arreglo rectangular para contar cuadrículas
Fuente: Elaboración propia.
A continuación, se presenta en la tabla 7, los objetivos presentes en la unidad
didáctica de acuerdo a los niveles de razonamiento 1 y 2.
Tabla 7
Objetivos de unidad didáctica de los niveles de razonamiento 1 y 2. Objetivos
Nivel 1: Reconocimiento Nivel 2: Análisis Identificar cuadriláteros de acuerdo a su aspecto físico.
Identificar interior y contorno de cuadriláteros en un contexto real.
Reconocer diferencias de medición entre el área y perímetro.
Construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas.
Calcular área de superficie por medio de la suma de áreas más pequeñas.
Calcular áreas a partir de la descomposición de superficies en cuadrados y rectángulos.
Clasificar cuadriláteros según sus características.
Construir unidades de medida para obtener área y perímetro.
Relacionar el perímetro y el área con la forma de figuras.
Clasificar cuadriláteros de acuerdo a su forma de calcular perímetro y área.
Construir cuadriláteros a partir de perímetros, áreas, y otras características.
Realizar transformaciones de cuadriláteros para obtener áreas y perímetro.
Generar y utilizar expresiones de cuadriláteros para calcular perímetro y área.
Descomponer figuras en cuadriláteros para calcular perímetro y área.
Fuente: Elaboración propia.
50
La asignación de tiempo de la intervención, considerando el pre-test, post-test, y
las clases, se muestra en la tabla 8.
Tabla 8
Asignación de tiempo intervención.
Fuente: Elaboración propia.
Tema Tiempo estimado Pre-Test 2 hrs. pedagógicas Clase 1: Visualización y área de cuadriláteros 2 hrs. pedagógicas Clase 2: Cálculo de área de figuras compuestas 2 hrs. pedagógicas Clase 3: Visualización y perímetro de cuadriláteros 2 hrs. pedagógicas Clase 4: Relación entre área y perímetro 2 hrs. pedagógicas Clase 5: Construcción de cuadriláteros a partir de área y perímetros 2 hrs. pedagógicas Clase 6: Expresiones de cálculo de área y perímetro 2 hrs. pedagógicas Post-Test 2 hrs. pedagógicas
51
CAPÍTULO IV ANÁLISIS DE RESULTADOS
52
4. Análisis de resultados
Primero que todo, para analizar los datos, teniendo en cuenta la cantidad de
participantes de este estudio, se presenta un resumen por estudiante de los grados
de adquisición, y ponderación de los tipos de respuesta, de acuerdo a los atributos
por cada ítem del pre-test y post-test.
También, es importante señalar que, como los participantes pertenecen a un curso
multigrado, los análisis se realizan teniendo en cuenta el curso multigrado y niveles
educativos, por lo que se asigna lo siguiente en la tabla 9:
Tabla 9
Asignación de estudiantes, según nivel educacional para análisis de resultados
Nº Estudiante Curso
1 5º Año Básico
2 5º Año Básico
3 5º Año Básico
4 6º Año Básico
5 6º Año Básico
6 6º Año Básico
7 6º Año Básico Fuente: Elaboración propia.
53
4.1 Resultados descriptivos
4.1.1 Resultados de curso multigrado y por nivel educacional
A continuación, se presenta en la tabla 10 , un análisis de los resultados del pre-test
y post-test, de acuerdo a los grados de adquisición de los niveles 1 y 2 de
razonamiento de Van Hiele, de los estudiantes del curso multigrado de quinto y
sexto año básico, obtenidos al iniciar y finalizar la intervención, los cuales arrojaron
los siguientes resultados:
Tabla 10
Resultados pre-test curso multigrado de quinto y sexto año Básico nivel 1 y2.
Fuente: Elaboración propia. De acuerdo a los porcentajes obtenidos del pre-test, se observan los siguientes
resultados, teniendo en cuenta los grados de adquisición de los niveles de
razonamiento 1 y 2.
Al iniciar la intervención y, en relación al nivel 1 de razonamiento, se observa en la
tabla 11, una distribución dispersa en los datos obtenidos en el pre-test, los cuales
varían entre la adquisición nula y alta, concentrándose un porcentaje considerable
(71,5%) en las categorías baja y nula. Respecto al nivel 2, los resultados se
distribuyen entre los grados de adquisición nulo y bajo donde, un gran porcentaje
(85,7%) alcanza un grado de adquisición nulo.
Resultados Pre-test Curso Multigrado de Quinto y Sexto Año Básico Nº Alumno Curso Gr(Nivel 1) Gr(Nivel 2)
1 5º Básico 8,88 % Nula 0,00 % Nula 2 5º Básico 25,55 % Baja 0,00 % Nula 3 5º Básico 21,11 % Baja 16,66 % Baja 4 6º Básico 8,88 % Nula 0,00 % Nula 5 6º Básico 76,66 % Alta 12,50 % Nula 6 6º Básico 32,22 % Baja 12,50 % Nula 7 6º Básico 51,11 % Intermedia 2,22 % Nula
54
Tabla 11
Grado de adquisición del nivel 1 y 2 del curso multigrado pre-test.
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 2 Pre-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 28,6 6 85,7 Baja 3 42,9 1 14,3 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 1 14,3 0 0,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia. Los resultados obtenidos del nivel 1 (ver tabla 12), al iniciar la intervención en Quinto
Año Básico, muestran datos distribuidos en las categorías nula y baja,
concentrándose un porcentaje mayor en el grado de adquisición bajo (66,7%).
Respecto al nivel 2, los resultados muestran que los estudiantes alcanzan los
grados de adquisición nula y baja, donde la mayor concentración de porcentaje se
encuentra en la categoría nula (66,7%).
Tabla 12
Grados de adquisición de nivel 1 y 2 de Quinto Año Básico pre-test. Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 2 Pre-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 33,3 2 66,7 Baja 2 66,7 1 33,3 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: elaboración propia. En Sexto Año Básico (ver tabla 13), en relación al nivel 1, los resultados que arroja
el pre-test, muestran datos dispersos donde, se distribuye el mismo porcentaje
(25%) entre las categorías de nula a alta. Respecto al nivel 2, el 100% de los
estudiantes está situado en un grado de adquisición nulo.
Al contrastar los resultados obtenidos en ambos cursos, queda en evidencia que, a
diferencia de quinto año, estudiantes de sexto logran alcanzar una adquisición
intermedia y alta. Y por el contrario, un estudiante de quinto año, a diferencia de los
55
de sexto, que el 100% obtuvo una adquisición nula, logra alcanzar una adquisición
baja del nivel 2 de razonamiento.
Tabla 13
Grados de adquisición nivel 1 y 2 de Sexto Año Básico pre-test. Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 2 Pre-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 25,0 4 100,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 1 25,0 0 0,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia. Al finalizar la intervención (ver tabla 14), queda en evidencia un incremento en los
porcentajes de los grados de adquisición alcanzados por los estudiantes en los
niveles 1 y 2 de razonamiento, del curso multigrado.
Tabla 14
Resultados post-test en estudiantes de Quinto y Sexto multigrado
Fuente: Elaboración propia.
Resumen resultados post-test Quinto y Sexto Año Básico Nº Alumno Curso Gr(Nivel 1) Gr(Nivel 2)
1 5º Básico 77,77 % Alta 28,33 % Baja 2 5º Básico 79,44 % Alta 41,66 % Intermedia 3 5º Básico 97,77 % Completa 96,66 % Completa 4 6º Básico 100,00 % Completa 89,16 % Completa 5 6º Básico 100,00 % Completa 93,33 % Completa 6 6º Básico 100,00 % Completa 89,16 % Completa 7 6º Básico 100,00 % Completa 88,33 % Completa
56
Al finalizar la investigación (ver tabla 15) y, en relación al nivel 1 de razonamiento,
se observa una distribución entre los grados de adquisición alta y completa,
concentrándose mayormente (71%) en la categoría completa. En relación al nivel 2,
los resultados se distribuyen entre los grados de adquisición bajo y completa donde,
un gran porcentaje (71,43%) alcanza un grado de adquisición completo.
Tabla 15
Grado de adquisición del nivel 1 y 2 del curso multigrado post-test. Grado de adquisición Nivel 1 Post-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 0 0,0 1 14,3 Intermedia 0 0,0 1 14,3 Alta 2 28,6 0 0,0 Completa 5 71,4 5 71,4 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En el curso de Quinto Año Básico (ver tabla 16), al finalizar la intervención y, en
relación al nivel 1 de razonamiento, se observa una distribución de los datos entre
las categorías alta y completa, habiendo un porcentaje mayor (66,7%) en el grado
de adquisición alto. En relación al nivel 2 los resultados se distribuyen, con el mismo
porcentaje (33,3%) entre tres grados de adquisición; bajo, intermedio y completa.
Tabla 16 Grados de adquisición de nivel 1 y 2 de Quinto Año Básico post-test Grado de adquisición Nivel 1 Post-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 0 0,0 1 33,3 Intermedia 0 0,0 1 33,3 Alta 2 66,7 0 0,0 Completa 1 33,3 1 33,3 Total 3 100 3 100,0
Fuente: Elaboración propia. En el curso de Sexto Año Básico (ver tabla 17), los resultados finales de los
estudiantes, indican que el 100% de los estudiantes, logra alcanzar una adquisición
completa en el nivel 1 y 2.
57
Tabla 17
Grados de adquisición del nivel 1 y 2 de Sexto Año Básico post-test
Grado de adquisición Nivel 1 Post-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 4 100,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
58
4.1.2 Resultados por estudiante
A continuación se presentan los porcentajes de los grados de adquisición por cada
atributo en las pruebas pre-test y post-test de cada participante del estudio.
Los resultados del participante 1 (ver tabla 18), perteneciente al 5º Año Básico,
muestran que en el pre-test, logra alcanzar un grado de adquisición nulo (8,88%) en
el nivel 1, y que hay ausencia de razonamiento de nivel 2, pudiendo solamente
responder y de forma errónea e incompleta los ítem donde es preciso identificar
cuadriláteros, unidades de medida, interior y contorno de figuras y construir
cuadriláteros a partir de unidades cuadradas.
Respecto al post- test, se muestra un aumento en el nivel 1, alcanzando un alto
grado de adquisición (77,77%), pudiendo responder de forma correcta y completa
los ítems que es requerido identificar cuadriláteros, construir cuadriláteros a partir
de unidades cuadradas, descomponer figuras en cuadrados y rectángulos y de
calcular áreas a partir de otras más pequeñas. En lo relacionado a perímetro y área
responde de forma incorrecta y muy incompleta, donde precede una
reconfiguración.
También se evidencia un aumento en el uso del nivel 2 de razonamiento,
alcanzando un grado de adquisición bajo (28,33%), donde responde los ítem de
cálculo de perímetro y área de una manera a) correcta e incompleta y, b) incorrecta
y completa. Además, relaciona perímetros y áreas con la forma de las figuras,
justificando de manera bastante completa. Reconfigura con errores y justificando
incorrectamente y de forma incompleta y, no construye cuadrilátero de acuerdo a
perímetro y área, propiedades y otras características.
59
Tabla 18
Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº1. Estudiante Nº1 Quinto Año Básico
ÍTEM
ATRIBUTO
PORCENTAJE Y GRADO
ADQUISICIÓN PRE- TEST
PORCENTAJE GRADO
ADQUISICIÓN POST- TEST
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1
Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
20% 100%
1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros
20% 80%
Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros
20% 0%
2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas
20% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 25%
3
Descompone superficies en cuadrados y Rectángulos
0% 100%
Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 75%
4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras
0% 50%
5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas
0% 20%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 20% 0%
6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características
0% 0%
Ponderación total 8,88% 0% 77,77% 28,33%
Fuente: Elaboración propia.
60
Del participante 2, de 5º Año Básico (ver tabla 19), en el pre-test, logra alcanzar una
adquisición baja (25,55%) del nivel 1 de razonamiento, habiendo ausencia completa
del nivel 2. El ítem que es respondido de forma correcta y completa corresponde al
de identificación de interior y contorno de figuras. Además, identifica de manera
completa, aunque con errores, cuadriláteros en contexto local. De acuerdo al cálculo
de perímetro y área, es respondido con errores y de forma muy incompleta. No logra
responder los ítem donde es necesario descomponer figuras en cuadrados y
rectángulos, y tampoco obtiene áreas a partir de la unión de otras más pequeñas.
Respecto al post-test, existe un aumento en los grados de adquisición de ambos
niveles, alcanzando un alto grado (79,44%) en el nivel 1, y una adquisición
intermedia en el nivel 2 (41,66%). El ítem de identificación de cuadriláteros es
respondido de manera incorrecta, aunque los procedimientos son válidos y
completos. Los demás ítems son respondidos de forma clara, completa y correcta,
aunque no resuelve completamente los problemas. Responde con un alto nivel,
aunque matemáticamente incorrecto, el cálculo de perímetro y área donde, es
preciso descomponer figuras en cuadrados y rectángulos previamente, pero no
logra responder en nivel 2, cuando previamente es preciso construir un cuadrilátero.
Del mismo modo, el ítem referido a relacionar perímetro y área con forma de figuras,
es respondido en un alto nivel, pero de forma incorrecta. Reconfigura figura de
manera incompleta y errónea y, por último, construye cuadrilátero a partir de
perímetro y área de forma correcta y completa, sin embargo, no logra responder
completamente al ítem.
61
Tabla 19
Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº2. Estudiante Nº2 Quinto Año Básico
ÍTEM
ATRIBUTO
PORCENTAJE Y GRADO
ADQUISICIÓN PRE- TEST
PORCENTAJE GRADO
ADQUISICIÓN POST- TEST
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1
Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
50% 75%
1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros
100% 80%
Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros
20% 80%
2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas
20% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
20% 0% 80% 0%
3
Descompone superficies en cuadrados y Rectángulos
0% 100%
Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
20% 0% 100% 75%
4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras
0% 75%
5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas
0% 20%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 0% 0%
6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características
0% 80%
Ponderación total 25,55% 0% 79,44% 41,66%
Fuente: Elaboración propia.
62
Del participante 3, de 5º Año Básico (ver tabla 20), en el pre-test, alcanza una
adquisición baja en ambos niveles de razonamiento donde, en el nivel 1 alcanza el
21,11%, y en el nivel 2 16,66%. Reconoce cuadriláteros e identifica unidades de
medida de forma muy incompleta y errónea. Logra identificar interior y contorno de
figura justificando de manera bastante completas. Logra construir cuadrilátero a
partir de unidades cuadradas de forma correcta y completa. Los demás ítems de
este nivel, son respondidos con respuestas no codificables o no son respondidos.
Respecto al nivel 2 del pre-test, justifica de forma breve y pobre la relación entre
perímetro y área con forma de figura. Y También, construye cuadrilátero a partir de
perímetro, área y otras características, haciendo uso de un alto nivel, donde
responde de forma correcta y bastante completa, aunque no responde la totalidad
del ítem.
En el post-test, existe un aumento en los grados de adquisición en los niveles 1 y 2,
alcanzando un grado de adquisición completa en ambos niveles de razonamiento,
siendo en el primero un 97,77% y en el segundo, un 96,66%.
Del nivel 1, el ítem de identificación de unidades de medida para perímetro y área
es respondido de forma correcta y completa, aunque no responde completamente
el ítem. Los demás ítem son respondidos con un alto uso del nivel de razonamiento,
siendo respondidos completamente y de forma correcta.
Del nivel 2, los ítems fueron respondidos con un alto uso del nivel de razonamiento,
siendo contestados de forma muy completa y correcta, salvo el ítem de construcción
de cuadriláteros a partir de perímetro y área, el cual no pudo ser respondido
completamente, pero los procedimientos son válidos.
63
Tabla 20
Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº3. Estudiante Nº3 Quinto Año Básico
ÍTEM
ATRIBUTO
PORCENTAJE Y GRADO
ADQUISICIÓN PRE- TEST
PORCENTAJE GRADO
ADQUISICIÓN POST- TEST
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1
Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
20% 100%
1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros
50% 100%
Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros
20% 80%
2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas
100% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 100%
3
Descompone superficies en cuadrados y Rectángulos
0% 100%
Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 100%
4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras
20% 100%
5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 100%
6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características
80% 80%
Ponderación total 21,11% 16,66% 97,77% 96,66%
Fuente: Elaboración propia.
64
El participante 4, de 6to Año Básico (ver tabla 21), en el pre-test alcanza una
adquisición nula (8,88%) en el nivel 1, siendo respondidos erróneamente y de forma
incompleta los ítems donde tienen que identificar cuadriláteros, interiores y
contornos, unidades de medida, y también, y donde es preciso construir cuadrilátero
a partir de unidades cuadradas. Los demás ítems son respondidos con respuestas
no codificables o no son respondidos. Y por último, no se evidencia la presencia del
uso del nivel 2.
Respecto al post-test, logra alcanzar una adquisición completa en los niveles 1 y 2,
siendo el 100% y 89,16% respectivamente donde, todas las respuestas del nivel 1,
son respondidas de forma correcta y completa. Además, se evidencia un alto uso
del nivel 2, calculando el perímetro y área de forma; a) correcta y completa y b)
correcta y completa, pero no responde directamente al problema. Del mismo modo,
relaciona con un alto nivel las formas de las figuras, con el perímetro y área,
respondiendo de una forma completa, pero con errores matemáticos. Y por último,
responde con un alto nivel al construir un cuadrilátero a partir de perímetro , área y
otras características.
65
Tabla 21
Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº4. Estudiante Nº4 Sexto Año Básico
ÍTEM
ATRIBUTO
PORCENTAJE Y GRADO
ADQUISICIÓN PRE- TEST
PORCENTAJE GRADO
ADQUISICIÓN POST- TEST
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1
Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
20% 100%
1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros
20% 100%
Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros
20% 100%
2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas
20% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 100%
3
Descompone superficies en cuadrados y Rectángulos
0% 100%
Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 100%
4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras
0% 75%
5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 80%
6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características
0% 80%
Ponderación total 8,88% 0% 100% 89,16% Fuente: Elaboración propia.
66
El participante 5, de 6º año básico (ver tabla 22), en el pre-test, alcanza un grado
de adquisición alto (76,66%) en el nivel 1, donde alcanza un alto uso de este nivel
en los ítem donde es necesario; identificar cuadriláteros, interiores y contornos,
construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas, y descomponer superficies
en cuadrados y rectángulos. Identifica interiores y contornos con un uso medio del
nivel, respondiendo de forma completa, y con un bajo uso los ítem donde es
requerido calcular perímetro y áreas, respondiendo de forma incompleta y con
errores. Respecto al nivel 2, alcanza un grado de adquisición nulo (12,50%), no
pudiendo; relacionar perímetro y área con forma de figuras, construir cuadriláteros
a partir de perímetro, áreas y otras características, y calcular perímetro y área.
Responde con un uso medio de este nivel, el ítem donde se requiere calcular
perímetro y área, posteriormente a descomponer figura en cuadrados y rectángulos.
Y por último, realiza reconfiguraciones correctamente, pero de forma incompleta.
En el post-test, alcanza una adquisición completa en ambos niveles de
razonamiento, siendo de 100% el nivel 1, y de 93,33% el nivel 2. Respondiendo de
una manera correcta y completa todos los ítems, salvo el que es requerido construir
un cuadrilátero a partir de perímetro, área y otras características, y el de cálculo de
perímetro y área donde, previamente es requerido descomponer figura en
cuadrados y rectángulos, que se responden de manera completa y correcta, aunque
no llegan a responder la totalidad del ítem.
67
Tabla 22
Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº5. Estudiante Nº5 Sexto Año Básico
ÍTEM
ATRIBUTO
PORCENTAJE Y GRADO
ADQUISICIÓN PRE- TEST
PORCENTAJE GRADO
ADQUISICIÓN POST- TEST
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1
Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
100% 100%
1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros
100% 100%
Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros
50% 100%
2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas
100% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
20% 0% 100% 100%
3
Descompone superficies en cuadrados y rectángulos
100% 100%
Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas
100% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
100% 50% 100% 80%
4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras
0% 100%
5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas
25% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
20% 0% 100% 100%
6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características
0% 80%
Ponderación total 76,66% 12,50% 100% 93,33%
Fuente: Elaboración propia.
68
El participante 6, de 6º Año Básico (ver tabla 23), alcanza un grado de adquisición
bajo (32,22%) del nivel 1, donde se evidencia un alto uso de este nivel, en los ítem
donde es preciso identificar cuadriláteros y construir cuadrilátero a partir de
unidades cuadradas, siendo respondidos de manera correcta y completa. Calcula
perímetro y área de manera; a) completa, en ítem de construcción, b) incompleto y
con errores en ítem de reconfiguración y c) sin respuesta, en ítem de
descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos. Respecto al nivel 2, alcanza
una adquisición nula (12,50%), respondiendo de manera: correcta e incompleta,
ítem de relación de perímetro y área con forma de figura, y completa, el de
reconfiguración de figura.
Del post-test, alcanza un grado completo del nivel 1 y 2, siendo de 100% y 89,16%
respectivamente, respondiendo la totalidad de los ítem de una manera correcta y
completa, salvo los ítem donde es requerido calcular perímetro y área
posteriormente a descomponer figura en cuadrados y rectángulos, construir
cuadrilátero a partir de perímetro, área y otras características, que se responden de
forma correcta y completa, pero no se contesta la totalidad de los ítem, y el de
cálculo de perímetro y área, posteriormente a reconfigurar figuras, el cual es
respondido de forma completa pero con errores matemáticos, aunque con
procedimientos válidos.
69
Tabla 23
Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº6. Estudiante Nº6 Sexto Año Básico
ÍTEM
ATRIBUTO
PORCENTAJE Y GRADO
ADQUISICIÓN PRE- TEST
PORCENTAJE GRADO
ADQUISICIÓN POST- TEST
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1
Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
100% 100%
1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros
0% 100%
Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros
20% 100%
2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas
100% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
50% 0% 100% 100%
3
Descompone superficies en cuadrados y rectángulos
0% 100%
Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 80%
4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras
25% 100%
5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas
50% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
20% 0% 100% 75%
6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características
0% 80%
Ponderación total 32,22% 12,50% 100% 89,16%
Fuente: Elaboración propia.
70
El participante 7, de 6º Año Básico (ver tabla 24), alcanza un grado de adquisición
intermedio (51,11%) en el nivel 1 donde, logra responder con un alto uso del nivel
los ítem de; identificación de cuadriláteros, interiores y contornos, y obtención de
áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas, donde las respuestas son
bastante completas y correctas. Además, existe un uso medio del nivel en ítem
donde es necesario descomponer figuras en cuadrados y rectángulos, y calcular
perímetro y área donde es necesario realizar descomposición antes mencionada,
siendo respuestas completas. Y también, existe un bajo uso del nivel, en los ítem
donde identifica unidades de medida, construir cuadriláteros a partir de unidades
cuadradas y obtener perímetro y área posteriormente a reconfigurar figuras, siendo
respuestas erróneas y muy incompletas. Respecto al nivel 2, alcanza un grado de
adquisición nulo (2,22%) donde, relaciona con errores y de forma muy incompleta,
el perímetro y área con forma de figuras y, en los demás ítems, existe ausencia de
este nivel.
En el post-test, alcanza un grado de adquisición completo en ambos niveles, siendo
de 100% en nivel 1 y 88,33% en el nivel 2, respondiendo de manera muy completa
y correcta, todos los ítem, salvo ítem de construcción de cuadrilátero a partir de
perímetro, área y otras características, el cual es respondido de manera muy
completa y correcta, aunque no llega a contestar el ítem en su totalidad, y el de
cálculo de perímetro y área posteriormente a descomponer figura en cuadrados y
rectángulos, que es respondido de manera completa.
71
Tabla 24
Porcentajes de los grados de adquisición en pre-test y post-test de estudiante Nº7. Estudiante Nº7 Sexto Año Básico
ÍTEM
ATRIBUTO
PORCENTAJE Y GRADO
ADQUISICIÓN PRE- TEST
PORCENTAJE GRADO
ADQUISICIÓN POST- TEST
Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 1
Identifica visualmente objetos de contexto local, que tengan características comunes relacionadas con los cuadriláteros
100% 100%
1.1 Identifica interior y contorno de cuadriláteros
100% 100%
Identifican unidades de medida para medir interiores y contorno de cuadriláteros
20% 100%
2 Construye cuadriláteros a partir de unidades de cuadrículas
20% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
0% 0% 100% 100%
3
Descompone superficies en cuadrados y Rectángulos
50% 100%
Obtiene áreas a partir de la suma de áreas más pequeñas
100% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
50% 0% 100% 50%
4 Relaciona perímetro y área con formas de figuras
20% 100%
5 Reconfigura figuras para calcular perímetros y áreas
0% 100%
Obtiene área y perímetro de diferentes cuadriláteros, utilizando unidades de medida estandarizadas y no estandarizada
20% 0% 100% 100%
6 Construye cuadriláteros a partir de perímetros, áreas y otras características
0% 80%
Ponderación total 51,11% 2,22% 100% 88,33% Fuente: Elaboración propia.
72
4.1.3 Resultados por atributos involucrados en ítems de pre-test y post-test
Posteriormente, se presenta el análisis descriptivo de los atributos involucrados en
cada ítem de las pruebas pre-test y post-test, considerando los grados de
adquisición y niveles de razonamiento que los estudiantes obtuvieron,
ejemplificando en el nivel superior de cada atributo.
La tabla 25 da cuenta que, los resultados iniciales en relación a la identificación de
cuadriláteros en un contexto local, se distribuyen en las categorías baja, intermedia
y completa, donde el mismo porcentaje de los estudiantes (42,86%) está en el grado
de adquisición baja y completa. Respecto a los resultados arrojados en el post-test,
se evidencia un aumento en los grados de adquisición, ya que, los datos se
distribuyen en los dos más altos grados de adquisición, concentrándose un mayor
porcentaje (85,71%) en la categoría completa, indicando que existe un domino total
al momento de identificar cuadriláteros en un contexto local, basándose en
características físicas propias del nivel.
Tabla 25
Resultados iniciales y finales de identificación de cuadriláteros curso multigrado.
Ítem 1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 3 42,9 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 1 14,3 Completa 3 42,9 6 85,7 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
73
Queda en evidencia en el la tabla 26 que, los estudiantes de Quinto Año Básico,
incrementaron su grado de adquisición en relación a la identificación de
cuadriláteros en un contexto local donde, los resultados iniciales se sitúan entre los
grados de adquisición baja e intermedia, concentrándose mayormente (66,7%) en
el grado de adquisición bajo. Y los resultados finales, se distribuyen entre las
categorías alta y completa, habiendo una mayor concentración (66,7%) en el grado
de adquisición completo.
Tabla 26
Resultados iniciales y finales de identificación de cuadriláteros en curso de Quinto
Año Básico. Ítem 1, Nivel abarcado: N1
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 2 66,7 0 0,0 Intermedia 1 33,3 0 0,0 Alta 0 0,0 1 33,3 Completa 0 0,0 2 66,7 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
74
En la figura 2, en el post-test, el estudiante de Quinto Año Básico identifica las
figuras que son cuadriláteros y no cuadrilateritos, dando características, utilizando
el concepto lados en su respuesta.
En la tabla 27 se observa que, en Sexto Año Básico, los resultados obtenidos en el
pre-test, respecto a la identificación de cuadriláteros, se distribuyen en los grados
de adquisición nula y completa, concentrándose mayormente (75%) en la categoría
completa. Al finalizar la intervención, queda en evidencia un aumento en los grados
de adquisición de los estudiantes, puesto que, el 100% de los participantes de este
curso, alcanzaron una adquisición completa en este ítem.
Tabla 27
Resultados iniciales y finales de identificación de cuadriláteros en curso de Sexto
Año Básico. Ítem 1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 3 75,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 2. Ejemplo de respuesta identificación de cuadriláteros, estudiante 5º básico. Fuente: respuesta E3.
75
En la figura 3, los estudiantes de sexto año básico, identifican figuras que son
cuadriláteros y las que no lo son, utilizando el concepto lado que, además agregan
la característica de ser recto y en las figuras que no son cuadriláteros, agrega la
característica de ser curvo.
En la tabla 28 queda en evidencia que, existe un incremento en los resultados
obtenidos al finalizar la intervención, en relación a la identificación de interior y
contorno de cuadriláteros de los estudiantes del curso multigrado, ya que, los grados
de adquisición iniciales de los estudiantes se distribuyen entre las categorías nula,
baja, intermedia y completa, habiendo una mayor concentración en la adquisición
completa (42,9%), y en el estado final, los datos varían entre las categorías alta y
completa, habiendo la mayor concentración de estudiantes (71,4%), en el grado de
adquisición completo, donde logran identificar interiores y contornos de
cuadriláteros para el cálculo de perímetro y área, de acuerdo a atributos físicos.
Tabla 28
Resultados iniciales y finales de identificación interior y contorno de cuadriláteros
en curso multigrado. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 14,3 0 0,0 Baja 2 28,6 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 2 28,6 Completa 3 42,9 5 71,4 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 3. Ejemplos de respuestas identificación de cuadriláteros, estudiantes 6º básico. Fuente: Respuesta E5 y E7.
76
La tabla 29, muestra el aumento en los grados de adquisición obtenidos en el curso
de Quinto Año Básico, respecto a la identificación de interior y contorno de
cuadriláteros ya que, en el estado inicial, los resultados muestran una distribución
que varía entre los grados de adquisición baja, intermedia y completa, donde se
encuentra el mismo porcentaje de estudiantes (33,3%) en cada categoría. Y el
estado final de los estudiantes, varían entre las categorías alta y completa,
concentrándose una mayor porcentaje de estudiantes (66,7%) en el grado de
adquisición alta.
Tabla 29
Resultados iniciales y finales de identificación interior y contorno de cuadriláteros en
curso de Quinto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 1 33,3 0 0,0 Intermedia 1 33,3 0 0,0 Alta 0 0,0 2 66,7 Completa 1 33,3 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia. En la figura 4, los estudiantes de Quinto año Básico al terminal la intervención,
identifican el contorno y el interior de las figuras, señalando de forma pictórica y
señalando colores.
Figura 4. Ejemplos de respuestas identificación de interior y contorno de cuadriláteros, 5º básico. Fuente: Respuesta E2 y E3.
77
La tabla 30, da cuenta del aumento en los grados de adquisición obtenidos en el
curso de Sexto Año básico, respecto a la identificación de interior y contorno de
cuadriláteros ya que, en el estado inicial, los resultados muestran una distribución
que varía entre los grados de adquisición nula, baja y completa, donde se encuentra
un porcentaje mayor de estudiantes (50%) en la categoría completa. Y el estado
final de los estudiantes, de acuerdo a los datos del post-test, muestra que el 100%
de los estudiantes de sexto, logra alcanzar el grado adquisición completo.
Tabla 30
Resultados iniciales y finales de identificación interior y contorno de cuadriláteros en
curso de Sexto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 25,0 0 0,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 2 50,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia. En la figura 5, los estudiantes de Sexto Año Básico, los estudiantes señalan interior
y contorno señalando colores y, además, señalan que el inter se mide con el área y
el contorno con el perímetro.
Figura 5. Ejemplos de respuestas identificación de interior y contorno de cuadriláteros, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E5.
78
Respeto a la identificación y descripción de unidades de medida (ver tabla 31), los
resultados del pre-test muestran que los datos se distribuyen entre las categorías
baja e intermedia, donde la mayor concentración está en el grado de adquisición
bajo (85,7%). El estado final de los estudiantes varía entre los grados de adquisición
nulo, alto y completo, habiendo un 85,7% de los participantes en las categorías alta
y completa donde, logrando identificar unidades de medida cuadradas para el
cálculo de área, y no cuadradas para el cálculo de perímetro.
Tabla 31
Resultados iniciales y finales de Identificación y descripción de unidades de medidas
en curso multigrado. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 1 14,3 Baja 6 85,7 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 2 28,6 Completa 0 0,0 4 57,1 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
El estado inicial de los estudiantes de Quinto Año Básico (ver tabla 32), de acuerdo
a los datos del pre-test de este atributo, corresponde al grado de adquisición baja,
donde el 100% de los estudiantes se encuentra en esta categoría. Y en el estado
final, se evidencia un aumento en los grados de adquisición, situando un porcentaje
mayor (66,7%) de los estudiantes en el grado de adquisición alto.
79
Tabla 32
Resultados iniciales y finales de Identificación y descripción de unidades de medidas
en Quinto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 1 33,3 Baja 3 100,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 2 66,7 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 6, los estudiantes de Quinto Año Básico en el post-test, responde que para medir el interior y el contorno se utiliza el área y el perímetro, explicando como calcularlo.
Respecto a Sexto Año Básico (ver tabla 33), se evidencia un aumento considerable
entre los resultados del pre-test y post-test, en relación a la identificación y
descripción de unidades de medida, puesto que los resultados iniciales muestran
una distribución entre los grados de adquisición bajo e intermedia, y al finalizar, el
100% de los estudiantes logra una adquisición completa.
Figura 6. Ejemplos de respuesta identificación y descripción unidades de medida, 5º básico. Fuente: Repuesta E2 yE3.
80
Tabla 33
Resultados iniciales y finales de Identificación y descripción de unidades de medidas
en Sexto Año Básico. Ítem 1.1, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 3 75,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia. En la figura 7, en el post-test, los estudiantes de Sexto Año Básico señalan que
medirían interiores con unidades cuadradas y contorno con unidades no cuadradas
En la tabla 34, queda en evidencia el aumento en los grados de adquisición entre el
estado inicial y final, respecto a la construcción de cuadriláteros a partir de unidades
cuadradas, puesto que, los datos obtenidos del pre-test, muestran que los
estudiantes están entre el grado de adquisición alto y completo, donde el 57,1%
está en la categoría baja. Y el estado final de los estudiantes, de acuerdo a los datos
obtenidos del post-test, señalan que todos los estudiantes del curso multigrado,
alcanzan un grado de adquisición completo, pudiendo construir cuadriláteros a partir
de unidades cuadrada.
Figura 7. Ejemplos de respuestas identificación y descripción unidades de medida, 6º básico. Fuente: Respuesta E5 y E6.
81
Tabla 34
Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros a partir de unidades
cuadradas en el curso multigrado. Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 4 57,1 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 3 42,9 7 100,0 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia. La tabla 35, muestra un aumento en los grados de adquisición, respecto al atributo
de construcción de cuadriláteros a partir de unidades cuadradas de los estudiantes
de Quinto Año Básico, ya que, de acuerdo a los resultados iniciales, la distribución
está entre los grados de adquisición baja y completa, donde se concentra
mayormente (66,7%) en la categoría baja. Y el estado final, de acuerdo a resultados
de post-test, el 100% de los estudiantes de este curso logra estar en la categoría
completa.
Tabla 35
Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros a partir de unidades
cuadradas en Quinto Año Básico. Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 2 66,7 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 33,3 3 100,0 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
82
En la figura 8, los estudiantes de Quinto Año Básico, construyen cuadriláteros,
señalando las medidas de las dimensiones
En sexto Año Básico (ver tabla 36), los estudiantes lograron mejoría en los grados
de adquisición, respecto a la construcción de cuadriláteros a partir de unidades
cuadradas ya que, en el estado inicial, los porcentajes se divide entre los grados de
adquisición bajo y completo, y al finalizar la intervención, el 100% de los estudiantes
logra alcanzar la categoría completa.
Tabla 36
Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros a partir de unidades
cuadradas en Sexto Año Básico. Ítem 2, Nivel abarcado: N1
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 0 0,0 0 0,0 Baja 2 50,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 2 50,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 8. Ejemplos de respuestas construcción de cuadriláteros, 5º básico. Fuente: Respuesta E2 y E3.
83
En la figura 9, los estudiantes de Sexto Año Básico, construyen cuadriláteros
señalando las medidas de las dimensiones donde, además, se señala que las
cuadriculas son iguales.
La tabla 37, muestra que los resultados iniciales del cálculo de perímetro y área del
curso multigrado del nivel 1, varían entre los grados de adquisición nula, baja e
intermedia, concentrándose el mayor porcentaje de los estudiantes (57,14%), en la
categoría nula. Respecto a los datos que muestra el post-test, el estado final indica
que el 100% de los estudiantes alcanza las categorías alta y completa donde, el
85,71% de los estudiantes, alcanza el grado de adquisición completo de este nivel.
Al terminar la intervención, los participantes calculan perímetro y áreas basándose
en conteo de unidades cuadradas y no cuadradas.
Figura 9. Ejemplos de respuestas construcción de cuadriláteros, 6º básico. Fuente: Repuesta E6 y E7.
84
Tabla 37
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área curso multigrado. Ítem
2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 57,1 0 0,0 Baja 2 28,6 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 1 14,3 Completa 0 0,0 6 85,7 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En relación al Quinto Año Básico (ver tabla 38), los estudiantes, al iniciar la
intervención, logran alcanzar los grados de adquisición nulo y baja, donde el 66,7%
está en la categoría nula. Y de acuerdo al post-test, los datos muestran que los
participantes de este curso logran alcanzar los grados de adquisición alta y
completa, estando el 66,7% en la categoría completa.
Tabla 38
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Quinto Año Básico.
Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 66,7 0 0,0 Baja 1 33,3 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 1 33,3 Completa 0 0,0 2 66,7 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
85
En la figura 10, el estudiante de Quinto Año Básico, calcula área y perímetro no
utilizando unidades de medida en sus respuestas.
Los grados de adquisición de los estudiantes de Sexto Año Básico (ver tabla 39),
respecto al nivel 1 del cálculo de perímetro y área, indica que varían entre las
categorías nula, baja e intermedia, donde el 50% de los participantes tiene una
adquisición nula. y respecto al estado final, el 100% de los participantes logra el
grado de adquisición completo.
Tabla 39
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Sexto Año Básico.
Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 10. Ejemplo de respuesta cálculo de perímetro y área N1, 5º básico. Fuente: Respuesta E2.
86
En la figura 11, los estudiantes de Sexto Año Básico, calculan perímetro y área
utilizando unidades de medida, señalando el uso de unidades cuadradas cuando se
refiere al área, y no cuadrada cuando se refiere a perímetro.
En la tabla 40 se observa que, en el estado inicial del curso multigrado, al nivel 2
del cálculo de perímetro y área, el 100% de los estudiantes está en la categoría
nula. Y, los datos del post-test, muestra una distribución de los datos entre las
categorías nula, baja y completa, donde queda en evidencia que, la mayor
concentración de los estudiantes (71,4%), alcanza un grado de adquisición
completo, donde son capaces de calcular el perímetro y área con uso de
definiciones y unidades de medidas.
Tabla 40
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del curso multigrado.
Ítem 2, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 7 100,0 1 14,3 Baja 0 0,0 1 14,3 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 5 71,4 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 11. Ejemplos de respuestas cálculo de perímetro y área N1, 6º básico. Fuente: Respuesta E5 y E7.
87
En Quinto Año Básico (ver tabla 41), de acuerdo a este atributo, el 100% de los
estudiantes tiene un grado de adquisición nulo del nivel 2 al iniciar la intervención.
Y al finalizar, los resultados del post-test indican que los datos se distribuyen con el
mismo porcentaje (33,3%) entre las categorías nula, baja y completa.
Tabla 41
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Quinto Año Básico.
Ítem 2, Nivel abarcado: N2
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 12, el estudiante de Quinto Año Básico calcula el perímetro y área
utilizando unidades de medida cuadradas cuando se refiere a área, y no cuadradas
cuando calcula perímetro, explicando además, como obtener dichos cálculos.
Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 1 33,3 Baja 0 0,0 1 33,3 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0
Figura 12. Ejemplo de respuesta cálculo de perímetro y área N2, 5º básico. Fuente: Respuesta E3.
88
Del Sexto Año Básico (ver tabla 42), de acuerdo a los resultados al iniciar y finalizar
la intervención, queda en evidencia un incremento considerable entre los datos
obtenidos en el pre-test, y post-test, donde el 100% de los estudiantes, de un grado
de adquisición nulo, alcanza la categoría completa.
Tabla 42
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Sexto Año Básico.
Ítem 2, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia. En la figura 13, los estudiantes de Sexto Año Básico de calcular perímetro y área
utilizando unidades cuadradas, cuando se refiere a área, y no cuadradas cuando se
refiere a perímetro, explicando como se obtiene dichas mediciones.
Figura 13. Ejemplos de respuestas cálculo de perímetro y área N2, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E6.
89
En la tabla 43, queda en evidencia un aumento en los grados de adquisición,
respecto a la descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos en el curso
multigrado, ya que los resultados iniciales muestran una distribución de los datos en
las categorías nula, intermedia y completa, concentrándose el mayor porcentaje
(71,4%) de los estudiantes en el grado de adquisición nula. Y al terminal la
intervención, el 100% de los estudiantes logra el grado de adquisición completo,
pudiendo descomponer figuras para calcular perímetro y área de sectores más
pequeños.
Tabla 43
Resultados iniciales y finales de descomposición de figuras en cuadrados y
rectángulos en curso multigrado. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 5 71,4 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 14,3 7 100,0 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
De acuerdo a los resultados iniciales y finales que muestra la tabla 44, se evidencia
un aumento de los grados de adquisición de los estudiantes de Quinto Año Básico
respecto a este atributo ya que, de acuerdo a los datos obtenidos en el pre-test, los
participantes de este curso, solo logran estar en el grado de adquisición nula y al
finalizar la intervención, el 100% de los estudiantes, alcanzan el grado de
adquisición completo.
90
Tabla 44
Resultados iniciales y finales de descomposición de figuras en cuadrados y
rectángulos en Quinto Año Básico. Ítem 3,Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 3 100,0 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 14, los estudiantes de Quinto Año Básico, descomponen figura en
diferentes cuadriláteros.
Respecto a los estudiantes de Sexto Año Básico (ver tabla 45), los resultados
muestran un aumento en los grados de adquisición, de acuerdo al atributo de
descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos donde, los resultados del
pre-test, indican que el 75% de los participantes de este curso, está en la categoría
nula e intermedia, concentrándose mayormente (50%) el grado de adquisición nulo.
Y de acuerdo a los resultados obtenidos al finalizar la intervención, en este curso,
la totalidad de los estudiantes alcanzan el grado de adquisición completo.
Figura 14. Ejemplos de respuesta descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos, 5º básico. Fuente: Respuesta E1 y E3.
91
Tabla 45
Resultados iniciales y finales de descomposición de figuras en cuadrados y
rectángulos en Sexto Año Básico. Ítem 2, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 25,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 15, los estudiantes de Sexto Año Básico, descomponen figura en
cuadriláteros
.
Respecto al estado inicial y final de los estudiantes del curso multigrado (ver tabla
46), y de acuerdo a la suma de áreas de cuadriláteros, se evidencia un aumento en
los grados de adquisición utilizados en post-test ya que, al iniciar la intervención, el
71,4% de los estudiantes logra trabajar con un grado de adquisición nulo. Y al
terminar, el 100% alcanza un grado de adquisición completo, donde los estudiantes
logran obtener áreas a partir de la suma de un conjunto de áreas más pequeñas.
Figura 15. Ejemplos de respuesta descomposición de figuras en cuadrados y rectángulos, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E6.
92
Tabla 46
Resultados iniciales y finales de suma de áreas de cuadriláteros en curso
multigrado. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 5 71,4 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 2 28,6 7 100,0 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
De acuerdo a los datos de la tabla 47, en el estado inicial y final de los estudiantes
de Quinto Año Básico, se evidencia un aumento en los grados de adquisición, ya
que, de acuerdo a los datos obtenidos en el pre- test, el 100% de los estudiantes
logra trabajar con un grado de adquisición nulo respecto a este atributo. Y el estado
final de los estudiantes de este curso, teniendo en cuenta los resultados arrojados
por el post-test, es que el 100% logra la adquisición completa.
Tabla 47
Resultados iniciales y finales de suma de áreas de cuadriláteros en Quinto Año
Básico. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 3 100,0 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
93
En la figura 16, el estudiante de Quinto Año Básico, suma áreas de cuadriláteros
para obtener área total de la figura.
Del curso de Sexto Año Básico (ver tabla 48), se evidencia también, un incremento
en los grados de adquisición utilizados, de acuerdo al estado inicial y final de los
estudiantes, donde los datos arrojados por el pre-test, indican que el 50% está en
la categoría nula, y en el estado final, el 100% de los estudiantes de este curso
logran alcanzar un grado de adquisición completo, respecto al ítem de suma de
áreas de cuadriláteros
Tabla 48
Resultados iniciales y finales de suma de áreas de cuadriláteros en Sexto Año
Básico. Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 2 50,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 16. Ejemplos de respuesta suma de áreas de cuadriláteros, 5º básico. Fuente: Respuesta E1 y E3.
94
En la figura 17, estudiantes de Sexto Básico, explican suma áreas de cuadriláteros
para obtener área total de figura.
De la tabla 49, se evidencia el incremento entre los grados de adquisición iniciales
y finales del curso multigrado, respecto al nivel 1 de razonamiento del atributo de
cálculo de perímetro y área. Indicando que, en el estado inicial, los grados de
adquisición de los estudiantes varían entre los grados de adquisición nulo, bajo,
intermedio y completo, concentrándose un mayor porcentaje (57,1%) en la
categoría nula. Y respecto al estado final, el 100% de los estudiantes logra un grado
de adquisición completo, logrando calcular perímetro y área, de acuerdo a técnicas
de conteo de unidades de medida.
Tabla 49
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del curso multigrado.
Ítem 3, Nivel abarcado: N1
Fuente: Elaboración propia.
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 57,1 0 0,0 Baja 1 14,3 0 0,0 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 14,3 7 100,0 Total 7 100,0 7 100,0
Figura 17. Ejemplos de respuesta suma de áreas de cuadriláteros, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E5.
95
La tabla 50, da cuenta de los resultados iniciales y finales en el atributo de cálculo
de perímetro y área de Quinto Año Básico que, de acuerdo a los datos del pre-test,
los grados de adquisición varían entre la categoría nula y baja, siendo la adquisición
nula de 66,7%. Y los resultados del post-test, indican que el 100% de los estudiantes
alcanza el grado de adquisición completo.
Tabla 50
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del Quinto Año Básico.
Ítem 3, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 66,7 0 0,0 Baja 1 33,3 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 3 100,0 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Y respecto al Sexto Año Básico (ver tabla 51), los resultados iniciales de este
atributo, varían entre las categorías nula intermedia y completa, donde se concentra
la mayor cantidad de estudiantes (50%) en el grado de adquisición nulo. Y de
acuerdo a los resultados del post-test, queda en evidencia un incremento en los
grados de adquisición, alcanzando el 100% de los estudiantes la categoría
completa.
Tabla 51
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del Sexto Año Básico.
Ítem 3, Nivel abarcado: N1
Fuente: Elaboración propia.
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 1 25,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
96
Respecto al nivel 2, en el curso multigrado (ver tabla 53), en su estado inicial se
evidencia que los datos se distribuyen en la categoría nula e intermedia, donde el
85,7% de los estudiantes, tiene un grado de adquisición nulo. Y en el estado final
de los participantes, se evidencia un avance en los grados de adquisición, ya que el
85,6% se encuentra en la categorías alta y completa, pudiendo calcular perímetro y
área haciendo uso de definiciones, y donde previamente es necesario realizar
descomposiciones de figuras.
Tabla 52
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en curso multigrado.
Ítem 3, Nivel abarcado: N2
Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 6 85,7 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 1 14,3 1 14,3 Alta 0 0,0 4 57,1 Completa 0 0,0 2 28,6 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En el curso de Quinto Año Básico (ver tabla 53), el 100% de los estudiantes está en
el grado de adquisición nulo, en el atributo de cálculo de perímetro y área del nivel
2 de razonamiento. Y de acuerdo al estado final, el 100% de los estudiantes alcanza
los grados de adquisición alta y completa, siendo el 66,7% la categoría alta.
Tabla 53
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del Quinto Año Básico.
Ítem 3, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 2 66,7 Completa 0 0,0 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
97
En la figura 18, el estudiante de Quinto Año Básico, calcula perímetro y área de
figura, donde precede una descomposición en cuadriláteros, utilizando unidades
cuadradas cuando se refiere a área, y unidades no cuadradas cuando es perímetro.
Del Sexto Año Básico (ver tabla 54), el estado inicial de este atributo, varían entre
los grados de adquisición nula e intermedia, siendo la concentración mayor (75%)
en la categoría nula. Y en el post-test, los datos se distribuyen entre las categorías
intermedia, alta y completa donde, el 75% de los estudiantes, alcanza los grados de
adquisición alto y completo.
Tabla 54
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área del Quinto Año Básico.
Ítem 3, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 75,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 1 25,0 Alta 0 0,0 2 50,0 Completa 0 0,0 1 25,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 18. Ejemplos de respuesta cálculo de perímetro y área N2, 5º básico. Fuente: Respuesta E3.
98
En la figura 19, El estudiante de Sexto Año Básico, calcula perímetro y área, donde
precede una descomposición en cuadriláteros, utilizando unidades cuadradas en
área y unidades no cuadradas en perímetro.
En la tabla 55, los datos que arroja el pre-test y post-test, muestran un incremento
en los grados de adquisición al relacionar el perímetro y el área con forma de figuras,
puesto que en el estado inicial, los resultados se distribuyen entre los grados de
adquisición nulo y baja, habiendo mayor concentración de los estudiantes en la
categoría nula (57,1%). Y respecto al post-test, los resultados finales muestran que
el 85,7% está distribuido en una adquisición alta y completa, donde, la mayor
concentración (57,1%) está en la categoría completa, pudiendo relacionar formas
de figura, con el perímetro y área, donde figuras con distinta forma, tienen igual
perímetro y distinta área, igual área y distinto perímetro, e igual perímetro y área.
Figura 19. Ejemplos de respuesta cálculo de perímetro y área N2, 6º básico. Fuente: Respuesta E6.
99
Tabla 55
Resultados iniciales y finales relación de perímetro y área con forma de figuras en
curso multigrado. Ítem 4, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 57,1 0 0,0 Baja 3 42,9 0 0,0 Intermedia 0 0,0 1 14,3 Alta 0 0,0 2 28,6 Completa 0 0,0 4 57,1 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En la tabla 56, se observa un incremento en los grados de adquisición de los
estudiantes de Quinto Año Básico, de acuerdo al atributo de relación de perímetro
y área con forma de figuras donde, en el estado inicial, los datos se distribuyen entre
la categoría nula y baja, concentrándose un 66,7% en el grado de adquisición nulo.
Y al finalizar la intervención, el 66,6% alcanza una adquisición alta y completa.
Tabla 56
Resultados iniciales y finales relación de perímetro y área con forma de figuras en
Quinto Año Básico. Ítem 4, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 66,7 0 0,0 Baja 1 33,3 0 0,0 Intermedia 0 0,0 1 33,3 Alta 0 0,0 1 33,3 Completa 0 0,0 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
100
En la figura 20, el estudiante de Quinto Año Básico, relaciona figuras considerando
el área y perímetro.
Respecto a Sexto Año Básico (ver tabla 57), queda en evidencia un incremento en
los grados de adquisición logrados en el post-test respecto a este atributo ya que,
en el estado inicial de los estudiantes, se evidencia una distribución entre las
categorías nula y baja. Y en el estado final, el 100% de los estudiantes, logra
situarse en los grados de adquisición alto y completo, habiendo una mayor
concentración (75%) en la categoría completa.
Tabla 57
Resultados iniciales y finales relación de perímetro y área con forma de figuras en
Sexto Año Básico. Ítem 4, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 2 50,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 1 25,0 Completa 0 0,0 3 75,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 20. Ejemplo de respuesta relación entre formas de figuras con perímetro y área, 5º básico. Fuente: Respuesta E2.
101
En la figura 21, estudiantes de Sexto Año Básico, relacionan perímetro y área de
dos figuras.
La tabla 58, da cuenta del incremento en los grados de adquisición de los
participantes del curso multigrado, respecto al atributo de reconfiguración de figuras
donde, en el estado inicial los resultados varían entre los grados de adquisición nulo,
bajo e intermedio, donde se concentra el 71% en la categoría nula. Y en el post-
test, los datos se distribuyen en la categoría baja y completa, habiendo un 71,4%
de los estudiantes el grado de adquisición completo, donde realizan procesos de
reconfiguración de figuras, de tal modo que permita el cálculo de perímetro y área
de cuadriláteros.
Tabla 58
Resultados iniciales y finales reconfiguración de figuras del curso multigrado. Ítem
5, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 5 71,4 0 0,0 Baja 1 14,3 2 28,6 Intermedia 1 14,3 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 5 71,4 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
Figura 21. Ejemplo de respuesta relación entre formas de figuras con perímetro y área, 6º básico. Fuente: Respuesta E4 y E6.
102
Respecto al Quinto Año Básico (ver tabla 59), los resultados iniciales indican que el
100% de los estudiantes, tiene un grado de adquisición nulo en este atributo, y que,
al finalizar la intervención, queda en evidencia un incremento en los resultados,
donde el 33% de los estudiantes alcanza una adquisición completa, y el 66,7 una
baja.
Tabla 59
Resultados iniciales y finales reconfiguración de figuras del Quinto Año Básico. Ítem
5, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 2 66,7 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 22, el estudiante de Quinto Aó Básico, realiza reconfiguración de figura
para obtener cuadriláteros
Y en el Sexto Año Básico (ver tabla 60), los resultados iniciales muestran una
distribución entre las categorías nula, baja e intermedia, donde la mayor
concentración (50%) está en el grado de adquisición nulo. Y respecto a los datos
obtenidos en el post-test, el 100% de los estudiantes alcanza el grado de adquisición
completo en el atributo de reconfiguración de figuras.
Figura 22. Ejemplo de respuesta reconfiguración de figuras, 5º básico. Fuente: Respuesta E3.
103
Tabla 60
Resultados iniciales y finales reconfiguración de figuras del Sexto Año Básico. Ítem
5, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 50,0 0 0,0 Baja 1 25,0 0 0,0 Intermedia 1 25,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia. En la figura 23, los estudiantes de Sexto Año Básico, reconfiguran figuras para
obtener cuadriláteros.
En el curso multigrado (ver tabla 61), de acuerdo al estado inicial del atributo de
cálculo de perímetro y área del nivel 1 de razonamiento, el 100% de los estudiantes
logran los grados de adquisición nulo y bajo, siendo el 57,1% la categoría nula. Y
respecto al estado final de la intervención, el 71,43% logra el grado de adquisición
completo, calculando el perímetro y área de acuerdo a conteo de unidades
cuadradas y no cuadradas, donde anteriormente es preciso reconfigurar figuras.
Figura 23. Ejemplo de respuesta reconfiguración de figuras, 6º básico. Fuente: Respuesta E6 y E7.
104
Tabla 61
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en curso multigrado.
Ítem 5, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 57,1 1 14,3 Baja 3 42,9 1 14,3 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 5 71,4 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En el Quinto Año Básico (ver tabla 62), el 100% de los estudiantes inicia en el grado
de adquisición nulo, en el atributo de cálculo de perímetro y área del nivel 1 de
razonamiento, y al finalizar, los datos del post-test indican una distribución de 33,3%
en las categorías nula, baja y completa.
Tabla 62
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Quinto Año Básico.
Ítem 5, Nivel abarcado: N1
Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 1 33,3 Baja 0 0,0 1 33,3 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
El estado inicial de los estudiantes de Sexto Año Básico (ver tabla 63), respecto a
este atributo, indica que el 100% de los estudiantes está en los grados de
adquisición nulo y baja, concentrándose el 75% en la categoría baja del nivel 1 de
razonamiento. Y respecto al estado final, el 100% de los participantes de este curso,
logra el grado de adquisición completo.
105
Tabla 63
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en Sexto Año Básico.
Ítem 5, Nivel abarcado: N1 Grado de adquisición Nivel 1 Pre-test Nivel 1 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 1 25,0 0 0,0 Baja 3 75,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 4 100,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia. Respecto al nivel 2 de razonamiento de este atributo del curso multigrado (ver tabla
64), el 100% de los estudiantes inicia con un grado de adquisición nulo. Y de
acuerdo a los datos entregados por el post-test, los estudiantes se distribuyen en
las categorías nula, alta y completa, donde el 71,5% se concentra en los grados de
adquisición alto y completo, los cuales calculan perímetro y área usando
definiciones y unidades de medida, posteriormente a la reconfiguración de figuras.
Tabla 64
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área en curso multigrado.
Ítem 5, Nivel abarcado: N2
Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 7 100,0 2 28,6 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 2 28,6 Completa 0 0,0 3 42,9 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
106
El estado inicial de los participantes del Quinto Año Básico (ver tabla 65), según los
datos del pre-test, el 100% de los estudiantes están en el grado de adquisición nulo
del nivel 2 de razonamiento, respecto al atributo de cálculo de perímetro y área. Y
al terminar la intervención, los resultados del post-test, indican que los estudiantes
logran la adquisición nula y completa, habiendo una mayor concentración (66,7%)
en la categoría nula.
Tabla 65
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área de Quinto Año Básico.
Ítem 5, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 3 100,0 2 66,7 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 0 0,0 Completa 0 0,0 1 33,3 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia. En la figura 24, el estudiante de Quinto Año Básico calcula perímetro y área donde
precede una reconfiguración, utilizando unidades de medida cuadrada cuando se
calcula el área, y unidades no cuadrada cuando es perímetro.
Figura 24. Ejemplo de respuesta cálculo de perímetro y área N2, 5º básico. Fuente: Respuesta E3.
107
Respecto al Sexto Año Básico (ver tabla 66), al igual que el cuadro anterior, el
estado inicial del 100% de los estudiantes, respecto a este atributo, corresponde a
una adquisición nula del nivel 2 de razonamiento. Y de acuerdo al estado final, el
100% logra un grado de adquisición alto y completo, habiendo la misma distribución
entre ambos
Tabla 66
Resultados iniciales y finales de cálculo de perímetro y área de Sexto Año Básico.
Ítem 5, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 2 50,0 Completa 0 0,0 2 50,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 25, el estudiante de Sexto Año Básico, calcula el perímetro y área,
donde precede una reconfiguración, utilizando unidades de medida cuadrada
cuando es área, y no cuadrada cuando es perímetro.
Figura 25. Ejemplo de respuesta cálculo de perímetro y área N2, 6º básico. Fuente: Respuesta E4.
108
La tabla 67, muestra el aumento en los grados de adquisición obtenidos en el curso
multigrado, respecto a la construcción de cuadriláteros a partir de perímetro, área y
otras características, ya que, en el estado inicial, los resultados muestran una
distribución que varía entre los grados de adquisición nula (85,71%), y alta (14,3%).
Y en el estado final de los estudiantes, los datos recogidos en el post-test, varían en
las categorías nula y alta, concentrándose una mayor porcentaje de estudiantes
(85,7%) en el grado de adquisición alta, pudiendo construir cuadrilátero a partir de
perímetro y área, y otras características, donde se evidencian dificultades en
justificar propiedades.
Tabla 67
Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros, a partir de perímetro,
área y otras características del curso multigrado. Ítem 6, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 6 85,7 1 14,3 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 1 14,3 6 85,7 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 7 100,0 7 100,0
Fuente: Elaboración propia.
La tabla 68, da cuenta del aumento en los grados de adquisición ya que, el estado
inicial del curso de Quinto Año Básico, respecto al atributo de construcción de
cuadriláteros a partir de perímetro, área y otras características, está en una
distribución en los grados de adquisición nulo y alta, donde el 66,7% está en la
categoría nula. Y respecto al estado final, los grados de adquisición alcanzados son
nulo y alto, situando al 66,7% de los estudiantes en la categoría alta.
109
Tabla 68
Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros, a partir de perímetro,
área y otras características del Quinto Año Básico. Ítem 6, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 2 66,7 1 33,3 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 1 33,3 2 66,7 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 3 100,0 3 100,0
Fuente: Elaboración propia.
En la figura 26, los estudiantes de Quinto Año Básico construyen cuadrilátero
teniendo en cuenta un área, perímetro y características dadas.
Figura 26. Ejemplo de respuesta construcción de cuadriláteros a partir de perímetro, área y otras características, 5º básico. Fuente: Respuesta E2 y E3.
110
Y en el estado inicial del Sexto Año Básico (ver tabla 69), los datos recogidos del
pre-test indican que el 100% de los estudiantes tiene un grado de adquisición nulo,
respecto a este atributo. Y en el estado final, queda en evidencia el aumento en los
grados de adquisición que lograron los estudiantes, debido a que el 100% logra un
grado de adquisición alta.
Tabla 69
Resultados iniciales y finales de construcción de cuadriláteros, a partir de perímetro,
área y otras características del Sexto Año Básico. Ítem 6, Nivel abarcado: N2 Grado de adquisición Nivel 2 Pre-test Nivel 2 Post-test Frecuencia Porcentaje Frecuencia Porcentaje Nula 4 100,0 0 0,0 Baja 0 0,0 0 0,0 Intermedia 0 0,0 0 0,0 Alta 0 0,0 4 100,0 Completa 0 0,0 0 0,0 Total 4 100,0 4 100,0
Fuente: Elaboración propia. En la figura 27, los estudiantes de Sexto Año Básico, construyen cuadrilátero a partir
de un perímetro, área y características.
Figura 27. Ejemplos de respuestas construcción de cuadriláteros a partir de perímetro, área y otras características, 6º básico. Fuente: Respuestas E4 y E6.
111
4.2 Análisis inferencial de los resultados
Considerando que la muestra es menor a 30 participantes, para determinar si las
diferencia existente entre los resultados obtenidos al iniciar y finalizar la intervención
son estadísticamente significativas, se utiliza la prueba Wilcoxon de distribución libre
para dos muestras emparejadas.
En la tabla 70, se evidencia una diferencia entre los promedios de los resultados del
pre-test y post-test donde, no logran dominar completamente el nivel 1 de
razonamiento al iniciar la intervención, teniendo una media aritmética de 32,05%.
Por el contrario, en los resultados del post-test, el promedio aumenta a 93,56%,
alcanzando un dominio completo de este nivel.
Tabla 70
Estadísticos descriptivos nivel 1 de razonamiento en pre-test y post-test. Porcentaje alcanzado N Mínimo Máximo Media Desviación estándar
Nivel 1 Pre-Test 7 8,88 76,66 32,0585 24,45743
Nivel 1 Post-test 7 77,77 100,00 93,5686 10,26577
N Válido 7
Fuente: Elaboración propia.
Para afirmar que las diferencias entre el pre-test y post-test del nivel 1 son
estadísticamente significativas se aplica la prueba Wilcoxon para muestras
relacionadas con las siguientes hipótesis:
H0: Las medianas de los resultados iniciales y finales del nivel 1 de razonamiento
son iguales.
H1: Las medianas de los resultados iniciales y finales del nivel 1 de razonamiento
no son iguales.
112
La prueba Wilcoxon (ver figura 28), respecto al nivel 1 muestra que, el valor-p (.018)
es menos que alfa (0,05), por lo que se rechaza hipótesis nula. Por ende, la mediana
que se obtiene al finalizar la intervención es significativamente mayor que la
mediana de los resultados iniciales.
En la tabla 71 se observa un aumento en el promedio respecto a los resultados del
pre-test y post-test donde, la media de los datos iniciales indican que alcanzan el
6,26% del nivel 2 de razonamiento, y en el post-test, la media es de 75,23%.
Tabla 71:
Estadísticos descriptivos nivel 2 de razonamiento en pre-test y post-test. Porcentaje alcanzado N Mínimo Máximo Media Desviación estándar
Nivel 2 Pre-Test 7 0,00 16,66 6,2686 7,30204 Nivel 2 Post-test 7 28,33 96,66 75,2329 27.90791
N Válido 7
Fuente: Elaboración propia.
Figura 28. Resultados prueba Wilcoxon del nivel 1 de razonamiento. Fuete: Elaboración propia.
113
Para afirmar que las diferencias entre el pre-test y post-test del nivel 2 son
estadísticamente significativas se aplica la prueba Wilcoxon para muestras
relacionadas con las siguientes hipótesis:
H0: Las medianas de los resultados iniciales y finales del nivel 2 de razonamiento
son iguales.
H1: Las medianas de los resultados iniciales y finales del nivel 2 de razonamiento
no son iguales.
La prueba Wilcoxon (ver figura 29), respecto al nivel 2 muestra que, el valor-p (.018)
es menos que alfa (0,05), por lo que se rechaza hipótesis nula. Por ende, la mediana
que se obtiene al finalizar la intervención es significativamente mayor que la
mediana de los resultados iniciales.
Figura 29. Resultados prueba Wilcoxon del nivel 2 de razonamiento. Fuente: Elaboración propia.
114
CONCLUSIONES
115
Conclusiones y proyecciones
De acuerdo al análisis de los niveles de razonamiento y su grado de adquisición
realizado anteriormente, teniendo en cuenta las características de las escuelas
rurales con aulas multigrado, se puede concluir lo siguiente:
La unidad didáctica es aplicada a estudiantes de diferentes niveles educativos
(quinto y sexto año básico), permitiendo que interactúen alumnos de distintas
edades y características al momento de resolver un mismo problema, conllevando
a que estudiantes de cursos inferiores, puedan acceder al conocimiento y
razonamiento de cursos superiores. Quedando claro que, no necesariamente los
estudiantes que están en estos últimos cursos obtienen mejores resultados en las
pruebas de pre-test y post-test, ya que puede ocurrir que estudiantes de quinto
básico obtengan mejores resultados que los de sexto, alcanzando porcentajes
mayores de grado de adquisición de los niveles de razonamiento que los
estudiantes de sexto al finalizar la intervención.
Al iniciar la unidad didáctica, los resultados del pre-test, indican que todos los
estudiantes no logran estar en los grados de adquisición de los niveles de
razonamiento propuestos por Gutiérrez, A. (2009) y Gutiérrez, A (2012), el cual
señala la transición entre el nivel 1 y 2 en alumnos de quinto básico, e inicios del
nivel 2 en los estudiantes de Sexto. Como era de esperar, en el post-test, los
estudiantes logran resultados exitosos, ya que se observa que el 66,6% de los
estudiantes de quinto básico alcanzan una adquisición alta y el 33,3% una
adquisición completa del nivel 1, y respecto al nivel 2, un 33,3% no logra dominar
los métodos de este nivel donde, si se producen situación que resultan ser
complicadas, hay un retroceso del nivel, habiendo saltos frecuentes entre los niveles
de razonamiento empleados. Otro 33,3% empieza con la conciencia de las
características y métodos propios del nivel, pero la utilización es muy pobre. Y por
último, el 33,3% restante, logra un dominio total de las herramientas y métodos de
trabajo, en relación al tema de perímetro y área, alcanzando los mejores resultados
del curso multigrado. En sexto, todos los estudiantes logran el grado de adquisición
116
completa en el nivel 1 y 2, por lo que alcanzaron un dominio total del tema de
perímetro y área, según su nivel educacional.
La utilización de ítems de respuesta libre, al generar la unidad didáctica señalada
por Jaime (1993), se considera pertinente para esta investigación, ya que aparte de
permitir realizar los análisis teniendo en cuenta los tipos de respuesta, también hace
posible la generación y aplicación de preguntas con contexto propio de la ruralidad,
utilizando materiales y superficies del entorno más próximo. Además, al dedicarle
una atención personalizada a los participantes se logra un mayor provecho de estas
actividades y problemas, puesto que se logra un mayor entendimiento entre alumno
y profesor, que es permitido por el bajo número de participantes en el aula.
También, y de acuerdo a las propiedades del modelo de Van Hiele, se observa en
los resultados la secuencialidad de los niveles de razonamiento, donde Van Hiele
(como se citó en Jaime 1993) señala que “el pensamiento del segundo nivel no es
posible sin el del nivel básico; el pensamiento del tercer nivel no es posible sin el
pensamiento del segundo nivel” (p.14), por lo que los estudiantes del curso
multigrado, lograron trabajar con un nivel 2, cuando hay dominio de nivel 1. De
acuerdo a la relación entre el lenguaje y los niveles de razonamiento observados en
el post-test, los estudiantes que alcanzaron un alto o completo grado del nivel 2
(71,4%) lograron mejorar el lenguaje matemático, puesto que en sus respuestas
utilizan definiciones matemáticas como lados, cuadriláteros, perímetro, área,
unidades cuadradas, entre otras.
Respecto a la localidad de los niveles de razonamiento, se muestran situaciones
donde los estudiantes pueden razonar en distintos niveles, teniendo en cuenta los
objetos geométricos. Por ejemplo, estudiantes logran relacionar el perímetro y área
con la forma de las figuras, usando definiciones en sus respuestas (Nivel 2), pero
algunos no logran reconfigurar figuras, para posteriormente realizar cálculos.
Además, los datos muestran la transición continua considerada por Jaime (1993) de
los niveles de razonamiento, la cual señala que el proceso de un nivel a otro no se
realiza de una forma brusca, por lo que los grados de adquisición tienen un rol
fundamental en el análisis de esta investigación.
117
Las actividades que se generaron, están acordes al currículum nacional, es decir,
los resultados alcanzados por el modelo de Van Hiele, también alcanzan a los
objetivos del programa de estudio de geometría en Chile, aunque hay que
considerar la versatilidad anteriormente expuesta entre las actividades para lograr
estos aprendizajes donde, los estudiantes de distinto curso, están expuesto al
mismo objeto matemático, pero en diferente nivel de complejidad.
Y por último, se puede concluir que el modelo de Van Hiele permite mejorar los
aprendizajes de la geometría en escuelas rurales que tienen como característica
tener aulas multigrado pues, según los datos de pre y post-test, existe un aumento
significativo en el razonamiento de acuerdo al tema de área y perímetro de
cuadriláteros al iniciar y finalizar la intervención.
Teniendo en cuenta las escasas investigaciones en el contexto rural referido al
Modelo de Van Hiele, es conveniente considerar la realización de estudios futuros
para evidenciar, de acuerdo a una mayor experiencia, resultados positivos en el
área de geometría. Entonces, a modo de proyección resulta pertinente, continuar
con investigaciones utilizando este modelo, para generar unidades didácticas
teniendo como participantes, estudiantes que pertenezcan a escuelas rurales con
aulas multigrado.
118
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
119
Referencias bibliográficas
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Vargas, L. C. (2015). Niveles de razonamiento geométrico en estudiantes de pedagogía en educación general básica de una Universidad del Cruch (Tesis Magíster, Universidad Católica del Maule, Chile)
123
ANEXOS
124
7. Anexos
Anexo 1
Planilla de validación pre-test
Instrucciones: El presente documento contiene un listado de ítems que guardan
relación con los contenidos que los alumnos debiesen aprender referente a la
unidad “Perímetro y área” de cursos multigrado correspondientes a quinto y sexto
año básico. En concordancia con la unidad anteriormente señalada se presentan
los siguientes objetivos:
A. Clasificar cuadriláteros de acuerdo a su aspecto físico.
B. Identificar interior y exterior de cuadriláteros en un contexto real,
reconociendo diferencias de medición entre el área y perímetro.
C. Construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas, calculando perímetro
y área.
D. Calcular áreas a partir de la descomposición de superficies en cuadrados y
rectángulos.
E. Relacionar el perímetro y el área con la forma de figuras.
F. Descomponer figuras en cuadriláteros para calcular perímetro y área.
G. Construir cuadriláteros a partir de perímetros, áreas, y otras características.
Se pide que cada pregunta pueda clasificarla colocando la letra de acuerdo a uno
de los objetivos presentados en el casillero de “Objetivo” y en caso de que alguna
pregunta no guarde relación con alguno de ellos, señálelo con una “X” en el casillero
respectivo. Por otro lado se solicita que pueda marcar uno de los tres casilleros,
aprobando o no el ítem creado marcando con una x uno de los tres casilleros donde
se menciona “se aprueba, no se aprueba, se aprueba con modificaciones”. En caso
de tener alguna observación a alguno de los ítems, escribir dicha observación en el
espacio asignado.
125
126
127
128
Anexo 2
Planilla de validación post- test
Instrucciones: El presente documento contiene un listado de ítems que guardan
relación con los contenidos que los alumnos debiesen aprender referente a la
unidad “Perímetro y área” de cursos multigrado correspondientes a quinto y sexto
año básico. En concordancia con la unidad anteriormente señalada se presentan
los siguientes objetivos:
A. Clasificar cuadriláteros de acuerdo a su aspecto físico.
B. Identificar interior y exterior de cuadriláteros en un contexto real,
reconociendo diferencias de medición entre el área y perímetro.
C. Construir cuadriláteros a partir de unidades cuadradas, calculando perímetro
y área.
D. Calcular áreas a partir de la descomposición de superficies en cuadrados y
rectángulos.
E. Relacionar el perímetro y el área con la forma de figuras.
F. Descomponer figuras en cuadriláteros para calcular perímetro y área.
G. Construir cuadriláteros a partir de perímetros, áreas, y otras características.
Se pide que cada pregunta pueda clasificarla colocando la letra de acuerdo a uno
de los objetivos presentados en el casillero de “Objetivo” y en caso de que alguna
pregunta no guarde relación con alguno de ellos, señálelo con una “X” en el casillero
respectivo. Por otro lado se solicita que pueda marcar uno de los tres casilleros,
aprobando o no el ítem creado marcando con una x uno de los tres casilleros donde
se menciona “se aprueba, no se aprueba, se aprueba con modificaciones”. En caso
de tener alguna observación a alguno de los ítems, escribir dicha observación en el
espacio asignado.
129
130
131
132
Anexo 3
Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas
Programa de Magister en Didáctica de la Matemática ________________________________________________
PRE TEST: “PERÍMETRO Y ÁREA”
NOMBRE:_________________________________________________________ FECHA: __________________________ CURSO: __________________________
Observaciones:
Ø Mediante este test, se evaluarán los conocimientos de años anteriores, en
relación al contenido de “Área y perímetro”
Ø Se recuerda que antes de responder, se debe leer atentamente cada
pregunta, y se contará con un tiempo de 90 minutos para desarrollar esta
actividad.
133
Pregunta 1
I Observa las siguientes imágenes y sigue las siguientes instrucciones:
Ø Encierra en círculos las imágenes que consideres que poseen cuadriláteros.
Justifica.
Ø Marca con una X las imágenes que consideres que no poseen cuadriláteros.
Justifica.
De la siguiente pizarra:
Ø ¿Cuál es el interior y el contorno?.
Ø Explica como medirías el interior y el contorno de la pizarra.
Imagen 1
Imagen 6
Imagen 3
Imagen 5 Imagen 4
Imagen 2
134
Pregunta 2
El 27 de febrero del año 2010 se registró en Chile uno de los terremotos más
violentos que han azotado al planeta tierra. Los registros oficiales señalan más de
120 mil personas damnificadas, 1.229 colegios dañados y 53 hospitales afectados
en todo el país.
Una de las regiones más afectadas en este evento telúrico de magnitud 8,9 grados
Richter fue la Región del Maule.
En medio de este escenario de caos y destrucción, fue que muchas instituciones
gubernamentales, empresas, colegios y personas se motivaron a realizar campañas
de ayuda a los miles de damnificados del país. Tal fue la iniciativa que se formó
una campaña a nivel nacional liderada por el animador Don Francisco llamada
“Chile ayuda a Chile”.
Uno de los casos de ayuda más destacados, fue el realizado por los alumnos de
una escuela de la comuna de Hualañé, quienes durante una semana organizaron
una campaña de confección de frazadas, las que se generaron a partir de
“cuadrados de lana” que se destinó para ayudar a 300 personas de la localidad de
Iloca.
Frazadas a partir de cuadrados de lado 1u
135
Teniendo en cuenta que se cuenta con un máximo de 300 y un mínimo de 100
cuadrados para la confección de cada frazada:
Ø Dibuja una frazada con los cuadrados y tiras de genero que consideraste,
indicando cuales son las medidas de sus dimensiones. Justifica.
Ø Calcula el perímetro y área de la frazada que confeccionaste. Justifica.
Ø ¿Es importante que los cuadrados de lana tengan la misma medida? Explica.
Pregunta 3
Ø Calcula el área y el perímetro de la figura.
Explica tus procedimientos.
Pregunta 4
Un terreno se repartió en dos parcelas de la siguiente
forma:
Ø ¿Qué parcela es más grande?, explica por qué. Y la
que es más pequeña, explica por qué es más
pequeña.
Ø ¿Qué se puede concluir a partir del perímetro de
cada parcela? Explica.
Ø ¿Que conclusiones obtienes al relacionar el
perímetro y el área y la forma de la figura?
136
Pregunta Nº5
Se tiene la siguiente figura:
Ø Calcula su área y su perímetro.
Explica tus procedimientos
Pregunta Nº6
A partir de un área de 27 cm2 y un perímetro de 24 cm construye un cuadrilátero
que cumpla con al menos 3 características de la lista. Explica tu elección y
construcción.
Ø Todos sus ángulos son rectos
Ø Ángulos opuestos iguales y diferentes a los adyacentes
Ø Lados iguales
Ø Un lado es el triple del otro
Ø Todos sus ángulos tienen diferente medida
Ø Todos sus ángulos no son rectos
Ø Un lado es el doble del otro
Ø Dos pares de lados de igual medida
137
Anexo 4
Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas
Programa de Magister en Didáctica de la Matemática ________________________________________________
POST TEST: “ÁREA Y PERÍMETRO”
NOMBRE:_________________________________________________________ FECHA: __________________________ CURSO: __________________________ Observaciones:
Ø Mediante este test, se evaluarán los conocimientos adquiridos mediante la
unidad didáctica, en relación al contenido de “Área y perímetro”
Ø Se recuerda que antes de responder, se debe leer atentamente cada
pregunta, y se contará con un tiempo de 45 minutos para desarrollar esta
actividad.
Pregunta 1
Observa las siguientes imágenes y sigue las siguientes instrucciones:
Ø Encierra en círculos los objetos que consideres que poseen cuadriláteros
explica por qué, y los que no, explica por que no.
Del siguiente objeto responde las siguientes preguntas
Ø ¿Cuál es el interior y el contorno del objeto?.
Ø Explica como medirías el interior y el contorno del objeto
Imagen 4 Imagen 6 Imagen 5
Imagen 3 Imagen 2 Imagen 1
139
Pregunta 2
Se hizo un concurso en la escuela, donde se premió a la mejor idea para ser
implementada en el establecimiento. Ésta consiste en crear un “huerto didáctico”
que permita lograr aprendizajes en relación a las asignaturas de matemática,
ciencias naturales, historia, lenguaje y comunicación, entre otras.
Si se cuenta con un máximo 600 plantas y, cada una de ellas utiliza 1u2 de suelo.
Responde las siguientes preguntas.
Ø Realiza un bosquejo del huerto didáctico con la cantidad de plantas que
consideraste, indicando cuales son las medidas de sus dimensiones.
Justifica.
Ø Calcula el perímetro y el área del huerto didáctico que confeccionaste.
Justifica.
Ø ¿Es importante que las superficies de suelo que utilizan las plantas sean
iguales?. Explica.
Pregunta 3
Ø Calcula el área y el perímetro de la figura. Explica tus procedimientos.
140
Pregunta 4
Un terreno se repartió de la siguiente forma:
Ø ¿Qué parte del terreno es más grande?, explica
por qué. Y la que es más pequeña, explica por
qué es más pequeña.
Ø ¿Qué se puede concluir a partir del perímetro
en los dos terrenos? Explica.
Ø ¿Que conclusiones obtienes al relacionar el
perímetro y el área y la forma de la figura?
Pregunta 5
De la siguiente figura:
Ø Calcula su área y su perímetro.
Explica tus procedimientos
Pregunta Nº6
A partir de un área de 21 cm2 y un perímetro de 20 cm, elige 3 características de la
lista y construye un cuadrilátero a partir de ellas. Explica tu elección y construcción.
Ø Ángulos opuestos iguales y diferentes a los adyacentes
Ø Lados iguales
Ø Todos sus ángulos son rectos
Ø Un lado supera en 4 cm al otro
Ø Un lado es el doble del otro
Ø Todos sus ángulos no son rectos
Ø Dos pares de lados con la misma medida
141
Anexo 5
Codificación de respuestas Pre-test
ITEM 1: NIVELES QUE ABARCA: N1
GRAD. DE AD.
NIVELES
Nº AL
DESCRIPTOR (ATRIBUTOS)
NIV. DE R.
TIP. DE
RES. JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 2
La identificación de cuadriláteros
la realiza de acuerdo a
elementos con errores
conceptuales
Son cuadriláteros
“porque tienen líneas rectas”
No son cuadriláteros “porque no
tienen líneas rectas”
20%
2
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 4
Identifica cuadriláteros
considerando que tienen que tener 4
lados, pero no identifica
cuadriláteros que tengan solamente un par de lados
paralelos
Son cuadriláteros
“porque tienen 4 lados” No son
cuadriláteros “porque no
tienen líneas rectas” y
“porque hay 3 líneas rectas y
la de arriba está en otra
dirección”
50%
3
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 2
Identifica cuadriláteros y no cuadriláteros de
acuerdo a si tienen par de
lados iguales o no
“no son cuadriláteros
porque no tienen lados
iguales”
20%
4
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 2
Identifica
cuadriláteros de acuerdo a la
cantidad de líneas y no de
segmentos.
“son cuadriláteros
porque tiene 4 líneas”
20%
5 Reconocimiento:
Identifican visualmente objetos de contexto local,
1 7
Identifica cuadriláteros de
acuerdo a su
Son cuadriláteros
“porque tienen 4 lados rectos”
100%
142
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
cantidad de lados e identifica lados
no rectos
“No son cuadriláteros porque son redondos”
6
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7
Identifica
cuadriláteros de acuerdo a su
cantidad de lados
“porque tienen 4 lados rectos” “porque no
tienen 4 lados rectos”
100%
7
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7
Identifica cuadriláteros de
acuerdo a su cantidad de lados
Son cuadriláteros
“porque tienen 4 lados” No son
cuadriláteros porque no
tienen 4 lados
100%
ITEM 1.1: NIVELES QUE ABARCA: N1
GRAD. DE AD.
NIVELES Nº AL
DESCRIPTOR NIV. DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 2 Identifica de acuerdo a errores conceptuales. Se
refiere al instrumento y no a las unidades de
medida para interiores y contornos
“el interior son las rectas y el contorno es la
figura” “mediría con una güincha”
20%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 2 20%
2
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 7
Señala correctamente el
interior y el contorno. No
hace referencia a las unidades de
medida
“multiplicando la medida por la cantidad de los lados del contorno y sumando la
medida de los
100%
Reconocimiento: Identifican unidades 1 2 20%
143
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
lados del interior”
3
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros y su forma de medir
1 4 Error conceptual en el concepto de
contorno. No presenta el concepto de unidades de
medida
“El interior es lo de adentro
y el exterior es lo de afuera
de algo” “Mediría
multiplicando el contorno
para que de el interior”
50%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 2 20%
4
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 2 Identifica de acuerdo a errores conceptuales. Se
refiere al instrumento y no a la manera de medir interior y
contorno
“el interior es plano y el
contorno tiene 4 líneas”
“mediría la pizarra con una regla”
20%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 2 20%
5
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 7 Identifica
correctamente de acuerdo a colores
del objeto. Confunde
dimensiones con contorno, no
identifica unidades de
medida
“el interior es lo blanco y el contorno es lo
negro” “mediría con una regla el contorno y después lo
multiplico por el largo y así da el interior”
100%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 4 50%
6
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros y su forma de medir
1 1
No presenta la utilización de unidades de
medidas
“lo mediría sacando
cuando mide cada lado”
0
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 2 20%
7
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 7
Identifica correctamente
interior y contorno. Solo se
refiere a que utilizaría unidades de medida para
medir
“el interior es lo de adentro y el contorno es el borde” “lo mediría
con las unidades de
medida”
100%
Reconocimiento: Identifican unidades 1 2 20%
144
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
ITEM 2: NIVELES QUE ABARCA: N1-N2
GRAD. DE AD.
NIVELES Nº AL
DESCRIPTOR NIV. DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 2 Construcción errónea, no reconoce
dimensiones, unidades de
medida. Mide estimando de
acuerdo al tamaño del dibujo
“mide 3 centímetros
más o menos” “ el perímetro mide como 3 centímetros y el área como
2”
20%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
2
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 2
Errores de conceptualización de dimensiones,
errores en construcción
“porque sus lados son 4, por eso son
1x4 sus dimensiones” “el perímetro
es 14 cm2 y el área 400 cm2”
20%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 2 20% 0%
3
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7 Construcción correcta de la figura, pero no
entrega información de
cálculos, dimensiones ni
unidades de medida
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
145
4
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 2
Errores en medición de
perímetro y área
“tiene 10 cuadraditos para cada
lado
20%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
5
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7 Confunde perímetro por área, no utiliza unidades de medida ni reconoce
dimensiones, construcción
correcta de figura
“el perímetro es de 200 y el área es de 60”
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 2 20% 0%
6
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7 Construcción correcta, no
reconoce dimensiones,
cálculo correcto, no utiliza
unidades de medida para el
perímetro y área
“P=40 y A=100”
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 4 50% 0%
7
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 2
No reconoce dimensiones ni
unidades de medida para cálculo de
perímetro y área
“su medidas de
dimensiones 2D”
20%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
146
ITEM 3: NIVELES QUE ABARCA: N1-N2
GRAD. DE AD.
NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR
NIV DE R.
TIP. DE
RES. JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 1
No entrega información pertinente
“El área seri como 2 o 3 y 4 centímetros y el perito sería como 4 o 5 centímetros
más o menos”
0%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 1 0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
2
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 1
Obtiene área y perímetro de
acuerdo a errores conceptuales
“el perímetro se saca
sumando la medida de todos los
lados que da 22 cm2 y el
área se saca multiplicando
todos los lados y da 1008 cm2
0%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 1 0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 2 20% 0%
147
3
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 1
No presenta procedimientos en
sus cálculos
“Mide 47 de área y de
perímetro es 32”
0%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 1 0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
4
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 1
No responde al ítem
0%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 1 0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
5
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Procedimiento correcto de
descomposición de figura, genera
cuadriculas para medir interior y contornos, sin
embargo, responde con errores
conceptuales
“El área es de 28 cubos y el perímetro de
43 cubos”
100%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para 1 7 100%
148
obtener una mayor
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 4 50% 0%
6
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 1
No responde al ítem
“No se puede porque faltan
medidas”
0%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 1 0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 1 0% 0%
7
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 4
Error en la generación de
unidades cuadradas para medir interior
El área es 41 y el perímetro es 22. Sumé el perímetro y dividí el área”
50%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 4 50% 0%
149
ITEM 4:
NIVELES QUE ABARCA: N2 GRAD. DE
AD. NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR NIVEL
DE R.
TIP. DE
RES. JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 1
No relaciona área y perímetro con la
forma de las figuras, solo hace
referencia al tamaño
“Se tomo mas parcela” 0% 0%
2
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 1
No relaciona área y perímetro con la
forma de las figuras, solo hace
referencia al tamaño
“una es más grande que
la otra” 0% 0%
3
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 1
Utiliza conceptos de área
correctamente, aunque sus cálculos son
erróneos, y no hace referencia a perímetro
“Miden lo mismo de alto y de
ancho, pero en el área
no, ya que al medio no son
iguales”
100% 20%
4
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 1
No relaciona área y perímetro con la
forma de las figuras, solo hace
referencia al tamaño
“Que solo 3 cuadritos hacen la
diferencia”
0% 0%
5
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 1
No relaciona perímetro y área con las formas de
las figuras
“cuanto mide toda la figura”
0% 0%
6
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 3
Relaciona el correctamente el área con la forma de las figuras, sin embargo, no hace
referencia al perímetro
“el área es distinta la
forma también”
100% 25%
7
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 2 Relaciona
solamente medida de contornos
“el perímetro es el mismo
de cada parcela”
100% 20%
150
ITEM 5: NIVELES QUE ABARCA: N2
GRAD. DE AD. NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR NIVEL
DE R.
TIP. DE
RES. JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 1
No descompone ni transforma la
figura, por lo que no responde a la
pregunta
“que debe ser de largo como 2,83
cm”
0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 1 0% 0%
2
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 1
No descompone ni transforma la
figura, responde de acuerdo a errores
conceptuales
“suma 3,16 con 2,83, da
5,99 cm2, Multiplica
316 con 286 da 89428
cm2”
0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 1 0% 0%
3
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 1
No realiza transformaciones ni descompone figura
“Yo la saqué viendo
cuantos cuadritos
tenía”
0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 1 0% 0%
151
4
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 1
Ítem sin respuesta
0%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 1 0% 0%
5
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 3
Reconfigura correctamente la
figura, cálculo erróneo de
perímetro y área no logra explicar
procedimientos
“su área es 28 y su
perímetro de 33”
25%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
1 2 20% 0%
6
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 4
Realiza correctamente
reconfiguración de figura, responde de acuerdo a errores
conceptuales, error en cálculo de
perímetro y área
“Corté pedazos para que dara con
lados rectos y los puse
en otro lado” “A:26 P:24
50%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 2 20% 0%
7
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 1
No realiza procesos de descomposición
ni transformaciones,
por lo que no puede calcular
El área es 36 y su
perímetro es 5,99 cm
0%
152
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 2
correctamente perímetro y área
20% 0%
ITEM 6: NIVELES QUE ABARCA: N2
GRAD. DE AD. NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR NIVEL
DE R.
TIP. DE
RES. JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 1
No relaciona perímetro ni área
con figura, construcción errónea, no fundamenta alternativas
“todos los ángulos
correctos, lados iguales y dos pares
de lados iguales”
0%
2
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 1
Construcción errónea, no
corresponde a las características
escogidas, tampoco relación perímetro y área
con la figura
“Los lados son rectos, tiene lados iguales y un lado es el
triple que el otro”
0%
3
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 6
Construcción correcta de la figura
de acuerdo al perímetro y área, aunque no logra
explicar la elección de las alternativas
Lados de igual
medida, un lado es el 3 del otro, 2 pares de
lados son de igual media
80%
4
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 1
Construcción errónea de la
figura, no elige características
0%
5
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 1
Construcción errónea de la
figura, no elige características
0%
153
6
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 1
Construcción errónea de la
figura, no elige características
0%
7
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 1 Construcción errónea de la
figura, no elige características
0%
154
Anexo 6
Codificación respuestas post-test
ITEM 1: NIVELES QUE ABARCA: N1
GRAD. DE AD.
NIVELES
Nº AL
DESCRIPTOR (ATRIBUTOS)
NIV. DE R.
TIP. DE
RES. JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7
Reconoce cuadriláteros de
acuerdo a características
“Son cuadriláteros las figuras n° 2,5 y
6, son cuadriláteros
porque tienen 4 lados y sus
esquinas no son curvas”
100%
2
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 5
Identifica correctamente cuadriláteros,
pero no justifica correctamente
algunos
“si, porque se transforma y
queda forma un rectángulo ”
75%
3
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7 Identifica
correctamente cuadriláteros
“son cuadriláteros
porque tienen 4 lados y sus
puntas no son redondas”
100%
4
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7 Identifica
correctamente los cuadriláteros
“son cuadriláteros
porque tienen 4 lados”
100%
5
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7 Identifica y
justifica correctamente
“La encerré porque tiene 4
lados y no tiene curvas”
100%
155
6
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7
Identifica y
justifica correctamente
“No, porque no tiene 4 lados”
“no porque tiene las esquinas redondas, si porque tiene
forma de rectángulo”
100%
7
Reconocimiento: Identifican
visualmente objetos de contexto local,
que tengan características
comunes relacionadas con los
cuadriláteros
1 7 Identifica y
justifica correctamente
“porque tiene 4 lados y son
rectos” 100%
ITEM 1.1: NIVELES QUE ABARCA: N1
GRAD. DE AD.
NIVELES Nº AL
DESCRIPTOR NIV. DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 6
Identifica correctamente, pero confunde
límite con exterior
“Esto es el contorno porque es lo de afuera,
este es lo interior porque
es lo de adentro”
80%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 1 0%
2
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 6 Identifica correctamente
interior y contorno,
reconoce que es necesario calcular área y perímetro.
“mediría con el área y el
perímetro, Área=largo x
ancho y Perímetro = suma de la
medida de todos sus lados”
80%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 6 80%
3
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros y su forma de medir
1 7 Identifica correctamente
interior y contorno
“en un rectángulo para
medir el contorno se
suma el largo con el ancho y
se multiplica por
100
Reconocimiento: Identifican unidades 1 6 80
156
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
2 y para el interior se
multiplica largo por ancho
4
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 7 Identifica y
justifica correctamente las
mediciones de interior y contorno, identifica
correctamente las unidades de
medida
“el interior es lo que está dentro
(área), el contorno son las
líneas (así poder medir el perímetro). El
interior lo mediría largo x
ancho y el contorno la
suma de todos. sus lados,
mediría con unidades
cuadradas
100%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 7 100%
5
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 7 Identifica y
justifica correctamente las
mediciones de interior y contorno, identifica
correctamente las unidades de
medida
“el contorno lo mediría la A con la B + C con la D en unidades no cuadradas y
el interior lo mediría A por B
en unidades cuadradas”
100%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 7 100%
6
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros y su forma de medir
1 7 Identifica y
justifica correctamente las
mediciones de interior y contorno, identifica
correctamente las unidades de
medida
“el contorno es el borde y el
interior es lo de adentro de la
figura, el interior lo mediría con centímetros
cuadrados (cm2) y el contorno
con centímetros”
100%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 7 100%
7
Reconocimiento: Identifican interior y
contorno de cuadriláteros
1 7 Identifica y
justifica correctamente las
mediciones de interior y contorno, identifica
correctamente las unidades de
medida
“el interior es el área y el
contorno el perímetro. El
interior lo mido con unidades
cuadradas y el contorno con
unidades”
100%
Reconocimiento: Identifican unidades
de medida para medir interiores y
contorno de cuadriláteros
1 7 100%
157
ITEM 2:
NIVELES QUE ABARCA: N1-N2 GRAD. DE AD.
NIVELES Nº AL
DESCRIPTOR NIV. DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7
Construcción correcta, cálculo
correcto de perímetro y área
El perímetro es de 40u y el área es de 100
u2
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 3 100% 25%
2
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7 Construcción
correcta, calculo correcto de
perímetro y área, no utiliza
unidades de medida en sus
respuestas
“Á=10 P=14”
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
1 6 80% 0%
3
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7
Construcción correcta de
cuadrilátero y cálculo de
perímetro y área.
“El
perímetro es 40u, sumé
todos los lados. El
área es de 100u2,
multipliqué largo por ancho”
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 7 100% 100%
4
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7 Construcción
correcta, calcula y justifica
correctamente el cálculo de
perímetro y área
“saqué el área
multiplicando el largo x ancho. Saqué el perímetro
100%
Análisis: Obtienen área y 2 7 100% 100%
158
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
sumando todos sus
lados. Calculé el área y me dio 60u2 y
de perímetro
32u”
5
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7
Construcción correcta, cálculo
correcto de perímetro y área
“porque el largo por el ancho me da 600 y como son unidades
cuadradas son las de adentro. El perímetro
es 308 porque el largo con
el ancho + el largo por el ancho es
308
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 7 100% 100%
6
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7
Construcción correcta, cálculo
correcto de perímetro y área
Sus medidas
son 2 lados de 6u y 2 de 4 u. Su área es de 24u2 y su perímetro de 20 u.
Las plantas deben usar
1u2
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 7 100% 100%
7
Reconocimiento: Construyen
cuadriláteros a partir de unidades de
cuadrículas
1 7 Construcción correcta, cálculo
correcto de perímetro y área
“Largo por ancho, 7x7. P=
28u. A=49u2”
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
2 7 100% 100%
159
ITEM 3: NIVELES QUE ABARCA: N1-N2
GRAD. DE AD. NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR
NIV DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Al descomponer la figura suma el perímetro de
todos los cuadriláteros
descompuestos
El área es 32u2 y el perímetro
46u
100%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 5 100% 75%
2
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Confunde medidas en
descomposición y calcula
erróneamente perímetro de
figura
100%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 5 100% 75%
3
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Descomposición y cálculos de
perímetro y área correctos
“Él área es 32u2 y lo saqué cortando la
figura y luego sumé todo. El
perímetro es de 30 u y lo saqué
sumando”
100%
160
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 7 100% 100%
4
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Descomposición y cálculos de
perímetro y área correctos
100%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 7 100% 100%
5
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Descompone y calcula
correctamente el área de la
figura, no utiliza unidades de
medidas
30 de perímetro sume todos los lados y el área
es de 32 porque la descompuse en cuadriláteros
y al sumarlos me dan 32
100%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 6 100% 80%
161
6
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Descompone y calcula
correctamente el área de la
figura, no utiliza unidades de
medidas
Para calcular el área lo dividí en
3 figuras y multiplique largo por ancho, para
calcular el perímetro sumé todos los lados. Su perímetro es de 30. Su área
es 32
100%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 6 100% 80%
7
Reconocimiento: Descomponen superficies en cuadrados y rectángulos
1 7
Descompone y calcula
correctamente el área de la
figura, error en adición y usa parcialmente definiciones
“Á=32u2 y P=29u. Saqué
el área contando los cuadraditos o cada unidad
cuadrada y para sacar el calculo
de perímetro sume todos los
números o rayitas de el
contorno”
100%
Reconocimiento: Suman áreas de
cuadriláteros para obtener una mayor
1 7 100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando unidades
de medida estandarizadas y no
estandarizada
2 4 100% 50%
162
ITEM 4:
NIVELES QUE ABARCA: N2 GRAD. DE AD.
NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR NIVEL
DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 4
Relaciona correctamente el área con la forma de la
figura pero no el perímetro.
“El terreno a es mas grande
porque tienen mas área y
perímetro y el terreno b es
más pequeño porque tiene menos área y
menos perímetro”
100% 50%
2
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 5
Relaciona correctamente el área con la forma de la figura, sin embargo, muestra
confusión al referirse al perímetro
A porque tiene más área y
perímetro es más grande y b es más pequeña
porque tiene menos área y
perímetro. A y B tienen el mismo
perímetro. Tienen mismo
perímetro y diferente área
100% 75%
3
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 7
Relacionan correctamente
perímetro y área con la forma de la
figura
“La parte A es más grande
tiene más u2 y la B es más
porque tiene menos u2. Que las 2 tienen el
mismo perímetro. Que la A tiene más área que la B pero tienen el
mismo perímetro.
100% 100%
4
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 5
Relaciona correctamente el área con la forma de la
figura pero no el perímetro. Error en el cálculo de
perímetro al comparar
figuras
La mas grande es la fig. A
porque tiene área de 46u2 y la fig. b solo tiene 13u2 El
perímetro de la fig.A es más
pequeña que la de la fig.b
100% 75%
163
5
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 7
Relaciona correctamente
área y perímetro al
comparar formas de
figuras
La “A” es más grande porque
tiene mas área y perímetro lo
tiene igual que la figura “B”. Que la “A” es más grande
tiene el mismo perímetro
100% 100%
6
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 7
Relaciona correctamente
área y perímetro al
comparar formas de
figuras
“el perímetro es igual aunque el
tamaño es distinto. Que tiene distinta
área, pero igual perímetro”
100% 100%
7
Análisis: Relacionar
perímetro y área con formas de
figuras
2 7
Relaciona correctamente
área y perímetro al
comparar formas de
figuras
La parte A es más grande porque tiene
más área y la B es más pequeña
porque tiene menos área. Se puede concluir
que tiene el mismo
perímetro. Que no porque una
figura tenga mayor área o mayor tamaño
su perímetro va a ser más
grande
100% 100%
164
ITEM 5:
NIVELES QUE ABARCA: N2 GRAD. DE AD.
NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR NIVEL
DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 2 Descompone la figura, pero
no realiza transformacio
nes que le permitan calcular
perímetro y área, error al
calcular perímetro
20%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
1 2 20% 0%
2
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 2
Reconfigura erróneamente, no le permite
realizar cálculos
20%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
1 1 0% 0%
3
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 1
Reconfigura la figura
correctamente de tal modo
que le permite obtener el
perímetro y área
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 7 100% 100%
165
4
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 7 Reconfigura la figura
correctamente de tal modo
que le permite obtener el
perímetro y área,
estancamiento en la suma de
decimales
“Primero descompuse la figura y cada pedaso me dio
un resultado 36-4-4-2 todo eso lo sume y me
dio 46u2(área) y el perímetro me
dio 30”
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 6 100% 80%
5
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 7
Reconfigura la figura
correctamente de tal modo
que le permite obtener el
perímetro y área
“El área me da 46 cm2 y
perímetro 29,32 para el área modifique”
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 7 100% 100%
6
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 7
Reconfigura pertinentemen
te la figura para calcular perímetro y
área, error en el cálculo del
perímetro
Para calcular área saque dos pedazos y los puse en otro
lado. El perímetro lo
saque sumando todos los lados.
Con el área dividí la figura
en 3 rectángulos y sumé el área
de cada rectángulo
100%
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 5 100% 75%
7
Análisis: Reconfiguran figuras para
calcular perímetros y
áreas
2 1
Descompone correctamente
la figura y calcula
correctamente área y
La descompongo
para que me de el área y sumo
el calculo de sus lados para que
100%
166
Análisis: Obtienen área y
perímetro de diferentes
cuadriláteros, utilizando
unidades de medida
estandarizadas y no estandarizada
2 1
perímetro. me de el perímetro. Á=46u2.
P=25,49u
100% 100%
ITEM 6: NIVELES QUE ABARCA: N2
GRAD. DE AD. NIVELES
Nº AL DESCRIPTOR NIVEL
DE R.
TIP. DE
RES.
JUSTIFICACIÓN EJEMPLO N1 N2
1
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
1 1
Construcción errónea, no relaciona
características, perímetro ni área con la
construcción de la figura, no explica su elección
0%
2
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 6
Construcción correcta a partir de perímetro y área. Elección
correcta de características,
no explica alternativas
80%
3
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 6
Construcción correcta a partir de perímetro y área. Elección
correcta de características
80%
4
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 6
Construcción correcta a partir de perímetro y área. Elección
correcta de características,
no explica alternativas
80%
167
5
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 6
Construcción correcta a partir de perímetro y
área. no explica alternativas
80%
6
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
1 6
Construcción correcta a partir de perímetro y área. Elección
correcta de características
80%
7
Análisis: Construyen
cuadriláteros a partir de
perímetros, áreas y otras
características
2 6
Construcción correcta a partir de perímetro y área. Elección
correcta de características
Mi elección fue que yo
solamente iba intentando
hacer varios con todas las
características hasta que diera uno
80%
168
Anexo 7 Unidad didáctica
Nivel 1: Reconocimiento CLASE Nº1: VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO ÁREA DE CUADRILATEROS
Fase 1: Información
Actividad Nº1
Observa las siguientes imágenes y señala los objetos en los que ves cuadriláteros,
explica por qué, y de los que no ves, explica por qué no:
Imagen 1 Imagen 2 Imagen 3
Imagen 4 Imagen 6 Imagen 5
169
Fase 2: Orientación dirigida
Actividad Nº2
Con las siguientes unidades cuadradas, construye diferentes cuadriláteros,
dibújalos, y luego responde:
• ¿Cuántas unidades cuadradas usaste para construirlos?
• ¿Qué concluyes a partir de la cantidad de unidades cuadradas y el tamaño
de los cuadriláteros?
• ¿Cómo realizas el conteo de las unidades cuadradas?
Fase 3: Explicitación
Actividad Nº3
• De la actividad anterior, muestra a tus compañeros los cuadriláteros
formados y explica tu estrategia de conteo.
• Explica tu conclusión relacionado al tamaño de la figura y la cantidad de
unidades cuadradas utilizadas.
Fase 4: Orientación libre
Actividad Nº4
El auxiliar de la escuela tiene la misión de hermosear el patio, para ello, surgió la
idea de hacer una plaza de juegos y agregar una zona de pasto en la superficie
donde van a estar situados los columpios, resbalín y los go-kart.
170
Para realizar este trabajo, el auxiliar necesita:
• Un plano a escala que le permita ordenar los elementos de la plaza con
mayor facilidad y que los represente con la mayor exactitud.
• La cantidad unidades cuadradas de pasto que deberá cotizar.
Para realizar las mediciones, solo se cuenta con varas de madera no graduadas
encontradas en la bodega del establecimiento.
Go Kart Columpios Resbalín Palmetas de pasto
Varas de madera
171
CLASE Nº2: CÁLCULO DE ÁREA DE FIGURAS COMPUESTAS
Nivel 1: Reconocimiento
Fase 2: Orientación dirigida
Actividad 1
Con las unidades de medida entregadas:
• Forma unas figuras a partir de 2,3,4, y más cuadriláteros.
• Registra en tu cuaderno las figuras generadas, teniendo en cuenta los
cuadriláteros que compusieron cada figura.
• ¿Cuál es tu estrategia para calcular el área de la figura compuesta? Explica.
Fase 3: Explicitación
Actividad 2
De la actividad anterior, muestra a tus compañeros las figuras formadas y explica tu
estrategia para calcular su área
Fase 4: Orientación libre
Actividad 3
El director del establecimiento está en una reunión con el sostenedor, el cual
necesita urgentemente ciertas medidas de la escuela, con la finalidad de realizar un
172
presupuesto para el proyecto “Movámonos por la Educación Publica”, que se
implementa anualmente en las escuelas públicas.
El director, al no conocer las medidas que se necesitan, envía el siguiente mensaje
vía WhatsApp al auxiliar del establecimiento:
Lamentablemente, para hacer estos cálculos, la escuela no cuenta con los recursos
para comprar instrumentos de medición, ni tampoco se cuenta con mucho tiempo,
ya que, el director necesita el cálculo a la brevedad. Entonces, el auxiliar solamente
puede usar materiales que estén en la bodega del establecimiento
Ayuda al auxiliar a calcular el área de la superficie que consideras pertinente,
utilizando un objeto que te permita hacer las mediciones.
173
CLASE Nº 3: PERÍMETRO DE CUADRILÁTEROS
Nivel 1: Reconocimiento
Fase 2: Orientación dirigida
Actividad 1
Con los siguientes ovillos de lana
• Mide exteriores de objetos o superficies que consideres cuadriláteros
• ¿Qué conclusiones obtienes a partir de estas mediciones?
Fase 3: Explicitación
Actividad 2
De la actividad anterior, explica tu estrategia para calcular perímetro y las
conclusiones a partir de la utilización de los ovillos.
Fase 4: Orientación libre
Actividad 3
Vicente está proponiendo un proyecto para la escuela, el cual tiene como objetivo
remodelar el cierre perimetral porque, según diagnósticos, está muy deteriorado y
es lo más urgente para mantener la seguridad de los estudiantes.
Para este proyecto, se necesita cotizar materiales donde, la cantidad de materiales
variará de acuerdo a las medidas del trabajo que se quiere hacer.
• Utiliza los ovillos de lana para ayudar a Vicente a realizar las mediciones para
el proyecto.
174
• Genera una unidad de medida para esta medición.
• ¿Qué conclusiones obtienes a partir del los lados del terreno de la escuela y
el perímetro?.
Fase 5: Integración
Actividad Nº5
Realiza un resumen con los conceptos trabajados en las actividades anteriores, de
acuerdo a las figuras y las unidades de medida para medir interiores y exteriores.
175
Nivel 2: Análisis
CLASE 4: RELACIÓN ENTRE ÁREA Y PERÍMETRO
Nivel 2
Fase 1: Información
Actividad 1
De los siguientes cuadriláteros:
• Encierra los cuadriláteros en los que crees que se pueda medir el área de
forma exacta y explica por qué, y los que no, explica por qué no.
• ¿Qué características se identifican en cada uno de los cuadriláteros?
• ¿Cómo calcularías el área y el perímetro de los cuadriláteros?
• ¿Se puede transformar algún cuadrilátero, de tal modo que permita el conteo
de cuadriculas de forma exacta? Explica.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
176
Fase 2: Orientación dirigida
Actividad 2 (20 min)
De las siguientes figuras compuestas:
• De acuerdo al área y el perímetro, ¿Que puedes concluir a partir de los
pares de figuras?.
Fase 3: Explicitación
Actividad 3 (15 min)
De la actividad anterior, explica tus conclusiones a partir de los pares de figuras.
Fase 4: Orientación libre
Actividad 4 (30 min)
En la clase de Ciencias Naturales, a los estudiantes se le pide hacer un huerto para
estudiar el crecimiento de ciertos vegetales a partir de una siembra. El profesor les
entrega materiales para que cerquen una superficie de perímetro 8 m, con el fin de
proteger los vegetales.
Imagen 1 Imagen 2
Imagen 3
177
• ¿Qué medidas debe tener la superficie para que pueda haber una mayor
cantidad de sembrado? Explica.
CLASE Nº 5: CONSTRUCCIÓN DE CUADRILATEROS A PARTIR DE ÁREAS Y PERÍMETROS.
Nivel 2: Análisis
Fase 2: Orientación dirigida
Actividad 1
Utiliza la regla para realizar mediciones y para construir unidades cuadradas de lado
1cm, tal que permita construir diferentes cuadriláteros a partir de áreas, perímetros
y características dadas:
Figura que tenga:
• 24 cm2 de área y 22 cm de perímetro.
• Perímetro 16 cm, y que sus ángulos no sean de 90º
• 9 cm2 de área y todos sus lados iguales.
• Uno de sus lados sea el doble del otro, y que tenga 50 cm2 de área.
Fase 3: Explicitación
Actividad 2
De la actividad anterior, explica como realizaste tus construcciones.
Fase 4: Orientación libre
Actividad 3 (30 min)
Crea a partir de dos cuadrados de lado 3cm, forma un cuadrilátero.
• ¿Cuál es la medida de los lados de la nueva figura?
• ¿Que relación hay entre las medidas de un lado con el otro?
178
• Si las medidas de los lados del rectángulo aumentan el doble, ¿El perímetro
y su área también?. Explica.
CLASE 6: EXPRESIONES DE CÁLCULO DE ÁREA Y PERÍMETRO
Nivel 2: Análisis
Fase 2: Orientación dirigida
Actividad 1 (30 min)
De las siguientes figuras, mide su área y clasifica las figuras de acuerdo a su forma
para medir áreas y perímetro:
Ø Crea expresiones para calcular perímetros y áreas de cuadriláteros.
Explica.
Fase 3: Explicitación
Actividad 2
Explica como obtuviste el área de los cuadriláteros y su clasificación de acuerdo a
la forma de calcularlo.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
179
Fase 4: Orientación libre
Actividad 3 (35 min)
Obtén el área de la siguiente figura, utilizando las expresiones anteriormente
trabajadas:
Fase 5: Integración
Actividad 4
Realiza un resumen de los conceptos de las actividad anteriores, relacionando el
área y perímetro, característica de cuadriláteros, transformaciones de cuadriláteros
para el conteo de cuadriculas, y expresiones que permitan obtener el área y el
perímetro.
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IMÁGENES
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