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Nivelación Restitutiva

Manual del

Docente

2006

Matemática

Geometría1º Medio

Material elaborado por:Facultad de Educación, Pontificia Universidad Católica de ChileEquipo Desarrollo Pedagógico - Programa Liceo Para Todos

Presentación de la Ministra de Educación Marigen Hornkohl

Marzo 2006Estimadas profesoras y profesores:

Al comenzar la década de los noventa, 20 de cada 100 jóvenes no asistía al liceo. Hoy tenemos una cobertura del 93% en educación media y tenemos el firme propósito de seguir avanzando hacia el compromiso —reafirmado a partir de mayo de 2003 por la Constitución— de lograr 12 años de educación para todos.

Lograr que todos los jóvenes chilenos, especialmente los de menores recursos, completen al menos su enseñanza media es una meta en la que estamos trabajando juntos: Ministerio de Educación, sostenedores, docentes, directivos, estudiantes, padres - madres y apoderados.

Este año ampliaremos la subvención pro retención que se pagó por primera vez el 2004 y que el 2005 benefició a los sostenedores de establecimientos que lograron mantener en el sistema escolar a 35 mil niños y jóvenes de las familias más necesitadas, que cursaron entre 7º básico y 4º medio. Además, en los 442 liceos de menores recursos y mayores dificultades educativas, 18 mil alumnos recibirán Beca Liceo para Todos, creada en el año 2000 para asegurar la permanencia en el aula de los estudiantes en riesgo de desertar.

No sólo se trata de que los jóvenes no abandonen el liceo, sino principalmente de que ahí reciban aprendizajes de calidad y aprendan conocimientos y habilidades que les permitan responder apropiadamente a las exigencias del siglo XXI.

En esa perspectiva, Liceo para Todos está apoyando a los liceos que participan del Programa, a desarrollar una experiencia escolar inclusiva y de calidad. La Nivelación Restitutiva —desarrollada desde el año 2000— es una herramienta específica para ese fin. El año pasado, 67 mil estudiantes de primero medio —nivel en el que se produce el mayor retiro y fracaso escolar, en estos establecimientos— recibieron apoyo pedagógico especial para afianzar sus conocimientos en lenguaje y matemática.

A partir del año 2005 ampliamos la cobertura de sectores de aprendizaje que se incorporan a esta innovación, esto es:

• Trabajo diferenciado en ciencias sociales y ciencias naturales (los tres subsectores), a esto se sumaron durante el 2005 14 mil estudiantes.

• Trabajo diferenciado en lenguaje y matemática 2º medio, a esto se sumaron 12 mil 600 estudiantes durante el 2005.

Este material de apoyo docente que ustedes tiene en sus manos es fruto de un esfuerzo compartido. Las versiones anteriores han sido mejoradas gracias al aporte de profesores que han trabajado en el aula con estos manuales en los liceos del Programa. También han entregado su contribución la Universidad de la Frontera, de Temuco, en la parte Lengua Castellana y Comunicación, y la Pontificia Universidad Católica de Chile, en la parte Matemática.

Las publicaciones por sí mismas no aseguran mejores resultados de aprendizaje. Es la acción pedagógica y perseverancia de ustedes —profesoras y profesores— las que permitirán que estos manuales generen real conocimiento en nuestros jóvenes y la oportunidad para que se formen mejor en la enseñanza media.

¡Felicitaciones por su esfuerzo!

MARIGEN HORNKOHL Ministra de Educación

— � —

IntroducciónEl marco curricular y los planes y programas señalan que: “La Ciencia Matemática forma parte del acervo cultural de nuestra sociedad. Es una disciplina cuya construcción ha surgido de la necesidad y/o deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos, tanto de la matemática misma como del mundo de las ciencias naturales, sociales, del arte y de la tecnología.

Por tanto, debemos situarnos en la perspectiva del derecho de que todas las personas deben desarrollar su capacidad de pensar y expresarse matemáticamente, facilitando su incorporación, de manera informada, a una sociedad en constante cambio.

En consecuencia, este manual busca aprovechar la variedad de talentos, necesidades e intereses que poseen los estudiantes para acercarlos a la matemática, estimulando a aquellos cuyos intereses se acercan más a las aplicaciones o a la modelación o a los desafíos de la disciplina misma, brindándoles oportunidades a cada uno de ellos.

Asimismo, este manual de Geometría para Primer Año de Enseñanza Media plantea como eje importante para el aprendizaje de la matemática, la resolución de problemas. Es fundamental que en esta instancia se abran espacios para que los estudiantes respondan preguntas que se hacen entre ellos o planteadas por los docentes, que fundamenten sus argumentos, que describan, expliquen y defiendan sus procedimientos y estrategias de resolución y que atiendan a las explicaciones y argumentaciones de los demás.

La resolución de desafíos y problemas es un tipo de actividad que permite, además del desarrollo de las capacidades para analizar y relacionar en un contexto diversas temáticas, dar significado a conceptos y procedimientos matemáticos favoreciendo su aprendizaje y el desarrollo de una actitud crítica apoyada en la reflexión, acerca de diversos temas”.

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1. Enfoque disciplinario de los Planes y Programas para Geometría

Como ya sabemos, nuestros estudiantes han utilizado diversos conceptos geométricos cuando han estudiado el tema álgebra, en donde las diferentes representaciones gráficas dan sentido y comprensión a los algoritmos utilizados y a las conceptualizaciones realizadas, es decir, que éstos no se transformen en meros artilugios sino que los estudiantes puedan utilizarlos para la resolución de problemas, para la demostración de propiedades, para pensar.

Por otra parte, los Planes y Programas señalan que “el aprendizaje de la geometría se valora como iniciación al pensamiento formal; a este argumento es necesario agregar que también es importante como una fuente de intuiciones, ya que permite aproximaciones a través de pruebas no formales, no axiomatizadas, como dibujos y plegados de papel, es decir, se da paso a la comprobación o a la prueba en matemática”.

Esta última perspectiva es la que interesa explotar en este manual, para que los estudiantes puedan argumentar y fundamentar sus conclusiones en hechos y/o cadenas de afirmaciones coherentes. En cuanto a las demostraciones no formales no deberían ser consideradas como errores o deficiencias, sino como una etapa inicial de un proceso hacia las demostraciones más formales. Uno de los puntos principales a profundizar en este manual es la congruencia de triángulos que se relaciona especialmente con dos temas: las transformaciones isométricas y la construcción de triángulos.

Asimismo, se profundizará en la construcción de triángulos u otra figura geométrica, a partir de sus elementos primarios, discernir sobre cuáles son necesarios y suficientes para determinar un solo tipo de triángulo, ya que éstas son reflexiones importantes para que los criterios de congruencia tengan sentido.

Finalmente, analizaremos que los criterios de congruencia de triángulos, los ejes y centros de simetría de las figuras pasan a ser instrumentos que facilitan el análisis de figuras geométricas; su utilización permite visualizar regularidades y analizar bajo qué condiciones se da tal o cual regularidad.

1.1 Conceptos geométricos trabajados según grupo nivel

A continuación se presentarán esquemas gráficos que muestran los diferentes conceptos geométricos abordados en los grupos de nivel de geometría.

Importancia de los contenidos restituidos en función del desarrollo de los contenidos de primero medio para: Geometría.

Los organizadores gráficos que se presentarán a continuación muestran el recorrido de contenidos contemplados en las unidades de figuras geométricas, transformaciones isométricas, cuerpos geométricos y teoremas.

— � —

Por otra parte, el estudio y trabajo que deben realizar los estudiantes en este GRUPO NIVEL considera el tratamiento de contenidos y conceptos abordados en cursos anteriores y que son importantes para los aprendizajes del programa en NM1.

Asimismo, por las características de nuestros estudiantes y del programa de nivelación restitutiva en aplicación, estos contenidos deben ser recuperados y nuevamente puestos en funcionamiento, por tanto se hace necesario introducirlos de forma tal, que permita progresivamente alcanzar los aprendizajes esperados del nivel, es así como para el desarrollo de esta primera unidad se ha considerado trabajar:

• Clasificación de triángulos y polígonos en general.• Teoremas de congruencia de triángulos.• Criterios de congruencia de triángulos.

A continuación se presenta el organizador gráfico con los diferentes conceptos geométricos a desarrollar en este Grupo Nivel y además cabe señalar la gran importancia de la resolución de problemas como elemento transversal en la enseñanza de todo conocimiento geométrico.

— � —

El siguiente organizador gráfico es una orientación del trabajo a desarrollar en el Grupo Nivel de geometría.

La figura inicial es congruente con la figura trasladada.

La figura rotada es congruente con la figura inicial.

Toda figura simétrica genera dos figuras congruentes respecto del eje de simetría.

Propiedades de la traslación, rotación y simetría.

Rotar objetos o figuras geométricas.

TransformacionesIsométricas.

resoLuCIÓn

de

probLemas

Trasladar objetos o figuras geométricas.

Simetría

Punto inicial, desplazamiento y punto final en una traslación.

Ángulo de giro. Casos específicos de rotación: medio giro (1�0°), un cuarto de giro (90°) y giro completo (360°).

Punto de giro o punto en torno al que se realiza la rotación.

Eje de simetría. Que los puntos en una simetría equidistan del eje interno o externo de simetría.

unidades temáticas abordadas

en el material.

Contenidos abordados en el

material.

Lo que nivelaremos y desarrollaremos en

el material.

— 9 —

Como podemos observar, los organizadores gráficos muestran el trabajo en el Grupo Nivel en términos conceptuales, es decir, los organizadores van mostrando la secuencia de contenidos desarrollados en cada Grupo Nivel.

Frente a lo anterior, es imprescindible que el profesor relacione y analice, antes de llevar a cabo cualquier enseñanza, cada organizador gráfico con el Grupo Nivel de geometría, y así, identificar los diferentes contenidos y aprendizajes esperados con el desarrollo de los contenidos en cada nivel.

Otro punto importante a señalar, es que el profesor debe explicitar a sus estudiantes que todo conocimiento geométrico se caracteriza por su fuerte relación con la representación gráfica de éstos, lo cual esta desarrollado en profundidad en los diferentes niveles del Grupo Nivel de geometría.

Dos triángulos son congruentes si ambos triángulos presentan sus tres pares de lados respectivamente iguales (criterio LLL).

Dos triángulos son congruentes si ambos triángulos tienen dos pares de lados iguales y los ángulos comprendidos entre dichos lados respectivamente iguales (criterio (LAL).

Dos triángulos son congruentes si ambos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales y los lados comprendidos entre dichos ángulos respectivamente iguales (criterio (ALA).

Reconocer principales características y propiedades de los polígonos.

Clasificar los polígonos según número de lados: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc.

Clasificar los polígonos según la medida de sus lados y sus ángulos; polígonos regulares e irregulares.

Reconocer principales características y propiedades de los triángulos según la medida de sus ángulos (acutángulo, rectángulo y obtusángulo) y según la medida de sus lados (equilátero, isósceles y escaleno).

Teoremas de congruencia de triángulos.

Caracterizacióny clasificación de polígonos.

FigurasGeométricas.

resoLuCIÓn

de

probLemas


en el material.


material.


el material.

— 10 —

Continuando con el análisis de conceptos trabajados según cada Grupo Nivel, el siguiente organizador gráfico es una orientación de cómo llevar a cabo la enseñanza respecto de los cuerpos geométricos y su relación con los aprendizajes esperados que se proponen en los grupos de nivel de geometría.

Se recuerda que los diferentes organizadores conceptuales pueden ser relacionados entre ellos, ya que una enseñanza centrada en buscar las relaciones implícitas entre los diferentes conceptos geométricos es una enseñanza centrada en la reflexión.

Por ende, si el profesor lo estima conveniente, puede preparar sus clases descubriendo las relaciones entre transformaciones isométricas, figuras geométricas y cuerpos geométricos. Un ejemplo de ello se muestra a continuación: Las transformaciones isométricas tienen la propiedad de que las figuras trasladadas o rotadas son siempre congruentes a la inicial, además si trasladamos y/o rotamos polígonos regulares (los cuales tienen como propiedad que sus lados y ángulos son congruentes entre si) podemos teselar el plano de tal manera de construir una red geométrica a partir de polígonos regulares, lo cual a su vez permite “armar” los cuerpos geométricos denominados poliedros regulares, tales como el tetraedro, el icosaedro, entre otros.

Es la representación en el plano de las diferentes caras con que se arman los cuerpos geométricos.

Redes geométricas.

Poliedros irregulares.

Cuerpos geométricos.

resoLuCIÓn

de

probLemas

Poliedros regulares.

Cuerpos redondos.

Son los cuerpos geométricos cuyas caras son congruentes: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.

Son los cuerpos geométricos en que no todas las caras son congruentes entre sí: prismas y pirámides.

Son los cuerpos geométricos que tienen al menos una de sus caras o superficies de forma curva: conos, cilindros y esferas.


en el material.


material.


el material.

— 11 —

Por otra parte, el estudio de conjeturas, proposiciones, regularidades y patrones también esta presente en los diferentes grupos de nivel de geometría, el objetivo es que los estudiantes puedan establecer las reglas que operan en este tipo de situaciones, las cuales están presentadas ellas en contextos distintos (numéricos y geométricos).

De esta manera, la enseñanza del teorema de Pitágoras y de conjeturas tiene como base el estudio de regularidades, con lo cual el profesor debe generar un espacio en que los estudiantes formulen hipótesis, es decir, que ellos planteen posibles conclusiones a las situaciones estudiadas.

Pero, el profesor no sólo debe dar espacios de reflexión, sino que debe orientar a sus estudiantes a relacionar las diferentes formas de “representar” un concepto geométrico. Un ejemplo de ello es el siguiente: El teorema de Pitágoras tiene como representación simbólica “a2 + b2 = c2” y su representación en lenguaje natural es “La suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado”, entonces “a2” está directamente relacionado con el área de una figura geométrica, específicamente la de un cuadrado y con una unidad de medida que puede ser “cm2”, “m2”, entre otras.

Así, toda enseñanza de la geometría debe tener un tercer momento en que el estudiante conceptualiza lo aprendido, es decir, el estudiante debe lograr diferenciar las diferentes formas en que se puede “representar” el teorema de Pitágoras.

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre cada cateto.

Conjeturas: Son afirmaciones que no han sido demostradas por medio de un razonamiento matemático.

Proposiciones: Son afirmaciones que puede demostrarse su veracidad o falsedad.

Pitágoras

Conjeturas y proposiciones.

Teoremas


en el material.


material.


el material.

— 12 —

2. El diagnóstico de las disposiciones de aprendizaje 2.1 su rol en el aprendizaje

La evaluación se considera como parte del proceso de construcción del aprendizaje. Debe proveer al estudiante y al docente de la retroalimentación necesaria para diagnosticar, corregir y orientar las actividades futuras. Es recomendable que se evalúen diversos aspectos del proceso de aprendizaje, y no sólo los resultados de los diversos ejercicios.

Cobra relevancia observar y evaluar el tipo de razonamiento utilizado, el método empleado, la originalidad de la o las ideas planteadas. Uno de los criterios para la definición de las formas que tome la evaluación es que ésta debe ser consecuente con el propósito de mejorar el aprendizaje. Si se evalúa, por ejemplo, sólo la repetición memorística de datos, se está reforzando la idea de que ése es el tipo de educación que se quiere promover; si se evalúan desempeños, capacidad de resolver problemas, de manejar información, se está propiciando una educación flexible, abierta, con más sentido para quienes aprenden, con propósitos inmediatos (sirve para hoy) y de largo plazo (preparan para la vida adulta)1 .

En las Reformas Educativas actuales la evaluación diagnóstica adquiere una nueva e importante dimensión desde la perspectiva del aprendizaje significativo. El aprendizaje del estudiante ha de partir de los esquemas previos que el alumno posee. Es la evaluación diagnóstica la que debe fijar estos esquemas previos a partir de la siguiente pregunta: ¿Qué tienen que saber nuestros alumnos, al principio de un curso escolar, para poder comenzar un área, nivel o asignatura determinada? ¿Cuáles son los esquemas previos o ideas previas que poseen? Y ello debe responderse de una manera pormenorizada. Pero también el aprendizaje significativo, desde un modelo de enseñanza centrado en procesos, afirma que el aprendizaje está en función de las capacidades previas que un alumno posee.

Y estas capacidades deben ser diagnosticadas como facilitadotas de un potencial de aprendizaje. La evaluación diagnóstica por ello, debe precisar cuáles son y en qué nivel se utilizan las técnicas instrumentales: lectura mecánica y comprensiva; escritura mecánica y comprensiva; cálculo mecánico y comprensivo. Pero también la evaluación diagnóstica debe acotar los procesos de razonamiento del alumno, en concreto, los siguientes: razonamiento lógico, orientación espacio-temporal y expresión oral y escrita.

Para el aprendizaje constructivo y significativo es necesario partir de los conceptos y experiencias que el alumno posee y sus capacidades-destrezas básicas, para desde ahí elaborar adecuadamente los nuevos aprendizajes tanto conceptuales (arquitectura del conocimiento) como instrumentales (nuevas destrezas a desarrollar). La evaluación diagnóstica en este contexto es el punto cero del aprendizaje, que facilita la reelaboración de conceptos y el conflicto cognitivo desde una base firme y sólida (Román y Diez, 1994, 1999, 2000) 2

1 Programa de Estudio. MINEDUC.

2 E. Diez L y M. Román P., Conceptos básicos de las reformas educativas iberoamericanas, Edit. Andrés Bello.

— 13 —

2.2 aprendizajes evaluados, actividades y tiempo de aplicación

Cada instrumento esta organizado en función de las competencias y niveles de desempeños considerados oportuno evaluar en los alumnos de este programa. Por lo tanto se hace necesario que el profesor o profesora, previo a la aplicación de estos instrumentos (en particular del tema Geometría), revise la tabla de especificaciones con el objeto de estudiar los diferentes aspectos que cubre el diagnóstico, donde se especifica el ámbito de las habilidades evaluadas, las competencias, los aprendizajes y los desempeños considerados para cada ítem en particular.

El estudio previo de estas especificaciones y el instrumento mismo (el cual encontrará en el cuaderno destinado para ello), es sin duda, importante para la claridad del proceso de implementación y posterior revisión de la evaluación a la cual se someterá a los estudiantes.

Tabla de especificaciónTema Geometría

Habilidad Competencia aprendizaje Indicadores Item

Conocimiento

Reconocer las condiciones necesarias y/o suficientes que definen un concepto geométrico.

1. Identificar elementos constitutivos de una figura geométrica de 2 o 3 dimensiones.

1.1. Identificar figuras geométricas de 2 dimensiones.

1 y 2

1.2. Identificar cuerpos geométricos.

3

2. Identificar propiedades particulares de figuras geométricas y cuerpos geométricos.

2.1. Identificar propiedades específicas de figuras geométricas de 2 dimensiones: triángulo, rectángulo, cuadrado y circunferencia.

4, �, 6 y �

2.2. Identificar propiedades específicas de cuerpos geométricos: cubo, cilindro, pirámide de base cuadrada, paralelepípedo.

�, 9, 10 y 11

3. Identificar propiedades generales de figuras geométricas y cuerpos geométricos.

3.1. Identificar propiedades generales de: triángulos, cuadriláteros, paralelepípedos, cilindros.

12, 13, 14 y 1�.

4. Distinguir entre una propiedad particular y una general de figuras geométricas y cuerpos geométricos

4.1 Distinguir en los triángulos, entre una propiedad particular y una general

16

4.2 Distinguir propiedades entre un cuadrado y un rectángulo.

1�

— 14 —

Habilidad Competencia aprendizajes Indicadores Item

Resolución de problemas

Utilizar conocimientos geométricos para resolver problemas en variados contextos.

1. Identificar y seleccionar los datos y/o conocimientos geométricos relevantes para representar el problema planteado.

1.1. Identificar y seleccionar los datos relevantes para representar una ventana.

1�

1.2. Identificar los datos relevantes para representar un techo.

19

2. Construir un procedimiento y/o algoritmo adecuado para determinar las posibles soluciones del problema.

2.1. Construir un procedimiento y/o algoritmo adecuado para determinar la superficie de una lámina de goma

20

2.2. Construir un procedimiento y/o algoritmo adecuado para determinar el largo de una cuerda, teorema de Pitágoras.

21

3. Analizar los resultados encontrados a un problema y evaluar las diferentes soluciones al problema planteado.

3.1. Analizar y evalúa diferentes posiciones de un elevador tijera.

22

3.2. Analizar y evalúa diferentes soluciones a una descripción de la representación gráfica del teorema de Pitágoras.

23

— 1� —

2.3 evaluación diagnóstico del tema Geometría

protocolo de instrucciones para el profesor(a)

La Nivelación Restitutiva del Programa Liceo Para Todos, considera la aplicación de un instrumento de evaluación de matemática en cada tema: Número, Geometría y Álgebra. En su parte fundamental cada uno está destinado a diagnosticar el grado de conocimiento y manejo de aquellos aprendizajes esperados que han debido trabajar los alumnos y alumnas en el segundo ciclo de Educación Básica y que son considerados relevantes para dar inicio al proceso de enseñanza aprendizaje que deberán emprender los estudiantes en primer año medio.

Instrucciones generales para su aplicación

1. La prueba se aplicará a todo el 1º año medio. Excepto aquellos casos que informados con anterioridad deban prorrogar la aplicación de la evaluación para una fecha posterior.

2. El tiempo asignado para la aplicación de la prueba es de 6 horas pedagógicas, sin embago se debe privilegiar el que esta se termine, por lo tanto la decisión final quedará a criterio del profesor.

3. Si un alumno llega tarde a rendir su prueba el profesor tomará la decisión de asignar un tiempo proporcional a su retraso para que este pueda culminarla en el tiempo fijado, de lo contrario, puede administrarla en otro día para todos aquellos casos que fueron debidam ente justificados.

4. Observar que la distribución de los alumnos en la sala permita conservar una distancia prudente, que les impida ver la prueba entre ellos y posibilite la mínima distracción posible.

�. Cualquier cálculo o dibujo lo pueden realizar en el espacio asignado para cada pregunta o bien, en caso contrario, entregar una hoja en blanco si alguno de ellos la requiere.

6. El profesor, si lo estima pertinente, puede leer en voz alta aquellas preguntas que por su vocabulario o redacción puedan complicar la comprensión del alumno. La reiterará a un alumno en particular cuando lo estime estrictamente necesario.

�. Si un alumno termina su evaluación antes del tiempo programado podrá salir de la sala o realizar otra actividad previamente acordada con la profesor (a).

orientaciones para su revisión

La construcción del instrumento se realizó en función de ítems de respuestas para el desarrollo. Este es un punto importante, pues a partir del o los registros de procedimientos hechos por los estudiantes estaremos en condiciones de hacernos un panorama general del nivel de trabajo y dominio de contenidos y conceptos que tiene cada alumno. Por ejemplo: es probable que la respuesta final de un alumno en una pregunta no sea la correcta, pero sí su desarrollo da cuenta clara que su procedimiento estaba bien encaminado, que su secuencia de operaciones lo conducían definitivamente a la respuesta acertada, pero tuvo problemas en el cálculo u algoritmo de las operaciones involucradas. Mirado esto como proceso, ciertamente es determinante, ya que estamos en presencia de una situación que desde el punto de vista de la evaluación y aprendizaje, resulta significativa al momento de definir que se prioriza en el proceso.

— 16 —

Muchos de nuestros estudiantes, dan muestra de tener conocimientos en acto que efectivamente tienen relación directa con lo que se les pregunta y que probablemente lo que no manejan es la solución experta o “deseada”, pero su desarrollo y registros dan muestras evidentes de que efectivamente tenía claridad respecto de lo que se le preguntaba lo que debía resolver. Anteriormente señalamos la importancia para el proceso, del estudio y revisión previa de las tablas y el instrumento por aplicar, e insistimos que en ellos se específica claramente lo que se desea evaluar. Este aspecto es también determinante, por ello recalcamos que se deben tener muy presentes los objetivos de medición relacionados con cada ítem, por que efectivamente de éstos depende en gran medida la claridad que se debe tener respecto de qué es lo que se quiere que el alumno responda y no caer así, en subjetividades que nos dispersen del objetivo en cuestión. Ello permitirá además, afianzar el grado de objetividad y confiabilidad de la evaluación al momento de la distribución en grupos de nivel, pues la organización de competencias, desempeños e ítems son de complejidad creciente.

— 1� —

Tablas de desempeño, análisis de los resultados y criterios de conformación de los grupos de nivel.

Para la habilidad del conocimiento geométrico, resolución de problemas y estructuración y generación de conceptos matemáticos se formularon tres competencias que permiten describir los indicadores de aprendizajes para este eje curricular:

A continuación se presentarán las tablas que permitirán evaluar cada uno de los ítems que conforman la evaluación diagnóstica del Tema Geometría.

Habilidad aprendizaje Item nivel I nivel II nivel III

Conocimiento

1. Identificar elementos constitutivos de una figura geométrica de 2 ó 3 dimensiones.

1 Identifica correctamente sólo el nombre de dos figuras geométricas ó identifica solamente la representación gráfica de dos de éstas.

Identifica correctamente dos figuras geométricas con su nombre y su respectiva representación gráfica correspondiente.

Identifica correctamente el nombre y las diversas representaciones gráficas de figuras de dos dimensiones.

2 Identifica y asocia correctamente o los triángulos, ó el cuadrado, ó los cuadriláteros con el número correspondiente en cada pieza.

Identifica y asocia correctamente todos los triángulos y el cuadrado, ó todos los cuadriláteros con el número correspondiente en cada pieza.

Identifica y asocia correctamente los triángulos, el cuadrado y los cuadriláteros con el número correspondiente en cada pieza.

3 Identifica correctamente solo algunos de los objetos que tienen forma de cilindro y no describe las propiedades de las caras que conforman su red.

Identifica correctamente solo algunos de los objetos que tienen forma de cilindro y describe correctamente una de las dos propiedades de las caras que conforman su red.

Identifica correctamente los objetos que tienen forma de cilindro, y describe correctamente las propiedades de las caras que conforman su red.

— 1� —


Conocimiento


4 Identifica correctamente una propiedad particular de la figura geométrica denominada circunferencia.

Identifica correctamente dos propiedades particulares de la figura geométrica denominada circunferencia.

Identifica correctamente tres propiedades particulares de la figura geométrica denominada circunferencia.

� Identifica que la figura geométrica es un triángulo y no explicita propiedades particulares respecto de éste.

Identifica correctamente el nombre del triángulo a partir de la medida de los lados, pero no identifica la propiedad particular respecto de la medida de sus ángulos.

Identifica correctamente el nombre del triángulo a partir de las propiedades particulares de éste.

6 Identifica correctamente que es un rectángulo y no explicita las propiedades particulares respecto de sus lados y de sus ángulos

Identifica correctamente que es un rectángulo y explicita las propiedades particulares respecto de sus lados ó de sus ángulos.

Identifica correctamente que es un rectángulo y explicita las propiedades particulares respecto de sus lados y sus ángulos.

� Identifica correctamente la representación gráfica del cuadrado pero tiene dificultades para explicita propiedades particulares de éste.

Identifica incorrectamente la representación gráfica del cuadrado y explicita dos propiedades particulares de éste.

Identifica correctamente la representación gráfica del cuadrado y explicita al menos dos propiedades particulares de éste.

— 19 —


Conocimiento


� Identifica correctamente una propiedad particular del cuerpo geométrico denominado cubo.

Identifica correctamente dos propiedades particulares del cuerpo geométrico denominado cubo.

Identifica correctamente tres propiedades particulares del cuerpo geométrico denominado cubo.

9 No identifica las propiedades particulares de las figuras geométricas que conforman la red del cilindro.

Identifica algunas de las propiedades particulares de las figuras geométricas que conforman la red del cilindro.

Identifica todas las propiedades particulares de las figuras geométricas que conforman la red del cilindro.

10 No identifica la red geométrica de una pirámide de base cuadrada y no explicita las propiedades particulares de las figuras geométricas que conforman la red.

Identifica la red geométrica de una pirámide de base cuadrada y explicita algunas de las propiedades particulares de las figuras geométricas que conforman la red.

Identifica la red geométrica de una pirámide de base cuadrada y explicita todas las propiedades particulares de las figuras geométricas que conforman la red.

11 No identifica el nombre y no identifica propiedades particulares de las figuras geométricas o caras que conforman a un paralelepípedo.

Identifica propiedades particulares de las figuras geométricas o caras que conforman a un paralelepípedo, pero no su nombre.

Identifica el nombre y propiedades particulares de las figuras geométricas o caras que conforman a un paralelepípedo.

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Conocimiento

3. Identificar propiedades generales de figuras geométricas y cuerpos geométricos.

12 Identifica una propiedad general de las figuras geométricas denominadas triángulos.

Identifica dos propiedades generales de las figuras geométricas denominadas triángulos.

Identifica tres propiedades generales de las figuras geométricas denominadas triángulos.

13 Identifica una propiedad general de los cuadriláteros.

Identifica dos propiedades generales de los cuadriláteros.

Identifica tres propiedades generales de los cuadriláteros.

14 Identifica una propiedad general de un paralelepípedo.

Identifica dos propiedades generales de un paralelepípedo.

Identifica tres propiedades generales de un paralelepípedo.

1� Identifica una propiedad general de un cilindro.

Identifica dos propiedades generales de un cilindro.

Identifica tres propiedades generales de un cilindro.

4. Distinguir entre una propiedad particular y una general de figuras geométricas y cuerpos geométricos

16 Distingue una propiedad particular de una general, entre dos figuras geométricas triangulares.

Distingue dos propiedades particulares de una general, entre dos figuras geométricas triangulares.

Distingue tres propiedades particulares de una general, entre dos figuras geométricas triangulares.

1� Distingue una propiedad particular de una general, entre dos cuadriláteros.

Distingue dos propiedades particulares de una general, entre dos cuadriláteros.

Distingue tres propiedades particulares de una general, entre dos cuadriláteros.

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Resolución de problemas

1. Identificar y seleccionar los datos y/o conocimientos geométricos relevantes para representar el problema planteado.

1� y 19

Gráfica correctamente el problema planteado, pero no selecciona datos de los involucrados en el problema.

Gráfica correctamente el problema planteado, pero selecciona solo un dato de los involucrados en el problema.

Identifica, selecciona los datos y grafica correctamente el problema planteado.

2. Construir un procedimiento y/o algoritmo adecuado para determinar las posibles soluciones del problema.

20 y 21

Construye incorrectamente un algoritmo para encontrar la solución al problema, pero la representación gráfica del problema es correcta.

Construye un algoritmo adecuado para determinar la solución del problema, pero representa incorrectamente los datos en dibujo del problema planteado.

Construye un algoritmo adecuado para determinar la solución del problema y representa correctamente los datos en el dibujo del problema planteado.

3. Analizar los resultados encontrados a un problema y evaluar las diferentes soluciones al problema planteado

22 y 23

Analiza y evalúa incorrectamente las diferentes soluciones a un problema planteado.

Analiza y evalúa correctamente solo una solución a un problema planteado.

Analiza y evalúa correctamente diferentes soluciones a un problema planteado.

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Habilidad aprendizaje Ítem nivel I nivel II nivel III

Estructuración y generalización del conocimiento matemático

1. Analizar diferentes situaciones y expresar las características geométricas comunes y/o distintas en cada caso.

24 Analiza casos particulares de figuras geométricas triangulares y expresa una característica geométrica común a éstas.

Analiza casos particulares de figuras geométricas triangulares y expresa dos características geométricas comunes a éstas.

Analiza casos particulares de figuras geométricas triangulares y expresa tres características geométricas comunes a éstas.

2� Analiza casos particulares de polígonos y expresa correctamente la cantidad de figuras triangulares que se necesitan para construir uno de los tres polígonos respectivamente.

Analiza casos particulares de polígonos y expresa correctamente la cantidad de figuras triangulares que se necesitan para construir dos de los tres polígonos respectivamente.

Analiza casos particulares de polígonos y expresa correctamente la cantidad de figuras triangulares que se necesitan para construir los tres polígonos respectivamente.

2. Representar simbólicamente afirmaciones geométricas.

26 Construye una representación simbólica del Teorema de Pitágoras, pero no utiliza los datos dados en la representación gráfica.

Representa simbólicamente el Teorema de Pitágoras a partir del enunciado en lenguaje natural, pero utiliza incorrectamente los datos dados en la representación grafica.

Representa simbólicamente el Teorema de Pitágoras a partir del enunciado en lenguaje natural y según los datos dados en la representación gráfica.

3. Evaluar representaciones simbólicas a través de distintos casos y proponer conclusiones o conjeturas geométricas.

2� Evalúa correctamente la representación simbólica a través de diferentes casos, obteniendo una de las tres conclusiones pedidas.

Evalúa correctamente la representación simbólica a través de diferentes casos, obteniendo dos de las tres conclusiones pedidas.

Evalúa correctamente la representación simbólica a través de diferentes casos, obteniendo las conclusiones pedidas.

— 23 —

distribución de resultados para determinar el grupo nivel que desarrollará un alumno, en función de los resultados en el diagnóstico.

Ítems

nivel a desarrollar

distribución de desempeñosnivel I

distribución de desempeñosnivel II

distribución de desempeñosnivel III

Cuadernillo 1si 15 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Si a lo más � respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Si a lo más 6 respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Cuadernillo 2


si 8 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.


Cuadernillo 3


Si a lo más � respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

si 6 o más respuestas se encuentran en este nivel de desempeño.

Como podemos observar en este cuadro, los estudiantes que deben trabajar en el grupo Nivel I, demostrarán en su diagnóstico, mayoritariamente, desempeños del Nivel I, lo que implica que sus habilidades matemáticas se encuentran poco desarrolladas; es decir, por ejemplo, en el ámbito de resolución de problemas, analizan y evalúan incorrectamente las diferentes soluciones a un problema planteado, o presentan unas disposiciones de aprendizaje que permiten establecer que son capaces de graficar correctamente un problema, pero no seleccionan algunos de los datos involucrados en él.

Los estudiantes que deben desarrollar el grupo Nivel II, muestran una distribución de sus desempeños que, si bien puede presentar un mayor porcentaje de desempeños en el Nivel I, tienen disposiciones de aprendizaje aceptables en el ámbito de las habilidades matemáticas; por ejemplo, en resolución de problemas, el estudiante es capaz de analizar y evaluar correctamente sólo una solución a un problema planteado o construir un algoritmo adecuado para determinar la solución de un problema, pero representa incorrectamente a través de un gráfico, los datos del problema planteado.

A su vez los estudiantes que trabajarán en el grupo Nivel III, evidencian disposiciones de aprendizaje adecuadas para enfrentar los saberes que se deben desarrollar en la enseñanza media.

Consideraciones importantes:

• En caso de distribuciones similares en dos niveles se favorece el nivel superior, siempre y cuando el porcentaje de incorrectas y/o omitidas sea menor que el porcentaje de correctas en cualquiera de los niveles.

— 24 —

• En caso de distribuciones de porcentajes iguales en los tres niveles, se ubica en el nivel medio, siempre y cuando el porcentaje de incorrectas y/o omitidas sea menor que el porcentaje de correctas en cualquiera de los niveles.

• Si el porcentaje de incorrectas y/o omitidas corresponde a un tercio o más de la prueba el alumno debe realizar el grupo Nivel I.

Los casos siguientes se presentan como ejemplos para la aplicación del cuadro descrito anteriormente:

Caso I

% Ítems diagnóstico

Caso

distribución de desempeñosnivel I

distribución de desempeños nivel II

distribución de desempeños nivel III

omitidosy/oIncorrectos

CASO IDistribución de desempeños es similar en los distintos niveles (dispersión de resultados tiende a ser equivalente en los tres niveles).

Una distribución menor.

El alumno debe realizar el Grupo nivel II.

Caso II% Ítems

diagnósticoCaso

distribución de desempeños nivel I




CASO IILa dispersión de resultados mayoritariamente se encuentran en estos niveles, en forma equivalente.

La dispersión de resultados es equivalente en estos casos, pero comparativamente menor que en los niveles anteriores.


Caso III% Ítems

diagnósticoCaso





CASO IIILa dispersión de resultados se encuentra mayoritariamente en este nivel.

La dispersión de resultados es menor que la dispersión que en el Nivel I pero mayor a la Nivel III.

La dispersión de resultados es equivalente en estos casos, pero comparativamente menor que en los niveles anteriores.

El alumno debe realizar el Grupo nivel I.

— 2� —

Caso IV% Ítems

diagnósticoCaso





CASO IVDistribución similar al de los niveles 2 y omitidas o incorrectas.

La dispersión de resultados se encuentra mayoritariamente en este nivel.

La dispersión de resultados mayoritariamente se encuentran en estos niveles, en forma equivalente.


Caso V% Ítems

diagnósticoCaso





CASO IVLa dispersión de resultados mayoritariamente s encuentran en estos niveles, en forma equivalente.

No presenta distribución en este nivel.

Distribución similar al de los niveles 1 y 2.

El alumno debe realizar el Grupo nivel I.

— 26 —

3. Trabajo en grupos de nivel Las siguientes orientaciones no pretenden ser absolutas y tampoco coartar la creatividad

del profesor (a), pero si nos mueve el interés de que previo a la implementación de la propuesta que trae cada grupo nivel, estas sean revisadas y analizadas, puesto que son complemento importante de la gestión docente que hará el profesor (a) en el aula.

En síntesis, ellas dan cuenta del propósito y énfasis didáctico pensado y desarrollado en la elaboración de estos productos de enseñanza.

3.1 Consideraciones generales

Previo al inicio de la clase será de suma importancia que el profesor establezca un contrato didáctico con los alumnos, su objetivo fundamental es la definición de reglas y condiciones de trabajo que ambas partes acordarán y además se comprometen a cumplir durante el desarrollo de la clase.

Recordemos que la organización del curso en grupos de nivel hace aún más necesario, para la eficacia de la propuesta y la atención diferenciada de los estudiantes, definir claramente con los alumnos la modalidad de trabajo: individual o en pareja, luego un momento de socialización del trabajo personal, donde cada uno tenga la posibilidad de comunicar sus hallazgos y compartir sus dificultades.

Un tercer momento involucra al profesor, él puede realizar una puesta en común donde sea debatida y argumentada la producción de los alumnos.

Es un momento importante, esta define y orienta la intervención posterior del profesor con un claro objetivo de conducción, es decir, en él recae la responsabilidad de realizar la consolidación final de los temas y conceptos trabajados en clase.

La asignación del tiempo para el desarrollo de las actividades es importante. Se sugiere asignar tiempos prudentes, de acuerdo al estudio preliminar que hará el profesor (a) de las actividades seleccionadas del grupo nivel, no es imperioso que todos los alumnos deban concluir el trabajo para iniciar la puesta en común, aquí es cuando las reglas establecidas en el contrato deben ser consistentes.

No olvidemos que la puesta en común es un momento que debe permitir a todos los alumnos confrontar: sus hallazgos, trabajo realizado y grado de responsabilidad en la ejecución de sus tareas.

3.2 Consideraciones generales respecto de la consolidación del conocimiento

Un momento relevante en la gestión de la clase será aquel destinado a consolidar y sistematizar clase a clase, los conocimientos tratados por los estudiantes.

Los estudiantes asumirán, la modalidad de trabajo donde la distribución del tiempo y tareas asignadas, en los distintos momentos de la clase, darán cuenta del trabajo realizado. Insistimos en que esta consolidación es de responsabilidad del profesor, es el momento en que él conocimiento matemático se sistematiza.

— 2� —

Es por esto que a continuación presentamos una síntesis de los contenidos y definiciones a trabajar durante la gestión de la clase para cada una de las unidades del grupo nivel. Posterior a esta presentación se entregan orientaciones didácticas importantes para cada unidad considerando el trabajo diferenciado que se debe hacer según la organización por grupos de nivel

3.3 síntesis conceptos relacionados con el eje de geometría

Los temas a desarrollar en los grupos de nivel de geometría hacen alusión a los siguientes tópicos de conocimiento matemático:

• polígonos: Propiedades y clasificaciones según sus elementos constituyentes. En este tema se desarrollará preferentemente la clasificación de los cuadriláteros y triángulos, sus propiedades y de profundizará en la conceptualización a partir de condiciones necesarias y/o suficientes.

• Transformaciones isométricas: Rotación, traslación y simetría. En este tema se ahondará en las condiciones necesarias que deben cumplirse para que dos figuras geométricas sean denominadas como congruentes. Por otra parte, se desarrollará la combinación de estas diferentes transformaciones isométricas y sus respectivos corolarios matemáticos que se desprenden de estos conceptos geométricos.

• Cuerpos geométricos: Propiedades, clasificaciones y redes geométricas. En este tema se profundizará en las condiciones necesarias que deben cumplirse entre las diferentes figuras geométricas que conforman las redes geométricas de cada cuerpo geométrico. Además se presentará un esquema de la clasificación de los cuerpos geométricos.

• Teoremas: Teorema de Pitágoras, Teorema de congruencia de triángulos y criterios de semejanza, pruebas, propiedades y enunciados matemáticos. En este tema de especificará la lógica de construcción y argumentación de afirmaciones matemáticas, las cuales pueden propiedades o enunciados geométricos que deben ser validadas o refutadas a través de contraejemplos.

3.4 desarrollo del primer tema: polígonos

Este primer tema dedicado a Polígonos tendrá por orientación un desarrollo conceptual de clasificación de los cuadriláteros y triángulos, sus propiedades y además se darán orientaciones para su enseñanza a partir de las teorías y principios de Didáctica de la Matemática y Geometría.

3.4.1 objetivos fundamentales transversales a relacionar con la temática conceptual de polígonos

Los OFT a desarrollar en esta temática se refiere al ámbito de Desarrollo del Pensamiento, el cual hace alusión a habilidades de investigación, a través de las actividades que suponen selección y organización de información y datos, y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, así como a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro.

— 2� —

3.4.2 resumen y clasificación de contenidos restituidos en el tema de polígonos

Para lograr un buen desarrollo y comprensión de los conocimientos geométricos para NM1, los contenidos restituidos fueron la clasificación de ángulos. • Ángulo agudo es el ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°• Ángulo recto es el ángulo cuya medida es de 90°• Ángulo obtuso es el ángulo cuya medida es mayor que 90° y menor que 1�0°• Ángulo extendido es el ángulo cuya medida es de 1�0°• Ángulo completo es el ángulo cuya medida es de 360° A continuación se muestra una representación gráfica de la clasificación de los ángulos

según su medida.

Ahora se presentarán otros conocimientos relacionados con la restitución para NM1.

• Los ángulos complementarios son aquellos que sumados dan 90°.• Los ángulos suplementarios son aquellos que sumados dan 1�0°.• Los ángulos consecutivos o contiguos son aquellos que tienen un lado común.• Los ángulos adyacentes son aquellos ángulos que comparten un vértice (vértice en

común), un lado (en común) y no tienen puntos interiores en común (sector angular).

3.4.3 desarrollo, resumen y clasificación de contenidos involucrados en el tema polígonos

Conceptualización del conocimiento geométrico: polígono

A continuación analizaremos diferentes definiciones que hacen referencia a la conceptualización de polígono.

• Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos, los cuales son denominados lados.

• Otra forma de explicar el concepto geométrico de polígono es dibujando varios segmentos consecutivos. Entonces, un polígono es “una figura plana que está formada por la unión de un conjunto de n segmentos consecutivos que se intersectan a lo más en un extremo común y donde cualquier par de ellos con un extremo común no es colineal”. Y por tanto

3 http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconceptos/poligonos_desarrollo.htm

Ángulo agudo

Ángulo extendido

Ángulo recto

Ángulo completo

Clasificación de ángulos

Ángulo obtuso

0 0

0 0

0

— 29 —

Conceptualización del conocimiento geométrico Polígono

Enunciado verbal relacionado con polígono.

¿Es condición necesaria para definir polígono?

¿Es condición suficiente para definir polígono?

Es una figura plana cerrada delimitada por segmentos.

Si es necesario para definir polígono.

No es suficiente para definir polígono.

Es la unión de varios segmentos consecutivos.


No es suficiente para definir polígono.

Es una figura plana formada por la unión de segmentos consecutivos que se interceptan en, a lo más, un punto.


Si es suficiente para definir polígono.

Observando la tabla anterior, podemos inferir que a la hora de conceptualizar “polígono” es fundamental tener claridad de cual es el enunciado que describe completamente el conocimiento geométrico a enseñar, ya que podemos ver que en los dos primeros enunciados verbales “es necesario” la información dada en esas afirmaciones, pero “no es suficiente” para hablar de todos los casos posibles de figuras geométricas poligonales. No obstante, podemos apreciar que la última afirmación sí contiene información “necesaria y suficiente” para hablar de todos los casos posibles de polígonos, y por ende conceptualizar este conocimiento geométrico.

sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. Las figuras poligonales pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas (si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 1�0°) y convexas (si todos sus ángulos interiores miden menos de 1�0°).

Entonces, ¿Qué es lo que hace que una figura geométrica sea llamada polígono? ¿Sus diferentes formas o representaciones gráficas? ¿Sus elementos constituyentes? ¿Las palabras utilizadas en su definición? Para dar respuestas a estas preguntas, debemos ahondar en las condiciones necesarias y suficientes para conceptualizar un conocimiento geométrico a enseñar.

A continuación se presenta una tabla que muestra una primera aproximación al desarrollo de condiciones necesarias y suficientes para conceptualizar un polígono.

— 30 —

Conceptualización del conocimiento geométrico polígono

Enunciado verbal relacionado con polígono

Representación gráfica del enunciado verbal.

¿Basta con estas representaciones gráficas?

Es una figura plana cerrada delimitada por segmentos.

Son necesarias para definir polígono, ya que la segunda figura no es un polígono.

Es la unión de varios segmentos consecutivos.

Son necesarias para definir polígono, ya que las dos figuras no son polígonos.

Es una figura plana formada por la unión de segmentos consecutivos que se intersectan en, a lo más, un punto.

Si es suficiente, ya que ambas representaciones gráficas cumplen con las propiedades geométricas.

Ahora analizaremos las representaciones gráficas de las afirmaciones anteriores.

De esta manera podemos concluir que cuando se quiere conceptualizar un conocimiento geométrico, debemos tener presente un enunciado verbal o una afirmación matemática que indique claramente lo que es un polígono; además se deben presentar diversas representaciones gráficas relacionadas a las afirmaciones planteadas para poder las imágenes que permiten conceptualizar el contenido a enseñar.

Área de un polígono regular

Si un polígono tiene todos sus lados y ángulos de igual medida, se llama polígono regular. Si no cumple esta condición se llama polígono irregular. Para calcular el área de un polígono regular, específicamente el de un HEPTÁGONO, necesitamos realizar los siguientes pasos:

• el perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados.

• el apotema que es el segmento que une el centro del polígono con la mitad de un lado. Apotema

— 31 —

Entonces, el área del heptágono se calcula de la siguiente forma:

Área del triángulo = (base • altura) / 2

Aquí se trabaja bajo el supuesto de que todo heptágono puede formarse a partir de � triángulos. Por otra parte, tenemos en nuestro caso que la base tiene igual medida que al lado del polígono y la altura del triángulo es el apotema, obteniendo la siguiente fórmula:

Área del triángulo = (lado • apotema) / 2

y el área total del polígono denominado heptágono es: Área del polígono = 7 • (lado • apotema) / 2 Área del polígono = (7 • lado • apotema) / 2 Área del polígono = (perímetro • apotema) / 2

Finalmente, podemos concluir que para calcular el área de un polígono regular debemos conocer el perímetro de éste y la medida de su apotema, a partir de lo cual obtenemos la cuantificación de la superficie ocupada por la figura geométrica en el plano.

Clasificación de polígonos

Para construir cualquier clasificación se debe tener claro cuál será el criterio con que se encontrarán las semejanzas y diferencias conceptuales entre todas las figuras geométricas denominadas polígonos, y así, poder construir subconjuntos de figuras geométricas que se caractericen por propiedades específicas.

si el criterio es “el número de segmentos consecutivos” que dan origen a la frontera del polígono, la clasificación que se obtiene es la que se muestra en la siguiente tabla:

Nº de lados 3 segmentos 4 segmentos � segmentos 6 segmentos

Nombre del polígono Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

Cabe señalar que la tabla anterior no muestra todos los subconjuntos de polígonos que se forman a partir del número de segmentos.

A continuación se muestran imágenes que dan a conocer los diferentes elementos conceptuales mencionados hasta ahora.

triángulo3 lados

pentágono� lados

cuadrilátero4 lados

hexágono6 lados

diagonal

vértice

ángulo interior ángulo exterior

lado

— 32 —

Profundizando en la clasificación de los triángulos y los cuadriláteros, podemos crear diversos subconjuntos de figuras geométricas dependiendo del criterio utilizado. A continuación se presentarán tanto la clasificación para triángulos como para cuadriláteros independientemente.

Clasificación de polígonos de tres lados: Triángulos

Si el criterio es “la medida de los segmentos consecutivos que se intersectan en, a lo más, un punto” y que dan origen a una figura cerrada de tres lados, la clasificación que se obtiene es la que se muestra en la siguiente tabla:

medida de los lados Los 3 lados con igual medida

Dos lados con igual medida

Los tres lados de diferente medida

nombre del triángulo

Equilátero Isósceles Escaleno

representación gráfica 60°

60°60° a a

a

b

J

si el criterio es “la medida de los ángulos formados por los segmentos consecutivos” que dan origen a una figura cerrada de tres lados, con una región interior que ocupa una superficie en el plano, la clasificación que se obtiene es la que se muestra en la siguiente tabla:

medida de los lados

Los 3 ángulos son agudos

Un ángulo recto y dos ángulos agudos

Un ángulo obtuso y dos ángulos agudos

nombre del triángulo

Triángulo Acutángulo

Triángulo Rectángulo

Triángulo obtusángulo

ejemplos:

�0°

40°60° 90° 10°140°

30°

En consecuencia, a partir de criterios diferentes se obtienen subconjuntos de figuras geométricas de 3 segmentos consecutivos diferentes.

— 33 —

nº de pares de lados paralelos

Dos pares de lados paralelos

Un par de lados paralelos

Ningún par de lados paralelos

nombre del cuadrilátero

Paralelógramos Trapecios Trapezoides

representación gráfica

b d

a

c

b d

a

c

b c

a

d

b d

a

c

b c

a

d

a

c

bd

b d

a

c

b c

a

d

a

b

a

b

Cabe señalar que el nombre de las diferentes representaciones gráficas que conforman el subconjunto de los paralelógramos son el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide respectivamente. Al mismo tiempo, el subconjunto de figuras geométricas denominados trapecios son el trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio rectangular respectivamente. Por último, el subconjunto de figuras geométricas denominadas trapezoides son el trapezoide asimétrico y el deltoide.

Clasificación de polígonos de cuatro lados: Cuadriláteros

Si el criterio es “según la cantidad de pares de lados paralelos” que dan origen a una figura cerrada de cuatro lados, con una región interior que ocupa una superficie en el plano, la clasificación que se obtiene es la que se muestra en la siguiente tabla:

— 34 —

3.4.4 orientaciones didácticas para el trabajo de polígonos según nivel en que se encuentra el estudiante

Las orientaciones didácticas que se realizarán a continuación están fundamentadas en la teoría de los niveles de Van Hiele. Por lo tanto, las indicaciones se realizarán diferenciadamente para los tres grupos de nivel de geometría.

nivel I de aprendizaje

• En este nivel los estudiantes deben comenzar describiendo lo que ven en cada una de las figuras geométricas que analizan: esquinas o vértices, lados y/o ángulos.

• Por otra parte, las figuras geométricas deben ser analizadas desde sus elementos constitutivos componentes o atributos, es decir, que sean reconocidas como un todo que involucra la apariencia física –que tiene relación con la representación gráfica-, por sus partes o propiedades que la caracterizan.

• Es importante además que los estudiantes formulen —en lenguaje materno o verbal— sus propios criterios de clasificación y propiedades —servirá de apoyo para la comprensión de las condiciones necesarias y suficientes— de las figuras geométricas, para que después sean confrontadas con el resto del grupo. Ejemplo: Clasificar los cuadriláteros si tienen un ángulo recto, dos ángulos rectos o sus cuatro ángulos rectos.

• Consecuentemente describen las relaciones conceptuales implícitas y explícitas en cada figura geométrica. Lo central en un primer momento es que estas relaciones sean independientes unas de otras. Ejemplo: Que el cuadrado tiene lados paralelos y lados perpendiculares.

• Finalmente y mediante la observación y la experimentación, los estudiantes deben empezar a discernir las características de las figuras geométricas estudiadas.

nivel II de aprendizaje • En este nivel los estudiantes deben ser partícipes de una enseñanza centrada en comenzar

la formulación de condiciones necesarias que permitan conceptualizar el conocimiento geométrico estudiado. Ejemplo: El polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos.

• Se propone motivar a los estudiantes a formular relaciones conceptuales a partir de las condiciones necesarias, ya que este proceso será la base para que los estudiantes formulen condiciones suficientes, las que permitirán lograr una buena conceptualización de las figuras geométricas estudiadas. Ejemplo: a) El polígono es una figura plana formada por segmentos consecutivos. b) El polígono es una figura plana en que todo vértice presenta la unión de sólo dos segmentos. c) La relación conceptual de las dos condiciones necesarias anteriores se puede formular de la siguiente manera: “los polígonos son figuras planas formadas por n segmentos consecutivos que se cruzan en, a lo más, un punto”.

• Finalmente, se propone que los alumnos comienzan a formar redes de relaciones conceptuales a partir de lo trabajado anteriormente. Es importante mediar la construcción de estas redes conceptuales a partir de representaciones gráficas.

— 3� —

nivel III de aprendizaje

• Se propone trabajar en este nivel la verificación, es decir, enseñar lo concerniente a la verdad o falsedad de una afirmación geométrica. En este punto se propone incorporar en la enseñaza la utilización de contraejemplos según corresponda.

• Potenciar la explicación de lo aprendido, profundizando en explicar a sus demás compañeros por qué es verdad una afirmación o por qué no lo es. Ejemplo: Basta tener tres segmentos para construir un polígono de tres lados. La afirmación es falsa, por que no pueden ser tres segmentos de cualquier medida, sino que la suma de dos de ellos siempre es mayor que el tercero.

• Es importante además señalar que todo proceso de matematización o de generalización del conocimiento matemático se debe llevar a cabo en el descubrimiento de las condiciones necesarias y suficientes, es decir, preguntándose por ejemplo: ¿Qué elementos o propiedades hacen que una mesa sea aceptado por todos como mesa? Bastaría responder para algunos con que es un objeto que tiene cuatro patas; pero para otros se podrá definir diciendo que es un objeto que tiene patas que logran mantenerla en equilibrio, independiente si tiene 3, 4 ó � patas en donde apoyarse. Entonces, ¿Cuáles son las propiedades necesarias y suficientes para definir una mesa?

A continuación se presentarán diversos organizadores gráficos que se proponen como una orientación para realizar las síntesis de los conceptos geométricos enseñados. Es imprescindible que el profesor analice cada organizador, evalúe y modifique según el nivel de los estudiantes y según la profundización de los conceptos trabajados.

— 36 —

primer organizador gráfico segundo organizador gráfico

Los Ángulos

Extendido

Obtuso

Agudo

Recto

Complemento de un Ángulo

Perpendicularidad

Intersección de dos segmentos o dos rectas en 90˚

Se clasifica en

Se calcula el

Indica

Es la

Tener lados opuestos paralelos y de igual medida.Todos sus ángulos miden 90˚

Tener tres lados y tres ángulos que sumen 1�0˚

Las figurasgeométricas

Triángulos

Tener cuatro lados de igual medida y cuatro ángulos de 90˚

Cuadrados

Rectángulos Rombos

Trapecios

Romboides

Tiene todos sus lados congruentes y sólo los ángulos opuestos tienen igual medida

La suma de los ángulos interiores es 360˚

Tiene sus lados opuestos congruentes y paralelos, y sus ángulos consecutivos de distinta medida

Se caracteriza por

Se caracteriza por

Puede ser

Se caracteriza por

Se diferencia de los

En que el rombo

Se diferencia de los

En que el romboide

En que

Se asemejan a los

— 3� —

Tercer organizador gráfico

El siguiente organizador gráfico es una profundización de cómo realizar la síntesis respecto de las figuras geométricas de tres lados (triángulos). Por otra parte, de deja en claro que este esquema es una orientación, lo cual implica que todo profesor puede hacer modificaciones a lo planteado a continuación.

3.5 desarrollo tercer tema: trasnformaciones isométricas

Este primer tema dedicado a las transformaciones isométricas y tendrá por orientación un desarrollo conceptual de cada uno de estos movimientos en el plano, sus propiedades y además se darán orientaciones para su enseñanza a partir de las teorías y principios de Didáctica de la Matemática y Geometría.

Tener sus tres lados y sus tres ángulos de igual

medida

Los triángulos

Equilátero

Tener dos lados y dos ángulos de igual medida

Isóceles

Escaleno Triángulorectángulo

Tener sus tres lados y sus tres ángulos de distinta

medida

Acutángulo

Obtusángulo Tener un ángulo de 90˚

La medida de sus tres ángulos es menor que 90˚

Tener un ángulo que mide más de 90˚

Se caracteriza por

Puede ser

Se caracteriza por

Se caracteriza por

El triángulo o rectángulo puede cumplir con ser

Se caracteriza por

Se caracteriza por

Se caracteriza por

— 3� —

3.5.1 objetivos fundamentales transversales a relacionar con la temática conceptual de transformaciones isométricas


3.5.2 resumen y clasificación de contenidos restituidos en el tema de transformaciones isométricas

Para lograr un buen desarrollo y comprensión de los conocimientos geométricos para NM1, los contenidos restituidos fueron la clasificación de ángulos y otros conocimientos relacionados con la temática de estudio.

• Ángulo agudo es el ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º• Ángulo recto es el ángulo cuya medida es de 90º• Ángulo obtuso es el ángulo cuya medida es mayor que 90º y menor que 1�0º• Ángulo extendido es el ángulo cuya medida es de 1�0º• Ángulo completo es el ángulo cuya medida es de 360º.• Los ángulos complementarios son aquellos que sumados dan 90°.• Los ángulos suplementarios son aquellos que sumados dan 1�0°.• Los ángulos consecutivos o contiguos son aquellos que tienen un lado común.• Los ángulos adyacentes son aquellos ángulos que comparten el vértice (vértice común),

un lado y que no tienen puntos interiores en común (sector angular).

Por otra parte, los otros contenidos restituidos fueron las figuras geométricas regulares e irregulares.

Todo polígono regular es una figura cerrada conformada por segmentos consecutivos de igual medida —recordar que en un vértice sólo concurren dos segmentos— y los ángulos formados a partir de la unión de dos segmentos consecutivos también tienen igual medida. En otras palabras, los polígonos regulares son figuras geométricas cuyos lados y ángulos son congruentes.

Todo polígono irregular es una figura geométrica cuya medida de sus lados y ángulos son diferentes, es decir, los lados y los ángulos no son congruentes.

3.5.3 desarrollo, resumen y clasificación de contenidos involucrados en el tema trasnformaciones isométricas

Conceptualización del conocimiento geométrico: Traslación, rotación y simetría

Antes de comenzar el análisis de estos movimientos, es necesario definir qué es lo que entendemos por cada uno de ellos. Entendemos la traslación como un movimiento rígido aplicado a todos los puntos del plano, que se desplazan solidariamente junto con todas las figuras planas que puedan habitar en él4. Asimismo, entendemos la rotación como un giro

4 Tomado de Bamón, R; González, P; Medina, Carmen; Soto, J.. Matemática activa. Editorial Mare Nostrum. p. 133.

— 39 —

respecto de un punto dado (centro de rotación) en un ángulo dado (ángulo de rotación). Finalmente, si tenemos dos figuras geométricas y al trasladar y/o rotar una de estas figuras ambas coinciden, entonces podemos decir que ambas figuras son simétricas.

El siguiente análisis conceptual se realizará en base a las diferentes relaciones con que se pueden trabajar estos tres movimientos. La propuesta es centrar la enseñanza de las transformaciones isométricas como un conocimiento interrelacionado.

proposición nº 1: La composición de dos reflexiones sobre dos líneas paralelas equivale a la traslación de la figura geométrica.

proposición nº 2: La rotación en un ángulo de 1�0° respecto de un punto dado equivale a una simetría axial (en torno a un eje de giro).

proposición nº 3: La simetría de traslación es cuando al trasladar una pieza sobre otra moviéndola de arriba a abajo, de izquierda, derecha o por la combinación de varios de los movimientos anteriores ambas coinciden, entonces tenemos una simetría de traslación�.

� http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2001/enero/1nosotros�6.htm

— 40 —

proposición nº 4: La simetría de rotación es cuando al girar una pieza ésta coincide con otra. En ese caso diremos que existe simetría de rotación.

En la siguiente figura podemos encontrar los dos tipos simetría antes mencionados.

Como hemos apreciado, hay diversos ejemplos y contextos en donde se puede apoyar la enseñanza de las transformaciones isométricas.

3.5.4 orientaciones didácticas para el trabajo de trasnformaciones isométricas según nivel en que se encuentra el estudiante


— 41 —


• En este nivel los estudiantes deben explorar y descubrir cuales son las condiciones y elementos que participan en una traslación, rotación y simetría. La propuesta de trabajo dice relación con analizar “el trasladarse de la casa al colegio”, ¿Cuál es el punto de inicio? ¿Cuál es el punto final o de llegada? ¿Cuál fue la trayectoria recorrida? Para la rotación se aconseja en analizar los giros que realizan los patinadores artísticos (medio giro, giro completo, entre otros). Por último, para simetría se propone analizar los diferentes dibujos de Escher.

• Por otra parte, toda mediación en la enseñanza de las transformaciones isométricas de figuras geométricas deben ser analizadas desde sus propiedades, ya que la propiedad central de las transformaciones isométricas es que las figuras luego de ser trasladadas, rotadas o reflejadas son congruentes a la figura inicial.

• Es importante además que los estudiantes formulen —en lenguaje materno o verbal— situaciones en que haya traslación, rotación y simetría de diferentes objetos, para luego realizar la misma actividad con figuras geométricas en el plano.

• Finalmente, los estudiantes deben describir las relaciones conceptuales implícitas y explícitas entre cada una de las transformaciones isométricas. ejemplo: Que toda traslación puede realizarse a partir de dos reflexiones sobre dos líneas paralelas.

nivel II de aprendizaje • En este nivel los estudiantes deben ser participes de una enseñanza centrada en comenzar

la formulación de condiciones necesarias que permitan conceptualizar el conocimiento geométrico estudiado. ejemplo: Toda rotación implica un ángulo de giro y un punto que es el centro de rotación.

• Se propone motivar a los estudiantes a formular relaciones conceptuales a partir de las condiciones necesarias, ya que este proceso será la base para que los estudiantes formulen condiciones suficientes, las que permitirán lograr una buena conceptualización de las figuras geométricas estudiadas. ejemplo: a) En toda simetría los puntos equidistan de un eje. b) En toda simetría siempre hay dos figuras congruentes. c) La relación conceptual de las dos condiciones necesarias anteriores se puede formular que en toda simetría se da origen a dos figuras congruentes, lo que implica que existen puntos que equidistan de un eje.

• Finalmente, se propone que los alumnos comienzan a formar redes de relaciones conceptuales a partir de lo trabajado anteriormente. Es importante mediar la construcción de estas redes conceptuales a partir de representaciones gráficas.

nivel III de aprendizaje:

• Se propone trabajar en este nivel la verificación, es decir, enseñar lo concerniente a la verdad o falsedad de una afirmación geométrica. ejemplo: Rotando en 90° a la izquierda o a la derecha se obtiene en ambos casos la misma figura. Falso, ya que las figuras son congruente, pero éstas están en direcciones distintas.

• Potenciar la explicación de lo aprendido, profundizando en explicar a sus demás compañeros por qué es verdad una afirmación o por qué no lo es. ejemplo: Si la traslación es equivalente a dos reflexiones sobre dos rectas paralelas, entonces toda traslación siempre es equivalente a un conjunto reflexiones. Falso, por que tres reflexiones sobre tres rectas paralelas no constituye una traslación.

— 42 —

primer organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico es una profundización de cómo realizar la síntesis respecto de las transformaciones isométricas, las cuales tienen como propiedad que la traslación, rotación o simetría de una figura geométrica es congruente con la figura inicial. A continuación vemos una orientación de cómo sintetizar la transformación isométrica denominada rotación.

segundo organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico es una profundización de cómo realizar la síntesis respecto de las transformaciones isométricas denominada traslación.

La rotación

Movimiento en el plano “Gira” la figura pero

sin alterar su forma y medidaFiguras geométricas

La figura rotada es congruente a la inicial

Los lados y los ángulos no cambian de medida ni de forma Punto de rotación

Un ángulo de giro o de rotación

- Si el ángulo de giro es 90˚ es un cuarto de giro.- Si el ángulo de giro es 1�0˚ es medio giro- Si el ángulo de giro es 360˚ es un giro completo.

Como mínimo 0˚ y como máximo 360˚

Es un

De Se caracteriza ya que

Lo cual implica que

Es decir

Lo cual tiene como elementos principales a

Lo cual implica que Puede medir

La traslación

Movimiento en el plano Mantiene las

características originales de la figura inicial

Figuras geométricas

La figura trasladada es congruente a la inicial

Los lados y los ángulos no cambian de medida y de forma

Una figura inicial

Figura final de igual forma y medida

El sentido, la dirección y la magnitud en que se traslada la figura inicial

Un vector de dirección

Es un

Se caracteriza ya que

Lo cual implica que

Es decir

Lo cual tiene como elementos principales a

Indicando

— 43 —

Tercer organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico es una profundización de cómo realizar la síntesis respecto de

las transformaciones isométricas denominada simetría.

3.6. desarrollo del segundo tema: cuerpos geométricos

Este segundo tema dedicado a los cuerpos geométricos tendrá por orientación un desarrollo conceptual de clasificación de éstos, analizaremos sus propiedades y además se darán orientaciones para su enseñanza a partir de las teorías y principios de Didáctica de la Matemática y Geometría.

3.6.1 objetivos fundamentales transversales a relacionar con la temática conceptual de cuerpos geométricos


3.6.2 resumen y clasificación de contenidos restituidos en el tema de cuerpos geométricos

Para lograr un buen desarrollo y comprensión de los conocimientos geométricos para NM1, los contenidos restituidos fueron las figuras geométricas regulares e irregulares. En Este sentido se nivelan los contenidos asociados a figuras planas como un punto de partida para el abordaje de los contenidos asociados a cuerpos geométricos.

A continuación se profundizará conceptualmente en los polígonos regulares e irregulares.

La simetría

Movimiento en el plano

Figuras geométricas

La figura “reflejada” es congruente a la inicial

Eje de simetría

Los lados y los ángulos no cambian de medida y de forma

Puntos homólogos respecto del eje de simetría

Es un

De Cuya característica es que

Es decir

Lo cual tiene como elemento principal a

Originando

— 44 —

Todo polígono regular es una figura cerrada, delimitada por segmentos consecutivos de igual medida —recordar que en un vértice concurren sólo dos segmentos— y los ángulos formados a partir de la unión de dos segmentos consecutivos también tienen igual medida. En otras palabras, los polígonos regulares son figuras geométricas cuyos lados y ángulos son congruentes.

Todo polígono irregular es una figura geométrica cuya medida de sus lados y ángulos son diferentes, es decir, los lados y los ángulos no son congruentes.

Ahora se muestra una imagen de un polígono regular y otro irregular.

A B

E D

F C

A B

E D

F C

Polígono regular Polígono irregular

¿Qué conclusión se puede obtener observando estos tipos de polígonos?

La propiedad particular de los polígonos regulares es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia, en cambio los polígonos irregulares no.

3.6.3. desarrollo, resumen y clasificación de contenidos involucrados en el tema cuerpos geométricos

Conceptualización del conocimiento geométrico: Cuerpos Geométricos

A continuación analizaremos diferentes definiciones que hacen referencia a la conceptualización de cuerpos geométricos.

• Los cuerpos geométricos poseen 3 dimensiones: alto, ancho y largo, lo cual les proporciona volumen, es decir, que los cuerpos ocupan un determinado espacio.

• Otra forma de explicar el concepto de cuerpo geométrico es afirmando que son todos aquellos cuerpos que tienen volumen o capacidad y que ocupan un lugar en el espacio. Éstos se diferencian entre sí de acuerdo a diversos criterios, por ejemplo, que algunos tienen más aristas que otros, o que sus bases pueden ser triangulares, cuadradas, circulares, entre otras. Además hay un caso especial de cuerpo geométrico que no tiene base ni aristas.

• Una tercera aproximación conceptual a los cuerpos geométricos es afirmando que son objetos que están limitados por cuatro o más polígonos, en donde las aristas son las rectas que unen dos caras o figuras poligonales, y los vértices son el punto de intersección de tres caras o la intersección de dos aristas.

— 4� —

Entonces, ¿Qué es lo que hace que un cuerpo geométrico sea llamado poliedro (cuerpo geométrico delimitado por polígonos) o cuerpo redondo (cuerpo geométrico en que al menos una de sus caras o superficies es curva? ¿Las diferentes formas de las caras, cantidad de aristas o vértices? ¿Sus elementos constituyentes como un todo? ¿Las palabras utilizadas en su definición o las representaciones gráficas de éstos? Para dar respuestas a estas preguntas, ahondaremos nuevamente en las condiciones necesarias y suficientes para conceptualizar el concepto de cuerpo geométrico.

A continuación se presenta una tabla que muestra una primera aproximación al desarrollo de condiciones necesarias y suficientes.

Conceptualización del concepto de cuerpo geométrico

enunciado verbal relacionado con cuerpo geométrico

¿es condición necesaria para definir cuerpo geométrico?

¿es condición suficiente para definir cuerpo geométrico?

Los cuerpos geométricos tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto, teniendo volumen.

Sí es necesario para definir cuerpo geométrico.

No es suficiente para definir cuerpo geométrico, ya que se exime la esfera.

Son objetos que tienen volumen, aristas y vértices, y sus bases pueden ser, por ejemplo, triángulos, cuadrados, circunferencias; o no tienen base pero sí volumen


Si es suficiente para definir cuerpo geométrico.

Son poliedros conformados, es decir, cuerpos geométricos cuya superficie esta conformada por un número finito de polígonos (4 o más) y que tienen aristas y vértices.


No es suficiente para definir cuerpo geométrico, ya que se exime la esfera.

Analizando la tabla anterior, podemos inferir que a la hora de conceptualizar “cuerpo geométrico” es fundamental tener claridad de cual es el enunciado que describe completamente el conocimiento geométrico a enseñar, ya que podemos ver que en el primer y tercer enunciado verbal “es necesario” la información dada en esas afirmaciones, pero “no es suficiente” para hablar de todos los casos posibles de cuerpos geométricas, ya que en estos casos la esfera no está descrita conceptualmente y si es un cuerpo geométrico. No obstante, podemos apreciar que la segunda afirmación si contienen información “necesaria y suficiente” para hablar de todos los casos posibles de cuerpos geométricos.

— 46 —

Conceptualización del concepto de cuerpo geométrico

enunciado verbal relacionado con cuerpo geométrico

representación gráfica relacionada con el enunciado verbal

¿basta con estas representaciones gráficas?

Los cuerpos geométricos tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto, teniendo volumen.

Son necesarias para definir cuerpo geométrico, pero no estaría la esfera.

Son objetos que tienen volumen, aristas, vértices, y sus bases, por ejemplo, pueden ser triángulos, cuadrados, circunferencias; o no tienen base pero sí volumen.

Sí es suficiente, ya que las representaciones gráficas cumplen con las propiedades descritas de cuerpo geométrico.

Son poliedros, es decir, cuerpos geométricos cuya superficie esta conformada por un número finito de polígonos (4 o más) y que tienen aristas y vértices.

Son necesarias para definir cuerpo geométrico, pero no estaría la esfera.

Como podemos observar, las representaciones gráficas de cuerpos geométricos se encuentran en la segunda fila, lo cual nos indica la importancia del enunciado verbal que se utilice para conceptualizar cuerpos geométricos.

redes de los cuerpos geométricos

A continuación se presentan las diferentes redes con que se pueden armar los cuerpos geométricos.�

Cilindro Cubo dodecaedro

� Imágenes tomadas de http://mmpchile.c�.cl/pag/productos/geo/cu_geo.htm

— 4� —

Icosaedro octaedro paralelepipedopirámide de base

hexagonal

pirámide de baseCuadrángular

pirámide de baseTriangular

pirámide de baseoctagonal

pirámide de basepentagonal

prisma de baseHexagonal

prisma de baseTriangular

prisma de base pentagonal

Tetraedro

Clasificación de los cuerpos geométricos Para construir cualquier clasificación se debe tener claro cuál será el CRITERIO con que se encontrarán las semejanzas y diferencias conceptuales entre todos los cuerpos geométricos, y así, poder construir subconjuntos de cuerpos geométricos que se caractericen por propiedades específicas.

— 4� —

¿Cuál fue el criterio de clasificación si los subconjuntos de cuerpos geométricos fueron los siguientes?

poliedros regulares poliedros no regulares Cuerpos redondos

• Tetraedro• Hexaedro• Octaedro• Dodecaedro• Icosaedro

• Prismas• Pirámides

• Cilindros• Conos• Esferas

El primer criterio debe tener relación con la clasificación de los cuerpos geométricos en poliedros y cuerpos redondos, y en una segunda instancia se debió utilizar otro criterio para subdividir los poliedros en regulares e irregulares.

el primer criterio tiene relación con aquellos cuerpos geométricos que están totalmente limitados por polígonos y aquellos cuerpos geométricos engendrados por la rotación de una figura plana alrededor de su eje. este primer criterio de clasificación da origen a los subconjuntos de cuerpos geométricos denominados poliedros y cuerpos redondos.

el segundo criterio tiene relación con la regularidad de los elementos de los poliedros, dentro de los cuales se puede establecer otra clasificación cuando todas las caras de la red geométrica son polígonos regulares entre sí y todos sus ángulos diedros y poliedros son también iguales, o cuando no son regulares, por no cumplirse algunas o todas las condiciones precisadas anteriormente para ello. este segundo criterio de clasificación da origen a los poliedros regulares y poliedros irregulares.

¿Qué es un ángulo triedro y un ángulo poliedro?

Si observas la sala de clases, salón o habitación de tu casa en la que te encuentras puedes ver cómo dos paredes contiguas junto con el techo se encuentran en un punto. El espacio en torno a ese punto que está comprendido entre las paredes y el techo se denomina triedro o ángulo triedro. “En general se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un punto (vértice). Al igual que ocurre con los ángulo triedros los ángulos poliedros tienen caras y aristas. Según el número de ángulo diedros que posee el ángulo poliedro se llamará triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, etc.”6

Triedro Tetraedro

6 http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Geom_esp_d3/angulos_poliedros.htm

— 49 —

Fórmulas asociadas a algunos poliedros regulares

Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro. Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámides iguales como caras tiene. Para calcular el volumen de un poliedro será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro.

El volumen de una pirámide es • B • ap13 , siendo B el área de la base y “ap”, que es la

distancia del centro del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema. Siendo N

el número de caras, el volumen del poliedro se puede expresar como • N • B • ap13

V= , pero

como N • B = S (área total del poliedro), entonces se determina que • S • ap13

V= .

A continuación se presenta una tabla resumen con las fórmulas para calcular el área de una cara y el volumen de un poliedro regular�.

nombre Área de una cara Área total apotema Volumen

Tetraedro 3·2a 6·12

a2·

12

3a

octaedro3·

4

2a 3··2 2a 6·6

a2·

3

3a

Icosaedro3·

4

2a 3··� 2a2

�·3�·

2+a

2

�·3�·

6

·� 3 +a

Hexaedro a2 6 • a2a2 a3

dodecaedro

��·2�

··4� 2 +

a�

�·2�··1� 2 +

a10

�·112�·

2+a

10�·214�

·2·� 3 +a

Bajo este análisis conceptual de las diferentes propiedades y clasificaciones de los cuerpos geométricos, proponemos profundizar en las diferentes temáticas relacionadas con poliedros o cuerpos redondos. Un ejemplo de ello es que dentro de los poliedros existen tres grupos importantes: los prismas, los paralelepípedos y las pirámides. Entonces habría que profundizar y descubrir cuál es el criterio que se utilizó para llevar a cabo esta sub-clasificación de los cuerpos geométricos denominados poliedros.

� http://perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares/areayvol.html

3·4

2a

— �0 —

3.6.4. orientaciones didácticas para el trabajo de cuerpos geométricos según nivel en que se encuentra el estudiante



• En este nivel los estudiantes deben comenzar describiendo cada uno de los cuerpos geométricos: esquinas o vértices, lados y/o ángulos. Lo importante es plantear esta actividad contextualizada con objetos que se asemejan a las formas de los cuerpos geométricos. Ejemplo: Envases de detergente, cajas de fósforo, dados, entre otros. Es importante señalar a los estudiantes que todos los cuerpos geométricos son cerrados o tienen “tapa inferior y superior” como es el caso del cilindro.

Por otra parte, los cuerpos geométricos deben ser analizados cada uno desde sus elementos constitutivos o atributos, es decir, que sean reconocidos como un todo que involucra la apariencia física –que tiene relación con la representación gráfica de sus caras, aristas y vértices-, por sus propiedades que la caracterizan.

• Es importante además que los estudiantes formulen -en lenguaje materno o verbal- sus propios criterios de clasificación y propiedades –servirá de apoyo para la comprensión de las condiciones necesarias y suficientes- de los cuerpos geométricos, para que después sean confrontadas con el resto del grupo. ejemplo: Clasificar los cuerpos geométricos según si las caras son triángulos, cuadriláteros, o ambos casos a la vez.

• Finalmente describen las relaciones conceptuales implícitas y explícitas en cada cuerpo geométrico. Lo central en un primer momento es que estas relaciones se refieran a las condiciones que deben cumplirse para construir o armar un cuerpo geométrico. Ejemplo: En el cilindro el perímetro de la circunferencia debe tener la misma medida que el largo de la cara o manto rectangular del cilindro.

nivel II de aprendizaje

• En este nivel los estudiantes deben ser participes de una enseñanza centrada en comenzar la formulación de condiciones necesarias que permitan conceptualizar cada uno de los subgrupos de cuerpos geométricos (poliedros y cuerpos redondos) y así lograr una posible definición para cada uno de estos grupos de cuerpos. ejemplo: Los poliedros son cuerpos geométricos que no ruedan a partir de sus caras laterales.

• Se propone motivar a los estudiantes a formular relaciones conceptuales a partir de las condiciones necesarias, ya que este proceso será la base para que los estudiantes formulen condiciones suficientes, las que permitirán lograr una buena conceptualización de los cuerpos geométricos estudiados. ejemplo: a) El poliedro es un cuerpo geométrico que no rueda a partir de sus caras laterales b) Los poliedros regulares son cuerpos cuyas caras son todas polígonos regulares. c) La relación conceptual de las dos condiciones necesarias anteriores se puede formular que los poliedros regulares son cuerpos formados por polígonos regulares, lo que da origen a cuerpos geométricos que no ruedan.

• Finalmente, se propone que los alumnos comienzan a formar redes de relaciones conceptuales a partir de lo trabajado anteriormente. Es importante mediar la construcción de estas redes conceptuales a partir de representaciones gráficas de los diferentes cuerpos geométricos: Utilizar las redes geométricas.

— �1 —


• Se propone trabajar en este nivel la verificación de las afirmaciones construidas respecto de las propiedades de los cuerpos geométricos estudiados, es decir, enseñar lo concerniente a la verdad o falsedad de una afirmación geométrica.

• Potenciar la explicación de lo aprendido por parte de los estudiantes a otros grupos de compañeros, logrando un proceso de discusión en qué prueba por qué es verdad una afirmación o por qué no lo es. ejemplo: Todo cubo es un paralelepípedo, entonces todo paralelepípedo es un cubo. La afirmación es falsa.

primer organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico es una profundización de cómo realizar la síntesis respecto de los polígonos regulares e irregulares.

Figura que tiene muchos ángulos

Polígono

Regulares Irregulares

Tener lados y ángulos de igual medida

Tener las medidas de sus lados y de sus ángulos distintas entre sí

Un cuadriláteroUn triángulo

Pentágono regular: � lados y � ángulos congruentes

Triángulo equilátero

Cuadrado Hexágono regular: 6 lados y 6 ángulos congruentes

Se caracteriza por

Quiere decir

Se clasifica en

Se caracteriza por

Si es un

Polígono regular que tiene más de 4 lados.Tenemos como ejemplo el

El polígono regular se denomina

El polígono regular se denomina

— �2 —

segundo organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico es una orientación de cómo realizar la síntesis respecto de los cuerpos geométricos. Se recuerda que los diferentes organizadores conceptuales pueden ser relacionados si el profesor lo estima conveniente a la hora de comprender los diferentes contenidos enseñados.

La red geométrica Cuerpos geométricos

PoliedrosCuerpos redondos

PirámidesPrismas El cono, el cilindro y la esfera

Prisma recto oparalelepípedo

Una cara basal

Sus caras laterales son siempre triángulos

Prisma oblícuoPirámidesregulares Pirámides irregulares

Tener por base a un polígono regular y sus caras laterales ser triángulos isóscelescongruentes entre sí

Tener por base un polígono irregular o tener sus caras de distinta medida

Se forman a partir de

Se clasifican en

Se clasifican según sus caras basales en

Son los siguientes cuerpos

Se caracterizan por tener

Se clasifican en

Pueden ser

Se caracterizan por Se caracterizan por

3.7. desarrollo cuarto tema: teoremas

Este primer tema dedicado a las transformaciones isométricas y tendrá por orientación un desarrollo conceptual de cada uno de estos movimientos en el plano, sus propiedades y además se darán orientaciones para su enseñanza a partir de las teorías y principios de Didáctica de la Matemática y Geometría.

3.7.1 objetivos fundamentales transversales a relacionar con la temática conceptual de teoremas


— �3 —

3.7.2. resumen y clasificación de contenidos restituidos en el tema de teoremas

Para lograr un buen desarrollo y comprensión de los conocimientos geométricos para NM1, los conocimientos restituidos tuvieron relación con el descubrimiento de patrones y regularidades.

Los conocimientos relacionados con regularidades se enuncian a continuación:

• Desarrollo del concepto de magnitud constante y magnitud variable.• Afirmaciones que dan cuenta de situaciones reales en que se presentan magnitudes

variables y constantes.• Descubrimiento de patrones a partir de los números figurados, los cuales tienen una

representación geométrica que se asemeja a polígonos.

3.7.3. desarrollo, resumen y clasificación de contenidos involucrados en el tema teoremas

Conceptualización del conocimiento geométrico: Teoremas de congruencia y semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras.

Teoremas de congruencia de triángulos

A continuación analizaremos diferentes formas de plantear los teoremas de congruencia de triángulo y se analizarán en función de las conclusiones corolarios que se puedan validar a partir de un razonamiento lógico.

• Dos triángulos son congruentes si tienen dos pares de lados iguales y los ángulos comprendidos entre dichos lados respectivamente de igual medida, se designa por LaL

• Dos triángulos son congruentes si tienen dos pares de ángulos iguales y los lados comprendidos entre dichos ángulos respectivamente de igual medida, se designa por aLa.

• Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres pares de lados respectivamente de igual medida, se designa por LLL.

A continuación realizaremos un análisis en función de las condiciones necesarias y suficientes para explicar los teoremas de congruencia de triángulo.

Teorema de congruencia de triángulo

¿Cuál es una condición necesaria, pero no suficiente?

¿Cuál es una condición necesaria y suficiente?

LaL

Dos triángulos tengan por lo menos dos lados congruentes. Esta afirmación no es condición suficiente ya que el ángulo comprendido entre estos lados congruentes puede ser distinto en cada triángulo..

Dos triángulos que tienen dos pares de lados iguales y los ángulos comprendidos entre dichos lados respectivamente iguales (criterio LAL)

— �4 —

Teorema de congruencia de triángulo

¿Cuál es una condición necesaria, pero no suficiente?

¿Cuál es una condición necesaria y suficiente?

aLa

Dos triángulos tengan por lo menos dos ángulos congruentes. Esta afirmación no es condición suficiente, ya que los triángulos pueden ser semejantes.

Dos triángulos que tienen dos pares de ángulos iguales y los lados comprendidos entre dichos ángulos respectivamente iguales (criterio ALA)

LLL

Dos triángulos en que la medida de un lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados. Esta afirmación no es condición suficiente, ya que solo permite tener certeza que se construyen dos triángulos.

Dos triángulos presentan sus tres pares de lados respectivamente iguales (criterio LLL)

Como puedes observar el análisis de los teoremas de congruencias a través de las condiciones necesarias y suficientes permiten aproximarse de diferentes formas a la validación, prueba y/o demostración del conocimiento en estudio.

Teorema de pitágoras

El teorema de Pitágoras es uno de los descubrimientos más importantes para el avance del conocimiento en Matemática. A continuación estudiaremos algunas formas de probar este teorema.

El enunciado verbal que describe el teorema de Pitágoras, y con el cual desarrollaremos esta problemática de estudio, es el siguiente: si un triángulo tiene por medida de sus lados a, b y c, con los lados a y b formando un ángulo recto, se tiene que la suma de las áreas de los cuadrados formados a partir de los catetos es igual al área del cuadrado formado a partir de la hipotenusa del triángulo rectángulo abC.

¿Cómo probar que se cumple a2 + b2 = c2?Observemos las siguientes imágenes y probemos que se cumple siempre la relación a2 + b2 = c2 en un triángulo rectángulo ABC.

— �� —

Calcularemos el área del cuadrado que tiene por lado (a + b). Este cuadrado está compuesto por cuatro triángulos de base b y altura a, y de un cuadrado de lado c.Por tanto, el área del cuadrado de lado (a+b) es:

(a + b)2 = 4ab/2 + c2

a2 + 2ab + b2 = 4ab/2 + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

A continuación calcularemos el área del cuadrado de lado “c”. En este caso, el cuadrado esta compuesto por cuatro triángulos de base b y altura a, y de un cuadrado de lado (a-b). Por tanto, el área del cuadrado de lado c es:

c2 = 4ab/2 + (a – b)2

c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2

c2 = a2 + b2

Finalmente hemos probado el teorema de Pitágoras de dos formas diferentes.

3.7.4. orientaciones didácticas para el trabajo de teoremas según nivel en que se encuentra el estudiante



• En este nivel los estudiantes deben explorar y descubrir patrones en diferentes situaciones de la vida real, lo cual puede ser profundizado con el estudio de situaciones en que las magnitudes utilizadas sean variables en ciertos casos y constantes en otros.

• Es importante además que los estudiantes formulen -en lenguaje materno o verbal- situaciones en que se muestren regularidades o patrones.

• Por otra parte, toda mediación en la enseñanza de teoremas debe ser analizando las propiedades explícitas e implícitas en las diferentes representaciones gráficas.

• Finalmente, los estudiantes deben describir las relaciones conceptuales implícitas y explícitas en cada teorema.

nivel II de aprendizaje

• En este nivel los estudiantes deben ser participes de una enseñanza centrada en comenzar formulación de condiciones necesarias que permitan dar cuenta de los diferentes criterios de congruencia de triángulos.

— �6 —

• Se propone motivar a los estudiantes a formular relaciones conceptuales a partir de los diferentes criterios de congruencia de triángulos.

• Finalmente, se propone que los estudiantes representen gráficamente las relaciones conceptuales enunciadas anteriormente, y así, explicar en profundidad lo aprendido a otros compañeros de curso.


• Se propone trabajar en este nivel la verificación, es decir, enseñar lo concerniente a la verdad o falsedad de una afirmación geométrica, la cual puede ser una reescritura de los criterios de congruencia.

• Potenciar la explicación de lo aprendido, profundizando en explicar a sus demás compañeros por qué es verdad una afirmación o por qué no lo es.

primer organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico presenta un esquema de cómo se puede visualizar la enseñanza del proceso de matematización propuesto en los planes y programas para NM1, en donde se busca que el estudiante anticipe y formule conclusiones, las cuales deber ser traducidas en afirmaciones (enunciados o proposiciones) que ellos mismos deberán -con la mediación del profesor- probar la veracidad o falsedad de lo planteado.

Patrones o relaciones conceptuales que siempre se cumplen

Regularidades

Proporciones o enunciados

ConjeturasPropiedades o teoremas

Ser una afirmación que por lo menos puede ser probada su falsedad o veracidad

Ser una afirmación que no ha sido demostrada

Significan o hacen alusión a

Que al ser demostrados se constituyen en

Se caracterizan por

Dando origen a

Se caracterizan por

Es importante además señalar que todo proceso de generalización del conocimiento matemático se debe llevar a cabo en el descubrimiento de las condiciones necesarias y suficientes, es decir, preguntándose por ejemplo: ¿Qué elementos o propiedades hacen que una mesa sea aceptado por todos como mesa? Bastaría responder para algunos con que es un objeto que tiene cuatro patas; pero para otros se podrá definir diciendo que es un objeto que tiene patas que logran mantenerla en equilibrio, independiente si tiene 3, 4 o � en donde apoyarse. Entonces, ¿Cuáles son las propiedades necesarias y suficientes para definir una mesa?

— �� —

segundo organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico explica los diferentes teoremas de congruencia de triángulos.

Congruencia de triángulo

Teorema

LLL: Ambos triángulos presentan sus tres pares de lados respectivamente iguales

LAL: Ambos triángulos tienen dos pares de lados iguales y los ángulos comprendidos entre dichos lados respectivamente iguales

Relacionados con triángulos está el de

Son los siguientes

ALA: Ambos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales y los lados comprendidos entre dichos ángulos respectivamente iguales

Tercer organizador gráficoEl siguiente organizador gráfico explica el significado del teorema de Pitágoras. Es importante que el profesor trabaje diferentes formas de probar este teorema, y así, pedirles a los estudiantes que formulen sus propias conclusiones, proposiciones matemáticas o conjeturas según corresponda. Otra orientación importante a señalar es que el profesor puede trabajar los tríos pitagóricos y relacionarlos con el tratamiento algebraico que conlleva este conocimiento matemático.

Teorema de Pitágoras

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos

sobre los catetos

Un triángulo rectángulo, cuyos catetos son los lados que conforman el ángulo de 90˚, y cuya hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

a2 + b2 = c2

Su presentación geométrica se refiere a

Hace alusión a

Lo cual se representa simbólicamente de la siguiente forma

— �� —

4. Proyecto de externalización III: Geometría

4.1. Introducción

A continuación presentamos el proyecto de externalización del conocimiento asociado al ámbito de la geometría, que consiste en el diseño y construcción de planos, la generación de un presupuesto de materiales y finalmente la construcción de una maqueta para un espacio físico del liceo (comedor para el colegio, rediseñar la sala de computación, rediseñar la biblioteca, entre otros proyectos).

4.2. Indicaciones al docente

En el presente proyecto usted debe considerar los siguientes puntos, tanto para la realización misma del proyecto como para su evaluación.

• Sistematización de contenidos: Es importante ir sistematizando cada una de las etapas de construcción del proyecto. Un orientación de realizar este punto es a través de organizadores gráfico construidos por usted (En la sección desarrollo de contenido se presentan diversos organizadores que pueden servir de ayuda) en que se explicite los aprendizaje de los estudiantes al desarrollar paso a paso la maqueta.

• Evaluación del proceso: Los posibles indicadores que usted puede utilizar para ir evaluando el trabajo realizado por los estudiantes son los siguientes:

- Reconocen las redes geométricas de cada cuerpo geométrico.- Infieren las condiciones en cuanto a las medidas que deben cumplirse cuando se

construye una red geométrica.- Dibujan correctamente las representaciones graficas de los cuerpos geométricos a

contra luz. - Calculan correctamente las medidas de su maqueta a partir de la escala utilizada. Cabe

señalar que estas son orientaciones, usted debe construir otros criterios de evaluación según los aprendizajes logrados por los estudiantes en cada nivel al desarrollar los grupos de nivel.

• Presentación de los resultados alcanzados: En este punto los estudiantes deben presentar los planos, presupuesto y la maqueta realizada. Además se propone evaluar la exposición de este trabajo por cada grupo, en base a los indicadores de evaluación presentados en el punto anterior, y aquellos que usted determine pertinentes.

ayuda diferenciada

El presente proyecto tiene como finalidad que el estudiante conozca y actué en su realidad a partir de los conocimientos geométricos aprendidos. Por otra parte, es importante tener claridad que los estudiantes deberán relacionar conocimientos del tema número y del tema álgebra, lo cual se presenta como una oportunidad de explicitar que todo conocimiento matemático esencialmente una red de contenidos que permiten comprender el mundo en que vivimos.

— �9 —

organización

Durante el desarrollo del proyecto los estudiantes trabajarán en grupo, es importante que usted como docente determine la conformación de ellos, para lo cual debe tomar en cuenta el logro de competencias, alcanzado por los estudiantes durante el trabajo de nivel, para ello cual se debe tener en cuenta las siguientes orientaciones según el nivel que corresponda.

nivel I: Usted como docente debe ayudar a los estudiantes, mediante la modelación de las actividades, a que ellos puedan identificar y describir los diferentes cuerpos geométricos que serán utilizados en el desarrollo del proyecto según sus caras, aristas, vértices, etc., y que dibujen la red geométrica del cuerpo geométrico cuando sea necesario. En segundo lugar es importante que los estudiantes construyan con la ayuda de usted como profesor un organizador gráfico que indique las propiedades de cada cuerpo geométrico. Finalmente, se propone realizar variadas representaciones gráficas de las caras de los cuerpos geométricos. Ejemplo: dibujar una región cuadrada en diferentes posiciones (con diferentes ángulos de rotación o trasladándola), ya que los estudiantes de estos niveles de desarrollo tienden a “fijar una única imagen, dibujo o representación gráfica” del concepto estudiado.

nivel II: Usted como docente debe ayudar a los estudiantes, mediante la modelación de las actividades a que ellos puedan identificar y describir las relaciones conceptuales explícitas e implícitas de los diferentes cuerpos geométricos, y dibujen la red geométrica del cuerpo geométrico según corresponda. Un ejemplo de lo anterior es el siguiente: Que al construir la red de un cilindro, el perímetro de la circunferencia debe tener la misma medida (matemáticamente hablando) que el largo de la cara cuya forma es una región rectangular. En segundo lugar es importante que los estudiantes construyan con la ayuda del profesor un organizador gráfico (revisar organizadores gráficos presentes en la sección desarrollo de contenido) que indique las propiedades y las condiciones suficientes para conceptualizar cada cuerpo geométrico. Finalmente, se propone realizar variadas representaciones gráficas de las caras de los cuerpos geométricos. Ejemplo: dibujar una región cuadrada en diferentes posiciones (con diferentes ángulos de rotación o por simetría), ya que los estudiantes tienden a “fijar una única imagen, dibujo o representación gráfica” del concepto estudiado.

nivel III: Usted como docente debe ayudar a los estudiantes, mediante la modelación de las actividades para que ellos puedan identificar y describir en lenguaje simbólico las relaciones conceptuales explícitas e implícitas de los diferentes cuerpos geométricos, y dibujen la red geométrica del cuerpo geométrico según corresponda. Por último es importante que los estudiantes indiquen las condiciones necesarias y suficientes (escritas en lenguaje simbólico) para conceptualizar cada cuerpo geométrico. Finalmente es importante señalar que la gran distinción entre el Nivel II y III es que en el Nivel III los estudiantes deben trabajar y desarrollar sus análisis en lenguaje simbólico.

a trabajar en equipo: Los estudiantes, reunidos en grupos de tres, determinan qué construcción del colegio puede ser rediseñada o creada (en el caso que no este construida). La idea es que este proyecto responda a una problemática real del establecimiento a la que los estudiantes puedan dar respuesta. Reúnete.

— 60 —

Luego, escriben el nombre del proyecto, qué problema quieren resolver y cuál es el objetivo general del proyecto.

nombre del proyecto

problemática o necesidad a la que responde el proyecto

objetivo general del proyecto

Antes de realizar cualquier tipo de construcción, los estudiantes deben informarse de los principios y fundamentos básicos que se necesitan saber para llevar a cabo una construcción.

a) Usted como profesor debe señalar que el primer paso en toda construcción es construir el cimiento en donde se colocaran posteriormente las murallas y tabiques. Para el buen desarrollo del proyecto, observe con atención las siguientes imágenes y descríbalas según las figuras y cuerpos geométricos que se asemejan. Asimismo, usted debe realizar esta misma actividad con sus estudiantes y con un nivel de profundidad acorde al nivel del GRUPO NIVEL desarrollado por ellos.

Imágenes relacionadas con el cimiento de una construcción

— 61 —

descripción geométrica de la imagen



b) Se le debe señalar al estudiante que debe realizar una construcción de una casa, edificio, salas, entre otros, y que puede hacerse a través de tabiques de madera, murallas con ladrillo y cemento. Se debe pedir a los estudiantes que observen las siguientes fotos e identifica en ellas las figuras y/o cuerpos geométricos según corresponda.

Imágenes relacionadas con tabiques




c) En tercer lugar, cabe señalar a los estudiantes que toda construcción necesita de un modelo de techumbre, la cual se transformará posteriormente en el techo. Usted como profesor debe mediar la observación de las siguientes fotos para que los estudiantes identifiquen en ellas las figuras y/o cuerpos geométricos según corresponda.

Imágenes relacionadas con techumbres

— 62 —





ayuda diferenciada

Esta sección tiene como finalidad complementar el desarrollo del proyecto con otros conocimientos geométricos no desarrollados en el Grupo Nivel de geometría. Para esto se darán a continuación una serie de orientaciones que permitirán al profesor mediar frente al aprendizaje de los estudiantes.

organización

Durante el desarrollo del proyecto los estudiantes trabajarán en grupo, para o cual se debe tener en cuenta las siguientes orientaciones según el nivel que corresponda.

nivel I: La primera orientación es presentar diversos cuerpos geométricos y dibujar sus diferentes perspectivas (lo anterior puede mediarse con objetos reales que tengan forma semejante de los cuerpos geométricos a estudiar en el proyecto). Por ejemplo el dado que se asemeja a un cubo: si se dibuja la perspectiva cuando se mira de frente, la representación gráfica en el plano es una figura cuadrada o un cuadrado; pero si se dibuja la perspectiva cuando se miran dos caras de un cubo, la representación gráfica ya es distinta a la anterior. Esta misma actividad se recomienda realizarla en una sala oscura en donde se alumbra con una linterna el cuerpo geométrico y se observa la proyección que se da en la pared. Finalmente, se les pide a los estudiantes crear las diferentes redes geométricas de un paralelepípedo y de un cilindro, ya que podrían ser las formas de los pilares a utilizar en la construcción.

nivel II y III: La primera orientación es presentar diversos cuerpos geométricos y dibujar sus diferentes perspectivas. Por ejemplo el cilindro, si se dibuja la perspectiva cuando se mira de frente, la representación gráfica en el plano es una figura rectangular o un rectángulo; pero si se dibuja la perspectiva cuando se mira desde arriba, la representación gráfica es una circunferencia. Esta misma actividad se recomienda realizarla en una sala oscura en donde se alumbra con una linterna el cuerpo geométrico y se observa la proyección que se da en la pared. Finalmente, se les pide a los estudiantes crear las diferentes redes geométricas de un paralelepípedo y de una pirámide, concluyendo con la construcción de un organizador gráfico que permita distinguir los diferentes cuerpos geométricos y sus respectivas redes geométricas.

Es importante señalar para los tres niveles que su quehacer docente debe estar vinculado el trabajo de los estudiantes con los conocimientos alcanzados en el Grupo Nivel de geometría. Un ejemplo de ello es la congruencia y semejanza de figuras geométricas, traslación, rotación y simetría de las figuras geométricas y de los cuerpos geométricos, entre otros.

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es hora de construir: Usted como profesor debe indicar a sus estudiantes que dibujen un plano de la construcción a realizar. Para esto deben dibujar los diferentes planos del proyecto que cada grupo haya escogido.

un ejemplo del plano a realizar por los estudiantes es este primer piso de la biblioteca vista desde arriba

datos a tener en cuenta cuando se dibuja un plano

- Lo primer que se debe hacer es tomar las medidas reales que tendrá la construcción: largo, ancho y alto. Usted como profesor puede mediar esta etapa teniendo medidas aproximadas de las diferentes construcciones a realizar.

- Luego se organiza, según la medida del largo y del ancho, la construcción: puerta de entrada y salida de emergencia, ventanas, paneles o murallas, pilares, escaleras, salas interiores, baño, entre otros. Se recomienda realizar estos cálculos en una hoja del cuaderno para luego pasar a la siguiente actividad.

- En tercer lugar deberán pensar como será el diseño de la entrada a la biblioteca o la edificación escogida por cada grupo, el diseño del techo y sus murallas. Un desafío importante a cumplir es diseñar las murallas con ventanas que sean innovadoras y den un diseño original en cuando a la arquitectura de la biblioteca.

En base al trabajo ya realizado, los estudiantes realizan un primer diseño de las murallas y las ventanas que formarán parte de la construcción a realizar, en donde deben establecer las medidas reales de la construcción.

dibujo parte frontal

de

medidas de la puerta, ventanas, salidas de emergencia según corresponda.

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dibujo parte lateral derecha

de


dibujo parte lateral izquierda

de


dibujo parte posterior

de


parte frontal de la techumbre y medidas según corresponda.

Techumbre vista desde arriba y medidas según corresponda.

Para el dibujo y construcción de techumbre los y las estudiantes pueden visitar la páginas http://www.corma.cl/libro/pdf/Anexos2.pdf y http://www.corma.cl/libro/pdf/unidad11.pdf

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Ahora deben dibujar el plano con las medidas reales, es decir, deben anotar las dimensiones que tendrá la biblioteca, la sala de Internet, la sala de control informático, los baños, etc. Este es otro ejemplo de plano de biblioteca que pueden desarrollar los estudiantes en el proyecto. Es importante notar que las imágenes que se presentan aquí son sólo una referencia respecto del tipo de plano que los estudiantes deberían desarrollar y no una exigencia en torno al grado de precisión técnica del plano a elaborar por los estudiantes (en cuanto a dibujo y simbología). Aunque el plano debe respetarla la escala y las dimensiones reales de los objetos, basta con que los dibujos representen los objetos que intentan representar.

Utiliza esta página en caso de que el grupo no haya escogido realizar el proyecto en torno a la biblioteca o en el caso de que necesiten dibujar otro plano para la construcción de la maqueta.

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ayuda diferenciada

Esta sección tiene como finalidad complementar el desarrollo del proyecto con conocimientos matemáticos del tema número. Sin embargo cabe señalar que la profundidad de los conocimientos matemáticos explicitados en las hojas posteriores queda a criterio del profesor y según las características de cada nivel de trabajo.

organización

Durante el desarrollo del proyecto los estudiantes trabajarán en grupo, para o cual se debe tener en cuenta las siguientes orientaciones según el nivel que corresponda.

nivel I: La primera orientación es que los estudiantes recuerden situaciones de la vida diaria que implica trabajar con “razones”. De esta manera los estudiantes relacionaran que el concepto de “razón” implica necesariamente la comparación entre dos magnitudes, cantidades, entre otros casos. Por otra parte de recomienda hacer hincapié en los concepto de perímetro y área (su formula, la representación gráfica relacionada y el algoritmo a realizar cuando se quiere obtener el cálculo de ésta), haciendo la acotación en que la primera tiene como unidades de medida al centímetro, metro, kilómetro; y la segunda tiene como unidades de medida al centímetro cuadrado, metros cuadrados, etc.

nivel II y III: La primera orientación es que los estudiantes recuerden muy bien que implica trabajar con “razones”, que el concepto de “razón” implica necesariamente la comparación entre dos magnitudes, cantidades, entre otros. Por otra parte de recomienda hacer hincapié en los concepto de perímetro y área (relacionar con diferentes figuras geométricas), haciendo la acotación en que la primera tiene como unidades de medida al centímetro, metro, kilómetro; y la segunda tiene como unidades de medida al centímetro cuadrado, metros cuadrados, etc. Finalmente se debe explicitar que en los cuerpos geométricos se conforman a partir de caras, las cuales son figuras geométricas y se les puede calcular su área y perímetro (asociar con las redes geométricas de los diferentes cuerpos geométricos), pero debe quedar claro que a los cuerpos geométricos no se les calcula el área o el perímetro, sino el volumen.

es hora de trabajar a escala: Ahora es el momento de transformar las medidas reales en medidas proporcionales a éstas, es decir, debemos transformar las medidas de tal manera que nos permita construir una maqueta, que es una representación a escala de la construcción real que forma parte del proyecto.Las escalas que normalmente se utilizarán para las reducciones, son las indicadas en la norma y se deducen todas a partir de las siguientes razones: 1:1, 1:2 y 1:�.¿Qué significa que la escala del plano sea 1:2?La respuesta a la pregunta anterior esta dada en primer lugar por la unidad de medida utilizada (centímetros, metros, kilómetros, etc.), lo cual indica que por cada 1 metros en el plano, éste equivale a 2 metros de las medidas reales. Ejemplo: Si en un plano la escala es 1:2 y la medida en el plano del largo de una habitación es 1,� metros, quiere decir que esa habitación en la realidad mide 3 metros ( 2 • 1,� m = 3 m.).En cuanto al proceso inverso, si una sala de estudio mide 6 metros de largo por 3 metros ancho y queremos utilizar la escala 1:�, debemos dividir por � ambas medidas (600 cm: � = 120 cm; 300 cm: � = 60 cm), lo cual nos indicará que debemos colocar en el nuevo plano 120 cm en vez de 6 metros de largo y 60 cm en vez de 3 metros ancho. Finalmente las medidas en este nuevo plano serán las medidas de la maqueta a construir.Ahora deberán escoger la escala más conveniente y transformar todas las medidas que tiene la edificación de su proyecto.

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plano a escala parte frontal de

plano a escala parte lateral derecho de

plano a escala parte posterior de

plano a escala parte frontal de la techumbre de

es hora de ver qué y cuánto material necesitamos: En esta etapa los ustedes como grupo deben calcular cuáles serán los materiales que necesitarán para concretar la construcción de la maqueta.

Completa la siguiente lista y agrega otros materiales que ustedes estimen conveniente.

material cantidad material Cantidad

Palitos de maqueta Palos de helado

Papel lustre Cajas de fósforo

Pegamento Conos de confort

Tijeras Cartulina

Mica transparente Madera o maciza

Lápices de colores Papelógrafo

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otros materiales

material cantidad material Cantidad

es hora de sacar cuentas: Ya que han determinado como grupo los distintos materiales que necesitan para construir la maqueta, tienen que hacer un presupuesto, el cual indica el costo que tendrá la realización de la maqueta.

material Costo por unidad unidades a comprar Costo total

¿Cuánto dinero se necesita para construir la maqueta de este proyecto?

es hora de construir la maqueta: Es momento de ir manos a la obra, comprueben que tienen todos los materiales necesarios para comenzar a construir la maqueta.

Se recomienda construir la maqueta cumpliendo los siguientes pasos.

pasos a seguir y etapas a cumplir marca con una X al terminar una etapa

Están todos los planos con las medidas a escala.

Construcción de la parte frontal de la maqueta.

Construcción de la parte lateral derecha de la maqueta.

Construcción de la parte lateral izquierda de la maqueta.

Construcción de la parte posterior de la maqueta.

Construcción de la techumbre de la maqueta.

Maqueta completamente construida.

evaluación grupal: Completan la siguiente tabla indicando las mayores fortalezas del trabajo en equipo y las dificultades que se les presentaron a la hora de construir la maqueta.

Fortalezas dificultades

nivelación restitutiva - textos escolares · importancia de los contenidos restituidos en función...

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