Bioestadística

Sesión12:ModelosdeprobabilidadJoséAurelioPinaRomero

Ja.pina@ua.esBioestadística– GradoEnfermeríaUA-DepartamentodeEnfermería

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Funcióndedensidad(V.Continuas)

•  Definición•  Esunafunciónnonegativadeintegral1.•  Piénsalocomolageneralizacióndelhistogramaconfrecuenciasrelativasparavariablescontinuas.

•  ¿Paraquélovoyausar?•  Nuncalovasausardirectamente.•  Susvaloresnorepresentanprobabilidades.

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¿Paraquésirvelaf.densidad?

•  Muchosprocesosaleatoriosvienendescritosporvariablesdeformaquesonconocidaslasprobabilidadesenintervalos.

•  Laintegraldefinidadelafuncióndedensidadendichosintervaloscoincideconlaprobabilidaddelosmismos.

•  Esdecir,identificamoslaprobabilidaddeunintervaloconeláreabajolafuncióndedensidad.

DistribuciónnormalodeGauss

• Aparecedemaneranatural:•  Erroresdemedida.•  Distanciadefrenado.•  Altura,peso,propensiónalcrimen…•  Distribucionesbinomialesconngrande(n>30)y‘pnipequeño’(np>5)‘nigrande’(nq>5).

• Estácaracterizadapordosparámetros:Lamedia,μ,yladesviacióntípica,σ.

•  Sufuncióndedensidades:

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N(μ,σ):Interpretaciónprobabilista• Entrelamediayunadesviacióntípicatenemossiemprelamismaprobabilidad:aprox.68%

• Entrelamediaydosdesviacionestípicasaprox.95%

Algunascaracterísticas•  Lafuncióndedensidadessimétrica,mesocúrticayunimodal.•  Media,medianaymodacoinciden.

•  Lospuntosdeinflexióndelafun.dedensidadestánadistanciaσdeμ.

•  Sitomamosintervaloscentradosenμ,ycuyosextremosestán…•  adistanciaσ,ètenemosprobabilidad68%•  adistancia2σ, ètenemosprobabilidad95%•  adistancia2’5σ ètenemosprobabilidad99%

•  Noesposiblecalcularlaprobabilidaddeunintervalosimplementeusandolaprimitivadelafuncióndedensidad,yaquenotieneprimitivaexpresableentérminosdefunciones‘comunes’.

•  TodaslasdistribucionesnormalesN(μ,σ),puedenponersemedianteunatraslaciónμ,yuncambiodeescalaσ,comoN(0,1).Estadistribuciónespecialsellamanormaltipificada.•  Justificalatécnicadetipificación,cuandointentamoscompararindividuos

diferentesobtenidosdesendaspoblacionesnormales.

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Tipificación•  Dadaunavariabledemediaμydesviacióntípicaσ,sedenominavalortipificado,z,deunaobservaciónx,aladistancia(consigno)conrespectoalamedia,medidoendesviacionestípicas,esdecir

•  EnelcasodevariableXnormal,lainterpretaciónesclara:AsignaatodovalordeN(μ,σ),unvalordeN(0,1)quedejaexáctamentelamismaprobabilidadpordebajo.

•  Nospermiteasícompararentredosvaloresdedosdistribucionesnormalesdiferentes,parasabercuáldelosdosesmásextremo.

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TablaN(0,1)Z es normal tipificada. Calcular P[Z<1,85]

Solución: 0,968 = 96,8%

9 Bioestadística. U. Málaga.

TablaN(0,1)Z es normal tipificada. Calcular P[Z<-0,54]

Solución: 1-0,705 = 0,295

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TablaN(0,1) Z es normal tipificada. Calcular P[-0,54<Z<1,85]

Solución: 0,968-0,295= 0,673

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Ejemplo:CálculoconprobabilidadesnormalesElcolesterolenlapoblacióntienedistribuciónnormal,conmedia200ydesviación10.

•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolinferiora210?•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolsuperiora210?•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolentre180y210?

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Ejemplo:Cálculoconprobabilidadesnormales•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolinferiora80?•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolsuperiora80?

• Quévalordelcolesterolsóloessuperadoporel10%delosindividuos.• Quévalordelcolesterolessuperadoporel90%delosindividuos.

•  Todaslasdistribucionesnormalessonsimilaressalvotraslaciónycambiodeescala:Tipifiquemos.

z = x −µσ

=210− 200

10=1

P [Z <1,00] = (ver tabla) = 0,841

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