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Bioestadística - 2017

Bioestadística


Probabilidad

Experimento: Desde el punto de vista de probabilidades será "cualquier acto que pueda

repetirse en igualdad de condiciones, que arroje resultados medibles".

Ej. Arrojar un dado o una moneda.

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se

denomina con S ( ), en los ejemplos S={1,2,3,4,5,6}.o S={cara, seca}


Probabilidad

Evento o Suceso: Es un subconjunto de resultados de un experimento, puede estar

formado por uno o más elementos del espacio muestral (puntos muestrales). Se denotaran con letras mayúsculas, de manera similar a la teoría de conjuntos. En el ejemplo del dado:

A={sale par}={2,4,6}.

Sucesos mutuamente excluyentes Son aquellos en que la presencia de uno impide la del otro, es

decir no pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplo: A={sale par}, B={sale impar}.

En terminos de conjuntos:

BA


Probabilidad

Definición clásica de Probabilidades (Def. a

priori):

Si un experimento aleatorio puede producir n resultados

mutuamente excluyentes, siendo todos igualmente probables y si f

de estos resultados se consideran favorables, la probabilidad de

que aparezca un resultado favorable es el número de casos

favorables dividido el número de casos posibles.

P( A) f

n

nº de casos favorables

nº de casos posibles


Probabilidad

Teoría del límite de la frecuencia relativa (Def.

posteriori):

"Si un experimento aleatorio se realiza n veces con f éxitos,

luego la frecuencia relativa, cuando n aumenta, tiende al valor

de la probabilidad". Entonces la probabilidad de éxito será:

P( A) = Lim

f

n = p

n

A


Probabilidad

Teoría Axiomática de la Probabilidad

(Kolmogorov, 1937): "Esta definición enuncia 3 axiomas que debe cumplir una

función de probabilidad. Sea A un suceso en un espacio

muestral se cumple:

Siempre que sean excluyentes.

A suceso todopara 1 0 P(A))

2 ) P( S ) = 1

)P(A+...+)P(A+)P(A= )A...AP(A 3) k21k21


Probabilidad

Consecuencias de la Teoría Axiomática:

1era Ley

Los valores que puede tomar la probabilidad están entre 0 y 1.

0 P( ) 1


Probabilidad


2da Ley (ley de la suma)

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad

de obtener el suceso A o B es igual a la suma de la probabilidad

de A más la probabilidad de B

si A y B no son mutuamente excluyentes

P ( A o B ) = P ( A) + P ( B )

P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) - P( A B )


Probabilidad


3era Ley (ley de la multiplicación)

Dos sucesos A y B pertenecientes a S son "estadísticamente

independientes" si:

Si A y B no son "estadísticamente independientes"

(B). P (A) P= B) (A P= B)y (A P

)B

AA

B P( (B) P= )( P (A) P= B) (A P= B)y (A P


Variable Aleatoria

Es una función que asigna un valor a cada elemento

del espacio muestral

Al arrojar un dado, se puede definir una variable

aleatoria X como: X = “resultados posibles al arrojar un

dado”. Los valores posibles para X son: x1=1; x2=2;

x3=3; x4=4; x5=5; x6=6.

Variable aleatoria X: longitud de las patas de cierto tipo

de abejas, los valores de la v.a.:

x1=35,6 ; x2=38,5 ;...; xi=40 ;...; xn=38,2, etc.


Variable Aleatoria

Variables Aleatorias Continuas:

Funciones de probabilidad: función densidad de probabilidad:

f(x)

Variables Aleatorias Discretas:

Funciones de probabilidad: función distribución de probabilidad:

p(x)

En ambos casos la función acumulada se designa con

F(x)=P(X x)


Variable aleatoria: Cantidad de machos producto de una

gestación de 3 cachorros

MMM

MHH HMH HHM

MMH MHM HMM

HHH

3

1

2

0


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3

Núm.de hembras

fdp


Funciones de Probabilidad

(fdp) Función a partir de la cual se obtienen las

probabilidades para los posibles valores de la variable

1)

2)

3)

0 )f(x o )p(x ii

1n

1io1 )

ip(x

dx)x(f

ix

dx)x(fo = )(x p= )x(X P= )(x Fi

1jjii


Ejemplo: Experimento de arrojar simultáneamente dos dados.

Espacio muestral:S = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)} con 36

puntos muestrales. X v.a. suma de los dados.

x Sucesos P(x) P(x) F(x)

2 {(1,1)} 1/36 =0.028 1/36

3 {(1,2), (2,1)} 2/36 =0.056 3/36

4 {(1,3), (2,2), (3,1)} 3/36 =0.083 6/36

5 {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 4/36 =0.111 10/36

6 {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 5/36 =0.139 15/36

7 {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 6/36 =0.167 21/36

8 {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} 5/36 =0.139 26/36

9 {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 4/36 =0.111 30/36

10 {(4,6), (5,5), (6,4)} 3/36 =0.083 33/36

11 {(5,6), (6,5)} 2/36 =0.056 35/36

12 {(6,6)} 1/36 =0.028 36/36


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X

fdp


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X

F(x)


Ejemplo: Experimento de arrojar simultáneamente 3 dados.

Espacio muestral:S = {(1,1,1),..., (6,6,6)} con 216 puntos

muestrales. X v.a. suma de las 3 caras superiores.

X frec. P(x) F(x)

3 1 0.005 0.005

4 3 0.014 0.019

5 6 0.028 0.046

6 10 0.046 0.093

7 15 0.069 0.162

8 21 0.097 0.259

9 25 0.116 0.375

10 27 0.125 0.500

11 27 0.125 0.625

12 25 0.116 0.741

13 21 0.097 0.838

14 15 0.069 0.907

15 10 0.046 0.954

16 6 0.028 0.981

17 3 0.014 0.995

18 1 0.005 1.000


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

X

fdp


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

X

F(x)


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

X

fdp


PARÁMETROS

Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(X). La

esperanza matemática de X es:

Varianza Matemática

Donde E(X2)=

Asimetría

Curtosis

22 )x(E)x(E)x(V

n

1=iii)p(xx= (X) E

)x(px ii

i2


Variables discretas

Distribución de probabilidades Binomial

Poisson

Variables continuas

Distribución de frecuencias Normal (Gauss)

Student (Gosset)

Chi2 (Pearson)

F de Snedecor


Modelos Probabilísticos

Distribución Binomial

E(X)=np, Var(X)=npq

Características

solo dos resultados posibles: éxito y fracaso

p y q contantes en cada prueba.

que el experimento pueda repetirse (n pruebas )

independencia de los experimentos

nkqpknk

npp

k

nkXP knkknk

0,

)!(!

!)1()(


Ejemplo

Se sabe que una perra Ovejero Alemán tendrá 6 cachorros en una misma gestación:

Calcular la probabilidad de que solo 2 sean macho. .

n=6, X=2 (cantidad de machos)

p=0.5 (probabilidad de macho) q=0.5

42262 5.05.0123412

1234565.05.0

)!26(!2

!6)2(

xP

2344.00625.025.015)2( xP


Modelos Probabilísticos

Distribución de Poisson

E(x)= y Var(x)=

Características la variable aleatoria es conteo en una unidad de

tiempo o espacio

la probabilidad de ocurrencia es baja

el número de experiencias es alto

casootroen

,....,,Xsi!k

e),kX(f

k

0

210


Ejemplo

En una experiencia realizada en una plantación de girasol sometida a polinización un investigador estimó que el promedio de visitas fue de 15 abejas por hora y por capítulo, utilizando 2,5 colmenas por ha.

Calcular la probabilidad de que una planta reciba 40 abejas en 3 horas

Si en una hora una planta recibe 15 visitas en 3 horas recibe en promedio 45 visitas, entonces:

04716.0!40

45)40(

4540

e

xP

!)(

k

ekxP

k


Distribuciones continuas

Distribución Normal (“z”)

Distribución “t” de Student.

Distribución 2 de Pearson

Distribución “F” de Snedecor


PARÁMETROS

Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(X). La

esperanza matemática de X es:

Varianza Matemática

2)( xV

= (X) E


Distribución normal

Distribución Normal o de Gauss (“z”)

Donde y 2 son los parámetros de la distribución

<< y 2>0

22

1

2

1)(

x

exf



-5 0 5 10 15 20 25 30

N(0,1) N(20,1) N(20,4)


Si X se distribuye normal




P(X≥x0)

P(X≤x0)

x0



P(X≤x0)

P(X≥x0)

x0



Si X~N(,2) , luego Z~N(0,1),

xz

-5 0 5 10 15 20 25 30

N(0,1) N(20,4)


Ejemplo: Distribución normal

Se sabe que la longitud del cuerpo de las abejas reinas de un determinado apiario sigue una distribución aproximadamente normal con una media de 2 cm. y una desviación estándar de 0.046cm, ¿Cual es la probabilidad de que una abeja reina elegida al azar mida más de 2.1cm?

01501720460

21212 .).Z(P)

.

.X(P).X(P

.

Sea X la variable aleatoria longitud de las abejas reinas en esa población,

X~(2;0.002116), luego,


Distribución 2

Si X1, X2, Xn son distribuciones normales independientes cada

una con su media y variancia:

Xi~N(i,2

i)

Luego

Tiene distribución 2 con n grados de libertad

n

i

i

n

i i

ii ZX

U1

2

2

1


Distribución 2

P(X2n<X2

p,n)=p

X2 (p,n)


Distribución t de Student

Si X~N(,2) y U 2(gl) con gl=n-1

luego

Tiene distribución “t” con n-1 grados de libertad

n

U

X

t


P(t< to)= 1-

to

Distribución t de Student


Distribución F de Snedecor

Si V 2(n1-1) y U 2(n2-1) independientes

luego

Tiene distribución “F” con n1-1 y n2-1 gl.

1

1

2

1

nU

nV

F


P(F<Fon1,n2)=p

Fo (n1,n2)

Distribución F de Snedecor


Estadística analítica o inferencial



Inferencia

obtener conclusiones “validas” para una

población a partir de la información que nos

brinda una porción pequeña de ella (muestra).



Estimación

Puntual

Intervalos de confianza

Test de Hipótesis



Tipos de estudios

Experimentales: Se asigna aleatoriamente el tratamiento

Observacionales: La unidad “experimental” o unidad

observacional ya tiene el tratamiento asignado.


Estimación Puntual

Parámetro Estimador

Promedio


Estimación Puntual


Promedio x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2

x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2 S2

x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2 S2

Proporción

x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2 S2

Proporción p

x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2 S2

Proporción p

Correlación

x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2 S2

Proporción p

Correlación r

x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2 S2

Proporción p

Correlación r

Regresión:

ordenada al origen

pendiente

x


Estimación Puntual


Promedio

Variancia 2 S2

Proporción p

Correlación r

Regresión:

ordenada al origen a

pendiente b

x


Estimación por Intervalos

Cada intervalo particular dependerá del

parámetro y de la distribución estadística

asociada (Normal, “t”, Chi2).

1)( LsLiP

Nivel de confianza


Estimación por interv. de confianza

Para el promedio, con varianza conocida:

Para el promedio con varianza desconocida:

1..

21,

21, n

Stx

n

StxP

glgl

1

21

21 n

ˆ.Zx

n

ˆ.ZxP



Para la diferencia de medias, con varianzas conocidas

1..

2

2

2

1

2

1

2121

2

2

2

1

2

1

21 2121

nnZxx

nnZxxP

1..

2

2

2

1

2

1

21;221

2

2

2

1

2

1

21;2 21

2121

21

n

S

n

Stxx

n

S

n

StxxP

nnnn

Para la diferencia de medias, con varianzas desconocidas



Para la varianza con distribución normal:

1

.

.1

.

.1

2

2

22

21

2

2

glx

Sn

glx

SnP


Para la proporción (o prevalencia):

1

11

21

21 n

)p(p.ZpP

n

)p(p.ZpP



Ejemplos

Para estimar el contenido vitamínico de un alimento se tomó una

muestra de tamaño 30 y se determinó que 35 g y S =7.

a) Construir un intervalo de confianza del 95% para .

1

21

21 n

S.tx

n

S.txP

,gl,gl

4775

7045235

30

7045235

.....

6142352781045235 ....

6143738632 ..


b) Construir los un intervalo de confianza del 95%. para 2.

111

2

22

21

2

22 ),gl(),gl( X

S.n

X

S.nP

04716

4929

72245

7130 22

..

04716

1421

72245

1421 2

..

5528807931 2 ..


Estadística



Estimación

Puntual

Intervalos de confianza

Test de Hipótesis



Tipos de estudios

Experimentales: Se asigna aleatoriamente el tratamiento

Observacionales: La unidad “experimental” o unidad observacional

ya tiene el tratamiento asignado.

Retrospectivos: Casos y controles

Prospectivos: Cohorte

Transversal:


Ensayos comparativos

¿Cuál es mi objetivo?

¿Qué es lo que quiero saber?

¿Por qué quiero saberlo?


Ensayos comparativos

Identificar los factores que influyen

Cuales son variables

Cuales hay que mantener constantes

Identificar las características a medir

Procedimiento de medición de la ó las

características

Determinar el número de repeticiones

Precisar los recursos y materiales


Experimento

es una investigación que establece un particular

conjunto de circunstancias bajo un protocolo

especifico con motivo de observar y evaluar los

resultados.


Experimento comparativo:

Es el experimento típico en el campo de la biología,

medicina veterinaria, agricultura. El objetivo comparativo

implica establecer más de una circunstancia y las

respuestas observadas resultan de las diferentes

circunstancias y pueden ser comparados unos con otros.

La unidad básica de estudio se denomina “unidad

experimental”.


Estudio observacional comparativo:

Cuando la experiencia no puede llevarse a cabo por

razones éticas o prácticas.

La unidad básica de estudio tiene el mismo rol que la

unidad experimental y se la denomina “unidad

observacional”.


Tratamiento: es el conjunto de circunstancias

creadas por el experimentador en respuesta a la

hipótesis a investigar y ellos son el foco de la

investigación.

Tratamiento control o testigo

Tratamiento placebo


Test de Hipótesis

Plantear las hipótesis (nula y alternativa)

Elección del estadístico

Determinar el nivel de confianza: (1-)100

Determinar la zona de rechazo

Cálculo del estadístico

Conclusión


Bilateral Unilateral derecha Unilateral izquierda

H0: 0 H0: 0 H0: 0

H1: 0 H1: >0 H1: 0

Hipótesis


Acepto H0 Rechazo H0

H0 verdadera No hay error Error de Tipo I

()

H0 Falsa Error de Tipo II

()

No hay error

Tipos de errores


Test de Hipótesis

Una población Test “t” y “z”

Dos poblaciones Test “t”

Chi2 (nominales)

Más de dos poblaciones ANOVA (DCA)

Datos pareados Test “t”

ANOVA (DBCA)


|

Ejemplo

Un vendedor de semen asegura que un toro produce terneros con un peso al nacimiento menor a 42 Kg. Para probarlo se inseminaron las vaquillonas de un establecimiento y se registró el peso de los terneros al nacimiento. De un total de 100 terneros se obtuvo un peso promedio de 41.3 Kg. Sabiendo que la variancia de la población es de 9 Kg2, ¿es cierto lo que afirma el vendedor, con un 95 % de confianza?


Test de hipótesis

1) Planteo de la hipótesis:

H0: 42

H1: < 42

2) Estadístico: Test de “z”

n

xzHo

0

0


Test de hipótesis

3) Nivel de confianza:

(1-) 100 95 % 0.05

4) Regla de decisión:

64.105.0 zzHo


Test de hipótesis

5) Cálculo:

(P= 0.0098)

6) Conclusión: La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis nula.

Por lo tanto el toro al cual hace referencia el vendedor, produce terneros con un peso al nacimiento significativamente menor a 42 Kg.

333.23.0

7.0

100

3

423.410

Hz


Test de hipótesis

Test t para comparar una media

desconociendo 2

n

S

xtH

0

0


Test de hipótesis

Test t para comparar dos medias

desconociendo las variancias

2

2

2

1

2

1

2121

n

S

n

S

xxtHo


Test de hipótesis

Test t para datos apareados

n

S

dt

D

DH

0


Test de hipótesis

Test F para comparar variancias

2

2

0

Menor

Mayor

HF

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