natalia quereda castañeda
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Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 1
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DDiirreeccttoorraaTTuuttoorraa MMaarriacuteiacuteaa FFrraanncciissccaa MMoorreennoo CCaarrrreetteerroo
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Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Departamento de Didaacutectica de la Matemaacutetica y de las
Ciencias Experimentales
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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IacuteNDICE DE CONTENIDOS
1 Introduccioacuten 4
2 Objetivos generales 5
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia 5
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado 8
32 Comenius 9
33 Pestalozzi 10
34 El siglo XX 11
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas 12
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
24
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos 27
7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones 38
71 Fundamentacioacuten de la actividad 38
72 Contextualizacioacuten 38
73 Objetivos 39
74 Contenidos 40
75 Descripcioacuten de la actividad 40
76 Anaacutelisis de datos y conclusiones 42
8 Conclusiones 45
9 Referencias 46
10 Anexos 49
101 Dominoacute de funciones 49
102 Encuesta de satisfaccioacuten 56
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1 Introduccioacuten
El uso de los materiales para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas tiene una larga historia
dentro de las aulas Sin embargo no siempre han sido totalmente aceptados o usados
apropiadamente Su uso comenzoacute a decaer con la aparicioacuten de los meacutetodos escritos y
fueron los pedagogos Comenius y Pestalozzi quienes empezaron su reintroduccioacuten En
el siglo XX Mariacutea Montessori elaboroacute un material didaacutectico especiacutefico que constituye el
eje fundamental para el desarrollo e implantacioacuten de su metodologiacutea lo que supuso un
punto de partida para la aparicioacuten de cientos de materiales educativos disponibles a
nuestro alcance Los argumentos han persistido sin embargo en cuanto a si las
herramientas comunes de la vida diaria podriacutean ser mejores que los materiales
educativos y si en realidad todos los materiales de este tipo podriacutean hacer maacutes dantildeo
que bien Los materiales educativos no son medicamentos milagrosos su uso
productivo requiere de una importante planificacioacuten y previsioacuten
Se entiende por recurso cualquier material no disentildeado especiacuteficamente para el
aprendizaje de un concepto o procedimiento determinado que el profesor decide
incorporar en sus ensentildeanzas Son recursos habituales la tiza y la pizarra o el cuaderno
del alumno Tambieacuten lo son una calculadora sencilla cientiacutefica o graacutefica la fotografiacutea
la prensa los viacutedeos los programas de ordenador llamados ldquode propoacutesito generalrdquo
(procesadores de texto hojas de caacutelculohellip) el retroproyector la historia de las
Matemaacuteticas etc
Por otro lado los materiales didaacutecticos se distinguen de los recursos porque
inicialmente se disentildean con fines educativos aunque en ocasiones un buen material
didaacutectico admite variadas aplicaciones con lo que a veces no se puede diferenciar
claramente queacute constituye un material didaacutectico y queacute un recurso Son ejemplos de
materiales didaacutecticos los siguientes las hojas de trabajo preparadas por el profesor en
una unidad didaacutectica los programas de ordenador de propoacutesito especiacutefico (como por
ejemplo el Geogebra la calculadora Wiris etc) distintos materiales manipulativos
como los aacutebacos los geoplanos los dados las regletas etc
En este trabajo pretendo un acercamiento al funcionamiento de los recursos y materiales
didaacutecticos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas Constituye una pequentildea reflexioacuten
sobre coacutemo deben usarse para ayudar a la consecucioacuten de las competencias y objetivos
en el aacuterea de las Matemaacuteticas Parto de unos objetivos baacutesicos de caraacutecter general y de
una pequentildea historia del origen y evolucioacuten de estos materiales porque conociendo su
desarrollo histoacuterico podemos utilizarlos de manera maacutes eficaz Posteriormente comento
la legislacioacuten educativa vigente para comprobar la importancia que en la actualidad se le
da al uso de los materiales y recursos como instrumento imprescindible en la praacutectica
educativa de las Matemaacuteticas Continuacutea este trabajo con un anaacutelisis sobre el papel que
en la actualidad tienen los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas asiacute como se
describen las condiciones idoacuteneas para su utilizacioacuten y se plantea una posible
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organizacioacuten de los mismos Por uacuteltimo como ejemplificacioacuten praacutectica programo una
tarea concreta con un material de elaboracioacuten propia el Dominoacute de funciones que lleveacute
a cabo en el trascurso de las praacutecticas docentes en el IES Alhamilla
2 Objetivos generales
Una de mis intenciones durante mi estancia en el desarrollo del Praacutecticum del presente
maacutester era realizar un trabajo de innovacioacuten e investigacioacuten en el campo educativo El
grupo objeto en cuestioacuten era un curso de 1ordm de ESO en el que existiacutea una gran
heterogeneidad entre su alumnado aunque en general eran alumnos comprometidos y el
nivel en Matemaacuteticas era bueno Mi propoacutesito fundamental era consolidar los
contenidos desarrollados en la unidad didaacutectica que iban a desarrollar Para esto decidiacute
elaborar una actividad en la que un material didaacutectico jugara un importante papel
Por este motivo me documenteacute sobre todo lo concerniente al uso de los materiales y
recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas y pude obtener conclusiones sobre la
adecuacioacuten o no de su uso en el aula como futura profesora de Matemaacuteticas
Por todo ello los objetivos generales de este trabajo son
Conocer los oriacutegenes del uso de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas asiacute como su evolucioacuten a lo largo de la Historia
Analizar la legislacioacuten educativa vigente para ver el tratamiento que hace de los
recursos y materiales didaacutecticos como medio para alcanzar las Competencias
Baacutesicas y los Objetivos en los diferentes niveles de actuacioacuten
Investigar sobre el uso y la utilizacioacuten que de estos recursos y materiales se hace
en la actualidad como medio auxiliar en las programaciones didaacutecticas
Experimentar alguacuten recurso o material didaacutectico en el desarrollo de una unidad
didaacutectica concreta y analizar su rendimiento pedagoacutegico
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia
Las Matemaacuteticas han sido importantes desde los tiempos antiguos desde un punto de
vista tanto teoacuterico como praacutectico como una herramienta uacutetil en la vida cotidiana y en
diferentes profesiones (Szendrei 1996) Los materiales concretos han sido usados para
contar objetos simbolizar nuacutemeros (marcas en palos de madera nudos en una cuerda
etc) y como herramientas para encontrar resultados de operaciones
Se pueden citar dos referentes oacuteseos de la historia de las Matemaacuteticas Uno es el
descubierto en una cueva de la cordillera Lebombo en Sudaacutefrica asiacute denominado que
es un peroneacute babuino de hace 35000 antildeos El hueso tiene una serie de 29 muescas que
parece ser que sirvieron para calcular nuacutemeros y puede que tambieacuten para medir el paso
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del tiempo probablemente la duracioacuten de un mes Se considera el artefacto matemaacutetico
maacutes antiguo conocido
Otros materiales de este tipo fueron hallados en los antildeos cincuenta en Ishango
(Repuacuteblica Democraacutetica del Congo) junto a la cabecera del Nilo a los que se les
atribuyen 20000 antildeos de antiguumledad y que revelaron que su civilizacioacuten dominaba
series aritmeacuteticas e incluso el concepto de los nuacutemeros primos Estaacuten conservados en el
Instituto Real de Ciencias Naturales de Beacutelgica y seguacuten los cientiacuteficos indican que los
primeros sistemas numeacutericos se inventaron en Aacutefrica hace veinte milenios es decir
15000 antildeos antes de que la escritura y la numeracioacuten aparecieran en Mesopotamia
Se sostiene que alrededor de 8000 aC los conteos del
Paleoliacutetico con muescas fueron reemplazados por las
fichas del Neoliacutetico en diversas formas geomeacutetricas
adecuadas para contar Se cree que esta invencioacuten ha
sido utilizada durante unos 5000 antildeos antes de la
aparicioacuten de nuacutemeros abstractos Las figuras teniacutean
formas geomeacutetricas baacutesicas tales como esferas
tetraedros conos cilindros discos cuadraacutengulos o
triaacutengulos
Las Matemaacuteticas de la vida cotidiana se convirtieron maacutes accesibles con la difusioacuten del
sistema de numeracioacuten indio y los nuacutemeros aacuterabes Este sistema simplificoacute no solo la
manera de escribir los nuacutemeros sino tambieacuten las operaciones aritmeacuteticas Antes de este
sistema las operaciones con nuacutemeros se llevaban a cabo bien mentalmente o bien
usando las manos piedras etc El aacutebaco era una herramienta muy utilizada para
representar nuacutemeros
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La conexioacuten entre la escritura de los nuacutemeros y las operaciones fue posible gracias al
aacutebaco de Gerbert Gerbert dAurillac (930 - 1003) maacutes tarde conocido como Silvestre
II el ldquoPapa Matemaacuteticordquo Este personaje creoacute un aacutebaco que conteniacutea discos con un
nuacutemero Sus operaciones escritas solo se diferenciaban de las modernas por la ausencia
del cero Maacutes tarde el aacutebaco cambioacute su forma las liacuteneas verticales fueron reemplazadas
por horizontales Esta nueva versioacuten del aacutebaco se difundioacute raacutepidamente y se hizo muy
popular ya que era accesible para aquellos que no sabiacutean leer o escribir Era una
herramienta para realizar sumas y restas faacutecilmente La eliminacioacuten del aacutebaco fue
posible despueacutes de la introduccioacuten del cero y de los nuacutemeros aacuterabes
En el sistema moderno de caacutelculo la notacioacuten para los nuacutemeros se convirtioacute en un
sistema abstracto e independiente de su sentido geomeacutetrico Al principio los algoritmos
que usaban esta notacioacuten no fueron siempre bienvenidos o faacutecilmente adoptados En el
Liber Abaci famoso trabajo de Leonardo da Pisa maacutes conocido como Fibonacci (1175
- 1250) se discutioacute el uso de los nuacutemeros hinduacutees Aunque Europa se familiarizoacute con
estos nuacutemeros a traveacutes de su libro el propoacutesito de
Fibonacci era mostrar como eacutel usaba el aacutebaco para el
caacutelculo y su libro era ldquopropagandardquo contra los algoritmos
con los numerales Muchos estados y autoridades civiles
trataron de prohibir el uso de los nuacutemeros aacuterabes ya que
les pareciacutea demasiado faacutecil manipular las cuentas con la
insercioacuten del cero pues la cantidad podriacutea convertirse 10
veces mayor mientras que con los nuacutemeros romanos esto
no era posible
La figura de la derecha conmemora la lucha entre los
ldquoabacistasrdquo (representados por Pitaacutegoras) y los
ldquoalgoriacutetmicosrdquo (representados por Boethius) La sentildeora
Aritmeacutetica teniacutea que elegir entre algoritmos o caacutelculos
con aacutebacos
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 16
PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 17
TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 19
ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 20
REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 22
Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 23
MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 24
De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 25
resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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httpeswikipediaorgwikiEscalas_Likert consultado el 23 de mayo de 2012
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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Departamento de Didaacutectica de la Matemaacutetica y de las
Ciencias Experimentales
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IacuteNDICE DE CONTENIDOS
1 Introduccioacuten 4
2 Objetivos generales 5
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia 5
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado 8
32 Comenius 9
33 Pestalozzi 10
34 El siglo XX 11
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas 12
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
24
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos 27
7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones 38
71 Fundamentacioacuten de la actividad 38
72 Contextualizacioacuten 38
73 Objetivos 39
74 Contenidos 40
75 Descripcioacuten de la actividad 40
76 Anaacutelisis de datos y conclusiones 42
8 Conclusiones 45
9 Referencias 46
10 Anexos 49
101 Dominoacute de funciones 49
102 Encuesta de satisfaccioacuten 56
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1 Introduccioacuten
El uso de los materiales para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas tiene una larga historia
dentro de las aulas Sin embargo no siempre han sido totalmente aceptados o usados
apropiadamente Su uso comenzoacute a decaer con la aparicioacuten de los meacutetodos escritos y
fueron los pedagogos Comenius y Pestalozzi quienes empezaron su reintroduccioacuten En
el siglo XX Mariacutea Montessori elaboroacute un material didaacutectico especiacutefico que constituye el
eje fundamental para el desarrollo e implantacioacuten de su metodologiacutea lo que supuso un
punto de partida para la aparicioacuten de cientos de materiales educativos disponibles a
nuestro alcance Los argumentos han persistido sin embargo en cuanto a si las
herramientas comunes de la vida diaria podriacutean ser mejores que los materiales
educativos y si en realidad todos los materiales de este tipo podriacutean hacer maacutes dantildeo
que bien Los materiales educativos no son medicamentos milagrosos su uso
productivo requiere de una importante planificacioacuten y previsioacuten
Se entiende por recurso cualquier material no disentildeado especiacuteficamente para el
aprendizaje de un concepto o procedimiento determinado que el profesor decide
incorporar en sus ensentildeanzas Son recursos habituales la tiza y la pizarra o el cuaderno
del alumno Tambieacuten lo son una calculadora sencilla cientiacutefica o graacutefica la fotografiacutea
la prensa los viacutedeos los programas de ordenador llamados ldquode propoacutesito generalrdquo
(procesadores de texto hojas de caacutelculohellip) el retroproyector la historia de las
Matemaacuteticas etc
Por otro lado los materiales didaacutecticos se distinguen de los recursos porque
inicialmente se disentildean con fines educativos aunque en ocasiones un buen material
didaacutectico admite variadas aplicaciones con lo que a veces no se puede diferenciar
claramente queacute constituye un material didaacutectico y queacute un recurso Son ejemplos de
materiales didaacutecticos los siguientes las hojas de trabajo preparadas por el profesor en
una unidad didaacutectica los programas de ordenador de propoacutesito especiacutefico (como por
ejemplo el Geogebra la calculadora Wiris etc) distintos materiales manipulativos
como los aacutebacos los geoplanos los dados las regletas etc
En este trabajo pretendo un acercamiento al funcionamiento de los recursos y materiales
didaacutecticos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas Constituye una pequentildea reflexioacuten
sobre coacutemo deben usarse para ayudar a la consecucioacuten de las competencias y objetivos
en el aacuterea de las Matemaacuteticas Parto de unos objetivos baacutesicos de caraacutecter general y de
una pequentildea historia del origen y evolucioacuten de estos materiales porque conociendo su
desarrollo histoacuterico podemos utilizarlos de manera maacutes eficaz Posteriormente comento
la legislacioacuten educativa vigente para comprobar la importancia que en la actualidad se le
da al uso de los materiales y recursos como instrumento imprescindible en la praacutectica
educativa de las Matemaacuteticas Continuacutea este trabajo con un anaacutelisis sobre el papel que
en la actualidad tienen los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas asiacute como se
describen las condiciones idoacuteneas para su utilizacioacuten y se plantea una posible
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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organizacioacuten de los mismos Por uacuteltimo como ejemplificacioacuten praacutectica programo una
tarea concreta con un material de elaboracioacuten propia el Dominoacute de funciones que lleveacute
a cabo en el trascurso de las praacutecticas docentes en el IES Alhamilla
2 Objetivos generales
Una de mis intenciones durante mi estancia en el desarrollo del Praacutecticum del presente
maacutester era realizar un trabajo de innovacioacuten e investigacioacuten en el campo educativo El
grupo objeto en cuestioacuten era un curso de 1ordm de ESO en el que existiacutea una gran
heterogeneidad entre su alumnado aunque en general eran alumnos comprometidos y el
nivel en Matemaacuteticas era bueno Mi propoacutesito fundamental era consolidar los
contenidos desarrollados en la unidad didaacutectica que iban a desarrollar Para esto decidiacute
elaborar una actividad en la que un material didaacutectico jugara un importante papel
Por este motivo me documenteacute sobre todo lo concerniente al uso de los materiales y
recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas y pude obtener conclusiones sobre la
adecuacioacuten o no de su uso en el aula como futura profesora de Matemaacuteticas
Por todo ello los objetivos generales de este trabajo son
Conocer los oriacutegenes del uso de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas asiacute como su evolucioacuten a lo largo de la Historia
Analizar la legislacioacuten educativa vigente para ver el tratamiento que hace de los
recursos y materiales didaacutecticos como medio para alcanzar las Competencias
Baacutesicas y los Objetivos en los diferentes niveles de actuacioacuten
Investigar sobre el uso y la utilizacioacuten que de estos recursos y materiales se hace
en la actualidad como medio auxiliar en las programaciones didaacutecticas
Experimentar alguacuten recurso o material didaacutectico en el desarrollo de una unidad
didaacutectica concreta y analizar su rendimiento pedagoacutegico
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia
Las Matemaacuteticas han sido importantes desde los tiempos antiguos desde un punto de
vista tanto teoacuterico como praacutectico como una herramienta uacutetil en la vida cotidiana y en
diferentes profesiones (Szendrei 1996) Los materiales concretos han sido usados para
contar objetos simbolizar nuacutemeros (marcas en palos de madera nudos en una cuerda
etc) y como herramientas para encontrar resultados de operaciones
Se pueden citar dos referentes oacuteseos de la historia de las Matemaacuteticas Uno es el
descubierto en una cueva de la cordillera Lebombo en Sudaacutefrica asiacute denominado que
es un peroneacute babuino de hace 35000 antildeos El hueso tiene una serie de 29 muescas que
parece ser que sirvieron para calcular nuacutemeros y puede que tambieacuten para medir el paso
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del tiempo probablemente la duracioacuten de un mes Se considera el artefacto matemaacutetico
maacutes antiguo conocido
Otros materiales de este tipo fueron hallados en los antildeos cincuenta en Ishango
(Repuacuteblica Democraacutetica del Congo) junto a la cabecera del Nilo a los que se les
atribuyen 20000 antildeos de antiguumledad y que revelaron que su civilizacioacuten dominaba
series aritmeacuteticas e incluso el concepto de los nuacutemeros primos Estaacuten conservados en el
Instituto Real de Ciencias Naturales de Beacutelgica y seguacuten los cientiacuteficos indican que los
primeros sistemas numeacutericos se inventaron en Aacutefrica hace veinte milenios es decir
15000 antildeos antes de que la escritura y la numeracioacuten aparecieran en Mesopotamia
Se sostiene que alrededor de 8000 aC los conteos del
Paleoliacutetico con muescas fueron reemplazados por las
fichas del Neoliacutetico en diversas formas geomeacutetricas
adecuadas para contar Se cree que esta invencioacuten ha
sido utilizada durante unos 5000 antildeos antes de la
aparicioacuten de nuacutemeros abstractos Las figuras teniacutean
formas geomeacutetricas baacutesicas tales como esferas
tetraedros conos cilindros discos cuadraacutengulos o
triaacutengulos
Las Matemaacuteticas de la vida cotidiana se convirtieron maacutes accesibles con la difusioacuten del
sistema de numeracioacuten indio y los nuacutemeros aacuterabes Este sistema simplificoacute no solo la
manera de escribir los nuacutemeros sino tambieacuten las operaciones aritmeacuteticas Antes de este
sistema las operaciones con nuacutemeros se llevaban a cabo bien mentalmente o bien
usando las manos piedras etc El aacutebaco era una herramienta muy utilizada para
representar nuacutemeros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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La conexioacuten entre la escritura de los nuacutemeros y las operaciones fue posible gracias al
aacutebaco de Gerbert Gerbert dAurillac (930 - 1003) maacutes tarde conocido como Silvestre
II el ldquoPapa Matemaacuteticordquo Este personaje creoacute un aacutebaco que conteniacutea discos con un
nuacutemero Sus operaciones escritas solo se diferenciaban de las modernas por la ausencia
del cero Maacutes tarde el aacutebaco cambioacute su forma las liacuteneas verticales fueron reemplazadas
por horizontales Esta nueva versioacuten del aacutebaco se difundioacute raacutepidamente y se hizo muy
popular ya que era accesible para aquellos que no sabiacutean leer o escribir Era una
herramienta para realizar sumas y restas faacutecilmente La eliminacioacuten del aacutebaco fue
posible despueacutes de la introduccioacuten del cero y de los nuacutemeros aacuterabes
En el sistema moderno de caacutelculo la notacioacuten para los nuacutemeros se convirtioacute en un
sistema abstracto e independiente de su sentido geomeacutetrico Al principio los algoritmos
que usaban esta notacioacuten no fueron siempre bienvenidos o faacutecilmente adoptados En el
Liber Abaci famoso trabajo de Leonardo da Pisa maacutes conocido como Fibonacci (1175
- 1250) se discutioacute el uso de los nuacutemeros hinduacutees Aunque Europa se familiarizoacute con
estos nuacutemeros a traveacutes de su libro el propoacutesito de
Fibonacci era mostrar como eacutel usaba el aacutebaco para el
caacutelculo y su libro era ldquopropagandardquo contra los algoritmos
con los numerales Muchos estados y autoridades civiles
trataron de prohibir el uso de los nuacutemeros aacuterabes ya que
les pareciacutea demasiado faacutecil manipular las cuentas con la
insercioacuten del cero pues la cantidad podriacutea convertirse 10
veces mayor mientras que con los nuacutemeros romanos esto
no era posible
La figura de la derecha conmemora la lucha entre los
ldquoabacistasrdquo (representados por Pitaacutegoras) y los
ldquoalgoriacutetmicosrdquo (representados por Boethius) La sentildeora
Aritmeacutetica teniacutea que elegir entre algoritmos o caacutelculos
con aacutebacos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 19
ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 28
poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 29
Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 46
9 Referencias
Berenguer L et al (2001) Materiales para construir las Matemaacuteticas en la ESO Guiacutea
didaacutectica Proyecto Sur Granada
Cachafeiro LC (1989) Buscando recursos para el aula Suma-Revista didaacutectica de las
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httpperceianadigitalcomindexphpmateriales-didacticos349-recursos-didacticos-
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Coriat M (1997) Materiales recursos y actividades un panorama En Rico L (coord)
La educacioacuten matemaacutetica en la ensentildeanza secundaria Barcelona Horsori pp 155 ndash
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Natalia Quereda Castantildeeda
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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IacuteNDICE DE CONTENIDOS
1 Introduccioacuten 4
2 Objetivos generales 5
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia 5
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado 8
32 Comenius 9
33 Pestalozzi 10
34 El siglo XX 11
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas 12
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
24
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos 27
7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones 38
71 Fundamentacioacuten de la actividad 38
72 Contextualizacioacuten 38
73 Objetivos 39
74 Contenidos 40
75 Descripcioacuten de la actividad 40
76 Anaacutelisis de datos y conclusiones 42
8 Conclusiones 45
9 Referencias 46
10 Anexos 49
101 Dominoacute de funciones 49
102 Encuesta de satisfaccioacuten 56
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1 Introduccioacuten
El uso de los materiales para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas tiene una larga historia
dentro de las aulas Sin embargo no siempre han sido totalmente aceptados o usados
apropiadamente Su uso comenzoacute a decaer con la aparicioacuten de los meacutetodos escritos y
fueron los pedagogos Comenius y Pestalozzi quienes empezaron su reintroduccioacuten En
el siglo XX Mariacutea Montessori elaboroacute un material didaacutectico especiacutefico que constituye el
eje fundamental para el desarrollo e implantacioacuten de su metodologiacutea lo que supuso un
punto de partida para la aparicioacuten de cientos de materiales educativos disponibles a
nuestro alcance Los argumentos han persistido sin embargo en cuanto a si las
herramientas comunes de la vida diaria podriacutean ser mejores que los materiales
educativos y si en realidad todos los materiales de este tipo podriacutean hacer maacutes dantildeo
que bien Los materiales educativos no son medicamentos milagrosos su uso
productivo requiere de una importante planificacioacuten y previsioacuten
Se entiende por recurso cualquier material no disentildeado especiacuteficamente para el
aprendizaje de un concepto o procedimiento determinado que el profesor decide
incorporar en sus ensentildeanzas Son recursos habituales la tiza y la pizarra o el cuaderno
del alumno Tambieacuten lo son una calculadora sencilla cientiacutefica o graacutefica la fotografiacutea
la prensa los viacutedeos los programas de ordenador llamados ldquode propoacutesito generalrdquo
(procesadores de texto hojas de caacutelculohellip) el retroproyector la historia de las
Matemaacuteticas etc
Por otro lado los materiales didaacutecticos se distinguen de los recursos porque
inicialmente se disentildean con fines educativos aunque en ocasiones un buen material
didaacutectico admite variadas aplicaciones con lo que a veces no se puede diferenciar
claramente queacute constituye un material didaacutectico y queacute un recurso Son ejemplos de
materiales didaacutecticos los siguientes las hojas de trabajo preparadas por el profesor en
una unidad didaacutectica los programas de ordenador de propoacutesito especiacutefico (como por
ejemplo el Geogebra la calculadora Wiris etc) distintos materiales manipulativos
como los aacutebacos los geoplanos los dados las regletas etc
En este trabajo pretendo un acercamiento al funcionamiento de los recursos y materiales
didaacutecticos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas Constituye una pequentildea reflexioacuten
sobre coacutemo deben usarse para ayudar a la consecucioacuten de las competencias y objetivos
en el aacuterea de las Matemaacuteticas Parto de unos objetivos baacutesicos de caraacutecter general y de
una pequentildea historia del origen y evolucioacuten de estos materiales porque conociendo su
desarrollo histoacuterico podemos utilizarlos de manera maacutes eficaz Posteriormente comento
la legislacioacuten educativa vigente para comprobar la importancia que en la actualidad se le
da al uso de los materiales y recursos como instrumento imprescindible en la praacutectica
educativa de las Matemaacuteticas Continuacutea este trabajo con un anaacutelisis sobre el papel que
en la actualidad tienen los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas asiacute como se
describen las condiciones idoacuteneas para su utilizacioacuten y se plantea una posible
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organizacioacuten de los mismos Por uacuteltimo como ejemplificacioacuten praacutectica programo una
tarea concreta con un material de elaboracioacuten propia el Dominoacute de funciones que lleveacute
a cabo en el trascurso de las praacutecticas docentes en el IES Alhamilla
2 Objetivos generales
Una de mis intenciones durante mi estancia en el desarrollo del Praacutecticum del presente
maacutester era realizar un trabajo de innovacioacuten e investigacioacuten en el campo educativo El
grupo objeto en cuestioacuten era un curso de 1ordm de ESO en el que existiacutea una gran
heterogeneidad entre su alumnado aunque en general eran alumnos comprometidos y el
nivel en Matemaacuteticas era bueno Mi propoacutesito fundamental era consolidar los
contenidos desarrollados en la unidad didaacutectica que iban a desarrollar Para esto decidiacute
elaborar una actividad en la que un material didaacutectico jugara un importante papel
Por este motivo me documenteacute sobre todo lo concerniente al uso de los materiales y
recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas y pude obtener conclusiones sobre la
adecuacioacuten o no de su uso en el aula como futura profesora de Matemaacuteticas
Por todo ello los objetivos generales de este trabajo son
Conocer los oriacutegenes del uso de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas asiacute como su evolucioacuten a lo largo de la Historia
Analizar la legislacioacuten educativa vigente para ver el tratamiento que hace de los
recursos y materiales didaacutecticos como medio para alcanzar las Competencias
Baacutesicas y los Objetivos en los diferentes niveles de actuacioacuten
Investigar sobre el uso y la utilizacioacuten que de estos recursos y materiales se hace
en la actualidad como medio auxiliar en las programaciones didaacutecticas
Experimentar alguacuten recurso o material didaacutectico en el desarrollo de una unidad
didaacutectica concreta y analizar su rendimiento pedagoacutegico
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia
Las Matemaacuteticas han sido importantes desde los tiempos antiguos desde un punto de
vista tanto teoacuterico como praacutectico como una herramienta uacutetil en la vida cotidiana y en
diferentes profesiones (Szendrei 1996) Los materiales concretos han sido usados para
contar objetos simbolizar nuacutemeros (marcas en palos de madera nudos en una cuerda
etc) y como herramientas para encontrar resultados de operaciones
Se pueden citar dos referentes oacuteseos de la historia de las Matemaacuteticas Uno es el
descubierto en una cueva de la cordillera Lebombo en Sudaacutefrica asiacute denominado que
es un peroneacute babuino de hace 35000 antildeos El hueso tiene una serie de 29 muescas que
parece ser que sirvieron para calcular nuacutemeros y puede que tambieacuten para medir el paso
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del tiempo probablemente la duracioacuten de un mes Se considera el artefacto matemaacutetico
maacutes antiguo conocido
Otros materiales de este tipo fueron hallados en los antildeos cincuenta en Ishango
(Repuacuteblica Democraacutetica del Congo) junto a la cabecera del Nilo a los que se les
atribuyen 20000 antildeos de antiguumledad y que revelaron que su civilizacioacuten dominaba
series aritmeacuteticas e incluso el concepto de los nuacutemeros primos Estaacuten conservados en el
Instituto Real de Ciencias Naturales de Beacutelgica y seguacuten los cientiacuteficos indican que los
primeros sistemas numeacutericos se inventaron en Aacutefrica hace veinte milenios es decir
15000 antildeos antes de que la escritura y la numeracioacuten aparecieran en Mesopotamia
Se sostiene que alrededor de 8000 aC los conteos del
Paleoliacutetico con muescas fueron reemplazados por las
fichas del Neoliacutetico en diversas formas geomeacutetricas
adecuadas para contar Se cree que esta invencioacuten ha
sido utilizada durante unos 5000 antildeos antes de la
aparicioacuten de nuacutemeros abstractos Las figuras teniacutean
formas geomeacutetricas baacutesicas tales como esferas
tetraedros conos cilindros discos cuadraacutengulos o
triaacutengulos
Las Matemaacuteticas de la vida cotidiana se convirtieron maacutes accesibles con la difusioacuten del
sistema de numeracioacuten indio y los nuacutemeros aacuterabes Este sistema simplificoacute no solo la
manera de escribir los nuacutemeros sino tambieacuten las operaciones aritmeacuteticas Antes de este
sistema las operaciones con nuacutemeros se llevaban a cabo bien mentalmente o bien
usando las manos piedras etc El aacutebaco era una herramienta muy utilizada para
representar nuacutemeros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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La conexioacuten entre la escritura de los nuacutemeros y las operaciones fue posible gracias al
aacutebaco de Gerbert Gerbert dAurillac (930 - 1003) maacutes tarde conocido como Silvestre
II el ldquoPapa Matemaacuteticordquo Este personaje creoacute un aacutebaco que conteniacutea discos con un
nuacutemero Sus operaciones escritas solo se diferenciaban de las modernas por la ausencia
del cero Maacutes tarde el aacutebaco cambioacute su forma las liacuteneas verticales fueron reemplazadas
por horizontales Esta nueva versioacuten del aacutebaco se difundioacute raacutepidamente y se hizo muy
popular ya que era accesible para aquellos que no sabiacutean leer o escribir Era una
herramienta para realizar sumas y restas faacutecilmente La eliminacioacuten del aacutebaco fue
posible despueacutes de la introduccioacuten del cero y de los nuacutemeros aacuterabes
En el sistema moderno de caacutelculo la notacioacuten para los nuacutemeros se convirtioacute en un
sistema abstracto e independiente de su sentido geomeacutetrico Al principio los algoritmos
que usaban esta notacioacuten no fueron siempre bienvenidos o faacutecilmente adoptados En el
Liber Abaci famoso trabajo de Leonardo da Pisa maacutes conocido como Fibonacci (1175
- 1250) se discutioacute el uso de los nuacutemeros hinduacutees Aunque Europa se familiarizoacute con
estos nuacutemeros a traveacutes de su libro el propoacutesito de
Fibonacci era mostrar como eacutel usaba el aacutebaco para el
caacutelculo y su libro era ldquopropagandardquo contra los algoritmos
con los numerales Muchos estados y autoridades civiles
trataron de prohibir el uso de los nuacutemeros aacuterabes ya que
les pareciacutea demasiado faacutecil manipular las cuentas con la
insercioacuten del cero pues la cantidad podriacutea convertirse 10
veces mayor mientras que con los nuacutemeros romanos esto
no era posible
La figura de la derecha conmemora la lucha entre los
ldquoabacistasrdquo (representados por Pitaacutegoras) y los
ldquoalgoriacutetmicosrdquo (representados por Boethius) La sentildeora
Aritmeacutetica teniacutea que elegir entre algoritmos o caacutelculos
con aacutebacos
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 23
MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
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vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
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1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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Ministerio de Educacioacuten y Ciencia Real Decreto 16312006 de 29 de diciembre por el
que se establecen las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
Obligatoria En httpwwwboeesboedias20070105pdfsA00677-00773pdf
consultado el 23 de mayo de 2012
Ministerio de Educacioacuten y Ciencia Real Decreto 14672007 de 2 de noviembre por el
que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas miacutenimas En
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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1 Introduccioacuten
El uso de los materiales para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas tiene una larga historia
dentro de las aulas Sin embargo no siempre han sido totalmente aceptados o usados
apropiadamente Su uso comenzoacute a decaer con la aparicioacuten de los meacutetodos escritos y
fueron los pedagogos Comenius y Pestalozzi quienes empezaron su reintroduccioacuten En
el siglo XX Mariacutea Montessori elaboroacute un material didaacutectico especiacutefico que constituye el
eje fundamental para el desarrollo e implantacioacuten de su metodologiacutea lo que supuso un
punto de partida para la aparicioacuten de cientos de materiales educativos disponibles a
nuestro alcance Los argumentos han persistido sin embargo en cuanto a si las
herramientas comunes de la vida diaria podriacutean ser mejores que los materiales
educativos y si en realidad todos los materiales de este tipo podriacutean hacer maacutes dantildeo
que bien Los materiales educativos no son medicamentos milagrosos su uso
productivo requiere de una importante planificacioacuten y previsioacuten
Se entiende por recurso cualquier material no disentildeado especiacuteficamente para el
aprendizaje de un concepto o procedimiento determinado que el profesor decide
incorporar en sus ensentildeanzas Son recursos habituales la tiza y la pizarra o el cuaderno
del alumno Tambieacuten lo son una calculadora sencilla cientiacutefica o graacutefica la fotografiacutea
la prensa los viacutedeos los programas de ordenador llamados ldquode propoacutesito generalrdquo
(procesadores de texto hojas de caacutelculohellip) el retroproyector la historia de las
Matemaacuteticas etc
Por otro lado los materiales didaacutecticos se distinguen de los recursos porque
inicialmente se disentildean con fines educativos aunque en ocasiones un buen material
didaacutectico admite variadas aplicaciones con lo que a veces no se puede diferenciar
claramente queacute constituye un material didaacutectico y queacute un recurso Son ejemplos de
materiales didaacutecticos los siguientes las hojas de trabajo preparadas por el profesor en
una unidad didaacutectica los programas de ordenador de propoacutesito especiacutefico (como por
ejemplo el Geogebra la calculadora Wiris etc) distintos materiales manipulativos
como los aacutebacos los geoplanos los dados las regletas etc
En este trabajo pretendo un acercamiento al funcionamiento de los recursos y materiales
didaacutecticos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas Constituye una pequentildea reflexioacuten
sobre coacutemo deben usarse para ayudar a la consecucioacuten de las competencias y objetivos
en el aacuterea de las Matemaacuteticas Parto de unos objetivos baacutesicos de caraacutecter general y de
una pequentildea historia del origen y evolucioacuten de estos materiales porque conociendo su
desarrollo histoacuterico podemos utilizarlos de manera maacutes eficaz Posteriormente comento
la legislacioacuten educativa vigente para comprobar la importancia que en la actualidad se le
da al uso de los materiales y recursos como instrumento imprescindible en la praacutectica
educativa de las Matemaacuteticas Continuacutea este trabajo con un anaacutelisis sobre el papel que
en la actualidad tienen los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas asiacute como se
describen las condiciones idoacuteneas para su utilizacioacuten y se plantea una posible
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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organizacioacuten de los mismos Por uacuteltimo como ejemplificacioacuten praacutectica programo una
tarea concreta con un material de elaboracioacuten propia el Dominoacute de funciones que lleveacute
a cabo en el trascurso de las praacutecticas docentes en el IES Alhamilla
2 Objetivos generales
Una de mis intenciones durante mi estancia en el desarrollo del Praacutecticum del presente
maacutester era realizar un trabajo de innovacioacuten e investigacioacuten en el campo educativo El
grupo objeto en cuestioacuten era un curso de 1ordm de ESO en el que existiacutea una gran
heterogeneidad entre su alumnado aunque en general eran alumnos comprometidos y el
nivel en Matemaacuteticas era bueno Mi propoacutesito fundamental era consolidar los
contenidos desarrollados en la unidad didaacutectica que iban a desarrollar Para esto decidiacute
elaborar una actividad en la que un material didaacutectico jugara un importante papel
Por este motivo me documenteacute sobre todo lo concerniente al uso de los materiales y
recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas y pude obtener conclusiones sobre la
adecuacioacuten o no de su uso en el aula como futura profesora de Matemaacuteticas
Por todo ello los objetivos generales de este trabajo son
Conocer los oriacutegenes del uso de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas asiacute como su evolucioacuten a lo largo de la Historia
Analizar la legislacioacuten educativa vigente para ver el tratamiento que hace de los
recursos y materiales didaacutecticos como medio para alcanzar las Competencias
Baacutesicas y los Objetivos en los diferentes niveles de actuacioacuten
Investigar sobre el uso y la utilizacioacuten que de estos recursos y materiales se hace
en la actualidad como medio auxiliar en las programaciones didaacutecticas
Experimentar alguacuten recurso o material didaacutectico en el desarrollo de una unidad
didaacutectica concreta y analizar su rendimiento pedagoacutegico
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia
Las Matemaacuteticas han sido importantes desde los tiempos antiguos desde un punto de
vista tanto teoacuterico como praacutectico como una herramienta uacutetil en la vida cotidiana y en
diferentes profesiones (Szendrei 1996) Los materiales concretos han sido usados para
contar objetos simbolizar nuacutemeros (marcas en palos de madera nudos en una cuerda
etc) y como herramientas para encontrar resultados de operaciones
Se pueden citar dos referentes oacuteseos de la historia de las Matemaacuteticas Uno es el
descubierto en una cueva de la cordillera Lebombo en Sudaacutefrica asiacute denominado que
es un peroneacute babuino de hace 35000 antildeos El hueso tiene una serie de 29 muescas que
parece ser que sirvieron para calcular nuacutemeros y puede que tambieacuten para medir el paso
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del tiempo probablemente la duracioacuten de un mes Se considera el artefacto matemaacutetico
maacutes antiguo conocido
Otros materiales de este tipo fueron hallados en los antildeos cincuenta en Ishango
(Repuacuteblica Democraacutetica del Congo) junto a la cabecera del Nilo a los que se les
atribuyen 20000 antildeos de antiguumledad y que revelaron que su civilizacioacuten dominaba
series aritmeacuteticas e incluso el concepto de los nuacutemeros primos Estaacuten conservados en el
Instituto Real de Ciencias Naturales de Beacutelgica y seguacuten los cientiacuteficos indican que los
primeros sistemas numeacutericos se inventaron en Aacutefrica hace veinte milenios es decir
15000 antildeos antes de que la escritura y la numeracioacuten aparecieran en Mesopotamia
Se sostiene que alrededor de 8000 aC los conteos del
Paleoliacutetico con muescas fueron reemplazados por las
fichas del Neoliacutetico en diversas formas geomeacutetricas
adecuadas para contar Se cree que esta invencioacuten ha
sido utilizada durante unos 5000 antildeos antes de la
aparicioacuten de nuacutemeros abstractos Las figuras teniacutean
formas geomeacutetricas baacutesicas tales como esferas
tetraedros conos cilindros discos cuadraacutengulos o
triaacutengulos
Las Matemaacuteticas de la vida cotidiana se convirtieron maacutes accesibles con la difusioacuten del
sistema de numeracioacuten indio y los nuacutemeros aacuterabes Este sistema simplificoacute no solo la
manera de escribir los nuacutemeros sino tambieacuten las operaciones aritmeacuteticas Antes de este
sistema las operaciones con nuacutemeros se llevaban a cabo bien mentalmente o bien
usando las manos piedras etc El aacutebaco era una herramienta muy utilizada para
representar nuacutemeros
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La conexioacuten entre la escritura de los nuacutemeros y las operaciones fue posible gracias al
aacutebaco de Gerbert Gerbert dAurillac (930 - 1003) maacutes tarde conocido como Silvestre
II el ldquoPapa Matemaacuteticordquo Este personaje creoacute un aacutebaco que conteniacutea discos con un
nuacutemero Sus operaciones escritas solo se diferenciaban de las modernas por la ausencia
del cero Maacutes tarde el aacutebaco cambioacute su forma las liacuteneas verticales fueron reemplazadas
por horizontales Esta nueva versioacuten del aacutebaco se difundioacute raacutepidamente y se hizo muy
popular ya que era accesible para aquellos que no sabiacutean leer o escribir Era una
herramienta para realizar sumas y restas faacutecilmente La eliminacioacuten del aacutebaco fue
posible despueacutes de la introduccioacuten del cero y de los nuacutemeros aacuterabes
En el sistema moderno de caacutelculo la notacioacuten para los nuacutemeros se convirtioacute en un
sistema abstracto e independiente de su sentido geomeacutetrico Al principio los algoritmos
que usaban esta notacioacuten no fueron siempre bienvenidos o faacutecilmente adoptados En el
Liber Abaci famoso trabajo de Leonardo da Pisa maacutes conocido como Fibonacci (1175
- 1250) se discutioacute el uso de los nuacutemeros hinduacutees Aunque Europa se familiarizoacute con
estos nuacutemeros a traveacutes de su libro el propoacutesito de
Fibonacci era mostrar como eacutel usaba el aacutebaco para el
caacutelculo y su libro era ldquopropagandardquo contra los algoritmos
con los numerales Muchos estados y autoridades civiles
trataron de prohibir el uso de los nuacutemeros aacuterabes ya que
les pareciacutea demasiado faacutecil manipular las cuentas con la
insercioacuten del cero pues la cantidad podriacutea convertirse 10
veces mayor mientras que con los nuacutemeros romanos esto
no era posible
La figura de la derecha conmemora la lucha entre los
ldquoabacistasrdquo (representados por Pitaacutegoras) y los
ldquoalgoriacutetmicosrdquo (representados por Boethius) La sentildeora
Aritmeacutetica teniacutea que elegir entre algoritmos o caacutelculos
con aacutebacos
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 18
CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 24
De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 25
resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 26
Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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organizacioacuten de los mismos Por uacuteltimo como ejemplificacioacuten praacutectica programo una
tarea concreta con un material de elaboracioacuten propia el Dominoacute de funciones que lleveacute
a cabo en el trascurso de las praacutecticas docentes en el IES Alhamilla
2 Objetivos generales
Una de mis intenciones durante mi estancia en el desarrollo del Praacutecticum del presente
maacutester era realizar un trabajo de innovacioacuten e investigacioacuten en el campo educativo El
grupo objeto en cuestioacuten era un curso de 1ordm de ESO en el que existiacutea una gran
heterogeneidad entre su alumnado aunque en general eran alumnos comprometidos y el
nivel en Matemaacuteticas era bueno Mi propoacutesito fundamental era consolidar los
contenidos desarrollados en la unidad didaacutectica que iban a desarrollar Para esto decidiacute
elaborar una actividad en la que un material didaacutectico jugara un importante papel
Por este motivo me documenteacute sobre todo lo concerniente al uso de los materiales y
recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas y pude obtener conclusiones sobre la
adecuacioacuten o no de su uso en el aula como futura profesora de Matemaacuteticas
Por todo ello los objetivos generales de este trabajo son
Conocer los oriacutegenes del uso de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas asiacute como su evolucioacuten a lo largo de la Historia
Analizar la legislacioacuten educativa vigente para ver el tratamiento que hace de los
recursos y materiales didaacutecticos como medio para alcanzar las Competencias
Baacutesicas y los Objetivos en los diferentes niveles de actuacioacuten
Investigar sobre el uso y la utilizacioacuten que de estos recursos y materiales se hace
en la actualidad como medio auxiliar en las programaciones didaacutecticas
Experimentar alguacuten recurso o material didaacutectico en el desarrollo de una unidad
didaacutectica concreta y analizar su rendimiento pedagoacutegico
3 La utilizacioacuten de materiales a lo largo de la Historia
Las Matemaacuteticas han sido importantes desde los tiempos antiguos desde un punto de
vista tanto teoacuterico como praacutectico como una herramienta uacutetil en la vida cotidiana y en
diferentes profesiones (Szendrei 1996) Los materiales concretos han sido usados para
contar objetos simbolizar nuacutemeros (marcas en palos de madera nudos en una cuerda
etc) y como herramientas para encontrar resultados de operaciones
Se pueden citar dos referentes oacuteseos de la historia de las Matemaacuteticas Uno es el
descubierto en una cueva de la cordillera Lebombo en Sudaacutefrica asiacute denominado que
es un peroneacute babuino de hace 35000 antildeos El hueso tiene una serie de 29 muescas que
parece ser que sirvieron para calcular nuacutemeros y puede que tambieacuten para medir el paso
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del tiempo probablemente la duracioacuten de un mes Se considera el artefacto matemaacutetico
maacutes antiguo conocido
Otros materiales de este tipo fueron hallados en los antildeos cincuenta en Ishango
(Repuacuteblica Democraacutetica del Congo) junto a la cabecera del Nilo a los que se les
atribuyen 20000 antildeos de antiguumledad y que revelaron que su civilizacioacuten dominaba
series aritmeacuteticas e incluso el concepto de los nuacutemeros primos Estaacuten conservados en el
Instituto Real de Ciencias Naturales de Beacutelgica y seguacuten los cientiacuteficos indican que los
primeros sistemas numeacutericos se inventaron en Aacutefrica hace veinte milenios es decir
15000 antildeos antes de que la escritura y la numeracioacuten aparecieran en Mesopotamia
Se sostiene que alrededor de 8000 aC los conteos del
Paleoliacutetico con muescas fueron reemplazados por las
fichas del Neoliacutetico en diversas formas geomeacutetricas
adecuadas para contar Se cree que esta invencioacuten ha
sido utilizada durante unos 5000 antildeos antes de la
aparicioacuten de nuacutemeros abstractos Las figuras teniacutean
formas geomeacutetricas baacutesicas tales como esferas
tetraedros conos cilindros discos cuadraacutengulos o
triaacutengulos
Las Matemaacuteticas de la vida cotidiana se convirtieron maacutes accesibles con la difusioacuten del
sistema de numeracioacuten indio y los nuacutemeros aacuterabes Este sistema simplificoacute no solo la
manera de escribir los nuacutemeros sino tambieacuten las operaciones aritmeacuteticas Antes de este
sistema las operaciones con nuacutemeros se llevaban a cabo bien mentalmente o bien
usando las manos piedras etc El aacutebaco era una herramienta muy utilizada para
representar nuacutemeros
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La conexioacuten entre la escritura de los nuacutemeros y las operaciones fue posible gracias al
aacutebaco de Gerbert Gerbert dAurillac (930 - 1003) maacutes tarde conocido como Silvestre
II el ldquoPapa Matemaacuteticordquo Este personaje creoacute un aacutebaco que conteniacutea discos con un
nuacutemero Sus operaciones escritas solo se diferenciaban de las modernas por la ausencia
del cero Maacutes tarde el aacutebaco cambioacute su forma las liacuteneas verticales fueron reemplazadas
por horizontales Esta nueva versioacuten del aacutebaco se difundioacute raacutepidamente y se hizo muy
popular ya que era accesible para aquellos que no sabiacutean leer o escribir Era una
herramienta para realizar sumas y restas faacutecilmente La eliminacioacuten del aacutebaco fue
posible despueacutes de la introduccioacuten del cero y de los nuacutemeros aacuterabes
En el sistema moderno de caacutelculo la notacioacuten para los nuacutemeros se convirtioacute en un
sistema abstracto e independiente de su sentido geomeacutetrico Al principio los algoritmos
que usaban esta notacioacuten no fueron siempre bienvenidos o faacutecilmente adoptados En el
Liber Abaci famoso trabajo de Leonardo da Pisa maacutes conocido como Fibonacci (1175
- 1250) se discutioacute el uso de los nuacutemeros hinduacutees Aunque Europa se familiarizoacute con
estos nuacutemeros a traveacutes de su libro el propoacutesito de
Fibonacci era mostrar como eacutel usaba el aacutebaco para el
caacutelculo y su libro era ldquopropagandardquo contra los algoritmos
con los numerales Muchos estados y autoridades civiles
trataron de prohibir el uso de los nuacutemeros aacuterabes ya que
les pareciacutea demasiado faacutecil manipular las cuentas con la
insercioacuten del cero pues la cantidad podriacutea convertirse 10
veces mayor mientras que con los nuacutemeros romanos esto
no era posible
La figura de la derecha conmemora la lucha entre los
ldquoabacistasrdquo (representados por Pitaacutegoras) y los
ldquoalgoriacutetmicosrdquo (representados por Boethius) La sentildeora
Aritmeacutetica teniacutea que elegir entre algoritmos o caacutelculos
con aacutebacos
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 13
Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
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cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
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S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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consultado el 23 de mayo de 2012
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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del tiempo probablemente la duracioacuten de un mes Se considera el artefacto matemaacutetico
maacutes antiguo conocido
Otros materiales de este tipo fueron hallados en los antildeos cincuenta en Ishango
(Repuacuteblica Democraacutetica del Congo) junto a la cabecera del Nilo a los que se les
atribuyen 20000 antildeos de antiguumledad y que revelaron que su civilizacioacuten dominaba
series aritmeacuteticas e incluso el concepto de los nuacutemeros primos Estaacuten conservados en el
Instituto Real de Ciencias Naturales de Beacutelgica y seguacuten los cientiacuteficos indican que los
primeros sistemas numeacutericos se inventaron en Aacutefrica hace veinte milenios es decir
15000 antildeos antes de que la escritura y la numeracioacuten aparecieran en Mesopotamia
Se sostiene que alrededor de 8000 aC los conteos del
Paleoliacutetico con muescas fueron reemplazados por las
fichas del Neoliacutetico en diversas formas geomeacutetricas
adecuadas para contar Se cree que esta invencioacuten ha
sido utilizada durante unos 5000 antildeos antes de la
aparicioacuten de nuacutemeros abstractos Las figuras teniacutean
formas geomeacutetricas baacutesicas tales como esferas
tetraedros conos cilindros discos cuadraacutengulos o
triaacutengulos
Las Matemaacuteticas de la vida cotidiana se convirtieron maacutes accesibles con la difusioacuten del
sistema de numeracioacuten indio y los nuacutemeros aacuterabes Este sistema simplificoacute no solo la
manera de escribir los nuacutemeros sino tambieacuten las operaciones aritmeacuteticas Antes de este
sistema las operaciones con nuacutemeros se llevaban a cabo bien mentalmente o bien
usando las manos piedras etc El aacutebaco era una herramienta muy utilizada para
representar nuacutemeros
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La conexioacuten entre la escritura de los nuacutemeros y las operaciones fue posible gracias al
aacutebaco de Gerbert Gerbert dAurillac (930 - 1003) maacutes tarde conocido como Silvestre
II el ldquoPapa Matemaacuteticordquo Este personaje creoacute un aacutebaco que conteniacutea discos con un
nuacutemero Sus operaciones escritas solo se diferenciaban de las modernas por la ausencia
del cero Maacutes tarde el aacutebaco cambioacute su forma las liacuteneas verticales fueron reemplazadas
por horizontales Esta nueva versioacuten del aacutebaco se difundioacute raacutepidamente y se hizo muy
popular ya que era accesible para aquellos que no sabiacutean leer o escribir Era una
herramienta para realizar sumas y restas faacutecilmente La eliminacioacuten del aacutebaco fue
posible despueacutes de la introduccioacuten del cero y de los nuacutemeros aacuterabes
En el sistema moderno de caacutelculo la notacioacuten para los nuacutemeros se convirtioacute en un
sistema abstracto e independiente de su sentido geomeacutetrico Al principio los algoritmos
que usaban esta notacioacuten no fueron siempre bienvenidos o faacutecilmente adoptados En el
Liber Abaci famoso trabajo de Leonardo da Pisa maacutes conocido como Fibonacci (1175
- 1250) se discutioacute el uso de los nuacutemeros hinduacutees Aunque Europa se familiarizoacute con
estos nuacutemeros a traveacutes de su libro el propoacutesito de
Fibonacci era mostrar como eacutel usaba el aacutebaco para el
caacutelculo y su libro era ldquopropagandardquo contra los algoritmos
con los numerales Muchos estados y autoridades civiles
trataron de prohibir el uso de los nuacutemeros aacuterabes ya que
les pareciacutea demasiado faacutecil manipular las cuentas con la
insercioacuten del cero pues la cantidad podriacutea convertirse 10
veces mayor mientras que con los nuacutemeros romanos esto
no era posible
La figura de la derecha conmemora la lucha entre los
ldquoabacistasrdquo (representados por Pitaacutegoras) y los
ldquoalgoriacutetmicosrdquo (representados por Boethius) La sentildeora
Aritmeacutetica teniacutea que elegir entre algoritmos o caacutelculos
con aacutebacos
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 18
CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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| Universidad de Almeriacutea 25
resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 28
poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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La conexioacuten entre la escritura de los nuacutemeros y las operaciones fue posible gracias al
aacutebaco de Gerbert Gerbert dAurillac (930 - 1003) maacutes tarde conocido como Silvestre
II el ldquoPapa Matemaacuteticordquo Este personaje creoacute un aacutebaco que conteniacutea discos con un
nuacutemero Sus operaciones escritas solo se diferenciaban de las modernas por la ausencia
del cero Maacutes tarde el aacutebaco cambioacute su forma las liacuteneas verticales fueron reemplazadas
por horizontales Esta nueva versioacuten del aacutebaco se difundioacute raacutepidamente y se hizo muy
popular ya que era accesible para aquellos que no sabiacutean leer o escribir Era una
herramienta para realizar sumas y restas faacutecilmente La eliminacioacuten del aacutebaco fue
posible despueacutes de la introduccioacuten del cero y de los nuacutemeros aacuterabes
En el sistema moderno de caacutelculo la notacioacuten para los nuacutemeros se convirtioacute en un
sistema abstracto e independiente de su sentido geomeacutetrico Al principio los algoritmos
que usaban esta notacioacuten no fueron siempre bienvenidos o faacutecilmente adoptados En el
Liber Abaci famoso trabajo de Leonardo da Pisa maacutes conocido como Fibonacci (1175
- 1250) se discutioacute el uso de los nuacutemeros hinduacutees Aunque Europa se familiarizoacute con
estos nuacutemeros a traveacutes de su libro el propoacutesito de
Fibonacci era mostrar como eacutel usaba el aacutebaco para el
caacutelculo y su libro era ldquopropagandardquo contra los algoritmos
con los numerales Muchos estados y autoridades civiles
trataron de prohibir el uso de los nuacutemeros aacuterabes ya que
les pareciacutea demasiado faacutecil manipular las cuentas con la
insercioacuten del cero pues la cantidad podriacutea convertirse 10
veces mayor mientras que con los nuacutemeros romanos esto
no era posible
La figura de la derecha conmemora la lucha entre los
ldquoabacistasrdquo (representados por Pitaacutegoras) y los
ldquoalgoriacutetmicosrdquo (representados por Boethius) La sentildeora
Aritmeacutetica teniacutea que elegir entre algoritmos o caacutelculos
con aacutebacos
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 15
Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 17
TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 19
ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 20
REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 21
MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 22
Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 23
MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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Naturalmente en Geometriacutea se usaban materiales como la regla el compaacutes y los
modelos soacutelidos En la siguiente ilustracioacuten se observa a Fra Luca Pacioli el autor de
Summa Aritmetic Geometria Proportioni et Proportionalita y Divina Proportione
(posteriormente ilustrada por Leonardo da Vinci) y su alumno
Luca Pacioli en el centro de la escena ejerce el magisterio utilizando un libro de
geometriacutea posiblemente los Elementos ya que el nombre de Euclides estaacute escrito en el
dorso Pacioli mira directamente hacia un soacutelido transparente y semilleno de agua un
rombicuboctaedro que cuelga delante de sus ojos y en primer plano Este soacutelido es uno
de los trece soacutelidos arquimedianos descritos por Arquiacutemedes A la derecha tenemos otro
modelo de soacutelido conocido desde la antiguumledad claacutesica y que representa la quinta
esencia el quinto de los soacutelidos regulares platoacutenicos el dodecaedro
No obstante se tiene constancia de que desde el Neoliacutetico al menos 1000 antildeos antes
que Platoacuten eran conocidos los cinco poliedros regulares
31 El uso de los materiales en la Educacioacuten en el pasado
Al principio las operaciones aritmeacuteticas se usaban como material educativo en las
escuelas de las colegiatas y pasaron a ser parte de la vida comercial Su importancia
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 13
Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
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vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
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S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Decreto 4162008 de 22 de julio por el
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consultado el 23 de mayo de 2012
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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llevoacute a la necesidad de implantarlas llamadas escuelas de contar El aacutebaco piedra
contador y demaacutes desaparecieron de las escuelas tan pronto como afloraron los nuevos
meacutetodos de caacutelculo
Las primeras escuelas eran muy similares a las escuelas profesionales donde los
maestros ensentildeaban a sus aprendices a contar Podemos encontrar a partir de 1482
libros de escuela de diversos autores como Ulrich Wagner Luca Pacioli o Georgius
Hungaricus en donde las instrucciones no eran maacutes que meacutetodos mecaacutenicos para
aprender reglas aritmeacuteticas Los materiales en aritmeacutetica ya no eran necesarios como
herramientas para encontrar un resultado y la comprensioacuten del alumno del propio
algoritmo no teniacutea gran valor en absoluto Solo en la mitad del siglo XVIII los autores
de los libros escolares comenzaron a incluir razones para los meacutetodos Fue tambieacuten en
este periodo cuando aparecioacute por primera vez la visualizacioacuten de dibujos de nuacutemeros
32 Comenius
Comenius (1592 ndash 1670) es considerado el padre de la Pedagogiacutea
Fue teoacutelogo filoacutesofo y pedagogo pero su fuerza estaacute en su
convencimiento de que la educacioacuten tiene un importante papel en
el desarrollo de las personas en el esfuerzo que hizo para que el
conocimiento llegara a todos hombres y mujeres por igual sin
malos tratos buscando la alegriacutea y motivacioacuten de los alumnos El
establecimiento de la pedagogiacutea como ciencia autoacutenoma y la
inclusioacuten en sus meacutetodos de ilustraciones y objetos hicieron de eacutel
pionero de las artes de la educacioacuten y de la didaacutectica posterior
Los trabajos educativos de Comenius tuvieron una gran influencia en Educacioacuten El
principio de Comenius era que los alumnos debiacutean aprender a usar la realidad de los
significados y no solo palabras No era solo un educador teoacuterico sino tambieacuten creoacute
objetos para clases individuales Su obra maacutes conocida Orbis Pictus se convirtioacute en un
referente importante en todas las escuelas Comenius sugirioacute usar herramientas de la
vida cotidiana o al menos sus ilustraciones en clase como se puede mostrar en el
siguiente extracto
Cuatro son por tanto las condiciones que se deben
procurar en el adolescente que desea investigar los
secretos de las ciencias
I Que tenga limpios los ojos del entendimiento
II Que se le presenten los objetos
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 20
REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 21
MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
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o e
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cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 46
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httpperceianadigitalcomindexphpmateriales-didacticos349-recursos-didacticos-
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httpwwwjuntadeandaluciaesaverroes~cepco3competenciasconceptoInstitucionale
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Decreto 2312007 de 31 de julio por el
que se establece la ordenacioacuten y las ensentildeanzas correspondientes a la Educacioacuten
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httpwwwjuntadeandaluciaesbojaboletines2007156dupdfd2pdf consultado el 23
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Decreto 4162008 de 22 de julio por el
que se establece la ordenacioacuten y las ensentildeanzas correspondientes al Bachillerato en
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Orden de 10 de agosto de 2007 por la
que se desarrolla el curriacuteculo correspondiente a la Educacioacuten Secundaria obligatoria en
Andaluciacutea En
httpwwwjuntadeandaluciaesaverroes~cepco3competenciasnormativaNormativa1
189579499300_orden_curriculo_secundaria_definitivo_para_webpdf consultado el 23
de mayo de 2012
Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Orden de 5 de agosto de 2008 por la que
se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea En
httpwwwjuntadeandaluciaesbojaboletines2008169d2html consultado el 23 de
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Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 47
Garciacutea JA (2001) Las Matemaacuteticas en Luca Pacioli Universidad de La Laguna En
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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III Que preste atencioacuten
IV Que se le presenten unas cosas despueacutes de otras con el debido meacutetodo asiacute conoceraacute
todas las cosas con certeza y expedicioacuten
Un ejemplo de sus ilustraciones es el siguiente
CIII- Geometriacutea
Un geoacutemetra midiendo la altura de una torre o la distancia de los lugares con diversos
materiales Eacutel construye la forma de las cosas con liacuteneas aacutengulos y ciacuterculos con una
regla un cuadrado y un par de compases De eacutestos surge un oacutevalo un triaacutengulo un
cuadrado y otras figuras
33 Pestalozzi
El padre del uso de la experiencia sistemaacutetica de los sentidos en
la escuela fue Pestalozzi (1746 ndash 1827) Construyoacute tres tablas
para ensentildear aritmeacutetica a los alumnos La primera de ellas
conteniacutea 100 cuadrados 10 en cada una de las 10 filas Habiacutea
un trazo en cada cuadrado de la primera fila dos trazos en cada
cuadrado de la segunda tres en la tercera y asiacute hasta la deacutecima
fila La segunda tabla tambieacuten conteniacutea 100 cuadrados Los
cuadrados de la primera fila no estaban divididos los de la
segunda estaban divididos en dos partes por una liacutenea
horizontal los de la tercera fila en tres partes y asiacute hasta la
deacutecima fila que estaba dividida en 10 partes La tercera tabla se
distinguiacutea de la segunda solo en que cada cuadrado estaba
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 19
ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 20
REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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tambieacuten dividido en liacuteneas verticales La primera tabla era para operaciones con
nuacutemeros enteros y las otras dos para operaciones con fracciones simples y compuestas
Estas tablas se difundieron raacutepidamente
Su meacutetodo se basaba en
1 Forma (observar medir dibujar y escribir) ensentildearles a distinguir la forma de cada
objeto es decir sus dimensiones y proporciones iquestCuaacutel es su forma
Enriquecer la memoria de los nintildeos con explicaciones sencillas de objetos y
materiales
Ensentildear a describir y a darse cuenta de sus percepciones
Ensentildear al nintildeo por medio del dibujo a medir todos los objetos que se
presentan a su vista y adquirir habilidades para reproducir Pestalozzi pensoacute que
por medio del dibujo se ejercitaba al nintildeo en su escritura
2 Nuacutemero (relaciones meacutetricas y numeacutericas) ensentildear a los nintildeos a considerar cada uno
de los objetos que se les da a conocer como unidad es decir separado de aquellos con
los cuales aparece asociado iquestCuaacutentos hay
Utilizacioacuten de tablillas
Partir de las cosas simples antes de avanzar a las maacutes complicadas
3 Nombre familiarizarlos tan temprano como sea posible con el conjunto de palabras y
de nombres de todos los objetos que le son conocidos iquestCoacutemo se llaman
El meacutetodo de Pestalozzi es un meacutetodo loacutegico basado en la concepcioacuten analiacutetica y
sistemaacutetica de la ensentildeanza y el aprendizaje
34 El siglo XX
En el antildeo 1909 el editor de la revista LrsquoEnseignement Matheacutematique Charles Laisant
en su trabajo Initiation matheacutematique Ouvrage eacutetranger pour tout programme deacutedie
aux mis de lrsquoenfance (Iniciacioacuten matemaacutetica Trabajo extranjero para cada programa
dedicado a los amigos de la infancia) daba consejos a los adultos que queriacutean que sus
hijos tuvieran una buena educacioacuten en Matemaacuteticas ldquoExamine el laboratorio de la
escuela los pesos las medidas y los instrumentos de medicioacuten Si no encuentra estas
herramientas corra y no vuelvardquo
Podemos decir que este siglo tuvo muchos altibajos en cuanto a la utilizacioacuten de
materiales didaacutecticos en las aulas de Matemaacuteticas Por una parte existiacutea un gran nuacutemero
de docentes convencidos de la importancia de las Matemaacuteticas formales por lo que los
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 25
resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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materiales concretos no teniacutean cabida en sus ensentildeanzas y prescindiacutean totalmente de
ellos No obstante tambieacuten hubo grandes defensores e impulsadores de los mismos de
los que cabe destacar a uno de los matemaacuteticos espantildeoles que maacutes trabajaron en la
didaacutectica de las Matemaacuteticas Puig Adam
Pedro Puig Adam (1900 - 1960) catedraacutetico del Instituto San
Isidro de Madrid y de Metodologiacutea de las Matemaacuteticas en aquella
universidad compaginaba su contacto real con la ensentildeanza con
sus inquietudes pedagoacutegicas influyendo en los nuevos profesores
Su preocupacioacuten por los problemas de la ensentildeanza lo llevoacute a ser
un destacado miembro de la CIEM (Comisioacuten Internacional para la
Ensentildeanza de las Matemaacuteticas) logrando que la undeacutecima reunioacuten
de la CIEM se celebrase en Madrid en 1958
En 1958 redactoacute el Decaacutelogo del Profesor de Matemaacuteticas1 en el que recogiacutea sus
opiniones sobre la ensentildeanza de las Matemaacuteticas en los Institutos de Bachillerato A lo
largo de su vida disentildeoacute instrumentos para manipular las Matemaacuteticas y escribioacute
abundantes libros de texto de todos los niveles Sus materiales didaacutecticos crearon un
nuevo estilo de exponer los saberes matemaacuteticos cuya influencia auacuten perdura
Como ejemplo en la imagen de la
derecha podemos ver el omnipoliedro que
construyoacute Puig Adam en el Instituto San
Isidro de Madrid Realizoacute los caacutelculos y
medidas necesarias para construir esta
estructura todos ellos recopilados en su
obra Didaacutectica de la Matemaacutetica
Moderna en donde describe el proceso
de construccioacuten de esta estructura y
aporta los datos necesarios
4 Los materiales y recursos en los curricula de Matemaacuteticas
Un buen indicio para conocer el uso de los materiales en la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas en nuestro paiacutes puede ser indagar sobre el papel que le otorgan los
documentos curriculares elaborados por las administraciones Analizando estos
documentos podemos darnos cuenta de la importancia que deben tener desde un punto
de vista de la normativa curricular Por lo tanto a continuacioacuten examino las referencias
de los materiales y recursos en nuestra legislacioacuten educativa vigente comenzando con
el RD que fija las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
1 Veacutease por ejemplo en httpwwwmatematicasprofesnetarchivo2aspid_contenido=49938
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 18
CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 19
ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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| Universidad de Almeriacutea 25
resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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| Universidad de Almeriacutea 44
Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Natalia Quereda Castantildeeda
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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Obligatoria la Orden que desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea y continuando
con el RD por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas y la Orden que desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en
Andaluciacutea En todos los casos las paacuteginas citadas se refieren respectivamente a cada
uno de los documentos curriculares mencionados
REAL DECRETO 16312006 DE 29 DE DICIEMBRE
En el Anexo II donde se detallan las materias de la Educacioacuten Secundaria Obligatoria
en la descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas podemos encontrar los siguientes
apartados
Para que el aprendizaje sea efectivo los nuevos conocimientos que se pretende
que el alumno construya han de apoyarse en los que ya posee tratando siempre
de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en
un contexto de resolucioacuten de problemas Algunos conceptos deben ser
abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado
para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que antildeadan elementos
de complejidad La consolidacioacuten de los contenidos considerados complejos se
realizaraacute de forma gradual y ciacuteclica planteando situaciones que permitan
abordarlos desde perspectivas maacutes amplias o en conexioacuten con nuevos
contenidos (Paacuteg 75)
La propia experiencia se puede relacionar faacutecilmente con los materiales pues de todos
ellos se requiere de la participacioacuten expresa de los alumnos y en la mayoriacutea de ellos de
la propia manipulacioacuten Tambieacuten se pueden situar en un contexto de resolucioacuten de
problemas como por ejemplo en el mecano iquestcuaacutentos triaacutengulos se pueden formar
iquestCuaacuteles son las condiciones de formacioacuten de un triaacutengulo etc Ademaacutes para que estas
sean intuitivas y cercanas al alumnado la utilizacioacuten de materiales seraacute un complemento
idoacuteneo para el desarrollo de conceptos matemaacuteticos
La utilizacioacuten de recursos manipulativos que sirvan de catalizador del
pensamiento del alumno es siempre aconsejable pero cobra especial
importancia en geometriacutea donde la abstraccioacuten puede ser construida a partir de
la reflexioacuten sobre las ideas que surgen de la experiencia adquirida por la
interaccioacuten con un objeto fiacutesico Especial intereacutes presentan los programas de
geometriacutea dinaacutemica al permitir a los estudiantes interactuar sobre las figuras y
sus elementos caracteriacutesticos facilitando la posibilidad de analizar
propiedades explorar relaciones formular conjeturas y validarlas (Paacuteg 76)
En este apartado se comentan expliacutecitamente los recursos manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea Esta rama de las Matemaacuteticas es susceptible al
requerimiento de cierto grado de abstraccioacuten por parte del alumno por ello los
materiales pueden ser una gran ayuda ya que permiten la manipulacioacuten y el aprendizaje
por la propia experiencia Igualmente hace mencioacuten de los recientes programas de
geometriacutea dinaacutemica pues en ellos los estudiantes pueden modificar las figuras para
poder analizar sus propiedades y relaciones de una manera muy visual
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 18
CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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| Universidad de Almeriacutea 28
poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 46
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Natalia Quereda Castantildeeda
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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Debido a su presencia en los medios de comunicacioacuten y el uso que de ella hacen
las diferentes materias la estadiacutestica tiene en la actualidad una gran
importancia y su estudio ha de capacitar a los estudiantes para analizar de
forma criacutetica las presentaciones falaces interpretaciones sesgadas y abusos que
a veces contiene la informacioacuten de naturaleza estadiacutestica [hellip] La utilizacioacuten de
las hojas de caacutelculo facilita el proceso de organizar la informacioacuten posibilita el
uso de graacuteficos sencillos el tratamiento de grandes cantidades de datos y libera
tiempo y esfuerzos de caacutelculo para dedicarlo a la formulacioacuten de preguntas
comprensioacuten de ideas y redaccioacuten de informes (Paacuteg 76)
En primer lugar nos habla de que los alumnos tienen que ser capaces de interpretar de
forma criacutetica las informaciones sobre estadiacutesticas presentes en los medios de
comunicacioacuten Por lo tanto podemos tener en cuenta que los medios de comunicacioacuten
(perioacutedicos televisioacuten revistas radio Internet etc) son un recurso en siacute que podemos
utilizar La presentacioacuten a los alumnos de una noticia de un perioacutedico en el que
intervengan datos o graacuteficos estadiacutesticos para su posterior anaacutelisis seriacutea un buen ejemplo
de este hecho Por otro lado hace referencia al potencial que tienen las hojas de caacutelculo
en particular en el campo de la Estadiacutestica pues podemos tratar con grandes conjuntos
de datos y nos ahorra esfuerzo y tiempo en caacutelculos que podemos utilizar para
consolidar mejor los conceptos y redactar informes aspecto que me parece esencial
pues es un meacutetodo de trabajo que se usa actualmente en el aacuterea profesional de la
Estadiacutestica
En la construccioacuten del conocimiento los medios tecnoloacutegicos son herramientas
esenciales para ensentildear aprender y en definitiva para hacer Matemaacuteticas
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones la reflexioacuten
el razonamiento y la resolucioacuten de problemas En este sentido la calculadora y
las herramientas informaacuteticas son hoy dispositivos comuacutenmente usados en la
vida cotidiana por tanto el trabajo de esta materia en el aula deberiacutea reflejar
tal realidad (Paacuteg 76)
Por uacuteltimo se hace referencia a la calculadora y las herramientas informaacuteticas en
general No debemos olvidar que las nuevas tecnologiacuteas forman parte de nuestro diacutea a
diacutea y por lo tanto deben formar parte de las Matemaacuteticas escolares Asiacute es como se
refleja en este paacuterrafo
En el siguiente extracto sobre la contribucioacuten de la materia a la adquisicioacuten de las
competencias baacutesicas vemos como la utilizacioacuten de recursos tecnoloacutegicos para la
ensentildeanza de las Matemaacuteticas contribuye al desarrollo de la competencia Tratamiento
de la informacioacuten y competencia digital
Por su parte la incorporacioacuten de herramientas tecnoloacutegicas como recurso
didaacutectico para el aprendizaje y para la resolucioacuten de problemas contribuye a
mejorar la competencia en tratamiento de la informacioacuten y competencia digital
de los estudiantes del mismo modo que la utilizacioacuten de los lenguajes graacutefico y
estadiacutestico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de
comunicacioacuten (Paacuteg 76)
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 20
REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
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o e
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cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 46
9 Referencias
Berenguer L et al (2001) Materiales para construir las Matemaacuteticas en la ESO Guiacutea
didaacutectica Proyecto Sur Granada
Cachafeiro LC (1989) Buscando recursos para el aula Suma-Revista didaacutectica de las
Matemaacuteticas n 4 pp 43 ndash 45
Cordero F (iquest) Recursos didaacutecticos para trabajar las Matemaacuteticas en la educacioacuten
infantil Perceiana Digital-Revista digital de investigacioacuten educativa En
httpperceianadigitalcomindexphpmateriales-didacticos349-recursos-didacticos-
para-trabajar-las-matematicas-en-la-educacion-infantil consultado el 18 de mayo de
2012
Coriat M (1997) Materiales recursos y actividades un panorama En Rico L (coord)
La educacioacuten matemaacutetica en la ensentildeanza secundaria Barcelona Horsori pp 155 ndash
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Curriacuteculo y competencias baacutesicas En
httpwwwjuntadeandaluciaesaverroes~cepco3competenciasconceptoInstitucionale
sCurriculo20y20Competencias20Basicas_MECpdf consultado el 23 de mayo de
2012
Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Decreto 2312007 de 31 de julio por el
que se establece la ordenacioacuten y las ensentildeanzas correspondientes a la Educacioacuten
Secundaria obligatoria en Andaluciacutea En
httpwwwjuntadeandaluciaesbojaboletines2007156dupdfd2pdf consultado el 23
de mayo de 2012
Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Decreto 4162008 de 22 de julio por el
que se establece la ordenacioacuten y las ensentildeanzas correspondientes al Bachillerato en
Andaluciacutea Portal de la Junta de Andaluciacutea En
httpwwwjuntadeandaluciaesbojaboletines2008149d2html consultado el 23 de
mayo de 2012
Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Orden de 10 de agosto de 2007 por la
que se desarrolla el curriacuteculo correspondiente a la Educacioacuten Secundaria obligatoria en
Andaluciacutea En
httpwwwjuntadeandaluciaesaverroes~cepco3competenciasnormativaNormativa1
189579499300_orden_curriculo_secundaria_definitivo_para_webpdf consultado el 23
de mayo de 2012
Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Orden de 5 de agosto de 2008 por la que
se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea En
httpwwwjuntadeandaluciaesbojaboletines2008169d2html consultado el 23 de
mayo de 2012
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 47
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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Los objetivos generales de las Matemaacuteticas en la ESO vienen detallados tambieacuten en
este documento De entre ellos destacamos desde el punto de vista de los recursos y
materiales los siguientes
2 Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en teacuterminos
matemaacuteticos elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y
analizar los resultados utilizando los recursos maacutes apropiados
3 Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla
mejor utilizar teacutecnicas de recogida de la informacioacuten y procedimientos de
medida realizar el anaacutelisis de los datos mediante el uso de distintas clases de
nuacutemeros y la seleccioacuten de los caacutelculos apropiados a cada situacioacuten
4 Identificar los elementos matemaacuteticos (datos estadiacutesticos geomeacutetricos
graacuteficos caacutelculos etc) presentes en los medios de comunicacioacuten Internet
publicidad u otras fuentes de informacioacuten analizar criacuteticamente las funciones
que desempentildean estos elementos matemaacuteticos y valorar su aportacioacuten para una
mejor comprensioacuten de los mensajes
5 Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida
cotidiana analizar las propiedades y relaciones geomeacutetricas implicadas y ser
sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la
imaginacioacuten
6 Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnoloacutegicos (calculadoras
ordenadores etc) tanto para realizar caacutelculos como para buscar tratar y
representar informaciones de iacutendole diversa y tambieacuten como ayuda en el
aprendizaje
8 Elaborar estrategias personales para el anaacutelisis de situaciones concretas y la
identificacioacuten y resolucioacuten de problemas utilizando distintos recursos e
instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en
funcioacuten del anaacutelisis de los resultados y de su caraacutecter exacto o aproximado
9 Manifestar una actitud positiva ante la resolucioacuten de problemas y mostrar
confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con eacutexito y adquirir
un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos
creativos manipulativos esteacuteticos y utilitarios de las Matemaacuteticas (Paacuteg 77)
Vemos como encontramos diversas referencias a los recursos para elaborar y analizar
estrategias funciones de las Matemaacuteticas en los medios de comunicacioacuten estudiar
formas y propiedades geomeacutetricas resolver problemas etc Tambieacuten existe una clara
predisposicioacuten a trabajar en un contexto cercano al alumno para que los conocimientos
que adquieran tengan significado y aplicaciones en su diacutea a diacutea
En los siguientes cuadros se resumen las apariciones de los materiales y recursos en la
descripcioacuten de los contenidos y criterios de evaluacioacuten en los bloques establecidos y por
cursos
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 23
MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
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vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
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S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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que se establece la ordenacioacuten y las ensentildeanzas correspondientes a la Educacioacuten
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httpwwwjuntadeandaluciaesbojaboletines2007156dupdfd2pdf consultado el 23
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Decreto 4162008 de 22 de julio por el
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Orden de 10 de agosto de 2007 por la
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Andaluciacutea En
httpwwwjuntadeandaluciaesaverroes~cepco3competenciasnormativaNormativa1
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Conserjeriacutea de Educacioacuten Junta de Andaluciacutea Orden de 5 de agosto de 2008 por la que
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que se establecen las ensentildeanzas miacutenimas correspondientes a la Educacioacuten Secundaria
Obligatoria En httpwwwboeesboedias20070105pdfsA00677-00773pdf
consultado el 23 de mayo de 2012
Ministerio de Educacioacuten y Ciencia Real Decreto 14672007 de 2 de noviembre por el
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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PRIMER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y la
comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Elaboracioacuten y utilizacioacuten de
estrategias personales para el
caacutelculo mental para el caacutelculo
aproximado y con calculadoras
1 Utilizar nuacutemeros
naturales y enteros y
fracciones y decimales
sencillos sus operaciones y
propiedades para recoger
transformar e intercambiar
informacioacuten
Se trata de comprobar la capacidad
de identificar y emplear los
nuacutemeros y las operaciones siendo
consciente de su significado y
propiedades elegir la forma de
caacutelculo maacutes apropiada (mental
escrita o con calculadora) y
transmitir informaciones utilizando
los nuacutemeros de manera adecuada
4 Geometriacutea Empleo de herramientas
informaacuteticas para construir
simular e investigar relaciones
entre elementos geomeacutetricos
SEGUNDO CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la forma de
caacutelculo mental escrito o con
calculadora y de la estrategia
para contar o estimar cantidades
maacutes apropiadas a la precisioacuten
exigida en el resultado y la
naturaleza de los datos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia
y precisioacuten de los resultados
obtenidos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de calculadoras
graacuteficas y programas de
ordenador para la construccioacuten
e interpretacioacuten de graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la hoja de caacutelculo
para organizar los datos
realizar los caacutelculos y generar
los graacuteficos maacutes adecuados
6 Formular las preguntas
adecuadas para conocer las
caracteriacutesticas de una
poblacioacuten y recoger
organizar y presentar datos
relevantes para responderlas
utilizando los meacutetodos
estadiacutesticos apropiados y las
herramientas informaacuteticas
adecuadas
Tambieacuten se pretende valorar la
capacidad para utilizar la hoja de
caacutelculo para organizar y generar las
graacuteficas maacutes adecuadas a la situacioacuten
estudiada
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 17
TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 22
Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 24
De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 25
resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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Natalia Quereda Castantildeeda
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 47
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consultado el 23 de mayo de 2012
Ministerio de Educacioacuten y Ciencia Real Decreto 14672007 de 2 de noviembre por el
que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas miacutenimas En
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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TERCER CURSO
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Potencias de exponente entero
Significado y uso [hellip]
Operaciones con nuacutemeros
expresados en notacioacuten
cientiacutefica Uso de la
calculadora
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o con
calculadora) y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra 3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten para el anaacutelisis
conceptual y reconocimiento de
propiedades de funciones y
graacuteficas
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Utilizacioacuten de la calculadora y
la hoja de caacutelculo para organizar
los datos realizar caacutelculos y
generar las graacuteficas maacutes
adecuadas
6 Elaborar e interpretar
informaciones estadiacutesticas
[hellip] y analizar si los
paraacutemetros son maacutes o menos
significativos
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular utilizando si es
necesario la calculadora o la hoja de
caacutelculo los paraacutemetros centrales
(media mediana y moda) y de
dispersioacuten (recorrido y desviacioacuten
tiacutepica) de una distribucioacuten
CUARTO CURSO (Opcioacuten A)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos [hellip] las
representaciones funcionales y
la comprensioacuten de propiedades
geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Uso de la hoja de caacutelculo para la
organizacioacuten de caacutelculos
asociados a la resolucioacuten de
problemas cotidianos y
financieros
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] elegir la forma de caacutelculo
apropiada mental escrita o con
calculadora y estimar la coherencia y
precisioacuten de los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de la
vida cotidiana en los que se
precise el planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones de
primer y segundo grado o de
sistemas de ecuaciones
lineales con dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no se
plantea como el uacutenico meacutetodo de
resolucioacuten y se combina tambieacuten con
otros meacutetodos numeacutericos y graacuteficos
mediante el uso adecuado de los
recursos tecnoloacutegicos
5 Funciones y
graacuteficas
Utilizacioacuten de tecnologiacuteas de la
informacioacuten para su anaacutelisis
5 Identificar relaciones
cuantitativas en una situacioacuten
y determinar el tipo de funcioacuten
que puede representarlas
Este criterio pretende evaluar la
capacidad de discernir a queacute tipo de
modelo de entre los estudiados [hellip]
y de extraer conclusiones razonables
de la situacioacuten asociada al mismo
utilizando para su anaacutelisis cuando
sea preciso las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
6 Estadiacutestica y
probabilidad
Graacuteficas estadiacutesticas graacuteficas
muacuteltiples diagramas de caja
Uso de la hoja de caacutelculo
7 Elaborar e interpretar tablas
y graacuteficos estadiacutesticos asiacute
como los paraacutemetros
estadiacutesticos maacutes usuales [hellip]
y valorar cualitativamente la
representatividad de las
muestras utilizadas
Se trata de valorar la capacidad de
[hellip] y calcular los paraacutemetros que
resulten maacutes relevantes con ayuda de
la calculadora o la hoja de caacutelculo
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 20
REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 21
MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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Natalia Quereda Castantildeeda
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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Natalia Quereda Castantildeeda
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Vizmanos JR et al (2011) Matemaacuteticas ndash Pitaacutegoras para 1ordm de ESO Ediciones SM
Madrid
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Paacuteginas web consultadas
httpeswikipediaorgwikiComenio consultado el 15 de mayo de 2012
httpeswikipediaorgwikiJohann_Heinrich_Pestalozzi consultado el 15 de mayo de
2012
httpwwwarrakises~mcjpuigadamhtm consultado el 15 de mayo de 2012
httpeswikipediaorgwikiEscalas_Likert consultado el 23 de mayo de 2012
httpjomyanezgaleoncomgrz2himahtm consultado el 15 de mayo de 2012
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
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CUARTO CURSO (Opcioacuten B)
Bloques Contenidos Criterios evaluacioacuten Orientaciones
1 Contenidos
comunes
Utilizacioacuten de herramientas
tecnoloacutegicas para facilitar los
caacutelculos de tipo numeacuterico
algebraico o estadiacutestico las
representaciones funcionales
y la comprensioacuten de
propiedades geomeacutetricas
2 Nuacutemeros Utilizacioacuten de la calculadora
para realizar operaciones con
cualquier tipo de expresioacuten
numeacuterica
1 Utilizar los distintos
tipos de nuacutemeros y
operaciones junto con sus
propiedades para recoger
transformar e
intercambiar informacioacuten
y resolver problemas
relacionados con la vida
diaria y otras materias del
aacutembito acadeacutemico
Se trata de valorar la
capacidad de identificar y
emplear los distintos tipos
de nuacutemeros y las
operaciones siendo
conscientes de su
significado y propiedades
elegir la forma de caacutelculo
apropiada (mental escrita o
con calculadora) y estimar la
coherencia y precisioacuten de
los resultados obtenidos
3 Aacutelgebra Resolucioacuten de otros tipos de
ecuaciones mediante ensayo-
error o a partir de meacutetodos
graacuteficos con ayuda de los
medios tecnoloacutegicos
3 Resolver problemas de
la vida cotidiana en los
que se precise el
planteamiento y
resolucioacuten de ecuaciones
de primer y segundo
grado o de sistemas de
ecuaciones lineales con
dos incoacutegnitas
La resolucioacuten algebraica no
se plantea como el uacutenico
meacutetodo de resolucioacuten y se
combina tambieacuten con otros
meacutetodos numeacutericos y
graacuteficos mediante el uso
adecuado de los recursos
tecnoloacutegicos
4 Geometriacutea Uso de la calculadora para el
caacutelculo de aacutengulos y razones
trigonomeacutetricas
3 Utilizar instrumentos
foacutermulas y teacutecnicas
apropiadas para obtener
medidas directas e
indirectas en situaciones
reales
Se pretende comprobar la
capacidad de desarrollar
estrategias para calcular
magnitudes desconocidas a
partir de otras conocidas
utilizar los instrumentos de
medida disponibles [hellip]
5 Funciones y
graacuteficas
Uso de las tecnologiacuteas de la
informacioacuten en la
representacioacuten simulacioacuten y
anaacutelisis graacutefico
4 Identificar relaciones
cuantitativas en una
situacioacuten y determinar el
tipo de funcioacuten que puede
representarlas
y aproximar e interpretar
la tasa de variacioacuten media
a partir de una graacutefica de
datos numeacutericos o
mediante el estudio de los
coeficientes de la
expresioacuten algebraica
Este criterio pretende
evaluar la capacidad de
discernir a queacute tipo de
modelo de entre los
estudiados [hellip] y de extraer
conclusiones razonables de
la situacioacuten asociada al
mismo utilizando para su
anaacutelisis cuando sea preciso
las tecnologiacuteas de la
informacioacuten
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ORDEN DE 10 DE AGOSTO DE 2007
En este documento se desarrolla el curriacuteculo de la ESO en Andaluciacutea En el siguiente
apartado concretamos lo especificado para la asignatura de Matemaacuteticas
MATEMAacuteTICAS Relevancia y sentido educativo
Los medios tecnoloacutegicos son hoy diacutea herramientas esenciales y habituales en el
proceso educativo en general y en la materia de Matemaacuteticas de manera
especiacutefica Deben aprovecharse para el desarrollo de los procesos de
aprendizaje y para facilitar la comprensioacuten de los conceptos dando menos peso
a los algoritmos rutinarios y poniendo eacutenfasis en los significados y
razonamientos (Paacuteg 77)
Por lo tanto las nuevas tecnologiacuteas deben utilizarse habitualmente como apoyo al
desarrollo de los contenidos para mejorar el proceso de ensentildeanza y aprendizaje
A continuacioacuten se hace una descripcioacuten de la asignatura de Matemaacuteticas en cuanto a la
divisioacuten en nuacutecleos temaacuteticos En los siguientes cuadros podemos ver un resumen de lo
mencionado sobre los recursos y materiales en el aula tratando por separado por su
importancia en este tema el nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ensentildeanza
y aprendizaje de las Matemaacuteticas
Nuacutecleo temaacutetico 2 Uso de los recursos TIC en la ea de las matemaacuteticas
Relevancia y sentido
educativo
Hoy diacutea los medios tecnoloacutegicos son esenciales para la sociedad en general y para la
construccioacuten del conocimiento matemaacutetico en particular
Contenidos relevantes Es fundamental la incorporacioacuten a la dinaacutemica habitual de trabajo en el aula el uso
webquests cazas del tesoro herramientas de autor entre otras Los alumnos deben profundizar gradualmente en el conocimiento manejo y
aprovechamiento didaacutectico de aplicaciones de geometriacutea dinaacutemica caacutelculo simboacutelico
hojas de caacutelculo representacioacuten de funciones y estadiacutestica Deben ser elementos
facilitadores para la representacioacuten y anaacutelisis de situaciones organizacioacuten de los datos
caacutelculos con eacutestos toma de decisiones y establecimiento de conclusiones
Interaccioacuten con otros
nuacutecleos temaacuteticos y de
actividades
La utilizacioacuten de los recursos TIC debe estar presente en los procesos de ea de todos
los nuacutecleos temaacuteticos de matemaacuteticas en la medida en que ello sea posible
dependiendo del nivel de informatizacioacuten del centro
Sugerencias acerca de
liacuteneas metodoloacutegicas y
utilizacioacuten de recursos
La introduccioacuten de los recursos TIC en debe ser proceso progresivo y no traumaacutetico
En la materia de Matemaacuteticas las calculadoras y las aplicaciones informaacuteticas
especiacuteficas deben suponer no solo un apoyo para la realizacioacuten de caacutelculos complejos
sino que deben convertirse en herramientas para la construccioacuten del pensamiento
matemaacutetico y facilitar la comprensioacuten de los conceptos ya que permiten liberar de una
parte considerable de carga algoriacutetmica
Criterios de
valoracioacuten de los
aprendizajes
Debe producirse diversificacioacuten y enriquecimiento en los procesos de evaluacioacuten que
han de contemplar capacidad de interpretar sintetizar razonar expresar situaciones
tomar decisiones manejo diestro de las herramientas facilidad de trabajar en equipo
etc
Por otro lado las TIC nos ofrecen elementos novedosos que deben enriquecer el
proceso de evaluacioacuten del alumnado tales como simuladores cuestionarios de
correccioacuten automatizada webquests cazas del tesoro autoevaluaciones entre otros
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REAL DECRETO 14672007 DE 2 DE NOVIEMBRE
En este documento se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus ensentildeanzas
miacutenimas Concretando al caso de las asignaturas de Matemaacuteticas (Matemaacuteticas I y II
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II) encontramos en el Anexo I las
siguientes referencias
Nuacutecleos
temaacuteticos
Sugerencias acerca de liacuteneas metodoloacutegicas y utilizacioacuten de recursos
1 Resolucioacuten de
problemas
Tanto en el estudio de situaciones problemaacuteticas como en general en todo proceso de
construccioacuten del aprendizaje matemaacutetico deberaacuten utilizarse como recursos habituales
juegos matemaacuteticos y materiales manipulativos e informaacuteticos En este sentido se
potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de matemaacuteticas
3 Dimensioacuten
histoacuterica social y
cultural de las
matemaacuteticas
Para el estudio de la componente histoacuterica de las matemaacuteticas resulta especialmente
indicado el uso de Internet y de las herramientas educativas existentes para su
aprovechamiento
4 Desarrollo del
sentido numeacuterico
y la
simbolizacioacuten
matemaacutetica
Los nuacutemeros han de ser usados en diferentes contextos ndashjuegos situaciones familiares y
personales situaciones puacuteblicas y cientiacuteficasndash sabiendo que la comprensioacuten de los
procesos desarrollados y del significado de los resultados es contenido previo respecto a
la propia destreza en el caacutelculo y la automatizacioacuten operatoria
5 Las formas y
figuras y sus
propiedades
Para el estudio de la Geometriacutea es conveniente conjugar la metodologiacutea tradicional con la
experimentacioacuten a traveacutes de la manipulacioacuten sin olvidar las posibilidades que ofrece el
uso de la tecnologiacutea Es recomendable el uso de materiales manipulables asiacute como la
incorporacioacuten de programas de geometriacutea dinaacutemica para construir investigar y deducir
propiedades geomeacutetricas En este sentido se potenciaraacute el uso del taller yo laboratorio de
matemaacuteticas
La observacioacuten del entorno permitiraacute encontrar elementos susceptibles de estudio
geomeacutetrico
6 Interpretacioacuten
de fenoacutemenos
ambientales y
sociales a traveacutes
de las
matemaacuteticas
Las tablas y graacuteficos presentes en los medios de comunicacioacuten Internet o en la publicidad
facilitaraacuten ejemplos suficientes para analizar y agrupar datos y sobre todo para valorar la
necesidad y la importancia de establecer relaciones entre ellos y buscar generalidades a
traveacutes de expresiones matemaacuteticas
Los caacutelculos tanto numeacutericos como con expresiones algebraicas deben orientarse
siempre hacia situaciones praacutecticas y cercanas al alumnado evitaacutendose la excesiva e
innecesaria utilizacioacuten de algoritmos
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar fenoacutemenos y relaciones en
problemas de la vida real empleando ordenadores o calculadoras graacuteficas para obtener la
representacioacuten graacutefica interpretar con claridad las situaciones y realizar caacutelculos maacutes
complicados
Con respecto a la estadiacutestica es recomendable comenzar con ejemplos sencillos cercanos
a la realidad del alumnado para posteriormente profundizar en ejemplos relacionados con
las distintas aacutereas del curriacuteculum obtenidos a partir de los medios de comunicacioacuten o de
Internet
Al igual que para otros contenidos del aacuterea es recomendable la utilizacioacuten del ordenador y
de las calculadoras tanto convencionales como graacuteficas para manipular analizar y
representar conjuntos de datos sin olvidar los recursos manipulables que resultaraacuten de
gran ayuda para el desarrollo de experimentos aleatorios
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMATICAS I Y II
En Matemaacuteticas I los contenidos relacionados con las propiedades generales de
los nuacutemeros y su relacioacuten con las operaciones maacutes que en un momento
determinado deben ser trabajados en funcioacuten de las necesidades que surjan en
cada momento concreto A su vez estos contenidos se complementan con
nuevas herramientas para el estudio de la estadiacutestica y la probabilidad [hellip]
Las Matemaacuteticas contribuyen a la adquisicioacuten de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el aacutembito de esta materia [hellip] Estas
destrezas ya iniciadas en los niveles previos deberaacuten ampliarse ahora que
aparecen nuevas herramientas enriqueciendo el abanico de problemas
abordables y la profundizacioacuten en los conceptos implicados
Las herramientas tecnoloacutegicas en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informaacuteticas como sistemas de algebra computacional o de
geometriacutea dinaacutemica pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensioacuten
de conceptos y la resolucioacuten de problemas complejos como para el
procesamiento de caacutelculos pesados sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisioacuten en el caacutelculo manual simple donde los estudiantes suelen cometer
frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a
confusioacuten en sus conclusiones (Paacuteg 68)
Ademaacutes encontramos como objetivo prioritario el uso de las nuevas tecnologiacuteas para el
tratamiento de la informacioacuten el ahorro de tiempo en caacutelculos y como una herramienta
maacutes dentro del aula como se observa en el siguiente paacuterrafo
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas en el bachillerato tendraacute como finalidad el
desarrollo de las siguientes capacidades
5 Emplear los recursos aportados por las tecnologiacuteas actuales para obtener y
procesar informacioacuten facilitar la comprensioacuten de fenoacutemenos dinaacutemicos
ahorrar tiempo en los caacutelculos y servir como herramienta en la resolucioacuten de
problemas (Paacuteg 69)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Por su parte las herramientas tecnoloacutegicas ofrecen la posibilidad de evitar
tediosos caacutelculos que poco o nada aportan al tratamiento de la informacioacuten
permitiendo abordar con rapidez y fiabilidad los cambiantes procesos sociales
mediante la modificacioacuten de determinados paraacutemetros y condiciones iniciales
No por ello debe dejarse de trabajar la fluidez y la precisioacuten en el caacutelculo
manual simple donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les
pueden llevar a falsos resultados o inducirles a confusioacuten en las conclusiones
(Paacuteg 94)
Por tanto vemos como las herramientas tecnoloacutegicas se plantean como apoyo a la hora
de hacer caacutelculos pero sin dejar de lado el trabajo del caacutelculo manual simple
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Igualmente dentro de los objetivos de estas asignaturas encontramos referencias sobre
recursos que ayuden a la buacutesqueda y tratamiento de la informacioacuten representacioacuten
graacutefica estadiacutestica etc
La ensentildeanza de las Matemaacuteticas aplicadas a las ciencias sociales en el
bachillerato tendraacute como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades
6 Hacer uso de variados recursos incluidos los informaacuteticos en la buacutesqueda
selectiva y el tratamiento de la informacioacuten grafica estadiacutestica y algebraica en
sus categoriacuteas financiera humaniacutestica o de otra iacutendole interpretando con
correccioacuten y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento (Paacuteg 95)
Ademaacutes encontramos en los criterios de evaluacioacuten comentarios sobre herramientas
tecnoloacutegicas y sobre los medios de comunicacioacuten que como ya explicamos
anteriormente pueden ser considerados un recurso en siacute
Criterios de evaluacioacuten
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
3 Utilizar los porcentajes y las formulas de intereacutes simple y compuesto para
resolver problemas financieros e interpretar determinados paraacutemetros
econoacutemicos y sociales
Este criterio pretende comprobar si se aplican los conocimientos baacutesicos de
matemaacutetica financiera a supuestos praacutecticos utilizando si es preciso medios
tecnoloacutegicos al alcance del alumnado para obtener y evaluar los resultados
(Paacuteg 95)
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
7 Analizar de forma critica informes estadiacutesticos presentes en los medios de
comunicacioacuten y otros aacutembitos detectando posibles errores y manipulaciones
tanto en la presentacioacuten de los datos como de las conclusiones
Se valora el nivel de autonomiacutea rigor y sentido criacutetico alcanzado al analizar la
fiabilidad del tratamiento de la informacioacuten estadiacutestica que hacen los medios de
comunicacioacuten y los mensajes publicitarios especialmente a traveacutes de informes
relacionados con fenoacutemenos de especial relevancia social (Paacuteg 97)
ORDEN DE 5 DE AGOSTO DE 2008
En esta orden se desarrolla el curriacuteculo correspondiente al Bachillerato en Andaluciacutea
Podemos encontrar en el Anexo I la divisioacuten de las asignaturas Matemaacuteticas I y II y
Matemaacuteticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en diversos nuacutecleos temaacuteticos de
los que encontramos las siguientes referencias a materiales y recursos como podemos
ver en los siguientes cuadros
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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MATEMAacuteTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Y II
Rel
evan
cia y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores permite introducir un aprendizaje activo que permitiraacute al alumnado
investigar disentildear experimentos bien construidos conjeturar sobre las razones profundas que yacen
bajo los experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o
rechazar automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el
alumnado construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el
alumnado aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
MATEMAacuteTICAS I Y II R
elev
an
cia
y
sen
tid
o e
du
cati
vo Las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten y Comunicacioacuten han cambiado de forma radical el mundo actual
por lo que es necesario adaptar los curriacuteculos y metodologiacuteas a esa realidad y responder asiacute a las
nuevas demandas sociales El trabajo en las clases de matemaacuteticas con estas tecnologiacuteas ya sean
calculadoras u ordenadores favorece un aprendizaje activo que permite al alumnado investigar
disentildear experimentos bien construidos conjeturar las razones profundas que yacen bajo los
experimentos y los resultados obtenidos reforzar o refutar dichas conjeturas y demostrar o rechazar
automaacuteticamente con la ayuda de dichas tecnologiacuteas Es un magniacutefico recurso para que el alumnado
construya su propio conocimiento matemaacutetico que es la mejor forma de aprenderlo
NUacute
CL
EO
S T
EM
AacuteT
ICO
S
1 La resolucioacuten de
problemas
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
La ensentildeanza a traveacutes de la resolucioacuten de problemas
implica seguir una serie de pasos
- Propuesta de la situacioacuten-problema de la que surge el
tema que puede estar basada en aspectos histoacutericos en
aplicaciones modelos juegos etc
2 Aprender de y con
la Historia de las
Matemaacuteticas
Relevancia y
sentido
educativo
Las tecnologiacuteas de la informacioacuten y comunicacioacuten
brindan hoy recursos de faacutecil acceso localizacioacuten y
reproduccioacuten para introducir en el aula los grandes
momentos de los descubrimientos matemaacuteticos de los
conceptos y destrezas que se pretende que el alumnado
aprenda
Sugerencias
sobre
metodologiacutea y
utilizacioacuten de
recursos
Para estudiar la componente histoacuterica de las
matemaacuteticas resulta especialmente indicado el uso de
internet y de las herramientas educativas existentes
para su aprovechamiento
3 Introduccioacuten a los
meacutetodos y
fundamentos
matemaacuteticos
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
4 Modelizacioacuten
matemaacutetica
No se han encontrado referencias de materiales o recursos
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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| Universidad de Almeriacutea 24
De todo lo anterior se pueden deducir una serie de reflexiones generales en lo referente
al uso de estos materiales y recursos En primer lugar la importancia que en la
actualidad tienen las Tecnologiacuteas de la Informacioacuten En todos los niveles educativos se
potencia y aconseja su uso En el caso de las Matemaacuteticas para ahorrar tiempo en hacer
caacutelculos representar graacuteficas y funciones trabajar la Geometriacutea etc En segundo lugar
se debe usar Internet para trabajar la componente histoacuterica de las Matemaacuteticas y buscar
nuevas experiencias en el uso de estos materiales Tambieacuten se persigue el uso de
materiales manipulativos en la ensentildeanza de la Geometriacutea sobre todo en el nivel de
ESO
Igualmente se encuentran referencias a aspectos relacionados con el denominado
aprendizaje funcional y experiencial de las Matemaacuteticas Los contenidos matemaacuteticos
situados en un contexto cercano como puede ser el uso de alguacuten material concreto
facilita al alumnado su comprensioacuten y asimilacioacuten
5 Reflexiones sobre el papel de los materiales y recursos en el aula de Matemaacuteticas
El uso en el aula de materiales didaacutecticos y recursos impone condiciones generales que
merece la pena explicitar Seguacuten Coriat (1997) se necesita
Una disponibilidad en el momento en que se decide usar esto conlleva a veces
dificultades previas de presupuesto y gestioacuten
Un equipamiento suficiente para todos los alumnos
Una cierta praacutectica por parte del profesor y de los alumnos en el manejo de
empezar a razonar matemaacuteticamente con ellos
Una temporizacioacuten adecuada que permita extraer consecuencias a la mayoriacutea de
los alumnos en momentos previstos aunque estas consecuencias no se
caractericen todas por el mismo nivel de profundizacioacuten
No se puede dudar de que en numerosas ocasiones el uso adecuado de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas puede resultar maacutes que beneficioso si se planifica
convenientemente No obstante existe una problemaacutetica generalizada desde el punto de
vista de la praacutectica educativa
En primer lugar este tipo de objetos son de difiacutecil caracterizacioacuten pues no existen
opiniones sistemaacuteticas sobre queacute constituye un material y que no Por ejemplo iquestes el
libro de texto un material didaacutectico Podemos pensar que el material debe tener un
sentido manipulativo cuyo fin es modelizar o representar relaciones matemaacuteticas en
este caso los libros de texto no seriacutean considerados como materiales en siacute
En segundo lugar el uso escolar de materiales didaacutecticos y recursos puede constituir un
problema metodoloacutegico en el que influye notablemente la cultura escolar de cada
Centro El profesor necesita el apoyo del Departamento de Matemaacuteticas para sopesar las
ventajas e inconvenientes de un material o recurso Una vez conocidos los pros y los
contras es necesario tomar una serie de decisiones para llevarlo a la clase y tambieacuten
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 25
resulta conveniente analizar el comportamiento global del grupo ndash clase para determinar
la reaccioacuten de este como consecuencia del uso del material
Es posible que para cualquier tema de ESO o Bachillerato se pueda encontrar o idear un
material didaacutectico o recurso sin embargo no resultariacutea posible ni deseable desarrollar
todos los temas de una programacioacuten usaacutendolos Por lo tanto debe ser el Departamento
de Matemaacuteticas quien precise claramente que temas son los que se van a trabajar en
clase con materiales didaacutecticos Posiblemente la eleccioacuten no se haraacute apelando a razones
de principio maacutes bien se usaraacuten materiales en los que se den las condiciones de uso
indicadas anteriormente
Para que el material o recurso cumpla alguna funcioacuten positiva en el aprendizaje es
necesario que
El profesor indique claramente a sus alumnos lo que espera que hagan
El grupo ndash clase tenga ocasioacuten de reflexionar sobre las relaciones matemaacuteticas
trabajadas
En tercer lugar los materiales didaacutecticos y recursos plantean dificultades curriculares
Podemos mencionar algunas de ellas
En formacioacuten inicial y permanente de los profesores Se debe plantear una mejora
del tratamiento de este tema en la formacioacuten de los profesores pues se puede
decir que resulta escasa en este sentido
En dotacioacuten de ellos la posibilidad o no de un centro de adquirir materiales y
recursos suficientes para poder utilizarlos en un grupo ndash clase
En espacios adecuados para usar estos materiales y recursos posibilidad de dotar
a un centro de un Laboratorio de Matemaacuteticas
La evaluacioacuten del uso y el trabajo de los alumnos con materiales didaacutecticos y
recursos no resulta evidente
No obstante hay que destacar que el profesor que suscita su uso en clase no lo hace a la
ligera si no que es consciente de que su medida se integra en una red de decisiones
propias y ajenas que tiene influencia en la educacioacuten matemaacutetica de sus alumnos por
tanto busca puntos de equilibrio entre lo que se puede hacer con un material o recurso y
lo que se va a proponer que se haga Ademaacutes las principales decisiones que llevan a
resolver el problema didaacutectico que representa el uso de materiales y recursos se refieren
por una parte a la cultura escolar y por otra a cuestiones metodoloacutegicas
Podemos destacar algunos aspectos significativos que se observan del uso de materiales
y recursos en el aula Por un lado los materiales manipulativos modelizan fiacutesicamente
algunas relaciones de un sistema matemaacutetico pero no todas Por tanto el profesor o
Departamento no debe olvidar que junto con sus cualidades incorpora ciertas
limitaciones
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
Natalia Quereda Castantildeeda
| Universidad de Almeriacutea 26
Ademaacutes la modelizacioacuten inherente en todos los materiales manipulativos tiene tambieacuten
una ventaja general permite dar vida a la nocioacuten de problema abierto en Matemaacuteticas
Por lo tanto podemos introducir desde edades tempranas la necesidad de convencer y
demostrar en Matemaacuteticas Por ejemplo podemos ver como es imposible construir un
triaacutengulo equilaacutetero en el geoplano o la raiacutez cuadrada de 2 con las regletas de
Cuisenaire
Una desventaja de estos materiales es que con los materiales manipulativos no se puede
hacer ostensible ninguacuten proceso infinito o continuo
En el caso de los recursos simboacutelicos como calculadoras y programas de ordenador
podemos notar las siguientes caracteriacutesticas
- Cuando se necesita manejar muchos datos numeacutericos el Departamento debe decidir si
va a dar maacutes importancia al manejo de los algoritmos o a la interpretacioacuten de los
resultados obtenidos
- Los programas de caacutelculo simboacutelico permiten por ejemplo transformar expresiones
simplificar o resolver ecuaciones en general su potencia de caacutelculo es superior a las
necesidades conceptuales de la Secundaria
- En los programas de propoacutesito general como los procesadores de texto o las hojas de
caacutelculo no conviene descartar el trabajo con las popularmente llamadas ldquomacrosrdquo
(secuencias de acciones muy repetidas por cada usuario que el propio programa se
encarga de almacenar y en su caso ejecutar) pues son ejemplos de destrezas
operatorias La comparacioacuten de macros inventadas por diferentes alumnos permite
elegir la mejor relativizar la importancia de las destrezas y justificar la conveniencia de
que las personas dispongamos tambieacuten de algunas de ellas
En resumen podemos sentildealar unas indicaciones sobre los materiales manipulativos y
los recursos simboacutelicos
- Pueden ayudar en praacutecticamente todas las situaciones matemaacuteticas escolares pero no
ayudan obligatoriamente
- Es conveniente circunscribir su uso en clase para que las propiedades del modelo no se
impongan sobre las relaciones matemaacuteticas que se desea trabajar con ellos
Una vez que se ha decidido desarrollar una idea con un material didaacutectico o recurso el
profesor debe todaviacutea tomar algunas decisiones
1 iquestSe usaraacute para fines meramente expositivos o se permitiraacute que los alumnos los
manipulen
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2 iquestSe usaraacute material ya preparado o lo construiraacuten los alumnos Un material ya
preparado tiene incomparables ventajas sobre uno artesanal pero la fabricacioacuten
puede ensentildear mucho a quien reflexiona sobre ello
3 iquestSe apelaraacute al material o recurso desde el primer momento o se recurriraacute a eacutel en
el caso de que surjan dificultades Se trata de una decisioacuten metodoloacutegica no
siempre trivial Lo es cuando el enunciado de una situacioacuten se refiere a objetos
concretos (como cubos calculadoras o geoplanos) pero no lo es cuando
constatada la dificultad y el atasco por parte de los alumnos el profesor recurre a
los materiales como sugerencia para volver a analizar la situacioacuten
4 En el caso de los ordenadores iquestse daraacuten las clases buscando actividades que
exigen el uso del ordenador o se utilizaraacuten uacutenicamente como apoyo para resolver
tareas habituales
En definitiva podemos concluir que los materiales y recursos son excelentes
mediadores para dar sentido en la ensentildeanza comprensiva La experiencia demuestra
cada vez maacutes que un uso variado y bien temporizado de los mismos es fructiacutefero a
medio plazo incorporando a los alumnos un mayor grado de autonomiacutea y una mejor
capacidad para dar sentido y profundizar en Matemaacuteticas No obstante es necesario que
el profesor tenga un cierto dominio con materiales didaacutecticos y recursos para obtener un
resultado fructiacutefero en clase se necesita tiempo antildeos Una vez conseguido la
acumulacioacuten de estrategias metodoloacutegicas permitiraacute la adaptacioacuten del profesor al uso de
los recursos seguacuten las diferentes necesidades educativas en el grupo clase con lo que
seraacute una buena manera de atender a la diversidad
6 Una posible organizacioacuten de los materiales y recursos
Existen muacuteltiples formas de organizar los materiales y recursos para la ensentildeanza de las
Matemaacuteticas En este apartado daremos algunas de ellas y presentaremos una propuesta
de organizacioacuten en forma de base de datos
En primer lugar en el caso de los materiales manipulativos podiacuteamos organizarlos
seguacuten su versatilidad Algunos materiales didaacutecticos son adecuados para actividades
muy variadas mientras que otros son de uso maacutes uniforme Esto uacuteltimo ocurre por
ejemplo con los dominoacutes que solamente suelen usarse para enlazar objetos
matemaacuteticos siguiendo alguacuten criterio ya que si se cambia el criterio generalmente se
necesita un nuevo dominoacute Mucho maacutes versaacutetiles son los poliacutegonos troquelados o de
plaacutestico a la hora de afrontar situaciones relacionadas con el espacio un simple cubo
puede usarse en actividades de reconocimiento (desde caras veacutertices y aristas hasta
elementos que lo dejan invariante) de razonamiento de volumen o compactacioacuten
Otra posibilidad seriacutea organizarlos seguacuten el contenido matemaacutetico que se trabaje si
pertenece al bloque de Nuacutemeros Aacutelgebra Geometriacutea Funciones y graacuteficas o Estadiacutestica
y probabilidad En el caso de los materiales versaacutetiles podiacutean pertenecer a dos grupos a
la vez Por ejemplo con el tangram se pueden trabajar ademaacutes de otros conceptos
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poliacutegonos y fracciones por lo que estariacutea en el bloque de Nuacutemeros y en el de
Geometriacutea
Podemos clasificarlos igualmente seguacuten la funcioacuten que cumplen los materiales o
recursos Por ejemplo en el caso de los materiales para la ensentildeanza del aacutelgebra una
buena disposicioacuten seriacutea como se muestra en la siguiente tabla
CONCEPTUAL EJERCITACIOacuteN
SIMBOLIZAR
Puzzles igualdades
algebraicas
Dominoacutes algebraicos
Dominoacutes de periacutemetros
y aacutereas Nuacutemeros figurados
Juegos y adivinanzas
RESOLUCIOacuteN
DE ECUACIONES
Esquema de operaciones Carpeta de Matemaacuteticas
Balanzas Dominoacutes de ecuaciones
Tableros de carreras Barajas algebraicas
El Hex
La organizacioacuten que propongo en este trabajo consiste en realizar una base de datos con
el mayor nuacutemero de materiales y recursos que sea posible Esta base de datos estariacutea
formada por una ficha por cada material en la que vendriacutean reflejados los siguientes
apartados
- Descripcioacuten del material En este apartado describiriacuteamos el material con
detalle con queacute estaacute fabricado coacutemo se utiliza en cuantas piezas estaacute dividido
si es o no versaacutetil donde lo podemos conseguir la existencia o no de soluciones
etc
- Conceptos matemaacuteticos Aquiacute enumerariacuteamos los conceptos matemaacuteticos que
podemos trabajar utilizando este material
- Ejemplo de una actividad en la que se emplee el material Expondriacuteamos una
actividad a modo de ejemplo en la que se usara el material De esta manera
podemos hacernos una idea de cuaacutel podriacutea ser su uso en el aula para adaptarlo a
nuestras necesidades
- Valoracioacuten personal En este apartado relatariacuteamos nuestras opiniones y
experiencias personales sobre el material Podriacuteamos sentildealar expresamente
cuales son a nuestro parecer las ventajas e inconvenientes del mismo De esta
manera podemos tener estos aspectos positivos y negativos a la hora de
planificar nuestra actividad
- Bibliografiacutea y paacuteginas web relacionadas con el material Como uacuteltimo apartado
antildeadiriacuteamos una recopilacioacuten de bibliografiacutea y paacuteginas web uacutetiles para el uso de
este material
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Estas fichas deberiacutean revisarse y modificarse con el paso del tiempo pues siempre que
utilicemos alguacuten material de la base de datos nuestra valoracioacuten personal del mismo
puede variar y enriquecerse con las experiencias
A modo de ejemplo expongo a continuacioacuten tres fichas que conformariacutean nuestra base
de datos
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FICHA 2 PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
DESCRIPCIOacuteN DE LOS MATERIALES
1er
material Cuerdas amarradas
Es un material que se usa por parejas Consiste en un par de cuerdas entrelazadas donde
cada extremo de la cuerda estaacute amarrado en las muntildeecas de ambas personas Se trata de
coacutemo separar las cuerdas sin quitarte los amarres Es importante darse cuenta de que
existe un hueco entre las cuerdas y las muntildeecas que deberemos utilizar para la
resolucioacuten del problema
2ordm material Puzzles de anillas
Disponemos de dos puzzles
El primero consta de dos maderas y dos cuerdas en las que hay ldquoencerradardquo una
anilla La tarea consiste en sacar la anilla del puzzle En este material hay que
percatarse de que las maderas cumplen el mismo papel de las cuerdas en el
material anterior y que las cuerdas son como las manos
El segundo estaacute formado por una madera y una cuerda en la que hay entrelazada
una anilla Igualmente hay que separar la anilla teniendo en cuenta que existe un
hueco entre la madera y la cuerda (agujeros por donde pasa la cuerda) que es
vital para resolver el puzzle
3er
material Puzzles de alambre
Consiste en una variedad de piezas de alambre que podemos
combinar para generar problemas La clave es que hay que
combinar las denominadas piezas cerradas con las piezas abiertas
Las piezas cerradas son aquellas en las que no queda ninguacuten hueco
y son las que tenemos que quitar de las piezas abiertas en las que
siempre existe una obertura que nos permita hallar la solucioacuten del
puzzle
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CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Los conceptos matemaacuteticos que trabajamos utilizando dichos materiales son
Visioacuten espacial
Formas
Movimientos
Simetriacuteas
Figuras abiertas y cerradas
Figuras enlazadas (situacioacuten de figuras)
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos aprovechar este tipo de materiales como motivacioacuten para introducir meacutetodos
de resolucioacuten de problemas Los alumnos tienen un problema en siacute que consiste en la
resolucioacuten de los puzles y deberemos darles estrategias para que no desistan y llegar a
la solucioacuten del mismo con satisfaccioacuten
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es muy importante el hecho de que trabajamos conceptos matemaacuteticos
mediante la manipulacioacuten lo que conlleva adquirir destrezas manuales al trabajar con
los puzzles Otra ventaja es que permite el desarrollo de la visioacuten espacial ademaacutes de
establecer unas teacutecnicas para la resolucioacuten de problemas Ademaacutes son faacuteciles de
conseguir y su coste no es elevado
Inconvenientes Son materiales que no son faacuteciles de manejar por lo que debido a su
dificultad los alumnos pueden desesperarse incluso llegando a producirse dejadez y
rechazo por los materiales de este tipo
En resumen opino que es un material que nos proporciona numerosas destrezas y que
es uacutetil para introducir al alumnado conceptos matemaacuteticos muy importantes Sin
embargo observo que no es muy recomendable abusar de eacutel ya que podemos producir
sentimientos negativos en cuanto a recursos educativos se refiere
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LOS
PUZZLES TOPOLOacuteGICOS
httpwwwrodovalcomheurekaenlaceshtml
httpwwwdivulgamatnetweborriakRecursosInternetRecaulaPuzzlesasp
httpwwwgeocitiescomcapecanaveralhall3964anillaanillahtm
httpesgeocitiescomrompe_kokosMetalhtml
httpwwwxteces~jjovertrabaguiahtm
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FICHA 6 TANGRAM
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
El tangram chino es un rompecabezas que se obtiene dividiendo
un cuadrado en una serie de poliacutegonos
1 Cuadrado
2 y 3 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el doble del lado del cuadrado
4 y 5 Triaacutengulo rectaacutengulo de base el lado del cuadrado
6 Triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa el doble del lado del cuadrado
7 Romboide de lado el lado del cuadrado
Es muy faacutecil de construir con cartoacuten cartulina o madera No se pueden superponer las
piezas y generalmente deberemos utilizar todas las piezas para la formacioacuten de las
figuras correspondientes
Podemos formar figuras como las siguientes
Tambieacuten construimos todos los
poliacutegonos convexos a la derecha
tenemos algunos
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Podemos igualmente formar todos los cuadrados y rectaacutengulos posibles
Por otro lado si tomamos como unidad la longitud del lado del cuadrado los periacutemetros
de las piezas son los siguientes
Cuadrado 4 unid
Triaacutengulo pequentildeo 2 + radic2 unid
Triaacutengulo mediano 2 + 2radic2 unid
Triaacutengulo grande 4 + 2radic2 unid
Paralelogramo 2 + 2radic2 unid
En las figuras de la derecha vienen reflejados los
aacutengulos interiores de todos los poliacutegonos del
tangram
Podemos realizar otras actividades con el tangram
tales como demostrar el teorema de Pitaacutegoras
representar fracciones obtener las aacutereas de los
poliacutegonos etc
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Poliacutegonos
Aacutengulos
Periacutemetro
Aacutereas
Superficies
Teorema de Pitaacutegoras
Fracciones
Nuacutemeros irracionales radic2
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EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Una vez enunciado en clase el teorema de Pitaacutegoras procederiacuteamos a su demostracioacuten
usando el tangram Los alumnos deberaacuten experimentar por ellos mismos la
demostracioacuten del mismo utilizando cada uno un tangram Para comprobar el teorema
con otro tipo de triaacutengulos le pediriacuteamos que por parejas construyeran con un tangram
un triaacutengulo rectaacutengulo (con todas las piezas) y con otro un cuadrado del mismo lado
Asiacute verificariacutean el teorema con otro triaacutengulo a su vez que aprovechariacuteamos para
entrenar la destreza manual y la visioacuten espacial
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas El tangram es un material muy versaacutetil lo que nos permite utilizarlo para
muacuteltiples tareas y mostrar numerosos conceptos matemaacuteticos Permite el desarrollo de
la destreza manual y de la visioacuten espacial ademaacutes de que lo podemos usar con alumnos
de muchas edades siempre que las actividades las adaptemos a nuestras necesidades
Los propios alumnos pueden fabricarse uno propio y practicar con eacutel en casa
Inconvenientes No resulta un pasatiempo faacutecil asiacute que tendremos que tener mucho
cuidado al adaptar las actividades a cada edad No deberemos abusar de eacutel ya que si los
alumnos no obtienen resultados de forma raacutepida suelen desesperarse llegando a producir
rechazo hacia el tangram
En conclusioacuten es un material del que podemos obtener mucho provecho siempre que
tengamos muy claro queacute es lo que queremos ensentildear y adaptando todas las actividades a
las edades de los alumnos
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON EL
TANGRAM
httpwwwterraespersonalijic0000tangramhtm
httpeswikipediaorgwikiTangram
wwwxteces~jbuiltangram
httpwwwarrakises~mcjtangramhtm
httpdescartescnicemecdestaller_de_matematicasrompecabezastangram_0a
htm
httpredescolarilceedumxredescolaract_permanentesmateimaginamate3zh
tm
httpwwwkidscomcomgamestangramgame1tangram01html
httpwwwgiesoncomLibraryprojectsgamesmatter
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FICHA 9 CALCULADORAS GRAacuteFICAS
DESCRIPCIOacuteN DEL MATERIAL
Podemos definir las calculadoras graacuteficas como
ordenadores de bolsillo especializados en
Matemaacuteticas Los modelos avanzados permiten la
manipulacioacuten de expresiones Matemaacuteticas
simboacutelicas aunque todaviacutea pueden encontrar
limitaciones a la hora de resolver ciertas
expresiones
Las calculadoras graacuteficas llevan incorporado un
microprocesador Son programables el lenguaje de programacioacuten es baacutesico pero
evoluciona con la aparicioacuten de nuevos modelos maacutes potentes Consta de un teclado
alfanumeacuterico en el que cada tecla ejecuta hasta tres funciones siendo una de ellas la
inclusioacuten de un signo de escritura o de puntuacioacuten Si ese signo es una letra entonces
puede representar un texto escrito o una variable de memoria Los signos de puntuacioacuten
y otros especiacuteficos son comandos del lenguaje de programacioacuten
Tambieacuten disponen de un sistema operativo actualizable y de pantalla generosa que la
hace apta para la representacioacuten y el estudio de funciones Los modelos recientes
permiten la realizacioacuten de graacuteficos en tres dimensiones trabajan con listas de datos y
matrices y llevan preinstalada una hoja de caacutelculo (versioacuten adaptada)
Son aptas para aacutelgebra caacutelculo estadiacutestica avanzada y matemaacutetica financiera Su
utilidad se extiende a las aacutereas de ciencias y a las ingenieriacuteas existen programas y
aplicaciones faacutecilmente instalables Se pueden conectar al ordenador y con otros
modelos compatibles de calculadoras (por cable o infrarrojos) Utilizan tarjetas de
memoria para guardar los programas Ademaacutes tienen una visualizacioacuten natural en los
modelos recientes las expresiones Matemaacuteticas aparecen en pantalla como en los libros
de texto Algunos modelos tienen pantalla en color y disponen de accesorios que
aumentan sus aplicaciones en la ensentildeanza como sensores que permiten la recoleccioacuten
de datos experimentales para su posterior anaacutelisis y la posibilidad de conexioacuten a un
proyector de imaacutegenes para uso en el aula
CONCEPTOS MATEMAacuteTICOS
Operaciones algebraicas
Derivadas integrales
Funciones elementos de una funcioacuten
Continuidad
Probabilidad y estadiacutestica
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Geometriacutea
Matemaacutetica financiera
Caacutelculo
EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD EN LA QUE SE EMPLEE EL
MATERIAL
Podemos plantear la siguiente actividad
Disponemos de planchas de tamantildeo 30 x 20 cm para confeccionar cajas como muestra
el dibujo
iquestCuaacutel tiene que ser el tamantildeo de los
cuadraditos para que el volumen del
paralelepiacutepedo resultante sea maacuteximo
Si tomamos como la longitud del lado de
los cuadraditos a cortar el volumen del
paralelepiacutepedo resultante es
La resolucioacuten tradicional de este problema necesita del Anaacutelisis derivar la funcioacuten y
encontrar doacutende se anula con lo que se anularaacute en
Como uno de los lados del paralelepiacutepedo es podemos descartar pues
sino este factor seriacutea negativo Comprobemos que en la segunda derivada es
negativa con lo cual el extremo seraacute un maacuteximo
Los alumnos de secundaria que conozcan la foacutermula del aacuterea del paralelepiacutepedo y
tengan cierta soltura con expresiones algebraicas seraacuten capaces de escribir la funcioacuten
volumen de este problema pero no sabraacuten aplicar el caacutelculo diferencial para hallar la
solucioacuten
Veamos coacutemo podemos resolver el problema utilizando calculadora graacutefica
Se representaraacute en una graacutefica la funcioacuten volumen y se hace una estimacioacuten de las
coordenadas del punto maacuteximo de la graacutefica En la ampliacioacuten de esta parte de la graacutefica
se obtienen las coordenadas con una aproximacioacuten de hasta varios decimales Las
calculadoras graacuteficas incluyen utilidades de ampliacioacuten (zoom) y de lectura de
coordenadas sobre la curva (trace)
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Utilizando la funcioacuten volumen ya definida y que el maacuteximo estaacute en torno a 800
definimos los valores de la ventana que queremos ver
Posicionaacutendonos sobre el maacuteximo (con la funcioacuten trace fig 23) y haciendo un zoom
sobre el (fig 24 y 25) obtenemos una buena aproximacioacuten Repitiendo el proceso
obtendriacuteamos mejores aproximaciones
VALORACIOacuteN PERSONAL
Ventajas Es un material muy versaacutetil con muacuteltiples utilidades Ademaacutes usaacutendolo
trabajariacuteamos la competencia tecnoloacutegica tan importante en nuestros diacuteas Nos
ahorrariacuteamos tiempo a la hora de hacer caacutelculos tediosos y aprovecharlo para formular
hipoacutetesis conjeturas u observar propiedades Asimismo podemos utilizarla para
demostrar a los alumnos los diversos caminos que se pueden tomar para llegar a la
solucioacuten de un problema
Inconvenientes Es un material difiacutecil de manejar con lo que requiere de al menos una
sesioacuten para ensentildear a los alumnos a usarla Ademaacutes aunque no tenemos que disponer
de las mismas pues las podemos pedir como preacutestamo son materiales caros y tenemos
que tener mucho cuidado al usarlos
En conclusioacuten podemos sacarle mucho rendimiento a este material pero teniendo en
cuenta que su manejo es complicado y el tipo de alumnado en el que vamos a llevar a
cabo nuestra actividad pues son materiales caros y delicados
BIBLIOGRAFIacuteA Y PAacuteGINAS WEB RELACIONADAS CON LAS
CALCULADORAS GRAacuteFICAS
httpwwwencigaorgesenlacescalculadorashtm
httpwwwuaespersonalSEMCVActasIJornadaspdfPart17PDF
httpwwwcampus-oeiorgrevistadeloslectores393PuertoPDF
httpwwwomeriquenetcalcumat
httpwwwsinewtonorgelrincon
httpwwwcasio-europecomesscgraphic
httpwwwsinewtonorgelrinconElRincon9-99pdf
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7 Desarrollo de una tarea con un material concreto El Dominoacute de funciones
Durante el desarrollo de mis praacutecticas del presente maacutester realiceacute a modo de trabajo de
investigacioacuten en innovacioacuten una experiencia con un material concreto en un aula Se
trata de un material de elaboracioacuten propia denominado Dominoacute de funciones A
continuacioacuten describireacute en detalle la fundamentacioacuten el desarrollo y la valoracioacuten de
esta experiencia
71 Fundamentacioacuten de la actividad
La actividad denominada Dominoacute de funciones tiene como objetivo principal consolidar
los conocimientos adquiridos en la Unidad Didaacutectica Funciones y Graacuteficas llevada a
cabo durante seis sesiones previas a la realizacioacuten de la misma Por otro lado nuestra
aspiracioacuten era ademaacutes introducir en el desarrollo de las sesiones un material
manipulativo para observar el resultado del mismo en el alumnado y extraer
conclusiones sobre el uso de este tipo de recursos en el aula Estaba orientado a un
grupo de 1ordm de ESO y se realizoacute en el tercer trimestre durante mi estancia en las
praacutecticas del Maacutester en el IES Alhamilla
72 Contextualizacioacuten
Caracteriacutesticas generales del Centro
El Centro educativo para el que se ha disentildeado la presente actividad desarrollada en el
periodo de intervencioacuten del Practicum es el IES Alhamilla situado en la capital
almeriense
Es un Centro de reciente construccioacuten con lo que las instalaciones son nuevas y estaacuten
en muy buen estado El alumnado es bastante heterogeacuteneo teniendo como centro
adscrito el CEIP Luis Siret muy cercano al IES aunque tambieacuten recoge escolares de
barrios de las afueras como el CEIP Los Almendros o IES El Argar entre otros
Por tanto los barrios de los que procede el alumnado del Centro son barrios de clase
media-baja carentes de servicios o equipamientos que fomenten expectativas culturales
(bibliotecas casa de cultura cines museoshellip)
Debido a la muacuteltiple oferta educativa existente en el Centro (Secundaria Bachillerato
PGS Ciclos Formativos) la edad y la procedencia del alumnado es muy diversa Cabe
destacar que en Bachillerato tambieacuten se suman escolares procedentes de pueblos como
Tabernas Pechina o Benhadux
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Caracteriacutesticas psicoevolutivas y especiacuteficas del grupo ndash aula
El alumnado del primer curso de la Educacioacuten Secundaria se encuentra en plena etapa
de la preadolescencia Coincide con la aparicioacuten de la pubertad producieacutendose
importantes cambios fiacutesicos cambios de voz la aparicioacuten de acneacute desarrollo de los
caracteres sexuales etc
El desarrollo fiacutesico va a tener una gran repercusioacuten en el desarrollo emocional y
personal del adolescente debido al importante peso que se confiere durante esta etapa al
aspecto fiacutesico
Las emociones que sienten se hacen maacutes intensas y variadas Comienzan un proceso en
el que buscan su identidad Necesita invertir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo en
sus relaciones sociales ya que de eacutestas recibe gran informacioacuten sobre lo que
actualmente es y lo que le gustariacutea que fuera su propia identidad
La integracioacuten social cobra un papel de gran importancia en estas edades
producieacutendose de forma paralela una progresiva emancipacioacuten de los adultos de
referencia Ademaacutes han desarrollado un pensamiento maacutes elaborado que en etapas
anteriores caracterizado por la abstraccioacuten con lo que seraacuten capaces de aplicar un
razonamiento deductivo
El grupo-clase en cuestioacuten estaacute caracterizado por su heterogeneidad encontrando
alumnos que presentan desde dificultades de aprendizaje hasta altas capacidades
intelectuales Consta de 22 alumnos
En general son muy participativos y responsables en su aprendizaje aunque tambieacuten
son muy habladores y en ocasiones resulta difiacutecil mantener el orden Hay un alumno
que tiene dificultad para integrarse y relacionarse con el resto de sus compantildeeros y se
encuentra desplazado
El aula estaacute equipada con mesas individuales movibles con lo que se pueden desplazar
para facilitar el trabajo en grupo Ademaacutes de una pizarra tradicional consta de una
pizarra digital de la que podemos hacer uso
73 Objetivos
Los Objetivos Didaacutecticos planteados para esta actividad fueron los siguientes
Establecer relaciones significativas entre las distintas representaciones de una
funcioacuten enunciado foacutermula tabla y graacutefica
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Relacionar la expresioacuten numeacuterica de coordenadas en el plano y su expresioacuten
graacutefica
Usar un material manipulativo como herramienta docente para adquirir
conocimientos matemaacuteticos
Fomentar los valores propios del trabajo en grupo
Aprender a valorar y disfrutar con las Matemaacuteticas
74 Contenidos
Los contenidos matemaacuteticos trabajados en esta actividad fueron
Concepto de funcioacuten
Variable dependiente e independiente
Funciones en forma de tabla
Funciones expresadas mediante su foacutermula
Graacutefica de una funcioacuten
Pendiente de una funcioacuten
Coordenadas en el plano representacioacuten numeacuterica y graacutefica
75 Descripcioacuten de la actividad
El Dominoacute de funciones consiste en un dominoacute en el que las fichas vienen divididas en
dos secciones cada una de ellas conteniendo una expresioacuten de una funcioacuten o de unas
coordenadas Tambieacuten existe otro tipo de fichas denominadas fichas dobles en el que
viene reflejado un enunciado de una funcioacuten para el que existen dos posibles soluciones
del mismo En el Anexo 1 vienen reflejadas todas las fichas que son como las
siguientes
Materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas
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Se juega por grupos de 4 ndash 5 personas Se reparten todas las fichas entre los alumnos y
comienza el alumno de menor edad Los demaacutes jugadores van colocando fichas por
turnos en sentido contrario a las agujas del reloj Consiste en ir encontrando todas las
parejas de las fichas hasta completar el dominoacute Gana el jugador que se quede primero
sin fichas
Dado que a primera vista puede no ser trivial encontrar las parejas estaacute permitido que
los miembros del grupo se ayuden unos a otros y tomen decisiones conjuntas sobre la
correccioacuten o no de una pareja
Al finalizar el juego los alumnos rellenan una encuesta de satisfaccioacuten (ver Anexo 1)
que permite extraer informacioacuten sobre si el desarrollo del mismo ha sido o no adecuado
Las preguntas realizadas en la encuesta fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Estaacute previsto que el juego dure unos 30 ndash 40 minutos con lo que teniendo en cuenta el
tiempo de explicacioacuten y realizacioacuten de la encuesta se lleva a cabo en una sesioacuten
completa como queda reflejado en el siguiente cuadro
ACTIVIDAD DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
Contenido Temporizacioacuten Descripcioacuten
Explicacioacuten de la
tarea y formacioacuten de
los grupos
15 mins
Se explicaraacuten las reglas del juego
resolviendo las posibles dudas que puedan
surgir sobre el mismo Los grupos podraacuten ser
formados por los propios alumnos
Juego del dominoacute 35 mins
Los alumnos jugaraacuten por grupos El profesor
iraacute comprobando el buen funcionamiento del
mismo y revisando que no se produzca
ninguacuten atasque en la formacioacuten de las
parejas
Encuesta de
satisfaccioacuten 10 mins
Se rellenaraacute una encuesta de satisfaccioacuten de
manera individual potenciando que los
alumnos expresen todas sus opiniones sobre
el juego
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76 Anaacutelisis de datos y conclusiones
Las respuestas a las preguntas de la encuesta realizada a los alumnos al teacutermino de la
actividad fueron las siguientes
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Siacute he aprendido 3
Siacute me he divertidoentretenido 12
Siacute me ha gustado la forma de
unir un juego y las funciones
1
Siacute me gusta el trabajo en grupo 2
Regular no entendiacutea bien 1
No era difiacutecil 2
No no me gusta el trabajo en
grupo
3
Siacute por perder clase 1
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
Respuestas Nordm de personas
Difiacutecil buscar las parejas 8
Difiacutecil porque habiacutea muchas
fichas
3
Difiacutecil porque las graacuteficas no se
veiacutean bien
1
Regular algunas fichas difiacuteciles 5
Regular el trabajo en mi grupo
ha sido malo
1
Faacutecil 3
iquestHas repasado lo aprendido en clase
Respuestas Nordm de personas
Siacute 21
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
Respuestas Nordm de personas
Siacute 18
No 1
Regular 2
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iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
Respuestas Nordm de personas
Siacute 16
Siacute por perder clase 1
Me da igual 1
No 3
Si analizamos los datos obtenidos en esta encuesta podemos extraer uacutetiles conclusiones
En primer lugar a la mayoriacutea de ellos les gustoacute el juego pues en general se trata de un
alumnado con predisposicioacuten al trabajo en grupo y a muchos de ellos les parecioacute una
actividad fuera de la rutina habitual de las clases de Matemaacuteticas
Todos los alumnos afirmaron que el juego les habiacutea resultado uacutetil para repasar los
contenidos aprendidos en clase la mayoriacutea pensaba que de una manera amena y
divertida No obstante al haber un alumno con tendencia a aislarse del resto de los
compantildeeros el grupo en el que estaba dicho alumno no funcionoacute correctamente y este
hecho se reflejoacute en las encuestas de los miembros de este grupo quedando todos ellos
descontentos con el juego
Esta es en mi opinioacuten una situacioacuten que puede repetirse siempre que se realice una
actividad que conlleve trabajo en grupo pues no todos los alumnos estaacuten acostumbrados
o tienen facilidad para llevar a cabo tareas de esta iacutendole En este caso tampoco es una
opcioacuten adecuada prescindir de estas actividades pues son una buena forma de fomentar
las relaciones con los compantildeeros Sin embargo el profesor debe estar muy atento al
grupo en el que haya alumnos conflictivos e intentar que el resto de los miembros del
grupo sean sociables para que no surjan situaciones de tensioacuten
En este caso optamos por que fueran los propios alumnos quienes hicieran los grupos
pues consideramos que al tratarse de una actividad en buena parte luacutedica y recreativa
estariacutean maacutes a gusto que con grupos previamente formados por nosotras Pero cabe a la
reflexioacuten el que si hubieacuteramos impuesto los grupos de antemano quizaacutes habriacuteamos
tenido menos problemas con este aspecto
Por otro lado casi todos los alumnos opinaron que les resultoacute difiacutecil encontrar las
parejas Este fue bajo mi parecer el aspecto negativo de la experiencia pues el nivel de
dificultad no estaba bien ajustado para un grupo de 1ordm de ESO Las profesoras que
estuvimos alliacute tuvimos que ayudar mucho a los grupos para que fueran poniendo las
fichas y esto ralentizoacute mucho el desarrollo del juego Hay que tener mucho cuidado con
este aspecto pues si el material o recurso que estemos utilizando requiere demasiado
esfuerzo por parte del alumno puede producir un rechazo generalizado hacia el mismo
consiguiendo entonces el efecto contrario al deseado cuando utilizamos materiales
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Podriacuteamos haber bajado el nivel de dificultad como bien apuntaron algunos escolares
disminuyendo el nuacutemero de fichas del dominoacute o usando graacuteficas maacutes sencillas para que
se vieran bien
Otro aspecto a destacar fue la ayuda entre los compantildeeros de grupo En general todos se
ayudaron entre ellos ponieacutendose de acuerdo sobre queacute ficha era la que teniacutean que poner
en cada momento y aunque en muchas de ellas se atascaban y habiacutea que ayudarles
poco a poco fueron formando el dominoacute aunque ninguacuten grupo logroacute terminarlo
completo En este caso la colaboracioacuten entre los compantildeeros era muy necesaria y en
casi todos los grupos se observoacute claramente la ayuda que se daban unos a otros
Por uacuteltimo la gran mayoriacutea del alumnado expresoacute su deseo de repetir actividades de
este tipo Por lo tanto cabe pensar que casi todos se llevaron una buena sensacioacuten de la
experiencia y pasaron un rato ameno a la vez que repasaron los conceptos aprendidos en
clase
Cabe destacar que las respuestas dadas por los alumnos en las encuestas fueron en su
mayor parte muy escuetas y poco clarificadoras Esto es en mi opinioacuten debido al
formato de encuesta que escogimos siendo este de respuesta totalmente libre y abierta
Por consiguiente la informacioacuten recabada podriacutea haber sido maacutes precisa si hubieacuteramos
utilizado otro formato por ejemplo con preguntas formuladas con elementos tipo
ldquoLikertrdquo de 5 puntos como por ejemplo
El juego del dominoacute de funciones me ha parecido sencillo y adecuado a nuestro nivel
1 Totalmente en desacuerdo
2 En desacuerdo
3 Ni de acuerdo ni en desacuerdo
4 De acuerdo
5 Totalmente de acuerdo
De esta manera tambieacuten podriacuteamos haber aplicado teacutecnicas estadiacutesticas para poder
obtenido conclusiones maacutes precisas
En conclusioacuten he podido comprobar de primera mano como el uso de materiales y
recursos en el aula de Matemaacuteticas no resulta una tarea trivial Es necesaria mucha
planificacioacuten y requiere de la toma de decisiones sobre aspectos que en cierta manera
pueden ser delicados No obstante la experiencia en general ha sido positiva de la que
pienso que la fase maacutes importante es el anaacutelisis y obtencioacuten de conclusiones pues
resulta muy uacutetil para la mejora de la praacutectica docente al mismo tiempo que se va
obteniendo formacioacuten en el campo de los materiales y recursos en el aula de
Matemaacuteticas
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8 Conclusiones
La labor de investigacioacuten e innovacioacuten que he llevado a cabo durante la realizacioacuten de
este trabajo me ha permitido obtener determinadas conclusiones que paso a detallar a
continuacioacuten
En primer lugar al recopilar informacioacuten sobre los oriacutegenes y la evolucioacuten histoacuterica de
materiales y recursos he comprobado como estos han sido utilizados desde los tiempos
antiguos como apoyo a la comprensioacuten de nociones matemaacuteticas Ademaacutes aunque no
siempre fueron bien considerados grandes pedagogos e investigadores en la Didaacutectica
de las Matemaacuteticas potenciaron su uso e incluso crearon los suyos propios
En segundo lugar la legislacioacuten educativa vigente nos ofrece una visioacuten sobre la
integracioacuten de materiales concretos en las programaciones de aula que merece la pena
analizar Las orientaciones metodoloacutegicas que aparecen recomiendan sobre todo la
incorporacioacuten de las nuevas tecnologiacuteas como un contenido maacutes que hay que tratar en
clase pero tambieacuten hacen referencia al uso de materiales manipulativos para la
ensentildeanza de la geometriacutea juegos la prensa etc al igual que tener muy en cuenta el
situar los conceptos en un contexto real y cotidiano a la experiencia del alumno
No obstante la utilizacioacuten de materiales y recursos en clase no suele ser un hecho muy
extendido en la clase de Matemaacuteticas ya que conlleva una serie de problemas para el
profesorado Por otro lado su correcta utilizacioacuten requiere de mucha planificacioacuten
ademaacutes de experiencia por parte del docente que solo se consigue con el paso de los
antildeos
He podido comprobar de cerca algunos de estos problemas en el desarrollo de una
experiencia con una actividad concreta el Dominoacute de funciones Sin embargo mi
opinioacuten es que en general la utilizacioacuten de diferentes tipos de recursos y materiales
resulta beneficiosa siempre que se programe de manera adecuada se tengan en cuenta
las caracteriacutesticas del alumnado y se analice cuidadosamente el resultado de su
aplicacioacuten en clase De esta manera conseguiremos poco a poco mejorar nuestra
praacutectica docente con estos materiales y asiacute poder usarlos para obtener un maacuteximo
rendimiento de los mismos
Por todo lo anterior puedo afirmar que los objetivos propuestos en el presente trabajo
han sido conseguidos de una manera satisfactoria pues toda la bibliografiacutea y paacuteginas
web consultadas asiacute como la experiencia llevada a cabo con un grupo ndash aula concreto
han contribuido a incrementar mis conocimientos sobre el amplio campo que suponen
los materiales y recursos para la ensentildeanza de las Matemaacuteticas a la vez que ayudarme a
mejorar mi idea inicial sobre queacute supone su uso para la consecucioacuten del desarrollo del
conocimiento matemaacutetico impliacutecito en las Matemaacuteticas escolares
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10 Anexos
101 Dominoacute de funciones
FICHAS DEL DOMINOacute
En una funcioacuten la
variable
dependiente eshellip
-1 0 1 2
-6 -3 0 3
hellipaquella que toma
los valores en base a
los que fijas para la
otra variable
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Coordenadas
2 3 5 8
4 3 3 0
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Un kilo de pollo cuesta 4euro Encuentra la
foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten que
relaciona la cantidad en kilos de pollo que
compras con el precio en euros
-1 0 1
4 1 -2
-1 0 1 2
5 0 -5 -10
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Un coche viaja a una velocidad constante de
120 kmh Si hace un recorrido de 600 km
encuentra la foacutermula y la graacutefica de la funcioacuten
que relaciona el espacio recorrido dependiendo
del tiempo
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El peso de un objeto en la Luna es la sexta
parte de su peso en la Tierra
Encuentra su foacutermula y su graacutefica
Coordenadas
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-1 0 1 2
-2 -1 1 0
Por el alquiler de un coche cobran 100euro diarios
maacutes 030euro por kiloacutemetro Encuentra la funcioacuten y
la graacutefica que relaciona el coste diario con el
nuacutemero de kiloacutemetros
hellipla que se fija
previamente y toma
valores libremente
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-1 0 1
-11 -5 1
En una funcioacuten la
variable
independiente es
-1 0 1
-11 -5 1
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102 Encuesta de satisfaccioacuten
Nombre _____________________________________________________________________
DOMINOacute DE LAS FUNCIONES
REGLAS DEL JUEGO
Empieza el miembro de menor edad poniendo la primera ficha que quiera y en sentido
contrario a las agujas del reloj por turnos van poniendo fichas el resto de jugadores
Hay dos tipos de fichas
o Simples teneacuteis que unir cada mitad con su pareja solucioacuten
o Dobles tendreacuteis un enunciado y dos mitades solucioacuten
Si un jugador no tiene fichas que poner pasa al siguiente
Gana el jugador que primero se quede sin fichas
Os podeacuteis ayudar entre los miembros del grupo para unir las fichas
De manera individual contestad a las siguientes preguntas
iquestTe ha gustado realizar el juego iquestPor queacute
iquestTe ha resultado faacutecil o difiacutecil encontrar las parejas iquestPor queacute
iquestHas repasado lo aprendido en clase
iquestOs habeacuteis ayudado entre los compantildeeros del grupo
iquestTe gustariacutea realizar maacutes juegos matemaacuteticos como este
