n 1 =nn −na =nn − n 1 debe tenerse en cuenta...

Control Eléctrico y Accionamientos

Teoría de Circuitos I

Unidad 6: Cálculo de Redes Eléctricas

Hoja 2 de 22

Resolución de circuitos eléctricos Desde el punto de vista teórico, se considera circuito eléctrico a todo conjunto de fuentes de energía eléctrica ideales, de tensión o corriente, unidas mediante conexiones ideales a un conjunto de elementos ideales (resistencia, inductancia y capacidad), de modo tal que se establezca un dado flujo de energía en función del tiempo. A los fines del análisis y cálculo resulta útil representar gráficamente los circuitos eléctricos porque ello facilita el planteo de las ecuaciones necesarias para resolverlos. Toda representación gráfica de un circuito eléctrico contiene los siguientes elementos:

• Conexiones o líneas de trazo continuo que vinculan entre sí elementos de circuitos

• Ramas o tramos de circuito recorridos por una determinada intensidad de corriente eléctrica que

contienen, como mínimo, un elemento activo (fuente de energía) o pasivo (receptor de energía)

• Nodos o puntos de unión de las ramas de un circuito eléctrico.

Un circuito eléctrico está completamente descripto, vale decir resuelto, cuando se conocen las intensidades de corriente en cada una de las ramas que conforman el circuito o bien, todas las tensiones entre pares de nudos del circuito. En efecto:

Conocida la intensidad de corriente en una dada rama queda determinada la tensión entre los nodos ubicados en los extremos de ésta. Sea Ia,b la intensidad de corriente en una dada rama que contiene una fuente de tensión E y una impedancia Za,b, ubicada entre los nodos a y b de un dado circuito. Aplicando la ley de las mallas de Kirchhoff, puede escribirse:

babababababa ZIEUdondedeUZIE ,,,,,, :••

−=+=oooooo

Conocida la tensión entre los nodos a y b de un dado circuito eléctrico, queda determinada la intensidad de corriente en la rama que los vincula. Suponiendo que, en general, la rama posee una fuente de tensión E y una impedancia Za,b , de la aplicación de la ley de mallas de Kirchhoff resulta:

ba

baba

Z

UEI

,

,, •

−=

ooo

Desde el punto de vista matemático para resolver un dado circuito eléctrico será necesario plantear un conjunto de ecuaciones independientes que utilicen como variable las intensidades de corriente de rama o las tensiones entre pares de nodos. El número de ecuaciones independientes que se requiere, de acuerdo a la variable elegida, para resolver un dado circuito se deduce a partir del análisis de su representación gráfica. Gráficamente, un circuito eléctrico se representa mediante un conjunto de ramas que conecta un conjunto de puntos denominados nodos. Sea NR el número total de ramas necesario para representar un dado circuito eléctrico. Estas NR ramas pueden agruparse en dos subconjuntos denominados: Ramas de árbol, cuyo número será NA




Hoja 3 de 22

Ramas de enlace, cuyo número será NE Se define como árbol al conjunto formado por el mínimo número de ramas necesario para conectar todos los nodos de un dado circuito eléctrico sin formar ningún lazo cerrado. Puesto que para conectar el primer par de nodos se requiere una rama y luego se debe agregar una rama por cada nodo adicional, el número de ramas del conjunto árbol, NA , viene dado por:

1−= NA NN donde, NN es el número total de nodos del circuito considerado. Se define como enlaces al conjunto formado por el mínimo número de ramas necesario a agregar al árbol trazado para el circuito considerado de modo que todos los nodos queden interconectados. El número de ramas de enlace, NE, viene dado por:

1: +−=−=+= RNANEAER NNNNNdondedeNNN Debe tenerse en cuenta que cualquier rama de un dado circuito eléctrico puede considerarse como perteneciente al conjunto árbol o al conjunto de enlaces, vale decir que a partir de una dada representación gráfica pueden obtenerse varios esquemas de árbol y, consecuentemente diferentes conjuntos de ramas de enlace. A modo de ejemplo consideremos el siguiente gráfico que representa un circuito eléctrico cualquiera (no se han representado los elementos activos y pasivos de cada rama) donde todos los segmentos son ramas y todos los puntos de intersección de tres o más segmentos son nodos. Resulta: NR = 27 ramas NN = 16 nodos NA = 15 ramas NE = 12 ramas

Un árbol posible para el circuito dado es el siguiente (se han trazado con mayor grosor las ramas incluidas en el árbol considerado):




Hoja 4 de 22

Otro árbol posible para el circuito dado es el siguiente:

Comparando los dos esquemas de árbol trazados resulta evidente que algunas ramas forman parte del conjunto árbol en uno de los esquemas y del conjunto de enlaces en el otro. Desde el punto de vista eléctrico al quitar o abrir las ramas de enlace se anulan todas las corrientes en las ramas restantes porque no queda ningún lazo cerrado que permita la circulación de corriente. En otras palabras, las intensidades de corriente de las ramas de enlace determinan las intensidades de corriente en las ramas restantes y constituyen, en consecuencia, un grupo de incógnitas intensidad de corriente independiente. Al abrir las ramas de enlace se anulan las corrientes en todas las ramas del árbol resultante pero no las tensiones entre pares de nodos de cada una de sus ramas. Si se cortocircuitan todos los pares de nodos de un dado árbol, no podrá circular ninguna corriente aún cerrando las ramas de enlace puesto que se ha anulado la diferencia de potencial entre todos los pares de nodos del circuito. En consecuencia, para resolver un dado circuito eléctrico puede procederse de dos maneras:

• Plantear un sistema de NE ecuaciones independientes cuyas variables son las NE intensidades

de corriente de las ramas de enlace elegidas.

• Plantear un sistema de NA ecuaciones independientes cuyas variables son las NA tensiones

entre pares de nodos de las ramas del árbol elegido.

El criterio a seguir consiste siempre en utilizar el menor número de ecuaciones posible así que cuando NE < NA, se utilizará como variables las corrientes de enlace y cuando NE > NA, las variables serán las tensiones entre pares de nodos. Concepto y clasificación de redes eléctricas




Hoja 5 de 22

Un circuito eléctrico básico es aquel que posee sólo dos ramas (una activa, la otra pasiva) y un par de nodos. Por ejemplo, tomando como nodos los terminales de una fuente de tensión (o de corriente) ideal o real, la rama activa es la que contiene la fuente y la rama pasiva la que contiene la impedancia conectada a los terminales de la misma. Cuando un circuito eléctrico posee tres o más ramas se clasifica como red, pudiendo tratarse de una red simple o de una red múltiple. Las redes simples son todos aquellos circuitos eléctricos que poseen tres o más ramas pero, sólo una de éstas es activa. Para resolver una red simple basta con reducir el circuito formado por las ramas pasivas a una sola rama pasiva equivalente (utilizando las transformaciones de Kenelly y las equivalencias serie – paralelo), de manera tal de transformar la red simple en un circuito básico que permite hallar la intensidad de corriente en la rama activa y luego, por aplicación sucesiva de las leyes de Kirchhoff, hallar las intensidades de corriente en las restantes ramas (las redes simples han sido tratadas en la Unidad 2). Las redes múltiples son todos aquellos circuitos eléctricos que poseen tres o más ramas en total y dos o más de éstas son activas (contienen fuentes de energía). Un circuito eléctrico constituido por dos ramas activas y una pasiva constituye el ejemplo más sencillo de red múltiple. Para resolver redes múltiples cuyos elementos sean lineales existen tres métodos:

• Método de superposición

• Método de las intensidades de corriente de malla

• Método de las tensiones entre pares de nodos

Por otra parte, cuando sólo es necesario analizar una o dos ramas de una red múltiple existen métodos de cálculo más sencillos que los mencionados en el párrafo anterior que reciben la denominación general de teoremas de circuitos y son tratados en la Unidad 7. Los métodos de resolución de redes múltiples son también válidos para las redes simples. Método de superposición Dada una red múltiple, el método de superposición consiste en reemplazar la red dada por un conjunto de redes simples (tantas como ramas activas tenga la red múltiple) obtenidas pasivando (es decir, cortocircuitando las fuentes de tensión y abriendo las fuentes de corriente) todas las ramas activas menos la elegida para la red simple a considerar. Se resuelven luego por separado todas las redes simples así obtenidas determinando las intensidades de corriente en cada una de sus ramas. Por último, se obtiene la solución de la red múltiple dada, calculando la intensidad de corriente de cada una de sus ramas como suma algebraica de las intensidades obtenidas para la rama considerada al resolver cada una de las redes simples. Como ejemplo considérese la red de la Figura 1 que posee dos nodos y tres ramas.




Hoja 6 de 22

En primer lugar se resuelve la red simple obtenida pasivando la fuente de tensión 2 (ver Figura 2)

Las ecuaciones que resuelven el circuito indicado en la figura 2 son:

[ ] [ ] [ ]3213

11,111,3

2

11,111,2

32

321

11,1 •

•

•

•

••

•••

−=

−=

++

=Z

ZIUI

Z

ZIUI

ZZ

ZZZ

UIoo

ooo

oo

o

En segundo lugar se resuelve la red simple obtenida pasivando la fuente de tensión 1 (ver Figura 3)

Las ecuaciones que resuelven el circuito indicado en la figura 3 son:

[ ] [ ] [ ]6543

22,222,3

1

22,222,1

31

312

22,2 •

•

•

•

••

•••

−=

−=

++

=Z

ZIUI

Z

ZIUI

ZZ

ZZZ

UIoo

ooo

oo

o




Hoja 7 de 22

Determinadas las intensidades de corriente parciales en cada una de las ramas debidas a cada una de las fuentes actuando por separado, se obtienen las intensidades de corriente resultantes de cada rama haciendo:

[ ] [ ] [ ]987 2,31,331,22,222,11,11

ooooooooo

IIIIIIIII +=−=−= Obsérvese que para hallar las intensidades de corriente de cada rama ha sido necesario resolver seis ecuaciones para hallar las corrientes parciales debidas a cada una de las fuentes y luego efectuar tres operaciones más para obtener los valores resultantes. En general, cuando se resuelve una red múltiple lineal aplicando el método (o teorema) de superposición se debe plantear un número de ecuaciones total dado por: Número de ecuaciones = NR (número de ramas activas + 1), donde NR es el número total de ramas. La cantidad de ecuaciones requeridas por el método de superposición para resolver un dado circuito es siempre mayor que las necesarias utilizando como variables las corrientes de enlace o las tensiones entre pares de nudos. En efecto, para el circuito representado en la Figura 1, resulta: Número de ecuaciones por corrientes de enlace = NR – NN + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 Número de ecuaciones por tensiones entre pares de nodos = NA = NN – 1 = 2 – 1 = 1 Método de las corrientes de malla Para deducir el método de las corrientes de malla se utilizará como ejemplo el circuito mostrado en la Figura 1, planteando la ley de las mallas de Kirchhoff a los lazos cerrados I y II (ver Figura 4)

Nótese que los lazos elegidos tienen una sola rama en común (Z3) y por consiguiente, se los denomina mallas. Las ecuaciones resultantes de la aplicación de la ley de mallas de Kirchhoff, teniendo en cuenta la solución hallada al aplicar el método de superposición son:

[ ] [ ]bZIZIUaZIZIU 3322233111

••••

−−=−+=oooooo

Los signos negativos de la ecuación [b] se deben a que la malla se recorre en sentido opuesto a las intensidades de corriente y a la fuente de tensión U2. Las ecuaciones [a] y [b] pueden reescribirse suponiendo que las mallas consideradas son recorridas por las siguientes intensidades de corriente:




Hoja 8 de 22

21

oooo

IIII III −== Las intensidades de corriente II e III, se denominan corrientes de malla y su característica fundamental es que circulan en el mismo sentido elegido para recorrer la malla considerada. Obviamente, TODAS las mallas de una dada red se deben recorrer en el mismo sentido (horario o antihorario, según se prefiera). Reemplazando las intensidades de corriente de rama por las intensidades de corriente de malla en las ecuaciones [a] y [b], obtenemos:

[ ] [ ]bZIIZIUaZIIZIU IIIIIIIII ′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

••••

322311

oooooooo

Ordenando los términos de las ecuaciones [a´] y [b´] se obtienen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas correspondientes a las corrientes de malla elegidas que puede escribirse de la siguiente manera:

[ ]

[ ]bIZZZU

aIZIZZU

II

III

′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=−

′′−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

•••

•••

oo

ooo

3232

3311

El número de ecuaciones de resolución de la red considerada aplicando el método de las corrientes de mallas es igual al número de ecuaciones que resultarían utilizando como variables las corrientes de enlace. Este resultado se debe a que las mallas elegidas contienen las ramas de enlace de la red y, como principio general, las mallas de una dada red deben elegirse de modo que al interrumpirlas se anulen todas las corrientes de la red. El sistema de ecuaciones [a´´], [b´´] puede resolverse aplicando cualquiera de los métodos numéricos conocidos (igualación, sustitución, sumas y restas o determinantes) pero es más útil expresarlo en términos de matrices. La solución general por el método de mallas de una dada red se expresa utilizando matrices de la siguiente forma:

[ ]10, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ •

nnnn IzUoo

Donde n, es el número de mallas elegido para la red considerada; ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

nUo

es el vector (o matriz de una

sola columna) de tensiones de malla (correspondientes a la suma de las tensiones de todas las fuentes

pertenecientes a la malla considerada); ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

nnz , es la matriz de impedancia de mallas de la red

considerada (se caracteriza por ser una matriz cuadrada, vale decir con igual número de filas que de

columnas ) y ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

nIo

es el vector de intensidades de corriente de malla.

Para el circuito representado en la Figura 4, la ecuación matricial [10] toma la forma:




Hoja 9 de 22

[ ]112,21,2

2,11,1

2

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−••

••

II

I

I

I

zz

zz

U

Uo

o

o

o

Multiplicando la matriz impedancia de mallas por el vector corrientes de mallas (ver apéndice sobre operaciones con matrices) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

[ ][ ]bIzIzU

aIzIzU

III

III

′′′+−=−

′′′−=••

••

ooo

ooo

2,21,22

2,11,11

Para que los sistemas de ecuaciones [a´´], [b´´] y [a´´´], [b´´´] sean iguales basta con que se verifiquen las siguientes igualdades:

322,231,22,1311,1•••••••••

+===+= ZZzZzzZZz

Las impedancias 1,1•

z y 2,2•

z reciben el nombre de autoimpedancias o impedancia de malla, mientras

que las impedancias 2,1•

z y 1,2•

z , reciben el nombre de impedancias de transferencia o transimpedancias. Los coeficientes autoimpedancia se obtienen hallando la impedancia equivalente de la malla considerada, mientras que los coeficientes de transferencia vienen dados por la impedancia equivalente de la rama en común entre las mallas consideradas. Puesto que las mallas son por definición lazos cerrados que poseen una sola rama en común, las impedancias de transferencia entre mallas adyacentes tienen el mismo valor. El cálculo de las corrientes de malla partiendo de la ecuación [10] se realiza multiplicando ambos miembros de la igualdad por la inversa de la matriz de impedancias (ver apéndice sobre operaciones con matrices), vale decir:

[ ]121

, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−•

nnnn IUzoo

En el caso particular del circuito representado en la Figura 4, la ecuación general [10] toma la forma dada por [11] y al multiplicar ambos miembros de ésta última por la inversa de la matriz impedancia obtenemos (ver apéndice sobre operaciones con matrices):

[ ]131

2

1

1,12,1

1,222

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

Δ ••

••

II

I

z I

I

U

U

zz

zzo

o

o

o

Donde Δz es el determinante de la matriz de impedancias y viene dado por:

[ ]141,.22,12211••••

−=Δ zzzzz Las intensidades de corrientes de malla obtenidas a partir de la ecuación [13] vienen dadas por:




Hoja 10 de 22

[ ]151,22,12,21,1

21,212,2

••••

••

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=zzzz

UzUzI I

oo

o

[ ]161,22,12,21,1

21,112,1

••••

••

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=zzzz

UzUzI II

oo

o

Las ecuaciones [15] y [16] son completamente generales y aplicables a todo circuito similar al representado en la Figura 14. Los signos (+) o (-) aplicados a las tensiones de las fuentes dependerán de si estas están a favor del sentido de circulación elegido para la malla (+) o en oposición (-). Si la intensidad de corriente de una dada malla es negativa (tanto su parte real como su parte imaginaria) ello significa que la intensidad de corriente en la rama correspondiente circula en sentido contrario al elegido arbitrariamente para la corriente de malla. Resumiendo, para aplicar el método de corrientes de malla para resolver una dada red (simple o múltiple) se debe proceder de la siguiente manera:

a) Determinar el número de ramas de enlace de la red ( NE = NR – NN + 1 )

b) Elegir un número de mallas igual al número de ramas de enlace obtenido en el paso anterior

c) Establecer un sentido único ( horario o antihorario ) para recorrer las mallas

d) Determinar la matriz de impedancias de malla

e) Determinar el vector de tensiones de malla

f) Escribir las ecuaciones de resolución de la red dada desarrollando la expresión general

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ •

nnnn IzUoo

,

g) Hallar el vector de intensidades de corriente de malla resolviendo la ecuación general:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−•

nnnn IUzoo1

,

Veamos la aplicación del método indicado considerando algunos ejemplos. Sea la red mostrada en la Figura 5.




Hoja 11 de 22

a) La red de la Figura 5 posee 6 ramas y 4 nudos, en consecuencia: NE = NR – NN + 1 = 6 – 4 + 1 =

3

b) En la Figura 5 se han indicado con los números I, II y III las NE mallas elegidas

c) Las mallas serán recorridas en sentido horario

d) Los elementos de la matriz de impedancias son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )IIImallaZZzIIIIImallaZzIIIImallaz

IIIIImallaZzIImallaZZZZzIIImallaZz

IIIImallazIIImallaZzImallaZZz

643,342,31,3

43,254322,231,2

3,132,1311,1

,,0

,,

,0,

••••••

•••••••••

••••••

+===

=+++==

==+=

e) El vector de tensiones de malla viene dado por:

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

IIImallaU

IImallaImallaU

2

1

0o

o

f) Las ecuaciones de resolución de la red representada en la Figura 5 vienen dadas por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

•••

•••

•••

III

II

I

I

I

I

zzz

zzz

zzz

U

U

o

o

o

o

o

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

2

1

0

Cuyo desarrollo permite escribir el siguiente sistema de ecuaciones:

[ ]

[ ]

[ ]19

180

17

6442

454323

3311

IIIII

IIIIII

III

IZZIZU

IZIZZZZIZ

IZIZZU

ooo

ooo

ooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

•••

••••••

•••

Obsérvese que despejando IIIIo

en la ecuación [19] y reemplazándolo en la ecuación [18], el sistema queda reducido a dos ecuaciones con dos incógnitas, una de las cuales está igualada a cero (la [18]

modificada) lo que permitirá despejar una de las incógnitas ( III IoIoo

) a fin de reemplazarla en la ecuación [17], reduciendo a ésta a una sola incógnita cuyo cálculo permite determinar las dos restantes. Puede compararse el grado de dificultad de éste procedimiento con el más general indicado en ítem g y quedará claro por qué es conveniente siempre explicitar las ecuaciones de resolución.




Hoja 12 de 22

g) Para obtener las corrientes de malla se debe resolver la ecuación general dada por:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−•

nnnn IUzoo1

,

La matriz inversa de la matriz impedancias viene dada por (ver apéndice sobre operaciones con matrices):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Δ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++

+−−

++−

Δ

•••••••••••••••

••••••••••••

••••••••••••

••••••••••••

1,32,22,31,23,11,33,23,31,22,12,33,23,32,21,1

1,22,12,21,11,32,12,31,11,32,22,31,2

1,23,13,21,11,33,13,31,11,33,23,31,2

2,23,13,22,12,33,13,32,12,33,23,32,2

1

zzzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzz

z

z

Expresión general de la inversa de la matriz de impedancias de malla que, teniendo en cuenta los

valores determinados en el ítem d ( 2,33,21,33,11,22,1 ,0,••••••

==== zzzzzz ) se reduce a:

3,32

2,12

3,23,32,21,1

22,12,21,12,31,12,31,2

3,21,13,31,13,31,2

3,22,13,32,12

3,23,32,2

1

••••••

•••••••

••••••

•••••••

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Δ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

Δ

zzzzzz

zzzzzzz

zzzzzz

zzzzzzz

z

z

Multiplicando la inversa de la matriz de impedancias simplificada por el vector de tensiones determinado en el ítem e, se obtienen las expresiones de cálculo de las intensidades de corriente de malla:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

Δ•••••••

••••••

•••••••

III

II

I

z

I

I

I

U

U

zzzzzzz

zzzzzz

zzzzzzz

o

o

o

o

o

2

1

22,12,21,12,31,12,31,2

3,21,13,31,13,31,2

3,22,13,32,12

3,23,32,2

01

3,32

2,12

3,23,32,21,1

23,22,112

3,23,32,2

••••••

•••••

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=zzzzzz

UzzUzzzI I

oo

o

[20]




Hoja 13 de 22

3,32

2,12

3,23,32,21,1

23,21,113,31,2

••••••

••••

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

zzzzzz

UzzUzzI II

ooo

[21]

3,32

2,12

3,23,32,21,1

22

2,12,21,112,31,2

••••••

•••••

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=zzzzzz

UzzzUzzI III

oo

o

[22]

Cabe señalar que las ecuaciones [20], [21] y [22] se pueden obtener sin calcular la inversa de la matriz de impedancias aplicando la regla de Crámer sustituyendo sucesivamente las columnas 1, 2 y 3 de la matriz impedancia por el vector tensión, tal como se muestra a continuación:

Para calcular IIo

se reemplaza la primer columna de la matriz impedancia por el vector tensión y se divide la matriz resultante por el determinante de la matriz impedancia. El numerador de la ecuación se obtiene como suma de los productos de cada uno de los elementos del vector tensión por el determinante de la matriz que resulta al eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento del vector tensión considerado.

3,32

2,12

3,23,32,21,1

23,22,112

3,23,32,2

3,32

2,12

3,23,32,21,1

3,32,32

3,22,2

2,11

0

0

••••••

•••••

••••••

••

••

•

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=zzzzzz

UzzUzzz

zzzzzz

zzU

zz

zU

I I

ooo

o

o

Para calcular IIIo

se reemplaza la segunda columna de la matriz impedancia por el vector tensión y se divide la matriz resultante por el determinante de la matriz impedancia. El numerador de la ecuación se obtiene como suma de los productos (cambiados de signo) de cada uno de los elementos del vector tensión por el determinante de la matriz que resulta al eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento del vector tensión considerado.

3,32

2,12

3,23,32,21,1

23,21,113,31,2

3,32

2,12

3,23,32,21,1

3,32

3,21,2

11,1

0

0

0

••••••

••••

••••••

•

••

•

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=zzzzzz

UzzUzz

zzzzzz

zU

zz

Uz

I II

ooo

o

o

Para calcular IIIIo

se reemplaza la tercer columna de la matriz impedancia por el vector tensión y se divide la matriz resultante por el determinante de la matriz impedancia. El numerador de la ecuación se obtiene como suma de los productos de cada uno de los elementos del vector tensión por el determinante de la matriz que resulta al eliminar la fila y la columna a la que pertenece el elemento del vector tensión considerado.




Hoja 14 de 22

3,32

2,12

3,23,32,21,1

22

2,12,21,112,31,2

3,32

2,12

3,23,32,21,1

22,3

2,21,2

12,11,1

0

0

••••••

•••••

••••••

•

••

••

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=zzzzzz

UzzzUzz

zzzzzz

Uz

zz

Uzz

I III

ooo

o

o

Como regla general para reducir el trabajo de cálculo numérico, la aplicación de la regla de Crámer simplifica la resolución de la ecuación general [12] pero siempre debe analizarse, previamente, el sistema de ecuaciones que se obtiene a partir de la ecuación [10] ya que en muchos casos es posible mediante operaciones algebraicas reducir el orden (número de ecuaciones) del mismo. Consideremos por último otro ejemplo de aplicación del método de corrientes de malla a la red representada en la Figura 6.

a) El número de ramas de enlace vale NE = NR – NN + 1 = 6 – 4 + 1 = 3

b) En la Figura 6 se han indicado con los números I, II y III las NE mallas elegidas

c) Las mallas serán recorridas en sentido antihorario

d) Los elementos de la matriz de impedancias son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )IIImallaZZZzIIIIImallaZzIIIImallaZz

IIIIImallaZzIImallaZZZzIIImallaZz

IIIImallaZzIIImallaZzImallaZZZz

5323,352,331,3

53,26542,241,2

33,142,14311,1

,,

,,

,,

••••••••

••••••••

••••••••

++===

=++==

==++=




Hoja 15 de 22

e) El vector de tensiones de malla viene dado por:

( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

IIImallaU

IImallaU

ImallaU

2

3

1

o

o

o

f) Las ecuaciones de resolución de la red representada en la Figura 5 vienen dadas por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

•••

•••

•••

III

II

I

I

I

I

zzz

zzz

zzz

U

U

U

o

o

o

o

o

o

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

2

3

1

Cuyo desarrollo permite escribir el siguiente sistema de ecuaciones:

[ ]

[ ]

[ ]25

24

23

532532

565443

344311

IIIIII

IIIIII

IIIIII

IZZZIZIZU

IZIZZZIZU

IZIZIZZZU

oooo

oooo

oooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=−

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=−

•••••

•••••

•••••

El cálculo de las intensidades de corriente de malla debe ahora resolverse mediante cualquiera de los métodos conocidos si bien el uso de la regla de Crámer pareciera ser el más adecuado en éste caso. Método de las tensiones de pares de nodos El método de las corrientes de malla está basado en la ley de mallas de Kirchhoff y el método de las tensiones de pares de nodos, en la ley de los nodos de Kirchhoff. El número de ecuaciones necesarias para resolver un dado circuito es igual al número de ramas de un árbol que pertenezca al mismo y viene dado por el número de nodos menos la unidad. Como ejemplo consideremos el circuito representado en la Figura 1, que ya ha sido resuelto por los métodos de superposición y de mallas.




Hoja 16 de 22

El circuito representado en la Figura 1 posee sólo un par de nodos (los puntos de conexión de la impedancia Z3 y, en consecuencia, sólo es necesaria una ecuación de tensión entre pares de nodos para resolverlo.

En efecto, sea baU ,

o

la tensión existente entre los extremos de la impedancia 3

•

Z y sean 321 ,ooo

IeII , las

intensidades de corriente en las ramas que contienen las impedancias 321 ,•••

ZyZZ , respectivamente. Denominemos a al nodo común de dichas impedancias. Teniendo en cuenta las polaridades señaladas en la Figura 1 para las fuentes de tensión, aplicando la ley de los nodos de Kirchhoff al nodo a, obtenemos:

[ ]26321

ooo

III =+

Puesto que la corriente 3

o

I sale del nodo a, la tensión baU ,

o

, está dirigida de b hacia a y, por lo tanto:

[ ]271,1

1

,11

•

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−= YUU

Z

UUI ba

ba oooo

o

[ ]282,2

2

,22

•

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−= YUU

Z

UUI ba

ba oooo

o

Reemplazando [27] y [28] en la ecuación [26], teniendo en cuenta que 3,

3

,3

•

•== YU

Z

UI baba o

oo

, obtenemos:

[ ]293,2,21,1

•••

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − YUYUUYUU bababa

ooooo

Y reagrupando términos se llega a la ecuación que da la solución del circuito analizado:

[ ]30321

2211, •••

••

++

+=

YYY

YUYUU ba

ooo




Hoja 17 de 22

Cabe señalar que los signos de las fuentes de tensión se toman positivos si su polaridad instantánea coincide con la de la tensión entre el par de nodos considerado y negativos en caso contrario. En otras palabras, si la fuente de tensión inyecta corriente en el nodo analizado, su signo es positivo; si en cambio, la fuente de tensión extrae corriente del nodo, su signo será negativo. Esta regla de signos se basa en la convención según la cual se consideran positivas las corrientes entrantes a un nodo y negativas las salientes del mismo. Para deducir el método de las tensiones de pares de nodos consideremos el circuito representado en la Figura 7.

El circuito posee tres nodos identificados con las letras a, b y c. Se requiere para resolverlo, plantear NN – 1 ecuaciones de tensión entre pares de nodos (NN – 1 = 3 – 1 = 2). Arbitrariamente se elige el nodo c como referencia para medir las tensiones respecto de los nodos restantes. Esto significa que se impone el valor cero al potencial del nodo c (en otras palabras, se lo conecta a tierra).

En consecuencia, las tensiones incógnita son: cbca UyU ,,

oo

puesto que la tensión baU ,

o

depende del valor de aquéllas. El sentido de las corrientes en las ramas del circuito se muestra en la Figura 7 a. Dichos sentidos se han establecido teniendo en cuenta la polaridad instantánea de las fuentes y que los nodos a y b están a mayor potencial que el nodo c. El sentido de la corriente en la rama que contiene la impedancia Z2 se elige de modo que resulte una corriente entrante y las restantes salientes en los nodos a y b, a fin de uniformar el planteo de las ecuaciones. Aplicando la ley de los nodos de Kirchhoff se obtiene:




Hoja 18 de 22

[ ] [ ]32:31: 542321

oooooo

IIIbnodoIIIanodo +=+= Las ecuaciones [31] y [32] se pueden reescribir en función de las tensiones (aplicando la ley de Ohm y el concepto de admitancia) obteniéndose:

[ ]

[ ]34:

33:

52,4,2,

2,3,1,1

•••

•••

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

YUUYUYUbnodo

YUYUYUUanodo

cbcbba

bacaca

oooo

oooo

Puesto que: cbcaba UUU ,,,

ooo

−= , las ecuaciones [33] y [34] se pueden reescribir de la siguiente manera:

[ ]352,2,3,1,11

•••••

−+=− YUYUYUYUYU cbcacaca

ooooo

[ ]36525,4,2,,

•••••

++=− YUYUYUYUYU cbcbcbzca

ooooo

Definiendo los productos aIYUoo

=•

11 , bIYUoo

=•

52 y reordenando los términos de las ecuaciones [35] y [36], obtenemos:

[ ]

[ ]38

37

,542,2

,2,321

cbcab

cbcaa

UYYYUYI

UYUYYYI

ooo

ooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

••••

••••

El sistema de ecuaciones de resolución del circuito representado en la Figura 7, dado por las expresiones [37] y [38], puede obtenerse a partir de la siguiente expresión general:

[ ]390,, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ •

nnnn UyIoo

Donde n, es el número de nodos elegido para la red considerada; ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

nIo

es el vector de corrientes de

nodo (correspondientes a la suma de las corrientes de todas las ramas activas conectadas al nodo

considerado); ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

nny , es la matriz de admitancia de nodos de la red considerada (se caracteriza por ser

una matriz cuadrada, vale decir con igual número de filas que de columnas ) y ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

0,nUo

es el vector de

tensiones de nodo respecto del nodo de referencia (puesto a tierra). Para el circuito representado en la Figura 7, la ecuación matricial [39] toma la forma:

[ ]40,

,

2,21,2

2,11,1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−••

••

cb

ca

b

a

U

U

yy

yy

I

Io

o

o

o




Hoja 19 de 22

Multiplicando la matriz admitancia de nodos por el vector tensiones de nodos (ver apéndice sobre operaciones con matrices) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

[ ]

[ ]42

41

,2,2,1,2

,2,1,1,1

cbcab

cbcaa

UyUyI

UyUyIooo

ooo

••

••

+−=−

−=

Para que los sistemas de ecuaciones [37], [38] y [41], [42] sean iguales basta con que se verifiquen las siguientes igualdades:

5422,221,22,13211,1

•••••••••••

++===++= YYYyYyyYYYy

Las admitancias 1,1

•

y y 2,2

•

y reciben el nombre de autoadmitancias o admitancia de nodo, mientras que

las admitancias 2,1

•

y y 1,2

•

y , reciben el nombre de admitancias de transferencia o transadmitancias. Los coeficientes de autoadmitancia se obtienen sumando las admitancias de cada una de las ramas conectadas al nodo considerado. Los coeficientes de transferencia de un nodo con respecto a otro se obtienen sumando las admitancias de todas las ramas que los interconectan. Puesto que por definición sólo hay una rama del árbol elegido para el circuito considerado entre cada par de nodos, las admitancias de transferencia entre mallas adyacentes tienen el mismo valor. Téngase en cuenta que un dado circuito puede presentar más de una rama entre el mismo par de nodos, pero como se trata de ramas en paralelo siempre se las puede reemplazar por una única rama equivalente. El método general de cálculo de las tensiones de nodos partiendo de la ecuación [39] se realiza multiplicando ambos miembros de la igualdad por la inversa de la matriz de admitancias (ver apéndice sobre operaciones con matrices), vale decir:

[ ]430,

1

, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−•

nnnn UIyoo

De acuerdo al sistema de ecuaciones que resulte de la ecuación [39], tal como se discutió al considerar el método de corrientes de malla, se deberá elegir el método numérico (igualación, sustitución, sumas y restas, determinantes o cálculo de la ecuación [43]) que resulte más sencillo. Resumiendo, para aplicar el método de tensiones entre pares de nodos para resolver una dada red (simple o múltiple) se debe proceder de la siguiente manera:

a) Determinar el número de ramas del árbol de la red (NA = NN - 1)

b) Elegir un número de nodos igual al número de ramas del árbol obtenido en el paso anterior y al

nodo restante considerarlo de referencia (puesto a potencial de tierra)

c) Determinar la matriz de admitancias de nodo

d) Determinar el vector de corrientes de nodo

e) Escribir las ecuaciones de resolución de la red dada desarrollando la expresión general




Hoja 20 de 22

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ •

0,, nnnn UyIoo

f) Hallar el vector de intensidades de corriente de malla resolviendo la ecuación general:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−•

0,

1

, nnnn UIyoo

En general el método se denomina de tensiones entre pares de nodos pero al aplicarlo como es necesario tomar un nodo como referencia, las tensiones que se calculan son las de cada uno de los nodos restantes respecto del nodo tomado como referencia y, una vez conocidas éstas pueden hallarse las tensiones entre cada par de nodos. Veamos la aplicación del método indicado considerando algunos ejemplos. Sea la red mostrada en la Figura 8.

a) El número de ramas del árbol para el circuito representado en la Figura 8 vale: NA = NN – 1 = 4 –

1 = 3

b) El circuito representado en la Figura 8 posee cuatro nodos identificados con las letras a, b, c y d.

Se elige el nodo d como referencia (se lo conecta a tierra) y los potenciales de los nodos

restantes (a, b y c) se calculan con respecto a éste

c) Los elementos de la matriz de admitancias de nodos son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )cnodoYYYybcnodoyacnodoYYy

cbnodoybnodoYYYyabnodoYy

canodoYYybanodoYyanodoYYYy

••••••••

•••••••

•••••••••

++==+=

=++==

+==++=

6313,32,3311,3

3,25422,221,2

313,122,13211,1

,0,

,0,

,,

d) El vector de corrientes de nodo viene dado por:




Hoja 21 de 22

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

•

•

•

cnodoYUI

bnodoYUI

anodoYUI

c

b

a

,

,

,

11

52

11

oo

oo

oo

e) Las ecuaciones de resolución del circuito representado en la Figura 8 se obtienen desarrollando

la expresión general [39]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−•••

•••

•••

dc

db

da

c

b

a

U

U

U

yyy

yyy

yyy

I

I

I

,

,

,

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

o

o

o

o

o

o

Al multiplicar la matriz admitancias de nodo por el vector de tensiones de nodos respecto del nodo de referencia (ver apéndice sobre operaciones con matrices) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de resolución por el método de tensiones de pares de nodos:

[ ]44,31,2,321 dcdbdaa UYYUYUYYYIoooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

••••••

[ ]45,542,2 dbdab UYYYUYIooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=−

••••

[ ]46,631,31 dcdac UYYYUYYIooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−

•••••

La solución del sistema de ecuaciones [44], [45] y [46] puede obtenerse aplicando la ecuación matricial [43] o cualquier otro método de cálculo, tal como se discutió al tratar el método de corrientes de malla. Consideremos por último otro ejemplo de aplicación del método de tensiones entre pares de nodos a la red representada en la Figura 9.

a) El número de ramas del árbol para el circuito representado en la Figura 9 vale : NA = NN – 1 = 4 – 1 = 3




Hoja 22 de 22

b) El circuito representado en la Figura 9 posee cuatro nodos identificados con las letras a, b, c y d. Se elige el nodo como referencia (se lo conecta a tierra) y los potenciales de los nodos restantes (a, b y d) se calculan con respecto a éste

c) Los elementos de la matriz de admitancias de nodos son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )dnodoYYYybdnodoyadnodoYy

dbnodoybnodoYYYyabnodoYy

danodoYybanodoYyanodoYYYy

•••••••

•••••••

••••••••

++===

=++==

==++=

6523,32,321,3

3,26412,211,2

23,112,13211,1

,0,

,0,

,,

d) El vector de corrientes de nodo viene dado por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

••

••

••

cnodoYUYUI

bnodoYUYUI

anodoYUYUI

c

b

a

,

,

,

3322

1163

2211

ooo

ooo

ooo

e) Las ecuaciones de resolución del circuito representado en la Figura 9 se obtienen desarrollando

la expresión general [39]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

•••

•••

•••

cd

cb

ca

c

b

a

U

U

U

yyy

yyy

yyy

I

I

I

,

,

,

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

o

o

o

o

o

o

Al multiplicar la matriz admitancias de nodo por el vector de tensiones de nodos respecto del nodo de referencia (ver apéndice sobre operaciones con matrices) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de resolución por el método de tensiones de pares de nodos:

[ ]47,2,1,321 cdcbcaa UYUYUYYYIoooo •••••

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

[ ]48,641,1 cbcab UYYYUYIooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=

••••

[ ]49,652,2 cdcac UYYYUYIooo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−=

••••

La solución del sistema de ecuaciones [47], [48] y [49] puede obtenerse aplicando la ecuación matricial [43] o cualquier otro método de cálculo, tal como se discutió al tratar el método de corrientes de malla.

n 1 =nn −na =nn − n 1 debe tenerse en cuenta...

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