Música y matemáticas

Introducción histórica

Origen de la música

• El hombre primitivo encontraba música en la naturaleza y en su propia voz. También aprendió a valerse de rudimentarios objetos (huesos, cañas, troncos, conchas) para producir nuevos sonidos. 

• Hay constancia de que hace unos 50 siglos en Sumeria ya contaban con instrumentos de percusión y cuerda (liras y arpas).

En Egipto (siglo XX a.C.) la voz humana era considerada como el instrumento más poderoso para llegar hasta las fuerzas del mundo invisible. Lo mismo sucedía en la India. Mientras que en la India incluso hoy se mantiene esta idea, en Egipto, por influencia mesopotámica, la música adquiere en los siguientes siglos un carácter profundo, concebida como expresión de emociones humanas. 

Es muy probable que hacia el siglo VI a.C., en Mesopotamia, ya conocieran las relaciones numéricas entre longitudes de cuerdas.

Se puede decir que con la cultura mesopotámica arranca realmente la historia de la música

Estas proporciones, fueron estudiadas por Pitágoras (siglo IV a.C.) y llevadas a Grecia, desde donde se extendería la teoría musical por Europa

• El término "música" proviene del griego "musiké" (de las musas). Por eso la paternidad de la música, tal como se la conoce actualmente, es atribuida a los griegos. En la mitología griega, las musas eran nueve y tenían la misión de proteger las artes y las ciencias en los juegos griegos.

Pitágoras

Se considera a Pitágoras el fundador de una corriente místico-filosófica, el pitagorismo, que alcanzó su esplendor entre los siglos VI y III a.C.

Él descubrió  la importancia de los números en la música, y estableció la relación entre la música y la aritmética en los términos matemáticos media armónica y progresión armónica

• Pitágoras descubre que las cuerdas que daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava, tenían longitudes proporcionales a 12, 9, 8 y 6. Y puesto que las razones entre los números 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y 1/2, que son las más sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitágoras dedujo que ésta es «la fuente y raíz de la Naturaleza eterna» como dicen los Versos Dorados.

•Como en tantos aspectos pitagóricos los números de la Tetractys eran la piedra angular de la armonía musical.

• Mediante una mística extrapolación, la Tetractys sería la fuente del conocimiento de las raíces de la armonía del Cosmos divino, alcanzable a través del número.Si en el número está la clave del tono musical, en él residirá también la clave de toda la naturaleza y en ultima instancia aparecía la matriz de la filosofía pitagórica: «el número es la esencia de todas las cosas»

Las siete artes se dividen en “saberes exactos” (Quatrivium o Matemáticas) y “saberes humanos” (Trivium).  

Propiedades que comparten Música y

Matemáticas • La primera propiedad, excepcional, que

tienen en común la Matemática y la Música es que ambas son lenguajes universales

• La segunda propiedad, es que la teoría física de las ondas juega un papel fundamental en nuestra percepción de la música. Y esta teoría puede ser analizable matemáticamente.

• La tercera propiedad nos la recuerda Bertrand Russell, el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de belleza ordenada

Escalas y armonía

• Una de las aportaciones más importantes de Pitágoras fue su descubrimiento de que las longitudes de las cuerdas que emiten sonidos armónicos guardan entre sí relaciones numéricas simples: por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones 16:9, 8:5, 3:2, 4:3, 6:5, 16:15.

Escala diatónica

• Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis).

• Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones  1:2 (longitudes 1:2 y 1), 2:3 (media armónica de 1:2 y 1), y 3:4 (media aritmética de 1:2 y 1) producían combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones.

•A estos intervalos los llamó diapasón, diapente y diatesaron. Hoy los llamamos octava,  quinta y cuarta porque corresponden a esas notas de la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do). 

Las longitudes de cuerda correspondientes quedan así

La proporción entre cada cuerda y la siguiente es de 8:9 (tono), salvo en los casos de fa/mi y do/si, en donde es de 256:243 (hemitono). La pauta entre tonos y hemitonos es 2-h-3-h.El problema reside en que aplicar dos hemitonos no equivale a aplicar un tono.Además, la distribución de tonos y hemitonos es irregular.

Fórmula de la Escala Diatónica Mayor

T=tono st=semitonoT-T-st-T-T-T-st

Ejemplo para "Do mayor" aplicando la fórmula anterior:

Do (T) Re (T) Mi (st) Fa (T) Sol (T) La (T) Si (st) Do

• La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente hasta que vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas equivalen (casi) a 7 octavas. 

(3/2)12 / (2:1)7 = 1'0136... A la diferencia entre estos dos

ciclos se le llamó coma pitagórica.

La escala cromática

En 1627  el matemático francés Mersenne (el de los primos 2p-1) formula con precisión la relación entre longitud de cuerda y la frecuencia en su obra Armonía Universal. Esto permitiría la creación de una escala en donde todos los intervalos son iguales (12 semitonos): la escala cromática. Se resolvía así el problema de cambiar de tonalidad (modular) sin reajustar la afinación. La coma pitagórica había desaparecido

La escala cromática en notación logarítmica

Como vemos, las longitudes de las cuerdas siguen una progresión geométrica. Así que podemos simplificar la tabla anterior si nos quedamos con el exponente correspondiente sobre la base 21:12 (es decir, aplicamos el logaritmo que tiene esta base): 

• Mientras Bach, Handel, Haydn, Mozart, Beethoven, etc., elevaban la música a alturas de vértigo, dos famosos matemáticos, Euler y d'Alembert, producían teorías de música, continuando la tradición empezada por Descartes (Compendio musical), Galileo (Discurso), Mersenne (Armonía Universal) y Leibniz (en diversas digresiones). Pero la nueva escala cromática necesitaba nuevas teorías de armonía, en las que trabajaron Euler (Nueva teoría musical, en la que trata de ordenar la consonancia, demasiado matemático para los músicos y demasiado musical para los matemáticos) y d'Alembert. 

• Música y matemáticas ya se estudiaban por separado

Otros ejemplos de matemáticas

En la música

La proporción áurea

• Si deseamos que la parte menor sea a la parte mayor como esta al todo, la proporción que buscamos es necesariamente la razón áurea.

La proporción áurea se encuentra en la naturaleza y en las

creaciones humanas

Y en la música

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición? Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía  Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea. 

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI 

• Estrechamente emparentada con la razón áurea (a la que tiende la razón de dos términos consecutivos) se encuentra la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... (cada término es la suma de los dos anteriores).

• De modo intuitivo o consciente, esta serie numérica ha sido utilizada por las distancias proporcionales que guardan sus términos. 

Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo. Φ=1.618039....

• Bartók usó la serie para crear su "escala Fibonacci". En su obra Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta, un análisis de su fuga nos muestra la aparición de la serie (y de la razón áurea).

Béla Bartók (1881 - 1945)

fin

Fuentes:

http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/profes/departam/mates/musica/index.htm