muestreo y recontruccion de seÑales

5/11/2018 MUESTREO Y RECONTRUCCION DE SEÑALES - slidepdf.com

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INGENIERIA EN MECATRONICA

CONTROL DIGITAL

MONOGRAFIA

“Muestreo yrecontrucciòn de señales”

PROF: JUAN GABRIEL RODRIGUEZ ZAMARRON

Daniel Becerra Jiménez

A 14 de octubre de 2011



MUESTREO Y RECONSTRUCCION DE SEÑALES

INTRODUCCION

El tema de muestreo y reconstrucción de señales es un tema al cual se

necesita la compresión temprana de varios conceptos del tema del dominio de

la frecuencia así como de estar iniciado en el tema de transformadas (La Place

y transformada Z) ya que a continuación abordaremos un tema en el cual

veremos la aplicación real.

Sabemos modelar sistemas continuos (La place) o sistemas discretos

(transformada Z), pero en la mayoría de los casos los sistemas reales

contienen tanto bloques continuos como bloques discreto. Para todo esto se

necesitan elementos que permitan interconectar sistemas continuos con

sistemas discretos y viceversa.1

El muestreo de señales nos permite obtener una secuencia a partir de una

señal con lo que tenemos

Esta señal es obtenida después de que el convertidor A/D (muestreador) toma

los valores de la señal cada cierto tiempo. Este tiempo se conoce como periodo

(T) y normalmente es constante, es de gran importancia que el periodo de

muestreo se lo bastante pequeño para no perder información, así como para

evitar el efecto de aliansing.

De acuerdo al teorema del muestreo: una señal analógica con componentes

armonicos limitados por una frecuencia fmax puede ser reconstruida a partir desus muestras siempre que estas se tomen a intervalos de tiempo T<1/(2 ⋅fmax)

no obstante el enunciado del teorema implica una cierta idealización pues en

realidad:2

1. La mayoría de las señales no están estrictamente ilimitadas en

frecuencia, si bien la amplitud de sus armónicos decae para frecuencias

elevadas.

1

http://isa.umh.es/asignaturas/tcs/apuntes/muestreo_reconstruccion.pdf introducción pag.22 http://www.ing.unlp.edu.ar/controlm/electricista/archivos/apuntes/cap1.pdf contenido armónico de

la señal muestreada. Pag 8

http://isa.umh.es/asignaturas/tcs/apuntes/muestreo_reconstruccion.pdf



http://www.ing.unlp.edu.ar/controlm/electricista/archivos/apuntes/cap1.pdf







2. Aun en el caso de tener T<1/(2 ⋅fmax) seria necesario emplear un filtro

pasa bajos ideal para reconstruir la señal analógica, y este filtro no es

realizable

Por estos motivos el proceso de muestreo introduce una distorsión irreversible

(aliansing) y por ende, no es posible recuperar la señal original de forma

exacta. Cuanto menor sea el grado de cumplimiento de las condiciones del

teorema, mayor será la superposición de espectros contiguos.3

TEOREMA DEL MUESTREO

Consideremos una señal arbitraria g(t) de energía finita como la que se

muestra en la fig.1 . Supongamos que muestreamos la señal g(t) de forma

instantánea a una tasa uniforme cada segundos. Como resultado de este

proceso se obtiene una secuencia de números espaciados y que podemos

denotar mediante {g(n )}, donde se pueden tomar cualquier valor entero,

es el periodo de muestreo y = 1/ es la frecuencia de muestreo. Esta

forma ideal de muestreo recibe el nombre de muestreo intantaneo.4

Sea la señal obtenida multiplicando la secuencia de números {g(n )},

por un tren de deltas espaciados , entonces se puede expresar según la

ecuacion:

(1)

A se la denomina señal muestreada ideal. En la figura 2 se puede ver el

Resultado de este tipo de muestreo aplicado a la señal de la figura 1. De formaequivalente se puede expresar como el producto de la señal original g(t)por la función de muestreo ideal {g(n )}, con periodo según la ecuación(2)

(2)

3 http://www.ing.unlp.edu.ar/controlm/electricista/archivos/apuntes/cap1.pdf contenido armonico de

la señal muestreada. Pag 8

4 http://www.lpi.tel.uva.es/~santi/slweb/muestreo.pdf teorema del muestreo pag 1




http://www.lpi.tel.uva.es/~santi/slweb/muestreo.pdf







Se puede determinar la transformada de Fourier de la señal muestreada convolucionando la transformada de Fourier de g(t) con la transformada deFourier de la función de muestreo ideal δ(t) que viene dada por la ecuación(3). Entonces si G(f) es la transformada de Fourier de g(t), la transformada deFourier de la señal muestreada viene dada por la ecuación (4). Si

intercambiamos el orden del sumatorio y la convolución se obtiene la ecuación(5). La convolución de una señal cualquiera con una delta desplazada,desplaza la señal según la ecuación (6), por lo que se tiene finalmente laecuación (7).5

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Representa un espectro continuo periódico con periodo = 1/ . Sepuede decir entonces que el proceso de muestreo uniforme de una señal en eldominio del tiempo da lugar a un espectro periódico en el dominio de lafrecuencia con periodo igual a la frecuencia de muestreo.6 A partir de la ecuación (1) tomando transformada de Fourier en ambos lados seobtiene la ecuación (8). Esta ecuación se puede ver como una representaciónen serie compleja de Fourier de la señal periódica en la frecuencia ,siendo los coeficientes complejos de la expansión la secuencia de muestras{g(n )}, por lo que se tiene la ecuación (9), que es la ecuación análisis de la

expansión en serie compleja de Fourier de una señal. Hay que tener en cuentaque en las ecuaciones (8) y (9) se han intercambiado el papel habitual deltiempo y de la frecuencia.

(8)

(9)













Todas las relaciones anteriores se pueden aplicar a cualquier señal continuag(t) de energía finita y de duración finita. Vamos a suponer ahora que la señales estrictamente limitada a la banda W, es decir, la transformada de FourierG(f) de la señal g(t) no tiene componentes frecuenciales fuera de |f| < W. En lafigura 3 podemos ver el espectro G(f) limitado a la banda W. La forma de este

espectro se considera triangular para simplificar las figuras, pero en la prácticapuede tener cualquier otra forma.7 Vamos a suponer que se elige un periodo de muestreo = 1/ 2W o lo que eslo mismo, una tasa de muestreo = 2W. En este caso se puede ver el espectrode (f) en la figura 4. En este caso la ecuación (8) se puede volver a escribirsegún la ecuación (10). 8

(10)

Comparando las figuras 3 y 4 se puede comprobar que se puede recuperar elespectro original G (f) a partir del espectro de la señal muestreada (f) segúnla ecuación (11). Juntando las ecuaciones (10) y (11) se tiene la ecuación (12).9

(11)

(12)

Si se conoce el valor de todas las muestras {g(n/2W)} de la señal g (t),entonces la transformada de Fourier G (f) de la señal g (t) esta unívocamentedeterminada por la representación en serie de Fourier de la ecuación (12).Además puesto que g (t) se puede determinar a partir de su espectro G (f)utilizando la transformada inversa de Fourier, la señal original g (t) está tambiénunívocamente determinada por las muestras. En otras palabras, la secuenciacontiene toda la información de la señal g (t).


8

http://www.lpi.tel.uva.es/~santi/slweb/muestreo.pdf teorema del muestreo pag 39 http://www.lpi.tel.uva.es/~santi/slweb/muestreo.pdf teorema del muestreo pag 3















Vamos a considerar ahora el problema de recuperar la señal g(t) a partir de lasmuestras {g(n/2W)}.Usando la ecuación (12) y la expresión de la transformadainversa de Fourier se puede escribir el desarrollo de la ecuación (13). Siintercambiamos el orden del sumatorio y la integral en la ecuación anterior sepuede escribir la ecuación (14). La integral de la derecha de esta ecuación es

inmediata y se puede calcular directamente obteniéndose finalmente laecuación (15).

(13)

(14)

(15)La ecuación (15) se conoce como fórmula de interpolación para reconstruir laseñal original g (t) a partir de las muestras {g(n/2W)}, siendo la funciónsinc(2Wt) la función interpoladora. Cada muestra se multiplica por una versiónretardada de la función interpoladora y el resultado se suma para obtener laseñal original g (t). Se puede ver que esta ecuación representa la respuesta deun filtro paso bajo ideal de ancho de banda W, con retardo cero y cuya entradaes la señal muestreada (t). Esto se puede comprobar de forma intuitivaviendo los espectros (f) y G(f) en las figuras 3 y 4 ´o a partir de la ecuación(11). En la figura 5 se puede ver la función de transferencia del filtro deReconstrucción. En la figura 6 se puede ver esquemáticamente el proceso derecuperación de la señal original g(t) a partir de las secuencia demuestras{g(n/2W)}.10








Vamos a ver otra interpretación de la fórmula de interpolación dada por laecuación (15) utilizando la propiedad de que la función interpoladoradesplazada sinc (2Wt − n) forma una familia de funciones mutuamenteortogonales. Vamos a comenzar probando esta última afirmación en primerlugar. Vamos a considerar una versión generalizada del teorema de energía deRayleigh dada por la ecuación (16), siendo g1 (t) y g2 (t) dos señales deenergía cualesquiera y G1(f) y G2(f) sus transformadas de Fourier,respectivamente. Vamos a aplicar este teorema a las señales que nos interesa

según las ecuaciones (17) y (18), siendo n y m dos enteros cualesquiera.Utilizando la transformada inmediata dada por la ecuación (19) y la propiedadde la transformada de Fourier de desplazamiento temporal se puede llegar alas ecuaciones (20) y (21).11

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)Usando ahora la relación dada por la ecuación (16) se obtiene la ecuación (22).El resultado de esta ecuación es 1/2W para n = m y cero en el resto, es decir,se tiene finalmente la ecuación (23), con lo que queda demostrado que lafamilia de funciones sinc (2Wt − n) es ortogonal.








(22)

(23)La ecuación (15) representa entonces la expansión de la señal g (t) como lasuma infinita de funciones ortogonales cuyos coeficientes son las muestras dela señal {g(n/2W)}. Utilizando la propiedad de ortogonalidad de estas funcionesdada por la ecuación (23) se puede llegar a la expresión dada por la ecuación(24) para las muestras de la señal. Los coeficientes de esta expansión{g(n/2W)} se pueden ver como una coordenada en un espacio de señal de

dimensión infinita cuyos ejes son ortogonales y corresponden a las funcionessinc (2Wt−n). Cada punto de este espacio corresponde a una señal g(t) y cadaseñal g(t) a un punto.

(24)Se puede enunciar el teorema de muestreo o teorema de Nyquist para señalesLimitadas en banda de energía finita de dos modos:

Una señal limitada en banda de energía que no tiene componentes afrecuencias mayores que W Hz se puede representar de forma exacta

especificando los valores de la se˜nal en instantes de tiempo separadosTs = 1/2W segundos.

Una señal limitada en banda de energía sin componentes frecuencialessuperiores a W Hz se puede recuperar de forma exacta a partir de susmuestras tomadas a una tasa de fs = 2W muestras por segundo.

La tasa de muestreo fs = 2W definida para una señal con ancho de banda W sedenomina tasa de Nyquist. El teorema de muestreo es la base de laequivalencia entre señales analógicas y digitales.El teorema de muestreo se basa en la suposición de que la señal g(t) seaestrictamente limitada en banda. Esto sólo se satisface si g(t) tiene duración

infinita. Es decir, una señal estrictamente limitada en banda no puede sersimultáneamente estrictamente limitada en tiempo y viceversa. Sin embargo, seva a poder aplicar en la practica el teorema de muestreo a señales limitadastemporalmente cuando ´estas sean esencialmente limitadas en banda en elsentido de que fuera de la banda de interés el valor que toma el espectro no esrelevante. Esto justifica la aplicación práctica del teorema de muestreo.12








RECONSTRUCCION DE SEÑALES

Existen diversas maneras de interpolar y extrapolar una señal discreta a los

efectos de obtener una señal analógica. Aquí, sólo se considera elreconstructor de orden cero, que es aquel que mantiene constante, en susalida, el último valor de la muestra de entrada. Este reconstructor es el másempleado en aplicaciones de control automático.

Reconstructor de orden cero.Una alternativa para calcular esta función de transferencia es, directamentecalcular la transformada de La place de la respuesta impulsional (h(t)) delReconstructor ante una excitación impulsional (figura 1.9).

Luego:

La respuesta en frecuencia del reconstructor de orden cero puede ser obtenidaa partir del siguiente desarrollo:

Luego:



Y teniendo presente que:

Resulta:

Siendo:

La figura 1.10 muestra las curvas del modulo y fase de la respuesta enfrecuencia. Se obtiene la característica pasabajos que presenta el reconstructorde orden cero, esta característica hace que a la salida de recontructorpredominen las componentes de baja frecuencia de la señal muestreada (esdecir básicamente las que corresponden a la banda base). Debido a que la

ganancia no es constante en el rango de las frecuencias y a que laatenuación no es infinita para las frecuencias de las bandas superiores, es quela señal reconstruida difiere de la muestreada (fig 1.3)13

13 http://www.ing.unlp.edu.ar/controlm/electricista/archivos/apuntes/cap1.pdf reconstruccion de

señales . Pag 10







TEOREMA DE MUESTREO DE NYQUIST-SHANNON

El teorema trata con el muestreo, que no debe ser confundido o asociado conla cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de unaseñal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida

de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico,que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido decuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestrasdiscretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo otruncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sidocuantificadas.

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una

señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es

matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de

muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que

cumple el criterio anterior está descrita por la serie total de muestras que

resultaron del proceso de muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de

la señal entre muestras que no esté perfectamente definido por la serie total de

muestras.

Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógicaes y la señal se muestrea a una tasa ,

entonces se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras

mediante la siguiente función de interpolación:

Así, se puede expresar como:

Donde son las muestras de .

Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es

sinónimo del valor de la frecuencia más alta en la señal de interés. A las

señales para las cuales esto sí es cierto se les llama señales de banda base, y



no todas las señales comparten tal característica (por ejemplo, las ondas

de radio en frecuencia modulada).

Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con

otras (el llamado aliasing).

Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua)

con sólo cinco muestras. Cada ciclo se compone de sólo 3 muestras a 44100

muestras por segundo. La reconstrucción teórica resulta de la suma ponderada

de la función de interpolación g(t) y sus versiones correspondientes

desplazadas en el tiempo g(t-nT) con , donde los coeficientes

de ponderación son las muestras x(n). En esta imagen cada función de

interpolación está representada con un color (en total, cinco) y están

ponderadas al valor de su correspondiente muestra (el máximo de cada función

pasa por un punto azul que representa la muestra).

CONCLUSION

El presente trabajo nos introduce a la materia de discretizacion de señales al

tiempo que nos presenta una guía para su entendimiento y utilización de los

teoremas, el uso de convertidores a/d, d/a asi como nos permite entender el

por que mas velocidad de muestreo no necesariamente mejor para poder

volver a hacer la señal analógica pero si influye en el uso de memoria de la

cpu.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sinusoidal14700Hz.png

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Sinusoidal14700Hz.png



BIBLIOGRAFIAhttpwww.isa.uniovi.es~aroblesra2pdfmues.pdf

http://www.isa.uma.es/C14/Presentaciones%20de%20Clase%20(ppt)/Document%20Library/TECNICAS%20DE%20MUESTREO%20Y%20RECONSTRUCCION.pdf

http://dsp1.materia.unsl.edu.ar/Muestreo%20y%20Reconstruccion%20Ejercicios.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_muestreo_de_Nyquist-Shannon

https://polimedia.upv.es/visor/?id=9e8f6815-a4fa-7148-ad09-f261759f4036

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_muestreo_de_Nyquist-Shannon

http://www.lavryengineering.com/documents/Sampling_Theory.pdf


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