muestreo de sistemas en espacio de estados1
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MUESTREO DE SISTEMAS EN ESPACIO DE ESTADOSJuan Salamanca PhD.I. IntroduccinEn esta seccin se ilustra el muestreo de sistemas lineales invariantes con entrada generada mediante retenedor de orden cero. Para este caso modelamos el sistema dinmico por medio espacio de estados. Consideraremos luego el caso de sistemas con retardo de transporte. Finalmente se consideraran sistemas no lineales y la posible forma como podramos muestrearlos. El objetivo en todos los casos es llegar a obtener un modelo en espacios de estado discreto que nos sirva para analizar el sistema desde un punto de vista discreto y disear y aplicar controladores digitales.II. Fundamentos tericosIniciamos con los modelos lineales invariantes en el tiempo.Sea el modelo
El modelo en espacios de estado se puede expresar grficamente como:
C
B AU(t)Y(t)+-
La solucin a la ecuacin en espacio de estados esta dada por:
Es la matriz de transicin de estado
Cuando
Cuando tenemos
Cuando
Por otro lado tenemos
Por comparacin suponiendo invertible
Esto se corrobora por que
Lo anterior se puede generalizar
Cuando
Aplicando la transformada de Laplace
De la ecuacin
Aplicando
Por comparacin
Como aplicando tenemos
La matriz de transferencia se obtiene haciendo
En la mayora de los casos tenemos
III. Entrada generada mediante ZOHSupongamos que ahora el vector de entrada se genera mediante un retenedor de orden cero.
Procedemos ahora a evaluar
Sea
Sea
Para el caso de n = m+1 tenemos:
En resumen se tienePara n m + 2
Si n = m + 1 tendremos:
Para realizar el muestreo del estado procedemos como se indica en el siguiente grafico:
ZOHTm
Figura 2. Muestreo de sistemas en espacios de estado.
Tomamos para este caso se tiene
El modelo discreto se puede escribir como
De forma anloga al caso continuo se puede obtener una matriz de transicin de estado. Para ello hacemos El modelo discreto autnomo queda:
Procediendo de forma recursiva tenemos:
Es la matriz de transicin de estado discreto.Retomando el modelo en espacio de estados con entrada diferente de cero
En forma recursiva tenemos:
Esta expresin es anloga al modelo de tiempo continuo.Retomando el modelo en espacio de estados discreto podemos obtener la matriz de transferencia discreta
Tomando la transformada Z del modelo tenemos
Tomando condiciones iniciales iguales a cero obtenemos
Es la matriz de transferencia discreta del sistema.
Ejemplos1. Consideremos el sistema de tiempo continuo dado por el modelo en espacio de estados continuo
Obtengamos la matriz de transicin de estado continua, la matriz de transicin de estados discreta, el modelo en espacio de estados discreto y la funcin de transferencia discreta.i) Matriz de transicin de estados continuos
ii) Matriz de transicin de estados discreta
Se obtiene a partir de
es la Matriz de transicin discretaiii) Modelo en espacio de estados discreto
El modelo en espacios de estado discreto queda
iv) La funcin de transferencias de pulso queda
2. Servomotor DC
Consideremos el modelo del servomotor dado por su funcin de transferencia
Obtengamos un modelo en espacio de estados continuo, su matriz de transicin de estados continua, la matriz de transicin de estados discreta, in modelo de espacio de estado discreto para entrada generada mediante ZOH y la correspondiente funcin de transferencia discreta. Analicemos los ceros y los polos en tiempo continuo y discreto.Modelo en espacios de estado continuoTomando las variables de estado.
De la funcin de transferencia tenemos:
En el dominio del tiempo tenemos:
El modelo en espacio de estado queda
En forma vectorial matricial tenemos
En forma compacta tenemos
ii). Matriz de transicin de estados continua
De forma sucesiva tenemos
iii) Matriz de transferencia discreta
Un programa en Matlab para obtener el modelo en espacio de estados y la correspondiente funcin de transferencia es el siguiente:clcKc =2.3;Tc = 0.035;Ac = [ 0 1;0 -1/Tc];Bc = [0;Kc/Tc];Cc = [ 1 0;0 1];Dc = [0 0]';Tm = 0.01;[Ad,Bd,Cd,Dd] = c2dm(Ac,Bc,Cc,Dc,Tm,'zoh')sys = ss(Ad,Bd,Cd,Dd,Tm);tf(sys) 3. Modelo de segundo orden
i) Modelo en espacio de estados en tiempo continuo
En el dominio del tiempo tenemos:
Definimos
Aqu se tiene
ii) Matriz de transicin de estados en tiempo discreto
iii) . Modelo discreto en espacios de estado
Sea
Con lo anterior tenemos
El modelo en espacio de estados discreto queda
iv) Funcin de transferencia de pulsosLa funcin de transferencia de pulsos queda
La ecuacin caracterstica discreta queda
Que genera los polos
Con respecto a los ceros tenemos