método simplex completoen la matriz b la columna de la variable que tuvo el ÷÷ ø ö çç è æ...

Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 1

METODO SIMPLEX



Contenido EL MÉTODO SIMPLEX ................................................................................................... 3

Procedimiento del Método Simplex para la Forma Matricial ......................................... 3 Ejemplo: .......................................................................................................................... 5 Formato general de la tabla para el Método Simplex ..................................................... 9

Ejemplo: ...................................................................................................................... 9 Forma tabular del libro de Mokthar Bazara .................................................................. 11 Identificar B inversa en la tabla optima. ..................................................................... 11

MÉTODO DE LA “M” ..................................................................................................... 13 Ejemplo: ........................................................................................................................ 14

MÉTODO DE LAS DOS FASES .................................................................................... 16 Ejemplo: ........................................................................................................................ 17

DEGENERACIÓN ........................................................................................................... 20 Ejemplo: ........................................................................................................................ 20

CICLAJE .......................................................................................................................... 21 Ejemplo: ........................................................................................................................ 22

METODO LEXICOGRAFICO ........................................................................................ 24 Ejemplo: ........................................................................................................................ 24

SOLUCIÓN ILIMITADA ................................................................................................ 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26

SOLUCIÓN MÚLTIPLE ................................................................................................. 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26

CONVERSIÓN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN ............................................................................................................ 28 PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO .................................................................. 29

Ejemplo 1: ..................................................................................................................... 30 Ejemplo 2: ..................................................................................................................... 32 Ejemplo 3: ..................................................................................................................... 34



TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX EL MÉTODO SIMPLEX Es un procedimiento general para encontrar la solución óptima a problemas de Programación Lineal. Este método logra la solución óptima en un número finito de pasos, la demostración de esto es lo que se pretende realizar. Para el desarrollo de éste método son necesarias algunas definiciones: Solución: Cualquier conjunto de variables jx que satisfacen las restricciones del problema ( bAx = ). Solución factible: Cualquier solución que satisface la no-negatividad de las restricciones ( 0³jx ). Solución básica: En un sistema de m ecuaciones lineales con n variables bAx = ( nm < ) cuyo rango mAR =)( ; una solución es obtenida haciendo mn - variables igual a cero y resolviendo para las m variables restantes, siempre y cuando el determinante de los coeficientes de estas m variables no seas cero. Las m variables se llaman variables básicas (la solución resultante a este sistema, se le llama solución básica). Solución básica factible: Es una solución básica en la cual todas las m variables básicas son mayores o iguales que cero ( 0³jx ). Degeneración: Una solución básica bAx = es degenerada si una o más variables básicas son iguales a cero (más de mn - variables iguales a cero). Procedimiento del Método Simplex para la Forma Matricial Primero Partiendo de un problema de Programación Lineal que se encuentra en la forma estándar, se determinan las matrices A, b, B, Cj, CB, y XB Donde: A es la matriz de coeficientes de las variables en las restricciones b es el lado derecho de las restricciones (limitaciones ) B es la matriz que proporciona la Solución Inicial Básica Factible y esta formada por las columnas de las variables básicas, es decir aquellas que están en solución. Cj son los coeficientes de las variables en la función objetivo CB son los coeficientes de las variables básicas en la Función Objetivo. XB son los valores de las variables básicas que dan la solución al problema. Segundo Se obtiene B Inversa ( B-1 ). Ya sea por el Método de Cofactores o por el Método de



Gauss-Jordan Tercero Se obtiene XB, donde

bBX B1-= BB XCZ =

Cuarto Determinar la variable que entra en la base de solución Se obtienen los Zj-Cj para las variables No-básicas donde

jBj YCZ = y jj aBY-

-= 1 Las Yj de las variables básicas forman las columnas de la matriz identidad y las Zj-Cj de las variables básicas son cero. Las Yj son las columnas actualizadas a las transformaciones de renglón de la matriz A para generar la columna de la matriz identidad que aporta la columna de la variable que entra en solución. Para un problema de Maximización Entra la variable que tenga el más negativo Zj-Cj y se alcanza la solución óptima cuando todos los valores sean positivos en el análisis de Zj-Cj Para un problema de Minimización Entra la variable que tenga el más positivo Zj-Cj y se alcanza la solución óptima cuando todos los valores sean negativos en el análisis de Zj-Cj Cj-Zj es el beneficio que se tendrá en Z por cada unidad de valor que tenga la variable que entra en solución (Xr) Quinto Determinar la variable que sale de solución Se analiza cada columna de las variables No-básicas junto con el valor de las variables básicas XB. Sale de solución aquella variable que tenga el

÷÷ø

öççè

æ>=÷÷

ø

öççè

æ> 0,.....,,0,

2

2

1

1ir

r

B

r

Bir

ir

Bi YdondeY

X

Y

XMinYdonde

Y

XMin ,

donde r corresponde a la columna de la variable que entra en la solución Sexto La columna de la variable que entra en solución deberá aportar la columna de la matriz identidad.



En la matriz B la columna de la variable que tuvo el ÷÷ø

öççè

æ

ir

Bi

Y

XMin abandona la base de

solución y entra en su lugar la columna de la variable r. Séptimo Regresar al paso 2, hasta que se cumpla el criterio de optimización, considerado en el paso 4. Ejemplo:

0,

1025

1553

:a sujeto ,35Max

canónica Forma

21

21

21

21

³£+£+

+=

xx

xx

xx

xxZ

holgura de lesson variab ,y 0,,

1025

1553

:a sujeto ,35Max

estándar Forma

434321

421

321

21

xxxxxx

xxx

xxx

xxZ

³=++=++

+=

[ ]0035=jC que las columnas de 3a y 4a forman las Dado

columnas de la matriz identidad ( 3x y 4x son variables básicas), hacemos que:

31 ab = y 42 ab =

úû

ùêë

é=

10

01B ú

û

ùêë

é=-

10

011B

0 10

15

10

15

10

0121

24

131 ===¬=¬

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é== - xx

xx

xxbBx

B

B

B

El valor de la función objetivo Z es:

[ ] 010

1500 =ú

û

ùêë

é== BBxCZ

Analizando la variable que entra en solución:

úû

ùêë

é=

10

15b ú

û

ùêë

é=

1025

0153A



21

11

11

1 5

3

5

3

10

01

y

yaBy

¬¬úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é== -

22

12

21

2 2

5

2

5

10

01

y

yaBy

¬¬úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é== -

[ ] 05

30011 =ú

û

ùêë

é== yCz B [ ] 02

50022 =ú

û

ùêë

é== yCz B

0 0, rjrj

Bi yy

xMin 1 2

1 2

, , 0B B rjj j

x xy

y y

ì üï ï> =í ýï ïî þ

Min21

4

510

510

,3

15y

x¬

þýü

îíì=

þýü

îíì

Será el valor de la variable entrante en la solución en la tabla siguiente, por lo que 4x sale de solución. (Donde r es la fila en cuestión y j corresponde a la variable que entra en solución.) y el próximo valor Z ( Z mejorada) será:

10)05(5

100)(ˆ 11

21

4 =-+=-+= zcy

xZZ

el jj zc - es una razón de cambio, por cada unidad que tenga la variable entrante a la solución, la función objetivo se verá mejorada en jj zc - unidades. ahora si 31 ab = y 12 ab = tenemos:

úû

ùêë

é=

50

31B ú

û

ùêë

é -=-

510

5311B

0 2

9

10

15

510

53142

21

131 ===¬=¬

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é -== - xx

xx

xxbBx

B

B

B

El valor de la función objetivo Z es:

( ) 102

950 =ú

û

ùêë

é== BBxCZ




22

12

21

2 52

519

2

5

510

531

y

yaBy

¬¬úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é -== -

24

14

41

4 51

53

1

0

510

531

y

yaBy

¬¬úû

ùêë

é-=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é -== -

[ ] 252

5195022 =ú

û

ùêë

é== ycz B , [ ] 151

535044 =ú

û

ùêë

é-== ycz B

13222 -=-=- cz , 10144 =-=- cz se toma nuevamente aquella variable que tenga el jj cz - más negativo, correspondiendo a 2x salir de solución. Se analiza ahora la variable que abandonará la solución;

=rj

Br

y

xMin

12

3

5199

0,52

2,

5199

y

xyij ¬

þýü

îíì

=þýü

îíì

>

por lo que 3x sale de solución. y el próximo valor de Z ( Z mejorada) será:

22 2

12

235ˆ ( ) 10 45 19(3 2)19

xZ Z c z

y= + - = + - =

Nuevamente continuando con este proceso iterativo, ahora haciendo 21 ab = y 12 ab = , tenemos:

úû

ùêë

é=

52

35B y ú

û

ùêë

é-

-=-

195192

1931951B

0 ,1920

1945

10

15

195192

19319543

21

121 ===¬=¬

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é-

-== - xx

xx

xxbBx

B

BB

Ahora el valor de la función objetivo es:

( ) 19/23519/29

19/4553 =÷÷

ø

öççè

æ== BB xCZ


23

13

31

3 192

195

0

1

195192

193195

y

yaBy

¬¬úû

ùêë

é-

=úû

ùêë

éúû

ùêë

é-

-== -



24

14

41

4 195

193

1

0

195192

193195

y

yaBy

¬¬úû

ùêë

é-=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é-

-== -

[ ] 19519101915192

1955333 =-=ú

û

ùêë

é-

== yCz B

[ ] 19161925199195

1935344 =+-=ú

û

ùêë

é-== yCz B

195019533 =-=- cz 19160191644 =-=- cz encontramos que como todos los valores de jj cz - son mayores que cero, entonces ninguna otra variable entrará en solución ya que ésta es óptima. Así la solución óptima será:

[ ] 192351920

194553 =ú

û

ùêë

é== BB xCZ

por lo que 2x y 1x son variables básicas úû

ùêë

é=

1920

1945Bx , ya que con estos valores la

función objetivo es óptima ( *2 3 51 9

Z = ).



Formato general de la tabla para el Método Simplex

jc 1c 2c 3c L nc

BC BX b 1x 2x 3x L nx rjBr yx | | | |

1a 2a 3a L na

| | | |

*Z jz

jj cz -

=BX Vector que representa la Solución Básica Factible. =BC Vector formado por los componentes de C correspondientes a la Solución Básica

Factible. =jc Vector de costos (coeficientes de las jx en la Función Objetivo).

BBj XCz =

jBBjj cXCcz -=- =rjy Componente del vector que va a formar parte de la nueva Solución Básica

Factible. =b Valor de las variables básicas (en solución). =*Z Valor actual de la Función Objetivo.

Ejemplo: Resolviendo el ejemplo anterior por la forma tabular, tenemos;

0,

1025

1553

:a sujeto ,35Max

21

21

21

21

³£+£+

+

xx

xx

xx

xx



Tabla 1 (Tabla Inicial)

soluciónen Entra

00350

0000

solución de Sale 5101025100

3150153150

0035

1

*44

3

4321

x

cz

zZ

xx

x

ybxxxxbXC

c

jj

j

rjBB

j

-

---

¬

Tabla 2

soluciónen Entra

101010

1025

5151052125

solución de Sale 1945531519090

0035

2

*1

33

4321

x

cz

zZ

x

xx

ybxxxxbXC

c

jj

j

rjBB

j

-

--

¬-

Tabla 3 (Tabla Final)

jj

j

rjBB

j

cz

zZ

x

x

ybxxxxbXC

c

-

--

19161950019235

191619500

1951920119205

1931951019453

0035

*1

2

4321

como todos los jj cz - son 0³ la solución es óptima.

03 =x , 19452 =x , 19201 =x y 19235* =Z

En resumen, se observa que:

1. En la fila zj-cj las posiciones que corresponden a las variables básicas tienen valor cero

2. Las columnas de las variables básicas forman la matriz identidad



Forma tabular del libro de Mokthar Bazara

Z 1x 2x 3x 4x 5x (L.D.)

jj cz - 1 -5 -3 0 0 0 ¬ Fila de jj cz -

3x 0 3 5 1 0 15

4x 0 5 2 0 1 10 Interpretación de la tabla del simplex

Z BX nX b

Z 1 0 NB CNBC -

-1 bBCB1-

BX 0 1 NB1- bB 1-

bBNXBX

bBCZ

XX

bNXBX

XCXCZ

Z

NB

B

NB

NB

NNBB

11

1

y

:desde

0,

0

:a sujeto Min

--

-

=+

=

³=+

=--

Identificar B inversa en la tabla optima. En la tabla final (óptima) para calcular las columnas que forman la 1-B ( B inversa) estas corresponderán a las columnas de las variables que en la tabla inicial aportarán las columnas para formar la matriz identidad. En el caso del problema usado como ejemplo

÷÷ø

öççè

æ=

52

35

12

B

xx

÷÷ø

öççè

æ-

-=-

195192

193195

1

43

B

xx

Otro ejemplo en el que se tengan en solución las siguientes variables, obtenemos su inversa.



Inicio

Leer el Problema Determinar si es un problema de Maximización o de Minimización

Añadir las Variables de Holgura y/o Artificiales para presentar el problema en la Forma Estándar

Escribir la Función Objetivo correspondiente Crear la tabla del Simplex correspondiente

Proceso de Solución de un Problema de Programación Lineal por el Método Simplex

Problema de: Maximización; ¿Son todos los valores de Zj-Cj ³ 0 ? Minimización; ¿Son todos los valores de Zj-Cj £ 0 ?

Solución Optima Maximización: Cuando todos los valores de Zj-Cj ³ 0. Minimización: Cuando Todos los valores de Zj-Cj £ 0. Obtener de la tabla los valores de las variables y de la función objetivo Z.

Determinar la variable que entra en solución: Para un problema de : Maximización; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas negativo. Minimización; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas positivo. Determinar la variable que sale de solución: Divida cada elemento del renglón de b entre el elemento correspondiente (mayor que cero) del renglón de la variable que entra en solución; y abandonara la solución aquella variable en XB que corresponda al cociente menor. Establezca como elemento pivote aquél que se encuentre en el cruce del renglón de la variable entrante y la columna de la variable saliente. Genere en esta posición la unidad y ceros en los elementos restantes de la columna de la variable entrante ( en este proceso de Gauss-Jordan se actualiza la tabla).

Si No

Continuar el proceso



MÉTODO DE LA “M” Este método es utilizado cuando existe la necesidad de introducir variables artificiales (xa ´s) con el objeto de generar una solución básica factible. Aplicando el Método Simplex para su solución, la función objetivo Z se ve alterada, ya que la contribución de las variables artificiales (coeficientes de las variables artificiales) es: - M para un problema de maximización. + M para un problema de minimización. Donde M es un valor muy grande (mucho mayor que cualquier coeficiente de las variables en la función objetivo) por ejemplo: M >>> 0. Como las variables artificiales no tienen ningún significado en el problema. Son definidas como un artificio (ya que es una conveniencia matemática para lograr la matriz identidad y así una solución inicial básica factible), y por lo cual ninguna variable artificial deberá formar parte de una solución básica factible. Para eliminar las variables artificiales de la solución, se les asigna en la función objetivo original coeficientes, tales que haga su presencia no atractiva en la base. Para ilustrar esto, suponga que deseamos resolver el siguiente problema de Programación Lineal, donde b ³ 0. Maximice CX Sujeto a: Ax = b x ³ 0. Si una conveniente base no es conocida, se introduce un vector artificial xa, lo que conduce al siguiente sistema: Ax + Xa = b x, Xa ³ 0 La solución inicial básica factible está dada por xa = b y x = 0. Para mostrar que se desea tener un vector artificial mayor que cero, la función objetivo es modificada de la forma que una penalización alta es pagada para cualquier solución. Minimice CX + MXa. Sujeto a: Ax + Xa = b x, Xa ³ 0 El método simplex por sí mismo, trata de eliminar las variables artificiales de la base, y entonces continua tratando de encontrar la solución optima a el problema original.



Ejemplo: Minimizar Z = x1 - 2x2 Sujeto a: x1 + x2 ³ 2 -x1 + x2 ³ 1 x2 £ 3 x1 y x2 ³ 0 transformando a la forma estándar tenemos : Minimizar Z = x1 - 2x2 - 0x3 - 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7 Sujeto a: x1 + x2 - x3 +x6 = 2 -x1 + x2 -x4 +x7 =1 x2 +x5 = 3 donde : Xh son variables de holgura. Xa Son variables artificiales. M es un número positivo muy grande. Tabla 1

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 2 1 1 -1 0 0 1 0 M X7 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 3 0 1 0 0 1 0 0 0 2M -M -M 0 M M Z= 3M -1 2+2M -M -M 0 0 0

Tabla 2

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 1 2 0 -1 1 0 1 -1 -2 X2 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 2 1 0 0 1 1 0 -1 2M+2 -2 -M M+2 0 M -2-M Z= -2+M 1+2M 0 -M M+2 0 0 -2-2M

Sale X7 de solución


Entra X2 en solución




Tabla 3 Cj 1 -2 0 0 0 M M

CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X1 1/2 1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2 -2 X2 3/2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 0 X5 3/2 0 0 1/2 1/2 1 -1/2 3/2 1 -2 1/2 5/2 0 -1/2 -3/2 Z= -5/2 0 0 1/2 5/2 0 -1/2-M -3/2-M

Tabla 4

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 1 2 2 -1 1 0 1 -1 -2 X2 2 1 1 -1 0 0 1 0 0 X5 1 -1 -1 1 0 1 -1 0 -2 -2 2 0 0 -2 0 Z= -4 -3 0 2 0 0 -2-M -M

Tabla 5

Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 2 1 0 0 1 1 0 -1 -2 X2 3 0 1 0 0 1 0 0 0 X3 1 -1 0 1 0 1 -1 0 0 -2 0 0 -2 0 0 Z= -6 -1 0 0 0 -2 -M -M

Como todos los zj-cj son £ 0 para todas las variables no-básicas. Esta tabla nos indica que esta solución es óptima. Teniendo el resultado siguiente x4 = 2, x2 = 3, x3 = 1 y las variables restantes son iguales a cero. Con un valor optimo de la función objetivo Z de -6.







MÉTODO DE LAS DOS FASES El problema del ejemplo anterior fue manejado en la forma regular después de que las variables artificiales habían sido añadidas. Existe una complicación en el método de la M, en el cual se debe asignar un valor M sin especificar exactamente qué valor es. Si un valor numérico específico fuera asignado a la M, este deberá ser mucho mayor que cualquier otro número que aparece en la función objetivo y probablemente no satisfaga todas las condiciones. Su propósito sería el de proveer una penalización para eliminar las variables artificiales de la base, ya que ellas realmente no pueden formar parte de la solución en un problema de la vida real. Un enfoque para evitar estas dificultades está incorporado o considerado en el método de dos fases. La primera fase consiste en convertir todas las variables artificiales en cero, para obtener una solución básica factible para las variables reales del problema. La segunda fase consiste en optimizar la función objetivo actual Z, iniciando de una solución básica factible que puede o no contener variables artificiales a nivel cero. FASE I Se inicia con una solución básica factible formada con algunas variables artificiales y con la finalidad de eliminar las variables artificiales. Se asigna a cada coeficiente de la variable artificial en la función objetivo un valor de la unidad (positiva o negativa, dependiendo de si es un problema de Minimización o de Maximización respectivamente) en lugar del valor M. A todas las variables restantes se les asigna un coeficiente cero (sin importar los coeficientes actuales del problema). Entonces en lugar de considerar la función objetivo actual. Se optimiza la función: Z = å is =1(± 1) XAi = (±XA1 ±XA2 ± XA3......±XAs) donde XA son las s variables artificiales (XA ³ 0) La fase I termina después de haber aplicado el Método Simplex, cuando: 1).- Z* = 0 Una o más variables están en la base a un nivel positivo. El problema original tiene una solución no factible. 2).- Z* = 0 Ninguna variable artificial está en la base. Se ha encontrado una solución básica factible al problema original. 3).- Z* ¹ 0 Una o más variables artificiales están en la base a un nivel cero (es decir que la b correspondiente a la variable artificial es igual a cero).



Se ha encontrado una solución factible al problema original. Debido a que algunas variables artificiales están en la base a un nivel cero, posiblemente haya redundancia en las ecuaciones restrictivas. La fase I termina cuando los elementos zj - cj son ³ 0 para un problema de Maximización y £ para un problema de Minimización. ANTES DE INICIAR LA FASE II a) Elimine todas las columnas correspondientes a las variables artificiales no básicas. b) Cheque redundancia (ecuaciones redundantes) en el problema original. El sistema de

ecuaciones original es Ax = b. Si una restricción (ecuación) puede ser obtenida como una combinación lineal de las otras, la restricción es redundante. Para localizar la existencia de ecuaciones redundantes observe en la tabla final de la fase I (después de haber eliminado las columnas correspondientes a las variables artificiales no básicas) si existe alguna fila cuyos elementos sean todos cero a excepción de un elemento 1 que corresponda a la columna de una variable artificial básica, entonces esto indicará que la fila es redundante, por lo tanto elimine la fila y la columna.

c) Elimine las variables artificiales en la base, en la tabla final de la fase I, estas variables estarán representadas por columnas que tienen elementos cero a excepción de un uno en la fila donde b=0. Seleccione uno de los elementos diferentes de cero en esta fila (debe de existir alguno, de otra forma esta fila se hubiera eliminado en el paso b). Este elemento elíjalo como pivote, transformando su columna correspondiente a tener el elemento 1 en el pivote, y cero en el resto de la columna (es decir, se genera en esa columna el vector necesario para eliminar la variable artificial de la solución.)

FASE II La primera tabla de la fase II, es la última tabla de la fase I, sufriendo los siguientes cambios; se reemplazan los coeficientes de la función objetivo por los coeficientes originales de las variables reales y después se calculan las filas zj y zj-cj. Una vez que se han realizado estos cambios, se aplica el Método Simplex nuevamente para optimizar la función objetivo Z. Ejemplo: Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 = 5 X1, X2, X3, X4, X5, X6 ³ 0 Expresándolo en la forma estándar, tenemos:



Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 +X7 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 + X8 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 + X9 = 5 X´s ³ 0, para toda X. Donde X7, X8 Y X9 son variables artificiales.

FASE I Tabla 1

Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 2 1 1 -1 1 -1 2 1 0 0 1 X8 3 2 -1 -1 -2 1 -1 0 1 0 1 X9 5 3 0 -2 -1 0 1 0 0 1 6 0 -4 -2 0 2 1 1 1 Zj Z= 6 0 -4 -2 0 2 0 0 0 Zj-Cj

Tabla 2

Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 1 -.5 0 0 X1 1.5 1 -.5 -.5 -1 .5 -.5 0 .5 0 1 X9 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 0 -1.5 1 0 3 -1 4 -3 5 1 -2 1 Zj Z= 0 3 -1 4 -3 5 0 -3 0 Zj-Cj

Tabla 3

Cj 1 -2 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 .4 -.2 0 0 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 .2 .4 0 1 X9 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 Zj Z= 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 0 Zj-Cj

Como todos los elementos en Zj-Cj son £ 0, la fase I esta terminada. El valor mínimo de la fase I es cero y por esto el problema es factible. Una solución factible para el problema original es (1.6, 0, 0, 0, 0, .2). Para establecer la tabla de la fase II; elimine las columnas 7







y 8, asigne los coeficientes originales en la función objetivo y calcule las entradas de la fila Zj-Cj (en la variable artificial cero).

Cj -1 0 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 0 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 0 0 X9 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj-Cj

Como todos los elementos en la tercera fila son cero, excepto por un 1 que representa la variable artificial X9, la fila es eliminada por ser redundante. Cheque en el problema original y encontrará que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras ecuaciones. Se elimina la fila 3 y la columna 7 (X9).

Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 -1 .2 .6 .6 -.2 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 Zj-Cj

Fin FASE I, principio de la FASE II FASE II

Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X4 .25 0 .75 -.25 1 -.75 1.25 -1 X1 1.75 1 -.25 -.75 0 .25 -.75 -1 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj Z= 1.75 0 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj-Cj

La columna muestra que el problema es ilimitado (los elementos en la columna correspondiente a la variable entrante son £ 0, yrj £ 0), por tanto la solución es ilimitada (Z = -a ).






i

DEGENERACIÓN Una solución básica a Ax = b es degenerada si una o más de las variables básicas son cero ( si alguna XB = 0). Una solución básica factible representa a b como una combinación lineal de m columnas de A. Cualquier base que incluya alguna columna de A que sea dependiente de la columna de b determinará una solución degenerada. Para saber en la tabla si existe degeneración, es suficiente con observar en la columna de b y saber si existe uno o más elementos iguales a cero. Cuando la degeneración se presenta, el proceso de selección de la variable saliente, en la mínima razón XBr/Yrk puede no ser única. Vector saliente de la base:

, 0BiBr i ikrk ik

xxy

y y

ì ü=



Tabla 1 Cj 0 1 0 0 -M

CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 -M X5 1 1 1 -1 0 1 0 X4 1 1/3 1 0 1 0 -M -M M 0 -M Zj Z= -M M M+1 -M 0 0 Cj-Zj

Tabla 2

Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X2 1 1 1 -1 0 1 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1 1 -1 0 1 Zj Z= 1 -1 0 1 0 -1-M Cj-Zj

Tabla 3

Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X5 1 1/3 1 0 1 0 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1/3 1 0 1 0 Zj

Z= 1 -1/3 0 0 -1 -M Cj-Zj La solución óptima es degenerada, ya que en XB hay una variable a nivel cero. Teniéndose que x2 = 1, x3 = 0 y Z* = 1. CICLAJE Cuando la degeneración se presenta, la función objetivo puede no cambiar cuando hay un cambio de una solución básica factible a otra. Entonces no se puede estar seguro que una base no se repita. En efecto, se puede caer en la situación en la cual se ciclaje el problema, repitiéndose las mismas secuencias de bases solución, y nunca alcanzar la solución optima.







Ejemplo: Minimizar Z = -2X4 -3X5 + X6 +12X7 Sujeto a : X1 - 2X4 - 9X5 + X6 + 9X7 = 0 X2 +1/3X4 + X5 - 1/3X6 - 2X7 = 0 X3 + 2X4 + 3X5 - X6 - 12X7 = 2 X´s ³ 0, para toda X. Tabla 1

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 0 0 -2 -9 1 9 0 X2 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 0 1 2 3 -1 -12 0 0 0 0 0 0 0 Z= 0 0 0 0 2 3 -1 -12

Tabla 2

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 -3 1 1 0 0 6 0 -3 -3 1 -3 1 6 Z= 0 0 -3 0 1 0 0 -6

Tabla 3

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 2 0 X3 2 -1 -12 1 0 0 3 15 -1 -12 0 -2 -3 3 15 Z= 0 -1 -12 0 0 0 2 3









Tabla 4 Cj 0 0 0 -2 -3 1 12

CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 -2 -2 0 1 9 1 0 12 X7 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 1 0 X3 2 0 -6 1 -2 -3 1 12 0 -6 0 -2 -3 2 12 Z= 0 0 -6 0 0 -3 1 0

Tabla 5

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X6 0 -2 9 0 1 9 1 0 12 X7 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 2 3 1 -1 -12 0 0 2 3 0 -3 -15 1 12 Z= 0 2 3 0 -1 -12 0 0

Tabla 6

Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X6 0 1 0 0 -2 -9 1 0 0 X2 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 1 0 1 -6 0 -3 1 0 0 -2 -9 1 0 Z= 0 1 0 0 1 -6 0 -12

Como X1 entra a la base, la nueva base estará formada por (X1, X2, X3), la cual ya fue obtenida en la tabla 1, teniéndose como resultado que el problema se ha ciclado.









METODO LEXICOGRAFICO

El problema de ciclaje puede ser resuelto utilizando una regla que rompa los empates en ( Brx / rjy ) para determinar la variable que abandona la solución. Esta regla es denominada lexicográfica y su procedimiento es el siguiente: Si cuando se realiza la prueba para determinar el vector correspondiente a la variable que sale de la base de solución, se tiene un empate, divida cada fila potencial (en empate) entre su similar en fila de la columna pivote.

tjtntjttjt

kjknkjkkjk

ijinijiiji

tjBttntjtt

kjBkknkjkk

ijBiinijii

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

yxaaaa

yxaaaa

yxaaaa

LLLLLL

LLLLLL

1

1

1

*

21

21

21

21

21

21

La columna señalada con * es la columna pivote (corresponde a la variable que entra en solución). Como las filas son linealmente independientes ningún par de filas divididas son idénticas. Encuentre la primera columna donde se rompa el empate. Ignorar todas las filas que no tengan el valor más bajo. Si únicamente una fila queda, esta será la fila pivote, si quedan más pruebe en las columnas adicionales. Ejemplo: Trabájese el ejemplo de ciclaje cubierto previamente y pártase de las tablas 2

1 2 3 4 5 6 7

1

5

3

0 0 0 2 3 1 12

0 0 1 9 0 1 0 2 9 0 1

3 0 0 1 0 1 3 1 1 3 2 0 1 3

0 2 0 3 2 1 0 0 6 2 1

0 3 0 1 3 1 6

0 0 3 0 1 0 0 6

j

B B Br rj

j

j j

c

c x b x x x x x x x x y

x

x

x

Z z

z c

- -

- -- - -

-- -- - -

Entra en Solución X7

Existe un empate entre estas 2 filas por lo que se deberán analizar con el método lexicográfico para determinar la variable que deberá abandonar la solución.



fila segunda312131

11310

311

310

fila primera19121011019117654321

----

xxxxxxx

Analizando de izquierda a derecha encontramos que en la primera columna se rompe el empate ya que la fila 2 es menor que la fila 1 (0 es menor que 1), por lo que sale de solución 5x .

jj

j

rjBrBB

j

cz

zZ

x

x

x

yxxxxxxxxbxc

c

--------

---------

--

01300600

12262060

12013016020

613103002

311106100

12132000

3

4

1

7654321

jj

j

rjBrBB

j

cz

zZ

x

x

x

yxxxxxxxxbxc

c

------

-----------

--

00001000

12132100

12013016021

600113022

304010120

12132000

6

4

1

7654321

Como todos los elementos en la fila jj cz - son menores o iguales que cero la solución es óptima. Observe que en la fila jj cz - existen 6 elementos iguales que cero,

por lo que existirá una solución múltiple. ( 3=m Si existen más de m elementos en la fila jj cz - iguales que cero, existe una solución básica factible múltiple). Es decir que cualquiera de las variables no-básicas que tienen un valor cero en la fila jj cz - puede entrar a formar parte de la solución y el valor de la función objetivo Z no cambiará.

Entra 6x en solución Sale de solución 3x



SOLUCIÓN ILIMITADA Esta ocurre cuando el espacio de soluciones factibles no está acotado y la función a optimizar puede mejorar indefinidamente. Esta situación se refleja en que todos los elementos en la columna correspondiente a la variable elegida a entrar en la solución (menor vector Zj - Cj £ 0, para un problema de Maximización) son no positivos (yrj £ 0). Ejemplo: Max Z=X1-X2+X3 Sujeto a: X1 + X2 + 2X3 ≥ 4 X1 - 2X2 + X3 ≥ 2 X’s ≥ 0 F.O. Max Z=X1-X2+X3 X1 + X2 + 2X3 - X4 = 4 X1 - 2X2 + X3 + X5 = 2 X’s ≥ 0 En cierta tabla encontramos qué

La Y4



Max Z = 40 X1 + 1000 X2 Sujeto a: 10 X1 + 5 X2 + X3 ≤ 250 4 X1 + 10 X2 + X4 ≤ 200 2 X1 + 3 X2 + X5 ≤ 900 X1, X2 ≥ 0 X3, X4, X5 Variables de holgura

Entra en solución x2 y sale x4

Como todos los valores Xbr son ≥ 0 se tiene la solución optima Z* = 2000 X3* = 150 X2* = 20 X5* = 80 Como Z1 – C1 =0 y corresponde a una variable no básica, entonces existe una solución optima múltiple. Esto significa que puede entrar X1 en solución y el valor de la función objetivo Z

* no cambia

Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 250 10 5 1 0 0 50 0 X4 200 4 10 0 1 0 20 0 X5 900 2 3 0 0 1 300 0 0 0 0 0 Zj -4 -100 0 0 0 Zj-Cj

Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 150 8 0 1 -1/2 0 150/8

100 X2 20 2/5 1 0 1/10 0 50 0 X5 840 4/5 0 0 -3/10 1 1050 40 100 0 10 0 Zj 0 0 0 10 0 Zj-Cj



Solución Óptima Z* = 2000 X1* = 150/8 X2* = 50/4 X5* = 1650/2 CONVERSIÓN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN Sea f una serie de puntos en la región de soluciones básicas factibles, elíjase una tal que: Min f = f*, entonces f* £ f y si pasamos f al lado izquierdo tenemos : f* - f £ 0 y multiplicando a la expresión por -1 -f* -(-f) ³ 0, -f* ³ f, además - f £ -f* de esto obtenemos que : Max (-f) = -f*, por lo tanto sustituyendo en 1 tenemos: Max (-f) = - Min f.

Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 40 X3 150/8 1 0 1/8 -1/16 0 100 X2 50/4 0 1 -1/20 1/8 0

0 X5 650/2 0 0 1/50 -2/5 1 40 100 0 15/9 0 Zj 0 0 0 15/9 0 Zj-Cj



PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO

Este método requiere una menor cantidad de cálculos, ya que realiza cálculos únicamente en los vectores de aquellas variables no-básicas y registra en memoria lo relativo a las variables básicas, 1-B , 1-BcB , Bx y BB xc (así como todos los valores iniciales cj, aij y b i).

Pasos: ¨ Determinar las variables básicas y formar B. ¨ Obtener 1-B . ¨ Obtener jjjj cwacz -=- . Donde

1-= BcW B Si 0£- jj cz para un problema de minimización o 0³- jj cz para un problema de maximización la solución es óptima y es el fin del proceso. Si esto no se cumple continúe el proceso.

¨ Determinar la variable que entra en solución (sea esta kx ) usando WA-C para toda variable no-básica ( jji caw - ).

¨ Se analiza Bikj

xy

(para toda i) para determinar que la variable sale de solución,

sea ésta fx . Ahora actualice la columna ka para que ésta aporte la columna de

la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx . ¨ Regresar al principio del proceso, realizar los cálculos necesarios para sacar de

la base a fx y meter a la misma kx (actualice la columna ka para que esta

aporte la columna de la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx ). Procedimiento: Si BB XcZ = donde ABX B

1-= , entonces ABcZ B1-= equivale a jBj aBcz

1-= y

si 1-= BcW B entonces ahora CZCWA -=- equivale a jjjji czcaw -=- .

Base de la inversa

Lado derecho

1W=c BB- CBXB

B-1

XB



Tablas en el proceso

kx

W BB XC kk cz -

1-B

Bm

B

B

x

x

x

M2

1

mk

k

k

y

y

y

M2

1

Ejemplo 1:

Max 21 35 xxZ +=

Sujeto a:

0,

1025

1553

21

21

21

³£+£+

xx

xx

xx

Así:

1 2 3 4

3 5 1 0

5 2 0 1

x x x x

Aé ù

= ê úë û

[ ]0035 =C úû

ùêë

é=

10

15 b

Analizando para todas las variables no-básicas:

[ ] [ ] [ ] 353525

5300

21

-=-úû

ùêë

é=-=- CWAcz

xx

jj

por lo que entra en solución 1x .

Tabla 1

1y

0 0 0 5-

10

01

10

15

4

3

x

x

5

3

4 Sale x¬ Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 4x ) se tiene:



1

3

2510

9531

1010

x

x-


[ ] [ ] [ ]

2 4

5 00 1 3 0 1 1

2 1j j

x x

z c WA Cé ù

- = - = - = -ê úë û

por lo que entra en solución 2x .

Tabla 2

1

3

2510

9531

1010

x

x-

2

3

1

19 5 Sale

2 5

y

x

-¬

Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 3x ) se tiene:

1920195192

1945193195

192351916195

--


[ ] [ ] [ ] ,19161950010

011916195

43

=-úû

ùêë

é=-=- CWAcz

xx

jj

Como todos los valores son mayores que cero la solución óptima se ha alcanzado.

Solución óptima:

1945

1920

19325

2

1

===

x

x

Z



Ejemplo 2: Método de la M

Min 21 23 xxZ +=

Sujeto a:

0,

3

634

33

21

21

21

21

³£+³+³+

xx

xx

xx

xx

3

634

3 3

521

7421

6321

=++=+-+=+-+

xxx

xxxx

xxxx

76 y xx son variables artificiales

Así:

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

0 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1- 0 3 4

0 1 0 0 1- 1 3

x 7654321

A

xxxxxx

[ ]MMC 00023= úúú

û

ù

êêê

ë

é=

3

6

3

b


[ ] [ ]

[ ] [ ][ ]MMMMCWAczcaBC

MMMMCWAczcaBC

MMCWAczcaBC

xxxx

jjjjB

jjjjB

jjjjB

----=-=-=-

---=-=-=-

-úúú

û

ù

êêê

ë

é=-=-=-

-

-

-

2437

002347

0023

0 0 1 1

1-0 3 4

0 1- 1 3

0

1

1

1

4321

Entra en solución 1x por tener el valor más positivo.



Tabla 1

1y

0MM M9 37 -M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

6

3

5

7

6

x

x

x

1

4

3

6 Sale x¬


21031

20134

10031

320134

--

++- MMM

Analizando para todas las variables no básicas:

[ ] [ ]

2 3 4 6

1

1

1 -1 0 1

4 3 1 0 4 0 -1 0 2 0 0

1 0 0 0

5 3 1 4 3

B j j j j

B j j j j

x x x x

C B a c z c WA C M M M

C B a c z c WA C M M

-

-

é ùê ú- = - = - = - + -ê úê úë û

- = - = - = + -[ ] [ ][ ]1

1 4 3 2 0 0

5 3 1 4 3 1 4 3 1B j j j j

M M M

C B a c z c WA C M M M M-- - - -

- = - = - = - - - - + Entra en solución 2x por tener el valor más positivo.

Tabla 2 2y

21031

20134

10031

320134

--

++- MMM

5

7

1

x

x

x

32

35

31

135 -M




5

2

1

5615251

5605354

5305153

52105351

x

x

x

--

-


[ ] [ ]

[ ] [ ]

3 4 6 7

1

1

1

-1 0 1 0

1 5 3 5 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 0 0

1 5 3 5 1 5 3 5 0 0

B j j j j

B j j j j

B j

x x x x



C B a

-

-

-

é ùê ú- = - = - = -ê úê úë û

- = - = - = - - -

- [ ] 1 5 3 5 1 5 3 5j j jc z c WA C M M= - = - = - - - -

Se ha alcanzado la solución óptima por ser todos los valores negativos.

Solución óptima:

1

2

5

21 5

3 5

6 5

6 5

Z

x

x

x

====

Ejemplo 3:

Método de las 2 Fases

Max 4321 2 xxxxZ -+-= Sujeto a:

0,,,

2332

64

4321

4321

4321

³³-++£-++

xxxx

xxxx

xxxx

233 2

6 4

764321

54321

=+--++=+-++

xxxxxx

xxxxx

0,,,,,, 7654321 ³xxxxxxx donde 65 y xx son variables de holgura y 7x es una variable artificial.

FASE I Así:



úû

ùêë

é=

1 1- 0 3- 3 1 2

0 0 1 1- 1 4 1

7654321

A

xxxxxxx [ ]1-000000=C ú

û

ùêë

é=

2

6b


[ ] [ ]

[ ]033-1-2-

1-00001 3- 3 1 2

0 1- 1 4 11-0

64321

=-=-

-úû

ùêë

é=-=-

CWAcz

CWAcz

xxxxx

jj

jj

Por lo que entra en solución 3x .

Tabla 1

3y

0 1- -2 3-

10

01

2

6

7

5

x

x

3

1

7 Sale x¬


0 0 0

31

31

0

1 -

32

316

3

5

x

x


[ ] [ ] [ ]

1 2 4 6 7

1 4 -1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

2 1 -3 -1 1j j

x x x x x

z c WA Cé ù

- = - = - - - =ê úë û

Como todos los valores son iguales a cero se ha alcanzado el final de la Fase I. FASE II Ahora [ ]0 0 1-1 2-5=C y se recalcula la tabla con los valores verdaderos de las jc .



[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

1 2 4 6

13

13 72 1 1 13 3 3 3 3 3

1 4 -1 00 5 -2 -1 0

2 1 -3 1

-1 5 -2 -1 0 0

j j

j j

x x x x

z c WA C

z c WA C -

é ù- = - = -ê ú

ë û- = - = - = -

Entra 1x en solución por tener el valor más negativo.

Tabla 2

1y

310 32 313

31

31

0

1 -

32

316

3

5

x

x

32

31

3 Sale x¬


250 - 5

21

21

0

1 -

1

5

1

5

x

x


[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]252132132125215-215252

5

6432

0 1-2-5

0 1-1 2-1 3-3 1

0 1- 1 40

----

-

=-=-=-

-úû

ùêë

é=-=-

CWAcz

CWAcz

xxxx

jj

jj

Entra 4x en solución por tener el valor más negativo.

4y

2/50 5 13-

2

21

21

0

1 -

1

5

1

5

x

x

23

21

- 5

Sale x¬




413 - 70

13

12

--

16

10

1

4

x

x


[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]403430 1-2-541-148

0 1-1 2-1- 3-3 1

0 1- 1 4413

6432

=-=-=-

-úû

ùêë

é-=-=-

CWAcz

CWAcz

xxxx

jj

jj

Como todos los valores son mayores que cero la solución óptima se ha alcanzado.

Solución óptima:

16

10

70

1*

4*

*

===

x

x

Z



¿Cómo calcular la reducción de costos de las variables básicas? z -c Waj j j jc= - donde j corresponde a las variables no-básicas ¿Cómo calcular la columna de yj asociada a la variable xj que entra en solución?

1y =B a k k-

¿Cómo actualizar 1B , W, c ,x B

-B ?

a) Seleccione la variable entrante xk

b) Seleccione la variable saliente xr , },, ,

min , > 0 Bir i kr k i k

xxy

y y

ìï= íïî

c) Agregue la columna de xk

kx W BB XC kk cz -

1-B

Bm

B

B

x

x

x

M2

1

mk

k

k

y

y

y

M2

1

d) Pivotee en yr,k

kx Nueva W Nuevo BB XC 0

Nueva 1-B kNueva x

0

1 fila r

0

M

método simplex completoen la matriz b la columna de la variable que tuvo el ÷÷ ø ö çç è æ...

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