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Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 1
METODO SIMPLEX
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Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 2
Contenido EL MÉTODO SIMPLEX ................................................................................................... 3
Procedimiento del Método Simplex para la Forma Matricial ......................................... 3 Ejemplo: .......................................................................................................................... 5 Formato general de la tabla para el Método Simplex ..................................................... 9
Ejemplo: ...................................................................................................................... 9 Forma tabular del libro de Mokthar Bazara .................................................................. 11 Identificar B inversa en la tabla optima. ..................................................................... 11
MÉTODO DE LA “M” ..................................................................................................... 13 Ejemplo: ........................................................................................................................ 14
MÉTODO DE LAS DOS FASES .................................................................................... 16 Ejemplo: ........................................................................................................................ 17
DEGENERACIÓN ........................................................................................................... 20 Ejemplo: ........................................................................................................................ 20
CICLAJE .......................................................................................................................... 21 Ejemplo: ........................................................................................................................ 22
METODO LEXICOGRAFICO ........................................................................................ 24 Ejemplo: ........................................................................................................................ 24
SOLUCIÓN ILIMITADA ................................................................................................ 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26
SOLUCIÓN MÚLTIPLE ................................................................................................. 26 Ejemplo: ........................................................................................................................ 26
CONVERSIÓN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN ............................................................................................................ 28 PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO .................................................................. 29
Ejemplo 1: ..................................................................................................................... 30 Ejemplo 2: ..................................................................................................................... 32 Ejemplo 3: ..................................................................................................................... 34
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TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX EL MÉTODO SIMPLEX Es un procedimiento general para encontrar la solución óptima a problemas de Programación Lineal. Este método logra la solución óptima en un número finito de pasos, la demostración de esto es lo que se pretende realizar. Para el desarrollo de éste método son necesarias algunas definiciones: Solución: Cualquier conjunto de variables jx que satisfacen las restricciones del problema ( bAx = ). Solución factible: Cualquier solución que satisface la no-negatividad de las restricciones ( 0³jx ). Solución básica: En un sistema de m ecuaciones lineales con n variables bAx = ( nm < ) cuyo rango mAR =)( ; una solución es obtenida haciendo mn - variables igual a cero y resolviendo para las m variables restantes, siempre y cuando el determinante de los coeficientes de estas m variables no seas cero. Las m variables se llaman variables básicas (la solución resultante a este sistema, se le llama solución básica). Solución básica factible: Es una solución básica en la cual todas las m variables básicas son mayores o iguales que cero ( 0³jx ). Degeneración: Una solución básica bAx = es degenerada si una o más variables básicas son iguales a cero (más de mn - variables iguales a cero). Procedimiento del Método Simplex para la Forma Matricial Primero Partiendo de un problema de Programación Lineal que se encuentra en la forma estándar, se determinan las matrices A, b, B, Cj, CB, y XB Donde: A es la matriz de coeficientes de las variables en las restricciones b es el lado derecho de las restricciones (limitaciones ) B es la matriz que proporciona la Solución Inicial Básica Factible y esta formada por las columnas de las variables básicas, es decir aquellas que están en solución. Cj son los coeficientes de las variables en la función objetivo CB son los coeficientes de las variables básicas en la Función Objetivo. XB son los valores de las variables básicas que dan la solución al problema. Segundo Se obtiene B Inversa ( B-1 ). Ya sea por el Método de Cofactores o por el Método de
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Gauss-Jordan Tercero Se obtiene XB, donde
bBX B1-= BB XCZ =
Cuarto Determinar la variable que entra en la base de solución Se obtienen los Zj-Cj para las variables No-básicas donde
jBj YCZ = y jj aBY-
-= 1 Las Yj de las variables básicas forman las columnas de la matriz identidad y las Zj-Cj de las variables básicas son cero. Las Yj son las columnas actualizadas a las transformaciones de renglón de la matriz A para generar la columna de la matriz identidad que aporta la columna de la variable que entra en solución. Para un problema de Maximización Entra la variable que tenga el más negativo Zj-Cj y se alcanza la solución óptima cuando todos los valores sean positivos en el análisis de Zj-Cj Para un problema de Minimización Entra la variable que tenga el más positivo Zj-Cj y se alcanza la solución óptima cuando todos los valores sean negativos en el análisis de Zj-Cj Cj-Zj es el beneficio que se tendrá en Z por cada unidad de valor que tenga la variable que entra en solución (Xr) Quinto Determinar la variable que sale de solución Se analiza cada columna de las variables No-básicas junto con el valor de las variables básicas XB. Sale de solución aquella variable que tenga el
÷÷ø
öççè
æ>=÷÷
ø
öççè
æ> 0,.....,,0,
2
2
1
1ir
r
B
r
Bir
ir
Bi YdondeY
X
Y
XMinYdonde
Y
XMin ,
donde r corresponde a la columna de la variable que entra en la solución Sexto La columna de la variable que entra en solución deberá aportar la columna de la matriz identidad.
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En la matriz B la columna de la variable que tuvo el ÷÷ø
öççè
æ
ir
Bi
Y
XMin abandona la base de
solución y entra en su lugar la columna de la variable r. Séptimo Regresar al paso 2, hasta que se cumpla el criterio de optimización, considerado en el paso 4. Ejemplo:
0,
1025
1553
:a sujeto ,35Max
canónica Forma
21
21
21
21
³£+£+
+=
xx
xx
xx
xxZ
holgura de lesson variab ,y 0,,
1025
1553
:a sujeto ,35Max
estándar Forma
434321
421
321
21
xxxxxx
xxx
xxx
xxZ
³=++=++
+=
[ ]0035=jC que las columnas de 3a y 4a forman las Dado
columnas de la matriz identidad ( 3x y 4x son variables básicas), hacemos que:
31 ab = y 42 ab =
úû
ùêë
é=
10
01B ú
û
ùêë
é=-
10
011B
0 10
15
10
15
10
0121
24
131 ===¬=¬
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é== - xx
xx
xxbBx
B
B
B
El valor de la función objetivo Z es:
[ ] 010
1500 =ú
û
ùêë
é== BBxCZ
Analizando la variable que entra en solución:
úû
ùêë
é=
10
15b ú
û
ùêë
é=
1025
0153A
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21
11
11
1 5
3
5
3
10
01
y
yaBy
¬¬úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é== -
22
12
21
2 2
5
2
5
10
01
y
yaBy
¬¬úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é== -
[ ] 05
30011 =ú
û
ùêë
é== yCz B [ ] 02
50022 =ú
û
ùêë
é== yCz B
0 0, rjrj
Bi yy
xMin 1 2
1 2
, , 0B B rjj j
x xy
y y
ì üï ï> =í ýï ïî þ
Min21
4
510
510
,3
15y
x¬
þýü
îíì=
þýü
îíì
Será el valor de la variable entrante en la solución en la tabla siguiente, por lo que 4x sale de solución. (Donde r es la fila en cuestión y j corresponde a la variable que entra en solución.) y el próximo valor Z ( Z mejorada) será:
10)05(5
100)(ˆ 11
21
4 =-+=-+= zcy
xZZ
el jj zc - es una razón de cambio, por cada unidad que tenga la variable entrante a la solución, la función objetivo se verá mejorada en jj zc - unidades. ahora si 31 ab = y 12 ab = tenemos:
úû
ùêë
é=
50
31B ú
û
ùêë
é -=-
510
5311B
0 2
9
10
15
510
53142
21
131 ===¬=¬
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é -== - xx
xx
xxbBx
B
B
B
El valor de la función objetivo Z es:
( ) 102
950 =ú
û
ùêë
é== BBxCZ
Analizando la variable que entra en solución:
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22
12
21
2 52
519
2
5
510
531
y
yaBy
¬¬úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é -== -
24
14
41
4 51
53
1
0
510
531
y
yaBy
¬¬úû
ùêë
é-=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é -== -
[ ] 252
5195022 =ú
û
ùêë
é== ycz B , [ ] 151
535044 =ú
û
ùêë
é-== ycz B
13222 -=-=- cz , 10144 =-=- cz se toma nuevamente aquella variable que tenga el jj cz - más negativo, correspondiendo a 2x salir de solución. Se analiza ahora la variable que abandonará la solución;
=rj
Br
y
xMin
12
3
5199
0,52
2,
5199
y
xyij ¬
þýü
îíì
=þýü
îíì
>
por lo que 3x sale de solución. y el próximo valor de Z ( Z mejorada) será:
22 2
12
235ˆ ( ) 10 45 19(3 2)19
xZ Z c z
y= + - = + - =
Nuevamente continuando con este proceso iterativo, ahora haciendo 21 ab = y 12 ab = , tenemos:
úû
ùêë
é=
52
35B y ú
û
ùêë
é-
-=-
195192
1931951B
0 ,1920
1945
10
15
195192
19319543
21
121 ===¬=¬
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é-
-== - xx
xx
xxbBx
B
BB
Ahora el valor de la función objetivo es:
( ) 19/23519/29
19/4553 =÷÷
ø
öççè
æ== BB xCZ
Analizando la variable que entra en solución:
23
13
31
3 192
195
0
1
195192
193195
y
yaBy
¬¬úû
ùêë
é-
=úû
ùêë
éúû
ùêë
é-
-== -
-
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M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 8
24
14
41
4 195
193
1
0
195192
193195
y
yaBy
¬¬úû
ùêë
é-=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é-
-== -
[ ] 19519101915192
1955333 =-=ú
û
ùêë
é-
== yCz B
[ ] 19161925199195
1935344 =+-=ú
û
ùêë
é-== yCz B
195019533 =-=- cz 19160191644 =-=- cz encontramos que como todos los valores de jj cz - son mayores que cero, entonces ninguna otra variable entrará en solución ya que ésta es óptima. Así la solución óptima será:
[ ] 192351920
194553 =ú
û
ùêë
é== BB xCZ
por lo que 2x y 1x son variables básicas úû
ùêë
é=
1920
1945Bx , ya que con estos valores la
función objetivo es óptima ( *2 3 51 9
Z = ).
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Formato general de la tabla para el Método Simplex
jc 1c 2c 3c L nc
BC BX b 1x 2x 3x L nx rjBr yx | | | |
1a 2a 3a L na
| | | |
*Z jz
jj cz -
=BX Vector que representa la Solución Básica Factible. =BC Vector formado por los componentes de C correspondientes a la Solución Básica
Factible. =jc Vector de costos (coeficientes de las jx en la Función Objetivo).
BBj XCz =
jBBjj cXCcz -=- =rjy Componente del vector que va a formar parte de la nueva Solución Básica
Factible. =b Valor de las variables básicas (en solución). =*Z Valor actual de la Función Objetivo.
Ejemplo: Resolviendo el ejemplo anterior por la forma tabular, tenemos;
0,
1025
1553
:a sujeto ,35Max
21
21
21
21
³£+£+
+
xx
xx
xx
xx
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Tabla 1 (Tabla Inicial)
soluciónen Entra
00350
0000
solución de Sale 5101025100
3150153150
0035
1
*44
3
4321
x
cz
zZ
xx
x
ybxxxxbXC
c
jj
j
rjBB
j
-
---
¬
Tabla 2
soluciónen Entra
101010
1025
5151052125
solución de Sale 1945531519090
0035
2
*1
33
4321
x
cz
zZ
x
xx
ybxxxxbXC
c
jj
j
rjBB
j
-
--
¬-
Tabla 3 (Tabla Final)
jj
j
rjBB
j
cz
zZ
x
x
ybxxxxbXC
c
-
--
19161950019235
191619500
1951920119205
1931951019453
0035
*1
2
4321
como todos los jj cz - son 0³ la solución es óptima.
03 =x , 19452 =x , 19201 =x y 19235* =Z
En resumen, se observa que:
1. En la fila zj-cj las posiciones que corresponden a las variables básicas tienen valor cero
2. Las columnas de las variables básicas forman la matriz identidad
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Forma tabular del libro de Mokthar Bazara
Z 1x 2x 3x 4x 5x (L.D.)
jj cz - 1 -5 -3 0 0 0 ¬ Fila de jj cz -
3x 0 3 5 1 0 15
4x 0 5 2 0 1 10 Interpretación de la tabla del simplex
Z BX nX b
Z 1 0 NB CNBC -
-1 bBCB1-
BX 0 1 NB1- bB 1-
bBNXBX
bBCZ
XX
bNXBX
XCXCZ
Z
NB
B
NB
NB
NNBB
11
1
y
:desde
0,
0
:a sujeto Min
--
-
=+
=
³=+
=--
Identificar B inversa en la tabla optima. En la tabla final (óptima) para calcular las columnas que forman la 1-B ( B inversa) estas corresponderán a las columnas de las variables que en la tabla inicial aportarán las columnas para formar la matriz identidad. En el caso del problema usado como ejemplo
÷÷ø
öççè
æ=
52
35
12
B
xx
÷÷ø
öççè
æ-
-=-
195192
193195
1
43
B
xx
Otro ejemplo en el que se tengan en solución las siguientes variables, obtenemos su inversa.
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Inicio
Leer el Problema Determinar si es un problema de Maximización o de Minimización
Añadir las Variables de Holgura y/o Artificiales para presentar el problema en la Forma Estándar
Escribir la Función Objetivo correspondiente Crear la tabla del Simplex correspondiente
Proceso de Solución de un Problema de Programación Lineal por el Método Simplex
Problema de: Maximización; ¿Son todos los valores de Zj-Cj ³ 0 ? Minimización; ¿Son todos los valores de Zj-Cj £ 0 ?
Solución Optima Maximización: Cuando todos los valores de Zj-Cj ³ 0. Minimización: Cuando Todos los valores de Zj-Cj £ 0. Obtener de la tabla los valores de las variables y de la función objetivo Z.
Determinar la variable que entra en solución: Para un problema de : Maximización; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas negativo. Minimización; Entra la variable que en la fila de Zj-Cj tenga el valor mas positivo. Determinar la variable que sale de solución: Divida cada elemento del renglón de b entre el elemento correspondiente (mayor que cero) del renglón de la variable que entra en solución; y abandonara la solución aquella variable en XB que corresponda al cociente menor. Establezca como elemento pivote aquél que se encuentre en el cruce del renglón de la variable entrante y la columna de la variable saliente. Genere en esta posición la unidad y ceros en los elementos restantes de la columna de la variable entrante ( en este proceso de Gauss-Jordan se actualiza la tabla).
Si No
Continuar el proceso
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MÉTODO DE LA “M” Este método es utilizado cuando existe la necesidad de introducir variables artificiales (xa ´s) con el objeto de generar una solución básica factible. Aplicando el Método Simplex para su solución, la función objetivo Z se ve alterada, ya que la contribución de las variables artificiales (coeficientes de las variables artificiales) es: - M para un problema de maximización. + M para un problema de minimización. Donde M es un valor muy grande (mucho mayor que cualquier coeficiente de las variables en la función objetivo) por ejemplo: M >>> 0. Como las variables artificiales no tienen ningún significado en el problema. Son definidas como un artificio (ya que es una conveniencia matemática para lograr la matriz identidad y así una solución inicial básica factible), y por lo cual ninguna variable artificial deberá formar parte de una solución básica factible. Para eliminar las variables artificiales de la solución, se les asigna en la función objetivo original coeficientes, tales que haga su presencia no atractiva en la base. Para ilustrar esto, suponga que deseamos resolver el siguiente problema de Programación Lineal, donde b ³ 0. Maximice CX Sujeto a: Ax = b x ³ 0. Si una conveniente base no es conocida, se introduce un vector artificial xa, lo que conduce al siguiente sistema: Ax + Xa = b x, Xa ³ 0 La solución inicial básica factible está dada por xa = b y x = 0. Para mostrar que se desea tener un vector artificial mayor que cero, la función objetivo es modificada de la forma que una penalización alta es pagada para cualquier solución. Minimice CX + MXa. Sujeto a: Ax + Xa = b x, Xa ³ 0 El método simplex por sí mismo, trata de eliminar las variables artificiales de la base, y entonces continua tratando de encontrar la solución optima a el problema original.
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Ejemplo: Minimizar Z = x1 - 2x2 Sujeto a: x1 + x2 ³ 2 -x1 + x2 ³ 1 x2 £ 3 x1 y x2 ³ 0 transformando a la forma estándar tenemos : Minimizar Z = x1 - 2x2 - 0x3 - 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7 Sujeto a: x1 + x2 - x3 +x6 = 2 -x1 + x2 -x4 +x7 =1 x2 +x5 = 3 donde : Xh son variables de holgura. Xa Son variables artificiales. M es un número positivo muy grande. Tabla 1
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 2 1 1 -1 0 0 1 0 M X7 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 3 0 1 0 0 1 0 0 0 2M -M -M 0 M M Z= 3M -1 2+2M -M -M 0 0 0
Tabla 2
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 M X6 1 2 0 -1 1 0 1 -1 -2 X2 1 -1 1 0 -1 0 0 1 0 X5 2 1 0 0 1 1 0 -1 2M+2 -2 -M M+2 0 M -2-M Z= -2+M 1+2M 0 -M M+2 0 0 -2-2M
Sale X7 de solución
Sale X6 de solución
Entra X2 en solución
Entra X1 en solución
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Tabla 3 Cj 1 -2 0 0 0 M M
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X1 1/2 1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2 -2 X2 3/2 0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 0 X5 3/2 0 0 1/2 1/2 1 -1/2 3/2 1 -2 1/2 5/2 0 -1/2 -3/2 Z= -5/2 0 0 1/2 5/2 0 -1/2-M -3/2-M
Tabla 4
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 1 2 2 -1 1 0 1 -1 -2 X2 2 1 1 -1 0 0 1 0 0 X5 1 -1 -1 1 0 1 -1 0 -2 -2 2 0 0 -2 0 Z= -4 -3 0 2 0 0 -2-M -M
Tabla 5
Cj 1 -2 0 0 0 M M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 2 1 0 0 1 1 0 -1 -2 X2 3 0 1 0 0 1 0 0 0 X3 1 -1 0 1 0 1 -1 0 0 -2 0 0 -2 0 0 Z= -6 -1 0 0 0 -2 -M -M
Como todos los zj-cj son £ 0 para todas las variables no-básicas. Esta tabla nos indica que esta solución es óptima. Teniendo el resultado siguiente x4 = 2, x2 = 3, x3 = 1 y las variables restantes son iguales a cero. Con un valor optimo de la función objetivo Z de -6.
Sale X1 de solución
Sale X5 de solución
Entra X4 en solución
Entra X3 en solución
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MÉTODO DE LAS DOS FASES El problema del ejemplo anterior fue manejado en la forma regular después de que las variables artificiales habían sido añadidas. Existe una complicación en el método de la M, en el cual se debe asignar un valor M sin especificar exactamente qué valor es. Si un valor numérico específico fuera asignado a la M, este deberá ser mucho mayor que cualquier otro número que aparece en la función objetivo y probablemente no satisfaga todas las condiciones. Su propósito sería el de proveer una penalización para eliminar las variables artificiales de la base, ya que ellas realmente no pueden formar parte de la solución en un problema de la vida real. Un enfoque para evitar estas dificultades está incorporado o considerado en el método de dos fases. La primera fase consiste en convertir todas las variables artificiales en cero, para obtener una solución básica factible para las variables reales del problema. La segunda fase consiste en optimizar la función objetivo actual Z, iniciando de una solución básica factible que puede o no contener variables artificiales a nivel cero. FASE I Se inicia con una solución básica factible formada con algunas variables artificiales y con la finalidad de eliminar las variables artificiales. Se asigna a cada coeficiente de la variable artificial en la función objetivo un valor de la unidad (positiva o negativa, dependiendo de si es un problema de Minimización o de Maximización respectivamente) en lugar del valor M. A todas las variables restantes se les asigna un coeficiente cero (sin importar los coeficientes actuales del problema). Entonces en lugar de considerar la función objetivo actual. Se optimiza la función: Z = å is =1(± 1) XAi = (±XA1 ±XA2 ± XA3......±XAs) donde XA son las s variables artificiales (XA ³ 0) La fase I termina después de haber aplicado el Método Simplex, cuando: 1).- Z* = 0 Una o más variables están en la base a un nivel positivo. El problema original tiene una solución no factible. 2).- Z* = 0 Ninguna variable artificial está en la base. Se ha encontrado una solución básica factible al problema original. 3).- Z* ¹ 0 Una o más variables artificiales están en la base a un nivel cero (es decir que la b correspondiente a la variable artificial es igual a cero).
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Se ha encontrado una solución factible al problema original. Debido a que algunas variables artificiales están en la base a un nivel cero, posiblemente haya redundancia en las ecuaciones restrictivas. La fase I termina cuando los elementos zj - cj son ³ 0 para un problema de Maximización y £ para un problema de Minimización. ANTES DE INICIAR LA FASE II a) Elimine todas las columnas correspondientes a las variables artificiales no básicas. b) Cheque redundancia (ecuaciones redundantes) en el problema original. El sistema de
ecuaciones original es Ax = b. Si una restricción (ecuación) puede ser obtenida como una combinación lineal de las otras, la restricción es redundante. Para localizar la existencia de ecuaciones redundantes observe en la tabla final de la fase I (después de haber eliminado las columnas correspondientes a las variables artificiales no básicas) si existe alguna fila cuyos elementos sean todos cero a excepción de un elemento 1 que corresponda a la columna de una variable artificial básica, entonces esto indicará que la fila es redundante, por lo tanto elimine la fila y la columna.
c) Elimine las variables artificiales en la base, en la tabla final de la fase I, estas variables estarán representadas por columnas que tienen elementos cero a excepción de un uno en la fila donde b=0. Seleccione uno de los elementos diferentes de cero en esta fila (debe de existir alguno, de otra forma esta fila se hubiera eliminado en el paso b). Este elemento elíjalo como pivote, transformando su columna correspondiente a tener el elemento 1 en el pivote, y cero en el resto de la columna (es decir, se genera en esa columna el vector necesario para eliminar la variable artificial de la solución.)
FASE II La primera tabla de la fase II, es la última tabla de la fase I, sufriendo los siguientes cambios; se reemplazan los coeficientes de la función objetivo por los coeficientes originales de las variables reales y después se calculan las filas zj y zj-cj. Una vez que se han realizado estos cambios, se aplica el Método Simplex nuevamente para optimizar la función objetivo Z. Ejemplo: Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 = 5 X1, X2, X3, X4, X5, X6 ³ 0 Expresándolo en la forma estándar, tenemos:
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 18
Minimizar Z = -X1 Sujeto a: X1 + X2 - X3 + X4 - X5 +2X6 +X7 = 2 2X1 - X2 - X3 - 2X4 + X5 - X6 + X8 = 3 3X1 - 2X3 - X4 +X6 + X9 = 5 X´s ³ 0, para toda X. Donde X7, X8 Y X9 son variables artificiales.
FASE I Tabla 1
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 2 1 1 -1 1 -1 2 1 0 0 1 X8 3 2 -1 -1 -2 1 -1 0 1 0 1 X9 5 3 0 -2 -1 0 1 0 0 1 6 0 -4 -2 0 2 1 1 1 Zj Z= 6 0 -4 -2 0 2 0 0 0 Zj-Cj
Tabla 2
Cj 0 0 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 1 X7 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 1 -.5 0 0 X1 1.5 1 -.5 -.5 -1 .5 -.5 0 .5 0 1 X9 .5 0 1.5 -.5 2 -1.5 2.5 0 -1.5 1 0 3 -1 4 -3 5 1 -2 1 Zj Z= 0 3 -1 4 -3 5 0 -3 0 Zj-Cj
Tabla 3
Cj 1 -2 0 0 0 0 1 1 1 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 .4 -.2 0 0 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 .2 .4 0 1 X9 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 Zj Z= 0 0 0 0 0 0 0 -2 -2 0 Zj-Cj
Como todos los elementos en Zj-Cj son £ 0, la fase I esta terminada. El valor mínimo de la fase I es cero y por esto el problema es factible. Una solución factible para el problema original es (1.6, 0, 0, 0, 0, .2). Para establecer la tabla de la fase II; elimine las columnas 7
Sale X8 de solución
Sale X7 de solución
Entra X1 en solución
Entra X6 en solución
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 19
y 8, asigne los coeficientes originales en la función objetivo y calcule las entradas de la fila Zj-Cj (en la variable artificial cero).
Cj -1 0 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X9 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 0 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 0 0 X9 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 0 Zj-Cj
Como todos los elementos en la tercera fila son cero, excepto por un 1 que representa la variable artificial X9, la fila es eliminada por ser redundante. Cheque en el problema original y encontrará que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras ecuaciones. Se elimina la fila 3 y la columna 7 (X9).
Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X6 .2 0 .6 -.2 .8 -.6 1 -1 X1 1.6 1 -.2 -.6 -.6 .2 0 -1 .2 .6 .6 -.2 0 Zj Z= 0 0 .2 .6 .6 -.2 0 Zj-Cj
Fin FASE I, principio de la FASE II FASE II
Cj -1 0 0 0 0 0 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X4 .25 0 .75 -.25 1 -.75 1.25 -1 X1 1.75 1 -.25 -.75 0 .25 -.75 -1 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj Z= 1.75 0 -.25 .75 0 .25 -.75 Zj-Cj
La columna muestra que el problema es ilimitado (los elementos en la columna correspondiente a la variable entrante son £ 0, yrj £ 0), por tanto la solución es ilimitada (Z = -a ).
Entra X3 en solución
Sale X6 de solución
Entra X4 en solución
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 20
i
DEGENERACIÓN Una solución básica a Ax = b es degenerada si una o más de las variables básicas son cero ( si alguna XB = 0). Una solución básica factible representa a b como una combinación lineal de m columnas de A. Cualquier base que incluya alguna columna de A que sea dependiente de la columna de b determinará una solución degenerada. Para saber en la tabla si existe degeneración, es suficiente con observar en la columna de b y saber si existe uno o más elementos iguales a cero. Cuando la degeneración se presenta, el proceso de selección de la variable saliente, en la mínima razón XBr/Yrk puede no ser única. Vector saliente de la base:
, 0BiBr i ikrk ik
xxy
y y
ì ü=
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 21
Tabla 1 Cj 0 1 0 0 -M
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 -M X5 1 1 1 -1 0 1 0 X4 1 1/3 1 0 1 0 -M -M M 0 -M Zj Z= -M M M+1 -M 0 0 Cj-Zj
Tabla 2
Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X2 1 1 1 -1 0 1 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1 1 -1 0 1 Zj Z= 1 -1 0 1 0 -1-M Cj-Zj
Tabla 3
Cj 0 1 0 0 -M CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 1 X5 1 1/3 1 0 1 0 0 X4 0 -2/3 0 1 1 -1 1/3 1 0 1 0 Zj
Z= 1 -1/3 0 0 -1 -M Cj-Zj La solución óptima es degenerada, ya que en XB hay una variable a nivel cero. Teniéndose que x2 = 1, x3 = 0 y Z* = 1. CICLAJE Cuando la degeneración se presenta, la función objetivo puede no cambiar cuando hay un cambio de una solución básica factible a otra. Entonces no se puede estar seguro que una base no se repita. En efecto, se puede caer en la situación en la cual se ciclaje el problema, repitiéndose las mismas secuencias de bases solución, y nunca alcanzar la solución optima.
Sale X5 de solución
Sale X4 de solución
Entra X2 en solución
Entra X3 en solución
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 22
Ejemplo: Minimizar Z = -2X4 -3X5 + X6 +12X7 Sujeto a : X1 - 2X4 - 9X5 + X6 + 9X7 = 0 X2 +1/3X4 + X5 - 1/3X6 - 2X7 = 0 X3 + 2X4 + 3X5 - X6 - 12X7 = 2 X´s ³ 0, para toda X. Tabla 1
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 0 0 -2 -9 1 9 0 X2 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 0 1 2 3 -1 -12 0 0 0 0 0 0 0 Z= 0 0 0 0 2 3 -1 -12
Tabla 2
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X1 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 0 1 0 1/3 1 -1/3 -2 0 X3 2 0 -3 1 1 0 0 6 0 -3 -3 1 -3 1 6 Z= 0 0 -3 0 1 0 0 -6
Tabla 3
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 1 9 0 1 0 -2 -9 -3 X5 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 2 0 X3 2 -1 -12 1 0 0 3 15 -1 -12 0 -2 -3 3 15 Z= 0 -1 -12 0 0 0 2 3
Sale X2 de solución
Sale X1 de solución
Sale X5 de solución
Entra X5 en solución
Entra X4 en solución
Entra X7 en solución
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 23
Tabla 4 Cj 0 0 0 -2 -3 1 12
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X4 0 -2 -2 0 1 9 1 0 12 X7 0 -1/3 -2 0 0 1 1/3 1 0 X3 2 0 -6 1 -2 -3 1 12 0 -6 0 -2 -3 2 12 Z= 0 0 -6 0 0 -3 1 0
Tabla 5
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 -2 X6 0 -2 9 0 1 9 1 0 12 X7 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 2 3 1 -1 -12 0 0 2 3 0 -3 -15 1 12 Z= 0 2 3 0 -1 -12 0 0
Tabla 6
Cj 0 0 0 -2 -3 1 12 CB XB b X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1 X6 0 1 0 0 -2 -9 1 0 0 X2 0 1/3 1 0 -1/3 -2 0 1 0 X3 2 1 0 1 -6 0 -3 1 0 0 -2 -9 1 0 Z= 0 1 0 0 1 -6 0 -12
Como X1 entra a la base, la nueva base estará formada por (X1, X2, X3), la cual ya fue obtenida en la tabla 1, teniéndose como resultado que el problema se ha ciclado.
Sale X4 de solución
Sale X7 de solución
Sale X6 de solución
Entra X6 en solución
Entra X2 en solución
Entra X1 en solución
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 24
METODO LEXICOGRAFICO
El problema de ciclaje puede ser resuelto utilizando una regla que rompa los empates en ( Brx / rjy ) para determinar la variable que abandona la solución. Esta regla es denominada lexicográfica y su procedimiento es el siguiente: Si cuando se realiza la prueba para determinar el vector correspondiente a la variable que sale de la base de solución, se tiene un empate, divida cada fila potencial (en empate) entre su similar en fila de la columna pivote.
tjtntjttjt
kjknkjkkjk
ijinijiiji
tjBttntjtt
kjBkknkjkk
ijBiinijii
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
yxaaaa
yxaaaa
yxaaaa
LLLLLL
LLLLLL
1
1
1
*
21
21
21
21
21
21
La columna señalada con * es la columna pivote (corresponde a la variable que entra en solución). Como las filas son linealmente independientes ningún par de filas divididas son idénticas. Encuentre la primera columna donde se rompa el empate. Ignorar todas las filas que no tengan el valor más bajo. Si únicamente una fila queda, esta será la fila pivote, si quedan más pruebe en las columnas adicionales. Ejemplo: Trabájese el ejemplo de ciclaje cubierto previamente y pártase de las tablas 2
1 2 3 4 5 6 7
1
5
3
0 0 0 2 3 1 12
0 0 1 9 0 1 0 2 9 0 1
3 0 0 1 0 1 3 1 1 3 2 0 1 3
0 2 0 3 2 1 0 0 6 2 1
0 3 0 1 3 1 6
0 0 3 0 1 0 0 6
j
B B Br rj
j
j j
c
c x b x x x x x x x x y
x
x
x
Z z
z c
- -
- -- - -
-- -- - -
Entra en Solución X7
Existe un empate entre estas 2 filas por lo que se deberán analizar con el método lexicográfico para determinar la variable que deberá abandonar la solución.
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 25
fila segunda312131
11310
311
310
fila primera19121011019117654321
----
xxxxxxx
Analizando de izquierda a derecha encontramos que en la primera columna se rompe el empate ya que la fila 2 es menor que la fila 1 (0 es menor que 1), por lo que sale de solución 5x .
jj
j
rjBrBB
j
cz
zZ
x
x
x
yxxxxxxxxbxc
c
--------
---------
--
01300600
12262060
12013016020
613103002
311106100
12132000
3
4
1
7654321
jj
j
rjBrBB
j
cz
zZ
x
x
x
yxxxxxxxxbxc
c
------
-----------
--
00001000
12132100
12013016021
600113022
304010120
12132000
6
4
1
7654321
Como todos los elementos en la fila jj cz - son menores o iguales que cero la solución es óptima. Observe que en la fila jj cz - existen 6 elementos iguales que cero,
por lo que existirá una solución múltiple. ( 3=m Si existen más de m elementos en la fila jj cz - iguales que cero, existe una solución básica factible múltiple). Es decir que cualquiera de las variables no-básicas que tienen un valor cero en la fila jj cz - puede entrar a formar parte de la solución y el valor de la función objetivo Z no cambiará.
Entra 6x en solución Sale de solución 3x
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 26
SOLUCIÓN ILIMITADA Esta ocurre cuando el espacio de soluciones factibles no está acotado y la función a optimizar puede mejorar indefinidamente. Esta situación se refleja en que todos los elementos en la columna correspondiente a la variable elegida a entrar en la solución (menor vector Zj - Cj £ 0, para un problema de Maximización) son no positivos (yrj £ 0). Ejemplo: Max Z=X1-X2+X3 Sujeto a: X1 + X2 + 2X3 ≥ 4 X1 - 2X2 + X3 ≥ 2 X’s ≥ 0 F.O. Max Z=X1-X2+X3 X1 + X2 + 2X3 - X4 = 4 X1 - 2X2 + X3 + X5 = 2 X’s ≥ 0 En cierta tabla encontramos qué
La Y4
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 27
Max Z = 40 X1 + 1000 X2 Sujeto a: 10 X1 + 5 X2 + X3 ≤ 250 4 X1 + 10 X2 + X4 ≤ 200 2 X1 + 3 X2 + X5 ≤ 900 X1, X2 ≥ 0 X3, X4, X5 Variables de holgura
Entra en solución x2 y sale x4
Como todos los valores Xbr son ≥ 0 se tiene la solución optima Z* = 2000 X3* = 150 X2* = 20 X5* = 80 Como Z1 – C1 =0 y corresponde a una variable no básica, entonces existe una solución optima múltiple. Esto significa que puede entrar X1 en solución y el valor de la función objetivo Z
* no cambia
Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 250 10 5 1 0 0 50 0 X4 200 4 10 0 1 0 20 0 X5 900 2 3 0 0 1 300 0 0 0 0 0 Zj -4 -100 0 0 0 Zj-Cj
Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 0 X3 150 8 0 1 -1/2 0 150/8
100 X2 20 2/5 1 0 1/10 0 50 0 X5 840 4/5 0 0 -3/10 1 1050 40 100 0 10 0 Zj 0 0 0 10 0 Zj-Cj
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 28
Solución Óptima Z* = 2000 X1* = 150/8 X2* = 50/4 X5* = 1650/2 CONVERSIÓN DE UN PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN A UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIÓN Sea f una serie de puntos en la región de soluciones básicas factibles, elíjase una tal que: Min f = f*, entonces f* £ f y si pasamos f al lado izquierdo tenemos : f* - f £ 0 y multiplicando a la expresión por -1 -f* -(-f) ³ 0, -f* ³ f, además - f £ -f* de esto obtenemos que : Max (-f) = -f*, por lo tanto sustituyendo en 1 tenemos: Max (-f) = - Min f.
Cj 40 100 0 0 0 CB XB B X1 X2 X3 X4 X5 40 X3 150/8 1 0 1/8 -1/16 0 100 X2 50/4 0 1 -1/20 1/8 0
0 X5 650/2 0 0 1/50 -2/5 1 40 100 0 15/9 0 Zj 0 0 0 15/9 0 Zj-Cj
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 29
PROCEDIMIENTO SIMPLEX REVISADO
Este método requiere una menor cantidad de cálculos, ya que realiza cálculos únicamente en los vectores de aquellas variables no-básicas y registra en memoria lo relativo a las variables básicas, 1-B , 1-BcB , Bx y BB xc (así como todos los valores iniciales cj, aij y b i).
Pasos: ¨ Determinar las variables básicas y formar B. ¨ Obtener 1-B . ¨ Obtener jjjj cwacz -=- . Donde
1-= BcW B Si 0£- jj cz para un problema de minimización o 0³- jj cz para un problema de maximización la solución es óptima y es el fin del proceso. Si esto no se cumple continúe el proceso.
¨ Determinar la variable que entra en solución (sea esta kx ) usando WA-C para toda variable no-básica ( jji caw - ).
¨ Se analiza Bikj
xy
(para toda i) para determinar que la variable sale de solución,
sea ésta fx . Ahora actualice la columna ka para que ésta aporte la columna de
la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx . ¨ Regresar al principio del proceso, realizar los cálculos necesarios para sacar de
la base a fx y meter a la misma kx (actualice la columna ka para que esta
aporte la columna de la matriz identidad que aportaba la variable saliente fx ). Procedimiento: Si BB XcZ = donde ABX B
1-= , entonces ABcZ B1-= equivale a jBj aBcz
1-= y
si 1-= BcW B entonces ahora CZCWA -=- equivale a jjjji czcaw -=- .
Base de la inversa
Lado derecho
1W=c BB- CBXB
B-1
XB
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 30
Tablas en el proceso
kx
W BB XC kk cz -
1-B
Bm
B
B
x
x
x
M2
1
mk
k
k
y
y
y
M2
1
Ejemplo 1:
Max 21 35 xxZ +=
Sujeto a:
0,
1025
1553
21
21
21
³£+£+
xx
xx
xx
Así:
1 2 3 4
3 5 1 0
5 2 0 1
x x x x
Aé ù
= ê úë û
[ ]0035 =C úû
ùêë
é=
10
15 b
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ] [ ] 353525
5300
21
-=-úû
ùêë
é=-=- CWAcz
xx
jj
por lo que entra en solución 1x .
Tabla 1
1y
0 0 0 5-
10
01
10
15
4
3
x
x
5
3
4 Sale x¬ Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 4x ) se tiene:
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 31
1
3
2510
9531
1010
x
x-
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ] [ ]
2 4
5 00 1 3 0 1 1
2 1j j
x x
z c WA Cé ù
- = - = - = -ê úë û
por lo que entra en solución 2x .
Tabla 2
1
3
2510
9531
1010
x
x-
2
3
1
19 5 Sale
2 5
y
x
-¬
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 3x ) se tiene:
1920195192
1945193195
192351916195
--
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ] [ ] ,19161950010
011916195
43
=-úû
ùêë
é=-=- CWAcz
xx
jj
Como todos los valores son mayores que cero la solución óptima se ha alcanzado.
Solución óptima:
1945
1920
19325
2
1
===
x
x
Z
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 32
Ejemplo 2: Método de la M
Min 21 23 xxZ +=
Sujeto a:
0,
3
634
33
21
21
21
21
³£+³+³+
xx
xx
xx
xx
3
634
3 3
521
7421
6321
=++=+-+=+-+
xxx
xxxx
xxxx
76 y xx son variables artificiales
Así:
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1- 0 3 4
0 1 0 0 1- 1 3
x 7654321
A
xxxxxx
[ ]MMC 00023= úúú
û
ù
êêê
ë
é=
3
6
3
b
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]MMMMCWAczcaBC
MMMMCWAczcaBC
MMCWAczcaBC
xxxx
jjjjB
jjjjB
jjjjB
----=-=-=-
---=-=-=-
-úúú
û
ù
êêê
ë
é=-=-=-
-
-
-
2437
002347
0023
0 0 1 1
1-0 3 4
0 1- 1 3
0
1
1
1
4321
Entra en solución 1x por tener el valor más positivo.
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 33
Tabla 1
1y
0MM M9 37 -M
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
6
3
5
7
6
x
x
x
1
4
3
6 Sale x¬
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 6x ) se tiene:
21031
20134
10031
320134
--
++- MMM
Analizando para todas las variables no básicas:
[ ] [ ]
2 3 4 6
1
1
1 -1 0 1
4 3 1 0 4 0 -1 0 2 0 0
1 0 0 0
5 3 1 4 3
B j j j j
B j j j j
x x x x
C B a c z c WA C M M M
C B a c z c WA C M M
-
-
é ùê ú- = - = - = - + -ê úê úë û
- = - = - = + -[ ] [ ][ ]1
1 4 3 2 0 0
5 3 1 4 3 1 4 3 1B j j j j
M M M
C B a c z c WA C M M M M-- - - -
- = - = - = - - - - + Entra en solución 2x por tener el valor más positivo.
Tabla 2 2y
21031
20134
10031
320134
--
++- MMM
5
7
1
x
x
x
32
35
31
135 -M
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 7x ) se tiene:
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 34
5
2
1
5615251
5605354
5305153
52105351
x
x
x
--
-
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
3 4 6 7
1
1
1
-1 0 1 0
1 5 3 5 0 0 -1 0 1 0 0
0 0 0 0
1 5 3 5 1 5 3 5 0 0
B j j j j
B j j j j
B j
x x x x
C B a c z c WA C M M
C B a c z c WA C M M
C B a
-
-
-
é ùê ú- = - = - = -ê úê úë û
- = - = - = - - -
- [ ] 1 5 3 5 1 5 3 5j j jc z c WA C M M= - = - = - - - -
Se ha alcanzado la solución óptima por ser todos los valores negativos.
Solución óptima:
1
2
5
21 5
3 5
6 5
6 5
Z
x
x
x
====
Ejemplo 3:
Método de las 2 Fases
Max 4321 2 xxxxZ -+-= Sujeto a:
0,,,
2332
64
4321
4321
4321
³³-++£-++
xxxx
xxxx
xxxx
233 2
6 4
764321
54321
=+--++=+-++
xxxxxx
xxxxx
0,,,,,, 7654321 ³xxxxxxx donde 65 y xx son variables de holgura y 7x es una variable artificial.
FASE I Así:
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 35
úû
ùêë
é=
1 1- 0 3- 3 1 2
0 0 1 1- 1 4 1
7654321
A
xxxxxxx [ ]1-000000=C ú
û
ùêë
é=
2
6b
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ]
[ ]033-1-2-
1-00001 3- 3 1 2
0 1- 1 4 11-0
64321
=-=-
-úû
ùêë
é=-=-
CWAcz
CWAcz
xxxxx
jj
jj
Por lo que entra en solución 3x .
Tabla 1
3y
0 1- -2 3-
10
01
2
6
7
5
x
x
3
1
7 Sale x¬
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 7x ) se tiene:
0 0 0
31
31
0
1 -
32
316
3
5
x
x
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ] [ ]
1 2 4 6 7
1 4 -1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
2 1 -3 -1 1j j
x x x x x
z c WA Cé ù
- = - = - - - =ê úë û
Como todos los valores son iguales a cero se ha alcanzado el final de la Fase I. FASE II Ahora [ ]0 0 1-1 2-5=C y se recalcula la tabla con los valores verdaderos de las jc .
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 36
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
1 2 4 6
13
13 72 1 1 13 3 3 3 3 3
1 4 -1 00 5 -2 -1 0
2 1 -3 1
-1 5 -2 -1 0 0
j j
j j
x x x x
z c WA C
z c WA C -
é ù- = - = -ê ú
ë û- = - = - = -
Entra 1x en solución por tener el valor más negativo.
Tabla 2
1y
310 32 313
31
31
0
1 -
32
316
3
5
x
x
32
31
3 Sale x¬
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 3x ) se tiene:
250 - 5
21
21
0
1 -
1
5
1
5
x
x
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]252132132125215-215252
5
6432
0 1-2-5
0 1-1 2-1 3-3 1
0 1- 1 40
----
-
=-=-=-
-úû
ùêë
é=-=-
CWAcz
CWAcz
xxxx
jj
jj
Entra 4x en solución por tener el valor más negativo.
4y
2/50 5 13-
2
21
21
0
1 -
1
5
1
5
x
x
23
21
- 5
Sale x¬
Generando en la columna de la variable entrante la columna necesaria para formar la matriz identidad (la que aportaba la variable saliente 5x ) se tiene:
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 37
413 - 70
13
12
--
16
10
1
4
x
x
Analizando para todas las variables no-básicas:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]403430 1-2-541-148
0 1-1 2-1- 3-3 1
0 1- 1 4413
6432
=-=-=-
-úû
ùêë
é-=-=-
CWAcz
CWAcz
xxxx
jj
jj
Como todos los valores son mayores que cero la solución óptima se ha alcanzado.
Solución óptima:
16
10
70
1*
4*
*
===
x
x
Z
-
Notas del Método Simplex Investigación de Operaciones I
M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 38
¿Cómo calcular la reducción de costos de las variables básicas? z -c Waj j j jc= - donde j corresponde a las variables no-básicas ¿Cómo calcular la columna de yj asociada a la variable xj que entra en solución?
1y =B a k k-
¿Cómo actualizar 1B , W, c ,x B
-B ?
a) Seleccione la variable entrante xk
b) Seleccione la variable saliente xr , },, ,
min , > 0 Bir i kr k i k
xxy
y y
ìï= íïî
c) Agregue la columna de xk
kx W BB XC kk cz -
1-B
Bm
B
B
x
x
x
M2
1
mk
k
k
y
y
y
M2
1
d) Pivotee en yr,k
kx Nueva W Nuevo BB XC 0
Nueva 1-B kNueva x
0
1 fila r
0
M