7/23/2019 MT227_P3_2014-2

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Universidad Nacional de Ingeniera P.A. 2014-2

Facultad de Ingeniera Mecnica 13/11/2014Departamento de Ingeniera Aplicada

TERCERA PRACTICA CALIFICADA DE CONTROL MODERNO Y OPTIMO

MT227-A

P1.

Dado el sistema dinmico

1

ba ; 2)(

u

ug

, 2)(

u

uh

a. (01 pto)Determine el modelo de espacio estado para representar el sistema dinmico anterior.

b. (02 ptos)Investigue si el origen es asintticamente estable globalmente, asintticamente establelocalmente, o estable en el sentido de Lyapunov.

Use la funcin de Lyapunov:2

2

2

12

1

2

1)( xxxV

Ayuda:22212112 xx xxxx y 02 222121

2

21 xxxxxx

c. (02 ptos) Grafique el plano de fase del sistema usando Matlab, comete sus resultados con el temb.

P2.Considere el modelo del pndulo unido a un punto por medio de una varilla rgida, siendo giratorioalrededor de este punto. El pndulo es excitado por una fuerza u(t) , g es la aceleracin de lagravedad, lla longitud de la varilla, mla masa del pndulo y bes el coeficiente de friccin.x1(t) es laposicin angular yx2(t) es la aceleracin angular del pndulo con respecto a la vertical.Las ecuaciones de la dinmica del pndulo:

um

xm

bx

l

gx

xx

1sin 212

21

Con una ley de control adaptiva:

11sin xxl

mgu con 0

a. (2.5 ptos)Demuestre la estabilidad en (0,0) para el sistema controlado, usando la siguientefuncin candidata de Lyapunov:

PxxxV T

2

1)( , conP>0 y simtrica, debe encontrar la matrizPcon las caractersticas indicadas.

b. (1.0 pto)Justifique la respuesta anterior, usando los autovalores para el sistema controlado.

c.

(1.5 ptos) Grafique el plano de fase, use 1 , b=0.5, m=1. Qu nombre recibe el plano de faseen este caso?

as

1

bs

1

(.)g (.)h

x1

x2

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P3.Se requiere realizar un control ptimo que minimice el ndice de desempeo:

,))(2)(4( 2220

dttutxJT

Con las siguientes restricciones:

)()()( tutxtx 1)0( x

a. (1.0 pto)Cul sera los pesos de q y r ?

Que Clase de Control ptimo regulacin con x(T) fijo o x(T) variable?b. (0.5 pto) Determine la ecuacin diferencial de Riccati.

c. (1.5 pto)Demuestre que la matriz P(t) es:

)(

)(

21

82)(

Tt

Tt

e

etp

d. ( 1.0 pto)Determine el valor de k (ganancia de retroalimentacin) cuando T->.

e. ( 1.0 pto) con T->; Determine el autovalor del sistema controlado.

P4.Resuelva el problema de control optimo:

dttuQxxJ T ))((2

1min 2

0

Sujeto a:

0)0(

,

xx

BuAxx

Donde:

01

00,

0

012

Aq

Q ,

,

0

1B y q>0. El criterio de Controlabilidad se cumple.

a. (3.0 ptos)Determine el control de retroalimentacin ptimo (K)y costo ptimo.b. (1.0 pto)Determine la matriz dinmica del lazo cerrado. Analice la convergencia de los estados

cuando cambia q. Que pasa cuando qtiende a cero?c. (1.0 pto)Realice el diagrama de simulacin del sistema controlado (SIMULINK) para tres valores

de q>0 conx(0)=[0; 0.5]T, presente en un solo grfico los dos estados correspondientes a los tres

casos. En otro grfico presente los dos estados cuando q=0.

La Profesora

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