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Más omenosNúmeros

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios. Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidion.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Keijzer, R., van den Heuvel-Panhuizen, M., Wijers, M., Abels, M., Wijers, M.,Shew,J. A., Brinker, L., Pligge, M. A., Shafer, M. y Brendefur, J. (2006). Más o menos.Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute (Eds.), Lasmatemáticas en contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables.Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual delos Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunqueno exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medioso procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba aEncyclopædia Britannica, Inc., 331 N. La Salle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093037-5

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Ronald Keijzer, Marja van den Heuvel-Panhuizen, y Monica Wijers desarrollaron la primera versión de Más o menos. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Julia Shew, LauraBrinker, Margaret A. Pligge, Mary Shafer, y Jonathan Brendefur.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A. Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-PanhuizenPeter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Mieke Abels y Monica Wijers desarrollaron la versión revisada de Más o menos. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contextoy el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas de Encyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (de izquierda a derecha) © Comstock Images; © Corbis; © Getty Images

Ilustraciones5, 18 (izquierda), 19 (arriba), 20 Christine McCabe/© EncyclopædiaBritannica, Inc.; 22 Holly Cooper-Olds; 27 © Encyclopædia Britannica,Inc.; 30 Christine McCabe/© Encyclopædia Britannica, Inc.

Fotografías1–5 Sam Dudgeon/HRW Photo; 6 © PhotoDisc/Getty Images; 12 (de izquierda a derecha) John Langford/HRW; © RyanMcVay/PhotoDisc/Getty Images; Don Couch/HRW Photo; 13 John Langford/HRW; 17 © Ryan McVay/ PhotoDisc/Getty Images; Don Couch/HRWPhoto; 19 Sam Dudgeon/ HRW Photo; 26 Comstock Images/Alamy; 28, 29 ©1998 Image Farm Inc

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Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A Precio de frutas y verdurasLa balanza 1El huerto del Edén 5La calculadora descompuesta 6Resumen 8Verifica tu trabajo 9

Sección B DescuentosEncuestas 11Porcentajes y fracciones 13¿Porcentajes o descuento en efectivo? 14

Descuentos razonables 15Resumen 16Verifica tu trabajo 17

Sección C Muchos cambiosDiseña un cartel 18Las ganancias en fracciones 20Resumen 24Verifica tu trabajo 24

Sección D Más o menosAmpliar o reducir 26Descuento 28Impuesto sobre las ventas 29Interés creciente 31Resumen 32Verifica tu trabajo 33

Práctica adicional 35

Respuestas para verificar tu trabajo 39

1.92

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0221311 465683

P R E C I O

$ 4.00

Peso neto

1.250 kg

Fecha de envasado: 05 .27.05

Vendedor :

$/kg

3.20

Tomates

El Huerto del Edén

Precio rebajado

ajado

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VI Más o menos

Peso enkilogramos

Querido alumno:

Esta unidad trata sobre la forma en que se relacionan las fracciones, los decimales y los porcentajes.

¿Compras artículos que se deben pesar? ¿Cómo se determina el preciofinal? Para calcular el precio por unidad y el precio total es necesariomultiplicar con números fraccionarios y decimales.

¿Compras tus artículos preferidos en liquidaciones? La próxima vez que lo hagas, observa el descuento. Los descuentos se expresangeneralmente en porcentajes.

En esta unidad, usarás fracciones y porcentajes para hallar preciosrebajados. Para ayudarte a hacer cálculos, puedes usar modelos como una recta numérica doble, una barra de porcentajes o una tablade razones.

Investigarás el porcentaje de aumento o dismininución del tamaño deuna fotografía cuando la amplías o la reduces en una fotocopiadora.

También usarás fracciones y porcentajes para describir resultados de encuestas.

Mientras estés trabajando con esta unidad, busca avisos que contenganporcentajes de descuento y artículos de periódicos que den resultadosde encuestas. Comparte lo que encuentras con la clase.

Todas las situaciones de esta unidad te ayudarán a perfeccionar tus operaciones con fracciones, decimales y porcentajes.¡Buena suerte!

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

Más o menos.qxd 2/6/06 1:13 PM Page vi

APrecio de frutas y verduras

La balanzaEl supermercado Multiahorro coloca frutas y verduras frescas en exhibiciónpara que los clientes puedan elegir las que desean y colocarlas en bolsas.Cuando los clientes van a pagar, los cajeros pesan cada producto e ingresanun código de producto para calcular el precio.

Muchos clientes quieren saber el costo de lo que eligieron antes de pagar.Para que los clientes pudieran pesar la mercadería, la señora Vander,gerente de la sección verdulería, colocó una balanza de dial cerca delmostrador de las frutas y verduras. Para estimar el costo, los clientespueden usar el precio por peso.

Sección A: Precio de frutas y verduras 1

Más o menos.qxd 2/6/06 1:13 PM Page 1

2 Más o menos

A

Carol es clienta del supermercado Multiahorro. Quiere comprar 11�2 kg

(kilogramo) de manzanas Deliciosas rojas.

1. ¿Cuál es el costo de 11�2 kg de manzanas si están marcadas a $2.40

por kilogramo?

Precio de frutas y verduras

Carol coloca algunas manzanasen la balanza. Esta es una imagende la balanza.

2. ¿Tiene Carol la cantidad de manzanas que desea?Explica.

Carol decide comprar todas lasmanzanas que hay en la balanza.Se pregunta cuánto costarán.

3. Estima el costo total de las manzanas que Caroleligió. ¿Cómo hallaste tu estimación?


A



Pablo, Lía y Pam, amigos de Carol, la están ayudando a estimar el costo desus manzanas. Están esperando para usar la balanza después de que Caroltermine. Para ayudarla, hacen varias sugerencias sobre cómo estimar el costo.

Pablo dice: “Son casi 2 kg de manzanas”.

Lía afirma: “Son unos 13�4 kg de manzanas”.

Pam sugiere: “Usa la balanza como unarecta numérica doble”.

4. a. ¿Cómo hallará Pablo la respuesta?¿Qué estimará Pablo?

b. ¿Cómo calculará Lía la respuesta?¿Qué estimará?

c. ¿Cómo usará Pam una rectanumérica doble para estimar el costo de las manzanas?

Quizá recuerdes otra estrategia que sepuede usar para resolver este problema:usando una tabla de razones.

5. Muestra cómo usarías una tabla de razones para estimar el costo de las manzanas.

$2.4

0$4

.80


4 Más o menos

A Precio de frutas y verduras

Cuando Carol termina de usar la balanza,Pam pesa las 10 manzanas que eligió. Estabalanza muestra el peso de las manzanasde Pam.

6. Estima cuánto pagará Pam por sus manzanas.

Peso en kilogramos

Esta balanza muestra el peso delas manzanas de Lía.

7. Estima cuánto pagará Lía porsus manzanas.

Pablo coloca sus manzanas en la balanza.

8. a. Supón que el peso de sus manzanas es de 2.1 kg. Copia el dial de labalanza y dibuja la flecha giratoria de modo que represente el pesode las manzanas de Pablo.

b. ¿Cuánto pagará Pablo por 2.1 kg de manzanas?

El supermercadoMultiahorro vende varias clases demanzanas, inclusomanzanas Deliciosasrojas y Granny Smith.

Supón que Carol, Pablo y Pam compraron ese mismo peso de manzanasGranny Smith, en lugar de manzanas Deliciosas rojas.

9. Usando el peso de la balanza para los problemas del 6 al 8, estima el precio que cada uno pagará por esa misma cantidad de manzanasGranny Smith.

10. Pam quiere comprar más manzanas. Tiene $8. Estima el peso total delas manzanas Deliciosas rojas que puede comprar.

11. Pablo tiene $2.50 para gastar en manzanas Granny Smith. Estima elpeso total de las manzanas que puede comprar.

Peso en kilogramos




Algunos supermercados requierenque antes de pagar, los clientes usenmáquinas especiales para imprimir elcosto de las frutas y verduras. En ElHuerto del Edén, los clientes colocanlos artículos en la balanza, pulsan la tecla del tipo de producto y lamáquina imprime el costo. A laizquierda está una pegatina para unacompra de tomates.

¡La máquina funciona mal! A vecesda precios incorrectos. El gerente dela sección verdulería está controlandolos recibos para ver cuántos están mal.

12. Usa estimaciones para determinar qué recibos son incorrectos. Decidesi la máquina está cobrando de más o de menos a los clientes.

El propietario de la tienda reparó la máquina para que funcione correctamente.

13. Usa notación de flechas para mostrar cómo calcula la máquina el costode distintas cantidades de manzanas Deliciosas rojas que cuestan $2.40por kilogramo.

14. Sin usar calculadora, describe cómo se calcula el costo de esta cantidadde manzanas a $2.40 por kilogramo.

a. 15 kg d. 0.4 kg f. 7 kg

b. 1.5 kg e. 0.04 kg g. 0.7 kg

c. 4 kg

El Huerto del Edén

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E l h u e r t o

0221311 465683

P R E C I O

$ 4.00

Peso neto

1.250 kg

Fecha de envasado: 05 .27.05

Vendedor :

$/kg

3.20

Tomates

El Huerto del Edén

E l h u e r t o d

e l E d é

E l h u e r t o

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E l h u e r t o

0221313 465684

P R E C I O

$31.92

Peso neto

1.330 kg

Fecha de envasado: 05 .27 .05

Vendedor :

$/kg

2.40

Manzanas Deliciosas rojas

El Huerto del Edén

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E l h u e r t o

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E l h u e r t o

0221312 465685

P R E C I O

$0.17

Peso neto

2.500 kg


Vendedor :

$/kg

0.66

Duraznos

El Huerto del Edén

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E l h u e r t o

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E l h u e r t o d

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E l h u e r t o

0221310 465686

P R E C I O

$2.14

Peso neto

0.750 kg


Vendedor :

$/kg

2.85

Uvas

El Huerto del Edén


6 Más o menos

A

En el supermercado Multiahorro, Paul calculó el precio de 0.8 kgde manzanas Deliciosas rojas. Usó su calculadora e ingresó lossiguientes datos.

0.8 $2.40

La calculadora presentó un total de 1.92.

Mary no estaba de acuerdo.

��


La calculadora descompuesta

15. Reflexiona ¿Tiene razón Mary o la calculadorade Paul? Defiende tu opinión.

16. Describe dos maneras de usar una calculadorapara determinar el costo de 3�4 kg de nueces quecuestan $7.98 por kilogramo.

A la señora Vander, del supermercadoMultiahorro, le gusta la balanza concalculadora que usan clientes delHuerto del Edén. Decide poner unacalculadora al lado de labalanza de dial. Los clientes pueden calcular elcosto exacto de sus productos antes de pagar.

Lamentablemente, la calculadora se ha usado tanto que la tecla del punto

decimal ya no funciona.

1.92

Eso no puede ser correcto!Cuando uno multiplica, no essiempre mayor la respuesta

que los dos númerosiniciales?

!

?



Sean pesa 2.63 kg de fresas marcadas a $4.32 por kilogramo.Cree que puede usar la calculadora a pesar del defecto dela tecla del punto decimal.

17. a. Haz una estimación baja y una estimación altadel costo de las fresas de Sean.

b. Describe cómo usará Sean la calculadorapara hallar el costo exacto de sus fresas.

c. Halla el costo de las fresas de Sean.

18. Usa la respuesta de la parte c del problema17 para determinar el precio de estas cantidades:

a. 0.263 kg de fresas

b. 26.3 kg de fresas

19. La calculadora aún está descompuesta. Usa lasiguiente información para hallar el costo real decada compra de fresas. Describe cómo hallastecada respuesta.


CalculadoraPesoCliente

Sally 3.98 kg

Devin 1.72 kg

Niya 0.39 kg

1719367430416848

4.32/kg


8 Más o menos

Precio de frutas y verdurasA

1.8 es casi 2, entonces1.8 � $1.60 es un pocomenos que 2 � $1.60.

Hay muchas maneras de estimar o de hallar el costo de frutas y verduras.

Puedes usar herramientas numéricas, como una recta numérica doble, unatabla de razones o una calculadora.

Por ejemplo, hay muchas estrategias para hallar el costo de 1.8 kg demanzanas Deliciosas rojas que cuestan $1.60 por kilogramo.

• Estima redondeando los decimales a números enteros.

Podrías razonar así.

$3.

$3.20 es una estimación alta.

• Estima usando fracciones simples, como medios o cuartos.


0 $0.40 $0.80 $1.20 $1.60 $2.80

0 1�4 kg 1

�2 kg 3�4 kg 1 1 3

�4 kg

$2.80 es una estimación baja.

2 � $1.60 � $1.60 � $1.60� $1.50 � $0.10 � $1.50 � $0.10� $1.50 � $1.50 � $0.10 � $0.10 � $3.20

1.8 � $1.60 es un poco más

que 1.75 � $1.60, que es lo

mismo que 1 3�4 de $1.60.



• Usa un cálculo exacto transformando los decimales en fracciones.


Precio $1.60 $0.32 $1.28 $2.88

Peso 1 1�5

4�5 14

�5(kg)

$2.88 es el precio exacto.

• Cuando no sea fácil calcular los números mentalmente, usa una calculadora.

Con cualquier método que elijas, es aconsejable estimar la respuesta antesde calcular. Nunca sabes cuándo podrías ingresar un dato erróneo, o tucalculadora podría estar funcionando mal. Es acertado comparar unaestimación razonable con tu precio final.

En La Tienda de Verduras de Puno, las manzanas Gala cuestan $2.10 por kilogramo.

1. Estima el costo de cada una de estas cantidades.

a. b.

Recuerda: ¡la multiplicación puede

dar un resultado más pequeño que

los números iniciales!

1.8 es 14�5 ,

entonces 1.8 � $1.60

es 14�5 � $1.60.

Peso en kilogramos

Peso en kilogramos


10 Más o menos


Paul tiene $7 para gastar en manzanas.

2. ¿Cuántos kilogramos de manzanas Gala puede comprar?

El precio de las manzanas Deliciosas doradas es de $3.60 por kilogramo.

3. Describe cómo calcularías el costo de cada una de estas cantidades de manzanas sin usar una calculadora.

a. 3 kg b. 0.3 kg c. 2.3 kg

4. a. Describe cómo se determina 1�2 � $47.00 sin usar una calculadora.

b. Describe cómo se determina 11�4 � $8.20 sin usar una calculadora.

En casa, Kenji usó su calculadora para calcular 12.54 � 0.39. Escribió la respuesta 48906 en su cuaderno. Justo cuando llegó a la escueladescubrió que había olvidado escribir el punto decimal en su respuesta. Se dio cuenta de dónde debía estar el punto decimal estimando la respuesta.

5. Explica qué hizo Kenji. Ubica el punto decimal en su respuesta.

Este es un problema de multiplicación y la respuesta correcta sin el punto decimal:

568 � 356 � 202208

Coloca un punto decimal en 568 o en 356, o en ambos números, de modoque obtengas un problema de multiplicación nuevo. ¡Asegúrate de que turespuesta para el problema nuevo sea correcta!

Crea por lo menos cuatro problemas más usando este método.

A


La señora Vander, del supermercadoMultiahorro, reemplazó las viejasbalanzas de dial de la sección de frutasy verduras por balanzas digitales.

Quería saber qué opinaban los clientessobre las nuevas balanzas, así queencuestó a 650 clientes.

La primera pregunta de la encuesta fue:“¿Le gustan las balanzas nuevas?”.

Estos son los resultados de la primerapregunta de la encuesta.

1. ¿Creían los clientes que las balanzas nuevas eran una buena idea? Usa los resultados de la encuesta para explicar tu respuesta.

La señora Vander hizo una gráfica circular para que la ayude a interpretar los resultados de la encuesta.

2. a. Exhibe los resultados usando la barra segmentada y la gráficacircular de la Hoja de actividades del estudiante 1.

b. Describe los resultados de la encuesta usando fracciones.

c. Describe los resultados de la encuesta usando porcentajes.

Sección B: Descuentos 11

BDescuentos

Encuestas

Opinión de los clientes sobre las balanzas nuevas

Número de clientes Opinión de los clientes

320 muy conforme con las balanzas nuevas

220 un poco conforme con las balanzas nuevas

65 disconforme con las balanzas nuevas

El resto de los clientes entrevistados dijeron que no se habían dado cuenta de la diferencia.


12 Más o menos

La segunda pregunta de la encuesta fue: “¿Le ayudan las balanzas nuevas a estimar el costo de lo que elige?”.

La señora Vander estaba asombrada por los resultados de la segundapregunta de la encuesta. Decidió mostrarle los resultados a su personal, en una gráfica de barras. Estas son algunas de sus reacciones.

3. a. Dibuja la gráfica de barras que la señora Vander pudo haber mostrado al personal.

b. Describe la parte de la gráfica que representa el número de clientesque dice que no tienen preferencia por ninguna balanza.

4. a. Qué tipo de gráfica permitirá ver mejor las partes que son másgrandes comparadas con las partes que son más pequeñas: ¿la gráfica circular o la gráfica de barras? Explica.

b. Reflexiona ¿Cómo te pueden ayudar estas gráficas a averiguar el porcentaje de las partes?

c. ¿Pueden ayudarte estas gráficas a hallar fracciones que describanlas partes? Explica tu respuesta.

DescuentosB

Bert Loggen

Gerente de la sección

frutas y verduras

Janice Vander

Gerente

de la tienda

Juan Sánchez

Encargado de compras de

la sección frutas y verduras

Advierto que

el 25% de los clientes

dicen que las balanzas

nuevas no los ayudan

a estimar los costos.

Pero la mitad de

los clientes dice que

puede estimar los costos

más fácilmente con las

balanzas nuevas.

Un décimo de los

clientes ni siquiera quiere

estimar los costos. El resto

de los clientes encuestados

no tiene preferencia por

ninguna balanza.



BDescuentos

Porcentajes y fraccionesPara mostrar los resultados de las encuestas a los clientes, algunosgerentes de tienda no hacen gráficas circulares ni gráficas de barras. Ellos usan sólo porcentajes. Algunos porcentajes, como el 50% y el 25%, son fáciles de escribir como fracciones. Verifica si conoces la fracciónequivalente a 50% y a 25%.

La señora Vander le dijo al señor Loggen que el 331�3% de 180 clientes

deseaba que el supermercado Multiahorro tuviera más variedad demanzanas. Sin calculadora, el señor Loggen averiguó rápidamente que el 331

�3% de 180 clientes son 60 clientes.

5. ¿Qué estrategia crees que usó el señor Loggen para hallar la respuesta?

6. Haz una lista de porcentajes que se puedan volver a escribir fácilmente como fracciones. Incluye las fracciones correspondientes.

Las fracciones como 1�2 , 1�4 y 1�10 se llaman a menudo fracciones

de referencia.

7. Muestra cómo puedes usar fracciones de referencia para calcular cadauno de estos problemas de porcentaje.

a. 25% de 364 d. 5% de 364 g. 20% de 364

b. 75% de 364 e. 30% de 364 h. 80% de 364

c. 10% de 364 f. 35% de 364

La Tienda de Departamentos de Dale tiene una liquidación. Dale quiereque todos sus empleados sean capaces de hacer cálculos mentalescon rapidez y facilidad en caso de que los clientes hagan preguntassobre los descuentos.

8. Completa estos cálculos mentales. No es necesario que los respondasen un orden en particular. Puedes empezar con los que te parezcan más fáciles. Escribe las respuestas en tu cuaderno.

a. 15��100 de $360 son ——. h. 0.333 � $360 son ——.

b. 35% de $360 son ——. i. 1�5 de $250 son ——.

c. 20% de $250 son ——. j. 1% de $250 son ——.

d. 331�3% de $120 son ——. k. 1

�3 de $360 son ——.

e. 0.25 � $360 son ——. l. 40% de $250 son ——.

f. 1�4 de $360 son ——. m. 3

�4 de $360 son ——.

g. 25% � $360 son ——. n. 15% de $360 son ——.

33 1�3 % de 180 es 60.


9. Elige tres de tus cálculos mentales y describe tu estrategia parasolucionar cada uno.

10. ¿Qué cálculos mentales de los que usaste en el problema 8 guardanalguna relación? Explica cómo se relacionan.

11. Reflexiona ¿Cuál de los cálculos mentales que usaste en el problema 8te resultó más fácil de resolver mentalmente? ¿Cuál de los cálculoshubieras preferido hacerlo con una calculadora?

Durante una liquidación, Dale ofrece dos tipos de descuento. Algunas vecesda un descuento en efectivo y otras, un porcentaje de descuento sobre elprecio normal.

12. a. En la Hoja de actividad del estudiante 2, encontrarás una copia de lasiguiente tabla. Para cada artículo de la tabla, determina si el preciorebajado más bajo está dado por el porcentaje de descuento o por eldescuento en efectivo. Marca en la hoja de actividad la opciónelegida y explícala.

b. Agrega dos artículos a la tabla de la hoja de actividad. Incluye el precio normal, dos tipos de descuento, tu elección y unaexplicación.

14 Más o menos

DescuentosB

Artículo Precio normal Precio rebajado Explicación

Patines en línea $55.00• 30% de descuento• $10.00 de descuento

Pantalones $23.75

• 20% de descuentovaqueros • $5.00 de descuento

Teléfono $75.00

• 25% de descuentocelular • $17.50 de descuento

Gorra $19.95

• 15% de descuentode béisbol • $3.50 de descuento

Zapatos $45.95

• 20% de descuentodeportivos • $9.00 de descuento

Aros $9.95• 40% de descuento• $3.50 de descuento

¿Porcentajes o descuento en efectivo?


13. La Tienda de Departamentos de Dale hace una liquidación durante 24horas. Para cada uno de los siguientes artículos, se da el precio normaly el precio al por mayor (el precio que la Tienda de Departamentos deDale pagó por cada artículo). Para cada producto, decide si undescuento del 10%, el 25% o el 40% es razonable. Razonable, en estecaso, significa que el descuento le permitirá ahorrar al cliente, perotambién que la tienda tenga alguna ganancia. Marca el precio rebajado

para cada artículo en tu cuaderno y defiende tu decisión.


BDescuentos

Descuentos razonables

a. Precio al por mayor: $42.50

Precio normal: $59.95

b.Precio al por mayor: $129.95


d.Precio al por mayor: $70.00


e. Precio al por mayor: $40.00


Precio rebajado

Precio rebajado

Precio rebajado

Precio rebajado

Precio rebajado

c. Precio al por mayor: $18.00



16 Más o menos

DescuentosB

�3

�3

Precio en dólares

Porcentajes

250

100%

25

10%

12.5

5%

75

30%

87.5

35%

�2

�2

�10

�10

• Los resultados de una encuesta pueden exhibirse en una gráfica debarras o una gráfica circular. Estas gráficas te ayudan a comparar laspartes usando porcentajes o fracciones.

• Los descuentos se expresan a menudo en porcentajes. La estrategiaque uses para hallar descuentos depende del porcentaje y del precio dados.

Puede ser sencillo escribir algunos porcentajes, como 10%, 25% y75%, en forma de fracciones. Estas fracciones pueden usarse parahacer los cálculos. Por ejemplo:

25% de 488 es 1�4 de 488, que es 122.

75% de 488 es 3�4 de 488, que es 366.

Las fracciones con las que es fácil trabajar se llaman fracciones dereferencia. Con estas fracciones, puedes hacer cálculos mentalmente.

Para los descuentos que no son fáciles de calcular, puedes expresar elporcentaje como la suma de varios porcentajes que sean más sencillos,como el 10% o el 1%. Puede ser útil usar una barra de porcentajes, una recta numérica doble o una tabla de razones.

Por ejemplo, para calcular el 35% de $250, puedes usar 10% � 10% �10% � 5% (un medio del 10%), o 3 � 10% � 5% (un medio del 10%).

El 35% es 30% + 5%

3 � 10% + un medio del 10%

Dado que el 10% de $250 son $25, y un medio de $25 son $12.50,

el 35% de $250 son 3 � $25 + $12.50 o

$75 + $12.50 o $87.50.



Dale está liquidando ventiladores pequeños quenormalmente cuestan $5.98 cada uno. Los clientespueden elegir entre estos tres descuentos.

Descuento 1: 5% Descuento 2: $0.50

Descuento 3: 1�5

1. ¿Qué descuento da el precio rebajado más bajo? Explica tu razonamiento.

Dale está vendiendo todos los acondicionadores de su tienda para ganarespacio para otra mercadería. Da a sus clientes un gran descuento del 60%.

2. Explica cómo hallarías el descuento para un acondicionador que cuesta $240.

Dale tiene otros tres acondicionadores, que vende a $280, $200 y $275.

3. ¿Cuánto costará cada uno con el 60% de descuento?

La señora Vander y el señor Sánchez estánanalizando una encuesta hecha a 800clientes. La encuesta muestra que el 45% delos clientes dieron la misma respuesta. Laseñora Vander y el señor Sánchez quierensaber cuántos clientes son esos. Empiezanusando porcentajes que pueden escribirsefácilmente como fracciones.

4. ¿Cómo crees que continuarán la señora Vander y el señor Sánchez? Completa sus cálculos.

5. Escribe por lo menos dos maneras de calcular el 25% de 900.

Busca por lo menos tres artículos en liquidación que aparezcan en unperiódico o una revista. Calcula el descuento y el precio rebajado. Vuelve a escribir el porcentaje de descuento como fracción.

Sé que el 50% de 800 es unmedio de esta

cantidad.

Sé que el 10% es 1�10 .


18 Más o menos

CMuchos cambios

Diseña un cartel

UvasCostaban $3.20/kg

Ahora un 25% de descuento

Manzanas Granny SmithCostaban $2.89/kg


Manzanas Deliciosas rojasCostaban $2.40/kg


El supermercado Multiahorro está planeando una gran liquidación. Quierendiseñar un cartel que muestre los precios de las frutas y verduras. La señoraVander da estos descuentos.

1. ¿Son estas buenas rebajas para los clientes?

Los empleados generan ideas sobre lo que se puede escribir en los cartelesde rebajas.

Bert dibujó este cartel para las uvas. Usó unporcentaje de descuento y una barra de porcentajes

para mostrar visualmente la relación entre el preciooriginal y el precio con descuento.

2. Usando las sugerencias de Bert, dibuja cartelespara las manzanas Granny Smith y Deliciosas rojas.

Janice propone que se escriban fracciones en lugar de porcentajes. Cree que si usan fracciones los clientes podrán estimar los descuentos con más facilidad.

3. a. Reflexiona ¿Estás de acuerdo con Janice? Defiende tu opinión.

b. Dibuja un cartel usando la sugerencia de Janice.

UVASCostaban $3.20 por kg


0% 100%

0 $3.20

25%de descuento


La señora Vander es partidaria de exhibir el descuento en dólares.

Pedro cree que será más fácil para los clientes si en los cartelesaparece sólo el precio nuevo.

4. ¿Qué clase de cartel prefieres? ¿Por qué?

Los empleados deciden combinar las ideas. En cada cartel, usaránuna barra de porcentajes, el porcentaje de descuento, el preciooriginal y el precio rebajado.

5. Usa sus ideas para diseñar carteles nuevos para cada artículode la izquierda.

Pedro analiza el cartel nuevopara las uvas y dice: “¡Esexcelente! Con sólo mirar elcartel, se puede decir quéfracción o porcentaje deberánpagar los clientes. Se puedeverificar el precio rebajado conuna simple multiplicación”.

6. a. ¿Qué fracción y qué porcentaje del precio original debenpagar los clientes por las uvas?

b. ¿Qué multiplicación pueden hacer los clientes paraverificar el precio rebajado de las uvas?

c. Calcula los precios nuevos de las manzanas Granny Smithy Deliciosas rojas usando sólo una multiplicación paracada una.

Sección C: Muchos cambios 19

CMuchos cambios

Uvas

Costaban $3.20/kgAhora un 25% de descuento

Manzanas

Granny Smith

Costaban $2.89/kgAhora un 20% de descuento

Manzanas

Deliciosas rojas

Costaban $ 2.40/kgAhora un 15% de descuento

UVASCostaban $3.20 por kg


Ahora $2.40 por kg0%

0

100%

$2.40 $3.20

25%de descuento


La dueña del supermercado Multiahorro, la señora Jao, comparó lasganancias de este año con las del año pasado. Esto es lo que halló.

Para ayudarse a visualizar los cambios, la señora Jao usó barras pararepresentar las ganancias del año pasado.

7. a. ¿Qué departamentos aumentaron las ganancias del año pasado a este año?

b. Usa las barras de la Hoja de actividad del estudiante 3 para indicarel cambio en las ganancias de cada departamento. Rotula las barras.

Las ganancias de este año de Salud y belleza pueden describirse como trescuartos ( 3�4 �) de las del año pasado.

8. Describe con fracciones el cambio en las ganancias para los otros departamentos.

La siguiente tabla muestra las ganancias del año pasado para cadadepartamento de la tienda de la señora Jao.

9. Para cada departamento, usa las ganancias del año pasado y el cambioen las ganancias para hallar las ganancias de este año.

20 Más o menos

Muchos cambiosC

Las ganancias en fracciones

Departamento Cambio en las ganancias

Salud y belleza Un cuarto menos

Lácteos Un quinto menos

Frutas y verduras Una vez y media más

Panadería Tres décimos menos

Carnes Un cuarto más

Fiambres Dos tercios más

Departamento Ganancias del año pasado

Salud y belleza $46,800

Lácteos $35,600

Frutas y verduras $22,500

Panadería $55,900

Carnes $60,200

Fiambres $47,100



CMuchos cambios

En el problema 9, la señora Jao calculó las ganancias de este año para elsector de la panadería de la siguiente manera.

7�10 � 55,900 � 0.7 � 55,900

Luego usó la calculadora.

10. a. Compara los cálculos de la señora Jao con los cálculos de lasganancias del sector de la panadería que hallaste en el problema 9.¿En qué son iguales y en qué son diferentes?

b. ¿Cómo calcularía la señora Jao las ganancias de este año deldepartamento de Salud y belleza mediante una multiplicación con decimales?

Las fracciones pueden escribirse como decimales.

11. En la Hoja de actividad del estudiante 4, une la fracción y el decimalque expresan el mismo número.

12. Describe cómo puedes hallar la respuesta a estos problemas demultiplicación en una calculadora que no permite ingresar fracciones.

a. 3�4 � 1,257

b. 11�4 � 1,257

c. 17��100 � 1,257

1.5

3�4

0.3 1�5

4�10

0.4 0.75

0.030.25 1.25

3�10

3��100

25��100

1�4

1 1�42�5

0.21 1�2


La señora Jao decidió usar porcentajes para cambiar el precio de algunosartículos de su tienda. Hizo esta tabla.

13. Usa la Hoja de actividad del estudiante 5 para completar las columnas rotuladas “Precio nuevo” y “Precio nuevo como porcentaje del precio anterior”.

14. Describe y compara dos maneras de hallar el precio rebajado de lasgalletas que se venden, normalmente, a $4.98, pero que ahora tienenun 15% de descuento.

Mientras la señora Jao estaba trabajando en su oficina, sus dos hijos, Jim y Michelle, fueron a visitarla. Decidió tomar un descanso y beber un vaso delimonada con ellos.

Los niños discutieron sobre la cantidad de limonada de sus vasos.

15. a. Reflexiona ¿Estás de acuerdo con Jim o con Michelle? Defiende tu opinión.

b. ¿Puede tener razón la otra persona también? ¿Por qué?

22 Más o menos

Muchos cambiosC

Precio nuevoProducto Precio Cambio Precio como porcentaje

anterior nuevo del precio anterior

Leche entera $2.10 –10% 90%

Cena congelada $4.68 –25%

Pavo asado $13.25 +25%

6 latas de jugo $2.98 –5%

Salmón enlatado $3.60 +15%

“ Tienes el 25%

más que yo!”

“ No! Tú tienes

sólo el 20%

menos que yo!”

!

! !


Después de terminar su limonada, Jim y Michelle fueron a la Tienda deDepartamentos de Dale a comprar un regalo de cumpleaños para su amigoPuno. Lo eligieron y se lo llevaron a la cajera para hacer la compra. La cajeracometió un error y les dio un 20% de descuento. Cuando se dio cuenta desu error, decidió, simplemente, sumar el 20% del total.

16. a. ¿Crees que sumando el 20% del precio total se corrige el error?

b. Copia y completa el recibo.

17. Explica el efecto de restar el 20% del precio y luego sumar el 20% deese precio total.

Dale les recordó a sus empleados que tenían que verificar los preciosrebajados usando el porcentaje de descuento y el precio original.

18. Halla el precio original de una camiseta con un 20% de descuento y un precio rebajado de $15.


CMuchos cambios

Tienda de Departamentos de Dale

Exento de impuestosMercadería . . . . . . . . . . . . . . . . . $23.70

–20% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $______

TOTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $______

+20% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $______

TOTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $______


Para calcular el precio rebajado de unartículo con un descuento dado comoporcentaje o fracción, puedes hacerun cálculo de multiplicación.

Por ejemplo, supón que unartículo está rebajado en un 25%.

El descuento es el 25% o 1�4 .

El precio nuevo es el 75% o 3�4 delprecio anterior, de modo que semultiplica 3�4 veces el precio original.

Aumentar un porcentajedeterminado un precio es lomismo que tomar el 100% más elporcentaje de aumento del precio.

Por ejemplo, aumentar el 50%un precio es lo mismo quehallar el 150% del precio omultiplicar el precio original11

�2 veces.

En otras palabras, aumentar el 50% es lo mismo que multiplicar elprecio original por 11

�2 o por 1.5.

El supermercado Multiahorro hace pedidos de frutas frescas todos los días.Tim anota en una tabla los cambios en el peso. El gerente comparó en unatabla el peso de hoy con el peso de ayer.

1. Usa barras para indicar el cambio en el peso de cada tipo de frutapedida por el supermercado Multiahorro. Rotula las barras.

24 Más o menos

Muchos cambiosC

0 1

0% 100%

0 1 11�2

0% 100% 150%

0 1

0% 100%

03�4

4�4

0% 75% 100%

Pedido de fruta Cambio en el peso

Manzanas Un cuarto más

Peras Un tercio menos

Naranjas Dos quintos menos

Bananas Tres décimos más



Pedido de fruta Peso de ayer

Manzanas 80 kg

Peras 45 kg

Naranjas 100 kg

Bananas 120 kg

La siguiente tabla muestra el peso del pedido de fruta de ayer.

2. Usa la información de ambas tablas para hallar el peso del pedido de fruta de hoy. Muestra tus cálculos.

3. En la Tienda de Departamentos deDale, Tim compra una batería decocina completa. ¿Con qué ahorramás dinero, con un descuento de$1.50 o un descuento del 15% sobre cada artículo?

4. Un artículo tiene un descuento del 20%. ¿Qué fracción del preciooriginal debes pagar?

5. Describe cómo puedes hallar elprecio original si sabes que el preciorebajado es $42 y el precio originaltuvo un descuento del 25%.

Considera un artículo que tenía un precio original de $75.00. Tuvo undescuento del 25%. Luego se le hizo un segundo descuento del 15%del precio rebajado. ¿Es esto igual que un descuento original del 40%?Explica y muestra los cálculos.

$6.95

$7.95

$8.95

$9.95

$11.95


26 Más o menos

Maritza, Laura y Jamel están por inaugurar una tienda nueva llamada RollOn. Para promocionar la inauguración, Maritza y Jamel diseñan un folletocon una fotografía de una patinadora que usa patines en línea.

Esta es la fotografía que Maritza y Jamel quieren usar para el folleto.

Ellos se dieron cuenta de que la fotografía debía reducirse para que seajustara al folleto. Laura sugirió que usaran una fotocopiadora para vercómo quedaría la imagen reducida. Jamel y Maritza estuvieron de acuerdo.Encontraron una fotocopiadora que podía reducir los originales al 25 % yampliar originales al 400 %.

DMás o menos

Ampliar o reducir


Sección D: Más o menos 27

DMás o menos

1. Reflexiona ¿Qué significa reducir al 25 % y aumentar al 400 %? Da ejemplos para ilustrar tu explicación.

2. a. Supón que ellos reducenla fotografía al 50%.¿Cuál será el ancho y ellargo nuevos? Muestra tus cálculos.

b. Completa la cadena deflechas para describir lareducción al 50%.

largo original ⎯�…⎯⎯→ largo reducido

El resultado de esta reducción es aún demasiado grande para ajustarse al folleto.

Maritza sugiere: “Sólo toma la copia reducida y redúcela al 50% otra vez.Luego vemos si se ajusta”.

3. a. ¿Cuál es el ancho y el largo después de dos reducciones sucesivas al 50%?

b. Describe el cálculo para hacer dos reducciones del 50%.

c. ¿Cómo pueden obtener el mismo resultado si empiezan por eloriginal y aplican sólo una reducción?

Al grupo le ha costado mucho hallar el efecto de una reducción. Seríamucho más fácil si la tienda de impresión tuviera una tabla que muestre las medidas de un objeto luego de reducirlo.

4. Copia y completa la siguiente tabla para hacer una reducción al 30%.

5. a. ¿Cómo puedes usar una calculadora para hallar el efecto de unareducción al 30%?

b. Usa notación de flechas para describir este cálculo.

Largo original (en cm) 10 15 20 1 2 3 4 5

Largo reducido al 30%

Te invitamos a lainauguración de

Roll On,una tienda para patinadores que usan patines en línea.

INAUGURACIÓN

Ven a ver nuestra gran variedad en3563 Main Street.


$12.80

25% dedescuento

El grupo quiere hacer un póster usando la fotografía original. Esta vez sedebe ampliar la fotografía.

6. Halla las dimensiones de una fotografía de 10 cm (centímetros) por 15 cm ampliada al 200%. Muestra tus cálculos.

El resultado es demasiado pequeño para el póster, de modo que decidenampliar la fotografía original al 250%.

7. a. Halla las dimensiones de la fotografía (10 cm por 15 cm) ampliada al 250%. Muestra tus cálculos.

b. Usa notación de flechas para describir este cálculo.

Supón que quieres hacer una ampliación al 200%. La fotocopiadora queestás usando amplía sólo al 150%.

8. a. ¿Dos ampliaciones al 150% darán el resultado deseado? Explica.

b. Halla dos ampliaciones que se puedan realizar en esta fotocopiadorapara producir una ampliación final que se aproxime todo lo posibleal 200%. Copia la cadena de flechas para describir tu resultado.

largo original ⎯�…⎯⎯→ ……. ⎯�…⎯⎯→ largo ampliado

28 Más o menos

Más o menosD

DescuentosMaritza y Jamel fueron a La Tienda de Artículos para Oficina a comprarun marco para el póster. Había varios marcos en liquidación. A Maritzale gustó el que está a la izquierda.

9. a. ¿Cuánto es el descuento en dólares?

b. Maritza calculó el descuento con una multiplicación: 0.25 � $12.80.

Explica por qué esto es correcto. Para hallar una explicación, puederesultar útil la barra de porcentajes.

$0 $12.80

0% 100%

c. Calcula el precio rebajado de este marco.

25% de descuento



DMás o menos

10. a. Explica una multiplicación que pueda usarse paracalcular el descuento de este marco.

b. Halla el precio rebajado de este marco.

Maritza y Jamel decidieron comprar este marco. Cuandofueron a pagar, vieron que la cajera usaba una calculadorapara averiguar el precio rebajado.

15 0.65

11. Reflexiona Explica por qué este método es correctopara calcular el precio rebajado.

��

Impuesto sobre las ventasMaritza y Jamel pagaron por el marco más de $ 9.75. Cuando miraron lafactura, se dieron cuenta de que a su compra le habían sumado el impuesto

sobre las ventas. El impuesto sobre las ventas ayuda a pagar los servicioscomunitarios locales.

En muchas ciudades el impuesto sobre las ventas es del 8 %. De maneraque por cada artículo de $ 20, pagas $ 20 más el 8 % de $ 20.

Estas son tres maneras de calcular el impuesto sobre las ventas (8 %) para una compra de $ 20.

• Un método emplea una tabla de razones.

12. a. Copia la tabla de razones y completa la cantidad de dólares de un impuesto del 8 %.

Precio (en dólares) $ 100 $ 10 $ 1 $ 0.10

Impuesto del 8% (en dólares)

b. Usa esta tabla de razones para hallar el impuesto sobre las ventas (8%) para una compra de $20.

• Otro método emplea una barra de porcentajes.

$ 0 $ 10 $ 20

0 % 50 % 100 %

13. Copia esta barra de porcentajes en tu cuaderno y úsala para hallar el impuesto sobre las ventas (8 %) para una compra de $ 20.

$15

35% dedescuento


• Un tercer método emplea notación de flechas.

Precio ⎯�…⎯⎯→ Monto del impuesto

Esta ayuda a recordar las relaciones referenciales para el 1%,

que son 1��100 y 0.01.

14. a. ¿Qué fracción equivale al 8%?

b. ¿Qué decimal equivale al 8%?

c. Usa notación de flechas y una calculadora para mostrar cómo hallarel impuesto sobre las ventas (8%) para una compra de $20.

15. Copia la tabla y completa las dos últimas filas. Usa un impuesto sobre las ventas del 19%.

Precio en dólares $100.00 $10.00 $1.00

Impuesto en dólares

Costo total con el impuesto

Laura quiere averiguar el costo final de un artículo con un 19% de impuestosobre las ventas usando un cálculo de multiplicación. Usa notación deflechas para mostrar qué va a multiplicar.

Precio ⎯⎯� 1.19⎯⎯⎯→ Costo total con el impuesto

16. a. Explica por qué esta notación de flechas es correcta.

b. Escribe la cadena de flechas para calcular el costo total con unimpuesto sobre las ventas del 8%.

30 Más o menos

Más o menosD

Maritza y Jamel salieron del supermercadoMultiahorro; Jamel había comprado los artículosde la izquierda.

17. Halla el total de la factura de Jamel, incluidoel 8% del impuesto sobre las ventas.

Maritza pagó $12.63 en el supermercadoMultiahorro. Quiere saber cuántos dólares deltotal corresponden al impuesto. El impuestosobre las ventas es del 8%.

18. a. ¿Cómo lo puede averiguar Maritzausando notación de flechas?

b. Calcula el impuesto que Maritza pagó.


DMás o menos

Laura fue al banco local para abrir cuentas corporativas para su negocionuevo, Roll On. Habló con Leticia Beligrado. Cuando terminó de abrir lascuentas, le pidió a la señora Beligrado que hiciera una donación para lainauguración. La señora Beligrado accedió a donar una cuenta de ahorro de$250 como premio por la inauguración, pero quiso que el premio fuera aúnmás atractivo y especificó que el dinero debía permanecer en el bancodurante tres años. La cuenta de ahorro da un 2% de interés por año.

19. Reflexiona Investiga los planes de ahorro que ofrece el banco local.Escribe un párrafo que describa las opciones.

Si ganaras el premio por la inauguración, empezarías teniendo $250 en lacuenta de ahorro. Con una tasa de interés anual del 2%, el banco añadiría el2% de $250 al final del primer año. Como resultado, tendrías el 102% delpremio original.

$0 $250

0% 100% 102%

20. a. ¿Cuánto dinero tendrías después de un año?

b. La cuenta de ahorro daría el 2% del nuevo saldo al final del año siguiente. ¿Cuánto dinero tendrías en tu cuenta al final del segundo año?

c. ¿Y al final del tercer año?

El dinero de la cuenta crece considerablemente en apenas unos pocos años.

21. Reflexiona Explica por qué el interés total devengado es mayor cada año.


Interés creciente


32 Más o menos

Más o menos

En esta sección, estudiaste el porcentaje de aumento y disminución, y loaplicaste para cambiar el tamaño de fotografías y calcular el impuesto sobre

las ventas y el interés.

Para calcular el porcentaje de aumento o disminución, puedes usar muchasherramientas.

• Usa una tabla de razones.

Para un porcentaje de aumento, para hallar el impuesto y el costo totalusando un impuesto sobre las ventas del 8 %:

Precio en dólares $ 100 $ 10 $ 1 $ 12

Impuesto en dólares $ 8 $ 0.80 $ 0.08 $ 0.96

Costo total $ 108 $ 10.80 $ 1.08 $ 12.96

• Usa una barra de porcentajes.

Para un porcentaje de disminución, para hallar el precio rebajado de un artículo de $12.80 con un 25% de descuento:

$ 0 $ 9.60 $ 12.80

0 % 75 % 100 %

Para un porcentaje de aumento, para hallar el aumento del 25% de la ganancias de este año sobre las ganancias de $12,800 del año anterior:

$ 0 $ 12,800 $ 16,000

0 % 100 % 125 %

D

25% de descuento

25% de aumento



• Usa una recta numérica doble.

Para un porcentaje de disminución, para hallar el largo de una foto de20 cm reducida al 80 %:

• Usa notación de flechas.

Para un porcentaje de aumento, para hallar el costo total de cadaartículo incluido el 19 % del impuesto sobre las ventas:

Precio ⎯⎯� 1.19⎯⎯⎯→ Total con el impuesto incluido

Brenda y Kim están escribiendo un artículo para el periódico escolar.Necesitan reducir una foto que mide 12 cm por 18 cm.

1. a. ¿Cuáles serán las medidas nuevas de la fotografía si se la reduce al 50 %?

b. ¿Y si la fotografía original se reduce al 75 %?

Después, la diagramadora les informa que les adjudica un espacio de 5 cm por 10 cm para su foto.

2. ¿Qué reducción pueden aplicar Brenda y Kim para que su foto se ajuste al espacio disponible?

Ron y Ben están diseñando un póster para el concierto de la banda escolar.Quieren ampliar 5 veces el largo y el ancho de una fotografía.

3. a. ¿Qué aumento tendrían que aplicar para que todas las medidasfueran 5 veces más grandes de lo que son ahora?

0 cm 4 cm 16 cm 20 cm

0 % 20 % 80 % 100 %


34 Más o menos

Más o menos

La fotocopiadora que están usando amplía sólo al 200%. Necesitaránrealizar varias ampliaciones.

b. ¿Cómo pueden hacerlo? Usa notación de flechas para describir las ampliaciones que podrían realizar.

4. ¿Qué cálculo de multiplicación puedes usar para hallar el costo total deun artículo que tiene un 12% de impuesto sobre las ventas?

Salali compra los siguientes artículos. (Los precios no incluyen el impuesto.)

Sobres $2.05Un conjunto de 12 bolígrafos $5.99Una tarjeta de cumpleaños $1.80Una revista $3.95

5. Halla el total de la factura de Salali, incluido el impuesto del 12%.

Para describir aumentos y disminuciones, has usado barras de porcentajes,rectas numéricas dobles, notación de flechas y multiplicaciones.¿Cuál prefieres? ¿Por qué?

D



Las manzanas Deliciosas rojas cuestan $2.40 por kilogramo.

1. Estima el costo de las manzanas.

a. b.

Paul tiene $7 para gastar en manzanas.

2. ¿Cuántos kilogramos de manzanas Deliciosas rojas puede comprar?

3. Describe cómo calcular el costo de las siguientes cantidades de manzanas, que tienen un precio de $ 3.60 por kilogramo, usandouna tabla de razones.

a. 8 kg b. 2 1�4 kg c. 1.6 kg

En El Huerto del Edén, los clientes usan una balanza especial para hallar el costo de las frutas y verduras. La balanza imprime estos recibos.

Lamentablemente, la balanza no imprime el punto decimal en el precio total.

4. Determina con una estimación cuál debería ser el precio total de cada recibo.

a. b. c. d.

Peras Pepinos Pimientos rojos Papas

$2.75/kg $2.19/kg $4.25/kg $0.99/kg

1.35 kg 2.86 kg 3.87 kg 0.63 kg

Total: $37125 Total: $62634 Total: $16448 Total: $62370

Práctica adicional

Sección Precio de frutas y verdurasA


1. Vuelve a escribir los porcentajes como fracciones.

a. 75 % c. 331�3 % e. 662

�3 %

b. 10 % d. 50 % f. 25 %

2. Vuelve a escribir las fracciones como porcentajes.

a. 3�10 c. 1

�5 e. 8�10

b. 1�2 d. 3

�4 f. 1�3

3. Describe una manera lógica de resolver cada problema. Luego escribe las respuestas.

a. 50 % de 280 c. 20 % de 500 e. 60 % de 240

b. 10 % de 165 d. 51 % de 210 f. 14 % de 70

4. Pelé Artículos Deportivos y Julio Deportes están haciendoliquidaciones. ¿Qué tienda tiene el mejor precio para cada artículo de esta lista? Explica tus elecciones.

36 Más o menos

Práctica adicional

Sección DescuentosB

Artículo Pelé Artículos Deportivos Julio Deportes

Pelota de fútbol $ 20.00 25 % de descuento $ 19.00 $ 4.00 de descuento

Guantes de golf $ 8.40 20 % de descuento $ 8.65 $ 1.75 de descuento

Bolsa para bola $ 24.95 25% de descuento $ 26.49 $ 8.00 de descuentode boliche

Lentes protectores $ 5.14 30 % de descuento $ 5.20 $ 1.50 de descuentopara natación

Pelota de softbol $ 16.89 40 % de descuento $ 17.00 $ 6.75 de descuento

Zapatos de fútbol $ 52.90 15 % de descuento $ 50.95 $ 6.00 de descuento


La receta de Samantha del pastel de limón al estilo Florida fue seleccionadapara un cambio saludable. Esta es la información nutricional de las dosrecetas.

1. Usa una barra para ilustrar el cambio saludable en cada una de lascinco categorías. Rotula claramente cada barra.

Una manera de hallar el número de calorías de una porción de la receta

saludable del pastel de limón al estilo Florida es multiplicar 450 por 2�3.

2. a. ¿Qué fracción puedes usar para calcular la nueva cantidad de grasas? ¿La cantidad de colesterol? ¿La cantidad de sodio?¿El número de gramos de carbohidratos?

b. Halla la cantidad de cada categoría nutricional de la recetasaludable. Explica tu razonamiento.

Darnel debe hacer un póster para una presentación en la clase de Historia.Planea ampliar un dibujo pequeño que tiene 28 cm por 40 cm.

1. a. ¿Qué tamaño tiene el póster si Darnel amplía el dibujo al 115 %? ¿Al 125 %?

b. Darnel amplía el dibujo al 150 %. Es demasiado pequeño. Decide que le gustaría ampliarlo otro 150 %. ¿Qué tamaño tiene el póster resultante?


Práctica adicional

Sección Muchos cambiosC

Sección Más o menosD

PASTEL DE LIMÓN AL ESTILO FLORIDA DATOS NUTRICIONALES

CANTIDAD: UNA PORCIÓN

Categoría nutricional Receta original Cambios saludables

Calorías 450 Un tercio menos

Grasas 18 g Dos tercios menos

Colesterol 150 mg Tres quintos menos

Sodio 300 mg Un cuarto menos

Carbohidratos 50 g Tres décimos más


Darnel planea repartir dos fotografías durante su presentación. Lasfotografías tienen 21 cm por 27 cm. La fotocopiadora puede reducirfotografías sólo al 75 %, al 70 % o al 60 %.

2. Explica qué puede hacer Darnel para reducir sus fotografías de modoque las dos quepan en una hoja de 21.5 cm por 28 cm y tengan elmáximo tamaño posible.

Cuando Laura cumplió doce años, sus abuelos crearon un fondo parafinanciar el costo de la universidad. Depositaron $500 en una cuenta deahorros que da el 4 % de interés por año.

3. a. ¿Cuánto dinero hay en la cuenta después de un año?¿Qué porcentaje de la cantidad original es?

b. Cuando Laura entre en la universidad, dentro de seis años, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta?

38 Más o menos

Práctica adicional


1. a. Hay distintas estrategias para resolver este problema y haydistintas soluciones correctas. Sin embargo, si tu respuesta noestá entre $ 4.20 (� 2 � $ 2.10) y $ 6.30 (� 3 � $ 2.10), entoncesdeberías volver a hacer el problema o pedirle ayuda a uncompañero o a tu maestro.

Ejemplos de soluciones correctas:

• $ 5.20, porque está casi a mitad de camino entre $ 4.20 y $ 6.30.

• $ 4.62, porque 2kg de manzanas cuestan $ 4.20.0.1 kg de manzanas cuestan $ 0.21, de manera que 0.2 kg cuestan $ 0.42.2.2 kg de manzanas cuestan $ 4.20 � $ 0.42 � $4.62.

b. Hay distintas estrategias para resolver este problema y hay distintassoluciones correctas. Sin embargo, si tu respuesta no está entre

$ 1.05 (� 1�2 � $2.10) y $ 2.10, entonces deberías volver a hacer el

problema o pedirle ayuda a un compañero o a tu maestro.

Ejemplos de soluciones correctas:

• $ 1.50, porque está casi a mitad de camino entre $1.05 y $ 2.10.

• $ 1.68, porque 1 kg de manzanas cuesta $2.10.

0.1 kg de manzanas cuestan $0.21, entonces 0.2 kg cuestan $0.42.

0.8 kg de manzanas cuestan $ 2.10 � $ 0.42 � $ 1.68.

2. Tu respuesta debe ser un poco más de 3 kg.

Ejemplo de estrategia:

tres kilogramos de manzanas cuestan $ 6.30, entonces a Paul le sobran $ 0.70 ($ 7 � $ 6.30 � $ 0.70).

A partir de aquí, hay distintas estrategias para continuar.

• $ 0.70 son casi $1, y 1 kg cuesta cerca de $2.

$1 es 1�2 de $ 2, de manera gue puede comprar 1 � 1�2 � 1 1

�2 kg

de manzanas.

• Un kilogramo de manzanas cuesta $2.10.

$ 0.70 son 70��210 o 1�3 de $ 2.10, entonces puede comprar 31

�3 kg

de manzanas.


Respuestas para verificar tu trabajo

Sección Precio de frutas y verdurasA


El precio de las manzanas Deliciosas doradas es $3.60 por kilogramo.

3. a. Hay distintas estrategias para hallar el precio sin usar calculadora.Quizá hayas descrito una de las siguientes estrategias.

• Calcular el precio de 3 kg usando una tabla de razones.

• Calcular mentalmente 3 � $ 3.60.

3 � $ 3 � 3 � $ 0.60 � $ 9 � $ 1.80 � $ 10.80

b. Hay distintas estrategias para hallar el precio sin usar calculadora.Quizá hayas descrito una de las siguientes estrategias.

• En la parte a, calculé el precio de 3 kg. Dado que 0.3 kg son un décimo de 3 kg, puedo calcular un décimo de $10.80, que es $ 1.08.

c. Hay distintas estrategias para hallar el precio sin usar calculadora.Quizá hayas descrito una de las siguientes estrategias.

• En la parte b, calculé el precio de 0.3 kg ($ 1.08), entonces sólo tengo que sumar el precio de dos kilogramos ($ 7.20). La respuesta es $ 1.08 � $ 7.20 � $ 8.28.

4. a. 1�2 x $ 47.00 = $ 23.50. Es posible usar muchas estrategias.

Estas son algunas.

• Expresar $47.00 como $ 46.00 � $ 1.00:

1�2 de $ 47.00 � 1

�2 de ($ 46.00 � $ 1.00)

� 1�2 de $ 46.00 � 1

�2 de $ 1.00

� $ 23.00 � $ 0.50

� $ 23.50

• Expresar $ 47.00 como $ 40.00 � $ 7.00:

$ 47.00 es igual a $ 40.00 � $ 7.00.1�2 de $ 40.00 son $ 20.00 y 1�2 de $ 7.00 son $ 3.50

Entonces, 1�2 � $ 47.00

� $ 20.00 � $ 3.50 � $ 23.50.

40 Más o menos


� 2�

Precio

Peso (kg)

$3.60

1

$7.20

2

$10.80

3


• Pensar en $47.00 como $50.00 � $3.00:1�2 de $47.00 � 1

�2 de ($50.00 � $3.00)

� 1�2 de $50.00 � 1

�2 de $3.00

� $25.00 � $1.50

� $23.50

b. 11�4 � $8.20 � $10.25. Las estrategias variarán.

• 1�2 de $8.20 � $4.10, de manera que1�4 de $8.20 � $2.05.

Entonces, 11�4 � $8.20

� $8.20 � $2.05 � $10.25.

• Usa una tabla de razones:

Precio $8.20 $4.10 $2.05 $10.25

Peso (kg) 1 1�2

1�4 11

�4

5. Kenji podría haber pensado:

• 12.54 es más que 12, y 0.39 es más que 1�3. Entonces, la respuesta

será más que 1�3 de 12, que es 4. Verificar si 4.8096 es más que 4.

• 12.54 es aproximadamente 12, y 0.39 es aproximadamente 0.5.Entonces, eso sería como tomar 1�2 de 12, que es 6. Laverificación de 4.8096 es razonable.

1. El descuento 3 da el mejor precio rebajado. Quizá hayas usado una de las siguientes estrategias:

• Calcular y comparar los precios de descuento.

Descuento 1: el 10% de $5.98 son unos $0.60. De manera que, el 5% de $5.98 son más o menos $0.30.

El precio rebajado es $5.98 � $0.30 � $5.68.

Descuento 2: el descuento son $0.50. De manera que, el precio rebajado es $5.98 � $0.50 � $5.48.

Descuento 3: un quinto de $5.98 es aproximadamente $1.20. De manera que, el precio rebajado es $5.98 � $1.20 � $4.78.

Así, el descuento 3 da el mejor precio rebajado (el descuento mayor).



Sección DescuentosB


• Calcular y comparar las fracciones de descuento.

Descuento 1: un 5 % de descuento es �1�20 de descuento.

Descuento 2: un descuento de $ 0.50 sobre $6.00 es

�50��600 � �

5�60 � �

1�12 .

Descuento 3: 1�5 de descuento.1�5 es mayor que �1�20 y que �1�12.

De manera que, el descuento 3 da el mejor precio rebajado.

• Usar porcentajes para comparar los descuentos:

Descuento 1: 5 %

Descuento 2: $ 0.50 es un poco menos que el 10 % de $ 5.98.

Descuento 3: 1�5 es el 20 %.

Entonces, el descuento 3 da el mejor precio rebajado.

2. El descuento es de $ 144. Quizá hayas usado una de las siguientes estrategias.

• Pensar en el 60% como 50 % � 10 %:

Usar una barra de porcentajes.

$ 0 $ 24 $ 120 $ 144 $ 240

0 % 10 % 50 % 60 % 100 %

Dado que el 60 % puede escribirse como 50 % � 10 %, hallar el 50 % de $ 240, que es igual a $ 120.

Luego hallar el 10 % de $ 240, que es igual a $ 24.

Así, el 60 % de $ 240 � $ 120 � $ 24 � $ 144.

• Pensar en el 60 % como seis veces el 10 %.

Dado que el 60 % puede escribirse como seis veces el 10 %,hallar el 10 % de $ 240, que es igual a $ 24.

Luego multiplicar 24 por 6, que es igual a 144.

Así, el 60 % de $ 240 � $ 144.

• Usar una calculadora:

Ingresar: 0.60 � 240 � 144.

42 Más o menos





3. El acondicionador de $280 costará $112; el acondicionador de $200costará $80; el acondicionador de $275 costará $110. Quizá hayas usado la siguiente estrategia.

Acondicionador de $ 280:

60% de $280 � $ 168.

El precio rebajado es $ 280 � $ 168 � $ 112.


60% de $ 200 � $ 120.

El precio rebajado es $200 � $ 120 � $ 80.


60% de $ 275 � $ 165.

El precio rebajado es $ 275 � $ 165 � $ 110.

4. a. Hay diferentes maneras de terminar sus cálculos. Quizá hayas usado una de estas estrategias.

• La señora Vander usa �1�10 de 800 � 80:

�1�10 de 800 � 80, y

4 � 80 � 40 % de 800 � 320. También,

dado que el 10 % de 800 � 80, 5 % es igual a

un medio de 80, que es 40.

Entonces, el 45% de 800 � 320 � 40 � 360.

• La señora Vander podría haber usado también una estrategia del 10%:

El 10% de 800 es 80, así el 40 % es 320 (4 � 80).

El 5% es un medio del 10 %, así el 5% es 40 (1�2 � 80).

Entonces, el 45% es 360 (320 � 4).

• El señor Sánchez usa una estrategia que dice que el 45 % es 50 % � 5 %:

El 50 % es 400 (1�2 of 800). Necesito quitarle el 5 %.

El 5 % es 40 (�1�10 de 50 %).

El 45 % es 360 (400 � 40).

O usar una tabla de razones:

Número de clientes 800 400 40 360

Porcentaje 100 % 50 % 5 % 45 %


5. Las respuestas variarán. Ejemplos de respuesta:

• Un medio del 50% es 25%.

El 50% de 900 es 450 (1�2 de 900).

Un medio del 50% es 225.

El 25% es 1�4 del entero. Puedo hallar1�4 de 900 dividiendo 900 por cuatro; 900 � 4 � 225.

1. Las respuestas variarán. Estos son ejemplos de respuesta:

Manzanas

Peras

Naranjas

Bananas

2. Quizá hayas usado estrategias como estas.

Manzanas: 1�4 más son 100 kg; 1�4 de 80 kg son 20 kg; 1�4 más

son 100 kg (80 � 20).

Peras: con 1�3 menos quedan 30 kg. 1�3 de 45 son 15, y

45 � 15 son 30 kg.

Naranjas: 2�5 menos son 60 kg. 1�5 de 100 son 20 kg, así 3�5 de 100

son 3 � 20 � 60 kg.

Bananas: 3�10 más son 156 kg. 1�10 de 120 kg son 12 kg, así 3�10 de 120

son 3 � 12 � 36; 36 � 120 � 156 kg.

44 Más o menos


Sección Muchos cambiosC

1�3

1�5

�1�10�

1�10�

1�10

1�5

1�4


3. Tim ahorra más dinero con un descuento de $ 1.50 para cada artículo,que es un descuento de $ 7.50 (5 � $ 1.50). Quizá hayas usado una deestas estrategias.

• Calcular el 15 % del total:

El 15 % de ($11.95 � $ 9.95 � $ 8.95 � 7.95 � 6.95) 15 % de$ 45.75 es un poco más que $ 6.86, que no es tanto como $ 7.50 de descuento.

• Calcular el 15 % de descuento de cada artículo usando calculadora:

0.15 � $ 11.95 � 0.15 x $ 9.95 � 0.15 � $ 8.95 + 0.15 �$ 7.95 � 0.15 � $ 6.95 = 6.8625 cerca de $ 6.86, que no es tanto como $7.50 de descuento.

• Estimar el 15 % del total:

La estimación del total es $ 46 ($ 7 + $ 8 +$ 9 +$ 10 +$ 12).

El 15 % de $ 46, que es 10% � 5 % of $ 46, que es $ 4.60 � $ 2.30 � $6.90, y esto es menos que el descuento de $7.50.

Si haces una estimación más exacta podrías obtener:

El total es $ 7 � $ 8 � $9 � $ 10 � $ 12 – 5 � $ 0.05 � $ 45.75.

El 15% de $ 45.75 son unos $ 6.86, que es menos que $ 7.50.

4. Debes pagar el 4�5 del precio anterior.

Ejemplo de estrategia en la que se usa una barra de porcentajes:

80 % 100 %

4__5

�1__5

5. El precio original es $ 56.

¡Advierte que aquí no se había dado el precio original!

Hay varias maneras de resolver este problema.

• Usar una barra de porcentajes:

$ 14 $ 42

0 % 25 % 75 % 100 %

Dado que $ 42 es el precio rebajado después de aplicarse un25 % de descuento, el 75 % o 3�4 de la barra, representa $ 42. Así, el 25 % de la barra son $ 14 y la barra entera tiene que ser 4 veces esto o $ 56.



descuento


46 Más o menos


• Usar una recta numérica doble con fracciones y decimales:

$ 0 $ 14 $ 28 $ 42 $ 56

0 1�4

1�2

3�4

1

0 % 25 % 50 % 75 % 100 %

• Usar una tabla de razones:

Precio $ 42 $ 14 $ 56

Porcentaje 75 % 25 % 100 %

1. a. Las nuevas medidas son 6 cm por 9 cm.Ejemplos de cálculo:

El 50 % de 12 cm es 1�2 de 12 cm o 6 cm.

El 50 % de 18 cm es un medio de 18 cm o 9 cm.

b. Las nuevas medidas son 9 cm por 13.5 cm.Ejemplos de cálculo:

Reducido al 75 %, las nuevas medidas son 3�4 de las anteriores.1�4 de 12 cm son 3 cm, y 3�4 son 3 veces más, luego

3 � 3 cm � 9 cm. 1�4 de 18 cm son 18 � 4 � 4.5 cm y 3�4 son 3 veces más, así

3 � 4.5 cm � 13.5 cm.

2. Las reducciones deben acercarse al 42 % y ser algo menores. Esta es una estrategia:Si se usa la 1a y se reduce la fotografía al 52 %, esta queda demasiado ancha, pero no demasiado larga.

Si se reduce al 40 %, se necesita verificar sólo el ancho.

40 % de 12 cm:

El 10 % de 12 es 1.2 cm, así el 40 % son 4.8 cm (4 � 1.2 cm).

Por lo tanto, el ancho (4.8 cm) es menor que 5 cm, así que se ajustará una reducción al 40 %.

Sección Más o menosD


3. a. 5 veces ese tamaño es una ampliación al 500%.

b. medida �2⎯→ .... �2⎯→ .... ⎯�1.25⎯⎯→ nueva medida

Hay distintas maneras de resolver este problema. Esta es una.Necesitan realizar varias ampliaciones. Comenzar por el 200%o �2. Luego usar de nuevo esta ampliación del 200% o �2.Esto significa que ahora el resultado es el 400% o � 4. Esto aún es demasiado pequeño. Una ampliación de la fotografíaampliada al 125% dará como resultado una ampliación de lafotografía original al 500%.

Otra manera de resolver este problema es elegir una medida (porejemplo, 100 cm) y luego usar las flechas para hallar la cantidad final.

100 �2⎯→ 200 �2⎯→ 400 �?⎯→ 500

Para llegar de 400 a 500, es necesario que multipliques por 1.25.

400 � 100 � 400 � (1 � 1�4 )

� 400 � (1.25)

4. Multiplica por 1.12.

5. El total incluido el impuesto son $15.44. Puedes calcular el impuestosobre cada artículo, hallar el precio y sumar todos los precios, pero es más fácil sumar los precios primero y calcular el impuesto sobre el total.

El total sin el impuesto son $13.79.

Con el impuesto incluido:

$13.79 ⎯� 1.12⎯⎯→ $15.44




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