Energía mecánicaEnergía del movimiento armónico simple

Energías cinética (Ec), potencial (Ep) y mecánica(Em) en el movimiento armónico en función de la la elongación.

En el M.A.S. la energía se transforma continuamente de potencial en cinética y viceversa.En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la partícula que realiza el M.A.S es la suma de su energía potencial más su energía cinética.

Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento armónico es producido por una fuerza conservativa).

De la definición de energía cinética, reemplazando la ecuación de la rapidez  de una partícula con movimiento armónico simple, se obtiene:

Ec=12

m v2=12

m ω2 A2 sen2 (ωt+φ )

La energía potencial elástica almacenada en un resorte, para cualquier deformación x es:

Ep=12

k x2=12

k A2cos2 ( ωt+φ )

La energía mecánica total en el movimiento armónico simple, considerandoque  ω2 = k/m o bien mω2 = k, se puede escribir como:

E=Ec+Ep=12

k A2 [ sen2 (ωt+φ )+cos2 (ωt+φ ) ] 

E=12

k A2

Ejemplo:

Una masa de un 1,00 kg se conecta a un resorte ligero con una constante de fuerza igual a 40,0 N/m que oscila sobre una pista horizontal sin fricción. Calcular la energía total del sistema si la amplitud del movimiento es de 0,06 m

Solución:

Masa: 1,00kg        A: 0,06 m       k: 40,0 N/m

E=12

k A2

E=12 (40,0

Nm ) (0,06 m )2

E=(20,0Nm ) (0,0036 m2 )

E=0,072 N . m

E=0,072 J

Acoplamiento de resortesUn cuerpo se denomina elástico si al actuar una fuerza sobre él sufre una deformación de tal manera que al cesar de actuar la fuerza recupera su forma original. El prototipo (macroscópico) de un cuerpo elástico lo constituye un resorte o muelle en un rango de deformaciones no demasiado grandes (rango de elasticidad). Si la deformación supera un cierto umbral (límite de elasticidad) el resorte queda permanentemente deformado. El cuerpo elástico (el “resorte” de ahora en adelante) es en sí mismo un sistema croscópico bastante complejo. Sin embargo, la fuerza que dicho cuerpo ejerce sobre unobjeto unido a uno de sus extremos resulta satisfactoriamente descrita por la llamada Ley de Hooke: la fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo es proporcionaly tiene el sentido opuesto a la deformación del resorte, tendiendo a que el resorte recupere su longitud original. La constante de proporcionalidad entre la fuerza y la deformación se denomina constante de recuperación, y se denota habitualmente por el símbolo k. Sus unidades sonN/m en el sistema MKS y din/cm en el sistema CGS.

La expresión matemática de la Ley de Hooke es:

Asociación o acoplamiento de resortes

Los resortes, al igual que las resistencias eléctricas y los condensadores, pueden acoplarse de dos formas radicalmente diferentes, serie y paralelo, y por supuesto, cualquier otra asociación mixta que se pueda formar entre estas dos. Estudiar una “batería” de resortes, conociendo las propiedades que tienen en cada una de las configuraciones base, simplifica extraordinariamente el cálculo de las mismas.

Asociación en Serie:

ES cuando los resortes se instalan uno a continuación de otros .N resortes están asociados o acoplados en serie, si cada uno de ellos se inserta a continuación de otro en la misma línea de acción:

K1 K2 Kn

 Cuando los muelles se asocian en serie, como los que se muestran en la figura, todos están sometidos a la misma fuerza elástica, y la elongación total es la suma de las elongaciones de cada uno de los muelles.

 

Como la elongación es la suma de las elongaciones, X=x1+x2+…….+xn , cada una de las elongaciones se puede expresar en función de la fuerza aplicada y de la

constante elástica x1= Fk1

, x2= Fk2

, ……….xn= Fkn

de forma que:

x=Fk1

+Fk2

+…… ..+Fkn

=F ( 1k1

+1k 2

+……+1k n

)En el sistema equivalente:

x= Fkequ

Operando,1

kequi

= 1k1

+ 1k2

+…….+ 1kn

En general:

1ke

=∑i=1

n1k i

Asociación en paralelo

En muchas aplicaciones prácticas se encuentra que existen varios muelles asociados. Es conveniente sustituir todos ellos por uno único. El objetivo es calcular la constante equivalente del muelle. Cuando los muelles se asocian en paralelo, como los que se muestran en la figura la fuerza elástica se reparte entre ellos. Todos los muelles experimentan la misma elongación. El objetivo es sustituir el conjunto de n muelles por uno único, que debe ser tal que al actuar sobre la masa m la misma fuerza F, el muelle experimente la misma elongación x.

Por tanto K eq=k1+k2+…….+kn ,  la constante equivalente es la suma de las   

constantes elásticas de cada uno de los muelles.

En general:

k e=∑i=1

n

k i

Ejemplo:

Dos resortes están unidos y conectados a una masa “M” como se muestra en la figura. 

Considerando que las superficies no tienen fricción, además los resortes separadamente tienen constantes de fuerza “k1” y “k2”. Determinar la frecuencia de oscilación de “M”.

1keq

=∑ 1k i

1keq

= 1k 1

+ 1k2

=k1+k2

k 1k2

k eq=k1 k2

k1+k 2

f = 12π √ k

m

f = 12 π √ k1 k2

M ( k1+k2 )

PENDULO SIMPLEEl péndulo simple es otro sistema mecánico que tiene un movimiento periódico oscilatorio, si se mueve en un medio sin fricción. Un péndulo es un sistema formado por una masa puntual m suspendida en el aire por una cuerda de longitud L, de masa muy pequeña comparada con la masa m, por lo que se desprecia; la parte superior de la cuerda se encuentra.

El movimiento del péndulo producido por la fuerza de gravedad se realiza en un plano vertical, y es un movimiento armónico simple si el ángulo θ que forma la cuerda del péndulo con la vertical es pequeño, como se puede demostrar a continuación. Las fuerzas que actúan sobre la masa m son la tensión T de la cuerda y el peso mg de la masa

La componente tangencial del peso, mg senθ, siempre apunta hacia θ = 0, en dirección opuesta la desplazamiento. Esta es la fuerza de restitución, entonces puede escribirse la ecuación de movimiento en la dirección tangencial de la forma:

F t=−mgsenθ→ md2 sdt 2 =−mgsenθ

Donde s es el desplazamiento medido a lo largo del arco de trayectoria y el signo menos indica que Ft actúa opuesta al movimiento. Como s = Lθ y L es constante, la ecuación se transforma en:

d2θdt 2 =−g

Lsenθ

Como el lado derecho es proporcional a senθ, y no solo a θ, se concluye ue el movimiento no es armónico simple. Esa es una ecuación diferencial difícil de resolver, por lo que se supone que el péndulo se mueve en pequeños desplazamientos, tal que θ es pequeño, en este caso se puede usar la aproximación senθ ≈ θ y la ecuación diferencial del movimiento se reduce a:

d2θdt 2 =−g

Lθ

Que tiene la misma forma que la ecuación que describe al movimiento armónico simple, por lo que solo en esas condiciones el movimiento del péndulo es un movimiento armónico simple. Su solución es entonces:

θ=θcos (ωt+δ )

Donde θes la amplitud que corresponde al máximo desplazamiento angular y ω es la frecuencia angular, de valor:

ω=√ gL

El periodo del movimiento es:

T=2 πω

=2 π √ Lg

El periodo y la frecuencia de un péndulo simple dependen solo de la longitud de la cuerda y la aceleración de gravedad, y son independiente de la masa m del péndulo. Esto significa que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo lugar, oscilarán con el mismo periodo.Comúnmente se usa el péndulo simple como un medidor de tiempo. También es un dispositivo adecuado para hacer mediciones precisas de la aceleración de gravedad, que son importantes por ejemplo cuando las variaciones locales de g pueden dar información sobre las fuentes subterráneas de petróleo u otros recursos minerales.

Ejemplo: Una persona que anda trayendo un cronómetro, pero no una huincha para medir la altura de un edificio, quiere saber su altura. Entonces instala un péndulo que se extiende desde el techo hasta el piso y mide que tiene un periodo de 15 s. a) Calcular la altura de ese edificio. b) Si el mismo péndulo estuviera en la Luna, donde g =1.7 m/s2, calcular el periodo.

Solución: se conoce T = 15 s, entonces:

a)

T=2 π √ gL

→ L= ¿2

4π 2=(10 ) (15 )2

4 π2 =57 m

b)

T=2 π √ Lg=2 π √ 57

1.7=36.4 s

Péndulo físicoUn péndulo físico consta de cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por su centro de masa. El cuerpo rígido oscilará cuando se desplaza de su posición de equilibrio. Si el cuerpo rígido se sujeta en un eje que pasa por un punto O a una distancia d del centro de masa, la fuerza debido a la gravedad produce un torque respecto de O, de magnitud mgd senθ. Como el torque se escribe τ = Iα, donde I es el momento de inercia respecto al eje que pasa por O y α es la segunda derivada de la rapidez angular, se obtiene:

Id2θdt2 =−mgd . senθ

El signo menos indica que la fuerza de gravedad es una fuerza de restitución que produce un torque que hace disminuir el ángulo θ. Para resolver esta ecuación, nuevamente se supone que el péndulo físico se mueve en pequeños desplazamientos, tal que θ es pequeño, en este caso se puede usar la aproximación senθ ≈ θ y la ecuación diferencial del movimiento se reduce a:

d2θdt 2 =−mgd

Iθ=−ω2 θ

Tiene la misma forma que la ecuación que describe al movimiento armónico simple, por lo que en esas condiciones así es el movimiento del péndulo. Su solución es entonces:

θ=θCOS (wt+δ )

Donde θ es la amplitud que corresponde al máximo desplazamiento angular y ω es la frecuencia angular, de valor:

ω=√ mgdI

El periodo del movimiento es:

T=2 πω

=2 π √ Imgd

Se pueden usar estos resultados para medir el momento de inercia de cuerpos rígidos planos. Si se ubica el centro de masa y se mide d, se puede obtener el momento de inercia midiendo el periodo del péndulo físico. El periodo del péndulo físico se reduce al del péndulo simple, cuando toda la masa del cuerpo rígido se concentra en su centro de masa, ya que en este caso I = md2

Ejemplo:Se tiene una barra uniforme de masa “M” y de longitud “L” que gira alrededor de uno de sus extremos y oscila en un plano vertical. Hallar el periodo de oscilación si la amplitud del movimiento es pequeño.

Solución:

La barra oscila como un péndulo físico, su periodo es:

T=2 π √ Imgd

=2 π √ 13

M L2

MgL2

=2 π √ 2 L3g