movimiento de sistemas de particulas

Departamento de Física USACH, Luis Rodríguez V 1

Movimiento de un sistema de partículas

1. Sí cada partícula de un sistema es atraída hacía un punto fijo 0 con una fuerzaproporcional a su masa y a su distancia al punto 0, demuestre que el centro de masas semueve como sí fuera una partícula del sistema

2. Un conjunto de partículas de masas m, pueden deslizar libremente sobre alambresparalelos y se atraen una a otras con fuerzas proporcionales al producto de sus masas ya sus distancias. Demuestre que las partículas efectúan oscilaciones armónicas delmismo período relativas a un plano perpendicular a los alambres y que pasa por el centrode masas supuesto en reposo.

3. Dos partículas iguales se atraen con una fuerza inversamente proporcional al cuadradode su distancia. Sí las partículas deslizan sobre correderas lisas en ángulo recto,demuestre que el centro de masas describe una cónica con su foco en la intersección delas correderas.

4. Dos partículas deslizan sobre correderas lisas perpendiculares que se interceptan en 0.

Demuestre que si las partículas. se atraen y ellas parten desde el reposo de posicionescualquiera sobre las correderas, ellas llegarán simultáneamente a la intersección.

5. Dos partículas de masas iguales a m se mueven sobre las correderas lisas

perpendiculares OX y OY y se atraen con una fuerza proporcional a su distancia siendo Kla constante de proporcionalidad. Inicialmente:

x a y a

x V y

( ) , ( ) ,

&( ) ( ) ,

0 0

0 0 00

= == − =

a) Determine x(t) , y(t).b) Determine la ecuación cartesiana de la trayectoria del centro de masas del sistema.

6. Dos partículas de igual masa están unidas por un resorte de constante K y largo naturala. Además actúa entre ambas partículas una fuerza amortiguadora proporcional a larapidez de la variación de la distancia entre ellas. El sistema se coloca en movimientodándole a una de las partículas una velocidad V0 perpendicular a la línea que une laspartículas. Determine V0 si después de un tiempo muy largo, el largo del resorte es 2a.


7. Dos partículas A y B de idéntica masa m, estánunidas entre sí por una cuerda inextensible delargo a. La partícula A se mueve por unacorredera horizontal lisa OX, mientras que lapartícula B se mueve por una corredera verticallisa OY, ambas en un plano vertical. InicialmenteB está en 0 y OA = a, con el sistema en reposo.Si θ es el ángulo en B:

a) Calcular en función de θ las reacciones queejercen las correderas sobre las partículas.

b) Calcular la tensión en la cuerda en función de θ

8. Se tiene el sistema de dos partículas m1 y m2 dela figura en que el resorte, de constante k notiene masa. Determinar el valor mínimo de lacompresión ∆X del resorte, medido respecto desu largo natural, para que al soltar m1 sedespegue m2 .

9. Tres partículas iguales están inicialmente en línea recta igualmente espaciadas sobre unplano horizontal liso y unidas por dos hilos de largos "a". La partícula del medioinicialmente está en reposo y a las partículas externas se les da una velocidad V0

perpendicular a la línea que las une. Calcule la velocidad con que chocan las partículas.

Sistemas de masa variable

10. Una cadena de longitud L y masa total M se suspende verticalmente de modo que suextremo inferior está justo a nivel del suelo. Si la cadena se suelta, determine lareacción la acción contra el suelo mientras la cadena se deposita cayendo por su propiopeso.

11. Una cadena de longitud L y masa total M está amontonada sobre el suelo. Si la cadenase levanta de un extremo aplicando una fuerza constante F hacia arriba, determine laaltura que sube la cadena en función del tiempo. Discuta sobre la altura máxima que

Y

XO

B

A

θ

m

m

m

m

1

2


alcanza la cadena, supuestamente muy larga de tal modo que siempre queda cadenadepositada.

12. Una gota esférica de agua atraviesa una capa de nube en reposo. Suponiendo que secondensa agua por unidad de tiempo sobre la gota, proporcionalmente a su superficiecon constante de proporcionalidad K conocida, determine como crece el radio de lagota con el tiempo y como varía la altura de ella a medida que transcurre el tiempo.

13. Un carrito, inicialmente de masa M y en reposo sobre un plano horizontal liso, comienzaa moverse debido a que es impulsado por un chorro continuo de masa que se le vaincorporando. Dichas masas salen desde el punto de partida (como de unaametralladora) con rapidez Uo y a razón de λ unidades de masa por unidad de tiempo yse incrustan en el carrito cuando lo impactan. Determine la forma en que varían laaceleración, la velocidad y la posición el móvil con el tiempo.

14. Un cohete de masa total M de la cual una fracción fM, con f menor que uno, es decombustible, descansa verticalmente antes de encender los motores. Si se enciendenlos motores que arrojan masa a razón de λ unidades de masa por unidad de tiempo ycon rapidez relativa al cohete Uo , establezca la condición que debe cumplirse para queel cohete comience a despegar de inmediato. Para este caso, determine la máximaaltura que alcanza, suponiendo aceleración de gravedad constante y despreciando elroce con el aire.

15. Una cadena de largo total M y longitud L, flexible, es sostenida colgando de modo que

su extremo inferior está justo al nivel del suelo. Si el extremo superior de la cadena sesuelta, determine la reacción del suelo contra la parte depositada, en función del tiempo.

16. Una cadena flexible tiene masa total M y

longitud L. La cadena está inicialmenteamontonada en el suelo. Una cuerda se hacepasar sobre una polea lisa, uno de losextremos unido a un extremo de la cadena yel otro extremo de la cuerda a un partícula demasa M. Si la partícula se suelta partiendodel reposo

a) escriba la ecuación de movimiento para elextremo de la cadena.

b) determine la rapidez del extremo de lacadena en función de su posición.

M


Movimiento en un campo de fuerzas centrales

17. Una partícula describa una órbita circular en un, campo de fuerzas dado por

F rK

r( ) = − 2

Demostrar que si k disminuye bruscamente a la mitad de su valor inicial, la órbita lapartícula se hace parabólica. Calcular explícitamente la media temporal,. (o sea, lamedia en un periodo completo) de la energía potencial de una partícula que se, mueve,sobre una órbita elíptica en un campo central en el que la fuerza obedece la ley deinversa del cuadrado de la distancia. Expresar. el resultado en función de la constantede proporcionalidad de la fuerza y del semieje mayor de la elipse. Efectuar un cálculosimilar para la energía cinética. Comparar los resultados y comprobar el teorema delvirial en este caso.

18. Dos partículas iguales que se mueven bajo la influencia atracción gravitacional mutua,describen órbitas circulares una en torno de la otra con. un período τ. Sirepentinamente se detienen y caen una sobre la. otra, demostrar que chocarán después

de un tiempoτ

4 2.

19. Dos masas que se atraen, m1,, y m2 (m1+ m2= M), están separadas una distancia ro y selas suelta a partir del reposo. Demostrar que cuando la distancia sea r menor que ro,las velocidades serán

v mG

M r r

v mG

M r r

1 20

2 10

2 1 1

2 1 1

= −

= −

( )

( )

20. Demuestre que la velocidad areolar es constante en, el caso de una partícula se muevabajo la acción de una fuerza atractiva dada por F r Kr( ) = − . Calcule las mediastemporales de las energías cinética y potencial y comparar con los resultados que da elteorema del virial.

21. Estudiar el movimiento de una partícula repelida por un centro de fuerzas de acuerdocon la ley F(r)=kr. Demostrar que la órbita sólo puede ser hiperbólica.

22. Una partícula se mueve bajo la influencia de una fuerza central dada por F rK

r n( ) = − .

Demuestre si la órbita es circular y pasa por el centro de fuerzas, entonces n=5.


23. Suponga un cometa que describe una órbita parabólica en el mismo plano que la órbitaterrestre. Si la menor distancia del cometa al Sol es γRt donde Rt es el radio de laórbita de la Tierra (supuesta circular) y γ<1, demostrar que el tiempo que el cometapasa dentro de la órbita terrestre viene dado por

2 1 1 2 3( )( ) /− +γ γ π años

¿Cuántos días estará el cometa en la órbita terrestre, si se acerca al Sol hasta distanciadel perihelio de Mercurio?

24. Estudiar el movimiento de una partícula en un campo de fuerzas centrales que sigue laley de proporcionalidad inversa del cuadrado de la distancia, si además se superponeotra fuerza de magnitud inversamente proporcional al cubo de la distancia entre lapartícula y el centro de fuerzas. Es decir,

F rK

r r( ) = − −2 3

λ con K,λ >0.

Demuestre que la trayectoria es una elipse que rota o precesa

25. Determine la expresión de la fuerza de un campo central que permita a una partículadescribir una órbita espiral dada por r=kθ , siendo k una constante.

26. Determine la expresión de la fuerza de un campo central que permita a una partícula

describir una órbita espiral logarítmica dada por r Kea= θ siendo k y a constantes. 27. Una partícula de masa unidad se desplaza desde el infinito a lo largo de una recta que,

de seguir, haría que la partícula pasase a una distancia b 2 de un punto P. Si la

partícula es atraída hacia P con una fuerza proporcional a kr5 y el momento angular

respecto de P es k b/ , demuestre que la trayectoria está dada por

r b= coth( / )θ 2

28. Una partícula es atraída hacía un centro fijo de fuerzas con una fuerza proporcional a ladistancia de la partícula del centro. Demuestre que la trayectoria es una curva planaque puede ser representada por las ecuaciones:


x A nt

y B nt

= += +

cos( )

sen( ).

αβ

29. Determine la fuerza central si la órbita es una circunferencia y el centro de fuerza estásituado sobre la circunferencia.

30. Una partícula es atraída hacia un centro fijo de fuerza 0 por una fuerza de forma Kr 2 La

partícula es lanzada desde un punto P con una velocidad. de magnitud V0 en un ánguloα respecto de OP. Demuestre que la órbita es una elipse sí OP K V≤ 2 0

2 Determineademás en términos de m, K, V0 , α , y OP = ro la excentricidad de la órbita y lainclinación del eje mayor respecto de OP.

31. Admitiendo que la tierra es una esfera fija de radio R y despreciando la resistencia del

aire, considere el lanzamiento de un proyectil con rapidez inicial Vo formando un ánguloξo con la vertical del lugar. Si

VGM

R* ,2 2= donde G es la constante de gravitación, M la masa terrestre y V V0 < * ,

demuestre que la excentricidad y la ecuación de la trayectoria del proyectil son:

e

R

r

e

= −

=− −

1 2

1

2

2 20

2 20

(sen ( )sen ( ))

cos( )

sen ( )sen ( )

β ξ

θ αβ ξ

siendo

sen

sensen sen( )

*β

αβ ξ

=

=

VV

e

0

202

32. Con respecto al problema anterior, V V0 2< * / demuestre que el ángulo de disparo paratener un alcance máximo está dado por:

sen( / )*

ξ 0

02

1

2

1

1=

− V V y el ángulo máximo por sen( / )

( / )

( / )*

*

θ 21

02

02=

−V V

V V

¿Qué ocurre sí V V0 2≥ * / ?


33. Una partícula de masa m se mueve en una órbita circular de radio R con rapidez Vo

atraída hacía el centro con una fuerza inversamente proporciona al cuadrado de ladistancia de la partícula al centro. Si repentinamente la rapidez se reduce a la mitad,determine en términos de Ro y Vo : la ecuación de la nueva órbita, su excentricidad y ladistancia mínima de la partícula al centro durante el movimiento siguiente.

34. Una partícula de masa m = 1 es atraída por una fuerza inversamente proporcional al

cuadrado de su distancia a un punto fijo 0 y se mueve describiendo la elipse:

r =−

100

1 12 cosθ

35. Sí en el punto más alejado de su trayectoria, la rapidez de la partícula es V=1 ,determine la constante de la ley de fuerza. Sí en el punto más alejado, la rapidez de lapartícula es duplicada, determine la ecuación de la nueva órbita.

36. Una partícula de masa m se mueve en una órbita circular de radio Ro con rapidez V0

atraída hacía el centro con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia de la partícula al centro. Sí repentinamente la rapidez de la partícula seaumenta a V = α Vo siendo α >1 demuestre que si α ≥ 2 la partícula se aleja hasta elinfinito. En cambio si α < 2 , determine la ecuación de la nueva órbita en términos deRo, Vo y α.

37. Determine las posibles leyes de fuerza central si una partícula describe bajo su acción

una circunferencia, con el centro de fuerzas en el interior del círculo.

38. Considere una partícula que se mueve en un campo central atractivo K r 2 con K < 0,Demuestre que para un momentum angular dado, la mínima energía que puede tener lapartícula es:

EmK

l= −

2

22.

39. Un cohete de masa m es disparado desde un punto de la superficie de la tierra con unarapidez inicial VO haciendo un ángulo ξo con la vertical del lugar. Despreciando larotación terrestre, la resistencia del aire y el movimiento de la tierra, demuestre que:

La excentricidad de la trayectoria está dada por:

eR V

G MV

GM

Ro2

2 2 20

2 2 021

2= + −

sen ξ

y la trayectoria es:


rR V

GM eo=

+

2 2 20

1

sen

( cos )

ξθ

Aquí R es el radio terrestre, M la masa de la tierra y G la constante de gravitación.¿Cuál es la ubicación del eje polar?

40. Respecto al problema anterior, suponga que V GM R0 = / y ξo =300 Demuestreentonces que el proyectil caerá de regreso a la tierra en un punto situado a unadistancia πR/3 del punto de partida, medida sobre la superficie de la tierra. Demuestreademás que la altura máxima del proyectil sobre la superficie terrestre es de alrededorde 0.92 R.

41. Una partícula de masa m se mueve en una órbita circular de radio Ro con rapidez V0

atraída hacia el centro con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia de la partícula al centro, Si repentinamente la velocidad se reduce a la mitad,determine en termino de Ro y V0 la ecuación de la nueva órbita.

42. Un satélite está en órbita ecuatorial geo estacionaria, es decir permanece en el mismo

punto relativo a la tierra que rota. Dados, la masa terrestre M, la constante degravitación G, la velocidad angular terrestre ω, determine la ecuación de la nueva órbitasi la rapidez absoluta del satélite es repentinamente aumentada al doble.

43. Un satélite de masa m está en órbita circular de radio 2R en torno a la tierra supuesta

esférica, de masa M y radio R, en reposo y sin atmósfera si la velocidad se altera en unpunto de la órbita en un factor f, determine;

a) la ecuación de la nueva órbita.b) el rango de de valores de f para los cuales el satélite chocará con la tierrac) el rango de valores de f para los cuales el satélite se aleja Indefinidamente.

La constante de gravitación es G.

44. Un satélite está en órbita ecuatorial geo estacionaria, es decir permanece en el mismopunto relativo a la tierra que rota. Dados, la masa terrestre M, la constante degravitación G, la velocidad angular terrestre Ω. Determine la ecuación de la nueva órbitasi la rapidez absoluta del satélite es repentinamente reducida a la mitad.

45. Considere la tierra como esférica, en reposo de masa M y radio R, sin atmósfera. Se

lanza un proyectil con rapidez inicial V0 formando un ángulo α respecto a la horizontal.Determine el arco que el proyectil recorre hasta llegar al suelo (si lo hace). Discuta las


condiciones bajo las cuales el proyectil cae nuevamente al suelo. La constante degravitación es G.

Rotaciones

46. Sean $ ( )e ti con i=1, 2, 3, un conjunto ortogonal de vectores dependientes del tiempo.Demuestre la identidad:

de

dte e e ei

k k i i

$$ $& $ $ .= ×

× = ×∑1

2

rω

47. Considere una matriz [ ]ra × definida por:

[ ] ar

× =−

−−

0

0

0

a a

a a

a a

z y

z x

y x

Demuestre las relaciones:

[ ] [ ]r ra a a× = − ×3 2 siendo a a a ax y z

2 2 2 2= + + .

[ ] [ ] [ ]e I a aaθ θ θr r r× = + × + − ×sen( ) ( cos( ))1

2 si a = 1.

48. Demuestre que las componentes x', y', z' del vector obtenido haciendo una rotación delvector de componentes x, y, z en un ángulo θ respecto de eje $n satisfacen:

′′′

=

x

y

z

R R R

R R R

R R R

x

y

z

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

dondeR n

R n n n

etc

xx x

xy z x y

= + −= + −

cos ( cos ) ,

(sen ) ( cos ) ,

θ θθ θ

1

1

2

L

49. Obtenga explícitamente las matrices de rotación para rotaciones en torno de los ejes x, yz.


50. El plano x +4y - z + 8 = 0 es rotado en un ángulo de 600 en torno de un eje que pasa porel punto (I, -2, 1) en la dirección y sentido del vector (5, -1,1). ¿Cuál. es la ecuación delplano en su posición final?

51. Determine la matriz para una rotación de π/6 en torno del vector (1,-1,1).

52. Se realiza una rotación de π/6 alrededor del eje OY seguida de una rotación de π/3alrededor del eje OZ. Determine el ángulo y eje de la rotación equivalente a las dosanteriores.

53. Considere la recta cuyas ecuaciones paramétricas son: x = x, y = 3x, z = 0 Determine lasecuaciones paramétricas de la recta obtenida rotando la anterior un ángulo de π/2 entorno del eje

rn i k= +2$ $ que pasa por el origen 0.

54. Considere un cubo que manteniendo su vértice 0 fijo es sometido a una rotación en -π/2respecto al eje OX seguida de una rotación en - π/2 respecto al eje OY. Determine elángulo y eje de la rotación que es equivalente a las dos rotaciones sucesivas. Elsistema OXYZ no se mueve.

55. Considere un campo escalar V(r) el cual se hace rotar un ángulo dθ en la dirección ysentido del eje $n . Demuestre que el nuevo campo está dado por:

′ = − ⋅ × ∇V r V r n r V r d( ) ( ) ( $ ) ( )r r r r

θ

56. Determine el ángulo y dirección de la rotación equivalente a la sucesión de dosrotaciones infinitesimales

$ $n d n d1 1 2 2θ θ+

57. Considere un cuerpo rígido donde las velocidades de tres de sus puntos son conocidas,demuestre que

r

r r r r

r r rω =− × −

⋅ −

( ) ( )

( )

V V V V

AB V VA B C A

C A

58. Respecto a la situación del problema anterior, demuestre que si

AB V VC A

r r r⋅ − =( ) ,0

entonces


rr r r r r r r r r r

r rω =− ⋅ × + − ⋅ ×

×

( ) ( ) ( ) ( )V V AB AC AB V V AB AC AC

AB ACC A A B

59. Una lámina cuadrada de arista 2 pasa dela posición inicial i a la final f indicada en lafigura. Determine el ángulo y eje de larotación equivalente.

60. Demuestre el teorema de Chasles (1830). "Todo desplazamiento de un cuerpo rígidopuede ser logrado de manera equivalente por una traslación en cierta dirección seguidade una rotación en torno de un eje en la dirección de la traslación

61. Demuestre que cualquier plano de un cuerpo rígido tiene un punto cuya velocidad esperpendicular a ese plano, siempre que

rω ⋅ ≠$n 0 donde $n es normal a ese plano.

62. Demuestre que todo plano de un cuerpo rígido tiene una línea de puntos cuyasvelocidades son paralelas al plano siempre que

rω × ≠$n 0 donde $n es perpendicular al

plano. 63. Una lámina triangular equilátera OAB de lado a

se mueve de modo que su vértice 0 está fijo, elvértice A permanece en el plano OYZ y elvértice B permanece en el plano OXY. Elángulo que la arista OA forma con OZ es θ.Determine la velocidad angular de la lámina entérminos de a, θ y su derivada.

64. Considere el sistema ortonormal de vectores $, $ , $r θ φ correspondiente a las coordenadasesféricas Determine la velocidad angular del sistema en termino de las derivadas de lascoordenadas.

A

A

O O

(i) (f)

X

Y

Z

O

A

B

θ


65. Repita lo anterior para el sistema de vectores $ , $, $ρ φk correspondiente a las coordenadascilíndricas.

Movimiento relativo a la tierra

66. Una barra lisa OM de largo 2a, ubicada en el plano vertical que contiene al Este, estáinclinado en un ángulo φ respecto de la horizontal. Por ella se desliza una argollapequeña P, partiendo desde el extremo M. Calcular la reacción de la barra sobre laargolla cuando ella pasa por el punto medio de la barra si se toma en cuenta la rotaciónde la tierra.

67. Una partícula se lanza verticalmente hacía arriba con velocidad Vo en un punto de latitud

λ Encontrar el punto sobre el que vuelve a caer si se toma en cuenta la rotación de latierra en la aproximación usual de primer orden.

68. Una partícula se mueve, por la acción de la gravedad, sobre un plano inclinado en el

ángulo α respecto de la horizontal y que rota con pequeña velocidad angular ω respectode un eje vertical fijo, que intercepte el plano en el punto 0. Tomando ejes rectangularesOXY fijos en el plano de modo que el eje OX está orientado a lo largo de la línea demáxima gradiente, demostrar que sí inicialmente la partícula parte del reposo desde 0,que su desviación desde OX, después de t segundos, viene dada aproximadamente por

1

623ω αgt sen

siempre que se desprecien los términos en ω 2

69. Una partícula de masa unitaria se mueve en movimiento armónico simple x a nt= cos enuna ranura suave orientada en E a 0 sobre la superficie de la tierra en un punto delatitud λ. Demostrar que, si desprecian los términos que contienen el cuadrado de lavelocidad angular de la tierra, la reacción de la ranura tiene una componente horizontalen ángulo recto respecto al movimiento y de magnitud 2an ntω λsen sen y unacomponente vertical cuya magnitud fluctúa armónicamente, con una amplitud2anω λcos .

70. Una partícula de masa m puede deslizar sin roce en el interior de un tubo pequeñodoblado en forma de un círculo de radio a. Inicialmente se hace rotar en torno de undiámetro vertical el tubo con velocidad ω 0 estando la partícula en una posición definidapor el ángulo θ 0 respecto de la vertical. Estudiar el movimiento subsiguiente de lapartícula.


71. Una partícula de masa m, puede deslizar, sin fricción en un tubo rígidamente unido enun ángulo θ 0 = 600 con un eje vertical que gira con velocidad constante ω 0 tal que

ω 02

0

2=

g

r.

Sí la partícula se suelta con las condiciones iniciales:

r r r gr= =0 2, &

encontrar el menor valor que alcanza el radio r en el movimiento de la partícula.

72. Un plano suave inclinado en un ángulo α con respecto a la horizontal está rígidamenteconectado con un eje vertical en 0 (fijo en el espacio) alrededor del cual se mueve conuna velocidad angular uniforme ω. Una partícula de masa unitaria se mueve bajo laacción de la gravedad sobre el plano. Pruebe que si x es el desplazamiento de lapartícula a lo largo de la línea de máxima pendiente que pasa por 0, entonces:

d x

dt

d x

dtx g

4

42 2

2

24 2 23 1+ − + =ω α ω α ω α( cos ) cos sen .

Sí se. desprecian los términos en ω 2 , pruebe que:

y t gt( ) sen= −1

623ω α

sí la partícula parte del origen.

73. Una partícula de masa m cae desde el reposo desde una altura h. Determinar x, y, z enfunción del tiempo, tomando en cuenta la rotación de la tierra, en la aproximación usualde primer orden en ω.

74. Una partícula de masa m cae desde una altura h por el interior de un tubo liso vertical.

Determinar z en función del tiempo y la reacción del tubo debido a la rotación terrestre. 75. Una partícula de masa m está vinculada a un plano liso horizontal y sometida a una

fuerza −kr hacia un origen O en el plano, siendo k una constante, Determinar lascoordenadas sobre el plano (x,y) y la reacción del plano en función del tiempo tomandoen cuenta la rotación de la tierra.

76. Una partícula de masa m está vinculada a un plano liso horizontal. Determinar las

coordenadas sobre el plano (x,y), y la reacción del plano en función del tiempo tomandoen cuenta la rotación terrestre.


Cuerpo Rígido.

77. Las aristas de. un paralelepípedo rectangular, de masa M, tienen respectivamente laslongitudes 2a, 2a y 4a. Probar que los momentos principales de inercia en el puntomedio de una arista de largo 4a son 5 32Ma / , 8 32Ma / y 11 32Ma / .

78. Encontrar la altura en función del radio basal de un cilindro recto de base circular de

radio a, de modo que el elipsoide de inercia en el centro de masa sea una esfera. 79. Demostrar que en todo cuerpo rígido, se cumplen las 6 desigualdades:

I Ixx yx≥ 3 y dos análogas.

I I Ixx yy zz+ ≥ y dos análogas

analizar en que casos la segunda es una igualdad.

80. Demostrar que en la cúspide o polo de una cáscara uniforme esférica, el elipsoide deinercia es una esfera.

81. Determinar la forma del elipsoide de inercia de un cubo homogéneo, en uno de sus

vértices.

82. Una superficie plana S tiene un eje de simetría y la distancia media cuadrática de lospunto de S al eje es P2 . Se genera un cuerpo sólido homogéneo anular girando S entorno de un eje EE' coplanar con S y paralelo al eje de simetría a una distancia h.Demostrar que el momento de inercia en torno del eje EE' del sólido es:

I m h P= +( )2 23

83. Un tubo homogéneo circular tiene masa m, largo h y radios a, exterior y b interior.Determinar los momentos de inercia principales en torno del centro de masa.


84. Sí en dos puntos P y Q de un cuerpo rígido es eje principal de inercia la recta PQ,demostrar que contiene el centro de masa y es eje principal de inercia en todos suspuntos.

85. Determinar la forma de los conos rectos circulares, como sólidos homogéneos, cuyo

elipsoide de inercia en su cúspide o vértice es una esfera. 86. Se tiene un sólido homogéneo de la forma de un cono recto circular de altura h, radio

basal a, masa m y semiángulo α. Demostrar que:

a) En el vértice sus momentos principales de inercia son:

A Bm

a h= = +3

2042 2( ) y C

ma=

3

10

2

b) En el centro de su base son:

A Bm

a h= = +20

3 22 2( ) y Cma

=3

10

2

c) El momento de inercia en torno de su generatriz es:

Imh

= +3

41

1

5

22 2( sec )senα α

87. Un cuerpo homogéneo de masa m tiene la forma de un hemisferio de radio a. Demostrarque el momento de inercia en torno de un eje tangente en el polo del hemisferio es:

Ima

=13

20

2

88. Se tiene una lámina homogénea de masa m y forma triangular. Calcular el momento deinercia en torno de un lado.

89. Considere una placa delgada de contorno arbitrario de masa M y momentos principalesde inercia en G, A y B. Determine los puntos del plano de la lámina donde el elipsoidede inercia es de revolución.


90. Determine la energía cinética de uncilindro homogéneo de masa M y radio aque rueda sin resbalar en el interior deuna superficie cilíndrica de radio R entérminos de &φ , ver figura

91. Determine la energía cinética de un cono de masam y semiángulo en el vértice α que rueda sinresbalar sobre un plano horizontal en términos de&φ , ver figura.

92. Una semiesfera homogénea de radio esta en reposo sobre un plano horizontal liso consu base paralela a una pared vertical lisa sobre la cual la superficie esférica se apoya.La semi-esfera parte del reposo y comienza a caer debido a su peso. Demuestre quecuando la base esta horizontal:

ω 2 15

8=

g

a y v

a=

3

8ω

.

donde v es la velocidad del centro de masas. Demuestre también que durante elmovimiento siguiente el ángulo entre la base del hemisferio y el plano horizontal, nuncaexcede de:

cos .−

1 45

128

φR a

φ


93. Un disco uniforme de radio a que está rotando con velocidad angular ω alrededor de sueje, se coloca sobre un plano horizontal. Si el disco se apoya uniformemente y elcoeficiente de roce es µ , demuestre que el disco se detiene en un tiempo

3

4

a

g

ωµ

.

94. Un aro circular de acero de radio a y masa m por unidad de longitud rota con velocidadangular ω respecto a su eje. Demuestre que la tensión en el aro es T ma= 2 2ω . Sí latensión de ruptura del acero es 105 libras por pulgada y su densidad es 7.85 demuestreque la velocidad angular no puede exceder ω=973/a si a esta en pies.

95. Un cilindro circular recto descansa sobre un plano horizontal rugoso. Si el plano semueve de cualquier forma, pero horizontalmente y perpendicular al eje del cilindro,demuestre que el cilindro vuelve al reposo en el mismo instante en que el plano lo hace.

96. Tres barras iguales AB, BC, CD cada una de largo 2l y masa M, suavemente articuladasen B y C descansan sobre una mesa horizontal suave. Una cuerda liviana unida alpunto medio de BC pasa perpendicularmente por un borde suave de la mesa y de ellacuelga una partícula también de masa M. Inicialmente las tres barras están en línearecta paralelas al borde de la mesa y en reposo. Demuestre que el tiempo que empleanlos extremos A y C en juntarse esta dado por:

tg

d=+

∫1

3

5 3 2

0

2 3 sen

sen

/ θθ

θπ

97. Dos barras iguales de masa M ylargo 2a, AB y BC que estánsuavemente articuladas en B, Aarticulado suavemente a un puntofijo 0 y C que puede deslizarlibremente sobre una superficiehorizontal lisa. Sí las barras partendel reposo estando horizontales,determine las reacciones en A y Cen función de θ.

O C

A

B

θ


98. Un disco masa m y radio a está inicialmente en el punto más alto de un cilindrosemicircular de radio R que está fijo. Perturbado levemente comienza a caer rodandosin deslizar. Determine:

a) El momentum angular Lo del disco en función de θ.

b) El ángulo θ para el cual el disco deja de estar apoyado sobre el cilindro.

99. Una barra de masa m y largo 2a estáinicialmente en reposo apoyadahorizontalmente sobre un hemisferio fijoliso de radio a. Si se perturba la barralevemente de modo que ella comience acaer deslizando sobre el hemisferio,determine las ecuaciones, que permitencalcular:a) &θ en función de θ.b) La reacción normal en función de θ.

100. Un cilindro sólido circular de radio adescansa sobre un plano horizontal.Otro cilindro idéntico al primero descansaen el punto más alto. Si no haydeslizamiento, demuestre que mientraslos cilindros permanecen en contacto:

& ( cos )

( cos cos )θ

θθ θ

22

12 1

17 4 4=

−+ −

g

a

101. Un cono recto de base circular y semi ángulo α rueda sin deslizar sobre un planoinclinado en ángulo β respecto de la vertical. Se suelta del reposo con la línea decontacto horizontal. Demuestre que el cono permanece apoyado sobre el plano sí:

9 tg β α α< cot + 4tan

θ

G

θ


102. Una barra de masa M y largo 2a se mueve sobre un plano horizontal liso de manera quesu extremo A está vinculado a una corredera horizontal lisa OX. Inicialmente la barraestá en reposo perpendicularmente a la corredera y se aplica a su extremo A una fuerzaconstante F . Determine la reacción normal horizontal de la corredera sobre la barra enfunción de F, a, M y θ.

103. Un aro de alambre de radio r y masa m,rueda sin deslizar con su plano verticalsobre la superficie curva de un cilindro deradio R. Inicialmente él aro está en reposoen el punto más alto y se perturbalevemente.

a) Obtenga &θ en función de θ.b) Obtenga el ángulo θ para el cual el aro

abandona el contacto con el cilindro.

104. Una esfera homogénea S de radio a secoloca en reposo sobre el punto más altode otra esfera So fija de radio ao . Si seperturba levemente, la esfera S rueda sinresbalar sobre la esfera So . Si θ es elángulo que forma la línea de los centroscon la vertical, demuestre que:

&( )

( cos )θ θ2

0

107

1=+

−g

a a

y que se separan cuando cosθ = 107 .

105. Un trompo simétrico con momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 , siendo m sumasa y la distancia de su púa fija al centro de masas, está en movimiento cuspidal conel eje del trompo oscilando entre θ=600 y θ=120°. Determine el spin y la energía deltrompo.

R

rθ

aθ

a

0


106. Un cilindro de radio R/4 y de masa m puede moverse rodando sin deslizar sobre elinterior de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje está horizontal. Determine lamínima energía que puede tener el cilindro, para que pueda dar vueltas completas sincaer.

107. Un automóvil arranca del reposo con una de sus puertas inicialmente en ángulo recto.Si las bisagras de la puerta están hacia el frente del auto, la puerta se cerrará de golpecuando éste se acelere. Hállese una fórmula para determinar el tiempo que necesita lapuerta para cerrarse si la aceleración del auto es una constante a, el radio de giro de lapuerta con respecto al eje de rotación es ko y la distancia del centro de masa a lasbisagras es d. Demuéstrese que si a es 0.3 m/seg2 y la puerta es un rectángulouniforme de 1.20 m de ancho, el tiempo será aproximadamente 3.04 seg.

108. Encuentre la energía cinética de un cilindro de radio R, cuyo centro de masa está a unadistancia h de su centro geométrico y uno de sus ejes principales es paralelo al eje delcilindro cuando éste está rodando sobre un plano horizontal. Exprésese K en función delmomento de inercia principal, I, con respecto a este eje. Determine además lasecuaciones de movimiento del cilindro y el período de las pequeñas oscilaciones delmismo a uno y otro lado de su posición de equilibrio.

109. Encuentre la energía cinética de un cilindro homogéneo de radio r que está rodando sindeslizar dentro de un cilindro hueco fijo de radio R. Obtenga las ecuaciones demovimiento de Lagrange y a partir de ellas el período de las pequeñas oscilaciones entorno a la posición de equilibrio.

110. Un cono circular recto macizo cuyo ángulo en el vértice es 2α, rueda sin deslizar en unplano inclinado un ángulo β con la horizontal. El cono tiene una masa M y unageneratriz de longitud L.

a) Escriba las ecuaciones de Lagrange del movimiento del cono, usando comocoordenada generalizada el ángulo θ entre su línea o generatriz de contacto con elplano y la línea, o recta, de máxima pendiente de descenso.b) ¿Cuál es la frecuencia de las pequeñas oscilaciones a un lado y otro de la posiciónde equilibrio?

111. Se lanza una pelota de radio R a una velocidad vo hacia la parte superior de un planoinclinado un ángulo θ y cuyo coeficiente de rozamiento es µk Determine la posición dela pelota en función del tiempo, si ésta no tiene inicialmente movimiento de rotación:

Tome para el momento de inercia en torno a una línea por el centro I mR= 25

2 .


112. Una varilla uniforme de longitud l se coloca en equilibrio, verticalmente, sobre el suelo ydespués se deja caer perturbándola levemente. Hállese su aceleración y velocidadangulares en un instante en que forme un ángulo θ con la vertical, si

a) el piso es tan áspero que el extremo inferior no pueda resbalar.b) para el caso en que el piso sea lisoc) para el caso en que el coeficiente que el coeficiente de rozamiento sea µk.

113. Un trompo de masa M, momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 siendo h ladistancia de la púa fija al centro de masas, se coloca en movimiento con ángulo polar

θ=π/2 dándole solamente un spin s gh= .

Determine las características del movimiento resultante.

114. Un trompo simétrico con momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 se coloca en

movimiento con su eje inclinado en 90° respecto a la vertical, con un spin s gh= y

precesión nula. a) Determine los valores extremos de la inclinación del eje del trompo b) Determine el valor de la velocidad angular de precesión en el punto más bajo. 115. Un elipsoide homogéneo de masa m y semiejes a, b y c, rota con velocidad angular

constante ω alrededor de un eje fijo en el espacio que forma ángulos fijos α, β y γ con losejes del elipsoide. Demostrar que las componentes del torque a lo largo de los ejes delelipsoide necesarios para mantener el movimiento son:

1

52 2 2m b cω β γ( ) cos cos ,− y otras dos similares

116. Una lámina plana rota libremente respecto de su centro de masas 0 fijo. Sí OX, OY son

ejes principales de inercia en el plano de la lámina y la lámina se pone en movimientocon velocidad angular ω en el plano OXY formando un ángulo φ con OX, demostrar queel ángulo θ que forma la proyección de ω sobre el plano OXY con el eje OX satisface:

( )& ( ) (sen sen )I I I Ixx yy xx yy+ = − −θ ω θ φ2 2 2 2


117. Un disco circular de radio a y masa m está apoyado en su centro sobre el extremo deun eje vertical fijo. El disco se pone en rotación con velocidad angular ω respecto deuna línea que forma un ángulo α con la normal al disco. Determinar la velocidadangular del disco en un instante cualquiera indicando sus componentes respecto a ejesfijos al cuerpo. Determine además el tiempo que tarda el eje del, disco en describir uncono en el espacio.

118. Una placa rectangular de aristas 2a y 2b yde masa m se hace rotar con su centro fijo entorno de un eje por su diagonal con rapidezangular ω constante. Sin considerar el pesode la lámina, determine las reaccionesdinámicas en los descansos lisos indicadosen la figura. Además, para el caso en que a= 2b, se quieren eliminar las reaccionesdinámicas colocando dos masas igualescolocadas simétricamente en las aristas AB yCD. Determine valores apropiados de M y xpara que ello ocurra.

119. Una lámina rectangular uniforme cuyos

momentos principales de inercia en sucentro son A, B, y A+B, está montada demodo que ella puede oscilar librementealrededor de un eje horizontal suave quecoincide con el eje para el cual el momentode inercia vale A. El eje va montado sobreun armazón sin inercia que puede rotarlibremente alrededor de un eje verticalsuave que pasa por el centro de la lámina.

Si θ es la inclinación de la lámina respecto de la horizontal, φ el ángulo que gira la armazóne inicialmente:

θ π θ φ( ) / ; & ( ) ; ( ) .0 4 0 0 0= = = Ω Demuestre que en el movimiento subsiguiente:

&( ) cos

( cos )θ

θθ

22

2

2 2

4=

++

A B

B A

Ω

C D

AB

C D

A B

x M

Mx

φ

θ


120. Un disco de masa m y radio a gira en

torno A de un eje con velocidad angular sconstante a la vez que el eje del disco giraen torno de la vertical con velocidadangular Ω constante siendo la estructuraABC indicada en la figura rígida y liviana.Determine las reacciones en losdescansos lisos A y B indicados en lafigura.

121. Un trompo esta formado por un disco de masa M y radio a y un eje sin masa de largo a

que pasa perpendicularmente por el centro del disco. El otro extremos del ejepermanece en reposo. Si el movimiento del trompo es de precisión uniforme Ω con eleje horizontal, determine el spin absoluto del trompo y la reacción en la púa fija.

122. Un trompo simétrico de momento de inercia axial C y transversal A se coloca en

movimiento con su eje horizontal, dándole solo un spin S. Si la masa el trompo es M y sucentro masas está ubicado a distancia h de la púa fija, determine la inclinación máximadel eje del trompo respecto a la vertical y la velocidad angular de precesión para esaposición.

123. Un trompo simétrico de momento de inercia axial C y transversal A en su púa, se coloca

en movimiento con su eje en 60º respecto a la vertical de manera que inicialmente:

& , & , & ( )θ φ ψ= = = −0 23

33 2

MghA

A CMghAC

Demuestre que las variaciones del ángulo polar θ con el tiempo están dadas por (Whittaker)

s e c s e c ( )θ = +1 hM g h

At

124. Respecto a la situación del problema anterior, demuestre que si h A mg< Ω2 4/ el eje deltrompo pasa por la posición vertical en un tiempo finito. un tiempo finito. 4mg

125. Demuestre que en el movimiento del trompo simétrico "dormido", es decir con su eje

vertical., el movimiento es estable mientras que:

C s2 2 > 4mghA

A

B

C

a

a

a a

s


126. Considere un trompo simétrico formado por un disco de masa m y radio a unido por un

eje sin masa de largo a que coincide con el eje de simetría del disco a un punto fijo 0.Durante su movimiento la inclinación del eje del trompo respecto de la verticalascendente varia entre 60' y 120', ¿Para qué valores del spin absoluto S se anula lavelocidad angular de precesión durante el movimiento?.

127. Un trompo de masa M, momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 , siendo h ladistancia de la púa fija al centro de masas, se coloca en movimiento verticalmente con

ángulo polar θ=0 dándole solamente un spin s gh= 10 . Si el trompo es perturbado

levemente, determine el ángulo de inclinación máximo que alcanzará el eje del trompoen su movimiento.

128. Un trompo simétrico con momentos de inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 se coloca enmovimiento con su eje inclinado en 60° respecto a la horizontal, dándole movimiento de

spin s gh= y precesión inicial &φ = g

h a) Determine los valores extremos de la inclinación del eje del trompo b) Determine el valor de la velocidad angular de precesión en el punto más bajo. 129. Un trompo de masa M, momentos de

inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 siendo h ladistancia de la púa fija al centro de masas,se coloca en movimiento con ángulo polarθ=π/2 dándole solamente un spin

s gh= .

Determine las características del movimiento

resultante. 130. Un trompo simétrico con momentos de

inercia A mh= 5 42 y C mh= 2 2 se coloca en movimiento con su eje inclinado en 90°

respecto a la vertical, con un spin s gh= y precesión nula.

a) Determine los valores extremos de la inclinación del eje del trompo b) Determine el valor de la velocidad angular de precesión en el punto más bajo.

s

θ


Fuerzas impulsivas 131. Un hexágono regular formado por 6 barras iguales articuladas en sus extremos

descansa sobre un plano horizontal.. Si se aplica un impulso perpendicularmente en elpunto medio de una de las barras, demuestre que la barra opuesta adquiere unavelocidad 1/10 de la que adquiere la primera.

132. Cuatro barras iguales de masa m y largo

2a están articuladas suavemente entre síformando un cuadrado que inicialmenteestá con su plano vertical, apoyado enreposo sobre un plano horizontal liso. Unimpulso J se aplica a la barra ABhorizontalmente y a una altura b del planohorizontal. Determine el movimientoinicial subsiguiente de las 4 barras.

133. Un disco de masa M y radio R cae con su

plano vertical con un movimiento de traslación pura. En el instante en que la rapidez decaída es Vo, se aplica un impulso vertical hacía arriba en el punto A del borde de modoque ese punto queda con velocidad instantánea cero. Determine:

a) La magnitud del impulso aplicado. b) La pérdida de energía cinética del disco. 134. Un disco de masa M y radio R está en reposo

sobre un plano horizontal liso y sobre el seapoya suavemente una barra de masa m ylargo l que tiene uno de sus extremosarticulados a un punto fijo 0. Determine lavelocidad de traslación que adquiere el discoen términos de θ, m, l, M, R y J si se aplica a labarra un impulso J como se indica en la figura.

J

A

B C

Db

J

M

m,l

O θ


135. Dos cuerpos rígidos de superficies continuas ylisas se mueven en forma general en elespacio. Sí los cuerpos chocan y los impulsosson perpendiculares al plano tangente común aambos cuerpos, demuestre que la energíacinética es conservada en el choque sí elcoeficiente de restitución es e ,estando edefinido por:

( ) $ ( ) $r r r rv v n e v v n

P P P P1 2

1 2′ ′− ⋅ = − − ⋅

donde $n es normal al plano tangente.

Ecuaciones de Lagrange.

136. Considere una partícula que se mueve en el espacio de manera que su posición estádada por:

r rr r q q q t= ( , , , )1 2 3

siendo q q q1 2 3, , funciones del tiempo. Demuestre la identidad:

d

dt q

v

q

va

r

qk k k

∂∂

∂∂

∂∂&

r rr

r2 2

2 2− = ⋅

Verificar explícitamente lo anterior si:

rr r i r j r k= + +sen cos $ sen sen $ cos $θ φ θ φ θ

137. Utilice la identidad señalada en el problema anterior para obtener las componentes dela aceleración de una partícula en coordenadas cilíndricas.

138. Considere una barra de masa m, largo 2a que se mueve en un plano vertical bajoacción de su peso de modo que su extremo A puede moverse libremente sobre lacorredera lisa OX. Escriba las ecuaciones de Lagrange para las. coordenadasgeneralizadas x y θ indicadas en la figura.

G G

P P1

1 2

2


139. Una barra de longitud 2l se balancea sin deslizarse sobre el punto más alto de uncilindro horizontal de radio a. Demuestre que:

& ( cos sen )θ

θ θ θθ

22 2 2

6

3=

− −+

g h a a

l asiendo h una constante,

140. El extremo de una barra uniforme de largo lestá montado sobre un eje de modo que labarra puede rotar libremente en un planonormal al eje. Sí el eje se hace rotar sobre unplano horizontal con velocidad de rotaciónconstante Ω, permaneciendo fija la unión de labarra al eje, demuestre que el ángulo θ que labarra forma con la vertical descendentesatisface:

&& sen cos senθ θ θ θ= −Ω2 32gl

141. Considere un disco de masa m radio r querueda sin deslizar con su plano vertical sobre unplano horizontal tirado de su centro con una fuerzahorizontal constante F.

a) Resuelva el problema por el método de Lagrangeconsiderando que el sistema es holonómico conun grado de libertad.

b) Resuelva el mismo problema, tratando al sistemacomo si fuera no holonómico con la restricción adicional:

& &x r− =θ 0

θ

Ω

F

x

θ


142. Una argolla de masa 3m puede deslizarsehorizontalmente sin rozamiento por un alambrecomo se indica en la figura. Unido a la argolla hayun péndulo doble, formado por dos partículas demasas m e hilos de largo a. Si, en una posicióncercana a la de su equilibrio, se deja al sistemaen libertad, a partir del reposo, las masas oscilanen el plano de la figura en torno de la vertical.

a) Escriba las ecuaciones de Lagrange delmovimiento del sistema.

b) Determine las aceleraciones cuando los desplazamientos angulares y las velocidadesson pequeñas.

143. Un péndulo formado por una barra liviana delongitud l, unida a dos masas iguales a m una deellas que puede oscilar en un plano vertical, laotra restringida a moverse verticalmente unida aun resorte de constante k, como se ve en lafigura. Escriba las ecuaciones de Lagrange delmovimiento del sistema.

144. Una barra de longitud 2a y masa M se coloca horizontalmente sobre el punto más altode un hemisferio rugoso de radio R y masa igual M que puede deslizar sobre un planohorizontal liso, y se perturba levemente. Determine las ecuaciones de movimiento parael sistema. La barra no desliza sobre el hemisferio

145. Una partícula de masa m está vinculada suavemente a un tubo liso el cual se hace rotaren torno de la vertical con velocidad angular Ω constante, de modo que el ángulo deinclinación del tubo con la vertical es constante α. Para la coordenada generalizada r, ladistancia de la partícula al punto fijo del tubo:

a) Escriba la ecuación de movimiento.b) Escriba explícitamente las cantidades conservadas.

3m

m

m

a

a

m

m


c) Determine la posición dentro del tubo donde la partícula podría estar estacionaria, esdecir sin moverse respecto al tubo.

d) Si la partícula es colocada dentro del tubo en el punto fijo determine la velocidadmínima que debe dársele respecto al tubo, para que ella sobrepase la posicióndeterminada en la pregunta (c).

146. Una partícula de masa m está en reposo en el punto más alto de un hemisferio liso fijode radio R. Si ella es perturbada levemente, comienza a resbalar sobre el hemisferio.Determine el punto donde ella abandona el contacto con el hemisferio.

147. Un disco de masa M y radio a estáinicialmente en reposo apoyado en el puntomás alto de un hemisferio rugoso de radio R.Si el disco es perturbado levemente, elcomienza a rodar sin resbalar. Escriba laecuación de movimiento del disco, para elángulo θ indicado en la figura. Determineademás el ángulo para el cual el discoabandona el contacto con el hemisferio.

148. Una partícula de masa M se coloca enreposo sobre el punto más alto de unhemisferio semicilíndrico de masa M y radioR, el cual descansa sobre un planohorizontal liso. Si la partícula se perturbalevemente, el sistema comienza a moverse.Determine la expresión que determina elángulo para el cual la partícula perderíacontacto con el hemisferio.

149. Dos partículas de masas m1 y m2 están en reposo sobre un plano horizontal liso unidaspor una cuerda inextensible de largo L. Si a una de ellas se le da una rapidez inicial vo

perpendicular a la línea que une las partículas, determine para el movimiento siguiente,la magnitud de la tensión en la cuerda.

R

θ

R

θ

Ox


150. Respecto a la situación anterior, si x es una función dada del tiempo, x=f(t), escriba laecuación de Lagrange para la coordenada θ. Determine además las posibles funcionesf(t) tales que el Hamiltoniano H sea constante,

151. Un cono recto de semiángulo en el vértice β, generatriz de longitud l rueda sin deslizarsobre un plano inclinado un ángulo α respecto del plano horizontal. Si θ es el ánguloque forma la línea de máxima pendiente con la generatriz de contacto, demuestre que:

&& sen

( cos )senθ

αβ

θ++

=5

1 502

gl

152. Un péndulo simple tiene Hamiltoniano

Hp

mlmgl= + −

2

221( cos )θ

153. Por el método que usted desee, pruebe que hasta primer orden en la energía, el periodo

del péndulo es:

Tl

g

E

mgl= +2 1

8π ( )

154. Resuelva mediante el método de Hamilton Jacobi, el problema del movimiento de unapartícula en el plano xy (dos dimensiones, x horizontal, y vertical), bajo la aceleraciónconstante de gravedad solamente.

155. Demuestre la identidad de Jacobi para los paréntesis de Poisson

A, B,C + B, C, A + C, A, B = O 156. Si en el plano Oxy, la rapidez de una partícula es una función conocida de la posición:

v=g(x,y) determine la ecuación diferencial para la trayectoria que hace que la partículaocupe un tiempo mínimo al ir entre dos puntos dados del plano de movimiento.

157. Encontrar el Lagrangiano de los siguientes sistemas, colocados en un campo

gravitatorio con aceleración de gravedad constante g.(Landau)


a )Péndulo doble coplanario b) Péndulo plano de masa m2, cuyo

punto de suspensión de masa m1

puede desplazarse en el mismoplano sobre una recta horizontal

c)Péndulo plano cuyo punto de

suspensión se desplaza sobre unacircunferencia vertical con unafrecuencia angular constante ω.

d) Péndulo plano cuyo punto de

suspensión oscila horizontalmente en el plano del péndulo en la forma x a t= cosω e) Péndulo plano cuyo punto de suspensión oscila verticalmente en el plano del péndulo en

la forma y a t= cosω 158. Determinar las posiciones de equilibrio estable de un péndulo cuyo punto de suspensión

oscila verticalmente en la forma y a t= cosω con una frecuencia elevada ω ff gl

159. Determinar las posiciones de equilibrio estable para un péndulo cuyo punto de

suspensión oscila horizontalmente en la forma x a t= cosω .

160. Demuestre que las siguientes transformaciones son canónicas: a) Q p q P q p= =sen( ) / , cot

b) Q arctan q p P q p q= = +( / ), ( / ) /α α α2 2 2 21 2

c) P q Q pq= =1 2/ , 161. Considere la transformación:

Q aq p P bq p= =2 cos( ), sen( )β βα con a, b, α y β constantes.

a) determine valores de a, b, α y β de modo que la transformación sea canónica. b) utilice la transformación para reducir el problema del oscilador armónico. c) resuelva el problema del oscilador armónico.

mm

m

m

m

(a)

(b)

(c)

a

12

1

2θ

φ

φ

φ


162. El problema anterior puede ser considerado un caso general del siguiente problema.

Dado H q p( , ) deduzca una transformación canónica donde el nuevo Hamiltoniano sea

H Q P Q( , ) = una función del momento solamente. 163. Considere la transformación

Q q P p p

Q p P q q1 1 1 1 2

2 2 2 1 2

2

2

= = −= = − −

,

, Demuestre directamente que ella es canónica y encuentre una función

generadora.(Goldstein ). 164. Para un sistema con dos grados de libertad, considere:

Q q Q q q1 12

2 1 2= = +,

Encuentre la transformación más general para P P1 2, consistente con que latransformación completa sea canónica.

165. Suponga que el Hamiltoniano es una forma positiva definida de los momento, es decirque:

∂∂ ∂

δ δ δ δ2

0H

p pp p para p p arbitrarios

i ji j i j∑ ≥ , ,

Demuestre que esa propiedad es conservada si se efectúa una transformacióncanónica puntual definida por la siguiente función generadora:

F f q Pi i= ∑ ( )

166. Considere una transformación canónica (infinitesimal) generada por:

F q P dtH q Pi i= −∑ ( , )

siendo H el Hamiltoniano del sistema. Demuestre entonces que:


q t Q t dt

p t P t dti i

i i

( ) ( )

( ) ( )

= += +

167. Si se hacen dos transformaciones canónicas sucesivas q,p → Q, P → q p, generadaspor F q Q1( , ) y G Q q1( , ) , demuestre que la función generadora de la transformacióncanónica equivalente está dada por:

F q q F q Q G Q q( , ) ( , ) ( , )= +1 1

debiendo eliminarse los Qi mediante las ecuaciones:

∂∂

∂∂

F

Q

G

Qj j

1 1 0+ =

168. Si se hacen dos transformaciones canónicas sucesivas q,p → Q, P → q p, generadaspor F q P2 ( , ) y G Q pq2 ( , ) , demuestre que la función generadora de la transformacióncanónica equivalente está dada por:

F q p F q P G Q p PQi i( , ) ( , ) ( , )= + − ∑2 2

debiendo eliminarse los Q P, mediante las ecuaciones:

∂∂

∂∂

F

PQ y

G

QP

jj

jj

2 2= =

movimiento de sistemas de particulas

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