Movimiento circular

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Se define comomovimiento circularaqul cuya trayectoria es una circunferencia.

El movimiento circular del pin se transforma en movimiento lineal en la cremallera.

Elmovimiento circular,llamado tambin curvilneo,es otro tipo de movimiento sencillo.

Estamos rodeados por objetos que describen movimientos circulares: un disco compacto durante su reproduccin en el equipo de msica, las manecillas de un reloj o las ruedas de una motocicleta son ejemplos de movimientos circulares; es decir, de cuerpos que se mueven describiendo una circunferencia.

A veces el movimiento circular no es completo: cuando un coche o cualquier otro vehculo toma una curva realiza un movimiento circular, aunque nunca gira los 360 de la circunferencia.

La experiencia nos dice que todo aquello da vueltas tiene movimiento circular. Si lo que gira da siempre el mismo nmero de vueltas por segundo, decimos que poseemovimiento circular uniforme (MCU).

Ejemplos de cosas que se mueven con movimiento circular uniforme hay muchos:

La tierra es uno de ellos. Siempre da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. Tambin gira alrededor del sol y da una vuelta cada 365 das. Un ventilador, un lavarropas o los viejos tocadiscos, la rueda de un auto que viaja con velocidad constante, son otros tantos ejemplos.

Pero no debemos olvidar que tambin hay objetos que giran conmovimiento circular variado, ya sea acelerado o decelerado.

El movimiento circular en magnitudes angularesLa descripcin de unmovimiento circularpuede hacerse bien en funcin demagnitudes linealesignorando la forma de la trayectoria (y tendremos velocidad y aceleracin tangenciales), o bien en funcin demagnitudes angulares(y tendremos velocidad y aceleracin angulares). Ambas descripciones estn relacionadas entre s mediante el valor del radio de la circunferencia trayectoria.

Al trabajar con magnitudes angulares es imprescindible entender lo relativo a una unidad de medida angular conocida comoradin.

ngulo con centro en C.

El radinSi tenemos un ngulo cualquiera y queremos saber cunto mide, tomamos un transportador y lo medimos. Esto nos da el ngulo medido en grados. Este mtodo viene de dividir la circunferencia en 360, y se denomina sexagesimal.

(Para usar la calculadora en grados hay que ponerla enDEG,Degrees, que quiere decir grados en ingls).

El sistema de grados sexagesimales esunamanera de medir ngulos, pero hay otros mtodos, y uno de ellos es usando radianes.

Ahora veamos el asunto de medir los ngulos pero enradianes.

Para medir un ngulo en radianes se mide el largo del arco (s) abarcado por el ngulo de la figura a la izquierda. Esto se puede hacer con un centmetro, con un hilito o con lo que sea. Tambin se mide el radio del crculo.

Para obtener el valor del ngulo () en radianes usamos la frmula:

y tenemos el ngulo medido en radianes

Hacer la divisin del arco sobre radio significa ver cuntas veces entra el radio en el arco. Como el radio y el arco deben medirse en la misma unidad, el radin resulta serun nmero sin unidades.

Esto significa que el valor del ngulo en radianes solo me indica cuntas veces entra el radio en el arco. Por ejemplo, si el ngulo mide 3 radianes, eso significa que el radio entra 3 veces en el arco abarcado por ese ngulo.

Su quisiramos calcular o conocer al valor del arco, hacemos:

Cuntas veces entra el radio en el arco marcado?

A cuntos grados equivale un radin?Pero el valor de un ngulo en radianes se puede expresar (convertir) en grados. En unacircunferenciaentera (360) el arco entero es elpermetro, que es igual a 2 Pi por radio. As, a partir de la frmula es que 360 equivalen a:

Un ngulo de un radin equivale a un ngulo de 57,3.

Para usar la calculadora en radianes hay que ponerla en "RAD"

Periodo y frecuenciaLa principal caracterstica del movimiento circular uniforme es que en cada vuelta o giro completo de 360, equivalente a un ciclo, se puede establecer un punto fijo como inicio y fin del ciclo.

En fsica, los ciclos son tambin llamados revoluciones para un determinado tiempo.

Elperiodo (T)de un movimiento circular es el tiempo que tarda una partcula o un cuerpo en realizar una vuelta completa, revolucin o ciclo completo.

Por ejemplo, el periodo de rotacin de la tierra es 24 horas. El periodo de rotacin de la aguja grande del reloj es de 1 hora. La unidad utilizada para el periodo es el segundo o, para casos mayores, unidades mayores.

Conocida la frecuencia (en ciclos o revoluciones por segundo) se puede calcular el periodo (T) mediante la frmula:

Se denominafrecuencia(F) de un movimiento circular al nmero de revoluciones, vueltas o ciclos completos durante la unidad de tiempo. La unidad utilizada para cuantificar (medir) la frecuencia de un movimiento es elhertz (Hz), que indica el nmero de revoluciones o ciclos por cada segundo.

Para su clculo, usamos la frmula

o hertz:

(En ocasiones se usa, en vez dehertz,seg1o s1). Ntese que la frecuencia (F) es la inversa del periodo (T).

Imaginemos el punto rojo (P) como una piedra que gira amarrada al punto C.

Una vez situado el origen O describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes angulares.

Posicin angular ()Podemos imaginar, como ejemplo, que se tiene una piedra amarrada a una cuerda y la movemos en crculos de radio r. En un instante de tiempotel mvil (en nuestro caso la piedra) se encuentra en el punto P. Su posicin angular (lo que la piedra ha recorrido en la circunferencia) viene dada por el ngulo , formado por el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen O (desde donde empez a girar la piedra).

La velocidad angular ()Cuando un objeto se mueve en una circunferencia, llevar una velocidad, ya que recorre un espacio, pero tambinrecorre un ngulo.

Para tener una idea de la rapidez con que algo se est moviendo con movimiento circular, se ha definido la velocidad angular ()como el nmero de vueltas que da el cuerpo por unidad de tiempo.Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que da muchas vueltas por segundo.

De manera sencilla: en el movimiento circular la velocidad angular est dada por la cantidad de vueltas que un cuerpo da por segundo.

Otra manera de decir lo mismo sera: en el movimiento circular la velocidad angular est dada por el ngulo recorrido () dividido por unidad de tiempo. El resultado est en grados por segundo o en rad por segundo.

= velocidad angular en rad/seg. = desplazamiento angular en rad.t = tiempo en segundos en que se efectu el desplazamiento angular.La velocidad angular tambin se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa o periodo (T):

Comoentonces

Trasmisin de un movimiento circular.

Aqu debemos apuntar que una misma velocidad angular se puede expresar de varias maneras diferentes.

Por ejemplo, para las lavadoras automticas o para los motores de los autos se usan lasrevoluciones por minuto (rpm). Tambin a veces se usan lasrps (revoluciones por segundo).

Tambin se usan losgrados por segundoy losradianes por segundo.

Es decir, hay muchas unidades diferentes de velocidad angular. Todas se usan y hay que saber pasar de una a otra, lo que se hace aplicando una regla de 3 simple.

Por ejemplo, pasar una velocidad de 60 rpm a varias unidades diferentes:

La ms importante de todas las unidades de velocidad angular esradianes por segundo. Esta unidad es la que se usa en los problemas.

Nota importante:Segn lo anterior es correcto, entonces, decir que la velocidad angular es

, pero resulta que el radin es slo un nmero comparativo, por lo mismo que la palabra radin suele no ponerse y en la prctica la verdadera unidad es, que tambin puede ponerse como, e incluso como.En efecto, muchas veces la velocidad angular se expresa en segundos elevado a menos uno () y para quienes no lo saben resulta incomprensible.

La velocidad tangencial (v)Aparte de lavelocidad angular, tambin es posible definir lavelocidad linealde un mvil que se desplaza en crculo.

Por ejemplo, imaginemos un disco que gira. Sobre el borde del disco hay un punto que da vueltas con movimiento circular uniforme.

Ese punto tiene siempre una velocidad lineal que es tangente a la trayectoria. Esa velocidad se llamavelocidad tangencial.

Para calcular la velocidad tangencial hacemos: espacio recorrido sobre la circunferencia (o arco recorrido) dividido por el tiempo empleado, que expresamos con la frmula:

pero comoentoncesque se lee velocidad tangencial es igual a velocidad angular multiplicada por el radio.

Como la velocidad angular () tambin se puede calcular en funcin del periodo (T) con la frmulay la velocidad tangencial siempre est en funcin del radio, entonces la frmulase convierte enque se lee: la velocidad tangencial es igual a 2 pi multiplicado por el radio (r) y dividido por el periodo (T).

Ver: PSU: Fsica;Pregunta 08_2005(2)Adems, como (velocidad angular) se expresa eny el radio se expresa en metros, las unidades de la velocidad tangencial sern metros por segundo (m/seg).

Las ruedas se mueven con movimiento circular.

La aceleracin en los movimientos curvilneosEn los movimientos curvilneos o circularesla direccin cambia a cada instante. Y debemos recordar que la velocidad considerada como vectorvpodr variar (acelerar o decelerar) cuando vare slo su direccin, slo su mdulo o, en el caso ms general, cuando varen ambos.

La aceleracin asociada a los cambios en direccinEn razn de la aseveracin anterior, y desde un punto de vista sectorial (distancia), unmovimiento circular uniformees tambin unmovimiento acelerado, aun cuando el mvil recorra la trayectoria a ritmo constante.

La direccin del vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, va cambiando a lo largo del movimiento, y esta variacin devque afecta slo a su direccin da lugar a una aceleracin, llamadaaceleracin centrpeta.

Aceleracin centrpetaCuando se estudi la aceleracin en elmovimiento rectilneo, dijimos que ella no era ms que elcambio constanteque experimentaba la velocidad porunidad de tiempo. En este caso, la velocidad cambiaba nicamente envalor numrico(su mdulo o rapidez), no as endireccin.

Ahora bien, cuando el mvil o la partcula realiza unmovimiento circular uniforme, es lgico pensar que en cada punto el valor numrico de la velocidad (su mdulo) es el mismo, en cambio es fcil darse cuenta de que la direccin del vector velocidad va cambiando a cada instante.

La variacin de direccin del vector lineal origina una aceleracin que llamaremosaceleracin centrpeta.Esta aceleracin tiene la direccin del radio y apunta siempre hacia el centro de la circunferencia.

Como deberamos saber, cuando hay un cambio en alguno de los componentes del vector velocidad tiene que haber unaaceleracin. En el caso del movimiento circular esa aceleracin se llamacentrpeta, y lo que la provoca es el cambio de direccin del vector velocidad angular.

Aceleracin centrpeta.

Veamos el dibujo de la derecha:

El vector velocidad tangencial cambia de direccin y eso provoca la aparicin de una aceleracin que se llama aceleracin centrpeta, que apunta siempre hacia el centro.

Laaceleracin centrpetase calcula por cualquiera de las siguientes dos maneras:

La aceleracin asociada a los cambios en su mdulo (rapidez)Ya sabemos que un movimiento circular, aunque sea uniforme, posee la aceleracin centrpeta debida a los cambios de direccin que experimenta su vector velocidad. Ahora bien, si adems la velocidad del mvil vara en su magnitud (mdulo) diremos que adems poseeaceleracin angular.

Resumiendo: si un mvil viaja en crculo con velocidad variable, su aceleracin se puede dividir en dos componentes: una aceleracin de la parte radial (la aceleracin centrpeta que cambia ladireccindel vector velocidad) y una aceleracin angular que cambia lamagnituddel vector velocidad, adems de una aceleracin tangencial si consideramos solo su componente lineal.(Ver:Rapidez y velocidad).Como corolario, podemos afirmar que unmovimiento circular uniformeposee soloaceleracin centrpetay que unmovimiento circular variadoposeeaceleracin centrpetay, adems,aceleraciones angular y tangencial.

Aceleracin angularTal como el movimiento lineal o rectilneo, el movimiento circular puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de rotacin puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsin resultante.

La aceleracin angular () se define como la variacin de la velocidad angular con respecto al tiempo y est dada por:

donde:

= aceleracin angular final en rad/ s2f= velocidad angular final en rad/si= velocidad angular inicial en rad/st = tiempo transcurrido en segUna forma ms til de la ecuacin anterior es:

f= i+ t

Aceleracin tangencialImaginemos de nuevo un disco que gira. Sobre el borde del disco hay un punto que da vueltas conmovimiento circular acelerado.

Ese punto tiene siempre una velocidad variada que es tangente a la trayectoria. Esa variacin de velocidad se llamaaceleracin tangencial.

Es la aceleracin que representa un cambio en la velocidad lineal, y se expresa con la frmula

Donde

= valor de la aceleracin angular en rad/s2r = radio de la circunferencia en metros (m)Entonces, la aceleracin tangencial es igual al producto de la aceleracin angular por el radio.

Otras frmulas usadas en el movimiento circularVimos que la velocidad angular () es igual al ngulo recorrido dividido por el tiempo empleado. Cuando el tiempo empleado sea justo un perodo (T), el ngulo recorrido ser 2 pi (igual a una vuelta).

Entonces podemos calcular la velocidad angular () como:

Pero como, esta misma frmula se puede poner como:

Ejercicios sobre movimiento circular uniformeEjercicio 1)Un mvil con trayectoria circular recorri 820 Cuntos radianes son?

Desarrollo

Sabemos que 1 rad = 57,3

EntoncesEjercicio 2)

Como en un tractor, la rueda delantera es ms chica.

Un tractor tiene una rueda delantera de 30 cm de radio, mientras que el radio de la trasera es de 1 m. Cuntas vueltas habr dado la rueda trasera cuando la delantera ha completado 15 vueltas?

Desarrollo:En este ejercicio la longitud (distancia, espacio) que recorre cada rueda en una vuelta corresponde al permetro de cada una (permetro del crculo), cuya frmula es, entonces:

Entonces, si en una vuelta la rueda delantera recorre 1,884 metro, en 15 vueltas recorrer: 15 1,884 m = 28,26 m

Cuantas veces la rueda trasera ha tenido que girar (dar una vuelta) para recorrer esa distancia de 28,26 m?

Dividimos esa distancia por la distancia recorrida en una vuelta por la rueda trasera:

28,26 m : 6,28 m =4,5 vueltas.Por lo tanto, la rueda trasera ha tenido que dar cuatro vueltas y media para recorrer la misma distancia que la delantera ha recorrido en 15 vueltas.

Ejercicios sobre el movimiento circular variado (acelerado)Ejercicio 1)Un automvil, cuyo velocmetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el permetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de la misma. Si el automvil tiene una aceleracin en algn instante, determinar su mdulo, direccin y sentido.

Si la pista es circular, la velocidad que tiene el auto es la velocidad tangencial. Si da una vuelta a la pista en un minuto, significa que su periodo (T) es de un minuto.

Ahora, como, entonces:velocidad angular .

Por otro lado, la velocidad tangencial es 20 m/s (72 km/h), reemplazando en la frmula:

Tenemos

Calculamos r:

R = 192 m Radio de la pistaAhora, aunque su velocidad (rapidez) sea constante, igual tiene aceleracin centrpeta, cuyo mdulo es

Aceleracin centrpeta, dirigida hacia el centro de la pista.

Ejercicio 2)Un automvil recorre la circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia F de 10 hz.

Determinar:

a) el periodo.

b) la velocidad angular.

c) su aceleracin.

Una frecuencia de 50 hz es una frecuencia de 50 1/s. Para su desarrollo, slo debemos aplicar formulas.

Sabemos que

, entonces

, velocidad angular (039)El perodo T es

s (Perodo)Conocemos la velocidad angular y el radio, podemos calcular la velocidad tangencial:

, velocidad tangencial.

Su aceleracin va a ser la aceleracin centrpeta, que siempre esta apuntando hacia el centro de la circunferencia. El mdulo de esta aceleracin se puede calcular por cualquiera de las siguientes dos frmulas:

Usando la segunda:

Ejercicio 3)Cul es la aceleracin que experimenta un nio que viaja en el borde de un carrusel que tiene 2 m de radio y que da una vuelta cada 8 segundos?

Si el nio da 1 vuelta cada 8 segundos su velocidad angular va a ser:

Para calcular la aceleracin centrpeta tenemos

Entonces:

Es la aceleracin centrpeta del nio.

Ejercicio 4)Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a 50 cm de su eje estn sometidos a una aceleracin que sea 500 veces la de la gravedad.

Veamos los datos:

Necesitamos que la aceleracin centrpeta sea igual a 500 g:

La velocidad angular para la cual se cumpla esto va a ser:

Ahora calculamos la frecuencia (F) a partir de

MOVIMIENTO RECTILINEO ACELERADOMovimiento rectilneo uniformemente acelerado

Evolucin respecto del tiempo de laposicin, de lavelocidady de laaceleracinde un cuerpo sometido a un movimiento rectilneo uniformemente acelerado,en un sistema decoordenadas cartesianas, segn lamecnica clsica.

Elmovimiento rectilneo uniformemente acelerado(MRUA), tambin conocido comomovimiento rectilneo uniformemente variado(MRUV), es aquel en el que unmvilse desplaza sobre una trayectoriarectaestando sometido a unaaceleracinconstante.

Un ejemplo de este tipo de movimiento es el decada librevertical, en el cual la aceleracin interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

Tambin puede definirse como el movimiento que realiza una partcula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular delmovimiento uniformemente acelerado(MUA).

ndice

[ocultar] 1Movimiento rectilneo uniformemente acelerado en mecnica newtoniana 1.1Deduccin de la velocidad en funcin del tiempo 1.2Deducin de la posicin en funcin del tiempo 1.3Ecuacin no temporal del movimiento 2Movimiento acelerado en mecnica relativista 2.1Observadores de Rindler 2.2Horizonte de Rindler 3Movimiento acelerado en mecnica cuntica 3.1Movimiento bajo fuerza constante en mecnica cuntica 3.2Efecto Unruh 4Vase tambin 5Referencias 5.1BibliografaMovimiento rectilneo uniformemente acelerado en mecnica newtoniana[editar]En mecnica clsica el movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres caractersticas fundamentales:

1. Laaceleraciny lafuerza resultantesobre la partcula son constantes.

2. Lavelocidadvara linealmente respecto del tiempo.

3. Laposicinvara segn una relacin cuadrtica respecto del tiempo.

La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parbola), velocidad (recta con pendiente) y aceleracin (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la cada libre (con velocidad inicial nula).

El MRUA, como su propio nombre indica, tiene unaaceleracinconstante, cuyas relacionesdinmicasycinemticas, respectivamente, son:

(1)a(t)=a=Fm=d2xdt2

En el movimiento rectilneo acelerado, la aceleracin instantnea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa grficamente la funcinv(t).

Lavelocidadv para un instante t dado es:

(2a)v(t)=at+v0siendov0la velocidad inicial.

Finalmente laposicinxen funcin del tiempo se expresa por:

(3)x(t)=12at2+v0t+x0dondex0es la posicin inicial.

Adems de las relaciones bsicas anteriores, existe unaecuacinque relaciona entre s el desplazamiento y la rapidez del mvil. sta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

(2b)v2=2a(xx0)+v20[mostrar]Derivacin de las ecuaciones de movimiento

Movimiento acelerado en mecnica relativista[editar]

Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleracin (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).

Enmecnica relativistano existe un equivalente exacto del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, ya que la aceleracin depende de la velocidad y mantener una aceleracin constante requerira una fuerza progresivamente creciente. Lo ms cercano que se tiene es el movimiento de una partcula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las caractersticas delMUAde la mecnica clsica.

Laecuacin de movimientorelativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4)ddt(v1v2/c2)=Fm0=wv(0)=0Dondewes una constante que, para valores pequeos de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleracin (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleracin es mucho ms pequea que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleracin bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

a(t)=w(1+w2t2c2)32La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5)v1v2/c2=wtv(t)=wt1+w2t2c2E integrando esta ltima ecuacin, suponiendo que inicialmente la partcula ocupaba la posicinx= 0, se llega a:

(6)x(t)=c2w[1+w2t2c21]En este caso eltiempo propiode la partcula acelerada se puede calcular en funcin del tiempo coordenadotmediante la expresin:

(7)=cwln[wtc+1+w2t2c2]Todas estas expresiones pueden generalizarse fcilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es ms complicada que la parbola, tal como sucede en el caso clsico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Observadores de Rindler[editar]El tratamiento de losobservadoresuniformemente acelerados en elespacio-tiempo de Minkowskise realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas lamtricade dichoespacio-tiempo:

ds2=c2dT2+dX2+dY2+dZ2,(T,X,Y,Z)R4Considrese ahora la regin conocida como "cua de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:

RRind={(T,X,Y,Z)R4|0