movimiento 0scilatorio

19/04/2023 07:22 p. m. 1

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS

F Í S I C A 2MOVIMIENTO 0SCILATORIO

Autor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora

Trujillo-2013

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Movimiento Oscilatorio es el movimiento de vaivén que realiza un móvil bajo la acción de una fuerza que siempre está dirigida hacia su posición de equilibrio.Ejemplo 1. En la Fig.1(a) el resorte de constante elástica K se man-tiene en equilibrio estático bajo la acción de la fuerza deformadora F = mg aplicada en su extremo inferior y la fuerza recuperadora F´del resorte. Este sistema se denomina OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE.

Figura 1.

En (b), jalamos la masa m hacia abajo deforma-mando el resorte hasta B´ en una longitud (-s), generando la fuerza recuperadora del resorte F´ = Ks que acelera la masa hacia la posición de equilibrio “O”. La energía cinética adquirida por la masa en este trayecto se transforma en trabajo para comprimir el resorte la longitud s hasta B.

19/04/2023 07:22 p. m. Segundo L. Gallardo Zamora 2

F´

k

(a)

mg

k

(b)

B´

O-sF´

B

k

(c)

+s-F´´

En (c), el resorte ejerce la fuerza recuperadora F´´ = - K s que nuevamente acelera la masa hacia la posición de equilibrio “O”.


Esta fuerza recuperadora, dirigida hacia la posición de equilibrio es la res-ponsable de las oscilaciones de la masa del OAS entre las posiciones extremas B-B´y la posición de equilibrio “O”

Ejemplo 2. El movimiento de una pequeña masa atada al extremo de un hilo inextensible, (péndulo simple) de la Fig. 2.

-

Ejemplo 3. El movimiento de una barra suspendida de un punto lejos de su Centro de Gravedad, (péndulo físico) de la Fig. 3.

A

A´

Figura 3


A´ A

OFigura 2

Posición extrema

Posición extrema

Posición extrema

Posición extrema


Ejemplo 4. El movimiento de rotación parcial de un disco suspendido de un hilo o varilla delgada de metal (péndulo de torsión) Fig.4.

Ejemplo 5. El movimiento de los puntos de una cuerda templada respecto a la posición de equi-librio, Fig.5.

Figura 5.


Figura 4

CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO OSCILATORIO


Oscilación o vibración. Es el recorrido de ida y vuelta que realiza el móvil oscilante pasando por las dos posiciones extremas.

Período ( T ). Es el tiempo que demora el móvil oscilante en realizar una oscilación completa. Se mide en segundos.

Frecuencia ( f ). Es el el número de oscilaciones que realiza el móvil oscilante en la unidad de tiempo. Se mide en Oscil/s, Vibrac/s, Ciclos/s o Hertz: Hz .

La frecuencia y el período se relacionan en forma inversa.

f = 1 / T (1)


Elongación (lineal o angular). Es el desplazamiento del móvil oscilante respecto a la posición de equilibrio en cualquier instante.


Amplitud (lineal o angular). Es la máxima elongación lineal (xm = ± A) o máxima elongación angular (± m ) que se desplaza el móvil oscilante a uno y otro lado de la posición de equilibrio.

Elongación angular

(t)

O

m

B´ B

Figura 7.

O A- A

X

Elongación lineal

Figura 6.

x (t)

El desplazamiento lineal se representa por x(t), (Fig.6), se mide en [m] y el desplazamiento angular por θ(t), (Fig.7), se mide en [rad].


MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)


El estudio dinámico del MAS se hace utilizando un OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE, consistente de una masa m atada al extremo libre de un resorte de constante elástica k como en la Fig.8

El MAS es el modelo más adecuado para el estudio y descripción matemática de las diversas oscilaciones periódicas que existen en la naturaleza.

Las oscilaciones se inician cuando el resorte es estirado o comprimido una distancia x = ± A, mediante una fuerza externa F aplicada sobre m.Al cesar la fuerza externa F queda la fuerza recuperadora F´ del resorte que mueve la masa hacia la posición de equilibrio x = 0.

Figura 8.

- A + Ao

mk-F´ F


http://www.youtube.com/watch?v=BEHcVE753XQ

Por la ley de Hooke, la fuerza deformadora F es directamente proporcional a la deformación x


F = k x (2)

Y como la fuerza recuperadora F´ es de igual módulo pero de sentido opuesto a la fuerza deformadora (Fig.9) entonces:

F´ = – k x (3)

La fuerza recuperadora acelera la masa hacia la posición de equilibrio, incrementando su velocidad desde cero en x = ± A, hasta alcanzar un valor máximo en la posición de equilibrio x = 0.

x

F

Según esta ecuación, la fuerza recuperadora es máxima en los extremos (x = ± A) y es cero en la posición de equilibrio (x = 0)


Figura 9.

k m

o

F´

ECUACIÓN BÁSICA DEL MAS


La ecuación dinámica básica del MAS se obtiene aplicando las leyes de Newton al Oscilador Armónico Simple (OAS).

F´ = m a = – k x

m = – k xd2x

d t2

que puede escribirse en la forma: = – xd2x

d t2 (4) k

m

Como ya indicamos, en el OAS, la fuerza recuperadora F´ = - k x es la responsable del movimiento de la masa hacia la posición de equilibrio. Entonces aplicando la segunda ley de Newton, a la Fig.10, se tiene:


k m

x

F´

Figura 10

o

http://www.youtube.com/watch?v=SflEz0S3sKE&NR=1

Esta es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden cuya solución es una función del tipo x(t).


Una interpretación matemático-literal de la Ec.(4), nos dice que la función solución x(t) debe ser tal que: su segunda derivada sea igual a la función misma, multiplicada por una constante con signo cambiado (en el OAS es: – k / m).

Considerando que, en el segundo ciclo de estudios, solamente sabemos derivar y todavía no sabemos resolver ecuaciones diferenciales, vamos a utilizar un método práctico para deducir la forma matemática de la función x(t) que satisfaga la ecuación diferencial del MAS (Ec.4).

Este método consiste en utilizar algunas de las funciones matemáticas que conocemos y verificar si satisfagan la ecuación diferencial del MAS, tal como se muestra en la Tabla 1.



Tabla 1.

N x(t) dx/dt d2x/dt2 Satisface

1

2

3

4

5

6

Según la Tabla 1, solamente las funciones armónicas SENO y COSENO satisfacen la ecuación diferencial del MAS.

Por estas funciones es que el movimiento oscilatorio se denomina MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.


8t2 – 4t +5 16t – 4 16 x(t) NO

3 Sen 2t 6 cos 2t – 12 sen 2t = – 4 x(t) SI

2 e3t 6e3t 18e3t = 9 x(t) NO

7 cos 2t – 14 sen 2t – 28 cos 2t = – 4 x(t) SI

NO

NO

Ln 6t 1/t – 1/t2 x(t)

Tan 5t 5 Sec2 5t 50(Sec2 5t)(Tan 5t) x(t)

V

Este método se basa también en que el gráfico de las funciones seno o coseno son similares a la curva que describe un OAS sobre una cinta de papel que se desplaza con velocidad constante frente a la masa oscilante, como se ilustra en la Fig.11.


t

x

A

-A

0

Una oscilación

Figura 11. Gráfico experimental descrito por un oscilador armónico similar al gráfico de la función SENO o COSENO


T/4 T/2 3T/4 2TT

m

http://www.youtube.com/watch?v=2L2omFifDkI&feature=related

Por lo tanto, la función matemática que describe el MAS debe ser del tipo:


x = A sen (o t + )

o una combinación lineal de ambas

Donde : A , es la amplitud del MAS

(o t + ), es la fase del MAS y se expresa en [rad]

o , es la frecuencia angular del MAS y se mide en [rad/s]

x = B cos (o t + )o

En el desarrollo de la presente unidad usaremos la función seno

(5)x = A sen (o t + )

x = A sen (o t + ) ± B sen (o t + )

, es la fase inicial del MAS y se mide en [rad]



La fase inicial es la cantidad que nos permite medir las os-cilaciones desde cualquier posición e instante iniciales en la trayectoria del MAS. Si consideramos que en to = 0 la posición inicial de la partícula oscilante es xo, podemos usar estos valores iniciales en la Ec.(5) y obtener:

De donde la fase inicial es: = sen-1(xo/A) (7)

xo = A sen

La frecuencia angular se define como

o = 2 f = 2

T(6)

xo = A sen (o (0) + )


Las posiciones triviales desde donde podemos empezar a contar las oscilaciones son: xo = 0, ± A.


VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN. Verifiquemos que la función x = A sen (ot + ) efectivamente satisface la ecuación diferencial del MAS, (Ec.4).

Derivando la función x(t) respecto al tiempo dos veces se tiene:

= o A cos (o t + ) d x

d t = – (o)2 A sen (o t + ) d2 x

d t2

y

= – xd2xd t2

km

Remplazando en la ecuación diferencial obtenemos:

– (o)2 A sen (o t + ) = – A sen (o t + )km



Esta igualdad se cumple siempre que

(o)2 = km

(8)

De donde la frecuencia angular del MAS de un Oscilador Armónico simple es

(9)o = km

El período es

(11)T = = 2 2o

mk

La frecuencia lineal es

(10)f = =o 2

1 2

km



Usando la Ec.(7) podemos escribir la ecuación diferencial del MAS en la forma

= - xd2x

d t2

(o)2 (12)

Velocidad del MAS. La velocidad instantánea del MAS se defi-ne como la derivada de la posición respecto al tiempo.

Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima velocidad del MAS .

V = d x

d t

Vm = o A (14)

V = o A cos (o t + ) (13)



Si usamos la identidad trigonométrica : sen2 + cos2 = 1, obtenemos:

cos = 1 – sen2 Aplicando esta relación en la Ec.(12) de la velocidad se tiene:


v = o A2 – x2

V = o A 1 – sen2 (o t + ) = o A2 – A2 sen2 (o t + )

(15)

Según esta ecuación la velocidad depende de la posición del móvil oscilante.

v = o A2 – 02 v = ± o A = ± vm

En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que:

En x = ± A ( posición extrema)

v = o A2 – A2 v = 0


v = 0v = 0

-A +Ao

x

Figura 12.

En la Fig. 12 se muestran las posiciones donde la velocidad es máxima y donde es cero.

- vm

+ vm

Aceleración del MAS. La aceleración instantánea del MAS se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

d v

d t

a =

a = – (o)2 A sen (o t + )

(16)

am = (o)2 A (17)

Donde el coeficiente de la función trigonométrica es la máxima aceleración del MAS



x = A sen (o t + )

Estos resultados nos indican que la aceleración del MAS es cero en la posición de equilibrio y es máxima en las posi-ciones extremas.

En la Ec.(15) podemos usar la función

En esta ecuación, el signo menos ( - ) indica que la aceleración siempre es opuesta al desplazamiento y depende de éste.

En x = 0 ( posición de equilibrio) se tiene que: a = – ( o )2 (0) = 0En x = ± A ( posición extrema)

a = – ( o )2 A

a = – ( o )2 x (18)y entonces:



a = 0

– A +Ao

x

Figura 13.

En la Fig. 13 se muestra las posiciones donde la aceleración es cero y es máxima.

+am – am


Es importante resaltar que, los vectores desplazamiento x(t) velocidad v(t) y aceleración a(t) pueden graficarse en el mismo instante a fin de saber que dirección tienen y como se mueve la partícula oscilante. Observe los siguientes esquemas de las Fig.14 y Fig.15

-A +Ao

x

v

– aFigura 14. Para esta partícula que se mueve hacia el extremo +A, los vectores posición x(t) y velocidad v(t) tienen la misma dirección pero son opuestos al vector aceleración a(t)


-A +Ao

x v

– a


Figura 15. Para esta partícula que se mueve hacia el extremo -A, el vector posición x(t) es opuesto con los vectores velocidad v(t) y aceleración a(t)

Para el efecto, consideremos que las funciones: x(t) = 5 sen( t + 0,6435), en [m], V(t) = 5 cos( t + 0,6435) en [m/s] y a(t) = - 52 sen( t + 0,6435) en [m/s2 ], determinan el desplazamiento, velocidad y aceleración del MAS que realiza una partícula en función del tiempo medido en [s].

Matemáticamente también podemos demostrar el desfasaje entre el des-plazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula que realiza un MAS.

Como el período de este movimiento es T = 2 [s], usamos intervalos de tiempo iguales a un décimo del período para elaborar la Tabla 2, en Excel, de los valores de estas funciones y luego los graficamos.

Tabla 2.



t [s[ x [m] v [m/s] a [m/s2 ]0 3.0 12.6 -29.6

0.1 4.1 9.0 -40.40.2 4.8 4.6 -47.20.3 5.0 -0.2 -49.30.4 4.7 -5.1 -46.70.5 4.0 -9.4 -39.50.6 2.9 -12.8 -28.40.7 1.5 -15.0 -14.50.8 -0.1 -15.7 0.70.9 -1.6 -14.9 16.01 -3.0 -12.6 29.6

1.1 -4.1 -9.0 40.41.2 -4.8 -4.6 47.21.3 -5.0 0.2 49.31.4 -4.7 5.1 46.71.5 -4.0 9.4 39.51.6 -2.9 12.8 28.41.7 -1.5 15.0 14.51.8 0.1 15.7 -0.71.9 1.6 14.9 -16.02 3.0 12.6 -29.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

-60.0

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

X

V

a

t x10-1 [s]

[m]

[m/s

[m/s2]

Figura16. Gráficos de x(t), v(t) y a(t) de un MAS

En la Fig.16 observamos que, cuando el desplazamiento es máximo, X(t) = Xm, la velocidad es V(t) = 0, lo que significa que estas dos funciones están desfasadas en /2 rad. También observamos que en X(t) = Xm, la acelera- ción

es máxima y de sentido opuesto al desplazamiento, a(t) = am , lo que significa que el desplazamiento y la aceleración están desfasados en rad.



En otro instante vemos que cuando X(t) = 0, la velocidad es máxima, V(t) = ± Vm y la aceleración es cero, a(t) = 0.

±Ejemplo 6. Una masa de 20,0 [g] oscila con MAS atada al extremo libre de un resorte de constante elástica k = 70,0 [N/m]. Las oscilaciones se empiezan a contar en t = 0, cuando el desplazamiento de la masa es de 3,0 [cm] y su velocidad es – 1,32 [m/s]. Calcular: a) la frecuencia angular, b) la fase inicial, c) la amplitud y d) la ecuación del MAS que realiza la masa.

Datos: m = 20,0 [g] = 2,00x10-2 [kg], k = 70,0 [N/m], en to = 0, xo = 3,0x10-2 [m] y vo = – 1,32 [m/s]


Solución.

a) La frecuencia angular se obtiene usando

o = km =

70,0 2,00x10-2

o = 59,16 [rad/s]


b) La fase inicial se obtiene usando los valores de la frecuenciaangular y los valores iniciales de xo y vo en to = 0, en las ecuaciones:de la elongación: x = A sen (o t + ), obteniendo

3,0x10-2 = A sen [59,16 (0) + ]

y de la velocidad: v = o A cos (o t + ), obteniendo

– 1,32 = (59,16) A cos [59,16(0) + ]

A sen = 3,0x10-2 (i)

A cos = – 2.23x10-2 (ii)


Dividiendo miembro a miembro las relaciones (i) y (ii) se tiene

A cos – 2,23x10-2

A sen 3,0x10-2 =


Simplificando obtenemos

Tan = – 1,345291480

De donde = – 0,9316 [rad]

c) La amplitud se obtiene elevando al cuadrado (i) y (ii), y luego sumánolas.

A2 sen2 = 9,0x10-4

A2 cos2 = 4,97x10-4

A2 (sen2 + cos2 ) = 13,97x10-4

A2 = 13,97x10-4

A ± 3,74x10-2 [m]


x = 3,74x10-2 sen (50,0 t – 0,9316 ) [m]

Usando los valores de las constantes obtenidas, la Ecuación del MAS es entonces

d)


Ejemplo 7. En la Fig.17 se tiene un gráfico de la velocidad versus el tiempo de una partícula de 9 [g] que oscila con MAS. Hallar en t = 1.60 [s]: a) la posición, b) la velocidad y c) la aceleración

Datos: m = 9 [g] = 9x10-3 [kg], t = 1.60 [s] y del grá-fico T = 8x10-2 [s]

t [s] 10-2

2 4 6 8

– 10

V [m/s]

+ 10

0

– 8

Figura 17

En primer lugar debemos definir las funciones x(t), V(t) y a(t), usando los datos del gráfico.

Solución:

T

1 oscilación


En el gráfico de la Fig. 17, vemos que una oscilación se realiza en un tiempo T = 8x10-2 [s], que es el período del MAS.


Por lo tanto la frecuencia angular del MAS es

o = 2 / T = 2 / 8x10-2 o = 25 [rad/s]

En el gráfico también vemos que la velocidad máxima es:

vm = ± 10 [m/s].

vm = o A 10 = 25 A A = [m] 0,4

Usando este valor y el de la frecuencia angular en la ecuación

vm = o A

Obtenemos el valor de la amplitud de las oscilaciones

Finalmente en la figura vemos que las condiciones iniciales son:

vo = – 8 [m/s], en t = 0


Usando estas condiciones iniciales y los valores de los otros parámetros en la ecuación de la velocidad, podemos calcular la fase inicial del MAS

v = o A cos (o t + ) – 8 = 25 ( ) cos [25 (0) + ] 0,4

Finalmente la ecuación completa de la posición de la partícula oscilante en cualquier instante es

X = sen (25 t + 2,4981) [m]0,4

= cos-1 (0,80) = 2,498091545

cos = – 0,80de donde

Considerando solamente 4 decimales: 2,4981 [rad]



x = 0,076 [m]

= 7,6 [cm]

b) La velocidad es: v = (25 )( ) cos (25 t + 2,4981)0,4

c) La aceleración es: a = –(25 ) (10) sen (25 t + 2,4981)

a = – 250 sen (25 (1,60) + 2,4981)

a = – 471,23 [m/s2 ]

v = 10 cos (25 (1,60) + 2,4981)v = – 8.00 [m/s]

Ahora damos calculamos x, V y a en t = 1,60 [s]

a) La posición es: x = sen (25 (1,60) + 2,4981)0,4


v = 10 cos (25 t + 2,4981)

Ejemplo 8. El oscilador armónico de la Fig. 18 consiste de una masa de 1.6 [kg] y un resorte de constante elástica 3.2x103 [N/m]. La masa es separada de su posición de equilibrio una distancia xo = 9 [cm] y luego es dejada libre para que oscile sobre una superficie sin fricción. Hallar: a) la ecuación que permita calcular la posición de la masa en cualquier instante, b) el período, c) la fre-cuencia en [osc/s]. Luego en t = 0.1 [s] calcular, d) la posición, e) la velocidad y f) la aceleración de la masa oscilante.


Datos:

m = 1.6 [kg], k = 3.2x103 [N/m], xo = 0.09 [m] que es la posición inicial y a su vez la amplitud del MAS, A = 0.09 [m].

mk

xo = A

F

Figura 18.


Solución:


a) La ecuación de la posición es: x = A sen (o t + )

o = k

m

Donde la frecuencia angular se obtiene de

= 3.2x103

1.6

o = 44.7 [rad/s]

y usando las condiciones iniciales t = 0, x0 = 0.09 [m] en la ecuación de la posición se tiene:

0.09 = 0.09 sen [44.7(0) + ]

Sen = 1 = /2 [rad]Finalmente:

x = 0.09 sen (44.7 t + /2 ) [m]

ó x = 0.09 cos (44.7 t ) [m]


b) El período se obtiene con


T = = 2

o

2

44.7 T = 0.14 [s]

c) La frecuencia es

f = =1

T

1

0.14 f = 7.14 [osci/s]

Ahora en t = 0.1 [s]

d) La posición lo calculamos con la ecuación obtenida en (a)

x = 0.09 cos [44.7 (0.1)]

x = - 0.022 [m]

e) La velocidad se obtiene con

v = dx/dt = - 4.023 sen (44.7 t) [m/s]


Usando valores


v = - 4.023 sen [44.7 (0.1)] v = 3.90 [m/s]

f) La aceleración se obtiene cona = dv/dt = - 179.83 cos (44.7 t ) [m/s2 ]

a = - 179.83 cos [44.7 (0.1) ] a = 43.16 [m/s2]


Ejemplo 9. En la Fig. 19 se tiene un bloque A que, atado al extre-mo libre de un resorte, oscila con MAS sobre una superficie hori-zontal liza con un período de 0,50 s. Si sobre A colocamos un bloque B y si sabemos que el coeficiente de fricción estático entre los dos bloques es 0,5 ¿cuál es la máxima amplitud que puede tener el sistema para que el bloque B no se deslice?

Datos:A

Figura 19

B

T = 0,50 s o = 2/0,50 = 4 rad/s, s = 0,5

Solución.



En este problema hay que usar la aceleración del bloque B por reali-zar un MAS y las leyes de Newton por estar sujeto a fricción con A.

En el MAS la aceleración está definida por la ecuación: a = – (o)2

A sen (o t + ) Donde la máxima aceleración es: am = (o)2

A (I)

Por otra parte, en el D.C.L (Fig.20) del bloque B, vemos que cuando se mue-ve hacia la derecha con velocidad v, la aceleración a del MAS es hacia la izquierda en el mismo sentido que la fuerza de fricción f. Por lo tanto, aplicando las leyes de Newton se tiene:

Fx = -f = - m a (II) y Fy = N – mg = 0 (III)

X

YB

Figura 20

N

mg

va

f

De (III) se tiene: N = mg y como f = s N, entonces f = s mg


RELACIÓN ENTRE EL MAS Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

La relación entre el MAS y el Movimiento Circular Uniforme se puede visualizar mediante el mecanismo de la Fig. 21 que consiste en un pequeño cilindro colocado en el filo de un disco de radio A que gira a velocidad angular constante y cuya sombra, proyectada en un plano vertical, oscila sobre el eje X .


Usando esta relación en (II) se tiene: s mg = m aSimplificando la masa y usando (I) se tiene: s g = (o)2

A

De donde la máxima amplitud es: s g

(o)2

Am =

Usando valores:(0,5)(9,81)

(4 )2

Am = Am = 0,031 m = 3,1 cm

Hacemos incidir un haz de luz paralelo al plano del disco a fin de obtener en la pantalla vertical una sombra del pequeño cilindro.

O X

Pantalla

Ao

Disco

Y


Figura 21.

L U Z

x = A sen

- A +A


Cuando el disco gira con el cilindro observamos que la sobra se mueve oscilatoriamente sobre el eje X, realizando un MAS de am-plitud ± A.


La proyección del móvil en la Fig.21, es equivalente a considerar la proyección ortogonal del radio vector rotante A sobre el eje diametral (X,X´) del circulo para diferentes instantes a partir de la posición inicial en t = 0, tal como se muestra en las Fig.22, 23 y 24.


A

ot

o

Pt > 0

A

ot

oPt > 0

A

oPt = 0

Xo P´ X

P´

XP´

Xo = A sen X = A sen (o t + )

-A +A

Figura 22.

Y

oX´ X

Y´

Figura 23

X´

X

Y

+Ao

t = 0

-A

Y´Figura 24.

X

Y

+AoX´

t = 0

-A

Y´

La elongación X de una partícula que realiza un MAS sobre el eje X-X´, está determinada por la proyección ortogonal del vector rotan-te A sobre este eje, tal como se ilustra en la Fig.25.


X = A sen (ot + )


Figura 25.

t = 0

t > 0

A

ot

X

Y

X +A- A o

o

P

P`

Y´

X´

A, es el radio de la circunferenciaDonde:

(ot + ) es el ángulo que hace el radio vector A con el eje Y´.

, es la fase inicial del MAS en t = 0

Como el vector A gira en sentido an-tihorario, con frecuencia angular o su proyección ortogonal está defini-da por OP´ = X, que según la Fig.25.


La velocidad V de una partícula que realiza un MAS sobre el eje X-X´, está determinada por la proyección ortogonal del vector velocidad tangencial VT = o A sobre este eje, tal como se ilustra en la Fig.26.

V = VT sen (ot + + /2)

V = o A cos (ot + )Figura 26.

X

A

ot

Y

+A-A o

o

v

P

P’

vT

/2


Como el vector VT gira en sentido antihorario, con frecuencia angu-lar o , su proyección ortogonal está definida por:

V = o A [sen (ot + ) cos /2 +

cos (ot + ) sen /2]

La aceleración a de una partícula que realiza un MAS sobre el eje X-X´, está determinada por la proyección ortogonal del vector ace-leración centrípeta ac = (o)2 A sobre este eje, tal como se ilustra en

la Fig.27.


a = ac sen (ot + + )

Figura 27.

Y

A

ot

X+A- A o

o

P

P`

ac

a

a = - (o)2 A sen (ot + )


Como el vector ac gira en sentido antihorario, con frecuencia angu-lar o , su proyección ortogonal está definida por:

a = (o)2 A [ sen (ot + ) cos + cos (ot + ) sen ]

ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE


Considerando que el oscilador armónico es un sistema conservativo la energía mecánica total es constante y esta dada por la suma de la energía la energía cinética y la energía potencial.

E = Ek + Ep = constante (19)

Donde la Energía Cinética del MAS es

ó Ek = ½ m (o)2 (A2 – x2) = ½ k (A2 – x2) (21)

Ek = ½ m v2 = ½ m (o)2 A2 cos2 (ot + ) (20)


y la Energía Potencial del MAS es

Ep = ½ k x2 = ½ m (o)2 A2 sen2 (ot + ) (22)

(23)Ep = ½ m (o)2 x2ó

http://www.youtube.com/watch?v=H6be43Xfvs8&feature=related


Por lo tanto la energía mecánica total se puede expresar en la forma

E = ½ k (A2 – x2 ) + ½ k x2

Esto significa que durante una oscilación la partícula intercambia continuamente energía cinética y energía potencial, de forma tal que la suma de ambas siempre es la misma en cualquier instante, tal como se ilustra en las Fig.28 y Fig.29.

E = ½ k A2 = ½ m (o)2 A2 = constante (24)


E = Ek + Ep = constante

E k

E p

x

Ep(t)

Ek(t)

E

X+A- A

Figura 28.

E

½ k A2

t

Figura 29.

T/2 T


Ejemplo 9. Una partícula de masa 90 [g] oscila con MAS de frecuencia 4 [vib/s] y amplitud 10.0 [cm]. En t = 0, la partícula está en x = 4.0 [cm]. Calcular en t = 15.2 [s]: a) la posición, b) la velocidad, c) la aceleración, d) la energía potencial, e) la energía cinética y f) la energía total de la masa oscilante.

Datos: m = 0.090 [kg], f = 4 [vib/s], A = 0.10 [m] y las condiciones iniciales son en t = 0, x = 0.04 [m].Solución:

a) La posición está definida por: x = A sen (o t + )

Donde: o = 2f = 2(4) o = 8 [rad/s]

Reemplazando en la ecuación de la posición los datos calculados y las condiciones iníciales se tiene

0.04 = 0.10 sen [8(0) + ]sen = 0.40 = 0.412 [rad]



Por lo tanto, la ecuación de la posición completamente definida es

x = 0.10 sen (8 t + 0.412) [m]

Ahora en t = 15.2 [s]

x = 0.10 sen[8 (15.2) + 0.412] x = - 0.075 [m] = - 7.5 [cm]

b) La velocidad esta definida por: v = dx/dtv = 0.80 cos (8 t + 0.412) [m/s]

En t = 15.2 [s]

v = 0.80 cos[8 (15.2) + 0.412] v = 1.67 [m/s]

c) La aceleración está definida por: a = d2x/dt2

a = - 6.40 2 sen (8 t + 0.412) [m/s2]En t = 15.2 [s]

a = 47.23 [m/s2] a = - 6.40 2 sen [8 (15.2) + 0.412]



d) La energía potencial está definida por: Ep = ½ m (o)2 x2

Según (a), en t = 15.2 [s], x = - 0.075 [m], entonces

Ep = ½ (0.090)(8)2(- 0.075)2 Ep = 0.16 [J]

e) La energía cinética está definida por: Ek = ½ mv2

Según (b), en t = 15.2 [s], v = 1.67 [m/s], entonces

Ek = ½ (0.090)(1.67)2 Ek = 0.13 [J]

f) La energía total está definida por: E = Ep + Ek

E = 0.16 + 0.13 = 0.29 [J]

Entonces



Datos:

m = 2.0 [kg], A = 0.12 [m], en x = 0.07 [m] su Ek = 0.380 [J].

Ejemplo 10. Una masa de 2.0 [kg] atada al extremo de un resorte realiza MAS de amplitud 12 [cm]. Cuando su desplazamiento es 7 [cm] su energía cinética es 0.380 [J]. Calcular: a) la velocidad en tal posición, b) la constante elástica del resorte, c) el período de oscilación y d) la energía total del sistema.

Solución:

a) La velocidad se obtiene de: Ek = ½ m v2

v = 0.616 [m/s]v = 2Ek

m =

2(0.380)

2.0



d) La energía total del sistema es : E = ½ k A2

E = ½ (80.0)(0.12)2 E = 0.576 [J]

b) La constante elástica se obtiene de: Ek = ½ k (A2 – x2)

k = 2Ek

(A2 – x2)

= 2(0.380)

(0.122 – 0.072)

k = 80.0 [N/m]

T = 2 2.0 80.0

T = 0.99 [s]


1. Una masa de 500 g se mueve con MAS de período 0,15 s y amplitud 10 cm. Calcular la aceleración, la fuerza, la energía potencial y la energía cinética de esta masa cuando está a 5 cm de la posición de equilibrio.

EJERCICIOS MOS-01

M k

c) El período de oscilación es : T = 2


2. La masa de 200 g del OAS se desliza sobre una superficie liza y realiza un MAS definido mediante la ecuación x = 0,8 sen (6t - /5), donde x se expresa en m y t en s. Determinar: a) la amplitud, frecuencia angular, frecuencia lineal, período y fase inicial, b) la elongación, velocidad y aceleración en t = 0,8 s, c) la constante elástica del resorte del OAS y d) las energías cinética, potencial y total del OAS en el instante t = 0, 8 s.


3. En la Fig. 30 se tiene un gráfico de la aceleración vs el tiempo de una partícula de 7 [g] que oscila con MAS. Hallar en t = 0,18 [s]: a) la posición, b) la velocidad, c) la ace-leración, d) la energía potencial, e) la energía cinética de la partícula oscilante y f) ¿qué fracción de la energía total es energía cinética y que fracción es potencial?

a m/s2

t s x10-2

240

-240

080

3 6 9 12 15

Figura 30


4. Un muelle elástico de constante 0,4 N/m está unido a una masa de 25 g. En el instante inicial su posición es x = 5 cm y su velocidad es v = –203 cm/s. Calcular: a) el periodo de la oscilación, b) las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración de este MAS, c) representar gráfic-amente la posición en función del tiempo, d) los valores de la energía cinética, potencial y total en la posición x = 0 y e) los) instante (s) en el que el móvil pasa por la citada posición.


6. Un cuerpo de masa m = 20 [kg] es atado al extremo inferior de un resorte de 800 [N/m] como se indica en la Fig.3. Cuando el cuerpo se halla a 0.05 [m] por debajo de la posición de equilibrio su velocidad es de 0,90 [m/s] hacia arriba. Calcular: a) la amplitud de vibración del cuerpo y b) la aceleración máxima del cuerpo.

5. Cuando un sistema masa-resorte, oscilando con MAS, está a la mitad de su amplitud calcular: a) ¿qué fracción de energía total es cinética y que fracción es potencial? y b) la posición de la masa cuando la energía cinética es igual a la energía potencial.

FIN

movimiento 0scilatorio

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