mosaicos2d

MOSAICOS EN DOS DIMENSIONES

Introducción

A lo largo de los años se ha utilizado la geometría con fines decorativos. Vasijas, tejidos, suelos, muros, puertas, ventanales… han sido decorados con diseños geométricos regulares. Es curioso cómo se ha decorado el plano a lo largo de la historia utilizando alrededor de media docena de diseños básicos. Ha sido habitual el uso de "ajedrezados", "escamas", "zigzags", "ruedas solares" en la decoración de tejidos, muebles o utensilios domésticos, suelos y paredes, produciendo diseños periódicos.

Fue Fedorov, cristalógrafo Ruso, quien hizo el primer tratamiento matemático de estos aspectos en 1.892 cuando demostró que no hay

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más que 17 estructuras básicas para las infinitas decoraciones posibles del plano formando mosaicos periódicos.

Los mosaicos son un tipo especial de recubrimiento del plano. Surgen de la repetición de un determinado módulo, figura o motivo en dos direcciones independientes del plano, al aplicarles determinados movimientos (traslaciones, giros, simetrías o deslizamientos).

Además de los mosaicos podemos encontranos con los frisos, que tienen como denominador común la repetición de un determinado módulo, figura o motivo a lo largo de una única dirección (banda rectangular), dándose siempre una periodicidad sistemática en la repetición del módulo.

O con los rosetones que surgen al girar un módulo, figura o motivo alrededor de un punto. Han sido muy utilizados en diseños arquitectónicos de capillas.

Para la generación de mosaicos, frisos y rosetones se aplican movimientos del plano sobre el motivo inicial. El origen del estudio de estos grupos de simetría fue el problema de la Cristalografía de caracterizar las formas de crecimiento de cristales y clasificar con este concepto geométrico los grupos de minerales.

A continuación veamos una definición intuitiva, no rigurosa, de los cuatro movimientos del plano que vamos a usar en adelante: Traslaciones, giros o rotaciones, simetrías o reflexiones y deslizamientos o traslaciones sesgadas. Para ver una definición dinámica de estos términos debes pasar el ratón por encima de cada una de las siguientes imágenes:

Traslación

Simetría (reflexión)

Giro (rotación)

Deslizamiento (traslación sesgada)Cuestión 0: ¿Qué movimientos están presentes en las siguientes figuras?

Solución

ACTIVIDAD 1: Grupos de Leonardo

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Empecemos con los llamados rosetones, denominados también grupos de Leonardo, en honor a Leonardo da Vinci (1.452 - 1.519), quien los utilizó en algunos de sus diseños arquitectónicos de capillas.

Para generarlos partimos de un módulo o motivo y vamos girándolo alrededor de un punto, rellenando así el espacio que lo envuelve (al punto).

Pueden darse dos casos: Si hay ejes de simetría en la figura obtenida o si no los hay. En el primer caso estamos ante los llamados grupos diédricos Dn y en el segundo caso ante los denominados grupos cíclicos Cn. El subíndice n indica el orden de giro: orden 2 si giramos 180º alrededor del punto central; orden 3 si giramos 120º; orden 4 si el giro es de 90º y así sucesivamente (se trata de dividir 360º entre 2, 3, 4, etc. para obtener los gardos que debemos girar).

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Cuestión 1: Intenta construir los primeros grupos cíclicos y diédricos (C1, D1, C2, D2, C3, D3, ...) a partir de la figura de la derecha. Observa que el motivo inicial es el triángulo morado (aunque podría ser cualquier otro). Te recuerdo que debes girar alrededor del punto O y también realizar simetrías con ejes que pasen por este punto. Si te resulta complicado o quieres comprobar lo que has hecho pulsa en el siguiente enlace para ver las soluciones a los grupos de Leonardo.

Cuestión 2: A continuación te muestro algunos grupos de Leonardo sacados de la realidad, de nuestra vida cotidiana. Debes clasificarlos: debes decir si son cíclicos o diédricos y cuál es su orden. Hay muchos más en tu entorno. ¿Te atreverías a encontrar unos cuantos?

Solución 1 Solución 2

Solución 3

Solución 4

ACTIVIDAD 2: Frisos

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Seguramente tienes más de un jersey tejido con cenefas (o frisos). Si miras a tu alrededor con atención encontrarás cenefas por todas partes: en los restos de las antiguas culturas (egipcias, romanas, griegas, etc.), así como en nuestra civilización actual, desde una tira de sellos hasta en los balcones de nuestras calles.

Si una figura (patrón) la repetimos mediante una traslación obtenemos un conjunto decorativo al que llamaremos friso o cenefa. Desde el punto de vista matemático sólo se pueden construir siete tipos de frisos esencialmente diferentes (son distintos al serlo los movimientos que los dejan invariantes). Partiendo de un motivo y realizando sobre él giros, simetrías o deslizamientos, obtenemos el patrón y como ya se ha dicho al trasladar éste obtenemos el friso.

Cuestión 1: Utilizando el motivo de la derecha (muy ususal en el Mudéjar Aragonés, formado por dos triángulos, uno blanco y el otro negro), intenta construir los siete frisos posibles. Como ayuda puedes ir contestando a las preguntas del siguiente algoritmo y aplicando al motivo dado los movimientos que allí aparecen. La notación empleada consiste en una "p" genérica seguida de tres símbolos: p _ _ _ que pueden significar:El primero será "m" si la cenefa contiene simetrías verticales y "1" si no las tiene.

El segundo será "a" si hay deslizamientos, "m" si hay simetría horizontal y "1" en caso contrario.

Y el tercero será "2" si hay giros y "1" si no los hay.

Observaciones:

1. En el cuadro de abajo cuando se responde que hay simetrías y éstas no son horizontales, han de ser necesariamente verticales.

2. El friso pma2 contiene además simetrías verticales, aunque aquí aparezca generado por un giro y un deslizamiento.



Ejemplo: Veamos cómo llegamos a generar el friso p1m1. No tiene giros, ni deslizamientos; sólo una simetría horizontal. Luego partiendo del motivo inicial (cuadrado ajedrezado) hacemos una simetría horizontal y después trasladamos el resultado. Para verlo dinámicamente puedes pulsar aquí p1m1.Si no has conseguido generar todos los frisos puedes pulsar en el siguiente enlace, en el cual podrás ver de forma dinámica todas las posibilidades:

Soluciones frisos

Cuestión 2: A continuación te muestro algunos algunos frisos sacados de nuestro entorno. Debes clasificarlos: di a cual de las 7 posibilidades anteriores corresponde. Hay muchos más en tu entorno. ¿Podrías encontrar tú alguno más?

Observación: La fotografía del café Benidorm es sólo una simetría horizontal, ya que faltaría trasladarlo para que fuera un friso.

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http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_frisos.htm#p1m1

Solución 1

Solución 2

Solución 3

Solución 4

Solución 5

Solución 6

MOSAICOS EN DOS DIMENSIONES

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http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_frisos2.htm#Uno

Volver a la portada Desde la antigüedad los griegos, romanos y más tarde los árabes, utilizaron mosaicos como elemento decorativo en sus dependencias más valiosas: salón de casas nobles, templos de los dioses, palacios, etc.

A continuación estudiaremos, desde el punto de vista matemático, cuáles son las posibilidades para rellenar el plano (sin dejar huecos, ni de forma que se solapen los distintos módulos empleados) utilizando diferentes polígonos, incluso deformados. A esto se le llama teselar el plano. En los siguientes párrafos encontrarás abundantes ejemplos de mosaicos sacados de nuestro entorno: suelos, techos, balcones, verjas, ... e incluso de la maravillosa Alhambra de Granada.

ACTIVIDAD 3: Mosaicos regulares Volver al índiceComenzaremos eligiendo

un único polígono regular (ver dibujo de la derecha). Con él vamos a intentar construir mosaicos. Al juntar varios módulos del polígono regular elegido: ¿Teselan el plano? Analiza los resultados obtenidos.

¿Cualquier polígono regular tesela el plano? ¿Qué polígonos regulares cumplen la propiedad de teselar el plano? ¿No hay más? ¿Por qué?

Puedes ir contestando a las preguntas anteriores después de experimentar un poco, pero después de esto lee con atención lo siguiente:

Definamos ángulo central, interior y exterior de un polígono regular ayudándonos de la siguiente figura que corresponde al pentágono regular:



: ángulo central

: ángulo interior

: ángulo exteri

or

Para el resto de los polígonos regulares estos tres ángulos se definen de forma análoga. Después de esto veamos cómo andas de números:

Dada la tabla siguiente, complétala:

Nº de lados

Nombre Ángulo central

Ángulo interior

Ángulo exterior

3 Triángulo 120 60 120

4 Cuadrado 90 90

5 108

n n-ágono

Intenta conseguir una fórmula que permita obtener el valor de los tres ángulos anteriores dependiendo del número de lados del polígono regular y así poder generalizarla para el caso de n lados.

¿Qué cumplen los polígonos regulares que se juntan en cada vértice para que llenen el plano? Compara este resultado con la tabla anterior.

¿Cuántos polígonos regulares rellenan el plano? Intenta deducirlo de forma algebraica. A los polígonos regulares que llenan el plano se les llama mosaicos regulares (recubrimiento del plano, sin solapamientos ni agujeros, formado por baldosas que son todas polígonos regulares y del mismo tamaño y forma). Una vez que encuentres todos, haz un dibujo de cada uno de ellos.

Si no has conseguido resolver las cuestiones anteriores o quieres comprobar las hipótesis que hayas hecho puedes pinchar en este enlace:

Solución

http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/SolucionTeselas1.htm#Uno

Una propiedad curiosa:

Si miras un panal de abejas observarás que el teselado de este "plano" (en realidad no es un plano) está hecho de hexágonos regulares. También podían haber utilizado triángulos o cuadrados, como hemos visto. Se dice por ello que las abejas son “muy inteligentes” y que no usan más cera que la necesaria para fabricar sus celdillas. Demuestra que, de los tres polígonos regulares que teselan el plano, para un perímetro común P, el hexágono regular es el que tiene área máxima.

Puedes encontrar una ayuda en este vínculo: Solución

ACTIVIDAD 4: Mosaicos semirregulares

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Hemos trabajado con mosaicos hechos con polígonos regulares que se disponen del mismo modo alrededor de los vértices. La pregunta que nos planteamos en este momento es la siguiente: ¿Por qué no utilizar para la realización de mosaicos polígonos regulares de diferente tipo?

En la imagen de la derecha se presentan diversos mosaicos con varios tipos de polígonos: Mosaicos semirregulares y demirregulares. Busca la diferencia en el tipo de vértice y destaca las propiedades de cada uno y escribe diferencias entre ellos.

Con el material adecuado (por ejemplo recortando en cartulina diferentes polígonos) encuentra cuál es la condición que deben cumplir estos polígonos regulares de diferente tipo para que teselen el plano.

Dibuja, ahora, algún mosaico semirregular (diferente a los anteriores) en cualquiera de las tres tramas regulares (cuadrada, triangular, hexagonal).

Algunos mosaicos semirregulares y demirregulares

¿Cuántos mosaicos semirregulares crees que habrá en total? ¿Se te ocurre alguna forma de contarlos?

¿Cuántos polígonos convexos regulares son necesarios para, como mínimo y como máximo rodear un vértice?

Si quieres confirmar tus

respuestas a las preguntas

anteriores pincha aquí:

Solución

Nos centraremos en el caso de los mosaicos semirregulares, aquellos en los que todos los vértices son de un mismo tipo, aunque puedan llegar a él diferentes polígonos regulares, que rellenan el plano sin dejar huecos ni solaparse.

Como el número de polígonos regulares que pueden concurrir en un vértice para llenar el plano alrededor de él

(4, 8, 8)

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está comprendido entre 3 y 6, planteemos ahora las ecuaciones correspondiente a cada uno de estos casos:

Para el caso 3 (concurren 3 polígonos regulares en un vértice) se deben obtener listas de la forma (m, n, p), siendo m, n y p números naturales, que representan los lados de cada uno de los polígonos, tales que la suma de sus ángulos interiores sea 360º, es decir:

180(1-2/n) + 180(1-2/m) + 180(1-2/p) =360

y simplificando: 1/m + 1/n + 1/p = 1/2

Busca las soluciones naturales de la ecuación anterior.

Para el caso 4 (concurren 4 polígonos regulares en un vértice) se deben obtener listas de la forma (m, n, p, q), siendo m, n, p y q números naturales, que representan los lados de cada uno de los polígonos, tales que la suma de sus ángulos

§(3, 3, 3, 3, 6)

interiores sea 360º, es decir:

180(1-2/n) + 180(1-2/m) + 180(1-2/p) + 180(1-2/q)=360

y simplificando: 1/m + 1/n + 1/p + 1/q = 1

Busca las soluciones naturales de la ecuación anterior.

Para el caso 5 (concurren 5 polígonos regulares en un vértice) se deben obtener listas de la forma (m, n, p, q, r), siendo m, n, p, q y r números naturales, que representan los lados de cada uno de los polígonos, tales que la suma de sus ángulos interiores sea 360º, es decir:

180(1-2/n) + 180(1-2/m) + 180(1-2/p) + 180(1-2/q) + 180(1-2/r)=360

y simplificando: 1/m + 1/n + 1/p + 1/q + 1/r = 3/2

Busca las soluciones naturales

de la ecuación anterior.

Para el caso 6 (concurren 6 polígonos regulares en un vértice) se deben obtener listas de la forma (m, n, p, q, r, s), siendo m, n, p, q, r y s números naturales, que representan los lados de cada uno de los polígonos, tales que la suma de sus ángulos interiores sea 360º, es

Las soluciones naturales de las ecuaciones anteriores dan el número de lados de cada uno de los polígonos que intervienen. Queda por comprobar cuáles de estas soluciones dan disposiciones iguales en todos los vértices para generar mosaicos semirregulares, ya que no todas lo hacen. A continuación analizaremos algunos de estos casos, según los dibujos siguientes:

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/Se

mirreg.gif" \* MERGEFORMATINET

Explica por qué aunque los dibujos anteriores correspondan a soluciones de la ecuación anterior no teselan el plano. Analiza además todas las posibilidades.

Si lo anterior te ha resultado complicado puedes pinchar aquí para ver las HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/SolucionTeselas1.htm" \l "Tres" soluciones a las cuestiones planteadas. Finalmente, podemos concluir que existen ocho mosaicos semirregulares. A continuación haz un dibujo de cada uno de ellos, empleando las tramas que creas necesarias para ello.

Para comprobar que has dibujado todas las posibilidades puedes pinchar en este enlace: HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/SolucionTeselas1.htm" \l "Cuatro" mosaicos semirregulares.

ACTIVIDAD 5: Mosaicos Periódicos

HYPERLINK "http://www.iescomercio.co

m/cursos/Russell_en_%20Atenas/teselaciones.ht

m" \l "Indice" INCLUDEPICTURE

"http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_

%20Atenas/Imagenes/farriba.gif" \* MERGEFORMATINET

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Enlosados con polígonos no regulares: Además de los enlosados que hemos trabajado con polígonos regulares existe la posibilidad de rellenar una superficie empleando polígonos irregulares tanto convexos como cóncavos. ¿Se podrá hacer con

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_

%20Atenas/Imagenes/Trama1.gif" \* MERGEFORMATINET

cualquier tipo de polígono irregular? Realiza tu hipótesis en este momento, dando una explicación.

En las actividades que siguen te proponemos que consigas diversos embaldosados.

Es evidente que el rectángulo te servirá como baldosa. Pues bien, tomando un rectángulo que tenga 2x1 de dimensiones, dibuja en la trama básica cuadrada de la figura de la derecha, al menos, cuatro mosaicos diferentes y que resulten agradables.

Dados los siguientes polígonos, llamados pararregulares, se trata de ver si teselan el plano. Para comprobarlo utilizaremos la trama cuadrada. ¿Podrías asegurar que todos los cuadriláteros teselan el plano?, ¿y los triángulos?. Observa que en la trama también hay pentágonos. Comprueba también si teselan el plano. Justifica tus respuestas.

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagen

es/Pararreg2.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagene

s/Pararreg1.gif" \* MERGEFORMATINET


es/Pararreg3.gif" \* MERGEFORMATINET

Haz el mismo estudio con hexágonos. Comprueba que rellanan el plano si los lados son paralelos dos a dos.

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/Trama2.gif" \* MERGEFORMATINET

Observa que todos los mosaicos hasta aquí mostrados tienen en común un ritmo periódico fruto de las regularidades exigidas. En todos ellos vemos un módulo que será un paralelogramo de tal modo que

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/Periodic

os.gif" \* MERGEFORMATINET

trasladándolo paralelamente según las dos direcciones marcadas por dos de sus lados no paralelos teselará el plano. A tales mosaicos se les llama periódicos.

A continuación (ver dibujos adjuntos) te presentamos una demostración dinámica de la teselación con cuadriláteros tanto cóncavos como convexos. También destacamos la unidad para estos mosaicos periódicos.

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com

/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/Periodi

cos2.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/Periodic

os3.gif" \* MERGEFORMATINET

Mosaicos por deformación:

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com

/cursos/Russell_en_%20Atenas/teselaciones.htm

" \l "Indice" INCLUDEPICTURE



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Consideremos un cuadrado; deformemos uno de sus lados y traslademos esta deformación a su lado opuesto, según se ve en la figura.

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/defor1.gif" \* MERGEFORMATINET

Esta nueva baldosa, ¿teselará el plano?, ¿por qué?

Utiliza la misma técnica para deformar otros cuadrados (hazlo para dos más) y comprueba si teselan el plano. ¿Qué conclusiones obtienes?


Antes hemos trabajado deformando dos lados paralelos de un cuadrado, ¿se podría formar una teselación con un cuadrado al que hemos deformado dos lados contiguos y hemos trasladado las deformaciones a sus lados opuestos? Fíjate en la figura siguiente.

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/defor2.gif" \* MERGEFORMATINET

Prueba con dos diseños inventados por ti, diferentes al del dibujo anterior.


¿Qué ocurriría en el hexágono regular?, ¿se pueden deformar los lados paralelos y posteriormente utilizar esta pieza para teselar el plano? Trata de inventarte alguna tesela con estas características.


Si trabajamos con un triángulo equilátero, nos damos cuenta que no podemos trasladar una deformación de un lado a otro paralelo, aquí hay que efectuar un giro respecto a un vértice.

Partiendo del triángulo equilátero, deformemos uno de sus lados, giremos la deformación con respecto a un vértice para formar el lado al que te lleve el giro, tal y como muestra la figura.

Esta nueva pieza, ¿tesela el plano?

¿Teselará el plano si también trasladas la deformación al lado que falta, con un nuevo giro?

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/tria

ng_deform.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/

Trama3.gif" \* MERGEFORMATINET

Considera, ahora un cuadrado, deforma uno de sus lados, gira esta deformación a los otros tres lados, tomando como centro de giro los vértices, de manera que aparezcan deformados los cuatro lados.

Esta deformación, ¿teselará el plano? Compruébalo sobre la siguiente trama.

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/

Trama1.gif" \* MERGEFORMATINET

Hasta ahora hemos hecho deformaciones con polígonos regulares, ¿ocurriría lo mismo que hemos observado con polígonos no regulares? Explícalo.

¿Qué cuadriláteros tienen, al igual que el cuadrado, la propiedad de teselar el plano, con la pieza formada al deformar dos lados contiguos, y trasladar las deformaciones a los lados opuestos? Realiza una tesela que cumpla esta propiedad.


¿Qué triángulos tienen, al igual que el equilátero, la posibilidad de teselar el plano con la figura construida al deformar un lado y hacer un giro con centro en un vértice? Haz un dibujo que refleje esta situación.


HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/topologia.htm" Ahora te presentamos algunas teselaciones obtenidas por deformación, que los árabes realizaban, partiendo de tramas básicas, resultando composiciones de figuras interesantísimas que rellenaban el plano. Observa las que hay a continuación que están tomadas de los muros de La Alhambra de Granada. Estas losetas se llaman nazaritas y están formadas a partir de los tres polígonos regulares que teselan el plano. En la primera de ellas te muestro cómo se obtiene una de las losetas. Intenta encontrar el polígono del cual se han obtenido las otras y explícalo.

Volver a la portada HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Russell

_en_%20Atenas.htm" INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Image

nes/farriba.gif" \* MERGEFORMATINET


es/Nazaritas.gif" \* MERGEFORMATINET


es/Nazaritas2.gif" \* MERGEFORMATINET

Ahora te muestro un dibujo original de La Alhambra (sólo la parte de abajo). Como ves son "pajaritas" adornadas unas con una estrella de seis puntas (las blancas) y otras con hexágonos regulares (las negras).

HYPERLINK "http://" En los enlaces de abajo puedes ver el proceso de construcción de forma dinámica de las losetas nazaritas.


es/Alhambra%282%29.gif" \* MERGEFORMATINET


m/cursos/Russell_en_%20Atenas/Crear_avion.ht

m" Avión


m/cursos/Russell_en_%20Atenas/Crear_hueso.ht

m" Hueso


m/cursos/Russell_en_%20Atenas/Crear_escama.

htm" Escama


m/cursos/Russell_en_%20Atenas/Crear_pajarita.

htm" Pajarita


m/cursos/Russell_en_%20Atenas/Crear_pez_vola

dor.htm" Pez Volador

Nota: Podemos encontrar un alicatado hecho a base de "escamas" en los Baños del Palacio de Comares.

Y a continuación veamos unas fotografías originales de La Alhambra, lugar que no deberías dejar de visitarlo. Como ves cada fotografía tiene un nombre debajo. Corresponde a una clasificación internacional que luego estudiaremos:

INCLUDEPICTURE

"http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/Mosaico25.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_e

n_%20Atenas/Imagenes/Mosaico28.gif" \* MERGEFORMATINET

§

pm (cinco colores)

Alicatado nazarí. Siglos XIV-XV

Pajarita "rellena" (p1)

Alcoba lateral del Patio de Arrayanes

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/p4.gif"

\* MERGEFORMATINET

§

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_e

n_%20Atenas/Imagenes/p4g.gif" \* MERGEFORMATINET

p4 (parte inferior)

Sala de los Reyes. Siglo XIV

Molinete (p4g, sin tener en cuenta los colores)

Torre de las Damas. Siglo XIV

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/cmm.g

if" \* MERGEFORMATINET

§

cmm (dos colores)

Sala de la Barca. Siglo XIV

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/pez_volador2.gif" \*

MERGEFORMATINET

Pez volador (cm)

(columna de la derecha)

ACTIVIDAD 6: Movimientos en el plano

HYPERLINK Volver a la portada

"http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/teselaciones.htm" \l "Indice" INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/farriba.gif" \* MERGEFORMATINET Volver al índice

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com

/cursos/Russell_en_%20Atenas/Russell_en_

%20Atenas.htm" INCLUDEPICTURE



A continuación vamos a estudiar algunos mosaicos desde el punto de vista de los movimientos que los generan (recordad: traslaciones, simetrías, giros y deslizamientos). Hay otros movimientos en los mosaicos resultantes, que también sería interesante que descubrieras.Antes de empezar a clasificarlos puedes ver en los siguientes enlaces algunas construcciones dinámicas de diversos mosaicos de La Alhambra de Granada.

HYPERLINK "http://www.iesco

mercio.com/cursos/Russell_en_

%20Atenas/Mosaico_avion.htm"

Mosaico

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_avion.ht

m" Avión HYPERLINK

"http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_avion.ht

m" (cmm)

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_hueso.htm"

Mosaico

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Ru

ssell_en_%20Atenas/Mosaico_hueso.htm" Hueso HYPERLINK

"http://www.iescomercio.com/cursos/Ru

ssell_en_%20Atenas/Mosaico_hueso.htm" (p4g)

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/curso

s/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_pajarita.htm"

Mosaico


m/cursos/Russell_en_

%20Atenas/Mosaico_pajarit

a.htm" Pajarita



%20Atenas/Mosaico_pajarita.htm" (p3)

HYPERLINK "http://www.iescomercio.c

om/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_pm.

htm" Mosaico

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_pm.htm" (pm)

HYPERLINK "http://www.iesco

mercio.com/cursos/Russell_en_

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/curso

s/Russell_en_

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russ

%20Atenas/Mosaico_escama.htm"

Mosaico

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_escama.htm" Escama HYPERLINK

"http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Mosaico_escama.

htm" (cm)

Baños del Palacio de Comares

%20Atenas/Mosaico_pgg.htm"

Mosaico

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Ru

ssell_en_%20Atenas/Mosaico_pgg.ht

m" (pgg)

Bóveda de la Puerta del

Vino

%20Atenas/Mosaico_ajedrezado

%28p3m1%29.htm" Mosaico ajedrezado



%20Atenas/Mosaico_ajedrez

ado%28p3m1%29.htm" (p3m1)

Sala de los Abencerrajes

ell_en_%20Atenas/Imagenes/Mosaico.gif" \

* MERGEFORMATINET

En 1.890 el ruso E.S. Fedorov (cristalográfico y geómetra) resolvió empleando métodos de la teoría de grupos uno de los problemas fundamentales de la cristalografía: clasificar los sistemas regulares de puntos en el espacio. Un cristal tiene la peculiaridad de que sus átomos forman un sistema regular en el espacio (cualquier punto del sistema se puede transformar en cualquier otro punto del sistema mediante movimientos que lo dejan invariante). Se puede demostrar que los sistemas anteriores forman una estructura matemática llamada grupo. En este caso se denominan grupos cristalográficos o de Fedorov. En el espacio estudiar todas las posibilidades es de una complejidad enorme, simplificándose sustancialmente si lo hacemos en el caso del plano. Se puede demostrar que sólo existen 17 posibilidades distintas (grupos de simetría o de Fedorov o cristalográficos del plano) para las infinitas decoraciones del plano de forma que no varíen al aplicarles determinados movimientos. Sólo a partir del siglo XIX se pudo tener certeza sobre este hecho con la aparición de la teoría de grupos a cargo del genial matemático francés Evariste Galois. Es muy curioso observar como en la ya citada Alhambra de Granada, construída unos siglos antes del desarrollo de la teoría de grupos, aparecen en sus paredes y techos mosaicos que corresponden a cada una de las 17

posibilidades citadas. Y parece ser el único edificio en el mundo que guarda todas estas posibililidades.A continuación y de forma similar al caso de los frisos, intentaremos clasifiacar los grupos de simetría (o cristalográficos) del plano a partir del siguiente algoritmo. La notación es similar al caso de los frisos:La primera letra es una "p" genérica o una "c" en los dos grupos de trama cuadrada que contienen ejes de simetría y deslizamiento paralelos.A continuación se añade un número que hace referencia al giro (si hay diferentes giros se elige el de mayor orden): "2" si son de 180º, "3" si son de 120º, "4" para 90º y "6" para 60º.Después se utiliza una "m" para indicar la presencia de simetrías ("m" como inicial de mirror en inglés o miroir en francés) y una "g" para los deslizamientos ("g" como inicial de glide en inglés o glisement en francés).

17 GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS PLANOS

(algoritmo para encontralos)

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/I

magenes/Algoritmo_mosaicos.gif" \* MERGEFORMATINET

A continuación te doy los elementos de los grupos cristalográficos y enlaces para ver cómo se generan:

HYPERLINK "http://" Grupo

cristalográfico

Generadores

del grupo

Órdenes de

giro

Ejes de

simetría

Ejes de

deslizamiento

HYPERLINK

"http://www.iescomercio.com/cursos/Russell

_en_%20Atenas

/p1.htm" p1

<T1,T2> no hay no hay no hay

HYPERLINK


_en_%20Atenas

/pg.htm" pg

<T1,T2, D> no hay no hay paralelos

HYPERLINK


_en_%20Atenas/pm.htm"

pm

<T1,T2, S> no hayparalelos

no hay

HYPERLINK


_en_%20Atenas/cm.htm"

cm

<T1,T2, S> no hayparalelos

paralelos D (Los ejes de simetría y deslizamiento son paralelos)

HYPERLINK


_en_%20Atenas

/p2.htm" p2

<T1,T2, G180º> 2 no hay no hay

HYPERLINK


_en_%20Atenas/pgg.htm"

pgg

<T1,T2, D1, G180º> 2 no hay perpendiculares D2

HYPERLINK


_en_%20Atenas/pmg.htm"

pmg HYPERLIN

K "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_e

n_%20Atenas/Videos/PMG.wmv"

<T1,T2, S, G180º> 2 paralelos paralelos D (Los ejes de simetría y deslizamiento son perpendiculares)

HYPERLINK


_en_%20Atenas/pmm.htm"

<T1,T2, S1, G180º> 2+ perpendiculares no hay

S2

pmm

HYPERLINK


_en_%20Atenas/cmm.htm"

cmm

<T1,T2, S1, G1(180º)> 2+ perpendiculares perpendiculares S2,D1,D2,G2(180º)(Ejes de simetría y deslizamiento paralelos)

HYPERLINK

"http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_e

n_%20Atenas/p3.htm" p3

<T1,T2, G120º> 3 no hay no hay

HYPERLINK


_en_%20Atenas/p3m1.htm

" p3m1

<T1,T2, S1, G120º> 3 + forman 60° forman 60° S2, S3, D1, D2, D3

HYPERLINK


n_%20Atenas/p31m.htm"

p31m

<T1,T2, S1, G1(120º)> 3 * forman 60° forman 60° S2, S3, D1, D2, D3, G2(120º)

HYPERLINK



<T1,T2, G1(90º)> 4 no hay no hay G2(90º)

HYPERLINK



p4m

<T1,T2, S1, G90º> 4 + forman 45° no hay S2, S3 , S4,G180º

HYPERLINK


n_%20Atenas/

p4g.htm" p4g

<T1,T2, S1, G90º> 4 * perpendiculares perpendiculares S2, D1, D2, G180º

HYPERLINK



<T1,T2, G60º> 6 no hay no hay G120º, G180º

HYPERLINK



p6m

<T1,T2, S1, G60º> 6 forman 30° forman 30º S2, S3, S4, S5, S6, D1, D2, D3, D4, D5

La notación empleada para nombrar a los grupos de simetría es la adoptada por la Unión Internacional de Cristalografía en 1.952.

+ = todos los centros de giro están sobre ejes de simetría

* = no todos los centros de giro están sobre ejes de simetría

T = vector de traslación

S = eje de simetría (reflexión)

D = eje de deslizamiento

G = giro (rotación) de: 180º (orden 2); 120º (orden 3); 90º (orden 4); 60º (orden 6)

Actividad: A continuación te muestro unos cuantos mosaicos sacados de nuestro entorno. Debes clasificarlos: decir a cual de las 17 posibilidades anteriores corresponde, estudiando bien los posibles giros, ejes de simetrías y ejes de deslizamiento. Si no encuentras

la solución puedes pinchar sobre los enlaces que hay debajo de cada fotografía, pero antes inténtalo.

Hay muchos más en tu entorno. ¿Podrías encontrar tú alguno más?


es/Mosaico34.gif" \* MERGEFORMATINET

§

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Solucio

nes_mosaicos.htm" \l "Uno" Solución 1

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imag

enes/Mosaico39.gif" \* MERGEFORMATINET

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluc

iones_mosaicos.htm" \l "Dos" Solución 2


es/Friso_completo.gif" \* MERGEFORMATINET


§


nes_mosaicos.htm" \l "Tres" Solución 3

enes/P6M.gif" \* MERGEFORMATINET

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "Cuatro"

Solución 4


es/Portal_Murrieta.gif" \* MERGEFORMATINET


nes_mosaicos.htm" \l "Cinco" Solución 5

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/Verja%28cmm%29.gif" \*

MERGEFORMATINET

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cur

sos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "Seis"

Solución 6


es/Racimos%28p4%29.gif" \* MERGEFORMATINET

§


nes_mosaicos.htm" \l "Siete" Solución 7

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/p2%28racimos%29.gif" \*

MERGEFORMATINET

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "Ocho"

Solución 8


es/Milicias%28pmg%29.gif" \* MERGEFORMATINET


enes/Verja.gif" \* MERGEFORMATINET


nes_mosaicos.htm" \l "Nueve" Solución 9


iones_mosaicos.htm" \l "Diez" Solución 10


es/Suelo1%28p2%29.gif" \* MERGEFORMATINET

§

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/curs


enes/p2%282%29.gif" \* MERGEFORMATINET

os/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "Once"

Solución 11

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "Doce"

Solución 12


es/Espina_pez.gif" \* MERGEFORMATINET


nes_mosaicos.htm" \l "Trece" Solución 13

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/cmm%28suelo%29.gif" \*

MERGEFORMATINET

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "Catorce"

Solución 14


es/Mosaico_teorema.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Rus

sell_en_%20Atenas/Imagenes/pg%281%29.gif" \*

MERGEFORMATINET


nes_mosaicos.htm" \l "Quince" Solución 15


iones_mosaicos.htm" \l "Dieciseis" Solución 16


es/Verja_Duq_Victoria%28pmm%29.gif" \* MERGEFORMATINET

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "Diecisiete"

Solución 17


enes/Verja_PerezG%28cm%29.gif" \* MERGEFORMATINET


iones_mosaicos.htm" \l "Dieciocho" Solución 18

INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/curs

os/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/p6.gif" \* MERGEFORMATINET

§


nes_mosaicos.htm" \l "Diecinueve" Solución 19


enes/p31m.gif" \* MERGEFORMATINET

HYPERLINK "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Soluciones_mosaicos.htm" \l "veinte"

Solución 20

Y con esto terminamos el recorrido por los mosaicos. Existe un magnífico trabajo sobre Los 17 grupos de simetría en el Arte Mudéjar Aragonés, de Ángel Ramírez y Carlos Usón en el número 33 de la revista Suma, así como en un monográfico editado por la UNED de Aragón y el Centro de Estudios Mudéjares que puede ser de gran interés.

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nas/Russell_en_%20Atenas.htm" INCLUDEPICTURE "http://www.iescomercio.com/cursos/Russell_en_%20Atenas/Imagenes/farriba.gif" \* MERGEFORMATINET

mosaicos2d

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