Problema 45. Un tetraedro tiene dos aristas de valor a, dos aristas de

valor b y dos aristas de valor c, siendo a, b y c magnitudes desiguales.

Se pide :

1. Indicar razonadamente el numero total de tetraedros distintosque resultan, croquizandolos todos y no repitiendo ninguno.

2. Deducir la formula del volumen del solido en funcion de a, b, cpara el caso particular de que cada arista sea igual a su opuesta.

3. Condiciones analticas requeridas para la anulacion de este vol-umen y su interpretacion geometrica.

Moreno Torres, Antonio: Problemas de Matematica Especial.

A

B

C

V

W

b

c

a

z

y x

ab

c

h

1. Considerando como base del tetraedro un triangulo ABC conlados a, b y c, los posibles tetraedros apareceran cuando las aristasV A, V B V C sean alguna de las permutaciones de a, b y c, resultandoas seis tetraedros posibles.

La figura siguiente muestra estos seis tetraedros

4

56

45

6

4

56

46

5

4

56

54

6

4

56

5

6 4

45

6

64

5

4

56

65

4

1

2

2. Haremos uso de las constantes

SA =b2 + c2 a2

2, SB =

c2 + a2 b2

2, SC =

a2 + b2 c2

2

definidas para un triangulo ABC con lados a, b y c.Observemos que, por ejemplo,

SA =b2 + c2 a2

2=

b2 + c2 a2

2bc bc = S

cosA

senA= S cotA,

siendo S el doble del area del triangulo ABC . Ademas, usando la iden-tidad cotA cotB + cotB cotC + cotC cotA = 1, que es cierta paracualquier triangulo ABC , se obtiene la igualdad

SBSC + SCSA + SASB = S2.

Supongamos que el tetraedro en cuestion es V ABC de forma queV A = BC = a, V B = CA = b y V C = AB = c. Sean h = VW laaltura del tetraedro levantada sobre la base ABC y los angulos =BWC , = CWA, de manera que tendremos + = BWA.Tambien consideramos las longitudes x = WA, y = WB, w = WC . Secumplen las relaciones

h2 =a2 x2 = b2 y2 = c2 z2

a2 =y2 + z2 2yz cos

b2 =z2 + x2 2zx cos

c2 =x2 + y2 2xy cos(+ )

Llamando u = cos, v = cos , w = cos(+ ), si usamos la identi-dad sen sen = cos cos cos( + ), obtenemos

1 u2

1 v2 = uv w (1 u2)(1 v2) = (uv w)2

u2 + v2 + w2 2uvw = 1.

Ahora bien, como

u = cos =y2 + z2 a2

2yz=

b2 + c2 a2 2h2

2yz=

SA h2

yz,

y analogamente

v =SB h2

zx, w =

SC h2

xy,

cclica

(SA h2)2

y2z2

2(SA h2)(SB h2)(SC h2)

x2y2z2= 1.

3

Reorganizando,

2(h2 SA)(h2 SB)(h

2 SC) + (h2 a2)(h2 b2)(h2 c2)

=

cclica

(h2 a2)(h2 SA)2.

Desarrollando, obtenemos la siguiente ecuacion para h:

2h6 2(SA + SB + SC)h4 + 2(SASB + SBSC + SCSA)h

2 2SASBSC

+ h6 (a2 + b2 + c2)h4 + (a2b2 + b2c2 + c2a2)h2 a2b2c2

=3h6

cclica

(a2 + 2SA)h4 +

cclica

(2a2SA + S2

A)h2

cclica

a2S2A.

Los coeficientes de h6 y h4 desaparecen, por lo que queda una ecuacionde la forma ph2 + q = 0. Teniendo en cuenta que

2SBSC + b2c2 2a2SA S

2

A

=2SBSC + (SA + SC)(SA + SB) 2(SB + SC)SA S2

A

=2SBSC + S2

A + SASB + SASC + SBSC 2SASB 2SASC S2

A

=3SBSC SASB SASC ,

resulta que

p =

cclica

(3SBSC SASB SASC) = 3S2 S2 S2 = S2.

Por otro lado, teniendo en cuenta que

a2b2c2 = (SB + SC)(SC + SA)(SA + SB) =

= 2SASBSC + SBS2

A+ SCS

2

A+ SCS

2

B+ SAS

2

B+ SAS

2

C+ SBS

2

C

= 2SASBSC + a2S2A + b

2S2B + c2S2C ,

resulta que

q = 2SASBSC a2b2c2 + (a2S2A + b

2S2B + c2S2C) = 4SASBSC.

h2 = q

p=

4SASBSCS2

h =2SASBSC

S.

Entonces, el volumen del tetraedro, que calculamos multiplicando elarea de la base (el triangulo ABC) por la altura y dividiendo por 3,resulta

Vtetraedro =1

3S

22SASBSC

S=

SASBSC

3.

3. El volumen se anulara cuando alguno de los angulos del trianguloABC sea rectangulo.

Francisco Javier Garca Capitan, 2015.