monografia de aplicacion de las derivadas-1

7/31/2019 Monografia de Aplicacion de Las Derivadas-1

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INDICE

1. ndice

2. Introduccin

3. Definicin4. Ejercicios Propuestos

5. Ejercicios Resueltos

6. Bibliografa

INTRODUCCIN

La Matemtica como ciencia ha proporcionado al hombre las ms poderosasherramientas para enfrentar los ms dismiles problemas de la cotidianidad. Lamayora de los campos del saber humano se valen de tcnicas matemticas paraindagar en la explicacin de relaciones causales de los procesos y fenmenosque ocurren en cada especialidad. Hoy en da resulta frecuente encontrarnosartculos de las ciencias mdicas, qumico-farmacuticas, ciencias sociales (o decualquier rea general del saber), en que se haga referencia a algn concepto o

ente matemtico. Especialmente en las ciencias econmicas son utilizadosconceptos como la derivada, la integral, las ecuaciones diferenciales, las seriestemporales, entre otros. Los mtodos ms modernos de medicin de la eficiencia yla optimizacin econmica tienen como sustrato esencial algn modelomatemtico.

Probablemente uno de los conceptos ms tiles y aplicables en la Economa seala derivada de una funcin. Cualquier curso de matemtica superior contiene,ineludiblemente, un tema dedicado especialmente a las aplicaciones de laderivada. Generalmente se acostumbra presentar el estudio, de acuerdo al rea

especfica del conocimiento desde donde se aborde la temtica, en dos partes. Deuna, la utilizacin de la derivada en la obtencin de soluciones estrictamentematemticas; a saber: el clculo de lmites indeterminados y el trazado general decurvas. De otra, las aplicaciones especficas en la especialidad de que se trate. Elobjetivo de este trabajo es ilustrar las aplicaciones generales de la derivada,con la intencin de que este escrito sea utilizado por estudiantes de Economa.Se estructura en tres apartados: el primero, dedicado a la resolucin de lmites


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indeterminados; el segundo, al trazado de curvas; y por ltimo, la resolucin deproblemas econmicos de optimizacin.

Toda aplicacin formalizada de la ciencia tiene su nacimiento en un problema dela prctica objetiva. Probablemente uno de los ms bonitos y tiles ejemplos de

utilizacin de la optimizacin se puede encontrar en el siguiente suceso de lasegunda mitad del siglo XX1:

En febrero de 1953 se produjo en Holanda la inundacin ms importante de suhistoria. Los diques que protegan el pas fueron arrasados y murieron ms de1800 personas. Los daos se cifraron en el 7 % del Producto Interno Bruto deaquel ao. Se cre una comisin de investigacin sobre los hechos y sobre cmoprevenir desastres semejantes en el futuro. La reconstruccin de los diques de talforma que la seguridad fuera total, requera desembolsos astronmicos, y podano ser factible. El problema real era, entonces, lograr una especie de equilibrio,

entre costos y seguridad: diques ms altos eran ms costosos, pero reducan lasposibilidades de futuras inundaciones. Por tanto, la comisin se enfrent alproblema de seleccionar la altura ptima de los diques. Estos tipos de equilibriosson centrales en economa. Conducen a problemas de optimizacin de un tipo queel anlisis matemtico maneja de forma natural. En este captulo ilustraremoscmo resolver este tipo de problemas econmicos.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,constituyen el clculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, deforma independiente. Los conceptos son difciles y hasta bien entrado el siglo XIX

no se simplificaron. A ello contribuy la aparicin de una buena notacin, que es laque usaremos. Las aplicaciones prcticas de esta teora no dejan de aparecer.

1.


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APLICACIN DE UNA DERIVADA

1. TASA DE VARIACIN MEDIA

Incremento de una funcin

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h,pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferenciaentre f(a +h) y f(a) el incremento de la funcin.

Tasa de variacin media

Llamamos tasa de variacin media (o tasa mediade cambio) T.V.M., de la funcin y =f(x) en elintervalo

[a, b] al cociente entre los incrementos de lafuncin y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

Ejemplo 1. Halla la tasa de variacin media de la funcin

f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solucin

T.V.M. [0, 2] =

Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variacin media de la funcin f(x) =ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.

2. TASA DE VARIACIN INSTANTNEA. LA DERIVADA

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).


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La tasa de variacin media en el intervalo [a, a +h] sera .

Nos interesa medir la tasa instantnea, es decir el cambio cuando la htiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la funcin f en el punto a y se

designa por , por lo tanto, la derivada de una funcin en un punto es el lmitede la tasa de variacin media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observacin 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , tambinpuede expresarse as:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la funcin f(x) = -x2 +4x el punto deabscisa x =1.

Observacin 2. Tambin se puede hablar de derivadas laterales, f + y f -(obligatorio que f sea continua) segn se considere el lmite para h>0 o h


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Proposicin. Toda. funcin derivable en un punto es continua en dichopunto.

El recproco es falso.

Ejemplo 2. es continua en 0, pero no es derivable en 0.

APLICACIN FSICA DE LA DERIVADA

Consideremos la funcin espacio E= E(t).

La tasa de variacin media de la funcin espacio en el intervalo [t0, t] es:

vM(t)= , que es lo que en Fsica llaman la velocidad media en eseintervalo de tiempo, si calculamos el lmite cuando t tiende a t 0, obtenemos la tasainstantnea, entonces:

LA DERIVADA DEL ESPACIO RESPECTO DEL TIEMPO ES LA VELOCIDADINSTANTNEA.

Ejercicio 3. La ecuacin de un movimiento es , ,calcula la velocidad en el instante t =5.

Solucin

v(t)=E(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendr : v(5)= 2.5 -6 =4

3. INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA

La tasa de variacin media de una funcin f en [a, a +h] es la pendiente dela recta secante a la grfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secantepasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

La derivada de la funcin en el punto a es la pendiente de la recta tangenteen el punto (a,.f(a))


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La ecuacin de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

y - f(a) = f (a)(x-a) .

Ecuacin punto pendiente de la recta tangente a la grfica de f, pasa por elpunto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f(a)

Ejemplo 3. En la figura se muestra la grficade y =-x2 +4x, una recta secante que pasapor el punto (1, 3) y la recta tangente en esepunto, que tiene por ecuacin y 3 = 2(x-1)

Ejercicio 4. Hallar la ecuacin de larecta tangente a la grfica de f(x) = x2-x +5en el punto de abscisa x=0

Ejercicio 5. Qu valor debe tenera para que la recta y =-x +6 y la curva y

=-ax2 +5x 1 sean paralelas en x = 1.

Indicacin. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

4. FUNCIN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIN. CLCULO DEDERIVADAS

La funcin derivada

La funcin que a cada que a cada x le hace corresponder f(x) se llama lafuncin derivada de f y se denota porf.

TABLA DE DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

1) f(x) =k f(x) =0

2) f(x) = xn f(x) = nx n-1

3) f(x) = f(x) =

4) f(x) = ln x f(x) =

5) f(x) = ex = e x


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6) f(x) = sen x f(x) = cos x

7) f(x) = cos x f(x) = -sen x

Reglas de derivacin

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables ena y se verifica:

-(f +g)= f(a) + g(a)

-(f.g)(a) = f(a).g(a) + g(a).f(a)

Adems si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)

c) h(x) = tan x; d)

Ejercicio 7. Estudia en qu puntos no son derivables las siguientesfunciones, razonando la respuesta:

a) f(x)=


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Observacin: la grfica de esta funcin es:

b) y =

c) g(x)=

Las grficas de estas funciones estn al final, para la comprobacin.

Observacin. Si f se puede derivar en su dominio se puede llegar a lafuncin (f )= f , que se llama derivada segunda,

y f , f v que se dice son las derivadas sucesivas de f.

Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= ex; b) g(x) = ; c)h(x)= sen x.

Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable ena y se verifica:

(fg)(a) = f(g(a)).g(a)

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la funcin compuesta oderivada de la funcin de funcin)


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Derivacin logartmica

Como aplicacin de la regla de la cadena se tiene, si y

, y de aqu se llega al mtodo de la derivacin logartmica.

Mtodo:

Sea

1 Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2 Se deriva

3 Se despeja y

[ ] [ ]

que puede escribirse :

Observacin. La frmula por ser muy compleja[1] no suele aplicarse espreferible aplicar el mtodo en cada ejercicio.

Ejemplo 4. Consideremos la funcin y = x x, si tomamos logaritmos enambos lados se sigue:

, y derivando los dos miembros de la igualdad
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y=xx(ln x +1)

Derivada de la funcin inversa

Es otra aplicacin de la regla de la cadena.

Como ff-1= I, se tiene (ff1)(x)= f (f1(x))(f1)(x)=1, luego despejando

(f1)(x)= 1/f (f1)(x),

Ejemplo 5. Consideremos la funcin y =arc tg x x = tg y, y derivando x = 1 +tg2y, de donde:

Ejercicio 9. Calcula la derivada de

Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio)

Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= ; b) ;

c) y = ; d) h(x) =cos3(x2-2);

e) y =e arc tg x; f) j(x) =arc sen(x + 3x2)

g) y = ; h) k(x) =(x2+1)cos x;

j) y = ln ; k) y = ;

5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIN


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Proposicin. Si una funcin f es derivable en un punto a, y f(a)>0 entonces f escreciente en el punto a.

Figura 1

La demostracin de este resultado puede hacerse usando la definicin dederivada y e concepto de lmite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el

significado geomtrico de la derivada (ver figura 1).

Si f es derivable en un intervalo I y f >0 en ese intervalo entonces f crece en I.

El recproco no se cumple en general.

Ejemplo 5. La funcin y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f(0) =0.

Anlogamente si f es derivable en un punto a y f (a)


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Figura 2

Condicin necesaria de extremo

Proposicin.

Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f (a)=0.

Demostracin. Si no fuera cierto y por ejemplo f (a)>0 entonces por la proposicinanterior f sera creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existenciade extremo.

La condicin no es suficiente.

Ejemplo 6. La funcin y =x3 es creciente en 0, por lo que no puede tenerextremos, y sin embargo f (0)=0.

Criterio prctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la funcin enese punto es cero (condicin necesaria f (0)=0) y en dicho punto cambia el

crecimiento. Ver figura 2.f 0

Si |ahay mnimo relativo en (a, f(a))

f mnimo

f > =0 0 se verifica que f es convexaen a.

Anlogamente si f es derivable en a y f(a)


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9. APLICACIN DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACIN GRFICA DEFUNCIONES

El conocimiento de una funcin se completa perfectamente dibujando su grfica,los siguientes resultados dan una idea aproximada de sta:

I) Estudio de f(resumen)

1 Dominio de f.

2 Puntos de corte con los ejes.

3 Signo de la funcin (regiones en las que vara el signo).

4 Simetras.

- Si f(-x) = f(x), funcin par, simtricas respecto del eje de ordenadas.- Si f(-x) =-f(x), funcin impar, simtrica respecto del origen.

5 Asntotas

- Verticales

Si existe a tal que , x =a es la ecuacin de una asntota vertical.

- Horizontales

Si , y =b es una asntota horizontal.

- Oblicuas

Si y , y =m x +n es una asuntota oblicua.

II) Estudio de f(resumen)

1 Crecimiento y decrecimiento.

Si f (x)>0 , f es creciente. Si f (x)


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III) Estudio de f(resumen)

1 Concavidad y convexidad, f >0 convexa , f


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2 Tiene un mnimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un mximo relativo en elpunto

(1, 1/2).III) Estudio de f

f (x)= =

f (x)=0

En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexinLa grfica es:

Ejercicio 16. Representar las grficas de las siguientes funciones:

a) ; b) ; c)Ejemplo 9. La grfica de y = ln (x2+1) es:

x - - 0 +

f - 0 + 0 - 0f inflexin inflexin inflexin


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Ejemplo 10. La grfica de y =ln (x2-1)

Ejercicio 17. Representa grficamente: a) y = x ex ; b) .

10. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A LA RESOLUCIN DEPROBLEMAS DE MXIMOS Y MNIMOS

(Incluimos los propuestos en selectividad )

Problema 1. Nos dicen que la funcin f(t) = t -2 es la derivada de la inflacin enfuncin del tiempo en cierto pas, cuando 0 . Determinar el valor de t para elque la inflacin alcanza el valor mnimo.

Problema 2. Se calcula que el valor de una accin t meses despus de salir almercado durante el primer ao viene dado por la funcin v(t)=t2-6t+10. Expliquerazonadamente en qu mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al

precio mas ventajoso.

Problema 3. La velocidad (en m./sg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de200 metros viene dado en funcin del espacio recorrido, x, por la siguienteexpresin:

f(x) =-000055 x (x-300)
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Deducir de forma razonada:

Qu distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad mxima?cules sta velocidad?

Problema 4. El coste total en euros de la produccin de x litros de un determinado

producto viene dado por C(x) = . Definir la funcin que determina elcoste medio por litro producido y determinar de forma razonada con quproduccin dicho coste medio ser mnimo. cul es el valor de dicho coste?

Problema 5. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto elconsumo de gasolina de un motor viene dado por la funcin f(x) =2x 2-12x +23,donde f indica los litros consumidos en una hora y x viene expresada en miles derevoluciones por minuto. Hallar de forma razonada:

a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mnimo.

b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mximo.

c) Dichos consumos.

Problema 6. El rendimiento, f(t), en un examen que dura una hora en funcin deltiempo t viene dado por

,

Deducir razonadamente:

a) Cundo el rendimiento es nulo.

b) Cundo el rendimiento es mximo.

c) Cundo el rendimiento es creciente y cundo es decreciente.

Problema 7. En una pradera se tiene que vallar una zona de 400 m2, que debetener forma de rectngulo. Cada metro de valla cuesta 100 . Si x es la medida enmetros de uno de sus lados, se pide:

a) Obtener razonadamente la funcin f tal que f(x) sea el coste de la valla,indicando entre qu valores puede variar x.

b) Deducir razonadamente el valor de x para el que la funcin f(x) alcanza el valormnimo.


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PROBLEMAS DEL TEMA (DERIVADAS) PROPUESTOS

1. La funcin f(t)= 2`1t2+ 0`8 t-1, para , donde el tiempo, t, vieneexpresado en aos, proporciona los beneficios de una empresa en miles de eurosentre los aos 1991 (t =0) y 2000 (t =9).

a) Calcular de forma razonada la tasa de variacin media del beneficio de estaempresa en este periodo de tiempo.

b) Obtener de forma razonada la tasa de variacin media del beneficio de losltimos aos.

c) Qu podemos concluir acerca de la variacin del beneficio en los dos ltimosaos?

2. Mediante la utilizacin razonada de la relacin de la derivada de una funcin

con su crecimiento o decrecimiento, obtener en qu puntos del intervalo [-2, 2] soncrecientes o decrecientes las funciones:

a) f(x) = x2

b) f(x) =x3-7.

3. Obtener la derivada de la funcin en el punto de abscisa x = 4.Explicar lo que significa el valor obtenido de la derivada. Calcular la tasa devariacin instantnea en el punto de abscisa x = 5.

c) Qu podemos concluir acerca de la variacin del beneficio en los dos ltimosaos?


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1.A un vendedor de ordenadores le cuesta 140000 soles. cada modelo de la

marca PCHE-COMPR. Ha comprobado que al precio de 240000 soles. unidad,vende 30 ordenadores mensualmente y que por cada 2000 soles. de descuento enel precio puede vender 3 unidades ms al mes. Hllese a que precio debevenderlos para obtener el mximo beneficio posible.

2. Se define una funcin del modo siguiente: F(x)=

a) Hallar el dominio de definicin.

b) Determinar la funcin derivada y dar su dominio.

3 Estudiar los mximos y mnimos de la funcin: y = los poseeabsolutos?

4. Representacin grfica de

5. Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversin cuyarentabilidad, R(x), en miles de viene dada en funcin de la cantidad que seinvierta x, en miles de por medio de la siguiente expresin:

R(x)= -0,001x2+0,5x+2,5
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a) Deducir razonadamente la cantidad de dinero que le conviene invertir a uncliente en dicho plan .(en soluciones grficas es el 11)

b) Qu cantidad obtendra?

6. El coste de produccin de x unidades diarias de un determinado producto es:

y el precio de venta de uno de ellos es (50-x/4)

Halla el nmero de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficiosea mximo. (en soluciones grficas es el 12)

7. En 1980 se fund una asociacin ecologista. Se sabe que el nmero de sus

miembros ha variado con los aos de acuerdo con la funcin.

N(x) = 50(2x3 - 15x2 + 36x + 2)

a) Cuntos fueron los socios fundadores?

b) En qu perodos de tiempo aumenta el nmero de socios? (en solucionesgrficas es el 14)

8. Dada la funcin y = , se pide:

a) Representarla grficamente.

b) Ecuacin de la recta tangente en el punto de abscisa x =1.

c) Hallar sus mximos y mnimos relativos.

9. Hallar a y b para que la funcin f(x)=x3+ ax +b tenga un mximo en el punto(1,1)

10. Estudia y representa


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EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un fondo de inversin genera una rentabilidad que depende de la cantidad dedinero invertida, segn la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la

rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo encuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la mxima rentabilidad posible.

c) Cual ser el valor de dicha rentabilidad.

Solucin

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la funcin. Si laderivada es positiva la funcin crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la funcin:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuacin que resulta:

R`(x)=0 ,

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nosha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios mtodos, uno muymecnico:

f

f + 200 -
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se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R(100)=0,4>0 yen otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R(300)=-0,4


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Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.

Ahora voy a ver quien es el mximo y quien el mnimo de la funcin, en elintervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremosdel intervalo (por el teorema de Weirtrars).

Ordenamos la funcin V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40

V(0)=40

V(5)=125-225+75+40 =15

V(1)=1-9+15+40= 47

V(6)=216-324+90+40=22

La mxima virulencia es a las 1 horas y la mnima a las 5 horas.Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de laderivada: V(t)=3t2-18t+15

0 1 5 6

V + 0 - 0 +

Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unin (5, 6) ) y decreceen el intervalo (1, 5)

Observando la grfica de esta funcin vemos lo q hemos deducido.


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6. Un coche de competicin se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2horas, viene dada por la expresin v(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo enhoras y v(x) es a velocidad en cientos de kilmetros. Hallar en que momento

del intervalo circula a la velocidad mxima y calcular dicha velocidad.

En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? Se detuvo algunavez?

SOLUCIN

Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el mximo de la funcinvelocidad v.

Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teora) que si la derivada dapositiva la funcin crece y si da negativa decrece. Tambin sabemos que, lafuncin tiene un mximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0

(condicin necesaria) y adems cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer adecrecer)

La derivada es:

v(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor comn ex se llegaa: v(x)=((1-x)ex


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Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nuncapuede ser cero)

Estudiamos v en los alrededores de 1

v + 1 - 2

y crece decrece

Por lo tanto en x=1 hay mximo y la funcin crece de 0 a 1 (gana velocidad) ydecrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en elextremo:

v(x)= (2-x)ex

v(1)=(2-1).e = e (aqu el mximo como justificamos antes)

v(0)=(2-0).1=2

v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aqu se detuvo.

LA GRFICA:

(No es necesaria la grfica solo la pongo para ayudar a entender lo que se hace,vemos que pasa justo lo que hemos deducido entre 0 y 2)


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7. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en ciertopantano, como funcin del instante de tiempo t (en meses), viene dada atravs de la expresin

Se pide:

a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?

b) En que instante se obtuvo la cantidad mxima de agua?

c) Cual fue esa cantidad mxima?

Solucin

Teniendo en cuenta la regla de derivacin de un cociente:

Si , su derivada es f(t)=

Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6

Sealamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la funcin, f,entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre espositivo)

0 6 12

f + -

Crece hasta el 6 y decrece desde el 6

Por lo tanto en 6 tiene un mximo relativo, que en este caso es absoluto (pues enel infinito da 0) y se tiene:

a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6


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b) en t =6

c) f(6)=10/1=10

NOTA IMPORTANTE: EN ESTE TIPO DE PROBLEMAS CASI NUNCA ESACONSEJABLE DESARROLLAR EL DENOMINADOR.

8. La suma de dos nmeros no negativos es 36. Halla dichos nmeros para que:a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequea posibleb) La suma de sus races cuadradas sea lo mas grande posible

Solucin

Sea x e y dichos nmeros, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x

a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 x, podemos sustituir en f con lo qdepender solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2, y podremos aplicar la condicinnecesaria de extremo para funciones derivables.

Derivando:

f(x) = 2x-2(36-x), de donde f(x) = 4x-72


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Para que f tenga un mnimo la derivada debe darnos 0, por lo que 4x-72=0 ydespejando x= 18

f es continua en el intervalo [0, 36], y f(0)=f(36)=(36)2>f(18)=2.(18)2 por lo tanto enx=18 tiene el mnimo absoluto.

La grfica es:

Observacin: Otra forma de justificar que el mnimo es absoluto, es diciendo que

la funcin f es cuadrtica. Por lo tanto en la abscisa del vrtice se alcanza sumnimo (a>0) que es el punto de tangente horizontal.

b) Teniendo en cuenta que y= 36 x, tenemos h(x)= , derivando:

, h(x)=0 , elevando al cuadrado ambosmiembros y operando se llega a que x=18.

La funcin h est definida en el intervalo [0, 36], luego el mximo lo tendr en 18pues:

f(18)= , y f(0=f(36)=6 (Observa que el menor valor posible loalcanza en 0 y 36)


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la grfica es:

(Observar que no es necesario calcular la derivada segunda para el clculo de losextremos absolutos, se aplica el teorema de Bolzano-Weierstrass que dice: todafuncin continua definida en un intervalo cerrado alcanza su mximo y su mnimo)

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

1Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funcionessiguientes:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2Calcula los mximos y mnimos de las funciones siguientes:

1.


34/60

2.

3.

4.

3Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexin de lasfunciones:

1.

2.

3.

4La cotizacin de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que laBolsa funciona todos los das de un mes de 30 das, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x3 0.45x2 + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones mxima y mnima, as como los das en queocurrieron, en das distintos del primero y del ltimo.

2. Determinar los perodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

5Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una horaviene dado por:

r = 300t (1t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1. En qu momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2. En qu momentos el rendimiento es nulo?

3. Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cul es?

El estudio de uno de los conceptos fundamentales del clculo diferencial: laderivada de una funcin.


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En esta pgina, adems de definir tal concepto, se mostrar su significado y sehallarn las derivadas de las funciones ms usuales. En matemticas, la derivadade una funcin es uno de los dos conceptos centrales del clculo. El otro conceptoes la antiderivada o integral; ambos conceptos estn relacionados por el teoremafundamental del clculo.

Es de capital importancia dominar la derivacin para despus poder abordar eltrazado de curvas, as como para comprender a manejar el clculo integral, que seexplicar ms adelante en esta misma pgina.

La nocin de derivada es histricamente anterior al concepto de lmite aunqueactualmente se estudie aqulla inmediatamente despus de ste, por razones quesern fcilmente comprensibles.

La derivada de una funcin en un punto a surge del problema de calcular latangente a la grfica de la funcin en el punto de abscisa a, y fue Fermat el

primero que aport la primera idea al tratar de buscar los mximos y mnimos dealgunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje deabscisas, por lo que el ngulo que forman con ste es de cero grados. En estascondiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueranhorizontales

La derivada de una funcin en un punto mide, por tanto, la pendiente de latangente a funcin en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento odecrecimiento de una funcin o la concavidad o convexidad de la misma en losdiferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.

. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en unpunto, y que para que una funcin tenga derivada, la funcin debe ser continuapero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos

Derivada de una funcin en un punto. Dada la funcin f(x) contina en elintervalo abierto I, se define la derivada en el punto a como:

S en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo

sustituimos por x tenemos que la definicin queda:

En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definicin nos queda de lasiguiente forma:


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Funcin derivada. Dada la funcin f(x) contina en el intervalo abierto Idenominamos funcin derivada a:

S en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x losustituimos por x tenemos que la definicin queda:

APLICACIONES DE LA DERIVADA

1.- Funciones crecientes y decrecientes

Cuando se tiene la grfica de una funcin continua resulta bastante fcil sealaren qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, noresulta fcil decir en qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constantesin la grfica de la funcin. El uso de la derivada de una funcin puede ayudar adeterminar si una funcin es creciente, decreciente o constante en un intervalodado.

1.1.Teorema: Sea f una funcin derivable en el intervalo (a,b). Luego,

i) Si f(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

ii) Si f(x)


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existe (es decir, no est definida); evaluar cada nmero crtico c en la funcin fpara obtener los puntos crticos; localizar los puntos hallados en el paso anterioren el plano cartesiano, determinar en qu intervalo la funcin es creciente,decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa elteorema), dibujar la grfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la

derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa yhorizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

2.- Valores Extremos (Mximos y Mnimos Absolutos)

Valor mximo (o mximo absoluto) de f: si f es una funcin continua en elintervalo [a,b], entonces existe un nmero c en el intervalo [a,b] tal quef(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. Si f(c) es el mximo de f en elintervalo [a,b] se dice que f alcanza su mximo en c, y en ese caso, el punto(c,f(c)) es el punto ms alto de la grfica.

Valor mnimo o mnimo absoluto de f: si existe un nmero c en el intervalo

[a,b] tal que f(c)


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ii) f(c) es un mnimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal quef(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).

3.2 Teorema: Si f tiene un mximo relativo o un mnimo relativo cuando x = c,entonces:

i) f(c) = 0,

ii) f(c) no est definida

Esto es, c es un nmero crtico (valor crtico) de f.

Notas: 1) El teorema anterior afirma que si una funcin f tiene un mximo omnimo relativo enx = c, c tiene que ser un nmero crtico (valor crtico) de f. 2)Los puntos crticos son los nicos en los que pueden aparecer los extremosrelativos (mximos y mnimos relativos). Esto significa, que no todo punto crtico

va a ser un mximo o mnimo relativo.3.3 Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremoslocales):

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crtico y negativo ala derecha, entonces el punto crtico es un mximo relativo.

2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crtico y positivo ala derecha, entonces el punto crtico es un mnimo relativo.

3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crtico,entonces el punto crtico no es ni mximo ni mnimo relativo.

4. Criterio de la Segunda Derivada

4.1.Concavidad

La concavidad de la grfica de una funcin se refiere a dnde se curva la grficahacia arriba y dnde se curva hacia abajo.

Definicin: Si f es una funcin derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la

grfica de f es:i) cncava hacia arriba en (a,b) si f es creciente en (a,b)

ii) cncava hacia abajo en (a,b) si f es decreciente en (a,b)

Teorema: Si f es una funcin cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b),entonces:


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i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la grfica de f es cncava hacia arribaen (a,b).

ii) si f"(x)


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puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexin, calculamos losvalores de x para los que f"(x) = 0 para los que f"(x) no existe.

4.3. Mnimos y mximos relativos

Teorema: Suponga que f" existe en algn intervalo (a,b) que contiene a c y quef(c) = 0, entonces:

i) si f"(c)>0, f(c) es un mnimo relativo

ii) si f"(c)0 entonces x = c es un mnimo relativo y la grfica de f es cncava haciaarriba.

ii) si f"(c)


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La fem autoinducida VL siempre acta en el sentido que se opone a la variacinde corriente.

5.2 Energa del campo magntico

Para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energa. Laenerga suministrada por la batera en la unidad de tiempo es V0 i. Esta energase disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinduccin enforma de energa magntica. Se tiene:

El trmino Ri2 es la energa por unidad de tiempo disipada en la resistencia. Elprimer trmino V0i es la energa suministrada por la batera. El ltimo trmino, esla energa por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en laautoinduccin o su campo magntico asociado.

Esta es la energa acumulada en forma de campo magntico, cuando circula por labobina una corriente de intensidad i.

5.3.La induccin electromagntica. Ley de Faraday

La induccin electromagntica fue descubierta casi simultneamente y de formaindependiente por Michael Faraday y Joseph Henry en 1830. La induccinelectromagntica es el principio sobre el que se basa el funcionamiento delgenerador elctrico, el transformadory muchos otros dispositivos.

Supongamos que se coloca un conductor elctrico en forma de circuito en una

regin en la que hay un campo magntico a travs. Si el flujo del circuito varacon el tiempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo estvariando). Midiendo la fem inducida se encuentra que depende de la rapidez devariacin del flujo del campo magntico con el tiempo.
http://www.monografias.com/trabajos10/restat/restat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/elme/elme.shtml#induccionhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/generador/generador.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/acoplados/acoplados.htm#El%20transformadorhttp://www.monografias.com/trabajos12/magne/magne.shtml#cahttp://www.monografias.com/trabajos10/restat/restat.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/elme/elme.shtml#induccionhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/generador/generador.htmhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/acoplados/acoplados.htm#El%20transformadorhttp://www.monografias.com/trabajos12/magne/magne.shtml#ca


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El significado del signo menos, es decir, el sentido de la corriente inducida (ley deLenz) se muestra en la figura mediante una flecha de color azul.

5.3.Campo magntico

El campo magntico cuya direccin es perpendicular al plano de la espira, varacon el tiempo de la forma

B=B0 sen( t)

El flujo del campo magntico a travs de las N espiras iguales es, el producto delflujo a travs de una espira por el nmero N de espiras

La fem inducida en las espiras es

5.4.Condensador plano

Fuerza entre las placas de un condensador plano. Se distinguen dos casos,aunque es claro que la fuerza es la misma en ambos.

i) Carga constante. La energa se puede expresar en funcin de la carga, como
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/eleynewt/eleynewt.shtml


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entonces la derivada es fcil de realizar, y vale

en que hemos supuesto que la carga del condensador es .

5.5.Carga puntual y plano conductor

Una carga puntual q, a una distancia h frente a un plano conductor infinito, apotencial cero (' a tierra'). El campo elctrico para esta configuracin ya ha sidoresuelto po medio del mtodo de las imgenes, ahora queremos calcular la fuerzaque el plano ejerce sobre la carga q. Para calcular esto podemos proceder de dosmaneras.

En primer lugar, usando la idea de dicho mtodo, la fuerza buscada debecorresponder a la fuerza entre la carga q y su imgen, que obtendremos a partirde la energa potencial de las dos cargas, separadas por la distancia r,
http://www.monografias.com/trabajos11/tierreco/tierreco.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos3/color/color.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tierreco/tierreco.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos3/color/color.shtml


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Naturalmente, una vez reconocido el hecho que la fuerza es aquella entre doscargas puntuales, el resultado anterior es evidente.

5.6. Corriente Elctrica

Una corriente electrica es, simplemente, el movimiento de cargas electricas.Definimos la corriente electrica I, como la carga elctrica dQ que pasa a traves deuna seccin de rea A de conductor, por unidad de tiempo dt,

La corriente electrica I se mide entonces en coulomb por segundo (ampere) ( 1 A=1 Cb/seg). Notemos que, de acuerdo a nuestra definicin, tanto los portadores decarga positiva como negativa contribuyen a la corriente en el mismo sentido (delmismo signo).

5.7. Inductancia como elemento de circuito

Conectemos una bobina (solenoide) a una fuente de fem continua (ver figura):
http://www.monografias.com/trabajos15/kinesiologia-biomecanica/kinesiologia-biomecanica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/coele/coele.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/kinesiologia-biomecanica/kinesiologia-biomecanica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/coele/coele.shtml


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Toda bobina real posee resistencia (R) e inductancia propia (L). Es fcil verificarque una inductancia fisica puede ser representada como la combinacion de unaresistencia y una inductancia, ambas ideales. Si por el circuito de la figura fluyeuna corriente I(t), entonces la fem total es

de donde se tiene la representacion descrita. Notemos que, si el circuito seencontraba abierto ( I=0 en t=0), al cerrar el circuito habra un periodo 'transiente' y,finalmente se llegara a la corriente

La ltima relacion nos dice que el comportamiento de la corriente es gobernadopor el valor de L, en particular, si L es muy pequeo, la corriente demora untiempo muy breve en pasar de I=0 a su valor final, el cual es independiente de L.

Bibliografa

Hasser La Salle:Anlisis Matemtico I y II Leithold Louis: Clculo con geometra analtica

EJEMPLOSxtremos relativos

La funcin f tiene un mximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (ancuando sea muy pequeo) conteniendo c para el cual f(c) f(x) para toda x entre ry s para la cual f(x) est definida.
http://www.monografias.com/trabajos16/comportamiento-humano/comportamiento-humano.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos27/analisis-matematico/analisis-matematico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos28/geometria/geometria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/comportamiento-humano/comportamiento-humano.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos27/analisis-matematico/analisis-matematico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos28/geometria/geometria.shtml


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f tiene un mnimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (an cuando seamuy pequeo) conteniendo c para el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s para lacual f(x) est definida.

Un extremo relativo, significa un mximo relativo o un mnimo relativo.

La siguiente grfica muestra unos extremos relativos.

Nota Nuestra definicin de extremos relativos deja que tenga f un extremo relativoa un punto extremo de su dominio; las definiciones en algunos libros de texto no lo

permiten.

Ejemplo

Sea

f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].

Aqu es su grfica.


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Mirando la grfica, se observa que f tiene:

Un mximo relativo a (0, 0); Un mnimo relativo a (1, - 1); Un mximo relativo a (4, 8).

Inicio de pginaExtremos absolutos

Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra lasiguiente definicin:

f tiene un mximo absoluto a c si f(c) f(x) para toda x en el dominio de f.

f tiene un mnimo absoluto a c si f(c) f(x) para toda x en el dominio de f.

La siguiente figura muestra dos extremos relativos que estn tambin extremosabsolutos.

Nota Todos los extremos absolutos son automticamente extremos relativos,

segn nuestra convencin.

Ejemplo

Sea otra vez

f(x) = x2 - 2x, con dominio [0, 4].
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Mirando a sus extremos relativos, observamos que:

El mximo a (0, 0) no es un mximo absoluto; El mnimo a (1, -1) es un mnimo absoluto; El mximo a (4, 8) es un mximo absoluto.

Nota Si cambiamos el dominio a [0, +), entonces no sera ningn mximoabsoluto (por qu?).

Inicio de pginaUbicando candidatos al extremos relativos

Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con laposible excepcin de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativosocurren entre los siguientes tipos de puntos:

1. Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicarpuntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x.

2. Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no est definida.Para ubicar puntos singulares, determine valores x donde f'(x) no estdefinida, pero f(x) s est definida.

3. Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay.Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, perointervalos abiertos no los contienen.

La prxima figura demuestra instancias de todos tres tipos.


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Todava incmodo con esta materia? Pruebe la tutorial en lnea sobremximos y mnimos.

Ejemplos

1. Vamos a mirar de nuevo la grfica de f(x) = x2

- 2x, con dominio [0, 4].

El mximo relativo a (0, 0) es un

El mnimo absoluto a (1, - 1) es un

El mximo absoluto a (4, 8) es un .

Mas EjemplosPuntos estacionados: Sea f(x) = x3 - 12x.Para ubicar los puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x. Obtenemos3x2- 12 = 0, entonces x = 2 son los puntos estacionados.

Puntos singulares: Sea f(x) = 3(x- 1)1/3.Entonces f'(x) = (x- 1)- 2/3 = 1/(x- 1)2/3.f'(x) no est definida a x = 1, auque f(x) s est definida a x = 1. Entonces, el (solo)punto singular es x = 1.

Puntos Extremos: Sea f(x) = 1/x, con dominio (- , 0) [1, +).Entonces el nico punto extremo in el dominio de f es x = 1. Por otro lado, eldominio natural de 1/x no tiene puntos extremos.

Nota Si cambiaramos el dominio a [0, +), no sera ningn mximo absoluto(por qu?).

Inicio de pginaAplicaciones de mximos y mnimos: Problemas de optimizacin

Solucionamos problemas de optimizacin con la forma siguiente: Determine losvalores de las incgnitas x, y, . . . para minimizar (o maximizar) el valor de la
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funcin objectivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones sonecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y, . . . .

Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restriccin paraexpresar todas las variables en funcin de una sola. A continuacin, sustituimos

esas ecuaciones en la funcin objectivo para reexpresarla como una funcin deuna sola variable. Por ltimo, determinamos los valores extremos de la funcinobjectivo como ms arriba. (Usamos las desigualdades de restriccin paradeterminar el dominio de la funcin objectivo.) Especiicamente:

1. Identifique la o los incgnitas.Por lo general stas son las cantidades que se preguntan en el problema.

2. Identifique la funcin objectivo.sta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.

3. Identifique la o los restricciones.stas pueden ser ecuaciones que relacionen variables, o desigualdades queexpresan limitaciones para los valores de las variables.

4. Enuncie el problema de optimizacin.sta tendr la forma "Maximize [o minimize] la funcin objectivo sujeta a la o losrestricciones."

5. Elimine variables adicionales.Si la funcin objectivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones derestriccin para expresar todas las variables en funcin de una sola. Sustituyaesas ecuaciones en la funcin objectivo para reexpresarla como una funcin deuna sola variable. Sustituya tambin esas ecuaciones en las desigualdades derestriccin para ayudar a determinar el dominio de la funcin objectivo.

6. Calcule el mximo (o mnimo) absoluto de la funcin objectivo.Aplique las tcnicas descritas ms arriba.

Ejemplo

Aqu es un problema de maximizacin:

Maximize A = xy Funcin objectivosujeta a x + 2y = 100,x 0, yy 0

Restricciones

Seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: Como ya tenemos el problemaenunciado como un problema de optimizacin, podremos comenzar a Paso 5.


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5. Elimine variables adicionales.Podemos hacerlo tomando la ecuacin de restriccin x + 2y = 100 y despejamos ax (obteniendo x = 100 - 2y) y sustituyendo en la funcin objectivo y tambin en ladesigualdad que involucra x:

A = xy = (100- 2y)y = 100y - 2y2(100- 2y) 0, o y 50.

Entonces, solo falta maximizar A = 100y - 2y2 sujeta a 0 y 50.

6. Calcule el mximo (o mnimo) absoluto de la funcin objectivo.Siguiendo el procedimiento ms arriba, obtenemos dos puntos extremos y unpunto estacionario con valores como sigue:

y 0 25 50

A(y) 0 1,250 0

Tipo Punto extremo Punto estacionario Punto extremo

Vemos en la tabla que el valor ms grande de A es 1,250, que se ocurre cuando y= 25. El valor correspondiente de x es x = 100 - 2y, entonces x = 50 cuando y =25.

Inicio de pginaAceleracin, concavidad, y la derivada segunda

Aceleracin

La aceleracin de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: estoes, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su funcin de posicin.

ConcavidadUna curva es cncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso laderivada segunda es positiva. Una curva es cncava hacia abajo si su pendientees decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde lagrfica de f cambia de estar cncava hacia arriba a estar cncava hacia abajo , oviceversa, se llama un punto de inflexin. a un punto de inflexin, la segundaderivada puede ser cero o indefinida.


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Ejemplos

AceleracinSi t es tiempo en horas y la posicin de un carro en el momento t es s(t) = t3 + 2t2

km, entonces:

Velocidad = v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t km por hora.Aceleracin = a(t) = s" (t) = 6t + 4 km por hora por hora.

ConcavidadConsidere f(x) = x3 - 3x, cuya grfica se ve ms abajo.

f"(x) = 6x es negativa cuando x < 0 y positiva cuando x > 0. La grfica de f escncava hacia abajo cuando x < 0 y cncava hacia arriba cuando x > 0. f tiene unpunto de inflexin a x = 0, donde la segunda derivada es 0.

Inicio de pginaAnlisis de las grficas

Podemos utilizar a tecnologa para trazar una grfica, pero necesitamos a clculopara comprender lo que estamos viendo. Las caractersticas ms interesante deuna grfica son las siguientes:

Caractersticas de una grfica1. Las intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones en xigualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercessin en y igualando x = 0.


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2. Extremos relativos Se usa las tcnicas descritas ms arriba para ubicarcandidatos al extremos relativos.

3. Puntos de inflexin Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos alpuntos de inflexin.

4. Comportamiento cerca puntos donde no se est definida la funcin Si f(x)no est definida a x = a, se considera lim x a- f(x) y limx a+ f(x) para ver como seacerca este punto la grfica de f.

5. Comportamiento al infinito Se considera limx - f(x) y limx + f(x) siapropiado, para ver como comporta la grfica de f cuando x se aleja hacia laizquierda y la derecha.

Si tiene usted Excel, pruebe la Graficador Excel de Primera y Segunda Derivadapara ver grficas de cualquier funcin y sus primeras dos derivadas.

Ejemplo

Aqu est la grfica de

f(x)

=x2

(x+1)(x- 2)
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Para analisarla, seguimos el procedimiento descrito a la izquierda:

1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. sta es

la nica intercesin de x. Igualando x = 0 y despejando a y da y = 0: la intercesinde y.

2. Extremos relativos Los nicos extremos son los puntos estacionarios ubicandoigualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntoscorrespondientes en la grfica son el mximo relativo a (0, 0) y el mnimo relativo a(- 4, 8/9).

3. Puntos de inflexin Solucionar f"(x) = 0 analticamente es difcil, entoncespodremos solucionarla numricamente (haciendo la grfica de la derivadasegunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexin

est a x ; -6.1072.

4. Comportamiento cerca puntos donde no se est definida la funcin Lafuncin no est definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando x se acerca a estosvalores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la grfica:

xlim -1-

f(x) = +

xlim -1+

f(x) = -

x

lim

2- f(x) = -

xlim 2+

f(x) = +

5. Comportamiento al infinito Mirando la grfica (o la funcin), observamos que

xlim -

f(x) = 1


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xlim +

f(x) = 1.

Inicio de pginaTasas relacionadas

Si Q es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la razn a la que cambiaQ es dado por la derivada temporal, dQ/dt. Un tpico problema de tasasrelacionadas pide la razn de cambio de una cantidad Q, dado los razones decambio de varias otras cantidades.

Procedimiento para solucionar un problema te tasas relacionadas

A. La problema

1. Haga una lista de las cantidades relacionadas que cambian.2. Reformule el problema en trminos de tasas de cambio. Reescriba el

problema usando notacin matemtica para las cantidades que cambian ysus derivadas.

B. La relacin

1. Trace un diagrama, si sea apropiado, que demuestra las cantidades quecambian.

2. De un ecuacin o ecuaciones que relacionan las cantidades que cambian.3. Tome la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones que relacionan las

cantidades para obtener la o las ecuacin(es) derivadas, que relacionanlas rezones de cambio de las cantidades.

C. La solucin

Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada quese busca.

Mire tambin la tutorial en lnea de tasas relacionadas.

Ejemplo

El trfico al sitio web de MundoReal es dado por

h = - 0.001p2 + 400 peticiones al da,donde p es el nmero de problemas difcil al sitio. Hay ahora 100 problemas difcilal sitio, y este nmero esta creciendo con una tasa de 10 problemas al da. Conqu razn disminuye al trfico al sitio MundoReal?

A. La problema
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1. Las cantidades relacionadas que cambian son h y p.2. La problema se puede reformular matemticamente como sigue:

Calcule

cuando

y

B. La relacin

1. Aqu no es apropiado un diagrama.2. Ecuaciones que relaciona las cantidades que cambian:

h = - 0.001p2 + 4003. Tome la derivada respecto al tiempo de la ecuacin que relaciona las

cantidades (con la regla de la cadena):

dhdt

=

-0.002p

dpdt

C. La solucin

Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada quese busca.

dhdt =

-

0.002(100)(10) = -2

Entonces, el trfico al sitio MundoReal est disminuyendo a una tasa de 2peticiones al da cada da.

Inicio de pginaElasticidad de demanda

La elasticidad de demanda, E, es la tasa porcentual de disminucin de la

demanda por aumento porcentual en el precio. Lo calculamos con la formula:

E=-dqdp

.p

q.


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donde la ecuacin de demando expresa demando, q, como una funcin del preciounitario, p. Decimos que la demanda es elstica si E > 1, la demanda esinelstica si E < 1, y que la demanda tiene elasticidad unitaria si E = 1.

Para calcular el precio unitario que maximiza el ingreso, escribimos E como un

funcin de p, conjunctamos E = 1, y despejemos a p.Ejemplo

Supone que la ecuacin de demanda es q = 20,000 - 2p. Entonces

E=

-(-2)

p20,000- 2p

=p10,000- p

Si p = 2,000, entonces E = 1/4, y la demanda es inelstica a este precio.

Si p = 8,000, entonces E = 4, y la demanda es elstica a este precio.

Si p = 5,000, entonces E = 1, y la demanda tiene elasticidad unitaria a este precio


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monografia de aplicacion de las derivadas-1

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