INTRODUCCION

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando   un   cuerpo   gira   en   torno   a   uno   de   los ejes   principales de   inercia,   la   inercia rotacional   puede   ser   representada   como   una magnitud   escalar llamada  momento   de inercia.   Sin   embargo,   en   el   caso   más   general   posible   la   inercia   rotacional   debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

MARCO TEORICO

CALCULO TEORICO DEL MOMENTO DE INERCIA

Ecuaciones del momento de inercia

¿Cuál   de   estos   giros   resulta   más   difícil?El  momento  de   inercia  de  un  cuerpo   indica   su   resistencia  a  adquirir  una  aceleración angular.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton:   tiene como equivalente para la rotación:

Donde:

 es el momento aplicado al cuerpo.

 es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

 es la aceleración angular.

Siempre   y   cuando   la   distancia   con   respecto   al   sistema   de   referencia   permanezca constante.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es  , mientras que la 

energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es  , donde   es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular  :

El vector momento   angular,   en   general,   no   tiene   la   misma   dirección   que   el vector velocidad angular  . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal  de  inercia.  Cuando un eje es de simetría  entonces es eje principal  de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

Artículo principal: Teorema de Steiner

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es   el  momento   de   inercia   respecto   al   eje   que   no   pasa   por   el   centro   de masa; I(CM)

eje es el  momento de  inercia para un eje paralelo al  anterior que pasa por el centro de masa; M(Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de 

coordenadas relativa al centro de masas C   inmediata:

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de  la geometría del  cuerpo,  en cambio,  el  centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples

2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .

3. Determinar   las   coordenadas  del   centro  de  masas  de  estas  partes   con 

respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm   de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.

5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de 

masas   (que   serán  paralelos   a x e y).  Designar   como:   e  ,  para  el   área i-ésima.

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema   del   eje   paralelo,   es   decir,   el   teorema   de 

Steiner:   y 

7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos 

anteriores:   e 

Tensor de inercia de un sólido rígido

Artículo principal: Tensor de inercia

El tensor de  inercia de un sólido rígido,  es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado   en   una   base   ortonormal   viene   dado   por   una   matriz   simétrica,   cuyas componentes tensoriales son:

Donde   son las coordenadas cartesianas rectangulares.

, es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como: 

Los  elementos   reciben  el  nombre  de  momento  de   inercia   respecto  al eje  ,  y  son  las  componentes  diagonales  del   tensor.  Las  componentes  del   tensor  de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia haciendo:

.

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y   es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

DATOS, CALCULOS, RESULTADOS Y ANALISIS

1- Completa la siguiente tabla de datos

Nº

Tipo de objeto

D(cm) R(cm) Masa colgante(g)

DC1 DC2 DC3 Tiempo t(s) Tiempo t`(s)Toma1

Toma2

Toma3

Toma1

Toma2

Toma3

1 Bloque m 8 1,25 55 6,5 2,3 11,50 3,75 3,46 3,71 42,41 43,88 43,162 Anillo me 8 1,25 55 5,16 12,7 1,08 5,25 5,27 5,20 43,12 41,56 40,493 Disco ho 8 1,25 55 2,49 10,87 ------- 4,02 4,13 3,65 49,73 49,62 50,484 Disco ve 8 1,25 55 10,87 2,49 ------- 3,51 3,20 3,43 25,69 24,57 25,03

Tabla de datos N°1

2- Deduzca la expresión para el momento de inercia en función de las magnitudes medidas (m,v,a,t,t`) de la ecuación (6)

(1+ tt ´

)I=mr2( ga−1)

I=mr2( g−a

a)

( t'+tt '

)

Despejando tendremos;

I=t ' m r2(g−a)a( t'+t)

3- Complete la siguiente tabla de cálculos y resultados

N° Tipo de objeto

t (s) t ' (s) a=2d /r2(cm / s2)x=1+ tt 'y=g /a−1 mr2(gcm2) I exp=mr

2 yx

(g cm2)

1 Bloque m 3,64 43,15 1,21 1,08 809,74 85,94 64434,312 Anillo m 5,24 41,72 0,58 1,13 1690,38 85,94 128558,633 Disco ho 3,93 49,94 1,03 1,08 951,43 85,94 75709,164 Disco ve 3,38 25,09 1,40 1,13 699,71 85,94 53215,11

Tabla de datos N°2

g=9,81(m /s2)

Realización; 

Tipo de objeto: Bloque de madera

t=3,75+3,46+3,713

=3,64 (s)

t '=42,41+43,88+43,163

=43,15(s)

a=2dt2

=2(8)

(3,64 )2=1,207=1,21(cm /s2)

y= ga−1=9,81

1,21−1=809,74(cm)

x=1+ tt '

=1+ 3,6443,15

=1,08(cm)

mr2=55× (1,252)=85,94 (gcm2)

I exp=mr2 yx=(85,94 )( 809,741,08 )=64434,31(gc m2)

4- Calculo de la energía perdida por fricción, para cada objeto:

E fu=12I w2

tt '; w=

v2

R;v=

d+ 12a t 2

t

v=d+ 12a t2

t=8+1/2(1,21)(3,64)2

3,64=4,40 (cm /s )

w= v2

R=4,40

2

6,5=2,98

E fu=12I w2

tt '

=12

(64434,31 ) (2,982 )( 3,6443,15 )=24134,61  Energía perdida por fricción!!!Tipo del objeto: anillo metálico

v=d+ 12a t2

t=8+1/2(0,58)(5,24)2

5,24=3,05(cm /s)

w= v2

R=3,05

2

12,7=0,73

E fu=12I w2

tt '

=12

(128558,63 ) (0,732 )( 5,2441,72 )=4302,33Tipo de objeto: disco horizontal

v=d+ 12a t2

t=8+1/2(1,03)(3,93)2

3,93=4,06(cm /s)

w= v2

R= 4,06

2

10,87=1,52

E fu=12I w2

tt '

=12

(75709,16 ) (1,522 )( 3,9349,94 )=6882,55

Tipo de objeto: disco vertical

v=d+ 12a t2

t=8+1/2(1,40)(3,38)2

3,38=4,73(cm /s)

w= v2

R= 4,73

2

10,87=2,06

E fu=12I w2

tt '

=12

(53215,11 ) (2,062 )( 3,3825,09 )=15210,92

5- Escriba la expresión analítica para el momento de inercia del disco I teo, hallelo: en este caso son dos

I h=t ' m r2(g−a)a( t'+t)

=49,94∗85,94∗(981−1,03)1,03∗(49,94+3,93)

=75796,35 (gcm2)

I v=t ' m r2(g−a)a (t'+t)

=25,09∗85,94∗(981−1,40)1,40∗(25,09+3,38)

=52994,32(gcm2)

6- Escriba la expresión analítica para el momento de inercia de cada uno de los diferentes objetos I teoy hállelos. Tabule sus resultados

Tipo de objeto: bloque de madera

I b=t ' m r2(g−a)a (t'+t)

=43,15∗85,94∗(981−1,21)1,21∗(43,15+3,64 )

=64175,72(gcm2)

I a=t ' m r2(g−a)a (t'+t)

=41,72∗85,94∗(981−0,58)0,58∗(41,72+5,24 )

=129061,21(gcm2)

N° Tipo de objeto t (s) t ' (s) a=2d /r2(cm / s2) mr2(gcm2)I teo=

t ' m r2(g−a)a( t'+t)

1 Bloque madera 3,64 43,15 1,21 85,94 64175,722 Anillo metal 5,24 41,72 0,58 85,94 129061,213 Disco horizontal 3,93 49,94 1,03 85,94 75796,354 Disco vertical 3,38 25,09 1,40 85,94 52994,32

Tabla de datos N°3

7- Halle las diferencias relativas porcentuales entre los valores teóricos y los experimentales. Tabúlelos.

Tipo de objeto: bloque de madera

Diferencia%=|I teorico−I experimental|

I teorico∗100=

|64175,72−64434,31|64175,72

∗100=0,4029

Tipo de objeto: anillo metálico

Diferencia%=|I teoric o−I experimental|

I teorico∗100=

|129061,21−128558,63|129061,21

∗100=0,3894

Tipo de objeto: disco horizontal

Diferencia%=|I teorico−I experimental|

I teorico∗100=

|75796,35−75709,16|75796,35

∗100=0,1150

Tipo de objeto: disco vertical

Diferencia%=|I teorico−I experimental|

I teorico∗100=

|52994,32−53215,11|52994,32

∗100=0,4166

N° Tipo de objeto I teorico I experimental Diferencia%1 Bloque madera 64434,31 64175,72 0,40292 Anillo metal 128558,63 129061,21 0,38943 Disco horizontal 75709,16 75796,35 0,11504 Disco vertical 53215,11 52994,32 0,4166

Tabla de datos N°4

8- Concluya objetivamente y enuncie las posibles causas de error.

  El propósito de esta práctica fue hallar experimentalmente el momento de inercia del bloque,  el  anillo  y   los  discos;  y  verificar  que estos  valores  correspondan a  los  valores teóricos calculados.  Al  realizar esto, nos damos cuenta que el error se debe a errores humanos   e   imprecisión   de   los   materiales   utilizados   en   el   laboratorio,   aunque   se obtuvieron errores mínimos.

CONCLUSIONES

Se logró determinar el momento de inercia de los sólidos (bloque, anillo y discos) y pudimos   ver   como   variaba   el   momento   de   inercia   entre   ellos   gracias   a   la distribución de sus masas

Los resultados obtenidos tuvieron poca margen de error debido a factores como las fuerzas de fricción que aunque eran despreciables incidieron en los resultados.

Se puede concluir  que entre  más alejada este   la  masa del  centro de rotación, mayor es su inercia.

Se deduce que entre más masa tenga un cuerpo que este girando, mayor deberá ser la inercia rotacional que experimente.

BIBLIOGRAFIA

Serway Raymond, Editorial Mc. Graw Hill, Cuarta Edicion Finn A, Física Vol. I : Mecánica, México Resnick, Halliday, Krane, física http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm