modulo de numero y operaciones

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Bloque tematico: Numeros y operaciones

1

PROGRAMA DE ESPECIALIZACION EN

MATEMATICA DIRIGIDO A DOCENTES DEL NIVEL

SECUNDARIA DE EDUCACION BASICA REGULAR .

Bloque tematico: Numeros y operaciones

Jefe de Proyecto : Enrique Carpena Velasquez

Coordinadora academica : Magali Chavez Taboada

Equipo de especialistas : Leonardo Valdivia Velasquez

Andres Figueroa Alvarado

Margarita Tejada Romero

PROGRAMA DE ESPECIALIZACION EN MATEMATICA-NIVEL DE

EDUCACION SECUNDARIA 2012- 2014

I CICLO

Universidad Nacional “Pedro Ruız Gallo”

Facultad de Ciencias Historico Sociales Educacion

Direccion: Av. Juan XXIII 391 - Lambayeque

Telefono (51)(74)-283146

Correo Electronico: [email protected].

Pagina Web: www.unprg.edu.pe.

c© Reproduccion: Derechos reservados conforme a ley. Se prohıbe la

reproduccion parcial o total del texto sin autorizacion del MED.

Agosto 2012

2

Presentacion

El presente modulo denominado NUMERO Y OPERACIONES, forma parte del com-

ponente disciplinar del area de matematica con enfoque interdisciplinar, y tiene por objetivo

justificar formalmente la construccion axiomatica de los conjuntos numericos, comprobar y

contextualizar sus propiedades .

El modulo consta de tres unidades distribuidas en 14 sesiones. La primera unidad hace un

tratamiento de la nocion de estructura algebraica, concretamente la nocion de grupo ,anillo y

cuerpo.Se parte de una situacion concreta, la simetrıa de un objeto o de un sistema fısico en

general.Luego, se presenta axiomaticamente el sistema de los numeros naturales, y numeros

enteros. En la segunda unidad se extienden las propiedades de los enteros y se construye

el espacio de los numeros racionales y paralelamente se muestran sus aplicaciones inmedi-

atas.Finalmente la tercera unidad tiene como objetivo el estudio del espacio de los numeros

reales se detalla su construccion teorica a partir de axiomas previamente definidos.

Cada unidad se inicia con una situacion problematica contextualizada que nos permitira gener-

ar un espacio de reflexion individual y colectiva, motivando a buscar una solucion empırica y

logica que necesita de una demostracion matematica, creandose ası la necesidad de investigar

sobre los sistemas numericos para su organizacion cientıfica, esta ultima debe hacer posible

generar situaciones problematicas similares como una generalizacion del modelo creado.

En la ultima parte del presente trabajo, se incluye un apendice donde encontraremos las

definiciones y propiedades mas relevantes de : Algebra proposicional, Teorıa de conjuntos,

Funciones y los metodos de demostracion.

3

Indice general

Presentacion 3

Introduccion 7

1. Nocion de estructura algebraica. El sistema de los numeros naturales 9

1.1. Sesion 1: Estructuras Algebraicas,definicion de grupo. . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Sesion 2: Definicion de anillo, cuerpo. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Sesion 3: El Sistema de los Numeros Naturales N: definicion axiomatica de N . 24

1.3.1. Definicion Axiomatica de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Sesion 4: Sustraccion y division en N. Aplicaciones del principio del buen orden 33

1.4.1. Sustraccion y Division en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4.2. Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11) . . . . . . . . 35

1.5. Sesion 5: Potenciacion y Radicacion. Divisibilidad: definiciones y teoremas . . 43

1.5.1. Potenciacion y Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5.2. Sistema de Numeracion Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.5.3. Divisibilidad: Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.6. Sesion 6: Numeros primos, maximo comun divisor, mınimo comun multiplo . . 58

1.6.1. Numeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.6.2. Maximo Comun Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.6.3. Mınimo comun Multiplo (M.C.M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. El sistema de los numeros enteros y racionales. Su construccion y sus apli-

caciones 73

2.1. Sesion 7: Definicion axiomatica de Z. Orden en Z. Sustraccion en Z . . . . . . 74

2.1.1. Definicion axiomatica de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.1.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores . . . . . . . . . . 76

2.1.3. Orden en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.1.4. Sustraccion en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.2. Sesion 8: Valor absoluto. Division, potenciacion y radicacion en Z. Divisibilidad

en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.2.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4




2.2.2. Division, potenciacion y radicacion en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.2.3. Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.3. Sesion 9: Definicion Axiomatica de Q. Sustraccion, division, potenciacion y

orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.3.1. Definicion Axiomatica de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


2.3.3. Sustraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.3.4. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.3.5. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.3.6. Numeros reales como cocientes de numeros enteros . . . . . . . . . . . 118

2.3.7. Orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.3.8. Consecuencias importantes del teorema 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.3.9. Radicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.4. Sesion 10: Representacion decimal de un numero racional. Aplicaciones de las

razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.4.1. Representacion decimal de un numero racional . . . . . . . . . . . . . . 130

2.4.2. Calculo de la generatriz de una expresion decimal . . . . . . . . . . . . 132

2.4.3. Expresiones Decimales Infinitas y Numeros “Irracionales” . . . . . . . 134

2.4.4. Aplicaciones de las propiedades de los Numeros Racionales . . . . . . . 137

2.4.5. Aplicaciones de las razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3. Numeros Reales. Su construccion y aplicaciones 152

3.1. Sesion 11: Definicion axiomatica de R. Orden en R. Radicacion . . . . . . . . . 153

3.1.1. Definicion axiomatica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.1.2. Definicion Axiomatica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156


3.1.4. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.1.5. Subconjuntos notables de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.1.6. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.2. Sesion 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuerpo ordenado completo . . . . 174

3.2.1. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.2.2. El Sistema de los Numeros Reales Extendido . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.3. Sesion 13: Representacion decimal de los numeros reales. Valor absoluto. . . . 181

3.3.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.4. Sesion 14: Proporcionalidad. Interes simple. Interes compuesto. Modelos fi-

nancieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

3.4.1. Interes simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

3.4.2. Interes compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

3.4.3. Composicion del interes en forma continua . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5




A. Logica, Conjuntos y Funciones 217

A.1. Introduccion a la Logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

A.1.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

A.1.2. Equivalencias Logicas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

A.1.3. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

A.2. Metodos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

A.2.1. Tipos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

A.3. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

A.3.1. Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

A.3.2. Relaciones de igualdad, pertenencia e inclusion . . . . . . . . . . . . . . 224

A.3.3. Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

A.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

A.4.1. Union de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

A.4.2. Interseccion de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

A.4.3. Diferencia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

A.4.4. Complemento de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

A.5. Nociones de relacion y funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

A.5.1. Par ordenado y producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

A.5.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

A.5.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6

Introduccion

El hombre es mortal por sus temores

e inmortal por su deseos.

Pitagoras

Casi todos estamos familiarizados con el uso de los numeros naturales, enteros, racionales,

irracionales y finalmente, los numeros reales, tal vez sin conocer sus nombres como conjuntos

de numeros. Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del hombre mis-

mo de resolver problemas aritmeticos (que tiene que ver con loa numeros), que bien pueden

verse como problemas algebraicos.

Para comenzar a ver que la necesidad llevo al hombre a construir formas de contar (sistemas

numericos, en terminos mas formales), imaginemos a una persona que empieza a recolectar

frutas para su familia. Sabe que su familia esta formada por su pareja y su crıa (hijo, en

palabras mas civilizadas). Entonces, el colector de frutas hace una correspondencia entre las

frutas y los miembros de su familia, es decir, piensa que a cada miembro de su familia (in-

cluyendose el) le correspondera una fruta. De esta forma reconoce que debe cortar tres frutas,

una para cada uno de ellos. Notese que no fue el colector de frutas quien dijo ”tres”, puesto

que el todavıa no conocıa lo que significa esa palabra. (Muy probablemente para su tiempo,

todavıa el lenguaje estaba basado en senas). Lo importante que se quiere hacer notar es que

ya habıa, probablemente de manera innata, la nocion de cantidad en el ser humano.

Seguramente este hecho le sugirio a nuestro personaje que, cuando tuviera necesidad de contar,

digamos conejos, hiciera una correspondencia entre conejos y algun otro objeto, por ejemp-

lo piedras, una piedra por cada conejo. Sin embargo, si imaginamos que los conejos se van

reproduciendo con el paso del tiempo, vemos que en unos meses tendra que coleccionar una

buena cantidad de piedras por la cantidad de conejos que poseera. De aquı surge la necesidad

de crear otra forma de contar que sea mas comoda.

A alguien se le ocurrio hacer nudos a un mecate, a otra persona se le ocurrio contar con los

dedos de las manos y los pies. A alguien mas se le ocurrio contar las divisiones que tenemos

en los dedos menique, anular, medio e ındice (tres en cada dedo, lo que hace un total de

doce divisiones, encontrandonos con las docenas y, que si vemos en la otra mano cinco dedos,

vemos que podemos contar ası hasta sesenta, que es igual a cinco docenas) y ası, poco a poco

el hombre fue creando formas cada vez mas comodas de contar.

7




Los Griegos usaron un sistema de numeracion decimal (Al decir decimal nos referimos al he-

cho de que se cuenta de diez en diez). Para cada numero asignaron un sımbolo. El numero

uno estaba representado por 1, el dos por II , el tres por III, el cuatro por IV, el cinco por

V, el seis por VI, el siete por VII, el ocho por VIII, el nueve por IX y el diez por X. Tambien

asignaron sımbolos al cincuenta L, al cien C, al quinientos D y al mil M.

Con estos sımbolos podıan formar numeros bastante grandes, para lo cual establecieron ciertas

reglas. Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema vigesimal. En otras palabras,

ellos contaban de veinte en veinte. Esto se atribuye al hecho de que en nuestro cuerpo tenemos

veinte dedos (diez en las manos y otros diez en los pies). Un hecho interesante es que, entre

los aztecas, el numero veinte se decıa Tzontle (en Nahuatl). Tambien, de manera descriptiva a

un buen comerciante le llamaban Tzontle, queriendo indicar que usaba sus veinte dedos para

hacer calculos.

Notese que si tratamos de hacer una suma en alguno de estos sistemas de numeracion es mas

difıcil que en el sistema de numeracion que usamos actualmente. Evidentemente la multipli-

cacion es aun mas difıcil. Esto se debe a que estos sistemas no toman en cuenta la posicion

que tiene cada sımbolo para asignarles algun valor, es decir no son posicionales. En el capıtulo

7 nos encargaremos de estudiar como formar numeros en distintos sistemas de numeracion y

de averiguar la forma de realizar operaciones con estos numeros.

Ademas de contar, con el paso del tiempo aparecieron otras necesidades numericas. Por ejem-

plo, supongamos que un filosofo griego le pregunta a su discıpulo: ”¿Cuanto es cinco menos

cinco?”. Si consideramos que para entonces ellos todavıa no conocıan el cero, entonces el

discıpulo debio haber respondido ”... pues cinco menos cinco no es nada”. Para esa misma

epoca, consideremos a un matematico maya haciendo la misma pregunta a otro. Ellos, que

entonces ya conocıan el cero pueden responder: Cinco menos cinco es cero.”Parece que no hay

diferencia, pero en realidad, poder conceptualizar resultados (es decir, dar interpretaciones

con sımbolos a los fenomenos que vemos), es el gran paso que se dio en la invencion del

cero, pues de esta forma surgieron otras preguntas como ”¿Que numero debo sumar a 5 para

obtener cero?”, lo cual dio origen a los numeros negativos.

De una forma similar surgieron seguramente tambien los numeros racionales, por ejemplo,

imaginemos que alguien se pregunto: ”¿Por que numero debo multiplicar al numero dos para

obtener como resultado el numero uno?”. Evidentemente, el numero buscado no es ni natural,

ni entero, sino racional (El numero buscado es 1/2).

En el presente trabajo veremos la construccion y fundamentacion desde un punto de vista

axiomatico la naturaleza estos conjuntos de numeros.

8

Unidad 1

Nocion de estructura algebraica. El sistema

de los numeros naturales

Objetivos

1. Identificar una estructura algebraica mediante la simetrıa de un objeto geometrico.

2. Ejemplificar en una realidad concreta las propiedades de los grupos y anillos.

3. Definir las propiedades de un grupo, anillo, cuerpo.

4. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros naturales.

5. Demostrar y ejemplificar las propiedades del sistema de los numeros naturales.

Contextualizando: Simetrıas de las moleculas

El uso de la teorıa de grupos por los quımicos para determinar las

propiedades de las moleculas es un procedimiento bien establecido.

Desde el punto de vista matematico la mayor parte de los grupos que

aparecen que pueden aparecer como grupos de simetrıas de molecu-

las aisladas son muy sencillos, con excepcion hecha del grupo alter-

nante A5. En 1985 una familia de moleculas fue descubierta por los

investigadores H. Kroto de Inglatera y R. S. Smalley y R. Curl de

EUA mientras realizaban trabajos de astrofısica tratando de encon-

trar nuevas moleculas de carbon. Las moleculas que encontraron son

arreglos tridimensionales de atomos de carbono (desde 24 atomos hasta miles de ellos) y les

dieron el nombre de fulerenos en honor al arquitecto Buckminster Fuller, quien construyo

domos geodesicos con el mismo tipo de estructura. Por su descubrimiento recibieron el premio

nobel de Quımica de 1996.

La figura de abajo muestra la representacion matematica de la molecula del agua. En ella

observamos que esta molecula esta modelada por un triangulo equilatero. Los sistemas fısicos,

9




como por ejemplo las moleculas para su estudio adecuado deben ser representados de tal man-

era que se puedan rescatar y en cierta forma manipular sus propiedades intrınsecas, por ejem-

plo sus propiedades de simetrıa. El universo de las moleculas esta clasificado de acuerdo a

la simetrıa de estas (movimientos que dejan invariante al objeto mediante rotaciones y re-

flexiones), la moleculas planas mas simetricas estan modelas por los polıgonos regulares y las

moleculas tridimensionales por los cinco poliedros regulares, esta clasificacion es necesaria

pues, por ejemplo tanto en quımica como en fısica lo que se requiere es predecir el compor-

tamiento de estas al combinarlas. En el universo existen conjuntos que al operar sus elementos

siempre cumplen determinadas propiedades , como por ejemplo el conjunto de las simetrıas

de una molecula . A los conjuntos dotados de una operacion y con ciertas propiedades se les

dara el nombre de Grupo.1

A

B

C

Rotaciones

1

1

1

1

2

2 2

2

3

3

3 3

ρ0

ρρ1 2

Reflexiones

1 1 12 2 2

3 3 3

1Algebra en todas partes. Jose De la Pena

10




En forma matricial las rotaciones y las reflexiones, estan determinadas por:

ρ0 =

(1 2 3

1 2 3

), µ1 =

(1 2 3

1 3 2

)

ρ1 =

(1 2 3

2 3 1

), µ2 =

(1 2 3

3 2 1

)

ρ2 =

(1 2 3

3 1 2

), µ3 =

(1 2 3

2 1 3

)

Se operan de la siguiente forma:

ρ1 ◦ ρ2 =

(1 2 3

2 3 1

)◦(

1 2 3

3 1 2

)=

(1 2 3

2 3 1

)= ρ0

ρ1 ◦ µ3 =

(1 2 3

3 1 2

)◦(

1 2 3

2 1 3

)=

(1 2 3

3 2 1

)= µ2

Todas las operaciones posibles se muestran en la siguiente tabla:

◦ ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 µ1 µ2 µ3

ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 µ2 µ3 µ1

ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 µ3 µ1 µ2

µ1 µ1 µ3 µ2 ρ0 ρ2 ρ1

µ2 µ2 µ1 µ3 ρ1 ρ0 ρ2

µ3 µ3 µ2 µ1 ρ2 ρ1 ρ0

El conjunto de las simetrıas observadas en general en un objeto, de alguna forma se pueden

operar entre ellas. Esta nocion de un conjunto y una operacion en el, y que cumplen ciertas

propiedades, se le llamara grupo.

11




�

�

DESARROLLO TEMATICO

Penetran en un pais de maravillas.

Sonando mientras pasan los dias,

Sonando mientras mueren los estıos

Alicia a traves del espejo, LEWIS CARROLL

1.1. Sesion 1: Estructuras Algebraicas,definicion de grupo.

Contextualizacion: Los cristales Mosaicos de la naturaleza

Los cristales han ejercido una fascinacion especial en los hombres. Las excavaciones hechas

por investigadores en algunas cuevas en China muestran que el hombre de Pekin coleccionaba

cristales de cuarzo hace 40000 anos. Los cristales se distinguen por sus colores, sus brillos,

pero sobre todo por sus formas.

Cuando se observa un cristal bruto, su apariencia se distingue claramente de una roca vulgar.

Sus caras son practicamente planas, su cuerpo presenta grandes simetrıas. La pirita viene en

cubos, la fluorita y los diamantes en forma de octaedro ¿ Por que?

La forma de un cristal esta determinada por los componentes mas pequenos, atomos y molecu-

las, que lo integran. En el espacio, los atomos que forman los cristales se unen como piezas de

rompecabezas. Pero hay pocas piezas de rompecabezas que puedan utilizarse: en el diamante,

todas las piezas del rompecabezas son atomos de carbono; en la sal, hay atomos de cloro y

de sodio.

A mediados del siglo pasado, algunos cientıficos pensaron que el comportamiento fısico de los

diferentes cristales deberıa estar determinado por su estructura geometrica, por sus simetrias.

Los intentos por estudiar los cristales de esta forma fueron iniciados por Weiss en 1804 y Hes-

sel en 1830. Bravais redescubrio los resultados de Hessel en 1848 y obtuvo la clasificacion de

los grupos cristalograficos puntuales, es decir, ls simetrias cristalinas con respecto a un punto

fijo. Finalmente, la clasificacion de los grupos cristalograficos fue obtenida por el quımico

ruso Fedorov en 1885, (existen 32 grupos cristalograficos clasificados respecto a tres tipos de

simetrıas:rotacional, axial y traslacional ). Pero no fue sino hasta 1913 que Laue,usando el

metodo de difraccion por rayos X, pudo describir la estructura de los cristales y demostro que

estaban formados por arreglos de atomos como un rompecabezas.2

Definicion 1.1. Sea G un conjunto no vacıo donde esta definida una operacion interna

2Algebra en todas partes. Jose De la Pena

12

denotada por

∗ : G × G → G

(x, y) 7→ x ∗ y

Decimos que el par (G, ∗) es un grupo si se cumplen las siguientes propiedades:

G1) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c , ∀a, b, c ∈ G

G2) ∃ e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a , ∀a ∈ G

G3) ∀a ∈ G, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e

Si en un grupo (G, ∗) se verifica la propiedad:

G4) a ∗ b = b ∗ a , ∀a, b ∈ G

decimos que el grupo (G, ∗) es un grupo abeliano.

Ejemplo 1.1. Sea S un conjunto no vacıo

B(S) = {f : S → S/f es biyeccion}

entonces, (B(S), ◦), donde ◦ es la composicion de funciones, es un grupo.

Ejemplo 1.2. Si R∗ = R−{0} y · es el producto usual de numeros reales, (R∗, ·) es un grupo.

Ejemplo 1.3. Si C∗ = C−{0}, C, los numeros complejos y · es el producto usual de numeros

complejos, (C∗, ·) es un grupo.

Ejemplo 1.4. Si Z es el conjunto de los numeros enteros y + es la adicion usual (Z, +) es

un grupo

Ejemplo 1.5. Sea G = (−1, 1) = {x ∈ R,−1 < x < 1}, y definamos en G la operacion *

como sigue:

◦ : G × G → G

(a, b) 7→ a ◦ b =a + b

1 + ab=

b + a

ba + 1= b ◦ a

en donde las operaciones usuales que aparecen entre a◦b y b◦a son las usuales en R, entonces

(G, ◦) es un grupo, pues para todo a, b ∈ G, a ◦ b ∈ G, es facil verificar este hecho, lo dejamos

a cargo del lector.

1. Para todo a, b, c ∈ G, (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

2. 0 ∈ G y a · 0 = a+01+0a

3. Dado a ∈ G, existe b = −a ∈ G, tal que

a ◦ (−a) = (−a) ◦ a =a + (−a)

1 + (−a)a= 0.

13




El lector puede verificar estos hechos.

Ejemplo 1.6. Sea M2(R) el conjunto de todas las matrices de orden 2 cuyos elementos son

numeros reales, en el cual se define la operacion

(a b

c d

)+

(e f

g h

)=

(a + e b + f

c + g d + h

)

para todo par de matrices

(a b

c d

),

(e f

g h

)de M2(R). Puede probarse facilmente que

(M2(R), +) es un grupo abeliano. Si a la matriz A =

(a b

c d

)∈ M2(R) le asociamos la

aplicacion lineal TA : R2 → R2 dada por

TA

((x

y

))= A

(x

y

)=

(a b

c d

)(x

y

)=

(ax + by

cx + dy

)

se tiene que el conjunto M2(R) esta en correspondencia biyectiva con el conjunto de las

aplicaciones lineales de R2 en R2; ademas

TA+B

((x

y

))= (A + B)

(x

y

)= A

(x

y

)+ B

(x

y

)= (TA + TB)

((x

y

))

Debido a esta igualdad se obtiene que el conjunto de las aplicaciones lineales de R2 en R2 con

la operacion + es un grupo abeliano.

Con respecto a la multiplicacion de matrices el conjunto M2(R) no es un grupo; el inverso

de una matriz A = M2(R) solo esta definido si su determinante es distinto de cero, es decir

det A 6= 0. Esto nos lleva a considerar el subconjunto de M2R formado por las matrices A

tales que det A 6= 0, al cual denominamos GL2(R).

Ejemplo 1.7. Sea el conjunto Z4 = {0, 1, 2, 3}.Definimos

⊕ : Z4 × Z4 → Z4

(a, b) 7→ a ⊕ b = resto (a + b)/4

Para verificar si ⊕ cumple con las condiciones de grupo elaboramos al siguiente tabla

⊕ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

14




1) Cerradura: a, b ∈ Z4 entonces a ⊕ b ∈ Z4.

Por ejemplo

2 ∈ Z4 y 1 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 1 = 3 ∈ Z4

2 ∈ Z4 y 3 ∈ Z4 ⇒ 2 ⊕ 3 = 1 ∈ Z4

2) Asociativa: a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c , ∀a, b, c ∈ Z4.

Por ejemplo

(1 ⊕ 2) ⊕ 3 = 1 ⊕ (2 ⊕ 3)

3 ⊕ 3 = 1 ⊕ 1

2 = 2

3) Elemento neutro: ∃ e ∈ Z4 tal que a ⊕ e = e ⊕ a = a , ∀a ∈ Z4.

Por ejemplo

0 ⊕ 2 = 2 ⊕ 0 = 2

3 ⊕ 0 = 0 ⊕ 3 = 3

4) Elemento inverso: ∀a ∈, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e.

Por ejemplo El inverso de 1 es 3; pues 1 ⊕ 3 = 0

El inverso de 2 es 2; pues 2 ⊕ 2 = 0

Ejemplo 1.8 (Un ejemplo de grupo cociente). Se tiene que (R, +), es un grupo aditivo

definamos en R una relacion de equivalencia de la manera siguiente:

∼: R × R → R

(x, y) → x ∼ y

Definimos la siguiente relacion sobre R: ∀ x, y ∈ R, x ∼ y ↔ x − y ∈ Z o equivalente

x ∼ y ↔ x = y + n, n ∈ Z, afirmamos que “ ∼ ” es una relacion de equivalencia, por el

teorema de la particion toda relacion de equivalencia particiona de manera natural al conjunto

en clases de equivalencia disjuntas dos a dos de tal manera que la union cubre todo el conjunto.

Coleccionamos estas clases de equivalencias en

R

∼ = {[x]/x ∈ R}, donde [x] = {y ∈ R/y ∼ x}

o tambien [x] = {x + n/n ∈ Z}Dotamos a R

∼ de estructura de grupo. Definimos la siguiente operacion:

+ : R∼ × R

∼ → R∼

([x] , [y]) → T ([x], [y]) = [x] + [y] = [x + y]

Luego (R∼ , +) tiene estructura de grupo.

15




Ejemplo 1.9. Considere el conjunto S ′ = {z ∈ C/‖z‖ = 1}, donde S ′ representa la circun-

ferencia unitaria en el plano complejo, ahora definiremos una operacion en este conjunto de

la siguiente manera

· : S ′ × S ′ → S ′

(z, w) → ·(z, w) = zw

donde “ · ” es la multiplicacion usual de numeros complejos veamos que propiedades cumple

“ · ” en S ′.

i) Cerradura

∀z ∈ S ′, ∀w ∈ S ′ se debe cumplir que zw ∈ S ′

Como zw ∈ S ′, y ademas: ‖z‖ = 1 y ‖w‖ = 1

como ‖z‖ = 1 ∧ ‖w‖ = 1

→ ‖z‖ · ‖w‖ = 1 · 1 = 1 · · · · · · (α)

pero ‖z · w‖ = 1 · · · · · · (β)

Entonces de (α) y (β) se tiene que, ‖z · w‖ = 1, esto implica que z · w ∈ S ′

ii) Asociativa:

∀z, w, r ∈ S ′ se cumple que z(w · r) = (z · w)r

Como z, w, r ∈ S ′ ⇒ z, w, r ∈ C y tenemos que la multiplicacion de numeros complejos

es asociativa:

z(w · r) = (z · w)r

iii) Existencia del Elemento Neutro

∀ z ∈ S ′, ∃! e ∈ S ′ tal que z · e = e · z = z tomando la ecuacion z · e = z · · · · · · (γ)

z ∈ S ′,⇒ z ∈ C es decir de la forma z = x + iy, donde x, y ∈ R, ‖z‖ =√

x2 + y2 = 1,

luego x2 + y2 = 1. Como e ∈ S ′ ⇒ e ∈ C, es decir de la forma e = e1 + ie2 donde

e1, e2 ∈ R, ‖e‖ =√

e21 + e2

2 = 1, luego e21 + e2

2 = 1 luego reemplazamos en (γ), se tiene:

(x + iy)(e1 + ie2) = (x + iy)

(xe1 − ye2) + (xe2 + ye1)i = x + yi

xe1 − ye2 = x

ye1 + xe2 = y

Aplicando la regla de crammer para determinar e1, e2: luego e tiene la forma e = 1+0i =

1

iv) Elemento inverso

Para cada z ∈ S ′, ∃!w ∈ S ′/z · w = 1 + 0i se tiene que z · w ∈ S ′, es decir z, w ∈ C,

z = x + iy w = w1 + iw2

16




tenemos

z · w = 1

(x + iy)(w1 + iw2) = 1

{xw1 − yw2 = 1

yw1 + xw2 = 0

Aplicando la regla de crammer para hallar w1 y w2

w1 =

∣∣∣∣∣1 −y

0 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x −y

y x

∣∣∣∣∣

, w2 =

∣∣∣∣∣x 1

y 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x −y

y x

∣∣∣∣∣w1 = x w2 = −y

luego: w = x − iy. Por lo tanto (S ′, ·) tiene estructura de grupo

Actividades

1. Sobre el conjunto E = {0, 1, 2, 3, 4} se define una operacion a traves de la tabla de

abajo. Compruebe que dicha operacion satisface todas las propiedades de los grupos a

excepcion de uno

⋆ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 0 4 2 3

2 2 3 0 4 1

3 3 4 1 0 2

4 4 2 3 1 0

2. Analice la estructura algebraica que resulta de dotar al conjunto N con cada una de las

siguientes operaciones:

a) m ⊕ n = max{m, n}b) m � n = m

c) m ⊚ n = m.c.d(m, n)

3. Justificar que el conjunto de los numeros enteros con la operacion suma “ + ” tiene

estructura de grupo abeliano.

4. Considere los siguientes conjuntos

a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R

17




b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real

c) P = Conjunto de los polinomios

Defina sobre estos conjuntos una operacion binaria interna (suma) y justificar que tienen

estructura de grupos.

5. Construya el grupo de simetrıas de los siguientes polıgonos regulares: hexagono, pentagono,

heptagono.

Evariste Galois (1811 – 1832): Creador de la Teorıa de Grupos y Anillos

“Los elegidos de los dioses mueren jovenes”

18




1.2. Sesion 2: Definicion de anillo, cuerpo. Ejemplos

Contextualizando:Estructuras Algebraicas y Sistemas informaticos

Al concepto de anillo se llego al observar la semejanza de los comportamientos de los numeros

enteros y de los polinomios desde el punto de vista de la divisibilidad, uno de los problemas

matematicos clasicos. Por lo que respecta al concepto de cuerpo (traduccion de aleman Kor-

per), tambien llamado cuerpo (del ingles Field), se obtuvo por abstraccion, como el de grupo,

a partir de las estructuras algebraicas que iban surgiendo en el estudio de la resubilidad por

radicales de las ecuaciones algebraicas. Los cuerpos finitos, en particular, son la base para la

teorıa de codificacion, disciplina en la que se utilizan anillos de polinomios y espacios vectori-

ales. En las ciencias de la computacion, un programa informatico viene hacer un conjunto de

proposiciones encadenas de una forma logica. El universo de las proposiciones logicas, asoci-

adas con los operadores conjuncion, disyuncion, negacion, condicional, ademas de la nocion

de cero en este caso una falsedad y del 1 como una verdad, obedece a las leyes de una es-

tructura algebraica llamada Algebra de Boole. Esta estructura ayuda a resolver problemas

de optimizacion, como por ejemplo simplificar programas extensos y reducirlos a otros mas

simples. Muchas de las propiedades en este espacio simula lo que sucede en los anillos y en

los cuerpos.

Definicion 1.2. Sea A un conjunto no vacıo y dos operaciones binarias definidas en G deno-

tadas por

⊕ : A × A −→ A ; ⊙ : A × A −→ A(x, y) 7−→ x ⊕ y (x, y) 7−→ x ⊙ y

Decimos que la terna (A,⊕, ·) tiene estructura de anillo si satisface las siguientes propiedades

(A1) (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) ∀ a, b, c ∈ A

(A2) ∃ 0 ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0 ∀ a ∈ A

(A3) ∀ a ∈ A ∃ b ∈ A tal que a ⊕ b = b ⊕ a = 0

(A4) a ⊕ b = b ⊕ a ∀ a, b ∈ A

(A5) (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c) ∀ a, b, c ∈ A

(A6) a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a · c) ; (a ⊕ b) ⊙ c = (a ⊙ c) ⊕ (b ⊙ c) ∀ a, b, c ∈ A

1. Si un anillo (A,⊕,⊙) satisface la propiedad:

(A7) ∃ 1 ∈ A, 1 6= 0 tal que a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a ∀ a ∈ Adecimos que (A,⊕,⊙) es un anillo con unidad 1.

19





(A8) a ⊙ b = b ⊙ a ∀ a, b ∈ Adecimos que (A,⊕,⊙) es un anillo conmutativo.


(A9) a, b ∈ A, a ⊙ b = 0 =⇒ a = 0 o b = 0

decimos que (A,⊕,⊙) es un anillo sin divisores de cero.

4. Si (A,⊕,⊙) es un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, decimos que

(A,⊕,⊙) es un dominio de integridad.

5. Si (A,⊕,⊙) es un dominio de integridad que satisface la propiedad:

(A10) ∀ a ∈ A, a 6= 0, ∃ b ∈ A tal que a ⊙ b = b ⊙ a = 1

decimos que (A,⊕,⊙) es un Cuerpo.

Ejemplo 1.10. (Z, +, ·) es un ejemplo de un anillo conmutativo con unidad. (R, +, ·), (C, +, ·)son ejemplos de cuerpos.

Ejemplo 1.11. Z y Z[√

2] = {a + b√

2 : a, b ∈ Z} son ejemplos de dominios de integridad

que son cuerpos.

Ejemplo 1.12. Q, Q[√

2] y Zp con p primo son todos ejemplos de cuerpos.

Ejemplo 1.13. Z[√

p] = {a+b√

p : a, b ∈ Z} son dominios de integridad que no son cuerpos.

Ejemplo 1.14. Q[√

p] = {a + b√

p : a, b ∈ Q} son ejemplos de cuerpo (p primo).

Ejemplo 1.15. Sea A = F(R) = {f : R −→ R/f es funcion}. Definiendo las siguientes

operaciones

+ : A × A −→ A donde (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀ x ∈ R

(f, g) 7−→ f + g

⊙ : A × A −→ A donde (f · g)(x) = f(x) · g(x) ∀ x ∈ R

(f, g) 7−→ f ⊙ g

se tiene que (A, +, ·) es un anillo.

Ejemplo 1.16. Sean K = R2 = R × R = {(x1, x2)|x1 ∈ R, x2 ∈ R}.Consideremos las siguientes operaciones:

+ : R2 × R2 −→ R2

· : R × R2 −→ R2

definidas por:

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) (1.1)

20




α(x1, x2) = (αx1, αx2) (1.2)

Verifiquemos que (R2, +, ·) tiene estructura de anillo.

Sean (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) en R2 y α, β ∈ R se tiene:

A1) (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] = [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2).

En efecto:

(x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] = (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2) por (1.1)

= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)) por (1.1)

= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2) por asociatividad

de la suma en R

= (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2) por (1.1)

= [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) por (1.1)

∴ (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] = [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2)

A2) (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2)

En efecto:

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) por (1.1)

= (y1 + x1, y2 + x2) por conmutatividad

de la suma en R= (y1, y2) + (x1, x2) por (1.1)

∴ (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2)

A3) Existe (0, 0) ∈ R2 tal que:

(x1, x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1, x2)

A4) Existe (−x1,−x2) ∈ R2 tal que:

(x1, x2) + (−x1,−x2) = (x1 + (−x1), x2 + (−x2)) = (0, 0)

A5) α(β(x1, x2)) = (αβ)(x1, x2)

En efecto:α(β(x1, x2)) = α(βx1, βx2) por (1.2)

= (α(βx1), α(βx2)) por (1.2)

= ((αβ)x1, (αβ)x2) por asociatividad

del producto en R= (αβ)(x1, x2) por (1.2)

α(β(x1, x2)) = (αβ)(x1, x2)

21




A6) α[(x1, x2) + (y1, y2)] = α(x1, x2) + α(y1, y2)

En efecto:

α[(x1, x2) + (y1, y2)] = α(x1 + y1, x2 + y2) por (1.1)

= (α(x1 + y1), α(x2 + y2)) por (1.2)

= (αx1 + αy1, αx2 + αy2) por distributibidad del

producto con respecto a la suma en R

= (αx1, αx2) + (αy1, αy2) por (1.2)

= α(x1, x2) + α(y1, y2) por (1.2)

∴ α[(x1, x2) + (y1, y2]) = α(x1, x2) + α(y1, y2)

A7) (α + β)(x1, x2) = α(x1, x2) + β(x1, x2)

En efecto:

(α + β)(x1, x2) = ((α + β)x1, (α + β)x2) por (1.2)

= (αx1 + βx1, αx2 + βx2) por distributividad del

producto respecto a la suma en R

= (αx1, αx2) + (βx1, βx2) por (1.1)

= α(x1, x2) + β(x1, x2) por (1.2)

∴ (α + β)(x1, x2) = α(x1, x2) + β(x1, x2)

A8) 1(x1, x2) = (1 · x1, 1 · x2) = (x1, x2)

Generalizando el ejemplo anterior

Ejemplo 1.17. Consideremos el conjunto Rn de todas las n−uplas de numeros reales, es

decir:

K = Rn = R × R × · · · × R = {(x1, x2, . . . , xn) | xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}

Se demuestra que Rn es un cuerpo con las siguientes operaciones

+ : Rn × Rn −→ Rn

(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) −→ (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

y

· : R × Rn −→ Rn

(α, x1, x2, . . . , xn) −→ α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn)

la demostracion es analoga a la del ejemplo anterior.

22




Ejemplo 1.18. En R2 se definen la suma como en el ejemplo 1.16 y el producto escalar como

sigue

· : R × R2 −→ R2

(α, (x1, x2)) −→ α(x1, x2) = (αx1, x2)

Este producto verifica los axiomas A5, A6 y A8, pero no verifica A7.

En efecto:

Si α, β ∈ R y (x1, x2) ∈ R2 se tiene

(α + β)(x1, x2) = ((α + β)x1, x2) = (αx1 + βx1, x2)

por otra parte,

α(x1, x2) + β(x1, x2) = (αx1, x2) + (βx1, x2) = (αx1 + βx1, 2x2)

Luego

(α + β)(x1, x2) = α(x1, x2) + β(x1, x2) si y solo si x2 = 0

Este hecho permite afirmar que R2, con estas operaciones, no es un cuerpo.

Actividades

1. Estudie las propiedades de la estructura algebraica (N,⊕,△) donde m ⊕ n = 3m + 2 y

m△n = 4nm.

¿Tiene estructura de anillo?, ¿tiene estructura de cuerpo?

2. Si (G, +) es un grupo conmutativo con elemento neutro 0, y se define una segunda

operacion x△y = 0 cualesquiera que sean x e y en G, ¿que estructura tiene (G, +,△)?

3. Respecto a la pregunta anterior. Se pide lo mismo cuando la operacion sobre G es

x � y = y.

4. Considere los siguientes conjuntos

a) M = Conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 × 2 con coeficientes en R

b) F = Conjunto de las funciones reales de variable real

c) P = conjunto de los polinomios

Defina sobre estos conjuntos operaciones binarias internas (suma y producto) y justificar

cuales de ellas tienen estructura de anillo o de cuerpo.

5. Justificar que los conjuntos numericos R, Q y C tienen estructura de cuerpo

23




1.3. Sesion 3: El Sistema de los Numeros Naturales N:

definicion axiomatica de N

Dios hizo los numeros naturales,

lo demas es creacion de los hombres.

Giuseppe Peano

Contextualizando: Los numeros naturales

En las sociedades prehistoricas cazadores y recolectores se plantean ya, que aunque sea a

pequena escala, la necesidad de responder a la pregunta ¿Cuantos hay? o ¿Cuantos son?

Tambien aparece la necesidad de establecer un orden de actuacion ¿que se hace primero?

¿que interviene en segundo lugar?,etc.

A partir de esas necesidades sociales de cuantificar la diversificacion de sus actividades el

hombre tuvo la necesidad de crear sımbolos y procesos numericos en las que se desarrollan

diferentes tecnicas de recuento que han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra

sociedad se utiliza predominantemente una tecnica de recuento con palabras, aun cuando se

conservan vestigios de otras varias tecnicas.

Cada coleccion de “Objetos numericos”vamos a llamarla “sistema numeral.o sistema de rep-

resentacion numerica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa

diciendo que representan el mismo numero. Des este modo los numeros son objetos como

pueden ser una mesa, un perro, etc; se dice que son “objetos ideales.o abstractos. Los primeros

registros del uso de la notacion posicional los encontramos en babilonia a fines de 2500 a.c.

Existen diversas maneras de introducir formalmente el sistema de los numeros naturales.

Giussepe Peano introdujo este sistema usando el metodo axiomatico, considero tres concep-

tos primitivos: cero, uno y sucesor y cinco axiomas, a partir de los cuales desarrollo toda

la teorıa del numero natural. En cambio, George Cantor definio el sistema de los numeros

naturales a partir de la teorıa de conjuntos finitos, utilizando una adecuada relacion de equiv-

alencia denominada equipotencia y el teorema de la particion que afirma que toda relacion

de equivalencia definida sobre un conjunto C determina una particion de C.

1.3.1. Definicion Axiomatica de N

Por razones didacticas se definira el Sistema de los Numeros Naturales, utilizando un conjun-

to de axiomas “superabundante” el cual se ira ampliando progresivamente, agregando nuevos

axiomas y usando el lenguaje de las funciones que permitira definir, sucesivamente, conjuntos

mas “grandes” a los cuales se llamaran: Sistema de Numeros Enteros Z, Sistema de Numeros

Racionales Q y Sistema de Numeros Reales R. Los axiomas que se agregan para “ampliar”los

24

sistemas permitiran, desde el punto de vista aritmetico, “generalizar”las operaciones de sus-

traccion, division y radicacion, y, desde el punto de vista algebraico, resolver ecuaciones cada

vez mas complicadas. El Sistema de los Numeros Naturales es un conjunto, denotado

por N, provisto de dos operaciones internas: adicion y multiplicacion.

La adicion es una operacion interna en N, que asocia a cada par de numeros naturales

(a, b) ∈ N × N un unico numero natural llamado suma de a y b y que se denota por

a + b ∈ N.

Simbolicamente: + : N × N → N, tal que (a, b) → a + b

Los numeros naturales a y b reciben el nombre de sumandos.

La multiplicacion es una operacion interna en N, que asocia a cada par de numeros

naturales (a, b) ∈ N × N un unico numero natural llamado producto de a y b y que se

denota a · b ∈ N o simplemente ab.

Simbolicamente: · : N × N → N, tal que (a, b) → a · bLos numeros a y b reciben el nombre de factores.

La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes axiomas:

AXIOMAS ADICION MULTIPLICACION

Conmutatividad N1) a + b = b + a

∀ a, b ∈ NN5) a · b = b · a

∀ a, b ∈ N

Asociatividad N2) (a + b) + c = a + (b + c)

∀ a, b, c ∈ N

N6) (a · b) · c = a · (b · c)

∀ a, b, c ∈ N

Existencia

del Elemento

Neutro

N3) Existe un unico numero

natural llamado cero

denotado por 0, tal que:

a + 0 = a ∀a ∈ N

N7) Existe un unico

numero natural lla-

mado uno denotado

por 1, 1 6= 0 tal que:

a · 1 = a ∀a ∈ N

Ley de

Cancelacion

N4) Si a+c = b+c ⇒ a = b

∀ a, b, c ∈ NN8) Si a · c = b · c ⇒ a = b

∀ a, b, c ∈ N

Distributividad N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ N

Definicion 1.3. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que a es menor que b, y se denota

a < b si, y solo si, existe un numero natural c 6= 0 tal que a + c = b

. Simbolicamente:

a < b ⇔ ∃ c ∈ N, c 6= 0/a + c = b

La relacion menor satisface los siguientes axiomas:

Tricotomıa N10) Para todo a, b ∈ N se cumple una y solo una de las

siguientes posibilidades: a < b; a = b; b < a.

Buen Orden N11) Todo subconjunto no vacıo A ⊂ N posee un elemento

mınimo m ∈ A; es decir, m < a ∨ m = a ∀ a ∈ A.

25




Observaciones:

1. Los axiomas de la conmutatividad y asociatividad permiten sumar tres o mas numeros

con facilidad, asociando los sumandos y modificando el orden segun convenga.

Ejemplo:

20 + 35 + 60 = (20 + 35) + 60 = 55 + 60 = 115

20 + 35 + 60 = 20 + (35 + 60) = 20 + 95 = 115

O mas generalmente

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Como a(b + c) = ab + ac, aplicando la propiedad simetrica de la igualdad se sigue que

ab + ac = a(b + c), que es conocida en el algebra elemental como factorizacion. Por

ejemplo:

Factor comun:

3a + 3ab + 6ac = 3a(1 + b + 2c)

Agrupar terminos semejantes:

2a + 3b + 5a + 10b = (2 + 5)a + (3 + 10)b = 7a + 13b

3. Aplicando la propiedad conmutativa de la adicion y multiplicacion en las igualdades

a + c = b + c y ac = bc, las propiedades de cancelacion pueden escribirse tambien:

c + a = c + b ⇒ a = b y ca = cb ∧ c 6= 0 ⇒ a = b

Nota Importante:

Cuando se define un Sistema Numerico como un conjunto provisto de ciertas operaciones,

queda tacitamente establecido que se cumplen todos los axiomas de la Teorıa de Conjuntos y

todas las relaciones con sus propiedades que pueden definirse en el; en particular, la relacion

de Igualdad, que, obviamente, goza de las propiedades: reflexiva, simetrica y transitiva.

A continuacion, se enuncia algunas propiedades importantes de la adicion y multiplicacion,

que se pueden demostrar usando los axiomas, las propiedades de la igualdad, el axioma de

Sustitucion y otras propiedades anteriormente mencionadas.

Teorema 1.1. Dado los numeros naturales a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades:

a) Si a = b ⇒ a + c = b + c ∧ c + a = c + b

b) Si a = b ⇒ a · c = b · c

c) Si a = b y c = d ⇒ a + c = b + d

d) Si a = b y c = d ⇒ a · c = b · d

26




Demostracion. 1. [a)]a + c = a + c por la propiedad reflexiva de la igualdad; luego como

a = b por hipotesis aplicando el axioma de sustitucion (reemplazando a por b en el

segundo miembro de la igualdad), resulta a + c = b + c.

Aplicando la propiedad conmutativa de la igualdad, se tiene que c + a = c + b.

c) Por lo que se acaba de demostrar, si a = b y c = d entonces a+ c = b+ c y b+ c = b+d,

luego aplicando la propiedad transitiva de la igualdad resulta a + c = b + d.

Las propiedades b) y d) se demuestran de manera analoga.

Observaciones:

Estas propiedades se enuncian en algunos textos, como sigue: “Si a ambos miembros de una

igualdad se suma o multiplica un mismo numero, la igualdad no varıa”, y “si se suman o

multiplican miembro a miembro los terminos de dos igualdades, la igualdad se mantiene”,

etc.

A continuacion, y a modo de ejemplo, se demostrara el teorema que establece que el producto

de cualquier numero natural por cero es cero; no solo por su importancia en sı mismo, sino

porque su demostracion es una bella ilustracion del uso ingenioso de los axiomas y propiedades

anteriormente enunciadas. Observe que esta propiedad no es un axioma de los numeros nat-

urales y por lo tanto debe ser demostrada.

Teorema 1.2. Para todo a ∈ N se tiene que a,0 = 0.

Demostracion. De:

a · 0 + a · 0 = a(0 + 0) (propiedad distributiva)

resulta

a · 0 + a · 0 = a · 0 (propiedad del elemento neutro)

pero

a · 0 + a · 0 = a · 0 + 0 (propiedad del elemento neutro)

luego, cancelando a · 0 se tiene a · 0 = 0.

Teorema 1.3. Si a y b son numeros naturales, ab = 0 si, y solo si, a = 0 o b = 0.

Demostracion. Para todo numero natural a, se tiene: a = 0 o a 6= 0. Si a = 0, el teorema ya

esta demostrado.

Si a 6= 0, como ab = 0 y a · 0 = 0, por la propiedad transitiva, ab = a · 0, luego, aplicando la

27

propiedad de cancelacion (pues a 6= 0), se tiene b = 0. Por lo tanto, si ab = 0, entonces a = 0

o b = 0.

Recıprocamente, si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0, por el teorema anterior (1.2).

Corolario 1.1. ∀ a, b ∈ N, a 6= 0 y a 6= 0 si, y solo si, ab 6= 0

Definicion 1.4. Sean a y b dos numeros naturales. Se dice que b es mayor que a, y se denota

b > a si, y solo si, a es menor que b.

Simbolicamente:

b > a ⇔ a < b

Analogamente se dice que:

“a es menor o igual que b” y se denota a ≤ b si, y solo si, a b o a = b.

Simbolicamente:

a ≥ b ⇔ a > b ∧ a = b

Observacion:

La negacion de a 0, entonces a + b > b, ∀ b ∈ N

Demostracion.

a) Por la propiedad del elemento neutro, 0+a = a, luego existe a ∈ N y a 6= 0 (hipotesis), tal

que 0 + a = a, de donde aplicando la definicion de la relacion menor, se tiene que 0 < a.

Como consecuencia de esta afirmacion se sigue que todo numero natural a es mayor o igual

que cero; es decir a ≥ 0.

b) Como a 6= 0, por definicion de la relacion menor ∀ b ∈ N a+b = b+a, implica que a+b > b.

Corolario 1.2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y a · b > 0

28

Demostracion. Por hipotesis, a > 0, luego, por tricotomıa, a 6= 0. Supongamos que a + b = 0

entonces, como a 6= 0 se tendrıa b < 0 lo que contradice el teorema (1.4 a). Ası a + b 6= 0 y

por lo tanto a + b > 0.

Como a · b es un numero natural, entonces a · b > 0 o a · b = 0.

Si fuera a · b = 0, como tambien 0 = 0 · b (teorema 1.2), por transitividad se tendrıa que

a · b = 0 · b y siendo b 6= 0 (por hipotesis), aplicando la propiedad de cancelacion resultarıa

a = 0, lo cual es imposible pues a > 0 (por hipotesis).

Es decir, la afirmacion a · b = 0 es falsa y por tanto a · b > 0.

Como consecuencia de este teorema, se tiene la siguiente igualdad de conjuntos:

{a ∈ N/a 6= 0} = {a ∈ N/a > 0}

Esta igualdad indica que el conjunto formado por todos los numeros naturales diferentes de

cero es igual al conjunto de todos los numeros naturales mayores que cero. Tal conjunto se

denotara por N+ y se llamara el “conjunto de los numeros naturales positivos”. Ası,

N+ = {a ∈ N/a > 0} = N − {0} o N = N+ ∪ {0}

Teorema 1.5. Dado los numeros naturales a, b, c, se cumplen las siguientes propiedades:

a) Si a 0 ⇒ ac < bc (Monotonıa)

d) Si a + c 0 ⇒ a 0 y e > 0 tales que a + d = b y b + e = c.

Luego (a + d) + e = b + e (Teorema 1.1(a)), pero b + e = c, entonces por sustitucion y la

propiedad asociativa se tiene a + (d + e) = c.

Como d > 0 y e > 0, entonces d + e > 0, (Teorema 1.4(b)), luego se sigue de la definicion

de la relacion menor que a < c.

b) Si a < b, por definicion existe d ∈ N+ tal que a + d = b luego

(a + d) + c = b + c (Teorema 1.1(a))

29

o sea

(a + c) + d = b + c (propiedad asociativa y conmutativa)

lo q implica que

a + c 0, pues d > 0 y c > 0 (Teorema 1.4(b))

Si sigue que

a · c < b · c (definicion de la relacion menor)

d) Si a + c 0 se sigue que

a a.

Demostracion. En efecto, basta considerar n = a + 1 pues como 1 > 0, se sigue que n =

a + 1 > a + 0 = a, por la propiedad de monotonıa y elemento neutro, lo cual implica que

n > a.

Definicion 1.5. A continuacion se introduce nuevos sımbolos para representar otros numeros

naturales distintos de 0 y 1. Ası se define:

30

2 = 1 + 1 que se lee “dos”

3 = 2 + 1 que se lee “tres”

4 = 3 + 1 que se lee “cuatro”

5 = 4 + 1 que se lee “cinco”

6 = 5 + 1 que se lee “seis”

7 = 6 + 1 que se lee “siete”

8 = 7 + 1 que se lee “ocho”

9 = 8 + 1 que se lee “nueve”

10 = 9 + 1 que se lee “diez”

Y ası, 2 ∈ N, 3 ∈ N, 4 ∈ N, 5 ∈ N, 6 ∈ N, . . . , etc. y se pueden calcular sumas y productos

sencillos, demostrando que los resultados se obtienen usando las definiciones y axiomas, como

por ejemplo:

3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5

3 · 2 = 3 · (1 + 1) = 3 · +3 · 1 = 3 + (2 + 1) = (3 + 2) + 1 = 5 + 1 = 6

Ademas

1 < 2 pues existe 1 ∈ N+ tal que 1 + 1 = 2

2 < 3 pues existe 1 ∈ N+ tal que 2 + 1 = 3

En general, se prueba que a < a + 1 para todo a ∈ N luego:

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < · · ·

Posteriormente, se demuestra que no existe un numero natural entre 0 y 1 y en general, no

existe numero natural entre a y a + 1, con a ∈ N.

Observacion:

Algunos autores no consideran al cero como numero natural y definen los numeros naturales a

partir del 1. Matematicamente este hecho no constituye ningun problema ya que se demuestra

que estas dos formas de definir N son equivalentes. Nosotros, como hacen la gran mayorıa de

matematicos, entre ellos Peano, el primero que dio una definicion axiomatica del conjunto de

los Numeros Naturales, se ha considerado al cero como numero natural, entre otras cosas por

las siguientes razones:

- Considerar un elemento neutro para la adicion en N.

- Considerar en el sistema de numeracion decimal la cifra natural 0 de manera que se pueda

escribir en N, 405 = 4 × 102 + 0 × 10 + 5, como un polinomio en “variable”x = 10, con

coeficientes en N.

31




- Al usar en el criterio de divisibilidad en N, por ejemplo un numero es divisible por 5 si la

cifra de las unidades es multiplo de 5, es decir 0 o 5, vistos como numeros naturales, etc.

Si no se considera al 0 como numero natural entonces se extiende N al conjunto N ∪ {0},extendiendo tambien sus operaciones.

Actividades

1. Escriba los modelos logicos de las proposiciones dadas en esta sesion.

2. Respecto a las definiciones, identificar las condiciones necesarias y suficientes

3. Un estudiante se encuentra frente a una fuente de agua y se le proporcionan dos envases

no graduados de 3 y 5 galones de capacidad. El debe conseguir, haciendo uso solamente

de dichos galones, medir exactamente cuatro galones de agua.

a) ¿Como resolver la tarea encomendada?

b) ¿Como se resolverıa el problema si los recipientes fueran de 5 galones y 11 galones?

c) ¿Cual es el mınimo volumen que se puede lograr si se dispone de 2 recipientes, uno

de 4 galones y el otro de 6 galones de capacidad?

4. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido

una perdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a razon de 1200 por mes.

¿Despues de cuanto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado?

5. El ministro de Economıa de cierto paıs ha decidido que en ese paıs deben usarse unica-

mente monedas de valores 4 y 7 Lunas, siendo una Luna su unidad monetaria. ¿Que val-

ores, en numeros naturales, no se pueden pagar exactamente con estas monedas? Por

ejemplo, no se puede pagar exactamente 6 Lunas, pero si se puede pagar 38 Lunas con

seis monedas de 4 y dos monedas de 7.

Para investigar: Encontrar todos los numeros naturales x, y, z mayores que cero, tales

que

1 + 2x3y = z2

32




1.4. Sesion 4: Sustraccion y division en N. Aplicaciones

del principio del buen orden

El numero es el origen de todas las cosas

Platon

Contextualizando: Programa de baloncesto

Milagros dirige un programa de baloncesto en Lambayeque. El primer dıa de la temporada

se presentaron 60 jovenes y fueron clasificados por nivel de edad y por su preferencia en la

posicion de juego como se muestra en la siguiente tabla:

Posicion

Guardia (G) Delantero (F) Centro (N) Totales

Secundaria (J) 9 6 4 19

Edad Preparatoria (S) 12 5 9 26

Universidad (C) 5 8 2 15

Totales 26 19 15 60

utilizando el conjunto de etiquetas (letras) en la tabla, encuentre el numero de jugadores que

estan en la edad de preparatoria y que juegan en la posicion de centro.

1.4.1. Sustraccion y Division en N

Definicion 1.6. Dado los numeros naturales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota

a − b, al numero natural c, si existe, tal que a = b + c.

Es decir,

a − b = c ⇔ a = b + c

Ejemplo 1.19.

a) 3-2=1 puesto que existe 1 ∈ N tal que 3=2+1

b) Como 7=4+3 resulta 7-4=3 o tambien, 7-3=4.

c) En cambio, la diferencia 2-3 no existe en N puesto que no hay numero natural x tal que

2 = 3 + x.

d) Mas generalmente, se probara en el siguiente teorema que la ecuacion x + a = b tiene

solucion si a ≤ b.

33

Teorema 1.7. Dado los numeros naturales a y b, se cumplen las siguientes propiedades:

a) Si a ≥ b, entonces existe a − b

b) Si a < b, entonces no existe a − b

Demostracion.

a) Si a ≥ b entonces a > b o a = b (definicion de ≥)

Si a > b entonces, existe c ∈ N tal que a = b + c (definicion de >).

Si a = b entonces, existe c = 0 ∈ N tal que a = b + c (propiedad del elemento neutro).

Luego, si a ≥ b existe c ∈ N tal que a = b + c, es decir, por definicion, existe a − b.

b) Sea a 0,

por definicion de la relacion mayor se tiene que a > b, hecho que tambien contradice a la

hipotesis. Por lo tanto no existe c ∈ ∈ N tal que a = b + c; es decir, no existe a − b.

Teorema 1.8. Sea a, b, c, m ∈ N, y a − b = c, entonces se cumplen las siguientes

propiedades, siempre que cada diferencia exista en N:

a) (a + m) − b = c + m

b) (a − m) − b = c − m

c) a − (b + m) = c − m

d) a − (b − m) = c + m

e) (a + m) − (b + m) = c

f) (a − m) − (b − m)

Demostracion. a) Si a−b = c, por definicion de diferencia, a = b+c, luego a+m = (b+c)+m

(teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, a+m = b+(c+m). En consecuencia, aplicando

la definicion de diferencia se tiene (a + m) − b = c + m.

b) Sea d = c−m, entonces, por definicion de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b

(teorema 1.1), y por las propiedades asociativa y conmutativa, se tiene que (d + b) + m =

b + c.

Por otra parte como a − b = c, por definicion de diferencia, a = b + c y aplicando la

propiedad transitiva, a = (d + b) + m. Entonces, aplicando la definicion de diferencia se

tiene a−m = d+ b, y, nuevamente, por la misma definicion, (a−m)− b = d y por axioma

de sustitucion, (a − m) − b = c − m.

34

c) Sea d = c−m, entonces, por definicion de diferencia d + m = c, luego (d + m) + b = c + b

(teorema 1.1), y por la propiedad asociativa, se tiene que d + (b + m) = c + b. Por otra

parte, como a − b = c, por definicion de diferencia, a = b + c y aplicando la propiedad

transitiva, a = d + (b + m). Entonces, aplicando la definicion de diferencia se tiene que

a − (b + m) = d y por axioma de sustitucion, a − (b + m) = c − m.

La prueba de d), e) y f) se deja como ejercicio.

Definicion 1.7. Dado los numeros naturales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a por b,

y se denota ab, al numero naturales c, si existe, tal que a = b · c.

Es decir ab

= c ⇔ a = bc

Ejemplo 1.20. 1. 4224/6 = 704, pues 4224 = 704 × 6

2. Recıprocamente, 8 × 12 = 96, implica que, 96/8 = 12

3. Pero, no existe el cociente 58/3 puesto que no existe n ∈ N tal que 58 = 3n

Observaciones:

1) a0

no existe por definicion

2) Si 0 < a < b, no existe el cociente ab, pues a = bc ≥ b

3) Sea f la funcion que asigna a cada par de numeros naturales su diferencia, si existe, y sea

g la funcion que asigna a cada par de numeros naturales su cociente, si este existe en N.

Ninguna de estas funciones satisface la definicion de operacion en N, pues no se aplican

sobre todo N × N, de ese modo formalmente la sustraccion y division no son operaciones

binarias en N.

1.4.2. Aplicaciones del Principio del Buen Orden (Axioma N11)

Teorema 1.9. No existe numero natural n, tal que 0 < n < 1

Demostracion. Sea A = {n ∈ N/0 < n < 1}, bastara probar que A = φ

Se supone que A = φ; luego, como A es un subconjunto no vacıo de N, por el axioma del

buen orden, A posee un elemento mınimo m; ası 0 < m < 1. Entonces, multiplicando por

m, tenemos 0 < mm < m < 1, lo que indica que existe un numero mm ∈ A, menor que el

mınimo, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto, A = φ.

35

Teorema 1.10 (Principio de Induccion Matematica). Sea A un subconjunto de N, tal que:

i) 0 ∈ A

ii) h ∈ A, implica h + 1 ∈ A

Entonces,

A = N

Demostracion. Bastara probar que CA = N − A = φ

Se supone que CA 6= φ, entonces, por el axioma del buen orden, CA posee un mınimo, llamenle

m.

Como m ∈ CA ⇒ m 6∈ A, por ello m 6= 0 (recuerda que por hipotesis (I), 0 ∈ A)

Es decir, m > 0 ⇒ m ≥ 1.

Luego existe m − 1 y ademas m − 1 < m, entonces m − 1 6∈ CA.

Entonces m − 1 ∈ A que, por hipotesis (II), implica que m = (m − 1) + 1 ∈ A, lo cual

contradice el hecho de que m ∈ CA.

Por lo tanto, CA = φ y ası, A = N

Ya se ha visto que no siempre es posible la division de dos numeros naturales; sin embargo,

tenemos el siguiente resultado

Teorema 1.11 (Algoritmo de la Division de Euclides). Si a, b ∈ N con b 6= 0 existen

numeros naturales r y q, unicos, tales que

a = bq + r, con 0 ≤ r < b

a b

r q

Demostracion. Este teorema tiene dos partes: Existencia y Unicidad.

a) Primero se ve la existencia.

Con a y b fijos, se define H como el conjunto de todos los numeros naturales de la forma:

a − nb, con n ∈ N. Es decir,

H = {d ∈ N/d = a − nb, n ∈ N}

o sea

H = {a, a − b, a − 2b, a − 3b, . . .} ⊂ N

36

Claramente, H es no vacıo, pues a ∈ H . Por el axioma del Buen Orden, en H existe un

elemento mınimo al que se llamara r; luego, tambien existe un numero natural q tal que

a − bq = r ≥ 0. Ası se ha encontrado dos numeros naturales q y r, que satisfacen:

a = bq + r, y 0 ≤ r

Falta demostrar que r < b. Si se tuviera r ≥ b, resultarıa

r − b ≥ 0 ⇒ (a − bq) − b ≥ 0 ⇒ a − b(q + 1) ∈ H

Pero

a − b(q + 1) = (a − bq) − b < a − bq = r

y esto significa que H tiene un elemento menor que el mınimo, lo cual es absurdo. Entonces

r < b. Con esto se tiene

a = bq + r y 0 ≤ r < b

b) Ahora se ve la unicidad.

Se supone que existen otros numeros naturales q′ y r′ tales que:

a = bq′ + r′ y 0 ≤ r′ q′ → q′ − q ≥ 1 → r = b(q′ − q) + r ≥ b + r ≥ b,

En ambos casos se llega a contradecir el hecho de que r y r′ < b

Entonces q = q′.Luego de 1.4, r = r′

Ejemplo 1.21.

a) Dados los numeros 47 y 8, existen los numeros 5 y 7 tales que

47 = 5 × 8 + 7, 0 ≤ 7 < 8

b) Dados los numeros 6688 y 111, se tienen los numeros 60 y 8 tales que

6668 = 60 × 111 + 8

37

c) Dados los numeros 3003 y 231, existen los numeros 13 y 0, naturales, tales que

3003 = 231 × 13 + 0

En la expresion a = bq + r con 0 ≤ r < b, el numero a recibe el nombre de dividendo; b

recibe el nombre de divisor; r el nombre de resto o residuo y q, el nombre de cociente por

defecto (o simplemente cociente). Si el residuo r es cero diremos que la division es exacta.

Ejemplo 1.22. a) Dados los numeros 129 y 15 en N, existen 8 ∈ N y 9 ∈ N tales que

129 = 15 × 8 + 9, 0 ≤ 9 < 15 (division inexacta)

b) Dados los numeros 180 y 36 en N, existen 5 ∈ N y 0 ∈ N, tales que

180 = 36 × 5 + 0 (division exacta)

c) Tono, Yola y Felix son amigos. El sabado fueron a comprar pasajes para ir a un congreso de

matematica. Tono no llevaba dinero, entonces, entre Yola y Felix le hicieron un prestamo

y pagaron los tres pasajes. Yola puso 64 soles y Felix 68 soles. ¿Cuanto debe devolverle

Tono a Yola? ¿Y cuanto a Felix?

Solucion:

Los tres pasajes cuestan (64+68)=132 soles. Cada uno de ellos cuesta 132/3=44 soles. En-

tonces,

Yola presto a Tono (64 − 44) = 20 soles y

Felix presto a Tono (68 − 44) = 24 soles

Luego, Tono debe devolver 20 soles a Yola y 24 soles a Felix.

Problemas Resueltos

Problema 1.1 (*). La comision directiva de una sociedad secreta esta formada por cuatro

personas. Para admitir nuevos socios se rigen los siguientes criterios:

- Votan solamente los 4 integrantes de la directiva, pudiendolo hacer de tres formas:a

favor, en contra o absteniendose.

- Cada aspirante debe obtener por lo menos dos votos a favor y ninguno en contra

En la ultimo reunion de la directiva, se consideran 8 solicitudes de ingreso.

Del total de votos emitidos, resultaron 23 votos a favor, 2 votos en contra y 7 abstenciones.

¿Cual es la mayor y cual es la menor cantidad de solicitudes que pudieron ser aceptadas en

esta ocasion?

38




Solucion. Sean A, B, C, D, E, F, G y H los ocho aspirantes.

Como hay votos en contra, al menos un aspirante sera admitido. En efecto, la mayor cantidad

de aspirantes admitidos es 7 cuando solo un aspirante es rechazado. Los votos recibidos por

cada aspirante para este caso pueden ser los siguientes:

Aspirante Votos a favor Votos en contra Abstenciones Situacion final

A 3 - 1 Aceptado

B 3 - 1 Aceptado

C 3 - 1 Aceptado

D 3 - 1 Aceptado

E 3 - 1 Aceptado

F 3 - 1 Aceptado

G 3 - 1 Aceptado

H 2 2 - Rechazado

Total 23 2 7

De otro lado, como solo hay dos votos en contra, 6 aspirantes que no reciben votos en contra.

Estos seis aspirantes recibiran 23−6 = 17 votos a favor (pues los otros dos aspirantes reciben,

en conjunto un maximo de 6 votos a favor).

Para ser rechazado. alguno de estos seis aspirantes, debe recibir al menos tres votos de absten-

cion. Pero como solo hay 7 votos de abstencion, entonces a lo mas pueden ser rechazados dos

de estos seis aspirantes. Esto significa que la menos cuatro de estos seis postulantes que no

reciben votos en contra sera aceptado. En efecto, 4 es la menor cantidad de aspirantes acep-

tados y la tabla siguiente muestra cuales podran ser los votos recibidos por cada aspirante

para obtener este mınimo:

Aspirante Votos a favor Votos en contra Abstenciones Situacion final

A 4 - - Aceptado

B 4 - - Aceptado

C 4 - - Aceptado

D 4 - - Aceptado

E 1 - 3 Rechazado

F 1 - 3 Rechazado

G 2 1 1 Rechazado

H 3 1 - Rechazado

Total 23 2 7

Problema 1.2 (*). Rodolfo y Gabriela tiene 9 fichas enumeradas del 1 al 9 y se entretienen

con el siguiente juego:

Sacan alternadamente 3 fichas cada uno, con las siguientes reglas:

39

� Comienza el juego Rodolfo, eligiendo una ficha y en los turnos siguientes debe tomar,

cada vez, una ficha tres unidades menos que la ultima que saco Gabriela

� Gabriela, a su vez, elige la primera ficha y en los turnos siguientes debe tomar, cada

vez, una ficha 2 unidades menos que la ultima que ella misma saco

� Gana el que obtiene el numero al sumas sus tres fichas.

� Si el juego no se puede completar, hay empate.

Si los dos juegan sin equivocarse ¿Como debe jugar Rodolfo para asegurar no perder?

Solucion. Sea R la primera ficha que saca Rodolfo y G la primera ficha que saca Gabriela.

Si el juego terminara, las fichas de Rodolfo y Gabriela secarıan serıan las siguientes:

Numero de jugada Rodolfo Gabriela

Primera R G

Segunda G-3 G-2

Tercera G-5 G-4

Si Rodolfo comienza sacando la ficha R = 9, Gabriela puede sacar la ficha G = 8 y el juego

se desarrollara de la siguiente manera:


Primera 9 8

Segunda 5 6

Tercera 3 4

Gabriela ganarıa pues 8 + 6 + 4 > 9 + 5 + 3

Si rodolfo saca una ficha R < 9. Gabriela puede sacar la ficha R + 1 y, si el juego termina, se

desarrollarıa de la siguiente manera:


Primera R R+1

Segunda R-2 R-1

Tercera R-4 R-3

Nuevamente Gabriela ganarıa, pues (R+1)+(R+1)+(R−3) = 3R−3 > RR+(R−2)+(R−4).

En consecuencia, Rodolfo, para no perder, intentarıa que el juego no termine. Eso lo que

puede conseguir si elige R = 4. Analizaremos, en este caso, cual puede ser la primera ficha

que Gabriela saque:

� Si Gabriela comienza con G = 9, el juego terminara pues como ya fue sacada la ficha

4, Rodolfo no podra sacar su tercera ficha G − 5 = 9 − 5 = 4, pues esta ficha ya fue

retirada por Rodolfo en su primera jugada.

40




� Si G = 8, el juego no terminara pues Gabriela no podra sacar su tercera ficha G − 4 =

8 − 4 = 4, pues Rodolfo ya saco esta ficha en la primera jugada.

� Si G = 7, el juego no terminara pues Rodolfo deberıa sacar en su segunda jugada la

ficha G − 3 = 7 − 3 = 4, que ya la saco el mismo en su jugada anterior.

� Si G = 6, el juego no terminara pues Gabriela deberıa retirar en su segunda jugada la

ficha G − 2 = 6 − 2 = 4, que ya fue retirada por Rodolfo en su primera jugada.

� Si G ≤ 5, el juego no terminara, pues no existirıa una ficha con el numero G− 5 que es

la que corresponde a Rodolfo para su tercera jugada.

Ası, queda probado que si Rodolfo comienza retirando la ficha R = 4, el garantiza que el

juego no terminara y, por tanto, se esta asegurando de no perder.

Problema 1.3 (*). Tenemos 105 monedas, entre las cuales sabemos que hay tres falsas. Las

monedas autenticas pesan todas lo mismo y su peso es mayor que el de las falsas, que tambien

pesan todas lo mismo. Indicar de que manera se pueden seleccionar 26 monedas autenticas

realizando solo dos pesadas en un balanza de dos platos.

Solucion. Para la primera pesada, ubicamos 52 monedas en cada platillo. Si los platillos se

equilibran significa que en cada platillo hay exactamente un moneda falsa. Si un platillo tiene

sube y otro baja, el que baja (el mas pesado) tiene menos moneda falsas que el otro platillo.

Por lo tanto, el platillo mas pesado tiene a lo mas una moneda. Es decir, con la primera

pesada podemos seleccionar 52 monedas de las cuales a lo mas una de ellas es falsa.

Tenemos 52 monedas seleccionadas en la primera pesada. Colocamos 26 monedas en cada

platillo. Si los platillos se equilibran, no hay monedas falsas en ninguno de los dos platillos.

En caso contrario, el platillo que sube ( el que pesa menos) contiene una moneda falsa,

mientras que el platillo que baja no contiene monedas falsas. En cualquier de los casos, hemos

encontrado un platillo con 26 monedas verdaderas.

Actividades



3. Detalle la demostracion del Teorema 1.9.

4. Para investigar: En la ciudad de “Camorra”hay 1000 habitantes. Dos cualesquiera de

ellos o son amigos o son enemigos.

Cada dıa, a lo sumo uno de los habitantes se pelea con todos sus amigos y simultanea-

mente, se hace amigo de todos los enemigos; ademas de esto, en cualquier conjunto de

tres habitantes, los tres se hacen amigos entre sı. Demostrar que en un cierto numero

41




de dıas, todos los habitantes son amigos. ¿Cual es el menor numero de dıas suficiente

para ellos?.

5. Por induccion matematica demostrar que:

a. 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)2

b. 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

c. 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)6

d. 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =[

n(n+1)2

]2

6. Ilustrar con ejemplos concretos el algoritmo de Euclides.

42




1.5. Sesion 5: Potenciacion y Radicacion. Divisibilidad:

definiciones y teoremas

¿ Has traıdo ante mi a un hombre que no sabe contra sus

dedos?

Del libro de los muertos

Contextualizando: Descomponiendo un numero en potencias cubicas

Cierta vez un matematico llamado H. Hardy al visitar a su amigo Ramanujan, que estaba

enfermo en un hospital, le dijo: “Vine en el taxi 1729, el numero me parecio muy banal y espero

que no sea de mal aguero. Al contrario, contesto Ramanujan el numero es muy interesante,

es el menor numero que se puede expresar como suma de dos cubos en dos formas distintas:

1729 = 13 + 123 = 93 + 103

Debemos saber que Ramanujan al responder instantaneamente no lo hizo por arte de ma-

gia, sino como trabajaba constantemente con los numeros ya sabıa de los cubos perfectos de

memoria; solo tuvo que percatarse que dos de ellos sumasen 1729.

1.5.1. Potenciacion y Radicacion

Definicion 1.8. Sean a y n dos numeros naturales, la potencia an, esta dada por:

1) a0, a 6= 0

2) an = a · an−1, para n ≥ 1

Ası:a1 = a · a0 = a · 1 = a

a2 = a · a (2 factores)

a3 = a · a · a (3 factores)

a5 = a · a · a · a · a (5 factores)

Para n ≥ 2,

an = a · a · a · · ·a (n factores)

En la expresion an, el numero a se llama base y el numero n se llama exponente.

Observacion:

Se llama potenciacion a la aplicacion que hace corresponder a cada par de numeros naturales

(a, n) 6= (0, 0) la potencia an.

Note que (a, n) 6= (0, 0) no excluye las posibilidades (a, 0), con a 6= 0 ni (0, n) con n 6= 0,

casos en los cuales existen respectivamente las potencias a0 = 1 y 0n = 0.

43

Teorema 1.12 (propiedades de la potencia). Dado los numeros naturales a, b y m, n, se

cumplen las siguientes propiedades de la potencia:

1. (a · b)n = an · bn

2. am · an = am+n

3. (am)n = am·n

4. a < b ⇔ an < bn

Demostracion. La definicion formal de la potencia an y la demostracion de sus propiedades

(teorema 1.12) se efectuan usando induccion matematica. A manera de ejemplo probemos

la afirmacion a):

a) (i) Sean n = 1, entonces

(a · b)n = (a · b) = a1 · b1 = an · bn

(ii) Supongamos ahora q la propiedad es verdadera para n = h ≥ 1; es decir,

(a · b)h = ah · bh (Hipotesis inductiva)

Probaremos la validez de esta afirmacion para n = h + 1. En efecto:

(a · b)h+1 = (a · b) · (a · b)h Por definicion de potencia (II)

= (a · b) · ah · bh Por Hipotesis Inductiva

= (a · ah) · (b · bh) Asociado y conmutado

= ah+1 · bh+1 Por definicion de potencia (II)

Por lo tanto,

(a · b)n = an · bn

Definicion 1.9. Sean a y n numeros naturales, n ≥ 1. Se llama raız n-esima de a y se denotan√

a, al numero natural b, si existe, tal que bn = a.

Simbolicamente n√

a = b ⇔ bn = a

En la expresion n√

a; diremos que n es el ındice del radical, y a es el radicando.

Teorema 1.13. Dados a, b ∈ N y n ≥ 1, se tiene:

a) Si n√

a y n√

b existen, entonces existe n√

ab y ademas n√

ab = n√

a · n√

b

b) Si n√

a existe, entonces existe n√

am y n√

am = ( n√

a)m

c) Si n√

m√

a existe, entonces existen mn√

a y m√

n√

a y mn√

a = m√

n√

a

d) Si 0 < a < b y existe m√

a ym√

b

44

Demostracion. La prueba se deja como ejercicio.

1.5.2. Sistema de Numeracion Decimal

En el Sistema Decimal se emplean diez sımbolos, conocidos como dıgitos o cifras: 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que fueron introducidos en la definicion 1.5; para representar a todos los

numeros naturales. Por eso se llama tambien sistema de base 10.

Teorema 1.14. Si m es un numero natural diferente de cero, entonces

m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · ·+ a2 × 102 + a1 × 10 + a0

donde ai ∈ N, an 6= 0 y 0 ≤ a < 10, para todo i = 0, 1, 2, 3, . . . , n.

Esta expresion se llama expresion decimal de m y se denota por:

m = anan−1 · · ·a2a1a,

de donde m es un numero natural de n + 1 cifras: a0, a1, a2, . . . , an

Demostracion. (Por induccion sobre m)

I) Si m = 1, la expresion decimal es

m = a = a0, donde 0 ≤ a0 = 1 < 10

II) Si m > 1, supongamos inductivamente que la tesis del teorema es verdadera para todo

numero natural menor que m, probaremos que lo es tambien para m.

Por el algoritmo de la division:

Existen r, q, unicos, tales que m = 10q + r con 0 ≤ r < 10.

Pero q < m, entonces el teorema es valido para q, es decir

q = at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · · + a2 × 102 + a1 × 10 + a0, con a ≤ ai < 10

Luego,

m = 10(at × 10t + at−1 × 10t−1 + · · ·+ a2 × 102 + a1 × 10 + a0) + r

= at10t+1 + at−110t + · · ·+ a2103 + a1102 + a010 + r

que es una expresion polinomica en base 10, equivalente al numero m.

La unicidad resulta de la unicidad del resto de la division por 10.

45




Demostracion. En la expresion decimal de m

m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · · + a1 × 10 + a0 = anan−1 · · ·a2a1a0

cada cifra tiene una denominacion, la cual es:

a0 se llama cifra de las unidades (100 = 1: una unidad)

a1 cifra de las decenas (101 = 10: una decena)

a2 cifra de las centenas (102 = 100. una centena)

a3 cifra de las unidades de millar (103 = 1000: un millar o una unidad de millar)

a4 cifra de las decenas de millar (104)

a5 cifra de las centenas de millar (105)

a6 cifra de las unidades de millon (106), etc.

1.5.3. Divisibilidad: Definiciones y Teoremas

Definicion 1.10. Sean a y b dos numeros naturales con b 6= 0. Diremos que a es divisible

por b si existe un numero natural n tal que a = bn. Si a es divisible por b, diremos que b es

divisor de a o que b divide a a y lo denotaremos ba. En caso contrario, escribiremos b|a

Sean a, b ∈ N, diremos que a es multiplo de b o b es submultiplo de a si, y solo si existe

k ∈ N tal que a = bk

Ejemplo 1.23.

a) 189 es divisible por 21, pues 189 = 21 × 9

b) 3a5 es divisible por 5, pues 3a5 = 3a0 + 5 = (3a × 2 + 1) × 5

Observaciones:

1) Como a = a · 1, para todo a ∈ N; entonces, todo numero natural es multiplo de 1, o 1 es

divisor de todo numero natural.

2) Como 0 = b ·0, para todo b ∈ N; el cero es multiplo de todo numero natural y todo numero

natural diferente de cero divide al cero.

46




En lo que sigue tendremos presente que si a 6= 0 entonces a > 0.

A continuacion, presentamos las propiedades mas importantes de la divisibilidad que pueden

ser demostradas usando la definicion de divisibilidad, el axioma de sustitucion y las propiedades

de la adicion y multiplicacion de los numeros naturales.

Teorema 1.15. Sean a, b y c numeros naturales. Se cumplen las siguientes propiedades:

1) a/a para todo a 6= 0 (Reflexiva)

2) Si a|b y b|c, entonces a/c (Transitiva)

3) Si a|b, entonces a|bc para todo natural c

4) Si a|b, entonces ac|bc, ∀ c 6= 0

5) Si ab|c, entonces a|c y b|c.

6) Si a|b y a/c, entonces a|(b + c).

Mas generalmente:

Si a/bi(i = 1, 2, . . . , n), entonces a/(m1b1 + m2b2 + · · ·+ mnbn) ∀ mi ∈ N

7) Si a|(b + c) y a|b, entonces a|c

8) Si a|b, a|c y b > c, entonces a|(b − c).

Demostracion. 1. Sea a 6= 0. Como a = a · 1 entonces a/a.

2. Si a|b y b|c, por definicion existen numeros naturales m y n tales que b = am y c = bn.

Luego, c = (am)n = a(mn). De ahı que a|c.

3.

a/b ⇒ b = ka, k ∈ N

⇒ bc = a(kc), en particular ∀ c 6= 0

⇒ a/bc

4. Si a|b, existe m ∈ N tal que b = am.

Entonces bc = cam, de donde ac|bc, c > 0

5. Como a|ab y ab|c entonces, por transitividad, a|c.Similarmente, b|ab y por hipotesis ab|c, entonces b|c

47




6. Si a|b y a|c, por definicion existen numeros naturales m y n tales que b = ma y c = na.

O sea

b + c = ma + na,

es decir b + c = (m + n)a.

Luego, por definicion de divisor, resulta que a|(b + c).

Del mismo modo y utilizando c) se demuestra el caso general.

7. y h) se demuestran facilmente utilizando f).

Ejemplo 1.24. a) Si 3|m y 3|n, entonces 3|(5m + 7n)

b) Si a = 7b + c, entonces 7|a si y solo si 7|c.

A continuacion presentamos un teorema de donde se deducen de manera natural, los criterios

de divisibilidad por 2, por 5 y por 10.

Teorema 1.16. Sea m un numero natural, entonces existe un numero natural b tal que

m = 10b + a0 donde a0 es la cifra de las unidades de la representacion decimal de m. Es

decir, si m = anan−1 · · ·a2a1a0, entonces m = 10b + a0, para algun numero natural b.

Los numeros an, an−1, . . . , a2, a1, a0 se llaman cifras del numero natural m.

Demostracion. Sea m un numero natural, m = anan−1 · · ·a2a1a0

Aplicando el algoritmo de la division, segun el teorema 1.14, su descomposicion en potencias

de 10 es:

m = an × 10n + an−1 × 10n−1 + · · ·+ a2 × 102 + a1 × 101

O sea

m = 10(an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · ·+ a2 × 101 + a1) + a0

Si ponemos b = (an × 10n−1 + an−1 × 10n−2 + · · · + a2 × 101 + a1), b es un numero natural y

se tiene que m = 10b + a0.

Daremos algunos criterios que nos permitan determinar si un numero natural dado es o no

divisible por otro, sin realizar la operacion de la division.

Corolario 1.3 (Divisibilidad por 2). Un numero natural es divisible por 2 si, y solo si, la

cifra de las unidades es un numero par.

Demostracion. Sea m un numero natural, entonces segun el teorema 1.16, existe un numero

natural b tal que m = 10b + a0.

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(⇒) Luego, si m es divisible por 2, como 10b = 2(5b) es divisible por 2, debe ser a0 divisible

por 2, segun el teorema 1.15(g).

(⇐) Recıprocamente, si a0 es divisible por 2, entonces m = 10b + a0 es divisible por 2, por

el teorema 1.15(f), con lo que termina la demostracion.

Observacion:

Del corolario 1.3, podemos concluir que un numero es par si, y solo si, la cifra de unidades es

par.


cifra de las unidades es cero o cinco.

Demostracion. Sea m un numero natural, por el teorema 1.16, m = 10b + a0 para algun

natural b.

(⇒) Luego, si m es divisible por 5, y 10b = 5 × 2b es divisible por 5, se sigue que a0 es

divisible por 5, segun el teorema 1.15(g).

Luego ∃ k ∈ N/5k = a0 y como a ≤ a0 < 10, reemplazando se tiene 0 ≤ 5k < 10

De donde se sigue que 0 ≤ k < 2, lo que implica que k = 0 ∧ k = 1 y en consecuencia

a0 = 0 ∧ a0 = 5

(⇐) Recıprocamente, si a0 es divisible por 5, entonces m debe ser divisible por 5 (por el

teorema 1.15(f)).

Observacion:

Es claro que 17658 no es divisible por 5, pues evidentemente la cifra de unidades no es 5 ni

cero, pero es posible determinar el resto de dividir 17658 por 5, sin efectuar la division:

17658 = 17655 + 3 = 5k + 3, con 0 ≤ r = 3 ≤ 5

Luego segun el algoritmo de la division, el resto es 3.

En el caso del numero 2000015926, este es un numero natural de la forma 5n + 1 o 5m + 6,

donde el resto de dividir (sin efectuar la division), tal numero por 5, es igual a 1.

Corolario 1.5 (Divisibilidad por 10). Un numero natural es divisible por 10 si, y solo si,

la cifra de unidades es cero.

49




La prueba se deja como ejercicio.

Teorema 1.17. Para todo numero natural n = c1cr−1 · · · c2c1c0, existe un numero natural

k, tal que n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)

Demostracion. Sea el numero n, el cual descomponemos en unidades, decenas, centenas, mil-

lares, etc.; o sea:

n = c0 + 10c1 + 102c2 + 103c3 + 104c4 + · · · + 10rcr

donde r es un numero natural.

Por otra parte se tiene que:

c0 = c0

10c1 = (9 + 1)c1 = 9k1 + c1

102c2 = (99 + 1)c2 = 9k2 + c2

10rcr = (99 . . . 9 + 1)cr = 9kr + cr

Sumando miembro a miembro y aplicando la distributiva:

n = 9(k0 + k1 + k2 + · · ·+ kr) + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)

luego existe el numero natural k = (k0 + k1 + k2 + · · ·+ kr), tal que:

n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)


suma de sus cifras es multiplo de 3.

Demostracion. Sea n un numero natural, por el teorema 1.17,

n = 9k + (c0 + c1 + c2 + · · ·+ cr)

n = 3(3k) + (c0 + c1 + c2 + · · · + cr)

Entonces n es divisible por 3 si, y solo si, la suma de sus cifras (c0 + c1 + c2 + · · · + cr) es

divisible por 3.

Observacion:

El numero natural 18458 no es divisible por 3, pues 1+8+4+5+8=26 no es multiplo de 3. Pero

es importante notar que si la suma hubiera resultado 24 en lugar de 26, tendrıamos un numero

50




divisible por 3, entonces si restamos esa diferencia de 2 unidades al numero 18458, tendremos

el mayor multiplo de 3, menor que 18458, es decir, usando este criterio de divisibilidad por 3,

18458 = 3k + 2, k natural

obteniendo (sin dividir), que el resto de la division de 18458 por 3 es 2. (El mismo que deja

la suma de cifras, al aplicarle el criterio de divisibilidad por 3)


suma de las cifras es multiplo de 9.

Demostracion. Analogo al caso de divisibilidad por 3, se deja como ejercicio.

Teorema 1.18 (Divisibilidad por 11). Por comodidad consideremos un numero de cuatro

cifras pero el teorema vale en general

Un numero natural abcd es divisible por 11, si la diferencia, que exista, entre las sumas de

las cifras de lugar impar, contando de derecha a izquierda, y las de lugar par, es divisible

por 11.

Demostracion. Sea el numero n, que descomponemos ası:

n = d + 10c + 102b + 103a

Por otra parte

d = d

10c = (11 − 1)c = 11k1 − c

102b = (99 + 1)b = 11k2 + b

103a = (1001 − 1)a = 11k3 − a

Sumando y simplificando:

n = 11(k1 + k2 + k3) + [(b + d) − (a + c)]

O bien

n = 11(k1 + k2 + k3) − [(a + c) − (b + d)]

Entonces n es divisible por 11 si y solo si la diferencia [(b + d)− (a + c)] o [(a + c)− (b + d)],

segun la diferencia que exista en N, es multiplo de 11.

De manera analoga se puede extender esta idea a numeros de mas cifras.

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Problemas Resueltos

Problema 1.4. ¿Que sucede con un numero de cinco cifras, si a su primera cifra se le aumenta

en dos, a la segunda se le disminuye en cinco, a la tercera se le disminuye en cuatro, a la cuarta

se le aumenta en uno y a la quinta se le disminuye en tres?

Solucion. Sea N el numero de cinco cifras. De los datos tenemos:

“A la primera se le aumenta en dos”: es decir la cifra que ocupa las decenas de millar se

aumenta en 2.

Luego tenemos que nos queda: N + 2 decenas de millar.

Razonando en forma analoga, tenemos:

N + 2 decenas de millar – 5 millares – 4 centenas + 1 decena – 3 unidades = N + 20 000

unidades – 5 000 unidades - 400 unidades + 10 unidades – 3 unidades = N + 14 607 unidades.

Luego, el numero aumenta en 14 607 unidades.

Problema 1.5. Se tiene un numero de 6 cifras que comienza a la izquierda con 2. si se hace

pasar la cifra 2, del sexto orden se encuentra, al primer orden se obtendra un nuevo numero

que serıa el triple del original. El numero primitivo es:

Solucion. Sea N el numero original, del enunciado:

“Pasar la cifra 2 del sexto orden al primer orden”. Lo que en primer lugar es “eliminar”dicha

cifra 2, mediante:

N − 2 × 105

Para pasarla al primer orden hacemos: [N − 2 × 105] × 10 + 2

Finalmente nos queda:

[N − 2 × 105] × 10 + 2 = 3N

10N − 2 × 106 + 2 = 3N

7N = 2 × 106 − 2

N =1 999 998

7= 285 714

Problema 1.6. Existen 6 numeros de dos cifras cada uno, formado por las diferentes com-

binaciones de unicamente 3 cifras distintas entre sı. ¿Cuantas veces es la suma de dichos 6

numeros, a la suma de las mencionadas 3 cifras?

Solucion. Sean a, b y c las tres cifras distintas. Los 6 numeros de dos cifras cada uno que se

pueden formar son:

ab, ba, ac, ca, bc, cb

Ahora del enunciado

ab + ba + ac + ca + bc + cb = 10a + b + 10b + a + 10a + c + 10c + a + 10b + c + 10c + b

= 22(a + b + c)

Es 22 veces la suma de las mencionadas 3 cifras.

52




Problema 1.7. Se desea repartir S/.1 000 000 entre cierto numero de personas, de tal modo

lo que les corresponda sea S/.1,00; S/.7,00; S/.49,00; S/.343,00; etc y que sea mas de seis

personas que reciban la misma suma. Determinar cuantos fueron los beneficiados.

Solucion. Del enunciado:

Un numero “a” de personas recibira S/.1

Un numero “b” de personas recibira S/.7

Un numero “c” de personas recibira S/.72

Un numero “d” de personas recibira S/.73

y ası sucesivamente, tal que a, b, c, etc. sean menores que 7.

Observamos que para que ocurra esto, que es suficiente con pasar: S/.1 000 000 a base 7 y

cada coeficiente x de 7k sera el numero de personas que reciben la cantidad 7k.

Ası:

1 000 000 = 11333311(7)

= 1 × 77 + 1 × 76 + 3 × 75 + 3 × 74 + 3 × 73 + 3 × 72 + 1 × 7 + 1

El numero de beneficiados es: 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 16.

Problema 1.8. ¿Cuantos numeros de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra

par y por lo menos una cifra impar?

Solucion. Sean U = conjunto de todos los numeros de tres cifras, entonces

n(U) = 900

[n(u) = numero de elementos del conjunto]

A = conjunto con por lo menos una cifra par/A ⊂ U

B = conjunto con por lo menos una cifra impar/B ⊂ U

Nos piden n(A ∩ B) =?

Por teorıa de conjuntos: (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)c = U , donde:

(A ∩ B) ∩ (A ∩ B)c = ∅

Luego:

n(A ∩ B) + n(A ∩ B)c = n(U) (1)

entonces

n(A ∩ B) = 900 − n(A ∩ B)c (2)

Pero (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Donde:

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Ac = conjunto con ninguna cifra par/Ac ⊂ U

Bc = conjunto con ninguna cifra impar/Bc ⊂ U

Sea abc un numero de cifras cualesquiera.

Para Ac:

La cifra a puede tomar 5 valores (que son 1, 3, 5, 7 y 9)

Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una

Luego el conjunto Ac tiene 5 × 5 × 5 = 125 elementos.

Es decir

n(Ac) = 125 (3)

Para Bc:

La cifra a puede tomar 4 valores (que son 2, 4, 6, 8 y 9)

Las cifras b y c, de igual modo, pueden tomar 5 valores cada una (0, 2, 4, 6, 8)

Luego el conjunto Bc tiene: 4 × 5 × 5 = 100

Es decir:

n(Bc) = 100 (4)

(3) y (4) en (2): n(A ∩ B)c = n(Ac ∪ Bc) = n(Ac) + n(Bc),

n(A ∩ B)c = 125 + 100 = 225 (5)

(ya que Ac ∩ Bc = ∅)(5) en (1): n(A ∩ B) = 900 − 225 = 675

Problema 1.9. ¿Cual es el menor numero natural N , tal que restandole una unidad a su

primera cifra de la izquierda “a” y aumentandole una unidad se obtenga el producto de (a+2)

por el numero N despues de suprimir la cifra “a”?. Dar como respuesta la suma de cifras de

dicho numero N .

Solucion. Supongamos que el numero N tiene n cifras. Del enunciado:

(N − 1 × 10n−1) + 1 = (a + 2)[N − a × 10n−1]

N − 10n−1 + 1 = (a + 2)N − a(a + 2) × 10n−1

[(a + 2) − 1]N = a(a + 2) × 10n−1 − 10n−1 + 1

= [a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1

N =[a(a + 2) − 1] × 10n−1 + 1

a + 1(1)

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De (1) observamos que el numerador es un numero (que termina en uno), luego para que

exista N tenemos que a + 1 debe ser impar, mas aun debe ser 3 o 7 o 9. Es decir a = 2; 6; 8

Si a = 2 en (1)

N =7 × 10n−1 + 1

3=

(n−1) cifras︷︸︸︷700 . . . 01

3

Donde tenemos que para ningun valor de n, N es entero.

Si a = 6 en (1):

N =47 × 10n−1 + 1

3=

(n−1) cifras︷︸︸︷4700 . . . 01

3

efectuando la division4 7 0 0 . . . 0 1 7

5 0 671

1 0

3 . . .

Del esquema observamos que conviene “bajar” un cero mas, y despues “bajar”la unidad.

Nos queda:

N =470 001

=67 143

La suma de las cifras es: 6 + 7 + 1 + 4 + 3 = 21.

Problema 1.10. El guardian de un pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo,

cada 5 metros y en la direccion Norte un total de 27 arboles y ademas puede sacar agua del

pozo cada vez que para el riego de un solo arbol. ¿Cuanto tiene que andar diariamente para

regar los 27 arboles y regresar al pozo?

Solucion. Se observa que para regar un arbol y regresar al pozo, el guardian recorre el doble

de la distancia que hay del pozo al arbol respectivo.

Ası, para el primer arbol recorre 10 m; para el segundo arbol recorre 20 m y ası sucesivamente.

LA distancia recorrida es:

10 + 20 + 30 + · · · = 1 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 + · · ·+ 27 × 10

= 10[1 + 2 + 3 + · · ·+ 27] = 10

[27(27 + 1)

2

]

= 10[27 × 14] = 3 780

Problema 1.11. Se debe almacenar 610 postes cilındricos en un espacio abierto disponible sin

paredes, que solo permite poner horizontalmente 40 postes, formando ası un lecho horizontal

de 40 postes. Formado el primer lecho en el suelo, cada lecho sucesivo debe contener un poste

menos que el precedente para no derrumbarse. Se pregunta, ¿cuantos lechos deben armarse?.

Solucion. Del enunciado:

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1. El primer lecho esta formado con 40 postes

2. El segundo lecho esta formado con 39 postes

3. El ultimo lecho esta formado por “u” postes

Como el total de postes es 610, tenemos que:

[1 + 2 + 3 + · · ·+ (u − 1) + u + (u + 1) + · · ·+ 39 + 40]−−[1 + 2 + 3 + · · · + (u − 1)] = 610

(40)(41)

2− (u − 1)(u)

2= 610

u(u − 1) = 420

u = 21

Ahora como el primer lecho tiene 40 postes y el ultimo tiene 21, el total sera de 20.

Problema 1.12. Se desea empapelar las paredes de una sala rectangular de 15 m de largo,

5 m de ancho y 6 m de altura. La sala tiene 4 ventanas de 1, 5 m por 2 m. ¿Cuantas piezas de

papel colomural de 10 m por 80 cm c/u, deberan comprarse?

Solucion. Graficamos la sala rectangular

La superficie a empapelar es:

SE = [2(5 × 6) + 2(15 × 5)] − 4(1,5 × 2) = 198 m2

En cada pieza entera entra una superficie de

Sp = 10(0,80) = 8 m2

El total de las piezas a comprarse es 198/8 = 24,75; lo que por aproximacion son 25 piezas.

Actividades

1. La suma de algunos naturales es igual a 12. ¿Cual es el maximo valor que puede tomar

el producto de dichos numeros?

Por ejemplo: 7 + 5 = 12 ⇒ 7 × 5 = 35.

56

2. Demostrar que:

a) Si a < b y c < d, entonces a + c < a + d; a · c < b · db) 2a · b ≥ a2 + b2

c) 0 < a < b ⇒ a2 < b2, a3 < b3

3. Adela es una vendedora de fosforos, vendio la cuarta parte del numero de cajitas de

fosforos que tenıa a 20 centimos cada cajita y la novena parte a 18 centimos cada una.

Si por las dos ventas obtuvo en total entre S/. 7 y S/. 14, ¿cuantas cajitas de fosforos

como maximo tenıa ella inicialmente?

Rpta. 180

4. Hallar todos los numeros naturales n tales que 100 < n < 300, y sean divisibles por 4,

pero no por 3.

Rpta. 33

57




1.6. Sesion 6: Numeros primos, maximo comun divisor,

mınimo comun multiplo

Para Tales... la cuestion primaria no era que sabemos, sino

como lo sabemos.

Aristoteles

Contextualizando: Propiedades interesantes de los numeros

El libro “The penguin Dictionary of Carious Numbers (1986)”, de David Weills, es uno de los

libros mas notables dentro de la teorıa de numeros. este libro contiene numeros fascinantes y

sus propiedades, algunos de los cuales se aprecian aquı.

Los numeros 113, 199 y 337 con los unicos tres numeros de tres dıgitos que son primos y que

cualquier combinacion de sus dıgitos es un numero primo.

Determine la suma de los cubos de los dıgitos de 136: 13 + 33 + 63 = 244.

Repite el proceso con los dıgitos de 244: 23 + 43 + 43 = 136.

Estamos de regreso en donde empezamos.

El numero 635 318 657, es el mas pequeno que puede expresarse de dos formas distintas, como

la suma de dos cuartas potencias: 635 318 657= 594 + 1584 = 1334 + 1344.

El numero 24 678 050 tiene una propiedad interesante: 24 678 050= 28 + 48 + 68 + 78 + 88 +

08 + 58 + 08.

El numero 3 435 tiene esta propiedad: 3 435= 33 + 44 + 33 + 55.

1.6.1. Numeros Primos

Como sabemos, un numero entero positivo se llama primo si y solo si es divisible por 1 y por

si mismo. Los numeros primos gozan de gran popularidad en las matematicas desde el tiempo

de los griegos clasicos. El estudio de la distribucion y propiedades de los numeros primos

forma una de las partes mas bellas y profundas de las matematicas: La teorıa de los numeros.

Definicion 1.11. Sea p un numero natural, p > 1, decimos que p es un numero primo si, y

solo si, sus unicos divisores son 1 y p.

Ejemplo 1.25. a) 7 es primo, pues no tiene mas divisores que 1 y el mismo 7.

b) 12 no es primo, pues tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

58




c) Los 25 primeros numeros primos son:

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29

31 37 41 43 47

53 59 61 67 71

73 79 83 89 97

Observacion:

1) El numero 2 es el unico numero par que es primo.

2) Los unicos numeros primos consecutivos son 2 y 3.

3) Todos los numeros primos, mayores o iguales que 5, tienen la forma 6k ± 1.

4) A los pares de primos de la forma 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, 17 y 19, etc. se les llama primos

gemelos.

Un resultado fundamental nos dice que los numeros primos pueden verse como ladrillos con-

structores de los demas numeros . En efecto, tenemos el siguente resultado, conocido como el:

Teorema 1.19. “Teorema Fundamental de la Aritmetica” Todo numero natural

n > 1, se puede expresar como producto de un numero finito de numeros primos, en forma

unica, salvo el orden de sus factores.

Conocemos muchos numeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... ¿hasta donde podemos seguir? Uno de

los primeros resultados matematicos de la antiguedad de los que se tiene noticia es la de-

mostracion por Euclides de la existencia de infinitos numeros primos. Esta demostracion es

todavıa una muestra de la elegancia que puede tener un argumento matematico.

Teorema 1.20. Existen infinitos numeros primos.

Demostracion. Aquı seguiremos la demostracion de Euclides.

Supongamos que solo existe un numero finito de primos, digamos p1, p2, p3, . . . , pn.

Con estos primos construimos el numero N = 1 + p1 × p2 × p3 × · · · × pn.

Como N > 1, N es primo o es un producto de primos. Pero N no es primo, pues N > pk

para todo k = 1, 2, . . . , n, esto quiere decir que N es mayor que todos los primos que hemos

supuesto que existen y por tanto N no puede ser primo. Sin embargo, N tampoco es producto

de primos, pues ninguno de los pk divide a N (si alguno de los pk dividiera a N , pongamos

p1|N , tendrıamos que p1|N y p1|p1×p2×p3×· · ·×pn, y de ahı que p1|(N−p1×p2×p3×· · ·×pn),

es decir p1|1, lo cual es un absurdo ya que p1 > 1). Este hecho contradice el teorema anterior

59




y por ello nuestra suposicion de que solo existe un numero finito de primos no es cierta; por

tanto, existen infinitos numeros primos.

Observacion:

1) Encontrar todos los numeros primos menores que un numero natural dado, n, resulta muy

complicado para valores de n muy grande. Una tecnica razonable para n relativamente

pequeno, es la llamada Criba de Eratostenes, que consiste en escribir todos los numeros

de 2 hasta n, y luego ir tachando todos los multiplos de 2 a excepcion del numero 2,

pues tales numeros pares no son primos, luego tachar de los restantes eliminando todos los

numeros multiplos de 3, excepto 3, por ser numeros compuestos, se repite el proceso con

los multiplos de 5, excepto el 5, luego los multiplos de 7, excepto el 7, etc.

− 2 3 �4 5 �6 7 �8 �9 ��10 11 ��12 13 ��14 ��15 ��16

17 ��18 19 ��20 ��21 ��22 23 ��24 ��25 ��26 ��27 ��28 29 ��30 31 ��32

��33 ��34 ��35 ��36 37 ��38 ��39 ��40 41 ��42 ��44 ��45 ��46 47 ��48 ��49

��50 ��51 ��52 53 ��54 ��55 ��56 ��58 ��57 59 ��60 61 ��62 ��63 ��64 ��65

��66 67 ��68 ��69 ��70 71 ��72 73 ��74 ��75 ��76 ��77 ��78 79 ��80 ��81

��82 83 ��84 ��85 ��86 ��87 ��88 89 ��90 ��91 ��92 ��93 ��94 ��95 ��96 97

��98 ��99 ��100 101 ��102 103 ��105 ��106 107 ��108 109 ��110 ��111

��112 113 ��114 ��115 ��116 ��117 ��118 ��119 ��120 ��121 ��122 ��123 ��124

��125 ��126 127 ��128 ��129 ��130 131 ��132 ��133 ��134 ��135 ��136 137

��138 139 ��140 ��141 ��142 ��143 ��144 ��145 ��146 ��147 ��148 149 ��150

En esta tabla los numeros que no fueron tachados son primos.

2) Sea a ∈ N, a 6= 0, por el teorema 1.18, a es divisible por algun numero primo. Un criterio

para determinar si el numero a es primo, es verificar si algun numero primo entre 2 y b,

donde b es el mayor numero natural tal que b2 ≤ a, es un divisor de a. Si ninguno de estos

primos divide al numero a, entonces a es primo.

En general este es un teorema (Criterio de Eratostenes):

Si todo p primo tal que p ≤ √n no divide a n, entonces n es primo.

Por ejemplo sea a = 217 tiene raız cuadrada entre 14 y 15. Consideremos todos los numeros

primos entre 2 y 14: 2, 3, 5, 7, 11 y 13, usando los criterios vemos que no es divisible por

2, 3, ni 5, pero si por 7, luego 217 no es primo.

En cambio para el numero 313, cuya raız esta entre 17 y 18, consideramos los numeros

primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17. Comprobamos que ninguno de ellos divide a 313, luego 313

es un numero primo.

1.6.2. Maximo Comun Divisor

Definicion 1.12. Un numero d que divide a dos numeros naturales a y b, se llama divisor

comun de a y b. Por ejemplo, 1 es un divisor comun de todo par de numeros naturales a y

60

b.

Definicion 1.13. Dados a, b en N, diferentes de cero, y sea d 6= 0 en N, decimos que d es el

maximo comun divisor (MCD) de a y b si y solo si:

1. d|a y d|b

2. Si d′|a y d′|b ⇒ d′|d

El maximo comun divisor (MCD) de a y b es denotado por MCD(a, b) o simplemente <

a, b >. Si < a, b >= 1 diremos que a y b son coprimos o primos entre sı.

Dados dos numeros naturales, se demuestra que el MCD existe y es unico. La demostracion

de esta propiedad en Z se da en el siguiente capıtulo. A continuacion enunciamos algunos

teoremas importantes.

Teorema 1.21. El MCD posee las siguientes propiedades:

(a) 〈a, b〉 = 〈b, a〉 (ley conmutativa)

(b) 〈a, 〈b, c〉〉 = 〈〈a, b〉 , c〉 (ley asociativa)

(c) 〈ac, bc〉 = c 〈a, b〉 (ley distributiva)

(d) 〈a, 1〉 = 〈1, a〉 = 1

(e) 〈a, 0〉 = 〈0, a〉 = |a|, para todo a 6= 0

Nota

En virtud de la propiedad asociativa del MCD : 〈a, 〈b, c〉〉 = 〈〈a, b〉 , c〉, podemos tambien

escribir MCD(a, b, c) o 〈a, b, c〉.

Ejemplo 1.26. a) 〈80, 72〉 = 8

b) 〈420000, 264000〉 = 1000 × 〈420, 264〉 = 1000 × 12 = 12000

c) Sea n ∈ N, n 6= 31, entonces

(217n, 308n2) = n × (217, 308n) = n × 7 × 〈31, 44n〉 = 7 × n × 1 = 7n

Observacion:

a) Para obtener el maximo comun divisor es necesario conocer los numeros primos, y las

propiedades de los numeros primos relativos.

b) La propiedad (c) del teorema 1.20: 〈ac, bc〉 = c · 〈a, b〉, es la que justifica la validez de la

llamada regla practica para calcular el MCD.

61

Teorema 1.22. Si un numero primo p no divide a n, entonces el unico divisor comun de

p y n es la unidad.

Demostracion. Sea d = 〈p, n〉. Entonces d|p, luego o d = 1 o d = p. Pero d|n, luego d 6= p

pues p no divide a n. Entonces d = 1.

Teorema 1.23. Si un primo p divide a ab, entonces p|a o p|b.En general, si un primo p divide a un producto a1a2 . . . an, entonces p divide, por lo menos,

a uno de los factores.

Observacion:

Tal como se dijo, cuando a divide a b, lo denotamos con a|b; que tambien significa: “a es factor

de b”, “a es divisor de b”, “b es multiplo de a”.

En el caso de que “a no divide a b”lo denotaremos por a/b.

Teorema 1.24. Sean a, b numeros naturales, no nulos.

a) Si a|b y b|a entonces a = b

b) Si a es multiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el

conjunto de los divisores b; en particular, 〈a, b〉 = b.

c) Si a = bq + r entonces el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el

conjunto de los divisores comunes de b y r.

En particular 〈a, b〉 = 〈b, r〉.Para hallar el 〈a, b〉 ası como para deducir sus propiedades principales, se emplea el

Teorema 1.25. [calculo del M.C.D mediante divisiones sucesivas] Dados los numeros nat-

urales a, b, b > 0, si:

a = bq1 + r1 0 < r1 < b

b = r1q2 + r2 0 < r2 < r1

r1 = r2q3 + r3 0 < r3 < r2

rn−2 = rn−1qn + rn 0 < rn < rn−1

rn−1 = rnqn+1 + rn+1, este proceso es finito y finaliza cuando se obtiene rn+1 = 0.

Luego resulta rn = 〈a, b〉

62




Aplicando el teorema 1.24(c), vemos que:

(a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = (r2, r3) = · · · = (rn−1, rn) = rn

Ası, se obtienen los siguientes resultados:

1. El conjunto de los divisores comunes de los numeros a y b coincide con el conjunto de

los divisores de su maximo comun divisor.

2. Este maximo comun divisor es igual a rn, es decir, es igual al ultimo resto del algoritmo

de Euclides, distinto de cero.

Teorema 1.26. 1. 〈am, bm〉 = 〈a, b〉m, para todo m, numero natural.

2. Si d = 〈a, b〉 y a = dα, b = dβ, entonces 〈α, β〉 = 1

3. Sea p primo,

〈q, p〉 = 1 si y solo si p no divide a q

〈q, p〉 = p si y solo si p|q

4. Si p es primo y p|ab ⇒ p|a o p|b

5. Si 〈a, b〉 = 1 ∧ a|bc ⇒ a|c

6. Si 〈a, b〉 = 1 ∧ 〈a, c〉 = 1 ⇒ 〈a, bc〉 = 1

Este teorema tiene multiples aplicaciones, como por ejemplo en el calculo del numero, de la

suma y del producto de los divisores de un numero dado.

Propiedades analogas a las de este teorema estan demostradas en el capıtulo 3.

Un numero arbitrario n, por el Teorema Fundamental de la Aritmetica, puede descomponerse

como producto de sus factores primos:

n = aα · bβ · · · cγ

Los divisores de n segun los terminos del desarrollo son:

a0, a1, a2, a3, . . . , aα : (α + 1) divisores

b0, b1, b2, b3, . . . bβ : (β + 1) divisores

. . .

c0, c1, c2, c3, . . . cγ : (γ + 1) divisores

Luego el numero total de divisores de n es: (α + 1)(β + 1) . . . (γ + 1)

Ejemplo 1.27. Tres varillas metalicas que miden 5, 25m, 7, 35m y 8, 40m seran cortadas en

trozos de igual longitud. Si la longitud de cada trozo es la maxima posible, ¿cuantos trozos

se tendran?

63




Solucion:

Sea L la longitud de cada trozo.

L divide a 525, 735 y 840. Ademas L es el maximo posible, entonces

L = MCD(525, 735, 840) = 105

Luego, el numero total de trozos que se obtendran es

n =525

105+

735

105+

840

105= 20

Ejemplo 1.28. Un campesino desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rect-

angular de 384m de largo y 216m de ancho. Si en cada vertice de las parcelas plantara un

arbol, ¿cual sera el mınimo numero de arboles que empleara?

Solucion:

Sea L la longitud del lado de las parcelas cuadradas.

L divide a 384 y 216. Ademas, para que el numero de arboles sea el menor posible, la distancia

L entre ellos debe ser la maxima. Entonces

L = MCD(216, 384) = 24

Luego,

numero de parcelas =216

24× 384

24= 9 × 16 = 144

y

numero de arboles = 10 × 17 = 170

1.6.3. Mınimo comun Multiplo (M.C.M)

Todo numero natural que es un multiplo de todos los numeros dados se llama multiplo comun

de los mismos. El menor multiplo comun positivo se llama Mınimo Comun Multiplo.

Formalmente, definimos el mınimo comun multiplo como sigue:

Definicion 1.14. Dados a, b ∈ N, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el

mınimo comun multiplo (MCM) de a y b si, y solo si,

i) a|m b|m

ii) Si a|m′ y b|m′, entonces m|m′

Notacion:

m = [a, b] = MCM(a, b)

A continuacion presentaremos algunos resultados, sin demostracion.

64




Teorema 1.27. 1. El conjunto de los multiplos comunes de dos numeros coinciden con

el conjunto de los multiplos de su mınimo comun multiplo.

2. El mınimo comun multiplo de dos numeros, es igual al producto de dichos numeros,

dividido por su maximo comun divisor

[a, b] · 〈a, b〉

En particular, si

〈a, b〉 = 1 ⇒ [a, b] = ab

Ası por ejemplo,

〈12, 11〉 = (12)(11) = 132

3. [a, b] = [b, a] (propiedad conmutativa)

4. [a, [b, c]] = [[a, b], c] (propiedad asociativa)

En virtud de esta propiedad d), podemos escribir simplemente el MCM(a, b, c) o [a, b, c] =

[[a, b], c].

Ejemplo 1.29. En un almacen hay 1908 barras de jabon todas con las mismas dimensiones

24cm × 16cm × 8cm. ¿Cual es el maximo numero de cajas cubicas que se necesitaran para

empaquetarlas? Si todas deben estar completamente llenas?

Solucion:

Sea L la longitud del lado de la caja cubica.

Como las cajas deben estar completamente llenas, los jabones deben estar exactamente con-

tenidos en las cajas, es decir L debe ser un multiplo de 24, 16 y 8. Pero ademas se quiere el

mayor numero de cajas y para ello el volumen de las mismas debe ser el mınimo posible, en

consecuencia, L debe ser el menor posible.

Ası

L = M.C.M(24, 16, 8) = 48

Luego, en cada caja habra48

24× 48

16× 48

8= 36 jabones

y se necesitaran1908

36= 53 cajas

Problemas Resueltos

Problema 1.13 (*). Veronica, Ana y Gabriela situadas en una ronda se divierten con el

siguiente juego; una de ellas elige un numero y lo dice en voz alta; la que esta a su izquierda lo

65

divide entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta; la que esta a su izquierda

divide este ultimo numero entre su mayor divisor primo y dice el resultado en voz alta y

ası sucesivamente. Ganara aquella que deba decir en voz alta el numero 1, momento en que el

juego finaliza. Ana eligio un numero mayor que 50 y menor que 100 gano. Veronica eligio el

siguiente del que eligio Ana y Veronica tambien gano. Dar todos los numeros que pudo elegir

Ana.

Solucion. A medida que se desarrolla el juego, el numero inicial elegido va perdiendo uno

de sus factores primos cada vez que una persona dice el numero que le toca. De esta manera,

considerando que la cantidad de jugadoras es 3, para que a la persona que elige el numero

inicial n le toque decir el numero 1− y de esta manera ganar−n debe tener una cantidad de

factores primos multiplo de tres

Sea f(k) la cantidad de factores primos que tiene el numero k. El mayor valor de f(k) cuando

50 < k < 100 ocurre cuando k tiene todos sus factores iguales a 2. Luego, k = 26 = 64 es el

numero que tiene mas factores primos, en este caso, f(64) = 6. Tambien para 96 = 25 · 3 se

cumple que f(96) = 6.

Los otros valores de n que permiten que una persona que elige este numero pueda ganar,

deben satisfacer.

f(n) = 3

Esto significa que n = p · q · r, donde p ≤ q ≤ r son numeros primos.

Si el menor factor primo de n fuera mayor o igual que 5, entonces n ≥ 5 · 5 · 5 = 125, lo cual

no es admisible. Por lo tanto, p = 2 o 3.

Si p = 2, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son las

siguientes:

{2, 2, 13}, {2, 2, 17}, {2, 2, 19}, {2, 2, 23}, {2, 3, 11}, {2, 3, 13}, {2, 5, 7}, {2, 7, 7}

Los valores de n en estos casos 8 casos son

52, 68, 76, 92, 66, 78, 70, 98

Si p = 3, las ternas de primos cuyo producto es mayor que 50 pero menor que 100 son:

{3, 3, 7}, {3, 3, 11}, {3, 5, 5}

y los correspondientes valores de n son:

63, 99, 75

De este modo, los posibles valores de n son:

52, 63, 64, 66, 68, 70, 75, 76, 78, 92, 96, 98, 99

66




Como Ana y Veronica ganaron comenzando sus juegos con dos numeros consecutivos, estos

pueden ser, respectivamente,

63 y 64; 75 y 76; 98 y 99

Problema 1.14. Un objeto tiene por precio el numero de divisores de 3×2a×5b y un segundo

objeto tiene por precio el numero de divisores de 3×2a+3×5b. Si se sabe que el segundo cuesta

un 50 % mas que el primero y que un tercer objeto, que tiene por valor el mismo numero de

divisores 2a × 5b−2, cuesta un 60 % menos que el primero. ¿Cuanto cuesta el tercer objeto?

Solucion. Sean P1 · P2 y P3 los precios del primer, segundo y tercer objeto

Luego: P1 = 2(a + 1)(b + 1), P2 = 2(a + 4)(b + 1), P3 = (a + 1)(b − 1)

Ademas: P2 = P1 + 50 %P1 = 1,5P1 = 32P1

Luego: 2(a + 4)(b + 1) = 32· 2(a + 1)(b + 1) entonces a = 5

Tambien: P3 = P1 − 60 %P1 = 0,4P1 = 25P1

Luego: (a + 1)(b − 1) = 25· (a + 1)b + 1 entonces b = 9

Entonces P3 = (a + 1)(b − 1) = 6 × 8 = 48.

Problema 1.15. los divisores primos de un entero positivo A son 2 y 3, el numero de divisores

de su raız cuadrada es 12 y el numero de divisores de su cuadrado es 117. ¿Cuantos de tales

A existen?

Solucion. Tenemos A = 2m × 3n entonces√

A = 2m/2 × 3n/2

(m

2+ 1)(n

2+ 1)

= 12 (1)

Tambien A2 = 22m × 32n el numero de sus divisores es

(2m + 1)(2n + 1) = 117 (2)

De (1)

n =48

m + 2

En (2):

(2m + 1)(30 − m) = 39(m + 2)

⇒ m2 + 10m − 24 = 0 ⇒ (m − 6)(m − 4) = 0 ⇒ m1 = 6, m2 = 4

Luego: Si

m1 = 6 ⇒ n1 = 4; m2 = 4 ⇒ n2 = 6

Entonces:

A1 = 26 × 34 o A2 = 24 × 36

y existe 2 valores para A

67




Problema 1.16. ¿Cuantos enteros de tres cifras hay, cuyo cuadrado dividido por 31 da por

resto 16?

Solucion. Sea N el numero tal que

100 ≤ N ≤ 1000 (1)

Entonces:

N2 =0

31 + 16

N2 − 16 =0

31

(N − 4)(N + 4) =0

31

N − 4 = 31k ∨ N + 4 = 31k

donde k es un numero entero positivo.

Si N − 4 = 31k entonces N = 31k + 4. En (1):

100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000

96 ≤ 31k ≤ 996

3,09 ≤ k ≤ 32, 12

entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32

Luego k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, con lo cual hay 29 numeros de tres cifras de

la forma 31k + 4.

Si N + 4 = 31k entonces N = 31k − 4. En (1):

100 ≤ 31k + 4 ≤ 1000

96 ≤ 31k ≤ 996

3,35 ≤ k ≤ 32, 12

entonces k = 4; 5; 6;. . . ; 32

Con lo cual k puede tomar (32 − 4) + 1 = 29 valores, en cuyo caso hay 29 numeros de tres

cifras de la forma 31k − 4.

De ambos casos se observa que hay 29 + 29 = 58 numeros enteros de tres cifras.

Problema 1.17. Se tiene una determinada cantidad de dinero, la cual esta formada por un

grupo de monedas de 1 sol, un grupo de monedas de 5 soles, y por uno de billetes de 10 soles,

Esta cantidad de dinero se reparte entre una cantidad de 5 personas del modo mas equitativo

posible, sin cambiar ninguna moneda o billete por otras monedas de menos valor. Suponiendo

que cada uno recibio 12 monedas de un sol, 13 monedas de 5 soles y 14 billetes de 10 soles.

¿Calcular la suma de las cifras de la cantidad de dinero a repartir, sabiendo que esta cantidad

es multiplo de 80?

68

Solucion. Si cada persona recibio de un sol, entonces entre las 5 personas se repartio 60

monedas de un sol.

Como la reparticion fue del modo mas equitativo posible, entones como mınimo se disponıa

de 60 monedas de un sol y maximo 64 monedas de un sol.

De igual modo mınimo se tiene 325 soles y como maximo 345 soles en monedas de 5 soles.

En forma analoga se tiene como mınimo 700 soles y como maximo 740 soles en billetes de 10

soles.

Luego la cantidad de dinero a repartir tiene como valor mınimo:

60 + 325 + 700 = 1085 soles

y como maximo 64 + 345 + 740 = 1149 soles.

Ademas se sabe que esta cantidad es multiplo de 80, luego la cantidad buscada es: 80× 14 =

1120 soles

La suma de las cifras es: 1 + 1 + 2 + 0 = 4

Problema 1.18. El numero de alumnos que se encuentran en un aula es menor que 240 y

mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la

especialidad de ciencias. ¿Cual es la suma de los alumnos que usan anteojos de la especialidad

de ciencias?.

Solucion. Sea N el numero total de alumnos, entonces

100 < N < 240 (1)

Si los 27

de N usan anteojos y los 513

de N son de ciencias; entonces N debe ser multiplo de 7

y 13 a la vez.

Luego:

N =0

M.C.M.(7, 13) =0

91 ⇒ N = 91k, k ∈ Z (2)

(2) en (1):

100 < 91k < 240 ⇒ 1, 09 < k < 2, 68 ⇒ k = 2

En (2), N = 91 × 2 = 182

La suma pedida sera 27(182) + 5

13(182) = 52 + 70 = 122

Problema 1.19. El numero de pisos de un edificio esta comprendido entre 100 y 130. A

dicho numero le falta una unidad para ser multiplo de 3; le falta 6 para ser multiplo de 8 y le

sobran 2 para ser multiplo de 10. ¿Cual es el numero de pisos?.

Solucion. Sea N el numero de pisos del edificio.

Luego

100 < N < 130 (31)

69

si al numero de pisos de N lo disminuimos en 2, entonces resulta ser multiplo de 3; 8 y 10 a

la vez.

Luego:

N − 2 =0

M.C.M.(3; 8; 10) =0

120 ⇒ N =0

120 + 2 (2)

De (1) y (2) N = 122.

Problema 1.20. El numero de alumnos de un colegio esta comprendido entre 500 y 1000.

Si salen de paseo en grupos de 3 personas forman un numero exacta de grupos, los mismo

sucede si se salen en grupos de 5. El colegio esta conformado por secciones del mismo numero

de alumnos. El numero de secciones es igual al numero de alumnos por seccion, ¿cuantos

alumnos tiene el colegio?

Solucion. Sea N el numero de alumnos, entonces

500 < N < 1000 ((1))

Ademas

N =0

3, N =0

5 ⇒ N =0

15 ((2))

Tambien si m es el numero de alumnos por seccion (y el numero de secciones igual a m),

entonces:

N = m2 ((3))

De (2) y (3) N = 15k = m2. En (1) 500 < 15k = m21000

⇒ k = 15 × 4 ⇒ N = m2 = 15k = 15(15 × 4) = 900

Problema 1.21. Un tornero cuenta con tornillos que ha fabricado, por decenas por docenas,

y de quince en quince y siempre le resultan 9 sobrantes. Sabiendo que a razon de 10 soles

por tornillo obtiene un ingreso de mas de 5000 y menos de 6000 soles, hallar el numero de

tornillos fabricados

Solucion. Sea N el numero de tornillos.

Entonces:

5000 < 10N < 6000 ⇒ 500 < N < 600 ((1))

El numero de tornillos disminuido en 9 es un multiplo comun de 10, 12 y 15. Es decir:

N − 9 =0

M.C.M(10; 12; 15) =0

60 ⇒0

60 + 9 ((2))

De (1) y (2), N = 540 + 9 = 549

Problema 1.22. Sean A y B dos numeros enteros cuyo maximo comun divisor es 12 y la

diferencia de sus cuadrados es 20880. Hallar A − B

70




Solucion. Sea A > B y k el M.C.D. de ellos. Luego k = 12.

Como A = kp; B = kq, donde p ∧ q son primos entre sı, entonces:

A2 − B2 = 20880

k2(p2 − q2) = 20880

p2 − q2 =20880

k2

p2 − q2 =20880

144p2 − q2 = 145

(p + q)(p − q) = 145

(p + q)(p − q) = 29 × 5

De donde: p + q = 29 × p − q = 5. Luego: p = 17; q = 12

Por lo tanto: A = 12 × 17 = 204 y B = 12 × 12 = 144

Luego: A − B = 204 − 144 = 60

Problema 1.23. La suma de los numeros a y b es 651; el cociente entre su M.C.M. y M.C.D.

es 108, luego a − b es:

Solucion. Sea a > b, M el M.C.M. y k el M.C.D. de ellos.

Como a = kp; b = kq; donde p ∧ q son primos entre sı, entonces:

a + b = 651 ⇒ k(p + q) = 651 ((1))

DeM

k= 108 ⇒ kpq

k= 108 ⇒ pq = 22 × 33 = 4 × 27 ((2))

Como p ∧ q son primos entre sı, de (2) tenemos:

p = 27 ∧ q = 4

Luego en (1); k(31) = 651 ⇒ k = 21

Entonces: a = 21 × 27 = 567; b = 21 × 4 = 84 y

a − b = 567 − 84 = 483

Actividades

1. Escribir los modelos logicos de las proposiciones dadas en esta sesion

2. Demuestre por induccion que (a + b)n = ka + bn ∀ a, b, n ∈ N, para algun k ∈ N.

3. Demuestre que abcd = 7k + 6a + 2b + 3c + d para algun k ∈ N.

71




4. Demuestre que si d = MCD(a, b), entonces a = dα y b = dβ, donde α y β son primos

entre si.

5. Edgar desea dividir en parcelas cuadradas iguales, un terreno rectangular de 408 metros

por 216 metros. Si en cada vertice de cada parcela plantara un arbol, ¿cual sera el

mınimo numero de arboles que empleara? Rpta. 180

6. Se tiene 1872 barras de jabon cuyas dimensiones son 24, 16 y 8 cm. respectivamente.

¿Cuantas cajas cubicas como maximo se necesitan para empaquetarlas, si todas deben

estar completamente llenas? Rpta. 52

7. En un evento artıstico, por concepto de entradas se ha recaudado en 3 dıas S/. 5670, S/.

4998 y S/. 5628 respectivamente. ¿Cuantas personas han asistido en los 3 dıas, sabiendo

que el precio de la entrada ha sido el mismo y esta comprendio entre S/. 15 y S/. 40?

Rpta. 776

8. Para que un paquete con arroz que pesa mas de 6600g. complete un peso de 9 kg., se

puede utilizar un numero de pesas de 30g de 50g o de 80g, para lo cual cuenta con una

balanza de 2 platillos. ¿Cual es el peso exacto del paquete con arroz? Rpta. 7,8 kg.

9. En una companıa militar prestan servicios 250 hombres y cierto numero de ellos se

enfermaron. Si con el resto se forman grupos de 8, 10 y 12 hombres, siempre sobran 5 y

si se forman grupos de 7 hombres no sobra ninguno. ¿Cuantos militares se enfermaron?

Rpta. 5

10. Se dispone un terreno de forma rectangular de 540m por 120m el cual se quiere dividir

exactamente en parcelas cuadradas de igual area. Si se desea obtener entre 400 y 500

parcelas, hallar la suma de las cifras del lado (en metros) de cada parcela. Rpta. 3

72

Unidad 2

El sistema de los numeros enteros y

racionales. Su construccion y sus

aplicaciones

Objetivos

1. Definir axiomaticamente el sistema algebraico de los numeros enteros.

2. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros enteros.

3. Probar las propiedades de los numeros enteros.

4. Definir axiomaticamente el sistema algebraico de los numeros racionales.

5. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros racionales.

Contextualizando: Descifrando codigos

En el mundo actual, la informacion es un recurso valioso. todas las companıas privadas y los

gobiernos deben guardan cierto tipo de informacion es secreto. Los codigos se utilizan para

comunicar de manera segura informacion clasificada que debe decodificarse antes para que

pueda entenderse. Es esencia; que ul codigo sea facil de utilizar, pero muy difıcil de violar.

Uno de los codigos mas ampliamente utilizados en la industria, conocido como codigo RSA

se desarrollo en 1977. El codigo RSA empieza por cambiar el mensaje que ha codificarse por

un numero grande M . Despues de que se construye M , se transforma en un numero diferente

C mediante la formula C = Mk ( mod N) cuyos numeros k y N los conoce cualquiera. Por

lo regular, N contiene mas de 100 dıgitos. La unica forma conocida de decodificar C en M es

escribir primero N como producto de dos numeros unicos p y q, llamados numeros primos.

Aunque es facil factorizar un numero de dos dıgitos, como N = 21 en 3 × 7, habıa sido im-

posible hasta hace poco factorizar un numero de 120 dıgitos. Como consecuencia, los mensajes

73




codificados de esta manera han sido ininteligibles para quienes desconocen los valores de p y

de q.

En 1977, Ronald Rivest del MIT (Massachusets Institute of Technologic), desafio a los inves-

tigadores a que decodificaran un mensaje que utilizaba el codigo RSA, el cual tenıa una N con

129 dıgitos. Se habıa estimado, sin conocimiento alguno de p y q se llevarıa aproximadamente

20 000 anos descifrar este mensaje. Sin embargo con ayuda de la teorıa de los numeros, a 600

matematicos de 25 paıses diferentes les tomo solo 17 anos factorizar N en numeros primos de

64 y 65 dıgitos. El mensaje decodificado decıa: “las palabras magicas son fastidiosas osifrada”.

Como muchos codigos industriales de hoy en dıa utilizan de 130 a 140 dıgitos para N , podrıa

ser apropiado aumentar el tamano de N antes de que se violen los codigos importantes. En

esta unidad, estudiaremos el espacio donde es posible este tipo de soluciones.

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�

DESARROLLO TEMATICO

El olvido de las matematicas perjudica a todo el conocimiento,

ya que el que las ignora no puede conocer las otras

ciencias ni las cosas de este mundo.

Roger Bacon

2.1. Sesion 7: Definicion axiomatica de Z. Orden en Z.

Sustraccion en Z

Contextualizando: Construyendo el conjunto Z

En el Sistema de los Numeros Naturales, la suma y el producto de dos numeros naturales

siempre existen y son numeros naturales. En cambio, la diferencia y el cociente de dos numeros

naturales no siempre existen, por ejemplo 2− 3 o 23

no son numeros naturales, puesto que no

existen numeros naturales u y v tales que: 2 = 3 + u y 2 = 3 · v. En terminos algebraicos, en

N no es posible resolver ecuaciones como las siguientes: x + 3 = 2 o 3x = 2.

Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los Numeros Naturales, a un nuevo

conjunto que “lo contenga 2en el cual la suma, la diferencia y el producto de dos elementos de

este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto sera el de los Numeros

Enteros.

Una manera formal de introducir el conjunto de los numeros enteros Z es a partir de N. Se

define en N × N una adecuada relacion, de equivalencia, la cual determina una particion de

N × N, o sea el conjunto cociente al cual se le llama Z. Luego, se definen las operaciones de

adicion y multiplicacion en Z, obteniendose el sistema de los numeros enteros Z.

Como el caso del Sistema de los numeros naturales N se introducira, por razones didacticas,

el Sistema de Numeros Enteros Z usando el metodo axiomatico.

74




2.1.1. Definicion axiomatica de Z

El Sistema de los Numeros Enteros es un conjunto, denotado por Z, provisto de dos

operaciones internas llamadas adicion y multiplicacion.

• La Adicion es una operacion interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros (a, b) ∈Z×Z un unico numero entero llamado suma de a y b, denotado por a+ b. Simbolicamente:

+ : Z × Z, tal que (a, b) → a + b

Los numeros enteros a y b reciben el nombre de sumandos.

• La Multiplicacion es una operacion interna en Z, que asocia a cada par de numeros enteros

(a, b) ∈ Z × Z un unico numero entero llamado producto de a y b, denotado por a · b o

simplemente ab. Simbolicamente:

· : Z × Z → Z, tal que (a, b) → a · b

Los numeros a y b reciben el nombre de factores.

La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes diez axiomas:


Conmutatividad E1) a + b = b + a

∀ a, b ∈ ZE5) a · b = b · a

∀ a, b ∈ Z

Asociatividad E2) (a + b) + c = a + (b + c)

∀ a, b, c ∈ Z

E6) (a · b) · c = a · (b · c)

∀ a, b, c ∈ N

Elemento Neutro E3) Existe un unico numero

entero llamado cero

denotado por 0, tal que:

a + 0 = a ∀a ∈ Z

E7) Existe un unico

numero entero llamado

uno denotado por

1, tal que: a · 1 = a

∀a ∈ Z

Elemento Opuesto E4) Para todo a ∈ Z existe

un unico b ∈ Z, llama-

do opuesto de a y de-

notado por −a tal que:

a + b = 0 O

sea, a + (−a) = 0

Cancelacion E8) Si a · c = b · c ∧c 6= 0 entonces a = b

∀ a, b, c ∈ N

Distributividad E9) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ Z

75




Nota:





2.1.2. Consecuencias importantes de los axiomas anteriores

Teorema 2.1. Si a, b y c son numeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades:

Si a = b entonces a + c = b + c y ac = bc.

Corolario 2.1.

a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d

b) a = b ∧ c = d ⇒ a · c = b · d

Las demostraciones son analogas a las realizadas en N.

Teorema 2.2. Si a y b son numeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades:

a) a · 0 = 0

b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0

Las demostraciones son analogas a las realizadas en N.

Corolario 2.2.

Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0

A continuacion, mencionamos las propiedades mas importantes del opuesto de un numero

entero

76




Teorema 2.3. Si a y b son numeros enteros, se cumplen las siguientes propiedades:

a) −(−a) = a, para todo a ∈ Z

b) −(a + b) = (−a) + (−b)

c) (−1)a = −a

d) a(−b) = (−a)b = −(ab)

e) (−a)(−b) = ab

Demostracion.

1. Como (−a) es el opuesto de a y −(−a) es el opuesto de (−a), se tiene:

a + (−a) = 0 y (−a) + a = 0

luego, por la unicidad del opuesto, resulta a = −(−a)

2. El opuesto de a + b es −(a + b). Por otra parte

(a + b) + {(−a) + (−b)} = a + (b + (−a)) + (−b) (asociativa)

= a + ((−a) + b) + (−b) (conmutativa)

= (a + (−a)) + (b + (−b)) (asociativa)

= 0 + 0 = 0 (elemento opuesto y neutro)

Por lo tanto (−a) + (−b) es tambien el opuesto de a + b y como el opuesto es unico se

concluye que −(a + b) = (−a) + (−b).

3.a + (−1)a = a · 1 + a(−1) (elemento neutro y conmutativa)

= a(1 + (−1)) (distributiva)

= a · 0 = 0 (opuesto y teorema 2.2)

Ası, (−1)a es el opuesto de a, luego como el opuesto debe ser unico, se tiene que

(−1)a = −a.

4.a(−b) = a((−1)b) (parte (c))

= (a(−1))b (asociativa)

= ((−1)a)b (conmutativa)

= (−a)b (parte (c))

77




Ademas,

(−a)b = ((−1)a)b (parte (c))

= (−1)(ab) (asociativa)

= −(ab) (parte (c))

Por lo tanto

a(−b) = (−a)b = −(ab)

5.(−a)(−b) = (−a)((−1)b) (parte (c))

= ((−1)(−a)b) (asociativa y conmutativa)

= (−(−a)b) = ab (parte (c) y, luego, parte (a))

Por lo tanto

(−a)(−b) = ab

Teorema 2.4. [Cancelacion en la Adicion] Si a, b y c son numeros enteros, se tiene que:

a + c = b + c implica a = b

Demostracion. Si a + c = b + c entonces (a + c) + (−c) = (b + c) + (−c), de donde se sigue

que a + (c + (−c)) = b + (c + (−c)), o sea a + 0 = b + 0, lo que implica a = b.

A continuacion, se presenta el ultimo axioma del Sistema de los Numeros Enteros:

Teorema 2.5. Si se denota por 0N, 0Z, 1N y 1Z a los elementos neutros de la adicion y

multiplicacion de N y Z respectivamente; se tiene:

1. f(0N) = 0Z

2. f(1N) = 1Z

Demostracion. a) f(0N) = f(0N +0N) = f(0N)+f(0N). Como f(0N) = f(0N)+0Z resulta que

f(0N)+0Z = f(0N)+f(0N), luego aplicando la cancelacion (teorema 2.4) resulta f(0N) = 0Z

b) f(1N) = f(1N·1N). Como en Z f(1N) = f(1N) · · · (1N)1Z resulta que f(1N)·1Z = f(1N)·f(1N),

luego aplicando la cancelacion (teorema 2.4) resulta f(1N) = 1Z

Si definimos

2Z = 1Z + 1Z

entonces

f(2Z) = f(1Z + 1Z) = f(1Z) + f(1Z) = 1Z + 1Z = 2Z

78




Como 1 6= 2 en N y f : N → Z es inyectiva, se tiene, f(1) 6= f(2) y en consecuencia, 1Z 6= 2Z.

Ası tenemos, en general, numeros enteros diferentes: 0Z, 1Z, 2Z, f(3), f(4), . . . A continuacion

estableceremos las propiedades de f(Z) = {f(n)/n ∈ N}

Teorema 2.6.

1. Para todo a, b ∈ f(N), se tiene que: a + b ∈ f(N)

2. Para todo a, b ∈ f(N), se tiene que: a · b ∈ f(N)

Demostracion.

i) Para todo a, b ∈ f(N), existen m, n ∈ N tales que a = f(m) y b = f(n), luego a + b =

f(m) + f(n) = f(m + n) ∈ f(N) pues m + n ∈ N, y por lo tanto, a + b ∈ f(N).

ii) Para todo a, b ∈ f(N), existen m, n ∈ N, tales que a = f(m) y b = f(n), luego a · b =

f(m) · f(n) = f(m · n) ∈ f(N), pues m · n ∈ N.

En virtud del teorema anterior, como f(N) ⊂ Z, las operaciones internas de adicion y multi-

plicacion del conjunto de los numeros enteros Z, restringidas a f(N) ⊂ Z, inducen las mismas

operaciones internas en f(N) y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante

Teorema 2.7. El conjunto f(N) = {f(n)/n ∈ N}, provisto de las operaciones internas de

adicion y multiplicacion

+ : f(N) × f(N) → f(N) tal que (a, b) → a + b

· : f(N) × f(N) → f(N) tal que (a, b) → a · b

inducidas por las operaciones de Z verifican N1 − N11.

Demostracion.

La verificacion de los axiomas N1−N9 es inmediata. N10 y N11 se demuestran en el Teorema

2.8 y el Teorema 2.10, respectivamente.

Si consideramos las siguientes notaciones:

Z+0 = f(N) = {f(n)/n ∈ N} y Z+ = f(N+) = {f(n)/n ∈ N+}

Podemos demostrar el siguiente

79

Teorema 2.8. [Ley de Triconotomıa]

Para todo a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades:

a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ −a ∈ Z+

Demostracion.

i) Si a = 0 por el teorema 2.5, a = f(0N).

Supongamos que a ∈ Z+, entonces existe n ∈ N+ tal que f(n) = a, luego f(n) = f(0N) lo

cual implica que n = 0N pues f es inyectiva, es decir, 0N ∈ N+, lo que es una contradiccion,

por lo tanto 0 6∈ Z+, esto es a 6∈ Z+. Y como −0 = 0, entonces −0 6∈ Z+; es decir −a 6∈ Z+

ii) Si a 6= 0, por el axioma E10(iv) existe n ∈ N tal que a = f(n) o −a = f(n).

Ademas, n ∈ N+ pues de lo contrario si n = 0N, a = 0.

Ası f(n) ∈ f(Z+) = Z+, luego a ∈ Z+ o −a ∈ Z+.

Supongamos que a ∈ Z+ y −a ∈ Z+, entonces existen m, n ∈ N+ tales que a = f(m) y

−a = f(n), luego

f(m + n) = f(m) + f(n) = a + (−a) = 0 = f(0N)

Y como f es inyectiva, m + n = 0N, entonces 0N∼ lo cual es una contradiccion.

En consecuencia, si a 6= 0 se cumple una y solo una de las dos posibilidades:

a ∈ Z+ o − a ∈ Z+

2.1.3. Orden en Z

Definicion 2.1. Sean a y b dos numeros enteros. Se dice que a es menor que b y se denota

a < b, si, y solo si, existe c ∈ Z+ tal que a + c = b.

Simbolicamente:

a a si, y solo si, a a ⇔ a 0 pues existe c ∈ Z+

tal que 0 + c = c.

80

Si c ∈ Z−, entonces c < 0 pues existe −c ∈ Z+ tal que c + (−c) = 0.

Luego por la ley de tricotomıa si a ∈ Z se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades:

a > 0 ∨ a = 0 ∨ a < 0

Luego, si a b o a = b, este hecho permite definir las relaciones:

a ≤ b ⇔ a b ∨ a = b que

se lee “a es mayor o igual que b”.

La negacion de a < b es a ≥ b.

Teorema 2.9. Sean a = f(m), b = f(n) ∈ Z+0 , entonces m < n si, y solo si, a < b

Demostracion. (⇒) Si m < n en N, existe k ∈ N+ tal que m + k = n, luego

f(n) = f(m + k) = f(m) + f(k)

y como f(k) ∈ Z+, por definicion f(m) < f(n), es decir, a < b.

(⇐) Si a < b, existe c ∈ Z+ tal que a+ c = b. Como c = f(k), existe k ∈ N+ tal que c = f(k)

entonces f(m + k) = f(m) + f(k) = a + c = b = f(n) y como f es inyectiva, m + k = n

con k ∈ N+, por lo tanto m < n.

Ası, para todo m, n ∈ N, m < n ⇔ f(m) < f(n) y en consecuencia, como 0 < 1 < 2 < 3 <

· · · < n < · · · entonces 0Z < 1Z < 2Z < f(3) < · · · < f(n) < · · · en ZPor otro parte, no existe numero entero a tal que 0Z < a < 1Z. En efecto, si tal numero

existiera, seria positivo, esto es a ∈ Z+ = f(N+) y existe n ∈ N tal que a = f(n), luego

0Z = f(0) < f(n) < f(1) = 1. y por el teorema 2.5-2, se tiene que 0 < n < 1 con n ∈ N+ lo

cual es una contradiccion con el Principio del Buen Orden en N (Axioma N11).

Este importante principio lo formulamos en Z mediante el siguiente

Teorema 2.10. [Principio del Buen Orden en Z] Todo subconjunto no vacıo de Z+0 posee

elemento mınimo.

Demostracion. Sea B un subconjunto de Z+0 , B 6= φ entonces A = f 1(B) = {x ∈ N/f(x) ∈ B}

es un subconjunto de N y A 6= ∅ pues f : N → Z+0 es subyectiva, luego por el axioma del

Buen Orden en N, A posee elemento mınimo al cual lo designamos por m ∈ A.

Probaremos ahora que f(m) es mınimo de B. Para todo b ∈⊂ f(N) existe n ∈ A tal que

f(n) = b y como m es mınimo de A se tiene que m ≤ n, luego f(m) ≤ f(n) = b.

Ası, para todo b ∈ B, se tiene que f(m) ≤ b, por lo tanto f(m) es el mınimo de B.

Nota Importante:

La funcion f : N → f(N) cumple las siguientes propiedades:

81

1) f : N → f(N) es una biyeccion

2) f(m + n) = f(m) + f(n) y f(mn) = f(m)f(n)

La propiedad 1 del teorema anterior, desde el punto de vista de la teorıa de conjuntos nos

permite identificar f con f(N) y escribir simbolicamente N ∼= f(N), ası como identificar sus

elementos y escribir tambien

0N ≡ f(0N) = 0Z, 1N = 1Z, . . . , nN ≡ f(nN) = nZ

La propiedad 2, nos permite identificar desde el punto de vista algebraico a N con f(N). En

los cursos avanzados de algebra, se dice que f : N → f(N) es un isomorfismo algebraico.

Finalmente, si consideramos las siguientes notaciones Z+0∼= f(N) y Z+ = f(N+), podemos

identificar Z+0 con f(N) y Z+

0 con f(N), ası como tambien llamar a los numeros naturales,

numeros enteros naturales y a los numeros naturales positivos, enteros positivos.

Observacion: El conjunto Z+0 = f(N) provisto las operaciones de adicion y multiplicacion

de numeros enteros (teorema 2.5(c) y 2.5(d)) satisface todos los axiomas de N (teorema 2.5-1,

2.5-2 y 2.5-3).

Ası queda establecido que Z+0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} Segun el teorema 2.5-1, ∀ a ∈ Z, si a ∈

Z ∪ {0} entonces −a ∈ Z+.

Si definimos Z− = {a ∈ Z/−a ∈ Z+} al conjunto de los opuestos de los elementos de Z−, esto

es, Z− = {−1,−2,−3,−4, . . .} llamado tambien conjunto de los numeros enteros negativos,

entonces ∀ a ∈ Z, se tiene por la Ley de Tricotomıa que:

a ∈ Z+ ∨ a = 0 ∨ a ∈ Z

Ası, Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z−

luego

Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}

. Como para todo a ∈ Z+ se tiene −(a + 1) < −a pues existe 1 ∈ Z+ tal que

−(a + 1) + 1 = [(−a) + (−1)] + 1 = (−a) + [(−1) + 1] = (−a) + 0 = −a

Se tiene finalmente que:

· · · < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < · · ·

Se pueden “identificar”los numeros enteros con ciertos puntos de la recta geometrica R. Al

numero entero cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta

“unidad de medida.a los numeros enteros positivos y a los negativos se les asigna puntos a la

derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura:

De esta manera, se establece una aplicacion α : Z → R que hace corresponder a cada numero

entero un punto de la recta geometrica.

82




2.1.4. Sustraccion en Z

Definicion 2.2. Dados los numeros enteros a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota

a − b, al numero entero c tal que a = b + c. Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c.

Los numeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente

Teorema 2.11. Dados los numeros enteros a y b, la diferencia a − b siempre existe y es

unica.

Demostracion. Dados los numeros enteros a y b, sea c = a + (−b), entonces c ∈ Z y

b + c = b + (a + (−b)) = b + ((−b) + a) (axioma de sustitucion y conmutativa)

= (b + (−b)) + a = 0 + a = a (prop asociativa, del opuesto y elemento neutro)

Luego a = b + c y aplicando la definicion de diferencia, a − b = c.

Es importante recordar la igualdad a − b = a + (−b)

El teorema anterior nos permite decir que la aplicacion “-”que asocia a cada par de numeros

enteros (a, b), su diferencia a − b.

− : Z × Z tal que (a, b) → a − b

es una operacion interna que recibe el nombre de Sustraccion.

Observacion: La ecuacion x+a = b: Una gran variedad de problemas y situaciones cotidianas

se plantean algebraicamente con ecuaciones de la forma

x + a = b

y para su esclarecimiento se requiere de la solucion de dicha ecuacion. Pero, ¿es siempre

posible resolver esta ecuacion?, la solucion depende de cual sea el sistema de numeros en que

estamos resolviendo el problema. Por ejemplo, la ecuacion

x + 5 = 3

no tiene solucion si nuestro universo es el conjunto de los numeros naturales. En cambio ten-

emos el siguiente resultado.

Teorema 2.12. Sean a y b numeros enteros, entonces

x + a = b ⇔ x = b − a

83




Demostracion.

x + a = b

x + a + (−a) = b + (−a) (teorema 2.2.a)

x + (a + (−a)) = b − a (asociatividad)

x + 0 = b − a prop. del opuesto

x = b − a (elemento neutro)

Es claro, entonces, que la solucion de la ecuacion x + a = b no siempre es posible resolverla

en N, pues no siempre se puede restar dos numeros naturales a menos que el minuendo sea

mayor o igual que el sustraendo.

Este teorema es muy importante y facilita el calculo, pues las operaciones con numeros en-

teros se reducen simplemente a operar con numeros naturales, sumas, restas y productos en

N, como se ilustrara mediante las siguientes Reglas practicas para la suma, resta y el producto

de numeros enteros.

Ejemplo 2.1. a) Si a y b son numeros enteros tales que a + b + a · b = 364, determina el

valor de a + b. Dar todas las soluciones.

Solucion:

Como

a + b + a · b = 365

1 + a + b + a · b = 365

(a + 1)(b + 1) = 365

Al descomponer 365 en factores primos se obtiene 365=5.73.

Entonces, analizando los factores, las soluciones son:

i. a + 1 = 1, b + 1 = 365. En este caso a = 0, b = 364.

Por lo tanto, a + b = 364.

ii. a + 1 = 365, b + 1 = 1. En este caso a = 364, b = 0.


iii. a + 1 = 5, b + 1 = 73. En este caso a = 4, b = 72. Por lo tanto, a + b = 76.

iv. a + 1 = 73, b + 1 = 5. En este caso a = 72, b = 4.


v. a + 1 = −1, b + 1 = −365. En este caso a = −2, b = −366

. Por lo tanto, a + b = −368.

84




vi. a + 1 = −365, b + 1 = −1. En este caso a = −366, b = −2.

Por lo tanto, a + b = −368.

vii. a + 1 = −5, b + 1 = −73. En este caso a = −6, b = −74.


viii. a + 1 = −73, b + 1 = −5. En este caso a = −74, b = −6.


Luego (a + b) puede tomar los valores: 364,76,-80,-368.

Actividades



3. Detalle la demostracion del Teorema 2.10.

4. Si Luis tuviera S/.17 menos, tendrıa S/.18. Si Mario tuviera S/.15 mas, tendrıa S/.38.

Si Juan tuviera S/.5 menos, tendrıa S/.10 mas que Luis y Mario juntos. Si Darıo tuviera

S/.18 menos, tendrıa S/.9 mas que la diferencia entre la suma de lo que tienen Mario y

Juan y lo que tiene Luis. ¿Cuanto tienen en total los cuatro?

5. Un capataz contrata un obrero ofreciendole S/.70 por cada dıa que trabaje y S/.40 por

cada dıa que, por alguna razon justificada, no pueda trabajar. Al cabo de 35 dıas el

obrero ha recibido S/.2 000. ¿Cuantos dıas trabajo y cuantos no trabajo?

6. Un pequeno ganadero decide vender sus vacas; si las vende a S/.2900 cada una tendrıa

una perdida total de S/.2000. Si las vende a S/.3500 cada una tendrıa entonces una

ganancia de S/.2800. ¿Cuantas son las vacas que desea vender?

7. Ciento cinco litros de agua deben ser llenados en depositos de 11 y 4 litros. ¿Cuantos

son de 11 litros si en total se usan 21 depositos?

8. Un barril contiene 69 litros de cierto lıquido. Si este lıquido debe ser envasado en 27

botellas, unas de 2 litros y otras de 3 litros. ¿Cuantas botellas de 2 litros se va a necesitar?

9. Hace 2 anos cada habitante de una urbanizacion recibıa 300 litros de agua por dıa. Ac-

tualmente el numero de habitantes aumento en 180 teniendo que recibir cada habitante

6 litros menos. ¿Cuantos habitantes tiene actualmente dicha urbanizacion?

10. La duena de una cadena de tiendas de ventas de ropa, tiene la siguiente informacion

acerca de sus ganancias (cantidades positivas) o perdidas (cantidades negativas) men-

suales, durante el ano 2002:

85




MESES DEL

ANO 2002

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5

ENERO +S/.1573 -S/.713 +S/.618 +S/.846 -S/.324

FEBRERO -S/.715 +S/.1812 -S/.116 +S/.1714 S/.1804

MARZO +S/.617 -S/.615 -S/.67 -S/.84 -S/.10

ABRIL +S/.615 +S/.819 -S/.129 +S/.647 -S/.48

MAYO -S/.318 +S/.768 -S/.430 +S/.259 -S/.701

JUNIO +S/.916 -S/.105 -S/.437 +S/.817 -S/.820

JULIO +S/.715 +S/.614 -S/.508 -S/.511 -S/.613

AGOSTO -S/.1607 +S/.813 +S/.101 +S/.604 -S/.781

SETIEMBRE +S/.1810 -S/.504 -S/.406 -S/.508 -S/.659

OCTUBRE -S/.468 +S/,617 -S/.507 -S/.119 -S/.808

NOVIEMBRE +S/.2315 +S/.908 +S/.213 +S/.205 -S/.101

DICIEMBRE +S/.7517 +S/.6313 +S/.102 +S/.763 -S/.86

a) ¿Cual o cuales de las 5 tiendas deberıan ser cerradas por sus perdidas?

b) ¿Cual de las 5 tiendas tuvo la mayor ganancia anual? ¿Cual fue esta ganancia?

c) ¿Tuvo la duena ganancia o perdida durante el mes de Setiembre en todas sus

tiendas?

d) ¿Cual de los 12 meses fue el mas difıcil? ¿Cuanto perdio? o ¿Cuanto fue lo que

gano?

86

2.2. Sesion 8: Valor absoluto. Division, potenciacion y

radicacion en Z. Divisibilidad en Z

Fermat, el verdadero inventor del calculo diferencial

Laplace

Contextualizando: Comparacion entre montanas y depresiones

Las dos tablas muestran las alturas de ciertas montanas en la profundidad de determinadas

depresiones, utilice la informacion dada para encontrar las respuestas a las preguntas formu-

ladas

Profundidad en pies

Montana Altura (en pies) Depresion (como un numero negativo)

Foraker 17 400 Filipinas -32 995

Wilson 14 246 Caiman -24 721

Monte Pikes 14 110 Java -23 376

¿Cual es la diferencia entre la altura del Monte Foraker y la profundidad de la fosa de las

Filipinas?

¿Que tanto mas profunda es la fosa del Caiman que la fosa de Java?

2.2.1. Valor absoluto

Definicion 2.3. Dado el numero entero a, se llama valor absoluto de a y se denota con |a|,al numero entero:

|a| = a, si a ≥ 0 y

|a| = −a, si a < 0

De la definicion se prueba inmediatamente que |a| ≥ 0, para todo entero a.

Teorema 2.13. 1. |a| = 0 ⇔ a = 0

2. | − a| = |a|

3. a ≤ |a| y −a ≤ |a|

4. |a + b| ≤ |a| + |b|

5. |ab| = |a||b|

87

Demostracion. a) (⇒) Supongamos que a 6= 0 Si a > 0, entonces |a| = a 6= 0.

Si a < 0, entonces |a| = −a 6= 0. Por lo tanto a 6= 0 implica |a| 6= 0; es decir,

|a| = 0 ⇒ a = 0.

(⇐) Si a = 0, entonces, de la definicion, se sigue inmediatamente que |a| = 0.

1. Sea a ∈ Z Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, ası a ≤ |a| y

−a ≤ |a|.Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto

a ≤ 0 ≤ −a = |a|, ası a ≤ |a| y y − a ≤ |a|

c) Sea a ∈ Z. Si a ≥ 0, entonces |a| = a y por lo tanto −a ≤ 0 ≤ a = |a|, ası a ≤ |a| y

−a ≤ |a|.Si a ≤ 0, entonces |a| = −a y por lo tanto

a ≤ 0 ≤ a = |a|, ası a ≤ |a| y − a ≤ |a|

d) a ≤ |a|, −a ≤ |a|b ≤ |b|, −b ≤ |b|, entonces

a + b ≤ |a| + |b| y − (a + b) = (−a) + (−b) ≤ |a| + |b|

por lo tanto, segun la definicion, |a + b| ≤ |a| + |b|.La demostracion de (b) y (e) son similares a las anteriores, basta analizar los distintos casos

para a, b ∈ R

2.2.2. Division, potenciacion y radicacion en Z

Definicion 2.4. Dados los numeros enteros a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b, y se

denota a/b, al numero entero c, si existe, tal que a = b · c. Es decir, a

b= c ⇔ a = b · c

Por ejemplo: (−24)/3 = −8 pues −24 = (−8) × 3

. Recıprocamente, (−7) × (−9) = 63, entonces 63/(−7) = −9 o tambien, 63/(−9) = −7

Haciendo una ligera modificacion al Teorema 1.11 del Cap. 2, se prueba como en N, el siguiente

Teorema 2.14. [Algoritmo de la Division de Euclides] Sean a, b ∈ Z, con b > 0, entonces,

existen numeros enteros r y q, unicos, tales que

a = bq + r, con 0 ≤ r < b

88

Ejemplo 2.2. a) Sean los numeros enteros -86 y 11, existen los numeros -8 y 2 tales que

−86 = 11(−8) + 2 (division inexacta)

b) Sean los numeros enteros -84 y 12, existen los numeros -7 y 0 tales que

−84 = 12(−7) + 0 (division exacta)

Definicion 2.5. Sean a y n dos numeros enteros, n no negativo, la potencia an, esta dada

por:

i) a0 = 1, a 6= 0

ii) an = a · an−1, para n ≥ 1

En la expresion an; el numero a se llama base y el numero n se llama exponente.

Ejemplo 2.3. ¿Cuantos numeros enteros “a” cumplen que 7 < a2 < 39?

Solucion. Los numeros enteros positivos a que cumplen dicha condicion son 3,4,5,6, cuyos

cuadrados son 9,16,25 y 36. Pero como (−a)2 = a2, entonces tambien cumplen la condicion

-3, -4, -5 y -6. En total son ocho numeros.

Definicion 2.6. Sean a ≥ 0 y n numeros enteros, n ≥ 1. Se llama raız n−esima de a y se

denota n√

a , al numero entero positivo b, si existe, tal que bn = a.

Simbolicamente:n√

a = b ⇔ bn = a

En la expresion n√

a, diremos que n es el ındice del radical, y que a es el radicando o expresion

subradical.

Teorema 2.15. Si a, b ∈ Z y n ≥ 1, se tiene:

a) Si n√

a y n√

b existen, entonces existe n√

ab y ademas n√

ab = n√

a · n√

b

b) Si n√

a existe, entonces existe n√

am y n√

am = ( n√

a)m

c) Si n√

m√

a existe, entonces existen mn√

a y m√

n√

a = n√

m√

a = m√

n√

a

2.2.3. Divisibilidad en Z

La divisibilidad en Z, se presenta de manera analoga a la desarrollada en N, pero a diferencia

de N, las justificaciones de las afirmaciones en Z se hacen mas sencillas, debido a que ya no

tenemos la restriccion de que la diferencia de dos numeros enteros no este definida. Al final de

esta sesion, daremos los resultados mas importante de la teorıa de Congruencias que tambien

se utilizan para llegar a los criterios de divisibilidad.

89




Definicion 2.7. Sean a y b dos numeros enteros con a 6= 0. Diremos que a divide a b, y

denotaremos a|b, si existe un numero entero n tal que b = an.

En caso contrario, escribiremos a��|b, a no divide a b. Si a divide a b, diremos tambien que b

es multiplo de a.

Teorema 2.16. Sean a, b y c numeros enteros. Se cumplen las siguientes propiedades:

a) a|a para todo a 6= 0 (Reflexiva)

b) Si a|b y b|c, entonces a|c (Transitiva)

c) Si a|b, entonces a|bc para todo numero entero c

d) Si a|b, entonces ac|bc, ∀ c 6= 0

e) Si ab|c, entonces a|c y b|c.

f) Si a|bi(i = 1, 2, . . . , n) , entonces a|(m1b1 + m2b2 + · · ·+ mnbn), ∀mi ∈ Z

g) Si a|(b + c) y a|b, entonces a|c

Demostracion. La demostracion es analoga a la del Teorema 2.13 en N

Lema 2.1. Sean a, b numeros enteros, el conjunto J = {ax + by/ x, y ∈ Z}, goza de las

siguientes propiedades:

1. Si m, n ∈ J , entonces m + n ∈ J , m − n ∈ J

2. Si k ∈ Z y m ∈ J , entonces km ∈ J .

Demostracion. - Si ambos a y b son ceros, entonces J = {0}, y claramente se cumplen (a) y

(b).

- Si alguno de los numeros a, b es cero. Supongamos, sin perdida de generalidad, que b = 0,

entonces J = {ax/x ∈ Z}, es el conjunto de multiplos enteros de a y por la parte (f) del

teorema 2.10, la suma y diferencia de multiplos de a es multiplo de a y por la parte (c) del

mismo teorema, si a|m, entonces a|km, para todo k ∈ Z, cumpliendose ası (a) y (b).

- Sean a y b enteros diferentes de cero. Si m, n ∈ J , entonces m = ax1 + by1, n = ax2 + by2,

donde x1, y1, x2, y2 ∈ Z

⇒ m + n = a(x1 + x2) + b(y1 + y2) ∈ J, pues (x1 + x2), (y1 + y2) ∈ Z, y

⇒ m − n = a(x1 − x2) + b(y1 − y2) ∈ J, pues (x1 − x2), (y1 − y2) ∈ Z

90

- Si k ∈ Z y m ∈ J , entonces m = ax + by, con x, y ∈ Z.

Luego, km = k(ax + by) = a(kx) + b(ky) ∈ J , pues kx, ky ∈ Z

Observacion:

Sean a, b numeros enteros, a las expresiones de la forma ax+ by, siendo x, y numeros enteros,

se les llama combinacion lineal de a y b.

Teorema 2.17. Sean a, b numeros enteros, al menos uno de ellos diferente de cero, existe

un numero entero positivo d, tal que:

i) d|a y d|b

ii) Si d′|a y d′|b, entonces d′|d

Demostracion. Sean J = {ax + by/x, y ∈ Z} y J+ = J ∩ Z+.

J+ es no vacıo pues 0 6= a2 + b2 ∈ J+, luego por el principio del Buen Orden, el conjunto J+

posee un elemento mınimo, llamemosle d ∈ J+, es decir, d es positivo y d = ax0 + by0, para

algun x0, y0 ∈ Z

Probaremos ahora que d divide a todo elemento de J :

Sea m ∈ J , por el algoritmo de la division en Z, existen numeros enteros r, q tales que

m = dq + r, 0 ≤ r < d. Si r 6= 0, entonces r = m + (−q)d, y como d, m ∈ J , por el Lema,

r ∈ J y como r es positivo, entonces r ∈ J+ lo que es una contradiccion con la minimalidad

de d. Luego r = 0 y en consecuencia, m = dq.

Como a, b son elementos de J , tenemos que:

i) d|a y d|bAdemas, sea d′ un numero entero positivo, si d′|a y d′|b, por el Lema, d′|(ax0 + by0),

entonces d′|d.

La unicidad, resulta de la observacion siguiente: Si d0 es tambien el M.C.D de a y b,

entonces d0Πd y dΠd0.

Esto solo ocurre si d = ±d0. Pero como estos numeros ambos son positivos, debe ser

d = d0.

91

Corolario 2.3. El maximo comun divisor de dos numeros enteros a y b, es la menor

combinacion lineal positiva de a y b. Es decir,

MCD(a, b) = mın[{ax + by/x, y ∈ Z} ∩ Z+]

Observacion:

Sean a, b numeros enteros, no nulos.

a) A diferencia de N, en Z, si a|b y b|a, esto no implica que a = b, es decir, la relacion divide

no es una relacion antisimetrica, pues puede ocurrir tambien que sea a = −b.

b) Si a es multiplo de b, el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto

de los divisores b; en particular el maximo de los divisores: < a, b >= b. Si a es multiplo

de b, en Z, no implica que a sea mayor que b.

Definicion 2.8. Dado dos numeros enteros a y b, se dice que a y b, son coprimos (o primos

relativos o primos entre sı), si el maximo comun divisor de ellos es 1.

Teorema 2.18. Sean a, b ∈ Z, a y b, coprimos, si, y solo si, existen numeros enteros m y

n tales que ma + nb = 1.

Demostracion. Si a y b, son primos entre sı, entonces MCD(a, b) = 1, luego por el teorema

2.12, existen enteros m y n tales que 1 = MCD(a, b) = ma + nb.

Recıprocamente, si ma+nb = 1, se tiene que 1 es combinacion lineal de a y b, y es la mınima

combinacion positiva ya que 1 es el menor entero positivo, luego MCD(a, b) = 1, por el

corolario ??, por lo tanto a y b son coprimos.

El teorema anterior constituye una nueva definicion de numeros coprimos.

Teorema 2.19. Si d|ab y < d, a >= 1, entonces d|b.

Demostracion. Si < d, a >= 1, existen enteros m y n tales que md + na = 1, luego multipli-

cando por b ambos miembros, aplicando propiedades en Z, resulta: (bm)d + n(ab) = b. Como

d|d y d|ab, entonces d|((bm)d + n(ab)) = b, por el teorema 2.10.

Teorema 2.20. Si < a, b >= 1, a|m y b|m, entonces ab|m.

Demostracion. Si a|m, existe un entero k tal que ak = m, por otra parte, como b|m = ak y

dado que b y a son coprimos resulta b|k por el teorema 2.14, lo que implica la existencia de

un numero entero q tal que bq = k, de donde (ab)q = ak = m, es decir ab|m.

92

Teorema 2.21. Si d y a son coprimos y d y b son tambien coprimos entonces d y ab son

coprimos.

Simbolicamente:

Si < d, a >= 1 y < d, b >= 1, entonces < d, ab >= 1.

Demostracion. Si s y a son coprimos, existen enteros m1, n1, tales que m1d+n1a = 1 (teorema

2.10). Analogamente si d y b son coprimos, existen enteros m2 y n2 tales que m2d + n2b = 1,

multiplicando miembro a miembro resulta (m1m2d+m1n2b+n1m2a)d+(n1n2)ab = 1, lo que

implica d y ab son coprimos (teorema 2.13)

Definicion 2.9. Sea p un numero entero, p 6= 0, p 6= ±1, p es primo si, y si solo si, p admite

como unicos divisores a los numeros enteros ±1 y ±p.

Ası, son numeros primos ±2,±3,±5,±7,±11, . . . , etc.; es decir, p es primo en N si, y solo si,

±p es primo en Z.

Teorema 2.22. Si p es un numero primo y a un entero cualquiera, entonces < p, a >= 1

o bien p|a.

Demostracion. Supongamos p y a no sean coprimos, probaremos que p|a. En efecto si p y a

no son coprimos, existe un entero m 6= ±1 tal que m|p y m|a, pero como p es primo, por

definicion m|p implica m = ±p, luego p|a.

Teorema 2.23. Si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.

Demostracion. Si p/a, se cumple que p y a son coprimos, segun el teorema 2.17, luego existen

enteros m y n tales que mp + na = 1. Multiplicando por b ambos miembros resulta (bm)p +

n(ab) = b, pero como p|bmp y p|n(ab), por definicion e hipotesis, luego se concluye que p|b,por el teorema 2.10.

Teorema 2.24. Si a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces existe un numero

primo p > 1 tal que p|a.

Demostracion. Si a es primo el teorema esta demostrado pues basta tomar p = a.

Si a no es primo, consideremos el conjunto D de todos los divisores positivos de a mayores

que 1.

D no es vacıo pues, si a > 0, a ∈ D, y si a < 0, entonces a ∈ D, luego por el principio de

93




la buena orden D posee un elemento mınimo: d, d > 1. Probaremos que d es primo: si no lo

fuera, por definicion de primo existirıa d′ > 1, d′ 6= d tal que d′|d, de donde resultarıa d′|a y

d ya no serıa el mınimo de D, lo que es una contradiccion.

Sea a es numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, si a no es primo diremos que es un numero

compuesto. Y segun el teorema que acabamos de demostrar, para todo numero compuesto

existe un numero primo que lo divide. Este hecho nos permite probar parte del siguiente

Teorema 2.25. Si a es un numero entero tal que a 6= 0 y a 6= ±1, entonces se puede

expresar como el producto de numeros primos positivos distintos:

a = ±pe1

1 · pe2

2 · · · pei

i , ei ≥ 1, i = 1, 2, . . . , r

Tal descomposicion es unica salvo el orden de los factores.

Definicion 2.10. Dados a, b ∈ Z, ambos diferente de cero; sea m > 0. Diremos que m es el

mınimo comun multiplo (MCM) de a y b si, y solo si,

i) a|m b|m

ii) Si a|m′ y b|m′ entonces m|m′

Notacion: m = [a, b] = MCM(a, b)

Teorema 2.26. El mınimo comun multiplo de dos numeros es igual al producto de dichos

numeros, dividido por su maximo comun divisor; es decir,

[a, b] · 〈a, b〉 = ab

Demostracion. Sea d = (a, b), existen α, β ∈ Z coprimos tales que a = dα, b = dβ y ademas

[a, b] = dαβ, entonces (a, b)[a, b] = d(dαβ) = (dα)(dβ) = ab.

94




CONGRUENCIAS

Si m es un entero positivo, decimos que dos numeros enteros a, b son congruentes modulo

m si existe un k ∈ Z talque a − b = km. Usaremos la notacion a ≡ b(m) para indicar que

a y b son congruentes modulo m. Si no lo son diremos que son incongruentes y escribiremos

a 6≡ b(m). Ası, por ejemplo 28 ≡ 3(5) ya que 28 − 3 = 5,5, 121 ≡ 0(11) ya que 121 = 11,11.

Pero 28 6≡ 4(5) ya que 28 − 4 = 24, no es multiplo de 5.

El lenguaje de las congruencias fue inventado por Karl F. Gauss y es usado constantemente

en la vida diaria. La esfera de un reloj funciona con congruencias modulo 12, los cuentak-

ilometros de autos los hace modulo 100,000 y los meses se representan modulo 12

Proposicion 2.1. La relacion de congruencia modulo m en Z es de equivalencia y divide

a Z en clases de equivalencia de manera que dos diferentes de ellas son disjuntas.

Demostracion. La relacion de congruencia es reflexiva ya que para todo a ∈ Z, a − a = 0 =

0 ·m; es tambien simetrica ya que si a− b = km, b− a = (−k)m; finalmente es transitiva, ya

que si a− b = km y b− c = sm, tenemos que a− c = (a− b)+ (b− c) = km+ sm = (k + s)m.

Aunque ya sabemos que es cierto, demostraremos que dos clases de equivalencia diferentes

son disjuntas: basta probar que si dos de ellas no tienen interseccion vacıa son iguales. Sean

[a] y [b] dos clases de equivalencia modulo m tales que [a] ∩ [b] 6= ∅. Tomando c ∈ [a] ∩ [b],

tenemos que c ≡ a (m) y c ≡ b (m). por la definicion de congruencia c− a = km y c− b = sm

con k y s numeros enteros . Por tanto, a−b = (c−b)− (c−a) = (s−k)m, de donde se deduce

que a ≡ b (m). Por tanto, si x ∈ [a], x ≡ a (m) y como esta relacion es transitiva x ≡ b (m);

ası pues, x ∈ [b]. La otra inclusion se demuestra de manera similar.

Ejemplo 2.4. Las clases de equivalencia en Z modulo 3 son [0], [1], [2]. Cada una de estas

clases de equivalencia contiene los siguientes elementos:

[0] = {. . . ,−6,−3, 0, 3, 6, . . .}[1] = {. . . ,−5,−2, 1, 4, 7, . . .}[2] = {. . . ,−4,−1, 2, 5, 8, . . .}

Un conjunto cualquiera de m representantes, tomados cada uno de una clase, se denomina

un sistema completo de restos modulo m; por ejemplo, {0, 1, 2, . . . , m− 1} es un tal sistema.

Tambien {m, m + 1, . . . , 2m − 1} es uno de ellos. Otros sistemas pueden obtenerse mediante

el siguiente resultado:

Proposicion 2.2. Sean a y m numeros enteros tales que a y m son primos entre sı y m

es positivo. Si r1, . . . , rm es un sistema completo de restos modulo m, ar1, . . . , arm es otro

sistema completo de restos modulo m.

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Demostracion. Basta comprobar que si i 6= j, ari 6≡ arj (m). Si tuvieramos ari ≡ arj (m),

entonces m|ari − arj = a(ri − rj); puesto que (a, m) = 1, ningun factor primo de m divide

a a, esto es, todos los factores primos de m dividen a ri − rj. Por tanto, m|(ri − rj), lo que

implica ri ≡ rj (m), en contradiccion con que r1, . . . , rm sera un sistema completo de restos

modulo 5.

Teorema 2.27. Sea m entero positivo y a, a′, b, b′ ∈ Z.

1. Si a ≡ a′(m) y b ≡ b′(m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′(m)

2. Si a ≡ a′(m) y b ≡ b′(m), se tiene que ab ≡ a′b′(m)

Demostracion. Si a ≡ a′ (m) y b ≡ b′ (m), se tiene que a + b ≡ a′ + b′ (m), de la definicion de

congruencia se deduce que existen numeros enteros r y s tales que a− a′ = rm y b− b′ = sm.

Por tanto,

(a + b) − (a′ + b′) = (a − a′) + (b − b′) = (r + s)m.

De aquı se deduce que a + b ≡ a′ + b′.

En las mismas condiciones,

ab − a′b′ = ab − a′b + a′b − a′b′ = (a − a′)b + a′(b′ − b) = rbm + sa′m = (rs + sa′)m

De aquı se deduce que ab ≡ a′b′ (m)

Teorema 2.28.

1. Si m es un entero positivo y [a], [b] ∈ Zm se pueden definir las operaciones de suma y

multiplicacion en Zm mediante

[a] + [b] = [a + b], [a][b] = [ab]

2. Ambas operaciones tienen las propiedades asociativa y conmutativa y se relacionan

mediante la propiedad distributiva. La clase [0] es el elemento neutro para la suma y

la clase [1] lo es para el producto.

3. Todo elemento [a] ∈ Zm tiene su opuesto respecto a la suma, a saber [m − a], y si m

es primo, todo [a] ∈ Zm con [a] 6= [0] tiene inverso multiplicativo y es unico.

Demostracion. Hay que comenzar comprobando que las operaciones estan bien definidas.

Esto lo asegura el Teorema 2.27 ya que si [a′] = [a] y [b′] = [b], a′ + b′ ≡ a + b (m) y por que

a′b′ ≡ ab(m); por tanto [a′b′] = [ab].

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La demostracion de la propiedad (b) se deja para el lector. Para demostrar la primera parte

(c) basta observar que

[a] + [(m − a)] = [a + m − a] = [m] = [0]

y por tanto el opuesto de [a] es la clase [m − a]. Si [a] ∈ Zm el algoritmo de la division nos

permite escribir a de la forma a = cm + r con 0 ≤ r < m; por tanto [a] = [r]. Ademas, si

[a] 6= [0] se tiene que 0 < r < m. Si m es primo (m, r) = 1. Existen numeros enteros u y v

tales que 1 = um + vr. Por tanto

[1] = [um + vr] = [vr] = [v][a]

de donde se deduce que [v] es un inverso de [a]. Para demostrar la unicidad consideraremos

que existen dos inversos [x] e [y] de [a]; es decir

[x][r] = [1] e [y][r] = [1],

ya que [a] = [r]. Restando ambas igualdades, se obtiene [(x − y)][r] = [0] o equivalentemente

(x − y)r ≡ 0 (m). Ası pues m divide a (x − y)r, y como m es primo con r, mha de dividir a

x − y. Por tanto (x − y) ≡ 0 (m) y se deduce que [x] = [y] en Zm

Proposicion 2.3. Un numero entero es divisible entre 9 si y solo si la suma de sus cifras

es divisible entre 9.

Demostracion. Sea x dicho numero y x0, x1, . . . , xn sus cifras decimales, esto es

x = x0 + x110 + x2102 + · · ·+ xn10n

Claramente 1 ≡ 1 (9) y 10 ≡ 1 (9), con lo que 102 ≡ 12 ≡ 1 (9) y en general 10k ≡ 1 (9);

entonces

x0 + x110 + · · ·+ xn10n ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9)

debido al teorema 2.27. Esto es, x ≡ x0 + x1 + · · · + xn (9). En particular, 9|x si y solo si

x ≡ 0 (9) sea un divisor de x0 + x1 + · · ·+ xn.

Proposicion 2.4. Un numero entero es divisible entre 3 si y solo si la suma de sus cifras

es divisible entre 3.

Demostracion. Dado que 1 ≡ 1 (3) y 10 ≡ 1 (3), 102 ≡ 12 ≡ 1 (3) y, en general, 10k ≡ 1 (3), el

resultado se deduce con un razonamiento similar al usado en la demostracion de la proposicion

anterior.

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Teorema 2.29 (El pequeno teorema de Fermat). Sea p un numero primo y a un numero

natural tal que p no divide a a. Entonces ap−1 ≡ 1 (p).

Demostracion. Puesto que p no divide a a y p es primo se tiene que (a, p) = 1 y por tanto el

conjunto

{0, a · 1, a · 2, . . . , a · (p − 1)}es un sistema completo de restos modulo p (vease proposicion 2.2). Por tanto, para cada i tal

que 1 ≤ i ≤ p − 1, i es congruente con algun j · a, 1 ≤ j ≤ p − 1. Ası pues

1 · 2 · · · (p − 1) ≡ a(a · 2) · · ·a · (p − 1) (p)

esto es,

p|a(a · 2) · · ·a · (p − 1) − 1 · 2 · · · (p − 1) = (ap−1 − 1) · 1 · 2 · · · (p − 1)

Como p no divide a 1 · 2 · · · (p − 1), p divide a ap−1 − 1 y por tanto ap−1 − 1 ≡ 0 (p), que era

lo que querıamos demostrar.

Proposicion 2.5. Sea a ≡ b(m1), a ≡ b(m2), . . . , a ≡ b(mk), donde a y b son numeros

enteros y m1, m2, . . . , mk son enteros positivos. Entonces

a ≡ b ([m1, m2, . . . , mk])

donde [m1, m2, . . . , mk] es el mınimo comun multiplo de m1, m2, . . . , mk.

Demostracion. De la hipotesis se deduce que m1|(a−b), m2|(a−b), . . . y mk|(a−b). Por tanto

a−b es un multiplo comun a todos los m1, m2, . . . , mk. a−b es un multiplo de [m1, m2, . . . , mk],

que era lo que querıamos demostrar.

Corolario 2.4. Sea a ≡ b(m1), a ≡ b(m2), . . . , a ≡ b(mk), donde a y b son numeros enteros

y m1, m2, . . . , mk son enteros positivos primos dos a dos. Entonces

a ≡ b (m1, m2, . . . , mk)

Demostracion. Basta observar que [m1, m2, . . . , mk] = m1m2 · · ·mk ya que los mj son primos

dos a dos.

Ejemplo 2.5. Existen numeros compuestos q para los que 2q−1 ≡ 1 (q). Uno de tales numeros

es q = 341 = 11 · 31. Para demostrarlo observar que por el pequeno teorema de Fermat

210 ≡ 2 (11)

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y por tanto

2340 = (210)34 ≡ 134 (11) ≡ 1 (11).

Ademas

2340 = (25)68 = (32)68 ≡ 168 (31) ≡ 1 (31)

Por el corolario 2.4, 2340 ≡ 1 (41), lo que prueba el resultado deseado.

Ecuaciones con congruencias

Comenzaremos resolviendo la ecuacion

ax ≡ b (m)

donde a y b son numeros enteros y m es un entero positivo. Usando la definicion de congruencia

modulo m se deduce que la ecuacion anterior se satisface cuando existe y ∈ Z tal que

ax − b = ym

Es decir, si (x, y) es una solucion de la ecuacion ax−my = b, x es una solucion de la ecuacion

ax ≡ b (m). Las ecuaciones del tipo ax − my = b han sido estudiadas anteriormente.

Ejemplo 2.6. Queremos encontrar todas las soluciones de la ecuacion 4x ≡ 2 (6). Si x es

una solucion entera de esta ecuacion, existe un entero y tal que 4x − 2 = 6y, es decir,

4x − 6y = 2. Como (4,6)=2 y 2 es un divisor de 2, una proposicion nos asegura que existen

infinitas soluciones de esta ecuacion y otra proposicion nos dice como encontrarlas. Se calcula,

en primer lugar, una solucion particular usando el algoritmo de Euclides. Puesto que 6 = 1·4+2

se tiene −4 − (−6) = 2. Por tanto x0 = −1, y0 = −1 es una solucion particular. El resto de

soluciones son todas de la forma x = −1−3n, y = −1−2n con n ∈ Z. Por tanto x = −1−3n,

n ∈ Z, son todas las soluciones de la ecuacion 4x ≡ 2 (6). Todas estas soluciones pertenecen

solamente a las clases de equivalencia modulo 6: si n es par, x ≡ −1 (6) y si n es impar,

x ≡ 2 (6).

Ejemplo 2.7. Encontrar todas las soluciones de la ecuacion 3x ≡ 7 (6) es equivalente a

encontrar todas las soluciones de la ecuacion 3x − 7 = 6y. Esta ecuacion es equivalente a

3x − 6y = 7, que no tiene solucion ya que (3, 6) = 3 y 3 no divide a 7. Observar que 3x solo

puede ser congruente con 0 o con 3 modulo 6.

La experiencia acumulada en la resolucion de estos debe ayudar a comprender los siguientes

resultados relativos a la solucion de las ecuaciones de la forma:

ax ≡ b (m)

Teorema 2.30. Sean a y b dos numeros enteros y m un entero positivo con (a, m) = d.

Si d no divide a b, la ecuacion ax ≡ b (m) no tiene solucion. Si d divide a b, la ecuacion

ax ≡ b (m) tiene exactamente d soluciones no congruentes entre si modulo m.

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Demostracion. De acuerdo con la definicion de congruencia, x es una solucion de la ecuacion

ax ≡ b (m) si existe un numero entero y tal que ax − my = b. Si d no divide a b, la ecuacion

no tiene soluciones enteras, y, en consecuencia, tampoco las tendra ax ≡ b (m). Si d divide a

b, todas las soluciones de la ecuacion ax − my = b son de la forma

x = x0 − (m/d)n, y = y0 − (a/d)n, n ∈ Z,

donde x0, y0 es una solucion particular de la misma ecuacion. Por tanto, las soluciones de la

ecuacion ax ≡ b (m) son de la forma

x = x0 − (m/d)n, n ∈ Z

Para determinar el numero de ellas que no son congruentes entre si modulo m basta estudiar

cuando dos de estas soluciones son congruentes modulo m. Si x1 = x0 − (m/d)n1 y x2 =

x0 − (m/d)n2 son dos de estas soluciones congruentes modulo m se tiene que

x0 − (m/d)n1 ≡ x0 − (m/d)n2 (m).

Por tanto (m/d)n1 ≡ (m/d)n2 (m), es decir (m/d)(n1 − n2) = km para algun entero k. A

partir de aquı se deduce (n1 − n2) = kd, lo que implica que d divide a n1 − n. Esto es

equivalente a n1 ≡ n2 (d). Ası pues todas las soluciones no congruentes entre sı se obtienen

tomando x = x0 + (m/d)n, donde n varıa en un sistema completo de residuos modulo d, es

decir

x = x0 − (m/d)n, n = 0, 1, 2, . . . , d − 1

estas d soluciones no congruentes entre sı y por tanto queda terminada la demostracion del

teorema.

Ejemplo 2.8. La ecuacion 15x ≡ 10 (25) tiene 5 soluciones no congruentes entre si ya que

(15, 25) = 5 y 5 divide a 10. Una solucion particular es −1 , que puede obtenerse usando el

algoritmo de Euclides. Soluciones no congruentes entre sı son

x = −1 + (25/5)n = −1 + 5n, n = 0, 1, 2, . . . , d − 1

es decir −1, 4, 9, 14 y 19.

Del teorema anterior se deduce que si a y m son primos entre si la ecuacion ax ≡ b (m) siempre

tiene solucion y es unica salvo congruencias modulo m. Cuando b = 1 la ecuacion resultante

es la misma que [a][x] = [1] en Zm. Por tanto [x] es el inverso de [a] en Zm. Cuando m es

primo y [a] 6= [0] este resultado se ha obtenido en el Teorema 2.28, en cuya demostracion se

ha dado la forma de calcularlo usando el algoritmo de Euclides.

Ejemplo 2.9. Sean a = 5 y m = 7. Como (5, 7) = 1, [a] tiene un inverso en Z7. La ecuacion

5x ≡ 1 (7) se transform en 5x − 7y = 1. Como 1 = 3 · 5 − 2 · 7 una solucion particular de

la ecuacion 5x ≡ 1 (7) es x0 = 3. Ası pues [3] es el inverso en Z7. Cuando los numeros son

pequenos el inverso puede obtenerse con un calculo mental: en nuestro caso 3 · 5 ≡ 1 (7).

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Ejemplo 2.10. Un antiguo problema chino trataba de encontrar un numero que dividido

entre 3 de como resto 1, dividido entre 5 de como resto 2 y dividido entre siete de como resto

3. Con nuestro sistema de notacion se trata de resolver simultaneamente las conguencias

x ≡ 1 (3), x ≡ 2 (5), x ≡ 3(7)

Una solucion particular de la ecuacion x ≡ 1 (3) es 1; por tanto todas las soluciones de esta

ecuacion son de la forma x = 1 + 3n con n entero. Poniendo este resultado en la segunda

ecuacion se obtiene 1+3n ≡ 2 (5), o equivalentemente 3n ≡ 1 (5). Como (3, 5) = 1 la ecuacion

tiene infinitas soluciones todas ellas congruentes entre sı modulo 5. Usando los metodos an-

teriormente expuestos se obtiene que 2 es una solucion particular de esta ecuacion y, por

tanto, todas sus soluciones son de la forma n = 2 + 5t, con t entero. Puesto que x = 1 + 3n,

sustituyendo este valor de n se obtiene x = 7 + 15t. Sustituyendo ahora en la tercera de las

ecuaciones 15t ≡ −4 (7). Como (15, 7) = 1 la ecuacion tiene solucion unica modulo 7. Usando

los mismos metodos de los ejemplos anteriores se obtiene que −4 es una solucion particular y,

en consecuencia, todas sus soluciones son de la forma t = −4+7r, con r entero. Sustituyendo

en x = 7 + 15t se obtiene x = −53 + 105r con r entero. Con r = 1 se obtiene x = 52 que

es una de las posibles soluciones del problema chino (¡Comprobarlo!). Observar que todas las

soluciones del problema son congruentes modulo 105, que el producto de 3, 5 y 7.

Los problemas como el del Ejemplo 2.10 han dado lugar al siguiente resultado, que toma el

nombre de su ancestral origen.

Teorema 2.31 (Teorema chino del resto). Sean a1, a2, . . . , ak enteros y m1, m2, . . . , mk

enteros positivos primos dos a dos. El sistema de congruencias

x ≡ a1 (m1), x ≡ a (m2), . . . , x ≡ ak (mk)

tiene solucion unica modulo M = m1 · m2 · · · · · mk.

Demostracion. Comenzaremos construyendo una solucion de todas las ecuaciones. Sea M =

m1 ·m2 · · · · ·mk y Mj = M/mj , j = 1, 2, . . . , k. Como mj es primo con todos los demas mi con

i 6= j, se tiene que (Mj, mj) = 1. Por tanto Mj tiene un inverso unico en Zmj, que escribimos

bj , Es decir Mj · bj ≡ 1 (mj). Sea

x = a1M1b1 + a2M2b2 + · · · + akMkbk

Este entero x satisface las k congruencias descritas en el enunciado del teorema ya que

Mi ≡ 0 (mj) si i 6= j y ajMjbj ≡ aj(mj), j = 1, 2, . . . , k.

Unicamente falta demostrar la unicidad de la solucion modulo M = m1 ·m2 · · · · ·mk. Supong-

amos que x e y son soluciones de la ecuacion. Entonces x ≡ aj (mj) e y ≡ aj (mj) para todo

101




j = 1, 2, . . . , k, de donde se deduce que x − y ≡ 0 (mj) para todo j = 1, 2, . . . , k. Usando el

Corolario 2.4 se obtiene que x − y ≡ 0 (m1 · m2 · · · · · mk), es decir, x e y son congruentes

modulo M .

Ejemplo 2.11. El sistema de congruencias x ≡ 1 (3), x ≡ 2 (5), x ≡ 3 (7), que se ha resuelto

en el ejemplo 2.10, puede resolverse de nuevo usando el procedimiento desarrollado en el

teorema anterior. Segun este la solucion es unica modulo M = 3 · 5 · 7 = 105

1. Como M1 = 105/3 = 35 tenemos que resolver la ecuacion 35·b1 ≡ 1 (3), es decir 2·b1 = 1

en Z3; por tanto podemos tomar b1 = 2.





La solucion es, por tanto, x = 1 · 35 · 2 + 2 · 21 · 1 + 3 · 15 · 1 = 157 ≡ 52 (105).

Ejemplo 2.12. Queremos calcular a = 347231 modulo 35. Como 347 es congruente con 2 y

modulo 5 y 4 es congruente con −1 modulo 5 tenemos

a ≡ (2)131 ≡ (−1)1152 ≡ 3 (5)

Por otro lado, 347 es congruente con 4 modulo 7 y 43 es congruente con 1 modulo 7, y tenemos

a ≡ (4)231 ≡ (43)77 ≡ 1 (7)

Por tanto a es un numero que satisface las ecuaciones x ≡ 3 (5) y x ≡ 1 (7). Segun el teorema

chino del resto estas ecuaciones tienen solucion unica modulo 35; una de estas soluciones es

x = 8. Ası pues

347231 ≡ 8 (35)

Problemas resueltos

Problema 2.1. Calcular la capacidad maxima que debe tener una vasija para que con ella

se puedan medir exactamente las cantidades de tres recipientes de 1092; 1386 y 756 lts.

Solucion. Como buscamos, la capacidad maxima de una vasija para medir los contenidos de

otras tres, entonces esta capacidad sera un divisor comun de los tres recipientes; como debe

ser maxima, esta capacidad es el m.c.d.

1092 = 22 × 3 × 7 × 13

1385 = 2 × 32 × 7 × 11

756 = 22 × 33 × 7

m(1092; 1385; 756) = 2 × 3 × 7 = 42 lts.

102




Problema 2.2. Pedro trabaja cinco dıas seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo el

Lunes. ¿Cuantos dıas tienen que transcurrir para que le toque descanso el Domingo?

Solucion. Sabemos que los Domingos se suceden de 7 en 7 dıas y el descanso sucede el sexto

dıa, por lo tanto el tiempo que debe transcurrir para que le toque descansar un dıa Domingo,

(primer Domingo que descansa) es el m.c.m de 6, 7 o sea 42.

Luego el empleado descansa despues de 42 − 1 = 41 dıas transcurridos.

Deben transcurrir 41 dıas y el siguiente (dıa 42) descansa.

Problema 2.3. ¿Cuantos rectangulos distintos se pueden formar con 60 soldados?

Solucion. El numero de soldados descompuesto en sus factores primos es:

60 = 22 × 3 × 5

Los rectangulos a formarse serıan colocados en:

Longitud Ancho

30 2 Soldados

15 4 Soldados

12 5 Soldados

20 3 Soldados

Vemos que se pueden formar 4 rectangulos diferentes.

Problema 2.4. En una fabrica de jabon existen 3 secciones:

En la primera se fabrican 3600 pastillas diarias, en la segunda 9000, en la tercera 870 pastillas.

¿Cuantas cajas distintas pueden usarse con la condicion de que las producciones de las tres

secciones se puedan empacar exactamente en ellas?.

Solucion. La caja que contenga el mayor numero de pastillas de jabon sera tal que este

numero sea el mayor divisor comun a 3600, 9000 y 870; esto quiere decir que debemos calcular

el m.c.d. de estos tres numeros

3600 = 24 × 32 × 52

9000 = 23 × 32 × 53

870 = 2 × 3 × 5 × 29

m(3600; 9000; 870) = 2 × 3 × 5 = 30.

El numero de cajas que se pueden utilizar es igual al numero de divisores del m.c.d.

n = (2)(2)(2) = 8

Se pueden utilizar 8 cajas diferentes considerando las cajas que tienen una pastilla de jabon

como contenido.

103

Problema 2.5. Dos ciclistas dan vueltas a una pista circular; el primero da la vuelta en 18

minutos y el segundo en 15 minutos. Si ambos parten del mismo punto A de la pista. ¿Dentro

de cuantos minutos volveran a encontrarse en el mismo punto?

Solucion. Se comprende que, para que el primer ciclista se encuentre en A tendra que tran-

scurrir un numero multiplo de minutos; analogamente para que el segundo ciclista se encuentre

otra vez en A debe haber transcurrido un numero de minutos multiplos de 15. Por lo que

tanto este numero de minutos transcurridos es un multiplo de 15 y 18. siendo el m.c.m. de 18

y 15 el primer momento que se vuelven a encontrar en el punto A.

m.c.m.(18; 15) = 90

Dentro de 90 minutos.

Problema 2.6. El numero de paginas de un libro esta comprendido entre 600 y 800. Calcular

este numero sabiendo que si se cuentan de 5 en 5, sobra 2; de 7 en 7 quedan 4, y de 11 en 11

sobran 8.

Solucion. Designemos por P , el numero de paginas del libro, que de acuerdo al problema se

tiene

600 < P < 800 (1)

P = m · 5 + 2 ⇒ P + 3 = m · 5P = m · 7 + 4 ⇒ P + 3 = m · 7P = m · 11 + 8 ⇒ P + 3 = m · 11

Por lo tanto (P + 3) es un multiplo de (5, 7, 11), siendo el menor de ellos el m.c.d., es decir,

385 y como vemos este numero no sera P ya que no cumple con la condicion (1). Se tiene

pues:

P + 3 = 385 ⇒ P = 385k − 3

Para calcular el valor de k, reemplazamos el valor de P en (1):

600 < 385k − 3 < 800 ⇒ 600 < 385k − 3︸︷︷︸(I)

∨ 385k − 3 < 380︸︷︷︸(II)

De (I) se tiene:600 + 3

385< k ⇒ 1,5 < k

De (II) se tiene:800 + 3

385< k ⇒ k < 2,08

De estas dos desigualdades se tiene:

1,5 < k < 2,08

104




como el numero de paginas es un numero entero: (k) debe ser numero entero, por lo tanto

tenemos que el unico valor que cumple estas condiciones es k = 2

P = 385 × 2 − 3 = 767 paginas

Problema 2.7. Se considera la siguiente serie:

1 × 24; 2 × 24; 3 × 24; . . . ; 60 × 24

Se pide hallar:

1. ¿Cual es el menor numero de esta serie que es divisible por 60?

2. ¿Cuantos terminos de la misma serie son divisibles por 60?

Solucion.

1. Debemos hallar el numero que multiplicado por 24, produce un multiplo de 60 y ese

numero sera igual al m.c.m. de 60 y 24.

60 = 22 × 3 × 5

24 = 23 × 3

}M(60; 24) = 23 × 3 × 5 = 120

luego el menor numero divisible entre 60 es 120.

2. La solucion de esta segunda parte se halla calculando el m.c.d de 60 y 24.

60 = 22 × 3 × 5

24 = 23 × 3

}m(60; 24) = 22 × 3 = 120

Luego hay 12 terminos en la serie que son divisibles por 60

Problema 2.8. ¿Cuantos multiplos de 32 hay en la serie siguiente

27(32 + 1); 27(32 + 2); 27(32 + 3); . . . ; 27(32 + 915)?

Solucion. Se tiene en la serie que:

A = 27 n = 915

B = 12 b =???

Calculo de m.c.d. = m(27; 32) = 1

b =32

m=

32

1= 32

Por lo tanto el numero de multiplos de 72 que hay en la serie es:

m

b=

315

32= 28

105




Problema 2.9. Hallar todos los divisores del numero 1 134 000 que sean cubos perfectos.

Solucion. El numero 1 134 000, lo descomponemos de sus factores primos

1 134 000 = 24 × 34 × 53 × 7

Para hallar los divisores del numero dado, procedemos del modo siguiente:

1 22 23 24

3 32 33 34

5 52 53

7

de este modo donde todos son los divisores del numero dado, vemos que los que son cubos

perfectos son: 1, 23, 33, 53, ademas tendremos los productos de estos, dos a dos y al final de

los tres:

(23 × 33); (33 × 53); (23 × 53) y (23 × 33 × 53)

siendo los divisores buscados: 1; 8; 27; 125; 216; 1000; 3375; 27000.

Problema 2.10. Hallar todos los divisores del numero 5292 que sean cuadrados perfectos.

Solucion. 5292 = 22 × 33 × 72

Para hallar el numero entero de divisores de este numero, empezamos por:

1 22 23

3 32 33

7 72

Los divisores que son cuadrados perfectos, son: 1; 22; 32; 72; 22 × 32; 32 × 72; y 22 × 32 × 72

Desarrollando se tiene: 1; 4; 9; 49; 36; 196; 441; 1764.

Actividades

1. El senor Salazar es el dueno de la Empresa GELIDO S.A. y desea hacer un balance

acerca de lo que logro en los ultimos 5 anos con la citada empresa para lo cual analiza

el siguiente cuadro-resumen en el cual falta llenar algunos espacios vacıos.

ANO INGRESOS (S/.) EGRESOS (S/.) GANANCIAS O

PERDIDAS (S/.)

1998 73517 68419

1999 195614 113417

2000 214818 276509

2001 306415 +58407

2002 318716 -15613

106

Segun este cuadro contestar las siguientes preguntas:

a) Al final de los 5 anos, ¿cuanto gano? o ¿cuanto perdio?

b) ¿Cuanto fue el ingreso total logrado en los tres primeros anos?

c) ¿A cuanto asciende el egreso total durante los 5 anos?

d) ¿En cuantos anos, de los 5, se lograron ganancias?

e) ¿Cuanto se gano o perdio en los ultimos 3 anos?

2. Demostrar en Z que 2ab ≤ a2 + b2

3. Hallar los numeros enteros tales que:

a. |2x − 4| + 3|2 − x| + x = 10

b. |3 − x| − |x + 2| = 5

4. ¿Cuales de las siguientes propiedades son ciertas en el conjunto de los numeros enteros?

En caso de que alguna sea falsa, de un contraejemplo.

i. Si a < b, entonces a2 < b2.

ii. Si a ≤ b y c ≤ d, entonces ac ≤ bd

iii. Si 0 < a < b, entonces a2 < b2

iv. Si a 0, entonces ac < bc

v. Si a > b, entonces b + c < a + c

vi. Si a < b, entonces a < 2b

5. Si a, b son enteros tales que a y?

7. Si a y b son enteros tales que b > a, entonces ¿Cual es el numero de enteros x tales que

a < x < b?

8. Un negocio se inicia con un capital de 20 000 soles. Si los primeros 7 meses se ha tenido

una perdida de 400 soles y los siguientes meses se ha ganado a razon de 1200 por mes.

¿Despues de cuanto tiempo de iniciado el negocio el capital se ha duplicado?

9. Ocho equipos juegan un torneo relampago de futbol: una sola ronda, todos contra todos

durante dos semanas. Hay dos equipos, G y H, que no pueden jugar ningun partido la

primera semana.

Los seis equipos A, B, C, D, E y F , juegan todos los partidos entre ellos la primera

107




semana. La tabla de posiciones, despues de esta semana, tiene al equipo A como unico

puntero. La segunda semana, los equipos G y H juegan todos sus partidos y ası se

completa el torneo. ¿Es posible que, al finalizar el torneo, el equipo A quede ultimo

absoluto, detras de los otros siete equipos?

Nota: En cada partido un equipo obtiene 2 puntos si gana, 1 punto si empata y 0

puntos si pierde

10. Si m, n son numeros enteros positivos tales que 5m + 6n = 100. ¿Cual es el mayor valor

posible de mn?

11. Demostrar en Z que:

a) MCD(a, b) = MCM(a, b) ⇒ a = b ∨ a = −b

b) MCD(a, b) = MCD(−a, b) = MCD(a,−b)

c) MCD(a, b) = MCD(b, r), donde r es el resto de dividir a entre b

12. Probar que:

a) Si MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(a + b, a − b)0 = 1 o 2

b) Si m > 0 ∧ MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(am, b) = MCD(m, b)

c) MCD(a, b) = 1 ⇒ MCD(an, b) = 1

13. Hallar x, y ∈ Z, tales que:

a) 3 = 51x + 258y

b) 3 = 285x + 72y

c) 1 = 5x + 4y

d) 4 = 400x + 164y

14. Si (a, b) = 1 ⇒ (an, bk) = 1, ∀n ≥ 1, k ≥ 1

15. Probar que ∀ a ∈ Z, MCD(a, 0) = |a|

16. Si (n, 7) = 1 probar que 7′|(n12 − 1), ∀n ∈ Z

17. Si 3/n(n2 + m2), m, n ∈ Z probar que 3/n y 3/m

18. Probar que 6/[(n − 1)(n)(n + 1)], ∀ n ∈ Z

19. Probar que un numero primo impar puede expresarse como diferencia de cuadrados de

modo unico.

20. Probar que n7 − n, es multiplo de 42, ∀ n ∈ Z+

108




21. Para investigar: Los numeros de Lucas son: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 47, 76 con L1 = 1,

L2 = 3 y para todo n ≥ 2 Lk = Lk−2 + Lk−1.

Calcular la suma1

1 · 3 − 1

3 · 4 +1

4 · 7 − 1

7 · 11+

1

11 · 18

22. Para investigar: Resolver en Z la ecuacion xyz = xy + yz + zx.

23. Para investigar: Sean a, b, c ∈ Z con a > 1 y b > 2. Justificar que ab + 1 ≥ b(a + 1) y

determinar cuando se tiene la igualdad.

24. Probar que x = x0+x110+x2102+· · · es divisible entre 11 si y solo si x0−x1+x2−x3 · · ·es divisible entre 11.

25. Demostrar que si a, b y c son numeros enteros y m es un entero positivo tales que

ac ≡ bc (m), se tiene que a ≡ b (m/d) donde d = (c, m).

109




2.3. Sesion 9: Definicion Axiomatica de Q. Sustraccion,

division, potenciacion y orden en Q

La matematica: el incomovible Fundamento de todas las

ciencias y la generosa Fuente de Beneficios para los asuntos

humanos.

Isaac Barrow

Contextualizando: Promedio de bateo de un jugador de beisbol

Con la finalidad de determinar el promedio de bateo de un jugador de beisbol, dividimos el

numero de imparables entre el numero de veces al bateo. Existe una sorprendente paradoja

concerniente a los promedios, es posible que el jugador A tenga un promedio anual de bateo

mayor que el del jugador B en dos anos sucesivos, aunque en el perıodo de dos anos el jugador

B pueda tener un promedio total mas alto. Vease la tabla

Ano Jugador A Jugador B

2001 2040

= ,500 90200

= ,450

2003 60200

= ,300 1040

= ,450

Total en los dos anos 80240

= ,333 100240

= ,417

En cada uno de estos dos anos, el jugador A tuvo un promedio mayor, pero en el perıodo de

dos anos, el jugador B tuvo el promedio mas alto. Este es un ejemplo en estadıstica de la

paradoja de Simpson.

2.3.1. Definicion Axiomatica de Q

En el Sistema de los Numeros Enteros, la suma, la diferencia y el producto de dos numeros

enteros siempre existen y son numeros enteros. En cambio, el cociente de dos numeros enteros

no siempre existe, por ejemplo 23

no es un numero entero, puesto que no existe un numero

entero v tal que: 2 = 3 · v. En terminos algebraicos, en Z no es posible resolver la ecuacion

3x = 2.

Surge entonces la necesidad de ampliar el Sistema de los Numeros Enteros, a un nuevo conjunto

que “lo contenga” en el cual la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos elementos de

este nuevo conjunto sea otro elemento del mismo; este nuevo conjunto sera el de los Numeros

Racionales.

Una manera formal de introducir el conjunto de los numeros racionales Q es a partir de Z.

Se define en Z × Z+ una adecuada relacion, de equivalencia, la cual determina una particion

de Z × Z+ o sea el conjunto cociente al cual se le llama Q. Luego, se definen las operaciones

de adicion y multiplicacion en Q, obteniendose el sistema de los numeros racionales Q.

110




Se introducira, como en el caso de los Sistemas de los Numeros Naturales N y Enteros Z, el

Sistema de Numeros Racionales Q usando el metodo axiomatico.

El Sistema de los Numeros Racionales es un conjunto, denotado por Q, provisto de dos

operaciones internas llamadas adicion y multiplicacion.

La Adicion es una operacion interna en Q, que asocia a cada par de numeros racionales (a, b) ∈Q×Q un unico numero racional llamado suma de a y b, denotado por a+ b. Simbolicamente:

+ : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a + b

Los numeros racionales a y b reciben el nombre de sumandos.

La Multiplicacion es una operacion interna en Q, que asocia a cada par de numeros racionales

(a, b) ∈ Q × Q un unico numero racional llamado producto de a y b denotado por a · b o

simplemente ab. Simbolicamente:

· : Q × Q → Q, tal que (a, b) → a → b


La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes diez axiomas:

Nota Importante:






Teorema 2.32. Si a, b y c son numeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades:


Corolario 2.5. a) a = b ∧ c = d ⇒ a + c = b + d

b) a = b ∧ a · c = b · dLa demostracion es analoga al caso de los numeros naturales y enteros.

Teorema 2.33. Si a y b son numeros racionales, se cumplen las siguientes propiedades:

a) a · 0 = 0

b) ab = 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0

La demostracion es analoga al caso de los numeros naturales y enteros.

111




Corolario 2.6. Si a 6= 0 ∧ b 6= 0, entonces ab 6= 0

Teorema 2.34 (Propiedades del Opuesto de un numero racional). Si a y b son numeros

racionales, se cumplen las siguientes propiedades:

a) −(−a) = a, para todo a ∈ Q

b) −(a + b) = (−a) + (−b)

c) (−1)a = −a

d) a(−b) = (−a)b = −(ab)

e) (−a)(−b) = ab

Demostracion. La demostracion de todas las propiedades es analoga a la realizada en los

Numeros Enteros.

Teorema 2.35 (Propiedades del Inverso). Si a y b son numeros racionales diferentes de

cero, se cumplen las siguientes propiedades:

a) (a−1)−1 = a, para todo a ∈ Q

b) (a · b)−1 = a−1 · b−1

Demostracion. Queda como ejercicio para el lector. Se sugiere adecuar las demostraciones de

las propiedades 3a y 3e.

Teorema 2.36 (Cancelacion en la Adicion y Multiplicacion). Si a y b son numeros

racionales se tiene:

a) a + c = b + c ⇒ a = b

b) Si ac = bc y c 6= 0 ⇒ a = b

Demostracion. a) Es analoga a la realizada en Z. Basta cambiar la palabra entero por

racional.

b) Si ac = bc entonces (ac) · c−1 = (bc) · c−1 de donde se sigue que a(c · c−1) = b(c · c−1), o

sea, a · 1 = b · 1, lo que implica a = b.

112




A continuacion, se presenta el ultimo axioma del Sistema de los Numeros Racionales:

Teorema 2.37. Si denotamos por 0Z, 0Q, 1Z y 1Q a los elementos neutros de la adicion y

multiplicacion de Z y Q respectivamente; se tiene:

a) g(0Z) = 0Q

b) g(1Z) = 1Q

c) g(−a) = −g(a), para todo a ∈ Z.

Demostracion. a) g(0Z) = g(0Z + 0Z) = g(0Z) + g(0Z). Como g(0Z) = g(0Z) + 0Q, resulta

que g(0Z) + 0Q = g(0Z) + g(0Z), luego aplicando la cancelacion para la suma(Teorema

5a), se tiene que g(0Z) = 0Q.

b) Como: 0Z1Z, entonces g(0Z) 6= g(1Z). Por otra parte, g(1Z) = g(1Z · 1Z) = g(1Z) · g(1Z).

Por Q7 se tiene que g(1Z) = g(1Z) · 1Q, de donde resulta que g(1Z) · 1Z = g(1Z) · g(1Z),

luego, como g(1Z) 6= 0Q , aplicando la cancelacion para el producto (Teorema 5.b) resulta

g(1Z) = 1Q.

Veamos el siguiente caso particular:

g(2Z) = g(1Z + 1Z) = g(1Z) + g(1Z) = 1Q + 1Q = 2Q

c) Para todo a ∈ Z, por Q10ii), g(a) + g(−a) = g(a + (−a)) = g(0Z) = 0Q, pero tambien

g(a) + (−g(a)) = 0Q = g(a) + g(−a); luego, cancelando se tiene −g(a) = g(−a).

A continuacion estableceremos las propiedades de g(Z)

Teorema 2.38. i) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a + b ∈ g(Z)

ii) Para todo a, b ∈ g(Z), se tiene que: a · b ∈ g(Z)

Demostracion. i) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n),

luego a + b = g(m) + g(n) = g(m + n) ∈ g(Z), pues m + n ∈ g(Z)

ii) Para todo a, b ∈ g(Z), existen m, n ∈ Z tales que a = g(m) y b = g(n), luego a · b =

g(m) · g(n) = g(m · n) ∈ g(Z), pues m · n ∈ g(Z).

113




En virtud de este teorema, como g(Z) ⊂ Q las operaciones internas de adicion y multi-

plicacion en el conjunto de los numeros racionales Q, restringidas g(Z) ⊂ Q, inducen las

mismas operaciones internas en g(Z)y, en consecuencia se demuestra el siguiente e importante.

Teorema 2.39. El conjunto g(Z) = {g(n)/n ∈ Z}, provisto de las operaciones internas de

adicion y multiplicacion

+ : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a + b

· : g(Z) × g(Z) → g(Z) tal que (a, b) → a · b

inducidas por las operaciones de Q verifican E1−E10.

Demostracion. La verificacion de los axiomas E1-E9 es inmediata. E10 se demuestra en el

siguiente

Teorema 2.40. Existe una aplicacion h : N → g(Z) tal que:

i) h es inyectiva

ii) h(m + n) = h(m) + h(n)

iii) h(m · n) = h(m) · h(n)

iv) Para todo q ∈ g(Z), existe m ∈ N tal que q = h(m) ∨−q = h(m)

Demostracion. Definamos h : N → g(Z) poniendo h = g ◦ f donde f : N → Z y g : Z → Qson las funciones inyectivas de los axiomas E10 y Q10 de Z y Q respectivamente.

i) Como f : N → Z y g : Z → Q. son funciones inyectivas, en virtud del Teorema 3 del

capitulo 1 la funcion h = g ◦ f : N → Q es inyectiva. Esta demostracion es un caso

particular del Teorema 3.1) del capitulo 1

ii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10ii) y Q10ii), resulta h(m + n) =

(g◦f)(m+n) = g(f(m+n)) = g(f(m)+f(n)) = g(f(m))+g(f(n)), es decir h(m+n) =

(g ◦ f)(m) + (g ◦ f)(n) = h(m) + h(n).

iii) Si m, n ∈ N, entonces, aplicando sucesivamente E10iii) y Q10iii), se tiene, h(mn) =

(g ◦ f)(mn) = g(f(mn)) = g(f(m)f(n)) = g(f(m)) · g(f(n)) = (g ◦ f)(m) · (g ◦ f)(n) =

h(m) · h(n)

iv) Para todo q ∈ g(Z), existe a ∈ Z tal que q = g(a). Si a ∈ Z, existe m ∈ N tal que

a = f(m) o −a = f(m) por E10iv).

114




Si a = f(m) entonces q = g(f(m)) = (g · f)(m) = h(m).

Si −a = f(m), −q = −g(a) = g(−a) = g(f(m)) = (g · f)(m) = h(m).

Es decir,∀q ∈ g(Z)∃m ∈ N tal que q = h(m) ∨ −q = h(m).

Nota importante: El teorema anterior permite, afirmar que la funcion g : Z → g(Z), donde

g(Z) ⊆ Q, goza de las siguientes propiedades:

1. g : Z → g(Z) es una biyeccion

2. g(m + n) = g(m) + g(n) y g(mn) = g(m)g(n).

Estas propiedades nos permiten identificar Z con g(Z), desde el punto de vista conjuntista por

1) y desde el punto de vista algebraico por 2), ası como escribir Z ∼= g(Z). En consecuencia

a partir de este momento identificaremos un numero entero m ∈ Z con el numero racional

g(m) · Q(m ∼= g(m)), al cual tambien lo llamaremos racional entero; en particular: 0Z∼=

g(0Z) = 0Q y 1Z∼= g(1Z) = 1Q. De esta manera tambien podemos escribir: “Z ⊂ Q”. En los

cursos avanzados de algebra se dice que g es un isomorfismo algebraico.

2.3.3. Sustraccion

Definicion 2.11. Dados los numeros racionales a y b, se llama diferencia de a y b, y se denota

a − b, al numero racional c tal que a = b + c.

Es decir, a − b = c ⇔ a = b + c.

Los numeros a y b reciben los nombres de minuendo y sustraendo, respectivamente.

Teorema 2.41. Dados los numeros racionales a y b, la diferencia a − b siempre existe y

es unica.

La demostracion es analoga a la realizada para numeros enteros; es decir basta poner c =

a + (−b) y reemplazar la palabra entero por racional.

El teorema anterior nos permite decir que la aplicacion “−”que asocia a cada par de numeros

racionales (a, b), su diferencia a − b.

− : Q × Q → Q tal que (a, b) → a − b

es una operacion interna que recibe el nombre de Sustraccion.

Corolario 2.7. Si a y b son numeros racionales, entonces

x + a = b ↔ x = b − a

La demostracion es analoga a la realizada para numeros enteros; es decir basta reemplazar la

palabra entero por racional.

115




2.3.4. Division

Definicion 2.12. Dados los numeros racionales a y b con b 6= 0, se llama cociente de a y b,

y se denota ab(o a/b), al numero racional c tal que a = b · c. Es decir, a

b= c ⇔ a = b · c

Teorema 2.42. Dados los numeros racionales a y b, con b 6= 0, el cociente de a y b existe y

es unico.

Demostracion. Dados los numeros racionales a y b, como b 6= 0, existe 1b, luego definiendo c =

a(1b), resulta c ∈ Q; ademas aplicando sucesivamente el axioma de sustitucion, las propiedades

asociativa, conmutativa y del inverso, se tiene:

b · c = b · [a(1

b)] = [b(

1

b)]a = a

Luego a = b · c y aplicando la definicion de cociente, resulta ab

= c

Observacion 2.1. Es importante recordar la igualdad: ab

= a(1b)

El teorema anterior nos permite decir que la aplicacion “/”que asocia a cada par de numeros

racionales (a, b), con b 6= 0, su cociente a/b

/ : Q × (Q − {0}) → Q tal que (a, b) → a/b

es una operacion interna que recibe el nombre de Division.

Teorema 2.43. Si a, b, c, d son numeros racionales, c 6= 0 y d 6= 0, se cumplen las siguientes

propiedades:

a) ac

+ bc

= a+bc

b) ac

+ bd

= ad+bccd

c) ac· b

d= ab

cd

d) ac

= bd⇔ ad = bc

e) Si a 6= 0, la ecuacion ax + b = 0 tiene solucion en Q y ademas es unica.

Demostracion. a) Si c 6= 0, existe c−1 ∈ Q, luego aplicando la definicion de cociente se

tienea + b

c= (a + b) · c−1 = a · c−1 + b · c−1 =

a

c+

b

c

b) Si c 6= 0, por el corolario del Teorema 2, cd 6= 0, luego existe (cd)−1 y se tiene:

ad + bc

cd= (ad + bc) · (cd)−1 = (ad + bc) · (c−1 · d−1) = (ad) · (c−1 · d−1) + (bc) · (c−1 · d−1)

= ac−1(d.d−1) + bd(c · c−1) = ac−1 · 1 + bd−1 · 1 = ac−1 + bd−1 =a

c+

b

d

116




c) Si c 6= 0 y d 6= 0, entonces cd 6= 0, luego,

ab

cd= ab · (cd−1) = (ab) · (c−1 · d−1) = (ac−1) · (bd−1) =

a

c· b

d

d)

a

c=

b

d⇔ ac−1 = bd−1

⇔ (ac−1)cd = (bd−1)cd, pues cd 6= 0

⇔ ad(c−1c) = bc(d−1d)

⇔ ad = bc

e) Si ax + b = 0, entonces ax = −b. Como a 6= 0 existe a−1 y se tiene.

(a−1)(ax) = (a−1)(−b) ⇒ (a−1a)x = (−b)a−1 ⇒ 1 · x = −(ba−1) ⇒ x = − b

a

Es decir, la ecuacion ax + b = 0 tiene solucion y es unica.

En particular la ecuacion ax = c tiene solucion unica a x = ca.

2.3.5. Potenciacion

Definicion 2.13. Sea a un numero racional, a 6= 0 y n un numero natural, la potencia an,

esta dada por:

1. a0 = 1

2. an = an−1 · a, si n ≥ 1


De la definicion, se tiene que:

a1 = a0 · a = 1 · a = a (un factor)

a2 = a1 · a = a · a, (dos factores)

a3 = a2 · a = a · a · a, (tres factores), y en general,

an = a · a · · ·a, (n factores).

Definiendo a−n = 1an , para los numeros naturales m y n y para el numero racional a 6= 0, se

tiene:am

an= am 1

an= am · a−n

Como en el caso de los numeros naturales, aplicando la induccion matematica se demuestra

que:

i) (a · b)n = an · bn,

ii) am · an = am+n

iii) (am)n = am·n

117

2.3.6. Numeros reales como cocientes de numeros enteros

Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n 6= 0, g(n) 6= 0, tal que r = g(m)g(n)

, donde g : Z → Q es la

inyeccion del axioma Q10. En efecto, por el axioma Q10iv), para todo r ∈ Q, existe n ∈ Z,

n 6= 0 tal que, r · g(n) ∈ g(Z), es decir r.g(n) = g(m), para algun m ∈ Z.

Como g(n) 6= 0, y r·g(n) = g(m), aplicando la definicion de cociente, se concluye que r = g(m)g(n)

.

En consecuencia, usando la identificacion de Z con g(Z), g(m) ∼= m y g(n) ∼= n, son racionales

enteros, luego todo numero racional r, se puede expresar como cociente de enteros racionales

con denominador diferente de cero. Ası podemos expresar r = mn.

Teorema 2.44. 1. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, n > 0, tal que r = g(m)g(n)

2. Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos (Definicion 7 capıtulo 1), n > 0 tal que

r = g(m)g(n)

Demostracion. 1. Por Q10iv)∀r ∈ Q∃k ∈ Z, k 6= 0 tal que g(k) · r ∈ g(Z) y ∃m ∈ Z. tal

que g(k) · r = g(m).

i) Si k > 0, basta tomar n = k, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(n) · r = g(m)

de donde r = g(m)g(n)

con n > 0.

ii) Si k < 0, tomamos n = −k > 0, luego existen m, n ∈ Z, n > 0 tal que g(−n) · r =

g(m). Aplicando sucesivamente los Teoremas 6c y 3, se sigue que: (−g(n))r = g(m),

luego g(n) · r = −g(m) de donde g(n) · r = g(−m).

Por lo tanto, r = g(−m)g(n)

con n > 0.

2. Para todo r ∈ Q, por la parte (1) existen m′, n′ ∈ Z, n′ > 0 tales que r = g(m′)g(n′)

.

Sea d = MCD(m′, n′), entonces existen m, n ∈ Z tales que m′ = dm, n′ = dn y MCD(m, n) =

1. Como d > 0 y n′ > 0, entonces n > 0, ademas g(n′) · r = g(m′) en Q entonces g(dn) · r =

g(dm), luego g(d)g(n)r = g(d)g(m) por Q10(iii).

Como g es inyectiva y d 6= 0 entonces g(d) 6= g(0) = 0 ası, g(n) · r = g(m), n > 0.

Por lo tanto, r = g(m)g(n)

donde m y n son coprimos y n > 0.

Observacion 2.2. 1. La primera parte de este teorema nos indica que todo numero racional

puede expresarse como un cociente de racionales enteros con denominador “positivo”(el

orden lo veremos mas adelante).

En particular, para todo m ∈ Z, g(m) ∈ Q, luego g(m) = g(m)g(1z)

.

Y usando la identificacion podemos escribir: m = m1.

2. La segunda parte de este teorema nos indica que todo numero racional puede expresarse

como cociente de racionales enteros coprimos.

118




Esto es, usando la identificacion: Para todo r ∈ Q, existen m, n ∈ Z, coprimos tal que

r = mn.

Corolario 2.8. Sean a, b, c, d ∈ Z, b 6= 0 y d 6= 0

i) Si r = mn∈ Q con m, n ∈ Z, coprimos y r = c

d, d 6= 0, entonces existe k ∈ Z, k 6= 0,

tal que c = km y d = kn.

ii) Si r = mn∈ Q con m, n ∈ Z, entonces −r = −m

n= −m

n= m

−n

iii) r = ab

= cd∈ Q si, y solo si, ad = bc.

2.3.7. Orden en Q

El orden de Z, mediante la aplicacion g : Z → Q del axioma Q10 induce un orden en Q como

se muestra a continuacion:

Definicion 2.14. Se dice que r ∈ Q es un numero racional positivo si, y solo sı, existen

m, n ∈ Z+ tales que r = g(m)g(n)

. Ası por ejemplo 1Q = g(1z)g(1z)

es racional positivo.

Usando la identificacion se tiene que, r ∈ Q es un numero racional positivo si, y solo sı, existen

m, n ∈ Z+ tales que r = mn.

Si r = pq

, por el corolario anterior, pn = qm, y como m y n son enteros positivos, entonces p

y q tienen el mismo signo, luego pq > 0 en Z.

Ası en forma equivalente se tiene que r = mn∈ Q es un numero racional positivo si, y solo si,

mn > 0. Denotaremos por Q+ = {x ∈ Q/x es positivo} al subconjunto no vacıo de todos los

numeros racionales positivos.

Teorema 2.45. 1) Para todo r, s ∈ Q+, se cumple r + s ∈ Q+

2) Para todo r, s ∈ Q+, se cumple r · s ∈ Q+

3) Para todo r ∈ Q una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera

r ∈ Q+ ∨ r = 0 ∨ −r ∈ Q+

Demostracion. 1. Sean r, s ∈ Q+, por definicion existen a, b, c, d,∈ Z+, tales que r = ab

y

s = cd.

Por el Teorema 12, r + s = ab

+ cd

= ad+bcbd

.

En Z, b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y tambien, a > 0 y c > 0, luego ad + bc > 0 ası,

r + s ∈ Q+.

119

2. Sean r, s ∈ Q+, por definicion existen a, b, c, d ∈ Z+, tales que r = ab

y s = cd.

Por el Teorema 12, r · s = ab· c

d= ac

bdcomo b > 0 y d > 0, entonces bd > 0 y tambien,

a > 0 y c > 0, luego ac > 0 en Z y en consecuencia r · s ∈ Q+.

3. Sea r ∈ Q entonces por el Teorema 13, existen m, n,∈ Z, con n > 0, tales que r = mn.

Como para m ∈ Q, una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: m ∈ Z+∨m =

0 ∨−m ∈ Z+

resulta que,m

n∈ Q + ∨ 0 =

0

n∨ −m

n=

−m

n∈ Q+

De donde, como g : Z → Q es inyectiva, resulta que, una y solo una de las siguientes

relaciones es verdadera:

r ∈ Q+ ∨ r = 0 ∨ −r ∈ Q+

Si denotamos por Q− al subconjunto de Q definido por Q− = {x ∈ Q/ − x ∈ Q+}, se

tiene que Q− = φ, pues −1 ∈ Q−, y aplicando el Teorema 14 · 3, resulta que:

Q = Q+ ∪ Q−{0}

2.3.8. Consecuencias importantes del teorema 14

Teorema 2.46. Si a ∈ Q, a 6= 0 entonces a2 ∈ Q+

Demostracion. Si a 6= 0 entonces a ∈ Q+ ∪ Q−

Si a 6= Q+ entonces a2 = a · a ∈ Q+ y si a ∈ Q− entonces −a ∈ Q+ y en consecuencia

a2 = a · a = (−a) · (−a) ∈ Q+. En particular, 1 = 1 · 1 ∈ Q+.

Definicion 2.15. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor que b y se denota

con a a si, y solo si, a < b.

De la definicion anterior resulta el siguiente:

Teorema 2.47. a) a ∈ Q+ si, y solo si, a > 0.

b) a > 0 si, y solo si, −a < 0.

120

Demostracion. a) Si a ∈ Q+, a − 0 = a ∈ Q+, luego 0 < a, de dondea > 0.

Recıprocamente, si a > 0 entonces 0 < a y a − 0 ∈ Q+, es decir a ∈ Q+.

b) Si a > 0, a ∈ Q+, luego a = 0 − (−a) ∈ Q+, es decir −a < 0.

El recıproco es inmediato.

Usando el Teorema anterior, podemos escribir:

i) Dado a ∈ Q, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:

0 < a ∨ a = 0 ∨ a < 0(Tricotomıa).

ii) Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0


a) a < 0 ∧ b < 0 ⇒ ab > 0

b) a > 0 ∧ b < 0 ⇒ ab < 0

Demostracion. a) Si a < 0∧ b < 0 entonces −a > 0∧−b > 0 de donde ab = (−a)(−b) > 0

b) Si a > 0 ∧ b < 0 entonces a > 0 ∧ −b > 0 de donde −ab = a(−b) < 0 y ab < 0.


a) a bc

Demostracion. Se probaran a) y d). Quedan como ejercicios b), c)ye).

a) Si a < byb < c, existen r > 0 y s > 0 tales que a + r = b y b + s = c luego

a + (r + s) = (a + r) + s = b + s = c, es decir, existe un numero racional r + s > 0 tal

que a + (r + s) = c, y en consecuencia a < c.

121

d) Si a 0 tal que a + r = b. Como c > 0 y r > 0, rc > 0, luego ac + rc =

(a + r)c = bc lo que implica que ac < bc.

Teorema 2.50. Si a y b son numeros racionales diferentes de cero, el inverso multiplicativo

tiene las siguientes propiedades:

a) a > 0 ⇒ a−1 > 0

b) a < 0 ⇒ a−1 < 0

c) Si 0 < a 0, se tiene, por el axioma

Q8, que 1 = a−1a < 0, es decir, 1 < 0, lo que es una contradiccion.

Por lo tanto a−1 > 0.

c) Si 0 < a < b, por el Teorema 14, ab > 0. Pero por los Teoremas 19a y 4b resulta

a−1b−1 = (ab)−1 > 0. Entonces,

b−1 = (aa−1)b−1 = a(a−1b−1) < b(a−1b−1) = b(b−1a−1) = (bb−1)a−1 = a−1.

Teorema 2.51. i) Si a > 0 y n > 0 ⇒ an > 0

ii) Si 0 < a < b ⇒ an < bn

Demostracion. Probar las dos propiedades por induccion.

Teorema 2.52 (Densidad de los numeros racionales). Dados los numeros racionales a y b,

tales que a < b, siempre existe un numero racional c tal que

a < c < b

122

Demostracion. Si a < b, en virtud de 18(b) resulta, a + a < a + b ∧ a + b < b + b, de donde,

2a < a + b < 2b lo que implica a = 2a(12) < (a+b

2)1

2< (2b)1

2, osea a < a+b

2< b. Luego, bastara

tomar c = a+b2

Definicion 2.16. Si a y b son numeros racionales, se dice que a es menor o igual que b y se

denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b.

En particular, 0 ≤ a si, y solo si, a < b o a = b.

Se sigue de inmediato que:

a ≤ b ⇔ ∃c ≥ 0/a + c = b

Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a 2se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b.

Teorema 2.53. Si a, b y c son numeros racionales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las

siguientes propiedades

a) a ≤ a (Propiedad reflexiva)

b) a ≤ ∧b ≤ a ⇒ a = b (Propiedad antisimetrica)

c) a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c (Propiedad transitiva)

d) a 6= b ⇒ a < b ∨ b < a (Propiedad conexa)

e) a ≤ b ∧ c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc

f) a ≤ b ∧ c ≤ 0 ⇒ ac ≥ bc

Demostracion. Las demostraciones de las 6 propiedades son consecuencia de la definicion de

la relacion menor o igual y de las propiedades de la relacion menor en Q

Observacion 2.3. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relacion menor o

igual es una relacion de orden en Q.Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relacion menor

o igual es una relacion de orden conexa.

Ejemplo 2.13. Si a, b y c, son numeros racionales tales que 0 < a 0, resulta 0 < a2 < a < 1. Repitiendo el mismo

procedimiento, se obtienen las siguientes desigualdades: 0 < a3 < a2 < a < 1 y 0 <

a5 < a4 < a3 < a2 < 1. En consecuencia la afirmacion dada es verdadera.

b) Si 0 < a < b, aplicando el teorema 11c, se tiene 0 < b−1 < a−1, de donde, como 15

> 0

resulta b−1

5< a−1

5

123




c) Queda como ejercicio.

2.3.9. Radicacion

Definicion 2.17. Si a ≥ 0 es un numero racional y n ∈ N+, se llama raız n−esima de a y se

denota n√

a , al unico numero real no negativo b, si existe tal que bn = a;

Simbolicamente n√

a = b ⇔ bn = a.

En la expresion b = n√

a ; se dira que n es el ındice del radical, y que a es el radicando o

expresion subradical.2√

a se escribe simplemente a y se lee “raız cuadrada de a”. 3√

a se lee: “raız cubica de a”.

Teorema 2.54. Si a, b ∈ Q+0 = Q+ ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces:

a) Existe n√

ab y n√

ab = n√

a · · · n√

b .

b) Existe n√

am y n√

am = ( n√

a)m

c) Existen mn√

a, m√

n√

a y mn√

a, n√

m√

a = m√

n√

a

d) Si b > 0, n√

ab

=n√

an√

b

Observacion Importante:

Como 1 ∈ Q+, se sigue que los numeros racionales naturales:

1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, · · · , n, n + 1, · · ·

son positivos y que, en consecuencia, que el conjunto de los racionales naturales

N = N+ ∪ {0} ⊂ Q

Analogamente, como 0 ∈ Q y n ∈ Q, n racional natural, entonces −n ∈ Q, es decir el conjunto

de los racionales enteros Z ⊂ Q.

Se puede “identificar”los numeros racionales con ciertos puntos de la recta geometrica ℜ. Al

numero racional cero “0”se le asigna un punto cualquiera de la recta y luego fijando una cierta

“unidad de medida.a los numeros racionales positivos y a los negativos se les asigna puntos a

la derecha y a la izquierda del 0, respectivamente, tal como lo indica la siguiente figura:

De esta manera, se establece una aplicacion β : Q → ℜ que hace corresponder a cada numero

racional un punto de la recta geometrica.

124




Problemas Resueltos

Problema 2.11 (*). Julia tiene 289 monedas guardadas en cajas. Todas las cajas contienen

la misma cantidad de monedas (que es mayor que 1) y en cada caja solo hay monedas de un

mismo pais.

Las monedas de Bolivia son mas del 6 % del total, las de Chile, mas del 12 % del total, las de

Mexico, mas del 24 % del total y las Peru, mas del 36 % del total ¿Puede tener Julia alguna

moneda de Uruguay?

Solucion. Sea k la cantidad de monedas que tiene cada caja.

Como cada caja tiene la misma cantidad de monedas, 289 es multiplo de k.

Pero 289 = 172, solo tiene como divisores a 1, 17 y el mismo 289.

Por dato k > 1. Entonces k = 17 o 289.

Si k = 289, solo habrıa una caja y nu seria posible que haya monedas de cuatro pais distintos.

En consecuencia

k = 17

Como las monedas en cada caja son de un sol pais y hay un 17 monedas en cada caja, entonces

la cantidad total de monedas de cada pais es un multiplo de 17.

Las monedas de Bolivia son mas de 6100

· 289 = 17, 34. El menor multiplo de 17 mayor que

17, 34 es 34. Entonces, hay al menos de 34 monedas de Bolivia.

Las monedas de Chile son mas de 12100

·289 = 34, 68. El menor multiplo de 17 mayor que 34, 68

es 51. Entonces, hay al menos de 51 monedas de Chile.

Las monedas de Mexico son mas de 24100


69, 36 es 85. Entonces, hay al menos de 85 monedas de Mexico.

Las monedas de Peru son mas de 36100


104, 04 es 119. Entonces, hay al menos de 119 monedas de Peru.

En resumen la cantidad de monedas que tienen, en conjunto, Bolivia, Chile, Peru y Mexico

es de al menos.

34 + 51 + 85 + 119 = 289

monedas. Pero como el total de monedas es de 289, que coincide con la minima cantidad de

monedas que pueden tener en conjuntos, estos cuatro paıses, entonces Bolivia tiene exacta-

mente 34 monedas, Chile tiene exactamente 51 monedas, Mexico exactamente 85 monedas y

Peru tiene exactamente 119 monedas, para ası tener un total de 289 monedas. En consecuen-

cia, no es posible que alguna de las monedas sea de Uruguay

Problema 2.12. Para x1 = 30, x2 = 42, x3 = 56, etc, encontrar un entero positivo m tal que:

1

x1+

1

x2+

1

x3+ · · ·+ 1

xm= 0, 15

125




Solucion. Tenemos:

x1 = 30 = 5 × 6

x2 = 42 = (1 + 5)(1 + 6)

x3 = 56 = (2 + 5)(2 + 6)...

xm = (m − 1 + 5)(m − 1 + 6) = (m + 4)(m + 5)

Luego:

1

x1+

1

x2+

1

x3+ · · ·+ 1

xm=

1

5 × 6+

1

6 × 7+

1

7 × 8+ · · ·+ 1

(m + 4)(m + 5)=

=

[1

5− 1

6

]+

[1

6− 1

7

]+

[1

7− 1

8

]+ · · · +

[1

m − 4− 1

m − 5

]=

15

100=

3

20

⇒ 1

5− 1

m + 5=

3

20⇒ 1

m + 5=

1

20⇒ m + 5 = 20 ⇒ m = 15

Problema 2.13. Dos numeros estan en la razon a/b. Sabiendo que a/b genera una fraccion

decimal periodica pura con dos cifras en el periodo y que a + b = 12, hallar la suma de dichos

numeros si se sabe ademas que su diferencia es 130.

Solucion. Sean A y B los numeros tal que

A

B=

a × k

b × k=

a

b(1)

Como a/b genera una fraccion decimal periodica con dos cifras en el periodo, entonces a y b

don primos entre si.

Por dato: a + b = 12 ⇒ a = 1 y b = 11 o a = 5 y b = 7, de donde descartamos la segunda

posibilidad.

Luego en (1): A = k y B = 11k

Ademas

A + B = (a + b)k = 12k y B − A = (b − a)k = 10k

Entonces, B − A = 130 = 10k ⇒ k = 13 y en consecuencia; A + B = 12k = 12 × 13 = 156

Problema 2.14. Un fotografo y su ayudante tardan 2 horas en revelar y sacar copias de cierto

numero de fotografıas. A continuacion tienen que hacer el mismo numero de fotografıas, pero

el fotografo ha de dejar el trabajo al cabo de un hora,, tardando el ayudante 3 horas mas en

concluir la tarea. ¿Cuanto tiempo emplearıa el ayudante para hacer solo el trabajo?

Solucion. El fotografo y su ayudante en 1h hacen 12

del trabajo y les falta por hacer 12

del

trabajo.

Como se retira el fotografo, por lo tanto en 1h hace 16

del trabajo y todo el trabajo lo hara en

6 horas

126




Problema 2.15. Si un jugador en su primer juego pierde un tercio de su dinero, vuelve a

apostar y pierde el 3/5 de lo que le queda y en una tercera apuesta pierda los 4/7 del resto.

¿Que fraccion del dinero que tenıa originalmente le ha quedado?

Solucion. Del enunciado tenemos:

Pierde: 13

de su dinero ⇒ queda: 23

de su dinero Pierde: 35

de lo que le queda ⇒ ahora le queda:25

[23

de su dinero] Ahora pierde 47⇒ le queda 3

7[25[23

de su dinero]]= 435

de su dinero

Problema 2.16. Un comerciante ahorro 54000 soles durante 5 anos, sabiendo que el segundo

ano ahorro 2/9 sobre lo que habıa ahorrado el primer ano, que el tercer ano ahorro 12885

soles, que el cuarto ano ahorro 1/11 menos que lo habıa ahorrado en el segundo ano y que el

quinto ano ahorro lo que el segundo mas 115 soles. Determinar lo que ahorro el primer ano

Solucion. Del enunciado tenemos:

Primer ano ahorro: a

Segundo ano ahorro: a + 29a

Tercer ano ahorro: 12885

Cuarto ano ahorro:(a + 2

9a)− 1

11

(a + 2

9a)

= 1011

(a + 2

9a)

Quinto ano ahorro:(a + 2

9a)

+ 115

Total ahorrado: 54000

Luego: (a +

2

9a

)+ 12885 +

10

11

(a +

2

9a

)+

(a +

2

9a

)+ 115m = 554m

⇒ a +32

11

(a +

2

9a

)= 41000 ⇒ a

[1 +

32

11+

64

99

]= 41000

⇒(

651

11 × 9

)= 41000 ⇒ a = 9000

Problema 2.17. Un comerciante tenia una determinada suma de dinero. El primer ano gasto

100 pesos y aumento a lo que quedaba, un tercio de este resto. Al ano siguiente volvio a gastar

100 soles y aumenta a la cantidad distante un tercio de ella. El tercer ano gasto de nuevo 100

soles y agrego una tercera parte de lo que quedaba. Si el capital resultante es el doble del

capital inicial ¿Cual fue la capital inicial?

Solucion. Sea N la cantidad de dinero, del enunciado:

Primer ano: le quedo (N −100) y aumento 13(N −100) entonces tenemos en total: 4

3(N −100)

Segundo ano: 43(N − 100)− 100+ 1

3

[43(N − 100) − 100

]entonces tenıa: 4

3

[43(N − 100) − 100

]

Tercer ano: 43

[43(N − 100) − 100

]− 100 + 1

3{4

3

[43(N − 100) − 100

]− 100}

es decir le queda: 43{4

3

[43(N − 100) − 100

]− 100} lo que es doble del capital inicial.

Ası: 43{4

3

[43(N − 100) − 100

]− 100} = 2N ⇒ N = 1480

127




Problema 2.18. Se reparte una cantidad de dinero entre una cierta cantidad de personas.

La primera recibe 100 soles y 112

del resto, la segunda recibe 200 soles y 112

del resto; y la

tercera 300 soles y 112

del resto, y ası sucesivamente.

De esta manera todas ellas han recibido la misma suma y se han repartido la cantidad integra.

Hallar el numero de personas

Solucion. Sea c la cantidad a repartir, como cada una recibe los mismo, entonces:

100 +1

12(c − 100)

︸︷︷︸Recibelaprimera

= 200 +1

12{c − [100 +

1

12(c − 100)]}

︸︷︷︸Recibelasegunda

−200 (1)

100 +1

12(c − 100) = 200 +

1

12c − 1

12[100 +

1

12(c − 100)] − 1

12× 200

13

12[100 +

1

12(c − 100)] = 200 − 1

12× 200 +

1

12c

13 × 100 +13

12c − 13

12× 100 = 200 × 12 − 200

1

12c = 200 × 11 − 13 × 100 +

13

12× 100

c = 100 × 22 × 12 − 13 × 12 × 100 + 13 × 100

c = 100 × 9 × 12 + 100 × 13

c = 121 × 100

Luego cada una recibe, 100 + 112

(121 × 100 − 100) = 1100

El numero de personas es 121×10011×100

= 11

Problema 2.19. Al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva a una altura

igual a los 2/9 de la altura de donde cayo. Despues de tres rebotes la pelota se ha elevado

16/27 de metro. ¿De que altura se dejo caer al empezar?

Solucion. Tenemos que:

S1 =2

9B1

S2 =2

9B2 =

2

9S1 =

22

92B1

S3 =2

9B3 =

23

93B1

Por dato:23

B1=

16

27⇒ B1 = 54m

128

Actividades

1. Un camionero realiza la ruta La Oroya−Lima. Se da cuenta que la primera sexta parte

de la distancia la recorre a 10km/h, las siguientes dos terceras partes las recorre a

20km/h, mientras que la sexta parte final la realiza a 30km/h. ¿Cual ha sido su velocidad

promedio para la distancia total?. (Es interesante notar que el problema no entrega como

uno de los datos la distancia L entre las dos ciudades. La velocidad promedio es igual a la

distancia total entre el tiempo total de recorrido. Analizar las tres etapas del recorrido).

2. Cuatro hermanos, Antonio, Felix, Claudio y Dionisio, compran un automovil por 36 mil

soles. Antonio aporto la mitad de lo que aportaron Felix, Claudio y Dionisio juntos;

Felix aporto la tercera parte de lo que aportaron Antonio, Claudio y Dionisio juntos;

Claudio aporto la cuarta parte de lo que aportaron Armando, Felix y Dionisio juntos.

¿Cuanto aporto Dionisio?

3. Dos moviles A y B estan separados 300Km y parten ambos a las 8 : 00 a.m., uno al

encuentro del otro, con velocidades constantes y proporcionales a 3 y 2, respectivamente.

Si al cabo de tres horas se encuentran:

a) ¿Cual fue la mayor de las velocidades?

b) ¿Que espacio recorrio B?

4. Un estudiante distribuye el dinero que tiene para sus gastos de la siguiente manera:

1/5 de su dinero en alquiler de habitacion, 1/3 en alimentos, 1/6 en ropa y 1/4 en su

educacion. Si el resto de su dinero lo ahorra, ¿Que fraccion del dinero que tiene ahorrara?

5. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en centımetros, de un

triangulo y A es el area del mismo (cm2). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cuales son

los posibles valores de h?

6. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relacion menor entre sus inversos multiplicativos?

Hallar todos los numeros racionales x tales que x > 5 si, y solo si, x < 5

7. Ordena los siguientes numeros en orden creciente

210 + 2−10; 210 − 2−10; 210 + 10−3; 103 + 2−10; 103 + 10−3

8. Si x, y, z son numeros enteros positivos. Encontrar los valores posibles de x + y + z,

sabiendo que la suma de1

x+

1

y+

1

z

es un numero entero.

129




2.4. Sesion 10: Representacion decimal de un numero

racional. Aplicaciones de las razones y proporciones

El algebra es generosa: a menudo da mas de lo que se le pide.

D Alembert

Contextualizando: Distribucion en porciones

La tabla siguiente aparece en un paquete de semola Quaker

Microondas Estufa

Porciones 1 1 4 6

Agua 34

taza 1 taza 3 tazas 4 tazas

Semola 3 cucharadas 3 cucharadas 34

taza 1 taza

Sal (opcional) Una pizza Una pizza 14

cucharadita 12

cucharadita

(a) En microondas, ¿cuantas tazas de agua serıan necesarias para 6 porciones?

(b) En estufa, ¿cuantas tazas de semola serıan necesarias para 5 porciones? (Sugerencia: 5

es la mitad entre 4 y 6)

2.4.1. Representacion decimal de un numero racional

Sabemos que todo numero racional r se puede escribir como el cociente de dos numeros enteros,

o sea r = ab

donde b, llamado tambien denominador, es diferente de cero. El algoritmo de la

division de Euclides es un procedimiento para obtener a partir del cociente de dos enteros,

una expresion decimal de la forma:

a0, a1, a2, a3, · · ·

donde es un numero entero y a1, a2, a3 son los numeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; a los cuales

llamaremos, a partir de ahora, dıgitos decimales.

Por ejemplo, dados los numeros racionales12, 3

4, 1

8y 1

10000, si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos

1

2= 0 · 5;

3

4= 0 · 75;

1

8= 0 · 125;

1

10000= 0, 0001

que son expresiones decimales con un numero finito de dıgitos decimales. A estas las llamare-

mos expresiones decimales finitas.

En cambio, dados los numeros racionales13, 1

7, 1

6y 7

12si dividimos el numerador entre el denominador obtenemos:

13

= 0, 33333 · · · 17

= 0, 14285714285714285716

= 0, 166666 712

= 0, 5833333

130




que son expresiones decimales con un numero infinito de dıgitos decimales. A estas las lla-

maremos expresiones decimales infinitas.

Si observamos con mas detenimiento las cuatro ultimas expresiones decimales infinitas:

0, 33333 · · · ; 0, 142857142857142857 · · · ; 0, 166666 · · · y 0, 5833333 · · · ,

notamos que en las dos primeras el dıgito decimal 3 y el grupo de dıgitos decimales 142857,

se repiten indefinidamente inmediatamente despues de la coma decimal, mientras que en las

otras dos ultimas, el dıgito decimal 6 y el dıgito decimal 3 se repiten indefinidamente, despues

de un numero finito de dıgitos decimales (el 1 y el 58). A cada una de las dos primeras

las llamaremos expresion decimal infinita periodica pura y a cada una de las dos ultimas

las llamaremos expresion decimal infinita periodica mixta. En general tenemos los siguientes

tipos de expresiones decimales:

1) Expresiones decimales finitas de la forma:

a0, b1b2 · · · bm

2) Expresiones decimales infinitas periodica puras de la forma:

a0, a1a2 · · ·ana1a2 · · ·ana1a2 · · ·an · · · o en forma abreviada a0, a1a2 · · ·an (un conjunto

de los dıgitos decimales se repite periodicamente, inmediatamente despues de la coma

decimal), y

3) Expresiones decimales infinitas periodica mixtas de la forma:

a0, b1b2 · · · bma1a2 · · ·ana1a2 · · ·ana1a2 · · ·an · · · o en forma abreviada a0, b1b2 · · · bm a1a2 · · ·an

(un conjunto de los dıgitos decimales se repite periodicamente).

Finalmente, como a las expresiones decimales finitas, tambien se les puede consid-

erar como expresiones decimales infinitas periodicas, con perıodo cero, por ejemplo:

1, 25 = 1, 2500000 · · · = 1, 250 y en general

a0, b1b2 · · · bm = a0, b1b2 · · · bm00000

Teorema 2.55. Todo numero racional admite una representacion decimal infinita periodi-

ca.

La demostracion general del teorema se basa en el algoritmo de la division de Euclides. A con-

tinuacion daremos dos ejemplos especıficos que motivan la demostracion y luego comentaremos

en terminos generales como se efectua esta.

En general, si mn

∈ Q, con m y n enteros, n > 0, se divide m entre n. En el proceso de la

division al agotar las cifras de m (en base diez) se completa con ceros para seguir la division

obteniendo los decimales. Por el algoritmo de la division, cada residuo que se obtiene en este

131




proceso es alguno de los n siguientes numeros: 0, 1, 2, 3, · · · , n − 1. Al dividir m entre n se

puede obtener un conjunto o sucesion de residuos, tan grande como se quiera. En cualquier

sucesion de mas de n numeros, algunos de estos posibles restos, aparece mas de una vez.

Esta situacion obligara a que produzca una repeticion de los dıgitos decimales en el cociente

obteniendose el perıodo.

Recıprocamente, se cumple el siguiente

Teorema 2.56. Dado una expresion decimal infinita periodica , a0, b1b2 · · · bm a1a2 · · ·an

existe un numero racional mn

tal que mn

= a0, b1b2, · · · bm a1a2 · · ·an.

La demostracion de este teorema nos permite determinar la fraccion mn

a partir de la expre-

sion decimal infinita periodica, mediante un proceso al cual se le conoce como el proceso de

calcular la fraccion generatriz de una expresion decimal:

2.4.2. Calculo de la generatriz de una expresion decimal

Consideraremos tres casos:

Caso 1) Hallar la fraccion generatriz de una expresion decimal finita (que tiene un numero

finito de cifras decimales)

3,125 = 3,12500000 · · ·3, 125 × 1000 = 3125; luego 3, 125 = 3125

1000

En general, si a partir de un cierto n los dıgitos de la parte decimal son todos ceros, es decir

a = a0, a1a2a3 · · ·an000 · · ·0 · · ·la expresion decimal se representa simplemente por a = a0, a1a2a3 · · ·an; de donde, multipli-

cando por 10n se obtiene 10na = a0, a1a2a3 · · ·an, es decir

a =a0, a1a2a3 · · ·an

10n

Caso 2) Hallar la fraccion generatriz de la expresion decimal periodica pura: 0, 363636, · · ·Se observa que los dıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden,

100 × 0, 363636 · · · = 36, 363636 · · ·100 × (0, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · ) = (36, 363636 · · · ) − (0, 363636 · · · )Luego, 99 × 0, 363636 · · · = 36; osea 0, 363636 · · ·036

99

Una expresion decimal se denomina periodica pura, si sus k primeros dıgitos de la parte

decimal, inmediatamente despues de la coma, se repiten indefinidamente, siguiendo el mismo

orden:

a = 0, a1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·ak · · · · · ·

Esta expresion decimal se escribe tambien: a = 0, a1a2a3 · · ·ak

10k · a = a1a2a3 · · ·ak, a1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·aka1a2a3 · · ·ak · · · · · ·

132




restando las dos expresiones anteriores se obtiene (10k − 1)a = a1a2a3 · · ·ak

osea, a = a1a2a3···ak

999···9 , donde el denominador es igual a (10k1), es decir tiene tantas veces nueve

como dıgitos decimales tiene la parte periodica: a1a2a3 · · ·ak

La ultima expresion de “a”da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la

generatriz de una expresion decimal infinita periodica pura.

Caso 3)Hallar la fraccion generatriz de la expresion decimal periodica mixta 0, 24363636 · · · .Se observa que los dıgitos 3 y 6 se repiten indefinidamente en ese orden, pero esto no ocurre

con 2 y 4.

10000 × 0, 24363636 · · · = 2436, 363636 · · ·100 × 0, 24363636 · · · = 24, 36363636 · · ·10000 × (0, 24363636 · · · ) − 100 × (0, 24363636)

(2436, 363636 · · · ) − (24, 363636)

luego 9900 × 0, 24363636 · · · = 2436 − 24

osea 0, 24363636 · · · = (2436 − 24)/9900

0, 24363636 · · · = 2412

9900

En general, dada la expresion decimal infinita periodica mixta:

a = 0, a1a2a2 · · ·an b1b2b3 · · · bkb1b2b3 · · · bkb1b2b3 · · · bk · · ·

Esta expresion decimal se escribe mas brevemente:

a = 0, a1a2a3 · · ·anb1b2b3 · · · bk

10n+ka = a1a2a3 · · ·anb1b2b3 · · · bk, b1b2b3 · · · bkb1b2b3 · · · b1b2b3 · · · bk

de donde restando ambas expresiones, se obtiene

(10n+k − 10n)a = a1a2a3 · · ·ana1a2a3 · · · bk − a1a2a3 · · ·an

es decir

a =a1a2 · · ·anb1b2 · · · − a1a2 · · ·an

10n+k − 10n

siendo el denominador igual a

10n+k − 10n = 99 · · ·99︸︷︷︸k−veces

00 · · ·00︸︷︷︸n−veces

La expresion ultima de a da origen a la regla usada en el aula secundaria, para hallar la

generatriz de una expresion decimal infinita periodica mixta: la fraccion generatriz tiene nu-

merador de la forma a1a2a3 · · ·anb1b2b3 · · · bk − a1a2a3 · · ·an y su denominador es un numero

cuyas cifras tiene tantas veces nueve como dıgitos tiene la parte periodica y tantos ceros como

dıgitos tiene la parte no periodica.

133




Ejemplo 2.14. Dada la expresion decimal q = 25378787878 . . . (el perıodo es 78)

Entonces

1000q = 4253,787878 . . .

100 000 = 425378,787878 . . .

Luego 100 000q − 1000q = 425378− 4253.

O sea 99000q = 421125, de donde q = 42112599000

.

Observacion 2.4. Los teoremas 2.32 y 2.33 nos permiten afirmar que a cada numero racional

de la forma mn, n 6= 0 le corresponde una unica expresion decimal infinita (periodica pura

o mixta) y recıprocamente que a cada expresion decimal infinita le corresponde un unico

numero racional (la fraccion generatriz). Es decir existe una correspondencia biunıvoca entre

el conjunto Q de los numeros racionales y el conjunto E de todas las expresiones decimales

infinitas periodicas (pura o mixta) en el lenguaje moderno existe una biyeccion entre estos

dos conjuntos. En virtud de este resultado, a partir de este momento, se identificaran los

conceptos de numero racional y de expresion decimal infinita periodica (pura o mixta) y, por

lo tanto, tambien se llamara a cada numero racional, expresion decimal infinita.

2.4.3. Expresiones Decimales Infinitas y Numeros “Irracionales”

En la seccion anterior los teoremas 1 y 2 nos permiten identificar el conjunto Q de numeros

racionales con el conjunto E de las expresiones decimales infinitas periodicas.

Observacion 2.5. En la observacion 1 se han identificado los numeros racionales con las

expresiones decimales infinitas periodicas. Sin embargo, existen otras expresiones decimales

infinitas que no son periodicas. Por ejemplo, la expresion decimal infinita

0, 1010010001000010000010000001 . . .

formada de la siguiente manera: primero, el entero cero, despues de la coma decimal para cada

dıgito decimal 1, se colocan n ceros siguiendo el n−esimo 1. Esta expresion decimal es infinita

y no periodica. Variaciones de este ejemplo producen muchas otras expresiones decimales

infinitas no periodicas. Tambien existen expresiones decimales infinitas no periodicas cuya

sucesion de dıgitos no puede ser descrita con una simple regla. En general, si consideramos

ahora el conjunto de todas las expresiones decimales infinitas no periodicas

a0, a1a2 . . . an . . .

donde a0 es un numero entero y a1, a2, . . . , an, . . . son los dıgitos decimales: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8 y 9; y lo denotamos por I obtenemos un nuevo conjunto:

Q ∪ I = {exp. dec.infinitas periodicas} ∪ {exp. dec. infinitas no periodicas}

134




el cual recibe el nombre de conjuntos de numeros reales, que se denota por R y que sera

estudiado con detalle en el segundo libro.

A estas expresiones decimales infinitas no periodicas, que evidentemente por los teoremas 1

y 2 no son numeros racionales, se les llama numeros irracionales.

El conjunto de todas estas expresiones decimales infinitas periodicas y no periodicas es pre-

cisamente el conjunto de los numeros reales R, sin embargo esta afirmacion no la podemos

tomar como la definicion de R pues habrıa necesidad de definir relaciones como la igualdad,

orden y operaciones como la de adicion y multiplicacion para expresiones decimales infinitas.

Ejemplos de numeros que no son racionales:

1. Dado la expresion decimal infinita 1,121221222122221. . . se deduce intuitivamente que

esta es una expresion decimal infinita no periodica y en consecuencia por la observacion

anterior, no representa un numero racional.

2.√

2 no es un numero racional.

Antes de probar formalmente la afirmacion anterior, recordaremos que un numero natural o

un numero entero positivo a es par si, y solo si, es de la forma a = 2n, donde n ∈ N = Z+0 .

Y b es impar si, y solo si, es de la forma b = 2n + 1, donde n ∈ N = Z+0 .

Supongamos ahora que exista r ∈ Q, tal que r =√

2, entonces r2 = 2. Como r se puede escribir

como una fraccion irreducible, es decir, r = pq

donde p y q son primos entre si, reemplazando,

se tiene p2

q2 o p2 = 2q2, es decir, p2 es par. Esto implica que p es par; puesto que si p fuera

impar, o sea, p = 2n + 1, se tendrıa que p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1,

es decir p2 resultarıa impar, lo que es una contradiccion. En consecuencia, p es par, o sea

p = 2k, para algun k ∈ Z de donde p2 = (2k)2 = 2q2, o sea q2 = 2k2, lo que implica que q2 es

par y tambien q, o sea q = 2k′ y en consecuencia r = 2k2k′

, lo que es una contradiccion. Esta

contradiccion viene de suponer que r =√

2 es un numero racional. Por lo tanto√

2 no es un

numero racional.

El resultado anterior se conocio en la antiguedad como el Dilema de Pitagoras, debido a que

si se aplicaba el teorema de Pitagoras a un triangulo rectangulo isosceles cuyos catetos tenıan

longitud 1, resultaba que la hipotenusa tenia longitud√

2 que no era un numero racional.

Este hecho obligo a que se creara un nuevo tipo de numero llamado irracional.

Ejemplo 2.15.

(a) ¿Que valor debe ser anadido al numerador y al denominador de las fracciones 23

y 2023

para

que las fracciones resultantes sean iguales?

135




Solucion. Sea dicho valor x. Luego:

2 + x

3 + x=

20 + x

23 + x

x2 + 25x + 46 = x2 + 23x + 60

2x = 14

x = 7

(b) Brenda y Bruno tenıan cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos

semanas de vacaciones. Brenda gasto 1/3 la primera semana, 1/2 la segunda y el resto lo

ahorro. Bruno gasto 1/4 la primera semana pero ahorro el doble de lo que ahorro Brenda.

Si Bruno ahorro 156 soles. ¿Cuantos soles gasto Bruno la segunda semana?

Solucion. Sabemos que Bruno ahorro 156 soles y que Bruno ahorro el doble de lo que

ahorro Brenda. Por lo tanto, Brenda ahorro 156/2=78 soles. Pero, Brenda gasto 1/3 y

1/2 de lo que tenıa inicialmente en dichas dos semanas. Entonces como:

1

2+

1

3=

5

6

Concluimos que Brenda ahorro 1/6 de lo que tenıa. Pero como Brenda ahorro 78 soles,

entonces el dinero que tenıa inicialmente Brenda fue 78 × 6 = 468 soles.

Bruno tambien tenıa inicialmente 468 soles. Como la primera semana gasto 1/4 de dicho

dinero y al final ahorro 156, entonces la segunda semana gasto:

468 −(

1

4· 468 + 156

)= 195 soles.

(c) ¿Como se hallarıa todas las cifras decimales del perıodo de 1/23 haciendo uso de una

calculadora? Seguramente el perıodo no se puede observar cuando se hace la division 1

entre 23, debido a que la calculadora solo muestra 8 o 10 dıgitos decimales. Sin embargo

se puede usar ingeniosamente la calculadora y, sin necesidad de realizar la division, se

puede calcular todas las cifras decimales del perıodo de dicha fraccion.

Solucion. Supongamos que tenemos una calculadora que nos muestra a lo mas ocho

cifras decimales. Luego, al dividir 1/23 obtenemos:

1

23= 0,04347826 (1)

Pero, nosotros sabemos que realmente:

1 = 23 · (0,04347826) + x (2)

Si nosotros escribimos en la calculadora la operacion 23×0, 04347826 se obtiene: 0,99999998

Reemplazando en (2): x = 1 − 0,99999998 o sea x = 0,00000002.

136




Por lo tanto, si queremos ver los siguientes dıgitos del desarrollo de 1/23, tomaremos

los dıgitos de dividir 2/23, pues son los mismos dıgitos que se obtendrıan si se realiza la

division 0,00000002 entre 23. Digitamos en la calculadora: 2/23:

2

23= 0, 08695652 (3)

Si anadimos estas nuevas cifras decimales a la expresion (1), tenemos:

1

23= 0, 0434782608695652 (4)

De (3): 2 = 23 × 0, 08695652

Si escribimos en la calculadora 23 × 0, 08695652 obtenemos: 1,99999996.

En forma similar a (2), podemos escribir:

2 = 23 × 0, 08695652 + 0, 00000004

Entonces, los siguientes dıgitos del desarrollo de 1/23 son los mismos de dividir 4 entre

23. Con la calculadora:4

23= 0, 17391304 (5)

Si aumentamos estos nuevos dıgitos a (4):

1

23= 0, 043478260869565217391304

Podemos apreciar que ya los dıgitos se estan comenzando a repetir, a partir del 04. Por

lo tanto, el desarrollo de 1/23 es el decimal periodico puro siguiente:

1

23= 0, 0434782608695652173913

2.4.4. Aplicaciones de las propiedades de los Numeros Racionales

Razones y proporciones:

Antes de entrar al tema recordaremos que todo numero racional r es el cociente de dos enteros

y, por lo tanto, puede escribirse r = ab

donde b 6= 0. El cociente b a recibe tambien el nombre de

fraccion. En lo que sigue cuando escribamos fracciones ab, c

d, m

n, . . . aceptaremos implıcitamente

que los denominadores son diferentes de cero, es decir b 6= 0, d 6= 0, n 6= 0.

Definicion 2.18. La razon geometrica o simplemente razon de un numero racional a con

respecto a un numero racional b, (b 6= 0), es el cociente ab.

Si a, b, c y d, son numeros racionales diferentes de cero, se dice que las razones ab

y cd, estan

en proporcion si, y solo si, ab

= cd. De la definicion se sigue que una proporcion es la igualdad

de dos razones.

La igualdad anterior se expresa diciendo “a y b estan en razon de c a d” o simplemente “a

es a b como c es a d”. Los numeros a, b, c y d se llaman terminos de la proporcion. Una

denominacion especial para los terminos de una proporcion es la siguiente:

137




Antecedentes: a y c Consecuentes: b y d

Terminos extremos: a y c Terminos medios: b y c

Recordemos las propiedades de las proporciones enunciadas en el siguiente:

Teorema 2.57. Si a, b, c y d son numeros racionales con b 6= 0, d 6= 0 , se tiene

1. ab

= cd

si y solo si, ad = bc

Es decir, en toda proporcion el producto de los terminos extremos es igual al producto

de los terminos medios.

2. ab

= cd⇒

a+ba

= c+dc

a−ba

= c−dc

a, c 6= 0

3. ab

= cd⇒ a+b

a−b= c+d

c−d

4. ab

= cd⇒ a±c

b±d= a

b= c

d

5. ab

= cd⇒ a+c

a−c= b+d

b−d

Demostracion. Es consecuencia inmediata de la definicion de cociente de dos numeros racionales

y de las propiedades conocidas de las operaciones con numeros racionales.

Observacion 2.6. Para resolver ejercicios de aplicacion, algunas veces, es necesario gen-

eralizar el concepto de proporcion considerando sucesiones finitas de razones iguales de la

forma:a1

b1

=a2

b2

= · · · =an

bn

138




Teorema 2.58 (Propiedades).

1. Si a1

b1= a2

b2= · · · = an

bn, entonces

a1 + a2 + · · ·+ an

b1 + b2 + · · ·+ bn

=a1

b1

, para todo i = 1, 2, . . . , n.

Es decir, en toda sucesion finita de razones iguales, la suma de los antecedentes es a

la suma de los consecuentes, como un antecedente es a su respectivo consecuente.

2. Si a1

b1= a2

b2= · · · = an

bn, entonces:

a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn

b1s1 + b2s2 + · · ·+ bnsn=

a1

b1,

para todo i = 1, 2, . . . , n

3. a1

b1= a2

b2= · · · = an

bn, entonces

a1a2 · · ·an

b1b2 · · · bn

=(a1)

n

(b1)n

4. Si a1

b1= a2

b2= · · · = an

bn, entonces

n√

an1 + an

2 + · · · + ank

n√

bn1 + bn

2 + · · ·+ bnk

=a1

b1,

para todo i = 1, 2, . . . , k

Demostracion. A manera de ilustracion probaremos la parte (2) del Teorema 1.6.

Sean a1

b1= a2

b2= · · · = an

bn.

Entoncesa1s1

b1s1=

a2s2

b2s2= · · · =

ansn

bnsn,

para todo i = 1, 2, . . . , n, si 6= 0

Luego aplicando (1) tenemos,

a1s1 + a2s2 + · · · + ansn

b1s1 + b2s2 + · · · + bnsn=

a1

b1,

para todo i = 1, 2, . . . , n.

Ejemplo 2.16. Al comienzo de una fiesta, se observo que por cada 5 mujeres habıa 9 hombres.

Luego de tres horas, se retiraron 4 mujeres y 8 hombres, quedando en la reunion 7 hombres

por cada 4 mujeres. ¿Cuantas mujeres habıa al momento que comenzo la fiesta?

Solucion. Sean:

139




m = numero de mujeres

n = numero de hombres

Al comenzar la fiesta:m

5=

h

9

de donde m = 5k y h = 9k.

Como se retiran 4 mujeres y 8 hombres, quedan

mujeres: 5k − 4

hombres: 9k − 8

De donde:9k − 8

5k − 4=

7

4

lo que implica: k = 4.

Luego, inicialmente habıan m = 5k = 20 mujeres.

Ejemplo 2.17. Tres amigos se asociaron y formaron una empresa aportando 7920 soles, 9240

soles y 10560 soles, respectivamente. Despues de un tiempo se liquido la empresa. Si el socio

que recibio un total de 16560 soles obtuvo la mayor ganancia, ¿cuanto gano el socio que

obtuvo la menor ganancia?

Solucion. Es claro que hay ganancia en la empresa y que cada socio obtiene una ganancia

cuyo monto esta en razon directa al monto del capital aportado, es decir, el que aporta mayor

capital obtiene mayor ganancia. Sean A, B y C los socios que aportan de menor a mayor

capital

Capital aportado 7920 9240 10560

Ganancia obtenida x y 6000

Se tiene entonces:x

7920=

y

9240= 6000

10560

de donde x = 600010560

· 7920 = 4500.

Luego, el socio que obtuvo la menor ganancia, gano 4500 soles.

2.4.5. Aplicaciones de las razones y proporciones

Regla de Tres Simple

Es un metodo que se usa para resolver problemas en los cuales intervienen tres variables

conocidas y una desconocida, estableciendose una proporcion entre las cuatro variables de

acuerdo con las condiciones de cada problema.

Se dice que las variables a y b son directamente proporcionales si, y solo si, existe

k > 0, tal que la razon ab

= k, es decir, a = kb.

140




En particular, si la variable a toma los valores a1, a2, . . . , an y la variable b toma los valores b1,

b2, . . . , bn, se tiene que la sucesion finita de razones a1

b1, a2

b2, . . . , an

bnson iguales a la constante

k; es decir,a1

b1=

a2

b2= · · · =

an

bn= k

Por ejemplo:

La longitud l y el costo c de un alambre: c = kl. A mayor longitud, mayor costo.

El peso p y el costo c de un producto alimenticio. A menor peso menor costo.

El area a de un terreno y su costo c. A mayor area mayor costo.

Se dice que dos variables a y b son inversamente proporcionales si, y solo si, las variables a y 1b

son directamente proporcionales; es decir, si existe k > 0 tal que a = k 1b

= kb

o tambien ab = k.

Es decir, si los valores de a son cada vez mayores (aumentan), los valores de b disminuyen,

y recıprocamente, si los valores de a disminuyen, los valores de b aumentan. Obviamente los

valores de a y b son diferentes de cero.

Ası, si se tienen dos pares de valores de a y b,

Variable a b

↓ a1 ↑ b1

↓ a2 ↑ b2

entonces a1 · b1 = k, a2 · b2 = k

Por lo tanto a1 · b1 = a2 · b2

que tambien se escribe:a1

a2=

b2

b1,

Por ejemplo:

La velocidad v y el tiempo t en recorrer la distancia d entre 2 ciudades: d = vt.

O tambien, t = 1vd. En este caso, a menor velocidad, mayor tiempo o a mayor velocidad menor

tiempo.

El tiempo t y el numero n de obreros para efectuar una pared: tn = k. Cuando se presenta

un problema de este tipo, se debe tener en cuenta que las condiciones del problema esten

de acuerdo con la realidad; por ejemplo si 10 obreros, hacen una pared en 40 horas, serıa

incorrecto preguntar en cuantas horas lo haran 400 obreros, pues la respuesta serıa una hora

lo cual es imposible en la realidad. Las longitudes de los lados de un rectangulo de area dada.

Considerando lo dicho anteriormente, la regla de tres simple, puede ser directa o inversa. La

regla de tres simple es directa si intervienen variables directamente proporcionales y es inversa

si intervienen variables inversamente proporcionales.

A continuacion veamos dos ejemplos, uno de aplicacion de la regla de tres simple directa y

otro de aplicacion de la regla de tres simple inversa.

Ejemplo 2.18. Si un cano puede llenar un cilindro de 150 litros de capacidad en 30 minutos.

¿Cuantos litros llenara en 12 minutos?

141




Solucion.Variables: litros tiempo

150 l 30′

x l 12′

Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo

en cuenta que en mas tiempo se llenan mas litros, la proporcion de variables directamente

proporcionales:30

12=

150

x

de donde resulta x = 150×1230

= 60.

Es decir, en 12 minutos se llenan 60 litros.

Este es un ejemplo de aplicacion de la regla de tres simple directa.

Ejemplo 2.19. Si un cano puede llenar 150 litros de un tanque en 30 minutos y otro cano los

mismos 150 litros en 50 minutos. ¿Que capacidad tiene el tanque que es llenado por ambos

canos en 4 horas y 15 minutos?

Solucion. Las condiciones del problema dan origen a las siguientes proporciones: 150x

= 301

y 150y

= 501. Que nos permitiran averiguar cuantos litros del tanque se llenan con cada cano

en un minuto, lo que da el siguiente resultado: El primer cano llena en 1 minuto 5 litros y el

segundo cano, 3 litros. Abriendo los dos canos, al mismo tiempo, en un minuto se llenan 8

litros:Variables: tiempo litros

1′ 8

4h15′ z

Con estas cuatro variables, tres conocidas y una desconocida, podemos formar, teniendo en

cuenta que en mas tiempo se llenan mas litros, una nueva proporcion de variables directamente

proporcionales:z

8=

255

1

De donde z = (255)(8) = 2040

Luego, la capacidad del tanque es de 2 040 litros.

Ejemplo 2.20. Para la construccion de un edificio se contratan a 10 obreros, que deben

terminar la obra en 90 dıas. Si despues de 18 dıas de iniciada la obra, se aumenta el numero

de obreros, con el objeto de concluir la obra 24 dıas antes de lo previsto. ¿Cuantos nuevos

obreros se contrataron?

Solucion. Habiendo trabajado regularmente durante los primeros 18 dıas, plantearemos el

problema en funcion de los dıas que faltan para terminar la obra; es decir en 90 − 18 = 72

142




dıas:

Se tiene entonces la siguiente tabla:

Variables: obreros dias

10 72

(10 + x) 48

Que da origen a la siguiente proporcion en la que intervienen variables inversamente propor-

cionales (a mas obreros, menos dıas).

10

10 + x=

48

72

Por ser variables inversamente proporcionales.

De donde (10)(72) = (48)(10 + x), lo que implica que

x =720

48− 10 = 15 − 10 = 5

Luego, para concluir la obra, 24 dıas antes, se deben contratar 5 obreros mas.

Tanto por ciento

El tanto por ciento es un caso particular de aplicacion de la regla de tres simple directa como

se ve a continuacion.

Sean a y b, variables directamente proporcionales, entonces existe k > 0 tal que a = kb. Si

en esta igualdad, k = r100

; es decir, si a = r100

b, se dice que que a es el r por ciento de b, y se

escribe a = r %(b).

La igualdad a = r100

b da lugar a la proporcion ab

= r100

b que incluye variables directamente

proporcionales en el que uno de terminos es 100

Ejemplo 2.21. Una clase de 25 alumnos esta compuesta de 11 ninas y 14 ninos. La razon

del numero de ninas al numero de alumnos de la clase puede expresarse de varias formas. Por

ejemplo, la proporcion del numero de ninas respecto del total es

11

25=

22

50=

33

75=

44

100=

55

125=

66

150

Si quisieramos indicar el porcentaje de ninas de la clase, bastara considerar la proporcion1125

= 44100

o equivalentemente 11 = 44 %(25) y que significa que el 44 % del total de alumnos

de la clase, son ninas.

Analogamente se determina que la proporcion entre el numero de ninos es 1425

= 56100

esto es,

el 56 % del total de alumnos son ninos.

Si sumamos las proporciones 1125

= 44100

y 1425

= 56100

se obtiene que 2525

= 100100

; es decir, 25 =

100 %(25). En general el 100 %(n) = n. Todo numero racional ab

puede ser expresado como el

tanto por ciento de cualquier numero c. Basta poner

a

b=

c

100= c · 1

100= c %

143




Problemas Resueltos

Problema 2.20. Dos trenes marchan en sentidos contrarios y sobre vıas paralelas con veloci-

dades de 18 y 24km/h respectivamente. Un observador colocado en el segundo tren calculo

que el primero demoro en pasar 12s ¿Cual es la longitud de este ultimo tren?

Solucion. Tenemos que la velocidad, con la cual se desplaza el primero con respecto al

segundo, es:

18 + 24 = 42km/h

Ahora como el observador calcula que el primero demoro en pasar 12s, entonces en este tiempo

el primero tren recorrio su propia longitud, luego:

Si en 1h = 3600s recorre 42km = 42000m 12s recorre x

⇒ x =12 × 42000

3600= 140m

Problema 2.21. Si 30 litros de una solucion contienen 12 litros de alcohol. ¿Cuantos litros

de agua debemos agregar para obtener una solucion al 25 %?

Solucion. Si en 30 litros de una solucion contienen 12 litros de alcohol, entonces decimos que

es una solucion al:12

30× 100 % = 40 %

Ahora si la solucion de 30 litros se encuentra al 40 % para diluirla habra que agregar mas

litros de agua ; es decir:

301 −−− 40 %

x −−− 25 %

}⇒ x =

40 % × 301

25 %= 481

Es decir para que la solucion sea al 25 % habra que agregar: (48 − 30) = 181 de agua.

Problema 2.22. Se tiene 2 toneles de 20 y 30 litros de vino de diferente calidad. Se saca de

uno la misma cantidad, y se echa en el primero lo que se saco del segundo y, recıprocamente

¿Que cantidad ha pasado de un deposito al otro, si el contenido de los dos toneles ha resultado

de la misma calidad?

Solucion. Tenemos que en 50 litros de mezcla, se ha combinado 20 litros del primer tonel y

30 litros del segundo, luego en 20 litros de la mezcla habran x litros del segundo tonel.

Ası:501 −−− 301

201 −−− x

}⇒ x =

20 × 30

50= 12 litros

Luego, en el primer deposito hay 12 litros del segundo y recıprocamente.

Problema 2.23. Un cano llena la p−esima parte de un tanque en n−horas, un desague

desocupa la q−esima parte del mismo tanque en ,−horas.

¿Cuanto demorara en llenar el tanque, si se abren ambos dispositivos en forma simultanea?

144




Solucion. Denotemos por T el tanque: la p−esima parte sera T/p

Por lo tanto el cano llenara el tanque en np horas, y en una hora llenara T/pn.

Analogamente el desague vaciara el tanque en mq horas, y en una hora vaciara T/mq

Ahora, cuando se abren simultaneamente ambos dispositivos, lo que quedara en el tanque

despues de una hora es:T

np− T

mq=

mq − np

nmpqT

Por lo tanto el tanque se llenara en mnpqmq−np

horas.

Problema 2.24. tres obreros A, B y C trabajan en cierta obra. El propietario de la obra

otorga quincenalmente una gratificacion de 52 dolares para repartirla entre los que trabajan.

En la quincena que trabajan A y B, corresponde a A los 3/4 de la gratificacion y a B del

resto. En la quincena que trabajan B y C, el primero cobra los 3/4 y el segundo el resto.

Determinar la cantidad que debe recibir B en la quincena que trabajan los tres.

Solucion. En la quincena que trabajan A y B, tenemos:

A: Le corresponde 34

de la gratificacion

B: Le corresponde 14

de la gratificacion

}entonces :

A

B=

3

1(1)

En la quincena que trabajan B y C ocurre:

B: Le corresponde 34

de la gratificacion

C: Le corresponde 14

de la gratificacion

}entonces :

B

C=

3

1(2)

De (1) y (2) tenemos que: A9

= B3

= c1

En la quincena que trabajan los tres juntos, la cantidad que recibe B es:

3

13(52) = 12 dolares

Problema 2.25. A una esfera de reloj se le divide en 1500 partes iguales, a cada parte se de-

nominara “nuevo minuto”, cada “nueva hora.estara constituido por 100 “nuevos minutos”¿Que

hora indicara el nuevo reloj, cuando el antiguo indique las 3 horas 48 minutos?

Solucion. Si 1 “hora nueva” equivale a 100 “nuevos minutos”, entonces 1500 “nuevos min-

utos” equivale a 15 “nuevas horas”.

Ahora como 15 “horas nuevas” equivalen a 12 “horas normales” entonces en 3 “horas nor-

males”hay 3 “horas nuevas”mas 3/4 “hora nueva”.

Tambien 1 “hora nueva” equivale a 4/5 “horas normales”, luego 48 “minutos normales”

equivalen a 1 “hora nueva”.

Entonces cuando el reloj marque los 3h48m, el nuevo reloj indicara 3 “horas nuevas”mas 3/4

“hora nueva”mas 1 “hora nueva”, es decir indicara 4h75min

145




Problema 2.26. Si el precio de un articulo aumenta en un porcentaje p, y se quieren mantener

los mismo ingresos, el porcentaje m de disminucion de las ventas no debera exceder de:

Solucion. Como el precio aumenta en p, entonces los ingresos ahora son 1 + p.

Este ingreso 1 + p corresponde al 100 % las antiguas ventas. Ahora como el ingreso se quiere

mantener en 1, para lo cual las ventas deben disminuir a 1 − n, tendremos que

1 + p −−− 100 %

1 −−− 1 − n

}⇒ 1 − n =

1 × 100 %

1 + p⇒ 1 + p = n(1 + p) = 100 % = 1

⇒ p = n(1 + p) ⇒ n =p

1 + p

Problema 2.27. un libro se vende regularmente el r por 100 del precio de costo, pero un

estudiante al comprarlo le rebajaron el p por 100. Si el vendedor no gano ni perdio, ¿Cuanto

le rebajaron al estudiante?

Solucion. Sea C el precio de costo, el estudiante compra el libro a: (100 + r) % de C −p %(100 + r) % de C = C (ya que no se gana ni pierde)

(100 + r) % − p %(100 + r) % = 1 = 100 % ⇒ (100 + r) − p %(100 + r) = 100

(100 + r)(100 − p) %0100 ⇒ 100 − p

100=

100

100 + r⇒

p = 100 − 100 × 100

100 + r⇒ p =

100r

100 + r=

1

0, 01 + 1/r

Problema 2.28. A le encarga a B vender un objeto y B le encarga a su vez a C, quien logra

la venta en 20000 soles. C entrega a B una cantidad quedandose con un porcentaje (comision)

del valor de la venta, a su vez B retiene un porcentaje(comision) de lo que le entrego a C.

¿Cuanto le correspondio a C y a B, si este ultimo le entrego a A 17100 soles y el porcentaje

de la comision de C fue el doble que la de B?

Solucion. Si r % es el porcentaje de comision de B, entonces 2r % sera el porcentaje de C.

Luego A recibio, [20000 − 2r %(20000)] − r %[20000 − 2r %(20000)]

= (100 − r) %[20000− 2r %(20000)] = (100 − r) %(100 − 2r) %(20000)

Entonces, (100 − r) %(100 − 2r) %(20000) = 17100 ⇒

100 − r

100× 100 − 2r

100× 20000 = 17100 ⇒

(100 − r)(100 − 2r) = 8550 ⇒ r2 − 150r + 725 = 0 ⇒

r1 = 145, r2 = 5

De estos 2 valores nos quedamos con r = 5 % (ya que r ≤ 100 %)

Entonces la comision de C es: 2(5 %)(20000) = 2000 y la de B es 5 %(20000− 2000) = 900

146




Problema 2.29. En una batalla han participado 4000 hombres. De los sobrevivientes se sabe

que el 56.56% no fuma y el 56.756% no bebe ¿Cuantos han muerto en la batalla?

Solucion. Sabemos que:

56.56

(5656 − 56

99

)=

5600

99% =

56

99

y que:

56.756

(56756 − 756

999

)=

56000

999% =

21

37

El enunciado se deduce que el numero de sobrevivientes es0

99 y0

37, luego el multiplo del:

MCM(99, 37) =0

3663

Y como el total de hombres es 4000, entonces los sobrevivientes son 3663 y los muertos son:

4000 − 3663 = 337

Actividades

1. Compro igual numero de caballos y cerdos por $540.18. Cada caballo cuesta $56.40 y

cada cerdo $33.63. ¿Cuantos caballos y cerdos he comprado en total?

Rpta. 6 caballos y 6 cerdos, 12 en total.

2. Un deposito se puede llenar por dos canerıas. La primera vierte 25.23 litros en 3 minutos

y la segunda 31.3 litros en 5 minutos. ¿Cuanto tiempo tardara en llenarse el estanque,

si estando vacıo, se abren al mismo tiempo las dos canerıas, sabiendo que su capacidad

es de 425.43 litros?

Rpta. 29 minutos

3. Un avicultor compra 6 gallinas y 8 gallos por $8.46. Mas tarde a los mismos precios,

compra 7 gallinas y 8 gallos por $8.91. Hallar el precio de una gallina y de un gallo?

Rpta. Una gallina, $0.45; un gallo, $0.72

4. Una constructora contrata un obrero por 36 dıas y como no tiene trabajo para todos

los dıas le ofrece $1.25 por cada dıa que trabaje y $0.50 por cada dıa que no trabaje.

Al cabo de los 36 dıas el obrero ha recibido $30. ¿Cuantos dıas trabajo y cuantos no

trabajo?

Rpta. Trabajo 16 dıas; no trabajo 20 dıas

5. Se compra cierto numero de libros y se paga S/.609 por cada 84 libros que se compra

y luego se venden todos cobrando S/.369 por cada 60 libros. Si ha habido en la venta

una perdida de S/.110. ¿Cuantos libros se han comprado?

Rpta. 100 libros Pruebe que 2n+53n+2

es irreducible, ∀ n ≥ 1.

147




6. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 dıas. ¿En cuantos dıas, 100

hombres cuya eficiencia es 50 % mas que los primeros, podran cavar una zanja de 1200

m3 cuya dureza del terreno es 3 veces la anterior?

Rpta. 90

7. Si 4 hombres y 5 mujeres hacen un trabajo en 54 dıas. ¿En cuantos dıas realizaran el

mismo trabajo 5 hombres y 6 mujeres; sabiendo que el trabajo de una mujer son los 2/3

del trabajo que realiza un hombre?

Rpta. 44

8. Transportar 26 vacas de 850 kg. c/u a una distancia de 700 km. ha costado S/.3500.

¿Que distancia se habran transportado 65 vacas de 800 kg. cada una costando el trans-

porte S/. 17000?

Rpta. 1445 km.

9. Doce obreros pueden realizar una obra en “n” dıas. Si despues de haber realizado la

mitad de la obra, 8 de los obreros aumentan su rendimiento en un 25 % con lo cual el

tiempo total de trabajo fue de 13 dıas. Calcular “n”.

Rpta. 14

10. Una guarnicion de 2250 hombres tiene provisiones para 70 dıas. Al terminar el dıa 29 se

retiran 200 hombres. ¿Cuanto tiempo duraran las provisiones que quedan para el resto

de la guarnicion?

Rpta. 45 dıas

11. Si 18 obreros pueden hacer una obra en 37 dıas. ¿Cuantos obreros trabajan el ultimo

dıa, si el primer dıa se empieza con un obrero, el segundo dıa con dos, el tercero con

tres y ası sucesivamente hasta concluir la obra?

Rpta. 36

12. Cuatro hombres y una mujer realizan un trabajo en 24 dıas. Si se aumenta un hombre

y una mujer entonces realizan el mismo trabajo en 18 dıas. ¿En cuantos dıas harıan el

trabajo los 4 hombres solos?

Rpta. 27

13. Manuel puede hacer un trabajo en 15 horas, mientras que Victor lo harıa en 10 horas.

Manuel, Victor y Raul juntos pueden realizar el mismo trabajo en 4 horas. Los tres

juntos inician el trabajo y al realizar 1/4 del mismo, Manuel y Vıctor se retiran. ¿Cuanto

tiempo le tomara a Raul terminar dicho trabajo?

Rpta. 9

148




El ultimo teorema de FermatEl secreto de un antiguo problema matematico

Pierre Fermat

La teorıa de numeros es una de las ramas mas viejas de las

matematicas. Los libros VII, VIII y IX de los Elementos de Eu-

clides estan dedicados a ella. Euclides vivio alrededor del ano 300

a.C. y la obra antes citada, cuyo estilo de presentacion influyo en las

matematicas durante mas de 2000 anos, ha llegado hasta nosotros

gracias a las copias que de ella hicieron los arabes y que despues tra-

jeron a Europa a traves de Espana.

El libro V II comienza definiendo los numeros pares, los impares,

los primos, los compuestos, los planos (su descomposicion en primos

tiene dos factores), los solidos (su descomposicion en primos tienes

tres factores), y los numeros perfectos (los que la suma de sus divisores menores que el da

como resultado el numero: por ejemplo 6 = 1+2+3). Para Euclides los numeros se asociaban

con segmentos, y ası un numero con segmento AB divide a otro con segmento CD si este

ultimo puede medirse con la medida AB .

En el libro V II aparece tambien el algoritmo que hemos descrito para calcular el maximo

comun divisor de dos numeros, ası como la propiedad lineal del maximo comun divisor.

Karl Friedrich Gauss

Aunque el libro V III tambien lo dedicara Euclides a los numeros,

no aparecen en el resultados muy sabroso. sin embargo en el libro

IX aparecen algunos resultados brillantes. la proposicion 20 dice lo

numeros primos son mas que cualquier multitud de ellos lo que de-

muestra que hay infinidad de estos. El siguiente momento conocido

de brillantez matematica se produjo varios siglos despues. Alrededor

del ano 300 d.C. y en pleno periodo alejandrino, Diofanto escribio una

obra de 13 libros titulada Aritmetica, de las que se conservan 6. En ellos aparece por primera

vez la notacion simbolica par describir incognitas y las expresiones polinomicas. En sus libros,

Diofanto se preocupa por encontrar las soluciones de una coleccion de 150 problemas, sin que

en su exposicion aparezca postulado. Diofanto no se limita a encontrar soluciones enteras, si

no que pueden ser racionales y queda satisfecho con encontrar una solucion en lugar de tratar

de encontrar todas. He aquı un ejemplo: encontrar dos numeros tales que cuando a uno de

ellos se le suma el cuadrado del otro da un cuadrado perfecto. Diofanto procede llamando a

los numeros x y 2x+1 y suponiendo que su suma es un cuadrado de la forma ((2x−2)2), con

lo que ya introduce restricciones en el problema, con estas restricciones obtiene la ecuacion

(2x + 1)2 + x = (2x − 2)2 que tiene como solucion x = 313

.

Despues de Diofanto de Alejandrıa, los Arabes mantuvieron vivo el espıritu de la Teorıa de

numeros , pero fue Pierre de Fermat quien le dio un considerable impulso.

149




Andrew Wiles

Pierre de Fermat (1601 - 1665) fue un abogado y magistra-

do frances para quien la matematica era su pasatiempo

favorito. contribuyo al desarrollo de la Teorıa de numeros,

tuvo influencia en el analisis, como reconocerıa Newton

50 anos mas tarde, manejo la Geometrıa Analıtica o de

coordenadas, que tambien fue estudiada por Descartes, y

junto con Pascal es considerado el fundador de la Teorıa

de la probabilidad.

Pierre de Fermat nunca publico artıculos y todos sus descubrimientos y conjeturas han llegado

a nosotros por las cartas que escribio a numerosas personas. Uno de estos libros favoritos era

“Aritmetica”de Diofanto, que Bachet habıa traducido al latın en 1621 y en cuyos margenes

Fermat Hizo numerosas observaciones. Muchas de estas, aunque no todas, eran correctas. El

pequeno teorema de Fermat, expuesto en este trabajo, es una de las que es correcta, y la

primera demostracion fue publicada por Leonhard Euler (1707 - 1783) en 1736.

Que todos los numeros de la forma 22n+1 era primo es incorrecta como se encargo de descifrar

tambien Euler.

Hay una de las conjeturas cuya veracidad o falsedad tardo unos 350 anos en ser demostrada;

se le conoce con el nombre de El ultimo Teorema de Fermat. En su copia de la aritmetica

de Diofanto, y al lado del problema: dividir un cuadrado dado en una suma de dos cuadrados

Pierre de Fermat escribio:

“Por otro lado es imposible separar un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos

bicuadrados, o en general cualquier potencia excepto la cuadrad de dos potencias

del mismo exponente. De este hecho he descubierto una demostracion maravillosa

que este margen no es suficientemente grande para contener”.

Si Fermat tenia la demostracion nunca se ha encontrado, y numerosos matematicos

han intentado demostrar su afirmacion. A pesar de los esfuerzos, de las teorıas

desarrolladas, y de los numeroso valores de npara los que se ha comprobado el

teorema de Fermat estaba en lo cierto. La muy reciente prueba fue anunciada por

Andrew Wiles, de la universidad de Princenton y publicada en la revista Annals

of Mathematics, bajo el nombre de Modullar elliptic curves and Fermat.

A pesar de los numeroso resultados demostrados, la teorıa de numeros permanecio du-

rante el siglo XVIII como una serie de resultados sorprendentes pero sin relacion

entre si. Tuvo que ser Karl friedrich gauss (1777 - 1855) quien sistematizara los

resultados conocidos y los desarrollados por el para dar a la teorıa de los numeros

la entidad matematica que se merecıa desde hacia varios siglos. Cuando acababa

de cumplir 20 anos Gauss publico, por su propia cuenta, y despues de haber sido

rechazado por la academia francesa, un libro titulado Disquisitiones arithmeticae

150




que se convertirıa en el texto de referencia de esta teorıa durante todo el siglo

XIX. El libro contenıa tres ideas importantes: la teorıa de las congruencias, que

lo veremos en este trabajo, una introduccion a los numeros algebraicos y la teorıa

de las formas para llevar acabo un analisis diofantico de las ecuaciones.1

1Dorronsoro. Numeros, grupos y anillos.

151

Unidad 3

Numeros Reales. Su construccion y

aplicaciones

Objetivos

1. Definir axiomaticamente el sistema algebraico de los numeros reales.

2. Mostrar la construccion axiomatica del sistema algebraico de los numeros reales.

3. Probar las propiedades de los numeros reales.

4. Mostrar las aplicaciones de los modelos financieros.

Contextualizando: Analizando los efectos de la luz ultravioleta

El bano de sol constituye un popular pasatiempo. Sin embargo, una exposicion excesiva a la

luz ultravioleta puede ser causa de dano, tanto en la piel como en los organos de la vista. La

luz ultravioleta proveniente del sol es la causante del bronceado de la piel y de las quemaduras

de esta al quedar expuesta a la accion solar. Solo cerca de seis por ciento de la radiacion solar

que llega a la tierra es en forma de luz ultravioleta. A la intensidad de la luz ultravioleta le

afecta los cambios estacionales de la capa de ozono, la nubosidad y la hora del dıa. La tabla

a continuacion muestra la intensidad ultravioleta maxima medida en miliwatts por metro

cuadrado, para diferentes latitudes y fechas

Latitud 21 de marzo 21 de junio 21 de septiembre 21 de diciembre

0o 325 254 325 272

10o 311 275 280 220

20o 249 292 252 143

30o 179 248 182 80

40o 99 199 127 34

50o 57 143 75 13

152




Si un estudiante de Lima, localizado a 47.5o de latitud pasa sus vacaciones de primavera

en Hawai, a 20o de latitud, los rayos solares ultravioleta en Hawai seran aproximadamente

249/57≈ 4.37 veces mas intenso que en Lima. En primavera, el sol en Hawai es aproximada-

mente 249/133≈1.74 veces mas fuerte el mas intenso sol de Lima en el verano. Puesto que la

luz ultravioleta se dispersa a causa de la reflexion, la luz y la sombra no retienen por completo

las quemaduras de sol. Una persona sentada a la sombra puede recibir cuarenta por ciento de

la luz ultravioleta que se produce en un area determinada por el sol. Las nubes poco densas

transmiten el ochenta por ciento de la luz ultravioleta, en tanto que una persona que nada a

1 1/2 pies por debajo de la superficie del agua tambien recibe el ochenta por ciento de la luz

ultravioleta. De modo que, aun sentado a la sombra, nuestro estudiante de Lima sentira mas

intenso el sol en Hawai.

Los numeros reales son necesarios para cuantificar el efecto de la luz ultravioleta en los seres

humanos y, por otra parte, las cantidades se describen mediante distintos tipos de numero,

como los numeros cardinales, los decimales, las fracciones y los porcentajes. Esta unidad pre-

senta los numeros que son esenciales en la descripcion de fenomenos reales.

�

�

DESARROLLO TEMATICO

El progreso y el perfeccionamiento de la matematica estan

ıntimamente ligados a la prosperidad del Estado.

Napoleon I

3.1. Sesion 11: Definicion axiomatica de R. Orden en R.

Radicacion

Contextualizando: Oferta y demanda

La cantidad de un producto que la gente esta comprando voluntariamente durante algun pe-

riodo depende de su precio. Por lo general, a mayor precio la demanda es menor, a menor

precio, la demanda es mayor. De manera similar, la cantidad de un producto que un provee-

dor esta vendiendo voluntariamente durante algun periodo tambien depende del precio. Por o

general un proveedor estara abasteciendo mas de un producto a precios altos y menos de un

producto a precio bajos. El modelo mas simple de proveedor y demanda es un modelo lineal.

Suponga que esta interesado en el analisis de la venta diaria de cerezas en una ciudad en par-

ticular. Usando tecnicas especiales de analisis (analisis de regresion) y recoleccion de datos

un analista obtiene las siguientes ecuaciones de precio-demanda y de precio-abasteciemiento:

p = −0,3q + 5 Ecuacion de demanda(consumidor)

p = 0,06q + 0,68 Ecuacion de abastecimiento(proveedor)

153




donde q representa la cantidad en miles de libras y p representa el precio en dolares. Por

ejemplo, se puede observar que los consumidores compran 11 miles de libras (q = 11) cuando

el precio es p = −0,3(11)+5 = $1,70 por libra. Por otra parte, los proveedores estaran abaste-

ciendo voluntariamente 17 mil libras de cerezas a $1,70 (resuelva 1,7 = 0,06q + 0,68para q).

Es decir, a $1,70 por libra de cerezas que los proveedores estan abasteciendo voluntariamente,

los consumidores estan comprando voluntariamente mayor numero de las que se ofertar. El

abastecimiento excede a la demanda a ese precio, y por lo tanto, el precio bajara.¿A que pre-

cio por dıa se estabilizaran?. Es decir¿Cual debera ser el precio para que el abastecimiento

sea igual a la demanda?. Este precio, se llama precio de equilibrio, y la cantidad vendida a

este precio se llama cantidad de equilibrio.¿Que hacer para encontrar estas cantidades?. Se

resuelva el sistema lineal.

Es difıcil precisar cuando, y donde, aparecen los numeros reales por vez primera. La teorıa de las

magnitudes de Eudoxio, expuesta en el libro V de los elementos de Euclides, pueden considerarse

un texto acerca de los numeros reales no negativos. Para la mayor parte de los matematicos griegos

existıan aquellas magnitudes (en particular, longitudes) que podıan representarse mediante la regla

y el compas, como√

r, con r ∈ Q+. Para la escuela pitagorica, ni siquiera eso: solo admitıan

aquellas magnitudes que podıan ser construidas mediante la regla y el cartabon, es decir, los numeros

racionales. Como puede verse, la aritmetica (antecedente del algebra) y la geometrıa aparecıan

indisolublemente unidas en aquella epoca.

A

B

C

r

x

O Q

Figura 3.1: Construccion de√

r: El punto medio del segmento de extremos O y B(r, 0) se

toma como centro de la circunferencia, C con la recta perpendicular al eje de abscisas que

pasa por Q(0, 1); por ser semejantes los triangulos AQB Y BAO (angulos iguales) los lados

correspondientes son proporcionales, por lo que, llamando x a la longitud del lado AO, se

tiene x1

= rx, es decir, x2 = r.

154




A mediados del siglo XIX los analistas alemanes experimentaron la necesidad de fundamentar

rigurosamente su disciplina, introduciendo el cuerpo de los numeros reales a partir del cuerpo de los

racionales. Hacia 1870 ya se conocıan tres caminos que permiten efectuar dicha construccion:

1. Identificar los numeros reales con los ddesarrollos decimales infinitos, eliminando los ter-

minados en una sucesion de nueves ( periodo 9)para evitar la doble representacion de los

racionales decimales (periodo 0). Pueden escribirse en la forma a0 +∑∞

n=1 an10−n con a0 ∈ Z,

ai ∈ 0, 1, 2, . . . , 8, 9 para i ∈ N

2. Recurrir las llamadas cortaduras en Q, que son particiones de dicho conjunto en dos subcon-

juntos takes que todos los elementos del primero de ellos son menores que todos los elementos

del segundo (camino seguido por Dedekind).

3. Considerar ( como hicieron Cantor y Meray) el anillo cociente de cierto anillo de sucesiones de

numeros racionales, cuyos elementos se llamaran sucesiones regulares, por un ideal adecuado

del mismo.1

3.1.1. Definicion axiomatica de R

En los tres capıtulos anteriores hemos presentado los Sistemas de los Numeros Naturales U,

de los Numeros Enteros Z y de los Numeros Racionales Q de manera que haciendo identifi-

cacion N ⊂ Z ⊂ Q. Sabemos tambien que en Q la Adicion, Sustraccion y Multiplicacion son

operaciones internas; es decir, dados los numeros racionales a y b, la suma a + b, la diferencia

a − b y el producto ab asimismo, el cociente a/b (b 6= 0) es un numero racional. O equiva-

lentemente, siempre es posible resolver ecuaciones de la forma ax + b = 0, donde a 6= 0 y b

son numeros racionales. Sin embargo no siempre es posible resolver ecuaciones aparentemente

sencillas, como por ejemplo x2 = 2, que aparece naturalmente cuando se aplica el Teorema

de Pitagoras a un triangulo rectangulo cuyos catetos tienen como longitud 1, resulta que la

longitud de la hipotenusa es 2 que no es numero racional como ya se probo en el capitulo

anterior.

Por otra parte, en el mismo capıtulo, se ha hecho notar que existe una correspondencia bi-

unıvoca o biyeccion entre el conjunto Q y el conjunto E de todas las expresiones decimales

infinitas periodicas, la que permite identificar los conceptos de numero racional y de ex-

presion decimal infinita periodica.

Obviamente existen expresiones decimales infinitas no periodicas, por ejemplo la definida es-

cribiendo: primero 0, despues la coma decimal y, a continuacion para cada dıgito 1 se colocan

n ceros siguiendo al n−esimo 1; es decir:

0, 1010010001000010000010000001 . . .

1Algebra y fundamentos. Miguel Angel Goberna

155




Variaciones de este ejemplo producen otras expresiones infinitas no periodicas, como por

ejemplo: 0,1001000010000001. . .

Mas adelante, se sugerira un metodo para probar que√

2 puede escribirse como:

1; 1, 4; 1, 414; 1, 4142; . . . . . .

que es una expresion decimal infinita no periodica. Finalmente, tambien existen expresiones

decimales infinitas no periodicas cuyas sucesion de dıgitos no puede ser descrita por una sim-

ple regla.

Los ejemplos anteriores, inducen a considerar el conjunto de todas las expresiones decimales

infinitas no periodicas que, evidentemente, no son numeros racionales a las que se dara el

nombre de numeros irracionales. A este nuevo conjunto se le denota por I. Con los conjuntos

Q e I construiremos un nuevo conjunto R = Q ∪ I al cual le llamamos conjunto de los

numeros reales.

Es decir:

R = Q ∪ I ={exp. dec. infinitas periodicas} ∪ {exp. dec. Infinitas no periodicas}O tambien R = Q ∪ I ={numeros racionales} ∪ {numeros irracionales}La siguiente idea sera convertir a R en un sistema de numeros; para lo que habra necesidad

de definir una relacion de igualdad y las operaciones internas de adicion y multiplicacion para

expresiones decimales infinitas periodicas y no periodicas, lo cual es bastante complicado.

Existen varias maneras de definir formalmente el conjunto R por encajes de intervalos (Weier-

strass), por cortaduras (Dedekind), por sucesiones fundamentales (Cantor)2 y axiomatica-

mente (Hilbert). Se escogera esta ultima para seguir con el mismo esquema que hemos adop-

tado para introducir los Sistemas de Numeros N, Z y Q.

3.1.2. Definicion Axiomatica de R

El Sistema de los Numeros Reales es un conjunto, denotado por R, provisto de dos

operaciones internas llamadas adicion y multiplicacion, y una relacion de orden.

La Adicion es una operacion interna en R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b) ∈R × R un unico numero real llamado suma de a y b, y que se denota a + b.

Simbolicamente:

+ : R × R → R, tal que (a, b) → a + b

Los numeros reales a y b reciben el nombre de sumandos.

La Multiplicacion es una operacion interna en R, que asocia a cada par de numeros reales

(a, b) ∈ R × R un unico numero entero llamado producto de a y b y denotado por a · b o

simplemente ab.

Simbolicamente:

· : R × R → R, tal que (a, b) → a · b2Ver [] pags. 78-94

156





La adicion y la multiplicacion satisfacen los siguientes axiomas:


Conmutatividad R1) a + b = b + a

∀ a, b ∈ RR5) a · b = b · a

∀ a, b ∈ R

Asociatividad R2) (a + b) + c = a + (b + c)

∀ a, b, c ∈ RR6) (a · b) · c = a · (b · c)

∀ a, b, c ∈ R

Elemento Neu-

tro

R3) Existe un unico numero

real llamado cero de-

notado por 0, tal que:

a + 0 = a ∀a ∈ R

R7) Existe un unico

numero real llamado

uno denotado por 1,

1 6= 0 tal que: a ·1 = a

∀a ∈ R

Elementos op-

uesto e inverso

R4) Para todo a ∈ R, existe

un unico numero real

denotado por −a, lla-

mado opuesto de a tal

que a + (−a) = 0

R8) Para todo a ∈ R,

a 6= 0, existe un unico

numero real denotado

por a−1 o 1a, llamado

inverso de a tal que

a · a−1 = 1

Distributividad N5) a(b + c) = ab + ac, ∀ a, b, c ∈ R

Nota Importante:






Teorema 3.1. Si a, b y c son numeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:


Corolario 3.1.

(a) a = b ∧ c = d entonces a + c = b + d

(b) a = b ∧ c = d entonces a · c = b · d

La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en

Q.

157




Teorema 3.2. Si a y b son numeros reales, se cumplen las siguientes propiedades:

(a) a · 0 = 0

(b) ab = 0 si y solo si a = 0 ∨ b = 0

La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en

Q.

Teorema 3.3 (Propiedades del Opuesto de un numero real). Si a y b son numeros reales,

se cumplen las siguientes propiedades:

(a) −(−a) = a, para todo a ∈ R

(b) −(a + b) = (−a) + (−b)

(c) (−1)a = −a

(d) a(−b) = (−a)b = −(ab)

(e) (−a)(−b) = ab

La demostracion de cada propiedad es analoga a la realizada en Q.

Teorema 3.4 (Propiedades del Inverso). Si a y b son numeros reales, se cumplen las

siguientes propiedades:

1. (a−1)−1 = a para todo a ∈ R

2. (a · b)−1 = a−1 · b−1


Teorema 3.5 (Cancelacion en la adicion y multiplicacion). Si a, b y c son numeros reales

se tiene:

(a) a + c = b + c entonces a = b

(b) Si ac = bc y c 6= 0 entonces a = b


SUSTRACCION

Definicion 3.1. Dados los numeros reales a y b, se define la diferencia de a y b y se denota

158




por a − b al unico numero real c, tal que a = b + c.

O sea, a − b = c si y solo si a = b + c.

Los numeros a y b reciben, respectivamente, los nombres de minuendo y sustraendo.

Teorema 3.6. Dados los numeros reales a y b, la diferencia a−b siempre existe y es unica.


Observacion 3.1. Es importante recordar la igualdad: a − b = a + (−b).

El teorema anterior nos dice que, la funcion (−) : R×R/ (a, b) → a− b, que asocia a cada par

(a, b) de numeros reales, su diferencia a − b, es una operacion interna en R. Esta operacion

recibe el nombre de sustraccion.

DIVISION

Definicion 3.2. Dados dos numeros reales a y b 6= 0, se llama cociente de a y b y se denota

por ab

al numero real c tal que a = b · c.O sea a

b= c si y solo si a = b · c.

Teorema 3.7.

(a) Dados los numeros reales a y b 6= 0, el cociente ab

siempre existe y es unico.

(b) Dados los numeros reales x, a 6= 0 y b, se tiene que: ax + b = 0 si y solo si x = −ba−1.

Las demostraciones son analogas a las efectuadas en Q.

La funcion ( / ) : R × (R − {0}) → R, que asocia a cada par de numeros reales (a, b), b 6= 0,

su cociente ab, recibe el nombre de division.

POTENCIACION

Definicion 3.3. Sean a un numero real, a 6= 0, y n un numero natural, se define la potencia

an, poniendo

1. a0 = 1,

2. an = an−1a, si n ≥ 1


159




De la definicion, se tiene que:

a1 = a1−1 · a = a0 · a = 1 · a = a ∀a ∈ R − {0} (un factor)

a2 = a1 · a = a · a (dos factores)

a3 = a2 · a = a · a · a (tres factores), y en general

an = a · a · a · · ·a (n factores)

Si a 6= 0 y n ∈ N, se define a−n = 1an y se tiene que, para n, m ∈ N

am

an= am · 1

an= am · a−n

Aplicando el principio de induccion matematica se prueba el siguiente:

Teorema 3.8.

(i) (a · b)n = an · bn

(ii) am · an = am+n

(iii) (am)n = am·n, ∀ n, m ∈ Z

3.1.4. Orden en R

Presentaremos el penultimo axioma del Sistema de los Numeros Reales R.

R10) Existe un subconjunto no vacıo de R, denotado por R+, tal que:

1. Para toda a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:

a ∈ R+ o − a ∈ R+ o a = 0

2.

El subconjunto no vacıo de R denotado por R+, recibe el nombre de conjunto de los

numeros reales positivos.

El subconjunto de R definido por R− = {x ∈ R/−x ∈ R+}, que no es vacio, en virtud de R8),

recibe el nombre de conjunto de los numeros reales negativos y el axioma R10), nos afirma

que: R = R+ ∪ R− ∪ {0}

160

Consecuencias importantes del axioma anterior

Teorema 3.9. Si a ∈ R, a 6= 0 entonces a2 ∈ R+

La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real

y el sımbolo Q+ por R+.

Definicion 3.4. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor que b” y se denota con

a a si, y solo si, a < b.

De la definicion anterior resulta el siguiente:

Teorema 3.10.

1. a ∈ R+ si y solo si, a > 0.

2. a > 0 si, y solo si, −a < 0

La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real

y el sımbolo Q+ por R+.

Usando el Teorema anterior, R10, puede reescribirse en la forma siguiente:

1. Dado a ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:

0 < a ∨ a = 0 ∨ a < 0 (Tricotomıa)

2. Si a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0 y ab > 0.


1. a < 0 ∧ b < 0 entonces ab > 0

2. a > 0 ∧ b < 0 entonces ab < 0

La demostracion es analoga a la realizada en Q. Basta reemplazar la palabra racional por real.

161

(a) Dados a, b numeros reales, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:

a b.

(b) a bc


Teorema 3.13. Si a y b son numeros reales diferentes de cero, el inverso multiplicativo

tiene las siguientes propiedades:

(a) a > 0 entonces a−1 > 0

(b) a < 0 entonces a−1 < 0

(c) Si 0 < a 0 y n > 0 entonces an > 0

(ii) Si 0 < a < b entonces an < bn

Demostracion. Probar las dos propiedades por induccion

Definicion 3.5. Si a y b son numeros reales, se dice que “a es menor o igual que b” y se

denota por a ≤ b si, y solo si, a < b o a = b.

Se sigue de inmediato que:

a ≤ b ⇔ ∃ c ≥ 0/a + c = b

Equivalentemente, se dice que “b es mayor o igual que a” y se denota b ≥ a si, y solo si, a ≤ b.

162

Teorema 3.15. Si a, b y c son numeros reales, las relaciones ≤ y ≥ cumplen las siguientes

propiedades

1. a ≤ a, ∀ a ∈ R (Propiedad reflexiva)

2. a ≤ b ∧ b ≤ a entonces a = b (Propiedad antisimetrica)

3. a ≤ b ∧ b ≤ c entonces a ≤ c (Propiedad transitiva)

4. a 6= b entonces a < b ∨ b < a (Propiedad conexa)

5. a ≤ b ∧ c ≥ 0 entonces ac ≤ bc

6. a ≤ b ∧ c ≤ 0 entonces ac ≥ bc

Demostracion. La demostracion de cada una de las propiedades es analoga a la realizada en

Q.

Observacion 3.2. Las propiedades (a), (b) y (c) nos permiten decir que la relacion menor o

igual es una relacion de orden en R. Si se agrega la propiedad (d) se dice que la relacion

menor o igual es una relacion de orden conexa.

Radicacion

Definicion 3.6. Dados a ≥ 0, un numero real y n ∈ N+. Se llama raız n−esima de a y se

denota n√

a, al unico numero real no negativo b tal que bn = a;

Simbolicamente n√

a = b si y solo si bn = a.

En la expresion b = n√

a; se dira que n es el ındice del radical, y que a es el radicando o

expresion subradical.2√

a se escribe simplemente√

a y se lee “raız cuadrada de a”.3√

a se lee: “raız cubica de a”.

Teorema 3.16. Si a, b ∈ R+0 = R+ ∪ {0} y n, m ≥ 1, entonces:

(a) Existe n√

ab y n√

ab = n√

a n√

b

(b) Existe n√

am y n√

am = ( n√

a)m

(c) Existen mn√

a, m√

n√

a y mn√

a = n√

m√

a = m√

n√

a

(d) Si b > 0, n√

ab

=n√

an√

b

163




3.1.5. Subconjuntos notables de R

A continuacion presentaremos los subconjuntos notables de R como son los numeros reales

naturales NR, reales enteros ZR y reales racionales QR; ası como su relacion con los conjuntos

numericos presentados en los tres capıtulos anteriores.

Para exhibir concretamente elementos de R, es decir numeros reales, utilizamos los axiomas y

teoremas de R. Empezamos mostrando los llamados numeros reales naturales, importantes por

que nos permitiran introducir el concepto de sistema de numeracion, sin el cual no tendrıamos

forma de trabajar con los elementos de R; estos se reducirıan a simples entes abstractos.

Ademas, a partir de NR y utilizando los axiomas de los numeros reales, podremos obtener

los otros subconjuntos notables de R: los reales enteros, los reales racionales y los irracionales

pues, por ejemplo, no tendrıa sentido hablar de 5√

5 si antes no existiera el numero 5.

Los numeros reales naturales

Los numeros naturales estan asociados al proceso de contar, y este proceso empieza por el 0

y el 1, “aumentando uno al anterior para obtener el siguiente”. Ası obtenemos:

0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, . . . , n, n + 1, . . .

Es decir si tenemos un numero n, el sucesor natural de ese elemento n se obtendra, agregandole

1, al elemento n, para obtener n + 1. Esta idea intuitiva y sencilla nos servira de punto de

partida para definir los numeros reales naturales.

Definicion 3.7. Sea K un subconjunto no vacıo de R, se dice que K es un conjunto inductivo

si, y solo si, cumple las siguientes dos condiciones:

(i) 0 ∈ K

(ii) Si n es un elemento de K, el numero n+1, llamado sucesor de n, es tambien un elemento

de K.

Es decir, si n ∈ K, entonces n + 1 ∈ K.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros reales R. satisface tales propiedades pues 0 ∈ R y

por definicion de adicion, si n ∈ R, como 1 ∈ R, entonces n + 1 ∈ R. Esto prueba, que por lo

menos existe un subconjunto inductivo que es el mismo R.

Teorema 3.17. La interseccion de todos los subconjuntos inductivos de R es tambien un

subconjunto inductivo de R y es ademas el menor subconjunto inductivo de R; en el sentido

que esta contenido en todos los demas subconjuntos inductivos.

Demostracion. Sea J es la interseccion de todos los subconjuntos inductivos de R,

164




(i) Si 0 es un elemento de cada conjunto inductivo, entonces 0 es un elemento de la inter-

seccion de todos los conjuntos inductivos, es decir, 0 ∈ J .

(ii) Si h ∈ J , entonces h es elemento de cada conjunto inductivo, luego por definicion de

conjunto inductivo, h+1 es tambien un elemento de cada conjunto inductivo de R y por

lo tanto h + 1 tambien pertenece a la interseccion de todos los subconjuntos inductivos

de R; o sea, h + 1 ∈ J .

Por lo tanto J es un subconjunto inductivo de R y esta contenido en cada subconjunto

inductivo de R.

Definicion 3.8. El conjunto anteriormente obtenido, o sea la interseccion de todos los sub-

conjuntos inductivos de R, recibe el nombre de conjunto de los reales naturales y se denota

por NR.

Por el teorema anterior el conjunto NR = J existe y ademas NR esta contenido en todos los

subconjuntos inductivos de R.

Es decir, NR satisface las siguientes propiedades:

(i) 0 ∈ NR

(ii) Si n es un elemento de NR, entonces el sucesor de n, el numero n + 1, es tambien un

elemento de NR.

O sea, si NR, entonces n + 1 ∈ NR.

Teorema 3.18 (Induccion matematica). Si A ∈ NR goza de las propiedades

1. 0 ∈ A y

2. Si h ∈ A implica h + 1 ∈ A

entonces A = NR.

Demostracion. Por las condiciones (i) y (ii), A es conjunto inductivo, luego NR ⊂ A, y como

por hipotesis A ⊂ NR, se sigue que A = NR.

Observacion 3.3. De la definicion de NR, deducimos que 0 ∈ NR, y para h = 0, se tiene que

h + 1 = 0 + 1 = 1 ∈ NR. Analogamente 2 = 1 + 1 ∈ N, 3 = 2 + 1 ∈ NR, . . . , etc. Luego,

{0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} ⊂ NR.

A continuacion probaremos la propiedad de clausura para la adicion y multiplicacion de

numeros naturales

165

Teorema 3.19.

1. Si a, b ∈ NR entonces a + b ∈ NR.

2. Si a, b ∈ NR entonces a · b ∈ NR.

Demostracion.

1. Elijamos arbitrariamente un elemento a de NR. Fijando el elemento a, definamos el

conjunto K = {b ∈ NR/a + b ∈ NR} ⊂ NR. Es decir,

b ∈ K ⇔ a + b ∈ NR

Probaremos que K es inductivo. En efecto:

(i) 0 ∈ K pues como a ∈ NR, a + 0 ∈ NR.

(ii) Si h ∈ K entonces a + h ∈ NR, de donde (a + h) + 1 ∈ NR por ser NR inductivo;

Luego, a + (h + 1) = (a + h) + 1 ∈ NR, usando la propiedad asociativa en R; de

donde, por definicion de K resulta, finalmente que h + 1 ∈ K.

Ası, K es inductivo, y como NR esta contenido en todo conjunto inductivo, entonces

NR ∈ K, resulta que K = NR. Esto quiere decir que para todo a ∈ NR y para todo

b ∈ NR, se cumple: a + b ∈ NR.

2. Queda como ejercicio.

Sabemos que 0 ∈ NR, 1 ∈ NR y ademas 0 < 1, pero ¿existiran numeros reales naturales may-

ores que 0 y menores que 1? Seguramente diremos que no, pero ¿como justificamos nuestra

respuesta? El siguiente teorema responde a esta pregunta

Teorema 3.20. Sea a ∈ NR, si a > 0, entonces a ≥ 1.

Demostracion. Bastara probar que el conjunto K = {a ∈ R/a = 0 ∨ a ≥ 1}, es inductivo.

a ∈ K ⇔ a = 0 ∨ a ≥ 1. En efecto

(i) 0 ∈ K, por definicion de K.

(ii) Si n ∈ K entonces n = 0 ∨ n ≥ 1, luego n + 1 = 1 ∨ n + 1 ≥ 1 + 1 ≥ 1 de donde

n + 1 ∈ K.

Lo que implica que K es inductivo y por lo tanto NR.

Ası, resulta finalmente que si a ∈ NR ⊂ K y a > 0 entonces a ≥ 1.

166

Corolario 3.2. No existen numeros naturales a, tales que n < a < n + 1, con n ∈ NR.

Demostracion. Si suponemos que existe a ∈ NR tal que n < a < n+1, entonces existe k ∈ NR

tal que (n − 1) + k = a pues a > n − 1 en NR.

Luego, (n − 1) + 1 < (n − 1) + k < (n − 1) + 2, de donde 1 < k < 2 con k ∈ NR, lo cual es

imposible por la proposicion anterior.

Recien entonces estamos en condiciones de afirmar que

NR = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

Teorema 3.21 (El principio del buen orden). Todo subconjunto, no vacio, de NR, posee

un elemento minimo.

Es decir, si A ⊂ NR, A 6= ∅, existe un elemento m ∈ A tal que, para todo x ∈ A, m ≤ x.

En virtud de esta propiedad se dice que el conjunto de los Numeros Naturales es

Bien Ordenado.

Una sugerencia para su demostracion es definir el subconjunto H de NR:

h ∈ H ⇔ A ⊂ NR, A 6= ∅, tal que h ∈ A, A posee elemento mınimo.

Y probar que este conjunto H ⊂ NR es inductivo, de donde se seguira que NR ⊂ H , y por lo

tanto H = NR.

Nota importante:

Hemos probado, en el teorema 3.19, que la adicion y multiplicacion de R, restringidas a NR

son tambien operaciones internas:

+ : NR × NR → NR

(a, b) → a + by

· : NR × NR → NR

(a, b) → a · b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(a), 3.5(b),

3.13(a) y el teorema 3.21) de R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satis-

facen los axiomas, N1) − N11), del Sistema de los Numeros Naturales. En tal sentido, podemos

identificar NR con el conjunto de los numeros naturales y escribir simplemente NR = N.

El Conjunto de los Numeros Reales Enteros

Hemos definido el conjunto cuyos elementos son los numeros reales naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

. . . , luego, por el axioma del opuesto (R4), se obtienen los numeros reales: −0 = 0, −1, −2,

167




−3, −4, −5, . . . ,

Establecido NR, definimos los conjuntos Z+ = NR − {0}, Z− = {−n/n ∈ Z+} y ZR =

Z+ ∪ {0} ∪ Z−.

Al conjunto ZR lo llamamos Conjunto de los Numeros Reales Enteros.

Es decir, ZR = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}.Si restringimos la adicion y multiplicacion de Z a ZR, usando el teorema 3.3 (propiedades del

opuesto), se obtiene que la suma y el producto de dos reales enteros siempre es un numero

real natural o el opuesto de un real natural y por consiguiente un numero real entero, luego

quedan definidas las operaciones internas de adicion y multiplicacion en ZR:

+ : ZR × ZR → ZR

(a, b) → a + by

· : ZR × ZR → ZR

(a, b) → a · b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R9 y el teorema 3.5(b)) de

R, se verifica de inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, E1) - E9),

del Sistema de los Numeros Enteros. Veamos que tambien se cumpla el axioma E10):

Si definimos i : NR → ZR mediante i(n) = n, se tiene que

1. i es inyectiva,

2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n)

3. i(mn) = mn = i(m)i(n).

En tal sentido, podemos identificar ZR con el Conjunto de los Numeros Enteros y escribir

simplemente ZR = Z.

El Conjunto de los Numeros Reales Racionales

Dados los numeros reales naturales positivos, como todo numero real diferente de cero tiene

inverso multiplicativo, obtenemos los inversos de numeros reales naturales positivos:

1

1,

1

2,

1

3,

1

4,

1

5, . . . ;

ası como sus opuestos

−1

1, −1

2, −1

3, −1

4, −1

5, . . . ;

y usando la definicion de cociente, otros numeros como:

2

3= 2 · 1

3,

3

5= 3 · 1

5, etc.

En general llamamos conjunto de los Numeros Reales Racionales, y lo denotamos por QR,

al subconjunto de R definido de la siguiente manera:

QR ={m

n∈ R/m, n ∈ Z y n 6= 0

}

Y puesto que, para a, b, c, d reales y, en particular, reales enteros, se cumple:

168




1. ac

+ bd

= ad+bccd

∈ QR

2. ac· b

d= ab

cd∈ QR

Si restringimos la adicion y multiplicacion de R a QR, usando las dos propiedades anteriores, se

obtiene que la suma de dos reales racionales siempre es un numero real racional y el producto

dos reales racionales siempre es un numero real racional. Por consiguiente quedan definidas

las operaciones internas de adicion y multiplicacion en QR:

+ : QR × QR → QR

(a, b) → a + by

· : QR × QR → QR

(a, b) → a · b

y teniendo en cuenta los axiomas (R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9) de R, se verifica de

inmediato que las operaciones anteriores satisfacen los axiomas, Q1) - Q9) del Sistema de los

Numeros Racionales. Ademas, ac

= bd

si y solo si ad = bc.

Probaremos que tambien se cumpla el axioma Q10) para ello bastara definir, i : ZR → QR

mediante, i(m) = m1, luego se prueba facilmente que:

1. i es inyectiva,

2. i(m + n) = m + n = i(m) + i(n)

3. i(mn) = i(m)i(n).

En tal sentido, podemos identificar QR con el Conjunto de los Numeros Racionales y escribir

simplemente QR = Q.

Finalmente, nos preguntamos, ¿son estos todos los numero reales? La respuesta es no. Por

ejemplo como 2 ∈ R+, existe√

2 en R, sin embargo, ningun racional satisface la igualdad

r2 = 2 luego, R − Q 6= ∅. Tambien, todo numero real cuya representacion decimal es infinita

no periodica no es un numero racional. Ası al subconjunto R−Q de R lo llamamos subconjunto

de los Numeros Irracionales y lo denotamos con I. Es decir, I = R − Q.

La existencia de√

2 como numero real y la de otros numeros irracionales como e, π, etc.,

no puede ser obtenida a partir de los axiomas de R1) - R10). Se hace por tanto necesaria

agregar un axioma para definir el Conjunto de los Numeros Reales R, que es el Axioma del

Supremo (o Axioma de Completitud).

La Recta Real

Existe una relacion entre el conjunto R de los numeros reales y el conjunto ℜ de los puntos de

la recta geometrica, basada en el axioma de Cantor-Dedekind que establece una funcion

biyectiva f : R → ℜ. Mas precisamente:

1. f es inyectiva o sea x 6= y entonces f(x) 6= f(y).

169

2. f es subyectiva o sea ∀ u ∈ ℜ tal que f(x) = u.

Este axioma relaciona la aritmetica con la geometrıa y permite identificar el conjunto de

los numeros reales R con el conjunto de los puntos de la recta geometrica ℜ (R ≡ ℜ),

introduciendose de esta manera el concepto de recta numerica o recta real.

Graficamente:

En la recta real, los numeros reales positivos son los puntos que estan a “la derecha del cero”,

y los numeros reales negativos son los que estan a “la izquierda del cero”. En general, a < b

si el punto que corresponde al numero real a esta a la izquierda del punto que corresponde al

numero real b.

Definicion 3.9. La biyeccion f : ℜ → R dada por el axioma 3 de Cantor-Dedekind, que

asigna a cada punto de la recta un unico numero real f(P ) recibe el nombre de Sistema de

Coordenadas de la recta ℜ. El numero real f(P ) que corresponde al punto P , mediante

la biyeccion f , recibe el nombre de coordenada del punto P . En particular, el punto cuya

coordenada es el numero real 0 (cero), se denomina origen del sistema. En el grafico anterior,

el origen es P0. Observese intuitivamente que cualquier punto P de la recta puede consider-

arse como origen de un sistema de coordenadas (basta deslizar la regla). De esta manera se

obtendran varios sistemas de coordenadas.

Por otra parte, y esto es muy importante, desde el punto de vista de la teorıa de conjuntos, si

existe una biyeccion f : A → B entre dos conjuntos se pueden identificar los elementos de A

con los elementos de B. En nuestro caso, identificamos el punto P de la recta ℜ con el numero

real f(P ), que llamamos la coordenada de P y escribimos f(P ) = p, para todo punto P .

170

3.1.6. Axioma del Supremo

Definicion 3.10. Un conjunto A ⊂ R es acotado superiormente si, y solo si, existe un

numero k ∈ R tal que a ≤ k, para todo elemento a ∈ A. k se llama cota superior de A.

Un conjunto A ⊂ R es acotado inferiormente si, y solo si, existe un numero k′ ∈ R tal que

k′ ≤ a, para todo elemento a ∈ A. k′ se llama cota inferior de A.

Si el conjunto A es acotado superior e inferiormente, se dice que A es acotado. Un conjunto

acotado puede tener infinitas cotas.

Definicion 3.11. Dado un conjunto A ⊂ R se dice que el numero real s es el supremo de A

si, y solo, si se cumple que:

1. s es cota superior de A; es decir, a ≤ s, ∀ a ∈ A; y

2. s es la menor cota superior de A. Es decir, si k es una cota superior de A, entonces

s ≤ k.

Teniendo en cuenta (1) y (2) se puede decir que: “el supremo de A es la menor cota superior

de A”.

Se demuestra, facilmente el siguiente:

Teorema 3.22. Si A ⊂ R entonces, s es el supremo de A si, y solo si, se cumplen:

(1’) a ≤ s, ∀ a ∈ A (s es una cota superior)

(2’) ∀ ε > 0, (tan pequeno como se quiera) existe a′ ∈ A tal que s − ε < a′.

Ejemplo 3.1. El conjunto A = {x ∈ R/3 < x ≤ 4} tiene como supremo a 4. En efecto,

(1’) 4 es una cota superior

(2’) Dado ε tal que 0 < ε < 1, bastara tomar el valor a′ = 4 − ε2, el cual, obviamente,

pertenece al conjunto A y es tal que 4 − ε < 4 − ε2

= a′.

Es decir, dado, s = 4 existe a′ = 4 − ε2∈ A tal que s − ε < a′.

171

Actividades

1. Sean b y h las longitudes de la base y de la altura, expresadas en centımetros, de un

triangulo y A es el area del mismo (cm2). Si 10 < b < 12 y 60 < A < 80. ¿Cuales son

los posibles valores de h?

2. Si a < 0 < b, ¿Se puede establecer la relacion menor entre sus inversos multiplicativos?

3. Hallar todos los numeros reales x tales que x > 5 si, y solo

4. Indica los axiomas, definiciones o propiedades que justifican cada paso en los siguientes

ejercicios:

(a)

6√

2

((3)

(1

6√

2

))= 6

√2

((1

6√

2

)(3)

)

=

((6√

2)

(1

6√

2

))3

= (1)(3)

= 3

(b)

(π

4− π

6

)(48) =

(π

4+(−π

6

))48

= 48(π

4+(−π

6

))

= 48(π

4

)+ 48

(−π

6

)

= 12π + (−8)π

= 4π

5. Encontrar tres numeros reales a, b, c de tal manera que se cumplan las tres condiciones

siguientes:

(a + b + c) es un numero entero

(a2 + b2 + c2) es un numero irracional

(a3 + b3 + c3) es un numero racional

6.

(a) ¿A cuantos kilometros equivale un ano luz?

172




(b) La estrella mas cercana a la tierra se encuentra a 4 300 anos luz de distancia. ¿A

cuantos metros equivale dicha distancia?

(c) Si el radio de la tierra es 6,4×106m, determina su volumen.

7. Para investigar: Si p y q son numeros reales positivos, demostrar que:

1 ≤√

p2 + 4q

2q−√

p

p +√

p2 + 4q

8. Para investigar: Sean a, b numeros positivos tales que a3 + b3 = 2. Demostrar que

a9 + b9 + 5(a12 + b12) ≥ 8 + 2(a15 + b15)

173




3.2. Sesion 12: Axioma del Supremo. Sucesiones, cuer-

po ordenado completo

La Matematica es la reina de las ciencias y la teorıa de

los numeros es la reina de la Matematica.

Gauss

Contextualizando: La secuencia de Fibonacci y la razon aurea

Unos de los problemas mas famosos en las matematicas elementales proviene del libro “Liber

Abaci”, escrito en 1202 por Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. El problema

es como sigue:

Un hombre coloca un par de conejos en una jaula. Durante el primer mes, los

conejos no tienen crıas, pero a partir de cada mes procrean un par nuevo de

conejos. Si cada par nuevo se reproduce de la misma manera. ¿Cuantos pares de

conejos habra al final de un ano?

La solucion de este problema lleva una secuencia de numeros conocidos como la secuencia

de Fibonacci. Aquı estan los primeros 15 terminos de a secuencia de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

Advierta el patron establecido en la secuencia despues de los dos primeros terminos (ambos 1),

cada termino se obtiene anadiendo los dos terminos previos. Por ejemplo, el tercer termino

se obtiene sumando 1 + 1 para obtener 2, el cuarto termino se encuentra sumando 1 + 2 para

obtener 3, etc. Esto puede describirse por medio de una formula matematica conocida como

una formula de recurrencia. Si Fn representa el numero de Fibonacci, en la n−esima posicion

en la secuencia, entonces

F1 = 1

F2 = 1

Fn = Fn−1 + Fn−2, para n ≥ 3

La secuencia de Fibonacci presenta muchos patrones interesantes y por razonamiento induc-

tivo podemos hacer muchas conjeturas acerca de estos. Sin embargo, como hemos indicado

muchas veces con anterioridad, observar sencillamente un numero finito de ejemplos no pro-

porciona la prueba de un postulado. Las pruebas de las propiedades de una secuencia de Fi-

bonacci frecuentemente implican induccion matematica.

174

3.2.1. Axioma del supremo

R11 “Si A es un subconjunto de R, diferente del vacıo, y acotado superiormente, entonces A

tiene supremo s ∈ R”.

Este axioma no se cumple en Q como probaremos a continuacion mostrando el siguiente:

Ejemplo 3.2. Sea {rn} un conjunto, en particular una sucesion, de numeros racionales defini-

da por induccion*, poniendo:

1. Si n = 1, r1 = 1.

2. Supuesto definido rn−1, definimos rn = rn−1+sn

10n−1 , donde sn es el mayor entero positivo

tal que r2n ≤ 2.

De esta manera se obtiene el siguiente conjunto de numeros racionales:

{rn} = {1; 1, 4; 1,414; . . . }

Se ve de inmediato que {r2n} es acotado superiormente por 4, puesto que: 0 < r2

n ≤ 2 < 4, de

donde, 0 < rn <√

2. Es decir, el conjunto {rn} es acotado por√

2; mas aun, se puede probar

que sup(rn) = 2. Sin embargo, como ya sabemos,√

2 no es un numero racional.

Teorema 3.23. El conjunto N ⊂ R de los numeros reales naturales no es acotado superi-

ormente.

Demostracion. Por el absurdo. Si N fuera acotado superiormente, existirıa c = sup N. En-

tonces, c − 1 no seria una cota superior de N, es decir, existirıa n ∈ N tal que c − 1 < n, de

donde, c < n + 1, lo que implica que c no es una cota superior de N, en consecuencia N no es

acotado superiormente.

Teorema 3.24. Dados a, b ∈ R+, existe un numero real racional n tal que na > b.

(Propiedad Arquimediana).

Demostracion. Dados a, b ∈ R+ existe n ∈ N, tal que n > ba, pues si n ≤ b

apara todo

n ∈ N, se tendrıa que el conjunto N seria acotado, lo que contradice al teorema anterior y, en

consecuencia, existe n tal que n > ba, de donde na > b.

Corolario 3.3. Si b es un numero real, existe un numero natural n > 0 tal que n > b.

Demostracion. Basta con poner n = b + 1 para obtener n > b.

175

Corolario 3.4. Si 0 < b, existe un numero real natural n tal que 0 < 1n

< b.

Demostracion. Si 0 < b, existe el numero real 1b

> 0, luego por el corolario 3.3, existe un

numero real natural n > 1b, de donde 0 < 1

n< b.

Corolario 3.5. Si x es un numero real, existen reales enteros m y n tales que:

m < x < n

Demostracion. Por el corolario 3.3, dado x existen reales enteros positivos n y p tales que:

n > x y p > −x

Poniendo m = −p, resulta: m < x < n.

Teorema 3.25 (Teorema del mayor entero). Para todo numero real x siempre existe un

numero real entero n tal que

n ≤ b < n + 1

Demostracion. Existencia: Por el corolario 3.3, existen reales enteros r y s tales que: r < x < s,

y como t = s − r > 0, existe tambien un real entero positivo t tal que r < x < r + t. Sea p el

mınimo real entero positivo tal que x 0 y n = r + (p − 1) ≤ x, por ser p el mınimo. Luego n ≤ x < r + p = n + 1, o sea

n ≤ x < n + 1.

Unicidad: Si existieran reales enteros m y n tales que: m ≤ x < m + 1, n ≤ x < n + 1 y

m < n, se tendrıa que m < n ≤ x < m + 1 y en consecuencia 0 < n − m < 1, lo que es una

contradiccion. Analogamente se procede si n < m.

Teorema 3.26. Si a y b son dos numeros reales tales que a 0 existe un numero

real natural n tal que 1n

< b − a, o sea:

El teorema 3.20 asegura que dado el numero real no existe un entero m tal que

m ≤ na < m + 1

De donde se sigue quem

n≤ a y a <

m

n+

1

n

176

De las cuatro ultimas relaciones, se tiene:

a <m

n+

1

n< a +

1

n< b

lo que implica que existe el numero real racional

r =m

n+

1

n, tal que a < r < b.

A continuacion, mostraremos otra manera de probar que en Q, no se cumple el axioma del

supremo.

Ejemplo 3.3. Sea el conjunto de numeros reales racionales

A = {x ∈ Q/x2 < 2} = {1; 1,4; 1,41; 1,4141; . . . }

y calculemos su supremo.

En primer lugar A no es vacio, pues 1 ∈ A y es acotado superiormente, puesto que, si x ∈ A

entonces 0 < x2 < 2 < 4, de donde se sigue que, 0 < x2 < 4 para todo x ∈ A, luego

aplicando el axioma R11, existe el supremo de A al cual lo denotaremos por s. Probaremos a

continuacion que s2 = 2.

En efecto,

Si fuera s2 < 2, definiendo b = s + 2−c2

5se tiene: s < b y

b2 = s2 +

(2 − s2

5

)(2s +

2 − s2

5

)< s2 +

(2 − s2

5

)5 = 2

La ultima desigualdad se cumple pues si s2 < 2, s2 < 4 y s < 2, de donde

2s +

(2 − s2

5

)< 5

Como s < b = s + 2−c2

5, aplicando el teorema 3.20, existe un real racional r tal que: s < r 2, definiendo b = s2+22

y como s2 + 2 < s2 + s2 = 2s2 resulta que 0 0 y b2 > 2

de donde resulta que si x ∈ A = {x ∈ Q/x2 < 2} entonces x2 < 2 < b2, o sea b es una cota

superior del conjunto A menor que el supremo s; lo cual contradice a la definicion de supremo

de un conjunto.

En consecuencia s2 = 2

177




Nota importante:

Se ha demostrado que el conjunto A del ejemplo 3.1, posee un supremo s que no es un numero

real racional, o sea s /∈ h(Q) y que s2 = 2, luego aplicando la definicion de raız cuadrada

s =√

2.

Definicion 3.12. Se llama “e” numero de Euler al supremo del conjunto de numeros reales

racionales B = {xn ∈ Q/xn =(1 + 1

n

)n, n ∈ N+}.

;

3.2.2. El Sistema de los Numeros Reales Extendido

Definicion 3.13. En diversas situaciones como en el caso de los intervalos, que veremos mas

adelante, se utilizan los sımbolos −∞ y +∞. La introduccion formal de estos sımbolos se

hace “extendiendo” el conjunto R de los numeros reales a otro conjunto, al cual denotaremos

con R+, cuyos elementos seran ademas, de los reales, los sımbolos −∞ y +∞. En este nuevo

conjunto

R∗ = {−∞} ∪ R ∪ {+∞}

Se definen las operaciones de adicion, multiplicacion y relacion menor “extendiendo”los con-

ceptos respectivos ya definidos en R, ası,

Para la adicion se define:

1. a + (+∞) = (+∞) + a = +∞, ∀ a ∈ R

2. a + (−∞) = (−∞) + a = −∞, ∀ a ∈ R

3. (+∞) + (+∞) = (+∞)

4. (+∞) + (−∞) = (−∞) + (+∞) = 0

La adicion, ası extendida en R∗ es conmutativa pero no asociativa

[(−∞) + (+∞)] + (+∞) 6= (−∞) + [(+∞) + (+∞)]

sin embargo si no se establece la propiedad (d), como muchos autores lo hacen, la adicion si

es asociativa.

Notese que la ecuacion x + a = b no siempre tiene solucion en R∗ o, si existe, esta no siempre

es unica.

x + (+∞) = −∞ no tiene solucion

x + (+∞) = +∞ tiene infinitas soluciones

Para la multiplicacion se definen:

178

1. a(+∞) = (+∞)a = +∞, si 0 < a ≤ +∞

2. a(−∞) = (−∞)a = −∞, si 0 < a ≤ +∞

3. a(+∞) = (+∞)a = −∞, si −∞ ≤ a < 0

4. a(−∞) = (−∞)a = +∞, si −∞ ≤ a < 0

5. 0(±∞) = (±∞)0 = 0.

La multiplicacion ası extendida, en R∗, es conmutativa, asociativa y, como en R,

ab = 0 implica que a = 0 o b = 0

Con respecto a la sustraccion y division, podemos indicar que la sustraccion en R∗, se define,

al igual que en R:

a − b = a + (−b)

escribiendo, cuando b = −∞, −b = −(+∞) = −∞y cuando b = −∞, −b = −(−∞) = +∞.

La division en R∗ se define agregando a lo conocido en R los sımbolos siguientes:

1. a±∞ = 0, si a ∈ R

2. ±∞a

=(

1a

)(±∞), si 0 < |a| < +∞

No se definen los sımbolos a0, ∞

∞ , −∞−∞ , −∞

∞ , ∞−∞ .

La relacion menor: a < b, se establece R∗ agregando a los axiomas y propiedades de la relacion

menor en R, el siguiente axioma:

−∞ < a < +∞ ∀ a ∈ R

EJERCICIOS

1. Probar que el supremo del conjunto definido inductivamente en la pagina 175

{rn} = {1; 1, 4; 1,414; . . . } es√

2

2. Probar que para todo x ∈ R, existe m ∈ Z, tal que m ∈ x < m + 1. Tal numero m se

llama maximo entero de x, y se denota JxK.

3. Probar que si a, b ∈ R, existe r ∈ Q tal que a < r < b.

4. Sea r un numero real tal que:sr +

1

8

{+

sr +

2

8

{+

sr +

3

8

{+

sr +

4

8

{+

sr +

5

8

{= 2001

(a) Determinen los valores que puede tomar r.

(b) Den un ejemplo de un valor irracional de r que cumpla dicha ecuacion

5. Calcular el supremo de los siguientes conjuntos

179

(a) A ={1 − 1

n/n ∈ N+

}(b) B = {x ∈ R − Q/x < 2}

6. Sean x, y numeros reales

(a) Si x · 1 = 0, ¿Que valor(es) puede tomar x?

(b) Si x · y = 0, ¿Que valor(es) puede tomar x e y?

(c) Si x · y = 1, ¿Que puede decir de los valores de x e y?

(d) Si x2 = y2, ¿Como estan relacionados x e y?

180

3.3. Sesion 13: Representacion decimal de los numeros

reales. Valor absoluto.

No hay ninguna rama de la matematica, por abstracta que

sea, que no pueda aplicarse algun dıa a los fenomenos

del mundo real.

Lobachewsky

Contextualizando: Area, volumen en terminos del numero π

La siguiente tabla muestra algunos ejemplo de numeros racionales y de numeros irracionales

Numeros racionales Numeros irracionales34

√2

6474

0,23233233323333 . . .√16

√5

1,618 π

2,718 1+√

52

El valor exacto de la razon aurea

e Un numero importante en las

matematicas financieras

Uno de los numeros irracionales mas utiles es π, la razon de la circunferencia al diametro de

un cırculo. Muchas formulas de la geometrıa abarcan π, como las formulas para el area de un

cırculo (A = πr2) y el volumen de una esfera (V = 43πr3). Durante 4000 anos los matematicos

han encontrado cada vez mejores aproximaciones para π. Los antiguos egipcios se servıan de

un metodo para determinar el area de un cırculo que es equivalente a un valor de 3.1605 para

π. Los babilonios empleaban numeros que dan 3 1/8 para π. En la biblia (1 Reyes 7:23) hay

un verso que describe un estanque circular en el templo del rey Salomon, alrededor del ano

1000 a. C. El estanque se dice que tenıa 10 codos del uno al otro lado, y que “cenıalo en

derredor de 30 codos”. Esto implic un valor de 3 para π.

3.3.1. Valor absoluto

Definicion 3.14. Dado a ∈ R, el valor absoluto de a denotado por |a|; es el numero real no

negativo:

|a| =

a, si a > 0

0, si a = 0

−a, si a < 0

Observacion 3.4. De la definicion se deduce que:

181

(i) Si a ≥ 0 entonces |a| = a

Si a < 0 entonces |a| = −a

Por lo tanto ∀ a ∈ R, |a| ≥ 0

(ii) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ −a = b) ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)

Observacion 3.5. Geometricamente |a| representa la distancia del punto P , de coordenada

a > 0 al origen O, o la distancia del punto Q de coordenada a < 0, al origen O:

Si a > 0:

0

O

a

P

|a|

Si a < 0:

0

O

a |a|

Q

Definicion 3.15. La distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas son a y b respec-

tivamente se define por: d(P, Q) = |a − b|.

Teorema 3.27 (Propiedades del valor absoluto).

(a) |a| ≥ 0 ∀ a ∈ R

(b) |a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)

(c) |a| = | − a|

(d) |ab| = |a||b|

(e)∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b| , b 6= 0

(f) −|a| ≤ a ≤ |a|

(g) |a| ≤ k ⇔ k ≥ 0 ∧ (−k ≤ a ≤ k)

(h) |a| ≥ k ≥ 0 ⇔ a ≥ k ∨ −a ≥ k

(i) |a + b| ≤ |a| + |b|

(j)√

a2 = |a|

182




Problemas resueltos

Problema 3.1. Rescate de un Bono

La mesa directiva de cierta companıa acuerda amortizar algunos de sus bonos en 2 anos. En

ese tiempo se requeriran $1,102,500. Suponga que en este momento reservan $1,000,000. ¿A

que tasa de interes anual, compuesto anualmente, se debe tener invertido este dinero a fin de

que su valor futuro sea suficiente para rescatar los bonos?

Solucion. Sea r la tasa anual necesaria. Al final del primer ano, la cantidad acumulada

sera $1,000,000 mas el interes 1, 000, 000r, para un total de

1, 000, 000 + 1, 000, 000r = 1, 000, 000(1 + r)

Bajo interes compuesto, al final del segundo ano la cantidad acumulada sera de 1, 000, 000(1+

r) mas el interes de esto, que es [1, 000, 000(1 + r)]r. Ası, el valor total al final del segundo

ano sera

1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r

Esto debe ser igual a $1,102,500:

1, 000, 000(1 + r) + 1, 000, 000(1 + r)r = 1, 102, 500. (3.1)

Ya que 1, 000, 000(1+r) es un factor comun de ambos terminos del miembro izquierdo, tenemos

1, 000, 000(1 + r)(1 + r) = 1, 102, 500

1, 000, 000(1 + r)2 = 1, 102, 500

(1 + r)2 =1, 102, 500

1, 000, 000=

11, 025

10, 000=

441

400

1 + r = ±√

441

400=

21

20

r = −1 ± 21

20

Por tanto r = −1 + (21/20) =0.05 o r = −1 − (21/20) = −2.05. Aunque 0.05 y -2.05 son

raıces de la ecuacion (3.1), rechazamos -2.05 ya que necesitamos que r sea positiva. Entonces

r =0.05, de modo que la tasa buscada es 5 por ciento.

En ocasiones puede haber mas de una manera de modelar un problema que esta dado en

palabras, como lo muestra el ejemplo 7.

Problema 3.2. Se construira una plataforma de observacion que dominara un valle. Vease

la figura 3.2(a). Sus dimensiones seran de 6m por 12m. Un cobertizo rectangular de 40m2 de

area estara en el centro de la plataforma y la parte no cubierta sera un pasillo de anchura

uniforme. ¿Cual debe ser el ancho de ese pasillo?

183




12−2ww

w

w

6−2w 6

12

(a) (b)

Figura 3.2: Pasillo de la plataforma

Solucion. Un diagrama de la plataforma se muestra en la figura 3.2(b). Sea w =ancho (en

metros) del pasillo. Entonces, si la parte destinada al cobertizo tiene dimensiones de 12− 2w

por 6 − 2w, y como su area debe ser de 40m2, en donde area=(largo)(ancho), tenemos

(12 − 2w)(6 − 2w) = 40

72 − 36w + 4w2 = 40

4w2 − 36w + 32 = 0

w2 − 9w + 8 = 0

(w − 8)(w − 1) = 0

w = 8,1

Aunque 8 es una solucion de la ecuacion, no es una solucion para nuestro problema, ya que

una de las dimensiones de la plataforma es de solo 6m. Ası la unica solucion posible es que el

pasillo mida 1m de ancho.

Problema 3.3. La iluminacion de una fuente de luz especıfica es inversamente proporcional

al cuadrado de la distancia de ella. (a) Exprese el numero de luxes (lx) de la iluminacion

como una funcion del numero de metros a la distancia de la fuente de luz, si la iluminacion

es 225lx a una distancia de 5m de la fuente. (b) Encuentre la iluminacion en un punto a 15m

de la fuente.

Solucion. (a) Sea f(x) luxes la iluminacion de la fuente de luz a xm de ella, entonces:

f(x) = kx2

Debido a que la iluminacion es 225lx a una distancia de 5m de la fuente, si se sustituye

x por 5 y f(x) por 225 se obtiene:

225 =k

52

K = 5625

184




De donde al sustituir este valor de k se tiene: f(x) = 5625x2

(b) A partir de la expresion anterior para f(x), se obtiene:

f(15) =5625

152

f(15) = 25

Conclusion: La iluminacion en un punto a 15m de la fuente es 25lx.

Problema 3.4. Si x representa la temperatura de un objeto en grados Celsius, entonces la

temperatura en grados Fahrenheit es una funcion de x, dada por: (a) El agua se congela

a 0oC (C = Celsius) y hierve a 100oC. ¿Cuales son las temperaturas correspondientes en

grados Fahrenheit?. (b) El aluminio se funde a 660oC ¿Cual es su punto de fusion en grados

Fahrenheit?

Solucion. (a)

f(0) =9

5(0) + 32 = 32 El agua se congela a 32oF.

f(100) =9

5(100) + 32 = 180 + 32 = 212 El agua hierve a 1212oF.

(b)

f(660) =9

5(660) + 32 = 1188 + 32 = 1220 El aluminio se funde a 1220oF.

Problema 3.5. Suponga que cierto cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional a su

tamano. En el tiempo t = 0, hay aproximadamente 20000 bacterias presentes. En 5 horas hay

400000 bacterias. Determine una funcion que exprese el tamano del cultivo como funcion del

tiempo, medido en horas.

Solucion. Sea P (t) el numero de bacterias presentes en el tiempo t. Por hipotesis P (t)

satisface una ecuacion diferencial de la forma y′ = ky, por lo que P (t) es de la forma: P (t) =

P0ekt donde habra que determinar las constantes P0 y k. Los valores de P0 y k se pueden

obtener a partir de los datos que proporcionan el tamano de la poblacion en dos tiempos

diferentes:

P (0) = 20000 (3.1)

P (5) = 400000 (3.2)

La primera condicion implica que P0 = 20000 por lo que:

P (t) = 20000ekt

185




Utilizando la segunda condicion, se tiene:

20000ek∗5 = P (5) = 400000

e5k = 20

k =ln20

5≈ 0,60

Por lo tanto se puede tomar:

P (t) = 20000e0,6t

Problema 3.6. (Decisiones sobre Fijacion de Precios) La demanda mensual x de cierto

artıculo al precio de p dolares por unidad esta dada por la relacion:

x = 1350 − 45p

El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por

unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Que precio por unidad p debera fijarse al

consumidor con objeto de obtener una utilidad maxima mensual?

Solucion. El costo total C (en dolares) de producir x unidades al mes es:

C = Costos variables + Costos fijos

C = 5x + 2000

La demanda x esta dada por:

x = 1350 − 45p

Sustituyendo este valor de x en C, resulta que:

C = 5(1350 − 45p) + 2000

C = 8750 − 225p

El ingreso R (en dolares) obtenido por vender x utilidades a p dolares por unidad es:

R = Precio por unidad ∗ Numero de unidades vendidas

R = px = p(1350 − 45p)

R = 1350p − 45p2

La utilidad P (en dolares) esta dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo:

P = R − C

P = 45p2 + 1350p − (8750 − 225p)

P = 45p2 + 1575p − 8750

186

La utilidad P es una funcion cuadratica de p. Puesto que a = −45 < 0, la grafica es una

parabola que se abre hacia abajo y la utilidad maxima se alcanza en el vertice. En este caso

tenemos que:

a = −45, b = 1575 y c = −8750

El vertice de la parabola esta dado por:

p = − b

2a= − 1575

2(−45)=

1575

90p = 17,5

En consecuencia un precio de p = $17,5 por unidad debe fijarse al consumidor con el proposito

de obtener una maxima utilidad. La utilidad maxima esta dada por:

p = −45(17,5)2 + 1575(17,5) − 8750

p = 5031,25

o $5031,25 al mes.

Problema 3.7. (Decisiones sobre Fijacion de Rentas)

El senor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. El puede

rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitacion. A una renta mas alta, al-

gunas habitaciones quedaran vacıas. En promedio, por cada incremento de la renta de $5,

una habitacion quedara vacıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine la relacion fun-

cional entre el ingreso mensual total y el numero de habitaciones vacıas. ¿Que renta mensual

maximizarıa el ingreso total? ¿Cual es este ingreso maximo?

Solucion. Sea x el numero de unidades vacıas. El numero de de departamentos rentados es

entonces: (60 − x) y la renta mensual por habitacion es (200 + 5x) dolares. Si R denota el

ingreso mensual total (en dolares), se sigue que:

R = (Renta por unidad) ∗ (Numero de unidades rentadas)

R = (200 + 5x) ∗ (60 − x)

R = 5x2 + 100x + 12000

El ingreso mensual total R es una funcion cuadratica de x con:

a = 5, b = 100 y c = 12000

La grafica de R es una parabola que se abre hacia abajo(dado que a < 0) y su vertice es el

punto maximo. El vertice esta dado por:

x = − b

2a= − 100

2(−5)x = 10

187




R = −5(10)2 + 100(10) + 12000

R = 12500

En consecuencia, si 10 unidades estan desocupadas, los ingresos son maximos. La renta por

habitacion es entonces de (200 + 5x) dolares o $250 y el ingreso total es de $12500 al mes.

Problema 3.8. Un pomar produce una ganancia de $40 por arbol cuando tiene 1000 arboles

plantados. Debido a la sobreproduccion la ganancia por arbol (por cada arbol en el pomar)

se reduce en dos centavos por cada arbol adicional que se plante. ¿Cuantos arboles se deben

plantar de manera que se tenga la ganancia total maxima del pomar?

Solucion. Sea:

T = la ganancia total

Como se pide el “numero de arboles” optimo. Sea:

x = el numero de arboles que deben plantarse

La otra cantidad que varıa es la ”ganancia por arbol”. Sea:

g = la ganancia por arbol

El objetivo es maximizar la ganancia total, entonces:

[ganancia total] = [ganancia por arbol] − [numero de arboles]

T = g ∗ x

Entonces:

[ganancia por arbol] = [ganancia original por arbol] − [perdida por

arbol en la ganancia debido al incremento]

g = 40 − (x − 1000)(0,02)

g = 60 − 0,02x

La perdida en la ganancia (por arbol) debido al incremento en el numero de arboles se obtuvo

multiplicando (x− 1000), el numero de arboles excedentes de 1000, por la cantidad de dinero

perdido (por arbol) por cada arbol excedente. De ahı:

g = p ∗ x = (60 − 0,02x)x

g = 60x − 0,02x2

Se observa que la ganancia es maxima cuando x = 1500. Por lo tanto, se deben plantar 1500

arboles.

188




Problema 3.9. Para una companıa que fabrica termostatos, el costo combinado de mano

de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado

sin importar la produccion) son de $60, 000. Si el precio de venta de un termostato es de $7,

¿cuantos deben venderse para que la companıa obtenga utilidades?

Solucion. Recuerde que

ganancia = ingreso total − costo total

debemos encontrar el ingreso total y el costo total y despues determinar cuando su diferencia

es positiva.

Sea q el numero de termostatos que deben ser vendidos. Entonces su costo es 5q. Por tanto, el

costo total para la companıa es 5q +60, 000. El ingreso total de q termostatos sera 7q. Ahora,

utilidad = ingreso total − costo total

y queremos una utilidad> 0. Ası,

ingreso total − costo total > 0

7q − (5q + 60, 000) > 0

2q > 60, 000

q > 30, 000

Por tanto, se deben vender al menos 30, 001 termostatos para que la companıa obtenga utili-

dades.

Problema 3.10. Distancia, rapidez y tiempo

La distancia de una ruta en barco entre San Francisco y Honolulu es 2100 millas nauticas.

Si un barco sale de san francisco al mismo tiempo que otro sale de Honolulu, y si el primero

viaja a 15 nudos y el tro a 20¿Cuanto tiempo les tomara a los barcos encontrarse?¿A que

distancia de Honolulu y de San Francisco estaran de ese tiempo?

Solucion. Sea T = numero de horas que pasarıan antes de que se encuentran. Dibuje un

diagrama y marque las partes conocidas e incognitas. Ambos barcos tendran que viajar la

misma cantidad de tiempo para encontrarse

Distancia que recorre

el barco 1 desde

Honolulu hasta el

punto de encuentro

+

Distancia que recorre

el barco 2 desde

San Francisco hasta el

punto de encuentro

=

Distancia total

desde Honolulu hasta

San Francisco

D1 + D2 = 2100

20T + 15T = 2100

35T = 2100

T = 60

189




Por lo tanto, pasaran 60 horas o 2,5 dias para que se encuentren


Un bote para excursiones tarda 1,5 veces mas en recorrer 360 millas en el viaje de ida que en

el de regreso. SI el bote viaja a 15 millas por hora en aguas tranquilas ¿cual es la rapidez de

la corriente?

Solucion. Sea: x = rapidez de la corriente (en millas por hora)

15 − x = rapidez del bote en contra de la corriente

15 + x = rapidez del bote a favor de la corriente

Tiempo en contra de la corriente = (1,5) (Tiempo a favor de la corriente)

Distancia recorrida en

contra de la corriente

Rapidez en contra

de la corriente

= (1,5)

Distancia recorrida a

favor de la corriente

Rapidez a favor

de la corriente

Recuerde T =D

R

360

15 − x= (1,5)

360

15 + x360

15 − x=

540

15 + x

360(15 + x) = 540(15 − x)Multiplique ambos lados por

(15 − x)(15 + x)

5400 + 360x = 8100 − 540x

900 = 2700

x = 3

Por lo tanto, la rapidez de la corriente es de 3 millas por hora. Se deja la comprobacion al

lector


Una companıa de publicidad tiene una computadora vieja que para reparar todo ele cerreo

tarda 6 horas. Con la ayuda de de un nuevo modelo se termina el trabajo en 2 horas ¿Cuanto

tiempo le tomara al nuevo modelo hacer solo el trabajo?

190




Solucion. Sea x = tiempo (en horas) que emplea el nuevo modelo en hacer solo el trabajo(

Parte del trabajo terminado

en un tiempo dado

)= (Rapidez)(Tiempo)

Rapidez del viejo modelo =1

6Trabajo por hora

Rapidez del nuevo modelo =1

xTrabajo por hora

Parte del trabajo

terminado por el modelo

viejo en 2 horas

+

Parte del trabajo

terminado por el modelo

nuevo en 2 horas

= 1Trabajo Terminado

(Rapidez del

modelo viejo

)(Tiempo del

modelo viejo

)+

(Rapidez del

modelo nuevo

)(Tiempo del

modelo nuevo

)= 1 Recuerde Q = RT

1

6(2) +

1

x(2) = 1 x 6= 0

Problema 3.13. Mezclas

¿Cuantos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se tendrıan que agregar a 5 litros

de una solucion al 20 % para obtener una solucion al 30 %?

Solucion. Sea x = cantidad usada de solucion al 80 %

x litros + 5 litros︸︷︷︸Antes de mezclar

= (x + 5) litros︸︷︷︸Despues de mezclar

Cantidad de

alcohol en la

primera solucion

+

Cantidad de

alcohol en la

segunda solucion

=

Cantidad de

alcohol en la

mezcla

0,8x + 0,2(5) = 0,3(x + 5)

Se agrega un litro de la solucion al 80 %

Problema 3.14. Dieta

Una persona quiere incluir en su dieta leche y jugo de naranja, para aumentar la cantidad de

calcio y vitamina A. Una onza de leche contiene 38 miligramos de calcio y 56 microgramos

de vitamina A. Una onza de jugo de naranja contiene 5 miligramos de calcio y 60 miligramos

de vitamina A. ¿Cuantas onzas de leche y jugo de naranja debera tomar al dıa para obtener

exactamente 550 miligramos de calcio y 1200 microgramos de vitamina A?

Solucion. Primero se definen las variables importantes:

x = Numero de onzas de leche

y = Numero de onzas de jugo de naranja

191




En seguida se resume en una tabla, la informacion con que se cuenta. Es conveniente organizar

la informacion en las tablas de manera que las cantidades representadas por las variables se

encuentren en las columnas (en vez de renglones), como se muestra.

Leche Juego de naranja Necesidades totales

Calcio 38 5 550

Vitamina A 56 60 1200

Ahora, se usa la informacion de la tabla para formar ecuaciones que implican a x y y.

(Calcio en x

onzas de leche

)+

(Calcio en y onzas

de juego de naranja

)=

(Calcio total

necesario(mg)

)

38x + 5y = 550(Vitamina A en x

onzas de leche

)+

(Vitamina A en y onzas

de jugo de naranja

)=

(Vitaminas A total

necesaria (µg)

)

56x + 60y = 1200

5y = 550 − 8x resuelva la primera ecuacion para y

Problema 3.15. Velocidad del viento

Un avion recorre las 2400 millas de Washington, D.C., a San Francisco en 7,5 horas y hace

el viaje de regreso en 6 horas. Suponga que el avion viaja a una velocidad constante y que el

viento fluye con una rapidez constante de oeste a este, encuentre la velocidad del avion y la

rapidez del viento.

Solucion. Sea que x represente la velocidad del avion y que y representa la rapidez con la

cual sopla el viento (ambas en millas por hora). La velocidad terrestre del avion se determina

al combinar estas dos velocidades; es decir,

x-y = velocidad de despegue volando de este a oeste (viento de frente)

x+y = velocidad de despegue volando de oeste a este (viento de cola)

Aplicando la conocida formula D = RT para cada parte del viaje se obtiene el siguiente

sistema de ecuaciones:

2400 = 7,5(x − y) De Washington a San Francisco

2400 = 6(x + y) De San Francisco a Washington

Despues de simplificar, se tiene

x − y = 320

x + y = 400

192




Usando sustituciones para resolver:

x = y + 320 Resuelva la primera ecuacion para x

y + 320 + y = 400 Sustituya y en la segundo ecuacion

2y = 80

y = 40mph Sustituya en (1)

x = 40 + 320

x = 360mph Velocidad del avion


A una lancha para excursiones le toma 1.6 horas hacer un viaje de ida y vuelta 36 millas

aguas arriba. SI la rapidez de la corriente es de 4 millas por hora ¿cual es la rapidez de la

lancha en aguas tranquilas?

Solucion. Sea

x = Rapidez de la lancha en aguas tranquilas

x + 4 = Rapidez con la corriente a favor

x − 4 = Rapidez a contracorriente

(Tiempo a

corriente

)−(

Tiempo con la

corriente a favor

)= 1,6

36

x − 4− 36

x + 4= 1,6 T =

D

R, x 6= 4, x 6= −4

36(x + 4) − 36(x − 4) = 1,6(x − 4)(x + 4)

36x + 144 − 36x + 144 = 1,6x2 − 25,6

1,6x2 = 313,6

x2 = 196

x =√

196 = 14

La rapidez en aguas tranquilas es de 14 millas por hora

Problema 3.17. Cantidad, rapidez y tiempo

Una nomina se puede terminar en 4 horas en dos computadoras simultaneamente ¿Cuantas

horas seran necesarias para cada computadora termine sola si el modelo viejo se tarde 3 horas

mas que el nuevo?.Calcule la respuesta con dos cifras decimales

Solucion. Sea

x = Tiempo que tarda el nuevo modelo en terminar solo la nomina

x + 4 = Tiempo que tarda en terminar la nomina solo el modelo viejo

4 = Tiempo en que terminan la nomina ambas computadoras trabajando juntas

193




Entonces,

1x

= Rapidez del modelo nuevo1

x+3= Rapidez del modelo viejo

Parte del

trabajo terminada

por el modelo

nuevo en 4 horas

+

Parte del

trabajo terminada

por el modelo

viejo en 4 horas

= 1 trabajo completo

1

x(4) − 1

x + 3(4) = 1 x 6= 0, x 6= −3

4

x+

4

x + 3= 1

4(x + 3) + 4x = x(x + 3)

x2 − 5x − 12 = 0

x =5 ±

√2

2

x =5 +

√73

2≈ 6,77

5 −√

73

2≈ −1,77

︸︷︷︸se descarta puesto que x no puede ser negativa

x + 3 = 9,77

El modelo nuevo terminara la nomina en 6,77 horas trabajando sola, y el modelo viejo la

terminarıa en 9,77 horas

Actividades

1. Una lınea telefonica debe tenderse entre dos torres situadas en orillas opuestas de un

rıo en puntos A y B. El ancho del rıo es de 1 kilometro y B esta situado a 2 kilometros

rıo abajo de A. Tiene un costo de c dolares por kilometro tender la lınea por tierra y

2c dolares por kilometro bajo el agua. La lınea telefonica debera seguir la orilla del rıo

empezando en A una distancia x (en kilometros) y luego cruzar el rıo diagonalmente en

lınea recta hacia B. Determine el costo total de la lınea como funcion de x.

Respuesta: El costo esta dado por:

y = cx + 2c√

x2 − 4x + 5

2. El senor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones.

El puede rentarlas todas si fija una renta mensual de $200 por habitacion. A una renta

mas alta, algunas habitaciones quedaran vacıas. En promedio, por cada incremento de la

renta de $5, una habitacion quedara vacıa sin posibilidad alguna de rentarla. Determine

194




la relacion funcional entre el ingreso mensual total y el numero de habitaciones vacıas.

¿Que renta mensual maximizarıa el ingreso total? ¿Cual es este ingreso maximo?

Respuesta: La renta por habitacion es entonces de (200 + 5x) dolares o $250 y el

ingreso total es de $12500 al mes.

3. Un trabajador comun de cierta fabrica puede producir f(t) unidades por dıa despues de

t dıas de haber ingresado al trabajo, donde: f(t) = 50(1 − e−0,34t) ¿Cuantas unidades

por dıa puede producir el trabajador despues de 7 dıas de trabajo?

Respuesta: El trabajador puede producir 45 unidades por dıa despues de 7 dıas de

trabajo.

4. Suponga que a la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el

precio es de $8 por unidad y de $200 unidades si son a $51 cada una. Determinar la

ecuacion de demanda, suponiendo que es lineal.

Respuesta: p = − 7100

q + 65

5. El gerente de una tienda de departamentos quiere construir en el estacionamiento de

la tienda, un anexo rectangular que tenga un area de 600 pies cuadrados para poder

exhibir cierto equipo. Las paredes de tres lados del anexo se construiran en madera que

tiene un costo de $57 el pie lineal. La cuarta pared se construira con tabiques de block

que tiene un costo de $14 el pie lineal. Encuentre las dimensiones del anexo de manera

que minimicen el costo total de los materiales de construccion.

Respuesta: costo mınimo de $840 es cuando x = 20.

6. La lınea de autobuses WMA ofrece paseos turısticos para visitar lugares de interes en

Washington DC. Uno de los paseos que cuesta $7 por persona, ha tenido una demanda

promedio de 1000 usuarios a la semana. Cuando se redujo el precio a $6, la demanda

semanal paso a ser alrededor de 1200 usuarios. Suponiendo que la ecuacion de demanda

es lineal, encuentre el precio del paseo que maximiza el ingreso total semanal.

Respuesta: el precio de $6 es el mas adecuado para obtener mayores ingresos semanales.

7. Un fabricante de cajas de carton piensa producir cajas abiertas a partir de laminas de

carton con dimensiones de 10 por 17 pulgadas, cortando cuadrados iguales de las cuatro

esquinas y doblando hacia arriba los lados. Si x pulgadas es la longitud del lado del

cuadrado que va a ser cortado, exprese el numero de pulgadas cubicas del volumen de

la caja como una funcion de x.

Respuesta: V (x) = 4x3 − 54x2 + 170x

8. En 1984, los sovieticos fueron los primeros en el mundo que perforaron el pozo con

mas profundidad en la corteza terrestre(con mas de 12 kilometros de profundidad). Al

195




perforar descubrieron que despues de los 3 kilometros la temperatura aumentaba 2,5oC

por cada 100 metros de profundidad que aumentaban.

(A) Si la temperatura a los 3 kilometros es de 30oC y x es la profundidad del pozo en

kilometros, plantee una ecuacion usando x de manera que indique la temperatura

T en el pozo a mas de 3 kilometros de profundidad

(B) ¿Cual serıa la temperatura a 15 kilometros? (La temperatura limite de soportaba

su equipo de perforacion era alrededor de 300oC)

(C) ¿A que profundidad (en kilometros) encontrarıan una temperatura de 280oC?

Respuesta: (A) T = 30 + 25(x − 3) (B) 330oC (C) 13km

9. Un temblor emite una onda primaria y una onda secundaria. Cerca de la superficie

terrestre la onda primaria viaja alrededor de 5 millas por segundo, y la onda secundaria

alrededor de 3 millas por segundo. A partir del tiempo que tarda en llegar cada una de

los dos ondas a una estacion sismica, es posible calcular la distancia al temblor. Suponga

que una estacion mide una diferencia de tiempo de 12 segundos entre la llegada de las

dos ondas. ¿A que distancia de la estacion esta el epicentro del temblor? (El epicentro

se puede localizar al obtener la distancia del barrido en tres o mas estaciones)

Respuesta: 90ml

10. Una naturista de un departamento de pesca calculo el numero total de truchas en

cierto lago mediante la popular tecnica de captura, marcaje y recaptura. En total pesco,

marco y libero 200 trucha. Una semana despues durante la cual se pudieron mezclar

volvio a pescar 200 truchas entre las que se encontro 8 marcadas. Suponiendo que el

porcentaje de truchas marcadas con relacion al numero total de la segunda muestra es

el mismo que el de todos los peces marcados en a primera muestra es el mismo que el

de todos los peces marcados en la primera muestra con relacion al total de la poblacion

de truchas, estime el numero total de peces en el lago.

Respuesta: 5000 Truchas

11. En un experimento sobre motivacion, el profesor Brown entreno a un grupo de ratas

para que corrieran por un pasaje angosto en una jaula con el fin de recibir comida en

una caja objetivo. En seguida, le puso a cada rata un arnes y lo conecto a un alambre

unido a un medidor. Despues coloco a las ratas a diferentes distancias de la comida y

midio el jalon (en gramos) de la rata hacia el alimento. Encontro que la relacion entre

motivacion (jalon) y la posicion estaba dada aproximadamente por la ecuacion

p =1

5d + 70 30 ≤ d ≤ 70

196




donde el jalon p se midio en gramos y la distancia d en centımetros. Cuando el jalon

registrado fue de 40 gramos, ¿a que distancia de la caja objetivo llego la rata?

Respuesta: 150 cm

12. A una companıa de grabacion pequena cuesta $17680 producir un album. Este es un

costo fijo que incluye la grabacion, el diseno del album, etcetera. Los costos variables,

incluyendo la produccion, comercializacion y regalıas son de $4,60 por album. Si el album

se vende en las tiendas de discos s $8 cada uno. ¿Cuantos debe vender la companıa para

llegar al punto de equilibrio?

Respuesta: 5200 discos

13. Un proveedor de la industria electronica fabrica los teclados y pantallas para calculado-

ras graficas en plantas de Mexico y Taiwan. En la tabla se indican las cantidades pro-

ducidas por hora en cada planta ¿Cuantas horas debe operar cada planta para cumplir

exactamente con un pedido de 4000 teclados y pantallas?

Planta Teclados Pantallas

Mexico 40 32

Taiwan 20 32

Respuesta: Planta en Mexico: 75 h; Planta en Taiwan: 50 h

14. Un experimento consiste en dar una dieta estricta a algunos animales. Cada animal va a

recibir, entre otro alimentos, 20 gramos de proteına y 6 gramos de grasa. El laboratorista

puede comprar dos mezclas de alimentos que tiene la siguiente composicion: La mezcla

A tiene 10 % de proteına y 6 % de grasa., la mezcla B tiene 20 % de proteına y 2 % de

grasa. ¿Cuantos gramos de cada mezcla se deben usar para obtener la dieta adecuada

para un solo animal?

Respuesta: Mezcla A = 80gr; mezcla B = 60gr

15. Se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio alto y cae verticalmente con aceleracion

constante. Si s es la distcnaia sobre el suelo (en pies), ala que esta el objeto t segundos

despues de que se solto, entonces s y t estan relacionado por una ecuacion de la forma

s = a + bt2

donde a y b son constante. Suponga que el objeto esta a 180 pies sobre el suelo un

segundo despues de que se suelta y a 132 pies del suelo 2 segundos despues:

(A) Encuentre las constantes a y b

(B) ¿Que altura tiene el edificio?

197




(C) ¿Cuanto tiempo cae el objeto?

Respuesta: (A)a = 196 b = −96, (B)196 pies (C) 3,5 seg.

16. La companıa electronica del problema 79 encuentre que si aumentan los precios de las

partes aumentan los costos variables a $50,5 por calculadora

(A) Analice las posibles estrategias que la companıa podrıa usar para tratar de solu-

cionar este aumento de costos

(B) Si la companıa continua vendiendo la calculadora a $63 ¿cuantas tiene que vender

hora para obtener utilidades?

(C) Si la companıa quiere comenzar obteniendo utilidades con el mismo nivel de pro-

duccion que tenia antes del aumento de costos ¿en cuanto tendrıa que incrementar

el precio de venta al mayoreo?

Respuesta: (B)x > 5200 (C) Aumento de precio al mayoreo de $3,50 a $66,50 seg.

17. Si en un casa, la demanda de potencia en un circuito electrico de 110 volts varia entre 220

y 2750 watts, ¿Cual es el rango de corriente que fluye a traves del circuito? (W = EI,

donde W = potencia de watts, E = voltaje den volts, I = corriente en amperios)

Respuesta: 1 ≤ 1 ≤ 25 o [2, 25]

18. Dos aviones salen del aeropuerto al mismo tiempo y viajan en angulo recto uno con

respecto del otro. Una hora despues estan separados por 260 millas. Si uno viaja 140

millas por hora mas rapido que el otro, ¿cual es la rapidez de cada uno?.

Respuesta: 100 millas por hora, 240 millas por hora.

19. Para un carro que viaja a una velocidad de v millas por hora, en las mejores circun-

stancias posibles, la distancia mas corta d que necesita para detenerse (incluyendo el

tiempo de reaccion) esta dada por la formula empırica d = 0,044v2 + 1,1v, donde d se

mide en pies. Calcule la velocidad de un carro que requiere de 165 pies de distancia para

detenerse en una emergencia.

Respuesta: 50 millas por hora.

20. Un arquitecto quiere construir un edificio rectangular en un terreno de forma triangular

que tiene 200 pies de ancho y 400 pies de largo (vease la figura). Encuentre las dimen-

siones del edificio si la seccion transversal de au area mide 15 000 pies cuadrados.

[Sugerencia: Use el teorema de Euclides para encontrar una relacion entre el largo y el

ancho del edificio]

Respuesta: 50 pies de ancho, 4 300 pies de largo o 150 pies de ancho y 100 pies de

largo.

198

200 pies

400 pies

15 000 pies

cuadrados

21. Un aserradero corta rectangulos de un tronco (vease la figura). Si el diametro del tronco

mide 16 pulgadas y el area de la seccion transversal de la viga 120 pulgadas cuadradas,

encuentre las dimensiones de la seccion transversal de la viga correcta con una cifra

decimal

Respuesta: 13.1 pulgadas por 9.1 pulgadas.

22. Una artesa para agua esta construida una placa rectangular de metal de 4 por 6 pies,

con los extremos doblados de tal forma que al unirse entre si exactamente enmedio del

rectangulo, forman un triangulo en cada lado (vease la figura). Si el volumen de la artesa

es de 9 pies cubicos, encuentre el ancho correcto con dos cifras decimales.

2 pies

6 pies

Respuesta: 1.65 pies o 3.65 pies.

23. Si A =

{x ∈ R

/∣∣∣∣2x − 6

x − 1

∣∣∣∣ < 4

}y B = {x ∈ R/|3x + 2| ≤ |2x − 1| + |x + 3|}.

Hallar: A ∩ B, Ac ∩ B, B ∪ (B − A)c

24. Si A =

{x ∈ R

/0 ≤ |x2 − 2|

1 − x< x + 1

}, encontrar Ac − A

25. Si A =

{x ∈ R

/x|x − 4|16 − x2

> 0

}, hallar Ac.

199

26. Si A = {x ∈ Z/√

8 − |x2 − 1| · (x2 − x + 6) ≥ 0}, dar por expansion el conjunto A.

27. Si A =

{x ∈ R

/ x

|x| − a< 0 ∨ |x|

x − a> 0

}=⇒ x ∈ [−5, 0] ∪ {5}, hallar “a”

28. Sean las proposiciones siguientes:

A1) Sea x ∈ R. Luego, |x − a| ∈ {a − x}, si x ≥ a, ∀ a ∈ R

A2) Para cada numero real x, |x + 1| > |x|A3) Si A = {m ∈ Z/existe un numero real x con la propiedad

√|x − 1| > m, entonces:

A = {m ∈ Z/m ≤ 0} ∪ {m ∈ Z/existe un numero real x con la propiedad

m ≥√|1 − x|

¿Cuales de las proposiciones anteriores son verdaderas o falsas y por que?

200




Federico Villareal VillarealSabio Lambayecano

Federico Villarreal nacio el 31 de agosto de 1850 en Tucume, departamento de Lambayeque

(Peru).

A los 14 anos fue cajero en una empresa despepitadora de algodon, pero no dejo de lado sus

estudios que lo llevarıan hacer profesor y ası fue: a los 20 anos obtuvo el tıtulo de preceptor

otorgado por la comision departamental de Instruccion publica de Trujillo el cual le permi-

tio dirigir la escuela oficial de Tucume de 1870 a 1874 y entre 1875 y 1876 dirigio un colegio de

instruccion media en la ciudad de Lambayeque, enseno allı matematicas y ocupo en el el cargo

de vicerrector. Entre 1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primaria en Lambayeque.

La experiencia de Villarreal como maestro elemental senalo solo una primera etapa. Su vo-

cacion de matematico bullıa desbordando su ensenanza humilde. Ya en 1873 cuando contaba

con tan solo 23 anos descubrio un metodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia

cualquiera.

Entre 1877 y 1880 estudio en la seccion de ciencias matematicas de la Facultad de Ciencias

de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduandose como bachiller en

1879 con la tesis: “Formulas y metodos que deben completarse en matematicas puras 2como

licenciado con la tesis: .Efectos de la Refraccion sobre el Disco de los Astros”(1880).

En 1881 se graduo de doctor en ciencias matematicas mediante la tesis: “Clasificacion de

Curvas de Tercer Grado”destacando por su originalidad y conclusiones lo cual le merecio a

Villarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su

epoca, quien a la vez, se constituye en el primer matematico profesional del siglo XX en el

Peru.

Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias

de la UNMSM en 1880, donde dicto su primer curso: Astronomıa; luego en esa misma casa

de estudio se encarga de los cursos: Revision de Matematicas, Mecanica Racional, Geodesia

y Teorıa General de Motores y Maquinas. Por su gran prestigio y sus dotes profesionales e

intelectuales, llegarıa a ser decano de la Facultad de Ciencias en dos oportunidades: de 1903

a 1917 y luego de 1919 a 1923.

Siguio estudios en la Escuela nacional de Ingenieros desde 1882 hasta graduarse de ingeniero

civil y de minas en 1886. En este centro docente enseno los cursos de fısica, calculo infinites-

imal, teorıa de caminos, puentes y ferrocarriles, Topografıa y luego los cursos de Resistencia

de Materiales e Hidraulica. Tambien fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890)

en donde enseno los cursos de: Cosmografıa, Trigonometrıa Esferica, Construccion de Cartas

Topograficas y Calculo de Probabilidades.

Fundo la Revista de Ciencias en 1897.

F. Villarreal participo activamente formando parte del contingente sanmarquino en la Guerra

con Chile especıficamente en la Resistencia de Chorrillos y en la Batalla de Miraflores (enero

201




de 1881) donde fue distinguido con el grado de subteniente- En 1893 se enrola en la Guardia

Nacional y en 1884 fue nombrado primer jefe del batallon “Defensores de la Patria”.

Tambien incursiono en la polıtica. En1871 fue presidente de la Junta Directiva del Partido

Civil en el distrito de Mochumi (Lambayeque). Posteriormente, en el ano 1892 fue elegido

senador suplente de su departamento. Mas tarde, es elegido nuevamente senador por Lam-

bayeque, actuando en las legislaturas de 1913 y 1914 en donde alcanzan mucha significacion

sus discursos sobre la ”Ley de Enfiteusis 2sobre la ”Ley Relativa a los Bancos Hipotecarios”.

Fue uno de los iniciadores de la ley que establecio el examen de ingreso a la universidad.

Villarreal tambien poseıa una notable cultura filosofica de manifiesta preferencia por la corri-

entes mecanicistas propias de aquella epoca y sostenidas entre otros por Wronski, corrientes

que parecıan tener la posibilidad de lograr una sıntesis entre la filosofıa y la Mecanica Celeste

como sistema de descripcion causalista del equilibrio universal cualesquiera que fuera le es-

tructura y consistencia del Universo.

Sobre el lado humano de Vilarreal, Basadre dice al respecto: “Villarreal no fue un sabio

pacıfico e inofensivo. Muchas veces refuto a presuntos expertos e inventores y polemizo con

ellos implacablemente sin desdenar su poca jerarquıa intelectual. Tuvo tambien veleidades

linguısticas. A pesar de su genio, Villarreal no tuvo brillo como profesor. En sus lecciones, su

gran dificultad de expresion levanto un muro ante sus alumnos, dando lugar, de un lado a

monologos acompanados por complicados calculos en la pizarra y, de otro a escenas comicas

o grotescas. Hombre apasionado como decano en la Facultad de Ciencias de la UNMSM ejer-

cio una verdadera dictadura.

A pesar de humanas debilidades y de deficiencias ahondadas por la falta de una educacion

adecuada o por las limitaciones del ambiente, Villarreal es todo un personaje en la historia

del Peru”. El Dr. Federico Villarreal fallece en Barranco (Lima) el 3 de Junio de 1923.3

Trabajos del Dr. Villarreal

Federico Villarreal dejo un aproximado de 538 trabajos en diversos campos de la ciencia y

tecnologıa fundamentalmente en matematicas, ingenierıa, fısica, pedagogıa, geografıa, historia

y linguıstica.

1. En matematicas sus principales trabajos fueron:

a) “Elevacion de polinomios a una potencia cualquiera”(1879)

b) “Clasificacion de las curvas de tercer grado”(tesis doctoral de 1881)

En este trabajo Villarreal logra obtener y clasificar matematicamente 80 curvas de

tercer grado

3En marzo del 2011 durante el segundo congreso del Colegio de Matematicos del Peru realizado en la

Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo se declaro oficialmente el dıa del fallecimiento de Villareal como el

“Dıa del Matematico Peruano”

202




c) “Aportes a la teorıa de los numeros”(1897)

La teorıa de los numeros atrajo siempre la atencion de Villarreal tal es ası que

le dedico numerosos artıculos. Entre ellos se destacan dos teoremas referentes a

criterios de divisibilidad que el descubrio:

La diferencia de dos numeros que son representados por las mismas cifras en

dos sistemas de numeracion de bases diferentes es divisible por la diferencia de

las bases

Un numero es divisible por un cierto divisor si lo es la suma de sus cifras cuando

se le escribe en el sistema de numeracion cuya base es el divisor aumentado en

la unidad; o bien si los es la suma de sus cifras de lugar par menos la suma de

las de lugar impar cuando se le escribe en el sistema de numeracion cuya base

es el divisor disminuido en al unidad

d) “Geometrıa no Euclideana”(1898)

Este trabajo fue presentado por Villarreal en el Primer Congreso Cientıfico Lati-

noamericano realizado en Buenos Aires (Argentina) en 1898. Aquı describe los

fundamentos de las geometrıas de Lobatschewsky y Riemann.

e) “Poliedros Regulares y semiregulares”(1906-1907)

Esta obra contiene una exposicion historica y el calculo de volumenes de los

poliedros regulares y semiregulares empleando los principios de la trigonometrıa

esferica.

f) “Integracion por Traspasos”(1920)

Trabajo que aparecio por primera vez como parte de su tesis de bachiller en 1879

en que valiendose del metodo de integracion por partes obtiene una formula que

generaliza la llamada formula de integracion de Bernouilli.

g) “Resolucion general de las ecuaciones de quinto grado”

Estudio crıtico de un metodo propuesto por Wronski en 1827 para la resolucion

de las ecuaciones de quinto grado , traducido, analizado y corregido por Villarreal.

Este llega a la conclusion que Wronski hace en este trabajo el empleo de una funcion

que llama ”funcion Shin”que corresponde a los actuales determinantes, explica los

errores de Wronski y concluye con la imposibilidad de la solucion algebraica de las

citadas ecuaciones

2. En Ingenierıa:

a) “Tratado de resistencia de Materiales”(1911)

En este importante trabajo de Villarreal estan insertos dos trabajos originales:

“Calculos de los momentos de flexion en una viga empotrada en sus dos ex-

tremos”

203




En este trabajo Villarreal analiza los problemas de las vigas empotradas ya sea

en ambos lados o empotradas en un extremo y libre en el otro descubriendo

los llamados ”momentos de empotramiento”que hasta esa epoca no se habıa

podido calcular.

“Deformacion de las vigas que trabajan a la flexion”

Aquı el problema de la flexion de una viga Villarreal lo reduce a una ecuacion

diferencial de cuarto grado y sus integrales sucesivas dan: la primera, el esfuerzo

cortante; la segunda, los momentos de flexion; la tercera, la deflexion de una

viga; y la cuarta y ultima, la ecuacion del eje deformado.

b) ”Teorıa de Maquinas y Motores”(No se conoce ano de publicacion) En la que

hace una exposicion sistematica y rigurosa de todas las condiciones referentes al

equilibrio de las maquinas.

3. En Fısica:

a) “Principio de la Relatividad”(1909)

Raro trabajo de Villarreal en la que logra interpretar el principio de relatividad

restringida formulado por Einstein en 1905 y expone un desarrollo metodico de

las modificaciones que debido a este principio experimentan las leyes clasicas de la

mecanica. Es de advertir que en aquella epoca no fue tarea facil la interpretacion

inmediata del principio de la relatividad para muchos hombres de ciencia, debido

en gran parte a que la mentalidad clasica se mostro hermetica ante la consideracion

de las condiciones epistemologicas en le tecnica de la observacion de los fenomenos.

b) “Descarga Oscilante en un Condensador”(1916)

Interesante trabajo de electrodinamica en el que resuelve el problema teorico de

la descarga Disruptiva obteniendo la formula de Thompson para el periodo de las

oscilaciones.

c) “Dinamica Analıtica”(1917)

En esta obra esta incluida el importante trabajo sobre “Choques de un numero

cualquiera de Cuerpos”.

d) “Trabajo mecanico del Hombre”(No se conoce ano de publicacion)

En el se refiere a cuestiones realmente curiosas y algunas de ellas muy utiles , tales

como: el equilibrio del hombre, la marcha de un hombre con carga, la fatiga mınima

del cargador, la condicion para que se haga el maximo camino antes del cansancio,

etc todo en base a datos experimentales y resultados matematicos.

4. En Pedagogıa:

a) “Memorias Pedagogicas”(No se conoce ano de publicacion)

204




b) “Recreaciones matematicas”(No se conoce ano de publicacion)

5. En Geografıa:

a) Metodo para determinar la latitud y longitud de los lugares del Peru”(No se conoce

ano de publicacion)

Este trabajo lo inicia con una introduccion sobre la metodologıa a seguir para la

medicion De coordenadas geograficas de un lugar y expone a continuacion una

tecnica simple para la determinacion de meridianos, la hora solar, las latitudes y

longitudes geograficas. Contiene una tabla de latitudes y longitudes de 700 lugares

del Peru.

b) “Trazo del meridiano por la Cruz del Sur”(No se conoce ano de publicacion)

c) “Coordenadas geograficas del Departamento de Lambayeque y Cuzco”(1905)

d) “Extension Superficial del Peru”(No se conoce ano de publicacion)

6. En historia:

a) “Historia de las matematicas en el Peru”(No se conoce ano de publicacion)

Este trabajo comprende una introduccion y estudios sobre la numeracion, la ge-

ometrıa, la mecanica, la astronomıa y la hidraulica en el Imperio de los Incas ; sigue

con un estudio sobre la ensenanza academica de las matematicas en el virreinato

y finalmente se ocupa de las matematicas en la Republica.

b) “Los cometas en los tiempos de Huayna Capac”(1894)

Utilizando como fuente principal al cronista Inca Garcilazo de la Vega, Villarreal

realiza una confrontacion entre las observaciones realizadas por la ciencia occi-

dental desde la aparicion de los primeros instrumentos de observacion y los datos

proporcionados por Garcilazo, llegando a identificar los cometas descritos en las

cronicas de la conquista

c) “El Archivo de Raymondi”(No se conoce ano de publicacion)

d) “Orıgenes del Sistema metrico”(No se conoce ano de publicacion)

7. En linguıstica:

a) “Manual y Diccionario de Esperanto”(1900)

Idioma nuevo y universal, el esperanto al que Villarreal le prodigo lastimosamente

tiempo, dinero y energıa, y a dirigir y redactar como colaborador unico la revista

”¡Antuanen esperantistoj!”(Adelante Esperantistas) que fundara en 1903.

b) “La Lengua Yunga”(1921) Villarreal publico una gramatica y un vocabulario de la

lengua mochica o Yunga. Esta lengua se hablaba en los departamentos de la costa

norte del Peru En la actualidad esta lengua esta completamente extinguida.

205




Problemas de Villarreal

Formulado por Villarreal en 1906 y denominado por el como: .El Problema del Nino 2dice

ası: Un movil se desplaza en lınea recta con una velocidad constante y otro movil se mueve

tambien a velocidad constante, de modo que la tangente a su trayectoria pasa constantemente

por el primer movil. Hallar la ecuacion de la curva descrita por el segundo movil”.

En una nota de 1908 Villarreal plantea y resuelve los dos problemas siguientes:

1. “Hallar dos numeros terminados en la misma cifra y tales que las dos ultimas cifras

de su producto constituyan el cuadrado de la cifra en que terminan los dos numeros

dados”.

2. “Hallar tres numeros terminados en la misma cifra cuyo producto termina en tres cifras

que constituyan el cubo de la cifra en que terminan los numeros dados”.

¿Puede Ud. resolverlos?.

Una anecdota en la vida del Dr. Villarreal

Esta es una de las muchas anecdotas de Villarreal que a continuacion les relato:

“En la Maison de Sante (que es un hospital) fallecio en diciembre de 1909, a la edad de 86

anos, Jose Sebastian Barranca, antiguo catedratico de Botanica en la Facultad de Ciencias de

la UNMSM, filologo naturalista, Sebastian Barranca vivio para sus estudios e investigacion.

Su sepelio fue modestısimo. El estado y la universidad estuvieron en el ausentes. Los colegas

que acudieron no pasaron de media docena. No estuvo representada la juventud estudiantil. El

mayor porcentaje de oyentes que tuvo Villarreal cuando pronuncio su discurso funebre fue el

de unos 40 negritos de humilde condicion que ni conocıan al muerto pues ellos habıan asistido

a otro entierro. Segun se dijo,la Beneficencia nego un nicho perpetuo al sabio Barranca por

no haber pagado el precio respectivo”

Se imaginan al ilustre Dr. F Villarreal pronunciando un discurso funebre a personas que en

su mayorıa eran negritos y donde casi ningun catedratico y alumno asistieron y para colmo

los negritos eran de otro entierro.¡¡¡¡¡!!!!!!!. Y surge una pregunta en mi mente: ¿porque no

asistieron? acaso pocos fueron avisados de la muerte del sabio? o quiza fue un pesimo profesor

y nadie quiso asistir a su sepelio?........ahhhh cosas de la Vida.

Comentario acerca de la vida del Dr. Villarreal

Villarreal fue un personaje multifacetico y dinamico le entro a casi todo desde modesto profe-

sor de primaria y secundaria, a profesor universitario, matematico, ingeniero, soldado, polıtico

y hasta linguista, ¡que tipo! muy pocas veces se encuentra en la historia de un paıs latino

206




un personaje como este. Es notable que encontrandose lejos de la influencia de los grandes

matematicos de la epoca, Villarreal haya podido arribar a importantes estudios y descubrim-

ientos como los que efectuo, lo que resalta su talento.

Su dominio en el campo de la ciencia es bastante amplio pues enseno varios cursos, algunos

sin relacion directa como: astronomıa, mecanica racional, hidraulica, teorıa de probabilidades,

topografıa, calculo infinitesimal, fısica, etc..

Siendo un sencillo profesor de secundaria, con solo 23 anos y sin haber estudiado en una uni-

versidad, Villarreal descubre el metodo para elevar un polinomio cualquiera a una potencia

cualquiera, asombroso verdad?.

Sin embargo lo mas interesante de su vida cientıfica es el hecho de que efectuo contribu-

ciones originales al desarrollo de las matematicas e ingenierıa,algo pocas veces visto en los

matematicos de habla espanola.

Es por todas estas razones que a Villarreal se le puede decir con toda justicia: “El Newton

del Peru”

207




3.4. Sesion 14: Proporcionalidad. Interes simple. Interes

compuesto. Modelos financieros

En la mayor parte de las ciencias una generacion derriba lo

que otra habıa construido, y lo que uno parecıa haber

demostrado firmemente otro lo deshace. Solo en la matemati

ca cada generacion construye un nuevo piso sobre la vieja

estructura. Hermann Hankel

Contextualizando: Matematicas del consumidor

Es facil posponer la cuestion de labor para los anos en que nos retiremos. El retiro puede

parecer distante y con frecuencia hay muchas razones para no iniciar un plan de ahorro para

ese entonces. ¿Retrazar el comienzo de un fondo de retiro tiene un marcado efecto en la

cantidad de dinero que un individuo posee a los 65 anos de edad? Considere dos planes de

jubilacion. En el plan A, una persona empieza ahorrar a los 20 anos y deposita 2000 dolares

en un fondo de retiro cada ano, desde los 21 anos de edad a los 30. despues de esta edad,

no hace mas contribuciones. En el plan B, la persona espera hasta los 30 anos de edad para

empezar ahorrar y entonces deposita 2000 dolares en el fondo de retiro en cada cumpleanos

entre los 31 y los 65 anos de edad. Si el fondo de retiro paga 12% de interes, ¿que plan

implicara una mayor cantidad de dinero acumulada?. La tabla indica la cantidad de dinero

(en dolares) en el fondo para cada plan a las distintas edades

Edad Plan A Plan B

20 0 0

25 12,706 0

30 35,097 0

35 61,864 12,706

40 109,007 35,097

45 192,108 74,559

50 338,560 144,105

55 596,659 1266,668

60 1,051,517 482,665

65 1,853,133 863,327

El plan A tiene como consecuencia la acumulacion de $1,853,133, mientras que el plan B

produce $863,327. Las primeras contribuciones pueden significar una diferencia sustancial.

En esta unidad, aprenderemos acerca del interes compuesto. El interes compuesto, a lo largo

del tiempo, es la razon del crecimiento de una cantidad relativamente pequena a mas de 1

millon de dolares.

208




3.4.1. Interes simple

Una aplicacion natural de las funciones lineales al mundo de las finanzas aparece en el calculo

del interes simple, que es el interes calculado sobre el capital. Ası, si I denota el interes sobre

un capital P (en dolares) con una tasa de interes de r por ano durante t anos, entonces se

tiene

I = Prt (3.3)

La cantidad acumulada A, la suma del capital y el interes despues de t anos, esta dada por

A = P + I = P + Prt

= P (1 + rt) (3.4)

y es una funcion lineal de t. Por lo general, en las aplicaciones de administracion, solo interesa

en caso en que t es positivo, de modo que solo importa la parte de la recta que esta en el

primer cuadrante.

Ejemplo 3.4. Un banco paga un interes simple a razon de 8 % anual para ciertos depositos. Si

un cliente deposita $1000 y no realiza retiros durante tres anos, ¿cual es la cantidad depositada

al final de tres anos?, ¿cuantos intereses se generarron en ese perıodo?

Solucion. Al utilizar (3.4) con P = 1000, r = 0,08 y t = 3, la cantidad total depositada al

final de tres anos esta dada por

A = P (1 + rt)

= 1000[1 + (0,08)(3)] = 1240

El interes generado durante el perıodo de tres anos esta dado por

I = Prt

= 1000(0,08)(3) = 240

Ejemplo 3.5. Se invierte una cantidad de $2000 en un fideicomiso a 10 anos que paga 6 %

de interes simple anual. ¿Cual es la cantidad total en el fideicomiso al final de los diez anos?

Solucion. La cantidad total en el dideicomiso al final de diez anos esta dada por

A = P (1 + rt)

= 2000[1 + (0,06)(10)] = 3200

o $3200.

209




3.4.2. Interes compuesto

En contraste con el interes simple, el interes generado que se suma en forma periodica al

capital y que por lo mismo gana intereses con la misma tasa, se llama interes compuesto.

A fin de determinar una formula para la cantidad acumulada, consideraremos un ejemplo

numerico. Supongase que se depositan $1000 (el capital) en un banco durante tres anos, que

genera un interes de 8 % por ano (llamada tasa nominal o establecida) compuesto anualmente.

Entonces, al utilizar (3.3) con P = 1000, r = 0,08 y t = 1, la cantidad acumulada al final del

primer ano es

A1 = P (1 + rt)

= 1000[1 + 0,08(1)] = 1000(1,08) = 1080

o $1080.

Para hallar la cantidad acumulada A2 al final del segundo ano, se vuelve a usar (3.4), esta

vez con P = A1, (Recuerdese que ahora el capital y el interes generan intereses en el segundo

ano.) Se obtiene

A2 = P (1 + rt) = A1(1 + rt)

= 1000[1 + 0,08(1)][1 + 0,08(1)]

= 1000[1 + 0,08]2 = 1000(1,08)2 = 1166,40

Por ultimo, la cantidad acumulada A3 al final del tercer ano se encuentra utilizando (3.4) con

P = A2, de donde

A3 = P (1 + rt) = A2(1 + rt)

= 1000[1 + 0,08(1)]2[1 + 0,08(1)]

= 1000[1 + 0,08]3 = 1000(1,08)3 = 1259,71

o alrededor de $1259.71.

Al reexminar estos calculando, se ve que las cantidades acummuladas al final de cada ano

tienen esta forma:

Primer ano: A1 = 1000(1 + 0,08), o A1 = P (1 + r)

Segundo ano: A2 = 1000(1 + 0,08)2, o A2 = P (1 + r)2

Tercer ano: A3 = 1000(1 + 0,08)3, o A3 = P (1 + r)3

Estas observaciones sugieren el siguiente resultado general: si se invierten P dolares en un

termino de t anos con intereses a una tasa r por ano compuesta anualmente, entonces la

cantidad acumulada es

A = P (1 + r)t (3.5)

210




La formula (3.5) se dedujo suponiendo que el interes fue compuesto anualmente, sin embargo

en la practica el interes compuesto mas de una vez al ano. El lapso entre el calculo de los

intereses sucesivos es el periodo de conversion o perıodo de capitalizacion.

Si los intereses a una tasa nominal r por ano se componen m veces al ano sobre un capital de

P dolares, la tasa de interes simple por perıodo de conversion es

i =r

m

Tasa de interes anual

Perıodos por ano

por ejemplo, si la tasa de interes nominal es de 8 % por ano (r = 0,08) y el interes es compuesto

cada trimestre (m = 4), entonces

i =r

m=

0,08

4= 0,02

o 2 % por perıodo.

A fin de establecer una formula general para la cantidad acumulada cuando se deposita

u capital de P dolares en un banco durante un lapso de t anos, con intereses a una tasa

(nominal) r por ano compuesta m veces al ano, se procede como antes, utilizando (3.4) en

forma repetida con la tasa de interes i = r/m. Vemos que la cantidad acumulada al final de

cada perıodo es

Primer perıodo: A1 = P (1 + i)

Segundo perıodo: A2 = A1(1 + i) = [P (1 + i)](1 + i) = P (1 + i)2

Tercer perıodo: A3 = A2(1 + i) = [P (1 + i)2](1 + i) = P (1 + i)3

......

n−esimo perıodo: An = An−1(1 + i) = [P (1 + i)n−1](1 + i) = P (1 + i)n

Pero existen n = mt perıodos en t anos (numero de perıodos de conversion por el lapso). Por

tanto, la cantidad acumulada al final de t anos esta dada por

A = P (1 + i)n (3.6)

Ejemplo 3.6. Determinan la cantidad acumulada despues de tres anos si se invierten $1000

con una tasa de 8 % por ano compuesta a) anualmente, b) semestralmente, c) trimestralmente,

d) mensualmente y e) diariamente.

Solucion.

(a) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 1. Ası, i = r = 0,08 y n = 3, por lo que la

formula (3.6) implica

A = 1000(1 + 0,08)3

= 1259,71

211




(b) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 2. Ası i = 0,08/2 y n = (3)(2) = 6, por lo que

(3.6) significa

A = 1000

(1 +

0,08

2

)6

= 1265,32

o sea $1265,32

(c) Ahora, P = 1000, r = 0,08 y m = 4. Ası i = 0,08/4 y n = (3)(4) = 12, por lo que (3.6)

implica

A = 1000

(1 +

0,08

4

)12

= 1268,24

o $1268,24

(d) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 12. Ası i = 0,08/12 y n = (3)(12) = 36, por lo

que (3.6) significa

A = 1000

(1 +

0,08

12

)36

= 1270,24

o $1270,24.

(e) En este caso, P = 1000, r = 0,08 y m = 365. Ası i = 0,08/365 y n = (3)(365) = 1095,

por lo que (3.6) significa

A = 1000

(1 +

0,08

365

)1095

= 1271,22

o $1271.22.

3.4.3. Composicion del interes en forma continua

El calculo a menudo es util para los economistas en la evaluacion de ciertas decisiones sobre

cuestiones financieras. Sin embargo, para aplicar el calculo debe tratarse co funciones contin-

uas. Considere, por ejemplo, la siguiente formula, la cual proporciona A, el monto de inversion

a los t anos, si P dolares se invierten a una tasa anual de 100i %, compuesto m veces al ano

A = P

(1 +

i

m

)mt

(3.7)

212




Imagine una situacion en la cual el interes se compone continuamente; esto es, considere la

formula (3.7), donde se permite que el numero de perıodos de interes por ano aumente sin

lımite. Entonces tomando el lımite en la formula (3.7) se tiene

A = P lımm→∞

(1 +

i

m

)mt

el cual puede escribirse como

A = P lımm→∞

[(1 +

i

m

)m/i]it

(3.8)

Para calcular este lımite primero debemos determinar si

lımm→∞

(1 +

i

m

)m/i

existe. Considerando h = i/m se tiene que m/i = 1/h; y como m → ∞ es equivalente a

h → 0+, entonces

lımm→∞

(1 +

i

m

)m/i

= lımh→0+

(1 + h)1/h

= e

En consecuencia

lımm→∞

[(1 +

i

m

)m/i]it

= eit

y ası, (3.8) se transforma en

A = Peit (3.9)

Si se considera que t varıa en el conjunto de los numeros reales no negativos, se observa que

(3.9) expresa a A como una funcion continua de t.

Ejercicio 1. Un banco anuncia que la tasa de interes en cuentas de ahorro se calcula al

4 % anual compuesto diariamente. Si se deposita $1000 en una cuenta de ahorro en el banco,

calcule (a) el monto aproximado al final de un ano considerando la tasa de interes. (b) el

monto exacto al cabo de un ano considerando una tasa de interes anual de 4 % compuesto

365 veces al ano. (c) obtenga la tasa efectiva de interes anual.

Solucion. (a) Sean A dolares el monto final de 1 ano. de (3.9) con P = 1000, i = 0,04 y

t = 1, se tiene

A = 1000e0,04

= 1040,81

Conclusion: $1040.81 es un monto aproximado del deposito al termino de 1 ano

213




(b) De (3.7) con P = 1000, i = 0,04, m = 365 y t = 1, y si A365 dolares es el monto, entonces

A365 = 1000

(1 +

0,04

365

)365

= 1040,81

Conclusion: El monto exacto al final de un ano es $1040,81 %

(c) Sea j la tasa efectiva de interes anual. Por tanto:

1000(1 + j) = 1040,81

1 + j = 1040,81

j = 0,0481

Conclusion: La tasa efectiva de interes anual es 4,81 %

Ejercicio 2. Suponga que Juan pone $500 en el banco al 13 % de interes compuesto, capi-

talizable todos los dıas. ¿Cuanto obtendra al termino de 2 anos?

Solucion. Aquı, r = 0,13 y n = 365, por lo que

A = 500

(1 +

0,13

365

)365(2)

≈ $648,43

Consideremos ahora lo que ocurre con el interes compuesto continuo (es decir, cuando el

numero de n perıodos de capitalizacion por ano tiende al infinito). Declaramos que entonces

A = lımn→∞

A0

(1 +

r

n

)nt

= A0 lımn→∞

[(1 +

r

n

)n/r]rt

= A0

[lımh→0

(1 + h)1/h]rt

= A0ert

Ejercicio 3. En sus cuentas de ahorros, el Piggy Bank de Nueva York ofrece ua tasa de

interes nominal anual del 6 %, capitalizable diariamente. El banco desea calcular una tasa de

interes anual efectiva (esto es, la tasa anual equivalente) para usarla en su publicidad.

Solucion. Vimos antes que las cantidades capitalizables diariamente son equivalentes a cap-

italizacion continua, redondeandola a centesimos en 100 dolares por tanto usamos la formula

de capitalizacion continua. Aquı R = 6 e i = 6100

= 0,06. En un ano, cualquier inversion se

incrementa en un factor e1 = e0,06 = 1,0618. Esto es equivalente a una tasa de interes anual

de 6,18 %, de modo que el banco deberıa anunciar su tasa de interes efectiva como 6,18 %.

214




y

y

Decaimiento

exponencial

t

0

Figura 3.3:

Actividades

1. El 1 de abril el precio de una materia prima fue de S/.20 000 soles por tm. 45 dıas despues

se incremento a S/.22 000 soles. ¿cual sera el precio a pagar por el nuevo stock que lo

renovaremos dentro de 180 dıas contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor nos

manifiesta que los precios se incrementaran periodicamente (cada 45 dıas) en el mismo

porcentaje original?

2. En el ultimo semestre la gasolina ha venido incrementandose en 2 % cada 18 dıas en

promedio. De mantenerse esta tendencia, ¿cuanto costara un galon de gasolina dentro

de un ano, si el precio es de hoy S/.3,50?

3. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/.1 000 percibiendo una tasa

nominal mensual del 4 % con capitalizacion diaria. El 2 de mayo retira 400 soles, el 15

de mayo retira S/.200 y el 3 de Junio deposita S/.100. ¿Que monto acumulo desde la

fecha de su deposito inicial hasta el 24 de Junio fecha en que cancelo la cuenta?

4. Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de interes

efectivo mensual del 3 % sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del

3 % con capitalizacion diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarias). Calcule

el monto de la cuenta al 31 de agosto cuyo movimiento fue el siguiente:

Fecha 4/8 6/8 9/8 12/8 13/8 15/8 31/8

Deposito 10 000 5 000 3 000 30 000 9 000 15 000

Retiro 2 000 37 000

5. Margarita gano un juicio por danos de $150000 contra su patron hace 5 anos. En interes

(simple) impuesto en el juzgado incrementa la cantidad con una tasa de 12 % anual

215




desde la fecha del fallo. Si el caso fuera ganado ahora, ¿cuanto recibirıa Margarita al

final del juicio?

6. Andres posee bonos con un valor de $20000 con vencimiento a 10 anos de la corpo-

racion Ace. Estos bonos pagan interes cada 6 meses a una tasa 7 % anual (interes sim-

ple). ¿Cuanta ganancia recibira David de esta inversion cada 6 meses? ¿Cuanto interes

recibira Andres durante la vida de bonos?

7. Maya pago $10000 por un bono con vencimiento a 7 anos emitidos por una ciudad.

Recibio intereses por la cantidad de $3500 durante la vida de los bonos. ¿Que tasa de

interes (simple) pago el bono?

8. El banco BCP paga intereses a una tasa de 4.25 % anual compuesto semanalmente en

una cuenta de ahorros, mientras que el banco Continental paga intereses a una tasa de

4.125 % anual compuesto diariamente (suponga 365 dıas por ano). ¿Que banco paga la

mejor tasa de interes?

9. Los propietarios del hotel Costa del sol tenıan dos prestamos del Banco Interbank: uno

por $8000 con vencimiento en tres anos y otro por $15000 con vencimiento en seis anos,

ambos con una tasa de interes del 10 % por ano, compuesta semestralmente. El banco

aceptado que los dos prestamos se consoliden en uno solo, con vencimiento en cinco

anos, con la misma tasa de interes. ¿Que cantidad deberan pagar los propietarios del

hotel al final de los cinco anos?.

10. Al recibir una enorme herencia, los padres de un nino quieren establecer un fondo para

la educacion superior de este. Si se necesitan un estimado de $70000 dentro de siete anos,

¿Cuanto dinero deben destinar, si lo invierten a 10.5 % compuesto trimestralmente? ¿Y

si lo componen trimestralmente?.

216

Apendice A

Logica, Conjuntos y Funciones

A.1. Introduccion a la Logica proposicional

El proposito de esta seccion es describir, brevemente, las proposiciones y conectivos logicos;

sus leyes a fin de exponer con claridad las ideas matematicas, formulando con precision las

definiciones, axiomas, teoremas y sus demostraciones.

A.1.1. Proposiciones

Se llamara proposicion a toda oracion o frase de nuestro lenguaje al cual es posible asignarle

uno y solo uno de los siguientes valores:

Verdadero (V) o Falso (F)

Por ejemplo “El numero cero es par”. En este caso se tiene una proposicion verdadera, evi-

dentemente, si se dice “El numero cero no es par”, se esta negando la proposicion inicial y se

tendra una proposicion falsa.

A la primera proposicion, se la puede llamar p y a la segunda (su negacion) ∼ p, que se lee

“no p”. Ası:

p : La suma de dos numeros pares es un numero par (verdadero)

∼ p : La suma de dos numeros pares no es un numero par (falso)

La Negacion de una proposicion p, denotada ∼ p, que se lee “no p”, se define mediante la

tabla:p ∼ p

V F

F V

Es decir, si p es verdadera, entonces ∼ p es falsa; y si p es falsa, ∼ p es verdadera.

217




La Disyuncion de las proposiciones p y q, denotada por p ∨ q, que se lee “p o q”, es la

proposicion definida por la siguiente tabla de valores:

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Significado la proposicion p∨ q es falsa solo cuando ambas proposiciones, p y q, son falsas. En

todos los demas casos, p ∨ q es verdadera.

La Conjuncion de las proposiciones p y q, denotada por p ∧ q, que se lee “p y q”, es la

proposicion definida por la siguiente tabla de valores:

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Significado: la conjuncion de dos proposiciones es verdadera solo cuando las dos proposiciones

que la forman son verdaderas. En todos los otros casos la conjuncion es falsa.

La Condicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇒ q, que se lee “si p, entonces

q”, es la proposicion definida por la siguiente tabla de valores:

p q p ⇒ q

V V V

V F F

F V V

F F V

En toda proposicion condicional, p ⇒ q, la proposicion p se denomina antecedente y la proposi-

cion q, consecuente de la condicional.

Significado: la proposicion p ⇒ q es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el conse-

cuente es falso. En todos los otros casos, la proposicion condicional es verdadera.

Otras denominaciones para la proposicion p ⇒ q, que son “p es condicion suficiente para q”,

o “q es condicion necesaria para p”. Este modelo logico es muy usado en la formulacion de

los enunciados de teoremas, proposiciones, etc.

218




La Bicondicional de las proposiciones p y q, denotada por p ⇔ q, que se lee “p si, y solo si

q”, es la proposicion definida por la siguiente tabla de valores:

p q p ⇔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Significado: la proposicion p ⇔ q es verdadera cuando tienen las proposiciones del mismo

valor de verdad. En los otros casos, la bicondicional es falsa.

Una proposicion compuesta se llama tautologıa si es verdadera para cualquiera de los valores

de las proposiciones que la componen, en este caso, su tabla esta formada solo por el valor

“V ”.

Por ejemplo: p ⇒ (p∨ q), (p∧ q) ⇒ p, ∼ (p∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q), son proposiciones tautologicas

pues:

p q p ⇒ (p ∨ q)

V V V V

V F V V

F V V V

F F V F

p q (p ∧ q) ⇒ p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

p q ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)

V V F V F

V F F V F

F V F V F

F F V V V

Se dice que las proposiciones p y q son logicamente equivalentes si la bicondicional p ⇔ q es

una tautologıa, en este caso se denota p ≡ q.

Observacion A.1. Es muy importante comprender la equivalencia:

p ⇔ q ≡ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒⇒ p)]

presente en muchos teoremas y en todas las definiciones. Por ejemplo demostrar la bicondi-

cional: Sea n ∈ Z, “n es par si, entonces “si n es par, entonces n2 es par” y “si n2 es par,

entonces n es par”.

A.1.2. Equivalencias Logicas Importantes

Usando las tablas de valores de verdad se puede demostrar la equivalencia logica de las

siguientes proposiciones:

219




1) Conmutativa:

p ∨ q ≡ q ∨ p, p ∧ q ≡ p

2) Asociativa:

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

3) Distributiva:

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

4) Condicional:

p ⇒ q ≡∼ p ∨ q

5) Doble Negacion:

∼ (∼ p) ≡ p

6) Leyes de De Morgan:

∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p∨ ∼ q

∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p∧ ∼ q

7) Leyes de absorcion:

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

Usando las equivalencias anteriores se puede demostrar otras equivalencias como por ejem-

plo:

8) Principio de contraposicion : p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p

Prueba:

p ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q

≡ ∼ p∨ ∼ (∼ q)

≡ ∼ (∼ q)∨ ∼ p

≡ ∼ q ⇒∼ p

Determine, que propiedades se han utilizado en esta prueba.

220




9) Pruebe como en el caso anterior (usando las propiedades)

p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q

p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q

Principios logicos: (tautologıas)

10) Tercio excluido: p∨ ∼ p

11) ∼ (p∧ ∼ p)

12) [(p∧ ∼ q) ⇒ (r∧ ∼ r)] ⇒ (p ⇒ q)

13) p ⇒ (p ∨ q)

14) (p ∧ q) ⇒ p

15) p ⇒ p

Observacion A.2. Como se vera en el siguiente tema, existe una estrecha relacion entre la

conjuncion (∧) y la interseccion de conjuntos, entre la disyuncion (∨) y la union de conjuntos,

entre la condicional (⇒) y la inclusion de conjuntos y entre la negacion (∼) y el comple-

mento de un conjunto, tanto en la definicion de tales operaciones con conjuntos como en sus

propiedades.

A.1.3. Cuantificadores

El enunciado u oracion p(n): “n es par”no es una proposicion pues, a pesar de ser una oracion,

no es posible asignarle el valor de verdadero o falso, pero al sustituir n por un valor numeri-

co esta oracion se transforma en una proposicion. Este tipo de oraciones o enunciados que

dependen de una o varias variables que al ser sustituidas con elementos de un determinado

conjunto se transforman en proposiciones, se llaman funciones proposicionales.

Sin embargo los siguientes enunciados, formulados en base a la funcion proposicional p(n):

r : “Para todo numero entero n, n es par”

s : “Existe un numero racional n, tal que es par”

son proposiciones.

La expresion “para todo”se denota con el sımbolo “∀” y se llama cuantificador universal, y

la expresion “existe”, denotado con el sımbolo “∃”, se llama cuantificador existencial. Es-

tos cuantificadores unidos a una funcion proposicional la transforman en una proposicion.

Podemos escribir las proposiciones r y s como:

r : “∀n ∈ Z/n es par”

s : “∃n ∈ Q/nes par”

221




A.2. Metodos de demostracion

La demostracion es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un

nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando

un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como valido y es admitido dentro

de la disciplina correspondiente.

La demostracion es el enlace, entre los conocimientos recien adquiridos y el conjunto de los

conocimientos anteriores.

El enlace entre los conocimientos recien adquiridos y los anteriores esta constituidos por una

sucesion finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya

validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones logicas perfectamente

coordinadas.

La demostracion permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba

rigurosamente racional.

Sabemos que todas las proposiciones de una teorıa matematica se clasifican en dos tipos: las

aceptadas sin demostracion que son las definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los

axiomas o postulados (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas

teoremas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada).

No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su

grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido.

Un teorema requiere demostracion cuando no hay evidencia de su validez.

Estructura de la demostracion La demostracion consta de tres partes:

(a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposicion (teorema) cuya validez

se trata de probar.

(b) Los fundamentos empleados como base de la demostracion.

(c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado.

Los procedimientos de demostracion permiten establecer la conexion logica entre los funda-

mentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusion final a la tesis que ası se

demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos.

A.2.1. Tipos de demostracion

Consideremos una demostracion como un argumento que nos muestra que una proposicion

condicional de la forma h ⇒ t, es logicamente verdadera (es decir, verdadera en todos los

cosos posibles) donde h es la hipotesis o conjuncion de las premisas y t es la conclusion del

argumento.

222




Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explıcitamente las proposiciones de par-

tida, este afirma que partiendo de cierta hipotesis h, se puede demostrar otra proposicion t,

llamada tesis.

Los procedimientos utilizados en la demostracion estan constituidos por distintas formas de

deduccion o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales seran estudiados sepa-

radamente.

Los principales tipos de demostracion son:

1. Demostracion directa.

2. Demostracion indirecta.

3. Demostracion por recursion.

Observacion A.3. El problema de la construccion de una demostracion consiste en preparar

una serie de pasos que conduzcan a la conclusion deseada. No hay caminos automaticos para

hacerlo y, por ello, la demostracion constituye un proceso creador dentro del conocimiento

cientıfico “es una cuestion personal que se adquiere con la practica y el desarrollo de la

iniciativa de cada uno”.

1. Demostracion directa

Cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido

probada, para inferir como consecuencia la tesis, a traves de una serie de inferencias,

se establece una demostracion directa. En ella se prueba la validez de una tesis es-

tableciendo que esta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina

correspondiente (matematica en nuestro caso).

Una demostracion directa de una proposicion t (al que llamaremos teorema), consiste

en un conjunto de proposiciones p1, p2, . . . , pn (premisas), que son postulados o proposi-

ciones cuya validez ya ha sido probada y de las cuales se infiere la proposicion t, como

consecuencia inmediata.

En una demostracion directa, cada paso debe ir acompanado de una explicacion que

justifique la presencia de ese paso.

Decimos que t es una consecuencia inmediata de p1, p2, . . . , pn, si se produce la impli-

cacion: (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn) ⇒ t.

Para mayor brevedad, llamaremos h (hipotesis) al antecedente del esquema proposicional

anterior.

2. Demostracion Indirecta

Si se tiene dificultades en la construccion de una demostracion directa, se puede a veces

obtener resultados mas importantes y mejores, empleando algunos otros metodos.

Cuando se establece validez de una tesis t, probando, que las consecuencias de su con-

traria son falsas, entonces se realiza una demostracion indirecta.

223




El metodo de demostracion indirecta se basa en el hecho de que si ∼ t es falsa, entonces

t es verdadera (negar-negando). La mejor manera de hacerlo es mostrando que ∼ t no

es compatible con las afirmaciones dadas en la hipotesis.

De otro modo, suponiendo que la proposicion ∼ t es verdadera, consideremos el conjunto

formado por ella y las otras proposiciones conocidas y tratamos de demostrar que este

conjunto ası considerado nos lleva a una contradiccion. Cuando se llega a la contradic-

cion, sabemos que la verdad de ∼ t no es compatible con nuestra hipotesis (verdadera)

y, por tanto, que es falsa. Por consiguiente, es verdadera.

Luego, para demostrar un teorema de la forma h → t, basta deducir alguna contradic-

cion a partir de la hipotesis h.

Hay diferentes formas para utilizar el metodo de demostracion indirecta; Para demostrar

h → t podemos hacerlo demostrando que:

(a) ∼ t → ∼ h

(b) (h∧ ∼ t) → ∼ h

(c) (h∧ ∼ t) → t

(d) (h∧ ∼ t) → (p∧ ∼ p)

3. Demostracion por Recursion (Induccion Matematica)

Cuando la tesis se prueba por medio de la induccion matematica recursiva, se efectua

una demostracion por recursion. La demostracion por recursion se utiliza principalmente

en la teorıa de numeros y consiste en probar la validez de un teorema estableciendo:

Primero: su cumplimiento para el caso limitante (caso inicial)

Segundo: admitiendo que se cumple en el general, (hipotesis inductiva)

Tercero: se prueba que se cumple igualmente para el caso siguiente.

Por ultimo, comprobamos que se cumple para el caso siguiente

A.3. Conjuntos

A.3.1. Conjunto

un conjunto es una cierta coleccion o agrupacion de objetos llamados elementos. Los conjuntos

se representaran con letras mayusculas como A, B, C, etc.

A.3.2. Relaciones de igualdad, pertenencia e inclusion

Una de las relaciones mas elementales e importantes que existe entre los objetos, elementos

o conjuntos, es la relacion de igualdad, la cual se representa por el sımbolo “ = ” y se lee

“igual”. La expresion “a = b” se lee “a es igual a b” y significa que “el elemento representado

224




por a es el mismo que el elemento representado por b”.

En lo que sigue del libro, por razones de comodidad, se dira simplemente “el elemento a”,

en lugar de “el elemento representado por a” y “el conjunto A” en lugar de “el conjunto

representado por A”.

La negacion de la relacion “a = b” se denota por “a 6= b” y se lee “a es diferente a b” o “a no

es igual a b”.

Teorema A.1. La relacion de igualdad cumple con las siguientes propiedades:

Sean a, b, c elementos de A

(i) ∀ a ∈ A, a = a (Reflexiva)

(ii) Si a = b entonces b = a (simetrica)

(iii) Si a = b y b = c entonces a = c (transitiva)

Demostracion. Es consecuencia inmediata de la definicion de a = b.

Corolario A.1. Si u 6= v entonces v 6= u.

Demostracion. Basta aplicar el principio de contraposicion a la propiedad simetrica (ii).

Observacion A.4. En lo que sigue del modulo esta relacion de igualdad y sus propiedades

quedaran facilmente establecidas en cada sistema numerico que se define, como en el sistema

de los numeros naturales, enteros, racionales y reales.

Otra relacion importante es la que existe entre elementos y conjuntos, llamada relacion de

pertenencia, que se denota con el sımbolo ∈ y se lee “pertenece”. No se define la relacion de

pertenencia; se la aceptara como concepto primitivo y se le dara el sentido intuitivo que todos

tienen de ella.

Ası, si A es un conjunto y si x es un elemento de A, la expresion simbolica x ∈ A, se lee “x

pertenece a A” y significa que “x es un elemento del conjunto A”.

La negacion de la relacion x ∈ A se denota por x /∈ A y se lee: “x no pertenece al conjunto

A”.

Una tercera relacion entre objetos, en este caso entre conjuntos, es la relacion de inclusion,

que se representa por el sımbolo ⊂ y que se lee “incluido en h” o “contenido en h”.

Definicion A.1. Sean A y B dos conjuntos, A esta incluido en B, lo que se denota A ⊂ B

si, y solo si, todo elemento de A es elemento de B. Simbolicamente:

a ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Si A ⊂ B se dira tambien que A es un subconjunto de B, o que A esta contenido en B.

La negacion de la relacion A ⊂ B se denota por A 6⊂ B y se lee “A no esta incluido (o no

225




esta contenido) en B”, significa que “existe por lo menos un elemento x ∈ A tal que x /∈ B”.

Simbolicamente

A 6⊂ B ⇔ (∃x ∈ A/x ∈ B)

Teorema A.2.

(a) A ⊂ A; para todo conjunto A

(b) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C entonces A ⊂ C

Demostracion.

(b) Para todo x, la proposicion compuesta:

[x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ C)] ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ C)

es verdadera (tautologıa) luego aplicando la definicion de inclusion se tiene:

(A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C

De la Teorıa Axiomatica de Conjuntos, debido a su complejidad, se mencionara solo cinco

axiomas: Sustitucion, Extension, Especificacion, del Conjunto Potencia, y la existencia de

la Union de Conjuntos. Estos axiomas seran descritos a continuacion y al mismo tiempo se

ira explicando su importancia.

A.3.3. Axiomas

Axioma A.1 (Axioma de Sustitucion). Sea P (x) una proposicion respecto a la variable x.

Si P (x) es verdadera y si u = x, entonces P (u) es tambien verdadera.

Ası por ejemplo, sea P (x) la proposicion dada por la expresion “x ∈ E”. Si P (x) es verdadera,

o sea “x ∈ E” es verdadera, y si u = x, entonces P (u) es verdadera, o sea “u ∈ E” es verdadera.

226




Axioma A.2 (Axioma de Extension). Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen

los mismos elementos. O sea, A es igual a B si, y solo si, todo elemento de A pertenece a B

y, recıprocamente, todo elemento de B pertenece a A.

Simbolicamente

A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A)

O tambien

A = B ⇔ (∀x) [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)]

La negacion de la relacion A = B se denota con A 6= B, se lee “A no es igual a B” o “A es

diferente de B”, y significa que existe por lo menos un elemento de A que no esta en B o

que existe por lo menos un elemento de B que no esta en A.

Simbolicamente

A 6= B ⇔ (∀x) (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (∃ y) (y ∈ B ∧ x /∈ A)]

Definicion A.2. Dados los conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto propio de B o

que A es parte propia de B, y se denota por A $ B; si, y solo si A ⊂ B ∧ A 6= B.

Simbolicamente

A $ B ⇔ A ⊂ B ∧ ∃ z ∈ B/z /∈ A

Hasta ahora, se ha utilizado la nocion de pertenencia para definir nuevas relaciones y se han

dado ejemplos de conjuntos. Pero, ¿como construir nuevos conjuntos a partir de un conjunto

dado? Para hacerlo, es necesario el siguiente axioma.

Axioma A.3 (Axioma de Especificacion). Dado un conjunto E y una proposicion P (x)

con x ∈ E, existe un unico subconjunto A de E, cuyos elementos son todos los elementos

x ∈ E tales que P (x) es verdadera.

Tal subconjunto se denota por:

A = {x ∈ E/P (x) es verdadera}

o simplemente,

A = {x ∈ E/P (x)}

que se lee “A es el subconjunto de E formado por todos los elementos x ∈ E, tales que la

proposicion P (x) es verdadera”.

Ası, el conjunto A se caracteriza por la condicion

x ∈ A ⇔ P (x) es verdadera

227




En algunos textos de secundaria, este axioma es presentado como la definicion de un conjunto

determinado por comprension; es decir, aquel conjunto en el que se indica la propiedad P(x),

que caracteriza a los elementos del conjunto. En este sentido, la llamada definicion de conjunto

determinado por extension, en la que se enumeran o indican sus elementos no es mas que un

caso particular del axioma de especificacion.

Se usara el Axioma de Especificacion para presentar algunos conjuntos especiales: Para com-

pletar el lenguaje de los conjuntos se necesita introducir un nuevo conjunto llamado conjunto

vacio, el cual se denota por ∅, que no tiene ningun elemento y que esta contenido en cualquier

conjunto A, o sea, ∅ ⊂ A.

Usando el axioma de especificacion, este conjunto se puede definir de la siguiente manera:

∅ = {x ∈ A/x 6= x}.

Como la definicion de ∅ depende del conjunto A, se puede denotarlo tambien por ∅A. En

cursos avanzados; se define, finalmente, el conjunto vacıo ∅, se demuestra que es unico y que

∅ ⊂ A para todo conjunto A.

Sean E un conjunto no vacıo, a ∈ E, y P (x) la propiedad: x = a, entonces por el axioma de

especificacion, existe un unico subconjunto A de E tal que:

A = {x ∈ E/x = a} = {a}.

A este tipo de conjunto, que tienen un solo elemento, se les llama Conjunto Unitario.

A continuacion se presenta otro axioma que permite construir nuevos conjuntos a partir de uno

dado

Axioma A.4 (Axioma del conjunto potencia). Dado un conjunto E, existe un conjunto y

solamente uno cuyos elementos son todos los subconjuntos de E.

Tal conjunto se denota con P(E) y se le llama conjunto potencia de E o conjunto de partes

de E.

En sımbolos: P(E) = {A/A ⊂ E}, es decir:

A ∈ P(E) ⇔ A ⊂ E

o equivalentemente, A no es elemento de P(E) si, y solo si, A no es subconjunto de E. En

sımbolos:

A /∈ P(E) ⇔ A 6⊂ E

Observacion A.5.

1. Como para todo conjunto E, ∅ ⊂ E y E ⊂ E, entonces

∅ ∈ P(E) y E ∈ P(E)

228




2. Se demuestra que, si A es un conjunto que tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n

elementos. Este resultado puede demostrarse usando induccion matematica.

A.4. Operaciones con conjuntos

A partir de dos conjuntos dados se construira nuevos conjuntos, usando los axiomas de la

union y de especificacion.

A.4.1. Union de conjuntos

Axioma A.5 (Axioma de la union de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, existe un

conjunto U tal que A ⊂ U yB ⊂ U .

Este axioma garantiza la existencia de un conjunto, por ejemplo un conjunto que se puede

denotar por U y considerarse como conjunto universal. Con elementos de este conjunto U ,

usando el axioma de especificacion se puede definir nuevos conjuntos.

Definicion A.3. Sean A ⊂ U y B ⊂ U dos conjuntos, la union de A y B, denotada por

A ∪ B, es el conjunto formado por todos los elementos x ∈ U tales que x ∈ A o x ∈ B.

Simbolicamente

A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B}

Observacion A.6. Notar que se esta usando la disyuncion (∨). Aplicando la Ley de De

Morgan para la disyuncion (ver el cuadro de las propiedades y principios logicos) se formula

la definicion equivalente “por negacion”:

x no es elemento de A ∪ B si y solo si, x no es elemento de A y x no es elemento de B.

Simbolicamente:

x /∈ (A ∪ B) ⇔ [x /∈ A ∧ x /∈ B]

229




Teorema A.3 (Propiedades de la union). Dados los conjuntos A, B, C, D y ∅, en un

conjunto universal U , se cumplen las siguientes propiedades:

(a) A ⊂ A ∪ B ∧ B ⊂ A ∪ B

(b) A ⊂ D ∧ B ⊂ D entonces A ∪ B ⊂ D

(c) A ∪ A = A (idempotencia)

(d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Asociativa)

(e) A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa)

(f) A ∪ ∅ = A (Elemento neutro)

(g) A ⊂ B entonces A ∪ B = B

A.4.2. Interseccion de conjuntos

Definicion A.4. Sean A∪U y B ∪U dos conjuntos, la interseccion de A y B, denotada por

A ∩ B es el conjunto formado por todos los elementos x de U , tales que x ∈ A y x ∈ B.

A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B}

Es decir

x ∈ (A ∩ B) ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ B]

O, equivalentemente, por negacion: x no es elemento de A ∩ B si, y solo si, x no es elemento

de A o x no es elemento de B.

Simbolicamente:

x /∈ (A ∩ B) ⇔ [x /∈ A ∧ x /∈ B]

230




Teorema A.4 (Propiedades de la interseccion). Dados los conjuntos A, B, C y ∅, en un

conjunto universal U , se cumplen las siguientes propiedades:

(a) A ∩ B ⊂ A ∧ A ∩ B ⊂ B

(b) A ∩ A = A (idempotencia)

(c) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Asociativa)

(d) A ∩ B = B ∩ A (Conmutativa)

(e) A ⊂ B entonces A ∩ B = A

(f) A ∩ ∅ = ∅; A ∩ U = A

Teorema A.5 (Propiedades distributivas). Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las

siguientes propiedades distributivas:

(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A.4.3. Diferencia de conjuntos

Definicion A.5. Dados los conjuntos A ∪ U y B ∪ U , la diferencia de A y B, denotado por

A − B, es el conjunto formado por todos los elementos x de U tales que x ∈ A y x /∈ B.

Simbolicamente:

A − B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x /∈ B}

Es decir,

x ∈ A − B ⇔ [x ∈ A ∧ x /∈ B]

o equivalentemente

x /∈ A − B ⇔ [x /∈ A ∨ x ∈ B]

231




Teorema A.6. Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades:

(a) A − ∅ = A

(b) A − A = ∅

(c) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)

(d) A − B = (A ∪ B) − B = A − (A ∩ B)

La demostracion se deja como ejercicio.

A.4.4. Complemento de un conjunto

Definicion A.6. Sean A y B dos conjuntos tales que A ⊂ B ⊂ U . Se llama complemento de

A con respecto al conjunto B, y se denota por CBA, a la diferencia B − A.

Es decir, CBA = B − A.

El complemento de un conjunto con respecto a otro es un caso particular de la diferencia de

conjuntos.

Si B = U , el complemento de A respecto a U se denota simplemente por: CA. En este caso

se tiene por definicion que:

x pertenece a CA si, y solo si, x no es elemento de A.

En sımbolos,

x ∈ CA ⇔ x /∈ A

o, equivalentemente

x /∈ CA ⇔ x ∈ A

232




Teorema A.7. Dados los conjuntos ∅, A ⊂ U y B ⊂ U , se cumplen las siguientes

propiedades

1. C(CA) = A

2. A ⊂ B entonces CB ⊂ CA; CB ⊂ CA entonces A ⊂ B

3. C(A ∩ B) = CA ∪ CB

4. C(A ∪ B) = CA ∩ CB

5. A ∩ CA = ∅

6. A ∪ CA = U

7. C∅ = U y CU = ∅

A.5. Nociones de relacion y funcion

A.5.1. Par ordenado y producto cartesiano

Un conjunto que tiene dos elementos es un par ordenado si, y solo si, dicho conjunto tiene

la propiedad de que un elemento puede ser distinguido como el primero y el otro como el

segundo.

Definicion A.7. Dado los conjuntos no vacıos A ⊂ U y B ⊂ U y los elementos a ∈ A y

b ∈ B, se llama par ordenado de componentes a y b, que se denota por (a, b), al conjunto

{{a}, {a, b}}; o sea, por definicion (a, b) = {{a}, {a, b}}. En el par ordenado (a, b), el elemento

a se llama primera componente; y b se llama segunda componente del par.

Teorema A.8. (a, b) = (c, d) si y solo si a = c ∧ b = d, o equivalentemente, (a, b) 6= (c, d)

si y solo si a 6= c ∨ b 6= d.

Definicion A.8. Dado los subconjuntos A y B, de un conjunto universal U , se llama producto

de A y B, y se denota por A × B, al conjunto formado por todo los pares ordenados (a, b)

tales que a ∈ A y b ∈ B.

Simbolicamente: A × B = {(a, b) ∈ E/a ∈ A ∧ b ∈ B}.

233




A.5.2. Relaciones

Definicion A.9. Dado los conjuntos X e Y , se da el nombre de relacion binaria entre ele-

mentos del conjunto X y elementos del conjunto Y a todo subconjunto R de X × Y .

Si el par (x, y) ∈ R diremos que x e y estan en la relacion determinada por R, y escribiremos

simplemente xRy.

Si por el contrario, el par (x, y) /∈ R diremos que x e y no estan en la relacion determinada

por R, y escribiremos simplemente x /∈ Ry.

En adelante diremos simplemente relacion en lugar de relacion binaria, ya que estas ultimas,

seran las unicas con las cuales trataremos.

Si R es una relacion entre los elementos de X e Y , se llama a X conjunto de partida de la

relacion y a Y conjunto de llegada.

Definicion A.10. Se llama dominio o conjunto de definicion de la relacion R, al conjunto de

los elementos de X que son las primeras componentes de pares del subconjunto R, es decir

todos los elementos x ∈ X, para los cuales existe un elemento y ∈ Y tales que (x, y) ∈ R.

Se llama rango o conjunto de valores al conjunto de los elementos y ∈ Y , que son segundos

componentes de pares del subconjunto R, es decir al conjunto de todos los elementos de y ∈ Y

para los cuales existe un elemento x ∈ X tales que (x, y) ∈ R.

Definicion A.11. Una relacion R definida entre elementos de un conjunto X es total si

su dominio coincide con el conjunto de partida X, Diremos en este caso que la relacion es

definida sobre el conjunto X.

Definicion A.12. Se dice que una relacion R definida sobre un conjunto X, es una relacion

de equivalencia si goza de las siguientes propiedades:

1. xRx para todo x ∈ R (reflexividad)

2. si xRy, entonces yRx. (simetrıa)

3. Si xRy e yRz entonces xRz. (transitividad)

De (a) resulta que toda relacion de equivalencia es una relacion total.

Cuando una relacion R es de equivalencia es usual escribir x = y ( mod R) o simplemente

x ≡ y, en lugar de xRy, se lee entonces “x es equivalente a y modulo n” o simplemente “x es

equivalente a y”

A.5.3. Funciones

Definicion A.13. Dados dos conjuntos A y B se llama funcion definida en A y con valores

en B, o simplemente funcion de A en B, a toda correspondencia f que asocia a cada elemento

x ∈ A un unico elemento y ∈ B. El conjunto A recibe el nombre de Dominio de la funcion

f .

234




La palabra correspondencia se aceptara como concepto primitivo y se le dara la interpretacion

intuitiva que todos tienen de ella.

Las funciones reciben tambien el nombre de aplicaciones y se denotan simbolicamente por:

f : A −→ B o Af−→ B

Para indicar que f hace corresponder a cada elemento x de A un unico elemento y ∈ B, se

escribe

f : x −→ y, xf−→ y, o y = f(x)

y se dice que y es la imagen de x mediante f , o que x es una preimagen de y mediante f .

Definicion A.14. Dada una funcion f : A −→ B, C ⊂ A y D ⊂ B, se llama Imagen

Directa de C mediante f , al conjunto f(C) = {y ∈ B/y = f(x), x ∈ C}. Analogamente, se

llama Imagen Inversa de D mediante f , al conjunto f−1(D) = {x ∈ A/f(x) ∈ D}.El conjunto f(A) recibe el nombre de Rango de la funcion f .

Teorema A.9.

(a) f(A1 − A2) ⊇ f(A1) − f(A2)

(b) Si A1 ⊆ A2 entonces f(A1) ⊂ f(A2)

(c) f(∪Ai) = ∪f(Ai)

(d) f(∩Ai) = ∩f(Ai)

Definicion A.15 (Restriccion de una funcion). Dada una funcion f : A −→ B. La funcion

g : C −→ B con C ∈ A definida por g(x) = f(x) para todo x ∈ C se llama restriccion de la

funcion f al conjunto C y se denota f/C , o simplemente f , si no hay lugar a confusion.

En este contexto, la funcion f : A −→ B se llama extension de g al conjunto A.

Un caso particular muy importante de funcion es el de Operacion Interna o Ley de Composi-

cion Interna.

Definicion A.16. Si A es un conjunto no vacıo, A 6= ∅, una ley de composicion interna u

operacion interna en A es una funcion o aplicacion definida en el producto A×A y con valores

en el conjunto A. Es decir, una aplicacion,

f : A × A −→ A

(x, y) 7−→ f(x, y)

Definicion A.17. Se dice que la funcion f : A −→ B es inyectiva sı y solo si, se cumple que:

Si x 6= x′ entonces f(x) 6= f(x′). O equivalentemente: Si f(x) = f(x′) entonces x = x′.

235




Teorema A.10.

1. Si x ∈ A entonces f(x) /∈ f(A)

2. f(A1 − A2) ⊆ f(A1) − f(A2)

3. f(∩Ai) ⊇ ∩f(Ai)

Definicion A.18. Se dice que una funcion f : A −→ B es suryectiva si, y solo si, se cumple

que:

Para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f(x) = y. O equivalentemente: Si f(A) = {y =

f(x)/x ∈ A} = B.

Finalmente, se dice que una funcion f : A −→ B es biyectiva si, y solo si, f es inyectiva y

suryectiva.

Definicion A.19. Dadas las funciones f : A −→ B y g : C −→ D donde B ⊂ C, se define la

funcion h : A −→ D de la siguiente manera:

h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) para todo x ∈ A

La funcion h : A −→ D recibe el nombre de funcion compuesta de f y g, y se denota con

g ◦ f , es decir, h = g ◦ f .

236

Bibliografıa

[1] Boyer, C. “Historia de las Matematicas”. Editorial Alfa omega. 2003.

[2] Carmen Bonell. “La Divina Proporcion. Las formas Geometricas”. Editorial Alfa

omega. 2003.

[3] Carranza C.. “Topicos de matematica para el bachillerato”. 18o Coloquio de la Sociedad

Matematica Peruana. Lima 2000.

[4] Carranza, Alex Molina. “Topicos de Aritmetica y Algebra”. Pontificia Universidad

Catolica del Peru. 2006

[5] Carranza C.. “Algebra”. Libreria Studium. Lima, 1970.

[6] Carranza, C.; Kong, M. “Teorıa de conjuntos y numeros naturales”. Peru Offset.

Lima, 1980.

[7] De la Pena, J; “Algebra en todas partes ”. Editorial La ciencia para todos, 2008.

[8] Fraleigh,J; “Algebra Abstracta ”. Editorial Addison - Wesley Iberoamericana , 2008.

[9] Numeros, grupos y anillos ; “Dorronsoro, Jose”. Editorial Addison - Wesley

Iberoamericana 2008.

[10] Emma Castelnuova. “De viaje con la Matematica. Imaginacion y Razonamiento

Matematico”. Editorial Trillas. 2002.

[11] Felix Escalante Del Aguila. “Construccion Geometrica de Numeros”. Sociedad

Matematica Peruana. 2003.

[12] Gentile, E; “Aritmetica elemental”. Serie de Matematicas. Monografıa de la OEA, 1985.

[13] Grabiel Navarro. “Un Curso de Numeros”. Universidad de Valencia. 2007

[14] Mathema. “El arte del Conocimiento”. Editorial Ciencia para todos. Mexico. 2010.

[15] Tereza Gonzales Monteiza. “Modelos Matematicos discretos en las ciencias de la

naturaleza. Teorıa y Problemas”. Ediciones Dıaz Santos. Madrid 2007.

237




[16] Verastegui Teodulo. “Introduccion a La Teorıa de Numeros”. Fondo Editorial PUCP.

1999

238

modulo de numero y operaciones

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