modulo de matematicas
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UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN
Facultad de Ciencias Humanas y Educación
Oficina de Proyectos Especiales
Didáctica de la Matemática
Seminario de Especialización en Pedagogía Educación Primaria
(Evento financiado por el Programa Nacional de Becas y Crédito Educativo PRONABEC)
Febrero 2015
Didáctica de la Matemática
Wilma Villanueva Quispe
Decana de la Facultad de Ciencias Humanas y Educación
Alfonso Paredes Aguirre
Jefe de la Oficina de Proyectos Especiales
Félix Daniel Flores Quinteros
Contador OPE
Equipo académico y técnico
Lucy Claudio Castillo
Jakeline Masgo Ramirez
Benigna Larios Alvarado
Martha Correa Villegas
Autores
Elmer Tapia Berrocal Alfonso Paredes Aguirre
Miriam Apaza Liliana Brañez
Zelmira Cárdenas Luz Ortiz
Silvia Sifuentes Rosario Trujillo
Maritza Zanabria Gladys Rodríguez
Rosanna Hilares Ana Ramos
Agradecimientos:
Elmer Tapia Berrocal
Diseño y diagramación:
Eduardo Grados Soto
A los niños y niñas del Perú
quienes merecen un
futuro mejor
Índice
Tema 1: ................................................................................................................ 6
Tema 2: ................................................................................................................ 25
Tema 3: ................................................................................................................ 91
Tema 4: ................................................................................................................ 97
Tema 5: ................................................................................................................ 142
Tema 6: ................................................................................................................ 236
Tema 1
PLANIFICACIÓN CURRICULAR
CURRICULUM
Para Lundgren (1992), el currículum es a) Una selección de contenidos y fines para la
reproducción social, una selección de qué conocimientos y qué destrezas han de ser
transmitidos por la educación; b) Una organización del conocimiento y las destrezas;
c) Una indicación de métodos relativos a cómo han de enseñarse los contenidos
seleccionados. Por lo tanto, el currículum es el conjunto de principios sobre cómo
deben seleccionarse, organizarse y transmitirse el conocimiento y las destrezas en la
institución escolar.
El Curriculum es el conjunto de criterios, planes de estudio, programas, metodolo-
gías y procesos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la
identidad cultural nacional, regional y local, incluyendo también los recursos huma-
nos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el proyecto
Educativo Institucional.
Para Torres (1992), el currículum puede ser explícito y oculto: el currículum explícito u
oficial son las intenciones que, de manera directa, indican tanto las normas legales, los
contenidos mínimos obligatorios o los programas oficiales, como los proyectos educati-
vos del centro escolar.
El Currículum oculto son todos aquellos conocimientos, destrezas, actitudes y valores
que se adquieren mediante la participación en procesos de enseñanza y aprendizaje,
en general, en todas las interacciones que se suceden día a día en las aulas y centros de
enseñanza.
DISEÑO CURRICULAR NACIONAL (DCN)
El Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular contiene los aprendiza-
jes que deben desarrollar los estudiantes en cada nivel educativo, en cualquier ámbito
del país, a fin de asegurar calidad educativa y equidad. Al mismo tiempo, considera la
diversidad humana, cultural y lingüística, expresada en el enfoque intercultural que lo
caracteriza y que se manifiesta en las competencias consideradas en los tres niveles
educativos y en las diferentes áreas curriculares, según contextos sociolingüísticos. Estas
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competencias se orientan a la formación de estudiantes críticos, creativos, responsables
y solidarios, que sepan cuestionar lo que es necesario, conocedores y conscientes de la
realidad, de las potencialidades y de los problemas de la misma, de modo que contribu-
yan con la construcción de una sociedad más equitativa.
El DCN fomenta el conocimiento y respeto de las diversas culturas de nuestro país y del
mundo, reconoce la necesidad imperiosa por convertir el contacto entre las culturas
en una oportunidad para aprender y aportar desde nuestras particularidades. Hay que
llegar a la práctica intercultural, fomentando el diálogo intercultural, reconociendo el
dinamismo y permanente evolución de cada cultura.
Conforme al mandato de la Ley General de Educación, debemos asegurar la formación
de personas que participen en la construcción de un mundo más justo y más humano,
haciendo de la institución educativa, un espacio de construcción de relaciones equitati-
vas entre niños y adolescentes de distintas culturas y condición social. Además, conside-
ramos la responsabilidad de incorporar a las personas con necesidades educativas espe-
ciales desde una perspectiva inclusiva, para ello se requiere de adaptaciones curriculares
de acuerdo con su necesidad.
Es necesario enfatizar uno de los aspectos que ha orientado el reajuste del DCN: tener
presente las características de los estudiantes con relación a sus etapas de desarrollo.
Este importante aspecto permitirá a los docentes de cada nivel garantizar que la planifi-
cación curricular y los procesos de enseñanza y aprendizaje respondan a las necesidades
e intereses de los niños y adolescentes; lo cual, aunque parezca redundante, ha sido, es
y siempre será la razón principal de la educación.
FINES DE LA EDUCACIÓN PERUANA
a) “Formar personas capaces de lograr su realización ética, intelectual, artística, cultural,
afectiva, física, espiritual y religiosa, promoviendo la formación y consolidación de su
identidad y autoestima y su integración adecuada y crítica a la sociedad para el ejercicio
de su ciudadanía en armonía con su entorno, así como el desarrollo de sus capacidades y
habilidades para vincular su vida con el mundo del trabajo y para afrontar los incesantes
cambios en la sociedad y el conocimiento”.
b)“Contribuir a formar una sociedad democrática, solidaria, justa, inclusiva, próspera,
tolerante y forjadora de una cultura de paz que afirme la identidad nacional sustentada
en la diversidad cultural, étnica y lingüística, supere la pobreza e impulse el desarrollo
sostenible del país y fomente la integración latinoamericana teniendo en cuenta los re-
tos de un mundo globalizado”.
Ley General de Educación (Art. 9°)
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ORGANIZACIÓN DE LA EDUCACIÓN BÁSICA REGULAR (EBR)
La Educación Básica se organiza en Educación Básica Regular (EBR), Educación Básica
Especial (EBE) y Educación Básica Alternativa (EBA).
La Educación Básica Regular es la modalidad que abarca los niveles de Educación Inicial,
Primaria y Secundaria; está dirigida a los niños y adolescentes que pasan oportunamen-
te por el proceso educativo.
a) Nivel de Educación Inicial
La Educación Inicial atiende a niños menores de 6 años y se desarrolla en forma escola-
rizada y no escolarizada.
Promueve prácticas de crianza con participación de la familia y de la comunidad; contri-
buye al desarrollo integral de los niños, teniendo en cuenta su crecimiento físico, afec-
tivo y cognitivo. El Estado asume sus necesidades de salud y nutrición a través de una
acción intersectorial.
La Educación Inicial se articula con la Educación Primaria asegurando coherencia pe-
dagógica y curricular, pero conserva su especificidad y autonomía administrativa y de
gestión.
b) Nivel de Educación Primaria
La Educación Primaria constituye el segundo nivel de la Educación Básica Regular y dura
seis años. Al igual que los otros niveles, su finalidad es educar integralmente a los niños.
Promueve la comunicación en todas las áreas, el manejo operacional del conocimiento,
el desarrollo personal, espiritual, físico, afectivo, social, cultural, vocacional y artístico; el
pensamiento lógico, la creatividad, el desarrollo de capacidades y actitudes necesarias
para el despliegue de potencialidades del estudiante, así como la comprensión de he-
chos cercanos a su ambiente natural y social.
c) Nivel de Educación Secundaria
La Educación Secundaria constituye el tercer nivel de la Educación Básica Regular y dura
cinco años. Ofrece una educación integral a los estudiantes mediante una formación
científica, humanista y técnica. Afianza su identidad personal y social. Profundiza los
aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Está orientada al desarrollo de
capacidades que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científi-
cos y tecnológicos en permanente cambio. Forma para la vida, el trabajo, la convivencia
democrática, el ejercicio de la ciudadanía y para acceder a niveles superiores de estudio.
Tiene en cuenta las características, necesidades y derechos de los púberes y adoles-
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centes. Consolida la formación para el mundo del trabajo, que es parte de la formación
básica de todos los estudiantes.
El último ciclo se desarrolla en el propio centro educativo o, por convenio, en institu-
ciones de formación técnico-productivas, en empresas y en otros espacios educativos
que permitan desarrollar aprendizajes laborales polivalentes y específicos vinculados al
desarrollo de cada localidad.
EDUCACIÓN BÁSICA REGULARNIVELES Inicial Primaria SecundariaCICLOS I II III IV V VI VII
GRADOS 0 – 2
años
3 –5
años
1° 2° 3° 4° 5° 6° 1° 2° 3° 4° 5°
OBJETIVOS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA
a) Formar integralmente al educando en los aspectos físico, afectivo y cognitivo para el
logro de su identidad personal y social, ejercer la ciudadanía y desarrollar actividades
laborales y económicas que le permitan organizar su proyecto de vida y contribuir al
desarrollo del país.
b) Desarrollar capacidades, valores y actitudes que permitan al educando aprender a lo
largo de toda su vida.
c) Desarrollar aprendizajes en los campos de las ciencias, las humanidades, la técnica,
la cultura, el arte, la educación física y los deportes, así como aquellos que permitan al
educando un buen uso y usufructo de las nuevas tecnologías.
Ley General de Educación (Art. 9°)
PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LOS NIÑOS DEL NIVEL PRIMARIO
III Ciclo
En este ciclo, es fundamental que los niños fortalezcan sus capacidades comunicativas
mediante el aprendizaje de la lectura y escritura, en su lengua materna y segunda len-
gua. Asimismo, debemos brindar las oportunidades para el desarrollo de operaciones
lógicas (clasificación, seriación, ordenamiento) que le permitan equilibrar determinadas
acciones internas a cualidades espaciales y temporales, para el fortalecimiento de sus
capacidades matemáticas. Debemos considerar que el pensamiento del niño se carac-
teriza por ser concreto; es decir, que el niño se circunscribe al plano de la realidad de
los objetos, de los hechos y datos actuales, a partir de la información que proporciona
la familia y la institución educativa. También debemos tener presente que el estudiante
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no ha abandonado totalmente su fantasía e imaginación, pero cada vez va incorporando
procesos, esquemas y procedimientos sociales y culturales.
El estudiante se caracteriza por tener un creciente interés por alternar con nuevas per-
sonas y participar activamente del entorno social de sus familiares y pares, regulando
progresivamente sus intereses. Sin embargo, debemos tener siempre presente que los
niños en este ciclo responden a las reglas sobre lo bueno y lo malo de su cultura, pero in-
terpretan estas reglas en términos de las consecuencias concretas de sus acciones, prin-
cipalmente las consecuencias físicas o afectivas, tales como castigos, premios, o inter-
cambios de favores, o en términos del poder físico de aquellos que enuncian las reglas.
Asimismo, el niño pasa por un período de transición, entre sesiones de períodos cortos
de actividades variadas a otros más prolongados, pero no debemos ignorar que es nece-
sario que el niño siga aprendiendo a través del juego; en ese sentido los procesos de en-
señanza y aprendizaje deben incorporar el carácter lúdico para el logro de aprendizajes.
IV Ciclo
En este período los estudiantes incrementan el manejo de conceptos, procedimientos y
actitudes correspondientes a todas y cada una de las áreas curriculares, en estrecha rela-
ción con el entorno y con la propia realidad social; de esta forma, y a su nivel, empiezan
a tomar conciencia de que aquello que aprenden en la escuela les ayuda a descubrir, a
disfrutar y a pensar sobre el mundo que les rodea.
Los niños en esta etapa tienen mayores recursos así como mayores y más complejas ha-
bilidades que los docentes deben tener en cuenta en el proceso de enseñanza y apren-
dizaje; por ejemplo, las condiciones para una mayor expresión de sus habilidades para
la lectura y escritura, permitiendo que su lenguaje sea fluido y estructure con cierta
facilidad su pensamiento en la producción de textos; mejora sus habilidades de cálculo,
maneja con cierta destreza algunas de tipo mental y sin apoyos concretos; respeta y
valora a las personas que responden a sus intereses; afianza sus habilidades motrices
finas y gruesas; generalmente disfruta del dibujo y de las manualidades, así como de las
actividades deportivas. Las actividades que realicen los docentes deben basarse en una
pedagogía activa, dada la facilidad para trabajar en equipo, lo que fortalece el aprendi-
zaje e incrementa la comprensión de la realidad.
V Ciclo
En esta etapa de la escolaridad, se va consolidando un pensamiento operativo, vale decir
que le permite actuar sobre la realidad, los objetos; analizarlos y llegar a conclusiones
a partir de los elementos que los componen. Por ello, la metodología de trabajo con los
estudiantes debe contemplar que los estudiantes se encuentran en capacidad de buscar
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información en fuentes diversas; así mismo, debe considerar la colaboración entre pares
(aprendizaje cooperativo), la escritura mejor estructurada de informes y la comunica-
ción de resultados al resto de la clase.
Dado que se incrementa significativamente el sentimiento cooperativo, los estudiantes
pueden participar en el gobierno del aula, promoviéndose así expresiones democráticas
auténticas. En este contexto, los valores guardan correspondencia con el sentido concre-
to que depara cada situación, donde incorporan paulatinamente las expectativas de la
propia familia, grupo o nación.
MAPAS DE PROGRESO DEL APRENDIZAJE
Los Mapas de Progreso describen con precisión lo que los estudiantes deben saber, sa-
ber hacer y valorar, de manera graduada en cada ciclo de la educación básica, y ofrecen
criterios claros y comunes para monitorear y evaluar dichos aprendizajes.
Los Mapas de Progreso posibilitan apreciar el avance progresivo de tal aprendizaje, fa-
cilitando la articulación de los niveles y etapas del sistema educativo pero, sobre todo,
el acompañamiento de los logros de los estudiantes, para que todos puedan aprender y
nadie se quede atrás.
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE
Son metas de aprendizaje claras que se espera que alcancen todos los estudiantes del
país a lo largo de su escolaridad básica. Los estándares son una de las herramientas que
contribuirán a lograr la ansiada calidad y equidad del sistema educativo peruano, el
cual debe asegurar que todos los niños, niñas y jóvenes del país, de cualquier con-
texto socioeconómico o cultural, logren los aprendizajes fundamentales.
Hay tres ideas importantes que debemos recordar en relación con los estándares de
aprendizaje:
1. Son comunes a todos
Los estándares establecen aquellos aprendizajes que es necesario que logren todos
los estudiantes. Esto les permitirá desenvolverse adecuadamente tanto en lo personal,
como en lo ciudadano y lo académico. Además, alcanzar estas metas les permitirá, en
caso así lo deseen, continuar de manera adecuada su formación a nivel superior. Cabe
precisar que el logro de estos aprendizajes no niega la posibilidad de que los estudiantes
alcancen otros aprendizajes necesarios en los contextos específicos en los que se desa-
rrollan.
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2. Son desafiantes y alcanzables
Los estándares de aprendizaje son metas desafiantes que los estudiantes peruanos sí
pueden y necesitan alcanzar. Estas metas deben ser desafiantes porque solo teniendo
altas expectativas de lo que los estudiantes pueden aprender se favorecerá que alcancen
los aprendizajes esperados.
Para ello, es necesario, además, que muchas personas e instituciones se compro-
metan con este fin: sus maestros y los formadores de docentes; los directores escolares;
las autoridades y líderes sociales de muchos sectores a nivel local, regional y nacional;
los padres de familia; y, por supuesto, los mismos estudiantes.
3. Son evaluables
El logro de los aprendizajes establecidos en los estándares tiene que poder ser evaluado.
Solo a través de la evaluación los docentes pueden saber si sus estudiantes están alcan-
zando o no lo esperado en cada tramo de su escolaridad. Por cierto, la evaluación
no se limita a la aplicación de pruebas de lápiz y papel, sino que requiere recurrir a una
amplia variedad de instrumentos, como listas de cotejo, entrevistas, portafolios, entre
otros.
IMPORTANCIA DE LOS MAPAS DE PROGRESO PARA LOS DOCENTES
1. Tener claras las metas de aprendizaje que deben alcanzar los estudiantes al finalizar
cada ciclo
Es necesario que los docentes sepan qué deben lograr los estudiantes en cada
ciclo para asegurar que, finalizada su escolaridad, hayan desarrollado las competencias
que les permitirán desenvolverse adecuadamente en los distintos aspectos de su vida.
2. Identificar en qué nivel de aprendizaje se encuentra cada estudiante
En una misma aula podrían tener estudiantes ubicados en distintos niveles de aprendi-
zaje.
El poder identificarlos los ayudará a plantear estrategias específicas según el nivel en el
que se encuentren.
3. Tomar acciones para elevar el nivel de aprendizaje de los estudiantes
Los Mapas de Progreso los orientarán para que elaboren y seleccionen actividades
apropiadas que ayuden a los estudiantes a lograr esos aprendizajes.
4. Podrán observar y monitorear el logro progresivo de los aprendizajes
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Los Mapas de Progreso ofrecen criterios para observar y monitorear el aprendizaje de
sus estudiantes, con el fin de identificar en qué nivel se encuentran y cómo van progre-
sando.
Recomendaciones para Docentes
Identifique los aprendizajes que deben alcanzar los estudiantes
Ubique el nivel del mapa que plantee los aprendizajes esperados al finalizar el ciclo de la
EBR que los estudiantes están cursando.
Plantee a los estudiantes situaciones y actividades pertinentes y retadoras
Elija situaciones y actividades variadas que estimulen a los estudiantes a poner en prác-
tica todo lo que saben y a aprender cada vez más (por ejemplo, si desea observar la
capacidad del estudiante para ubicarse y localizar objetos en el espacio, puede diseñar
en el aula o en el patio un circuito de desplazamiento).
Estas actividades pueden ser de diverso tipo, no solo de lápiz y papel (por ejemplo, si de-
sea observar el nivel de expresión y argumentación de los estudiantes, puede organizar
un debate).
Identifique el nivel de cada estudiante
A partir de lo que cada estudiante demuestra en las actividades planteadas por usted,
identifique en qué nivel se encuentra según el mapa de progreso. En caso el estudiante
no haya logrado el nivel esperado, esto le servirá para identificar cuán cerca o lejos se
encuentra de alcanzarlo.
Retroalimente a los estudiantes
Informe a cada estudiante acerca de sus fortalezas y debilidades, y explíquele qué hacer
para mejorar y alcanzar los aprendizajes esperados. Haga lo mismo con los padres y ma-
dres de familia, a fin de que también se involucren en la mejora de los aprendizajes de
sus hijos.
Implemente medidas de mejora
Diseñe estrategias y actividades que ayuden a los estudiantes a alcanzar niveles
más elevados de aprendizaje.
Monitoree el progreso de los estudiantes
Siga de cerca el progreso de los estudiantes en cuanto a los aprendizajes que logran.
Evalúe si las medidas que adoptó están influyendo o no en este progreso, a fin de replan-
tearlas en caso sea necesario.
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Observaciones acerca de los Mapas de Progreso
Los estándares nacionales de aprendizaje han sido elaborados como mapas de progreso
debido a que estos permiten describir claramente la secuencia en que progresan los
aprendizajes fundamentales a lo largo de la trayectoria escolar. Esto permite contar con
criterios claros y comunes para monitorear y evaluar dichos aprendizajes.
Los Mapas de Progreso no señalan lo único que pueden aprender los estudiantes.
Indican los aprendizajes comunes que se espera que logren todos los estudiantes del
país. Por supuesto, ellos podrían aprender más cosas, pero sin renunciar a los aprendiza-
jes comunes que aparecen en los Mapas.
MAPAS DE PROGRESO DE MATEMÁTICAS
Los Mapas de Progreso de Matemática describen el desarrollo de las competencias que
requiere un ciudadano para atender las necesidades y retos de la sociedad actual. El de-
sarrollo de estas competencias se interrelaciona y complementa en la medida en que los
estudiantes tengan la oportunidad de aprender matemática en contextos significativos.
Los Mapas de Progreso de Matemática exigen una educación matemática que brinde al
estudiante situaciones de aprendizaje problemáticas que lo motiven a comprometerse
con la investigación, exploración y construcción de su aprendizaje, y que ponga énfasis
en los procesos de construcción de los conceptos matemáticos y en el desarrollo de
las competencias matemáticas, que implica que un individuo sea capaz de identificar y
comprender el rol que desempeña la matemática en el mundo, para permitir juicios bien
fundamentados y para comprometerse con la matemática, de manera que cubra las ne-
cesidades de la vida actual y futura de dicho individuo como un ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo (PISA 2003).
La Matemática desarrolla en el estudiante competencias que le permitan plantear y re-
solver con actitud analítica los problemas de su contexto y de la realidad, de manera que
pueda usar esas competencias matemáticas con flexibilidad en distintas situaciones.
Las competencias de Matemática se han organizado en cuatro Mapas de Progreso:
• Número y operaciones
• Cambio y relaciones
• Geometría
• Estadística
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CAPACIDADES MATEMÁTICAS
a) MATEMATIZAR
Matematizar implica desarrollar un proceso de transformación que consiste en trasladar
a enunciados matemáticos, situaciones del mundo real y viceversa. Durante la expe-
riencia de hacer esto, debemos promover la construcción y puesta en práctica de los
conocimientos matemáticos.
b) COMUNICAR
La comunicación es un proceso transversal en el desarrollo de la competencia matemá-
tica. Implica para el individuo, comprender una situación problemática y formar un mo-
delo mental de la situación. Este modelo puede ser resumido y presentado en el proceso
de solución. Para la construcción de los conocimientos matemáticos es recomendable
que los estudiantes verbalicen constantemente lo que van comprendiendo y expliquen
sus procedimientos al hallar la solución de los problemas.
c) REPRESENTAR
La representación es un proceso y un producto que implica seleccionar, interpretar, tra-
ducir y usar una variedad de esquemas para expresar una situación, interactuar con el
problema o presentar un resultado. Para la construcción de los conocimientos matemá-
ticos es recomendable que los estudiantes realicen diversas representaciones desde la
vivenciación hasta llegar a las representaciones gráficas y simbólicas.
A continuación presentamos las formas de representación:
• Las representaciones vivenciales son acciones motrices, puede ser:
- dramatizaciones
- juego de roles
• Representaciones apoyadas en material concreto, que pueden ser:
- Estructurados: material Base diez, ábaco, regletas de colores, balanza, etc.
- no estructurados: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc.
• Representaciones pictográficas:
- dibujos
- íconos
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• Representaciones gráficas:
- tablas simples y de doble entrada
- diagrama de árbol
- diagrama de flechas
- diagramas lógicos
- Esquemas parte todo
• Representaciones simbólicas:
- Expresiones con símbolos matemáticos
d) ELABORAR ESTRATEGIAS
Esta capacidad consiste en seleccionar o elaborar un plan o estrategia sobre cómo utili-
zar las matemáticas para resolver problemas de la vida cotidiana, y cómo implementarlo
en el tiempo.
Esta capacidad matemática puede ser exigida en cualquiera de las fases del proceso de
resolución de problemas. Los saberes previos del estudiante de los primeros grados son
limitados respecto al manejo de estrategias heurísticas, por lo que desde el aula debe-
mos darle la oportunidad de apropiarse de estrategias variadas.
Algunas estrategias que se pueden utilizar son:
a. Realizar una simulación: consiste en representar el problema de forma vivencial y con
material concreto.
b. Hacer un diagrama: implica realizar representaciones gráficas (icónicas, pictóricas y
simbólicas) en las que se relacionen los datos o elementos del problema.
c. Usar analogías: implica comparar o relacionar los datos o elementos de un problema,
generando razonamientos para encontrar la solución por semejanzas.
d. Ensayo y error: consiste en tantear un resultado y comprobar si puede ser la solución
del problema. Si la comprobación es correcta, se habrá resuelto el problema, de otra
forma, se continúa con el proceso.
e. Buscar patrones: consiste en encontrar regularidades en los datos del problema y
usarlas en la solución de problemas.
f. Hacer una lista sistemática: consiste en realizar una lista con los elementos del proble-
ma para identificar datos y relacionarlos.
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g. Empezar por el final: consiste en resolver problemas en los que conocemos el resulta-
do final del cual se partirá para hallar el valor inicial.
e) UTILIZAR EXPRESIONES SIMBÓLICAS, TÉCNICAS Y FORMALES
El uso de expresiones y símbolos matemáticos ayudan a la formalización de las nocio-
nes matemáticas. Estas expresiones no son fáciles de asimilar debido a la complejidad
de los procesos que implica la simbolización. Es por eso que los estudiantes de III ciclo
requieren vivenciar previamente experiencias y realizar inducciones, haciendo uso de
lenguajes que varíen de coloquiales a simbólicos para constituirse posteriormente en
técnicos y formales.
f) ARGUMENTAR
La argumentación es el razonamiento que utiliza una persona para explicar, justificar o
validar un resultado. Argumentar supone procesos de pensamiento que exploran y vin-
culan diferentes elementos del problema para hacer inferencias a partir de ellos, com-
probar la justificación que proponemos u ofrecer una justificación de las declaraciones o
soluciones a las que hemos llegado.
ESCENARIOS PARA EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
Desarrollar la competencia matemática implica la movilización o puesta en acción de las
capacidades de los estudiantes. En este sentido, el docente debe crear, ofrecer, brindar,
facilitar las condiciones adecuadas para que, de manera efectiva desarrollen las compe-
tencias matemáticas. Esto supone que el ambiente de aprendizaje de la matemática sea
enriquecedor y desafiante en la medida que se presenten actividades de aprendizaje
dinámicas, integradoras que permitan asumir a los estudiantes un rol más activo.
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Una educación matemática que pretenda desarrollar competencias para resolver pro-
blemas de la vida cotidiana, demanda a la escuela ampliar sus escenarios de aprendizaje.
En este fascículo planteamos los siguientes escenarios:
• Laboratorio matemático
Es un espacio donde el estudiante, tiene la oportunidad de vivenciar, experimentar de
manera lúdica la construcción de los conceptos y propiedades matemáticas, buscando
regularidades para generalizar el conocimiento matemático.
• Taller de matemática
Es un espacio de aprendizaje matemático, en el cual los estudiantes ponen en acción
sus habilidades y destrezas adquiridas durante un periodo curricular. Es decir, tienen la
oportunidad de transferir lo aprendido a nuevas situaciones.
En el taller se despliegan diversos recursos (procedimentales, cognitivos y actitudinales)
orientados a resolver situaciones problemáticas, mediante el uso de diversas estrategias.
• Proyecto de matemática
Hoy se demanda a la escuela, que brinde una educación matemática realista, auténtica,
es decir, para la vida. Por ello, se requiere ofrecer espacios educativos que acerquen los
contenidos escolares a las situaciones del contexto social, cultural, económico y ecoló-
gico de los estudiantes. Esto conlleva implementar proyectos de aprendizaje donde los
estudiantes realicen actividades articuladas que los incite a movilizar sus conocimientos
matemáticos, para resolver problemas del contexto cotidiano y, así desarrollar las com-
petencias matemáticas. De ese modo, los estudiantes aprenden actuando en la realidad,
con base en la continua autorreflexión.
RUTAS DE APRENDIZAJE
Son orientaciones para apoyar el trabajo pedagógico en el aula. Busca ser una herra-
mienta para que nuestros estudiantes puedan aprender. En las Rutas de aprendizaje de
matemáticas se formulan seis capacidades matemáticas que permiten hacer más visible
el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral. (ver fascícu-
los)
EVALUACIÓN EN UN ENFOQUE POR COMPETENCIAS
La evaluación es una herramienta pedagógica que forma parte intrínseca de los proce-
sos de enseñanza y aprendizaje, que nos permite valorar, los procesos y los resultados
alcanzados por los estudiantes en términos de aprendizajes, para orientar la toma de
decisiones que posibiliten el mejoramiento continuo.
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Por lo tanto, la evaluación aporta información cuyo uso es relevante para saber qué y
cómo mejorar los aprendizajes, en tanto consideremos que la evaluación permite:
• Revisar las fortalezas y debilidades a fin de mejorar la calidad de las acciones de ense-
ñanza, en beneficio de los aprendizajes de los estudiantes.
• Tomar decisiones sobre la calificación y la promoción de los estudiantes.
• Informar a los estudiantes y/o a las familias de los mismos sobre su desempeño en la
escuela.
Evaluación no es equivalente a calificación; pero tampoco existe evaluación sin califica-
ción.
Asimismo, pensar la evaluación como parte de la enseñanza-aprendizaje, implica:
• Usar criterios pre establecidos para evaluar a los estudiantes.
• Diseñar situaciones e instrumentos de evaluación, que se caractericen por su variedad
y calidad.
• Invertir más tiempo en la retroalimentación, es decir en ofrecer al estudiante informa-
ción descriptiva para que mejore sus aprendizajes.
Para evaluar los desempeños de los estudiantes en coherencia con el planteamiento cu-
rricular de las “rutas de aprendizaje”, debemos reconocer que las metas de aprendizaje
están orientadas a la adquisición y desarrollo de competencias matemáticas, las cuales
a su vez se expresan en un conjunto de indicadores de desempeño.
En tal sentido, es necesario comprender las implicancias que tienen las competencias en
términos evaluativos, asumiendo que la competencia la definimos como un saber ac-
tuar de manera integral y pertinente en un contexto particular en función de un objeti-
vo o de la solución de un problema, en la cual se desarrolla, selecciona y moviliza una
diversidad de saberes (saber ser, saber hacer, saber conocer) aprendidos en la escuela,
demostrando idoneidad en el actuar.
ACTIVIDAD PARA EL DOCENTE
Leer los fascículos de Mapas de Progreso y Rutas de aprendizaje correspondiente al gra-
do en que enseña. ¿Qué sugerencias tiene?, ¿Qué comentarios tiene al respecto?
Tema 2:
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA
MATEMÁTICA
2.1 UTILIZACIÓN DE MATERIAL CONCRETO
El uso de materiales adecuados constituye una actividad de primer orden que fo-
menta la observación, la experimentación y la reflexión, necesarias para constituir
sus propias ideas matemáticas. El trabajo con materiales debe ser un elemento activo
y habitual en clase, y no puede reducirse a la visualización esporádica de algún modelo
presentado por el profesor.
Zabala (1990) define los materiales didácticos como: “instrumentos y medios que
proveen al educador de pautas y criterios para la toma de decisiones, tanto en la
planificación como en la intervención directa en el proceso de enseñanza.
Rico (1997) aún da más importancia al uso de recursos y materiales didácticos en el aula
al considerarlos como uno de los organizadores del currículo, es decir, una componente
fundamental para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas, ya
que por su diversidad pueden emplearse en la enseñanza de casi cualquier tópico
matemático. Y Además, siguiendo las ideas de González Mari (2010) los materia-
lestienen multitud de finalidades. Algunas de ellas:
• Estimula el aprendizaje.
• Motiva; genera interés.
• Modifica positivamente las actitudes hacia la matemática y su aprendizaje.
• Facilita el desarrollo del currículo.
• Fomenta el pensamiento matemático.
• Potencia una enseñanza activa, creativa y participativa.
• Permite adquirir procedimientos matemáticos.
• Permite el trabajo individual y de grupo
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• Proporcionan una fuente de actividades matemáticas estimulantes y suficien-
temente atractivas.
• Permiten que los alumnos realicen actividades de forma autónoma.
• Con ellos se pueden adaptar las actividades a cualquier nivel, grupo respetando
las diferencias individuales.
• Permiten el trabajo en grupo.
• Suponen buenos instrumentos para diagnosticar y evaluar.
Para Pérez (2012) la finalidad general consiste en orientar y conducir al niño a trabajar
por su cuenta, descubrir con su esfuerzo los conocimientos que le indican. La experien-
cia del niño se enriquecerá espontáneamente aproximándolo a la realidad que le perte-
nece y en la cual le toca actuar.
Entre algunas finalidades específicas que persigue el uso de materiales didácticos en la
escuela tenemos:
• Aproximar la realidad de los que se quiere enseñar al alumno, ofreciéndole
nociones exactas de los hechos y problemas que la rodean.
• Motivar la clase.
• Facilitar la percepción y la comprensión de los hechos y conceptos.
• Concretizar e ilustrar lo que se expone verbalmente.
• Economizar esfuerzos para conducir a la comprensión de los alumnos hechos
y conceptos.
• Contribuir a la fijación del aprendizaje a través de impresiones vivas y sugestivas.
Por tanto, podemos observar que el uso de los materiales es imprescindible para nues-
tra labor educativa. Debemos ser conscientes que los materiales y recursos se basan
en la manipulación.
Rosique (2009), un material didáctico adecuado es la clave para aprovechar su potencia-
lidad práctica, cuando seleccionamos recursos educativos para utilizar en nuestra labor
docente, además de su calidad objetiva hemos de considerar en qué medida sus
características específicas están en consonancia con determinados aspectos curricu-
lares de nuestro contexto educativo. De ahí que la selección de dicho material se
realizará contextualizada en el marco del diseño de una intervención educativa concreta.
El autor antes citado propone considerar:
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• Los objetivos educativos que pretendemos lograr. Hemos de considerar en
qué medida el material nos puede ayudar a ello.
• Los contenidos que se van a tratar utilizando el material, que deben es-
tar en sintonía con los contenidos de la asignatura que estamos trabajando con
nuestros alumnos.
• Las características de los estudiantes que los utilizan, intereses, conocimien-
tos previos, experiencia y habilidades.
• Las características del contexto (físico, curricular) en el que se desarrollamos
nuestra docencia.
• Las estrategias didácticas que podemos diseñar considerando la utilización
de material. Estas estrategias contemplan: la secuenciación de los conte-
nidos, el conjunto de actividades que se pueden proponer a los estudiantes, la
metodología asociada a cada una, los recursos educativos que sepueden em-
plear, etc.
Por tanto tener en cuenta todos estos aspectos nos permitirá diseñar actividades
de aprendizaje, porque una planificación adecuada favorece el éxito del empleo
de estos recursos.
Estos recursos deben ser Planificados adecuadamente antes de llevarlos a cabo, tener en
cuenta el espacio con el que contamos y el tiempo con el que contamos.
MATERIAL DIDÁCTICO QUE PUEDES UTILIZAR EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATE-
MÁTICAS
Si tenemos en cuenta el bloque de contenidos que se trabaja y siguiendo las ideas de
GonzálezMari (2010) podemos diferenciar entre:
1) Pensamiento lógico-matemático en Infantil
- Bloques lógicos
- Secuencias
- otros materiales y recursos específicos
2) Números y operaciones
- Regletas - Ábacos - Bloques multibase
- Dominós de números y operaciones - Material para fracciones - Calculadora
- Otros
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3) La medida: estimación y cálculo de magnitudes.
- Regletas - Material sistema métrico decimal - Instrumentos de medida
- Geoplanos
4) Geometría
- Tangrams - Construcciones geométricas - Geoplanos
- Geoespacio - Otros
5) Tratamiento de la información, azar y probabilidad
- Dados
- Bolas y monedas
- Otros
6) Material polivalente
- Palillos y cerillas
- Otros
Por su parte Ortiz, A. (2001) en González Marí (2010) según la finalidad o utilidad
distingue:
- Modelos o materiales que sirven directamente para observar y concretar con-
ceptos y profundizar en propiedades. Pueden ser cerrados (ya preparados) o abiertos (a
preparar y construir por los alumnos); bloques multibásicos, ábacos, regletas, materia-
les para construir poliedros, troquelados, pajitas, etc.
- Instrumentos constructores: materiales para construir modelos; regla, escuadra, com-
pás, geoplanos, espejos, etc.
- Medios provocadores o evocadores de situaciones problema o para pensar; poli-
cubos, poliminós, tangram, puzzles, etc.
- Juegos y pasatiempos matemáticos.
- Recursos y materiales relacionados con las nuevas tecnologías; fotografía, vídeo, cal-
culadora, ordenador, etc.
Por su parte González Marí (2010) utiliza la siguiente división:
- Material didáctico estructurado: materiales o modelos manipulables pensados y fabri-
24
cados expresamente para enseñar y aprender matemáticas (regletas, ábacos, bloques
lógicos, etc.).
- Recursos: cualquier tipo de medio que se puede utilizar en el proceso de en-
señanza y aprendizaje de las matemáticas. Entre estos podemos citar, como tipos
relevantes:
- Material didáctico no estructurado: material manipulable común cuya finalidad
usual no es la de servir a la enseñanza de las matemáticas (material de desecho,
calculadora, botones, etc.);
DIFICULTADES Y LIMITACIONES EN LA UTILIZACIÓN DE MATERIALES DIDÁCTICOS EN
MATEMÁTICAS.
Conocer los beneficios que proporciona la utilización de materiales didácticos no evita
los distintos problemas y dificultades que se plantean a la hora de introducirlos en el
aula. Algunas de ellas son:
- Dificultades económicas: algunos de los materiales didácticos son caros, aunque po-
demos optar por construirlos.
- Dificultades estructurales: las condiciones físicas de las clases pueden dificultar el agru-
pamiento y la división en tiempos puede dificultar el desarrollo de una clase adecuada.
- Excesivo número de alumnos y alumnas.
- Las concepciones previas de alumnos y alumnas, profesores y profesoras y padres
y madres, “la manipulación de objetos generan mucho ruido”, “las buenas clases son
aquellas donde reina el silencio”.
- El desarrollo curricular: Los programas, que hay que acabar, pueden suponer
enemigos irreconciliables del uso de material didáctico.
ACTIVIDAD PARA EL DOCENTE
• ¿Qué otro material concreto has utilizado en clases de matemáticas y en qué
situaciones?
• Selecciona uno o varios materiales didácticos de los mencionados, y explica en
qué tema específico lo utilizarías.
• Construcción de material didáctico orientado por el Especialista o bien sea selec-
cionado a su propio gusto.
25
2.2 EL JUEGO COMO ESTRATEGIA DIDÁCTICA
El juego es un recurso pedagógico valioso para una enseñanza y aprendizaje de la mate-
mática con sentido vivencial, donde la alegría y el aprendizaje, la razón y la emoción se
complementan.
Huizinga (1951; original de 1938), considera que el juego es una acción u ocupación
voluntaria que se desarrolla dentro de unos límites temporales y espaciales determi-
nados, según reglas absolutamente obligatorias aunque libremente aceptadas; es
una acción que tienen un fin en sí misma y está acompañada de un sentimiento
de tensión y alegría.
El juego es una actividad humana lúdica, el niño juega y con el juego se prepara para
la vida, se caracteriza por ser una actividad libre, pero con una cierta función, reglada,
limitada espacial y temporalmente, competitiva y de resultado incierto.
Seleccionar el juego apropiado para los distintos momentos y objetivos de la enseñanza
de la matemática es un criterio que se debe tener en cuenta. Un juego bien elegido con-
tribuye a que la resolución de problemas sea un desafío divertido y exitoso.
El juego, entre otras cosas permite:
• Motivar al estudiante, toda vez que las situaciones matemáticas las percibe como
atractivas y recreativas.
• Desarrollar habilidades y destrezas en forma divertida, donde el estudiante encuentra
sentido y utilidad a lo que aprende.
• Provocar en el estudiante la búsqueda de estrategias, movilizar su imaginación y desa-
rrollar su creatividad.
• Desechar la práctica de ejercicios matemáticos mecánicos y descontextualizados.
•Desarrollar nociones matemáticas con comprensión, que permitan utilizar la matemá-
tica en la resolución de problemas.
• Ser respetuoso con los estilos y ritmos de aprendizaje de los estudiantes, con sus habi-
lidades de partida, reconocer la diversidad humana y cultural en el aula.
• Construir un clima de aula adecuado, que se caracterice por interrelaciones basadas en
la solidaridad, el trabajo compartido, superando toda práctica educativa que fomente el
individualismo y el egoísmo cognitivo.
• Favorecer el diálogo intercultural, la escucha activa, la tolerancia y la comprensión de
las diferencias.
26
• Descubrir y aprender el mundo en el cual se vive de manera natural, desde el movi-
miento, el color, el sonido, donde matematizar la realidad se hace jugando.
“Posiblemente ninguna otra estrategia acercará a una persona más a lo que constituye
un quehacer interno de la matemática como un juego bien escogido”
Miguel de Guzmán
Desde el punto de vista del desarrollo intelectual, jugando los niños aprenden, porque
obtienen nuevas experiencias, porque es una oportunidad para cometer aciertos y erro-
res, para aplicar sus conocimientos y para solucionar problemas. El juego crea y desa-
rrolla estructuras de pensamiento, origina y favorece la creatividad infantil; es un instru-
mento de investigación cognoscitiva del entorno.
Los estudios que han analizado las conexiones entre el juego y el desarrollo intelectual
permiten llegar a diversas conclusiones. Los trabajos que han evaluado los efectos de
programas de juego aplicados de forma sistemática han confirmado que los niños que
han disfrutado de estas experiencias de juego han tenido incrementos en la inteligencia,
en concreto, mejoras en el coeficiente intelectual, la capacidad de toma de perspectiva,
las aptitudes de madurez para el aprendizaje, la creatividad (verbal, gráfica, motriz...), el
lenguaje (aptitudes lingüísticas, diálogo creativo, capacidad de contar historias...) y las
matemáticas (soltura en matemáticas, aptitud numérica)
Tal y como señalan Chamoso, Duran, García, Martín y Rodríguez (2004). El juego es una
actividad universal que no conoce fronteras. A lo largo del tiempo, todas las personas
han practicado alguno de una forma seria. De hecho las comunidades humanas siempre
han expresado con juegos su interpretación de la vida y del mundo. Incluso es más an-
tigua que la misma cultura pues (Huizinga 1951; original de 1938, pp.84) “La cultura en
sus fases primitivas, tiene apariencia de juego y se desarrolla en un ambiente similar a
un juego”.
El desarrollo de diversas disciplinas matemáticas (Combinatoria, teoría de juegos, Teo-
ría de números…) comenzó como algo puramente recreativo. De hecho cada campo
de la matemática tiene aspectos recreativos (Gardner, 1998). Así los problemas
matemáticos poseen dos posibles orígenes: por un lado están los problemas surgi-
dos de problemas técnicos y que se plantean almatemático; por otro lado tenemos los
problemas de pura curiosidad, los acertijos.
Guzmán (1989), relaciona al juego y a la enseñanza de las matemáticas ya que el juego y
la belleza están en el origen de una gran parte de la matemática. Si los matemáticos de
todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugandoy han disfrutado tanto contemplan-
do su juego y ciencia, ¿por qué no tratar de aprender la matemática a través del juego y
27
de la belleza?
Todo esto nos hace pensar y reflexionar sobre la importancia de los juegos, las teorías
matemáticas han surgido teniendo en cuenta algún juego o pasatiempo, lo que nos lleva
a pensar que el juego ayuda en el pensamiento intelectual fomentando la creatividad y
el ingenio. “La matemática ha sido y es arte y juego yesta componente artística y lúdica
es tan consubstancial a la actividad matemática misma que cualquier campo del desa-
rrollo matemático que no alcanza un cierto nivel de satisfacción estética y lúdica
permanece inestable.” (Guzmán, 1989, pp.61)
Además muchos de los grandes matemáticos de todos los tiempos han sido agudos
observadores de los juegos, participando muy activamente en ellos:
Las cavilaciones numéricas de los pitagóricos en torno a distintas configuracio-
nes con piedras.
La matemática numérica con sabor a juego de Fibonacci (1.170-1.250).
En la Edad Moderna Cardano (1.501-1.576) escribe un juego sobre juegos
de azar, adelantándose al tratamiento matemático de laprobabilidad.
Los duelos intelectuales de Tartaglia y Ferrari consistentes en resolver ecuacio-
nes cada vez más difíciles.
En 1.735 Euler resolvió el problema de los siete puentes de Kónigsber dan-
do comienzo a la teoría de grafos y a la topología general.
Gauss (1.777-1.855) anotaba las manos que recibía en las cartas para analizarlas
después estadísticamente.
Albert Einstein (1.879-1.955) tenía toda una estantería de su biblioteca dedicada
a libros sobre juegos matemáticos.
PRINCIPIOS METODOLÓGICOS DEL JUEGO
Es inherente al juego la utilización de una pedagogía activa, un trabajo en grupo, donde
se fomentará el desarrollo de la expresión oral, la reflexión acerca del razonamiento
seguido para llegar a una solución, ya que al jugarlos alumnos y alumnas deben hablar,
discutir, debatir, compartir, para después comprobar y explicar.
La enseñanza activa podemos considerarla, como aquella en la que el alumno no es
un mero receptor de conocimientos, sino que es también un “constructor” de su
propio pensamiento. Cuando el alumno se enfrenta a un problema y trabaja, manipula,
conjetura, seequivoca, acierta, retrocede y avanza, investiga en suma, no está limitán-
28
dose a adquirir unos conocimientos que podrán serle útiles en un futuro, sino que está
adquiriendo unos hábitos mentales que le serán de utilidad sin ningún género de
duda (Sánchez y Casa, 1998) .
Una de las consideraciones básicas que ha de presidir la enseñanza en general
y, por supuesto, de las Matemáticas en particular, es la necesidad de garantizar la fun-
cionalidad de los aprendizajes, asegurar que puedan ser utilizados en las circunstancias
reales en las circunstancias que el alumno necesite los aprendizajes.
La funcionalidad del aprendizaje no es únicamente la construcción de conocimien-
tos útiles y pertinentes, sino también el desarrollo de habilidades y estrategias de
planificación y regulación de la propia actividad de aprendizaje, es decir, el aprender a
aprender.
Por lo tanto la actividad lúdica es un recurso especialmente adecuado para la realización
de los aprendizajes escolares, ya que además de ofrecer un acceso agradable a los
conocimientos, puede ayudar al alumno a modificar y reelaborar sus esquemas de
conocimientos ayudándole a construir su propio aprendizaje.
Estas situaciones y actividades deben potenciar la autonomía, deben permitir
realizar también un tratamiento educativo a la diversidad. Así mismo, deben favorecer y
crear un clima de respeto, de aprendizaje entre iguales y decooperación.
CARACTERÍSTICAS DEL JUEGO
Sería importante conocer las características por parte de los profesores que deben tener
los juegos para llevarlos al aula. Cuando los juegos se incorporan a las aulas, se preten-
den que no se desvirtúen, hay que cuidar las características que los definen (Chamoso
et al, 2004):
• Lúdica e improductiva: En el momento de su presentación, mientras los alumnos
se familiarizan con ellos, tienen que considerarlos un divertimento y utilizar-
los exclusivamente para jugar.
• Libre: Si no se consigue despertar en los estudiantes el deseo de juego, éste
perderá su sentido y se convertirá en un simple ejercicio rutinario.
• Con reglas propias, limitados espaciales y temporalmente: Las sesiones de clase
están limitadas temporalmente por lo que, si queremos sacar provecho de
un juego, conviene que éste sea de pocas reglas y de fácil comprensión.
• De resultado incierto: Si son muy previsibles los estudiantes se cansarán
enseguida.
29
• Tener reglas sencillas y desarrollo corto.
• Ser atractivos en su presentación y desarrollo.
• No ser puramente de azar.
• A ser posible, juegos que el alumno conozca y practique fuera del ambiente
escolar y que puedan ser “matematizados”.
Para seleccionar adecuadamente los juegos es importante conocer las características
de éstos así como las necesidades e intereses de aquellos a los que vayan dirigidos las
actividades .Los juegos son un recurso didáctico más y, como cualquier otro instrumen-
to, debe incorporarse al aula de un modo meditado y planificado, con una progra-
mación previa que tenga en cuenta todos los factores del proceso de enseñanza
aprendizaje.
No se trata sólo de jugar, sino de aprovechar el juego como recurso didáctico. La
presentación de los juegos en la clase de Matemáticas, no puede ser hecha de
forma anárquica y desordenada, hay que hacerlo atendiendo unos fines que lleven el
éxito en la tarea.
La aplicación de los juegos en Matemáticas debe hacerse siguiendo unas pautas,
que favorezcan el éxito de su aplicación: Según Sánchezy Casas (1998).
• No presentar el juego como un trabajo.
• Elegir el juego y preparar las estrategias adecuadas para llevar a los escolares a
adquirir aquellos conceptos que deseamos impartir.
• Compensar de forma equilibrada el nivel del juego con el de los alumnos.
• Ir graduando la dificultad de las normas según el nivel de dominio alcanzado.
• Adecuar el juego al conocimiento matemático a asimilar.
• Conocido el juego ensayar estrategias ganadoras.
• Realizar sencillas investigaciones sobre el juego adecuadas al nivel de los
alumnos.
TIPOS DE JUEGOS
El objetivo fundamental será centrarse en aquellos juegos y materiales que obli-
gan a pensar, a discurrir ante las diversas posibilidades de actuación, a desarrollar
razonamientos lógicos para investigar la mejor manera de actuar, a establecer conjeturas
y justificarlas.
30
Según Corbalán (1994), se abarcan tres grandes grupos:
Juegos de conocimiento: en los que hay que poner en funcionamiento un
determinado contenido matemático de la enseñanza y, su utilización persi-
gue desarrollar una enseñanza más activa, creativa y participativa. Por tanto su
objetivo es alcanzar, afianzar o repasar determinados conceptos o procedimien-
tos matemáticos de un modo más atractivo.
Juegos de estrategias: son aquellos que, para conseguir su objetivo en cada mo-
mento el jugador debe elegir una de las diversas posibilidades existentes.
Juegos de azar: que se caracterizan por tener un desarrollo aleatorio. Son juegos
que resultan familiares a los alumnos y proporcionan oportunidades para
buscar regularidades, realizar recuentos sistemáticos y asignar probabilidades.
Como principio básico, los juegos han de tener un contenido educativo, que ayuden a
desarrollar hábitos y actitudes positivas frente al trabajo escolar, que ayuden a pensar, a
razonar, que estimulen la creatividad, que desarrollen estrategias de pensamiento,
que promuevan el intercambio de relaciones personales que favorezcan la ayuda y
cooperación, la comunicación (Sánchez y Casas 1998).
VENTAJAS E INCOVENIENTES DEL JUEGO COMO ESTRATEGIA DIDÁCTICA
VENTAJAS
Para Piaget, los juegos ayudan a construir una amplia red de dispositivos que
permiten al niño la asimilación total de la realidad, incorporándola para revivirla,
dominarla, comprenderla y compensarla. De tal modo el juego es esencialmente
de asimilación de la realidad por el yo.
Un material presentado en forma de juego aprovecha la tendencia natural de los niños a
formar grupos y a jugar, consiguiendo un aprendizaje más eficaz. Permiten utilizar
el aprendizaje cooperativo como estrategia de atencióna la diversidad.
Otros autores argumentan que a través del juego secrea un espacio intermedio entre la
realidad objetiva y la imaginaria, lo que permite realizar actividades que realmente no se
podrían llevar a cabo. Esta idea fue compartida por Vygotsky, que menciona que
este espacio supone una zona de desarrollo potencial de aprendizaje.
El juego también promueve el conocimiento de los objetos y su uso. El juego es un ins-
trumento didáctico que puede ayudarnos en una pedagogía activa, a “hacer matemá-
ticas en la clase de matemáticas”, frente a un aprendizaje pasivo y verbalista; a
tener en cuenta los procesos intelectuales y los afectivos, al intercambio de actitudes y
31
puntos de vista, a la participación activa, al trabajo colectivo, a propiciar la creatividad y
la imaginación.
Es también un elemento de motivación, de estimulación y exploración. Mediante el
juego se pueden crear situaciones de máximo valor educativo y cognitivo que permitan
experimentar, investigar, resolver problemas, descubrir y reflexionar.
Un juego bien elegido desde el punto de vista metodológico puede servir para introducir
un tema, ayudar a comprender mejor los conceptos o los procesos, afianzar los
ya adquiridos, adquirir destreza en un algoritmo o descubrir la importancia de una
propiedad, reforzar automatismos o consolidar un contenido Por tanto las ventajas
de este recurso didáctico son innumerables: entusiasmo, diversión, interés, desblo-
queo, motivación. Las matemáticas por tanto se verán comoalgo útil y lleno de interés.
Por su parte Sánchez y Casa (1998) nos hablan de más ventajas:
Mejora la actitud de los alumnos ante las matemáticas. Un alumno que
ve que puede enfrentarse a una actividad matemática en forma de juego
sin que, ya de principio se encuentre bloqueado ante ella, mejorará su acti-
tud ante la siguiente actividad que se le proponga. En este punto, no es preciso
destacar, por ser de todos conocida, la importancia que para cualquier tipo de
aprendizaje tienen las actitudes previas de los alumnos.
Desarrolla la creatividad de los alumnos, acostumbrándoles a enfrentarse con
problemas que no tienen una solución determinada de antemano aplicando un
algoritmo.
Desarrollar estrategias para resolver problemas.
Aprovechar el error como fuente de diagnóstico y de aprendizaje para el alumno
en un contexto en el que el error no sea estrictamente un origen de penalizacio-
nes.
Hacer una matemáticas que se adapten a las posibilidades individuales de cada
alumno, tanto de los más aventajados como de aquellos que tienen dificultades
en el currículum.
DIFICULTADES E INCONVENIENTES
En primer lugar, los juegos nos dan problemas organizativos: espacios para
llevarlos a cabo, ruido.
En segundo lugar existen dificultades materiales: no hay en los Centros juegos en
cantidad suficientes para toda la clase si no los fabricamos.
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Los profesores no se encuentran cómodos ni mucho menos, seguros, a la hora de
utilizar los juegos: falta de conocimientos, apartarse de lo que fueron las clases
de matemáticas que ellos recibieron, incomprensión de padres, autoridades
educativas y compañeros, presión de programas, necesidad de realizar tra-
bajo extra, dificultades en la evaluación a corto plazo de lo realizado.
FASES DEL JUEGO
Los procesos de pensamiento útiles en el desarrollo de la matemática son, por la
semejanza entre matemática y juego, los mismos que se desarrollan en el juego. Las fa-
ses de la resolución de problemas, las estrategias heurísticas, los métodos y herramien-
tas son similares a los que pueden utilizarse en la exploración de un juego.
Según Salvador (1996). En un juego se encuentran las siguientes fases.
1. Fase de juego de libre desarrollo
2. Fase de creación de relaciones de comunicación con los demás
3. Fase de situación de juego simbólico
4. Fase de expresión de la creatividad
EJEMPLOS DE JUEGOS
Inicialmente se realiza una ficha para cada juego, así:
TÍTULO DEL JUEGO
MATERIALES NECESARIOS
NÚMERO DE JUGADORES
NIVEL
OBJETIVOS DEL JUEGO
DESCRIPCIÓN DEL JUEGO
El Número de jugadores debe ser el más adecuado, ya sea en grupos grandes, indi-
vidual o en pequeños grupos.
En el Nivel se señala el curso, ciclo o edad que parece conveniente para utilizar el juego,
este depende del grupo concreto de alumnos, de sus características, disposición del aula.
Observemos los siguientes ejemplos:
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TÍTULO DEL JUEGO El RobotMATERIALES NECESARIOS Cartel con un robot en cuadrícula, fichas en blan-
co y pegatinas de colores o lápices de colores
NÚMERO DE JUGADORES Toda los estudiantes de la clase
NIVEL Primer ciclo de Primaria
OBJETIVOS DEL JUEGO Relacionar cantidades y posiciones
Usar el número como medida
Descripción y desarrollo del juego
Se expondrá el cartel del robot según el modelo adjunto, con partes sombreadas que
serán las pegatinas que tienen que colocar o colorear.
Una ficha con un robot, cuya cuadrícula estará totalmente en blanco, para cada grupo de
alumnos y una caja con pegatinas de colores o lápices de color.
El juego consiste en colocar en cada mesa una ficha que tiene dibujado un robot, cada
grupo debe terminarlo de modo que quede exactamente igual que el modelo. En la caja
hay pegatinas de colores o lápices de colores que tendrán que pedir por escrito en un pa-
pel (las pegatinas o colores que necesitan para completar cada parte, ni más ni menos).
El cartel del robot modelo se ubica sobre una mesa en un extremo de la clase. Los niños
necesariamente deben desplazarse para verlo y poder construir sus mensajes, pero una
vez que están en su mesa, no le es accesible a la vista.
Gana el juego el grupo que primero termine de formar el robot
Finalmente se socializa la actividad.
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TÍTULO DEL JUEGO BINGO MATEMÁTICOMATERIALES NECESARIOS Útiles de marquetería, cartulinas,
chinchetas y chapasNÚMERO DE JUGADORES Toda la claseNIVEL Primer ciclo de Primaria
OBJETIVOS DEL JUEGO
Afianzar las operaciones matemáticas más
elementales
Agilizar el cálculo mental.
Favorecer la atención selectiva
Fomentar el compañerismo.
Descripción y desarrollo del juego
Se compone de un tablero de anotaciones, cartones de bingo (cada uno de los cuales tiene doce números distribuidos en cuatro filas), chinchetas para tapar los números del tablero y una bolsa con chapas, cada una con varias operaciones aritméticas escritas en su parte inferior.
El bingo consiste como el juego tradicional, en ir tapando los números impresos en los cartones hasta completar una línea (horizontal o vertical) o un cartón entero (es decir, un bingo). Sin embargo presenta una diferencia, y es que al sacar las chapas, no se dirá un número, sino una operación matemática que cada estudiante debe resolver men-talmente. El índice de dificultad de estas operaciones varía dependiendo de la zona en la que estén situadas. Si se encuentran en la parte superior del reverso de la chapa sólo estará formada por sumas y restas, mientras que si está en otra línea se introdu-cen también operaciones de multiplicación y división.(siendo estas operaciones para niveles superiores.)
Existe la posibilidad de jugar de forma individualo en parejas:
En el primer caso, cada alumno jugará un cartón tapando los números que su-cesivamente van apareciendo. En el momento en queun estudiante cante una línea o un bingo debe recitar los distintos números que ha tapado mediante una operación matemática que él debe inventar, y que dé como resultado ese dígito. Dicha ope-ración la deberá resolver otro jugador, elegido por él mismo o por el maestro. Una vez resuelta se tapará el resultado en el tablero de anotación.
Si el juego se desarrolla en parejas se realizará del mismo modo, aunque la ope-ración se resolverá de forma conjunta; por ejemplo, uno inventará la operación matemá-
tica y el otro tapará los números en el cartón.
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TÍTULO DEL JUEGO JUGAMOS CON LOS BLOQUES LÓGICOSMATERIALES NECESARIOS Bloques lógicos de DienésNÚMERO DE JUGADORES Toda la claseNIVEL Primer ciclo de Primaria
OBJETIVOS DEL JUEGO
Desarrollar del pensamiento lógico mate-
mático a través de la adquisición de con-
ceptos matemáticos
Trabajar una actitud positiva hacia las ma-
temáticas.
Trabajar de forma cooperativa.
Descripción y desarrollo del juego
Los bloques lógicos son un recurso pedagógico destinado a introducir a los niño/as en los
primeros conceptos lógico matemáticos.
Consta de 48 piezas sólidas y de fácil manipulación. Cada pieza se define por cua-
tro variables: color, forma, tamaño y grosor.
- Por el color pueden ser: rojo, azul o amarillo.
- Por la forma: cuadrado, círculo, triángulo y rectángulo.
- Por el tamaño: grande o pequeño.
- Por el grosor: grueso o delgado.
1º Juego libre con bloques lógicos
Los niños manipulan libremente los bloques lógicos, de esta manera los niños se
familiarizarán con el material realizando todas las actividades posibles que de ma-
nera espontánea se les ocurran (construcciones, carreteras, edificios, puentes…).
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2º El juego de las familias
Se le muestran las piezas y a través de preguntas se identifican las diferentes caracterís-
ticas de los bloques lógicos: color, tamaño, forma y grosor.
Después, en grupos pequeños se pasa a realizar agrupaciones y clasificaciones de
los bloques lógicos atendiendo a una serie de criterios dados. Esta actividad puede rea-
lizarse con aros o cuerdas para colocar los bloques en su interior.
3º Juego del escondite
Consiste en esconder una pieza y pedir al niño que adivine cuál es el bloque que falta,
observando todas las características de las piezas que tiene delante.
4º Juego de seriaciones
Consiste en establecer relaciones entre los bloques buscando diferencias. Se puede ju-
gar individualmente o por equipos pequeños. Se da una regla, por ejemplo, ser diferente
en la forma y color.
Un niño coloca un bloque cualquiera, el siguiente tendrá que colocar a continua-
ción cualquier otro, con tal de que sea de diferente forma y color.
Si el niño no tiene el bloque adecuado pasará el turno y el juego terminará cuando todos
hayan colocado sus bloques o ya no puedan poner más, atendiendo a una regla
establecida previamente. Una vez colocadas todas las fichas se puede pedir a los niños
que lean la serie resultante.
Una variante del juego sería colocar varios bloques realizando una serie y descubrir el
criterio de dicha serie para continuarla.
5º Juego del no
En este juego se clasifica a los bloques no por sus características, sino por su ausencia, de
característica y llegar a través de ellos a la noción de conjunto complementario.
Se muestra un bloque y se juega a decir que no es, por ejemplo: “no es un cír-
culo”.
Dentro de un aro se colocan los bloques “no círculos” y dentro de otro los círculos. Estos
dos aros se sitúan dentro de uno mayor, de forma que lleguen a la conclusión de qué
pasa si unimos los “no círculos” y los círculos.
6º Juego de los cuadros
Consiste en realizar combinaciones con los bloques lógicos a partir de sus atribu-
37
tos y representarlo gráficamente en una cuadrícula según las características de los
bloques lógicos.
El niño tendrá que rellenar las cuadriculas con los bloques lógicos correspondientes,
haciendo coincidir la forma y el color.
Se puede hacer tantos cuadros de doble entrada como combinaciones de dos
variables sean posibles: forma - color; forma - tamaño; forma - grosor; color - tamaño;
color - grosor, etc.
Delgado Más delgado Grueso Más grueso
7º Juego de las preguntas
Consiste en la descripción de los bloques, mediante la simbolización de las característi-
cas que lo definen. Para ello necesitamos tarjetas que simbolicen cada característica de
los bloques con valores negativos y positivos.
El profesor/a, o bien un niño/a, esconde un bloque, y los alumnos/as tienen que pregun-
tar sobre el bloque. Cada una de las características de los bloques se simbolizan
con dos tarjetas, de manera que si por ejemplo preguntan “¿es azul?”, si la res-
puesta es “sí” pondrá una tarjeta azul, si es “no” pondrá una tarjeta azul tachada.
Los niño/as/as seguirán haciendo preguntas hasta que descubran el color, la forma, el
tamaño y el color del bloque. El número de preguntas se irán estableciendo a lo largo
del juego.
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Una actividad que podría hacerse en este juego, sería que los alumnos realizaran
las tarjetas que simbolizan las características de los bloques.
8º Dictados y copias con bloques lógicos
En este juego, el profesor/a les dicta una serie corta de bloques lógicos y los niño/as los
dibujan en una hoja de papel con las mismas características.
También, pueden realizar copias en una hoja de una serie ya hecha con los blo-
ques.
Una variante de la copia sería establecer un nuevo código simbólico, por ejemplo:
el círculo “es una flor”, el cuadro “ un barco”, el triángulo “ un coche, etc. O establecer un
código de símbolos con los propios bloques, por ejemplo: criterio de color, donde haya
rojo ponemos azul, donde haya azul ponemos amarillo, de manera que se le presenta
una alineación de bloques cualquiera y tendrán que hacer una copia de la serie varián-
dola según los nuevos criterios.
9º Juego de ¿Quién es?
El juego consiste en identificar y simbolizar los bloques por sus atributos. Existen
muchas variantes de este juego, como son por ejemplo:
- Repartir a cada niño/a o en parejas una cartulina con cuatro casillas, tres de las cuales
tienen dibujados tres códigos de los bloques lógicos, correspondientes a tres atribu-
tos distintos y en la cuarta casilla sólo hay uno o varios interrogantes, que nos preguntan
qué bloques pueden llamarse así.
Al principio daremos por válido que los niño/as/as nos den una sola solución;
después les preguntaremos si hay más posibilidades y les iremos obligando a bus-
car todas las soluciones posibles. Para facilitar esta búsqueda y reflexión hemos
construido fichas con la cuarta casilla dividida entre tantos interrogantes como
soluciones podamos encontrar.
- Repartir a cada niño/a o en parejas una cartulina con cinco casillas, cuatro de las cuales
tienen dibujados cuatro códigos de los bloques lógicos, correspondientes a los cuatro
atributos distintos y en la quinta casilla sólo hay un interrogante, que nos pregunta que
bloques pueden llamarse así.
- Esta última variante, consiste además, en adquirir la simbología negativa del color,
forma, tamaño y grosor. Para ello, también repartiremos a cada niño/a o en parejas una
cartulina con cinco casillas, cuatro de las cuales tienen dibujados cuatro códigos de
los bloques lógicos, correspondientes a los cuatro atributos distintos, uno de esos
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atributos vendrá tachado (atributo negativo), en la quinta casilla hay al menos dos
interrogantes, que nos preguntan qué bloques pueden llamarse así. Se trata de
que encuentren todos esos bloques que cumplan esas propiedades menos la que
está tachada.
TÍTULO DEL JUEGO JUGUEMOS CON REGLETAS DE CUISENAIREMATERIALES NECESARIOS RegletasNÚMERO DE JUGADORES Toda los estudiantes de la claseNIVEL Primer ciclo de PrimariaOBJETIVOS DEL JUEGO Aprender la descomposición de los
números
Iniciar actividades de cálculo.
Descripción y desarrollo del juego
1º Juego libre
Consiste en manipular el material para familiarizarse con él. El profesor saca las regletas
a los alumnos y a partir de ahí, son los alumnos los que deben manipular libremente las
mismas, con el fin de que satisfagan su curiosidad por el nuevo material. Se les puede ir
preguntando lo que hacen, por qué lo hacen así, etc.
2º Juego de las equivalencias:
Este juego consiste en establecer equivalencias de longitudes. Para ello, elegimos
una regleta base, por ejemplo la amarilla, les damos después otra, por ejemplo
la rosa, y pedimos a los niños que busquen una regleta que juntándola a la rosa
tenga la misma longitud que la amarilla. Podrán realizar tantos ensayos como sean
necesarios hasta encontrar la regleta grande igual a las dos pequeñas. Una variación de
este ejercicio sería por ejemplo, haciéndolo a la inversa.
40
3º “A comparar”
Consiste en ordenar las longitudes y compararlas estableciendo relaciones de “ma-
yor que”, “menor que”. Para ello, se pide a cada niño que coja una regleta de cada color,
y a continuación que elijan la regleta más pequeña y la pongan encima de la mesa.
De las que han quedado, se vuelve a solicitar que cojan la más pequeña y la coloquen a
continuación o debajo de la que habían elegido con anterioridad, y así sucesivamente Si
se equivocan al elegir la regleta se le pregunta ¿Qué ha pasado?, y ¿Qué tendrían que
buscar ahora, otra más grande o más pequeña?
4º “A sumar”
Para la realización de este juego, necesitamos cartones con los números del 1 al
10, y cartones o recortes de los signos “+” e “=”.
Este juego consiste en introducir la adición a través de las regletas. Para ello, se introdu-
cen los signos “+” e “=”, bien recortados o dibujados, en un cartón de tamaño propor-
cional a las regletas y a los números utilizados.
La demostración del valor del signo “=” se hace poniendo a derecha y a izquierda
la misma regleta o el mismo número.
Partiendo de la identidad, se retira una regleta y se ponen en su lugar dos juntas
que tengan la longitud equivalente. Se pone el número correspondiente. Los números
no los podemos juntar como hacemos con las regletas, los uniremos con el signo
“+”, que significa que hay que unir los dos números
Esta actividad siempre será doble: primero se suma y luego se descompone, para
que puedan comprobar la reversibilidad.
TÍTULO DEL JUEGO EL JUEGO DE LA ESPIRALMATERIALES NECESARIOS Un tablero, fichas y dos dadosNÚMERO DE JUGADORES Toda los estudiantes de la clase (mínimo dos ju-
gadores)NIVEL Segundo ciclo de PrimariaOBJETIVOS DEL JUEGO Desarrollar la multiplicación y la sustracción así
como comprobar los conocimientos previos de
los alumnos.
Descripción y desarrollo del juego
Necesitamos un tablero como el que muestra la figura, fichas de dos colores diferentes
y dos dados.
41
Se sortea lanzando un dado, qué jugador comienza en primer lugar.
El juego se inicia lanzando un dado. Si el número obtenido es par, multiplica por dos el
valor que obtenga en el lanzamiento del segundo dado, avanzando tantas casillas como
el resultado obtenido del producto. Si el valor del primer dado es impar, retroceden tan-
tas casillas como indique el valor del segundo dado.
Si un jugador se equivoca al realizar la operación de multiplicar, pierde un turno. Para po-
der salir de la espiral los avances del último lanzamiento deben coincidir con el número
exacto de avances.
Ganará el jugador que salga primero de la espiral.
TÍTULO DEL JUEGO JUGAMOS CON DADOSMATERIALES NECESARIOS Un tablero, una tabla de recogida de datos, fichas
de colores diferentes para cada jugador y tres
dados.NÚMERO DE JUGADORES Toda los estudiantes de la clase (como mínimo
dos jugadores)NIVEL Segundo ciclo de PrimariaOBJETIVOS DEL JUEGO Desarrollar la adición de números naturales
Comprobar los conocimientos previos de los
alumnos.
Descripción y desarrollo del juego
Necesitamos un tablero como el que muestra la imagen, fichas de dos colores diferentes
y dos dados.
42
12 8 7 5 2 65 10 3 9 4 107 6 9 7 11 84 9 6 5 8 7
11 5 8 6 3 107 8 4 7 6 9
Pueden participar de 2 jugadores mínimo por tablero.
Empieza el jugador que obtenga mayor suma al tirar los 3 dados.
El primer jugador lanza los 3 dados y utilizando todas las operaciones que quiera
conseguir un número del tablero. Rellena la tabla con su nombre, los números que le
han salido, las operaciones que ha realizado y el resultado.
Si la operación es correcta, pondrá una ficha sobre la casilla correspondiente obteniendo
un punto.
Continúa el siguiente jugador haciendo el mismo procedimiento.
Si algún jugador descubre error en las operaciones realizadas por otro compañero,
se anotará él, el punto.
Gana el jugador que tenga más puntuación cuando se completen todas las casillas
del tablero.
TABLA DE RECOGIDA DE DATOS
Nombre Dado 1 Dado 2 Dado 3 Operaciones Resultados Puntos
TÍTULO DEL JUEGO AVERIGUA LA LETRAMATERIALES NECESARIOS Ficha del cuadro por niñoNÚMERO DE JUGADORES Toda los estudiantes de la clase
NIVEL Tercer ciclo de Primaria
OBJETIVOS DEL JUEGO Desarrollar operaciones
Desarrollar el pensamiento lógico
Descripción y desarrollo del juego
Cada niño tendrá un cuadro como el siguiente
43
Letra_____ Letra______ Letra_____
El resto de la división es el
mayor posibleLa división es exacta
Sumando 11 al dividendo
la división es exacta
Letra______ Letra_____ Letra______
Su cociente coincide con
uno de esos divisores
Sumando 1 al dividendo
obtendríamos 55 de co-
ciente
Su cociente es un número
Par
Calcula y completa con las letras el cuadro, según corresponda, sabiendo que cada letra
representa un resultado; que cada resultado se corresponde con un contenido y sólo
uno de los expresados en el cuadro.
Empezamos a jugar, las siguientes divisiones se identifican con una letra.
Escribe en cada cuadro la letra que se corresponde con lo que se dice.
(A) 29.328 ÷ 52
(B) 51.255 ÷ 603
(C) 91.651 ÷ 152
(D) 66.541 ÷ 98
(E) 38.939 ÷ 708
(F) 1564 ÷ 21
TÍTULO DEL JUEGO PREGUNTA – RESPUESTAMATERIALES NECESARIOS Fichas con la informaciónNÚMERO DE JUGADORES Toda los estudiantes de la clase – por gruposNIVEL Tercer ciclo de Primaria
OBJETIVOS DEL JUEGO
Desarrollar operaciones
Seleccionar la información necesaria mediante la con-
sulta de documentación.
Extraer los datos necesarios para resolver el problema.
Trabajar en grupo
Descripción del juego y desarrollo
Se divide la clase en pequeños grupos. Al final de la clase y sobre unas mesas alejadas
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de los alumnos se dejan las fichas que contienen información. Solamente el profesor dispone de un conjunto de preguntas que se pueden responder a partir de esas fichas. El profesor escribe en la pizarra una (cualquiera) de las preguntas. El juego consiste en averiguar la respuesta y demostrar a sus compañeros que es la respuesta correcta. Reglas: (1º) sólo una persona de cada grupo puede salir a leer las fichas a la orden del profesor; (2º) cuando el profesor dé una palmada se acaba el tiempo de lectura (dejar aproximadamente como tiempo de lectura un minuto o menos) y deben sentarse inmediatamente con su grupo los alumnos que están leyendo esas fichas, pues de no ser así el grupo entero quedaría eliminado; (3º) no se puede salir a leer las fichas con papeles o bolígrafo, sin embargo, puede utilizar todo el papel y el bolígrafo que quiera en el grupo; (4ª) el niño o la niña que de cada grupo ha salido a leer las fichas y recoger información, no podrá volver a salir hasta que todos los niños del grupo hayan salido. El profesor respetará un tiempo de diálogo en el grupo para intercambiar infor-mación antes de dar la siguiente orden de salida. Cuando un grupo sepa la respuesta, la escribe en la pizarra y es responsabilidad del grupo demostrar a los demás que la respuesta es correcta. Para ello ya podrán disponer de toda la información que hay en las distintas fichas.
Empieza el juego:
El profesor escribe en la pizarra la siguiente pregunta: ¿Cuántos años transcurrie-ron desde que se encontró al peluquero más barato hasta que se formó la mayor banda de música?. Y deja a disposición del alumno y alejadas de los grupos las siguien-tes fichas:
INFORMACIÓN
Luis Paniego consiguió el récord al lograr colocar 1020 ladrillos de 2
Kg de peso cada uno en 45minutos.
INFORMACIÓN
Melisa Sander de Estado Unidos estuvo subida a un poste de
15metros de altura durante 512 días.
El anterior récord lo consiguió Mark Sutton que estuvo 488 días.
INFORMACIÓN
La mayor banda musical se formó el 30 de mayo de 1990. Estaba compuesta por
950 músicos.
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INFORMACIÓN
Ángel López tiene récord del peluquero más barato.
En 1971 el corte de pelo costaba 60 céntimos, el afeitado 25 céntimos y el corte de pelo a navaja 125 céntimos.
INFORMACIÓN
El caracol más fuerte es Vizcaya y se llama Hércules.
Arrastró una piedra de 240g una distancia de 42 cm en 10 minutos. El anterior récord lo tenía “chavalito”, que consiguió arrastrar la piedra 38 cm.
INFORMACIÓN
Michel Hoveine de nacionalidad francesa tocó el órgano durante 32 horas seguidas.
Algunaspreguntas, que podríamos hacer:
1.- ¿Cuántos años transcurrieron desde que se encontró al peluquero más barato hasta
que se formó la mayor banda de música?
2.- Si los músicos se organizaron en grupos de 25, ¿Cuántos grupos formaban la mayor
banda?
3.- ¿Qué diferencia de longitud en cm existe entre la distancia que consiguió la piedra
“Chavalito” y la altura a la que se subió Melissa Sanders?
4.- Escribe la pregunta
¿__________________________________________? Sol. : Luis Paniego
5.- ¿Cuánto dinero cobraría Ángel López en 1971 por7 afeitados y 9 cortes de pelo a
navaja?
6.- Escribe la pregunta
¿ ________________________________________? Sol.: 576 horas
7.- Si dividimos el número de minutos seguidos que Michel Hoveine tocó el órgano por
el número que representa el peso de la piedra que arrastró Hércules, obtenemos
un número que coincide con la cifra de las unidades de un récord ya superado,
¿cómo llamaba la persona que lo consiguió?
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EVALUACIÓN DEL JUEGO
EVALUACIÓN DEL DESARROLLO DEL JUEGO
Nombre del juego: Tipo de juego:
Tiempo que han jugado:
Valoración
MB B R PR
¿Cómo funcionó?
¿El material es el adecuado?
¿Se alcanzaron los objetivos?
¿El tiempo fue apropiado?
¿Se logró la integración de los estudiantes?
MB: Muy bien
B: Bien
R: Regular
PR: Poco regular
ACTIVIDAD PARA EL DOCENTE
Seleccione un tema a tratar en la clase de matemáticas y uno o más juegos que utilizaría
siguiendo el esquema de los ejemplos.
47
2.3. ESTRATEGIA BASADA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para Piaget el razonamiento Lógico Matemático, no existe por sí mismo en la realidad.
La raíz del razonamiento lógico matemático está en la persona. Cada sujeto lo construye
por abstracción reflexiva que nace de la coordinación de las acciones que realiza el su-
jeto con los objetos. El niño es quien lo construye en su mente a través de las relaciones
con los objetos.
Este proceso de aprendizaje de la matemática se da a través de etapas: vivenciales, ma-
nipulación, representación gráfico simbólico y la abstracción; donde el conocimiento
adquirido una vez procesado no se olvida ya que la experiencia proviene de una acción.
Los postulados o tendencias según Piaget son:
El niño aprende en el medio interactuando con los objetos.
En el medio adquiere las representaciones mentales que se transmitirán a través
de la simbolización.
El conocimiento se construye, a través de un desequilibrio, lo logra a través de la
asimilación adaptación y acomodación
El conocimiento se adquiere cuando se acomoda a sus estructuras cognitivas.
Cuando el niño se detenga a pensar antes de realizar cualquier acción, primero realizará
un diálogo consigo mismo, es lo que Piaget llama reflexión, y a medida que va interac-
tuando con otros niños se ve obligado a sustituir sus argumentos subjetivos por otros
más objetivos logrando sacar sus propias conclusiones.
Es así que Piaget nos dice que la matemática es, antes que nada y de manera más im-
portante, acciones ejercidas sobre cosas, y las operaciones por sí mismas son más accio-
nes, y debe llevarse a niveles eficaces como:
Período Sensorio-motriz,
Período Pre-operacional,
Período de Operaciones concretas
El orden por el que pasan los niños a las etapas no cambia, todos los niños deben pasar
por operaciones concretas, para llegar al período de las operaciones formales. No hay
períodos estáticos como tales. Cada uno es la conclusión de algo comenzado en el que
precede el principio de algo que nos llevará al que sigue.
Al resolver problemas se aprende a matematizar, lo que es uno de los objetivos básicos
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para la formación de los estudiantes. Con ello aumentan su confianza, tornándose más
perseverantes y creativos y mejorando su espíritu investigador, proporcionándoles un
contexto en el que los conceptos pueden ser aprendidos y las capacidades desarrolladas.
Su finalidad no debe ser la búsqueda de soluciones concretas para algunos problemas
particulares sino facilitar el desarrollo de las capacidades básicas, de los conceptos fun-
damentales y de las relaciones que pueda haber entre ellos.
Durante el proceso de aprendizaje de la matemática, es fundamental la resolución de
problemas para el desarrollo de capacidades. Estas capacidades implican la matematiza-
ción, representación, comunicación, elaboración de estrategias, utilización del lenguaje
matemático y la argumentación para resolver situaciones problemáticas de la vida coti-
diana.
Una situación problemática es una situación nueva y de contexto real, para la cual no se dispone de antemano de una solución. La resolución de problemas requiere una serie de herramientas y procedimientos como comprender, relacionar, analizar, interpretar, explicar, entre otros. Se apela a todos ellos desde el inicio de la tarea matemática, es decir, desde la identificación de la situación problemática hasta su solución. Es necesario ayudarlos a transitar por las fases que se requiere para llegar a la solución del problema, generar un ambiente de confianza y participación en clase, y hacer una evaluación sis-temática de sus esfuerzos. No perder de vista que lo principal no es llegar a la “solución correcta”, sino posibilitar el desarrollo de las capacidades matemáticas de los estudian-tes para resolver problemas.
“El problema debe ser una cuestión interesante, que provoque ganas de resolverlo, una tarea a la que se esté dispuesto a dedicarle tiempo y esfuerzos. Por ello, una vez resuel-to, proporciona una sensación considerable de agrado por haber acabado el proceso.” (Villa y Poblete, 2007:139)
El Aprendizaje Basado en Problemas, es una estrategia de enseñanza que desafía a los estudiantes a “aprender a aprender” y “aprender a pensar”, trabajando individualmente o en grupos, se orientan a buscar soluciones a los problemas del mundo real.
Por el protagonismo del estudiante en el Aprendizaje Basado en Problemas, es posible situar esta estrategia didáctica dentro de la pedagogía activa, y más particularmente, en las estrategias de enseñanza enmarcadas en el modelo constructivista del aprendizaje. Si en la estrategia expositiva el docente es el gran protagonista del proceso de enseñanza - aprendizaje, en el Aprendizaje Basado en Problemas u otra estrategia de enseñanza ac-tual, es el estudiante quien se apropia del proceso e intenta resolver los problemas que se le presentan. El docente, por tanto, actúa como mediador, es quien pregunta y orienta el proceso, a los estudiantes o a los equipos de trabajo, y principalmente es aquél que los invita a reflexionar acerca de posibles problemas que puede evidenciarse en diferentes
49
situaciones y contextos.
Teniendo en cuenta el impacto que produjo en el mundo de la enseñanza de la matemá-tica los trabajos del profesor Polya, en especial a la enseñanza–aprendizaje de la reso-lución de problemas, es poco confiable una investigación sobre el tema que soslaye sus aportes a esta materia. Polya (1976) establece: “... se entenderá que resolver un proble-ma es encontrar un camino allí donde no se conocía camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado que no es conseguible de forma inmediata utilizando los medios adecuados.”(Polya, G. 1981, p. 1)
Para resolver problemas, se requiere trabajar mucho con estos, estudiarlos a profundi-dad y analizar las distintas posibilidades que permiten enfrentar su solución. En la actua-lidad se han desarrollado diferentes variantes para analizar la resolución de problemas, una de estas es la que comprende la resolución de problemas como un proceso; dentro de esta posición aparecen los trabajos de Charles y Lester (1982), en los que se expresa que es “el proceso de coordinación de la experiencia previa, conocimientos e intuición, y un intento de determinar un método para resolver una situación cuyo resultado nos es desconocido.”(Charles, R. and Lester, F. 1982, p.58).
También en los trabajos de Carreras (1998) se estudia la resolución de problemas como un proceso constituido por todo el esfuerzo que realiza el resolutor para obtener su solución. En este caso se comprende la resolución de problemas como un proceso que comienza para elestudiante desde el momento en que se le presenta el problema y que lleva consigo al conjunto de acciones y operaciones que se desarrollan hasta que lo so-luciona, y valora la respuesta encontrada. Si analizamos la caracterización de problemas asumida por la investigación, resulta natural aceptar que resolver un problema es darle solución a la contradicción existente entre el estado actual y el deseado del objeto.
Al respecto Labarrere (1988) plantea que:
“La solución de un problema no debe verse como un momento final, sino como todo un complejo proceso de búsqueda, encuentros, avances y retrocesos en el trabajo mental.
Este complejo proceso de trabajo mental se materializa en el análisis de la situación ante la cual uno se halla: en la elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas; en el descubrimiento y selección de posibilidades; en la previsión y puesta en práctica de pro-cedimientos de solución.” (Labarrere, A. F. 1988, p. 86).
Un elemento importante a tener en cuenta es no ver la resolución de problema como un resultado. La estrategia tiene que dirigirse hacia el aprovechamiento del potencial que brinda este proceso, para que en su curso se pueda incidir en determinados valores sin marginar el desarrollo del pensamiento lógico del resolutor (el educando). De esto se colige que, al analizar las posiciones expuestas, pretende en lo fundamental –dentro del quehacer didáctico -, cambiar la percepción y actuación del estudiante; además supo-
50
ne modificar los significados atribuidos previamente a los elementos del problema, y/o utilizar sus conocimiento de manera diferente, o de forma que no está acostumbrado, es, de forma inhabitual para él; a lo que se agrega, por último, comprender el proceso y desarrollar una idea que se encuentra fuera de su alcance, de manera inmediata.
Cuando se particularizan los elementos necesarios para la resolución de problemas, per-miten centrar la atención en factores importantes, poco estudiados, como la prepara-ción afectiva y volitiva de los estudiantes para enfrentar con éxito dicho proceso; y que en este caso se tiene que atender, ya que será en esa esfera de la personalidad en la que se trabaje para alcanzar el objetivo.
Existe un conjunto de variables a considerar en el proceso de resolución de problemas, las cuales se agrupan en tres grandes grupos en torno a: la naturaleza del problema (es-tructura, precisión, terminología utilizada, etcétera), el contexto donde se desarrolla la resolución del problema (elementos objetivos relacionados con la actividad) y el resolu-tor (conocimiento, habilidades, actitudes, creencias, etcétera).
Resulta atinado aclarar que, aunque existen requerimientos básicos a tener en cuenta para desarrollar con éxito dicha actividad, no son suficientes para resolver un problema y, por tanto, enfrentar la vida y sus retos. En tal sentido desempeña un papel determi-nante la voluntad, la perseverancia, el espíritu crítico, la confianza en sí mismo y el firme propósito de encontrar la solución, requerimientos estos que serán analizados, particu-larmente más adelante, los que explicitan una relación entre los indicadores de los valo-res estudiados, los objetivos priorizados para la educación y la resolución de problemas
matemáticos.
FASES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
El desarrollo de la metodología del Aprendizaje Basado en Problemas puede seguir unas
fases determinadas.
Se presentan varios aportes de diferentes autores, que, tienen alguna similitud, pero
que difieren en la separación de las fases.
Morales y Landa (2004) establecen que el desarrollo del proceso de ocurre en
ocho fases:
1. Leer y analizar el escenario del problema
2. Realizar una lluvia de ideas
3. Hacer una lista con aquello que se conoce
4. Hacer una lista con aquello que no se conoce
51
5. Hacer una lista de aquello que necesita hacerse para resolver el problema
6. Definir el problema
7. Obtener información
8. Presentar resultados
Con la lectura y análisis del escenario o problema se busca que los alumnos entiendan
el enunciado y lo que se les demanda. Es necesario que todos los miembros del equipo
comprendan el problema; para ello el profesor puede estar atento a las discusiones de
los grupos y, si algún tema concreto requiere atención especial, discutirlo con todos los
grupos en común.
Los siguientes pasos hasta la definición del problema (pasos 2, 3, 4 y 5), suponen que los
alumnos tomen conciencia de la situación a la que se enfrentan. Que formulen hipótesis
de por qué puede ocurrir el problema, las posibles causas, ideas de resolverlo, etc.
El paso 3 implica que el equipo recurra a aquellos conocimientos de los que ya disponen,
a los detalles del problema que conocen y que podrán utilizar para su posterior resolu-
ción.
La siguiente fase (paso 4) ayuda a los estudiantes a ser conscientes de aquello que no sa-
ben y que necesitarán para resolver el problema. Pueden formular preguntas que orien-
ten la solución de la situación.
Una vez puesto en común todo esto, es momento de que los alumnos ordenen todas las
acciones que como equipo tienen que llevar a cabo para resolver el problema planteado.
Deben planear cómo van a realizar la investigación (paso 5), para posteriormente poder
definir adecuada y concretamente el problema que van a resolver y en el que se va a
centrar su investigación (paso 6).
El paso 7 se centra en un período de trabajo y estudio individual de forma que cada
miembro del equipo lleve a cabo la tarea asignada. Obtener la información necesaria,
estudiarla y comprenderla, pedir ayuda si es necesario, etc. Por último (paso 8) los alum-
nos vuelven a su equipo y ponen en común todos los hallazgos realizados para poder
llegar a elaborar conjuntamente la solución al problema y presentar los resultados.
Exley y Dennick (2007) realizan otra clasificación de las fases del Aprendizaje Ba-
sado en Problemas. Ellos señalan que son siete fases las que lo conforman.
1. Aclarar términos y conceptos
2. Definir los problemas
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7. Sintetizar y presentar nueva información
3. Analizar los problemas: preguntar, explicar, formular hipótesis, etc.
4. Hacer una lista sistemática del análisis
5. Formular los resultados del aprendizaje esperados
6. Aprendizaje independiente centrado en resultados
7. Sintetizar y presentar nueva información
La diferencia más notable entre esta clasificación y la anteriormente presentada es que,
en la última, los alumnos definen primero los problemas que presenta el ejercicio y pos-
teriormente se plantean las preguntas, las hipótesis, aquellos aspectos que conocen, lo
que es desconocido y tendrán que investigar, etc.
Resulta fundamental que los alumnos conozcan los pasos que han de seguir para re-
solver el problema y también que el alumno que lleve a cabo el papel del moderador u
organizador vaya guiando al grupo en cada uno de ellos.
John Dewey (1933) señala las siguientes fases en el proceso de resolución de
problemas:
1. Se siente una dificultad: localización de un problema.
2. Se formula y define la dificultad: delimitar el problema en la mente del sujeto.
3. Se sugieren posibles soluciones: tentativas de solución.
4. Se obtienen consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas.
5. Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba.
El Plan de Polya.
Creado por George Polya, este plan consiste en un conjunto de cuatro pasos y preguntas
que orientan la búsqueda y la exploración de las alternativas de solución que puede te-
ner un problema. Es decir, el plan muestra cómo atacar un problema de manera eficaz y
cómo ir aprendiendo con la experiencia.
La finalidad del método es que la persona examine y remodele sus propios métodos de
pensamiento de forma sistemática, eliminando obstáculos y llegando a establecer hábi-
tos mentales eficaces; lo que Polya denominó pensamiento productivo.
Pero seguir estos pasos no garantizará que se llegue a la respuesta correcta del proble-
53
ma, puesto que la resolución de problemas es un proceso complejo y rico que no se
limita a seguir instrucciones paso a paso que llevarán a una solución, como si fuera un al-
goritmo. Sin embargo, el usarlos orientará el proceso de solución del problema. Por eso
conviene acostumbrarse a proceder de un modo ordenado, siguiendo los cuatro pasos.
A pesar de que su libro How to SolveIt (Cómo plantear y resolver problemas) fue escrito
en 1945, su pensamiento y su propuesta todavía siguen vigentes.
En el prefacio de su libro, él dice:
“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo pro-
blema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero,
si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si
se resuelve por medios propios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento
y el goce del triunfo.
Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para
el trabajo intelectual e imprimir una huella imperecedera en la mente y en el carácter”.
Polya recomienda que para desarrollar la capacidad de resolución de problemas es fun-
damental estimular, en los alumnos, el interés por los problemas así como también pro-
porcionarles muchas oportunidades de practicarlos.
Fase 1.
Comprender el problema.
Para poder resolver un problema primero hay que comprenderlo. Se debe leer con mu-
cho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la información proporcio-
nada. Para eso, se puede responder a preguntas como:
- ¿Qué dice el problema? ¿Qué pide?
- ¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema?
- ¿Es posible hacer una figura, un esquema o un diagrama?
- ¿Es posible estimar la respuesta?
Fase 2.
Elaborar un plan.
En este paso se busca encontrar conexiones entre los datos y la incógnita o lo descono-
cido, relacionando los datos del problema. Se debe elaborar un plan o estrategia para
54
resolver el problema. Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a
un final. Hay que elegir las operaciones e indicar la secuencia en que se debe realizarlas.
Estimar la respuesta.
Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:
- ¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda ayudarle a resolverlo?
- ¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado, una nota-
ción apropiada.
- ¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta todos los
conceptos esenciales incluidos en el problema?
- ¿Se puede resolver este problema por partes?
- Intente organizar los datos en tablas o gráficos.
- ¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?
- ¿Cuál es su plan para resolver el problema?
Fase 3.
Ejecutar el plan.
Se ejecuta el plan elaborado resolviendo las operaciones en el orden establecido, veri-
ficando paso a paso si los resultados están correctos. Se aplican también todas las es-
trategias pensadas, completando –si se requiere– los diagramas, tablas o gráficos para
obtener varias formas de resolver el problema. Si no se tiene éxito se vuelve a empezar.
Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Según Dante, “El énfasis que debe ser dado aquí es a la habilidad del estudiante en eje-
cutar el plan trazado y no a los cálculos en sí. Hay una tendencia muy fuerte (que debe-
mos evitar) de reducir todo el proceso de resolución de problemas a los simples cálculos
que llevan a las respuestas correctas”.
Fase 4.
Mirar hacia atrás o hacer la verificación.
En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución obtenida, no sólo
en cuanto a la corrección del resultado sino también con relación a la posibilidad de usar
otras estrategias diferentes de la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la respues-
ta en el contexto del problema original.
55
En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o la formulación de
otros nuevos a partir de él. Algunas preguntas que se pueden responder en este paso
son:
- ¿Su respuesta tiene sentido?
- ¿Está de acuerdo con la información del problema?
- ¿Hay otro modo de resolver el problema?
- ¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver pro-
blemas semejantes?
- ¿Se puede generalizar?
Alan Schoenfeld.
Este investigador se considera continuador de la obra de Polya, sin embargo sus trabajos
están enmarcados en otra corriente psicológica, la del procesamiento de la información.
Sus investigaciones se han centrado en la observación de la conducta de expertos y novi-
cios resolviendo problemas. Su trabajo juega un papel importante en la implementación
de las actividades relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje
de las matemáticas y se fundamenta en las siguientes ideas:
• En el salón de clase hay que propiciar a los estudiantes condiciones similares a
las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso de desarrollo
de esta ciencia.
• Para entender cómo los estudiantes intentan resolver problemas y consecuen-
temente para proponer actividades que puedan ayudarlos es necesario discutir
problemas en diferentes contextos y considerar que en este proceso influyen los
siguientes factores:
• El dominio del conocimiento, que son los recursos matemáticos con los que
cuenta el estudiante y que pueden ser utilizados en el problema; tales como in-
tuiciones, definiciones, conocimiento informal del tema, hechos, procedimientos
y concepción sobre las reglas para trabajar en el dominio.
• Estrategias cognoscitivas, que incluyen métodos heurísticos; por ejemplo, des-
componer el problema en casos simples, establecer metas relacionadas, invertir
el problema, dibujar diagramas, el uso de material manipulable, el ensayo y el
error, el uso de tablas y listas ordenadas, la búsqueda de patrones y la recons-
trucción del problema.
56
• Estrategias metacognitivas que se relacionan con el monitoreo y el control. Están
las decisiones globales con respecto a la selección e implementación de recursos
y estrategias; es decir, acciones tales como planear, evaluar y decidir.
• El sistema de creencias, que se compone de la visión que se tenga de las mate-
máticas y de sí mismo. Las creencias determinan la manera como se aproxima
una persona al problema, las técnicas que usa o evita, el tiempo y el esfuerzo que
le dedica, entre otras.
La resolución de problemas no es un mecanismo directo de enseñanza, pero sí una varie-
dad de procesos de pensamiento que necesitan ser cuidadosamente desarrollados por
el estudiante con el apoyo e incentivo del docente”
También Bransford y Stein (1987) proponen otra estrategia llamada IDEAL; dentro de las
fases de esta estrategia se descomponen las propuestas por Polya en otras más simples
y de mayor aplicabilidad en la práctica.
I: Identificación del problema.
D: Definición y presentación del problema.
E: Elaboración de posibles estrategias.
A: Actuación fundada en esa estrategia.
L: Logros, observación, evaluación de los efectos de la actividad.
Por su parte, Müller, propone cinco fases para resolver un problema, quizás más com-
pleto que los presentados anteriormente, pero dentro de sus fases no se aprovecha de
manera óptima el problema en cuestión con el fin de explotar las potencialidades para
su vinculación con el medio socio cultural en que se desarrolla el estudiante y favorecer
con ello la formación de valores. Además, ella está dirigida a incidir más en la dirección
del proceso por el profesor que a las operaciones que debe realizar el alumno en la so-
lución del problema.
I. Fase de Orientación:
Búsqueda del problema o motivación. Planteamiento del ejercicio. Comprensión del
problema.
II. Fase de Elaboración:
Análisis y precisión. Búsqueda de la idea de solución.
III. Fase de Trabajo en el Ejercicio:
57
Reflexión sobre los métodos. Elaboración de un plan de solución.
IV. Fase de Realización:
Realización del plan de solución. Representación de la solución.
V. Fase de Evaluación:
Comprobación de la solución. Determinación del número delas soluciones. Subordina-
ción de la solución en el sistema existente. Memorización de la “ganancia” de la informa-
ción metodológica. Consideraciones perspectivas.
EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La experiencia de un estudiante en matemática será incompleta mientras no tenga la
ocasión de resolver un problema que él mismo haya inventado (Polya). Mediante la for-
mulación de problemas se contribuye a la solidez de los conocimientos, se desarrolla la
expresión oral y escrita, el análisis y la síntesis, la abstracción y la generalización.
Formular un problema implica buscar información, valorar las relaciones matemáticas
que hay entre los datos, expresar el problema de manera clara y precisar la incógnita.
Esta puede hallarse a partir de los conocimientos adquiridos y mediante la aplicación de
diversos procedimientos.
El planteamiento de un problema puede realizarse de dos formas:
• Cuando acompañamos a nuestros estudiantes para que formulen el problema, debe-
mos:
- ayudar a plantear la situación inicial y formular el enunciado, siguiendo el proceso de
producción de textos.
- ayudar a evaluar la calidad del problema, considerando la demanda cognitiva.
• Cuando formulamos el problema que presentaremos a nuestros estudiantes, debe-
mos:
- Considerar que la situación sea cercana a la realidad de los estudiantes.
- Elaborar preguntas teniendo en cuenta el nivel de aprendizaje de los estudiantes y la
demanda cognitiva creciente.
- En el caso de las escuelas multigradas, a partir de una misma situación se puede plan-
tear preguntas diferenciadas para cada ciclo o grado.
El planteamiento de un problema se debe realizar utilizando diversos formatos: textua-
58
les, audiovisuales e ícono-verbales entre otros.
CONSIDERACIONES ATENER EN CUENTA EN EL PLANTEAMIENTO DE LAS SITUACIONES
PROBLEMÁTICAS
• Las situaciones problemáticas deben surgir de un contexto real, deben surgir de la pro-
pia experiencia del estudiante, considerar datos de la vida real planteados por él mismo.
• Las situaciones problemáticas deben ser desafiantes e incitarles a movilizar toda la
voluntad, capacidades y actitudes necesarias para resolverlas.
• Las situaciones problemáticas deben ser motivadoras, deben despertar su curiosidad
y el deseo de buscar soluciones por sí mismos.
• Las situaciones problemáticas deben ser interesantes para ellos, a fin de
comprometerlos en la búsqueda de su solución.
¿Cómo podemos acompañar a los estudiantes, para que aprendan a resolver problemas
matemáticos?
El desarrollo de la competencia de resolución de problemas, requiere movilizar una serie
de capacidades y procedimientos como; comprender, relacionar, analizar, interpretar,
explicar, entre otros. Estas capacidades se involucran desde el inicio del proceso de re-
solución del problema.
El docente debe prestar ayuda pedagógica oportuna, adecuada y pertinente al niño,
durante el recorrido por las distintas fases que requiere la resolución del problema, ge-
nerando un ambiente de confianza y seguridad, donde no se juzgue el error, se acep-
te las diferentes maneras de abordar la situación problemática, se reconozca y aliente
el esfuerzo por resolver el problema, y donde la evaluación sirva para ayudar a seguir
aprendiendo todo ello, sin perder de vista el desarrollo de las capacidades matemáticas,
todo ello demanda un docente que sea cordial y dialogante, y que permita:
• Establecer un ambiente de aprendizaje basado en una relación cordial con los estu-
diantes y entre ellos.
• Brindar confianza y libertad para que los estudiantes pregunten, exploren y decidan
por sí solos las estrategias de solución a los problemas planteados.
• Dialogar y conversar con los estudiantes hasta estar seguro que han comprendido el
problema.
• Formular más preguntas que respuestas.
59
ROLES DEL PROFESOR Y DEL ESTUDIANTE EN EL APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS
Al utilizar metodologías centradas en el aprendizaje de los alumnos, los roles tradicio-
nales, tanto del profesor como del alumnado, cambian. Se presentan a continuación los
papeles que juegan ambos en el Aprendizaje Basado en Problemas.
PROFESOR ESTUDIANTE1. Da un papel protagonista al alumno en
la construcción de su aprendizaje.
1. Asumir su responsabilidad ante el
aprendizaje.
2. Tiene que ser consciente de los logros
que consiguen sus alumnos.
2. Trabajar con diferentes grupos gestio-
nando los posibles conflictos que surjan.
3. Es un guía, un tutor, un facilitador del
aprendizaje que acude a los alumnos
cuando le necesitan y que les ofrece infor-
mación cuando la necesitan.
3. Tener una actitud receptiva hacia el in-
tercambio de ideas con los compañeros.
4. El papel principal es ofrecer a los alum-
nos diversas oportunidades de aprendiza-
je.
4. Compartir información y aprender de
los demás.
5. Ayuda a sus alumnos a que piensen
Críticamente orientando sus reflexiones y
formulando cuestiones importantes.
5. Ser autónomo en el aprendizaje (bus-
car información, contrastarla, compren-
derla, aplicarla, etc.) y saber pedir ayuda y
orientación cuando lo necesite.
6. Realizar sesiones de aprendizaje con los
alumnos.
6. Disponer de las estrategias
necesarias para planificar, controlar y
evaluar los pasos que lleva a cabo en
su aprendizaje
EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS
Si cambian las maneras de aprender y enseñar, también será necesario modificar la for-
ma de evaluar los aprendizajes. El alumno “ideal” ya no es aquel que en examen final ob-
tiene un sobresaliente porque se ha estudiado de memoria la lección. El alumno “ideal”
ahora es aquel que ha adquirido, por medio de un aprendizaje autónomo y cooperativo,
los conocimientos necesarios y que, además, ha desarrollado y entrenado las compe-
tencias previstas en el programa de la materia gracias a una reflexión profunda y a una
construcción activa de los aprendizajes.
60
Desde esta perspectiva, para evaluar estos aprendizajes podemos utilizar diversas téc-
nicas:
Caso prácticoen el que los alumnos tengan que poner en práctica todo lo que han
aprendido.
Un examen que no esté basado en la reproducción automáticade los contenidos
estudiados, sino que implique que el alumno organice coherentemente sus co-
nocimientos.
Autoevaluación:El alumno ha llevado a cabo un proceso de aprendizaje autóno-
mo. Por tanto, nadie mejor que él mismo conoce todo lo que ha aprendido y todo
lo que se ha esforzado. Se pueden establecer algunos aspectos para que el alum-
no se autoevalúe: aprendizaje logrado, tiempo invertido, proceso seguido, etc.
Evaluación realizada entre pares (coevaluación). El alumno, durante su proceso
de aprendizaje, ha trabajado con sus compañeros cooperativamente. Por tanto
conocer la opinión de los compañeros también resulta interesante. Los aspectos
sobre los que se pueden preguntar pueden ser: ambiente cooperativo dentro del
grupo, reparto de tareas eficaz, cumplimiento de las expectativas como grupo,
etc.
Ejemplo de secuencias didácticas de aprendizaje (tomada del fascículo)
Hemos reconocido los escenarios, la progresión de los conocimientos, las condiciones
didácticas y la promoción de las tareas matemáticas. A continuación mostraremos cómo
en esta organización de actividades se hace visible el desarrollo de las capacidades ma-
temáticas. Asimismo, presentaremos orientaciones sobre las herramientas y las condi-
ciones asociadas a aspectos didácticos que permitan un mejor acercamiento y puesta en
práctica del aprendizaje en los estudiantes.
ACTIVIDAD: Contamos y representamos números
Zoraida, docente de primer grado, desarrolla la siguiente actividad en el marco del pro-
yecto de aprendizaje ¨Mejoramos nuestros hábitos alimenticios”, a partir de la cual, los
estudiantes deben construir la noción de número como cardinal y la de valor de posición
en el sistema de numeración decimal.
61
Conocimiento El número como cardinal
Organización Grupo clase y en parejas
Indicadores
• Explora el uso de los números naturales hasta 20 para
contar, medir, ordenar, comparar, leer y escribir a par-
tir de las situaciones cotidianas
• Expresa con material concreto, dibujos o símbolos los
números naturales hasta 20, a partir de situaciones
cotidianas
• Ultiliza descomposiciones aditivas y el tablero de valor
posicional para expresar los números naturales hasta
el 20
Materiales
• Material no estructurado: chapitas, se millas, conchi-
tas, etc.
• Material estructurado: regletas de colores, material
Base Diez, ábaco
Conocimientos previos • La decena
Zoraida acuerda con sus estudiantes hacer un recorrido por la comunidad para ver qué
plantas alimenticias siembran, y si dichos productos son suficientes para cubrir la ne-
cesidad de sus habitantes. Para ello, organiza a los estudiantes en parejas e inician el
recorrido.
Al llegar al huerto de María observan que ha sembrado diferentes hortalizas (lechugas,
rabanitos, zanahoria, coliflor, cebolla, etc.) en un pequeño espacio de su huerta, se de-
tienen y observan la parcela de lechugas.
Para guiar la observación y crear la necesidad de contar, Zoraida hace las siguientes pre-
guntas:
• ¿Qué plantas observan en la huerta?
• ¿Cuáles se pueden contar? ¿Por qué?
62
• De estas plantas, ¿cuáles sirven para comer?
• ¿Por qué es importante comer hortalizas?, ¿cuántas hay de cada tipo?
• ¿Podemos saber cuántas lechugas sembró María? ¿Cómo?
• Si los espacios vacíos corresponde a las lechugas cosechadas, ¿cuántas lechugas sem-
bró María en su huerta?
Una vez en el aula, Zoraida pide a los estudiantes que dibujen en su cuaderno la parcela
de lechugas que observaron, y luego les pregunta: ¿Qué forma tenía la parcela? ¿Cómo
estaban sembradas las lechugas? ¿Cuántas lechugas había en cada surco?
A continuación te presentamos el siguiente problema.
Si la familia de María consume una lechuga diaria, ¿para cuántos días alcanzarán las le-
chugas que sembró María?
Comprensión del problema
Zoraida invita a los estudiantes a leer el problema junto con ella. Luego genera un espa-
cio de diálogo en el que promueve la participación de todos a través de preguntas que
ayudan a comprender el problema. Ejemplo:
• ¿De qué trata el problema?
• ¿Cuáles son los datos?
• ¿Qué nos pide averiguar el problema?
• ¿A qué se refiere cuando dice “parcela”? Para ayudar a comprender el significado de
esta palabra invita a los estudiantes a leer nuevamente el problema para que a partir del
contexto puedan descubrir su significado.
• ¿Por qué habrán espacios vacíos en los surcos de la parcela?
• ¿Nos ayudará saber cuántas lechugas ya fueron cosechadas?
Diseño o adaptación de una estrategia
Zoraida incentiva a los estudiantes en la búsqueda de estrategias para solucionar el pro-
blema, a través de las siguientes preguntas:
• ¿Qué haremos para resolver el problema?
• ¿Cómo lo haremos?
63
• ¿Qué haremos primero?
• ¿Qué necesitaremos?
Ejecución de la estrategia
Zoraida invita a los estudiantes a utilizar los materiales del sector de matemática pro-
moviendo el uso de diversos materiales para que representen la situación y hallen la
solución al problema usando diferentes estrategias.
Primero representemos laslechugas que faltan
cosechar
Estas regletas soncomo las lechugas
que faltan cosechar
Sí, porque cada regleta amarilla vale 5 y la roja
vale 2, pero faltan... Son 4 surcos
En dos surcos hay10, en los otros dos
hay 10 más
Miguel,¿cuántas van?
uhmm nue...
Luis puedes com-partir tu estrategia?
Mira Miguel, en los dos surcos hay 10
lechugas y en los dos surcos que me faltan dibujar habría 10 le-
chugas más. Entonces María ha sembrado 20
lechugas
Zoraida acompaña el proceso brindando especial atención a los estudiantes que tienen
mayor dificultad, como es el caso de Miguel. Para ello se vale de preguntas como éstas:
• ¿Cuántos surcos debes representar?
64
• ¿Cuántas lechugas debes representar en cada surco?
• ¿Crees que es necesario utilizar otro tipo de material para representar las lechugas
cosechadas?
• ¿Habrá otro camino para hallar la respuesta? ¿Cuál?
Reflexión sobre el proceso de resolución
La docente invita a los estudiantes que expliquen cómo resolvieron el problema. Para
ello se apoya con preguntas como:
• ¿Qué hicieron primero?
• ¿En qué se parece este problema a otros que han resuelto anteriormente?
• ¿Cuántas formas diferentes de representar la respuesta han encontrado?
• ¿Por qué la cantidad de lechugas que sembró, es igual a la cantidad de días que comerá
lechuga la familia de María?
Zoraida rescata las diferentes formas de representar los números a partir de lo mostrado
por los estudiantes y los representa en la pizarra. Luego pregunta, ¿cómo se expresa en
cada caso las cantidades representadas, utilizando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9?
Representación de la cantidad de lechugas que sembró María.
Con material concreto
En unidades Mediante composición aditiva
20 10 + 10 1D 10U 8 + 12
En unidades y decenas
Con combinación aditiva
65
12 + 8 2D 20
Con descomposición aditiva
Con material concreto Con gráficos
En unidades y decenas
En unidades y decenas
Entonces: 20 = 10 + 10 1D = 10U 8 + 12 = 12 + 8 = 2D
A partir de estas representaciones y lo dicho por los estudiantes, Zoraida les recuerda
que una colección con diez objetos forman una decena y que un número se puede re-
presentar de diferentes formas usando material concreto, representaciones gráficas y
expresiones simbólicas. Luego, les pide que pregunten a sus padres qué alimentos se
pueden comprar en unidades sueltas o en paquetes de diez.
La resolución de problemas implica tener tiempo para pensar y explorar, cometer errores, desubrirlos y volver a empezar
En una actividad, las capacidades apa-recen en forma natural, sin un orden preestablecido
Recuerda
66
Análisis de la actividad 1: Contamos y representamos números
1. Matematiza situaciones que involucran cantidades y magnitudes en diversos contex-
tos desde una actividad vivencial del entorno.
Por ejemplo, en la actividad presentada, observamos que Zoraida orienta la matemati-
zación cuando guía la observación de la parcela y genera la necesidad para que los estu-
diantes puedan contar. Para ello realiza las siguientes preguntas:
• ¿Qué plantas observan en la huerta?, ¿Cuáles se pueden contar? ¿Por qué?
• De estas plantas, ¿cuáles se pueden comer?
• ¿Cuántas plantas hay de cada clase?
• ¿Podemos saber cuántas lechugas sembró María? ¿Cómo?
• Si los espacios vacíos corresponde a las lechugas cosechadas, ¿cuántas lechugas sem-
bró María?
Además, cuando presenta el problema a partir de la situación: Si la familia de María con-
sume una lechuga diaria ¿Para cuántos días alcanzarán las lechugas que sembró María?
PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE ENUNCIADO VERBAL (CAMBIO, COMPARACIÓN, COM-
BINACIÓN, IGUALACIÓN)
Tipos de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)
Los PAEV son las situaciones que se plantean generalmente a los estudiantes en mate-
mática, siendo la resolución de problemas la primera actividad con la que se encuentran
los niños en su vida escolar, debe ponerse todo el cuidado que merece el primer paso en
un campo de actividad como este.
Proponemos la siguiente diversidad de problemas, pues el niño debe enfrentarse a mu-
chas situaciones de contexto. Entre los problemas aritméticos de enunciado verbal, se
pueden identificar dos clases:
1. Problemas aditivos (en los que se requiere sumar y restar).
2. Problemas multiplicativos (en los que se requiere multiplicar y dividir).
PROBLEMAS ADITIVOS DE ENUNCIADO VERBAL
1. Situaciones de combinación
Combinación 1: Se conocen las dos partes y se pregunta por el todo.
67
Ejemplo. Carlos tiene S/. 20 y Camila tiene S/. 30 ¿Cuánto dinero tienen entre los dos?
Combinación 2: Se conocen el todo y una de las partes. Se pregunta por la otra parte.
Ejemplo. Los juguetes de Jairo y Manuel suman 12. ¿Cuántos juguetes tiene Manuel si se
sabe que Jairo tiene 7 juguetes?
2. Situaciones de cambio
Cambio 1: Se conoce la cantidad inicial y luego se le aumenta. Se pregunta por la canti-
dad final.
Ejemplo. Tengo 7 cuadernos y me regalan tres, ¿cuántos cuadernos tendré ahora?
Cambio 2: Se conoce la cantidad inicial y luego se le hace disminuir. Se pregunta por la
cantidad final.
Ejemplo. De 20 dulces que tenía regalé 12, ¿cuántos dulces me quedan?
Cambio 3: Se conoce la cantidad inicial y la final (mayor). Se pregunta por el aumento.
Ejemplo. Pedro tenía 6 pañuelos y cuando su mamá le regaló unos más, el número de
pañuelos de Pedro es 17 ¿cuántos pañuelos le regaló la mamá?
Cambio 4: Se conoce la cantidad inicial y la final (menor). Se pregunta por la disminución.
Ejemplo. Sandra tenía 8 paquetes de galleta y se comió una parte de ellos, quedando con
3 paquetes. ¿Cuántos paquetes de galletas se comió Sandra?
Cambio 5: Se conoce la cantidad final y su aumento. Se pregunta por la cantidad inicial.
Ejemplo. A la cantidad de flores que tenía el jarrón le agregué 8 y ahora tiene 20 ¿cuán-
tas flores se agregaron?
Cambio 6: Se conoce la cantidad final y su disminución. Se pregunta por la cantidad ini-
cial.
Ejemplo. A la cantidad de flores que tenía el jarrón le retiré 8 y ahora tiene 20 ¿cuántas
flores se quitaron?
3. Situaciones de comparación
Comparación 1: Se conoce la cantidad referente y comparada. Se pregunta por la dife-
rencia en más.
Ejemplo. Esteban tiene 20 lápices de colores y Juanita tiene 13, ¿cuántos lápices tiene
Esteban más que Juanita?
68
Comparación 2: Se conoce la cantidad referente y comparada. Se pregunta por la dife-
rencia en menos.
Ejemplo. Esteban tiene 20 lápices de colores y Juanita tiene 13, ¿cuántos lápices tiene
Juanita menos que Esteban?
Comparación 3: Se conoce la cantidad referente y la diferencia en más. Se pregunta por
la cantidad comparada.
Ejemplo. Luis tiene S/. 20 soles más que Carlos. Si el dinero de Luis es S/. 45 ¿cuánto
dinero tiene Carlos?
Comparación 4: Se conoce la cantidad referente y la diferencia en menos. Se pregunta
por la cantidad comparada.
Ejemplo. Luis tiene S/. 20 soles menos que Carlos. Si el dinero de Luis es S/. 45 ¿cuánto
dinero tiene Carlos?
Comparación 5: Se conoce la cantidad referente y la diferencia en más con la cantidad
comparada. Se pregunta por la cantidad comparada.
Ejemplo. Rafaela tiene 20 dulces, que son 8 más de los que tiene Micaela, ¿cuántos dul-
ces tiene Micaela?
Comparación 6: Se conoce la cantidad referente y la diferencia en menos con la cantidad
comparada. Se pregunta por la cantidad comparada.
Rafaela tiene 20 dulces, que son 8 menos de los que tiene Micaela, ¿cuántos dulces tiene
Micaela?
4. Situaciones de igualación
Igualación 1: Se conocen las dos cantidades. Se pregunta por el aumento de la cantidad
menor para igualarla a la mayor.
Ruth lee 6 cuentos diarios y Erminia lee 3, ¿cuántos cuentos más, debe leer Erminia para
igualar el número de cuentos que lee Ruth?
Igualación 2: Se conocen las dos cantidades. Se pregunta por la disminución de la canti-
dad mayor para igualarla a la menor.
Ruth lee 6 cuentos diarios y Erminia lee 8, ¿cuántos cuentos menos, debe leer Erminia
para igualar el número de cuentos que lee Ruth?
Igualación 3: Se conoce la 1ª cantidad y lo que hay que añadir a la 2ª cantidad para igua-
larla con la 1ª. Se pregunta por la 2ª cantidad.
69
Ejemplo. La distancia que recorre Irina para ir al colegio es 180m. Para que Teresa recorra
esta misma distancia es necesario agregarle 50m, ¿qué distancia recorre Teresa?
Igualación 4: Se conoce la cantidad del 1° y lo que hay que quitar a la 2ª para igualar la
1ª cantidad. Se pregunta por la cantidad del 2°.
Ejemplo. La distancia que recorre Irina para ir al colegio es 180m. Para que Teresa recorra
esta misma distancia es necesario quitarle 50m, ¿qué distancia recorre Teresa?
Igualación 5: Se conoce la cantidad del 1° y lo que hay que añadirle para igualarla con la
2ª cantidad. Se pregunta por la cantidad del 2°.
Ejemplo. Ernesto tiene 15 camisas, si a esta cantidad le agregamos 7 camisas, tendremos
el número de camisas que tiene Augusto, ¿cuántas camisas tiene Augusto?
Igualación 6: Se conoce la cantidad del 1° y lo que hay que quitarle para igualarla con la
del 2º. Se pregunta por la cantidad del 2°.
Ejemplo. Ernesto tiene 15 camisas, si a esta cantidad le quitamos 7 camisas, tendremos
el número de camisas que tiene Augusto, ¿cuántas camisas tiene Augusto?
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
1. Situaciones de proporcionalidad simple o razón
• Repetición de una medida (multiplicación). Se conoce la cantidad y el número de veces
que se repite. Se pregunta por la cantidad resultante.
¿Cuál es el triplo de 4?
• De reparto equitativo (división). Se conoce la cantidad y el número de partes iguales en
las que se distribuye. Se pregunta por la cantidad que resulta en cada parte.
Un padre reparte a sus dos hijos S/. 100 semanalmente. La condición es que a cada uno
le corresponda la misma cantidad. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada hijo?
• Agrupación (división). Se conoce la cantidad y cuánto hay en cada parte. Se pregunta
por el número de partes que resulta.
Treinta semillas se agrupan en bolsitas, cada una con 6 semillas. ¿Cuántos grupos salen?
2. situaciones de combinación
• Combinación-multiplicación. Se conocen dos cantidades de objetos. Se pregunta por el
número de combinaciones posibles.
70
El siguiente es el menú que ofrece un restaurante en Chosica:
MenúENTRADA
Ensalada de PaltaCaldo de pollo
SEGUNDOSPollo a la brazaPicante de ají
Saltado de pollo
¿De cuántas formas diferentes se puede pedir el menú?
• Combinación - división. Se conoce una cantidad y el número de combinaciones. Se pregunta por la otra cantidad que se combina.
El señor Cristian tiene 3 polos nuevos para vestirse en su cumpleaños. ¿Cuántos pantalo-nes debe tener disponibles si quiere obtener 12 formas diferentes de combinar sus polos con los pantalones?
3. situaciones de comparación
• Amplificación de la magnitud. Se conoce una cantidad y las veces que otra la tiene. Se pregunta por la otra cantidad.
Ejemplo. El 20 está contenido 3 veces en un número.¿Cuál es ese número?
• Reducción de la magnitud. Se conoce una cantidad y las veces que otra cantidad está contenida en ella. Se pregunta por la otra cantidad.
Ejemplo. El número 45 contiene 9 veces a una cantidad. ¿Cuál es esa cantidad?
•Hallar el cuantificador. Se conocen dos cantidades. Se pregunta por el número de veces que una contiene o está contenida en la otra.
¿Cuántas veces contiene el 20 al 2?
ACTIVIDAD PARA EL DOCENTE
1.Plantea una situación problemática de matemáticas correspondiente al nivel de tus
estudiantes y de su entorno socio – cultural; selecciona uno de los métodos explicados y
lo aplicas analizando cada una de las fases. No olvides que deben ser situaciones de con-
texto real cuya solución no es inmediata, en donde se integren la creatividad, el ingenio,
conocimientos previos, etc.
2. Plantea situaciones en donde se presente cada uno de los Problemas Aritméticos de
Enunciado Verbal estudiados en la sesión.
Tema 3
ESTIMULACIÓN DEL CÁLCULO MENTAL EN ESTUDIANTES DE PRIMARIA
REFLEXIÓN
“Ahora mismo le puedes decir basta al miedo que heredaste, porque la vida es aquí y ahora mismo. Que
nada te distraiga de ti mismo, debes estar atento porque todavía no gozaste la más grande alegría, ni su-
friste el más grande dolor”. Facundo Cabral.
En esta sesión se pretende destacar la importancia de desarrollar el cálculo mental como
una habilidad para la vida y que debe incluirse en el planeamiento educativo.
El cálculo mental es necesario en la vida cotidiana, por ejemplo, en el momento de esta-
blecer el cambio que se debe recibir al efectuar una compra o al calcular un descuento
en el precio de un producto, entre otros. Por lo tanto, para lograr un apropiado desenvol-
vimiento en un contexto donde nos rodean situaciones que requieren del pensamiento
rápido y ágil, desarrollar esta habilidad es una necesidad.
Al promover esta habilidad entre los estudiantes, se les motiva a investigar diferentes
estrategias para calcular y operar con los números; además, que les da la posibilidad de
comunicar y compartir con sus compañeros (as) esas estrategias que utiliza para lograr
rápidos y correctos resultados.
El cálculo mental favorece la concentración y la atención, asimismo, contribuye a
adquirir la comprensión, la agilidad y el sentido numérico. Es importante hacer referen-
cia que en países donde se trabaja el cálculo mental desde temprana edad, como Japón
o China, los estudiantes se encuentran a la cabeza mundial en cuanto a formación mate-
mática se refiere. El buen manejo del cálculo mental permite un correcto desarrollo de
la capacidad lógico deductiva por lo que debería reforzarse en la enseñanza de las mate-
máticas de nuestro país, porque constituye parte importante en la vida de las personas.
A continuación se describen las actividades que se desarrollarán con los participantes
en la sesión, describiendo el tipo de actividad a realizar para favorecer el desarrollo del
cálculo mental, orientado a primaria.
1. Tren de la suma
Objetivo: Desarrollar la habilidad de sumar enteros menores a 999
72
Descripción:
1. Se le solicita al primer niño/a de la fila 1 resolver la suma que el/la docente indique,
por ejemplo 3+7. El/la estudiante contesta 10, e indica que debe sumársele 7
2. La/el niño que está atrás debe rápidamente responder 17 e indicar el número a sumar.
3. La/el niño que está atrás debe repetir el proceso, así hasta que todas las filas hayan
participado.
4. La rapidez con la que se responda debe asemejar la velocidad que se debe tener para
alcanzar el tren y no quedarse atrás.
LAS RULETAS
Objetivo: Desarrollar la habilidad de multiplicar enteros (Repaso de las tablas de multi-
plicar)
Descripción:
1. Se hacen parejas con un par de ruletas que están enumeradas del 1 al 12.
2. Se establece previamente quien inicia el juego.
3. Cada jugador(a) gira la ruleta, quien inicia debe dar el producto de los dos números
establecidos en las ruletas. Por ejemplo: En la ruleta azul salió el (3) y en la ruleta roja el
(7), el/la jugadora que tiene el turno debe contestar rápidamente y de forma correcta el
resultado, en este caso 21, de lo contrario pierde.
4. Los resultados de los aciertos se consignan en una tabla y después de 10 turnos quién
haya logrado más aciertos gana.
Materiales: Ruletas elaboradas en cartulina, tabla para los aciertos, un clip y un lápiz
para sostener el clip.
12
11
10
9
87
6
5
4
3
21
73
Tabla de aciertos
Nombre:
1. 5. 9. 13. 17.
2. 6. 10. 14. 18.
3. 7. 11. 15. 19.
4. 8. 12. 16. 20.
Nombre:
1. 5. 9. 13. 17.
2. 6. 10. 14. 18.
3. 7. 11. 15. 19.
4. 8. 12. 16. 20.
HAGAMOS OPERACIONES
Objetivo: Desarrollar la habilidad de sumar enteros
Descripción:
1. Se le solicita a las/los estudiantes una operación de suma y que la escriban en pape-litos.
2. Se indica que las sumas a elaborar no incluyan ceros y que sean números naturales.
3. Se recolectan todos los papelitos del grupo en una sesta y se revuelven.
4. Luego cada niño (a), toma un papelito y resuelve al abrir el papel, la operación lo más rápido posible.
5. La docente y los otros niños (as) deben verificar el resultado.
Materiales: Papelitos recortados en rectángulos (material de reciclaje)
CARTAS PARA SUMAR
Objetivo: Fortalecer la habilidad de sumar enteros mediante el cálculo mental.
Descripción:
1. Se forman parejas.
2. Se reparten todas las cartas y se deja una al azar para colocar sobre la mesa de ma-nera que no se vea la cantidad.
3. Se voltea la carta que está en la mesa al iniciar el juego.
4. Previamente se ha determinado quién empieza.
5. La/el jugador tira una carta sobre la que está en la mesa y debe sumar las cantidades.
6. Si lo hace correcto continúa, sumando la última carta y la que fue lanzada.
7. El que pierde toma todas las cartas.
8. Gana quien se queda sin cartas primero.
74
Materiales: Cartas del tamaño de un naipe, en cada carta se escribe una cantidad (la can-tidad de cartas y los números que se escriban en ellas queda a criterio del docente. Para
esta sesión se utilizarán 20 cartas por pareja con números entre el 1 y el 20)
EJERCICIOS DE HABILIDAD NUMÉRICA
SUDOKUS
Todas las filas y columnas deben tener los números del 1 – 9 sin repetirse
1 8 4 29 1 5 7 86 7 2
1 8 77 6 4 9 3 2
3 6 82 4 5
5 3 6 2 19 2 7 3
3 6 8 2 18 4 2 5
1 6 79 8 4 5 7
4 63 2 5 1 9
5 3 98 7 4 5
6 1 5 2 3
2. Todas las filas y columnas deben tener los números del 1 – 6 sin que se repitan
1 6 3 2 5
2 5 1 6
6 5 3
5 3 4 2 6 1
3 6 1 4 2
4 2 5 6 1
2 1 6 3 4
4 6 2 5
1 2 5 6 3
4 6 3 5 2
1 4 2 6
6 3 2 1 5
75
ROMPECABEZAS. El TANGRAM
Forma las siguientes figuras utilizando siempre todas las piezas del Tangram
a) Rectángulo, Trapecio, Rombo, Paralelogramo
b)
c)
CUADRADOS MÁGICOS
a)Ubica los números del 1 – 9 sin repetir, de tal forma que la suma de filas, columnas y
diagonales, dé el valor de la constante mágica (K)
76
k = 15
b) a)Ubica los números del 1 – 16 sin repetir, de tal forma que la suma de filas, columnas
y diagonales, dé el valor de la constante mágica (K)
k = 34
EVALUACIÓN DE LA SESIÓN
Plantea cinco o más situaciones que permitan estimular el desarrollo del cálculo y que
sean apropiadas al nivel con el que trabajas. Puedes utilizar material similar al de los
ejemplos anteriores.
Tema 4
ESTRATEGIA BASADA EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LATERAL EN MATEMÁTICAS
En todos los tiempos, en escuelas y universidades se ha estimulado y cultivado el pensa-
miento lógico o vertical, pero éste si bien es eficaz, resulta incompleto. El pensamiento
lógico, selectivo por naturaleza, ha de complementarse con las cualidades creativas del
pensamiento lateral. Esta evolución se aprecia ya en el seno de algunas escuelas, aun-
que la actitud general hacia la creatividad, es que constituye algo bueno en sí pero que
no puede cultivarse de manera sistemática y que no existen procedimientos específicos
prácticos a ese fin. El pensamiento lateral, es un conjunto de procesos destinados al
uso dé información de modo que genere ideas creativas mediante una reestructuración
perspicaz de los conceptos ya existentes en la mente. El pensamiento lateral puede culti-
varse con el estudio y desarrollarse mediante ejercicios prácticos de manera que pueda
aplicarse de forma sistemática a la solución de problemas de la vida diaria y profesional.
Es posible adquirir habilidad en su uso al igual que se adquiere habilidad en la matemá-
tica y en otros campos del saber.
Es importante comprender que no existe antagonismo entre el pensamiento lógico tra-
dicional y el pensamiento lateral o creativo. Ambos tipos de pensamiento son necesarios
y se complementan mutuamente. La inmensa utilidad y efectividad del pensamiento
lógico puede aumentarse aún más con la adición de las técnicas del pensamiento lateral
que reduce la rigidez de un encadenamiento exclusivamente lógico de las ideas.
El pensamiento lateral está íntimamente relacionado con los procesos mentales de la
perspicacia, la creatividad y el ingenio. Todos ellos tienen la misma base, pero se diferen-
cian en que mientras estos tres últimos tienen un carácter espontáneo independiente de
la voluntad, el pensamiento lateral es más susceptible de ser determinado por la volun-
tad consciente. Se trata de una forma definida de aplicar la mente a un tema o problema
dado, como ocurre con el propio pensamiento lógico, pero de un modo completamente
distinto.
La cultura se basa en el establecimiento de ideas, y la enseñanza tiene como misión prin-
cipal la explicación y comunicación de estas ideas, de modo que sean asimiladas más o
menos en su forma original. Las ideas cambian y evolucionan. Sus transformaciones se
producen como consecuencia de la oposición de ideas contrarias o por la oposición de
78
una nueva información con ideas viejas. En el primer caso, una de las ideas adquiere pre-
dominio sobre la otra, de forma que esta última queda suprimida, pero no experimenta
cambio alguno. En el segundo caso, se modifica la idea antigua como resultado de los
nuevos conocimientos. Este segundo caso constituye la base fundamental del proceso
evolutivo de la ciencia, que constantemente reúne nueva información para perfeccionar
una idea ya existente o crear nuevas ideas.
El método más eficaz para transformar ideas no es externo como la contraposición de
nuevas ideas sino interno mediante la reestructuración de la información disponible a
la luz de la perspicacia. (Por perspicacia se entiende la profunda y clara visión interna
de un tema o de parte de un tema.) La perspicacia es el único modo eficaz de cambiar
conceptos cuando la información no puede ser enjuiciada de manera objetiva, y aun
cuando pueda serlo, como en el caso de la ciencia, una reestructuración perspicaz de
los datos disponibles puede acelerar su progreso. La aplicación del pensamiento lateral
y la enseñanza tienen su razón de ser en el hecho de que el último fin de ésta no es la
memorización de los datos, sino su uso óptimo.
Cuando las ideas ejercen una función rectora de la información en vez de constituir sim-
ples subproductos de la misma, el progreso experimenta una aceleración. Sin embargo
en la enseñanza se carece de medios para el cultivo de la perspicacia; se procede a una
simple acumulación de información con la esperanza de que en un momento dado apa-
rezca la perspicacia con su efecto clarificador. Para superar esa situación se ha desarro-
llado el pensamiento lateral como instrumento para el uso consciente y deliberado de
la perspicacia.
La razón de que la perspicacia la creatividad y el ingenio posean ese carácter, reside
en la propia efectividad de la mente. La mente opera creando modelos con los conoci-
mientos adquiridos para su uso posterior. Cuando dichos modelos están formados es
posible identificarlos, combinarlos entre sí y usarlos dentro del contexto de sus formas.
A medida que se desarrolla el uso de los modelos aumenta su solidez.
El pensamiento lateral tiene mucho en común con la creatividad: pero mientras esta
última constituye con excesiva frecuencia sólo una descripción de resultados, el pen-
samiento lateral incluye la descripción de un proceso. Ante un resultado creativo sólo
puede sentirse admiración: pero un proceso creativo puede ser aprendido y usado cons-
cientemente. La creatividad está rodeada de un aura mística, a la manera de un talento
misterioso, lo cual quizás es justificable en el mundo del arte, que exige sensibilidad
estética, emotividad y capacidad innata de expresión, pero tiene menos razón de exis-
tir en otros campos. Cada vez se valora más la creatividad como factor de cambio y de
progreso; se le confiere un valor superior al conocimiento técnico a causa de que éste
es más asequible. Para poder hacer pleno uso de la creatividad es preciso extirparle ese
79
halo místico y considerarla como un modo de emplear la mente y manejar información.
Tal es la función del pensamiento lateral.
El pensamiento lateral tiene como fin la creación de nuevas ideas, normalmente se rela-
cionan las ideas nuevas con el ámbito de la invención técnica; sin embargo, la invención
de nuevos dispositivos técnicos es sólo uno de los múltiples aspectos que derivan de la
creatividad. Las nuevas ideas son factores de cambio y progreso en todos los campos,
desde la ciencia y el arte, a la política y la felicidad personal.
El pensamiento lateral tiene como función también la liberación del efecto restrictivo de
las ideas anticuadas. Ello conduce a cambios de actitudes y enfoques, a la visión diferen-
te de conceptos inmutables hasta entonces. La liberación del efecto polarizador de las
viejas ideas y el estímulo de nuevas ideas es una doble función del pensamiento lateral.
El pensamiento lateral difiere fundamentalmente del pensamiento vertical o lógico, ba-
sado en el avance de las ideas a través de fases justificadas en sí mismas. En el pensa-
miento lateral la información se usa no como un fin en sí misma, sino como medio para
un efecto determinado; se emplean a menudo como punto de partida planteamientos
erróneos para llegar a una solución, al contrario del pensamiento vertical, en el que
dicho procedimiento se descarta por principio (lógica, matemática). En el pensamiento
lateral se busca a veces información que nada tiene en común con el problema que se
estudia; en el pensamiento vertical sólo se busca lo que está relacionado con dicho pro-
blema.
El pensamiento lateral no pretende sustituir al pensamiento vertical: ambos son necesa-
rios en sus respectivos ámbitos y se complementan mutuamente; el primero es creativo,
el segundo selectivo.
Con el uso del pensamiento vertical se llega a una conclusión a través de una serie de
fases. Como consecuencia de la solidez de cada fase. Se posee una certeza absoluta
de la corrección de la conclusión a que se ha llegado: sin embargo, a pesar del enca-
denamiento lógico correcto de las ideas, toda conclusión se apoya en una base que no
se ha demostrado o que posee un carácter eminentemente subjetivo. La necesidad de
seleccionar esta base o concepto primario, mediante una clara división subsiguiente de
conceptos, confiere al pensamiento vertical una excesiva polarización. El pensamiento
lateral permite una investigación del concepto primario original, así como una compro-
bación de la corrección de cualquier conclusión, independientemente del grado de cer-
teza que se posea a causa de su elaboración lógica.
El pensamiento lateral aumenta la eficacia del pensamiento vertical, al ofrecerle nuevas
ideas para su elaboración lógica. No se puede cavar otro hoyo profundizando un hoyo ya
empezado. Puede decirse que el pensamiento vertical confiere mayor profundidad a un
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hoyo ya iniciado. En cambio, el pensamiento lateral inicia un nuevo hoyo.
El hecho de que hasta el presente la enseñanza haya girado exclusivamente en torno al
eje del pensamiento vertical, confiere carácter imperativo a la inclusión del pensamiento
lateral en los programas docentes, no porque aquél no sea suficiente para estimular el
progreso, sino porque su uso exclusivo incluye ciertos peligros.
Igual que el pensamiento vertical, el pensamiento lateral es un modo de usar la mente.
Constituye un hábito y una actitud mental. Para su aplicación pueden utilizarse técnicas
específicas, como las existentes para el pensamiento lógico.
El pensamiento lateral puede enseñarse a partir de los 7 años hasta la fase universitaria.
Quizás esta gama de edades parezca muy amplia, pero el pensamiento lateral es un pro-
ceso tan básico como el propio pensamiento lógico y es obvio que la importancia de este
último no se limita a un grupo de edad en concreto. El pensamiento lateral puede aso-
ciarse a todos los temas, aun en mayor grado que la matemática, y es tan útil para quien
estudia ciencia o ingeniería como para quien estudia historia o literatura. Debido a esta
aplicación general a todas las disciplinas, el material usado no requiere conocimientos
previos sobre especialidad alguna.
Al igual que el pensamiento lógico, el pensamiento lateral es una facultad general de la
mente que comporta el recurso de utilizar ciertas técnicas. Esta facultad se desarrolla
de la manera más eficaz en el contexto de clases específicas dedicadas exclusivamente
al tema del pensamiento lateral, sobre la base de ejercicios diseñados especialmente
con ese fin. Si se enseña simultáneamente con otros temas, ello no pasa de constituir
un simple estímulo y una comprensión del pensamiento lateral cuando casualmente se
manifiesta pero no permite su desarrollo como costumbre y como acto consciente y
voluntario.
Reservar un período de tiempo definido para la enseñanza del pensamiento lateral es
mucho más eficaz que intentar introducir sus principios en el transcurso de clases que
versan acerca de otros temas.
El conjunto de ejercicios y problemas suministrado en esta unidad es bastante limitado.
Su inclusión tiene principalmente un objetivo empírico demostrativo, como ejemplos
que faciliten la elaboración de ejercicios similares.
Material visual
En matemáticas pueden prepararse y usarse los materiales que se describen a continua-
ción:
Para ejercicios a base de la ordenación de formas geométricas pueden recortarse las
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figuras presentadas en trozos de cartón, cartulina o material plástico. Asimismo pueden
diseñarse otras formas para su uso con ejercicios complementarios con el objetivo de
clasificar el mismo proceso. También puede pedirse a los alumnos que diseñen nuevas
figuras
Material verbal
El material verbal puede estar compuesto de textos escritos orales
1. Los textos escritos puede prepararlos también el propio maestro, elaborando los te-
mas en función de un criterio concreto.
2. Los textos escritos pueden también redactarlos los propios estudiantes, a base de
narraciones breves sobre un tema concreto.
3. Los textos orales pueden consistir en explicaciones o narraciones de los propios alum-
nos, con referencia a un tema determinado.
• Planteamiento de problemas
El planteamiento de problemas típicos concretos constituye un medio especialmente
eficaz de estimular el pensamiento lateral. Sin embargo, es difícil elegir un problema
durante la clase si no se dispone de una reserva de ellos. Los problemas pueden ser de
varios tipos.
Un método para conseguir elaborar problemas consiste en elegir alguna tarea corriente
y luego adecuar los medios para su ejecución: por ejemplo, el trazado de una circunfe-
rencia sin disponer de un compás. Antes de plantearlo en clase, se busca una solución
aceptable.
DIFERENCIAS ENTRE EL PENSAMIENTO LATERALY EL PENSAMIENTO VERTICAL
La mayoría de la gente considera el pensamiento vertical o lógico como la única forma
posible de pensamiento efectivo. Por consiguiente, hay que establecer la identidad del
pensamiento lateral partiendo de las diferencias que le separan del pensamiento ver-
tical. A continuación se reseñarán algunas de las diferencias entre ambas formas. No
obstante, estamos tan acostumbrados al uso exclusivo del pensamiento vertical que
algunas de estas diferencias pueden parecer absurdas, o bien inducirán a creer que
inventamos diferencias que en realidad no existen.
El pensamiento vertical es selectivo; el pensamiento lateral es creador
En el pensamiento vertical importa ante todo la corrección lógica del encadenamiento
de las ideas. En cambio, en el pensamiento lateral lo esencial es la efectividad en sí de
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las conclusiones. El pensamiento vertical selecciona un camino mediante la exclusión de
otros caminos y bifurcaciones. El pensamiento lateral no selecciona caminos, sino que
trata de seguir todos los caminos y de encontrar nuevos derroteros. En el pensamiento
vertical se selecciona el enfoque más prometedor para la solución de un problema; en
el pensamiento lateral se buscan nuevos enfoques y se exploran las posibilidades de
todos ellos.
vertical
alternativas
lateral
alternativas
El pensamiento vertical se mueve sólo si hay una dirección en que moverse; el pen-
samiento lateral se mueve para crear una dirección
El pensamiento vertical se mueve en una dirección claramente definida en la cual se
entrevé una solución. Se emplea para ello un enfoque y una técnica concretos. En el
pensamiento lateral se aspira al cambio y al movimiento como medios para una rees-
tructuración de los modelos de conceptos.
No necesariamente hay que moverse siempre hacia algo; el movimiento puede también ser de distanciamiento con respecto a ese algo. Lo que importa es el movimiento en sí, el cambio. Con el pensamiento lateral no se sigue una dirección concreta, sino que se genera una dirección. Con el pensamiento vertical se designa un experimento para po-ner de manifiesto algún efecto. Con el pensamiento lateral se designa un experimento para propiciar un cambio de las propias ideas. Con el pensamiento vertical uno tiene que moverse siempre en alguna dirección. Con el pensamiento lateral se puede deambular sin dirección, es decir, divagar en torno a experimentos, modelos, ideas, etcétera.
El movimiento, en el pensamiento lateral, no es un fin en sí mismo, sino una forma de orientar un replanteamiento de la cuestión de que se trate. Una vez se tiene movimiento y cambio, entonces se comprobará la utilidad de la lógica lateral. El pensador vertical afirma: «Sé lo que estoy buscando». El pensamiento lateral considera que: «Busco, pero
no sabré lo que estoy buscando hasta que lo encuentre».
El pensamiento vertical es analítico; el pensamiento lateral es provocativo
Si un estudiante dijera: «Ulises fue un hipócrita», podrían considerarse tres actitudes:
1) «Ud. está equivocado. Ulises no fue un hipócrita».
2) «Qué interesante; dígame cómo ha llegado a esta conclu-
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sión». 3) «Muy bien. Siga. A dónde va a llegar Vd. a partir de
esta idea».
Con el fin de usar las cualidades provocativas del pensamiento lateral hay que dar conti-
nuidad lógica a las ideas obtenidas originalmente.
El pensamiento vertical se basa en la secuencia de las ideas; el pen-
samiento lateral puede efectuar saltos
Con el pensamiento vertical se puede avanzar sólo de modo gradual. Cada paso depende
directamente del anterior, al cual está firmemente asociado. Cuando se ha llegado a una
conclusión se comprueba su solidez con la solidez de los pasos seguidos hasta llegar a
ella.
Con el pensamiento lateral los pasos no tienen que seguir un orden determinado. Puede
saltarse a una nueva idea y rellenar el lapso después. En el siguiente diagrama el pensa-
miento vertical va sucesivamente de A a B, a C y a D. En el pensamiento lateral se puede
llegar a D pasando por G y luego moverse retrospectivamente hasta A.
A B C D
A B
G
C D
Cuando se llega a una solución, su validez no depende de lo acertado del camino segui-
do; la solución puede tener sentido en sí misma independientemente del camino segui-
do. A veces, cuando se llega a un punto dado es posible construir retrospectivamente
un camino lógico que conduzca al punto de partida; cuando este camino lógico se ha
construido, poco importa a partir de qué punto se ha elaborado, a pesar de que sólo era
posible desde el punto de destino. Es algo similar a lo que ocurre cuando, al llegar a la
cima de una montaña, a través de intrincados senderos, se descubre entonces un exce-
lente camino de acceso que de otra manera no se habría encontrado.
En el pensamiento vertical cada paso ha de ser correcto; en el pensa-
miento lateral no es preciso que lo sea
La esencia del pensamiento vertical es la obligada corrección de cada paso. Sin este
requisito no podrían existir ni la matemática ni la lógica. En cambio, en el pensamiento
lateral no es necesario este requisito, a condición de que la conclusión final sea correcta.
84
Es lo mismo que construir un puente de arcadas: los diferentes tramos que lo componen
no precisan un soporte independiente; hasta que se apoyen mutuamente entre sí hasta
colocar el último tramo.
En el pensamiento vertical se usa la negación para bloquear bifurcaciones y desviacio-
nes laterales; en el pensamiento lateral no se rechaza ningún camino.
Hay ocasiones en que es necesario pasar por una idea errónea para llegar a una idea
correcta. Esto ocurre cuan-do la idea es errónea sólo en el contexto tradicional de una
situación; cuando dicho contexto se reestructura, la idea aparece como correcta. Aun
cuando el contexto de la situación no se cambia, el uso de una idea errónea puede
determinar la consecución de una solución correcta. Esto se ilustra en el diagrama co-
rrespondiente, en el cual se sigue un tramo de itinerario erróneo para descubrir luego el
camino correcto, que en un principio pasaba desapercibido; cuando el camino correcto
se ha descubierto, puede prescindirse del tramo equivocado.
En el pensamiento vertical se excluye lo que no parece relacionado
con el tema; en el pensamiento lateral se explora incluso lo que pare-
ce completamente ajeno al tema
El pensamiento vertical es selectivo por naturaleza. Se prescinde de lo que parece ajeno
al contexto de la situación que se estudia. En cambio, al problema estudiado por el pen-
samiento lateral se asocian factores externos a fin de provocar una disgregación de los
modelos en sus partes componentes ya que no es posible reestructurarlos desde dentro:
cuanto menor es la relación de una idea con un tema dado, mayor es la posibilidad de
que altere su configuración establecida. Al explorar sólo ideas relacionadas con un mo-
delo se tiende a perpetuar el mismo en su configuración original.
En el pensamiento vertical las categorías, clasificaciones y etiquetas
son fijas; en el pensamiento lateral no lo son
En el pensamiento vertical las categorías, clasificaciones y etiquetas tienen carácter per-
manente, y las ideas pueden usarse sólo si están señaladas con algunos distintivos que
permitan su identificación. En el pensamiento lateral se cambian las etiquetas a medida
que el contexto cambia como resultado de enfoques diferentes; es decir, las clasificacio-
nes y las categorías no son casillas marcadas con el nombre de su contenido, sino letre-
ros señalando diferentes direcciones:
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Las etiquetas se fijan sólo con carácter provisional, para permitir dar mayor movilidad
a las ideas.
El pensamiento vertical se basa en la rigidez de las definiciones, de la misma manera
que en la ciencia matemática las operaciones se basan en el carácter inalterable de
los símbolos. En cambio, el pensamiento lateral utiliza la fluidez de los significados, de
manera análoga a como el ingenio emplea un repentino cambio de significado para
producir su efecto.
El pensamiento vertical sigue los caminos más evidentes; el pensamiento
lateral los menos evidentes
El pensamiento lateral busca deliberadamente los enfoques menos obvios. Este proce-
der constituye un principio básico y a menudo la fidelidad al mismo es la única razón
de explorar un camino que, por otra parte, carecería de interés y que, sin embargo,
eventualmente puede conducir a una solución valiosa. A veces, en la entrada de dicho
camino nada indica que valga la pena explorarlo y, no obstante, puede conducir a algo
útil. En el pensamiento vertical se tiende a seguir el camino más espacioso y señalizado
como la dirección correcta.
El pensamiento vertical es un proceso finito: el pensamiento la-
teral, un proceso probabilístico
Con el pensamiento vertical se confía en llegar a una solución; con el pensamiento late-
ral no se garantiza necesariamente una solución, simplemente se aumentan las probabi-
lidades de una solución óptima mediante la reestructuración de los modelos. Es decir, el
pensamiento vertical ofrece al menos una solución mínima, mientras que el pensamien-
to lateral incrementa sólo la posibilidad de llegar a una mejor solución.
Si se mezclaran en una bolsa varias bolas negras y una sola bola blanca, las probabilida-
des de coger al azar la bola blanca serían muy pocas: si se aumenta el número de bolas
blancas, aumentan también las probabilidades de coger una bola blanca, aunque no
existe la seguridad de que la bola que se elija sea necesariamente blanca. De manera
análoga, el pensamiento lateral aumenta las probabilidades de una solución perspicaz,
incrementándose con la adquisición de una mayor práctica de su uso: no obstante, el
resultado permanece supeditado a la ley de las probabilidades. Es esta posibilidad de
obtener una solución óptima, a veces muy superior a la solución de origen lógico, el
factor que confiere al pensamiento lateral su valor. En toda ocasión que el pensamiento
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vertical se manifiesta incapaz de elaborar una solución adecuada, ha de recurrirse al
pensamiento lateral para intentar su consecución, aun cuando las probabilidades sean
reducidas, porque nada se pierde con el intento.
ACTITUDES HACIA EL PENSAMIENTO LATERAL
Por diferenciarse fundamentalmente del pensamiento lógico, el pensamiento lateral ins-
pira cierta desconfianza. La opinión más general es que se trata sólo de una parte del
pensamiento lógico y que no existe separadamente con identidad propia. Estas y otras
actitudes negativas se analizan en detalle a continuación.
Si bien es obvio el valor de las soluciones perspicaces y de las nuevas ideas, no existe
ningún método práctico para su consecución automática; lo único que puede hacerse
es reconocer su carácter creador cuando surgen espontáneamente
En esta actitud se ignora el mecanismo de la perspicacia y la subordinación de la in-
formación a los modelos establecidos, que actúan como clisés limitadores de nuevas
ideas. La perspicacia surge con la alteración de los modelos de información existentes
y su subsiguiente estructuración en un orden distinto; esta alteración de los modelos
puede producirse deliberadamente con el pensamiento lateral, con lo que se produce
una reordenación de la información que puede permitir la elaboración de nuevas solu-
ciones. Si la perspicacia y las nuevas ideas fueran fenómenos casuales no se explicaría
por qué el uso metódico del pensamiento lateral aumenta la creatividad. En todo caso
aun cuando se tratara efectivamente de un fenómeno casual, ello no quiere decir que
con técnicas específicas no se pueda aumentar su incidencia.
Cuando se dice que se ha obtenido una solución a través del pensamiento lateral, se
puede considerar también que a través de un proceso lógico es posible llegar a la mis-
ma solución, es decir, puede no haber ninguna prueba de que no haya sido esta última
la vía seguida.
Es imposible establecer si una solución dada ha sido elaborada por un proceso lógico o
por un proceso lateral; sin embargo, el que a posteriori se descubra un procedimiento
lógico para llegar a la solución buscada no es prueba de que se haya alcanzado por ese
procedimiento.
Cuando se considera que una solución es acertada, su corrección puede establecerse
sólo por procedimientos lógicos ya que el pensamiento lateral prescinde de la valora-
ción de las ideas que elabora. Por la misma razón, es fácil descubrir un camino lógico
que lleve a una solución cuando se ha llegado a dicha solución. La dificultad reside en
descubrir la vía que conduce a una solución que se ignora. Ello puede demostrarse con el
planteamiento de problemas difíciles de resolver, pero que una vez resueltos tienen una
87
solución completamente obvia. Tales problemas ponen de manifiesto que la dificultad
en resolverlos no residía en la falta de lógica.
Todas las soluciones perspicaces y las nuevas ideas aparecen como obvias tan pronto
como se ha demostrado su eficacia. En realidad, ello manifiesta la incapacidad de la
lógica en elaborar tales soluciones, porque de lo contrario, dado su carácter evidente
se habrían encontrado mucho antes. No puede demostrarse el hecho de que una so-
lución aparentemente encontrada a través del análisis lógico, no haya sido en realidad
desvelada por el análisis lateral (por otra parte la exposición del funcionamiento de la
mente puede demostrar la dificultad que supone resolver un problema por medios ló-
gicos. pero no puede probar la imposibilidad de dicha solución). En la práctica, la visión
retrospectiva de un camino lógico no constituye ninguna prueba de que éste hubiera
conducido a la solución.
En realidad, poco importa que el pensamiento lateral se considere como parte integran-
te del pensamiento lógico o como parte separada de él, a condición de que se compren-
da su verdadera naturaleza. Si por pensamiento lógico se entiende pensamiento efecti-
vo, es obvio que el pensamiento lateral forma parte integrante de él. Si por pensamiento
lógico se entiende una secuencia de ideas que ha de ser correcta en todas sus fases, el
pensamiento lateral no puede incluirse en su definición.
Si la objeción toma en cuenta la información que maneja el comportamiento de la men-
te, entonces se convierte en algo más que una entelequia semántica. Porque en térmi-
nos de este comportamiento es lógico ser ilógico. Es razonable ser irrazonable. Si no
fuera así no habría razón para escribir un libro al respecto. Sin embargo, aquí, de nuevo
estamos utilizando lógica en términos de «efectivo» y no como el proceso operacional
que conocemos.
En la práctica, la inclusión del pensamiento lateral en el pensamiento lógico dificulta su
diferenciación y uso pero no exime de su necesidad.
El pensamiento lateral puede en cierto sentido asimilarse a la lógica inductiva, en
tanto que parte de lo particular para llegar a lo general
Este argumento se basa en la distinción entre la lógica deductiva y la inductiva. Hay
cierta semejanza entre la lógica inductiva y el pensamiento lateral en cuanto que ambos
operan al margen del marco de modelos preestablecidos: sin embargo, en ocasiones, el
pensamiento lateral opera dentro de dicho marco con el fin de provocar su reordena-
ción, mediante procesos tales como inversión deformación, fragmentación, etc.
La lógica inductiva es por esencia racional y requiere igualmente la corrección de todas
las fases de los juicios, como ocurre con la lógica deductiva. En cambio, el pensamiento
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lateral se esfuerza con frecuencia en ser deliberadamente irrazonable a fin de provocar
una reordenación de los modelos.
Tanto la lógica inductiva como la deductiva giran en torno a la formación de concep-
tos. El pensamiento lateral tiene como objetivo principalmente la disgregación de los
conceptos más o menos establecidos, para que pueda producirse su reestructuración
automática.
El pensamiento lateral no es una forma deliberada del pensamiento, sino una
cualidad innata que ciertas personas poseen y otras no.
Naturalmente, hay personas que están más capacitadas para desarrollar el pensamiento
lateral que otras, como ocurre también con el pensamiento lógico; pero ello no quiere
decir que no pueda cultivarse, como se cultiva también el pensamiento lógico. El uso
y la práctica de las técnicas del pensamiento lateral permiten aumentar la capacidad
creadora, además de constituir un estímulo para la concepción de nuevas ideas. Si el
pensamiento lateral fuera simplemente una cualidad innata no podría enseñarse siste-
máticamente ni desarrollarse como una actitud consecuente.
EL PENSAMIENTO LATERAL Y EL PENSAMIENTO VERTICAL SON COMPLEMENTARIOS
Hay quien cree que el cultivo y uso deliberado del pensamiento lateral se realiza en de-
trimento del pensamiento vertical o lógico. No es así. Ambos procesos son complemen-
tarios, no antagónicos. El pensamiento lateral es útil para generar ideas y nuevos modos
de ver las cosas y el pensamiento vertical es necesario para su subsiguiente enjuicia-
miento y aplicación práctica. El pensamiento lateral aumenta la eficacia del pensamiento
vertical al poner a su disposición un gran número de ideas, de las que aquél puede selec-
cionar las más adecuadas. El pensamiento lateral es útil sólo en la fase creadora de las
ideas y de los nuevos enfoques de problemas y situaciones. Su selección y elaboración
final corresponden al pensamiento vertical.
El pensamiento vertical es de utilidad constante, mientras que el pensamiento lateral es
necesario sólo en ocasiones, en las cuales el pensamiento vertical no constituye un me-
canismo eficaz, y si actúa como tal es siempre en detrimento de la capacidad creadora.
Se requiere, pues, habilidad en el uso de ambos tipos de pensamiento.
El pensamiento lateral es como la marcha atrás de un automóvil: a nadie se le ocurriría
conducir todo el tiempo en marcha atrás, pero no por ello el uso de esa marcha es menos
necesario; se requiere su perfecto funcionamiento y cierta costumbre en su manejo, tan-
to para la ejecución de maniobras como para salir de un callejón que carezca de salida.
89
PRÁCTICA
FIGURAS GEOMÉTRICAS
figura Atriángulo sobre un rectangulo
Bc u a d r a d o con los dos v é r t i c e s s u p e r i o r e s recortados
Dvista de una casa
Cdos mitades de un rectángulo una junto a la otra
La ventaja del uso de figuras geométricas y demás materiales visuales reside en su in-
equívoca presentación. Poseen un carácter único e inalterable, al contrario del material-
verbal, en el que el tono y el énfasis de la presentación pueden modificar la interpreta-
ción: además, ésta se presta a una mayor variedad de significados.
Las figuras geométricas son formas conocidas que pueden definirse claramente con una
o dos palabras. Ello permite la descripción, sin lugar a dudas, combinaciones en la expli-
cación de procesos o en el planteamiento de problemas de solución lateral.
El docente debería recurrir al empleo de figuras geométricas en los primeros ejercicios
de búsqueda de alternativas, aun cuando constituyan un medio artificial. Cuando los
alumnos hayan comprendido perfectamente los procesos y actitudes implícitos en esta
técnica, puede pasarse a la utilización de material verbal, con la presentación de situa-
ciones más reales y complejas.
En el desarrollo de las clases el docente puede proceder de la siguiente manera:
1) Se representa la figura en la pizarra, o bien se distribuye a cada alumno en una
hoja de papel.
2) Se pide a los alumnos que definan la figura de diferentes maneras.
3) El docente recoge los resultados o prescinde de ellos, según el número de alumnos y
el tiempo de que disponga.
4-1) Sin recogida de los resultados.
90
El docente solicita de los alumnos que definan la figura. Si no aparece ningún voluntario,
señala a un alumno para que dé la primera definición. Luego pide definiciones alternati-
vas. Cada alternativa se relaciona en la pizarra.
4-2) Con recogida de los resultados.
El docente coge una o dos hojas y lee en voz alta las definiciones. Luego pide que se for-
mulen definiciones alternativas o emplea otras hojas para leer variantes.
Si se dispone de tiempo entre una sesión y otra, el docente puede componer un diagra-
ma estadístico de las alternativas obtenidas (como se muestra en el esquema de abajo).
Este diagrama puede presentarse a la clase en la siguiente sesión.
número de alumnos
tipo
A 11B 8C 2D 12
5) El docente estimula la creación de definiciones alternativas y las acepta sin valorarlas.
Si una alternativa carece claramente de sentido no se critica, pero se solicita al que la
compuso que la explique de modo más detallado. Si parece obvio que el sentido común
impedirá a los alumnos aceptar dicha alternativa como válida, se relaciona al final de la
lista, pero nunca ha de omitirse.
6) Cuando los alumnos no consiguen extraer definiciones alternativas, el docente puede
citar algunas, previamente preparadas.
Ejercicios
1. ¿Cómo puede definirse la siguiente figura?
91
Alternativas
Dos círculos unidos por una recta.
Una recta con un círculo en cada extremo.
Dos pares de semicircunferencias unidas por una recta y dispuesta una sobre otra de
forma que coincidan.
Dos canalones de desagüe superpuestos.
Comentario
Los estudiantes protestarán quizás aduciendo que «dos círculos unidos por una recta» es lo mismo que «una recta con un círculo en cada extremo»; sin embargo, no existe tal identidad, ya que en el primer caso se empieza con los círculos y en el segundo con la recta, y desde el punto de vista del proceso mental la secuencia de las ideas es de máxi-ma importancia, ya que una diferencia en el punto de partida equivale a un enfoque diferente.
Algunas de las definiciones tienen carácter estático, ya que consisten en el simple dibujo o definición de la figura alternativa. Otras tienen carácter dinámico y precisan el empleo de diagramas adicionales; ello ocurre cuando la figura alternativa es el resultado de al-
gún proceso en el que intervienen otras figuras.
2. ¿Cómo puede definirse la siguiente figura?
Alternativas
Forma en L.
Una escuadra.
Una horca al revés.
Medio marco.
Dos rectángulos adosados uno al otro.
Un rectángulo grande del que se ha recortado un rectángulo pequeño.
92
Comentario
Se presentan a veces dificultades al describir una figura geométrica mediante un objeto
físico: al decir «una escuadra» se incita a otras comparaciones como por ejemplo «el
perímetro de un edificio visto desde el aire».
Hay que recordar entonces a los alumnos que se trata de buscar alternativas, no de lo-
que la figura podría ser ni de lo que sugiere su contemplación. La definición debe ser de
taltipo que permita dibujar la figura en cuestión, y la definición de que es «el perímetro
de un edificio visto desde el aire» no es válida a menos que dicho perímetro se especifi-
que como teniendo forma L, caso en el cual basta con decir «forma en L». Por otra parte,
no es necesario insistir en que la definición sea muy precisa, ya que ello desviaría la aten-
ción hacia cuestiones de detalle, que nada tienen que ver con el pensamiento lateral.
3. ¿Cómo puede definirse la figura que sigue?
Alternativas
Dos cuadrados superpuestos
Tres cuadrados
Dos figuras en L rodeando un espacio hueco cuadrado.
Un rectángulo dividido en dos mitades con la línea que los corta descentrada.
Comentario
La definición «dos cuadrados superpuestos» parece tan precisa que cualquier otra de-
finición se considera superflua. Esto ilustra el poder dominante que ejercen ciertos mo-
delos. También en este caso pueden creer algunos alumnos que las definiciones «dos
cuadrados superpuestos» y «tres cuadrados» tienen el mismo significa do. Sin embargo
no existe tal equivalencia, a pesar de que la segunda definición esté va implícita en la
primera, y debe evitarse el considerar como idénticas ideas que posean cierta semejanza
o que estén íntimamente asociadas entre sí, ya que una ligera desviación en el ángulo de
enfoque puede conducir eventualmente a una gran divergencia de resultados.
93
Otras definiciones son a veces tan extensas que cubren todas las posibles alternativas:
«Dos cuadrados superpuestos en uno de sus ángulos, de modo que el área de superposi-
ción forma un tercer cuadrado cuyos lados son iguales a la mitad de los lados de los dos
cuadrados originales». Estas extensas definiciones constituyen una reproducción verbal
de la figura geométrica y, por consiguiente incluyen varias definiciones. No obstante,
estas definiciones han de aceptarse como válidas. En el pensamiento lógico una defini-
ción puede ser superflua por estar ya implícita en otra, pero desde el punto de vista de
la percepción, la misma definición puede utilizar otros modelos. Por ejemplo, la idea de
«tres cuadrados» es útil incluso cuando esté implícita en la descripción de «dos cuadra-
dos superpuestos».
4. ¿Cómo puede definirse la figura que se ve a continuación?
Alternativas
Pequeños cuadrados rodeados de cuadrados grandes.
Cuadrados grandes con cuadrados pequeños en sus ángulos.
Un conjunto de cuadrados grandes y pequeños.
Prolongación de los lados de un cuadrado pequeño con otros cuadrados pequeños
94
en los extremos de estas prolongaciones.
Una serie de rectas, cada una con dos líneas perpendiculares.
Columnas de cuadrados grandes formando escalones.
Una cuadrícula en la que se suprimen algunas líneas formando entonces cuadrados ma-
yores.
Comentario
Hay muchas otras definiciones alternativas posibles. Las definiciones han de ser suficien-
temente descriptivas para poder reproducir el original, e indicar claramente cómo se
observa el modelo. Lo más importante es la variedad de enfoques: cuadrados grandes,
cuadrados pequeños, una mezcla de ambos, líneas perpendiculares, espacios huecos,
cuadrícula.
• Actividad
Los cuatro ejercicios anteriores consisten en la definición de alternativas.
Ahora pasamos a una segunda fase: en vez de las distintas formas de ver una misma
cosa, trataremos de las diversas maneras de hacer una cosa. Esta fase es más difícil, ya
95
que las definiciones constituían una visión de lo que estaba presente mientras que el
hacer algo representa poner en un sitio lo que no está allí.
5. ¿Cómo puede dividirse un cuadrado en cuatro partes iguales? (Conviene que cada
alumno dibuje en una hoja de papel tantas versiones como pueda imaginar: no es con-
veniente hacer este ejercicio en la pizarra. Luego se recogen las hojas y se analizan los
resultados o se dibujan las soluciones en la pizarra para que cada alumno vea las alter-
nativas adicionales a las que ya ha descubierto.)
Alternativas
Cuatro secciones verticales u horizontales rectangulares.
Cuatro cuadrados
pequeños
Diagonales.
División del cuadrado en dieciséis pequeños cuadrados y luego trazar dos líneas en
forma de cruz gamada.
Otras formas, según la ilustración.
Comentario
La mayor parte de los alumnos suelen ver sólo la posibilidad de las secciones rectangula-res y triangulares y los cuatro cuadrados pequeños. Luego, a alguien se le ocurre la idea de dividir la figura en dieciséis pequeños cuadrados y agruparlos de diversas maneras. El siguiente principio es que cualquier línea que se trace desde un punto de un lado de la figura al punto equivalente del lado opuesto y posea la misma forma por encima del punto central que por debajo, divide el cuadrado en dos mitades iguales; por consiguien-te, la adición de una segunda línea en ángulo recto a la primera divide el cuadrado en cuatro partes iguales. Es obvio que estas líneas pueden tener una infinidad de variantes: a veces, algún alumno dibuja diversas versiones de esta solución sin descubrir el princi-
pio fundamental.
En tal caso, en vez de considerar cada variante como una alternativa, se incluyen todas
ellas en el citado principio. Una variación de este principio es la división del cuadrado en
dos mitades de igual área por una recta que pase por su centro. y la subsiguiente división
de cada mitad en dos partes equivalentes mediante cualquier tipo de línea. Esta solución
introduce una nueva serie de variantes, todas ellas comprendidas también en el mismo
principio unitario.
Como no se trata de un ejercicio de geometría o de dibujo, no es necesario explorar
96
todas las posibilidades de efectuar la mencionada división. Lo que se quiere conseguir
es demostrar que hay normalmente otras formas de valorar una situación o un proble-
ma, aun cuando se crea lo contrario. El enseñante espera hasta que no se sugieren más
alternativas descritas. (Naturalmente, puede ocurrir que todas las alternativas sean des-
cubiertas por los alumnos.)
6. ¿Cómo puede dividirse una cartulina cuadrada sin efectuar más de dos cortes, de
modo que tenga forma de L, y sin que se altere su área? (Pueden usarse cuadrados de
cartulina o simplemente dibujar las soluciones en una hoja de papel.)
Alternativas
Dos secciones rectangulares El recorte de un pequeño cuadrado.
Un corte diagonal.
Comentario
El requisito de no usar más de dos cortes Introduce un factor de limitación; pero esta
limitación no tiene sentido restrictivo, sino que estimula la búsqueda de alternativas
difíciles, en vez de contentarse con las soluciones más obvias.
Puesto que tanto la figura original como el resultado exigido se basan en líneas horizon-
tales y verticales, así como en ángulos rectos, el método diagonal no es fácil de encon-
trar. Quizá la mejor manera de hallarlo es «cortar el cuadrado diagonalmente y observar
qué pasa». En realidad, con este ejercicio se empieza ya a recurrir a procedimientos de
acertijo en lugar de simples técnicas analíticas.
97
En la ilustración siguiente se muestran tres figuras geométricas. Si tuvieran que orde-
narse de modo que dieran una sola figura de fácil descripción, resultaría complicado
encontrar una solución: pero si en lugar de buscar el ajuste de sus respectivas formas se
examina cada figura en sí misma, se constatará la posibilidad de dividir el cuadra do en
dos secciones rectangulares iguales, con lo que la ordenación del conjunto en un rectán-
gulo sería muy fácil.
+ +
Esto demuestra que la dificultad de solucionar un problema mediante el ajuste de las
piezas de información existentes puede ser superada por la modificación de una de las
piezas: es decir, no basta con estudiar las posibilidades de ordenación del conjunto, hay
que proceder también a un examen de cada una de sus partes.
Naturalmente, si el anterior problema se presentara como tal y se expusiera luego la ci-
tada solución, habría una indignada protesta basada en una posible trampa; se aduciría
que es un truco partir del supuesto de que las formas de las tres figuras originales no de-
bían ser altera-das. Esta acusación revela la aceptación tácita de determinados límites.
En la solución de problemas se presuponen siempre ciertos límites, los cuales facilitan
la solución al reducir el área que requiere la exploración. Si luego el problema se solu-
ciona con medios exteriores al área previamente delimitada hay una inmediata protes-
ta con acusaciones de truco. Y sin embargo tales límites son a menudo imaginarios: se
establecen sólo por razones de simplificación y si se fijan erróneamente la solución se
hace imposible.
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Formas no geométricas
Después de haber usado las formas geométricas para ilustrar la búsqueda deliberada
de alternativas (y la frecuente existencia de tales alternativas), puede pasarse a efec-
tuar ejercicios más complejos. En los ejercicios que se presentan a continuación no se
intenta descubrir alternativas fijadas ya en modelos establecidos, sino crear alternati-
vas acoplando diversos elementos de modelos.
¿Cómo puede definirse una botella de leche de un litro que contiene medio litro de
agua?
Alternativas
Media botella de agua.
Una botella de leche medio llena de agua.
Medio litro de agua en una botella de leche de un litro vacía.
Comentario
El ejercicio es trivial, pero sirve para ilustrar cómo pueden coexistir dos modos comple-
tamente distintos de valorar una misma situación. También demuestra que cuando se
ha elegido una de estas alternativas, las otras normalmente se ignoran. Es interesante
constatar que cuando una botella está medio llena de leche se designa corrientemente
como medio vacía, mientras que cuando está medio llena de agua se refiere como medio
llena. La razón reside probablemente en el hecho de que, en el caso de la leche, se parte,
en sentido descendente, de la botella llena, mientras que en el caso del agua el punto de
partida es la botella vacía, con tendencia ascendente. El contexto de cualquier situación
influye decisivamente en la manera de valorar.
Sesión práctica
Problemas demostrativos
1. Un jardinero recibe instrucciones especiales para plantar cuatro árboles de modo
que cada uno de ellos se halle a la misma distancia de los otros tres. ¿Cómo pueden
disponerse los árboles?
El procedimiento corriente consiste en intentar disponer cuatro puntos en una hoja
de papel de modo que sean equidistantes entre sí. Sin embargo se comprueba que
es imposible ordenarlos de manera que cada uno se halle a igual distancia de los
otros tres. El problema parece no tener solución.
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Se parte del supuesto de que los cuatro árboles se plantan en terreno llano: pero si se
prescinde de este supuesto, se ve pronto la posibilidad de plantarlos de la manera exigi-
da: un árbol se planta en la cima de un montículo v los otros tres en su derredor, al pie
del promontorio. Esto los hace equidistantes entre sí (en realidad se hallan en las vérti-
ces de un tetraedro). El problema puede solucionarse también plantando un árbol en el
fondo de una depresión y disponiendo los otros tres alrededor de su borde o perímetro.
2. Se trata de un problema muy viejo, pero que ilustra muy bien el factor restrictivo de
los supuestos. Nueve puntos se hallan distribuidos como muestra la figura. El problema
consiste en unir esos nueve puntos mediante el trazado de sólo cuatro rectas, pero sin
levantar el lápiz del papel.
Al principio parece fácil y se intenta unir los puntos de distintas maneras. Luego se ve
que siempre queda algún punto marginado. El problema parece imposible de resolver. El
factor que bloquea la solución es que las líneas rectas han de unir los puntos sin exceder
de los límites de los propios puntos. Si se supera este supuesto superando los límites
artificiales el problema presenta fácil solución.
3. Un hombre trabaja empleado en una oficina situada en un altísimo bloque de despa-
chos. Cada mañana entra en el ascensor de la planta baja aprieta el botón del piso déci-
mo, sale y el resto del trayecto hasta el decimoquinto piso lo recorre a pie. Al terminar la
jornada laboral sube al ascensor otra vez en el decimoquinto piso y baja hasta la planta
baja. ¿Cuál es la razón de tan extraño comportamiento?
Se ofrecen varias explicaciones. Entre ellas destacan las siguientes:
El hombre quería hacer gimnasia.
Quería hablar con alguien entre el décimo piso y el deci-
moquinto
Quería admirar la vista a medida que subía.
Quería que la gente creyera que trabaja en el décimo piso (quizás ello compor-
taba más prestigio).
100
En realidad, el individuo en cuestión actuaba de esa extraña forma porque no tenía
más remedio: era un enano no llegaba más arriba del botón del piso décimo.
El supuesto era naturalmente de que se trataba de un hombre perfectamente normal y
que era su comportamiento lo anormal.
Para este tipo de ejercicios pueden elaborarse otros problemas similares. Puede
presentarse ejemplos de comportamiento que parecen extraños hasta que se conocen
las razones reales que los motivan. El propósito de estos problemas es demostrar que
la aceptación de un supuesto u otro puede hacer que la solución de un problema sea
difícil, a veces imposible.
Problemas de rompecabezas
Problema 1.
Se cogen cuatro piezas (por ejemplo: cajas de cerillas. libros, paquetes de detergente,
etc.) y se pide a los alumnos que las dispongan de las cuatro maneras que se indican a
continuación. Las piezas han de tocarse entre sí estableciendo contacto con sus super-
ficies planas: no basta que se toquen sus vértices o bordes.
1. Colóquense de modo que cada pieza toque a otras dos.
2. Colóquense de modo que una pieza toque a otra; otra pieza toque a dos, y una
tercera toque a tres.
3. Colóquense de modo que cada pieza toque a otras tres.
4. Colóquense de modo que cada pieza toque sólo a otra pieza.
Soluciones
Hay varias formas de hacerlo. En la figura se ilustra una solución.
101
A menudo este problema presenta dificultades, porque se parte del supuesto de que hay
que solucionarlo por el mismo orden en que se planteó: una pieza que toque a otra: otra
pieza que toque a dos, y una tercera que toque a tres a la vez. En cambio, si se empieza
por el final, intentando que una pieza toque a otras tres puede modificarse gradualmen-
te la posición hasta conseguir la solución correspondiente.
Algunas personas encuentran este problema muy difícil porque suponen que todas las
piezas deben colocarse en el mismo plano (sobre una superficie llana). Cuando se pres-
cinde de este supuesto y se coloca alguna pieza sobre las demás, no tarda en obtenerse
la solución correcta.
Hay una sorprendente dificultad en la solución de este problema. El error más común es
disponer las piezas en una fila, pero con ello sólo las piezas de los extremos cumplen el
requisito de tocar exclusivamente otra pieza, ya que las piezas centrales están en con-
tacto con otras dos. Son muchos los que declaran abiertamente que no existe solución,
a pesar de que ésta es muy fácil.
Comentario
La mayoría de las personas tratan de solucionar estos problemas de rompecabezas ju-
gando más o menos al azar con las piezas e improvisando. Consideran las cuatro piezas
como una unidad o conjunto y ello provoca dificultades. Cuando se supera este supuesto
artificial es muy fácil encontrar la solución.
TÉCNICAS DEL PENSAMIENTO LATERAL
Con las técnicas del pensamiento lateral se empiezan a desarrollar las ideas sin saber
adónde conducirán. Sólo después se valoran los resultados. No se trata de demostrar
nada, sino de proporcionar un estímulo a la mente.
PROVOCACIONES:
Cuando evaluamos un problema siempre tendemos a seguir un patrón natural o habitual
de pensamiento que nos limita (las sillas son para sentarse, el suelo para caminar, los
vasos sirven para verter líquidos, etc.).
Mediante provocaciones del pensamiento debemos salirnos del camino habitual.
PROVOCACIONES: Palabra aleatoria
Se trata de generar un punto de entrada hacia una nueva línea de pensamiento mediante
102
un sustantivo elegido al azar, tomado del diccionario o de cualquier otro lado que no
esté directamente conectado con el objeto.
Se realizan asociaciones aleatorias con este sustantivo generando una frase, verbo, ad-
jetivo u otro sustantivo, y se verifica qué conexión tiene esta asociación con el
objeto; a partir de esta conexión se generan ideas. Luego se repite el proceso con la
asociación generada como punto de entrada, y así sucesivamente de forma recurrente
hasta que se considere suficiente.
Generalmente se realizan cadenas de asociaciones muy largas, por lo que hay que tener
cuidado en el tiempo consumido generando ideas en cada ciclo de asociación.
PROVOCACIONES: Escape
Es una de las técnicas más poderosas para crear provocaciones. Muchos de nues-
tros supuestos son falsos, es decir, pensamos con prejuicios. La negación de alguno de
estos supuestos nos permite pensar más allá de la manera habitual.
Partiendo de una situación concreta, un escape consiste en observar qué enunciados
damos por verdaderos. Y luego los negamos. A partir de este nuevo entorno, con las
herramientas habituales se buscan nuevas soluciones.
Ejemplo
En un experimento, se le pedía a un grupo de electricistas que realizara una conexión
simple con ciertas herramientas. Pero el cable que se les entregó era deliberadamente
demasiado corto para cerrar el circuito (por un tramo muy pequeño).
Muy pocos de ellos pudieron resolver el problema, porque al encontrar dificultades úni-
camente pensaban:
“Necesito alambre para cerrar el circuito”.
Si aplicamos la técnica del ESCAPE a ese principio nos queda:
“No necesito alambre para cerrar el circuito”.
Bueno, si no es alambre entonces, ¿qué?
En este momento se vuelve obvio que:
“Necesito algo para cerrar el circuito”.
Los electricistas que sí pudieron resolver el problema se dieron cuenta de que podían
usar el destornillador que se les había proporcionado para cerrar el circuito.
103
PROVOCACIONES: Piedra en el camino
Consiste en crear provocaciones revirtiendo, exagerando, distorsionando o modificando
de cualquier forma el entorno del problema. Generalmente es muy útil suponer que
cierta entidad es tal cual como se desea que fuese, no como es en realidad.
Por ejemplo, si buscamos formas de hacer que un barco pueda moverse por zonas muy
poco profundas: sabemos que un barco flota en el agua y posee cierta cantidad de espa-
cio sumergido, mediante exageración tomamos la provocación “un barco que no tenga
espacio sumergido”. (esta sería la piedra en el camino del pensamiento habitual).
ANALOGÍAS:
Analogía es la relación de semejanza entre dos o más cosas, un proceso del pensamiento
fundamentado en la existencia de casos paralelos. Las analogías constituyen un instru-
mento para conferir nuevos enfoques a un problema, en vez de confiar meramente en
una inspiración espontánea.
Permiten el desarrollo de funciones, procesos y relaciones que luego se trasladan al pro-
blema para intentar su reestructuración.
La analogía no requiere un constante paralelismo, porque esa divergencia puede reque-
rir un esfuerzo para relacionar la analogía con el problema que interesa, esfuerzo que
puede dar lugar a un nuevo enfoque.
Las analogías han de basarse en situaciones muy concretas y con las cuales se está fami-
liarizado. Dichas situaciones no requieren poseer un gran número de procesos funciones
o relaciones, ya que éstos pueden encontrarse en el seno de la analogía mediante el
adecuado esfuerzo. Sin embargo, es preciso que haya una acción y acontecimientos que
se presten a diferentes desenlaces, aunque no necesariamente deben ser reales.
MÉTODO DE INVERSIÓN:
Consiste en tomar un principio que consideramos verdadero e invertir los elementos
que operan en ese principio, con lo que se provoca una reordenación forzada de la in-
formación.
Se trata de ver el problema desde distintos puntos de vista para acercarse a su solu-
ción. Buscar las soluciones más descabelladas en ocasiones puede funcionar.
Ejemplos:
• Las llantas tienen autos.
• La cuerda coge la mano.
104
• Los cigarros se fuman a las personas.
FRACCIONAMIENTO O DIVISIÓN:
Cuando resulta difícil dividir algo en distintas fracciones, puede recurrirse a una técnica
artificial que consiste en la escisión de un problema en dos fracciones y repetir luego
sucesivamente la misma operación, hasta que se tiene el número deseado de partes.
Esta técnica no trata de dividir una situación o un problema en sus componentes na-
turales, como en el caso del análisis lógico, sino de obtener material que permita una
reestructuración de los modelos. Es decir, no intenta explicar nada, sino reordenar. No
trata de efectuar las sucesivas divisiones de manera que las partes resultantes sean de
importancia equivalente, sino que cualquier forma de división es correcta. Las fracciones
pueden a la vez ser muy artificiales y de una importancia desigual, pero resultar útiles.
El objetivo del fraccionamiento es evitar los efectos de la inhibición implícita en los mo-
delos fijos mediante su descomposición en varias partes, ya que ello ofrece mayores
posibilidades de creación.
RESPUESTAS IDÓNEAS:
Existen tres maneras en que el pensamiento puede ser obstruido:
•Puede faltar algo de información.
•Puede existir un bloqueo mental.
•Lo obvio obstruye la visión de una mejor opción.
El tercer caso tendría una solución con el pensamiento lateral. Una vez estructurada
la información es ya difícil transformarla en otra cosa. De este modo parece obvio que
la única salida sea aquella que ofrece la información ya estructurada, de modo que
si da respuesta al problema que se intenta resolver, pareciera que no hay necesidad
de buscar otra. Observa el siguiente ejemplo:
Una piscina se llena en 30 días. Si cada día se llena el doble que el anterior, ¿qué día
estará por la mitad?
El pensamiento lógico nos llevaría a desarrollar complicadas operaciones matemáticas
para intentar hallar la solución. Sin embargo, el pensamiento lateral nos ayudaría a ver
el problema desde otra perspectiva, y podríamos llegar a resolverlo de forma creativa y
rápida.
Si comenzamos a resolverlo por el final, el día 30 la piscina estará llena, y el día inmedia-
tamente anterior estará por la mitad, es decir, el día 29.
105
ENSEÑAR A PENSAR
Numerosos estudios parecen probar que los niños tienen una mayor creatividad que
los adultos.
Curiosamente el pensamiento imaginativo que a los adultos nos cuesta tanto esfuer-
zo, a ellos les resulta sencillo e incluso divertido.
Esto obedece a que la perspectiva de un niño no está determinada por los puntos de
vista que la educación va imponiendo a lo largo de los años.
Edward De Bono ha estudiado el pensamiento infantil como base para entender los pro-
cesos que a los adultos nos permiten recuperar esa capacidad que un día tuvimos. En
sus investigaciones constata que la capacidad de los niños para generar brillantes y elo-
cuentes ideas les convierte en «grandes pensadores» por el increíble uso que hacen del
limitado material del que disponen, incluso sin contar con la riqueza cultural que a priori
podría proporcionar resultados más fructíferos.
Sin embargo, esa amplia y flexible capacidad innata de pensamiento no se ve mejorada
en los largos años de educación, sino más bien todo lo contrario, sufre un gran deterioro.
Este efecto es la consecuencia de un sistema educativo que básicamente se limita a
transferir conocimientos. El énfasis ortodoxo en la cantidad de contenidos requeridos
inhibe el desarrollo de la capacidad de pensar cuando quizás empieza a ser más urgente
que nunca abordar nuevos modos de ver las cosas.
De Bono considera que la enseñanza ideal debiera cubrir tres grandes áreas. En primer
lugar, basicskills que incluiría lenguaje, pensamiento, matemáticas, habilidades socia-
les (relaciones interpersonales como individuos y grupos, y habilidades emocionales),
y conocimientos sociales (administración, industria, economía, política, etc.). En se-
gundo lugar, backgroundstudies que reúne muchas de las materias tradicionales como
geografía, historia, literatura, ciencias, idiomas, etc. Y en tercer lugar, specialorvocatio-
nalinterestsque pueden ser estudios de negocios, ingeniería, teatro, moda, idiomas,
e cosechado algo, hay que ser agudamente consciente de lo que se ha logrado. El
pensamiento sobre el pensamiento utilizado también aporta importantes observacio-
nes: bloqueos, recurrencias de ciertas ideas, puntos emocionantes, dificultades en la
generación de alternativas, puntos en blanco, nuevas maneras de pensar, probabilidad
de una conclusión, etc.tc
En cuanto a las habilidades de pensamiento, la educación únicamente desarrolla los
procesos de razonamiento lógico. Existe la creencia generalizada que la argumentación
lógica y libre de errores, la fluidez verbal, la capacidad de rebatir, y la crítica inteligente
implican una gran capacidad de pensar. Pero para De Bono todo esto pueden ser tram-
106
pas para un pensamiento eficaz.
Enseñar a pensar de manera deliberada y específica puede evitar esos errores y explorar
mayores posibilidades. El pensamiento es mucho más que la operación visible de una
inteligencia innata; es una habilidad que se aprende y, en definitiva, que puede ser de-
sarrollada y enseñada.
Los sistemas Educativos deben asegurar que todos los estudiantes participen en un pro-
grama de matemáticas excelente y equitativo, que proporcione un fuerte apoyo para su
aprendizaje, y que considere los conocimientos previos, las capacidades intelectuales y
los intereses personales; que atienda las necesidades matemáticas de todos los alumnos
sin entorpecer el aprendizaje de los demás: aquellos que muestran mucho interés y ha-
bilidades matemáticas necesitan oportunidades para alcanzar su propósito, y aquellos
que tienen dificultades especiales de aprendizaje en matemáticas, deben tener el apoyo
de los profesores y del departamento de Educación Especial.
Según Edward De Bono el pensamiento es una «técnica» que cualquiera puede dominar.
Pensar es una técnica operativa mediante la cual la inteligencia actúa sobre la experien-
cia. Pero esto no quiere decir que las personas inteligentes automáticamente saben
pensar, una de las falacias más peligrosas y extendidas acerca del pensamiento. Algunas
de las «trampas de la inteligencia» tales como el razonamiento rápido, el exceso de bri-
llantez, la facilidad para el análisis superficial o la certidumbre del pensamiento reactivo
pueden impedir un pensamiento más creativo y realmente eficaz.
Nuestra mente es capaz de reconocer esquemas familiares (reconocimiento), extraer
esquemas ocultos (abstracción), clasificar las cosas según las características comunes o
los puntos de diferencia (agrupamiento) y analizar una situación compleja (análisis).
La percepción trabaja como un fantástico sistema esquematizador auto organizado que
nos es indispensable para extraer sentido del mundo que nos rodea. Pero algunas veces
es necesario un cambio de esquemas mediante el error, el accidente y el humor. El pro-
ceso que seguimos en el humor es el mismo que en el caso de la percepción retrospec-
tiva y la intuición. La nueva perspectiva descubierta se nos presenta de repente como
algo obvio y razonable, aunque por medio de la lógica nunca hubiésemos llegado a ella.
El objetivo de la percepción es organizar la información elaborando esquemas que pos-
teriormente serán utilizados para facilitar el pensamiento.
El pensamiento lateral trata de proporcionarnos métodos más adecuados para cambiar
de esquemas que por error o accidente. Algunas veces nuestra capacidad de juicio nos
impide descubrir nuevas maneras de ver las cosas al desechar lo que juzgamos una mala
107
idea pero cuya movilidad nos dirigía hacia nuevos esquemas.
Para que el pensamiento se desarrolle como una capacidad útil debe tener cuatro as-
pectos importantes: deliberado (usado a voluntad), centrado (para ser eficaz), confia-
do (conociendo sus límites) y divertido (disfrutando de nuestra capacidad de pensar
en diferentes tareas y momentos). Una de las cosas más importantes es transformar
la imagen del yo «inteligente» o «torpe» cargada de valor, por la imagen operativa de
«pensador».
Además es preciso una estricta disciplina horaria (ponerse a pensar en algo durante
30 seg., 1min., ó 5 min.) que aumente la eficacia al liberarnos de la angustia de pensar
hasta encontrar una respuesta o solución. Incluso en un breve período de tiempo se
habrá cosechado algo, hay que ser agudamente consciente de lo que se ha logrado. El
pensamiento sobre el pensamiento utilizado también aporta importantes observacio-
nes: bloqueos, recurrencias de ciertas ideas, puntos emocionantes, dificultades en la
generación de alternativas, puntos en blanco, nuevas maneras de pensar, probabilidad
de una conclusión, etc.
Las actividades que se desarrollan en matemáticas deben ser merecedoras de la aten-
ción y el tiempo que le dedican los estudiantes, con el propósito que ellos la reciban con
mejor agrado y como una acción placentera y útil para la vida.
SEIS SOMBREROS PARA PENSAR
En uno de sus libros más famosos Edward De Bono presenta una curiosa técnica que
mediante la adopción artificiosa de distintos roles permite: en primer lugar, simplificar el
pensamiento al tratar un aspecto detrás de otro y no todos a la vez; y en segundo lugar,
estimular la flexibilidad mental considerando distintas perspectivas.
La imagen mental de «ponerse un sombrero» para pensar de un modo deliberado (pen-
samiento deliberado) representa ese estado sereno y despreocupado necesario para
cualquier pensamiento que sea algo más que meras reacciones frente a una situación
(pensamiento reactivo).
Cada sombrero define un rol muy concreto, lo que nos permite adoptar artificiosamente
seis papeles diferentes. Una buena analogía es la construcción de un mapa, el color de
cada sombrero representa un color distinto para la impresión del mapa.
Cuando todos los colores se reúnen tenemos el mapa completo. Este pensamiento car-
tográfico, en contraposición al pensamiento dialéctico, permite elaborar el mapa global
antes de elegir una ruta concreta.
La representación de un papel definido nos permite pensar y decir cosas sin arriesgar
108
nuestro «ego».
Dirige nuestra atención hacia seis puntos de vista diferentes, pero de uno en uno evitan-
do interferencias y confusión. Además, el simbolismo de estos sombreros propone un
modo adecuado de solicitar a los demás, o a uno mismo, que cambie de perspectiva
(pedir a alguien que se quite por un momento el sombrero negro es más neutral que
decirle que deje de ser tan negativo).
El color de cada sombrero está relacionado con su función para facilitar su uso. Igual-
mente puede ser útil considerarlos como tres pares contrapuestos. Así podríamos resu-
mir los seis sombreros del siguiente modo:
El sombrero blanco indica neutralidad mientras que el rojo simboliza las emociones y
sentimientos; el sombrero negro es la lógica negativa frente al amarillo que es la espe-
culación positiva; y finalmente el sombrero verde expresa creatividad opuesto al azul
que supone control y síntesis
SOMBRERO BLANCO: NEUTRALIDAD
El blanco (ausencia de color) indica neutralidad y objetividad. El pensamiento del som-brero blanco se ocupa de los hechos y las cifras puras. Es como una computadora que proporciona la información solicitada. Existe un sistema doble de información: los he-chos de primera clase que ya han sido verificados y probados, y los hechos de segunda clase que se creen verdaderos aunque no han sido totalmente confirmados. El uso del sombrero blanco nos permitirá presentar estos últimos siempre que sea dentro de un
marco adecuado que indique objetivamente su grado de probabilidad.
SOMBRERO ROJO: EMOCIONES Y SENTIMIENTOS
El sombrero rojo legitima las emociones y sentimientos como un elemento importante
del pensamiento, una parte del mapa que proporciona el sistema de valores para elegir
la ruta.
Permite entrar y salir de nuestra perspectiva emocional y explorar los sentimientos de
los demás de manera adecuada. Este pensamiento hace referencia a las emociones y
sentimientos, pero nunca se han de justificar ni basarlos en la lógica. El sombrero rojo in-
cluye dos tipos de sentimientos. En primer lugar, las emociones comunes desde las más
fuertes (ira, miedo…) hasta las más sutiles (sospecha…). Y en segundo lugar, los juicios
complejos o no justificables perceptivamente (presentimientos, intuiciones, sensacio-
nes, preferencias, sentimientos estéticos…).
SOMBRERO NEGRO: LÓGICA NEGATIVA
El sombrero negro es la lógica negativa, lo que tiene de malo, lo incorrecto y erróneo. Es
109
el abogado del diablo que dice lo que no se acomoda a la experiencia o al conocimiento
aceptado; los riesgos, peligros e imperfecciones; las razones por las que algo no se pue-
de hacer o no resultará. Indica los errores en el proceso de pensamiento. Confronta una
idea con el pasado para verificar si concuerda con lo ya conocido. Se proyecta hacia el fu-
turo para descubrir lo que podría fracasar. Y también puede hacer preguntas negativas.
Sin embargo, el pensamiento del sombrero negro no es argumentación sino el intento
objetivo de colocar en el mapa los aspectos negativos. Por tanto, nunca debe utilizarse
para encubrir complacencia negativa o sentimientos negativos, para ello debemos usar
el sombrero rojo. Cuando aparezcan nuevas ideas siempre se debe utilizar el sombrero
amarillo (juicio positivo) antes que el sombrero negro (juicio negativo).
SOMBRERO AMARILLO: ESPECULACIÓN POSITIVA
Frente al sombrero negro, triste y negativo, está el sombrero amarillo, alegre y positivo.
El amarillo significa el brillo del sol y la luminosidad. Este pensamiento abarca un espec-
tro positivo que va desde el respaldo lógico y práctico (valor, beneficio, ventajas…) hasta
los sueños, visiones o esperanzas. Se ocupa del optimismo bien fundado, pero no se
limita a esto, puede ser especulativo y buscador de oportunidades. Es un pensamiento
constructivo y generativo del que pueden surgir propuestas o sugerencias, es la operati-
vidad de la idea con la eficacia del objetivo. No obstante, no se ocupa de la mera euforia
positiva (sombrero rojo) ni tampoco, al menos directamente, de la creación de ideas
(sombrero verde).
SOMBRERO VERDE: CREATIVIDAD
El verde indica vegetación y crecimiento fértil. El sombrero verde es el pensamiento
creativo y lateral, es decir, actitudes, lenguaje y técnicas para salir de las pautas ha-
bituales del pensamiento y generar ideas o percepciones nuevas. Aquí el lenguaje del
movimiento (uso dela provocación) reemplaza al del juicio (uso de la lógica). Un aspecto
fundamental de este pensamiento es la búsqueda de alternativas más allá de lo conoci-
do, lo obvio, y lo satisfactorio.
El sombrero verde se detiene en un punto concreto para considerar la posibilidad de
ideas alternativas en ese punto. Es una pausa para la que no hacen falta razones.
SOMBRERO AZUL: CONTROL Y SÍNTESIS
El azul simboliza el cielo que está encima de todo. El sombrero azul tiene el control y or-
ganización del pensamiento mismo, y refuerza la disciplina asegurando el respeto de las
reglas del juego. Este pensamiento establece el foco o los aspectos hacia los que debe
dirigirse el pensamiento; define problemas y plantea preguntas, y establece la secuencia
gradual de las operaciones del pensamiento que se van a desarrollar. El sombrero azul es
110
el responsable de la síntesis y las conclusiones. Esta visión global puede darse, de vez en
cuando, durante el curso del pensamiento y también al final. Es el «director de orques-
ta» que modera y detiene la discusión insistiendo en el pensamiento cartográfico, él es
quién propone eventualmente el uso de los otros sombreros.
PROBLEMAS SOBRE PENSAMIENTO LATERAL
1. ¿Cuánta arena hay dentro de un agujero de 2 x 2 x 2 metros?
2. En un árbol hay siete perdices; llega un cazador, dispara y mata dos. ¿Cuántas perdi-
ces quedan en el árbol?
3. Un gallo sube a lo alto de una montaña y pone un huevo. Si el viento sopla de Este a
Oeste ¿hacia dónde caerá el huevo?
4. Marta y María son hijas del mismo padre y la misma madre. Sin embargo Marta dice
que no es hermana de María ¿Qué es Marta?
5. Hay gatos en un cajón, cada gato en un rincón, cada gato ve tres gatos ¿sabes cuán-
tos gatos son?
6. Madrid empieza por M y termina por T. ¿Lo puedes explicar?
7. Si digo: cinco por cuatro veinte, más dos, igual a veintitrés. ¿Es verdad o mentira?
8. Si digo: cinco por ocho cuarenta, más dos, igual a cuarenta y cuatro. ¿Es verdad o
mentira?
9. Un cazador se fue de caza, mató siete liebres y vivas las trajo a casa. ¿Puedes expli-
carlo?
10. Un granjero tiene 17 ovejas. Si se le mueren 9 ¿Cuántas ovejas le quedan?
11. ¿Cuánto valen siete sardinas y media, a Sol y medio la sardina y media?
12. ¿Qué se necesitaría para que cinco personas no se mojaran con un solo paraguas?
13. Si estás participando en una carrera y adelantas al segundo, ¿en qué posición ter-
minarás la carrera?
14. En un árbol hay siete perdices; si un cazador dispara y mata dos. ¿Cuántas perdices
quedan en el árbol?
15. A un árbol subí, donde manzanas había, si manzanas no comí y manzanas no dejé.
¿Cuántas manzanas había?
15. Si un ladrillo pesa un kilo más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa ladrillo y medio?
16. ¿Cuál es el resultado de dividir 30 por 1/2 y sumarle 10?
17. ¿Cuántas veces pueden restarse cinco de veinticinco?
18. Tengo tantas hermanas como hermanos, pero mis hermanos tienen la mitad de
hermanos que de hermanas. ¿Cuántos somos?
19. Dos personas jugaron cinco partidas de ajedrez. Cada una ganó tres. ¿Es posible?
20. Dos padres y dos hijos entran en una estación de “metro”. Compran sólo tres entra-
das y pasan sin problemas, ¿cómo lo hicieron?
21. Una señora le dice a su amiga: «...hace dos días mi hijo tenía seis años, pero el año
111
que viene tendrá nueve». ¿Es posible?
22. Una suma con tres cifras exactamente iguales da como resultado 24, pero el 8 no es
el número que buscamos. ¿De qué números se trata?
23. Si digo uno entre veinte es igual a diecinueve, ¿es posible?
24. Yendo yo hacia Villavieja me crucé con siete viejas. Cada vieja siete sacos, cada saco
siete ovejas. ¿Cuántas viejas, sacos y ovejas iban hacia Villavieja?
25. Si dos regalos cuestan 110 Soles y uno de ellos cuesta 100 Soles más que el otro,
¿cuánto vale cada regalo?
26. Un agricultor tiene 3 montones de paja en el prado y 4 montones en el pajar. Si los
juntara todos ¿cuántos montones tendría?
27. Si dos hombres hacen dos hoyos en dos días, ¿cuantos días necesita un sólo hom-
bre para hacer un hoyo?
28. Si un hombre se come una manzana en medio minuto. ¿Cuántos hombres hacen
falta para comer 30 manzanas en quince minutos?
29. ¿Qué número, menor de mil, tiene más letras?
30. Si seis pintores pintan un edificio en tres días, ¿cuántos días tardarían nueve pinto-
res?
31. Si un regalo me ha costado dos Soles más medio regalo, ¿cuánto me costarán dos
regalos?
32. ¿Cuántas bolas de 10 cm. de diámetro pueden introducirse en una caja vacía de
100 cm. de lado?
33. Una señora tenía en su monedero 30 Soles en dos billetes, pero uno de ellos no era
de 10 Soles. ¿Qué billetes tenía?
34. Si una niña se come un tamal en una hora,... ¿cuánto tardarán dos niñas en comer-
se dos tamales?
35. Si un niño tarda una hora en recorrer 1 kilómetro, ¿cuánto tardarán dos niños en
recorrer 2 kilómetros?
36. Si dos pintores pintan una pared en 3 días, ¿cuánto tardarían seis pintores?
37. Colocar 10 terrones de azúcar en 3 tazas vacías, de forma que cada taza contenga
un número impar de terrones.
38. Si un libro vale 20 Soles más la mitad de lo que cuesta. ¿Cuánto vale el libro?
39. ¿Qué número de dos cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades?
ACERTIJOS
EL ACERTIJO DE PITÁGORAS
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego del Siglo VI a.C. nacido en la isla de Samos.
Fundó su primera escuela en Samos. Para escapar de la tiranía de Polícrates emigró a
Crotona en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Tras ser expulsados de
112
Crotona, los pitagóricos se exiliaron a Tarento, donde fundaron su tercera escuela.
La comunidad pitagórica estaba rodeada de misterio. Los discípulos debían espe-
rar varios años antes de ser presentadosal maestro que permanecía oculto detrás
de una cortina y teníanque guardar estricto secreto de las enseñanzas recibidas.
Las doctrinas pitagóricas representaban un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético
y basado en la comunidad de bienes. Su objetivo era la purificación de sus miembros por
medio de la sabiduría. Afirmaban que la estructura del universoera aritmética y geomé-
trica, por lo que las matemáticas y la música constituían disciplinas fundamentales para
comprender laarmonía del universo. Según la tradición, Pitágoras fue el primero en em-
plear la palabra «filosofía» en su sentido literal de «amor a la sabiduría».
Cuenta la leyenda que cuando le preguntaban a Pitágoras por la cantidad de alumnos
que asistía a su Escuela, contestaba:
«La mitad estudia sólo matemáticas, la cuarta parte sólo se interesa por la música, una
séptima parte asiste, pero no participa y además vienen tres mujeres».
¿Cuántos discípulos tenía Pitágoras?
LOS 100 ESCALONES Y LAS 100 PALOMAS
El siguiente problema le fue planteado al matemático alemán Johann Carl Friedrich
Gauss (1777-1855), considerado como una de las figuras más influyentes de la histo-
ria de las matemáticas, cuando tan solo tenía 7 años de edad. Su maestro, que quería
estar tranquilo durante un buen rato, propuso a todos los niños de la clase hallar la
suma de los 100 primeros números naturales. Gauss encontró rápidamente la solución.
Este acertijo había sido escenificado por Alcuino de York, en el sigloVIII, con palomas y
una escalera.
En una escalera de 100 escalones, se posa en el primer escalón 1 paloma, en el segundo 2,
en el tercero 3 y así sucesivamente hasta el escalón 100 en el que se posan 100 palomas.
¿Cuántas palomas hay en total?
LOS TRES AMIGOS
Tres amigos comen juntos, la cuenta asciende a 25 Soles y ponen 10 Soles cada uno.
El camarero les devuelve 5 Soles. Cada uno toma 1 Sol y dejan 2 Soles de propina.
Van a tomar café a otro sitio y comentan las cuentas de la comida. Como cada uno había
puesto 9 Soleshabían gastado en total 27 Soles (9 x 3 = 27) más 2 Solesde la propina, es
decir, 29 Soles. ¿Dónde está el Sol que falta?
LAS EDADES DE LAS HIJAS
Un encuestador llama a una casa donde es atendido por una mujer:
113
E: ¿Es usted la señora María, la vecina de Teresa quien vive en la casa 12?
S: Sí señor, con ella habla
E: ¿Cuántos hijos tiene usted?
S: Tres hijas, dice la señora.
E: ¿De qué edades?
S: El producto de las edades es 36 y la suma es igual al número de esta casa.
El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la señora que necesita más informa-
ción para deducir las edades de sus hijas. La señora piensa un momento y le dice:
Tiene razón, la mayor toca el piano.
¿Qué edades tienen las hijas?
EL ACERTIJO DE PLATÓN
En el Libro V de la «República» Platón expone un enigma o adivinanza que dice así:(...)
«se cuenta que un hombre que no es un hombre, viendo y no viendo a un pájaro que
no es un pájaro, posado en un árbol que no es un árbol, le tira y no le tira una piedra
que no es una piedra».
Aclarando un poco el contexto de la adivinanza; hay que tener muy en cuenta que para
Platón, la apariencia de una cosa es sólo una copia imperfecta de la idea de esa cosa,
esto es, por medio de la adivinanza Platón ejemplifica su teoría y muestra casos en que
la apariencia de algo nos engaña, pues lo que vemos no es lo que es realmente. Así,
vemos un hombre que no es hombre, porque un eunuco, aunque parece un hombre,
no lo es, dado que es incapaz de reproducirse; el tuerto ve y no ve, porque su campo
visual está disminuído, etc.
Volviendo a la adivinanza: un pájaro que no es un pájaro se va a referir, entonces, a un
animal que tenga la apariencia de o se parezca mucho a un pájaro, tanto que podría
engañarnos en cuanto a su naturaleza (un ejemplo similar es la ballena que es un pez y
no es un pez).
a) Una pájara
b) Un murciélago
c) Un pterosaurio (o su fósil)
d) Una bandada de pájaros formando una V
(el hombre-no hombre es tuerto, por lo cual ve, pero no ve, ...sobre todo en 3D)
...posado en un árbol...
a) Árbol genealógico
b) Árbol evolutivo
c) Arbusto (como la carrasquilla o la adelfa)
d) Espiga floral de un Magüey
114
...le tira y no le tira...
a) Le tira pero no acierta
b) Le tira pero lanzando en otra dirección distinta a aquella dónde está el pájaro que no
lo es
...con una piedra que no es una piedra...
a) Piedra pómez
b) Piedra de un encendedor (pedernal)
c) Piedra de afilar
d) Piedra renal (cálculo)
e) Piedra preciosa
ACERTIJO DE LAS 90 MANZANAS
Un padre les dice a sus 3 hijas que vendan 90 manzanas.
La mayor, María, llevará 50; Karolina, la mediana, Llevará 30, y Yalena, la menor llevará
las otras 10.
Pero el padre les obliga a que las vendan según la siguiente regla: Si María vende a un
precio las manzanas, el resto tendrán que venderlo también a ese precio. Es decir, Si
María vende al precio de 10 manzanas por 1 Sol, el resto de las hermanas tendrán que
venderlas al mismo precio. Si María vende las manzanas a 3 por 1 Sol, el resto de las
hermanas también.
Además les dice que tendrán que conseguir por dicha venta la misma cantidad de dinero
por sus respectivas manzanas, sin que ninguna hija pueda deshacerse de ninguna man-
zana.
¿Cómo es posible que si María vende 50 manzanas, Karolina 30 y Yalena 10 al precio que
escoja María, puedan conseguir la misma cantidad por las manzanas vendidas? Lógica-
mente, la venta de 50 manzanas, tendría que producir una cantidad mucho mayor que
la venta de 30 o solo 10. ¿Cómo debe vender María para cumplir el mandato del padre?
EL ACERTIJO DE SANSÓN
Cierto día, estando Sansón en Timna, se vio atraído por una mujer filistea. Cuando volvió
a su casa, dijo a su padre y a su madre:
Me gusta una joven filistea de Timna y quiero casarme con ella. Consíganmela.
Pero su padre y su madre se opusieron.
115
¿Acaso no hay una sola mujer de nuestra tribu o entre todas las israelitas con la que
puedas casarte?, preguntaron. ¿Por qué tienes que ir a los filisteos paganos a buscar una
esposa?
Sin embargo, Sansón le dijo a su padre:
¡Consíguemela! A mí me gusta ella.
Su padre y su madre no se daban cuenta de que el Señor estaba obrando en todo esto,
con el fin de crear una oportunidad para actuar contra los filisteos, que en ese
tiempo gobernaban a Israel.
Cuando Sansón y sus padres descendían hacia Timna, de repente un león joven atacó
a Sansón cerca de los viñedos de Timna. En ese instante, el Espíritu del Señor vino
con poder sobre él y despedazó las quijadas del león a mano limpia; tan fácilmente
como si hubiera sido un cabrito. Pero no contó nada de lo sucedido ni a su padre ni
a su madre. Cuando Sansón llegó a Timna, conversó con la mujer y quedó encanta-
do con ella.
Más tarde, cuando volvió a Timna para la boda, se apartó del camino para ver el ca-
dáver del león. Y encontró un enjambre de abejas que había hecho miel en los restos
del animal. Entonces tomó un poco de miel con las manos y la fue comiendo por el
camino. También dio un poco a su padre y a su madre, y ellos comieron; pero no les
dijo que había tomado la miel del cadáver del león.
Mientras su padre finalizaba los detalles para el casamiento, Sansón dio una fiesta
en Timna, como era costumbre de los jóvenes de la alta sociedad.Cuando los padres
de la novia vieron a Sansón, seleccionaron a treinta jóvenes de la ciudad para que
fueran sus acompañantes.
Sansón les dijo a estos jóvenes:
Les propongo un acertijo. Si lo resuelven durante estos siete días de celebración,
les daré treinta mantos de lino fino y treinta trajes de ropa para fiesta. Pero si no
pueden encontrar la solución, entonces ustedes me darán a mí treinta mantos de
lino fino y treinta trajes de ropa para fiesta.
Muy bien, dijeron ellos, dinos tu acertijo.
Entonces él recitó:
Del que come, salió algo para comer;y del fuerte, salió algo dulce.
116
Tres días más tarde, seguían intentando resolver el acertijo.Al cuarto día le dijeron a la
mujer de Sansón: «Seduce a tu esposo para que nos explique el acertijo; de lo contrario,
quemaremos la casa de tu padre contigo adentro. ¿O acaso nos invitaste a esta fiesta
solo para empobrecernos?».
Entonces la mujer de Sansón fue a verlo y con lágrimas le dijo:
Tú no me amas; ¡me odias! Le propusiste un acertijo a mi gente, pero no me contaste a
mí la solución.
Ni a mi padre ni a mi madre le di la respuesta, contestó él. ¿Por qué te la revelaría a ti?
Entonces ella no dejaba de llorar cada vez que estaba con él, y siguió llorando hasta el
último día de la celebración. Finalmente, cuando llegó el séptimo día, él le dio la res-
puesta, porque lo estaba fastidiando con tanta insistencia. Y ella les explicó el acertijo a
los jóvenes.
Entonces, ese séptimo día, antes de que se pusiera el sol, los hombres de la ciudad se
acercaron a Sansón con su respuesta:
¿Qué es más dulce que la miel?
¿Qué es más fuerte que un león?
Y Sansón respondió:
¡Si no hubieran arado con mi novilla, jamás habrían descifrado mi acertijo!
Entonces el Espíritu del Señor vino con poder sobre Sansón, quien descendió a la
ciudad de Ascalón, mató a treinta hombres, les quitó las pertenencias, y dio la ropa
a los hombres que habían resuelto el acertijo. Pero Sansón estaba furioso por lo
que había sucedido y se volvió a la casa de sus padres, a vivir con ellos.Entonces su
mujer fue dada en matrimonio a quien había sido el padrino de Sansón en la boda.
EPITAFIO DE DIOFANTO
¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh
maravilla!, la duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había
transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba.
A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó,
además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este
entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo
117
que su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con profunda
pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, ¿cuántos años vivió
Diofanto hasta que le llegó la muerte?».
ACERTIJO DE LAS PESAS
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), matemático francés, fue considerado
el hombre más sabio de toda Francia. Era, además, poeta, lingüista y estudioso de los
clásicos, tradujo la «Arithmetica» al latín. Le apasionaban los acertijos matemáticos.
Su obra publicada en 1905 «ProblemesPlaisants Et DélectablesQui Se Font Par Les Nom-
bres» (Problemas entretenidos que se plantean con los números) representa el primer
tratado de matemáticas recreativas de la historia.
El problema original dice así:
Un mercader tenía una pesa de 40 kilogramos que se cayó al suelo y se rompió divi-
diéndose en 4 partes desiguales. Llevó estos pesos a una balanza y comprobó que cada
trozo tenía un peso equivalente a un número entero de kilogramos y al emplearlas para
pesar observó que con estas 4 pesas podía pesar objetos cuyo peso fuera un número
entero cualquiera de kilogramos entre 1 y 40. ¿Cuántos kilogramos pesa cada una de
las 4 pesas?
EL PASTOR, LA CABRA, EL LOBO Y LA LECHUGA
Un pastor tiene que cruzar un río con una cabra, un lobo y una lechuga. Puede utilizar
una barca en la que sólo caben el pastor y uno de losanimales o la lechuga. El único
que puede remar es el pastor, pero no puede dejar solos en cualquiera de las dos ori-
llas al lobo con la cabra (porqueel lobo se comería a la cabra) o bien a la cabra con la
lechuga (porque la cabra se comería la lechuga).
¿Cómo podrá cruzar el pastor los dos animales y la lechuga a la otra orilla?
Tema 5
LA INTELIGENCIA EMOCIONAL EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
Tradicionalmente, dentro de la investigación escolar el aprendizaje se viene midiendo
por los logros académicos del aspecto cognitivo. Aun reconociendo que las cuestiones
afectivas procedentes de la metacognición y dimensión afectiva del individuo determi-
nan la calidad del aprendizaje, este aspecto a menudo se ha dejado de lado.
La relevancia de la importancia de las cuestiones afectivas ha sido puesta de relieve
en los últimos años en otros trabajos como los de Salovey y Mayer (1990) y Goleman
(1996), los cuales plantean una transformación orientada hacia lo que estos autores de-
nominan “alfabetización emocional”.
En Educación Matemática esta línea está orientada hacia la educación de los afectos,
creencias, actitudes y emociones, como determinantes de la calidad de los aprendizajes
(Goldin, 1988a, 1988b; Gómez-Chacón, 1997, 1988; McLeod 1989a, 1989b, 1992).
Efectivamente, la investigación en Educación matemática ha estado principalmente cen-
trada en los aspectos cognitivos, dejando un poco de lado los aspectos afectivos. En gran
parte, posiblemente, esto sea debido al popular mito de que las matemáticas son algo
puramente intelectual, donde el comportamiento relativo a las emociones no juega un
papel esencial.
Halmos y Polya consideran que “la matemática es algo emocional”: un matemático es
una persona y tiende a sentir emociones fuertes sobre qué parte de las matemáticas
está dispuesto a soportar y, naturalmente, emociones fuertes sobre otras personas y
las clases de matemáticas que les gustan. “Sería un error el creer que la solución de un
problema es un “asunto puramente intelectual”; la determinación, las emociones, jue-
gan un papel importante. Una determinación un tanto tibia, un vago deseo de hacer lo
menos posible pueden bastar a un problema de rutina que se plantea en la clase; pero,
para resolver un problema científico serio, hace falta una fuerza de voluntad capaz de
resistir años de trabajos y de amargos fracasos” (Polya, Como plantear y resolver proble-
mas, 80-81)
En los ámbitos de aprendizaje de la matemática, los afectos no son un lujo, desempeñan
un papel en la comunicación de intenciones de los estudiantes a los demás, y de guía
119
cognitiva, facilitando o bloqueando la adquisición de conocimientos.
La importancia de los factores afectivos en educación, y en particular en el aprendiza-
je de la Matemática, es un tema que emerge periódicamente y desde aproximaciones
diferentes. Por ejemplo, en los años 70 aparece en los estudios sobre obstáculos para
el aprendizaje matemático de la mujer (como ejemplo, Fennema y Sherman, 1976) y
en estudios con población universitaria y en educación de adultos en general. En edu-
cación matemática el paradigma alternativo de investigación en afecto que ha surgido
con más fuerza en los años 90, se ha desarrollado al margen de la psicología evolutiva,
a la sombra de los trabajos más recientes de la psicología cognitiva y del socioconstruc-
tivismo (McLeod, 1988, 1992, Goldin, 1988, etc.). La necesidad de tener en cuenta los
bloqueos en la resolución de problemas ha hecho que las investigaciones se centren en
el estudio de estos bloqueos. Se ha puesto el acento en tres descriptores básicos del
dominio afectivo (emociones, actitudes y creencias), especificando varias dimensiones
del estado emocional del resolutor de problemas: magnitud, dirección de la emoción,
duración y nivel de consciencia y de control del estudiante. Se da mayor relevancia a las
emociones, apoyándose en que la mayoría de los factores afectivos surgen de las res-
puestas emocionales a la interrupción de los planes en la resolución de problemas. En
estas investigaciones se pone especial atención en personas individuales y en situacio-
nes de laboratorio. Otros autores como Walkerdine (1988), Nimier (1988, 1993), Taylor
(1989), Evans (2000) consideraron de utilidad las aproximaciones psicoanalíticas y las
ideas post-estructuralistas como marco de interpretación de las reacciones afectivas de
estudiantes y profesores.
La reconceptualización del dominio afectivo en la década actual viene marcada por dos
intencionalidades esenciales: por el intento de consolidación de un marco teórico y por
la apertura para tomar en cuenta el contexto social de aprendizaje (Gómez-Chacón,
1997, 2000a).
Buscando promover la integración de las perspectivas cognitiva y emocional en los estu-
diantes, y ponerlas al servicio del proceso Enseñanza – Aprendizaje de las matemáticas,
se presenta como modelo un programa de intervención con el que se pretende mejorar
el desarrollo de los Procesos generales de la actividad matemática. Las actividades que
se presentan pueden ser modificadas de acuerdo a la población a la que se aplica.
PROGRAMA “ECAES”
(Estímulos, Creencias, Actitudes, Emociones, Solución de conflictos)
VERSIÓN PARA PSICOORIENTADOR Y DOCENTE
Es un programa que brinda estrategias para estimular y mejorar las creencias, actitudes
120
y emociones de los estudiantes frente a los procesos generales de la actividad matemá-
tica. Este programa busca integrar la perspectiva cognitiva con la perspectiva emocional
del estudiante con el fin de fortalecer el desarrollo de los procesos generales de la acti-
vidad matemática.
SESIONES PARA TRABAJAR CON LOS PADRES DE FAMILIA
Sesión N° 1 “Compartiendo como amigos”
Esta primera sesión es más de carácter social, por lo tanto se realiza un domingo invitan-
do a los padres a una cena y se les proyecta la película “Todo niño es especial”
Objetivo: Motivar a los padres de familia a que sean parte activa del programa “ECAES”
y que contribuyan de manera asertiva con el desarrollo emocional de sus hijos.
Tiempo: 3 Horas
Actividades:
1. Conociéndonos: Cada uno de los participantes se presenta y menciona por qué se
siente tan feliz de ser el papá o mamá de ……………
2. Reflexionando: Proyección de la película “Todo niño es especial” A partir de la pelí-
cula se genera una reflexión sobre el rol de los padres en el desarrollo emocional de los
niños.
3. Conociendo el programa “ECAES”: Se explica a los padres de familia los objetivos del
programa, el propósito, los beneficios y el papel que ellos deben desempeñar en el de-
sarrollo de éste
4. Aplicando: Planteamiento de una situación matemática relacionada con la película
5. Cena y despedida
Sesión 2 “Criando niños felices, exitosos y sanos emocionalmente”
Objetivo: Resaltar la importancia de desarrollar la inteligencia emocional de sus hijos
y de descubrir formas de ayudarlos a que expresen sus emociones de manera asertiva.
Tiempo: 1 hora
Actividades:
1. Motivándonos: Ver la reflexión para padres “Yo acuso a los padres”. Disponible en
Internet en: http://www.youtube.com/watch?v=9NQRzJBCGs8
121
2.Debatiendo: Se le pide a los padres que mencionen todas las emociones que recuer-
den que son sentidas por los niños y expresadas en el vídeo.
3. Reflexionando: Se les solicita a los padres que piensen sobre aquellos aspectos de lo
que los hijos acusan a sus padres expresado en el vídeo que ellos pueden estar come-
tiendo y se les anima a que estén muy atento al seminario que se les presentará.
4. Explorando los conocimientos previos: Se plantean preguntas relacionadas con el
tema: ¿Qué es inteligencia emocional? ¿Qué son las emociones? Etc.
4. Seminario: “Criando niños felices, exitosos y sanos emocionalmente”.
Ítems a tratar:
¿Qué es la inteligencia emocional?
Principios de la inteligencia emocional.
Aspectos que hacen parte de la inteligencia emocional:
- Conocimiento de las emociones
- Manejo de las emociones
- Motivación intrínseca.
- Reconocimiento de las emociones en los demás
- Manejo de las relaciones
5. Aplicando: Se presenta una situación matemática sencilla y creativa para que la re-
suelvan de manera individual y socialización de la solución o posibles soluciones.
Sesión N° 3 “Conociendo a mi hijo”
Objetivo: Instruir a los padres de familia sobre el desarrollo emocional de los niños, dan-
do a conocer cuáles son las características propias de la edad y las carencias afectivas a
las que se pueden ver abordados.
Tiempo: Una hora
Actividades:
1. Motivación: Con anticipación se le solicita a los niños que hagan una cartica a sus pa-
dres donde les hagan saber cuáles son las cosas que a ellos más les agrada y qué cosas
les desagrada. Estas carticas se les entregan a los padres quienes las leerán de manera
mental
122
2. Puesta en Común: Los padres tendrán la oportunidad de contar cómo se sintieron con
el mensaje que recibieron de sus hijos.
3. Seminario: “Desarrollo emocional de los niños de 8 a 10 años” ¨
Ítems a tratar:
- Características emocionales de los niños de 8 a 10 años
- Carencias afectivas detectadas en los niños de 4° de la Institución Educativa La Fe
4. Respondiendo el mensaje: Se les pide a los padres que escriban una cartica a sus hijos
donde expresen todo su amor y los cambios que de ahora en adelante va a realizar para
ayudar a su hijo en su desarrollo emocional.
5. Aplicando: Se presenta una situación matemática creativa para que la resuelvan en
parejas.
Sesión N° 4 “Manejando las emociones”
Objetivo: Brindar a los padres de familias herramientas que le ayuden en la orientación
del manejo de sus propias emociones.
Tiempo: Una hora
1. Motivación: El moderador de la sesión tendrá unos cartelitos donde estarán escritas
las diferentes emociones que se pueden sentir frente a alguna situación (Tristeza, ale-
gría, rabia, susto, duda, asombro etc.) A medida que los va mostrando los participantes
irán haciendo el gesto que mejor representa la emoción señalada.
2.Reflexión: Se organizan en grupo de tres personas y a cada grupo se le presentan al-
gunas situaciones para que entre ellos dialoguen de cómo generalmente respondemos
ante esas situaciones y cuál sería la forma correcta de hacerlo.
3. Puesta en común: A medida que se vayan leyendo las situaciones planteadas en la
actividad anterior cada grupo expone las conclusiones a las que llegaron y el orientador
reafirma las respuestas y/o hace las correcciones y anotaciones necesarias.
3. Aplicando: Se presenta una situación matemática creativa para que la resuelvan en
tríos.
Sesión N° 5 “Orientando a mi hijo en el manejo de las emociones”
Objetivo: Brindar a los padres de familias herramientas que le ayuden en la orientación
del manejo de las emociones de sus hijos.
123
Tiempo: Dos horas
1. Motivación: Los participantes forman grupos de cuatro personas. A cada grupo se
le entrega un pliego de papel bond y marcadores. Se les pide que dividan este en tres
columnas. En la primera columna deben escribir las emociones que son más frecuentes
en sus hijos; en la segunda columna la forma como manifiestan esas emociones y en la
tercera escriben como pueden ayudarlos a que expresen esas emociones respetándose
a sí mismos y respetando a los demás.
2.Puesta en común: Se le pide a cada grupo que peguen sus carteles en una de las pare-
des del aula y que todos lean los carteles de los demás grupos.
3. Seminario: “Orientaciones para el manejo de las emociones”
Ítems a tratar
Las emociones estados afectivos subjetivos
Respuestas biológicas de las emociones
Lo que debo enseñarle a mi hijo para que sea sano emocionalmente.
4. Reconociendo la importancia de un cambio: Invite a los participantes a que mencio-
nen públicamente qué cosas van hacer en sus casas para motivar la inteligencia emocio-
nal de sus hijos, qué cambios harían. Anímelos a asumir estos compromisos.
3. Aplicando: Se presenta una situación matemática creativa para que la resuelvan en
los grupos establecidos.
Sesión N° 6 “Fortaleciendo la autoestima”
Objetivo: Motivar a los padres de familia a derribar las barreras que han levantado ellos
mismos y que han conducido a sus hijos a tener una baja autoestima, por medio del
intercambio de apreciaciones personales y cualidades personales
Tiempo: Una hora y media
Actividades:
1. Motivación: A cada padre de familia se le entrega una hoja doblada en dos partes
iguales. Se les pide que en una parte de la hoja se dibujen ellos y que escriban a su lado
dos atributos físicos, dos cualidades y dos capacidades o habilidades que les agrada de
ellos mismos. En la otra parte de la hoja deben dibujar a su hijo o hija y también tendrán
que escribir dos atributos físicos, dos cualidades y dos habilidades que ellos reconozcan
en sus hijos con los que se encuentran agradados.
124
2.Reflexión: Se dialoga con los padres de cómo se sintieron al hacer la actividad, qué les
dio más dificultad reconocer, los atributos físicos, las cualidades o las habilidades.
3. Seminario: Ítems a considerar:
- La autoestima y su importancia
- Cómo mejorar la autoestima de mi hijo
4. Aplicando: Para esta sesión se plantea una situación matemática para que la resuel-
van en grupos de 5 personas.
5. Asignando trabajo: A los padres se les asignan las siguientes actividades que tendrán
que hacer durante la semana.
- Día uno: Elabore un pequeño cartel para su hijo. Coloque una foto de su hijo en el cen-
tro en la parte superior escríbale: Mi futuro Doctor (profesión u oficio por el que él se
inclina). Coloque este cartelito en un lugar visible para el niño
- Día dos: Al cartel escríbale en la parte inferior una felicitación por un logro reciente que
él haya obtenido
- Día tres: Siga completando el cartel escribiéndole en el lado izquierdo las dos cualida-
des físicas que a usted más le agradan de él.
- Día cuatro: Termine el cartel escribiendo en el lado derecho dos cosas que él última-
mente haya hecho bien.
- Día cinco: Háblale a tu hijo de sus raíces culturales y lo que más te gustaría que él va-
lorara de ellas.
Día seis: Enséñale a tu hijo algo propio de tu cultura: canción, poema, cuento, baile,
comida etc.
Sesión 7: “Manejando los conflictos”
Objetivo: Conducir a los padres de familia a que examinen los métodos usados en la re-
solución de conflictos con sus hijos e instarlos a introducir formas más adecuadas.
Tiempo: Una hora
Actividades:
1. Motivación: Se presentan algunas imágenes de conflictos que se están dando en el
país, conflictos que se dan en la familia y conflictos que se dan en la escuela.
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2.Dialogando: Se anima a los participantes a que mencionen cómo solucionarían ellos
cada uno de los conflictos señalados y se hacen las observaciones necesarias a cada una
de sus opiniones.
3. Explorando conocimientos previos: Se plantean algunos cuestionamientos cómo:
¿Son necesarios los conflictos? ¿Por qué? ¿Por qué se generan los conflictos? Etc.
4. Trabajando en grupo: A cada grupo se le entrega el material de estudio y se le asigna
en qué punto trabajarán. Los temas presentados en el material de estudio son:
- Los conflictos: Qué son, por qué se originan, aspectos positivos de los conflictos, formas
de solucionar los conflictos, maneras cómo los niños solucionan los conflictos, habilida-
des que se deben desarrollar para manejar los conflictos de manera asertiva.
5. Compartiendo lo que aprendí: A cada grupo se le pide que exponga lo que pudo ex-
traer del texto asignado. El orientador complementa la actividad.
Sesión 8: “Mi hijo se relaciona con los demás”
Objetivo: Capacitar a los padres de familia en el manejo de las relaciones interpersona-
les, especialmente las relaciones con sus hijos.
Actividades:
1. Motivación: Se entregan unas cajitas con chocolates a cada padre. Se les pide que
escojan a alguien del grupo de participantes y la obsequien diciendo por qué escogió a
esa persona.
2. Dialogando: A partir de la actividad anterior se explica que todos los seres humanos
tenemos unas personas con las que tenemos mayor empatía, pero que existen algunas
otras que no son de nuestro agrado, explicando por qué sucede esto. Se dialoga sobre la
importancia de las relaciones interpersonales, cómo debemos relacionarnos con aque-
llos que nos agradan y con los que no nos agradan y cómo ellos pueden ayudar a sus
hijos a tener buenas relaciones interpersonales.
3. Reconociendo las relaciones interpersonales de los hijos: Se entrega a cada padre
una hoja para que en un lado de ésta escriban el nombre de las personas con las que sus
hijos les agrada relacionarse más y al otro lado el de las personas con las que menos les
gusta relacionarse. Se les anima para que indaguen por qué les gusta relacionarse más
con esas personas y poco con las otras.
4. Aplicando: Para esta sesión se plantea una situación matemática para que la resuel-
van de manera individual.
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Sesión 9: “Desvirtuando mitos relacionados con el aprendizaje de las matemáticas”
Objetivo: Desvirtuar algunas creencias erradas que los padres tienen relacionadas con el
aprendizaje de las matemáticas y fortalecer las creencias acertadas.
Tiempo: Una hora y media
Actividades:
1. Motivación,Estudio de casos: Se forman 4 grupos, a cada grupo se le asigna un caso
para que analicen que actividades matemáticas se presentan en cada una de ellas. Todos
los casos serán de las actividades cotidianas que los padres realizan en que hacen uso de
las matemáticas como por ejemplo: María es ama de casa, ella estudió hasta tercer gra-
do de primaria. María siempre habla de su dificultad para entender las matemáticas, ella
piensa que estas son difíciles y que sólo algunos tienen la facilidad para entenderla. Sin
embargo María reconoce su habilidad con las manos y es una gran modista, ella fabrica
vestidos, blusas, pantalones, camisas, en fin todo lo relacionado con vestuario, lencería
etc. Entonces, ¿creen ustedes que María es buena en las matemáticas? ¿Qué actividades
matemáticas debe usar para poder fabricar las prendas de vestir o lencerías? ¿Dónde ra-
dica el problema de María con las matemáticas? Otro ejemplo puede ser: Orlando es un
padre de familia, él no tuvo la oportunidad de estudiar solo cursó hasta segundo grado
de primaria, sin embargo todos sus hijos son profesionales, hasta tiene un hijo matemá-
tico. El piensa que él tiene facilidad para las matemáticas sólo que no tuvo la oportuni-
dad para desarrollar esa habilidad. Orlando es un conductor, ¿Creen que él hace uso de
las matemáticas en su oficio? ¿Qué actividades matemáticas realiza? ¿La opinión que
tiene de que él tiene facilidad para las matemáticas ejercería alguna influencia para que
uno de sus hijos sea matemático de profesión? Daniel es un campesino que se dedica a
cultivar plátano, yuca, patatas y algunas frutas propias de su región. Daniel nunca fue a la
escuela así que él no sabe ni leer ni escribir, tampoco conoce de fórmulas matemáticas;
sin embargo Daniel conoce muy bien todo lo de los cultivos y cómo se mueve el mercado
con relación a precios. ¿Sabe Daniel matemáticas? ¿En su trabajo necesita saber algo
de matemáticas? ¿Qué actividades matemáticas requiere tanto para cultivar como para
negociar sus productos?
2.Puesta en común: Cada grupo comparte su caso y las conclusiones a las que llegaron.
El moderador hace las aclaraciones pertinentes enfatizando la importancia que tienen
las matemáticas en todos los aspectos de la vida.
3. Mito o verdad: El moderador presenta algunas creencias populares que existen con
relación al aprendizaje de las matemáticas y le pide a los participantes que se ubiquen
de acuerdo a lo que piensan en mito o en verdad. Por último aclarará si es mito o verdad
y el por qué.
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4. Reflexionando: Se explica cómo los conceptos que ellos tienen de las matemáticas
afectan a sus hijos en el aprendizaje de ellas y se les invita a la última sesión donde
aprenderán a como motivar a sus hijos para el aprendizaje de las matemáticas.
Sesión 10 “Motivando a mis hijos para el aprendizaje de las matemáticas”
Objetivo: Proporcionar a los padres de familia herramientas que le ayuden a motivar a
sus hijos en el aprendizaje de las matemáticas
Tiempo: 1 hora
Actividades
1. Motivación, Sopa de letras: a cada participante se le entrega una sopa de letras para
que busquen palabras relacionadas con los temas vistos en las capacitaciones y con al-
gunas que se trabajarán en la sesión: inteligencia, matemáticas, emociones, autoestima,
motivación, ejercitación, práctica, perseverancia, concentración entre otras. Se premia
al ganador
2. Indagando sobre conocimientos previos: Se preparan unos cartelitos con los diferen-
tes tips que se le darán a los padres para que motiven a sus hijos en el aprendizaje de
las matemáticas. Se le entrega uno a cada padre y se les pide que expliquen lo que ellos
consideran que significa el tip que le correspondió y qué pueden hacer ellos en casa para
ponerlo en práctica. Por ejemplo: “El aprendizaje de las matemáticas requiere práctica”
3. Agradecimiento: Se le agradece a los padres por la participación en el programa y se
les recuerda su compromiso para hacer cambios en el núcleo familiar que conlleven a
criar hijos felices, exitosos y sanos emocionalmente.
SESIONES PARA TRABAJAR CON LOS ESTUDIANTES
Esta guía está estructurada de tal forma que le facilita al docente la labor que debe hacer
con los estudiantes. Está dividida en tres unidades, cada unidad presenta una concep-
tualización que ubica al docente en el tema o temas a desarrollar en cada unidad; tiene
además los temas a desarrollar, el propósito, logros, actividades y se le sugiere unas
asignaturas con las que lo puede trabajar
Unidad 1 “Me conozco”
Temas:
- ¿quién soy?
- Yo soy único
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- Así me ven los demás
- ¿De dónde vengo? (historia familiar)
- Lo que me gusta y lo que no me gusta de mí (Identifica sus cualidades)
- Lo que me gusta hacer y lo que no me gusta hacer (identifica sus gustos, preferencias)
- Lo qué más se hacer y lo que menos se hacer (Identifica sus capacidades)
- A quién más me parezco y en qué
Propósito: Que los niños comiencen a descubrir y a reflexionar sobre algunas de sus ca-
racterísticas personales que le ayudan a mejorar su autoestima, las creencias que tienen
de sí mismo y las actitudes frente a diversas situaciones
Logro: Reconoce que es un ser humano único, con características y rasgos particulares
que lo hacen ser diferente de los demás y valioso para los grupos a los que pertenece.
Asignaturas con las que se relaciona: Lenguaje, ciencias sociales, ciencias naturales, éti-
ca, competencias ciudadanas
Orientaciones para el maestro
Conocerse a sí mismo tiene muchas ventajas, esto ayuda a ser más libre, a vivir en la
realidad, a tener una mejor comunicación, a superar con más facilidad las dificultades.
Los niños de 4°, tienen una percepción de sí mismo, esa percepción la han ido constru-
yendo a partir de las experiencias que ha tenido con los demás, principalmente con los
miembros de su familia. El juicio más importante, de mayor valor y más decisivo en el
desarrollo psicológico y en la motivación, es el juicio que los seres humanos nos realiza-
mos a nosotros mismos. El concepto que tengamos de nosotros mismos tiene efectos
profundos sobre nuestros pensamientos, emociones, deseos, valores y objetivos.
Explorar la percepción que el niño tiene de sí, es un buen punto de partida para ayudarle
a desarrollar su auto estima y para guiarlo en la toma de decisiones de manera asertiva.
Es necesario ayudarlos a desarrollar confianza en ellos mismos, convencerlos que como
seres humanos tienen la capacidad para pensar, juzgar, saber; que la confianza no radica
en no equivocarse nunca, sino en saber levantarse de cada equivocación.
Primera sesión “Me conozco”
Los niños de 4° aunque conocen muchos datos de ellos como por ejemplo su nombre
completo, su fecha y lugar de nacimiento, desconocen que conocerse bien incluye iden-
129
tificar sus características físicas, sus cualidades, etc. Como docentes uno de los primeros
trabajos es llenar estos vacíos que los niños tienen y guiarlos a que adquieran un cono-
cimiento de sí.
Indicador de logro: Conoce datos personales, características físicas y cualidades que lo
identifican como un ser humano único.
Objetivo: Identificar datos personales, características físicas y cualidades que lo identifi-
can como un ser humano único.
Actividades
1. Pida a los niños con anterioridad una foto de ellos.
2. Entregue a los niños dibujos de objetos que sean muy conocidos por ellos y pídales
que lo describan para que sus compañeros adivinen qué es. (Premie a los que adivinen)
3. Organícelos en parejas y pídales que uno presente al otro, su nombre, cuántos años
tiene. Esto ayuda a que los niños se relacionen, y que desarrollen habilidades de comu-
nicación.
4. Por último pida a los alumnos que se sienten en el suelo formando un círculo, que
muestren a sus compañeros la foto que han traído y que así como describieron los obje-
tos en la primera actividad se describan a ellos mismos, que digan su nombre completo,
cuántos años tiene, cuando cumplen años y que den algunas de sus características físicas
y sus cualidades
5. Pida a los estudiantes que peguen la foto en el cuaderno destinado para este progra-
ma y que escriban una autobiografía resaltando sus cualidades físicas y psicológicas.
Sesión 2 “Soy único e irrepetible”
Entender que somos únicos nos ayudan a mantener una buena autoestima. Los niños
de 4°, están iniciando algunos cambios físicos y emocionales que pueden bajar su auto
estima. Los niños de 10 y 11 años empiezan a tomar conciencia de que están dejando de
ser niños, pero su cerebro aún piensa como niño. Por otro lado las exigencias en el co-
legio son mayores. A esta edad no tienen una idea clara de sus cualidades, aún no hace
razonamientos lógicos de lo que percibe, así que la imagen que él tiene de sí es la que
logra percibir de los demás. Es importante que el docente le ayude a descubrir que es un
ser único, diferente de todos los demás.
Objetivo: Identificar características personales que lo hacen diferente de los demás
130
Actividades:
1. Haga un mural utilizando pliegos de papel periódico, pinte las manos de los niños
con témperas y permítales que las coloquen en el mural, haciendo los márgenes
de éste.
Hábleles con ellos sobre la diferencia que existen en las huellas dactilares e indague
que conocimiento tienen de cómo estas son utilizadas para identificar a las personas
y ayudan a resolver situaciones judiciales. Pregunte qué otras cosas nos hacen únicos
y que también son utilizadas en investigaciones judiciales.
2. Póngalos a pensar que cualidades tienen ellos diferentes a los demás, en que se
parece a otra persona y en que es diferente.
3. Permítales que escriban en el mural esas cualidades que lo hacen único.
4. Hábleles de lo importante que es ser únicos y cómo nos debemos sentir al saber
que Dios nos creó a todos como seres únicos e irrepetibles, y que debemos sen-
tirnos a gusto con nosotros mismos
Sesión 3 “Así me ven los demás”
A esta edad los amigos tienen un gran protagonismo, los grupos comenzarán a hacerse
mixtos, pues se han dominado las normas del grupo homogéneo y, además, van apare-
ciendo los intereses sexuales.
Los niños se comparan entre sí y el desarrollo físico durante este período puede afectar
al tema de las amistades, que en parte se basan en la apariencia y en la competencia
física.
Sea como fuere, el grupo de compañeros es probablemente el sistema que mayor in-
fluencia ejerce sobre los niños en esta edad. Cada vez se hacen más dependientes de sus
compañeros, no sólo para disfrutar de su compañía, sino también para la autovalidación
y para recibir consejos.
Cada vez consideran más la amistad como un foro en el que es posible abrirse al otro y
esperan que esa intimidad se corresponda. Exigen más de sus amigos, cambian menos
a menudo de amigos y encuentran mayores dificultades para hacer nuevas amistades,
además de afectarse más cuando se rompe una amistad. Se van volviendo más exigentes
para buscar amigos y sus grupos se reducen cada vez más. A la edad de 10 años los niños
muchas veces tienen un “mejor amigo” a quien le son bastante leales; esto suele ser más
aparente en las chicas.
A esta edad le dan gran importancia a lo que los demás piensan de él, cómo lo ven ya
131
que de esto dependerá la aceptación en los grupos o el rechazo. Es muy importante que
tanto la familia como el docente ayuden al niño a valorar la importancia de conservar los
principios y de mejorar aspectos que los demás puedan considerar como desagradables.
Objetivo: Afianzar su auto concepto a partir del concepto que los demás tienen de él.
Actividades:
1. Entregue una hoja a cada estudiante y pídales que escriban su nombre, cada uno debe
hacer rotar su hoja para que todos le escriban lo que piensan de él. Anímelos a que re-
salten las cualidades.
2. Cada uno recibe su hoja de vuelta y debe hacer un balance de aquellas cosas que más
resaltaron, dialogue con ellos sobre esos aspectos, si creen todo lo que les escribieron, si
creen que algunos tienen conceptos equivocados de ellos y por qué.
3. Invítelos a que escriban cómo les gustaría a ellos que los demás lo percibieran
4. Asígneles una actividad para hacer fuera del colegio: Escoge 10 personas cercanas a
ti y pregúntales cómo te ven (Cualidades, habilidades, intereses, debilidades, defectos)
Esta actividad debe socializarla en la próxima sesión orientando a los estudiantes a cómo
pueden reforzar los aspectos positivos y mejorar los aspectos negativos que los demás
perciben en ellos.
Sesión 4 “De dónde vengo”
Saber de dónde venimos, nos ayuda a crear una identidad con los miembros de la fa-
milia, esto a su vez nos ayuda a fortalecer lazos familiares. Nuestros padres, abuelos y
demás familiares ejercen una influencia en nuestra formación personal. Es necesario
ayudar a los niños a redescubrir esos aspectos de su vida familiar y llevarlos a compren-
der que todos los seres humanos hacemos parte de una historia que debemos conocer.
Objetivo: Reconocer aspectos de su vida familiar que influyen en su autoestima sea de
manera positiva o de manera negativa.
Actividades
1. Presente la película el “patito feo”
2. Comente la película con los niños, haciendo énfasis en cómo se sentía el patito al
verse diferente de los demás. Pregunte como era la familia de los pollitos y cómo
creen que podía ser la familia del patito feo. ¿Por qué al patito le decían feo?
¿Realmente era feo?
3. Explique a los niños que todos tenemos una familia, que las familias también son
132
diferentes, hable de cómo pueden estar conformadas las familias y de la impor-
tancia de pertenecer a ella.
4. Inste a los niños a que hablen de su familia, de sus padres abuelos, tíos, que ellos
aprendan que todos tenemos una historia, somos descendientes de una estruc-
tura familiar.
5. Oriente a los niños a que destaquen los aspectos positivos de su familia y aque-
llos aspectos que le gustaría que cambiaran.
Sesión 5 “Hay cosas de mí y de los demás que me agradan”
Los niños diariamente se ven sometidos a situaciones que le agradan y otras que le des-
agradan. Algunas de estas situaciones no está bajo su responsabilidad cambiarlas, están
fuera de su alcance, pero es necesario enseñarles a identificar y a evaluar esas cosas que
le desagradan de él mismo y de los demás. El maestro puede orientar al alumno para
que aprendan a identificar situaciones agradables y desagradables e iniciarlos en la bús-
queda de criterios que le ayuden a rechazar las cosas que le incomodan y a fortalecer
las que le agradan. Este es un paso importante para fortalecer la autoestima y la toma
de decisiones.
Objetivo: Identificar situaciones, aspectos de su vida y de los demás que le agradan y
proponer formas de afianzar estos aspectos
Actividades
1. Escuchar y dramatizar la canción “El avión Minino” Si tiene la posibilidad de pro-
yectarla hágalo. La puede descargar en el siguiente enlace: http://www.youtube.
com/watch?v=GOHhgjKZ9GA&feature=list_other&playnext=1&list=AL94UKMT-
qg-9B2MzWfeAHjbpkVDymaF5BK
2. Haga preguntas sobre la canción, enfatizando lo que le desagradaba al principio a
Minino y luego como logró que eso que no le gustaba le llegara a gustar.
3. Explíquele a los niños que siempre van a haber cosas, situaciones que nos pue-
den desagradar y otras que nos agradan, invítelos a que le mencionen esas cosas
que les agradan, primero intente descubrir esas cosas que les agradan de ellos
mismos y luego de los demás.
4. Pídales que inventen un cuento donde el protagonista principal sean ellos y que
en él mencionen todas las cosas que a ellos le agradan tanto de ellos mismos
como de los demás.
133
Sesión 6 “Hay cosas de mí y de los demás que me desagradan”
Objetivo: Identificar situaciones, aspectos de su vida y de los demás que le desagradan y
proponer formas de eliminar o manejar adecuadamente estos aspectos
1. Inicie con la lectura de los cuentos que inventaron en la sesión anterior.
2. Narre el cuento “El sapo y la Princesa” o si tiene la posibilidad de proyectarlo
hágalo. Lo puede descargar en el siguiente enlace:
http://www.youtube.com/watch?v=vBLZY3g7Cqg
3. Pregunte qué cosas le agradaban y le desagradaban a la princesa y al sapo.
4. Recuérdeles que hay cosas que nos agradan y otras que nos desagradan. Para
esta sesión invítelos a que le mencionen esas cosas que le desagradan. Dialogue
con ellos sobre cómo podemos evitar las cosas que nos desagradan. Impúlselos
a que ellos den sus opiniones
5. Pídales que anoten en sus cuadernos esas cosas que le desagradan de él y que
frente a cada aspecto escriban qué harán para mejorar. También puede animar-
los a escribir una nota a alguien comentándole que cosas de esa persona le están
desagradando y cómo le gustaría que cambiara.
Sesión 7 y 8 “Tengo capacidades, pero también tengo debilidades”
Cuando estamos en la capacidad para identificar lo que se nos facilita hacer y lo que no,
podremos establecer límites entre lo real y lo fantástico, entre lo dañino y lo saludable.
Los niños necesitan entender que hay cosas que se nos facilita hacerlas más que otras;
que todos tenemos capacidades diferentes, que hay algunas actividades que contribu-
yen a enriquecer nuestro conocimiento y desarrollo. Que no es menester sentirse mal
cuando se den cuenta que otros hacen algunas cosas mejor y con mayor facilidad, por-
que habrán otras en las que uno se puede destacar.
El maestro debe contribuir a que el niño identifique sus capacidades y que las cultive y
que tenga claro cuáles son sus debilidades para que las pueda mejorar.
Objetivo: Identificar sus capacidades y proponer actividades que le ayudan a desarro-
llarlas.
Actividades
1. Pregúnteles por sus héroes de televisión favoritos, sobre cuáles son los poderes
que cada uno tiene. Mencióneles algunos que ellos pudieron dejar por fuera (las
chicas súper poderosas, powerrangers, Batman, superman)
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2. Dialogue con ellos sobre lo fantasioso de estos héroes, que le expresen que cosas
reales podemos hacer y pregunte sobre las cosas que para ellos es fácil hacer,
(cuáles son sus poderes)
3. Presente imágenes de niños realizando diferentes actividades. Pídales que se
agrupen de acuerdo a la imagen que esté realizando lo que ellos más saben ha-
cer. Cuente con ellos cuántos niños están en cada grupo, haga comparaciones
utilizando términos matemáticos, como por ejemplo el número de niños que le
gusta bailar es mayor que el número de niños que le gusta cantar
4. Pregunte a los niños qué les hace pensar que ellos tienen más capacidad para la
actividad que han dicho saben hacer mejor. ¿Qué hicieron para lograr esa habili-
dad? Coménteles que en las áreas de estudio también podemos encontrar unas
áreas en las que nos destacamos más, pero que nos toca esforzarnos en aquellas
que creemos nos dan más dificultad.
5. Por grupo de habilidades póngalos a hacer una actividad. Por ejemplo los que
dijeron que eran hábiles para el baile, deben montar una coreografía, los buenos
para cantar deben preparar una canción, los que son buenos para pintar deben
hacer un dibujo, etc. Estas actividades las deben preparar para presentar en la
próxima sesión
Sesión 8 “Algunas cosas me cuestan más dificultad hacerlas”
Objetivo: Identificar sus debilidades y proponer actividades que le ayudan a superarlas
Actividades
1. Lleve a los niños a un lugar abierto donde puedan hacer las diferentes actividades que
se le asignaron en la sesión anterior.
2. Converse con ellos sobre cómo se sintieron en la actividad, quiénes se divirtieron,
quiénes no participaron y por qué. Recuérdeles que hay actividades que hacemos con
mayor facilidad por la capacidad que tenemos para hacerla, y que hay otras que no, pero
eso no indica que seamos inferiores o superiores.
3. Realice una variedad de actividades físicas como saltar la cuerda, pasar obstáculos,
carreras de costales etc.
4. Hable con ellos sobre lo que les dio dificultad hacer y por qué creen ellos que fue di-
fícil hacerlo, pregúnteles por otras actividades que ellos crean les cueste más dificultad
hacerle y que planteen alternativas para superarlas.
5. Pídales que en su cuaderno hagan un inventario tanto de sus habilidades como de sus
135
dificultades y que escriba qué hará para mejorar.
Sesión 9 “Quiero ser como…”
Todos los seres humanos tenemos personas a las que admiramos. Los niños también tie-
nen personas a las que admiran, por ser su núcleo más cercano el familiar, estas perso-
nas que ellos admiran pueden encontrarse en el núcleo familiar. Es importante que ellos
exploren actitudes, aptitudes de sus familiares que sean positivas y dignas de imitar. Los
docentes deben inculcar en los niños el deseo de imitar sólo las cosas positivas de los
demás, pero para esto lo primero es ayudarlos a identificar los aspectos positivos y los
aspectos negativos que pueden tener los seres humanos.
Objetivo: Identificar características en los demás miembros de su familia que le agradan
y que le gustaría imitar.
Actividades:
1. Establezca un diálogo con los estudiantes sobre los miembros de su familia o la perso-
nas con las que convive, pídales que mencionen aquellas cosas que más les gusta imitar
de esas personas conductas, comportamientos, actividades, oficios, profesiones, etc.
2. Anímelos a mencionar algunas conductas, comportamientos, actividades que ellos
consideran que tienen alguno de los miembros de su familia que no son dignos de imitar.
3. Ponga a sonar las canciones Topo Gigio – Es mi mamá – quiero ser como mi papá y
pídale a los niños que la escuchen muy bien e intente de que la aprendan. Esta canción
la puede descargar en el siguiente enlace:
http://www.youtube.com/watch?v=VGdhKvif7iY&feature=related
4. Haga preguntas relacionadas con las canciones, ¿Qué hace la mamá? ¿Qué acciones
desea imitar Topo de su mamá? ¿qué acciones del papá desea imitar?
UNIDAD N° 2 “Conozco mis sentimientos y emociones y los aprendo manejar”
Temas:
- Diferencias entre sentimientos y emociones
- Tengo sentimientos y emociones
- Los demás también sienten y se emocionan
- Aprendo a manejar mis sentimientos y mis emociones
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- Muestro empatía a los demás
Propósito: Que los alumnos comprendan la importancia de reconocer sus emociones,
auto regularlas e identifique las situaciones que le producen las diferentes emociones.
Que esté en la capacidad de identificar las emociones de los demás y actúe asertivamen-
te frente a éstas.
Logro: Reconoce sus propias emociones, y las de las demás personas, las situaciones que
las originan y las maneja con asertividad.
Asignaturas con las que se relaciona: Lenguaje, sociales, ética, artística
Orientaciones para el maestro
Identificar las propias emociones le permite a los seres humanos conocerse mejor así
mismo y poder auto regular la intensidad de las emociones. Cuando no somos conscien-
tes de las emociones, es probable que no les demos el manejo adecuado y éstas termi-
nan dominándonos e impulsándonos a realizar acciones que deterioran las relaciones
con los demás y nos hacen daño a nosotros mismos.
La educación emocional que el niño haya recibido desde la familia, repercute en su re-
gulación emocional y en su forma de abordar los conflictos. Consciente o inconsciente-
mente los padres modulan la emotividad del niño actuando como modelo frente a ellos.
Cuando se evalúan los niveles de manifestación y control de las emociones que mues-
tran los niños se puede observar que estos suelen ser similares a los que manifiestan sus
padres.
Muchos niños de nuestro país viven día a día situaciones cargadas de violencia, de agre-
sividad, de falta de tolerancia, donde predomina la ley del más fuerte. Estos modelos de
convivencia social y familiar no son sanos y contribuyen a que los niños vayan forjando
una personalidad con rasgos de agresividad, de impulsividad de intolerancia. Es de vital
importancia que los niños aprendan a identificar sus sentimientos, la intensidad de estos
para que se pueda auto regular y responder de manera constructiva y pacifica ante esa
emoción.
Una de las cosas más importantes que debe aprender un niño es que las emociones no
son una buena guía para la acción. El hecho de sentir deseo de hacer algo, no significa
que se deba hacer; el hecho de que sientas miedo para hacer algo no es una prueba de
que se deba evitar hacerlo.
La sana autorregulación no consiste en la represión, ni tampoco la conlleva; tampoco
consiste en dejar de lado las emociones como algo carente de importancia. Consiste en
reconocer que las emociones son efectos, consecuencias de juicios de valor, y de preo-
137
cuparse por conocer la naturaleza de esos juicios y el grado de su validez en un contexto
dado.
A medida que el niño vaya reconociendo sus propias emociones y su propio sistema de
temperatura emocional, también aprenderá a reconocerlos con mayor precisión en los
demás, eso no solo significa que entiende a los demás sino que también siente empatía
por ellos.
El docente tiene el deber de contribuir con la formación de la inteligencia emocional de
los estudiantes, proporcionándoles espacios de reflexión y de orientación para que su-
peren las barreras emocionales que en sus hogares han podido levantar.
Sesión N° 1 y 2 “Sentimos y nos emocionamos”
Los sentimientos y las emociones son herramientas que tiene el ser humano para expre-
sar su fuerza interior. No siempre es fácil en la práctica real diferenciar entre sentimien-
tos y emociones.
Las emociones son respuestas afectivas, psicofísicas a estímulos o situaciones significati-
vas que entrañan un estado de sentimiento más o menos definido, la alegría, el enojo, el
miedo, la tristeza, la sorpresa, la ira y ciertos cambios intraorgánicos (secreciones glan-
dulares, aumento de los latidos del corazón, cambio de color en labios y mejillas, pro-
cesos digestivos, etc.); Además puede hablarse de respuestas de conductas manifiestas
(risas, llanto, gritos, golpes, etc.). Las emociones tienen componentes conductuales, se
dan por medio de expresiones faciales, gestos y acciones.
Las emociones se van transformando con la edad, o mejor dicho el clima emocional
varía de año en año de acuerdo con el ascenso del nivel de madurez general de la per-
sonalidad. La cultura influye en el tipo de situaciones en las que se deben manifestar las
emociones.
Entre la infancia y la adolescencia se producen grandes cambios en la expresión de las
emociones. La exteriorización de las mismas es más frecuente en los niños que en los
adultos; pero por otra parte dura mucho menos en los niños quienes pasan rápidamen-
te de la cólera a la alegría, de la tristeza a la euforia, mientras que el adulto en cambio,
controla sus emociones y las adapta a la situación.
Los sentimientos nos dicen si lo que experimentamos es amenazador, doloroso, triste o
regocijante. Los sentimientos son nuestra reacción frente a lo que percibimos y a su luz
definen nuestra percepción del mundo.
Los sentimientos crean un vínculo común entre todos los seres humanos. Estar en con-
tacto con nuestros propios sentimientos es el único medio de lograr ser abiertos y libres,
138
en el único modo llegar a ser dueños de nosotros mismos.
Son sentimientos el amor, el orgullo, la vanidad, la ambición, la superación, la empatía,
la bondad, la compasión, la envidia, el desdén, la indiferencia, la piedad, etc.
Objetivo: Establecer diferencias entre sentimientos y emociones
Actividades
1. Coloque el video “Las emociones en situaciones” Puede descargarlo en el siguiente
link http://www.youtube.com/watch?v=vsFERoAz448
2. A medida que en el video vayan preguntando que emoción es, detenga el vídeo y per-
mita que los niños comenten.
3. Haga la retroalimentación en cada uno de los casos presentados.
4. Pídales que en sus cuadernos escriban, que sentimientos sintieron ellos frente a cada
una de las situaciones:
- Happyfeet
- Nemo
- Dumbo
- El pato Donald
Sesión 2
Actividades
1. Revise la actividad asignada en la sesión anterior y haga la respectiva retroalimenta-
ción.
2. Presente el vídeo “la isla de los sentimientos” Disponible en el siguiente link: http://
www.youtube.com/watch?v=79AhQLDiMTY
También puede narrarlo: Erase una vez una isla donde habitaban todos los sentimientos:
La alegría, la tristeza y muchos más, incluyendo el amor.
Un día, se les fue avisando a los moradores, que la isla se iba a hundir.
Todos los sentimientos se apresuraron a salir de la isla, se metieron en sus barcos y se
preparaban a partir, pero el amor se quedó, porque se quería quedar un rato más con la
isla que tanto amaba, antes de que se hundiese.
139
Cuando por fin, estaba ya casi ahogado, el amor comenzó a pedir ayuda.
En eso venía la riqueza y el amor dijo: Riqueza, llévame contigo!, -No puedo, hay mucho
oro y plata en mi barco, no tengo espacio para ti dijo la riqueza.
Él le pidió ayuda a la vanidad, que también venía pasando… Vanidad, por favor
ayúdame!, -No te puedo ayudar, amor, tú estás todo mojado y vas a arruinar mi barco
nuevo!
Entonces, el amor le pidió ayuda a la tristeza: Tristeza, me dejas ir contigo? Ay amor!
Estoy tan triste que prefiero ir sola…
También pasó la alegría, pero ella estaba tan alegre que ni oyó al amor llamar.
Desesperado, el amor comenzó a llorar, ahí fue cuando una voz le llamó: Ven, amor, yo
te llevo. Era un viejito, y el amor estaba tan feliz que se le olvidó preguntarle su nombre.
Al llegar a tierra firme, le preguntó a la sabiduría: Sabiduría, quién era el viejito que me
trajo aquí?
La sabiduría respondió: Era el tiempo.
El tiempo? Pero por qué sólo el tiempo me quiso traer?
La sabiduría respondió: Porque sólo el tiempo es capaz de ayudar y entender al amor…
Anónimo
3. Pregunte por los sentimientos que se mencionan en el cuento y dialogue con ellos
sobre cómo pueden definir cada uno de esos sentimientos.
4. Pídales que dramaticen el cuento asignándole a cada uno de los sentimientos.
5. Dialogo sobre las diferencias entre sentimientos y emociones.
Sesión 3 y 4 “Yo siento”
No conocer nuestros sentimientos y emociones, es desconocer también quiénes somos
y cómo somos, que hago bien o que hago mal, que me agrada o me desagrada. El desco-
nocimiento de nuestros sentimientos y emociones nos pueden conducir a no valorarnos
a nosotros mismos y mucho menos a los demás, pues no estaremos en la capacidad de
identificar los sentimientos en los demás.
A los niños hay que ayudarlos a que identifiquen sus sentimientos y emociones en el
mismo momento en que las experimenta, que en vez de apartarlos, evitarlos, los apren-
da a manejar y a regular de manera asertiva. No se trata de que los niños no tengan la
140
oportunidad de manifestar sentimientos por ejemplo de rabia, de miedo, de frustración,
no, se trata de que sean capaces de medir la intensidad de esa emoción y responder de
manera constructiva a ella.
Objetivos: Identificar sus sentimientos en situaciones que se le presentan.
- Explorar formas de transformar sentimientos negativos en sentimientos positivos.
Actividades:
1. Prepare pequeños cuentos donde se hable de los diferentes sentimientos:
En el siguiente link, los puede descargar: Una familia grande para un nido pequeño
http://www.youtube.com/watch?v=u7RqBvH5Zhk
Bajo una Seta, disponible en http://www.youtube.com/watch?v=o1FcvkBiCQk
2. Haga preguntas relacionadas con los cuentos: ¿Qué sentimientos encuentran en los
cuentos?
¿Cuáles son tus sentimientos ante las siguientes situaciones?:
- Con los niños desplazados
- Con los niños de la calle
- Con las personas que te maltratan, te molestan.
- Con los ancianos necesitados
3. En sus cuadernos pídales que escriban que situaciones los mueven a:
- amar
- odiar
- Envidiar
- Solidarizarse
- Bondad
- ambición
Sesión 4 “transformando mis sentimientos negativos en positivos”
Actividades:
1. Revise la actividad anterior y haga la retroalimentación necesaria
141
2. Entregue una ficha a estudiante que tenga los siguientes aspectos
La ficha la deben ir llenando a medida que usted les narre algunos cuentos que debe
dejar inconclusos: Juan tenía un pajarito al que quería mucho. El todos los días era le-
vantado con el cantar de ese pajarito, Juan lo alimentaba y conversaba con él. Cierto día
mientras él le lavaba su jaula, el pajarito voló y se fue dejando a Juan muy triste. Juan
empezó a pensar posiblemente mi pajarito…. (permita que los niños completen el cuen-
to imaginando todo lo que pudo suceder con el pajarito) – Volverá y estará feliz de estar
conmigo, se pierda, se muera de hambre, alguien lo robe, etc.
Situación
El pajarito se escapó
Sentimiento
Amor-
Pensamiento
- Va a volver
- Se morirá de hambre
- Se perderá
- Se lo robarán
Presente otros cuentos acorde a las vivencias de los niños y continúe con el ejercicio
anterior.
3. Pida a los niños que identifiquen los pensamientos positivos y los pensamientos nega-
tivos en cada cuento.
4. Póngales a reflexionar sobre como los pensamientos positivos y negativos influyen en
nuestros sentimientos y la importancia de cambiar esos pensamientos y sentimientos
negativos en positivos.
5. Asígneles de tarea que hagan una lista de los sentimientos positivos que ellos tienen y
de los negativos y que frente a los negativos escriban que pueden hacer para cambiarlos.
Sesión 5 y 6 “Así manifiesto mis emociones”
Muchas de las emociones que salen a relucir en ciertas circunstancias, realmente son el
producto de alguna emoción que hemos tenido reprimida, porque nos cuesta más tra-
bajo identificarla y expresarla. Por ejemplo Contestamos mal, con rabia y pensamos que
estamos muy enojados, cuando realmente detrás de ese sentimiento de rabia puede
haber uno de frustración que no hemos resuelto. Es muy importante expresar todos los
sentimientos y emociones pero de manera correcta, sin dañarnos a nosotros mismo o
dañar a los demás.
Mantener sentimientos y emociones reprimidas afecta grandemente nuestro compor-
tamiento y toma de decisiones. Los niños no sienten tanta cohibición como los adultos
142
para expresar lo que sienten, el docente debe estimular la expresión de los sentimientos
y emociones y ayudarlos a canalizarlas de manera correcta
Objetivos: - Identificar las diferentes emociones que se producen en él ante diferentes
situaciones
- Explorar diferentes formas de expresar sus emociones.
Actividades
1. Narre un cuento que incluya los diferentes estados de ánimo que podemos sen-
tir, pida a los niños que vayan haciendo la expresión facial de cada situación.
A Candela le pesaban mucho los zapatos cuando su padre la llevaba por las ma-
ñanas camino del colegio. —Vamos, Candela, que llegamos tarde —le decía su
padre mientras tiraba de ella. —No quiero ir. ¿Por qué no te quedas conmigo en
el cole? Hoy nos va a enseñar la profe las letras.
—Yo ya me sé las letras, Candela. Y además tengo que irme a trabajar —le res-
pondió su padre con paciencia.—No me gustan las letras que me enseña la profe
—dijo enfadada Candela—. Siempre es Ignacio el que se las sabe todas. —Se
quedó pensativa—. Además, para qué me sirven las letras, si mamá me lee los
cuentos por la noche.
A ella lo que sí le gustaba era que su madre le leyera cuentos antes de irse a
dormir. Era su momento favorito. Acurrucarse a su lado mientras le hablaba de
una cebra a la que se le fugaban las rayas de su vestido. O escuchar la historia de
Juanito y las habichuelas mágicas. Mientras su madre leía, ella miraba hacia un
punto fijo y se concentraba mucho en lo que escuchaba Y se subía con facilidad
al mismo árbol por el que trepaba Juanito, o se iba con la cebra a recuperar cada
una de las rayas que había perdido. Pero eso de leer… No le hacía ninguna gracia.
Confundía la de de dedo con la pe de perro. Y, además, ella nunca se atrevía a res-
ponder cuando la profesora hacía una pregunta en clase. Miraba a su alrededor
y pensaba que los demás niños se sabían la respuesta mucho mejor que ella. Era
como si alguien invisible le borrara de la frente con una goma todas las ideas que
tenía en la cabeza. Su padre la dejó en el colegio, pero a regañadientes. Aquella
mañana, Margarita, la profe, sacó un gran cartelón en el que aparecía la letra jota
y una palabra: jabón. —A ver, quién me dice más palabras que empiecen con la
letra jota. Candela se escurrió en el asiento y se colocó de forma que la profeso-
ra no la pudiese ver, no fuera a ser que le preguntara a ella. Y se puso a dibujar
nerviosa muchas jotas en el margen de su libro de Lengua (J JJJJ J…). Su corazón
se puso a palpitar sin control, bum bum, y se llevó la mano a la frente. Como
143
siempre, tenía esa sensación de que alguien le borraba las ideas…
—¡Jirafa! ¡Jamón! —se adelantó Ignacio—. ¡Esta letra está chupada! —Candela,
di alguna palabra más —se dirigió a ella Margarita, buscándola con la mirada por
entre las cabezas de los demás niños.
—¡Judías! ¡Joroba! —se volvió a adelantar Ignacio. —Bien, Ignacio. Pero le estoy
preguntando a ella. Tú espera tu turno. A ver, Candela, te escuchamos. Por más
que miraba y volvía a mirar la cantidad de jotas que había escrito en su libro, no
se le venía a la mente ninguna palabra con esa letra. Solo la palabra «delfín», y
luego «leopardo» y «pelusa»… Pero esas no empezaban con la letra jota. Y lo que
era peor: la profesora y todos sus compañeros seguían mirándola. Se dio cuenta
de que tenía la cara ardiendo y colorada, y se escurrió aún más en su silla.
Le entraron unas ganas locas de meterse debajo de la mesa, y con rabia pensó
que la letra jota la había abandonado.
—Bueno, no pasa nada. Ya te acordarás. Mañana seguro que se te ocurre alguna
palabra con esta letra —dijo Margarita, con gran alivio de Candela, que recuperó
su postura en la silla. Su corazón dejó de latir y notó que su cara poco a poco
dejaba de estar colorada y caliente. El momento malo había pasado. (El cuen-
to completo lo puede encontrar en el siguiente enlace: http://enfamiliafad.org/
userfiles/Cuentos%20para%20prevenir.pdf
Haga preguntas relacionadas con el cuento: ¿Qué emociones aparecen en el
cuento? ¿Cuál es la emoción más importante?
• ¿Por qué le pesan tanto los zapatos a Candela cuando va al colegio?
• ¿Cómo se siente Candela cuando la profesora Margarita le pregunta por pala-
bras que empiecen por la letra jota?
• ¿Por qué Candela está distinta esa tarde?
• ¿Qué le ocurre en el sueño?
• ¿Qué le recomienda mamá a la mañana siguiente?
• ¿Cómo se siente Candela cuando va al colegio ese día?
• ¿Qué hace cuando la profesora le pregunta de nuevo?
2. Dialogue con los niños sobre sus emociones, qué los hace poner tristes, alegres,
enojados, asustados
144
3. En sus cuadernos deben completar:
Yo me pongo triste cuando: ____________________________
Yo me siento feliz cuando: _____________________________
Yo me enojo cuando: _________________________________
Yo me asusto cuando:________________________________
Sesión 6: “Así expreso mis emociones”
Actividades:
1. Dramatización de la canción “La canción de las emociones” Disponible en el siguiente
link http://www.youtube.com/watch?v=dvNfjJDKyU4
2. Elabore unos cubos que tenga en cada lado caritas con las diferentes emociones. Pí-
dale a los niños que lancen los dados y comenten que situaciones despiertan en ellos la
emoción que sacaron y cómo manifiestan esa emoción.
3. Explíqueles por qué es importante expresar nuestras emociones y cómo debemos
manejar estas emociones.
4. Presente varias situaciones que les pueda generar rabia y pídales que ante esa situa-
ción solo se pueden reír. Repita el ejercicio con diferentes emociones.
Sesión 7 “Los demás también sienten y se emocionan”
Cuando entendemos las emociones de los demás, estaremos en la capacidad de ser
empáticos con ellos y de motivarlos. El niño que logra reconocer las emociones de sus
compañeros tendrá más facilidad para trabajar en equipo, para dar y recibir, para alejar-
se de las situaciones que lo pongan en riesgo.
Si entendemos las emociones de otros, seremos capaces de motivarlos, de ser directivos
eficaces y de trabajar en equipos que funcionan bien. Podremos dar y recibir y mostrar-
nos espontáneos cuando el momento lo requiera.
Entender las intenciones y tomar la perspectiva de los demás son elementos para el
desarrollo de la competencia emocional o la habilidad para comprender y manejar si-
tuaciones emocionales. Conforme los niños maduran y van adquiriendo el pensamiento
de las operaciones formales, toman en cuenta mayor información y descubren que las
personas podrían reaccionar de manera distinta ante la misma situación. Los estudiantes
que tienen dificultades para tomar la perspectiva de otros sentirían cierto remordimien-
to cuando maltratan a sus compañeros o a los adultos. El docente debe ayudar a sus
145
estudiantes a ponerse en la perspectiva de los demás
Objetivo: Reconocer que las demás personas también sienten y se emocionan y que sus
reacciones frente a una situación puede ser muy diferente a la de ellos.
Actividades:
1. Coloque el vídeo Bullying escolar. Disponible en http://www.youtube.com/watch?-
v=13Iv7eE7SyY.
2. Pregunte: ¿Cómo reaccionó el niño frente al acoso de los demás compañeros?
¿Cómo reaccionarías tú?
3. Dialogue sobre las diferentes formas que le enseñaron para reaccionar frente al pro-
blema.
4. Haga una reflexión de la importancia de entender que los demás también sienten y se
emocionan.
5. Coloque el vídeo “Convivencia” Disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=-
qXCNQh_dCq0 y pídales que identifiquen las emociones que allí se presentan y la forma
de manifestar esas emociones y qué piensan ellos de las diferentes reacciones. Desarro-
llar la actividad en sus cuadernos.
Sesión 8, 9 y 10 “Muestro empatía a los demás”
“La empatía es la capacidad de sintonizar emocionalmente y también cognitivamente
con los demás y supone una base importante sobre la cual se asientan las relaciones
interpersonales positivas. Desde este punto de vista podemos afirmar que la empatía
sería una disposición emotiva que favorecería la calidad en las relaciones sociales” (Ro-
che 2004).
La empatía hace parte de la inteligencia emocional y es muy importante en el desarrollo
de las relaciones interpersonales. Es a través de ella que podremos apreciar los senti-
mientos y las necesidades de los demás, comprenderlas y ser sensibles frente a ellas.
La empatía es algo que podemos desarrollar en los niños. Los niños de primer grado, ya
están saliendo del egocentrismo y es el momento oportuno para ayudarlos a desarrollar
esta habilidad de la empatía.
El primer componente que es necesario para la empatía es la captación de los sentimien-
tos del otro. No se puede sentir el sentimiento ajeno desde dentro el otro si no tenemos
un saber previo o simultaneo de dicho sentimiento, si alguien está incapacitado para
sentir los sentimientos de los otros, porque está sumergido en sus propios sentimientos,
146
porque no es capaz de establecer esta relación centrífuga de sí hacia el otro, es induda-
ble que no podrá sentir nunca empáticamente.
Objetivo:
Reconocer la importancia de ser empáticos con los demás y cómo la empatía nos ayuda
a ser sanos emocionalmente
Actividades:
1. Revise la actividad asignada en la sesión anterior y haga la retroalimentación necesaria.
2. Dialogue con los niños sobre lo que ellos entienden por empatía y la importancia de
ésta. Enriquezca los conceptos que tienen los niños aclarando los conceptos.
3. Pídales que escriban situaciones en los que ellos hayan sentido que los demás han
mostrado empatía con ellos y en los que ellos han mostrado empatía con los demás.
Sesión 9
1. Presente la película “La cura”
2. Asígneles de tarea que escriban los casos de empatía que identifiquen en la película.
3. Anímelos a que participen en una actividad de carácter social y organícelos para que
visiten bien sea un orfanato, un ancianato o cualquier otro sitio de personas necesitadas.
Sesión 10
1. Lleve a los niños a la actividad que programaron.
2. Haga una retroalimentación preguntando cómo se sintieron ayudando a los demás,
por qué es importante ponerse en el lugar del otro.
3. Pídales que escriban su experiencia en el cuaderno de trabajo.
UNIDAD N° 3 “DESARROLLO DE HABILIDADES SOCIALES”
Temas:
- Yo tomo decisiones
- Me relaciono con los demás
- Me comunico con los demás
- Trabajando en equipo
147
- Solucionando conflictos
- Manejando la presión de grupo
Propósito: Conducir a los niños al desarrollo de las competencias sociales necesarias
para el manejo adecuado de las situaciones que la cotidianidad de la vida le presenta, el
fortalecimiento de las relaciones interpersonales y el mejoramiento de la comunicación
con los demás.
Logro: Desarrolla conductas positivas tales como: la toma de decisiones de manera aser-
tiva, el manejo de conflictos, la comunicación eficiente y adecuada, el trabajo en equipo,
la presión de grupo.
Asignaturas con las que se relaciona: Lenguaje, ciencias sociales, ciencias naturales, éti-
ca, competencias ciudadanas
Orientaciones para el maestro
Algunas de los conceptos aquí desarrollados han sido tomados del manual del facilitador
del programa “habilidades para la vida” (México).
Las relaciones interpersonales juegan un papel fundamental en el desarrollo integral
de la persona. A través de ellas, el individuo obtiene importantes refuerzos sociales del
entorno más inmediato que favorecen su adaptación al mismo. En contrapartida, la ca-
rencia de estas habilidades puede provocar rechazo, aislamiento y, en definitiva, limitar
la calidad de vida.
Las habilidades sociales son las conductas o destrezas sociales específicas requeridas
para ejecutar competentemente una tarea de índole interpersonal. Se tratan de un con-
junto de comportamientos aprendidos que se ponen en juego en la interacción con otras
personas (Monjas, 1999).
De acuerdo con Prieto, Illán y Arnáiz (1995), centrándose en el contexto educativo, las
destrezas sociales incluyen conductas relacionadas con los siguientes aspectos, todos
ellos fundamentales para el desarrollo interpersonal del individuo:
• las conductas interpersonales (aceptación de la autoridad, destrezas conversa-
cionales, conductas cooperativas, etc.)
• las conductas relacionadas con el propio individuo (expresión de sentimientos,
actitudes positivas hacia uno mismo, conducta ética, etc.)
• conductas relacionadas con la tarea (trabajo independiente, seguir instruccio-
nes, completar tareas, etc.)
148
• la aceptación de los compañeros
Las habilidades sociales o de relación interpersonal están presentes en todos los ámbi-
tos de nuestra vida. Son conductas concretas, de complejidad variable, que nos permi-
ten sentirnos competentes en diferentes situaciones y escenarios así como obtener una
gratificación social. Hacer nuevos amigos y mantener nuestras amistades a largo plazo,
expresar a otros nuestras necesidades, compartir nuestras experiencias y empatizar con
las vivencias de los demás, defender nuestros intereses, etc. son sólo ejemplos de la im-
portancia de estas habilidades. Por el contrario, sentirse incompetente socialmente nos
puede conducir a una situación de aislamiento social y sufrimiento psicológico difícil de
manejar.
En ocasiones, la persona manifiesta dificultades en su competencia social simplemente
porque no ha tenido ocasión u oportunidad de aprender estas conductas. A veces, en
contextos poco enriquecidos o con limitados modelos de referencia, la persona sencilla-
mente no ha tenido ocasión de experimentar determinadas situaciones y por tanto y no
sabe cómo comportarse ante las mismas cuando éstas se dan por primera vez. En otras
ocasiones, es posible que se hayan aprendido un amplio rango de habilidades sociales,
pero resulte complejo determinar cuándo poner en práctica unas u otras en función de
las exigencias del contexto social. Se trata, en este caso, de un proceso de diferenciación
o discriminación de la conducta apropiada
Todas las personas necesitamos crecer en un entorno socialmente estimulante pues el
crecimiento personal, en todos los ámbitos, necesita de la posibilidad de compartir, de
ser y estar con los demás (familia, amigos, compañeros de clase, colegas de trabajo,
etc.). Baste recordar los esfuerzos que, tanto desde el ámbito educativo como desde el
entorno laboral, se realizan para favorecer un clima de relación óptimo que permita a
cada persona beneficiarse del contacto con los demás, favoreciendo así un mejor rendi-
miento académico o profesional.
En definitiva, las habilidades sociales, al igual que muchas otras conductas, se apren-
den observando a los demás, poniéndolas en práctica y normalmente no requieren de
una instrucción mediada. Ahora bien, en ocasiones mostrar explícitamente unas pautas
concretas, sencillas y adecuadas a su edad y capacidad, puede favorecer y optimizar el
aprendizaje de dichas habilidades. Es aquí donde el docente puede actuar ayudando a
sus estudiantes a desarrollar habilidades sociales.
Primera sesión: “Yo tomo decisiones”
Es vital poder tomar decisiones efectivas, porque el bienestar e incluso la supervivencia
dependen en gran medida de la calidad del proceso en la toma de decisiones.
149
En muchos casos, lo difícil no es tomar la decisión, lo difíciles lograr que la gente tome
decisiones con determinación, compromiso, claridad de ideas, propósitos, seguridad,
etcétera y las haga funcionar.
La decisión, es el momento de ver las opciones, de escoger y/o desechar perspectivas.
Por ello el acto de decidir implica una clara conciencia de los objetivos que se pretenden
alcanzar por medio de la decisión. Con decisiones correctas, avanzamos para cumplir
con nuestras tareas y alcanzar nuestras metas. Además la manera en que tomas decisio-
nes puede determinar en qué medida otros se comprometen con ellas.
Las decisiones implican hacer un alto en el camino para reconsiderar la ruta. Cuando
tomas una decisión, tienes que elegir una opción entre dos o más alternativas. Estas
opciones generalmente están limitadas por condicionantes, por ejemplo:
• La situación en la que te encuentras en ese momento y en la que quisieras estar
en el futuro.
• Los recursos disponibles.
• Lo que los demás están dispuestos a aceptar.
• La factibilidad o posibilidad de realizar las distintas opciones.
• El factor tiempo.
El docente debe ser un facilitador de la toma de decisiones. Posiciones de autoritaris-
mo bloquean la toma de decisiones de los estudiantes. Es por eso que se sugiere que
el docente constantemente esté planteando situaciones donde los estudiantes tengan
la opción de tomar decisiones y que el docente sea un orientador para que éstas sean
tomadas de manera asertiva
Objetivo:
- Reconocer la importancia de tomar las decisiones en el momento oportuno y de
la manera correcta.
Actividades
1. Lleve al grupo algunos detalles envueltos en papel regalo, unos de mayor valor que
otros: (Lápiz, saca punta, borrador, monedas, etc.) Pida a cada niño que piense en cuál
de esos escogería, (los niños no podrán tocar los regalos hasta que haya decidido que
escoger)
2. Pídales a ellos que establezcan el orden en que cada uno escogerá su detalle. Proba-
blemente va a notar desacuerdos en ellos pero tiene que animarlos a tomar una deci-
150
sión. En cuanto decidan permítales que cada uno tome un detalle y pídales que tomen
la decisión de cuando abrirlo, enseguida o al final de la clase. Premie a los niños que
esperen hasta el final para abrirlo.
3. Establezca un diálogo sobre la toma de decisiones lo que se debe tener en cuenta an-
tes de tomar una decisión, sobre decisiones difíciles y decisiones fáciles de tomar.
4. Pregunte por esas decisiones fáciles que les toca tomar diariamente, e indague por
aquellas más difíciles de tomar.
Sesión 2 “Derribando barreras en la toma de decisiones”
Objetivo: Identificar los obstáculos que se pueden presentar en la toma de decisiones y
plantear formas de derribar esos obstáculos.
Actividades
1. Presente la película juego de gemelas.
2. Explique las barreras que se pueden encontrar al tomar una decisión: (Barreras eco-
nómicas, de género, religiosas, culturales, etc.)
3. Asígneles como actividad para realizar en casa que identifiquen las decisiones que
tenían que tomar las gemelas, que barreras tenían y cómo las solucionaron. (Desarrollar
la actividad en su cuaderno de trabajo)
Sesión 3 “Conociendo técnicas para la toma de decisiones”
Objetivo: Conocer algunas técnicas que se pueden aplicar en la toma de decisiones y
ejercitarse en ellas.
Actividades:
1. Revise la actividad anterior y haga una retroalimentación.
2. Explique algunas técnicas que se pueden aplicar en la toma de decisiones:
Pedir consejo
Analizar alternativas de solución
Lista de ventajas e inconvenientes
Analizar las consecuencias tanto positivas como negativas de tomar la decisión.
3. Presénteles un caso donde ellos apliquen cada las técnicas aplicables a cada
situación. Por ejemplo: En tu colegio les están ofreciendo unos cursos de los que
151
podrás participar por las tardes. Todos son en el mismo horario así que debes
escoger entre pintura, música, informática, deportes. Cuando llegas a tu curso
favorito ya tenía los cupos disponibles llenos.
Sesión 4 “Me relaciono con los demás”
“Las buenas relaciones interpersonales ofrecen muchas más satisfacciones como: la
franqueza mutua, la confianza, la honradez, además tienen un valor adicional: la libera-
ción”. Abraham Maslow.
Las relaciones interpersonales son las situaciones que se dan entre dos o más personas
cuando existe alguna circunstancia que las une. Se refieren al trato constante que tene-
mos con nuestros semejantes y como nos desenvolvemos dentro de un marco determi-
nado por las actitudes que asumimos.
La vida humana es, antes que nada, vida de relación, no sólo a nivel biológico (respira-
ción, alimentación, transpiración), sino a nivel psicológico y social.
El nivel de las relaciones define el nivel de existencia de las personas. Nuestras relacio-
nes tienen un radio ilimitado, su campo de aplicación se refiere al complejo total de las
relaciones humanas. Se inician en el hogar, se prolongan en las actividades sociales, se
extienden en el trabajo, llegan a ser públicas cuando queremos influir en las opiniones
de la sociedad y alcanzan el ámbito nacional cuando actúan en el orden sociopolítico. Y
de una u otra forma, al actuar en el plano internacional, trascienden entre continentes.
Esto explica cómo se vuelven complejas.
Nuestro bienestar y nuestro prestigio dependen de la manera en que podamos estable-
cer nuestras relaciones con quien estamos vinculados y, si nuestro propósito es lograr
una buena forma de convivencia con todos, estamos obligados a buscar los medios ade-
cuados para conseguirlo.
Si no somos cuidadosos de su forma, es posible que se presenten situaciones conflictivas
que constituyan barreras las cuales nos impedirán el acercamiento con los demás. Tales
barreras pueden manifestarse como resultado de la incomprensión -algo muy frecuente
entre los humanos- y fortalecerse en forma que nos sea difícil salvarlas.
La función específica de las relaciones humanas puede considerarse como un arte cuya
forma de expresión se refiere a la posibilidad de saberse llevar bien con los demás.
El proceso de las relaciones humanas es una fuerza constante que puede traducirse en
manifestaciones agradables o desagradables, claro, toca a cada uno de nosotros resolver
el tipo de relaciones que deseamos, admitiendo, desde luego, que a la generalidad nos
interesa vivir bien con los demás.
152
Las personas que practican una conducta carente de principios éticos aparentemente
les puede ser beneficiosa, sin embargo esto funciona sólo en forma transitoria, pues
nada que esté fundado en la hipocresía, mentira y/o fraude será duradero, los resulta-
dos sobre alguna acción que no es honesta o bien intencionada, será destructiva. Todo
lo que realicemos será regresado a nosotros en forma centuplicada. Nuestros juicios,
con relación al comportamiento de los demás, deben fundarse en el conocimiento de
los motivos que tengan para seguir una determinada forma de conducta, que algunas
veces a nosotros podrá parecemos equivocada, pero que obedece a razones propias de
la persona que la practica.
Cuando damos muestras de consideración hacia las personas con quienes estamos rela-
cionados, ya sea en el trabajo, hogar y/o en nuestro trato social, las personas con quie-
nes nos relacionamos tendrán mayor disposición para escuchamos, su comportamiento
será más amable y procurarán ser atentas y serviciales en la misma forma que nosotros
hemos sido con ellas o ellos.
Objetivo: Reconocer la importancia de las relaciones humanas en la vida emocional de
las personas
Actividades
1. Haga la dinámica “El granjero” Forme grupos de 7 estudiantes, seis harán la forma de
una cebolla y uno del granjero. Los estudiantes que hacen de cebollas deben organizarse
de tal forma que parezcan cebollas y el granjero le tocará desprender cada una de las
capas de la cebolla. La idea es que ellos no se quieran dejar desprender. De algunas indi-
caciones que tengan en cuenta para no maltratarse o agredirse.
2. Haga un ejercicio de relajación. Cuando los estudiantes estén reposados comience a
realizar preguntas relacionadas con la actividad, enfatizadas en las relaciones interper-
sonales
3. Dialogue con los estudiantes de la importancia de las relaciones interpersonales.
4. Pídales que inventen un cuento que hable de las relaciones interpersonales
Sesión N° 5 “Relacionándome bien con los demás”
Objetivo: Identificar los diferente aspectos a tener en cuenta en las relaciones interper-
sonales y se ejercita en ellos.
Actividades:
1. Divida a los estudiantes formando cinco grupos. A cada grupo asígnele un factor a
tener en cuenta en las relaciones humanas: Comunicación, cooperación, comprensión,
153
respeto, cortesía. Pídales que hagan un dramatizado donde representen el factor que los
tocó. Los demás grupo tendrán que adivinar que factor están dramatizando.
2. Dialogue con los niños sobre la importancia de estos factores en las relaciones inter-
personales
3. Pídale a los niños que escriban como pueden ellos mejorar cada uno de esos aspectos
en las relaciones interpersonales.
Sesión 6 “Me comunico con los demás”
La comunicación es el recurso que empleamos para establecer contacto con nuestros se-
mejantes, expresando nuestras ideas, pensamientos, conocimientos y sentimientos. Es
el instrumento del cual se sirve el hombre para destruir los obstáculos que se opongan a
sus relaciones con sus semejantes.
La falta de una correcta comunicación es causa de que muchas de nuestras actitudes
sean mal interpretadas. Es por medio de ella que intentamos persuadir a los demás a fin
de que actúen de acuerdo a nuestros propósitos, es decir, tratamos de convencerlos que
modifiquen sus actitudes.
No puede existir una relación humana unilateral, puesto que eso significaría una forma
de incomunicación y en toda relación humana debe haber diálogo, intercambio, enten-
dimiento.
La comunicación es un proceso exquisitamente humano, que involucra a toda la perso-
na, que pone en juego a dos o más personalidades que son tanto cuerpo como espíritu,
con sus respectivos temperamentos, caracteres e historias individuales y sociales. Todo
ser humano al comunicarse se proyecta, ya sea que lo piense y se lo proponga, o que ni
se lo proponga y que jamás le haya pasado por la mente tal pensamiento.
Las relaciones interpersonales pueden ser una importante fuente de satisfacción si exis-
te una comunicación abierta y clara, pero si esta comunicación es confusa y agresiva,
suele originar problemas. Poder comunicarse de manera abierta y clara es una habilidad
que puede ser aprendida a través de un entrenamiento.
Es importante saber que todos tenemos el derecho de expresar lo que sentimos, lo que
necesitamos, lo que pensamos, lo que creemos. Todos, hombres y mujeres, niños, jó-
venes y adultos tenemos este derecho. No podemos dejar que nadie nos lo quite. En
muchos grupos culturales existe un rechazo a la expresión de sentimientos en especial
por parte de los hombres. No expresar lo que realmente se siente puede llevar a incre-
mentar el estrés, la ansiedad, los problemas en el trabajo, en las relaciones sociales y
familiares; inclusive podemos tener problemas en el campo de la sexualidad. Cuando
154
somos capaces de expresar lo que sentimos de manera clara y abierta, los demás nos
respetan y aprecian más y logramos así una reciprocidad en la comunicación.
Una comunicación clara y abierta tiene una alta probabilidad de provocar como respues-
ta en otras personas una excelente relación. Estudios en el área de comunicación, sobre
aspectos personales, han encontrado que una vez que la gente se expresa abiertamente,
siente alivio y experimenta una mejoría en sus relaciones con las otras personas.
Para tener una buena comunicación con las demás personas es necesario:
Identificar lo que se siente, lo que se piensa y lo que se quiere.
Aceptar nuestros pensamientos, sentimientos y creencias. Una vez que se tiene
claro lo que se siente, estos pensamientos y sentimientos van a dirigir en gran
medida nuestra conducta. Están allí las creencias y no podemos ocultar los sen-
timientos; por lo tanto, lo mejor que podemos hacer es entenderlos y aceptarlos
como parte nuestra.
Controlar los sentimientos que impiden la comunicación. Una vez que se iden-
tifican y aceptan estos sentimientos el siguiente objetivo es controlarlos, de tal
manera que evitemos que el temor, la ansiedad o el enojo hagan que digamos
algo que no queremos decir.
Buscar el momento y la situación oportuna para decir lo que se quiere decir.
Recordemos que el ser asertivo implica consideración a otros. Lo que en un mo-
mento puede ser visto como asertivo en otro puede ser percibido como irrele-
vante o como agresivo.
Ser específico al expresar nuestros sentimientos, deseos o pensamientos y no
interpretar los mensajes de los demás. Esto significa hablar de manera clara y
directa, sin ideas vagas y ambiguas. También es importante evitar o responder
con base en nuestra interpretación. Hablar directamente evita confundir a quien
nos oye, disminuye la creación de resentimientos surgidos por la interpretación.
Dar respuestas claras y concretas de manera rápida. Una vez aclarados los senti-
mientos y pensamientos es necesario concluir, porque así evitaremos hablar de
cosas pasadas y fortaleceremos la acción.
Ofrecer una respuesta que refleje si se entendió el mensaje. Podremos decir algo
así como: “Yo no entendí ¿me lo podrías volver a explicar?
Objetivo: Identificar los elementos básicos de la comunicación y mejorar la comunica-
ción interpersonal
155
Actividades
1. Coloque el video elementos de la comunicación. Disponible en http://www.youtube.
com/watch?v=hnmIpKCn_04
2. Dialogue sobre la importancia de la comunicación en las relaciones interpersonales.
3. Explique los elementos básicos de la comunicación
4. Trabajo en grupo: a cada grupo asígnele un caso de comunicación para que ellos iden-
tifiquen los elementos. Pregunte ¿Qué pasa cuando el mensaje no es claro? ¿Cuándo el
canal no es el adecuado? ¿Cuándo el receptor no está atento?
Sesión 7 “Derribando barreras de la comunicación”
Objetivo: Identificar barreras que impiden una buena comunicación y proponer alterna-
tivas para derribar esas barreras
Actividades
1. Presente el video “barreras de la comunicación” Disponible en: http://www.youtube.
com/watch?v=g8U35zZI0cs
2. Pregunte por las barreras allí presentadas y cómo se pueden derribar esas barreras.
3. Presente el video “un problema de investigación” Disponible en: http://www.youtu-
be.com/watch?v=WLC-9c1VViE y continúe con el ejercicio anterior.
4. Pídale a los estudiantes que identifiquen barreras que ellos pueden tener al comuni-
carse y la forma cómo pueden derribar esas barreras.
Sesión 8 “Trabajando en equipo”
El trabajo en equipo hace referencia a la serie de estrategias, procedimientos y
metodologías que utiliza un grupo humano para lograr las metas propuestas.
Es un grupo de colaboración que mantiene contacto regular y que realiza una labor coor-
dinada. Cuando los miembros conocen sus objetivos, cuando contribuyen de manera
responsable y entusiasta a la realización de la tarea y se apoyan mutuamente, decimos
que están realizando un equipo de trabajo.
Para trabajar en equipo es fundamental promover canales de comunicación, tanto for-
males como informales, eliminando al mismo tiempo las barreras comunicacionales y
fomentando además una adecuada retroalimentación. Debe existir un ambiente de tra-
bajo armónico, que permita y promueva la participación de los integrantes de los equi-
pos, donde se aproveche el desacuerdo para buscar una mejora en el desempeño.
156
Objetivo: Fomentar el trabajo en equipo
Actividades:
1. Coloque el vídeo “Trabajando en equipo. Disponible en: http://www.youtube.com/
watch?v=JLMO-D4Bhq4
2. Pregunte: ¿Qué actividades tenían que hacer en equipo? ¿Cómo se organizaron para
trabajar en equipo? ¿Qué dificultades se les presentaron?
3. Dialogue sobre la importancia de trabajar en equipo y el comportamiento que se debe
asumir al trabajar en equipo.
4. Pídales que escriban que enseñanza pueden sacar del vídeo visto.
Sesión 9 “Solucionando conflictos”
En el trato diario que llevamos con nuestros semejantes, es frecuente la presencia de
conflictos que se derivan de divergencias en la forma de ver las cosas. Esto ocurre, por
ejemplo, cuando tratamos de hacer prevalecer nuestros puntos de vista sin tomar en
cuenta las opiniones de los demás, porque creemos tener la razón. Naturalmente que
esta forma de comportamiento aleja cualquier posibilidad de entendimiento y desde
luego, propicia situaciones desagradables que pueden dar origen a graves problemas.
Si queremos evitar la presencia de tales situaciones, lo único que tendremos que hacer
es:
Permitir que todos expongan con libertad sus opiniones.
Escuchar con atención sus razonamientos antes de exteriorizar los nuestros.
Propiciar el diálogo.
Crear el ambiente propicio para llegar a conclusiones acertadas.
Es seguro que, escuchando a los demás, en muchas ocasiones nos veremos obligados
a modificar nuestros puntos de vista, pues tendremos que admitir que las opiniones
ajenas pueden ser tan buenas o mejores que las propias y que otros pueden ser los que
tengan la razón, con lo cual todos saldremos beneficiados. Si los problemas ya existen y
es nuestro propósito resolverlos, lo primero que tendremos que hacer será planear ra-
cionalmente la cuestión que les dio origen, llegando al fondo del asunto en forma tal que
podamos hacer una valoración real de las causas que los produjeron. En forma honesta
hacer el planteamiento: “¿Soy objetivo en mi apreciación?”
Al hacernos esta pregunta debemos excluir toda posibilidad de comportamiento emoti-
157
vo. Si no lo hacemos, y actuamos con indecisión, si no sabemos valorar la conducta ajena
y si no estamos dispuestos a sacrificar nuestros puntos personales de vista en la parte
que debamos hacerlo, cualquier solución que propongamos será desacertada.
Objetivo: Valorar las estrategias más efectivas para eliminar o minimizar el efecto nega-
tivo de los conflictos
Actividades:
1. Con anticipación filme algunos conflictos que se presenten en el aula de clases, o en
el colegio en general. Presente el video a los niños.
2. Dialogue con los niños sobre el por qué se dio la situación presentada y cómo se so-
lucionó.
3. Explique algunas estrategias que nos ayudan en la solución de problemas. Huir, eva-
dir, postergar, enfrentar. Y de que maneras podemos enfrentar los conflictos de manera
asertiva.
4. Proponga varias situaciones conflictivas y pídales que dialoguen sobre cómo solucio-
narían cada situación.
158
3. SESIONES DE APRENDIZAJE
Para la elaboración de una sesión de aprendizaje se debe tener en cuenta el desarrollo
de las seis capacidades de la actividad matemática: Matematizar situaciones, represen-
tar situaciones matemáticas, elaborar diversas estrategias de resolución de problemas
matemáticos, utilizar expresiones simbólicas, técnicas y formales en la resolución de
problemas, argumentar y comunicar situaciones matemáticas. Asimismo, no perder de
vista los Indicadores de desempeño hacia el logro del estándar de aprendizaje en cada
ciclo.
Para la sesión de aprendizaje se puede utilizar una o varias de las estrategias planteadas
en este módulo.
3.1 SESIÓN DE APRENDIZAJE DE NÚMERO Y OPERACIONES
REFLEXIÓN
“Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, en tanto
que el denominador es lo que cree ser. Cuanto más grande es el denominador, más pe-
queña es la fracción”. Tolsto.
PRESENTACIÓN
En el mundo en que vivimos, la presencia de la información cuantitativa se ha incremen-
tado en forma considerable. Esto demanda que el ciudadano haga uso de su razona-
miento cuantitativo cuando manifiesta el sentido numérico y de magnitud, comprende
el significado de las operaciones, y aplica de diversas estrategias de cálculo y estimación.
Diversas investigaciones en didáctica señalan que el número es utilizado con distintas fi-
nalidades y de diversas formas: contar, medir, indicar una posición, codificar, secuenciar
verbalmente, etc. (Rico 1987 y Castro 2001); por esta razón históricamente el número ha
sido la base de muchos currículos de matemática y ha constituido el núcleo de la educa-
ción matemática en la educación elemental (NCTM, 2000).
El Mapa de Números y Operaciones describe el desarrollo progresivo de la competencia
para comprender y usar los números, sus diferentes representaciones y su sentido de
magnitud; comprender el significado de las operaciones en cada conjunto numérico;
usar dicha comprensión en diversas formas para realizar juicios matemáticos; y desarro-
llar estrategias útiles en diversas situaciones.
La progresión de los aprendizajes del Mapa de Números y operaciones se describe con-
siderando dos aspectos, cada una de los cuales se va complejizando en los distintos
niveles:
159
a. Comprensión y uso de los números. Implica el desarrollo de capacidades para com-
prender y usar los distintos conjuntos numéricos (N, Z, Q y R), identificar sus caracterís-
ticas, usos y las relaciones que se pueden establecer entre ellos; comprender el Sistema
de Numeración Decimal (SND); y las unidades de tiempo, masa, temperatura y el sistema
monetario nacional.
b. Comprensión y uso de las operaciones. Implica el desarrollo de capacidades para
comprender y usar los distintos significados de las operaciones aritméticas en situacio-
nes problemáticas en las que se requiere seleccionar, adaptar, elaborar y aplicar estrate-
gias de solución; justificar sus procedimientos; y evaluar sus resultados.
DESCRIPCIÓN DE LOS NIVELES DEL MAPA DE NÚMERO Y OPERACIONES
III CICLO
Clasifica objetos que tienen características comunes y los organiza al interior recono-ciendo algunos subgrupos; explica los criterios empleados para formar los grupos y sub-grupos usando las expresiones todos, algunos, ninguno. Cuenta, compara y establece equivalencias entre diez unidades con una decena y viceversa, y entre números natura-les hasta 100. Estima, compara y mide la masa de objetos, empleando unidades arbitra-rias, y el tiempo, empleando unidades convencionales, como días o semanas. Resuelve y formula situaciones problemáticas de diversos contextos referidas a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades, empleando diversas estrategias; explica cómo llegó a la respuesta y si esta guarda relación con la situación planteada. Se aproxima a la noción de multiplicación como adiciones repetidas y a la noción de mitad como reparto en dos grupos iguales.
IV CICLO
Clasifica objetos en grupos y subgrupos, los reagrupa empleando un criterio distinto y explica la relación entre ellos. Representa las partes de un todo y una situación de re-parto mediante fracciones. Compara y establece equivalencias entre números naturales hasta la unidad de millar y entre fracciones usuales. Identifica la equivalencia de núme-ros de hasta cuatro dígitos en centenas, decenas y unidades. Estima, compara y mide la masa de objetos empleando unidades convencionales como el kilogramo, el gramo y las propias de su comunidad, y la duración de eventos usando unidades convencionales como años, meses, hora, media hora o cuarto de hora. Resuelve y formula situaciones problemáticas de diversos contextos referidas a acciones de agregar, quitar, igualar o comparar dos cantidades, o de repetir una cantidad para aumentarla o repartirla en partes iguales; empleando diversas estrategias y explicando por qué las usó. Relaciona la división y la multiplicación como procesos inversos y a la división como un reparto en partes iguales
V CICLO
Representa cantidades discretas o continuas mediante fracciones, decimales y porcen-taje. Compara y establece equivalencias entre números naturales, fracciones, decimales y porcentajes más usuales. Identifica la equivalencia de números de hasta seis dígitos en centenas, decenas y unidades de millar, y de unidades en décimos y centésimos. Estima, compara y mide la masa de objetos en miligramos; la duración de eventos en minutos y
160
segundos; y la temperatura en grados Celsius. Resuelve y formula situaciones problemá-ticas de diversos contextos referidas a acciones de comparar e igualar dos cantidades, combinar los elementos de dos conjuntos o relacionar magnitudes directamente pro-porcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qué las usó. Identifica la potencia como un producto de factores iguales.
Actividad
Ciclo: IV
Tema: Aplicación combinada de operaciones con números Naturales
Indicador: Resuelve problemas con operaciones combinadas de adición, sustracción,
multiplicación y división exacta de números naturales.
Estrategia didáctica: Resolución de problemas
Ejecución de la actividad
Se plantea la siguiente situación:
La sala de la casa de Roberto mide 6m de largo por 4m de ancho. Él quiere cubrir el piso
de su sala con lozas de cerámica. Al momento de cotizar le dan los siguientes precios:
Dimensiones de cada
loza
# de lozas por caja Valor de la caja (S/.)
Clase A 40cm x 40cm 25 30Clase B 20cm x 20cm 50 16
¿Cuál clase de cerámica debe utilizar Roberto? ¿Cuál es la diferencia entre el costo de
una clase con respecto a la otra?
Aplicación del método de Polya.
1°. Fase
Comprensión del problema: En esta fase los estudiantes comprenderán la situación fren-
te a la cual están. Muy probablemente realizan un esquema o dibujo que represente la
situación en mención y discutirán los beneficios de una u otra clase de cerámica (quizás
teniendo en cuenta el costo de pegar una o la otra clase, la parte estética, el presupuesto
de Roberto, etc). Asimismo determinarán los datos que se conocen en el problema y la
relación entre ellos.
2° Fase.
Elaboración de una estrategia: en esta fase los estudiantes debatirán la secuencia de
actividades u operaciones que les permitirán encontrar el número de cajas de cada clase
161
que se necesitan para cubrir el piso, para posteriormente obtener el valor total. Nótese
que esto puede conducir a problemas aritméticos de enunciado verbal, más específica-
mente a problemas multiplicativos (compara la superficie del piso con la superficie que
cubre cada caja). Es muy probable que sean muchas las estrategias planteadas por los
grupos o por los estudiantes.
3° Fase
Ejecución de la estrategia: una vez concertada la estrategia a utilizar proceden a aplicar-
la, encontrando que se necesitan:
Clase A: 6 cajas, por un valor de S/. 180
Clase B: 12 cajas, por un valor de S/. 192
Decisión: _______________________________________________________________
4° Fase
Mirada hacia atrás: los estudiantes reflexionarán sobre los resultados obtenidos y en
algunos casos, de qué otra forma hubiesen podido resolver la misma situación o bien
sea situaciones similares.
Los docentes participantes deben resolver esta situación (por grupos o individualmente),
para luego socializar las diferentes formas de solución y los contenidos implícitos en ella.
Evaluación de la actividad
¿Cómo te pareció la actividad?
¿Qué competencias matemáticas se desarrollan en ella?
¿Qué dificultades encontraste?
¿Qué conceptos matemáticos aplicaste?
Plantea una situación similar y resuélvela
Actividad de evaluación de la sesión
Selecciona un tema específico correspondiente al nivel en que enseñas y sobre el cual
desarrollarás una sesión de aprendizaje. Escoge una de las estrategias didácticas con la
que trabajarás la temática y sigue el siguiente orden para desarrollar la sesión de apren-
dizaje.
162
Tema:
Capacidad(es) a desarrollar:
Indicador(es):
Motivación:
Estrategia:
Desarrollo:
Evaluación:
Actividades de retroalimentación:
3.2 SESIÓN DE APRENDIZAJE DE CAMBIO Y RELACIONES
REFLEXIÓN
“Nunca deberíamos pensar en las Matemáticas que puede aprender un niño, sino en
aquéllas con cuyo aprendizaje se contribuya al desarrollo de su dignidad humana: en
educación lo importante no son las asignaturas –en nuestro caso, las Matemáticas− sino
los alumnos y las alumnas, y el sistema escolar debe procurar que crezcan ganando día a
día en autoconfianza y autoestima”.Freundenthal
PRESENTACIÓN
El mundo que nos rodea presenta una multiplicidad de relaciones temporales o perma-
nentes que se manifiestan en los diversos fenómenos naturales, económicos, demográ-
ficos, entre otros, los cuales influyen en la vida de todo ciudadano, exigiéndole a este
desarrollar un conjunto de capacidades que le permitan comprenderlos, describirlos,
analizarlos, modelarlos y realizar predicciones para enfrentarse a los cambios, de ma-
nera que se aligeren sus consecuencias o redunden en su beneficio (OCDE, 2006). En
este contexto resulta importante el aporte de la Matemática a través de la modelización
algebraica, pues permite desarrollar capacidades para analizar las soluciones de un pro-
blema, generalizarlas y justificar el alcance de las mismas; a medida que se desarrolla
esta capacidad se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo matemático,
necesarios para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico por intermedio de las
ecuaciones, las variables y las funciones (Godino y Font, 2003).
Por lo antes expuesto, resulta indispensable que desde la educación primaria se ayude
a los estudiantes a desarrollar su capacidad para identificar regularidades, comprender
163
el concepto de igualdad y analizar el cambio, situaciones que van incorporando paulati-
namente el uso de códigos, símbolos y funciones. Esto significa presentar el Álgebra no
solo como un medio de traducción del lenguaje natural al simbólico sino también como
una herramienta de modelación de distintas situaciones de la vida real.
El Mapa de Progreso de Cambio y Relaciones describe el desarrollo de la competencia
para identificar patrones, describir y caracterizar generalidades, modelar fenómenos
reales referidos a las relaciones cambiantes entre dos o más magnitudes, utilizando des-
de gráficos intuitivos hasta expresiones simbólicas como las igualdades, desigualdades,
equivalencias y funciones.
La descripción del progreso del aprendizaje en esta competencia se realiza en base a tres
aspectos:
a) Interpretación y generalización de patrones.Implica el desarrollo de capacidades para
identificar, interpretar y representar la regularidad existente en diferentes sucesiones a
través de una expresión general que modele el comportamiento de sus términos.
b) Comprensión y uso de igualdades y desigualdades. Implica el desarrollo de capa-
cidades para interpretar y representar las condiciones de una situación problemática,
mediante igualdades o desigualdades, que permite determinar valores desconocidos y
establecer equivalencias entre expresiones algebraicas.
c) Comprensión y uso de las relaciones y funciones.Implica el desarrollo de capacidades
para identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes, analizar la naturaleza
del cambio y modelar situaciones o fenómenos del mundo real mediante funciones, con
la finalidad de formular y argumentar predicciones.
DESCRIPCIÓN DE LOS NIVELES DEL MAPA DE CAMBIO Y RELACIONES
III CICLO
Identifica patrones aditivos con números naturales de hasta dos cifras y patrones de re-
petición con dos criterios perceptuales, completa y crea sucesiones gráficas y numéricas
y explica si un término pertenece o no pertenece a una sucesión. Interpreta y explica
equivalencias entre dos expresiones y sus posibles variaciones en caso se agreguen o
quiten cantidades hasta 20 a ambas expresiones, usando material concreto. Determina
el valor desconocido en una igualdad entre expresiones que involucran adiciones y sus-
tracciones, y explica su procedimiento. Establece, describe y representa gráficamente
relaciones entre objetos de dos colecciones.
IV CICLO
Interpreta patrones multiplicativos con números naturales y patrones de repetición que
164
combinan criterios perceptuales y de posición; completa y crea sucesiones gráficas y nu-
méricas; descubre el valor de un término desconocido en una sucesión, comprueba y ex-
plica el procedimiento seguido. Interpreta y explica equivalencias entre dos expresiones
y sus posibles variaciones en caso se multipliquen o dividan ambos lados de la igualdad,
haciendo uso de material concreto y gráfico. Determina el valor desconocido en una
igualdad entre expresiones que involucran multiplicaciones o divisiones entre números
naturales de hasta dos dígitos, y explica su procedimiento. Identifica y explica relaciones
de cambio entre dos magnitudes y relaciones de equivalencia entre unidades de medida
de una misma magnitud, y las representa en diagramas o tablas de doble entrada.
V CICLO
Interpreta patrones que crecen y decrecen con números naturales, y patrones geométri-
cos que se generan al aplicar traslaciones, reflexiones o giros; completa y crea sucesiones
gráficas y numéricas; descubre el valor del término desconocido en una sucesión dado
su orden, comprueba y explica el procedimiento seguido. Interpreta que una variable
puede representar un valor desconocido en una igualdad. Interpreta cuándo una canti-
dad cumple con una condición de desigualdad. Representa las condiciones planteadas
en una situación problemática mediante ecuaciones con números naturales y las cuatro
operaciones básicas; explica el procedimiento seguido. Modela diversas situaciones de
cambio mediante relaciones de proporcionalidad directa y relaciones de equivalencia
entre unidades de medida de una misma magnitud, las describe y representa en tablas
o en el plano cartesiano. Conjetura si la relación entre dos magnitudes es de proporcio-
nalidad directa, comprueba y formula conclusiones.
Ejemplo de Actividad
Ciclo: III
Tema: La seriación
Indicador: Construye secuencias con patrones de repetición con más de 4 elementos en
diversos contextos; continúa y describe secuencias numéricas ascendentes y descenden-
tes de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10, con números naturales hasta 100.
Estrategia didáctica: El juego con manipulación de material concreto (Elaboración de
círculos pequeños de cartulina que simulan monedas de uno, dos y cinco Soles)
Material: tijeras, cartulina, lápices de colores, monedas de 1, 2 y 5 Soles, dados y regla
o escuadra.
165
Ejecución de la actividad
1. Se pide a los niños que formen grupos de 5, 6, o más estudiantes (de acuerdo al total),
cada grupo debe recortar círculos del tamaño de las monedas de 1, 2 y 5 Soles y tarjetas
para simular el billete de diez Soles; colorear los círculos para diferenciar la nominación
de cada moneda.
2. Los integrantes de cada grupo se organizan en filas. Para determinar la posición en la
fila, cada estudiante del grupo lanza dos dados y se ubican de acuerdo al resultado ob-
tenido (sea de menor a mayor o viceversa); en caso de obtener el mismo resultado que
uno anterior, entonces lanza los dados nuevamente hasta obtener un resultado diferen-
te (aprovechar esta situación para dar nociones probabilísticas)
3. Se elige el patrón de secuencia para cada grupo, extrayendo al azar de una cajita o
bolsa cerrada un papelito en el que está simbolizado un número comprendido entre 1 y
10. Esta escogencia la puede hacer cualquiera del grupo.
4. El primer estudiante de la fila elige un número entre 1 y 10 para determinar cuál será la cantidad de Soles a recibir y se le entrega una o varias monedas equivalentes a esa cantidad, al segundo estudiante de la fila se le entregará la cantidad anterior más una cantidad equivalente al patrón de secuencia, así a cada estudiante de la fila se le entrega la cantidad recibida por el estudiante anterior más una cantidad equivalente al patrón de secuencia hasta terminar con el último estudiante de la fila. Esta misma actividad puede
repetirse eligiendo otra cantidad inicial y cambiando el patrón de secuencia.
5. Los estudiantes consignan los resultados en la siguiente tabla
Patrón de
secuencia
Posición del estudiante
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cantidad
recibida
Cantidad
recibida
Cantidad
recibida
6. Se pide a los estudiantes que representen horizontalmente, de mayor a menor, los
resultados de la tabla anterior.
7. Discusión
8. Se induce a los estudiantes que a esta forma de colocar cantidades, se les llama seria-
ción.
166
El mismo tema podría haberse tratado partiendo de una situación problema que el es-
tudiante solucionará utilizando la estrategia que más estime conveniente. Para ello se
puede aplicar el método de Polya.
El día miércoles, Camilo recibe de su papá 14 uvas, habiendo acordado que durante una
semana, por cada día que pasara le aumentaría 3 uvas. Si el trato entre Camilo y su padre
inició el día domingo ¿cuántas uvas recibió el primer día?, ¿cuántas uvas recibirá Camilo
el día sábado?
Una variante de la situación puede ser que en vez de darle tres uvas por cada día que
pase, le quite tres uvas.
Recuerda que debes escoger uno de los métodos para solucionar problemas y explicar el
procedimiento en cada fase y los niveles del pensamiento matemático.
Actividades para el Estudiante
a) Completar las siguientes secuencias hasta obtener 10 términos
3, 6, 9, 12,
4, 8, 12, 16,
10, 20, 30, 40,
5, 10, 15, 20,
b) Ubica en cada espacio el número correspondiente en la secuencia
___ , ___ , ___ , ___ , 10, 12, 14, 16
___ , ___ , ___ , ___ , 15, 18, 21, 24
___ , ___ , ___ , ___ , 25, 30, 35, 40
___ , ___ , ___ , ___ , 35, 42, 49, 56
c) Plantea una situación en donde apliques las seriaciones y luego la resuelves
d) Ordena las siguientes cantidades de mayor a menor y viceversa
9, 3, 27, 15, 21, 6, 12, 24, 18
35, 30, 20, 5, 15, 10, 25
e) Una pared que tiene forma de pirámide está construida con 15 ladrillos iguales. Si en
la tercera fila hay 3 ladrillos y la diferencia entre el número de ladrillos de filas consecu-
167
tivas es uno ¿cuántos ladrillos hay en el resto de filas? Representa la situación con un
dibujo y luego escribe la serie en forma ascendente.
Actividad de evaluación de la sesión
Selecciona un tema específico correspondiente al nivel en que enseñas y sobre el cual
desarrollarás una sesión de aprendizaje. Escoge una de las estrategias didácticas con la
que trabajarás la temática y sigue el siguiente orden para desarrollar la sesión de apren-
dizaje.
Tema:
Capacidad(es) a desarrollar:
Indicador(es):
Motivación:
Estrategia:
Desarrollo:
Evaluación:
Actividades de retroalimentación:
3.3 SESIÓN DE APRENDIZAJE DE GEOMETRÍA Y MEDICIÓN
REFLEXIÓN
1. “La filosofía está escrita en ese inmenso libro que tenemos abierto ante los ojos, quie-
ro decir, el Universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la
lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemá-
tica y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las cuales
es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro
laberinto”.Galileo Galilei.
2. Diálogo de Sócrates con Glaucón
Sócrates: Entonces, ¡oh, mi noble amigo!, la Geometría atraerá el alma hacia la verdad
y formará mentes filosóficas que dirijan hacia arriba aquello que ahora dirigimos indebi-
damente hacia abajo.
Glaucón: Sí, y en gran manera.
168
Sócrates: Pues bien, en gran manera también hay que ordenar a los de tu Calípolis
que no se aparten en absoluto de la Geometría. Porque tampoco son exiguas sus venta-
jas accesorias.
Glaucón: ¿Cuáles?
Sócrates: No sólo las que tú mismo citaste con respecto a la guerra, sino que
también sabemos que, por lo que toca a comprender más fácilmente en cualquier otro
estudio, existe una diferencia total y absoluta entre quien se ha acercado a la Geometría
y quien no.
Glaucón: Sí, ¡por Zeus!, una diferencia absoluta. ¿Establecemos, pues, ésta como segun-
da enseñanza para los jóvenes?
Sócrates: Establezcámosla. Tomado de La República, de Platón.
ENSEÑAR GEOMETRÍA, ¿PARA QUÉ?
Muchas de las limitaciones que nuestros alumnos manifiestan sobre su comprensión
acerca de temas de Geometría se deben al tipo de enseñanza que han tenido. Asimismo,
el tipo de enseñanza que emplea el docente depende, en gran medida, de las concep-
ciones que él tiene sobre lo que es Geometría, cómo se aprende, qué significa saber esta
rama de las Matemáticas y para qué se enseña.
Muchos profesores identifican a la Geometría, principalmente, con temas como períme-
tros, superficies y volúmenes, limitándola sólo a las cuestiones métricas; para otros do-
centes, la principal preocupación es dar a conocer a los alumnos las figuras o relaciones
geométricas con dibujos, su nombre y su definición, reduciendo las clases a una especie
de glosario geométrico ilustrado.
Es importante reflexionar sobre las razones para enseñar Geometría. Si el maestro tiene
claro el porqué, estará en condiciones de tomar decisiones más acertadas acerca de su
enseñanza. Una primera razón para dar esta asignatura la encontramos en nuestro en-
torno inmediato, basta con mirarlo y descubrir que en él se encuentran muchas relacio-
nes y conceptos geométricos: la Geometría modela el espacio que percibimos, es decir,
la Geometría es la Matemática del espacio.
Por ejemplo, una habitación: es muy probable que tenga forma de prisma rectangular
con sus caras, aristas y vértices; las paredes y los techos generalmente son rectangu-
lares; las paredes son perpendiculares al techo y éste es paralelo al piso; si hay alguna
ventana lo más seguro es que tenga forma de una figura geométrica con lados que son
segmentos de recta; al abrir y cerrar la puerta se forman diferentes ángulos; si el piso
está cubierto de mosaicos, éstos tienen forma de una o varias figuras geométricas que
169
cubren el plano sin dejar huecos ni empalmarse y en él se pueden observar diversas
transformaciones geométricas: rotaciones, traslaciones y simetrías.
No obstante que la presencia de la Geometría en el entorno inmediato podría ser una
razón suficiente para justificar su enseñanza y su aprendizaje, cabe aclarar que no es la
única. La Geometría ofrece, a quien la aprende, una oportunidad para emprender un
viaje hacia formas superiores de pensamiento.
Los matemáticos y filósofos griegos, amantes y buscadores incansables de la verdad,
tenían en alta estima a la Geometría porque para ellos representó un cuerpo de cono-
cimientos que eran verdaderos y que, además, podía demostrarse que lo eran, que no
dependían del humor de las personas ni de los dioses; a tal grado llegó esta valoración,
que en la Academia, la escuela filosófica de Platón, estaba escrito: Nadie entre aquí que
no sepa Geometría. No obstante que la palabra Geometría significa medida de la tierra,
que hace alusión a su origen práctico, a partir de los griegos y hasta la actualidad lo que
se estudia en Geometría dista mucho de ser sólo lo que fue en sus inicios.
Veamos en qué consiste esta forma de pensar que se puede desarrollar con la enseñan-
za de la Geometría. Las personas construyen de manera intuitiva algunas relaciones y
conceptos geométricos, producto de su interacción con el espacio; la enseñanza de la
Geometría debe permitir avanzar en el desarrollo del conocimiento de ese espacio, de
tal manera que en un momento dado pueda prescindir de él y manejar mentalmente
imágenes de figuras y relaciones geométricas, es decir, hacer uso de su capacidad de
abstracción. El estudio de la Geometría permite al alumno estar en interacción con rela-
ciones que ya no son el espacio físico sino un espacio conceptualizado y, por lo tanto, en
determinado momento, la validez de las conjeturas que haga sobre las figuras geomé-
tricas ya no se comprobarán empíricamente sino que tendrán que apoyarse en razona-
mientos que obedecen a las reglas de argumentación en Matemáticas, en particular, la
deducción de nuevas propiedades a partir de las que ya conocen.
IMPORTANCIA DE LA ENSEÑANZA DELA GEOMETRÍA
• Se aplica en la realidad (en la vida cotidiana, la arquitectura, la pintura, la escul-
tura, la astronomía, los deportes, la carpintería, la herrería, etcétera).
• Se usa en el lenguaje cotidiano (por ejemplo, se dice: calles paralelas, tinacos
cilíndricos, la escalera en espiral, etcétera).
• Sirve en el estudio de otros temas de las Matemáticas (por ejemplo, un modelo
geométrico de la multiplicación de números o expresiones algebraicas lo consti-
tuye el cálculo del área de rectángulos).
170
• Permite desarrollar en los alumnos su percepción del espacio, su capacidad de
visualización y abstracción, su habilidad para elaborar conjeturas acerca de las
relaciones geométricas en una figura o entre varias y su habilidad para argumen-
tar al tratar de validar las conjeturas que hace.
• Constituye el ejemplo clásico de ciencia organizada lógica y deductivamente, de-
bido a que a partir de axiomas y postulados se deducen teoremas.
Respondemos entonces a la pregunta: ¿para qué enseñar y aprender Geometría?
Para conocer una rama de las Matemáticas más instructivas.
Para cultivarla inteligencia.
Para desarrollar estrategias de pensamiento.
Para descubrir las propias posibilidades creativas.
Para aprender una materia interesante y útil.
Para fomentar una sensibilidad hacia lo bello.
Para trabajar Matemáticas experimentalmente.
Para agudizarla visión del mundo que nos rodea.
Para gozar de sus aplicaciones prácticas.
Para disfrutar aprendiendo y enseñando.
Habilidades por desarrollar en las clases de Geometría
Por medio de las tareas de conceptualización, investigación y demostración que se pro-
pongan a los alumnos, las habilidades básicas por desarrollar en las clases de Geometría
son:
Visuales
De comunicación
De dibujo
Lógicas o de razonamiento
De aplicación o transferencia
Habilidades visuales
171
En relación con la enseñanza de las Matemáticas, la visualización es una actividad del
razonamiento o proceso cognitivo basada en el uso de elementos visuales o espaciales,
tanto mentales como físicos, utilizados para resolver problemas o probar propiedades.
La Geometría es una disciplina eminentemente visual. En un principio, los conceptos
geométricos son reconocidos y comprendidos a través de la visualización. Por ejemplo,
el primer contacto que el alumno tiene con la idea de triángulo es mediante su visualiza-
ción. Como ya se mencionó, es importante que los triángulos se exploren de las maneras
más diversas para que el alumno sea capaz de discernir, poco a poco, lo que es inherente
al concepto de triángulo (polígono que tiene tres lados) y lo que no lo es (posición, color,
material del que está hecho).
Cabe aclarar que, si bien la habilidad de visualización es un primer acercamiento a los
objetos geométricos, no podemos aprender la Geometría sólo viendo una figura u otro
objeto geométrico. La generalización de las propiedades o la clasificación de las figuras
no puede darse a partir únicamente de la percepción. Es necesario que el alumno se en-
frente a diversas situaciones donde los conocimientos adquieran sentido, por ejemplo, a
través de las construcciones geométricas, en las que se puede variar el tipo de informa-
ción que se les da.
Desarrollar la habilidad de visualización es muy importante en Geometría; es posible
que al resolver un problema los estudiantes tengan dificultades debido a que no logran
estructurar lo que observan o lo estructuran de una manera que no lleva a la solución
del problema o no facilita demostrar cierta propiedad. Las configuraciones geométricas
generalmente pueden visualizarse de varias maneras y es importante que esto se trabaje
con los alumnos.
Actividad
1. Trabaja tu habilidad visual contando el número de rectángulos de la siguiente ventana.
172
2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
3. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene el cubo truncado?
Habilidades de comunicación
La habilidad de comunicación se refiere a que el alumno sea capaz de interpretar, enten-
der y comunicar información geométrica, ya sea en forma oral, escrita o gráfica, usando
símbolos y vocabulario propios de la Geometría.
Las habilidades del lenguaje están estrechamente relacionadas con el pensamiento y
están presentes en muchos sentidos durante las clases de Matemáticas y de Geometría
en particular, por ejemplo, cuando:
Se lee e interpreta la información de un problema para empezar a resolverlo.
Se discute con los compañeros de equipo las posibles estrategias de resolución.
Se presenta ante el grupo el resultado y procedimiento que se siguió para resol-
ver un problema.
Se justifica un resultado o un procedimiento.
Se valida una conjetura que se hizo.
Dentro de estas habilidades está el proceso de designar por su nombre a las relacio-
nes y a los objetos geométricos: paralelas, perpendiculares, cuadrado, rombo, círculo,
mediatriz, bisectriz, etcétera. Muchas de las palabras que forman parte del vocabulario
173
geométrico aparecen también en el lenguaje cotidiano, algunas veces con el mismo sig-
nificado y otras con significado muy diferente; por ejemplo, la concepción inicial que los
alumnos puedan tener sobre las palabras radio y diagonal es muy diferente a las concep-
ciones geométricas de esas palabras.
Una actividad recomendable en las clases de Geometría es la de invitar continuamente
a los alumnos a que, siempre que el ejercicio lo permita, argumenten sus respuestas: no
sólo es importante dar el resultado sino explicar cómo se obtuvo y probar que es correc-
to, de esta manera convertimos las actividades en tareas de demostración fomentando
la cultura de la argumentación lógica y el desarrollo de su habilidad para comunicarse.
Actividades de comunicación en Geometría
Consiste en organizar a los alumnos por parejas, se colocarán frente a frente con un obs-
táculo en medio (puede ser la mochila) y se le pide a uno de ellos que, sin que su pareja
lo vea, haga una figura utilizando, por ejemplo, cuatro piezas del tangram:
Después le dará oralmente las instrucciones para que su compañero haga una figura
idéntica. Cuando terminan se quita el obstáculo y se comparan las figuras.
El desarrollo del lenguaje geométrico es muy importante para la comprensión, de ahí la
gran importancia que tiene enfrentar a los alumnos constantemente a situaciones en las
que tengan que comunicar información geométrica.
Dentro de las habilidades de comunicación y estrechamente relacionada con las tareas
de demostración está la competencia de argumentación:
Pero la argumentación va más allá de la comunicación, hay que comunicar para conven-
cer; el estudiante no sólo debe manejar el lenguaje geométrico adecuado sino también
hacerlo de manera que forme una cadena de argumentos que muestren la veracidad de
su propuesta. Esta cultura de la argumentación es necesaria no sólo dentro del ámbito
matemático escolar sino en cualquier ámbito en el que se desenvuelva el alumno.
Dentro de la habilidad de comunicación está el uso de símbolos geométricos, que cons-
tituyen una poderosa herramienta que permite, en un momento dado, abandonar todo
referente concreto e incluso vocablos lingüísticos y trabajar únicamente con símbolos.
174
Por ejemplo, al anotar AB // CD, se está simbolizando que el segmento AB es paralelo al
segmento CD de una manera mucho más breve. El docente debe considerar la pertinen-
cia de introducir la simbología sin que esto represente un obstáculo en el entendimiento
de los alumnos.
Actividades
1. Escribe un mensaje para que alguien pueda reproducir la siguiente figura utilizando
dos Tangram
2. Escribe una lista de los símbolos geométricos que conoce e indique cómo se leen y
qué significan.
3. Escribe una lista de las palabras del vocabulario geométrico que conoce e investiga lo
que significan.
4. Escribe un enunciado que se refiera a una situación real para cada una de las siguien-
tes palabras: paralelas, perpendiculares, diagonal, rectángulo, cuadrado, ángulo, cír-
culo, rombo, cubo, prisma.
5. Investiga cómo se simbolizan en Geometría los segmentos, los ángulos, la relación de
perpendicularidad, el ángulo recto, la congruencia de figuras y la semejanza de figuras
Habilidades de dibujo
Las habilidades de dibujo están relacionadas con las reproducciones o construcciones
gráficas que los alumnos hacen de los objetos geométricos. La reproducción se refiere a
la copia de un modelo dado, ya sea del mismo tamaño o a escala, cuya construcción pue-
de realizarse con base en información que se da en forma verbal (oral o escrita) o gráfica.
Es necesario enfatizar que las actividades de trazo de figuras geométricas son de una
gran riqueza didáctica debido a que promueven en el alumno su capacidad de análisis de
las mismas al buscar las relaciones y propiedades que están dentro de su construcción.
La construcción de figuras por sí misma no sólo es un propósito de la enseñanza de la
175
Geometría sino que, además, constituye un medio para que los alumnos sigan explo-
rando y profundizando en los conocimientos que ya tienen e incluso construyan otros
nuevos.
Asimismo, las actividades de construcción o reproducción de una figura permiten seguir
desarrollando la habilidad para argumentar.
Por ejemplo, para construir, reproducir o copiar una figura, hay que argumentar las ra-
zones por las que un trazo en particular es válido o no, tomando como base las propie-
dades de dicha figura.
De ahí la gran importancia que tiene promover entre los alumnos el uso continuo de
los instrumentos geométricos: regla, escuadras, compás y transportador. Dichos instru-
mentos constituyen una herramienta indispensable en la enseñanza de la Geometría y
es necesario desarrollar en los alumnos su destreza para utilizarlos y sus habilidades de
dibujo.
Al pedir a los alumnos que, usando sus instrumentos geométricos, reproduzcan una figu-
ra tendrán que identificar las figuras involucradas y la manera en que están relacionadas
dentro de la configuración completa, con lo cual estarán desarrollando su habilidad de
visualización. Al reproducir una figura los alumnos practican el trazo de paralelas, per-
pendiculares, circunferencias (con determinado centro y radio), etcétera.
Entre las actividades que desarrollan las habilidades de dibujo y la imaginación espacial
están aquéllas en las que, con un cuerpo geométrico dado, el estudiante tiene que trazar
el desarrollo plano (molde o patrón) que permite construirlo.
Actividad
1. Utiliza instrumentos geométricos para reproducir la siguiente figura (puede ser del
tamaño que desee)
2. Construye triángulos cuyos lados midan 6 cm, 6 cm, 8 cm y 6 cm, 8 cm, 10 cm
3. Triángulos imposibles. Utiliza tus instrumentos geométricos para construir, en cada
176
caso, un triángulo que cumpla con las medidas indicadas y descubra cuáles medidas no
permiten obtener triángulos.
a) Lados:
5 cm, 6 cm, 8 cm; 2 cm, 2 cm, 4 cm
7 cm, 3 cm, 2 cm; 9 cm, 6 cm, 8 cm
b) Ángulos:
60º, 80º, 40º; 90º, 50º, 40º
10º, 20º, 60º; 25º, 40º, 30º
4. Trabaja tus habilidades de dibujo utilizando sus instrumentos geométricos para trazar,
en una hoja blanca, un cuadrado cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.
Habilidades de razonamiento
Al aprender Matemáticas, los alumnos desarrollan su razonamiento, es decir, aprenden
a razonar. Esto es particularmente cierto para el caso de la Geometría, con cuyo estudio
se pretende desarrollar habilidades de razonamiento como:
La abstracción de características o propiedades de las relaciones y de los concep-
tos geométricos.
Argumentar.
Hacer conjeturas y tratar de justificarlas o demostrarlas.
Demostrar la falsedad de una conjetura al plantear un contraejemplo.
Seguir una serie de argumentos lógicos.
Identificar cuándo un razonamiento no es lógico.
Hacer deducciones lógicas.
A pesar de que tradicionalmente la Geometría ha sido considerada como el prototipo
de una disciplina deductiva (sus demostraciones son deductivas porque algunas pro-
piedades se demuestran o derivan a partir de otras ya demostradas o aceptadas como
verdades), en la enseñanza es conveniente usar la inducción para elaborar conjeturas o
construir conceptos.
Actividades
177
1. Juanito observa los siguientes rectángulos y deduce: las figuras con dos lados cortos
y dos largos son rectángulos. ¿Es correcta su deducción?, ¿por qué? ¿Qué otras figuras
tienen dos lados largos y dos cortos y no son rectángulos?
2. Carlos traza las tres alturas de los siguientes triángulos
Y deduce que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. El punto siempre está dentro del triángulo. ¿Son correctas sus deducciones? Argumenta su respuesta a partir de un contraejemplo, es decir, dé un ejemplo que muestre que estas deducciones no siempre se cumplen.
Habilidades de aplicación y transferencia
Como su nombre lo indica, con las habilidades de aplicación y transferencia se espera que los alumnos sean capaces de aplicar lo aprendido no sólo a otros contextos, al resol-ver problemas dentro de la misma Geometría, sino también que modelen geométrica-mente situaciones del mundo físico o de otras disciplinas.
Algunos investigadores consideran que la comprensión en Geometría se ha dado sólo si los alumnos son capaces de aplicar el contenido aprendido a problemas nuevos, es decir, a problemas diferentes a los que inicialmente fueron presentados.
La transferencia puede darse de varias maneras. Puede ser que el alumno transfiera el contenido aprendido en Geometría para resolver otra tarea que también pertenece al ámbito matemático, como el álgebra; o bien, que transfiera lo aprendido en Geometría a una tarea que pertenece a otra área del conocimiento, como la física, en cuyo caso se habla de la aplicación de las Matemáticas.
Se puede llevar aún más lejos: cuando el alumno transfiere lo aprendido en Geometría a un problema de carácter no matemático de otra asignatura o de la vida misma, en
178
este caso se dice que la enseñanza de la Geometría ha cumplido su valor formativo: el alumno razona en terrenos distintos a como lo hace cuando se enfrenta a una tarea geométrica, por ejemplo, al tratar de convencer a otros utiliza una serie de argumentos estructurados lógicamente.
Actividad
1. Trabaja tus habilidades de aplicación: investiga el concepto de mediatriz y trata de
usar ese conocimiento para resolver el siguiente problema.
Los puntos representan tres unidades habitacionales:
Se va a construir un centro comercial y se desea que esté a la misma distancia de las
tres unidades. Identifique con un punto el lugar donde se tendría que construir el centro
comercial. Haces la construcción en su cuaderno.
LOS NIVELES DE RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO
La teoría de los niveles de razonamiento fue propuesta por un matrimonio holan-
dés de apellido Van Hiele, por lo que se conoce como la teoría de Van Hiele.
El modelo Van Hiele está formado por dos partes, que son los niveles de razonamiento
y las fases de aprendizaje; En esta sesión sólo se tratarán los primeros. A continuación
se señalan los niveles de razonamiento y, de manera general, los principales rasgos que
presenta un estudiante en cada nivel.
Nivel 1.
Reconocimiento (o descripción): percibe los objetos en su totalidad y como unidades;
describe los objetos por su aspecto físico y los clasifica con base en semejanzas o di-
ferencias físicas globales entre ellos; no reconoce explícitamente las componentes y
propiedades de los objetos. Un estudiante de este nivel es capaz de identificar que la
siguiente figura es un cuadrado, pero no sabe más acerca de él.
179
Nivel 2.
Análisis: percibe los objetos como formados por partes y dotados de propiedades, aun-
que no identifica las relaciones entre ellas; puede describir los objetos de manera infor-
mal mediante el reconocimiento de sus componentes y propiedades, pero no es capaz
de hacer clasificaciones lógicas; deduce nuevas relaciones entre componentes o nuevas
propiedades de manera informal a partir de la experimentación. Un estudiante de este
nivel puede enumerar algunas características de un cuadrado:
Tiene dos pares de lados paralelos.
Tiene cuatro ángulos y los cuatro son rectos.
Nivel 3.
Clasificación (o abstracción): realiza clasificaciones lógicas de los objetos y descubre
nuevas propiedades con base en propiedades o relaciones ya conocidas y por medio de
razonamiento informal; describe las figuras de manera formal, es decir que comprende
el papel de las definiciones y los requisitos de una definición correcta; entiende los pasos
individuales de un razonamiento lógico de forma aislada, pero no comprende el enca-
denamiento de estos pasos ni la estructura de una demostración; no es capaz de reali-
zar razonamientos lógicos formales, ni siente la necesidad de hacerlos. Por ese motivo,
tampoco comprende la estructura axiomática de las Matemáticas. Un estudiante de este
nivel no tiene dificultad en aceptar que el cuadrado es, al mismo tiempo, un rectángulo
(por tener ángulos rectos y dos pares de lados opuestos paralelos) y un rombo (por tener
lados iguales y dos pares de ángulos opuestos de igual medida).
Nivel 4.
Deducción (o prueba): es capaz de realizar razonamientos lógicos formales; comprende
la estructura axiomática de las Matemáticas; acepta la posibilidad de llegar al mismo
resultado desde distintas premisas (definiciones equivalentes, etcétera). Un estudiante
de este nivel puede demostrar que las diagonales de un cuadrado son congruentes, si-
guiendo un razonamiento deductivo.
180
Hipótesis: ABCDes un cuadrado.
Tesis: AC = BD
Demostración:
AB =DC por ser lados de un cuadrado.
BC = BC por ser lado común.
Ángulo B =ángulo C = 90° por ser ángulos de un cuadrado.
∆ABC= ∆BCD por LAL
AC = BD por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.
El modelo propuesto por los Van Hiele considera un nivel más, cuyas características son: capacidad para manejar, analizar y comparar diferentes Geometrías, cuestiones que no se toman en cuenta en los contenidos del currículo de Educación Básica, además de que en diversas investigaciones no es considerado porque estas características se encuen-tran en matemáticos profesionales y estudiantes de nivel superior.
El propósito de mencionar en esta sesión los niveles de Van Hiele no es que el docente clasifique sus alumnos y trate de ubicar a cada uno en el nivel en que se encuentra. Lo que se desea mostrar es el hecho de que el razonamiento geométrico evoluciona desde niveles muy elementales de reconocimiento e identificación de las figuras geométricas hasta el desarrollo de razonamientos deductivos y que si un docente insiste en preocu-parse porque sus alumnos sólo aprendan a identificar las figuras geométricas con sus nombres (e incluso definiciones) está condenándolos a mantenerse en un nivel muy elemental del pensamiento geométrico.
EL ENFOQUE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
Las tendencias actuales sobre enseñanza de la matemática promueven su apren-
dizaje mediante la resolución de problemas: resolver problemas constituye no sólo la
finalidad de enseñar Matemáticas sino también un medio a través del cual los alumnos
construyen conocimientos matemáticos. Acorde con este enfoque, se sugiere que la en-
181
señanza de la Geometría gire en torno a la resolución de problemas que impliquen el uso
de relaciones y conceptos geométricos.
Los problemas deben ser lo suficientemente difíciles para que realmente constituyan un
reto para los alumnos y lo suficientemente fáciles para que cuenten con algunos elemen-tos para su resolución.
Es muy amplia, los siguientes son ejemplos de problemas en Geometría:
Armar un rompecabezas
Hacer el croquis del camino de la casa a la escuela
Calcular el número de diagonales de un polígono cualquiera
Calcular la altura de un poste (sin medirlo)
Hallar el número de vértices de un poliedro a partir de su desarrollo plano
Imaginar el resultado de girar un cuerpo geométrico
Imaginar el cuerpo geométrico que se forma con cierto desarrollo plano.
Este enfoque supone un modelo de clase muy diferente a aquel en el que se acostumbra mostrar un concepto geométrico o dar una explicación de los contenidos para después aplicarlos a problemas. Se trata ahora de realizar tareas que lleven a los estudiantes a experiencias más significativas: visualizar, explorar y analizar, abstraer propiedades, cla-sificar, elaborar conjeturas y tratar de validarlas. Por ejemplo, considérese la siguiente
actividad. Se le da al alumno la siguiente información:
1. Es una diagonal 2. No es una diagonal 3. No es una diagonal
6. No es una diagonal
9. No es una diagonal 10. No es una diagonal
5. Es una diagonal
11. Es una diagonal 12. Es una diagonal
8. Es una diagonal
4. Es una diagonal
7. Es una diagonal
182
En esta parte de la actividad los alumnos visualizan las figuras e identifican cuál es o no
una diagonal.
Después se le plantea el siguiente problema:
A partir de la información anterior, anota si el segmento rojo es o no es una de las dia-
gonales de la figura.
¿Qué procesos pone en juego el alumno al tratar de decidir si el segmento rojo es o
no es una diagonal de la figura? Ya no sólo se trata de visualizar, ahora tendrá que
explorar y analizar cuál es la característica principal de una diagonal. Empieza entonces
un proceso de abstracción en donde el alumno debe fijarse en qué es lo que se mantiene
invariante en las diagonales, qué es lo que determina que el segmento indicado sea
diagonal. Empezarán a elaborar Conjeturas de lo que es una diagonal, algunas serán
falsas o sólo se cumplirán en ciertos casos; por ejemplo, las siguientes son definiciones
erróneas:
Un segmento inclinado
Un segmento que pasa por el centro de la figura
Un segmento que une dos ángulos de la figura
Un segmento que une dos vértices de la figura
Un segmento que atraviesa la figura
Con base en la idea que hayan construido sobre lo que es una diagonal, podrán clasifica-
ren el segundo grupo de figuras aquellas que tienen señalada la diagonal de las que no lo
tienen. Es importante que cuando los alumnos enuncien sus conjeturas acerca de lo que
es una diagonal o cuando determinen si un segmento es o no diagonal de una figura se
les invite a argumentar ¿por qué lo crees así? La argumentación es una de las competen-
cias básicas que se pretende que los alumnos desarrollen durante su Educación Básica.
183
Una manera de trabajar los problemas consiste, grosso modo, en organizar al grupo en
pequeños equipos o parejas y plantear el problema; se da el tiempo necesario para que
los alumnos interactúen y traten de hallar la solución, después del cual se puede hacer
una puesta en común o confrontación de resultados de manera grupal en donde algunos
equipos, previamente seleccionados por el maestro, podrán exponer al frente sus proce-
dimientos y resultados.
PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA: EL AULA-TALLER DE GEOMETRÍA
El punto de partida para el aprendizaje de la Geometría es el entorno físico, en esta
disciplina el uso de material concreto (sobre todo en los primeros grados de escolaridad)
cobra particular importancia al constituirse en un primer acercamiento hacia los dife-
rentes grados de abstracción que se espera que los alumnos alcancen; sin embargo, es
necesario mencionar que se debe ser muy cauteloso en la utilización de este material,
pues debe estar supeditada a actividades que realmente conduzcan a un aprendizaje
adecuado de los contenidos geométricos y al desarrollo de las habilidades geométricas
mencionadas. El uso de material concreto, por sí mismo, no garantiza un aprendizaje sig-
nificativo, se requiere que el profesor tenga un propósito específico para que la actividad
que realice el alumno lo conduzca al desarrollo de una habilidad y al aprendizaje de con-
tenidos geométricos. Al utilizar material concreto se debe estar alerta de que realmente
se use bajo el enfoque de resolución de problemas.
El aula-taller de Geometría o aula-laboratorio se concibe como un espacio en el donde el
alumno se hace responsable de su propio aprendizaje y el maestro es quien:
Elige, adapta o diseña las actividades a trabajar.
Organiza al grupo.
Indica las consignas de las actividades a trabajar o problemas a resolver.
Observa a los alumnos mientras trabajan, auxiliando a los que no hayan enten-
dido lo que se tiene que hacer, dando pistas a los que hayan entendido pero
requieren algo de ayuda; claro está, siempre sin solucionarles los problemas
Dirige la confrontación grupal o puesta en común de resultados y procedimien-
tos.
Cierra la actividad institucionalizando o formalizando los contenidos geométricos
trabajados durante la clase.
Materiales para construir la Geometría
Existen diferentes materiales que el maestro puede emplear para realizar actividades
184
que favorezcan el desarrollo de habilidades geométricas y la adquisición de conocimien-
to geométrico. A continuación se presentan algunos ejemplos:
a) Tangram. El uso de estos rompecabezas geométricos desarrolla la visualización, las
habilidades de reproducción, construcción y comunicación. Los siguientes son dos ejem-
plos de ellos:
Algunas actividades que se pueden desarrollar con los tangram son:
Recortar las diferentes piezas del rompecabezas y con ellas armar cuadrados,
rectángulos, romboides, trapecios, utilizando una, dos, tres, cuatro o más piezas.
Reproducir con regla y compás los rompecabezas.
El trabajo con tangram, entre otras cosas, permite enriquecer la imagen conceptual de
las figuras, ya que van apareciendo en diferente posición y están formados por distintas
piezas. También prepara a los alumnos para la deducción de las fórmulas de las áreas,
pues construyen la idea de unas figuras que pueden descomponerse o ser formadas por
otras.
b) Geoplano: Consiste en un cuadrado de madera al que previamente se le traza una
cuadrícula (del tamaño deseado) y en cada punto de intersección de dos líneas de la
cuadrícula se clava un clavo dejando una parte de él fuera para que pueda sujetar ligas.
Un buen número de clavos es 5 x 5 = 25.
Con las ligas de colores pueden formarse diferentes figuras geométricas.
Los usos del geoplano son múltiples, algunos ejemplos de actividades son:
Formar en el geoplano un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un trapecio,
etcétera.
185
Reproducir en el geoplano una figura dibujada en el pizarrón o construida en el
geoplano del maestro.
Formar en el geoplano todos los segmentos diferentes que puedan cons-
truirse (cuando se haya estudiado el teorema de Pitágoras puede pedirse la lon-
gitud de cada uno).
Formar en el geoplano todos los cuadrados de diferentes tamaños que puedan
formarse (lo mismo para rectángulos, triángulos rectángulos, etcétera).
Hallar la figura simétrica con respecto al eje indicado.
c) Doblado de papel: El origami o papiroflexia constituye un excelente recurso para tra-
bajar la Geometría, desde elaborar figuras siguiendo las instrucciones dadas por el pro-
fesor o por un manual hasta resolver problemas con el doblado de papel. Una actividad
podría ser: por medio de dobleces construir, a partir de un cuadrado, el mayor número
de figuras geométricas que tengan diferente nombre (dos triángulos se cuentan por uno
solo).
Seguir las instrucciones para hacer una figura de papel también desarrolla habilidades de visualización y comunicación.
Además, al hacer los dobleces implícitamente los alumnos están en contacto con diversos conceptos geométricos: cuadrado, diagonal, triángulo, triángulo rectángulo, etcétera.
Si lo que se desea es que los estudiantes se apropien del vocabulario geométrico, la papiroflexia puede trabajarse dando las indicaciones oralmente o por escrito usando tér-minos geométricos y cuestionando a los alumnos sobre las figuras que van obteniendo y sus características. Por ejemplo:
186
Tomen un cuadrado
Dóblenlo por una de sus diagonales:
Según sus lados, ¿qué tipo de triángulo obtienen? Según sus ángulos, ¿qué tipo de trián-gulo obtienen?
d) Espejos. Ideales para validar o construir figuras simétricas. Si se hace un libro de es-pejos (dos espejos pegados por uno de sus lados a manera de bisagra que se abre y se cierra) se puede explorar la generación de polígonos regulares: ¿cuánto debe medir el ángulo entre los espejos para que, al ponerse sobre un papel con una recta dibujada,
forme determinado polígono semejante?
e) Cubos de madera. Con ellos se pueden formar diferentes cuerpos geométricos y di-
bujar las vistas frontal, de arriba, izquierda, etcétera; o bien, dadas las vistas, que el
alumno reconstruya el cuerpo geométrico. Por ejemplo, dibuja la vista frontal y de
arriba de este cuerpo geométrico.
Arma con tus cubos un cuerpo geométrico que tenga las siguientes vistas:
frontal, de arriba y de cada lado, respectivamente.
Otra actividad para desarrollar la habilidad de comunicación es que un alumno constru-
187
ya un cuerpo formado por varios cubos sin que su compañero lo vea y oralmente dé las
instrucciones para que su pareja arme un cuerpo idéntico; después se comparan.
f) Software de Geometría. El uso de algunos paquetes de Geometría dinámica, así
como el lenguaje de programación LOGO han tenido fuerte impacto en la enseñanza y
el aprendizaje de la Geometría. En caso de contar con una computadora y con estos pro-
gramas se pueden trabajar algunos problemas interesantes. En LOGO, el apuntador
es una tortuga que se desplaza por la pantalla dejando huella del trayecto que sigue; la
tortuga entiende palabras como: avanza 100, giraderecha 60, retrocede 50, giraizquierda
30, etcétera. Un problema podría ser: dar las indicaciones a la tortuga para que dibuje
un pentágono regular:
Al dar la orden no puede separar las palabras (giraderecha 60, giraizquierda 30)
O realizar diseños como el siguiente, en el que se trabajan diversos aspectos geométricos:
Se debe ser muy cauteloso en el empleo de materiales concretos, las actividades que
se propongan con ellos deben ser acordes con el enfoque de resolución de problemas.
Con el uso de material concreto no se pretende, de ninguna manera, proponer una en-
señanza de las Matemáticas sensual-empirista basada en la idea de que nada hay en la
mente que no haya pasado por los sentidos. Se sabe que los sentidos engañan y que las
verdades matemáticas están por encima de las demostraciones empíricas y son produc-
to de operaciones mentales.
Con el uso de material concreto tampoco se pretende hacer pasar a los alumnos
por las conocidas etapas concreta, gráfica y simbólica que suponen que el estudiante
copia pasivamente del exterior en una secuencia lineal de abstracciones sucesivas. La
matemática no se aprende de esta manera, esas etapas nada tienen que ver con un
188
aprendizaje significativo. El alumno construye conocimiento cuando interactúa de ma-
nera activa con el objeto de estudio, de ahí la importancia de que los ejercicios con el
material concreto realmente promuevan la actividad mental de los estudiantes.
El material concreto no es la panacea para la enseñanza de las Matemáticas, tiene sus
bondades pero también sus limitaciones. Por ejemplo, si se desea explorar los polígonos
regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, etcéte-
ra) el geoplano cuadriculado resulta totalmente inadecuado, pues en él sólo se puede
construir el cuadrado y no el triángulo equilátero ni ninguno de los otros polígonos regu-
lares. Esto constituye un buen ejemplo para mostrar que los sentidos engañan; por
ejemplo, algunos alumnos consideran que el siguiente triángulo es equilátero:
Sin embargo, no lo es y esto puede probarse aplicando el teorema de Pitágoras para
calcular la longitud de los lados, dos de los lados miden √17 y el otro, √18; nótese que la
diferencia es mínima y para algunos alumnos es imperceptible a la vista.
Existen actividades interesantes y significativas que no emplean material concreto,
es decir, éste es importante pero no indispensable en la enseñanza de las Matemáticas.
Actividades para el aula-taller de Geometría
1. Toma las piezas del tangram de corazón y arma un trapecio utilizando:
a) Una pieza
b) Dos piezas
c) Tres piezas
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d) Cuatro piezas
Dibuja tus trapecios armados en tu cuaderno
2. Reproduce en tu cuaderno la siguiente figura:
3. Reproduce en papel cuadriculado la figura.
CONCLUSIONES
Se trata de que la enseñanza de la Geometría:
Esté basada en la resolución de problemas.
Sea dinámica más que estática, propiciando que las actividades tiendan a
enriquecer los conceptos y las imágenes conceptuales de los objetos geomé-
tricos que estudian.
No se limite al modelo de enseñanza en el que el maestro explica y los
alumnos atienden a las explicaciones; se trata de que continuamente se en-
frente a los alumnos a tareas que les brinden la oportunidad de construir concep-
tos, investigar relaciones y explicarlas, probarlas y, de ser posible, demostrarlas.
Considere los diferentes tipos de tareas que pueden trabajarse con los alumnos:
de conceptualización, investigación y demostración.
Tienda a desarrollar en los alumnos diferentes habilidades: visualización, de di-
bujo, de comunicación, de razonamiento y de aplicación.
190
Atienda a los niveles de razonamiento geométrico en los que se encuentran los
alumnos y tenga como propósito hacerlos avanzar por estos niveles.
Tenga presente que lo más importante son los alumnos y fomentar en ellos una actitud
positiva hacia la Geometría en particular y hacia el conocimiento en general.
Actividad de evaluación de la sesión
Selecciona un tema específico correspondiente al nivel en que enseñas y sobre el cual
desarrollarás una sesión de aprendizaje. Escoge una de las estrategias didácticas con la
que trabajarás la temática y sigue el siguiente orden para desarrollar la sesión de apren-
dizaje.
Tema:
Capacidad(es) a desarrollar:
Indicador(es):
Motivación:
Estrategia:
Desarrollo:
Evaluación:
Actividades de retroalimentación:
3.4 SESIÓN DE APRENDIZAJE DE ESTADÍSTICA
REFLEXIÓN
“Defiende tu derecho a pensar, incluso pensar de manera errónea es mejor que no pen-
sar”. Hipatia de Alejandría
“El pensamiento estadístico será algún día tan necesario para el ciudadano competente
como la habilidad de leer y escribir”. H.G. Wells
PRESENTACIÓN
El mundo que nos rodea presenta una cantidad de hechos caracterizados por la pre-
sencia de la incertidumbre y la creciente disponibilidad de datos e información. En este
contexto, personas e instituciones enfrentamos exigencias para tomar decisiones en am-
bientes de incertidumbre. Somos testigos que algunas veces las cosas no ocurren según
191
las predicciones realizadas; por ejemplo, los pronósticos del tiempo o el resultado de las
elecciones a veces nos traen sorpresas. Por su parte, las comunidades científicas relati-
vizan sus hallazgos y delimitan el ámbito de validez de los avances científicos que logran,
abandonando la postura tradicional de considerar la ciencia como un cuerpo de conoci-
mientos con validez absoluta. En ese contexto, la Organización para la Cooperación y el
Desarrollo Económicos (OCDE, 2003) declara que los aprendizajes que se logran a partir
de la Estadística y el cálculo de probabilidades deben adquirir hoy mayor importancia de
la que tenían en el pasado, pues se han constituido en herramientas que ayudan al estu-
diante a organizar y profundizar su conocimiento sobre la realidad que lo circunda; con-
tribuyendo a la toma decisiones en escenarios de cambio y de abundante información.
El estudio de la Estadística y Probabilidad favorece el desarrollo personal, al posibilitar la
mejora del razonamiento estadístico para una adecuada toma de decisiones a partir de
una valoración de las evidencias objetivas; asimismo, sirve de instrumento para el apren-
dizaje de otras áreas curriculares. Diversas investigaciones destacan la importancia de su
aprendizaje. Así, se ha señalado que la estadística permite a las personas desarrollar la
capacidad para apreciar datos con mayores niveles de precisión, elaborar estimaciones
razonables, usar la información extraída de los datos para apoyar un argumento (Hol-
mes, 1986); reconocer los alcances y limitaciones de la Matemática, así como reconocer
que la solución de los problemas no es siempre única o inmediata sino que existe una
fuerte presencia de fenómenos aleatorios (Batanero y Moreno, 2007).
Finalmente, Vecino (2003) coincide con los anteriores en señalar que la temprana in-
troducción de la estadística en la escolaridad desarrolla la confianza y capacidad de los
estudiantes para llevar a cabo una investigación.
El Mapa de Progreso de Estadística y Probabilidad describe el desarrollo progresivo de
la competencia para procesar e interpretar diversidad de datos transformándolos en
información y analizar situaciones de incertidumbre para formular predicciones que per-
mitan tomar decisiones adecuadas.
La descripción del progreso del aprendizaje en este dominio se realiza en base a tres
aspectos:
a. Recopilación y procesamiento de los datos. Implica el desarrollo de capacidades para
trabajar con los datos, recopilarlos, clasificarlos, organizarlos, representarlos y deter-
minar sus medidas descriptivas en función a un propósito, con la finalidad de brindar
insumos para la interpretación de los mismos.
b. Interpretación y valoración de los datos. Implica el desarrollo de capacidades para
convertir en información los datos procesados mediante la lectura, interpretación, infe-
rencia y valoración de la pertinencia y representatividad de los mismos con la finalidad
192
de tomar decisiones.
c. Análisis de situaciones de incertidumbre. Implica el desarrollo de capacidades para
identificar, describir, modelar una situación aleatoria, determinar sus componentes (es-
pacio muestral, el contexto y sus restricciones) y estimar la probabilidad de ocurrencia
de los sucesos relacionados con ella, con la finalidad de predecirlos y tomar decisiones.
DESCRIPCIÓN DE LOS NIVELES DEL MAPA DE PROGRESO DE ESTADÍSTICA Y PROBABI-
LIDAD
III CICLO
Recopila datos cualitativos y cuantitativos discretos a partir de preguntas que el estu-
diante formula sobre sí mismo y su entorno familiar y de aula; los organiza en tablas
simples; y los representa mediante pictogramas y gráficos de barras o bastones. Lee y
compara información contenida en tablas simples, tablas de doble entrada o gráficos
para responder a interrogantes propuestas. Identifica y compara la posibilidad o impo-
sibilidad de ocurrencia de sucesos cotidianos, y describe algunos posibles resultados de
una situación aleatoria, por experiencia directa.
IV CICLO
Recopila datos cualitativos o cuantitativos discretos provenientes de su entorno escolar, mediante encuestas, identificando las preguntas relevantes para el tema en estudio; los organiza en tablas de doble entrada y los representa mediante gráficos de barras simples o pictogramas usando equivalencias. Interpreta información presentada en tablas de do-ble entrada, pictogramas y barras dobles agrupadas; interpreta la moda de un grupo de datos en un lenguaje coloquial. Clasifica a partir de la experiencia directa o experimentos concretos la ocurrencia de sucesos como posible o imposible y explica si la ocurrencia de un suceso es más probable o menos probable que la de otro suceso proveniente de la misma situación aleatoria.
V CICLO
Recopila datos cualitativos o cuantitativos discretos provenientes de su entorno esco-lar, mediante una encuesta en las que formula preguntas y sus posibles opciones de respuestas; selecciona e interpreta datos provenientes de fuentes indirectas, los orga-niza en tablas y los representa mediante gráficos de barras dobles o gráficos de líneas. Interpreta información no explícita presentada en tablas, gráficos de líneas y gráficos circulares. Interpreta y determina la media aritmética de un grupo de datos. Determina
y representa todos los posibles resultados de una situación aleatoria propuesta usando
distintas estrategias. Interpreta la probabilidad de un evento como el cociente entre el
número de casos favorables y el total de casos posibles, la representa mediante una
193
fracción y la explica.
Actividad.
Ciclo: V
Tema: Tablas de frecuencias y diagramas de Barras
Indicador: Representa una situación real en tablas y/o gráficos de barras. Interpreta y argumenta información que relaciona variables presentadas en tablas y/o gráficos de barras.
Estrategia didáctica: Utilización de material concreto.
Material: cajitas de fósforos, regla, lápices, papel cuadriculado, cuatro o más objetos (frutas, juguetes, tarjeteas con información)
Descripción de la actividad.
El docente coloca en el escritorio cuatro o más elementos de los citados anterior-
mente (alineados y de frente a los estudiantes), y en una caja tiene tantas cajitas
de fósforos como estudiantes que participan en la actividad.
El docente pide que los estudiantes ordenadamente salgan al frente, escojan una
cajita de fósforo y la coloquen al frente del objeto con el cual se identifica. Los
estudiantes que se identifican con el mismo objeto, colocaran sus cajitas de ma-
nera apilada.
Los estudiantes observarán la forma como quedaron distribuidas las cajitas de
fósforos.
El docente pide a los estudiantes que dibujen la vista frontal de la forma como
quedaron distribuidas las cajitas (diagrama de barras)
El docente pide a los estudiantes que consignen los datos en la siguiente tabla:
Objeto (variable)Casos seleccionados
(frecuencia absoluta)Manzana
PeraMangoCiruela
Uva
Finalmente el docente puede proponer el proceso a la inversa, es decir dando la
tabla de frecuencia para que los estudiantes hagan la representación gráfica y utili-
194
zando el material concreto.
Actividades de evaluación de la sesión
Selecciona un tema específico correspondiente al nivel en que enseñas y sobre el cual
desarrollarás una sesión de aprendizaje. Escoge una de las estrategias didácticas con la
que trabajarás la temática y sigue el siguiente orden para desarrollar la sesión de apren-
dizaje.
Tema:
Capacidad(es) a desarrollar:
Indicador(es):
Motivación:
Estrategia:
Desarrollo:
Evaluación:
Actividades de retroalimentación:
3.5 SESIÓN DE APRENDIZAJE DE LAS TIC APLICADAS AL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
Las TICs son una herramienta que permite al docente contar con un nuevo recurso didác-
tico a partir del cual se puedan abordar de manera simple pero con el rigor matemático
necesario, algunos contenidos.
Por medio del aporte de la tecnología a la enseñanza de la matemática, se pueden in-
cluir la animación, la dinámica y la interactividad necesaria con el objetivo de facilitar y
mejorar el proceso. Estos valiosos elementos, harán de la enseñanza y el aprendizaje de
la matemática una actividad confortante y constructiva. Actualmente, la computadora
juega un rol primordial en la enseñanza y el aprendizaje de diferentes temas.
Con el desarrollo de esta herramienta, se pretende lograr que el alumno pueda aprender
en forma significativa los contenidos propuestos, sumándole a la velocidad y exactitud
de cálculos, la interactividad y visualización gráfica. Este recurso informático facilitará el
aprendizaje y también la enseñanza, ya que se convertirá en una importante herramien-
ta para ejemplificar contenidos.
De esta forma, se logrará un ambiente de enseñanza y aprendizaje en el cual interactúen
docentes, alumnos y software. Se constituirá así, una metodología de aprendizaje a par-
tir de la incorporación de tecnología, no sólo como un recurso facilitador de los cálculos
195
necesarios sino además, como una herramienta capaz de actuar sobre el proceso de
aprendizaje del alumno.
Para Papert (1987), creador del lenguaje LOGO, la computadora reconfigura las condicio-
nes de aprendizaje y supone nuevas formas de aprender.
Papert inicialmente trabajó con Piaget y tomará como base de su trabajo las obras de
éste, surgiendo así la teoría del Procesamiento de la información. Sin embargo, mientras
que Piaget no veía grandes ventajas en el uso de la computadora para modelizar la clase
de estructuras mentales que postulaba, Papert se vio muy atraído por esta idea y trabajó
con los principales investigadores de inteligencia artificial.
Papert indica que el uso adecuado de la computadora puede significar un importante
cambio en las formas de aprender de los alumnos. La computadora se debe convertir
para el alumno en una herramienta con la que va a llevar a cabo sus proyectos y debería
ser tan funcional como el lápiz.
Ante la postura de Papert, surgen algunas críticas. Se sostiene que sus planteos son de-
masiados optimistas, dado que enalgunas escuelas sólo se realizan con la computadora
un conjunto de ejercicios rutinarios. Además, la posibilidad de que el alumno interactúe
con la computadora es útil, pero se hace muy necesaria la figura de un profesor que le
permita extraer conclusiones. Si bien es importante que el alumno pueda reflexionar
sobre sus errores, es posible que no pueda encontrar la solución si no se posee el acom-
pañamiento de un profesor.
Para superar estos inconvenientes, Martí (1992) realiza una propuesta basada en dos
ejes:
• Aplicación a situaciones específicas instructivas del constructivismo.
• Mediacióndel aprendizaje a través del medio informático y de otras personas.
Es importante destacar el rol que desempeña el profesor ofreciendo una tarea de anda-
miaje al aprendizaje que desarrolla el alumno.
Se denomina aprendizaje cognitivoal proceso en el que los docentes proveen a los alum-
nos un sistema de andamios para apoyar su crecimiento y desarrollo cognitivo (UNESCO,
2004). De esta manera, se permite que los alumnos construyan por medio de la interac-
ción sus propias estructuras. Las TICs son herramientas muy importantes para apoyar el
aprendizaje cognitivo, permitiendo que los grupos compartan ámbitos de trabajo desa-
rrollando actividades y materiales en colaboración.
Como afirma Urbina Ramírez (1999), el diseño, el contexto de aprendizaje y el rol del
196
sujeto ante el aprendizaje, son factores fundamentales a considerar al momento de ana-
lizar un software educativo desde las teorías del aprendizaje.
En definitiva, el poder de las TICs para crear nuevos y atractivos ámbitos de aprendizaje
para los alumnos, estará dado por la habilidad de los docentes en el uso de estas herra-
mientas. En este sentido, en el Informe Final sobre Educación de la UNESCO de 1998 se
afirma:
“Existen indicios de que esas tecnologías podrían finalmente tener consecuencias radi-
cales en el proceso de enseñanza y aprendizaje clásico. Al establecer una nueva configu-
ración del modo en que los maestros y los educandos pueden tener acceso a los conoci-
mientos y la información, las nuevas tecnologías plantean un desafío al modo tradicional
de concebir el material pedagógico, los métodos y los enfoques tanto de la enseñanza
como del aprendizaje”
Indudablemente de cara al futuro, el surgimiento de Tecnologías de la Información y la
Comunicación y su posterior inclusión masiva en la sociedad juegan un rol fundamental
en el contexto educativo.
Esto puede favorecer, según el informe del IIPE-UNESCO (2006), a la adquisición de habi-
lidades necesarias para los nuevos tiempos:
• Creación y selección de la información
• Autonomía
• Capacidad para tomar decisiones
• Flexibilidad y capacidad de resolver problemas
• Trabajo en equipo
• Habilidades comunicativas
Indudablemente la velocidad con que las TICs se van modificando hace muy difícil esta-
blecer cómo afectarán estos cambios en el futuro, el proceso de enseñanza-aprendizaje.
De todas formas, surgen planteos que presentan un futuro en el cual la idea actual de
aula y aprendizaje se verán modificadas sustancialmente.
Cabe recordar que es tarea del Docente guiar al estudiante para darle un buen manejo
a esta herramienta tecnológica, no permitiendo que su utilización influya de manera
negativa en el desarrollo de los procesos generales de la actividad matemática.La no
utilización de estas herramientas puede convertirse en un incentivo provocador del lla-
mado “Analfabetismo Tecnológico”, en un universo donde la tecnología, la información y
197
la comunicación son cada vez más masivas y necesarias.
La práctica docente debe replantearse y evitar el influjo del pensamiento retrograda,
para levantar con optimismo la bandera del “Educar para la vida”, teniendo en cuenta
que la vida misma exige a los hombres de hoy y del mañana, el uso de las herramientas
en mención.
La sesión correspondiente al uso de las TICs en matemáticas se desarrollará de manera
práctica, más específicamente en el uso de herramientas de Excel aplicada a la Estadísti-
ca y el uso de los softwareGeogebray LOGO para geometría.
Las actividades de evaluación también se desarrollarán de manera práctica.
Tema 6
Algunas notas
Resultados de América Latina en la prueba Pisa
Una vez más, como se esperaba, los países asiáticos ocupan los primeros puestos del
informe Pisa 2013, que compara el nivel educativo de cerca de medio millón de adoles-
centes de 15 años en 65 países.
Contenido relacionado
El Programa de Evaluación Internacional de Estudiantes, más conocido como Pisa (por
sus siglas en inglés), comparó resultados en las 34 naciones de la OCDE y en otros 31
países, que representan en conjunto cerca del 80% de la población mundial.
Los diez mejores
Shanghái (613 puntos)
Singapur (573)
Hong Kong (561)
Taipei (560)
Corea del Sur (554)
Macao (538)
Japón (536)
Liechtenstein (535)
Suiza (531)
Holanda (523)
El gran interrogante para América Latina es dónde residen los múltiples factores detrás
del mal desempeño de las naciones de la región que ocupan algunos de los peores luga-
res en la lista.
El primer puesto es ocupado por Shanghái, principal ciudad de china con más de 20
199
millones de habitantes, con 613 puntos, 119 puntos por encima del promedio de cono-
cimiento que fija Pisa, de 494 puntos.
En segundo lugar se sitúa Singapur (573 puntos), seguido de Hong Kong (561), Taipei
(560), Corea del Sur (554), Macao (538) y Japón (536). Completan la nómina de los diez
primeros Liechtenstein (535), Suiza (531) y Holanda (523).
La mayoría de los resultados provienen de países, pero en el caso de China los puntajes
se calcularon por ciudades o regiones seleccionadas. La OCDE dijo que espera disponer
en la próxima lista de más información para colocar a China en su conjunto.
En el informe, que cubre el período 2003 a 2012, entre los últimos puestos están Chi-
le (lugar 51 con 423 puntos), México (lugar 53 con 413 puntos), Uruguay (puesto 55 con
409 puntos) y Argentina (lugar 59 con 388 puntos). Colombia se ubica en el lugar 62, con
376 puntos, y Perú en el último sitio de la lista, el número 65, con 368 puntos.
El informe es elaborado a partir de pruebas de matemáticas, lengua y ciencias hechas a
más de 510.000 estudiantes.
La prueba ayuda los países a medir “lo que saben los estudiantes y lo que pueden ha-
cer con sus conocimientos”, según dijo al presentar el documento en Londres Andreas
Schleicher, asesor especial del secretario general de la OCDE, Ángel Gurría.
Schleicher afirmó que “las comparaciones internacionales no son siempre fáciles y no
son perfectas”, pero aseguró que la lista ayuda a los países a conocer los progresos con-
seguidos en otras naciones y a preparar a los niños de cara a un “futuro con éxito”.
Vietnam, que participa en las pruebas por primera vez, obtuvo mejores resultados en
ciencia y matemáticas que Estados Unidos.
El secretario de Educación estadounidense, Arne Duncan, describió a los resultados
como “un retrato del estancamiento educativo”.
“Debemos invertir en educación inicial, subir los estándares académicos, hacer que la
Universidad sea más accesible para quienes tienen menos recursos y hacer más para
reclutar y retener educadores de alto nivel”, agregó.
Algunas razones por las cuales los Orientales siempre ganan las pruebas internaciona-
les de matemáticas
Los escolares asiáticos, especialmente los de Shanghái (China), obtienen mejores resul-
tados en conocimientos matemáticos, lingüísticos y científicos, según el informe Pisa
2012, que analiza el rendimiento de los alumnos de 15 años en 65 países.
200
¿Qué tiene esta parte del planeta para producir alumnos tan buenos en matemáticas?
Trasladamos la pregunta a expertos en la enseñanza de este campo del saber, e
identifican seis ventajas competitivas de los países orientales.
1. Ejercitan y juegan con el cálculo como rutina diaria desde infantil y primaria
No es casualidad que el sudoku sea un invento japonés. Desde muy pequeños, ejercitan
mediante juegos muchas dimensiones del cálculo mental, de la lógica, etc. El ábaco es
un instrumento antiquísimo de cálculo que todavía se usa en muchas escuelas y que
sirve para desarrollar otras capacidades como la memoria fotográfica o la orientación
espacial.
2. Sus sistemas educativos inciden más en la disciplina
El aprendizaje de las matemáticas requiere de hábitos relacionados con la observancia
de normas y leyes. Se hace un fuerte hincapié en la concentración, el esfuerzo y el tra-
bajo metódico como pilares básicos de la Educación. Estas actitudes favorecen enorme-
mente el aprendizaje de los conocimientos matemáticos.
3. Valoran los métodos de resolución de problemas
Cada problema matemático tiene su solución particular, pero existen pautas que faci-
litan las cosas. En oriente se valoran los métodos heurísticos, es decir, las estrategias
generales para llegar a la solución de los problemas, basadas en experiencias previas
frente a problemas parecidos.
4. Trabajan el pensamiento lateral
Las matemáticas se apoyan en el pensamiento lógico, pero éste se complementa con el
pensamiento lateral, que se vale de la creatividad para llegar a la solución. La tradición
oriental está llena de acertijos de este tipo. Proponemos un problema en el que se ejer-
cita el pensamiento lateral.
“Dos personas estuvieron jugando a las damas. De cinco partidas cada una gano tres.
¿Cómo es posible?”
5. Hay tradición de refuerzo escolar, a través de clubes o clases particulares.
Los niños y adolescentes que destacan en matemáticas no se contentan con lo aprendi-
do en clases. Refuerzan sus conocimientos en academias o clubes. Así se hace en Japón
a través de lo que ellos llaman “Juku” o, en el caso de alumnos de secundaria superior,
“Jobiko”.
201
6. Mayor autonomía de los centros
Los centros educativos, y en especial sus directores, cuentan con mayor autonomía que
la que se acostumbra en otros países para diseñar sus planes de estudio. Sin embargo, la
autonomía que tienen los centros para organizarse no se corresponde con la autonomía
en el trato con el alumno, que por lo general suele responder a un patrón exigente y
poco flexible.
Fuentes consultadas:
Inés Gomez-Chacón, profesora titular de la Universidad Complutense de Madrid
y directora de la Cátedra UCM Miguel de Guzmán
Elena Moreno, profesora de “Matemáticas y su didáctica” de la Universidad Ca-
tólica de Valencia.
José Luis García Garrido, catedrático de la UNED y experto en sistemas educativos
comparados
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